Rationaliseringsmetoden låter dig gå från en ojämlikhet som innehåller komplex exponentiell, logaritmisk, etc. uttryck, till en motsvarande enklare rationell ojämlikhet.

Därför, innan vi börjar prata om rationalisering i ojämlikheter, låt oss tala om likvärdighet.

likvärdighet

Motsvarande eller motsvarande kallade ekvationer (ojämlikheter) vars uppsättningar av rötter sammanfaller. Ekvationer (olikheter) som inte har rötter anses också vara likvärdiga.

Exempel 1 Ekvationerna och är ekvivalenta, eftersom de har samma rötter.

Exempel 2 Ekvationerna och är också ekvivalenta, eftersom lösningen till var och en av dem är den tomma mängden.

Exempel 3 Ojämlikheterna och är likvärdiga, eftersom lösningen på båda är mängden .

Exempel 4 och är ojämlika. Lösningen till den andra ekvationen är bara 4, och lösningen till den första ekvationen är både 4 och 2.

Exempel 5 Ojämlikheten är likvärdig med ojämlikheten, eftersom lösningen i båda ojämlikheterna är 6.

Det vill säga till utseendet kan ekvivalenta ojämlikheter (ekvationer) vara mycket långt ifrån likhet.

Faktum är att när vi löser komplexa, långa ekvationer (ojämlikheter), så här, och får svaret, har vi trots allt inget annat i händerna än en ekvation (olikhet) som motsvarar den ursprungliga. Utseendet är annorlunda, men essensen är densamma!

Exempel 6 Låt oss komma ihåg hur vi löste ojämlikheten innan du bekantar dig med intervallmetoden. Vi har ersatt den ursprungliga ojämlikheten med en uppsättning av två system:

Det vill säga, ojämlikhet och den sista mängden är likvärdiga med varandra.

Vi kunde också ha samlingen i handen

ersätt den med olikheten , som kan lösas i ett nafs med intervallmetoden.

Vi har kommit nära metoden för rationalisering i logaritmiska ojämlikheter.

Rationaliseringsmetod vid logaritmiska ojämlikheter

Låt oss överväga ojämlikheten.

Vi representerar 4 som en logaritm:

Vi har att göra med en variabel bas av logaritmen, därför, beroende på om basen för logaritmen är större än 1 eller mindre än 1 (det vill säga vi har att göra med en ökande eller minskande funktion), kommer olikhetstecknet att kvarstå eller ändra till "". Därför finns det en kombination (kombination) av två system:

Men OBSERVERA, detta system bör lösas med hänsyn till ODZ! Jag laddade inte medvetet ODZ-systemet så att huvudidén inte skulle gå förlorad.

Titta, nu kommer vi att skriva om vårt system så här (vi kommer att flytta allt i varje rad av ojämlikhet till vänster sida):

Påminner det dig inte om något? I analogi med exempel 6 vi kommer att ersätta denna uppsättning system med ojämlikheten:

Efter att ha löst denna ojämlikhet på ODZ kommer vi att få lösningen på ojämlikheten.

Låt oss först hitta ODZ för den ursprungliga ojämlikheten:

Låt oss nu bestämma oss

Lösningen av den sista ojämlikheten, med hänsyn till ODZ:

Så här är den, denna "magiska" tabell:

Observera att bordet fungerar under villkoret

var finns funktioner av,

- funktion eller nummer,

- en av karaktärerna

Observera också att den andra och tredje raden i tabellen är konsekvenser av den första. På den andra raden representeras 1 före som , och på den tredje raden representeras 0 som .

Och ett par mer användbara konsekvenser (jag hoppas att du lätt kan förstå var de kommer ifrån):

var finns funktioner av,

- funktion eller nummer,

- en av karaktärerna

Rationaliseringsmetod vid exponentiella ojämlikheter

Låt oss lösa ojämlikheten.

Att lösa den ursprungliga ojämlikheten är likvärdigt med att lösa ojämlikheten

Svar: .

Tabell för rationalisering i exponentiella ojämlikheter:

– funktioner av , – funktion eller tal, – ett av tecknen Tabellen fungerar under villkoret . Också i tredje, fjärde raden - dessutom -

Återigen måste du faktiskt komma ihåg den första och tredje raden i tabellen. Den andra raden är ett specialfall av den första, och den fjärde raden är ett specialfall av den tredje.

Rationaliseringsmetod i ojämlikheter som innehåller modul

När vi arbetar med olikheter av typen , där är funktioner av någon variabel, kan vi vägledas av följande ekvivalenta övergångar:

Låt oss lösa ojämlikheten ” .

A Här erbjuda mer överväg några exempel på ämnet "Rationalisering av ojämlikheter".

Avsnitt: Matematik

Ofta, när man löser logaritmiska olikheter, finns det problem med en variabel bas av logaritmen. Alltså en ojämlikhet i formen

är en vanlig skolojämlikhet. Som regel, för att lösa det, används en övergång till en likvärdig uppsättning system:

Nackdelen med denna metod är behovet av att lösa sju ojämlikheter, utan att räkna två system och en uppsättning. Även med givna kvadratiska funktioner kan populationslösningen kräva mycket tid.

Ett alternativt, mindre tidskrävande sätt att lösa denna standardojämlikhet kan föreslås. För att göra detta tar vi hänsyn till följande teorem.

Sats 1. Låt en kontinuerligt ökande funktion på en mängd X. Då kommer på denna mängd tecknet för funktionens inkrement att sammanfalla med tecknet för argumentets ökning, d.v.s. , Var .

Obs: om en kontinuerlig minskande funktion på set X, då .

Låt oss gå tillbaka till ojämlikheten. Låt oss gå vidare till decimallogaritmen (du kan gå till vilken som helst med en konstant bas större än en).

Nu kan vi använda satsen och lägga märke till ökningen av funktioner i täljaren och i nämnaren. Så det är sant

Som ett resultat minskar antalet beräkningar som leder till svaret med ungefär hälften, vilket inte bara sparar tid, utan också gör att du potentiellt kan göra färre aritmetiska och slarviga fel.

Exempel 1

Jämför vi med (1) finner vi , , .

Övergår vi till (2) kommer vi att ha:

Exempel 2

Jämför vi med (1) finner vi , , .

Övergår vi till (2) kommer vi att ha:

Exempel 3

Eftersom den vänstra sidan av ojämlikheten är en ökande funktion för och , då är svaret satt.

Uppsättningen av exempel där Terme 1 kan tillämpas kan enkelt utökas om Terme 2 beaktas.

Släpp på uppsättningen X funktionerna , , , definieras, och på denna uppsättning sammanfaller tecknen, dvs. då blir det rättvist.

Exempel 4

Exempel 5

Med standardmetoden löses exemplet enligt schemat: produkten är mindre än noll när faktorerna har olika tecken. De där. vi betraktar en uppsättning av två system av ojämlikheter där, som indikerades i början, varje ojämlikhet delas upp i ytterligare sju.

Om vi ​​tar hänsyn till sats 2, kan var och en av faktorerna, med hänsyn till (2), ersättas av en annan funktion som har samma tecken i detta exempel på O.D.Z.

Metoden att ersätta ökningen av en funktion med en ökning av argumentet, med hänsyn till sats 2, visar sig vara mycket bekväm när man löser typiska C3 USE-problem.

Exempel 6

Exempel 7

. Låt oss beteckna . Skaffa sig

. Observera att ersättningen innebär: . Återgå till ekvationen, vi får .

Exempel 8

I de satser vi använder finns det inga begränsningar för klasserna av funktioner. I denna artikel, som ett exempel, tillämpades satserna på lösningen av logaritmiska ojämlikheter. De följande exemplen kommer att visa löftet om metoden för att lösa andra typer av ojämlikheter.

Kommunal autonom utbildningsinstitution "Yarkovskaya Secondary School"

Utbildningsprojekt

Lösning av logaritmiska ojämlikheter genom rationaliseringsmetoden

MAOU "Yarkovskaya gymnasieskola"

Shanskikh Daria

Ledare: mattelärare

MAOU "Yarkovskaya gymnasieskola"

Yarkovo 2013

1) Inledning………………………………………………………………….2

2) Huvuddel………………………………………………………..3

3) Slutsats………………………………………………………………..9

4) Lista över begagnad litteratur…………….10

5) Ansökningar…………………………………………………………………………11-12

1. Introduktion

Ofta, när man löser USE-uppgifter från del "C", och särskilt i uppgifter C3, finns det olikheter som innehåller logaritmiska uttryck med en okänd i basen av logaritmen. Här är ett exempel på standardojämlikhet:

Som regel, för att lösa sådana uppgifter, används den klassiska metoden, det vill säga övergången till en likvärdig uppsättning system tillämpas.

Med standardmetoden löses exemplet enligt schemat: produkten är mindre än noll när faktorerna har olika tecken. Det vill säga en uppsättning av två system av ojämlikheter betraktas, där varje ojämlikhet bryts ner i ytterligare sju. Därför kan en mindre tidskrävande metod för att lösa denna standardojämlikhet föreslås. Detta är en rationaliseringsmetod som i den matematiska litteraturen kallas nedbrytning.

Under genomförandet av projektet satte jag upp följande mål: :

1) Bemästra denna beslutsteknik

2) Öva på att lösa färdigheter på uppgifter C3 från utbildning och diagnostikarbete 2013.

Projektmålär studiet av den teoretiska motiveringen av rationaliseringsmetoden.

RelevansArbetet ligger i det faktum att den här metoden låter dig lösa de logaritmiska ojämlikheterna i del C3 av Unified State Examination i matematik.

2. Huvudsak

Betrakta en logaritmisk olikhet i formen

font-size:14.0pt; line-height:150%">, (1)

där font-size:14.0pt;line-height:150%"> Standardmetoden för att lösa en sådan ojämlikhet innebär att de två fallen analyseras i områden med acceptabla ojämlikhetsvärden.

I det första fallet när logaritmernas baser uppfyller villkoret

font-size:14.0pt; line-height:150%">, är olikhetstecknet omvänt: font-size:14.0pt;line-height:150%"> I det andra fallet när basen uppfyller villkoret, olikhetstecknet bevaras: .

Vid första anblicken är allt logiskt, låt oss överväga två fall och sedan kombinera svaren. Det är sant att när man överväger det andra fallet uppstår ett visst obehag - du måste upprepa beräkningarna från det första fallet med 90 procent (omvandla, hitta rötterna till hjälpekvationer, bestäm intervallen för tecknets monotonitet). En naturlig fråga uppstår - är det möjligt att kombinera allt detta på något sätt?

Svaret på denna fråga finns i följande sats.

Sats 1. logaritmisk ojämlikhet

font-size:14.0pt;line-height:150%">motsvarar följande system av ojämlikheter :

font-size:14.0pt; line-height:150%"> (2)

Bevis.

1. Låt oss börja med det faktum att de första fyra olikheterna i systemet (2) definierar uppsättningen av tillåtna värden för den ursprungliga logaritmiska olikheten. Låt oss nu rikta vår uppmärksamhet mot den femte ojämlikheten. Om font-size:14.0pt; line-height:150%"> kommer den första faktorn för denna ojämlikhet att vara negativ. När du minskar med det måste du ändra ojämlikhetstecknet till det motsatta, då får du ojämlikheten .

Om , Den där den första faktorn för den femte ojämlikheten är positiv, vi minskar den utan att ändra ojämlikhetstecknet, vi får ojämlikheten font-size:14.0pt;line-height: 150%">. Således inkluderar den femte olikheten i systemet båda fallen av den tidigare metoden.

Termen har bevisats.

De viktigaste bestämmelserna i teorin om rationaliseringsmetoden.

Rationaliseringsmetoden består i att ersätta det komplexa uttrycket F(x ) till ett enklare uttryck G(x ) under vilken ojämlikheten G(x )EN-US" style="font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:Calibri">F(x )0 i uttrycksdomänen F(x).

Låt oss peka ut några uttryck F och deras motsvarande rationaliserande uttryck G , där u , v , , p , q - uttryck med två variabler ( u > 0; u ≠ 1; v > 0, > 0), a - fast nummer (a > 0, a ≠ 1).

Bevis

1. Låt logav - logaφ > 0, det är logav > logaφ, och a > 0, a ≠ 1, v > 0,

φ > 0.

Om 0< a < 1, то по свойству убывающей логарифмической функции имеем v < φ . Därför håller systemet med ojämlikheter

a -1<0

v – φ < 0

Varifrån följer ojämlikheten (a – 1)( v – φ ) > 0 sant på uttryckets domänF = logav - logaφ.

Om a > 1, Den där v > φ . Därför har vi ojämlikheten ( a – 1)( v – φ )> 0. Omvänt, om ojämlikheten ( a – 1)( v – φ )> 0 på intervallet för acceptabla värden ( a > 0, a ≠ 1, v> 0, φ > 0),då på denna domän är det likvärdigt med kombinationen av två system.

a – 1<0 a – 1 > 0

v – φ < 0 v – φ > 0

Varje system innebär ojämlikhetlogav > logaφ, det är logav - logaφ > 0.

På samma sätt tar vi hänsyn till ojämlikheterna F< 0, F ≤ 0, F ≥ 0.

2. Låt något nummer A> 0 och A≠ 1, då har vi

logotyp v- loguφ = EN-US" style="font-size:14.0pt;line-height:150%">v - 1)( u- 1)(φ -u).

4. Från ojämlikhet UV- uφ > 0 skall UV > uφ. Låt siffran vara > 1, dåloga UV > logauφ eller

( u – φ) loga u > 0.

Därför, med hänsyn till ändring 1b och villkoreta > 1 vi får

( v – φ)( a – 1)( u – 1) > 0, ( v – φ)( u – 1) > 0. På samma sätt bevisar vi ojämlikheterna F< 0,

F ≤ 0, F ≥ 0.

5. Beviset liknar Proof 4.

6. Beviset för substitution 6 följer av likvärdigheten mellan ojämlikheterna | p | > | q | och p 2 > q 2

(|p|< | q | и p 2 < q 2 ).

Låt oss jämföra volymen för att lösa ojämlikheter som innehåller en variabel vid basen av logaritmen med den klassiska metoden och rationaliseringsmetoden

3. Slutsats

Jag tror att de uppgifter som jag ställt på mig i utförandet av arbetet har uppnåtts. Projektet är av praktisk betydelse, eftersom den metod som föreslås i arbetet gör det möjligt att avsevärt förenkla lösningen av logaritmiska ojämlikheter. Som ett resultat minskar antalet beräkningar som leder till svaret med ungefär hälften, vilket inte bara sparar tid, utan också gör att du potentiellt kan göra färre aritmetiska och slarviga fel. Nu, när jag löser C3-problem, använder jag den här metoden.

4. Lista över begagnad litteratur

1. , – Metoder för att lösa ojämlikheter med en variabel. – 2011.

2. - Matematikguide. - 1972.

3. - Matematik för den sökande. Moskva: MTSNMO, 2008.

Ezhova Elena Sergeevna
Jobbtitel: matematiklärare
Läroanstalt: MOU "Skola №77"
Lokalitet: Saratov
Material namn: metodisk utveckling
Ämne: Rationaliseringsmetod för att lösa ojämlikheter inför provet "
Publiceringsdatum: 16.05.2018
Kapitel: fullständig utbildning

Uppenbarligen kan samma ojämlikhet lösas på flera sätt. Lyckligtvis

på ett valt sätt eller, som vi brukade säga, på ett rationellt sätt, vilket som helst

ojämlikhet kommer att lösas snabbt och enkelt, dess lösning kommer att vara vacker och intressant.

Jag vill närmare överväga den så kallade rationaliseringsmetoden när

lösa logaritmiska och exponentiella olikheter, samt ojämlikheter innehållande

variabel under modultecknet.

Huvudtanken med metoden.

Metoden att förändra faktorer används för att lösa ojämlikheter reducerade till formen

Var är symbolen

» betecknar ett av fyra möjliga ojämlikhetstecken:

När vi löser ojämlikhet (1) är vi bara intresserade av tecknet på någon faktor i täljaren

eller nämnare, och inte dess absoluta värde. Därför, om vi av någon anledning

det är obekvämt att arbeta med denna multiplikator, vi kan ersätta den med en annan

sammanfaller med det i regionen för definition av ojämlikhet och har i denna region

samma rötter.

Detta bestämmer huvudidén med multiplikatorersättningsmetoden. Det är viktigt att fixa det

det faktum att ersättning av faktorer endast sker under förutsättning att ojämlikheten minskar

till formen (1), det vill säga när det krävs att jämföra produkten med noll.

Huvuddelen av ersättningen beror på följande två likvärdiga uttalanden.

Påstående 1. Funktionen f(x) ökar strikt om och endast om för

alla värden på t

) sammanfaller med

tecken med skillnaden (f(t

)), det vill säga f<=>(t

(↔ betyder teckenmatchning)

Påstående 2. Funktionen f(x) är strikt avtagande om och endast om för

alla värden på t

från domänen för funktionsskillnaden (t

) sammanfaller med

tecken med skillnaden (f(t

)), det vill säga f ↓<=>(t

Berättigandet av dessa påståenden följer direkt av definitionen av strikt

monoton funktion. Enligt dessa uttalanden kan det konstateras att

Gradskillnaden i samma bas sammanfaller alltid i tecken med

produkten av skillnaden mellan indikatorerna för dessa grader och basens avvikelse från enhet,

Skillnaden mellan logaritmer i samma bas sammanfaller alltid i tecken med

produkten av skillnaden mellan talen för dessa logaritmer och basens avvikelse från enhet, då

Det faktum att skillnaden mellan icke-negativa kvantiteter har samma tecken som skillnaden

kvadrater av dessa värden, tillåter följande ersättningar:

Lös ojämlikheten

Lösning.

Låt oss gå vidare till ett likvärdigt system:

Från den första ojämlikheten vi får

Den andra ojämlikheten gäller för alla

Från den tredje ojämlikheten får vi

Således, uppsättningen av lösningar på den ursprungliga ojämlikheten:

Lös ojämlikheten

Lösning.

Låt oss lösa ojämlikheten:

Svar: (−4; −3)

Lös ojämlikheten

Låt oss föra ojämlikheten till en form där skillnaden mellan logaritmernas värden

Låt oss ersätta skillnaden i värdena för den logaritmiska funktionen med skillnaden i värdena för argumentet. I

täljaren är en ökande funktion, och nämnaren minskar, så olikhetstecknet

kommer att ändras till det motsatta. Det är viktigt att inte glömma att ta hänsyn till omfattningen

logaritmisk funktion, så denna ojämlikhet är ekvivalent med ett system av ojämlikheter.

Täljarrötter: 8; 8;

Nämnarrot: 1

Lös ojämlikheten

Låt oss i täljaren ersätta skillnaden mellan modulerna för två funktioner med skillnaden mellan deras kvadrater och i

nämnaren är skillnaden mellan värdena för den logaritmiska funktionen och skillnaden mellan argumenten.

I nämnaren är funktionen minskande, vilket innebär att olikhetstecknet kommer att ändras till

motsatt.

I det här fallet är det nödvändigt att ta hänsyn till definitionsdomänen för logaritmiken

Vi löser den första ojämlikheten med intervallmetoden.

Täljarrötter:

Nämnarens rötter:

Lös ojämlikheten

Låt oss i täljaren och nämnaren ersätta skillnaden mellan värdena för monotona funktioner med skillnaden

värden av argument, med hänsyn till domänen för definition av funktioner och arten av monotoni.

Täljarrötter:

Nämnarens rötter:

De vanligaste substitutionerna (exklusive O D 3).

a) Ändring av teckenkonstanta multiplikatorer.

b) Ersätter icke-konstanta faktorer med modulen.

c) Ersätta icke-konstanta faktorer med exponentiell och logaritmisk

uttryck.

Lösning. ODZ:

Ersätt multiplikatorer:

Vi har ett system:

I denna ojämlikhet, faktorerna

betraktas som skillnader mellan icke-negativa värden, eftersom uttrycken 1

ODZ kan ta både positiva och negativa värden.

Vi har ett system:

Ersätt multiplikatorer:

Vi har ett system:

Ersätt multiplikatorer:

Vi har ett system:

Ersätt multiplikatorer:

Vi har ett system:

Som ett resultat har vi: x

rationaliseringsmetod(nedbrytningsmetod, multiplikatorersättningsmetod, ersättningsmetod

funktioner, teckenregel) består i att ersätta det komplexa uttrycket F(x) med ett mer

ett enkelt uttryck G(x) för vilket olikheten G(x)

0 är ekvivalent med olikheten F (x

0 i domänen för uttrycket F(x).

Avsnitt: Matematik

Praxis med att kontrollera tentamenshandlingar visar att den största svårigheten för skolbarn är lösningen av transcendentala ojämlikheter, särskilt logaritmiska ojämlikheter med en variabel bas. Därför är lektionssammanfattningen som presenteras för din uppmärksamhet en presentation av rationaliseringsmetoden (andra namn är nedbrytningsmetoden (Modenov V.P.), metoden för att ersätta faktorer (Golubev V.I.)), som låter dig reducera komplex logaritmisk, exponentiell, kombinerad ojämlikheter till ett system av enklare rationella ojämlikheter. Som regel var metoden för intervaller som tillämpades på rationella ojämlikheter när ämnet "Lösning av logaritmiska ojämlikheter" studerades väl bemästrad och utarbetad. Därför uppfattar studenter med stort intresse och entusiasm de metoder som gör att de kan förenkla lösningen, göra den kortare och i slutändan spara tid på provet för att lösa andra uppgifter.

Lektionens mål:

• pedagogisk: aktualisering av grundläggande kunskaper vid lösning av logaritmiska ojämlikheter; införande av ett nytt sätt att lösa ojämlikheter; förbättring av beslutsförmåga
• Pedagogisk: utveckling av matematiska horisonter, matematiskt tal, analytiskt tänkande
• Pedagogisk: utbildning av noggrannhet och självkontroll.

UNDER KLASSERNA

1. Organisatoriskt ögonblick. Hälsningar. Att sätta lektionsmål.

2. Förberedande skede:

Lös ojämlikheter:

3. Kontrollera läxor(nr 11.81*a)

När man löser ojämlikheten

Du var tvungen att använda följande schema för att lösa logaritmiska olikheter med en variabel bas:

De där. Det finns två fall att överväga: basen är större än 1 eller basen är mindre än 1.

4. Förklaring av nytt material

Om du tittar på dessa formler noggrant, kommer du att märka att tecknet på skillnaden g(x) – h(x) sammanfaller med tecknet för skillnadsloggen f(x) g(x) - logga f(x) h(x) vid en ökande funktion ( f(x) > 1, dvs. f(x) – 1 > 0) och är motsatt tecknet för skillnadsloggen f(x) g(x) - logga f(x) h(x) i fallet med en minskande funktion (0< f(x) < 1, т.е. f(x) – 1 < 0)

Därför kan denna uppsättning reduceras till ett system av rationella ojämlikheter:

Detta är kärnan i rationaliseringsmetoden - att ersätta det mer komplexa uttrycket A med ett enklare uttryck B, som är rationellt. I detta fall kommer olikheten В V 0 att vara ekvivalent med olikheten А V 0 på domänen för uttrycket А.

Exempel 1 Låt oss skriva om ojämlikheten som ett likvärdigt system av rationella ojämlikheter.

Jag noterar att villkoren (1)–(4) är villkoren för definitionsdomänen för ojämlikheten, som jag rekommenderar att hitta i början av lösningen.

Exempel 2 Lös ojämlikheten genom rationaliseringsmetod:

Definitionsdomänen för ojämlikheten ges av villkoren:

Vi får:

Det återstår att skriva ojämlikheten (5)

Med förbehåll för domän

Svar: (3; 5)

5. Konsolidering av det studerade materialet

I. Skriv ner ojämlikheten som ett system av rationella ojämlikheter:

II. Uttryck den högra sidan av olikheten i form av en logaritm i den önskade basen och gå till motsvarande system:

Läraren kallar till styrelsen de elever som skrivit ner systemen från grupp I och II, och uppmanar en av de starkaste eleverna att lösa hemojämlikheten (nr 11.81 * a) med hjälp av rationaliseringsmetoden.

6. Verifieringsarbete

Alternativ 1

Alternativ 2

1. Skriv ner ett system av rationella ojämlikheter för att lösa ojämlikheter:

2. Lös ojämlikheten med rationaliseringsmetoden

Betygskriterier:

3-4 poäng - "tillfredsställande";
5-6 poäng - "bra";
7 poäng - "utmärkt".

7. Reflektion

Svara på frågan: vilken av de kända metoderna för att lösa logaritmiska ojämlikheter med en variabel bas kommer att tillåta dig att bättre utnyttja tiden på provet?

8. Läxor: nr 11,80 * (a, b), 11,81 * (a, b), 11,84 * (a, b) lösa genom rationaliseringsmetoden.

Bibliografi:

1. Algebra och början av analys: Proc. För 11 celler. Allmän utbildning Institutioner /[S.M. Nikolsky, M.K. Potapov, N.N. Reshetnikov, A.V. Shevkin] - 5:e uppl. - M .: Utbildning, JSC "Moskva läroböcker", 2006.
2. A.G. Koryanov, A.A. Prokofiev. Material för kursen "Förbereda bra studenter och utmärkta studenter för tentamen": föreläsningar 1-4. - M .: Pedagogiska universitetet "Första september", 2012.