Izrazi, pretvorba izrazov

Kako se znebiti neracionalnosti v imenovalcu? Načini, primeri, rešitve

V 8. razredu pri pouku algebre v okviru teme Pretvorba iracionalnih izrazov teče pogovor o osvoboditev od iracionalnosti v imenovalcu ulomka. V tem članku bomo analizirali, kakšna je to transformacija, razmislili, katera dejanja nam omogočajo, da se znebimo iracionalnosti v imenovalcu ulomka, in podali rešitve tipičnih primerov s podrobnimi razlagami.

Navigacija po straneh.

Kaj pomeni znebiti se neracionalnosti v imenovalcu ulomka?

Najprej morate ugotoviti, kaj je iracionalnost v imenovalcu in kaj pomeni znebiti se iracionalnosti v imenovalcu ulomka. Pri tem nam bodo v pomoč podatki iz šolskih učbenikov. Naslednje točke si zaslužijo pozornost.

Kadar zapis ulomka vsebuje znak korena (radikal) v imenovalcu, potem pravijo, da imenovalec vsebuje neracionalnost. To je verjetno posledica dejstva, da so številke, zapisane s korenskimi znaki, pogosto . Za primer vzemimo ulomke , , , , očitno imenovalci vsakega od njih vsebujejo znak korena in s tem iracionalnost. V srednji šoli je neizogibno srečanje z ulomki, katerih neracionalnost imenovalcev uvajajo ne le znaki kvadratnih korenin, temveč tudi znaki kubičnih korenin, korenin četrte stopnje itd. Tu so primeri takih ulomkov: .

Glede na zgornje informacije in pomen besede "osvoboditi" je naslednja definicija zaznana zelo naravno:

Opredelitev.

Izjema od neracionalnosti v imenovalcu ulomka- to je transformacija, pri kateri se ulomek z iracionalnostjo v imenovalcu nadomesti z enako enakim ulomkom, ki v imenovalcu ne vsebuje znakov korena.

Pogosto lahko slišite, da pravijo, da se ne osvobodijo, ampak da se znebijo iracionalnosti v imenovalcu ulomka. Pomen se ne spremeni.

Na primer, če preidemo od ulomka k ulomku, katerega vrednost je enaka vrednosti prvotnega ulomka in katerega imenovalec ne vsebuje znaka korena, potem lahko rečemo, da smo se osvobodili iracionalnosti v imenovalcu ulomka. . Drug primer: zamenjava ulomka z enako enakim ulomkom v imenovalcu ulomka je osvoboditev od iracionalnosti.

Torej, začetne informacije so prejete. Še vedno je treba ugotoviti, kaj je treba storiti, da se znebimo iracionalnosti v imenovalcu ulomka.

Načini, kako se osvoboditi iracionalnosti, primeri

Ponavadi, da se znebimo neracionalnosti v imenovalcu ulomka, dva pretvorbe ulomkov: pomnožite števec in imenovalec s številom ali izrazom, ki ni nič, in pretvorite izraz v imenovalec. Spodaj si bomo ogledali, kako se te transformacije ulomkov uporabljajo kot del glavnih načinov, kako se znebiti iracionalnosti v imenovalcu ulomka. Razmislimo o naslednjih primerih.

V najpreprostejših primerih je dovolj, da izraz pretvorimo v imenovalec. Primer je ulomek, katerega imenovalec je koren iz devet. V tem primeru zamenjava z vrednostjo 3 osvobodi imenovalec tega, da bi bil iracionalen.

V bolj zapletenih primerih je treba števec in imenovalec ulomka predhodno pomnožiti z določenim številom ali izrazom, ki ni nič, kar vam pozneje omogoča pretvorbo imenovalca ulomka v obliko, ki ne vsebuje korenskih znakov. Na primer, po množenju števca in imenovalca ulomka s postane ulomek , nato pa lahko izraz v imenovalcu nadomestimo z izrazom brez predznakov korenov x+1 . Tako dobi ulomek po osvoboditvi iracionalnosti v imenovalcu obliko .

Če govorimo o splošnem primeru, se moramo, da bi se znebili iracionalnosti v imenovalcu ulomka, uporabiti različne sprejemljive transformacije, včasih precej specifične.

In zdaj podrobno.

Pretvarjanje izraza v imenovalec ulomka

Kot smo že omenili, je eden od načinov, kako se znebiti iracionalnosti v imenovalcu ulomka, transformacija imenovalca. Razmislimo o primerih.

Primer.

Znebite se neracionalnosti v imenovalcu ulomka .

Odločitev.

Če razširimo oklepaje v imenovalcu, pridemo do izraza . Preidimo k ulomkom . Izračun vrednosti pod znaki korenin imamo . Očitno je v dobljenem izrazu možno, kar daje ulomek, ki je enak 1/16. Tako smo se znebili neracionalnosti v imenovalcu.

Običajno je rešitev napisana na kratko brez razlage, saj so izvedena dejanja precej preprosta:

odgovor:

.

Primer.

Odločitev.

Ko smo govorili o preoblikovanju iracionalnih izrazov z uporabo lastnosti korenov, smo opazili, da lahko za vsak izraz A za sodo n (v našem primeru n=2) izraz nadomestimo z izrazom |A| na celotnem ODZ spremenljivk za izvirni izraz. Zato lahko izvedete naslednjo transformacijo danega ulomka: , ki osvobaja iracionalnosti v imenovalcu.

odgovor:

.

Množenje števca in imenovalca s korenom

Kadar ima izraz v imenovalcu ulomka obliko , pri čemer izraz A ne vsebuje predznakov za koren, se z množenjem števca in imenovalca znebimo neracionalnosti v imenovalcu. To dejanje je možno, ker ne izgine v ODZ spremenljivk za prvotni izraz. V tem primeru v imenovalcu dobimo izraz, ki ga je enostavno pretvoriti v obliko brez korenskih znakov: . Uporabo tega pristopa prikazujemo s primeri.

Primer.

Znebite se neracionalnosti v imenovalcu ulomka: a), b).

Odločitev.

a) Če števec in imenovalec ulomka pomnožimo s kvadratnim korenom iz tri, dobimo .

b) Da se znebimo znaka kvadratnega korena v imenovalcu, pomnožimo števec in imenovalec ulomka z , nakar izvedemo transformacije v imenovalcu:

odgovor:

a), b) .

V primeru, ko imenovalec vsebuje faktorje ali , kjer sta m in n nekaj naravnih števil, je treba števec in imenovalec pomnožiti s takšnim faktorjem, da se potem lahko izraz v imenovalcu pretvori v obliko ali , kjer je k neko naravno število oz. Potem je enostavno preiti na ulomek brez iracionalnosti v imenovalcu. Uporabo opisane metode odprave iracionalnosti v imenovalcu bomo prikazali na primerih.

Primer.

Znebite se neracionalnosti v imenovalcu ulomka: a), b).

Odločitev.

a) Najbližje naravno število, večje od 3 in deljivo s 5, je 5. Da bi indikator šestih postal enak pet, je treba izraz v imenovalcu pomnožiti s. Posledično bo osvoboditev od iracionalnosti v imenovalcu ulomka olajšala izraz, s katerim je treba pomnožiti števec in imenovalec:

b) Očitno je najbližje naravno število, ki je večje od 15 in je brez ostanka deljivo s 4, 16. Da bi eksponent v imenovalcu postal enak 16, morate izraz, ki se tam nahaja, pomnožiti s. Tako se z množenjem števca in imenovalca prvotnega ulomka z (upoštevajte, da vrednost tega izraza ni enaka nič, za kateri pravi x) odpravite iracionalnost v imenovalcu:

odgovor:

a) , b) .

Množenje s pridruženim izrazom

Naslednji način, kako se znebiti iracionalnosti v imenovalcu ulomka, zajema primere, ko imenovalec vsebuje izraze v obliki , , , ali . Da bi se v teh primerih znebili neracionalnosti v imenovalcu ulomka, je treba števec in imenovalec ulomka pomnožiti s t.i. konjugiran izraz.

Še vedno je treba ugotoviti, kateri izrazi so konjugirani za zgornje. Za izraz je pridruženi izraz , pri izrazu pa je pridruženi izraz . Podobno je za izraz konjugat , za izraz pa je konjugat . In za izraz je konjugat , za izraz pa je konjugat . Torej se izraz, konjugiran s tem izrazom, razlikuje od njega po predznaku pred drugim členom.

Poglejmo, kakšen je rezultat množenja izraza z njegovim konjugiranim izrazom. Na primer, upoštevajte izdelek . Lahko ga nadomestimo z razliko kvadratov, torej od koder gremo naprej do izraza a−b, ki ne vsebuje korenskih predznakov.

Zdaj postane jasno, kako vam množenje števca in imenovalca ulomka z izrazom, ki je konjugiran z imenovalcem, omogoča, da se znebite neracionalnosti v imenovalcu ulomka. Oglejmo si rešitve tipičnih primerov.

Primer.

Izraz izrazi kot ulomek, katerega imenovalec ne vsebuje radikala: a), b).

Odločitev.

a) Izraz, konjugiran na imenovalec, je . Z njim pomnožimo števec in imenovalec, kar nam bo omogočilo, da se znebimo iracionalnosti v imenovalcu ulomka:

b) Za izraz je konjugat . Če z njim pomnožimo števec in imenovalec, dobimo

Najprej je bilo mogoče odstraniti znak minus iz imenovalca in šele nato pomnožiti števec in imenovalec z izrazom, konjugiranim z imenovalcem:

odgovor:

a) , b) .

Prosimo, upoštevajte: pri množenju števca in imenovalca ulomka z izrazom s spremenljivkami, konjugiranimi z imenovalcem, je treba paziti, da ne izgine za noben niz vrednosti spremenljivk iz DPV za prvotni izraz.

Primer.

Znebite se neracionalnosti v imenovalcu ulomka.

Odločitev.

Za začetek poiščimo območje dopustnih vrednosti (ODZ) spremenljivke x. Določena je s pogoji x≥0 in , iz katerih sklepamo, da je ODZ množica x≥0 .

Izraz, konjugiran z imenovalcem, je . Z njim lahko pomnožimo števec in imenovalec ulomka pod pogojem, da je , kar je na ODZ enakovredno pogoju x≠16 . Hkrati imamo

In za x=16 imamo .

Tako je za vse vrednosti spremenljivke x iz ODZ, razen za x=16 , , in za x=16 imamo .

odgovor:

Uporaba formul za vsoto in razliko kubov

Iz prejšnjega odstavka smo se naučili, da se množenje števca in imenovalca ulomka z izrazom, ki je konjugiran z imenovalcem, izvaja z namenom nadaljnje uporabe formule razlike kvadratov in s tem odprave neracionalnosti v imenovalcu. V nekaterih primerih so uporabne tudi druge skrajšane formule za množenje, da se znebite neracionalnosti v imenovalcu. Na primer, formula za razliko kock a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+b 2) vam omogoča, da se znebite iracionalnosti, ko imenovalec ulomka vsebuje izraze s kubičnimi koreni oblike oz. , kjer sta A in B nekaj števil ali izrazov. Če želite to narediti, števec in imenovalec ulomka pomnožite z nepopolnim kvadratom vsote oziroma razlika. Podobno preizkusimo formulo za vsoto kock a 3 +b 3 =(a+b) (a 2 −a b+b 2).

Primer.

Znebite se neracionalnosti v imenovalcu ulomka: a), b) .

Odločitev.

a) Zlahka je uganiti, da v tem primeru odstranitev iracionalnosti v imenovalcu omogoča množenje števca in imenovalca z nepopolnim kvadratom vsote števil in , saj nam bo to v prihodnosti omogočilo transformacijo izraza v imenovalec po formuli razlika kock:

b) Izraz v imenovalcu ulomka lahko predstavljamo kot , iz katerega je jasno razvidno, da je to nepopoln kvadrat razlike med števili 2 in . Če torej števec in imenovalec ulomka pomnožimo z vsoto, potem lahko imenovalec pretvorimo po formuli vsota kock, kar vam bo omogočilo, da se znebite iracionalnosti v imenovalcu ulomka. To lahko naredimo pod pogojem , ki je enak pogoju in nadalje x≠−8 :

In ko nadomestimo x=−8 v prvotni ulomek, imamo .

Tako imamo za vse x iz ODZ za prvotni ulomek (v tem primeru je to množica R ), razen za x=−8 , , in za x=8 imamo .

odgovor:

Uporaba različnih metod

V bolj zapletenih primerih se običajno ne izide z enim dejanjem, da bi se znebili neracionalnosti v imenovalcu, ampak morate dosledno uporabljati metodo za metodo, vključno z zgoraj obravnavanimi. Včasih so morda potrebne nekatere nestandardne rešitve. Precej zanimive naloge na obravnavano temo najdete v učbeniku avtorja Yu. N. Kolyagina. Bibliografija.

1. Algebra: učbenik za 8 celic. Splošna izobrazba institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; izd. S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M.: Izobraževanje, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
2. Mordkovič A. G. Algebra. 8. razred. Ob 14. uri 1. del. Učbenik za študente izobraževalnih ustanov / A. G. Mordkovich. - 11. izd., izbrisano. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
3. Algebra in začetek matematične analize. 10. razred: učbenik. za splošno izobraževanje ustanove: osnovne in profilne. stopnje / [Yu. M. Koljagin, M. V. Tkačeva, N. E. Fedorova, M. I. Šabunin]; izd. A. B. Žižčenko. - 3. izd. - M .: Razsvetljenje, 2010.- 368 str. : Ilustr. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Danny Peric Campana

Druga zanimiva knjiga za šolarje, ki jih zanima, žal ni prevedena v ruščino, je knjiga »Danielove matematične pustolovščine« (Las Aventuras Matemáticas de Daniel) čilskega učitelja matematike Dannyja Pericha Campane, zelo nenavadne in zanimive osebe. Ne le poučuje otroke, ampak tudi piše pesmi, na internetu postavlja različna učna gradiva o matematiki. Najdete jih na youtubu in na strani http://www.sectormatematica.cl/ (seveda so vsa gradiva v španščini).

Tukaj objavljam eno poglavje iz knjige Dannyja Perica. Zdelo se mi je precej zanimivo in uporabno za šolarje. Da bo jasno, o čem govorimo, bom rekel, da Daniel in Camila delata v šoli, sta učitelja.

Skrivnost, kako se znebiti iracionalnosti

»Camila, zdaj imam veliko težav, ko poskušam razložiti, kaj se uporablja za to, skozi kar gremo v lekciji,« je rekel Daniel.

»Pravzaprav ne razumem, o čem govoriš.

- Govorim o tem, kar je v vseh šolskih učbenikih in celo knjigah na univerzitetni ravni. Še vedno nimam dvomov: zakaj se moramo znebiti iracionalnosti v imenovalcu? In nerad pripovedujem, česar tako dolgo ne razumem, je potožil Daniel.

»Tudi ne vem, od kod izvira in zakaj je to potrebno, a za to mora obstajati neka logična razlaga.

- Nekoč sem v eni znanstveni reviji prebral, da se znebite neracionalnosti v imenovalcu, vam omogoča, da dobite rezultat z večjo natančnostjo, vendar tega nisem nikoli več videl in nisem prepričan, da je temu tako.

Zakaj ne bi preverili? je vprašala Camila.

»Prav imaš,« se je strinjal Daniel. »Namesto da se pritožujete, poskusite sami potegniti zaključke. Potem mi pomagaj ...

»Seveda, zdaj me tudi sam zanima.

»Morali bi vzeti nekaj izrazov in se znebiti iracionalnosti v imenovalcu, nato nadomestiti koren z njegovo vrednostjo in poiskati rezultat izraza pred in po tem, ko smo se znebili iracionalnosti v imenovalcu, in videti, ali se kaj spremeni.

"Seveda," se je strinjala Camila. - Naredimo to.

»Vzemite za primer izraz,« je rekel Daniel in vzel list papirja, da bi zapisal, kaj se dogaja. - Števec in imenovalec pomnožite z in dobite .

»Pravilno bo in nam bo morda pomagalo sklepati, če bomo upoštevali druge iracionalne izraze, enake temu,« je predlagala Camila.

- Se strinjam, - je rekel Daniel, - števec in imenovalec bom delil z , ti pa ju pomnoži z .

- Uspel sem . In ti imaš?

"Imam," je odgovoril Daniel. - Sedaj izračunamo prvotni izraz in nastale izraze ter ga nadomestimo z njegovo vrednostjo z vsemi decimalnimi mesti, ki jih kalkulator poda. Dobimo:

"Ne vidim nič nenavadnega," je rekla Camila. »Pričakoval sem neko drugačnost, ki bi upravičila odpravo iracionalnosti.

»Kot sem vam rekel, sem nekoč bral o tem v zvezi s pristopom. Kaj bi rekli, če bi spremenili na manj natančno številko, na primer ?

Poskusimo in vidimo, kaj se bo zgodilo.

Reševanje enačb z ulomki poglejmo primere. Primeri so preprosti in nazorni. Z njihovo pomočjo lahko razumete na najbolj razumljiv način,.
Na primer, rešiti morate preprosto enačbo x/b + c = d.

Enačba te vrste se imenuje linearna, ker imenovalec vsebuje samo števila.

Rešitev izvedemo tako, da obe strani enačbe pomnožimo z b, nato dobi enačba obliko x = b*(d – c), tj. imenovalec ulomka na levi strani se zmanjša.

Na primer, kako rešiti ulomljeno enačbo:
x/5+4=9
Oba dela pomnožimo s 5. Dobimo:
x+20=45
x=45-20=25

Drug primer, kjer je neznanka v imenovalcu:

Enačbe te vrste se imenujejo frakcijsko racionalne ali preprosto frakcijske.

Ulomkovo enačbo bi rešili tako, da bi se znebili ulomkov, nakar se ta najpogosteje spremeni v linearno ali kvadratno enačbo, ki jo rešujemo na običajen način. Upoštevati morate samo naslednje točke:

• vrednost spremenljivke, ki spremeni imenovalec v 0, ne more biti koren;
• enačbe ne morete deliti ali pomnožiti z izrazom =0.

Tukaj začne veljati koncept, kot je območje dovoljenih vrednosti (ODZ) - to so vrednosti korenin enačbe, za katere je enačba smiselna.

Tako je pri reševanju enačbe potrebno najti korenine in jih nato preveriti glede skladnosti z ODZ. Tiste korenine, ki ne ustrezajo našemu DHS, so izključene iz odgovora.

Na primer, rešiti morate ulomljeno enačbo:

Na podlagi zgornjega pravila x ne more biti = 0, tj. ODZ v tem primeru: x - katera koli vrednost, ki ni nič.

Znebimo se imenovalca tako, da vse člene enačbe pomnožimo z x

In rešite običajno enačbo

5x - 2x = 1
3x=1
x = 1/3

Odgovor: x = 1/3

Rešimo enačbo bolj zapleteno:

ODZ je prisoten tudi tukaj: x -2.

Pri reševanju te enačbe ne bomo vsega prenesli v eno smer in ulomkov spravili na skupni imenovalec. Takoj pomnožimo obe strani enačbe z izrazom, ki bo zmanjšal vse imenovalce hkrati.

Če želite zmanjšati imenovalce, morate levo stran pomnožiti z x + 2 in desno stran z 2. Torej je treba obe strani enačbe pomnožiti z 2 (x + 2):

To je najpogostejše množenje ulomkov, o katerem smo že govorili zgoraj.

Zapišemo isto enačbo, vendar na nekoliko drugačen način.

Levo stran zmanjšamo za (x + 2), desno pa za 2. Po redukciji dobimo običajno linearno enačbo:

x \u003d 4 - 2 \u003d 2, kar ustreza našemu ODZ

Odgovor: x = 2.

Reševanje enačb z ulomki ni tako težko, kot se morda zdi. V tem članku smo to pokazali s primeri. Če imate kakršne koli težave z kako rešiti enačbe z ulomki, nato pa se odjavite v komentarjih.

V tej temi bomo obravnavali vse tri zgornje skupine limitov z neracionalnostjo. Začnimo z mejami, ki vsebujejo negotovost v obliki $\frac(0)(0)$.

Razkritje negotovosti $\frac(0)(0)$.

Shema za reševanje standardnih primerov te vrste je običajno sestavljena iz dveh korakov:

• Neracionalnosti, ki je povzročila negotovost, se znebimo z množenjem s tako imenovanim »pridruženim« izrazom;
• Če je treba, izraz v števcu ali imenovalcu (ali oboje) razstavimo na faktorje;
• Zmanjšamo faktorje, ki vodijo v negotovost in izračunamo želeno vrednost limita.

Izraz "pridruženi izraz", uporabljen zgoraj, bo podrobno razložen v primerih. Zaenkrat ni razloga, da bi se o tem podrobneje ukvarjali. Na splošno lahko greste v drugo smer, brez uporabe konjugiranega izraza. Včasih se lahko z dobro izbrano zamenjavo znebite neracionalnosti. Takšni primeri so v standardnih testih redki, zato bomo za uporabo zamenjave upoštevali samo en primer št. 6 (glej drugi del te teme).

Potrebovali bomo nekaj formul, ki jih bom zapisal spodaj:

\begin(enačba) a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b) \end(enačba) \begin(enačba) a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2 +ab+b^2) \end(enačba) \begin(enačba) a^3+b^3=(a+b)\cdot(a^2-ab+b^2) \end(enačba) \begin (enačba) a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end(enačba)

Poleg tega predpostavljamo, da bralec pozna formule za reševanje kvadratnih enačb. Če sta $x_1$ in $x_2$ korena kvadratnega trinoma $ax^2+bx+c$, potem ga je mogoče faktorizirati z naslednjo formulo:

\begin(enačba) ax^2+bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2) \end(enačba)

Formule (1)-(5) so povsem dovolj za reševanje standardnih problemov, na katere se zdaj obrnemo.

Primer #1

Poiščite $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$.

Ker je $\lim_(x\to 3)(\sqrt(7-x)-2)=\sqrt(7-3)-2=\sqrt(4)-2=0$ in $\lim_(x\ to 3) (x-3)=3-3=0$, potem imamo v dani meji negotovost oblike $\frac(0)(0)$. Razlika $\sqrt(7-x)-2$ nam preprečuje, da bi razkrili to negotovost. Da bi se znebili takšnih neracionalnosti, se uporablja množenje s tako imenovanim "pridruženim izrazom". Zdaj bomo razmislili, kako deluje takšno množenje. Pomnožite $\sqrt(7-x)-2$ z $\sqrt(7-x)+2$:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)$$

Za razširitev oklepajev uporabimo , tako da nadomestimo $a=\sqrt(7-x)$, $b=2$ na desni strani omenjene formule:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=(\sqrt(7-x))^2-2^2=7-x-4=3-x .$$

Kot lahko vidite, če števec pomnožite z $\sqrt(7-x)+2$, potem koren (tj. iracionalnost) v števcu izgine. Ta izraz $\sqrt(7-x)+2$ bo konjugat na izraz $\sqrt(7-x)-2$. Vendar ne moremo preprosto vzeti in pomnožiti števca z $\sqrt(7-x)+2$, ker bo to spremenilo ulomek $\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$, ki je pod mejo. Hkrati morate pomnožiti števec in imenovalec:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)= \levo|\frac(0)(0)\desno|=\lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2)) $$

Zdaj si zapomnite, da je $(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=3-x$ in razširite oklepaje. In po odprtju oklepajev in majhni transformaciji $3-x=-(x-3)$ zmanjšamo ulomek za $x-3$:

$$ \lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt( 7-x)+2))= \lim_(x\do 3)\frac(3-x)((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))=\\ =\lim_ (x\do 3)\frac(-(x-3))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))= \lim_(x\to 3)\frac(-1 )(\sqrt(7-x)+2) $$

Negotovosti $\frac(0)(0)$ ni več. Zdaj lahko enostavno dobite odgovor na ta primer:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(-1)(\sqrt(7-x)+2)=\frac(-1)(\sqrt(7-3)+2)=-\frac( 1)(\sqrt(4)+2)=-\frac(1)(4).$$

Opažam, da lahko konjugirani izraz spremeni svojo strukturo - odvisno od tega, kakšno iracionalnost mora odstraniti. V primerih št. 4 in št. 5 (glejte drugi del te teme) bo uporabljena druga vrsta konjugiranega izraza.

Odgovori: $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)=-\frac(1)(4)$.

Primer #2

Poiščite $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$.

Ker je $\lim_(x\to 2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\sqrt(2^2+5)-\sqrt(7\cdot 2 ^ 2-19)=3-3=0$ in $\lim_(x\to 2)(3x^2-5x-2)=3\cdot2^2-5\cdot 2-2=0$, potem smo se ukvarjajo z negotovostjo v obliki $\frac(0)(0)$. Znebimo se neracionalnosti v imenovalcu tega ulomka. Če želite to narediti, prištejmo števec in imenovalec ulomka $\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$ izraz $\sqrt(x^ 2+5)+\sqrt(7x^2-19)$, konjugiran na imenovalec:

$$ \lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\levo|\frac(0 )(0)\desno|= \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) ((\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) $$

Ponovno, kot v primeru št. 1, morate za razširitev uporabiti oklepaje. Če zamenjamo $a=\sqrt(x^2+5)$, $b=\sqrt(7x^2-19)$ v desno stran omenjene formule, dobimo naslednji izraz za imenovalec:

$$ \levo(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19)\desno)\levo(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)\ desno)=\\ =\levo(\sqrt(x^2+5)\desno)^2-\levo(\sqrt(7x^2-19)\desno)^2=x^2+5-(7x ^2-19)=-6x^2+24=-6\cdot(x^2-4) $$

Vrnimo se k naši omejitvi:

$$ \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((\sqrt(x ^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))= \lim_(x\do 2)\frac( (3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(-6\cdot(x^2-4))=\\ =-\ frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x^2-4) $$

V primeru št. 1 se je frakcija skoraj takoj po množenju s konjugiranim izrazom zmanjšala. Tukaj je treba pred redukcijo faktorizirati izraza $3x^2-5x-2$ in $x^2-4$ in šele nato nadaljevati z redukcijo. Če želite faktorizirati izraz $3x^2-5x-2$, morate uporabiti . Najprej rešimo kvadratno enačbo $3x^2-5x-2=0$:

$$ 3x^2-5x-2=0\\ \begin(poravnano) & D=(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49;\\ & x_1=\ frac(-(-5)-\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5-7)(6)=-\frac(2)(6)=-\frac(1)(3) ;\\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2. \end(poravnano) $$

Če nadomestimo $x_1=-\frac(1)(3)$, $x_2=2$ v , imamo:

$$ 3x^2-5x-2=3\cdot\levo(x-\levo(-\frac(1)(3)\desno)\desno)(x-2)=3\cdot\levo(x+\ frac(1)(3)\desno)(x-2)=\levo(3\cdot x+3\cdot\frac(1)(3)\desno)(x-2) =(3x+1)( x-2). $$

Zdaj je čas, da faktoriziramo izraz $x^2-4$. Uporabimo in vanj nadomestimo $a=x$, $b=2$:

$$ x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2) $$

Uporabimo dobljene rezultate. Ker $x^2-4=(x-2)(x+2)$ in $3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$, potem:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2) -19)))(x^2-4) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x ^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((x-2)(x+2)) $$

Z zmanjševanjem za oklepaj $x-2$ dobimo:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^ 2-19)))((x-2)(x+2)) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt( x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(x+2). $$

Vse! Negotovosti ni več. Še korak in pridemo do odgovora:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x+2)=\\ =-\frac(1)(6)\cdot\frac((3\cdot 2+1)(\sqrt(2^2+5)+\sqrt(7\cdot 2) ^2-19)))(2+2)= -\frac(1)(6)\cdot\frac(7(3+3))(4)=-\frac(7)(4). $$

Odgovori: $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=-\frac(7)( 4)$.

V naslednjem primeru razmislite o primeru, ko bo neracionalnost prisotna tako v števcu kot v imenovalcu ulomka.

Primer #3

Poišči $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9) ))$.

Ker je $\lim_(x\to 5)(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))=\sqrt(9)-\sqrt(9)=0$ in $\lim_( x \to 5)(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9))=\sqrt(16)-\sqrt(16)=0$, potem imamo negotovost v obliki $ \frac (0)(0)$. Ker so v tem primeru korenine prisotne tako v imenovalcu kot v števcu, boste morali, da se znebite negotovosti, pomnožiti z dvema oklepajema hkrati. Najprej na izraz $\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)$, konjugiran na števec. In drugič, na izraz $\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9)$, konjugiran na imenovalec.

$$ \lim_(x\do 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9) ))=\levo|\frac(0)(0)\desno|=\\ =\lim_(x\do 5)\frac((\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16) )(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((\sqrt(x^2) -3x+6)-\sqrt(5x-9))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9))(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2) -16))) $$ $$ -x^2+x+20=0;\\ \begin(poravnano) & D=1^2-4\cdot(-1)\cdot 20=81;\\ & x_1=\frac(-1-\sqrt(81))(-2)=\frac(-10)(-2)=5;\\ & x_2=\frac(-1+\sqrt(81))( -2)=\frac(8)(-2)=-4. \end(poravnano) \\ -x^2+x+20=-1\cdot(x-5)(x-(-4))=-(x-5)(x+4). $$

Za izraz $x^2-8x+15$ dobimo:

$$ x^2-8x+15=0;\\ \begin(poravnano) & D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=4;\\ & x_1=\frac(-(- 8)-\sqrt(4))(2)=\frac(6)(2)=3;\\ & x_2=\frac(-(-8)+\sqrt(4))(2)=\frac (10)(2)=5. \end(poravnano)\\ x^2+8x+15=1\cdot(x-3)(x-5)=(x-3)(x-5). $$

Zamenjamo dobljene razširitve $-x^2+x+20=-(x-5)(x+4)$ in $x^2+8x+15=(x-3)(x-5)$ v obravnavano omejitev, bo imela:

$$ \lim_(x\to 5)\frac((-x^2+x+20)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x^2 -8x+15)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \lim_(x\do 5)\frac(-(x-5)(x+4)(\ sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3)(x-5)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)) )=\\ =\lim_(x\do 5)\frac(-(x+4)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3) (\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \frac(-(5+4)(\sqrt(5^2-3\cdot 5+6)+\sqrt(5 \cdot 5-9)))((5-3)(\sqrt(5+4)+\sqrt(5^2-16)))=-6. $$

Odgovori: $\lim_(x\do 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9) ))=-6$.

V naslednjem (drugem) delu bomo obravnavali še nekaj primerov, v katerih bo konjugirani izraz imel drugačno obliko kot v prejšnjih nalogah. Glavna stvar, ki si jo morate zapomniti, je, da je namen uporabe konjugiranega izraza znebiti se iracionalnosti, ki povzroča negotovost.

Pri preučevanju transformacij iracionalnega izraza je zelo pomembno vprašanje, kako se znebiti iracionalnosti v imenovalcu ulomka. Namen tega članka je razložiti to dejanje s posebnimi primeri nalog. V prvem odstavku bomo obravnavali osnovna pravila te preobrazbe, v drugem pa značilne primere s podrobnimi razlagami.

Koncept osvoboditve od iracionalnosti v imenovalcu

Začnimo z razlago, kaj je sploh pomen takšne preobrazbe. V ta namen opozarjamo na naslednje določbe.

O iracionalnosti v imenovalcu ulomka lahko govorimo, če je tam prisoten radikal, ki je tudi znak korena. Številke, zapisane s tem znakom, so pogosto iracionalne. Primeri bi bili 1 2 , - 2 x + 3 , x + y x - 2 · x · y + 1 , 11 7 - 5 . Med ulomke z iracionalnimi imenovalci sodijo tudi tisti, ki imajo tam korenine različnih stopenj (kvadratne, kubične itd.), na primer 3 4 3, 1 x + x y 4 + y. Da bi se znebili iracionalnosti, je treba poenostaviti izraz in olajšati nadaljnje izračune. Oblikujmo glavno definicijo:

Definicija 1

Znebite se neracionalnosti v imenovalcu ulomka- pomeni, da ga preoblikujemo in ga nadomestimo z enako enakim ulomkom, katerega imenovalec ne vsebuje korenin in stopinj.

Takšno dejanje lahko imenujemo osvoboditev ali znebitev iracionalnosti, pomen pa ostaja enak. Tako je prehod iz 1 2 v 2 2, tj. na ulomek z enako vrednostjo brez predznaka za koren v imenovalcu in bo dejanje, ki ga potrebujemo. Dajmo še en primer: imamo ulomek x x - y. Izvedimo potrebne transformacije in dobimo ulomek x · x + y x - y, ki mu je identično enak, pri čemer se osvobodimo iracionalnosti v imenovalcu.

Po oblikovanju definicije lahko nadaljujemo neposredno s preučevanjem zaporedja dejanj, ki jih je treba izvesti za takšno preoblikovanje.

Osnovni koraki, kako se znebiti neracionalnosti v imenovalcu ulomka

Če se želite znebiti korenin, morate izvesti dve zaporedni transformaciji ulomkov: oba dela ulomka pomnožite s številom, ki ni nič, in nato preoblikujte dobljeni izraz v imenovalcu. Razmislimo o glavnih primerih.

V najpreprostejšem primeru se lahko rešite s transformacijo imenovalca. Na primer, lahko vzamemo ulomek z imenovalcem, ki je enak korenu iz 9. Ko smo izračunali 9, v imenovalec zapišemo 3 in se tako znebimo neracionalnosti.

Vendar pa morate veliko pogosteje števec in imenovalec vnaprej pomnožiti s številom, ki vam bo nato omogočilo, da imenovalec pripeljete do želene oblike (brez korenin). Torej, če pomnožimo 1 x + 1 z x + 1, dobimo ulomek x + 1 x + 1 x + 1 in izraz v njegovem imenovalcu lahko zamenjamo z x + 1. Tako smo 1 x + 1 pretvorili v x + 1 x + 1 in se znebili neracionalnosti.

Včasih so transformacije, ki jih je treba izvesti, precej specifične. Poglejmo si nekaj ilustrativnih primerov.

Kako pretvoriti izraz v imenovalec ulomka

Kot smo rekli, je najpreprostejša stvar pretvorba imenovalca.

Primer 1

Pogoj: osvobodi ulomek 1 2 18 + 50 iracionalnosti v imenovalcu.

Odločitev

Za začetek odprimo oklepaje in dobimo izraz 1 2 18 + 2 50 . Z uporabo osnovnih lastnosti korenov preidimo na izraz 1 2 · 18 + 2 · 50 . Izračunamo vrednosti obeh izrazov pod koreninami in dobimo 1 36 + 100 . Tukaj lahko že izvlečete korenine. Kot rezultat smo dobili ulomek 1 6 + 10, ki je enak 1 16. S tem je preobrazba zaključena.

Zapišemo potek celotne rešitve brez komentarjev:

1 2 18 + 50 = 1 2 18 + 2 50 = = 1 2 18 + 2 50 = 1 36 + 100 = 1 6 + 10 = 1 16

odgovor: 1 2 18 + 50 = 1 16 .

Primer 2

Pogoj: podan ulomek 7 - x (x + 1) 2 . Znebite se iracionalnosti v imenovalcu.

Odločitev

Prej v članku o transformacijah iracionalnih izrazov z uporabo lastnosti korenov smo omenili, da lahko za vsak A in celo n izraz A n n nadomestimo z | A | na celotnem območju dopustnih vrednosti spremenljivk. Zato lahko v našem primeru to zapišemo takole: 7 - x x + 1 2 = 7 - x x + 1. S tem smo se osvobodili iracionalnosti v imenovalcu.

odgovor: 7 - x x + 1 2 = 7 - x x + 1 .

Znebiti se neracionalnosti z množenjem s korenom

Če imenovalec ulomka vsebuje izraz oblike A in sam izraz A nima korenskih predznakov, potem se lahko znebimo iracionalnosti tako, da preprosto pomnožimo oba dela prvotnega ulomka z A. Možnost tega dejanja je določena z dejstvom, da se A na območju veljavnih vrednosti ne spremeni v 0. Po množenju bo imenovalec vseboval izraz oblike A · A, ki se ga je enostavno znebiti korenin: A · A \u003d A 2 \u003d A. Poglejmo, kako to metodo uporabiti v praksi.

Primer 3

Pogoj: podana sta ulomka x 3 in - 1 x 2 + y - 4. Znebite se neracionalnosti v njihovih imenovalcih.

Odločitev

Pomnožimo prvi ulomek z drugim korenom iz 3. Dobimo naslednje:

x 3 = x 3 3 3 = x 3 3 2 = x 3 3

V drugem primeru moramo pomnožiti z x 2 + y - 4 in dobljeni izraz pretvoriti v imenovalec:

1 x 2 + y - 4 = - 1 x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 = = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 2 = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4

odgovor: x 3 = x 3 3 in - 1 x 2 + y - 4 = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 .

Če imenovalec prvotnega ulomka vsebuje izraze v obliki A n m ali A m n (ob predpostavki, da sta m in n naravna), moramo izbrati faktor, tako da lahko dobljeni izraz pretvorimo v A n n k ali A n k n (če je k naravno). Po tem se znebiti iracionalnosti ne bo težko. Vzemimo primer.

Primer 4

Pogoj: podani ulomki 7 6 3 5 in x x 2 + 1 4 15 . Znebite se neracionalnosti v imenovalcih.

Odločitev

Vzeti moramo naravno število, ki ga lahko delimo s pet, pri čemer mora biti večje od tri. Da bo eksponent 6 enak 5, moramo pomnožiti s 6 2 5. Zato bomo morali oba dela prvotnega ulomka pomnožiti s 6 2 5:

7 6 3 5 = 7 6 2 5 6 3 5 6 2 5 = 7 6 2 5 6 3 5 6 2 = 7 6 2 5 6 5 5 = = 7 6 2 5 6 = 7 36 5 6

V drugem primeru potrebujemo število, večje od 15, ki ga lahko brez ostanka delimo s 4. Vzamemo 16. Da dobimo tak eksponent v imenovalcu, moramo vzeti x 2 + 1 4 kot faktor. Naj pojasnimo, da vrednost tega izraza v nobenem primeru ne bo 0. Izračunamo:

x x 2 + 1 4 15 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 15 x 2 + 1 4 = = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 16 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 4 4 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4

Odgovori: 7 6 3 5 = 7 36 5 6 in x x 2 + 1 4 15 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 .

Znebiti se iracionalnosti z množenjem s pridruženim izrazom

Naslednja metoda je primerna za tiste primere, ko imenovalec prvotnega ulomka vsebuje izraze a + b, a - b, a + b, a - b, a + b, a - b. V takšnih primerih moramo kot dejavnik vzeti pridruženi izraz. Razložimo pomen tega pojma.

Za prvi izraz a + b bo konjugat a - b, za drugi a - b - a + b. Za a + b - a - b, za a - b - a + b, za a + b - a - b in za a - b - a + b. Z drugimi besedami, konjugirani izraz je izraz, v katerem je nasprotni znak pred drugim izrazom.

Poglejmo, kaj točno je ta metoda. Recimo, da imamo produkt oblike a - b · a + b . Lahko ga nadomestimo s kvadratno razliko a - b · a + b = a 2 - b 2 , po kateri preidemo na izraz a − b brez radikalov. Tako smo se z množenjem s konjugiranim izrazom znebili neracionalnosti v imenovalcu ulomka. Vzemimo nekaj ilustrativnih primerov.

Primer 5

Pogoj: znebite se neracionalnosti v izrazih 3 7 - 3 in x - 5 - 2 .

Odločitev

V prvem primeru vzamemo konjugirani izraz enak 7 + 3. Zdaj z njim pomnožimo oba dela prvotnega ulomka:

3 7 - 3 = 3 7 + 3 7 - 3 7 + 3 = 3 7 + 3 7 2 - 3 2 = = 3 7 + 3 7 - 9 = 3 7 + 3 - 2 = - 3 7 + 3 2

V drugem primeru potrebujemo izraz - 5 + 2 , ki je konjugiran izrazu - 5 - 2 . Z njim pomnožite števec in imenovalec in dobite:

x - 5 - 2 = x - 5 + 2 - 5 - 2 - 5 + 2 = = x - 5 + 2 - 5 2 - 2 2 = x - 5 + 2 5 - 2 = x 2 - 5 3

Pred množenjem je mogoče izvesti tudi pretvorbo: če najprej odstranimo minus iz imenovalca, bo bolj priročno šteti:

x - 5 - 2 = - x 5 + 2 = - x 5 - 2 5 + 2 5 - 2 = = - x 5 - 2 5 2 - 2 2 = - x 5 - 2 5 - 2 = - x 5 - 2 3 = = x 2 - 5 3

odgovor: 3 7 - 3 = - 3 7 + 3 2 in x - 5 - 2 = x 2 - 5 3 .

Pomembno je biti pozoren na dejstvo, da se izraz, dobljen kot rezultat množenja, ne spremeni v 0 za nobeno spremenljivko iz obsega veljavnih vrednosti za ta izraz.

Primer 6

Pogoj: podan ulomek x x + 4 . Preoblikujte ga tako, da v imenovalcu ne bo iracionalnih izrazov.

Odločitev

Začnimo z iskanjem obsega veljavnih vrednosti za x. Določena je s pogoji x ≥ 0 in x + 4 ≠ 0 . Iz njih lahko sklepamo, da je želeno območje množica x ≥ 0 .

Konjugat imenovalca je x - 4 . Kdaj lahko izvedemo množenje na njem? Samo, če je x - 4 ≠ 0 . Na območju sprejemljivih vrednosti bo to enakovredno pogoju x≠16. Kot rezultat bomo dobili naslednje:

x x + 4 = x x - 4 x + 4 x - 4 = = x x - 4 x 2 - 4 2 = x x - 4 x - 16

Če je x enak 16, potem dobimo:

x x + 4 = 16 16 + 4 = 16 4 + 4 = 2

Zato je x x + 4 = x · x - 4 x - 16 za vse vrednosti x, ki spadajo v obseg veljavnih vrednosti, razen za 16. Za x = 16 dobimo x x + 4 = 2 .

odgovor: x x + 4 = x x - 4 x - 16 , x ∈ [ 0 , 16) ∪ (16 , + ∞) 2 , x = 16 .

Pretvarjanje ulomkov z iracionalnostjo v imenovalcu z uporabo formul za vsoto in razliko kock

V prejšnjem odstavku smo izvedli množenje s konjugiranimi izrazi, da bi nato uporabili formulo razlike kvadratov. Včasih je, da se znebite iracionalnosti v imenovalcu, koristno uporabiti druge skrajšane formule za množenje, na primer razliko kock. a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + a b + b 2). Ta formula je primerna za uporabo, če imenovalec prvotnega ulomka vsebuje izraze s koreninami tretje stopnje v obliki A 3 - B 3 , A 3 2 + A 3 · B 3 + B 3 2 . itd. Če ga želimo uporabiti, moramo imenovalec ulomka pomnožiti z nepopolnim kvadratom vsote A 3 2 + A 3 · B 3 + B 3 2 ali razliko A 3 - B 3 . Podobno lahko uporabite formulo vsote a 3 + b 3 \u003d (a) (a 2 - a b + b 2).

Primer 7

Pogoj: preoblikujte ulomka 1 7 3 - 2 3 in 3 4 - 2 · x 3 + x 2 3 tako, da se znebite iracionalnosti v imenovalcu.

Odločitev

Za prvi ulomek moramo uporabiti metodo množenja obeh delov z nepopolnim kvadratom vsote 7 3 in 2 3, ker potem lahko izvedemo transformacijo s formulo kubne razlike:

1 7 3 - 2 3 = 1 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 7 3 - 2 3 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 = = 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 7 3 3 - 2 3 3 = 7 2 3 + 7 2 3 + 2 2 3 7 - 2 = = 49 3 + 14 3 + 4 3 5

V drugem ulomku predstavljamo imenovalec kot 2 2 - 2 · x 3 + x 3 2 . V tem izrazu je viden nepopolni kvadrat razlike 2 in x 3, kar pomeni, da lahko oba dela ulomka pomnožimo z vsoto 2 + x 3 in uporabimo formulo za vsoto kubov. Za to mora biti izpolnjen pogoj 2 + x 3 ≠ 0, kar je enakovredno x 3 ≠ - 2 in x ≠ - 8:

3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 3 2 2 - 2 x 3 + x 3 2 = = 3 2 + x 3 2 2 - 2 x 3 + x 3 2 2 + x 3 = 6 + 3 x 3 2 3 + x 3 3 = = 6 + 3 x 3 8 + x

Nadomestite v ulomek - 8 in poiščite vrednost:

3 4 - 2 8 3 + 8 2 3 = 3 4 - 2 2 + 4 = 3 4

Naj povzamemo. Za vse x, vključene v obseg prvotnega ulomka (niz R), z izjemo - 8, dobimo 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 6 + 3 x 3 8 + x . Če je x = 8, potem je 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 3 4 .

odgovor: 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 \u003d 6 + 3 x 3 8 + x, x ≠ 8 3 4, x \u003d - 8.

Dosledna uporaba različnih transformacijskih metod

Pogosto v praksi prihaja do kompleksnejših primerov, ko se z eno samo metodo ne moremo znebiti iracionalnosti v imenovalcu. Za njih morate zaporedno izvesti več transformacij ali izbrati nestandardne rešitve. Vzemimo en tak problem.

Primer N

Pogoj: pretvorite 5 7 4 - 2 4, da se znebite predznakov za koren v imenovalcu.

Odločitev

Pomnožimo oba dela prvotnega ulomka s konjugiranim izrazom 7 4 + 2 4 z vrednostjo, ki ni nič. Dobimo naslednje:

5 7 4 - 2 4 = 5 7 4 + 2 4 7 4 - 2 4 7 4 + 2 4 = = 5 7 4 + 2 4 7 4 2 - 2 4 2 = 5 7 4 + 2 4 7 - 2

In zdaj ponovno uporabimo isto metodo:

5 7 4 + 2 4 7 - 2 = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 7 - 2 7 + 2 = = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 7 2 - 2 2 = 5 7 4 + 7 4 7 + 2 7 - 2 = = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 5 = 7 4 + 2 4 7 + 2

odgovor: 5 7 4 - 2 4 = 7 4 + 2 4 7 + 2 .

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter