Različni načini dokazovanja Pitagorovega izreka. Različni načini dokazovanja Pitagorovega izreka: primeri, opisi in pregledi Prvi Pitagorov izrek

Tisti, ki se zanimajo za zgodovino Pitagorovega izreka, ki se preučuje v šolskem kurikulumu, bodo radovedni tudi o tem, da je leta 1940 izšla knjiga s tristo sedemdesetimi dokazi tega na videz preprostega izreka. Vendar je navdušila mnoge matematike in filozofe različnih obdobij. V Guinnessovi knjigi rekordov je zapisan kot izrek z največjim številom dokazov.

Zgodovina Pitagorovega izreka

Izrek, povezan z imenom Pitagora, je bil znan že dolgo pred rojstvom velikega filozofa. Tako so v Egiptu med gradnjo objektov pred pet tisoč leti upoštevali razmerje stranic pravokotnega trikotnika. Babilonska besedila omenjajo enako razmerje stranic pravokotnega trikotnika 1200 let pred rojstvom Pitagore.

Postavlja se vprašanje, zakaj potem zgodba pravi - nastanek Pitagorovega izreka pripada njemu? Odgovor je lahko samo en - dokazal je razmerje stranic v trikotniku. Storil je tisto, česar pred stoletji niso storili tisti, ki so preprosto uporabljali izkustveno ugotovljeno razmerje stranic in hipotenuzo.

Iz življenja Pitagora

Bodoči veliki znanstvenik, matematik, filozof se je rodil na otoku Samos leta 570 pr. Zgodovinski dokumenti so ohranili podatke o očetu Pitagore, ki je bil rezbar draguljev, ni pa podatkov o njegovi materi. O rojenem dečku so povedali, da je bil izjemen otrok, ki je že od otroštva kazal strast do glasbe in poezije. Zgodovinarji pripisujejo Hermodamanta in Ferekida iz Sirosa učiteljema mladega Pitagore. Prvi je dečka uvedel v svet muz, drugi, ki je bil filozof in ustanovitelj italijanske filozofske šole, pa je mladeničev pogled usmeril v logos.

Pri 22 letih (548 pr. n. št.) je Pitagora odšel v Navkratis, da bi preučil jezik in vero Egipčanov. Nadalje je njegova pot potekala v Memfisu, kjer je po zaslugi duhovnikov, ki so opravili njihove iznajdljive teste, razumel egipčansko geometrijo, kar je morda radovednega mladeniča spodbudilo k dokazovanju Pitagorovega izreka. Zgodovina bo teoremu pozneje pripisala to ime.

Ujel ga je babilonski kralj

Na poti domov v Hellas Pitagoro ujame babilonski kralj. Toda bivanje v ujetništvu je koristilo radovednemu umu začetnika matematika, moral se je veliko naučiti. Dejansko je bila v teh letih matematika v Babilonu bolj razvita kot v Egiptu. Dvanajst let je preživel v študiju matematike, geometrije in magije. In morda je bila babilonska geometrija vpletena v dokaz razmerja stranic trikotnika in zgodovino odkritja izreka. Pitagora je imel za to dovolj znanja in časa. Da pa se je to zgodilo v Babilonu, ni dokumentarne potrditve ali zavrnitve tega.

Leta 530 pr Pitagora pobegne iz ujetništva v domovino, kjer živi na dvoru tirana Polikrata v statusu pol sužnja. Takšno življenje ne ustreza Pitagori in se umakne v jame Samosa, nato pa odide na jug Italije, kjer je bila takrat grška kolonija Croton.

Tajni meniški red

Na podlagi te kolonije je Pitagora organiziral tajni meniški red, ki je bil verska zveza in znanstveno društvo hkrati. Ta družba je imela svojo listino, ki je govorila o spoštovanju posebnega načina življenja.

Pitagora je trdil, da mora človek za razumevanje Boga poznati vede, kot sta algebra in geometrija, poznati astronomijo in razumeti glasbo. Raziskovalno delo se je zreduciralo na spoznavanje mistične strani števil in filozofije. Opozoriti je treba, da so načela, ki jih je takrat pridigal Pitagora, smiselna v današnjem času posnemati.

Številna odkritja Pitagorovih učencev so bila pripisana njemu. Kljub temu je na kratko zgodovina nastanka Pitagorejskega izreka s strani starodavnih zgodovinarjev in biografov tistega časa neposredno povezana z imenom tega filozofa, misleca in matematika.

Pitagorov nauk

Morda je idejo o povezavi izreka z imenom Pitagora spodbudila izjava velikega Grka zgodovinarjev, da so v razvpitem trikotniku s svojimi nogami in hipotenuzo šifrirani vsi pojavi našega življenja. In ta trikotnik je »ključ« za rešitev vseh težav, ki se pojavljajo. Veliki filozof je rekel, da je treba videti trikotnik, potem lahko domnevamo, da je problem dve tretjini rešen.

Pitagora je o svojem učenju pripovedoval samo ustno svojim učencem, ne da bi si delal zapiske, ki jih je skrival. Nauki največjega filozofa se žal niso ohranili do danes. Nekaj tega je ušlo, vendar je nemogoče reči, koliko je resnice in koliko laži v tem, kar je postalo znano. Tudi z zgodovino Pitagorovega izreka ni vse gotovo. Zgodovinarji matematike dvomijo o avtorstvu Pitagore, po njihovem mnenju je bil izrek uporabljen mnogo stoletij pred njegovim rojstvom.

Pitagorov izrek

Morda se zdi čudno, vendar ni nobenih zgodovinskih dejstev o dokazu izreka samega Pitagore - niti v arhivih niti v drugih virih. V sodobni različici se verjame, da pripada nikomur drugemu kot samemu Evklidu.

Obstajajo dokazi enega največjih zgodovinarjev matematike Moritza Cantorja, ki je na papirusu, shranjenem v berlinskem muzeju, odkril, da so Egipčani okoli leta 2300 pr. e. enakost, ki se glasi: 3² + 4² = 5².

Na kratko iz zgodovine Pitagorovega izreka

Formulacija izreka iz evklidskih "Začetkov" v prevodu zveni enako kot v sodobni interpretaciji. V njegovem branju ni nič novega: kvadrat stranice, ki je nasproti pravemu kotu, je enak vsoti kvadratov stranic, ki mejijo na pravi kot. Dejstvo, da sta starodavni civilizaciji Indije in Kitajske uporabljali teorem, potrjuje razprava Zhou Bi Suan Jin. Vsebuje informacije o egipčanskem trikotniku, ki opisuje razmerje stranic kot 3:4:5.

Nič manj zanimiva ni druga kitajska matematična knjiga "Chu-pei", ki prav tako omenja pitagorejski trikotnik z razlago in risbami, ki sovpadajo z risbami hindujske geometrije Baskhare. O samem trikotniku knjiga pravi, da če je pravi kot mogoče razstaviti na sestavne dele, potem bo črta, ki povezuje konce stranic, enaka pet, če je osnova tri, višina pa štiri.

Indijska razprava "Sulva Sutra", ki sega približno v 7.-5. stoletje pr. e., govori o konstrukciji pravega kota z uporabo egipčanskega trikotnika.

Dokaz izreka

V srednjem veku se je študentom zdelo dokazovanje izreka pretežko. Šibki učenci so se izreke učili na pamet, ne da bi razumeli pomen dokaza. V zvezi s tem so se prijeli vzdevek "osli", saj je bil Pitagorov izrek zanje nepremostljiva ovira, kot most za osla. V srednjem veku so si študentje na temo teorema omislili igriv verz.

Da bi na najlažji način dokazali Pitagorov izrek, morate preprosto izmeriti njegove stranice, ne da bi v dokazu uporabili koncept ploščin. Dolžina strani nasproti pravega kota je c, a in b pa sosednji, kot rezultat dobimo enačbo: a 2 + b 2 \u003d c 2. To trditev, kot je navedeno zgoraj, preverimo z merjenjem dolžin strani pravokotnega trikotnika.

Če začnemo dokaz izreka z upoštevanjem površine pravokotnikov, zgrajenih na straneh trikotnika, lahko določimo površino celotne figure. To bo enako površini kvadrata s stranico (a + b), na drugi strani pa vsoti površin štirih trikotnikov in notranjega kvadrata.

(a + b) 2 = 4 x ab/2 + c 2;

a 2 + 2ab + b 2;

c 2 = a 2 + b 2 , kar je bilo treba dokazati.

Praktični pomen Pitagorovega izreka je, da ga je mogoče uporabiti za iskanje dolžin segmentov, ne da bi jih izmerili. Med gradnjo konstrukcij se izračunajo razdalje, postavitev nosilcev in nosilcev, določijo se težišča. Pitagorov izrek se uporablja tudi v vseh sodobnih tehnologijah. Pri ustvarjanju filmov v 3D-6D dimenzijah niso pozabili na teorem, kjer se poleg običajnih 3 vrednosti upoštevajo še višina, dolžina, širina, čas, vonj in okus. Kako so okusi in vonji povezani s teoremom, se sprašujete? Vse je zelo preprosto - pri predvajanju filma morate izračunati, kam in kakšne vonjave in okuse usmeriti v avditorij.

To je šele začetek. Neomejen prostor za odkrivanje in ustvarjanje novih tehnologij čaka na radovedne ume.

Pitagorov izrek- eden od temeljnih izrekov evklidske geometrije, ki vzpostavlja razmerje

med stranicami pravokotnega trikotnika.

Domneva se, da jo je dokazal grški matematik Pitagora, po katerem je tudi poimenovana.

Geometrična formulacija Pitagorovega izreka.

Izrek je bil prvotno formuliran takole:

V pravokotnem trikotniku je površina kvadrata, zgrajenega na hipotenuzi, enaka vsoti površin kvadratov,

zgrajena na katetrih.

Algebraična formulacija Pitagorovega izreka.

V pravokotnem trikotniku je kvadrat dolžine hipotenuze enak vsoti kvadratov dolžin katet.

To pomeni, da označuje dolžino hipotenuze trikotnika skozi c, in dolžine krakov skozi a in b:

Obe formulaciji pitagorovi izreki so enakovredne, vendar je druga formulacija bolj elementarna, ne

zahteva koncept območja. To pomeni, da je drugo izjavo mogoče preveriti, ne da bi vedeli karkoli o območju in

z merjenjem samo dolžin stranic pravokotnega trikotnika.

Inverzni Pitagorov izrek.

Če je kvadrat ene stranice trikotnika enak vsoti kvadratov drugih dveh stranic, potem

trikotnik je pravokoten.

Ali z drugimi besedami:

Za katero koli trojko pozitivnih števil a, b in c, tako da

obstaja pravokotni trikotnik s kraki a in b in hipotenuzo c.

Pitagorov izrek za enakokraki trikotnik.

Pitagorov izrek za enakostranični trikotnik.

Dokazi Pitagorovega izreka.

Trenutno je v znanstveni literaturi zabeleženih 367 dokazov tega izreka. Verjetno izrek

Pitagorov izrek je edini s tako impresivnim številom dokazov. Takšna raznolikost

je mogoče razložiti le s temeljnim pomenom izreka za geometrijo.

Seveda jih lahko konceptualno vse razdelimo na manjše število razredov. Najbolj znani med njimi:

dokaz območna metoda, aksiomatično in eksotični dokazi(na primer,

z uporabo diferencialne enačbe).

1. Dokaz Pitagorovega izreka v smislu podobnih trikotnikov.

Naslednji dokaz algebraične formulacije je najenostavnejši izmed sestavljenih dokazov

neposredno iz aksiomov. Zlasti ne uporablja koncepta območja figure.

Pustiti ABC obstaja pravokotni trikotnik C. Narišimo višino iz C in označujejo

njegov temelj skozi H.

Trikotnik ACH podoben trikotniku AB C na dveh vogalih. Enako tudi trikotnik CBH podobno ABC.

Z uvedbo zapisa:

dobimo:

ki se ujema -

Ob zloženem a 2 in b 2, dobimo:

ali , kar je bilo treba dokazati.

2. Dokaz Pitagorovega izreka z metodo ploščin.

Naslednji dokazi kljub navidezni preprostosti sploh niso tako preprosti. Vse

uporabite lastnosti ploščine, katerih dokaz je bolj zapleten kot dokaz samega Pitagorovega izreka.

Dokaz z ekvikomplementacijo.

Razporedite štiri enake pravokotnike

trikotnik, kot je prikazano na sliki

na desni.

Štirikotnik s stranicami c- kvadrat,

ker je vsota dveh ostrih kotov 90°, in

razvit kot je 180°.

Površina celotne figure je na eni strani

površina kvadrata s stranico ( a+b), na drugi strani pa vsota ploščin štirih trikotnikov in

Q.E.D.

3. Dokaz Pitagorovega izreka z infinitezimalno metodo.

Ob upoštevanju risbe, prikazane na sliki, in

opazovanje menjave strania, mi lahko

zapišite naslednjo relacijo za neskončno

majhna stranski prirastkiz in a(z uporabo podobnosti

trikotniki):

Z metodo ločevanja spremenljivk najdemo:

Splošnejši izraz za spremembo hipotenuze v primeru prirastkov obeh katet:

Z integracijo te enačbe in uporabo začetnih pogojev dobimo:

Tako pridemo do želenega odgovora:

Kot lahko vidite, se kvadratna odvisnost v končni formuli pojavi zaradi linearne

sorazmernost med stranicami trikotnika in prirastki, medtem ko je vsota povezana z neodvisnikom

prispevki iz prirastka različnih nog.

Enostavnejši dokaz lahko dobimo, če predpostavimo, da eden od krakov ne doživi prirastka

(v tem primeru noga b). Nato za integracijsko konstanto dobimo:

Zgodovina

Chu-pei 500-200 pr. Na levi je napis: vsota kvadratov dolžin višine in osnove je kvadrat dolžine hipotenuze.

V starodavni kitajski knjigi Chu-pei ( angleščina) (kitajsko 周髀算經) govori o pitagorejskem trikotniku s stranicami 3, 4 in 5. V isti knjigi je predlagana risba, ki sovpada z eno od risb hindujske geometrije Baskhare.

Okoli leta 400 pr. e., po Proklu, je Platon dal metodo za iskanje pitagorejskih trojk, ki združuje algebro in geometrijo. Okoli leta 300 pr. e. Evklidovi Elementi vsebujejo najstarejši aksiomatski dokaz Pitagorovega izreka.

Besedilo

Geometrijska formulacija:

Izrek je bil prvotno formuliran takole:

Algebraična formulacija:

To pomeni, da označujemo dolžino hipotenuze trikotnika skozi in dolžine nog skozi in:

Obe formulaciji izreka sta enakovredni, vendar je druga formulacija bolj elementarna, ne zahteva koncepta ploščine. To pomeni, da je drugo trditev mogoče preveriti, ne da bi vedeli karkoli o območju in z merjenjem le dolžin strani pravokotnega trikotnika.

Inverzni Pitagorov izrek:

Za katero koli trojko pozitivnih števil in , tako da obstaja pravokotni trikotnik s katetama in in hipotenuzo .

Dokaz

Trenutno je v znanstveni literaturi zabeleženih 367 dokazov tega izreka. Verjetno je Pitagorov izrek edini izrek s tako impresivnim številom dokazov. Takšno raznolikost je mogoče pojasniti le s temeljnim pomenom izreka za geometrijo.

Seveda jih lahko konceptualno vse razdelimo na manjše število razredov. Najbolj znani med njimi: dokazi po metodi območij, aksiomatski in eksotični dokazi (na primer z uporabo diferencialnih enačb).

Skozi podobne trikotnike

Naslednji dokaz algebraične formulacije je najpreprostejši od dokazov, zgrajenih neposredno iz aksiomov. Zlasti ne uporablja koncepta površine figure.

Pustiti ABC obstaja pravokotni trikotnik C. Narišimo višino iz C in njegovo osnovo označimo z H. Trikotnik ACH podoben trikotniku ABC na dveh kotih. Enako tudi trikotnik CBH podobno ABC. Predstavitev notnega zapisa

dobimo

Kaj je enakovredno

Če dodamo, dobimo

, kar je bilo treba dokazati

Območna dokazila

Naslednji dokazi kljub navidezni preprostosti sploh niso tako preprosti. Vsi uporabljajo lastnosti ploščine, katerih dokaz je bolj zapleten kot dokaz samega Pitagorovega izreka.

Dokaz z enakovrednostjo

Razporedite štiri enake pravokotne trikotnike, kot je prikazano na sliki 1.
Štirikotnik s stranicami c je kvadrat, ker je vsota dveh ostrih kotov 90° in ravnega kota 180°.
Ploščina celotne figure je na eni strani enaka površini kvadrata s stranico (a + b), na drugi strani pa vsoti ploščin štirih trikotnikov in površine notranjega kvadrata.

Q.E.D.

Evklidov dokaz

Ideja Evklidovega dokaza je naslednja: poskusimo dokazati, da je polovica ploščine kvadrata, zgrajenega na hipotenuzi, enaka vsoti polploščin kvadratov, zgrajenih na nogah, in nato površin veliki in dva mala kvadrata sta enaka.

Razmislite o risbi na levi. Na stranicah pravokotnega trikotnika smo zgradili kvadrate in iz oglišča pravega kota C potegnili žarek s pravokotno na hipotenuzo AB, ta kvadrat ABIK, zgrajen na hipotenuzi, reže na dva pravokotnika - BHJI in HAKJ , oz. Izkazalo se je, da so površine teh pravokotnikov popolnoma enake površinam kvadratov, zgrajenih na ustreznih krakih.

Poskusimo dokazati, da je ploščina kvadrata DECA enaka ploščini pravokotnika AHJK. Za to uporabimo pomožno opazovanje: ploščina trikotnika z enako višino in osnovo, kot je dana pravokotnik je enak polovici površine danega pravokotnika. To je posledica definiranja površine trikotnika kot polovice produkta osnove in višine. Iz tega opazovanja sledi, da je ploščina trikotnika ACK enaka ploščini trikotnika AHK (ni prikazan), ki pa je enaka polovici ploščine pravokotnika AHJK.

Dokažimo zdaj, da je tudi ploščina trikotnika ACK enaka polovici ploščine kvadrata DECA. Edina stvar, ki jo je treba narediti za to, je dokazati enakost trikotnikov ACK in BDA (ker je površina trikotnika BDA enaka polovici površine kvadrata glede na zgornjo lastnost). Ta enakost je očitna: trikotnika sta enaka po obeh stranicah in kotu med njima. Namreč - AB=AK, AD=AC - enakost kotov CAK in BAD je enostavno dokazati z metodo gibanja: zavrtimo trikotnik CAK za 90 ° v nasprotni smeri urinega kazalca, potem je očitno, da bosta ustrezni stranici obeh obravnavanih trikotnikov sovpadali. (zaradi dejstva, da je kot na vrhu kvadrata 90°).

Trditev o enakosti ploščin kvadrata BCFG in pravokotnika BHJI je popolnoma analogna.

Tako smo dokazali, da je površina kvadrata, zgrajenega na hipotenuzi, vsota površin kvadratov, zgrajenih na nogah. Ideja za tem dokazom je dodatno ponazorjena z zgornjo animacijo.

Dokaz o Leonardu da Vinciju

Glavna elementa dokaza sta simetrija in gibanje.

Razmislite o risbi, kot je razvidno iz simetrije, segment razreže kvadrat na dva enaka dela (ker sta trikotnika in enaka v konstrukciji).

Z vrtenjem v nasprotni smeri urnega kazalca za 90 stopinj okoli točke vidimo enakost osenčenih številk in .

Zdaj je jasno, da je površina figure, ki smo jo zasenčili, enaka vsoti polovice površin majhnih kvadratov (zgrajenih na nogah) in površine prvotnega trikotnika. Po drugi strani pa je enako polovici površine velikega kvadrata (zgrajenega na hipotenuzi) plus površini prvotnega trikotnika. Tako je polovica vsote površin majhnih kvadratov enaka polovici površine velikega kvadrata, zato je vsota ploščin kvadratov, zgrajenih na nogah, enaka površini zgrajenega kvadrata na hipotenuzo.

Dokaz z infinitezimalno metodo

Naslednji dokaz z uporabo diferencialnih enačb se pogosto pripisuje znanemu angleškemu matematiku Hardyju, ki je živel v prvi polovici 20. stoletja.

Upoštevajte risbo, prikazano na sliki, in opazujte spremembo strani a, lahko zapišemo naslednjo zvezo za infinitezimalne stranske prirastke z in a(z uporabo podobnih trikotnikov):

Z metodo ločevanja spremenljivk najdemo

Splošnejši izraz za spremembo hipotenuze v primeru prirastkov obeh katet

Z integracijo te enačbe in uporabo začetnih pogojev dobimo

Tako pridemo do želenega odgovora

Kot lahko vidimo, se kvadratna odvisnost v končni formuli pojavi zaradi linearne sorazmernosti med stranicami trikotnika in prirastki, vsota pa zaradi neodvisnih prispevkov prirastka različnih krakov.

Enostavnejši dokaz lahko dobimo, če predpostavimo, da eden od krakov ne doživi prirastka (v tem primeru krak). Potem dobimo integracijsko konstanto

Različice in posplošitve

Podobne geometrijske oblike na treh straneh

Posplošitev za podobne trikotnike, površina zelenih likov A + B = površina modrih C

Pitagorov izrek z uporabo podobnih pravokotnih trikotnikov

Posplošitev Pitagorovega izreka je naredil Evklid v svojem delu Začetki, razširitev območij kvadratov na straneh na območja podobnih geometrijskih oblik:

Če zgradimo podobne geometrijske figure (glej evklidsko geometrijo) na straneh pravokotnega trikotnika, potem bo vsota dveh manjših številk enaka površini večje figure.

Glavna ideja te posplošitve je, da je površina takšne geometrijske figure sorazmerna s kvadratom katere koli njene linearne dimenzije in zlasti s kvadratom dolžine katere koli strani. Zato za podobne številke s površinami A, B in C zgrajena na straneh z dolžino a, b in c, imamo:

Toda glede na Pitagorov izrek, a 2 + b 2 = c 2, torej A + B = C.

Nasprotno, če lahko to dokažemo A + B = C za tri podobne geometrijske figure brez uporabe Pitagorovega izreka, potem lahko dokažemo sam izrek, ki se premika v nasprotni smeri. Na primer, začetni sredinski trikotnik se lahko ponovno uporabi kot trikotnik C na hipotenuzo in dva podobna pravokotna trikotnika ( A in B), zgrajena na drugih dveh straneh, ki nastaneta kot posledica delitve osrednjega trikotnika po njegovi višini. Vsota dveh manjših ploščin trikotnikov je potem očitno enaka ploščini tretjega, torej A + B = C in z izvedbo prejšnjih dokazov v obratnem vrstnem redu dobimo Pitagorov izrek a 2 + b 2 = c 2 .

Kosinusni izrek

Pitagorov izrek je poseben primer splošnejšega kosinusnega izreka, ki povezuje dolžine stranic v poljubnem trikotniku:

kjer je θ kot med stranicama a in b.

Če je θ 90 stopinj, potem je cos θ = 0 in formula je poenostavljena na običajen Pitagorov izrek.

Poljubni trikotnik

V poljuben izbrani kot poljubnega trikotnika s stranicami a, b, c enakokrakemu trikotniku vpišimo tako, da sta enaka kota pri njegovi osnovici θ enaka izbranemu kotu. Predpostavimo, da se izbrani kot θ nahaja nasproti navedene stranice c. Kot rezultat smo dobili trikotnik ABD s kotom θ, ki se nahaja nasproti stranice a in zabave r. Drugi trikotnik tvori kot θ, ki je nasproti stranice b in zabave z dolžina s, kot je prikazano na sliki. Thabit Ibn Qurra je izjavil, da so stranice v teh treh trikotnikih povezane takole:

Ko se kot θ približuje π/2, se osnovica enakokrakega trikotnika zmanjšuje in stranici r in s se čedalje manj prekrivata. Ko je θ = π/2, se ADB spremeni v pravokotni trikotnik, r + s = c in dobimo začetni Pitagorov izrek.

Poglejmo enega od argumentov. Trikotnik ABC ima enake kote kot trikotnik ABD, vendar v obratnem vrstnem redu. (Trikotnika imata skupni kot pri oglišču B, oba imata kot θ in imata tudi enak tretji kot glede na vsoto kotov trikotnika) V skladu s tem je ABC podoben odboju ABD trikotnika DBA, kot je prikazano na spodnji sliki. Zapišimo razmerje med nasprotnimi stranmi in tistimi, ki mejijo na kot θ,

Enako velja za odsev drugega trikotnika,

Pomnožite ulomke in seštejte ti dve razmerji:

Q.E.D.

Posplošitev za poljubne trikotnike preko paralelogramov

Posplošitev za poljubne trikotnike,
območje zelene barve parcela = površina modra

Dokaz teze, da na zgornji sliki

Naredimo nadaljnjo posplošitev za nepravokotne trikotnike z uporabo paralelogramov s tremi stranicami namesto kvadratov. (kvadrati so poseben primer.) Zgornja slika kaže, da je za ostrokotni trikotnik ploščina paralelograma na dolgi strani enaka vsoti paralelogramov na drugih dveh stranicah, pod pogojem, da je paralelogram na dolga stranica je sestavljena, kot je prikazano na sliki (s puščicami označene mere so enake in določajo stranice spodnjega paralelograma). Ta zamenjava kvadratov s paralelogrami je jasno podobna začetnemu Pitagorovemu izreku in domneva se, da ga je formuliral Papus iz Aleksandrije leta 4 n. e.

Spodnja slika prikazuje potek dokazovanja. Poglejmo levo stran trikotnika. Levi zeleni paralelogram ima enako ploščino kot leva stran modrega paralelograma, ker imata isto osnovo b in višina h. Poleg tega ima levo zeleno polje enako površino kot levo zeleno polje na zgornji sliki, ker imata skupno osnovo (zgornjo levo stran trikotnika) in skupno višino, pravokotno na to stran trikotnika. Podobno trdimo za desno stran trikotnika in dokažemo, da ima spodnji paralelogram enako ploščino kot oba zelena paralelograma.

Kompleksna števila

Pitagorov izrek se uporablja za iskanje razdalje med dvema točkama v kartezičnem koordinatnem sistemu in ta izrek velja za vse prave koordinate: razdalja s med dvema točkama ( a, b) in ( c, d) je enako

S formulo ni težav, če kompleksna števila obravnavamo kot vektorje z realnimi komponentami x + jaz y = (x, l). . Na primer razdalja s med 0 + 1 jaz in 1 + 0 jaz izračunaj kot modul vektorja (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), oz

Za operacije z vektorji s kompleksnimi koordinatami pa je treba Pitagorejsko formulo nekoliko izboljšati. Razdalja med točkami s kompleksnimi števili ( a, b) in ( c, d); a, b, c, in d vse kompleksne, oblikujemo z uporabo absolutnih vrednosti. Razdalja s temelji na vektorski razliki (a − c, b − d) v naslednji obliki: naj razlika a − c = str+ i q, kje str je pravi del razlike, q je imaginarni del in i = √(−1). Prav tako naj b − d = r+ i s. Nato:

kjer je kompleksni konjugat od . Na primer razdalja med točkami (a, b) = (0, 1) in (c, d) = (jaz, 0) , izračunajte razliko (a − c, b − d) = (−jaz, 1) in rezultat bi bil 0, če ne bi uporabili kompleksnih konjugatov. Zato z uporabo izboljšane formule dobimo

Modul je definiran takole:

Stereometrija

Pomembna posplošitev Pitagorovega izreka za tridimenzionalni prostor je de Guajev izrek, imenovan po J.-P. de Gua: če ima tetraeder pravi kot (kot v kocki), potem je kvadrat površine ploskve nasproti pravega kota enak vsoti kvadratov površin drugih treh ploskev. Ta sklep lahko povzamemo kot " n-dimenzionalni Pitagorov izrek":

Pitagorov izrek v treh dimenzijah povezuje diagonalo AD s tremi stranicami.

Še ena posplošitev: Pitagorov izrek lahko uporabimo za stereometrijo v naslednji obliki. Razmislite o pravokotni škatli, kot je prikazano na sliki. Poiščite dolžino diagonale BD s pomočjo Pitagorovega izreka:

kjer tri stranice tvorijo pravokotni trikotnik. Uporabite vodoravno diagonalo BD in navpični rob AB, da poiščete dolžino diagonale AD, spet z uporabo Pitagorovega izreka:

ali, če je vse zapisano v eni enačbi:

Ta rezultat je 3D izraz za določanje velikosti vektorja v(diagonala AD), izražena z njegovimi pravokotnimi komponentami ( v k) (tri medsebojno pravokotne stranice):

Na to enačbo lahko gledamo kot na posplošitev Pitagorovega izreka za večdimenzionalni prostor. Vendar pa rezultat pravzaprav ni nič drugega kot ponavljajoča se uporaba Pitagorovega izreka na zaporedje pravokotnih trikotnikov v zaporedoma pravokotnih ravninah.

vektorski prostor

V primeru pravokotnega sistema vektorjev velja enakost, ki jo imenujemo tudi Pitagorov izrek:

Če - to so projekcije vektorja na koordinatne osi, potem ta formula sovpada z evklidsko razdaljo - in pomeni, da je dolžina vektorja enaka kvadratnemu korenu vsote kvadratov njegovih komponent.

Analog te enakosti v primeru neskončnega sistema vektorjev se imenuje Parsevalova enakost.

Neevklidska geometrija

Pitagorov izrek je izpeljan iz aksiomov evklidske geometrije in dejansko ne velja za neevklidsko geometrijo, v obliki, kot je zapisan zgoraj. (To pomeni, da se Pitagorov izrek izkaže kot nekakšen ekvivalent Evklidovemu postulatu o vzporednosti.) Z drugimi besedami, v neevklidski geometriji bo razmerje med stranicami trikotnika nujno v drugačni obliki od Pitagorovega izreka . Na primer, v sferični geometriji so vse tri strani pravokotnega trikotnika (recimo a, b in c), ki omejujejo oktant (osmino) enotske krogle, imajo dolžino π/2, kar je v nasprotju s Pitagorovim izrekom, ker a 2 + b 2 ≠ c 2 .

Tukaj razmislite o dveh primerih neevklidske geometrije - sferični in hiperbolični geometriji; v obeh primerih, tako kot za evklidski prostor za pravokotne trikotnike, rezultat, ki nadomešča Pitagorov izrek, sledi iz kosinusnega izreka.

Vendar pa Pitagorov izrek ostane veljaven za hiperbolično in eliptično geometrijo, če zahtevo, da je trikotnik pravokoten, nadomestimo s pogojem, da mora biti vsota dveh kotov trikotnika enaka tretjemu, npr. A+B = C. Potem je razmerje med stranicami videti takole: vsota ploščin krogov s premeri a in b enaka površini kroga s premerom c.

sferična geometrija

Za vsak pravokotni trikotnik na krogli s polmerom R(na primer, če je kot γ v trikotniku pravi) s stranicami a, b, c razmerje med strankama bo izgledalo takole:

To enakost lahko izpeljemo kot poseben primer sferičnega kosinusnega izreka, ki velja za vse sferične trikotnike:

kjer je cosh hiperbolični kosinus. Ta formula je poseben primer hiperboličnega kosinusnega izreka, ki velja za vse trikotnike:

kjer je γ kot, katerega vrh je nasproti stranice c.

kje g ij se imenuje metrični tenzor. Lahko je položajna funkcija. Takšni ukrivljeni prostori vključujejo Riemannovo geometrijo kot pogost primer. Ta formulacija je primerna tudi za evklidski prostor pri uporabi krivuljnih koordinat. Na primer za polarne koordinate:

vektorski izdelek

Pitagorov izrek povezuje dva izraza za velikost vektorskega produkta. Eden od pristopov k definiranju navzkrižnega produkta zahteva, da izpolnjuje enačbo:

ta formula uporablja pikčasti produkt. Desna stran enačbe se imenuje Gramova determinanta za a in b, ki je enaka površini paralelograma, ki ga tvorita ta dva vektorja. Na podlagi te zahteve, kot tudi zahteve, da je vektorski produkt pravokoten na svoje komponente a in b iz tega sledi, da je vektorski produkt, razen v trivialnih primerih 0- in 1-dimenzionalnega prostora, definiran samo v treh in sedmih dimenzijah. Uporabimo definicijo kota v n-dimenzionalni prostor:

ta lastnost vektorskega produkta daje njegovo vrednost v naslednji obliki:

S pomočjo temeljne trigonometrične identitete Pitagore dobimo drugo obliko zapisa njegove vrednosti:

Alternativni pristop k definiranju navzkrižnega produkta uporablja izraz za njegovo velikost. Nato z argumentiranjem v obratnem vrstnem redu dobimo povezavo s skalarnim produktom:

Poglej tudi

Opombe

Tema zgodovine: Pitagorov izrek v babilonski matematiki
( , str. 351) str. 351
( , zvezek I, str. 144)
Razprava o zgodovinskih dejstvih je podana v (, str. 351) str. 351
Kurt Von Fritz (april 1945). "Odkritje nesorazmernosti Hipasa iz Metaponta". Annals of Mathematics, druga serija(Annals of Mathematics) 46 (2): 242–264.
Lewis Carroll, "Zgodba z vozli", M., Mir, 1985, str. 7
Asger Aaboe Epizode iz zgodnje zgodovine matematike. - Mathematical Association of America, 1997. - Str. 51. - ISBN 0883856131
Pitagorov predlog avtorja Elisha Scott Loomis
Evklidovega Elementi: Knjiga VI, Propozicija VI 31: "V pravokotnih trikotnikih je lik na stranici, ki zajema pravi kot, enak podobnim in podobno opisanim likom na stranicah, ki obsegajo pravi kot."
Lawrence S. Leff citirano delo. - Barron's Educational Series - Str. 326. - ISBN 0764128922
Howard Whitley Eves§4.8:...generalizacija Pitagorovega izreka // Veliki trenutki v matematiki (pred 1650) . - Mathematical Association of America, 1983. - Str. 41. - ISBN 0883853108
Tâbit ibn Qorra (polno ime Thābit ibn Qurra ibn Marwan Al-Ṣābiʾ al-Ḥarrānī) (826-901 AD) je bil zdravnik, ki je živel v Bagdadu in je veliko pisal o Evklidovih Elementih in drugih matematičnih temah.
Aydin Sayili (mar. 1960). "Posplošitev Pitagorejskega izreka Thâbita ibn Qurre". Isis 51 (1): 35–37. DOI: 10.1086/348837.
Judith D. Sally, Paul Sally Vaja 2.10(ii) // Citirano delo . - Str. 62. - ISBN 0821844032
Za podrobnosti o taki konstrukciji glej George Jennings Slika 1.32: Posplošen Pitagorov izrek // Moderna geometrija z aplikacijami: s 150 slikami . - 3. - Springer, 1997. - Str. 23. - ISBN 038794222X
Arlen Brown, Carl M. Pearcy postavka C: Norma za poljubno n-tuple ... // Uvod v analizo. - Springer, 1995. - Str. 124. - ISBN 0387943692 Glej tudi strani 47-50.
Alfred Gray, Elsa Abbena, Simon Salamon Sodobna diferencialna geometrija krivulj in površin z Mathematico. - 3. - CRC Press, 2006. - Str. 194. - ISBN 1584884487
Rajendra Bhatia matrična analiza. - Springer, 1997. - Str. 21. - ISBN 0387948465
Stephen W. Hawking citirano delo. - 2005. - Str. 4. - ISBN 0762419229

Izrek

V pravokotnem trikotniku je kvadrat dolžine hipotenuze enak vsoti kvadratov dolžin nog (slika 1):

$c^(2)=a^(2)+b^(2)$

Dokaz Pitagorovega izreka

Naj bo trikotnik $A B C$ pravokoten trikotnik s pravim kotom $C$ (slika 2).

Narišimo višino iz oglišča $C$ do hipotenuze $A B$, osnovo višine označimo z $H$ .

Pravokotni trikotnik $A C H$ je podoben trikotniku $A B C$ v dveh kotih ($\kot A C B=\kot C H A=90^(\circ)$, $\kot A$ je pogost). Podobno je trikotnik $C B H$ podoben $A B C$.

Predstavitev notnega zapisa

$$B C=a, A C=b, A B=c$$

iz podobnosti trikotnikov dobimo to

$$\frac(a)(c)=\frac(H B)(a), \frac(b)(c)=\frac(A H)(b)$$

Zato imamo to

$$a^(2)=c \cdot H B, b^(2)=c \cdot A H$$

Če seštejemo dobljene enakosti, dobimo

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot H B+c \cdot A H$$

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot(H B+A H)$$

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot A B$$

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot c$$

$$a^(2)+b^(2)=c^(2)$$

Q.E.D.

Geometrična formulacija Pitagorovega izreka

Izrek

V pravokotnem trikotniku je površina kvadrata, zgrajenega na hipotenuzi, enaka vsoti površin kvadratov, zgrajenih na nogah (slika 2):

Primeri reševanja problemov

Primer

telovadba. Dan vam je pravokotni trikotnik $A B C$ s katetama 6 cm in 8 cm Poiščite hipotenuzo tega trikotnika.

Odločitev. Glede na pogoj kraka $a=6$ cm, $b=8$ cm Potem je po Pitagorovem izreku kvadrat hipotenuze

$c^(2)=a^(2)+b^(2)=6^(2)+8^(2)=36+64=100$

Tako dobimo zahtevano hipotenuzo

$c=\sqrt(100)=10$ (cm)

Odgovori. 10 cm

Primer

telovadba. Poiščite površino pravokotnega trikotnika, če je znano, da je ena njegova noga 5 cm daljša od druge, hipotenuza pa 25 cm.

Odločitev. Naj bo $x$ cm dolžina manjšega kraka, potem je $(x+5)$ cm dolžina večjega. Potem imamo po Pitagorovem izreku:

$$x^(2)+(x+5)^(2)=25^(2)$$

Odpremo oklepaje, zmanjšamo podobne in rešimo nastalo kvadratno enačbo:

$x^(2)+5 x-300=0$

Po Vietovem izreku dobimo to

$x_(1)=15$ (cm) , $x_(2)=-20$ (cm)

Vrednost $x_(2)$ ne zadošča pogoju naloge, kar pomeni, da je manjši krak 15 cm, večji pa 20 cm.

Ploščina pravokotnega trikotnika je polovica produkta dolžin njegovih krakov, tj

$$S=\frac(15 \cdot 20)(2)=15 \cdot 10=150\levo(\mathrm(cm)^(2)\desno)$$

Odgovori.$S=150\levo(\mathrm(cm)^(2)\desno)$

Zgodovinska referenca

Pitagorov izrek- eden temeljnih izrekov evklidske geometrije, ki določa razmerje med stranicami pravokotnega trikotnika.

Starodavna kitajska knjiga "Zhou bi suan jing" govori o pitagorejskem trikotniku s stranicami 3, 4 in 5. Največji nemški zgodovinar matematike Moritz Kantor (1829 - 1920) meni, da je enakost $3^(2)+4^(2 )=5^ (2) $ so poznali že Egipčani okoli leta 2300 pr. Po mnenju znanstvenika so gradbeniki nato zgradili prave kote s pomočjo pravokotnih trikotnikov s stranicami 3, 4 in 5. Nekaj več je o Pitagorovem izreku znanega med Babilonci. Eno besedilo podaja približen izračun hipotenuze enakokrakega pravokotnega trikotnika.

Besedilo dela je postavljeno brez slik in formul.
Celotna različica dela je na voljo v zavihku "Job Files" v formatu PDF

Uvod

Pri šolskem tečaju geometrije se s pomočjo Pitagorovega izreka rešujejo le matematični problemi. Na žalost vprašanje praktične uporabe Pitagorovega izreka ni obravnavano.

V zvezi s tem je bil namen mojega dela ugotoviti obseg Pitagorovega izreka.

Trenutno je splošno znano, da je uspeh razvoja številnih področij znanosti in tehnologije odvisen od razvoja različnih področij matematike. Pomemben pogoj za povečanje učinkovitosti proizvodnje je razširjena uvedba matematičnih metod v tehnologijo in nacionalno gospodarstvo, kar vključuje ustvarjanje novih, učinkovitih metod kvalitativnih in kvantitativnih raziskav, ki omogočajo reševanje problemov, ki jih postavlja praksa.

Razmislil bom o primerih praktične uporabe Pitagorovega izreka. Ne bom poskušal podati vseh primerov uporabe izreka - to bi bilo komaj mogoče. Področje uporabe teorema je precej obsežno in ga na splošno ni mogoče navesti dovolj popolno.

Hipoteza:

Z uporabo Pitagorovega izreka lahko rešite ne le matematične probleme.

Za to raziskovalno delo je opredeljen naslednji cilj:

Ugotovite obseg Pitagorovega izreka.

Na podlagi zgornjega cilja so bile opredeljene naslednje naloge:

Zberite informacije o praktični uporabi Pitagorovega izreka v različnih virih in določite področja uporabe izreka.

Naučite se nekaj zgodovinskih informacij o Pitagori in njegovem izreku.

Pokažite uporabo izreka pri reševanju zgodovinskih problemov.

Obdelajte zbrane podatke o temi.

Ukvarjal sem se z iskanjem in zbiranjem informacij – preučeval sem tiskovine, obdeloval gradivo na internetu in obdelal zbrane podatke.

Raziskovalna metodologija:

Študij teoretičnega gradiva.

Študij raziskovalnih metod.

Praktična izvedba študija.

Komunikativnost (metoda merjenja, spraševanje).

Vrsta projekta: informacijske raziskave. Delo je potekalo v prostem času.

O Pitagori.

Pitagora je starogrški filozof, matematik in astronom. Utemeljil je številne lastnosti geometrijskih likov, razvil matematično teorijo števil in njihovih razmerij. Pomembno je prispeval k razvoju astronomije in akustike. Avtor "Zlatih verzov", ustanovitelj pitagorejske šole v Crotonu.

Po legendi se je Pitagora rodil okoli leta 580 pr. e. na otoku Samos v bogati trgovski družini. Njegova mati Pitaza je dobila ime po Pitiji, Apolonovi svečenici. Pitija je Mnesarhu in njegovi ženi napovedala rojstvo sina, sin je bil tudi poimenovan po Pitiji. Po mnogih starodavnih pričevanjih je bil fant pravljično lep in je kmalu pokazal svoje izjemne sposobnosti. Prvo znanje je prejel od očeta Mnesarchusa, draguljarja in rezbarja dragih kamnov, ki je sanjal, da bo njegov sin nadaljeval njegovo delo. A življenje je presodilo drugače. Bodoči filozof je pokazal veliko sposobnost za znanost. Med Pitagorovimi učitelji sta bila Ferekid iz Sirosa in starejši Germodamant. Prvi je fantu privzgojil ljubezen do znanosti, drugi pa do glasbe, slikanja in poezije. Nato se je Pitagora srečal s slavnim filozofom - matematikom Thalesom iz Mileta in po njegovem nasvetu odšel v Egipt - središče takratne znanstvene in raziskovalne dejavnosti. Po 22 letih življenja v Egiptu in 12 letih v Babilonu se je vrnil na otok Samos, nato pa ga je iz neznanih razlogov zapustil in se preselil v mesto Croton v južni Italiji. Tu je ustvaril pitagorejsko šolo (zvezo), ki je preučevala različna vprašanja filozofije in matematike. V starosti približno 60 let se je Pitagora poročil s Theano, eno od svojih učencev. Imata tri otroke in vsi postanejo sledilci svojega očeta. Za zgodovinske razmere tistega časa je značilno široko gibanje demosa proti oblasti aristokratov. V begu pred valovi ljudske jeze so se Pitagora in njegovi učenci preselili v mesto Tarentum. Po eni različici: K njemu je prišel Kilon, bogat in zloben mož, ki se je hotel pijan pridružiti bratovščini. Ker je bil Cylon zavrnjen, je začel boj s Pitagoro. Med požarom so učenci na svojo ceno rešili življenje učitelja. Pitagora je začel domotožje in je kmalu naredil samomor.

Treba je opozoriti, da je to ena od variant njegove biografije. Natančni datumi njegovega rojstva in smrti niso bili ugotovljeni, veliko dejstev njegovega življenja je protislovnih. Nekaj pa je jasno: ta človek je živel in svojim potomcem zapustil veliko filozofsko in matematično dediščino.

Pitagorov izrek.

Pitagorov izrek je najpomembnejša izjava geometrije. Izrek je formuliran na naslednji način: površina kvadrata, zgrajenega na hipotenuzi pravokotnega trikotnika, je enaka vsoti površin kvadratov, zgrajenih na njegovih nogah.

Odkritje te izjave pripisujejo Pitagori s Samosa (XII. stoletje pr. n. št.)

Preučevanje babilonskih klinopisnih tablic in starodavnih kitajskih rokopisov (kopije še starejših rokopisov) je pokazalo, da je bil slavni izrek znan že dolgo pred Pitagoro, morda nekaj tisočletij pred njim.

(Vendar obstaja domneva, da ji je Pitagora dal popoln dokaz)

Vendar obstaja še eno mnenje: v pitagorejski šoli je bil čudovit običaj pripisati vse zasluge Pitagori in si nekoliko ne prilastiti slave odkriteljev, razen morda v nekaj primerih.

(Iamblichus-sirski grško govoreči pisatelj, avtor traktata "Življenje Pitagore." (II. stoletje našega štetja)

Tako nemški zgodovinar matematike Kantor meni, da je bila enakost 3 2 + 4 2= 5 2

poznan Egipčanom okoli leta 2300 pr. e. v času kralja Amenechmeta (po papirusu 6619 Berlinskega muzeja). Nekateri menijo, da je Pitagora dal izrek popoln dokaz, medtem ko mu drugi to zaslugo odrekajo.

Nekateri pripisujejo Pitagori dokaz, ki ga je podal Evklid v svojih Elementih. Po drugi strani pa Proclus (matematik, 5. stoletje) trdi, da je dokaz v "Načelih" pripadal samemu Evklidu, to pomeni, da zgodovina matematike skoraj nima zanesljivih podatkov o matematični dejavnosti Pitagore. V matematiki morda ni nobenega drugega izreka, ki bi si zaslužil najrazličnejše primerjave.

Na nekaterih seznamih Evklidovih "Začetkov" se je ta izrek imenoval "izrek o nimfi" zaradi podobnosti risbe s čebelo, metuljem ("izrek o metulju"), ki se je v grščini imenovala nimfa. S to besedo so Grki imenovali tudi nekatere druge boginje, pa tudi mladenke in neveste. Arabski prevajalec ni bil pozoren na risbo in je besedo "nimfa" prevedel kot "nevesta". Tako se je pojavilo ljubkovalno ime "nevestin izrek". Obstaja legenda, da se je Pitagora s Samosa, ko je dokazal svoj teorem, zahvalil bogovom tako, da je žrtvoval 100 bikov. Zato drugo ime - "teorem stotih bikov."

V angleško govorečih deželah so ga imenovali: "windmill", "peacock tail", "bride's chair", "donkey bridge" (če ga učenec ni mogel "prečkati", potem je bil pravi "oslov")

V predrevolucionarni Rusiji so risbo Pitagorejskega izreka za primer enakokrakega trikotnika imenovali "Pitagorejske hlače".

Te "hlače" se pojavijo, ko na vsaki strani pravokotnega trikotnika zgradite kvadrate navzven.

Koliko različnih dokazov Pitagorovega izreka obstaja?

Od časa Pitagore se jih je pojavilo več kot 350. Izrek je bil uvrščen v Guinnessovo knjigo rekordov. Če analiziramo dokaze teorema, potem uporabljajo nekaj bistveno različnih idej.

Področja uporabe izreka.

Široko se uporablja pri reševanju geometrijski naloge.

Z njegovo pomočjo lahko geometrijsko najdete vrednosti kvadratnih korenin celih števil:

Da bi to naredili, zgradimo pravokotni trikotnik AOB (kot A je 90 °) z enotskimi nogami. Potem je njegova hipotenuza √2. Nato zgradimo en sam segment BC, BC je pravokotna na OB, dolžina hipotenuze OS=√3 itd.

(to metodo najdemo pri Evklidu in F. Kirenskem).

Naloge pri tečaju fizika srednje šole zahtevajo poznavanje Pitagorovega izreka.

To so naloge, povezane s seštevanjem hitrosti.

Pozor na prosojnico: naloga iz učbenika za fiziko za 9. razred. V praktičnem smislu se lahko formulira na naslednji način: pod kakšnim kotom glede na tok reke naj se premika čoln, ki prevaža potnike med pomoli, da bi izpolnil urnik? (Pomoli se nahajajo na nasprotnih bregovih reke)

Ko biatlonec strelja v tarčo, naredi »popravek vetra«. Če veter piha z desne in tekmovalec strelja v ravni črti, bo krogla šla v levo. Če želite zadeti tarčo, morate cilj premakniti v desno za razdaljo premika krogle. Zanje so bile sestavljene posebne tabele (na podlagi posledic tovariša Pitagore). Biatlonec ve, pod kakšnim kotom mora premakniti pogled pri znani hitrosti vetra.

astronomija - tudi široko področje uporabe izreka pot svetlobnega žarka. Slika prikazuje pot svetlobnega žarka iz A do B in nazaj. Pot žarka je zaradi jasnosti prikazana z ukrivljeno puščico, pravzaprav je svetlobni žarek raven.

Kakšna je pot žarka? Svetloba potuje naprej in nazaj na enak način. Kolikšna je polovica poti, ki jo prehodi žarek? Če označimo segment AB simbol l, polovico časa kot t, in tudi označevanje hitrosti svetlobe s črko c, potem bo naša enačba dobila obliko

c*t=l

To je produkt časa, porabljenega za hitrost!

Zdaj pa poskusimo pogledati isti pojav iz drugega referenčnega okvira, na primer iz vesoljskega plovila, ki leti mimo potujočega žarka s hitrostjo v. Pri takem opazovanju se bodo hitrosti vseh teles spremenile, mirujoča telesa pa se bodo začela gibati s hitrostjo v v nasprotni smeri. Recimo, da se ladja premika v levo. Nato se bosta točki, med katerima teče zajček, premikali v desno z enako hitrostjo. Še več, medtem ko zajček teče svojo pot, je izhodišče A premakne in žarek se vrne na novo točko C.

Vprašanje: koliko časa se bo točka premikala (da se spremeni v točko C) med potovanjem svetlobnega žarka? Natančneje: čemu je enaka polovica tega odmika? Če s črko označimo polovico potovalnega časa žarka t", in polovico razdalje AC pismo d, potem dobimo našo enačbo v obliki:

v * t" = d

pismo v označuje hitrost vesoljskega plovila.

Drugo vprašanje: kakšno pot bo v tem primeru potoval svetlobni žarek?(Natančneje, kakšna je polovica te poti? Kakšna je razdalja do neznanega predmeta?)

Če polovico dolžine svetlobne poti označimo s črko s, dobimo enačbo:

c * t" = s

Tukaj c je svetlobna hitrost in t" je enak času, kot je opisano zgoraj.

Zdaj razmislite o trikotniku ABC. To je enakokraki trikotnik, katerega višina je l, ki smo ga uvedli pri obravnavanju procesa s fiksnega vidika. Ker je gibanje pravokotno l, potem to ni moglo vplivati nanjo.

Trikotnik ABC sestavljen iz dveh polovic - enakih pravokotnih trikotnikov, katerih hipotenuze AB in pr. n. št morajo biti povezani z nogami po Pitagorovem izreku. Ena od nog je d, ki smo ga pravkar izračunali, drugi krak pa je s, skozi katerega prehaja svetloba in smo ga prav tako izračunali. Dobimo enačbo:

s 2 = l 2 +d 2

To je Pitagorov izrek!

Fenomen zvezdna aberacija, odkrit leta 1729, je v tem, da vse zvezde na nebesni sferi opisujejo elipse. Veliko pol os teh elips opazujemo z Zemlje pod kotom 20,5 stopinj. Ta kot je povezan z gibanjem Zemlje okoli Sonca s hitrostjo 29,8 km na uro. Za opazovanje zvezde s premikajoče se Zemlje je potrebno cev teleskopa nagniti naprej vzdolž gibanja zvezde, saj se medtem, ko svetloba potuje po dolžini teleskopa, okular pomika naprej skupaj z zemljo. Seštevanje hitrosti svetlobe in Zemlje poteka vektorsko, z uporabo t.i.

Pitagora. U 2 \u003d C 2 + V 2

C je svetlobna hitrost

V-telesna hitrost

teleskopska cev

Konec devetnajstega stoletja so se pojavile različne domneve o obstoju človeku podobnih prebivalcev Marsa, to je bila posledica odkritij italijanskega astronoma Schiaparellija (odprl je kanale na Marsu, ki so dolgo časa veljali za umetne) . Seveda je vprašanje, ali je mogoče s temi hipotetičnimi bitji komunicirati s pomočjo svetlobnih signalov, povzročilo živahno razpravo. Pariška akademija znanosti je ustanovila celo nagrado 100.000 frankov za tistega, ki prvi vzpostavi stik s kakšnim prebivalcem drugega nebesnega telesa; ta nagrada še čaka na srečneža. Kot šala, čeprav ne povsem nerazumna, je bilo odločeno, da se prebivalcem Marsa pošlje signal v obliki Pitagorovega izreka.

Ni znano, kako to storiti; vendar je vsakomur očitno, da se matematično dejstvo, izraženo s Pitagorovim izrekom, dogaja povsod, zato bi morali prebivalci drugega sveta, kot smo mi, razumeti tak signal.

mobilno povezavo

Kdo v današnjem svetu ne uporablja mobilnega telefona? Vsakega mobilnega naročnika zanima njegova kakovost. Kakovost pa je odvisna od višine antene mobilnega operaterja. Za izračun, v kakšnem radiju je mogoče sprejeti prenos, uporabljamo pitagorov izrek.

Kolikšna je največja višina antene mobilnega operaterja za sprejem oddaj v radiju R=200 km? (Zemeljski polmer je 6380 km.)

Odločitev:

Pustiti AB=x , BC=R=200 km , OC= r = 6380 km.

OB=OA+ABOB=r+x.

Z uporabo Pitagorovega izreka dobimo Odgovor: 2,3 km.

Pri gradnji hiš in vikend se pogosto postavlja vprašanje o dolžini špirovcev za streho, če so tramovi že izdelani. Na primer: načrtovana je izgradnja dvokapne strehe v hiši (oblika preseka). Kolikšna naj bo dolžina špirovcev, če so tramovi AC=8 m., AB=BF.

Odločitev:

Trikotnik ADC je enakokrak AB=BC=4 m, BF=4 m Če privzamemo, da je FD=1,5 m, potem:

A) Iz trikotnika DBC: DB=2,5 m.

B) Iz trikotnika ABF:

Okno

V zgradbah Gotski in romanski slog zgornji deli oken so razdeljeni s kamnitimi rebri, ki nimajo le vloge ornamenta, temveč prispevajo k trdnosti oken. Slika prikazuje preprost primer takšnega okna v gotskem slogu. Metoda konstruiranja je zelo preprosta: iz slike je enostavno najti središča šestih lokov krogov, katerih polmeri so enaki

širina okna (b) za zunanje loke

polovična širina, (b/2) za notranje loke

Še vedno obstaja celoten krog, ki se dotika štirih lokov. Ker je zaprt med dvema koncentričnima krogoma, je njegov premer enak razdalji med tema krogoma, to je b / 2, zato je polmer enak b / 4. In potem postane jasno

položaj njegovega središča.

AT romanska arhitektura pogosto najdemo motiv, prikazan na sliki. Če b še vedno označuje širino okna, bodo polmeri polkrogov enaki R = b / 2 in r = b / 4. Polmer p notranjega kroga lahko izračunamo iz desnega trikotnika, prikazanega na sl. črtkana črta. Hipotenuza tega trikotnika, ki poteka skozi tangentno točko krožnic, je enaka b/4+p, en krak je enak b/4, drugi pa b/2-p. Po Pitagorovem izreku imamo:

(b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/4-p) 2

b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4 - bp / 2 + p 2,

Če delimo z b in dodamo podobne člene, dobimo:

(3/2)p=b/4, p=b/6.

V gozdarski industriji: za potrebe gradnje hlodovino razžagamo v les, glavna naloga pa je pridobiti čim manj odpadkov. Najmanjša količina odpadkov bo takrat, ko ima žarek največji volumen. Kaj naj bo v rubriki? Kot je razvidno iz rešitve, mora biti presek kvadraten in Pitagorov izrek in drugi premisleki omogočajo tak sklep.

Bar največjega volumna

Naloga

Iz cilindričnega hloda je potrebno izrezati pravokotni žarek največjega volumna. Kakšne oblike naj bo njegov prerez (slika 23)?

Odločitev

Če sta stranici pravokotnega odseka x in y, potem po Pitagorovem izreku

x 2 + y 2 \u003d d 2,

kjer je d premer hloda. Prostornina lesa je največja, ko je njegova površina prečnega prereza največja, to je takrat, ko xy doseže največjo vrednost. Če pa je xy največji, potem bo tudi produkt x 2 y 2 največji. Ker je vsota x 2 + y 2 nespremenjena, je glede na prej dokazano produkt x 2 y 2 največji, ko

x 2 \u003d y 2 ali x \u003d y.

Torej mora biti prečni prerez žarka kvadraten.

Transportna opravila(tako imenovane optimizacijske naloge; naloge, katerih rešitev omogoča odgovor na vprašanje: kako razpolagati s sredstvi za doseganje velikih koristi)

Na prvi pogled nič posebnega: izmerite višino od tal do stropa na več točkah, odštejte nekaj centimetrov, da se omarica ne naslanja na strop. Po tem lahko pride do težav pri sestavljanju pohištva. Navsezadnje pohištveniki okvir sestavijo tako, da omaro postavijo v vodoravni položaj, ko je okvir sestavljen, ga dvignejo v navpični položaj. Razmislite o stranski steni omare. Višina omare naj bo 10 cm manjša od razdalje od tal do stropa, vendar ta razdalja ne presega 2500 mm. In globina omare je 700 mm. Zakaj 10 cm in ne 5 cm ali 7 in kaj ima s tem Pitagorov izrek?

Torej: stranska stena 2500-100=2400(mm) - največja višina konstrukcije.

Stranska stena v procesu dviganja okvirja mora prosto potekati po višini in diagonalno. Avtor: pitagorov izrek

AC \u003d √ AB 2 + BC 2

AC= √ 2400 2 + 700 2 = 2500 (mm)

Kaj se zgodi, če se višina omare zmanjša za 50 mm?

AC= √ 2450 2 + 700 2 = 2548 (mm)

Diagonala 2548 mm. Torej, ne morete postaviti omare (lahko uničite strop).

Strela.

Znano je, da strelovod ščiti pred strelo vse predmete, katerih oddaljenost od njegove podlage ne presega njegove podvojene višine. Treba je določiti optimalen položaj strelovoda na dvokapni strehi, pri čemer zagotovimo njegovo najnižjo možno višino.

Po Pitagorovem izreku h 2 ≥ a 2 +b 2 pomeni h≥(a 2 +b 2) 1/2

Na njihovi poletni koči je nujno treba narediti rastlinjak za sadike.

Iz desk podrli kvadrat 1m1m. Obstajajo ostanki filma velikosti 1,5m1,5m. Na kateri višini v središču kvadrata naj bo tirnica pritrjena, da jo film popolnoma pokrije?

1) Diagonala rastlinjaka d == 1,4; 0,7

2) Diagonala filma d 1= 2,12 1,06

3) Višina tirnice x= 0,7

Zaključek

Kot rezultat raziskave sem ugotovil nekaj področij uporabe Pitagorovega izreka. Na to temo sem zbral in obdelal veliko gradiva iz literarnih virov in interneta. Preučil sem nekaj zgodovinskih podatkov o Pitagori in njegovem izreku. Da, res, z uporabo Pitagorejskega izreka lahko rešite ne le matematične probleme. Pitagorov izrek je našel svojo uporabo v gradbeništvu in arhitekturi, mobilnih komunikacijah in literaturi.

Študij in analiza virov informacij o Pitagorovem izreku

pokazala, da:

a) izključna pozornost matematikov in matematikov do izreka temelji na njegovi preprostosti, lepoti in pomenu;

b) Pitagorov izrek že več stoletij služi kot spodbuda za zanimiva in pomembna matematična odkritja (Fermatov izrek, Einsteinova teorija relativnosti);

v) Pitagorov izrek - je utelešenje univerzalnega jezika matematike, ki velja po vsem svetu;

G) obseg izreka je precej obsežen in ga na splošno ni mogoče navesti dovolj popolno;

d) skrivnosti Pitagorovega izreka še naprej vznemirjajo človeštvo in zato ima vsak izmed nas priložnost sodelovati pri njihovem razkrivanju.

Bibliografija

Uspekhi matematicheskikh nauk, 1962, letnik 17, številka 6 (108).

Aleksander Danilovič Aleksandrov (ob njegovem petdesetem rojstnem dnevu),

Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Geometrija, 10 - 11 celic. - M.: Razsvetljenje, 1992.

Atanasjan L.S. itd. Geometrija, 10 - 11 celic. - M.: Razsvetljenje, 1992.

Vladimirov Yu.S. Prostor - čas: eksplicitne in skrite razsežnosti. - M.: "Nauka", 1989.

Voloshin A.V. Pitagora. - M.: Razsvetljenje, 1993.

Časopis "Matematika", št. 21, 2006.

Časopis "Matematika", št. 28, 1995.

Geometrija: Proc. Za 7-11 celic. srednja šola / G.P. Bevz, V.G. Bevz, N.G. Vladimirova. - M.: Razsvetljenje, 1992.

Geometrija: Učbenik za 7 - 9 cel. Splošna izobrazba Ustanove/ L.S. Atanasjan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomcev in drugi - 6. izd. - M.: Razsvetljenje, 1996.

Glazer G.I. Zgodovina matematike v šoli: IX - Xcl. Priročnik za učitelje. - M.: Razsvetljenje, 1983.

Dodatna poglavja k šolskemu učbeniku 8. razred: Učbenik za šolarje. in razrede s poglabljanjem. študija matematika /L.S. Atanasjan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev in drugi - M .: Izobraževanje, 1996.

Yelensky Sh. Po stopinjah Pitagore. M., 1961.

Kiselev A.P., Rybkin N.A. Geometrija: Planimetrija: 7 - 9 celic: Učbenik in naloga. - M.: Bustard, 1995.

Kline M. Matematika. Iskanje resnice: Prevod iz angl. / Ed. in predgovor. V IN. Arshinova, Yu.V. Sačkov. - M.: Mir, 1998.

Liturman V. Pitagorov izrek. - M., 1960.

Matematika: Priročnik za šolarje in študente / B. Frank in drugi; Prevod iz njem. - 3. izd., stereotip. - M .: Bustard, 2003.

Peltwer A. Kdo si ti Pitagora? - M.: Znanje je moč, št. 12, 1994.

Perelman Ya. I. Zabavna matematika. - M.: "Znanost", 1976.

Ponomareva T.D. Veliki znanstveniki. - M .: Založba LLC Astrel, 2002.

Sveshnikova A. Potovanje v zgodovino matematike. - M., 1995.

Semjonov E.E. Učimo se geometrije: knjiga. Za študente 6 - 8 celic. Srednja šola - M.: Razsvetljenje, 1987.

Smyshlyaev V.K. O matematiki in matematikih. - Založba Mari book, 1977.

Tučnin N.P. Kako postaviti vprašanje. - M.: Razsvetljenje, 1993.

Čerkasov O.J. Planimetrija na sprejemnem izpitu. - M.: Moskovski licej, 1996.

Enciklopedični slovar mladega matematika. Comp. A.P. Savin. - M.: Pedagogika, 1985.

Enciklopedija za otroke. T. 11. Matematika. /pog. Ed. M.D. Aksenova. - M.: Avanta +, 2001.