Hjälp på Tele2, taxor, frågor

Sedan du kom hit har du förmodligen redan hunnit se denna formel i läroboken

och gör ett ansikte så här:

Vän, oroa dig inte! Faktum är att allt är enkelt att vanära. Du kommer definitivt att förstå allt. Endast en begäran - läs artikeln långsamt försök att förstå varje steg. Jag skrev så enkelt och tydligt som möjligt, men du behöver fortfarande fördjupa dig i idén. Och se till att lösa uppgifterna från artikeln.

Vad är en komplex funktion?

Tänk dig att du ska flytta till en annan lägenhet och därför packar du saker i stora lådor. Låt det vara nödvändigt att samla några små föremål, till exempel skolpapper. Om du bara slänger dem i en enorm låda så kommer de att gå vilse bland annat. För att undvika detta lägger man dem först i exempelvis en påse som man sedan lägger i en stor låda, varefter man försluter den. Denna "svåraste" process visas i diagrammet nedan:

Det verkar som om matematiken? Och dessutom bildas en komplex funktion på EXAKT SAMMA sätt! Bara vi "packar" inte anteckningsböcker och pennor, utan \ (x \), medan olika "paket" och "lådor" tjänar.

Låt oss till exempel ta x och "packa" det i en funktion:

Som ett resultat får vi naturligtvis \(\cos⁡x\). Det här är vår "påse med saker". Och nu lägger vi den i en "låda" - vi packar den till exempel i en kubisk funktion.

Vad kommer att hända i slutändan? Ja, det stämmer, det blir ett "paket med saker i en låda", det vill säga "cosinus av x i kub".

Den resulterande konstruktionen är en komplex funktion. Den skiljer sig från den enkla i det FLERA "påslag" (paket) appliceras på ett X i rad och det visar sig, som det var, "en funktion från en funktion" - "ett paket i ett paket".

I skolkursen finns det väldigt få typer av samma "paket", bara fyra:

Låt oss nu "packa" x först i en exponentialfunktion med bas 7, och sedan i en trigonometrisk funktion. Vi får:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

Och låt oss nu "packa" x två gånger i trigonometriska funktioner, först i och sedan in i:

\(x → sin⁡x → ctg⁡ (sin⁡x)\)

Enkelt, eller hur?

Skriv nu funktionerna själv, där x:
- först "packas" den i en cosinus och sedan i en exponentiell funktion med basen \(3\);
- först till femte potensen och sedan till tangenten;
- först till baslogaritmen \(4\) , sedan till makten \(-2\).

Se svaren på denna fråga i slutet av artikeln.

Men kan vi "packa" x inte två, utan tre gånger? Inga problem! Och fyra, och fem och tjugofem gånger. Här är till exempel en funktion där x "packas" \(4\) gånger:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4))))\)

Men sådana formler kommer inte att finnas i skolpraktiken (elever har mer tur - de kan vara svårare☺).

"Uppacka" en komplex funktion

Titta på föregående funktion igen. Kan du lista ut sekvensen av "packning"? Vad X stoppades i först, vad sedan, och så vidare till slutet. Det vill säga vilken funktion är kapslad i vilken? Ta ett papper och skriv ner vad du tycker. Du kan göra detta med en kedja av pilar, som vi skrev ovan, eller på något annat sätt.

Nu är det korrekta svaret: först “packades” x i \(4\):e potensen, sedan packades resultatet in i sinus, det i sin tur placerades i logaritmbasen \(2\), och i i slutet knuffades hela konstruktionen in i powerfemman.

Det vill säga, det är nödvändigt att varva ner sekvensen I OMVÄND ORDNING. Och här är ett tips om hur du gör det lättare: titta bara på X-et - du måste dansa från det. Låt oss titta på några exempel.

Här är till exempel en funktion: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Vi tittar på X - vad händer med honom först? Tagen från honom. Och då? Tangenten av resultatet tas. Och sekvensen kommer att vara densamma:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Ett annat exempel: \(y=\cos⁡((x^3))\). Vi analyserar - först kuberades x, och sedan togs cosinus från resultatet. Så sekvensen blir: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Var uppmärksam, funktionen verkar likna den allra första (där med bilder). Men detta är en helt annan funktion: här i kuben x (det vill säga \(\cos⁡((x x x)))\), och där i kuben cosinus \(x\) (det vill säga \(\ cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Denna skillnad uppstår från olika "packnings"-sekvenser.

Det sista exemplet (med viktig information i det): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Det är tydligt att vi här först utförde aritmetiska operationer med x, sedan togs sinus från resultatet: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). Och detta är en viktig poäng: trots att aritmetiska operationer inte är funktioner i sig, fungerar de här också som ett sätt att "packa". Låt oss gräva lite djupare in i denna subtilitet.

Som jag sa ovan, i enkla funktioner "packas" x en gång, och i komplexa funktioner - två eller flera. Dessutom är varje kombination av enkla funktioner (det vill säga deras summa, skillnad, multiplikation eller division) också en enkel funktion. Till exempel är \(x^7\) en enkel funktion, och det är också \(ctg x\). Därför är alla deras kombinationer enkla funktioner:

\(x^7+ ctg x\) - enkelt,
\(x^7 ctg x\) är enkelt,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) är enkelt, och så vidare.

Men om ytterligare en funktion appliceras på en sådan kombination kommer det redan att vara en komplex funktion, eftersom det kommer att finnas två "paket". Se diagram:

Okej, låt oss fortsätta med det nu. Skriv sekvensen av "omslagsfunktioner":
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Svaren finns igen i slutet av artikeln.

Interna och externa funktioner

Varför behöver vi förstå funktionshäckning? Vad ger detta oss? Poängen är att utan en sådan analys kommer vi inte att på ett tillförlitligt sätt kunna hitta derivatorna av funktionerna som diskuterats ovan.

Och för att gå vidare behöver vi ytterligare två begrepp: interna och externa funktioner. Detta är en mycket enkel sak, dessutom har vi faktiskt redan analyserat dem ovan: om vi minns vår analogi i början, är den inre funktionen "paketet", och den yttre är "lådan". De där. det som X är "inlindat" i först är en intern funktion, och det som det inre är "lindat" i är redan externt. Tja, det är förståeligt varför - det är utanför, det betyder yttre.

Här i detta exempel: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), funktionen \(\log_2⁡x\) är intern, och
- extern.

Och i den här: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), är \(x^3+2x+1\) intern, och
- extern.

Utför den sista övningen med att analysera komplexa funktioner, och slutligen, låt oss gå vidare till punkten för vilken allt började - vi kommer att hitta derivator av komplexa funktioner:

Fyll i luckorna i tabellen:

Derivat av en sammansatt funktion

Bravo till oss, vi kom fortfarande till "chefen" för detta ämne - i själva verket derivatan av en komplex funktion, och specifikt till den mycket hemska formeln från början av artikeln.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Denna formel lyder så här:

Derivatan av en komplex funktion är lika med produkten av derivatan av den externa funktionen med avseende på den konstanta inre funktionen och derivatan av den inre funktionen.

Och titta omedelbart på analysschemat "med ord" för att förstå vad du ska relatera till:

Jag hoppas att termerna "derivat" och "produkt" inte orsakar svårigheter. "Komplex funktion" - vi har redan demonterat. Haken är i "derivatan av den yttre funktionen med avseende på den konstanta inre." Vad det är?

Svar: detta är den vanliga derivatan av den yttre funktionen, där endast den yttre funktionen ändras, medan den inre förblir densamma. Fortfarande oklart? Okej, låt oss ta ett exempel.

Låt oss säga att vi har en funktion \(y=\sin⁡(x^3)\). Det är tydligt att den inre funktionen här är \(x^3\), och den yttre
. Låt oss nu finna derivatan av det yttre med avseende på det konstanta inre.

Operationen att hitta en derivata kallas differentiering.

Som ett resultat av att lösa problem med att hitta derivator av de enklaste (och inte särskilt enkla) funktionerna genom att definiera derivatan som gränsen för förhållandet mellan ökningen och ökningen av argumentet, dök en tabell med derivator och exakt definierade regler för differentiering upp . Isaac Newton (1643-1727) och Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) var de första som arbetade med att hitta derivator.

Därför, i vår tid, för att hitta derivatan av någon funktion, är det inte nödvändigt att beräkna den ovan nämnda gränsen för förhållandet mellan ökningen av funktionen och ökningen av argumentet, utan behöver bara använda tabellen av derivat och reglerna för differentiering. Följande algoritm är lämplig för att hitta derivatan.

För att hitta derivatan, behöver du ett uttryck under strecktecknet bryta ner enkla funktioner och bestämma vilka åtgärder (produkt, summa, kvot) dessa funktioner är relaterade. Vidare hittar vi derivatorna av elementära funktioner i tabellen över derivator och formlerna för derivatorna av produkten, summan och kvoten - i differentieringsreglerna. Tabellen över derivat och differentieringsregler ges efter de två första exemplen.

Exempel 1 Hitta derivatan av en funktion

Beslut. Från reglerna för differentiering får vi reda på att derivatan av summan av funktioner är summan av derivator av funktioner, d.v.s.

Från tabellen med derivator får vi reda på att derivatan av "X" är lika med ett, och derivatan av sinus är cosinus. Vi ersätter dessa värden i summan av derivator och hittar den derivata som krävs av problemets tillstånd:

Exempel 2 Hitta derivatan av en funktion

Beslut. Differentiera som en derivata av summan, där den andra termen med en konstant faktor, den kan tas ur derivatans tecken:

Om det fortfarande finns frågor om var något kommer ifrån blir de som regel tydliga efter att ha läst derivattabellen och de enklaste differentieringsreglerna. Vi ska till dem just nu.

Tabell över derivator av enkla funktioner

1. Derivata av en konstant (tal). Valfritt tal (1, 2, 5, 200...) som finns i funktionsuttrycket. Alltid noll. Detta är mycket viktigt att komma ihåg, eftersom det krävs väldigt ofta
2. Derivata av den oberoende variabeln. Oftast "x". Alltid lika med ett. Detta är också viktigt att komma ihåg
3. Derivat av examen. När du löser problem måste du konvertera icke-kvadratrötter till en potens.
4. Derivata av en variabel i potensen -1
5. Derivata av kvadratroten
6. Sinusderivat
7. Cosinusderivat
8. Tangentderivat
9. Derivat av cotangens
10. Derivat av arcsine
11. Derivat av bågekosinus
12. Derivata av bågtangens
13. Derivata av den inversa tangenten
14. Derivata av naturlig logaritm
15. Derivata av en logaritmisk funktion
16. Derivata av exponenten
17. Derivata av exponentialfunktion

Differentieringsregler

1. Derivata av summan eller skillnaden
2. Derivat av en produkt
2a. Derivat av ett uttryck multiplicerat med en konstant faktor
3. Derivat av kvoten
4. Derivata av en komplex funktion

Regel 1Om funktioner

är differentierbara vid något tillfälle, sedan vid samma punkt funktionerna

och

de där. derivatan av den algebraiska summan av funktioner är lika med den algebraiska summan av derivatorna av dessa funktioner.

Följd. Om två differentierbara funktioner skiljer sig åt med en konstant, är deras derivator det, dvs.

Regel 2Om funktioner

är differentierbara någon gång, då är deras produkt också differentierbar vid samma punkt

och

de där. derivatan av produkten av två funktioner är lika med summan av produkterna av var och en av dessa funktioner och derivatan av den andra.

Konsekvens 1. Den konstanta faktorn kan tas ur derivatans tecken:

Konsekvens 2. Derivatan av produkten av flera differentierbara funktioner är lika med summan av produkterna av derivatan av var och en av faktorerna och alla de andra.

Till exempel, för tre multiplikatorer:

Regel 3Om funktioner

differentierbar någon gång och , då är deras kvot vid denna tidpunkt också differentierbar.u/v och

de där. derivatan av en kvot av två funktioner är lika med en bråkdel vars täljare är skillnaden mellan produkterna av nämnaren och derivatan av täljaren och täljaren och derivatan av nämnaren, och nämnaren är kvadraten på den tidigare täljaren .

Var man kan leta på andra sidor

När man hittar produktens derivata och kvoten i verkliga problem är det alltid nödvändigt att tillämpa flera differentieringsregler samtidigt, så fler exempel på dessa derivat finns i artikeln."Derivatet av en produkt och en kvot".

Kommentar. Du ska inte blanda ihop en konstant (det vill säga ett tal) som en term i summan och som en konstant faktor! När det gäller en term är dess derivata lika med noll, och i fallet med en konstant faktor tas den ur derivatans tecken. Detta är ett typiskt misstag som inträffar i det inledande skedet av att studera derivat, men eftersom den genomsnittliga studenten löser flera en-tvåkomponentsexempel, gör den genomsnittliga studenten inte längre detta misstag.

Och om du, när du särskiljer en produkt eller en kvot, har en term u"v, vart i u- ett tal, till exempel 2 eller 5, det vill säga en konstant, då kommer derivatan av detta tal att vara lika med noll och därför kommer hela termen att vara lika med noll (ett sådant fall analyseras i exempel 10) .

Ett annat vanligt misstag är den mekaniska lösningen av derivatan av en komplex funktion som derivatan av en enkel funktion. Det är därför derivata av en komplex funktionägnas åt en separat artikel. Men först ska vi lära oss att hitta derivator av enkla funktioner.

Längs vägen kan du inte klara dig utan omvandlingar av uttryck. För att göra detta kan du behöva öppna i nya Windows-manualer Handlingar med krafter och rötter och Åtgärder med bråk .

Om du letar efter lösningar på derivator med potenser och rötter, det vill säga när funktionen ser ut som , följ sedan lektionen "Derivat av summan av bråk med potenser och rötter".

Om du har en uppgift som , då är du inne på lektionen "Derivater av enkla trigonometriska funktioner".

Steg för steg exempel - hur man hittar derivatan

Exempel 3 Hitta derivatan av en funktion

Beslut. Vi bestämmer delarna av funktionsuttrycket: hela uttrycket representerar produkten, och dess faktorer är summor, i den andra av vilka en av termerna innehåller en konstant faktor. Vi tillämpar produktdifferentieringsregeln: derivatan av produkten av två funktioner är lika med summan av produkterna för var och en av dessa funktioner och derivatan av den andra:

Därefter tillämpar vi regeln för differentiering av summan: derivatan av den algebraiska summan av funktioner är lika med den algebraiska summan av derivatorna av dessa funktioner. I vårt fall, i varje summa, den andra termen med ett minustecken. I varje summa ser vi både en oberoende variabel, vars derivata är lika med en, och en konstant (tal), vars derivata är lika med noll. Så, "x" förvandlas till ett och minus 5 - till noll. I det andra uttrycket multipliceras "x" med 2, så vi multiplicerar två med samma enhet som derivatan av "x". Vi får följande värden på derivat:

Vi ersätter de hittade derivatorna i summan av produkter och erhåller derivatan av hela funktionen som krävs av problemets tillstånd:

Och du kan kontrollera lösningen av problemet på derivatan på .

Exempel 4 Hitta derivatan av en funktion

Beslut. Vi måste hitta derivatan av kvoten. Vi tillämpar formeln för att differentiera en kvot: derivatan av en kvot av två funktioner är lika med en bråkdel vars täljare är skillnaden mellan produkterna av nämnaren och derivatan av täljaren och täljaren och derivatan av nämnaren, och nämnaren är kvadraten på den tidigare täljaren. Vi får:

Vi har redan hittat derivatan av faktorerna i täljaren i exempel 2. Låt oss inte heller glömma att produkten, som är den andra faktorn i täljaren i det aktuella exemplet, tas med ett minustecken:

Om du letar efter lösningar på sådana problem där du behöver hitta derivatan av en funktion, där det finns en kontinuerlig hög med rötter och grader, som t.ex. då välkommen till klassen "Derivatan av summan av bråk med potenser och rötter" .

Om du behöver lära dig mer om derivatorna av sinus, cosinus, tangenter och andra trigonometriska funktioner, det vill säga när funktionen ser ut som , då har du en lektion "Derivater av enkla trigonometriska funktioner" .

Exempel 5 Hitta derivatan av en funktion

Beslut. I denna funktion ser vi en produkt, vars en av faktorerna är kvadratroten av den oberoende variabeln, med den derivata som vi bekantade oss med i tabellen över derivator. Enligt produktdifferentieringsregeln och tabellvärdet för derivatan av kvadratroten får vi:

Du kan kontrollera lösningen av derivatproblemet på derivatkalkylator online .

Exempel 6 Hitta derivatan av en funktion

Beslut. I denna funktion ser vi kvoten, vars utdelning är kvadratroten av den oberoende variabeln. Enligt regeln om differentiering av kvoten, som vi upprepade och tillämpade i exempel 4, och tabellvärdet för derivatan av kvadratroten, får vi:

För att bli av med bråket i täljaren, multiplicera täljaren och nämnaren med .

I den här lektionen kommer vi att lära oss hur man hittar derivata av en komplex funktion. Lektionen är en logisk fortsättning på lektionen Hur hittar man derivatan?, där vi analyserade de enklaste derivaten, och också bekantade oss med reglerna för differentiering och några tekniska metoder för att hitta derivat. Således, om du inte är särskilt bra med derivator av funktioner eller några punkter i den här artikeln inte är helt klara, läs först ovanstående lektion. Snälla ställ in på en seriös stämning - materialet är inte lätt, men jag ska ändå försöka presentera det enkelt och tydligt.

I praktiken måste man hantera derivatan av en komplex funktion väldigt ofta, jag skulle till och med säga nästan alltid, när man får uppgifter att hitta derivator.

Vi tittar i tabellen på regeln (nr 5) för att differentiera en komplex funktion:

Vi förstår. Först och främst, låt oss ta en titt på notationen. Här har vi två funktioner - och , och funktionen är bildligt talat kapslad i funktionen . En funktion av detta slag (när en funktion är kapslad i en annan) kallas en komplex funktion.

Jag ringer funktionen extern funktion, och funktionen – inre (eller kapslad) funktion.

! Dessa definitioner är inte teoretiska och bör inte förekomma i den slutliga utformningen av uppdrag. Jag använder de informella uttrycken "extern funktion", "intern" funktion enbart för att göra det lättare för dig att förstå materialet.

För att klargöra situationen, överväg:

Exempel 1

Hitta derivatan av en funktion

Under sinus har vi inte bara bokstaven "x", utan hela uttrycket, så att hitta derivatan direkt från tabellen kommer inte att fungera. Vi märker också att det är omöjligt att tillämpa de fyra första reglerna här, det verkar finnas en skillnad, men faktum är att det är omöjligt att "riva isär" sinus:

I detta exempel, redan från mina förklaringar, är det intuitivt tydligt att funktionen är en komplex funktion, och polynomet är en intern funktion (inbäddning) och en extern funktion.

Första steget, som måste utföras när man ska hitta derivatan av en komplex funktion förstå vilken funktion som är intern och vilken som är extern.

När det gäller enkla exempel verkar det tydligt att ett polynom är kapslat under sinus. Men vad händer om det inte är uppenbart? Hur avgör man exakt vilken funktion som är extern och vilken som är intern? För att göra detta föreslår jag att använda följande teknik, som kan utföras mentalt eller på ett utkast.

Låt oss föreställa oss att vi behöver beräkna uttryckets värde med en miniräknare (istället för en kan det finnas valfritt tal).

Vad beräknar vi först? Primärt du måste utföra följande åtgärd: , så polynomet kommer att vara en intern funktion:

För det andra du måste hitta, så sinus - kommer att vara en extern funktion:

Efter att vi FÖRSTÅ Med inre och yttre funktioner är det dags att tillämpa den sammansatta funktionsdifferentieringsregeln.

Vi börjar bestämma oss. Från lektionen Hur hittar man derivatan? vi kommer ihåg att utformningen av lösningen av en derivata alltid börjar så här - vi omger uttrycket inom parentes och sätter ett streck längst upp till höger:

Först vi hittar derivatan av den yttre funktionen (sinus), tittar på tabellen över derivator av elementära funktioner och lägger märke till att . Alla tabellformler är tillämpliga även om "x" ersätts med ett komplext uttryck, I detta fall:

Observera att den inre funktionen har inte förändrats, vi rör det inte.

Tja, det är ganska uppenbart

Det slutliga resultatet av att tillämpa formeln ser ut så här:

Konstantfaktorn placeras vanligtvis i början av uttrycket:

Om det finns något missförstånd, skriv ner beslutet på papper och läs förklaringarna igen.

Exempel 2

Hitta derivatan av en funktion

Exempel 3

Hitta derivatan av en funktion

Som alltid skriver vi:

Vi tar reda på var vi har en extern funktion, och var är en intern. För att göra detta försöker vi (mentalt eller på ett utkast) att beräkna värdet på uttrycket för . Vad behöver göras först? Först och främst måste du beräkna vad basen är lika med:, vilket betyder att polynomet är den interna funktionen:

Och först då exponentiering utförs, därför är effektfunktionen en extern funktion:

Enligt formeln måste du först hitta derivatan av den externa funktionen, i det här fallet graden. Vi letar efter den önskade formeln i tabellen:. Vi upprepar igen: alla tabellformler är giltiga inte bara för "x", utan också för ett komplext uttryck. Således är resultatet av att tillämpa regeln om differentiering av en komplex funktion följande:

Jag betonar igen att när vi tar derivatan av den yttre funktionen så förändras inte den inre funktionen:

Nu återstår det att hitta en mycket enkel derivata av den inre funktionen och "kamma" resultatet lite:

Exempel 4

Hitta derivatan av en funktion

Detta är ett exempel för självlösning (svar i slutet av lektionen).

För att befästa förståelsen av derivatan av en komplex funktion kommer jag att ge ett exempel utan kommentarer, försöka lista ut det på egen hand, resonera, var finns den externa och var finns den interna funktionen, varför löses uppgifterna på det sättet?

Exempel 5

a) Hitta derivatan av en funktion

b) Hitta derivatan av funktionen

Exempel 6

Hitta derivatan av en funktion

Här har vi en rot, och för att kunna differentiera roten måste den representeras som en grad. Därför tar vi först funktionen till rätt form för differentiering:

Genom att analysera funktionen kommer vi till slutsatsen att summan av tre termer är en intern funktion och exponentiering är en extern funktion. Vi tillämpar differentieringsregeln för en komplex funktion:

Graden representeras återigen som en radikal (rot), och för derivatan av den interna funktionen tillämpar vi en enkel regel för att differentiera summan:

Redo. Du kan också föra uttrycket till en gemensam nämnare inom parentes och skriva allt som ett bråktal. Det är naturligtvis vackert, men när besvärliga långa derivat erhålls är det bättre att inte göra detta (det är lätt att bli förvirrad, göra ett onödigt misstag och det kommer att vara obekvämt för läraren att kontrollera).

Exempel 7

Hitta derivatan av en funktion

Detta är ett exempel för självlösning (svar i slutet av lektionen).

Det är intressant att notera att ibland, istället för regeln för att differentiera en komplex funktion, kan man använda regeln för att differentiera en kvot , men en sådan lösning skulle se ut som en perversion rolig. Här är ett typiskt exempel:

Exempel 8

Hitta derivatan av en funktion

Här kan du använda regeln om differentiering av kvoten , men det är mycket mer lönsamt att hitta derivatan genom regeln om differentiering av en komplex funktion:

Vi förbereder funktionen för differentiering - vi tar ut minustecknet för derivatan och höjer cosinus till täljaren:

Cosinus är en intern funktion, exponentiering är en extern funktion.
Låt oss använda vår regel:

Vi hittar derivatan av den inre funktionen, återställ cosinus tillbaka:

Redo. I det övervägda exemplet är det viktigt att inte bli förvirrad i skyltarna. Försök förresten att lösa det med regeln , svaren måste matcha.

Exempel 9

Hitta derivatan av en funktion

Detta är ett exempel för självlösning (svar i slutet av lektionen).

Hittills har vi övervägt fall där vi bara haft en häckning i en komplex funktion. I praktiska uppgifter kan du ofta hitta derivator, där, som häckande dockor, den ena inuti den andra, 3 eller till och med 4-5 funktioner är kapslade på en gång.

Exempel 10

Hitta derivatan av en funktion

Vi förstår bilagorna till denna funktion. Vi försöker utvärdera uttrycket med hjälp av experimentvärdet. Hur skulle vi räkna med en miniräknare?

Först måste du hitta, vilket betyder att bågen är den djupaste häckningen:

Denna enhetsbåge bör sedan kvadratiseras:

Och slutligen höjer vi de sju till makten:

Det vill säga, i det här exemplet har vi tre olika funktioner och två häckningar, medan den innersta funktionen är bågen och den yttersta funktionen är exponentialfunktionen.

Vi börjar bestämma oss

Enligt regeln måste du först ta derivatan av den externa funktionen. Vi tittar på tabellen över derivator och hittar derivatan av exponentialfunktionen: Den enda skillnaden är att istället för "x" har vi ett komplext uttryck, som inte förnekar giltigheten av denna formel. Så resultatet av att tillämpa regeln om differentiering av en komplex funktion är följande:

Under strecket har vi en knepig funktion igen! Men det är redan lättare. Det är lätt att se att den inre funktionen är bågen och den yttre funktionen är graden. Enligt regeln om differentiering av en komplex funktion måste du först ta derivatan av graden.

Om g(x) och f(u) är differentierbara funktioner av deras argument, respektive vid punkterna x och u= g(x), då är den komplexa funktionen också differentierbar vid punkten x och hittas av formeln

Ett typiskt misstag vid lösning av problem på derivator är den automatiska överföringen av reglerna för att differentiera enkla funktioner till komplexa funktioner. Vi kommer att lära oss att undvika detta misstag.

Exempel 2 Hitta derivatan av en funktion

Fel lösning: beräkna den naturliga logaritmen för varje term inom parentes och hitta summan av derivator:

Rätt lösning:återigen bestämmer vi var är "äpplet" och var är "färsen". Här är den naturliga logaritmen för uttrycket inom parentes "äpplet", det vill säga funktionen på det mellanliggande argumentet u, och uttrycket inom parentes är "färs", det vill säga ett mellanargument u av oberoende variabel x.

Sedan (med formel 14 från tabellen över derivat)

I många verkliga problem är uttrycket med logaritmen något mer komplicerat, varför det finns en läxa

Exempel 3 Hitta derivatan av en funktion

Fel lösning:

Rätt lösning.Återigen bestämmer vi var "äpplet" och var "färsen". Här är cosinus för uttrycket inom parentes (formel 7 i tabellen över derivator) "äpple", det framställs i läge 1, som bara påverkar det, och uttrycket inom parentes (derivatan av graden - nummer 3 i tabellen över derivat) är "malet kött", det tillagas i läge 2, vilket endast påverkar det. Och som alltid kopplar vi två derivat med ett produkttecken. Resultat:

Derivatan av en komplex logaritmisk funktion är en frekvent uppgift i tester, så vi rekommenderar starkt att du besöker lektionen "Derivat av en logaritmisk funktion".

De första exemplen var för komplexa funktioner, där det mellanliggande argumentet över den oberoende variabeln var en enkel funktion. Men i praktiska uppgifter krävs det ofta att man hittar derivatan av en komplex funktion, där det mellanliggande argumentet antingen i sig är en komplex funktion eller innehåller en sådan funktion. Vad ska man göra i sådana fall? Hitta derivator av sådana funktioner med hjälp av tabeller och differentieringsregler. När derivatan av det mellanliggande argumentet hittas, ersätts det helt enkelt på rätt plats i formeln. Nedan finns två exempel på hur detta går till.

Dessutom är det bra att veta följande. Om en komplex funktion kan representeras som en kedja av tre funktioner

då bör dess derivata hittas som produkten av derivaten av var och en av dessa funktioner:

Många av dina hemuppgifter kan kräva att du öppnar handledningar i nya fönster. Handlingar med krafter och rötter och Åtgärder med bråk .

Exempel 4 Hitta derivatan av en funktion

Vi tillämpar regeln om differentiering av en komplex funktion, utan att glömma att i den resulterande produkten av derivator, det mellanliggande argumentet med avseende på den oberoende variabeln xändras inte:

Vi förbereder produktens andra faktor och tillämpar regeln för att differentiera summan:

Den andra termen är roten, alltså

Därmed erhölls att mellanargumentet, som är summan, innehåller en komplex funktion som ett av termerna: exponentiering är en komplex funktion, och det som höjs till en potens är ett mellanargument av en oberoende variabel x.

Därför tillämpar vi återigen regeln om differentiering av en komplex funktion:

Vi omvandlar graden av den första faktorn till en rot, och differentierar den andra faktorn, vi glömmer inte att derivatan av konstanten är lika med noll:

Nu kan vi hitta derivatan av det mellanargument som behövs för att beräkna derivatan av den komplexa funktion som krävs i problemets tillstånd y:

Exempel 5 Hitta derivatan av en funktion

Först använder vi regeln att differentiera summan:

Få summan av derivator av två komplexa funktioner. Hitta den första:

Här är att höja sinus till en potens en komplex funktion, och sinus i sig är ett mellanargument i den oberoende variabeln x. Därför använder vi regeln om differentiering av en komplex funktion, längs vägen tar multiplikatorn ur parentes :

Nu hittar vi den andra termen från de som bildar derivatan av funktionen y:

Här är det en komplex funktion att höja cosinus till en potens f, och cosinus i sig är ett mellanargument med avseende på den oberoende variabeln x. Återigen använder vi regeln om differentiering av en komplex funktion:

Resultatet är den obligatoriska derivatan:

Tabell över derivator av några komplexa funktioner

För komplexa funktioner, baserat på regeln om differentiering av en komplex funktion, har formeln för derivatan av en enkel funktion en annan form.

1. Derivata av en komplex potensfunktion, där u x
2. Derivat av uttryckets rot
3. Derivata av exponentialfunktionen
4. Specialfall av exponentialfunktionen
5. Derivata av en logaritmisk funktion med en godtycklig positiv bas a
6. Derivata av en komplex logaritmisk funktion, där uär en differentierbar funktion av argumentet x
7. Sinusderivat
8. Cosinusderivat
9. Tangentderivat
10. Derivat av cotangens
11. Derivat av arcsine
12. Derivat av bågkosinus
13. Derivata av bågtangens
14. Derivata av den inversa tangenten

Om vi ​​följer definitionen så är derivatan av en funktion vid en punkt gränsen för ökningsförhållandet för funktionen Δ y till ökningen av argumentet Δ x:

Allt verkar vara klart. Men försök att beräkna med denna formel, säg derivatan av funktionen f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x synd x. Om du gör allt per definition, kommer du helt enkelt att somna efter ett par sidor av beräkningar. Därför finns det enklare och effektivare sätt.

Till att börja med noterar vi att de så kallade elementära funktionerna kan särskiljas från alla olika funktioner. Detta är relativt enkla uttryck, vars derivator sedan länge har beräknats och lagts in i tabellen. Sådana funktioner är lätta nog att komma ihåg, tillsammans med deras derivator.

Derivater av elementära funktioner

Elementära funktioner är allt som listas nedan. Derivaterna av dessa funktioner måste vara kända utantill. Dessutom är det inte svårt att memorera dem - det är därför de är elementära.

Så, derivatorna av elementära funktioner:

namn	Fungera	Derivat
Konstant	f(x) = C, C ∈ R	0 (ja, ja, noll!)
Examen med rationell exponent	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = synd x	cos x
Cosinus	f(x) = cos x	− synd x(minus sinus)
Tangent	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Cotangens	f(x) = ctg x	− 1/sin2 x
naturlig logaritm	f(x) = log x	1/x
Godtycklig logaritm	f(x) = log a x	1/(x ln a)
Exponentiell funktion	f(x) = e x	e x(Inget förändrat)

Om en elementär funktion multipliceras med en godtycklig konstant, beräknas också derivatan av den nya funktionen enkelt:

(C · f)’ = C · f ’.

I allmänhet kan konstanter tas ur derivatans tecken. Till exempel:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Uppenbarligen kan elementära funktioner läggas till varandra, multipliceras, delas och mycket mer. Så kommer nya funktioner att dyka upp, inte längre särskilt elementära, men också differentierbara enligt vissa regler. Dessa regler diskuteras nedan.

Derivat av summa och skillnad

Låt funktionerna f(x) och g(x), vars derivat är kända för oss. Du kan till exempel ta de elementära funktionerna som diskuterats ovan. Sedan kan du hitta derivatan av summan och skillnaden av dessa funktioner:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Så derivatan av summan (skillnaden) av två funktioner är lika med summan (skillnaden) av derivatorna. Det kan finnas fler termer. Till exempel, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Strängt taget finns det inget begrepp om "subtraktion" i algebra. Det finns ett koncept av "negativt element". Därför skillnaden f − g kan skrivas om som en summa f+ (−1) g, och då återstår bara en formel - derivatan av summan.

f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Fungera f(x) är summan av två elementära funktioner, så:

f ’(x) = (x 2+ synd x)’ = (x 2)' + (synd x)’ = 2x+ cosx;

Vi argumenterar på liknande sätt för funktionen g(x). Bara det finns redan tre termer (ur algebras synvinkel):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Svar:
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Derivat av en produkt

Matematik är en logisk vetenskap, så många tror att om derivatan av summan är lika med summan av derivatorna, så är derivatan av produkten strejk"\u003e lika med produkten av derivat. Men fikon till dig! Derivaten av produkten beräknas med en helt annan formel. Nämligen:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formeln är enkel, men glöms ofta bort. Och inte bara skolbarn, utan också studenter. Resultatet är felaktigt lösta problem.

En uppgift. Hitta derivator av funktioner: f(x) = x 3 cosx; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Fungera f(x) är en produkt av två elementära funktioner, så allt är enkelt:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (−sin x) = x 2 (3cos x − x synd x)

Fungera g(x) den första multiplikatorn är lite mer komplicerad, men det allmänna schemat ändras inte från detta. Uppenbarligen den första multiplikatorn av funktionen g(x) är ett polynom, och dess derivata är derivatan av summan. Vi har:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Svar:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x synd x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Observera att i det sista steget faktoriseras derivatan. Formellt är detta inte nödvändigt, men de flesta derivator beräknas inte på egen hand, utan för att utforska funktionen. Detta innebär att ytterligare kommer derivatan att likställas med noll, dess tecken kommer att upptäckas, och så vidare. För ett sådant fall är det bättre att ha ett uttryck uppdelat i faktorer.

Om det finns två funktioner f(x) och g(x), och g(x) ≠ 0 på uppsättningen av intresse för oss, vi kan definiera en ny funktion h(x) = f(x)/g(x). För en sådan funktion kan du också hitta derivatan:

Inte svag, eller hur? Var kom minuset ifrån? Varför g 2? Men så här! Detta är en av de mest komplexa formlerna - du kan inte räkna ut det utan en flaska. Därför är det bättre att studera det med specifika exempel.

En uppgift. Hitta derivator av funktioner:

Det finns elementära funktioner i täljaren och nämnaren för varje bråk, så allt vi behöver är formeln för derivatan av kvoten:

Av tradition räknar vi in ​​täljaren i faktorer - detta kommer att förenkla svaret avsevärt:

En komplex funktion är inte nödvändigtvis en formel som är en halv kilometer lång. Det räcker till exempel att ta funktionen f(x) = synd x och byt ut variabeln x säg på x 2+ln x. Det visar sig f(x) = synd ( x 2+ln x) är en komplex funktion. Hon har också ett derivat, men det fungerar inte att hitta det enligt reglerna som diskuterats ovan.

Hur man är? I sådana fall hjälper ersättningen av en variabel och formeln för derivatan av en komplex funktion:

f ’(x) = f ’(t) · t', om x ersätts av t(x).

Som regel är situationen med förståelsen av denna formel ännu mer sorglig än med derivatan av kvoten. Därför är det också bättre att förklara det med specifika exempel, med en detaljerad beskrivning av varje steg.

En uppgift. Hitta derivator av funktioner: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = synd ( x 2+ln x)

Observera att om i funktionen f(x) istället för uttryck 2 x+ 3 blir lätt x, då får vi en elementär funktion f(x) = e x. Därför gör vi ett byte: låt 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Vi letar efter derivatan av en komplex funktion med formeln:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Och nu - uppmärksamhet! Utföra en omvänd substitution: t = 2x+ 3. Vi får:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Låt oss nu titta på funktionen g(x). Behöver så klart bytas ut. x 2+ln x = t. Vi har:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (synd t)’ · t' = cos t · t ’

Omvänd ersättning: t = x 2+ln x. Sedan:

g ’(x) = cos ( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

Det är allt! Som framgår av det sista uttrycket har hela problemet reducerats till att beräkna summans derivata.

Svar:
f ’(x) = 2 e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) för ( x 2+ln x).

Mycket ofta i mina lektioner, istället för termen "derivat", använder jag ordet "stroke". Till exempel är summans streck lika med summan av strecken. Är det tydligare? Ja det är bra.

Således kommer beräkningen av derivatan till att bli av med just dessa slag enligt reglerna som diskuterats ovan. Som ett sista exempel, låt oss återgå till derivatan med en rationell exponent:

(x n)’ = n · x n − 1

Få vet det i rollen n kan mycket väl vara ett bråktal. Till exempel är roten x 0,5 . Men vad händer om det finns något knepigt under roten? Återigen kommer en komplex funktion att visa sig - de gillar att ge sådana konstruktioner i prov och tentor.

En uppgift. Hitta derivatan av en funktion:

Låt oss först skriva om roten som en potens med en rationell exponent:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Nu gör vi ett byte: låt x 2 + 8x − 7 = t. Vi hittar derivatan genom formeln:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' t' = 0,5 t−0,5 t ’.

Vi gör en omvänd substitution: t = x 2 + 8x− 7. Vi har:

f ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x− 7) −0,5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Till sist, tillbaka till rötterna: