Metoda racionalizacije vam omogoča, da se premaknete iz neenakosti, ki vsebuje kompleksno eksponentno, logaritemsko itd. izrazov do enakovredne enostavnejše racionalne neenakosti.

Zato, preden začnemo govoriti o racionalizaciji v neenakosti, govorimo o enakovrednosti.

enakovrednost

Enakovredno ali enakovredno imenujemo enačbe (neenakosti), katerih nizi korenin sovpadajo. Enačbe (neenačbe), ki nimajo korenin, se prav tako štejejo za enakovredne.

Primer 1 Enačbi in sta enakovredni, saj imata enake korenine.

Primer 2 Enačbi in sta tudi enakovredni, saj je rešitev vsake od njiju prazna množica.

Primer 3 Neenakosti in sta enakovredni, saj je rešitev obeh množica .

Primer 4 in so neenaki. Rešitev druge enačbe je samo 4, rešitev prve enačbe pa 4 in 2.

Primer 5 Neenačba je enakovredna neenačbi , saj je v obeh neenačbah rešitev 6.

To pomeni, da so na videz enakovredne neenakosti (enačbe) lahko zelo daleč od podobnosti.

Pravzaprav, ko takole rešujemo zapletene, dolge enačbe (neenačbe) in dobimo odgovor, navsezadnje nimamo v rokah nič drugega kot enačbo (neenakost), enakovredno prvotni. Videz je drugačen, a bistvo je isto!

Primer 6 Spomnimo se, kako smo reševali neenačbo pred seznanitvijo z metodo intervalov. Prvotno neenakost smo nadomestili z nizom dveh sistemov:

To pomeni, da sta neenakost in zadnja množica enakovredni.

Tudi mi bi lahko, če imamo v rokah zbirko

nadomestimo z neenačbo , ki jo lahko v hipu rešimo z intervalno metodo.

Približali smo se metodi racionalizacije v logaritemskih neenačbah.

Metoda racionalizacije v logaritemskih neenačbah

Upoštevajmo neenakost.

4 predstavimo kot logaritem:

Opravka imamo s spremenljivo osnovo logaritma, zato bo glede na to, ali je osnova logaritma večja od 1 ali manjša od 1 (torej imamo opravka z naraščajočo ali padajočo funkcijo), znak neenakosti ostal oz. spremenite v "". Zato obstaja kombinacija (kombinacija) dveh sistemov:

Ampak, POZOR, ta sistem je treba rešiti z upoštevanjem ODZ! Namenoma nisem naložil sistema ODZ, da se glavna ideja ne bi izgubila.

Poglejte, zdaj bomo naš sistem prepisali takole (vse v vsaki vrstici neenakosti bomo premaknili na levo stran):

Vas to ne spominja na nič? Po analogiji z primer 6 ta niz sistemov bomo nadomestili z neenakostjo:

Ko rešimo to neenačbo na ODZ, bomo dobili rešitev neenačbe .

Najprej poiščimo ODZ prvotne neenakosti:

Zdaj pa se odločimo

Rešitev zadnje neenačbe ob upoštevanju ODZ:

Torej, tukaj je ta "čarobna" tabela:

Upoštevajte, da tabela deluje pod pogojem

kje so funkcije ,

- funkcija ali številka,

- eden od likov

Upoštevajte tudi, da sta druga in tretja vrstica tabele posledice prve. V drugi vrstici je 1 predstavljena pred kot , v tretji vrstici pa je 0 predstavljena kot .

In še nekaj koristnih posledic (upam, da zlahka razumete, od kod prihajajo):

kje so funkcije ,

- funkcija ali številka,

- eden od likov

Metoda racionalizacije v eksponentnih neenačbah

Rešimo neenačbo.

Reševanje prvotne neenačbe je enakovredno reševanju neenačbe

Odgovor: .

Tabela za racionalizacijo v eksponentnih neenačbah:

– funkcije od , – funkcija ali število, – eden od znakov Tabela deluje pod pogojem . Tudi v tretji, četrti vrstici - dodatno -

Pravzaprav si morate spet zapomniti prvo in tretjo vrstico tabele. Druga vrstica je poseben primer prve, četrta vrstica pa poseben primer tretje.

Metoda racionalizacije v neenačbah, ki vsebujejo modul

Pri delu z neenačbami tipa , kjer so funkcije neke spremenljivke, nas lahko vodijo naslednji enakovredni prehodi:

Rešimo neenačbo ”.

A Tukaj ponudi več razmislite o nekaj primerih na temo "Racionalizacija neenakosti".

Oddelki: Matematika

Pogosto se pri reševanju logaritemskih neenakosti pojavljajo težave s spremenljivo osnovo logaritma. Torej, neenakost oblike

je standardna šolska neenakost. Praviloma se za njegovo rešitev uporabi prehod na enakovreden niz sistemov:

Pomanjkljivost te metode je, da je treba rešiti sedem neenačb, ne da bi šteli dva sistema in en niz. Tudi z danimi kvadratnimi funkcijami lahko populacijska rešitev zahteva veliko časa.

Lahko se predlaga alternativni, manj zamuden način reševanja te standardne neenakosti. Da bi to naredili, upoštevamo naslednji izrek.

Izrek 1. Pustimo zvezno naraščajočo funkcijo na množici X. Potem bo na tej množici predznak prirastka funkcije sovpadal s predznakom prirastka argumenta, tj. , Kje .

Opomba: če je zvezna padajoča funkcija na množici X, potem .

Vrnimo se k neenakosti. Pojdimo na decimalni logaritem (lahko greste na kateri koli s konstantno osnovo, večjo od ena).

Zdaj lahko uporabimo izrek, pri čemer v števcu opazimo prirastek funkcij in v imenovalcu. Torej je res

Posledično se število izračunov, ki vodijo do odgovora, zmanjša za približno polovico, kar ne prihrani le časa, temveč vam omogoča tudi morebitno manj aritmetičnih in neprevidnih napak.

Primer 1

Če primerjamo z (1), ugotovimo , , .

Pri prehodu na (2) bomo imeli:

Primer 2

Če primerjamo z (1), dobimo , , .

Pri prehodu na (2) bomo imeli:

Primer 3

Ker je leva stran neenakosti naraščajoča funkcija za in , potem je odgovor nastavljen.

Nabor primerov, v katerih je mogoče uporabiti Terme 1, se lahko enostavno razširi, če upoštevamo Terme 2.

Naj na snemanju X definirane so funkcije , , , in na tem nizu predznaki in sovpadajo, tj. potem bo pošteno.

Primer 4

Primer 5

Pri standardnem pristopu se primer reši po shemi: produkt je manjši od nič, ko so faktorji različnih predznakov. Tisti. obravnavamo niz dveh sistemov neenakosti, v katerih, kot je bilo navedeno na začetku, vsaka neenakost razpade na sedem dodatnih.

Če upoštevamo izrek 2, lahko vsakega od faktorjev, upoštevajoč (2), nadomestimo z drugo funkcijo, ki ima enak predznak v tem primeru O.D.Z.

Metoda zamenjave prirastka funkcije s prirastkom argumenta ob upoštevanju izreka 2 se izkaže za zelo priročno pri reševanju tipičnih problemov C3 USE.

Primer 6

Primer 7

. Označimo . Dobiti

. Upoštevajte, da zamenjava pomeni: . Če se vrnemo k enačbi, dobimo .

Primer 8

V izrekih, ki jih uporabljamo, ni nobenih omejitev glede razredov funkcij. V tem članku so bili izreki kot primer uporabljeni pri reševanju logaritemskih neenakosti. Naslednjih nekaj primerov bo pokazalo obljubo metode za reševanje drugih vrst neenakosti.

Občinska avtonomna izobraževalna ustanova "Srednja šola Yarkovskaya"

Izobraževalni projekt

Reševanje logaritemskih neenačb z metodo racionalizacije

MAOU "Yarkovskaya srednja šola"

Shanskikh Daria

Vodja: učiteljica matematike

MAOU "Yarkovskaya srednja šola"

Jarkovo 2013

1) Uvod…………………………………………………………….2

2) Glavni del………………………………………………..3

3) Zaključek………………………………………………………..9

4) Seznam uporabljene literature…………….10

5) Prijave………………………………………………………………11-12

1. Uvod

Pogosto se pri reševanju nalog USE iz dela “C”, predvsem pa pri nalogah C3, pojavljajo neenačbe, ki vsebujejo logaritemske izraze z neznanko na dnu logaritma. Tukaj je primer standardne neenakosti:

Praviloma se za reševanje takšnih nalog uporablja klasična metoda, to je prehod na enakovreden nabor sistemov.

Pri standardnem pristopu se primer reši po shemi: produkt je manjši od nič, ko so faktorji različnih predznakov. To pomeni, da je obravnavan niz dveh sistemov neenakosti, v katerih se vsaka neenakost razdeli na sedem dodatnih. Zato je mogoče predlagati manj zamudno metodo za reševanje te standardne neenakosti. To je metoda racionalizacije, ki je v matematični literaturi znana kot dekompozicija.

Pri izvajanju projekta sem si zastavil naslednje cilje: :

1) Obvladajte to tehniko odločanja

2) Vaditi veščine reševanja na nalogah C3 iz učnega in diagnostičnega dela v letu 2013.

Cilj projektaje študij teoretične utemeljitve metode racionalizacije.

UstreznostDelo je v tem, da vam ta metoda omogoča uspešno reševanje logaritemskih neenakosti dela C3 Enotnega državnega izpita iz matematike.

2. Glavni del

Razmislite o logaritemski neenakosti oblike

velikost pisave:14,0pt; line-height:150%">, (1)

where font-size:14.0pt;line-height:150%"> Standardna metoda za reševanje takšne neenakosti vključuje razčlenitev obeh primerov na območja sprejemljivih vrednosti neenakosti.

V prvem primeru ko osnove logaritmov izpolnjujejo pogoj

velikost pisave:14,0pt; line-height:150%"> je znak neenakosti obrnjen: font-size:14.0pt;line-height:150%"> V drugem primeru ko osnova izpolnjuje pogoj, se znak neenakosti ohrani: .

Na prvi pogled je vse logično, razmislimo o dveh primerih in nato združimo odgovore. Res je, da se pri obravnavi drugega primera pojavi določeno nelagodje - izračune iz prvega primera morate ponoviti za 90 odstotkov (preoblikovati, poiskati korenine pomožnih enačb, določiti intervale monotonosti znaka). Postavlja se naravno vprašanje - ali je vse to mogoče nekako združiti?

Odgovor na to vprašanje je v naslednjem izreku.

1. izrek. logaritemska neenakost

font-size:14.0pt;line-height:150%">je enakovreden naslednjemu sistemu neenakosti :

velikost pisave:14,0pt; line-height:150%"> (2)

Dokaz.

1. Začnimo z dejstvom, da prve štiri neenakosti sistema (2) določajo množico dopustnih vrednosti prvotne logaritemske neenakosti. Osredotočimo se zdaj na peto neenakost. če velikost pisave:14,0pt; line-height:150%">, potem bo prvi faktor te neenakosti negativen. Pri zmanjševanju z njim boste morali predznak neenakosti spremeniti v nasprotno, potem boste dobili neenakost .

če , To prvi faktor pete neenačbe je pozitiven, zmanjšamo ga, ne da bi spremenili znak neenačbe, dobimo neenakost font-size:14.0pt;line-height: 150%">. Tako peta neenakost sistema vključuje oba primera prejšnje metode.

Izraz je dokazan.

Glavne določbe teorije metode racionalizacije.

Metoda racionalizacije je sestavljena iz zamenjave kompleksnega izraza F(x ) na enostavnejši izraz G(x ), pod katerim velja neenakost G(x )EN-US" style="font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:Calibri">F(x )0 v izrazni domeni F(x).

Izločimo nekaj izrazov F in njihove ustrezne racionalizirajoče izraze G , kjer je u , v , , p , q - izrazi z dvema spremenljivkama ( u > 0; u ≠ 1; v > 0, > 0), a - fiksna številka (a > 0, a ≠ 1).

Dokaz

1. Naj logav - logaφ > 0, to je logav > logaφ, in a > 0, a ≠ 1, v > 0,

φ > 0.

Če je 0< a < 1, то по свойству убывающей логарифмической функции имеем v < φ . Sistem neenakosti torej velja

a -1<0

v – φ < 0

Od koder sledi neenakost (a – 1)( v – φ ) > 0 res na domeni izrazaF = logav - logaφ.

če a > 1, to v > φ . Zato imamo neenakost ( a – 1)( v – φ )> 0. Nasprotno, če je neenakost ( a – 1)( v – φ )> 0 na območju sprejemljivih vrednosti ( a > 0, a ≠ 1, v> 0, φ > 0),potem je na tej domeni enakovredno kombinaciji dveh sistemov.

a – 1<0 a – 1 > 0

v – φ < 0 v – φ > 0

Vsak sistem pomeni neenakostlogav > logaφ, to je logav - logaφ > 0.

Podobno obravnavamo neenakosti F< 0, F ≤ 0, F ≥ 0.

2. Naj nekaj številke A> 0 in A≠ 1, potem imamo

logotip v- loguφ = EN-US" style="font-size:14.0pt;line-height:150%">v - 1)( u- 1)(φ -u).

4. Iz neenakosti UV- uφ > 0 naj UV > uφ. Naj bo torej število a > 1loga UV > logauφ oz

( u – φ) loga u > 0.

Torej ob upoštevanju spremembe 1b in pogojaa > 1 dobimo

( v – φ)( a – 1)( u – 1) > 0, ( v – φ)( u – 1) > 0. Podobno dokažemo neenakosti F< 0,

F ≤ 0, F ≥ 0.

5. Dokaz je podoben dokazu 4.

6. Dokaz zamenjave 6 izhaja iz enakovrednosti neenakosti | p | > | q | in p 2 > q 2

(|p|< | q | и p 2 < q 2 ).

Primerjajmo obseg reševanja neenačb, ki vsebujejo spremenljivko na osnovi logaritma, po klasični metodi in metodi racionalizacije

3. Zaključek

Menim, da so naloge, ki sem si jih zadal pri opravljanju dela, dosežene. Projekt je praktičnega pomena, saj metoda, predlagana v delu, omogoča bistveno poenostavitev rešitve logaritemskih neenakosti. Posledično se število izračunov, ki vodijo do odgovora, zmanjša za približno polovico, kar ne prihrani le časa, temveč vam omogoča tudi morebitno manj aritmetičnih in neprevidnih napak. Zdaj, ko rešujem probleme C3, uporabljam to metodo.

4. Seznam uporabljene literature

1. , – Metode reševanja neenačb z eno spremenljivko. – 2011.

2. - Matematični vodnik. - 1972.

3. - Matematika za prijavitelja. Moskva: MTSNMO, 2008.

Ezhova Elena Sergeevna
Naziv delovnega mesta: učiteljica matematike
Izobraževalna ustanova: MOU "Šola №77"
Kraj: Saratov
Ime materiala: metodični razvoj
Zadeva: Metoda racionalizacije pri reševanju neenačb pri pripravi na izpit "
Datum objave: 16.05.2018
Odsek: popolna izobrazba

Očitno je isto neenakost mogoče rešiti na več načinov. Na srečo

na izbran način ali, kot smo včasih rekli, na racionalen način, poljubno

neenakost bo rešena hitro in enostavno, njena rešitev bo lepa in zanimiva.

Bi podrobneje obravnavala tako imenovano metodo racionalizacije, ko

reševanje logaritemskih in eksponentnih neenačb ter neenačb, ki vsebujejo

spremenljivka pod znakom modula.

Glavna ideja metode.

Metoda spreminjanja faktorjev se uporablja za reševanje neenačb, reduciranih na obliko

Kje je simbol

» označuje enega od štirih možnih znakov neenakosti:

Pri reševanju neenačbe (1) nas zanima samo predznak poljubnega faktorja v števcu

ali imenovalec in ne njegove absolutne vrednosti. Zato, če iz nekega razloga mi

s tem multiplikatorjem je neprijetno delati, lahko ga zamenjamo z drugim

ki sovpada z njo v regiji definicije neenakosti in ima v tej regiji

iste korenine.

To določa glavno idejo metode zamenjave množitelja. To je pomembno popraviti

dejstvo, da se zamenjava faktorjev izvede samo pod pogojem, da se neenakost zmanjša

na obliko (1), to je, ko je treba primerjati produkt z ničlo.

Glavni del zamenjave je posledica naslednjih dveh enakovrednih izjav.

Trditev 1. Funkcija f(x) je strogo naraščajoča, če in samo, če za

morebitne vrednosti t

) sovpada z

znak z razliko (f(t

)), torej f<=>(t

(↔ pomeni ujemanje predznaka)

Trditev 2. Funkcija f(x) je strogo padajoča, če in samo, če za

morebitne vrednosti t

iz domene razlike funkcij (t

) sovpada z

znak z razliko (f(t

)), to je f ↓<=>(t

Utemeljitev teh trditev izhaja neposredno iz definicije striktno

monotona funkcija. Po teh izjavah je mogoče ugotoviti, da

Razlika stopinj v isti bazi vedno sovpada v predznaku z

zmnožek razlike med indikatorji teh stopinj in odstopanjem osnove od enote,

Razlika logaritmov v isti osnovi vedno sovpada v predznaku z

zmnožek razlike med številkami teh logaritmov in odstopanjem osnove od enote, potem

Dejstvo, da ima razlika nenegativnih količin enak predznak kot razlika

kvadratov teh vrednosti, omogoča naslednje zamenjave:

Reši neenačbo

rešitev.

Preidimo na enakovredni sistem:

Iz prve neenakosti, ki jo dobimo

Druga neenakost velja za vse

Iz tretje neenakosti dobimo

Tako je niz rešitev prvotne neenakosti:

Reši neenačbo

rešitev.

Rešimo neenačbo:

Odgovor: (−4; −3)

Reši neenačbo

Pripravimo neenakost v obliko, v kateri je razlika med vrednostmi logaritmična

Zamenjajmo razliko v vrednostih logaritemske funkcije z razliko v vrednostih argumenta. IN

števec je naraščajoča funkcija, imenovalec pa padajoč, torej znak neenakosti

se bo spremenilo v nasprotno. Pomembno je, da ne pozabite upoštevati obsega

logaritemsko funkcijo, zato je ta neenakost enakovredna sistemu neenačb.

Koreni števca: 8; 8;

Koren imenovalca: 1

Reši neenačbo

Zamenjajmo v števcu razliko med moduloma dveh funkcij z razliko med njunima kvadratoma in in

imenovalec je razlika med vrednostmi logaritemske funkcije in razliko med argumenti.

V imenovalcu funkcija pada, kar pomeni, da se bo znak neenakosti spremenil v

nasprotje.

V tem primeru je treba upoštevati domeno definicije logaritma

Prvo neenačbo rešimo z intervalno metodo.

Koreni števca:

Koreni imenovalca:

Reši neenačbo

Zamenjajmo v števcu in imenovalcu razliko med vrednostmi monotonih funkcij z razliko

vrednosti argumentov ob upoštevanju domene definicije funkcij in narave monotonosti.

Koreni števca:

Koreni imenovalca:

Najpogosteje uporabljene zamenjave (razen O D 3).

a) Sprememba predznakovnih množiteljev.

b) Zamenjava nekonstantnih faktorjev z modulom.

c) Zamenjava nekonstantnih faktorjev z eksponentnimi in logaritemskimi

izrazi.

rešitev. ODZ:

Zamenjava množiteljev:

Imamo sistem:

V tej neenakosti faktorji

obravnavati kot razlike nenegativnih vrednosti, saj izrazi 1

ODZ ima lahko pozitivne in negativne vrednosti.

Imamo sistem:

Zamenjava množiteljev:

Imamo sistem:

Zamenjava množiteljev:

Imamo sistem:

Zamenjava množiteljev:

Imamo sistem:

Kot rezultat imamo: x

metoda racionalizacije(metoda razgradnje, metoda zamenjave množitelja, nadomestni način

funkcije, pravilo predznaka) je zamenjava kompleksnega izraza F(x) z več

preprost izraz G(x), za katerega velja neenakost G(x)

0 je enakovredna neenakosti F (x

0 v domeni izraza F(x).

Oddelki: Matematika

Praksa preverjanja izpitnih pol kaže, da največjo težavo za šolarje predstavlja reševanje transcendentnih neenačb, predvsem logaritemskih neenačb s spremenljivo osnovo. Zato je povzetek lekcije, ki vam je predstavljen, predstavitev metode racionalizacije (druga imena so metoda dekompozicije (Modenov V.P.), metoda zamenjave faktorjev (Golubev V.I.)), ki vam omogoča zmanjšanje kompleksnih logaritemskih, eksponentnih, kombiniranih neenačb v sistem enostavnejših racionalnih neenačb. Praviloma je bila metoda intervalov, ki se uporablja za racionalne neenačbe, do časa, ko se je preučevala tema "Rešitev logaritemskih neenakosti", dobro obvladana in izdelana. Zato študenti z velikim zanimanjem in navdušenjem zaznavajo tiste metode, ki jim omogočajo, da poenostavijo rešitev, jo skrajšajo in navsezadnje prihranijo čas na izpitu za reševanje drugih nalog.

Cilji lekcije:

• izobraževalni: aktualizacija temeljnega znanja pri reševanju logaritemskih neenačb; uvedba novega načina reševanja neenačb; izboljšanje sposobnosti odločanja
• Poučna: razvoj matematičnega obzorja, matematični govor, analitično mišljenje
• Poučna: vzgoja natančnosti in samokontrole.

MED POUKOM

1. Organizacijski trenutek. Pozdravi. Določanje ciljev lekcije.

2. Pripravljalna faza:

Reši neenačbe:

3. Preverjanje domače naloge(št. 11.81*a)

Pri reševanju neenačbe

Za reševanje logaritemskih neenakosti s spremenljivo osnovo ste morali uporabiti naslednjo shemo:

Tisti. Upoštevati je treba 2 primera: osnova je večja od 1 ali osnova je manjša od 1.

4. Razlaga nove snovi

Če natančno pogledate te formule, boste opazili, da je predznak razlike g(x) – h(x) sovpada s predznakom diferenčnega loga f(x) g(x) - dnevnik f(x) h(x) v primeru naraščajoče funkcije ( f(x) > 1, tj. f(x) – 1 > 0) in je nasproten predznaku logaritma razlike f(x) g(x) - dnevnik f(x) h(x) v primeru padajoče funkcije (0< f(x) < 1, т.е. f(x) – 1 < 0)

Zato lahko ta niz reduciramo na sistem racionalnih neenakosti:

To je bistvo metode racionalizacije – kompleksnejši izraz A nadomestiti s preprostejšim izrazom B, ki je racionalen. V tem primeru bo neenakost В V 0 enakovredna neenakosti А V 0 na domeni izraza А.

Primer 1 Prepišimo neenakost kot enakovredni sistem racionalnih neenakosti.

Opozarjam, da so pogoji (1)–(4) pogoji za domeno definicije neenačbe, ki jo priporočam, da poiščete na začetku rešitve.

Primer 2 Neenačbo rešite z metodo racionalizacije:

Domen definicije neenakosti je podan s pogoji:

Dobimo:

Ostaja še zapisati neenakost (5)

Odvisno od domene

Odgovor: (3; 5)

5. Utrjevanje preučenega gradiva

I. Neenačbo zapiši kot sistem racionalnih neenačb:

II. Izrazite desno stran neenakosti v obliki logaritma v želeni osnovi in ​​pojdite na ekvivalentni sistem:

Učitelj pred tablo pokliče učence, ki so zapisali sisteme iz I. in II. skupine, enega najmočnejših učencev pa povabi, da reši domačo neenačbo (št. 11.81 * a) z metodo racionalizacije.

6. Delo preverjanja

Možnost 1

Možnost 2

1. Zapišite sistem racionalnih neenačb za reševanje neenačb:

2. Neenačbo rešite z metodo racionalizacije

Merila za ocenjevanje:

3-4 točke - "zadovoljivo";
5-6 točk - "dobro";
7 točk - "odlično".

7. Razmislek

Odgovorite na vprašanje: katera od znanih metod reševanja logaritemskih neenačb s spremenljivo osnovo vam bo omogočila boljši izkoristek časa na izpitu?

8. Domača naloga:Št. 11.80 * (a, b), 11.81 * (a, b), 11.84 * (a, b) rešite z metodo racionalizacije.

Bibliografija:

1. Algebra in začetek analize: Uč. Za 11 celic. Splošna izobrazba Ustanove /[S.M. Nikolski, M.K. Potapov, N.N. Reshetnikov, A.V. Shevkin] - 5. izd. - M .: Izobraževanje, JSC "Moskovski učbeniki", 2006.
2. A.G. Koryanov, A.A. Prokofjev. Gradivo predmeta "Priprava dobrih študentov in odličnih študentov na izpit": predavanja 1-4. - M .: Pedagoška univerza "Prvi september", 2012.