Hjälp på Tele2, taxor, frågor

För många år sedan fick jag ett brev från Tasjkent från Valery Muratov, att döma av handstilen, en man i tonåren, som då bodde på Kommunisticheskaya Street på nummer 31. Killen var bestämd: "Kom direkt till saken. Hur mycket kommer du att betala mig för att ha bevisat Fermats teorem? "Jag är nöjd med minst 500 rubel. Vid ett annat tillfälle skulle jag ha bevisat det för dig gratis, men nu behöver jag pengar..."

En fantastisk paradox: få människor vet vem Fermat är, när han levde och vad han gjorde. Ännu färre människor kan beskriva hans stora teorem även i de mest allmänna termer. Men alla vet att det finns någon form av Fermats teorem, beviset för vilket matematiker runt om i världen har kämpat i mer än 300 år, men inte kan bevisa!

Det finns många ambitiösa människor, och själva medvetenheten om att det finns något som andra inte kan göra sporrar deras ambitioner ännu mer. Därför har tusentals (!) bevis på den stora satsen kommit och kommer till akademier, vetenskapliga institut och till och med tidningsredaktioner runt om i världen - ett aldrig tidigare skådat och aldrig brutet rekord av pseudovetenskaplig amatöraktivitet. Det finns till och med en term: "Fermatister", det vill säga människor som är besatta av att bevisa den stora satsen, som fullständigt plågade professionella matematiker med krav på att utvärdera deras arbete. Den berömda tyske matematikern Edmund Landau förberedde till och med en standard enligt vilken han svarade: "Det finns ett fel på sidan i ditt bevis på Fermats teorem ...", och hans doktorander skrev ner sidnumret. Och så sommaren 1994 rapporterade tidningar runt om i världen något helt sensationellt: den stora satsen hade bevisats!

Så vem är Fermat, vad är problemet och är det verkligen löst? Pierre Fermat föddes 1601 i familjen till en garvare, en rik och respekterad man - han tjänstgjorde som andre konsul i sin hemstad Beaumont - ungefär som en assistent till borgmästaren. Pierre studerade först med franciskanermunkarna, sedan vid juridiska fakulteten i Toulouse, där han sedan praktiserade juridik. Fermats intresseområde gick dock långt utöver juridik. Han var särskilt intresserad av klassisk filologi, och hans kommentarer till antika författares texter är kända. Och min andra passion är matematik.

På 1600-talet, liksom många år senare, fanns det inget sådant yrke: matematiker. Därför var alla de stora matematikerna på den tiden matematiker "deltid": Rene Descartes tjänstgjorde i armén, François Viète var advokat, Francesco Cavalieri var munk. Det fanns inga vetenskapliga tidskrifter då, och den klassiske vetenskapsmannen Pierre Fermat publicerade inte ett enda vetenskapligt arbete under sin livstid. Det fanns en ganska snäv krets av "amatörer" som löste olika problem som var intressanta för dem och skrev brev till varandra om detta, ibland argumenterade (som Fermat och Descartes), men förblev mest likasinnade. De blev grundarna av ny matematik, sårar av lysande frön, från vilka det mäktiga trädet av modern matematisk kunskap började växa, få styrka och förgrening.

Så Fermat var samma "amatör". I Toulouse, där han bodde i 34 år, kände alla honom, först och främst som rådgivare till utredningskammaren och en erfaren advokat. Vid 30 års ålder gifte han sig, fick tre söner och två döttrar, åkte ibland på tjänsteresor och under en av dem dog han plötsligt vid 63 års ålder. Allt! Livet för denna man, en samtida med De tre musketörerna, är förvånansvärt händelselöst och utan äventyr. Äventyren kom med hans stora sats. Låt oss inte prata om Fermats hela matematiska arv, och det är svårt att prata om det populärt. Ta mitt ord för det: detta arv är stort och varierat. Påståendet att den stora satsen är höjdpunkten i hans verk är mycket kontroversiellt. Det är bara det att ödet för den stora satsen är förvånansvärt intressant, och den stora världen av människor som inte är invigda i matematikens mysterier har alltid varit intresserade inte av själva satsen, utan av allt runtomkring den...

Rötterna till hela denna historia måste sökas i antiken, så älskad av Fermat. Runt 300-talet bodde den grekiske matematikern Diophantus i Alexandria, en ursprunglig vetenskapsman som tänkte utanför ramarna och uttryckte sina tankar utanför ramarna. Av de 13 volymerna av hans Aritmetik har bara 6 nått oss. Precis när Fermat fyllde 20 år publicerades en ny översättning av hans verk. Fermat var mycket intresserad av Diophantus, och dessa verk var hans uppslagsbok. I dess marginaler skrev Fermat ner sin stora sats, som i sin enklaste moderna form ser ut så här: ekvationen Xn + Yn = Zn har ingen lösning i heltal för n - större än 2. (För n = 2 är lösningen uppenbar : 32 + 42 = 52). Där, i marginalen till Diophantine volymen, tillägger Fermat: "Jag har upptäckt detta verkligt underbara bevis, men dessa marginaler är för smala för det."

Vid första anblicken är detta en enkel sak, men när andra matematiker började bevisa detta "enkla" teorem, lyckades ingen på hundra år. Slutligen bevisade den store Leonhard Euler det för n = 4, sedan 20 (!) år senare - för n = 3. Och återigen stannade arbetet av i många år. Nästa seger tillhörde tysken Peter Dirichlet (1805-1859) och fransmannen Andrien Legendre (1752-1833) - de erkände att Fermat hade rätt för n = 5. Sedan gjorde fransmannen Gabriel Lamé (1795-1870) detsamma för n = 7. Slutligen, i mitten av förra seklet, bevisade tysken Ernst Kummer (1810-1893) den stora satsen för alla värden på n mindre än eller lika med 100. Dessutom bevisade han det med metoder som Fermat kunde inte ha vetat, vilket ytterligare ökade känslan av mystik kring den stora satsen.

Således visade det sig att de bevisade Fermats teorem "bit för bit", men ingen lyckades "i sin helhet". Nya försök till bevis ledde bara till en kvantitativ ökning av värdena på n. Alla förstod att det med mycket arbete var möjligt att bevisa den stora satsen för ett godtyckligt stort antal n, men Fermat talade om alla värde större än 2! Det var i denna skillnad mellan "hur mycket du vill" och "vilken som helst" som hela innebörden av problemet koncentrerades.

Det bör dock noteras att försök att bevisa Fermgs teorem inte bara var någon form av matematiskt spel, som löste en komplex rebus. I processen med dessa bevis öppnades nya matematiska horisonter, problem uppstod och löstes, och blev nya grenar av det matematiska trädet. Den store tyske matematikern David Hilbert (1862–1943) citerade den stora satsen som ett exempel på "det stimulerande inflytande som ett speciellt och till synes obetydligt problem kan ha på vetenskapen." Samma Kummer, som arbetade på Fermats sats, bevisade själv satser som låg till grund för talteorin, algebra och funktionsteorin. Så att bevisa den stora satsen är inte en sport, utan en riktig vetenskap.

Tiden gick och elektroniken kom till hjälp för professionella "fsrmatntsts". Elektroniska hjärnor kunde inte komma på nya metoder, men de gjorde det snabbt. Runt början av 80-talet bevisades Fermats teorem med hjälp av en dator för n mindre än eller lika med 5500. Gradvis växte denna siffra till 100 000, men alla förstod att sådan "ackumulering" var en fråga om ren teknik, som inte gav något till sinnet eller hjärtat. De kunde inte ta fästningen av den stora satsen rakt på sak och började leta efter lösningsmanövrar.

I mitten av 80-talet bevisade en ung icke-matematiker G. Filytings den så kallade "Mordell-förmodan", som för övrigt "inte kom i händerna" på någon matematiker på 61 år. Hoppet uppstod att nu, genom att "anfalla från flanken", så att säga, kunde Fermats teorem lösas. Dock hände ingenting då. 1986 föreslog den tyske matematikern Gerhard Frey en ny bevismetod i Essence. Jag åtar mig inte att förklara det strikt, men inte på ett matematiskt, utan på ett universellt mänskligt språk, det låter ungefär så här: om vi är övertygade om att beviset för någon annan sats är ett indirekt, på något sätt transformerat bevis på Fermats sats, därför kommer vi att bevisa den stora satsen. Ett år senare visade amerikanen Kenneth Ribet från Berkeley att Frey hade rätt och faktiskt kan ett bevis reduceras till ett annat. Många matematiker i olika länder i världen följde denna väg. Viktor Aleksandrovich Kolyvanov har gjort mycket för att bevisa den stora satsen. Den ointagliga fästningens tre hundra år gamla murar började skaka. Matematiker insåg att det inte skulle stå sig länge.

Sommaren 1993, i det antika Cambridge, vid Isaac Newton Institute of Mathematical Sciences, samlades 75 av världens mest framstående matematiker för att diskutera sina problem. Bland dem fanns den amerikanske professorn Andrew Wiles från Princeton University, en stor specialist på talteori. Alla visste att han hade studerat den stora satsen i många år. Wiles gav tre rapporter och vid den sista - den 23 juni 1993 - i slutet, vände han sig bort från styrelsen, sa han med ett leende:

- Jag kommer väl inte fortsätta...

Först var det dödstysthet, sedan en syndflod av applåder. De som satt i salen var kvalificerade nog att förstå: Fermats sista sats var bevisad! Ingen av de närvarande fann i alla fall några felaktigheter i den framlagda bevisningen. Biträdande direktör för Newton Institute Peter Goddard sa till reportrar:

"De flesta experter trodde inte att de skulle veta svaret förrän i slutet av sina liv." Detta är en av de största framgångarna inom matematiken i vårt århundrade...

Flera månader gick, inga kommentarer eller vederläggningar gjordes. Det är sant att Wiles inte publicerade sitt bevis, utan bara skickade ut så kallade utskrifter av sitt arbete till en mycket snäv krets av sina kollegor, vilket naturligtvis hindrar matematiker från att kommentera denna vetenskapliga sensation, och jag förstår akademikern Ludwig Dmitrievich Faddeev, vem sa:

"Jag kan säga att en sensation har uppstått när jag ser beviset med mina egna ögon."

Faddeev tror att sannolikheten för att Wiles vinner är mycket stor.

"Min far, en välkänd specialist inom talteori, var till exempel övertygad om att satsen skulle bevisas, men inte på grundläggande sätt," tillade han.

Vår andra akademiker, Viktor Pavlovich Maslov, var skeptisk till nyheten och menar att beviset för den stora satsen inte alls är ett pressande matematiskt problem. När det gäller sina vetenskapliga intressen är Maslov, ordföranden för Council on Applied Mathematics, långt ifrån "Fermatisterna", och när han säger att den fullständiga lösningen av den stora satsen bara är av sportintresse kan man förstå honom. Jag vågar dock notera att begreppet relevans i vilken vetenskap som helst är en variabel storhet. För 90 år sedan fick Rutherford förmodligen också höra: "Tja, okej, ja, teorin om radioaktivt sönderfall... Så vad? Vad är det för nytta med det?..."

Arbetet med beviset för den stora satsen har redan gett mycket åt matematiken, och vi får hoppas att det kommer att ge mer.

"Vad Wiles gjorde kommer att utveckla matematiker till andra områden," sa Peter Goddard. — Det stänger snarare inte någon av tankeriktningarna, utan väcker nya frågor som kommer att kräva ett svar...

Professor Mikhail Ilyich Zelikin vid Moskvas statliga universitet förklarade den nuvarande situationen för mig så här:

Ingen ser några misstag i Wiles arbete. Men för att detta arbete ska bli ett vetenskapligt faktum är det nödvändigt för flera välrenommerade matematiker att självständigt upprepa detta bevis och bekräfta dess riktighet. Detta är en oumbärlig förutsättning för att den matematiska allmänheten ska förstå Wiles arbete...

Hur lång tid tar det?

Jag ställde denna fråga till en av våra ledande experter inom talteori, doktor i fysikaliska och matematiska vetenskaper Alexey Nikolaevich Parshin.

— Andrew Wiles har fortfarande mycket tid framför sig...

Faktum är att den 13 september 1907 testamenterade den tyske matematikern P. Wolfskel, som till skillnad från de allra flesta matematiker, var en rik man, 100 tusen mark till den som skulle bevisa den stora satsen under de kommande 100 åren. I början av seklet gick ränta på det testamenterade beloppet till statskassan vid det berömda universitetet i Goethanghent. Med dessa pengar bjöds ledande matematiker in att hålla föredrag och bedriva vetenskapligt arbete. Då var priskommitténs ordförande redan nämnda David Gilbert. Han ville verkligen inte betala bonusen.

"Lyckligtvis," sa den store matematikern, "det verkar som om vi inte har en matematiker, förutom jag, som skulle kunna göra denna uppgift, men jag kommer aldrig att våga döda gåsen som lägger guldägg åt oss."

Det är några år kvar till deadline 2007, utsedd av Wolfskehl, och det tycks mig vara en allvarlig fara över "Hilberts kyckling". Men det handlar egentligen inte om bonusen. Det är en fråga om nyfikenhet i tanke och mänsklig uthållighet. De kämpade i mer än trehundra år, men de bevisade det ändå!

Och vidare. För mig är det mest intressanta i hela den här historien: hur bevisade Fermat själv sin stora sats? Trots allt var alla dagens matematiska knep okända för honom. Och bevisade han det överhuvudtaget? Det finns trots allt en version som han verkade ha bevisat, men han hittade själv ett fel och skickade därför inte beviset till andra matematiker och glömde att stryka över posten i marginalen till Diophantus volym. Därför förefaller det mig som att beviset för den stora satsen uppenbarligen har ägt rum, men hemligheten bakom Fermats sats kvarstår, och det är osannolikt att vi någonsin kommer att avslöja det...

Fermat kan ha tagit fel då, men han misstog sig inte när han skrev: ”Kanske kommer eftervärlden att vara mig tacksam för att ha visat dem att de gamla inte visste allt, och detta kan tränga in i medvetandet hos dem som kommer efter mig för att passera fackla till sina söner..."

Så, Fermats sista sats (ofta kallad Fermats sista sats), formulerad 1637 av den briljante franske matematikern Pierre Fermat, är mycket enkel till sin natur och förståelig för alla med gymnasieutbildning. Det står att formeln a i potensen av n + b till potensen av n = c till potensen av n inte har naturliga (det vill säga inte bråk) lösningar för n > 2. Allt verkar enkelt och tydligt, men bästa matematiker och vanliga amatörer kämpade med att söka efter en lösning i mer än tre och ett halvt århundrade.

En gång, i ett nyårsnyhetsbrev om hur man gör rostat bröd, nämnde jag nonchalant att i slutet av 1900-talet hände en stor händelse som många inte lade märke till - den så kallade Fermats sista sats bevisades äntligen. Angående detta, bland de brev jag fick, hittade jag två svar från tjejer (en av dem, såvitt jag minns, var niondeklassaren Vika från Zelenograd), som blev förvånade över detta faktum.

Och jag blev förvånad över hur mycket flickorna var intresserade av problemen med modern matematik. Därför tror jag att inte bara flickor, utan även pojkar i alla åldrar - från gymnasieelever till pensionärer, också kommer att vara intresserade av att lära sig historien om den stora satsen.

Beviset för Fermats teorem är en stor händelse. Och eftersom Det är inte vanligt att skämta med ordet "bra", men det förefaller mig som att varje talare med självrespekt (och vi är alla talare när vi talar) helt enkelt är skyldiga att känna till satsens historia.

Om det händer att du inte älskar matematik så mycket som jag älskar det, skumma igenom några av detaljerna. Eftersom jag insåg att inte alla läsare av vårt nyhetsbrev är intresserade av att vandra in i den matematiska djungeln, försökte jag att inte ge några formler (förutom ekvationen av Fermats sats och ett par hypoteser) och att förenkla täckningen av vissa specifika frågor så mycket som möjlig.

Hur Fermat gjorde röran

Den franske advokaten och på deltid store matematikern på 1600-talet Pierre Fermat (1601-1665) lade fram ett intressant uttalande från talteorin, som senare blev känt som Fermats stora (eller stora) sats. Detta är en av de mest kända och fenomenala matematiska satserna. Förmodligen skulle spänningen kring den inte ha varit så stark om i boken Diophantus av Alexandria (III århundradet e.Kr.) "Aritmetik", som Fermat ofta studerade och gjorde anteckningar i dess breda marginaler, och som hans son Samuel vänligt bevarade för eftervärlden , ungefär följande rekord av den store matematikern upptäcktes inte:

"Jag har några mycket häpnadsväckande bevis, men det är för stort för att passa in i marginalen."

Det var denna inspelning som var orsaken till det efterföljande kolossala ståhej kring satsen.

Så den berömda vetenskapsmannen förklarade att han hade bevisat sitt teorem. Låt oss fråga oss själva: bevisade han det verkligen eller ljög han helt enkelt? Eller finns det andra versioner som förklarar utseendet på den där anteckningen i marginalen, som inte tillät många matematiker från efterföljande generationer att sova lugnt?

Berättelsen om den stora satsen är lika fascinerande som ett äventyr genom tiden. År 1636 uppgav Fermat att en ekvation av formen xn +yn =zn har inga lösningar i heltal med exponent n>2. Detta är faktiskt Fermats sista sats. I denna till synes enkla matematiska formel döljde universum otrolig komplexitet. Den skotskfödde amerikanske matematikern Eric Temple Bell föreslog till och med i sin bok "The Final Problem" (1961) att mänskligheten kanske kommer att upphöra att existera innan den kan bevisa Fermats sista teorem.

Det är något konstigt att satsen av någon anledning var sen i sitt utseende, eftersom situationen hade varit under lång tid, eftersom dess specialfall med n = 2 - en annan berömd matematisk formel - Pythagoras sats, uppstod under tjugotvå århundraden tidigare. Till skillnad från Fermats sats har Pythagoras sats ett oändligt antal heltalslösningar, till exempel följande pythagoras trianglar: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15) ,17 ) … (27,36,45) … (112,384,400) … (4232, 7935, 8993) …

Great Theorem Syndrome

Vem har inte försökt bevisa Fermats teorem? Varje nybliven student ansåg det som sin plikt att tillämpa den stora satsen, men ingen kunde bevisa det. Till en början fungerade det inte på hundra år. Sedan ytterligare hundra. Och vidare. Ett masssyndrom började utvecklas bland matematiker: "Hur kan detta vara? Fermat bevisade det, men jag kan inte göra det, eller vad?" - och några av dem blev galna på denna grund i ordets fulla bemärkelse.

Oavsett hur många gånger teoremet testades visade det sig alltid vara sant. Jag kände en energisk programmerare som var besatt av idén att motbevisa den stora satsen genom att försöka hitta minst en lösning (motexempel) genom att räkna upp heltal med hjälp av en höghastighetsdator (på den tiden oftare kallad stordator). Han trodde på framgången för sitt företag och älskade att säga: "Lite mer - och en sensation kommer att bryta ut!" Jag tror att det på olika platser på vår planet fanns ett stort antal av den här typen av modiga sökare. Han hittade naturligtvis inte en enda lösning. Och inga datorer, ens med fantastisk hastighet, skulle någonsin kunna verifiera teoremet, eftersom alla variabler i denna ekvation (inklusive exponenter) kan öka till oändlighet.

Teoremet kräver bevis

Matematiker vet att om ett teorem inte är bevisat kan allt följa av det (både sant och falskt), vilket var fallet med vissa andra hypoteser. Till exempel, i ett av sina brev, föreslog Pierre Fermat att siffror av formen 2 n +1 (de så kallade Fermat-talen) nödvändigtvis är enkla (dvs. de har inga heltalsdelare och är delbara utan en rest endast av sig själva och med ett), om n är en potens av två (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, etc.). Denna hypotes om Fermat levde i mer än hundra år - tills 1732 Leonhard Euler visade att

2 32 +1 = 4 294 967 297 = 6 700 417 641

Sedan, nästan 150 år senare (1880), faktoriserade Fortune Landry följande Fermat-nummer:

2 64 +1 = 18 446 744 073 709 551 617 = 274 177 67 280 421 310 721

Hur de kunde hitta delarna av dessa stora tal utan hjälp av datorer - det vet bara Gud. I sin tur antog Euler att ekvationen x 4 +y 4 +z 4 =u 4 inte har några lösningar i heltal. Men ungefär 250 år senare, 1988, lyckades Nahum Elkis från Harvard upptäcka (med hjälp av ett datorprogram) att

2 682 440 4 + 15 365 639 4 + 18 796 760 4 = 20 615 673 4

Därför krävde Fermats sista sats bevis, annars var det bara en hypotes, och det kan mycket väl vara att någonstans där ute i de ändlösa fälten av siffror gick lösningen till ekvationen av den stora satsen förlorad.

Den mest virtuosa och produktiva matematikern på 1700-talet, Leonard Euler, vars arkiv med rekord mänskligheten har hållit igenom i nästan ett sekel, bevisade Fermats teorem för krafterna 3 och 4 (eller snarare, han upprepade de förlorade bevisen från Pierre Fermat själv) ; hans anhängare i talteori, Legendre (och även oberoende av honom Dirichlet) - för grad 5; Lama - för grad 7. Men generellt sett förblev teoremet obevisat.

Den 1 mars 1847, vid ett möte med vetenskapsakademin i Paris, meddelade två framstående matematiker - Gabriel Lamé och Augustin Cauchy - att de hade kommit till slutet av beviset för den stora satsen och startat ett lopp och publicerade sina bevis i delar. Duellen dem emellan avbröts dock eftersom samma fel upptäcktes i deras bevis, vilket påpekades av den tyske matematikern Ernst Kummer.

I början av 1900-talet (1908) testamenterade en rik tysk entreprenör, filantrop och vetenskapsman Paul Wolfskehl hundra tusen mark till den som skulle presentera ett fullständigt bevis för Fermats sats. Redan det första året efter publiceringen av Wolfskehls testamente av Göttingen vetenskapsakademi översvämmades det med tusentals bevis från amatörer inom matematik, och detta flöde upphörde inte på decennier, men alla innehöll, som du gissade, fel . De säger att akademin utarbetade blanketter med ungefär följande innehåll:

Kära __________________________!
I ditt bevis på Fermats sats på ____ sida i ____ rad överst
följande fel upptäcktes i formeln:__________________________:,

Som skickades till olyckliga prissökande.

På den tiden dök ett halvföraktfullt smeknamn upp bland matematiker - jordbrukare. Detta var namnet till varje självsäker uppkomling som saknade kunskap, men som hade mer än tillräckligt med ambitioner för att skyndsamt försöka bevisa den stora satsen, och sedan, utan att lägga märke till sina egna misstag, stolt slå sig själv på bröstet, högljutt förklarande. : "Jag var den första som bevisade Fermats teorem!" Varje bonde, även om han var tiotusen, ansåg sig vara den första - det här var roligt. Det enkla utseendet på den stora satsen påminde lantbrukarna så mycket om ett lätt mål att de inte alls skämdes över att inte ens Euler och Gauss kunde klara av det.

(Fermatister existerar konstigt nog fortfarande idag. Även om en av dem inte trodde att han hade bevisat satsen, som en klassisk fermatist, gjorde han försök tills nyligen - han vägrade tro mig när jag berättade att Fermats sats redan hade varit bevisad).

De mäktigaste matematikerna försökte kanske också i det tysta på sina kontor att försiktigt närma sig denna omöjliga skivstång, men sa det inte högt, för att inte bli stämplad som jordbrukare och därmed inte skada deras höga auktoritet.

Vid det laget hade ett bevis för satsen för exponenten n dykt upp<100. Потом для n<619. Надо ли говорить о том, что все доказательства невероятно сложны. Но в общем виде теорема оставалась недоказанной.

Konstig hypotes

Fram till mitten av nittonhundratalet gjordes inga större framsteg i historien om den stora satsen. Men snart hände en intressant händelse i det matematiska livet. 1955 lade den 28-årige japanska matematikern Yutaka Taniyama fram ett uttalande från ett helt annat matematikfält, kallat Taniyama-förmodan (även känd som Taniyama-Shimura-Weil-förmodan), som, till skillnad från Fermats försenade sats, låg före av sin tid.

Taniyamas gissning säger: "varje elliptisk kurva motsvarar en viss modulär form." Detta påstående lät ungefär lika absurt för dåtidens matematiker som påståendet låter för oss: "varje träd motsvarar en viss metall." Det är inte svårt att gissa hur en normal person kan reagera på ett sådant uttalande - han kommer helt enkelt inte att ta det på allvar, vilket är vad som hände: matematiker ignorerade enhälligt hypotesen.

Ett litet förtydligande. Elliptiska kurvor, kända sedan länge, har ett tvådimensionellt utseende (placerade på ett plan). Modulära funktioner, upptäckta på 1800-talet, har en fyrdimensionell form, så vi kan inte ens föreställa oss dem med våra tredimensionella hjärnor, men vi kan beskriva dem matematiskt; dessutom är modulära former fantastiska genom att de har största möjliga symmetri - de kan översättas (skiftas) i vilken riktning som helst, speglas, fragment bytas, roteras på oändligt många sätt - och ändå förändras inte deras utseende. Som du kan se har elliptiska kurvor och modulära former lite gemensamt. Taniyamas hypotes säger att de beskrivande ekvationerna för två motsvarande helt olika matematiska objekt kan utökas till samma matematiska serie.

Taniyamas hypotes var för paradoxal: den kombinerade helt olika koncept – ganska enkla platta kurvor och ofattbara fyrdimensionella former. Detta har aldrig hänt någon. När Taniyama vid ett internationellt matematiskt symposium i Tokyo i september 1955 visade flera överensstämmelser mellan elliptiska kurvor och modulära former, såg alla detta som inget annat än roliga tillfälligheter. På Taniyamas blygsamma fråga: är det möjligt att hitta motsvarande modulfunktion för varje elliptisk kurva, gav den ärevördiga fransmannen Andre Weil, som vid den tiden var en av världens bästa specialister på talteori, ett helt diplomatiskt svar som, säger de, om den nyfikna Taniyama inte lämnar entusiasmen, kanske han kommer att ha tur och hans otroliga hypotes kommer att bekräftas, men detta kommer förmodligen inte att hända snart. I allmänhet, liksom många andra enastående upptäckter, förblev Taniyamas hypotes till en början obemärkt, eftersom människor ännu inte hade mognat nog för att förstå den - nästan ingen förstod den. Endast Taniyamas kollega, Goro Shimura, som kände sin högt begåvade vän väl, kände intuitivt att hans hypotes var korrekt.

Tre år senare (1958) begick Yutaka Taniyama självmord (samurajtraditionerna är dock starka i Japan). Ur sunt förnufts synvinkel är detta en obegriplig handling, särskilt med tanke på att han mycket snart skulle gifta sig. Ledaren för unga japanska matematiker började sitt självmordsbrev så här: "Igår tänkte jag inte på självmord. Den senaste tiden har jag ofta hört från andra att jag är trött mentalt och fysiskt. Jag förstår faktiskt fortfarande inte varför jag" jag gör det här...” och så vidare på tre ark. Det är förstås synd att detta var en intressant persons öde, men alla genier är lite konstiga - det är därför de är genier (av någon anledning kom Arthur Schopenhauers ord att tänka på: "i det vanliga livet, ett geni är lika användbart som ett teleskop på teatern") . Hypotesen är föräldralös. Ingen visste hur man skulle bevisa det.

I ungefär tio år kom de knappt ihåg Taniyamas hypotes. Men i början av 70-talet blev det populärt - det testades regelbundet av alla som kunde förstå det - och det bekräftades alltid (som i själva verket Fermats teorem), men som tidigare kunde ingen bevisa det.

Ett överraskande samband mellan två hypoteser

Ungefär 15 år till gick. 1984 inträffade en viktig händelse i matematikens liv, som kombinerade den extravaganta japanska hypotesen med Fermats sista sats. Tysken Gerhard Frey lade fram ett intressant uttalande som liknar satsen: "Om Taniyamas hypotes bevisas, då kommer Fermats sista sats också att bevisas." Fermats teorem är med andra ord en konsekvens av Taniyamas gissningar. (Frey, med hjälp av smarta matematiska transformationer, reducerade Fermats ekvation till formen av en elliptisk kurvekvation (samma som visas i Taniyamas hypotes), mer eller mindre underbyggda hans antagande, men kunde inte bevisa det). Och bara ett och ett halvt år senare (1986) bevisade professor Kenneth Ribet vid Kaliforniens universitet tydligt Freys teorem.

Vad hände nu? Nu visar det sig att eftersom Fermats teorem redan är en följd av Taniyamas gissningar, behöver man bara bevisa den senare för att vinna lagrarna för erövraren av den legendariska Fermats teorem. Men hypotesen visade sig vara svår. Dessutom har matematiker genom århundradena blivit allergiska mot Fermats teorem, och många av dem bestämde sig för att det också skulle vara nästan omöjligt att klara av Taniyamas gissningar.

Fermats hypotes död. Teoremets födelse

Ytterligare 8 år har gått. En progressiv engelsk professor i matematik från Princeton University (New Jersey, USA), Andrew Wiles, trodde att han hade hittat ett bevis på Taniyama-förmodan. Om ett geni inte är flintskalligt, så är han som regel ojämn. Wiles är rufsig och ser därför ut som ett geni. Att gå in i historien var naturligtvis frestande och jag ville verkligen det, men Wiles, som en riktig vetenskapsman, lurade inte sig själv och insåg att tusentals bönder före honom också såg spöklika bevis. Därför, innan han presenterade sitt bevis för världen, kontrollerade han det noggrant själv, men när han insåg att han kunde ha en subjektiv fördom, involverade han också andra i kontrollerna, till exempel under täckmantel av vanliga matematiska uppgifter, slängde han ibland olika fragment av hans bevis till smarta doktorander. Wiles erkände senare att ingen förutom hans fru visste att han arbetade på ett bevis på den stora satsen.

Och så, efter många tester och smärtsamma funderingar, tog Wiles äntligen mod till sig, eller kanske, som det verkade för honom, arrogans, och den 23 juni 1993, vid en matematisk konferens om talteori i Cambridge, tillkännagav han sin stora prestation.

Detta var förstås en sensation. Ingen förväntade sig en sådan smidighet från en föga känd matematiker. Pressen dök genast upp. Alla plågades av ett brinnande intresse. Smala formler, som drag av en vacker målning, dök upp inför de församlades nyfikna ögon. Riktiga matematiker, de är sådana, tittar på alla möjliga ekvationer och ser i dem inte siffror, konstanter och variabler, utan hör musik, som Mozart tittar på staven. Precis som när vi läser en bok tittar vi på bokstäverna, men vi verkar inte lägga märke till dem, utan omedelbart uppfattar textens betydelse.

Presentationen av beviset verkade gå bra - inga fel hittades i det - ingen hörde en enda falsk ton (även om de flesta matematiker helt enkelt stirrade på den som förstaklassare på en integral och inte förstod någonting). Alla bestämde sig för att en storskalig händelse hade hänt: Taniyamas hypotes var bevisad, och därför Fermats sista sats. Men ungefär två månader senare, några dagar innan manuskriptet av Wiles bevis skulle publiceras, upptäcktes en inkonsekvens i det (Katz, en kollega till Wiles, märkte att ett fragment av resonemang förlitade sig på "Euler-systemet", men att byggd av Wiles, var inte ett sådant system), även om Wiles tekniker i allmänhet ansågs intressanta, eleganta och innovativa.

Wiles analyserade situationen och beslutade att han hade förlorat. Man kan föreställa sig hur han kände med hela sitt väsen vad det betyder "ett steg från det stora till det löjliga." "Jag ville gå till historien, men istället blev jag en del av ett team av clowner och komiker - arroganta bönder" - det var tankarna som utmattade honom under den svåra perioden av hans liv. För honom, en seriös matematiker, var detta en tragedi, och han kastade sina bevis i glömska.

Men ett drygt år senare, i september 1994, när han tänkte på den där flaskhalsen i beviset tillsammans med sin kollega Taylor från Oxford, slogs den senare plötsligt av idén att "Euler-systemet" kunde ersättas av Iwasawa-teorin (en gren av talteorin). Sedan försökte de använda Iwasawas teori och klarade sig utan det "euleriska systemet", och allt fungerade för dem. Den korrigerade versionen av beviset lämnades in för verifiering och ett år senare meddelades att allt i det var helt klart, utan ett enda fel. Sommaren 1995 publicerades i en av de ledande matematiska tidskrifterna - "Annals of Mathematics" - ett fullständigt bevis på Taniyamas gissningar (därav Fermats stora sats), som tog upp hela numret - över hundra sidor. Beviset är så komplext att bara ett par dussin människor runt om i världen kunde förstå det i sin helhet.

Sålunda, i slutet av 1900-talet, insåg hela världen att under det 360:e året av sitt liv hade Fermats sista sats, som faktiskt hade varit en hypotes hela denna tid, äntligen blivit en beprövad sats. Andrew Wiles bevisade Fermats stora sats och gick till historien.

Tänk bara, de bevisade någon teorem...

Upptäckarens lycka går alltid till en person - det är han som med det sista hammarslaget knäcker kunskapens hårda nöt. Men vi kan inte bortse från de många tidigare slag som i århundraden bildade en spricka i den stora satsen: Euler och Gauss (kungar av matematik i sin tid), Evariste Galois (som lyckades grunda teorierna om grupper och fält i sin korta 21- års liv, vars arbete erkändes som ett geni först efter hans död), Henri Poincaré (grundaren av inte bara bisarra modulära former, utan också konventionalism - en filosofisk rörelse), David Gilbert (en av nittonhundratalets starkaste matematiker) , Yutaka Taniyama, Goro Shimura, Mordell, Faltings, Ernst Kummer, Barry Mazur, Gerhard Frey, Ken Ribbett, Richard Taylor och andra riktiga vetenskapsmän(Jag är inte rädd för dessa ord).

Beviset för Fermats sista sats kan likställas med sådana prestationer under 1900-talet som uppfinningen av datorn, atombomben och rymdfärd. Även om det inte är så allmänt känt, eftersom det inte invaderar zonen för våra omedelbara intressen, som en tv eller en elektrisk glödlampa, var det en supernovaexplosion, som, som alla oföränderliga sanningar, alltid kommer att lysa för mänskligheten.

Du kan säga: "tänk bara, de bevisade någon teorem, vem behöver det?". En rättvis fråga. David Gilberts svar passar precis här. På frågan: "Vilken uppgift är viktigast för vetenskapen nu?", svarade han: "Fånga en fluga på månens bortre sida," fick han rimligen frågan: " Och vem behöver det?", svarade han: "Ingen behöver det här. Men tänk på hur många viktiga, komplexa problem som måste lösas för att uppnå detta." Tänk på hur många problem mänskligheten kunde lösa på 360 år innan den bevisade Fermats teorem. Nästan hälften av modern matematik upptäcktes i sökandet efter dess bevis. Det är också nödvändigt att ta hänsyn till att matematiken är vetenskapens avantgarde (och, förresten, den enda vetenskapen som är byggd utan ett enda fel), och alla vetenskapliga landvinningar och uppfinningar börjar här. Som Leonardo da Vinci noterade, "bara att undervisning kan erkännas som en vetenskap som bekräftas matematiskt".

* * *

Låt oss nu gå tillbaka till början av vår berättelse, komma ihåg Pierre Fermats anteckning i marginalen till Diophantus lärobok och återigen ställa frågan: bevisade Fermat verkligen sitt teorem? Vi kan naturligtvis inte veta detta säkert, och som i alla fall uppstår olika versioner här:

Version 1: Fermat bevisade sitt teorem. (På frågan: "Hade Fermat exakt samma bevis för sin sats?", anmärkte Andrew Wiles: "Fermat kunde inte ha haft så här bevis. Det här är beviset för 1900-talet." Du och jag förstår att matematiken på 1600-talet naturligtvis inte var densamma som i slutet av 1900-talet - på den tiden gjorde Artagnan, vetenskapernas drottning inte ännu har de upptäckterna (modulära former, Taniyamas satser, Freya, etc.), som bara gjorde det möjligt att bevisa Fermats sista sats. Naturligtvis kan man anta: vad fan är det - tänk om Fermat kom på det på ett annat sätt Denna version, även om den är trolig, är, enligt de flesta matematikers uppskattningar, praktiskt taget omöjlig);
Version 2: Pierre Fermat trodde att han hade bevisat sitt teorem, men det fanns fel i hans bevis. (Det vill säga, Fermat själv var också den första bonden);
Version 3: Fermat bevisade inte sitt teorem, utan ljög helt enkelt i marginalen.

Om en av de två sista versionerna är korrekt, vilket är mest troligt, kan vi dra en enkel slutsats: fantastiska människor, även om de är fantastiska kan de också göra misstag eller är ibland inte motvilliga till att ljuga(mest den här slutsatsen kommer att vara användbar för dem som är benägna att helt lita på sina idoler och andra härskare av tankar). Därför, när du läser verk av auktoritativa mänsklighetens söner eller lyssnar på deras patetiska tal, har du all rätt att tvivla på deras uttalanden. (Vänligen notera att att tvivla betyder inte att avvisa).

Reproduktion av artikelmaterial är endast möjlig med obligatoriska länkar till webbplatsen (på Internet - hyperlänk) och till författaren

Avundsjuka människor hävdar att den franske matematikern Pierre Fermat skrev sitt namn i historien med bara en fras. I marginalen på manuskriptet med formuleringen av den berömda satsen 1637 gjorde han en anteckning: "Jag har hittat en fantastisk lösning, men det finns inte tillräckligt med utrymme för att lägga den här." Sedan började ett fantastiskt matematiskt lopp, där en armé av amatörer, tillsammans med framstående vetenskapsmän, anslöt sig.

Vad är det för lömska med Fermats problem? Vid första anblicken är det förståeligt även för en skolbarn.

Den är baserad på Pythagoras sats, känd för alla: i en rätvinklig triangel är hypotenusans kvadrat lika med summan av kvadraterna på benen: x 2 + y 2 = z 2. Fermat hävdade: ekvationen för alla potenser större än två har ingen lösning i heltal.

Det verkar enkelt. Nå ut och här är svaret. Det är inte förvånande att akademier i olika länder, vetenskapliga institut, till och med tidningsredaktioner översvämmades med tiotusentals bevis. Deras antal är aldrig tidigare skådat, näst efter "perpetual motion"-projekt. Men om seriös vetenskap inte har övervägt dessa galna idéer på länge, studeras "böndernas" arbete ärligt och med intresse. Och tyvärr hittar den fel. De säger att under mer än tre århundraden har en hel matematisk kyrkogård av lösningar till satsen bildats.

Det är inte för inte som de säger: armbågen är nära, men du kommer inte att bita. År, decennier, århundraden gick, och Fermats uppgift verkade allt mer överraskande och lockande. Till synes enkelt visade det sig vara för tufft för den snabbt växande muskelutvecklingen. Människan hade redan splittrat atomen, nått genen, satt sin fot på månen, men Fermat gav sig inte och fortsatte att locka sina ättlingar med falska förhoppningar.

Men försök att övervinna den vetenskapliga toppen var inte förgäves. Den store Euler tog det första steget genom att bevisa satsen för den fjärde graden, sedan för den tredje. I slutet av 1800-talet höjde tysken Ernst Kummer antalet grader till hundra. Slutligen, beväpnade med datorer, ökade forskare denna siffra till 100 tusen. Men Fermat pratade om vilka grader som helst. Det var hela poängen.

Naturligtvis har forskare inte plågats över problemet av sportintresse. Den berömde matematikern David Hilbert sa att teoremet är ett exempel på hur ett till synes obetydligt problem kan ha en enorm inverkan på vetenskapen. Genom att arbeta med det öppnade forskare helt nya matematiska horisonter, till exempel lades grunderna för talteorin, algebra och funktionsteorin.

Och ändå erövrades den stora satsen 1995. Hennes lösning presenterades av en amerikan från Princeton University, Andrew Wiles, och den är officiellt erkänd av det vetenskapliga samfundet. Han gav mer än sju år av sitt liv för att hitta bevis. Enligt forskare sammanförde detta enastående arbete många matematikers verk och återställde förlorade förbindelser mellan dess olika sektioner.

Så, toppmötet har tagits, och vetenskapen har fått svaret”, sa Yuri Vishnyakov, vetenskaplig sekreterare vid Institutionen för matematik vid Ryska vetenskapsakademin, doktor i tekniska vetenskaper, till en RG-korrespondent. – Teoremet har bevisats, om än inte på det enklaste sättet, som Fermat själv insisterade. Och nu kan de som önskar skriva ut sina egna versioner.

Men familjen av "bönder" kommer inte alls att acceptera Wiles bevis. Nej, de motbevisar inte amerikanens beslut, eftersom det är mycket komplext och därför förståeligt endast för en snäv krets av specialister. Men det går inte en vecka utan att en ny uppenbarelse från en annan entusiast dyker upp på Internet, "äntligen sätter stopp för det långvariga eposet."

Förresten, igår ringde en av de äldsta "fermisterna" i vårt land, Vsevolod Yarosh, redaktionen för "RG": "Och du vet att jag bevisade Fermats teorem redan före Wiles. Dessutom hittade jag ett fel i honom, som jag skrev om till vår enastående matematiker akademiker Arnold med en förfrågan om att publicera om detta i en vetenskaplig tidskrift. Nu väntar jag på svar. Jag korresponderar även med den franska vetenskapsakademin om detta."

Och just nu, som rapporterats i ett antal medier, avslöjade en annan entusiast, tidigare generaldesigner av Polyot-mjukvaran från Omsk, doktor i tekniska vetenskaper Alexander Ilyin, med "lätt nåd" matematikens stora hemlighet. Lösningen visade sig vara så enkel och kort att den passade på en liten del av tidningsutrymmet i en av de centrala publikationerna.

Redaktörerna för RG vände sig till landets ledande institut för matematik uppkallat efter. Steklov RAS med en begäran om att utvärdera detta beslut. Forskarna var kategoriska: man kan inte kommentera tidningspubliceringen. Men efter mycket övertalning och med hänsyn till det ökade intresset för det berömda problemet kom de överens. Enligt dem gjordes flera grundläggande fel i det senaste beviset som publicerades. Förresten, även en student vid matematiska fakulteten kunde lätt lägga märke till dem.

Ändå ville redaktionen få förstahandsinformation. Dessutom, i går vid Academy of Aviation and Aeronautics var det meningen att Ilyin skulle presentera sitt bevis. Det visade sig dock att få människor känner till en sådan akademi, även bland specialister. Och när vi med största svårighet lyckades hitta telefonnumret till denna organisations vetenskapliga sekreterare, visade det sig att han inte ens misstänkte att en sådan historisk händelse var på väg att äga rum där. Kort sagt, RG-korrespondenten misslyckades med att bevittna världssensationen.

Pierre Fermat, som läste "Aritmetiken" av Diophantus från Alexandria och reflekterade över dess problem, hade för vana att skriva ner resultaten av sina reflektioner i form av korta kommentarer i bokens marginal. Mot det åttonde problemet med Diophantus i bokens marginal skrev Fermat: " Tvärtom är det omöjligt att sönderdela vare sig en kub i två kuber, eller en biquadrate till två biquadrate, och i allmänhet ingen potens större än en kvadrat i två potenser med samma exponent. Jag har upptäckt ett verkligt underbart bevis på detta, men dessa fält är för smala för det» / E.T. Bell "The Creators of Mathematics". M., 1979, s. 69/. Jag uppmärksammar er på ett elementärt bevis på Fermats teorem, som alla gymnasieelever som är intresserade av matematik kan förstå.

Låt oss jämföra Fermats kommentar om Diophantus problem med den moderna formuleringen av Fermats sista teorem, som har formen av en ekvation.
« Ekvationen

x n + y n = z n(där n är ett heltal större än två)

har inga lösningar i positiva heltal»

Kommentaren står i ett logiskt samband med uppgiften, liknande det logiska sambandet mellan predikatet och ämnet. Det som hävdas av Diophantus problem hävdas tvärtom av Fermats kommentar.

Fermats kommentar kan tolkas på följande sätt: om en andragradsekvation med tre okända har ett oändligt antal lösningar på mängden av alla trillingar av pythagoras tal, då, tvärtom, en ekvation med tre okända med en potens som är större än kvadraten

Det finns inte ens en antydan i ekvationen om dess samband med Diophantus problem. Hans uttalande kräver bevis, men det finns inget villkor av vilket det följer att det inte har några lösningar i positiva heltal.

Alternativen för att bevisa den för mig kända ekvationen kokar ner till följande algoritm.

1. Ekvationen för Fermats teorem tas som slutsats, vars giltighet verifieras genom bevis.
2. Samma ekvation kallas original ekvation från vilken dess bevis måste utgå.

Som ett resultat bildades en tautologi: " Om en ekvation inte har några lösningar i positiva heltal, så har den inga lösningar i positiva heltal"Beviset för tautologin är uppenbarligen felaktigt och saknar någon mening. Men det är bevisat genom motsägelse.

• Ett antagande görs som är motsatsen till vad som anges av ekvationen som behöver bevisas. Det borde inte motsäga den ursprungliga ekvationen, men det gör det. Det är ingen mening att bevisa det som accepteras utan bevis, och att utan bevis acceptera det som behöver bevisas.
• Baserat på det accepterade antagandet utförs absolut korrekta matematiska operationer och åtgärder för att bevisa att den motsäger den ursprungliga ekvationen och är falsk.

Därför, i 370 år nu, har bevisningen av ekvationen för Fermats sista sats förblivit en orealiserbar dröm för specialister och matematikentusiaster.

Jag tog ekvationen som slutsatsen av satsen, och det åttonde problemet med Diophantus och dess ekvation som satsens tillstånd.

"Om ekvationen x 2 + y 2 = z 2 (1) har ett oändligt antal lösningar på mängden av alla trippel av Pythagoras tal, sedan, omvänt, ekvationen x n + y n = z n , Var n > 2 (2) har inga lösningar på uppsättningen positiva heltal."

Bevis.

A) Alla vet att ekvation (1) har ett oändligt antal lösningar på mängden av alla trippel av Pythagoras tal. Låt oss bevisa att inte en enda trippel av pythagoras tal som är en lösning till ekvation (1) är en lösning till ekvation (2).

Baserat på lagen om reversibilitet av likhet byter vi sidorna av ekvation (1). Pythagoras siffror (z, x, y) kan tolkas som längden på sidorna i en rätvinklig triangel och kvadraterna (x 2 , y 2 , z 2) kan tolkas som arean av kvadrater byggda på dess hypotenusa och ben.

Låt oss multiplicera arean av kvadraterna i ekvation (1) med en godtycklig höjd h :

z 2 h = x 2 h + y 2 h (3)

Ekvation (3) kan tolkas som likheten mellan volymen av en parallellepiped och summan av volymerna av två parallellepipeder.

Låt höjden av tre parallellepipeder h = z :

z 3 = x 2 z + y 2 z (4)

Volymen av kuben sönderdelas i två volymer av två parallellepipeder. Vi lämnar kubens volym oförändrad och minskar höjden på den första parallellepipeden till x och minska höjden på den andra parallellepipeden till y . Volymen av en kub är större än summan av volymerna av två kuber:

z 3 > x 3 + y 3 (5)

På uppsättningen av trippel av Pythagoras tal ( x, y, z ) kl n=3 det kan inte finnas någon lösning på ekvation (2). Följaktligen, på uppsättningen av alla trippel av Pythagoras tal är det omöjligt att sönderdela en kub i två kuber.

Sätt in ekvation (3) höjden av tre parallellepipeder h = z 2 :

z 2 z 2 = x 2 z 2 + y 2 z 2 (6)

Volymen av en parallellepiped delas upp i summan av volymerna av två parallellepiped.
Vi lämnar den vänstra sidan av ekvation (6) oförändrad. På dess högra sida höjden z 2 förminska till X under första terminen och före vid 2 under andra mandatperioden.

Ekvation (6) förvandlas till ojämlikhet:

Volymen av parallellepipeden sönderdelas i två volymer av två parallellepiped.

Vi lämnar den vänstra sidan av ekvation (8) oförändrad.
På höger sida höjden zn-2 förminska till xn-2 under första mandatperioden och minska till y n-2 under andra mandatperioden. Ekvation (8) blir olikhet:

På uppsättningen av trillingar av Pythagoras tal kan det inte finnas en enda lösning till ekvation (2).

Följaktligen på uppsättningen av alla trippel av Pythagoras tal för alla n > 2 ekvation (2) har inga lösningar.

Ett "verkligt mirakulöst bevis" har erhållits, men bara för trillingar Pythagoras siffror. Detta är brist på bevis och anledningen till P. Fermats vägran från honom.

B) Låt oss bevisa att ekvation (2) inte har några lösningar på uppsättningen av tripletter av icke-pytagoreiska tal, som representerar en familj av en godtycklig trippel av Pythagoras tal z = 13, x = 12, y = 5 och en familj med en godtycklig trippel positiva heltal z = 21, x = 19, y = 16

Båda trillingarna av siffror är medlemmar av deras familjer:

Antalet familjemedlemmar (10) och (11) är lika med hälften av produkten av 13 gånger 12 och 21 gånger 20, det vill säga 78 och 210.

Varje familjemedlem (10) innehåller z = 13 och variabler X Och på 13 > x > 0 , 13 > y > 0 1

Varje medlem i familjen (11) innehåller z = 21 och variabler X Och på , som tar heltalsvärden 21 > x >0 , 21 > y > 0 . Variabler minskar successivt med 1 .

Trippeltal av sekvensen (10) och (11) kan representeras som en sekvens av olikheter av tredje graden:

och i form av ojämlikheter av fjärde graden:

Korrektheten av varje olikhet verifieras genom att höja talen till tredje och fjärde potens.

En kub med ett större tal kan inte dekomponeras i två kuber med mindre tal. Det är antingen mindre eller större än summan av kuberna av de två mindre talen.

Bikvadraten av ett större tal kan inte delas upp i två biquadrates av mindre tal. Det är antingen mindre eller större än summan av bisquars av mindre tal.

När exponenten ökar har alla ojämlikheter, utom den vänstra extrema ojämlikheten, samma betydelse:

De har alla samma betydelse: potensen av det större talet är större än summan av potenserna av de två mindre talen med samma exponent:

Den vänstra extremtermen av sekvenser (12) (13) representerar den svagaste ojämlikheten. Dess korrekthet bestämmer riktigheten av alla efterföljande olikheter i sekvensen (12) för n > 8 och sekvens (13) kl n > 14 .

Det kan inte finnas någon jämlikhet mellan dem. En godtycklig trippel av positiva heltal (21,19,16) är inte en lösning på ekvation (2) i Fermats sista sats. Om en godtycklig trippel av positiva heltal inte är en lösning på ekvationen, så har ekvationen inga lösningar på uppsättningen av positiva heltal, vilket är vad som behövde bevisas.

MED) Fermats kommentar om Diophantus problem säger att det är omöjligt att sönderdela " i allmänhet ingen potens större än en kvadrat, två potenser med samma exponent».

Kyss en grad större än en kvadrat kan inte riktigt brytas upp i två grader med samma exponent. Inga kyssar en grad större än en kvadrat kan delas upp i två potenser med samma exponent.

Varje godtycklig trippel av positiva heltal (z, x, y) kan tillhöra en familj där varje medlem består av ett konstant antal z och två nummer mindre z . Varje familjemedlem kan representeras i form av en ojämlikhet, och alla resulterande ojämlikheter kan representeras i form av en sekvens av ojämlikheter:

Sekvensen av ojämlikheter (14) börjar med ojämlikheter där vänster sida är mindre än höger, och slutar med ojämlikheter där höger sida är mindre än vänster sida. Med ökande exponent n > 2 antalet olikheter på höger sida av sekvens (14) ökar. Med exponenten n = k alla ojämlikheter på den vänstra sidan av sekvensen ändrar sin betydelse och antar betydelsen av ojämlikheterna på den högra sidan av ojämlikheterna i sekvensen (14). Som ett resultat av att exponenten för alla ojämlikheter ökar, visar sig vänster sida vara större än höger:

Med en ytterligare ökning av exponenten n>k ingen av ojämlikheterna ändrar sin innebörd och förvandlas till jämlikhet. På grundval av detta kan det hävdas att varje godtyckligt vald trippel av positiva heltal (z, x, y) på n > 2 , z > x , z > y

I en godtyckligt vald trippel av positiva heltal z kan vara ett godtyckligt stort naturligt tal. För alla naturliga tal som inte är större än z , Fermats sista sats är bevisad.

D) Oavsett hur stort antal z , i den naturliga talserien finns en stor men ändlig uppsättning heltal före den, och efter den finns en oändlig uppsättning heltal.

Låt oss bevisa att hela den oändliga mängden naturliga tal är stor z , bildar tripplar av tal som inte är lösningar till ekvationen i Fermats sista sats, till exempel en godtycklig trippel av positiva heltal (z + 1, x ,y) , vart i z + 1 > x Och z + 1 > y för alla värden för exponenten n > 2 är inte en lösning på ekvationen för Fermats sista sats.

En slumpmässigt utvald trippel av positiva heltal (z + 1, x, y) kan tillhöra en familj av tripplar av tal, där varje medlem består av ett konstant tal z+1 och två nummer X Och på , antar olika värden, mindre z+1 . Familjemedlemmar kan representeras i form av ojämlikheter där den konstanta vänstra sidan är mindre än eller större än högersidan. Ojämlikheterna kan ordnas i form av en sekvens av ojämlikheter:

Med en ytterligare ökning av exponenten n>k till oändlighet, ingen av ojämlikheterna i sekvens (17) ändrar sin betydelse och förvandlas till jämlikhet. I sekvens (16) bildades ojämlikheten från en godtyckligt vald trippel av positiva heltal (z + 1, x, y) , kan placeras på sin högra sida i formuläret (z + 1) n > x n + y n eller vara på vänster sida i formuläret (z+1)n< x n + y n .

I alla fall en trippel av positiva heltal (z + 1, x, y) på n > 2 , z + 1 > x , z + 1 > y i sekvens (16) representerar en olikhet och kan inte representera en likhet, det vill säga den kan inte representera en lösning på ekvationen för Fermats sista sats.

Det är lätt och enkelt att förstå ursprunget till sekvensen av maktojämlikheter (16), där den sista ojämlikheten på vänster sida och den första ojämlikheten på höger sida är ojämlikheter av motsatt betydelse. Tvärtom är det inte lätt och svårt för skolelever, gymnasieelever och gymnasieelever att förstå hur en sekvens av ojämlikheter (16) bildas av en sekvens av ojämlikheter (17), där alla ojämlikheter har samma innebörd. .

I sekvens (16), genom att öka heltalsgraden av olikheter med 1 enhet förvandlas den sista olikheten på vänster sida till den första olikheten i motsatt mening på höger sida. Således minskar antalet olikheter på vänster sida av sekvensen, och antalet olikheter på höger sida ökar. Mellan den sista och första maktojämlikheten av motsatt betydelse finns det nödvändigtvis en maktlikhet. Dess grad kan inte vara ett heltal, eftersom endast icke-heltal ligger mellan två på varandra följande naturliga tal. En potenslikhet av icke-heltalsgrad, enligt villkoren för satsen, kan inte anses vara en lösning på ekvation (1).

Om vi ​​i sekvens (16) fortsätter att öka graden med 1 enhet, kommer den sista olikheten på dess vänstra sida att förvandlas till den första olikheten av motsatt betydelse av höger sida. Som ett resultat kommer det inte att finnas några ojämlikheter på vänster sida kvar och endast ojämlikheter på höger sida kommer att finnas kvar, vilket kommer att vara en sekvens av ökande maktojämlikheter (17). En ytterligare ökning av deras heltalspotential med 1 enhet stärker bara dess maktojämlikheter och utesluter kategoriskt möjligheten till likhet i heltalspotentialen.

Följaktligen kan i allmänhet ingen heltalspotens av ett naturligt tal (z+1) i sekvensen av potensolikheter (17) delas upp i två heltalspotenser med samma exponent. Därför har ekvation (1) inga lösningar på en oändlig uppsättning naturliga tal, vilket är vad som behövde bevisas.

Följaktligen är Fermats sista teorem bevisat i sin helhet:

• i avsnitt A) för alla trillingar (z, x, y) Pythagoras tal (Fermats upptäckt är verkligen ett underbart bevis),
• i avsnitt B) för alla familjemedlemmar av någon trippel (z, x, y) Pythagoras siffror,
• i avsnitt C) för alla tripplar av tal (z, x, y) , inte stora antal z
• i avsnitt D) för alla tripplar av tal (z, x, y) naturliga talserier.

Vilka satser kan och inte kan bevisas genom motsägelse?

Den förklarande ordboken för matematiska termer definierar ett bevis genom motsägelse av en sats, motsatsen till en omvänd sats.

"Bevis genom motsägelse är en metod för att bevisa en sats (sats), som består i att bevisa inte själva satsen utan dess ekvivalenta (motsvarande) sats. Bevis genom motsägelse används när den direkta satsen är svår att bevisa, men den motsatta satsen är lättare att bevisa. I ett proof by contradiction ersätts satsens slutsats av dess negation, och genom resonemang kommer man fram till negationen av villkoren, d.v.s. till en motsägelse, till motsatsen (motsatsen till vad som ges; denna reduktion till det absurda bevisar satsen."

Bevis genom motsägelse används mycket ofta i matematik. Bevis genom motsägelse är baserad på lagen om utesluten mitten, som består i det faktum att av två påståenden (påståenden) A och A (negation av A), ett av dem är sant och det andra är falskt."/Explanatory Dictionary of Mathematical Terms: A Manual for Teachers/O. V. Manturov [etc.]; redigerad av V. A. Ditkina.- M.: Utbildning, 1965.- 539 s.: ill.-C.112/.

Det skulle inte vara bättre att öppet förklara att metoden att bevisa genom motsägelse inte är en matematisk metod, även om den används i matematik, att den är en logisk metod och tillhör logiken. Är det acceptabelt att säga att bevis genom motsägelse "används närhelst en direkt sats är svår att bevisa", när den i själva verket används när, och endast när, det inte finns någon ersättning.

Karakteriseringen av förhållandet mellan de direkta och omvända satserna till varandra förtjänar också särskild uppmärksamhet. "Den omvända satsen för en given sats (eller till en given sats) är en sats där villkoret är slutsatsen och slutsatsen är villkoret för den givna satsen. Denna sats i förhållande till den omvända satsen kallas direktsatsen (original). Samtidigt kommer den omvända satsen till den omvända satsen att vara den givna satsen; därför kallas de direkta och omvända satserna ömsesidigt inversa. Om den direkta (givna) satsen är sann, är den omvända satsen inte alltid sann. Till exempel, om en fyrhörning är en romb, är dess diagonaler ömsesidigt vinkelräta (direkt sats). Om diagonalerna i en fyrhörning är ömsesidigt vinkelräta, så är fyrhörningen en romb - detta är falskt, det vill säga den omvända satsen är falsk."/Explanatory Dictionary of Mathematical Terms: A Manual for Teachers/O. V. Manturov [etc.]; redigerad av V. A. Ditkina.- M.: Utbildning, 1965.- 539 s.: ill.-C.261 /.

Denna egenskap hos förhållandet mellan de direkta och inversa satserna tar inte hänsyn till det faktum att villkoret för den direkta satsen accepteras som givet, utan bevis, så dess riktighet är inte garanterad. Villkoret för inverssatsen accepteras inte som givet, eftersom det är slutsatsen av den bevisade direktsatsen. Dess riktighet bekräftas av beviset för den direkta satsen. Denna väsentliga logiska skillnad i förhållandena för de direkta och omvända satserna visar sig vara avgörande i frågan om vilka satser som kan och inte kan bevisas med den logiska metoden genom motsägelse.

Låt oss anta att det finns en direkt sats i åtanke, som kan bevisas med den vanliga matematiska metoden, men som är svår. Låt oss formulera det generellt och kortfattat så här: från A skall E . Symbol A har innebörden av det givna villkoret i satsen, accepterat utan bevis. Symbol E Det som spelar roll är slutsatsen av satsen som måste bevisas.

Vi kommer att bevisa den direkta satsen genom motsägelse, logisk metod. Den logiska metoden används för att bevisa ett teorem som har inte matematiskt skick, och logisk skick. Det kan erhållas om det matematiska tillståndet för satsen från A skall E , komplettera med rakt motsatt villkor från A gör det inte E .

Resultatet var ett logiskt motsägelsefullt villkor för den nya satsen, som innehöll två delar: från A skall E Och från A gör det inte E . Det resulterande villkoret för den nya satsen motsvarar den logiska lagen för utesluten mitt och motsvarar beviset för satsen genom motsägelse.

Enligt lagen är en del av ett motstridiga villkor falsk, en annan del är sann och den tredje är utesluten. Motsägelsebeviset har till uppgift och syfte att fastställa exakt vilken del av de två delarna av satsens villkor som är falsk. När den falska delen av tillståndet har bestämts, bestäms den andra delen vara den sanna delen, och den tredje exkluderas.

Enligt den förklarande ordboken för matematiska termer, "bevis är resonemang under vilket sanningen eller falskheten i ett påstående (dom, påstående, sats) fastställs". Bevis genom motsägelse det finns ett resonemang under vilket det fastställs falskhet(absurditet) av slutsatsen som härrör från falsk villkoren för satsen som ska bevisas.

Given: från A skall E och från A gör det inte E .

Bevisa: från A skall E .

Bevis: Det logiska villkoret för satsen innehåller en motsägelse som kräver dess upplösning. Motsägelsen i villkoret måste finna sin lösning i beviset och dess resultat. Resultatet visar sig vara falskt med felfria och felfria resonemang. Anledningen till en falsk slutsats i logiskt korrekta resonemang kan bara vara ett motsägelsefullt villkor: från A skall E Och från A gör det inte E .

Det finns ingen skugga av tvivel om att en del av tillståndet är falskt, och den andra i det här fallet är sant. Båda delarna av villkoret har samma ursprung, är accepterade som data, antagna, lika möjliga, lika tillåtliga, etc. Under logiska resonemang upptäcktes inte ett enda logiskt drag som skulle skilja den ena delen av villkoret från den andra . Därför kan det i samma utsträckning vara det från A skall E och kanske från A gör det inte E . Påstående från A skall E Kanske falsk, sedan uttalandet från A gör det inte E kommer att vara sant. Påstående från A gör det inte E kan vara falskt, då påståendet från A skall E kommer att vara sant.

Följaktligen är det omöjligt att bevisa en direkt sats genom motsägelse.

Nu ska vi bevisa samma direkta sats med den vanliga matematiska metoden.

Given: A .

Bevisa: från A skall E .

Bevis.

1. Från A skall B

2. Från B skall I (enligt den tidigare bevisade satsen)).

3. Från I skall G (enligt den tidigare bevisade satsen).

4. Från G skall D (enligt den tidigare bevisade satsen).

5. Från D skall E (enligt den tidigare bevisade satsen).

Baserat på lagen om transitivitet, från A skall E . Den direkta satsen bevisas med den vanliga metoden.

Låt det bevisade direkta satsen ha en korrekt inverssats: från E skall A .

Låt oss bevisa det med det vanliga matematisk metod. Beviset för den omvända satsen kan uttryckas i symbolisk form som en algoritm för matematiska operationer.

Given: E

Bevisa: från E skall A .

Bevis.

1. Från E skall D

2. Från D skall G (enligt den tidigare bevisade omvända satsen).

3. Från G skall I (enligt den tidigare bevisade omvända satsen).

4. Från I gör det inte B (den omvända satsen är inte sann). Det är därför från B gör det inte A .

I den här situationen är det ingen mening att fortsätta det matematiska beviset för den omvända satsen. Orsaken till situationen är logisk. En felaktig omvänd teorem kan inte ersättas med någonting. Därför är det omöjligt att bevisa denna omvända sats med den vanliga matematiska metoden. Allt hopp är att bevisa denna omvända sats genom motsägelse.

För att bevisa det genom motsägelse är det nödvändigt att ersätta dess matematiska tillstånd med ett logiskt motsägelsefullt tillstånd, som i sin mening innehåller två delar - falskt och sant.

Converse teorem stater: från E gör det inte A . Hennes tillstånd E , varav slutsatsen följer A , är resultatet av att bevisa den direkta satsen med den vanliga matematiska metoden. Detta villkor ska bevaras och kompletteras med utlåtandet från E skall A . Som ett resultat av tillägget får vi det motsägelsefulla villkoret för den nya inversa satsen: från E skall A Och från E gör det inte A . Baserat på det här logiskt sett motsägelsefullt villkor, kan det omvända satsen bevisas med hjälp av det korrekta logisk bara resonemang, och bara, logisk metod genom motsägelse. I ett bevis genom motsägelse är alla matematiska handlingar och operationer underordnade logiska och räknas därför inte.

I den första delen av det motsägelsefulla uttalandet från E skall A skick E bevisades av beviset för den direkta satsen. I den andra delen från E gör det inte A skick E antogs och accepterades utan bevis. En av dem är falsk och den andra är sann. Du måste bevisa vilken som är falsk.

Vi bevisar det genom korrekt logisk resonerar och upptäcker att resultatet är en falsk, absurd slutsats. Anledningen till en falsk logisk slutsats är det motsägelsefulla logiska tillståndet i satsen, som innehåller två delar - falskt och sant. Den falska delen kan bara vara ett påstående från E gör det inte A , i vilken E accepterades utan bevis. Det är detta som skiljer den från E uttalanden från E skall A , vilket bevisas av beviset för den direkta satsen.

Därför är påståendet sant: från E skall A , vilket var det som behövde bevisas.

Slutsats: med den logiska metoden bevisas endast den inversa satsen genom motsägelse, som har en direkt sats bevisad med den matematiska metoden och som inte kan bevisas med den matematiska metoden.

Den erhållna slutsatsen får exceptionell betydelse i förhållande till bevismetoden genom motsägelse av Fermats stora sats. Den överväldigande majoriteten av försöken att bevisa det bygger inte på den vanliga matematiska metoden, utan på den logiska metoden att bevisa genom motsägelse. Wiles bevis på Fermats sista sats är inget undantag.

Dmitry Abrarov publicerade i artikeln "Fermat's Theorem: the Phenomenon of Wiles' Proofs," en kommentar till Wiles bevis på Fermat's Last Theorem. Enligt Abrarov bevisar Wiles Fermats sista teorem med hjälp av en anmärkningsvärd upptäckt av den tyske matematikern Gerhard Frey (f. 1944), som berättade om den potentiella lösningen av Fermats ekvation. x n + y n = z n , Var n > 2 , med en annan, helt annan ekvation. Denna nya ekvation ges av en speciell kurva (kallad Freys elliptiska kurva). Frey-kurvan ges av en mycket enkel ekvation:
.

”Det var Frey som jämförde med varje beslut (a, b, c) Fermats ekvation, det vill säga tal som uppfyller sambandet a n + b n = c n, ovanstående kurva. I det här fallet skulle Fermats sista teorem följa."(Citat från: Abrarov D. "Fermat's Theorem: the phenomenon of Wiles' proofs")

Med andra ord, Gerhard Frey föreslog att ekvationen av Fermats sista sats x n + y n = z n , Var n > 2 , har lösningar i positiva heltal. Samma lösningar är, enligt Freys antagande, lösningar på hans ekvation
y2 + x (x - a n) (y + b n) = 0 , vilket ges av dess elliptiska kurva.

Andrew Wiles accepterade denna anmärkningsvärda upptäckt av Frey och med dess hjälp, matematisk metoden bevisade att detta fynd, det vill säga Freys elliptiska kurva, inte existerar. Därför finns det ingen ekvation och dess lösningar som ges av en obefintlig elliptisk kurva.Därför borde Wiles ha accepterat slutsatsen att det inte finns någon ekvation för Fermats sista sats och Fermats sats själv. Han accepterar dock en mer blygsam slutsats att ekvationen för Fermats sista sats inte har några lösningar i positiva heltal.

Ett ovedersägligt faktum kan vara att Wiles accepterade ett antagande som är exakt motsatt i betydelsen till vad som anges i Fermats stora sats. Det tvingar Wiles att bevisa Fermats sista teorem genom motsägelse. Låt oss följa hans exempel och se vad som kommer av detta exempel.

Fermats sista sats säger att ekvationen x n + y n = z n , Var n > 2 , har inga lösningar i positiva heltal.

Enligt den logiska metoden att bevisa genom motsägelse bibehålls detta påstående, accepteras som givet utan bevis och kompletteras sedan med ett motsatt påstående: ekvation x n + y n = z n , Var n > 2 , har lösningar i positiva heltal.

Det presumtiva uttalandet accepteras också som givet, utan bevis. Båda påståendena, betraktade ur logikens grundläggande lagar, är lika giltiga, lika giltiga och lika möjliga. Genom korrekt resonemang är det nödvändigt att avgöra vilket som är falskt för att sedan fastställa att det andra påståendet är sant.

Rätt resonemang slutar i en falsk, absurd slutsats, vars logiska skäl endast kan vara det motsägelsefulla villkoret för att satsen bevisas, som innehåller två delar av rakt motsatt betydelse. De var det logiska skälet till den absurda slutsatsen, resultatet av bevis genom motsägelse.

Men under ett logiskt korrekt resonemang upptäcktes inte ett enda tecken genom vilket det kunde fastställas vilket särskilt påstående som är falskt. Det kan vara ett påstående: ekvation x n + y n = z n , Var n > 2 , har lösningar i positiva heltal. På samma grund kan det vara följande påstående: ekvation x n + y n = z n , Var n > 2 , har inga lösningar i positiva heltal.

Som ett resultat av resonemanget kan det bara finnas en slutsats: Fermats sista sats kan inte bevisas genom motsägelse.

Det skulle vara en helt annan sak om Fermats sista sats var en invers sats, som har en direkt sats bevisad med den vanliga matematiska metoden. I det här fallet skulle det kunna bevisas genom motsägelse. Och eftersom det är en direkt sats, bör dess bevis inte baseras på den logiska metoden att bevisa genom motsägelse, utan på den vanliga matematiska metoden.

Enligt D. Abrarov reagerade den mest kända av moderna ryska matematiker, akademikern V. I. Arnold, "aktivt skeptiskt" på Wiles bevis. Akademikern uttalade: "det här är inte riktig matematik - riktig matematik är geometrisk och har starka kopplingar till fysik." (Citat från: Abrarov D. "Fermats sats: fenomenet med Wiles bevis." Akademikerns uttalande uttrycker själva essensen av Wiles icke-matematiska bevis för Fermats sista teorem.

Motsägelsefullt är det omöjligt att bevisa antingen att ekvationen i Fermats sista sats inte har några lösningar eller att den har lösningar. Wiles misstag är inte matematiskt, utan logiskt - användningen av bevis genom motsägelse där användningen inte är meningsfull och Fermats stora sats inte bevisar.

Fermats sista teorem kan inte bevisas ens med den vanliga matematiska metoden om den ger: ekvationen x n + y n = z n , Var n > 2 , har inga lösningar i positiva heltal, och om du vill bevisa i det: ekvationen x n + y n = z n , Var n > 2 , har inga lösningar i positiva heltal. I denna form finns det inte ett teorem, utan en tautologi utan mening.

Notera. Mitt BTF-bevis diskuterades på ett av forumen. En av Trotil-deltagarna, expert på talteori, gjorde följande auktoritativa uttalande med titeln: "En kort återberättelse om vad Mirgorodsky gjorde." Jag citerar det ordagrant:

« A. Han bevisade att om z 2 = x 2 + y , Den där z n > x n + y n . Detta är ett välkänt och ganska uppenbart faktum.

I. Han tog två trippel - pytagoreisk och icke-pytagoreisk och visade genom enkel sökning att för en specifik, specifik familj av trippel (78 och 210 stycken) är BTF nöjd (och bara för den).

MED. Och då har författaren utelämnat det faktum att från < i senare utsträckning kan det visa sig vara det = , inte bara > . Ett enkelt motexempel - övergång n=1 V n=2 i Pythagoras trippel.

D. Denna punkt bidrar inte med något väsentligt till BTF-beviset. Slutsats: BTF har inte bevisats.”

Jag kommer att överväga hans slutsats punkt för punkt.

A. Det bevisar BTF för hela den oändliga uppsättningen av trippel av Pythagoras tal. Bevisat med en geometrisk metod, som, som jag tror, ​​inte upptäcktes av mig, utan återupptäcktes. Och det upptäcktes, som jag tror, ​​av P. Fermat själv. Fermat kan ha haft detta i åtanke när han skrev:

"Jag har upptäckt ett verkligt underbart bevis på detta, men dessa fält är för smala för det." Mitt antagande är baserat på det faktum att i det diofantiska problemet, mot vilket Fermat skrev i bokens marginaler, talar vi om lösningar på den diofantiska ekvationen, som är tripletter av pythagoras tal.

En oändlig uppsättning trillingar av pythagoras tal är lösningar till den diofatiska ekvationen, och i Fermats sats, tvärtom, kan ingen av lösningarna vara en lösning på ekvationen för Fermats sats. Och Fermats verkligt underbara bevis är direkt relaterat till detta faktum. Fermat kunde senare utöka sitt sats till mängden av alla naturliga tal. På mängden av alla naturliga tal tillhör inte BTF "uppsättningen exceptionellt vackra satser." Detta är mitt antagande, som varken kan bevisas eller motbevisas. Det kan accepteras eller förkastas.

I. Vid det här laget bevisar jag att både familjen för en godtyckligt tagen pythagoras trippel av tal och familjen av en godtyckligt tagen icke-pythagoras trippel av BTF-tal är uppfyllda. Detta är en nödvändig, men otillräcklig och mellanliggande länk i mitt bevis på BTF . De exempel jag tog på familjen av trippeln av pythagoras tal och familjen av trippeln av icke-pytagoreiska tal har innebörden av specifika exempel som förutsätter och inte utesluter förekomsten av liknande andra exempel.

Trotils uttalande att jag "visade genom enkel sökning att för en specifik, specifik familj av trillingar (78 och 210 stycken) är BTF nöjd (och bara för det) är grundlöst. Han kan inte vederlägga det faktum att jag lika gärna kan ta andra exempel på pytagoreiska och icke-pytagoreiska trippel för att få en specifik bestämd familj av den ena och den andra trippeln.

Oavsett vilket par av trillingar jag tar, kan jag enligt min åsikt kontrollera deras lämplighet för att lösa problemet endast med den "enkla uppräkningsmetoden". Jag känner ingen annan metod och behöver den inte. Om Trotil inte gillade det så borde han ha föreslagit en annan metod, vilket han inte gör. Utan att erbjuda något i gengäld är det felaktigt att fördöma "enkel overkill", som i det här fallet är oersättlig.

MED. Jag har utelämnat = mellan< и < на основании того, что в доказательстве БТФ рассматривается уравнение z 2 = x 2 + y (1), i vilken graden n > 2 — hela Positivt nummer. Av jämlikheten mellan ojämlikheterna följer obligatorisk beaktande av ekvation (1) för ett gradvärde som inte är heltal n > 2 . Trotil, räknar obligatorisk hänsyn till jämlikhet mellan ojämlikheter faktiskt anser nödvändig i BTF-beviset, beaktande av ekvation (1) med inte hel gradvärde n > 2 . Jag gjorde detta för mig själv och hittade den ekvationen (1) med inte hel gradvärde n > 2 har en lösning med tre tal: z, (z-1), (z-1) för en icke-heltalsexponent.