Konvexnosť funkcie. Smer vydutia

Pojem konvexnosti funkcie

Uvažujme funkciu \(y = f\left(x \right),\), o ktorej sa predpokladá, že je spojitá na segmente \(\left[ (a,b) \right].\) Funkcia \(y = f \left(x \right),\) )\) sa volá konvexné nadol (alebo jednoducho konvexné) ak pre ľubovoľné body \((x_1)\) a \((x_2)\) z \(\left[ (a,b) \right]\) x_1),(x_2) \in \left[ (a, b) \vpravo],\) tak, že \((x_1) \ne (x_2),\) potom sa zavolá funkcia \(f\vľavo(x \vpravo) \) prísne konvexné nadol

Podobne je definovaná vzostupná konvexná funkcia. Zavolá sa funkcia \(f\left(x \right)\). konvexne nahor (alebo konkávne) ak pre ľubovoľné body \((x_1)\) a \((x_2)\) segmentu \(\vľavo[ (a,b) \vpravo]\) je nerovnosť \ Ak je táto nerovnosť prísna pre ľubovoľnú \( ( x_1),(x_2) \in \left[ (a,b) \right],\) tak, že \((x_1) \ne (x_2),\) potom funkcia \(f\left(x \right) ) \) sa nazývajú prísne konvexné smerom nahor na segmente \(\vľavo[ (a,b) \vpravo].\)

Geometrická interpretácia konvexnosti funkcie

Zavedené definície konvexnej funkcie majú jednoduchú geometrickú interpretáciu.

Pre funkciu, konvexné nadol (kresba \(1\)), stred \(B\) akéhokoľvek akordu \((A_1)(A_2)\) leží vyššie

Podobne pre funkciu konvexne nahor (kresba \(2\)), stred \(B\) akéhokoľvek akordu \((A_1)(A_2)\) leží nižšie zodpovedajúci bod \((A_0)\) grafu funkcie alebo sa zhoduje s týmto bodom.

Konvexné funkcie majú ďalšiu vizuálnu vlastnosť, ktorá súvisí s umiestnením dotyčnica do grafu funkcie. Funkcia \(f\left(x \right)\) je konvexné nadol na segmente \(\left[ (a,b) \right]\) práve vtedy, ak jeho graf neleží nižšie ako dotyčnica k nemu nakreslená v žiadnom bode \((x_0)\) segmentu \(\left [ (a ,b) \vpravo]\) (číslo \(3\)).

V súlade s tým je funkcia \(f\left(x \right)\). konvexne nahor na segmente \(\left[ (a,b) \right]\) práve vtedy, ak jeho graf neleží vyššie ako dotyčnica k nemu nakreslená v žiadnom bode \((x_0)\) segmentu \(\left [ (a ,b) \vpravo]\) (číslo \(4\)). Tieto vlastnosti sú teorémom a možno ich dokázať pomocou definície konvexnosti funkcie.

Dostatočné podmienky pre konvexnosť

Nech pre funkciu \(f\left(x \right)\) existuje prvá derivácia \(f"\left(x \right)\) na segmente \(\left[ (a,b) \right], \) a druhá derivácia \(f""\left(x \right)\) − na intervale \(\left((a,b) \right).\) Potom platia nasledujúce dostatočné kritériá pre konvexnosť:

Ak \(f""\left(x \right) \ge 0\) pre všetky \(x \in \left((a,b) \right),\), potom funkcia \(f\left(x \ správne )\) konvexné nadol na segmente \(\left[ (a,b) \right];\)

Ak \(f""\left(x \right) \le 0\) pre všetky \(x \in \left((a,b) \right),\), potom funkcia \(f\left(x \ správne )\) konvexne nahor na segmente \(\vľavo[ (a,b) \vpravo].\)

V prípadoch, keď je druhá derivácia striktne väčšia ako (menšia ako) nula, hovorí sa o prísna konvexnosť nadol (alebo hore ).

Dokážme vyššie uvedenú vetu pre prípad klesajúcej konvexnej funkcie. Nech funkcia \(f\left(x \right)\) má nezápornú druhú deriváciu na intervale \(\left((a,b) \right):\) \(f""\left(x \right) \ge 0.\) Označte \((x_0)\) stred segmentu \(\left[ ((x_1),(x_2)) \right].\) Predpokladajme, že dĺžka tohto segmentu sa rovná \(2h.\) Potom súradnice \((x_1)\) a \((x_2)\) možno zapísať ako: \[(x_1) = (x_0) - h,\;\;(x_2 ) = (x_0) + h.\] Rozviňte funkciu \(f\left(x \right)\) v bode \((x_0)\) na Taylorov rad so zvyšným členom v Lagrangeovom tvare. Dostaneme nasledujúce výrazy: \[ (f\left(((x_1)) \right) = f\left(((x_0) - h) \right) ) = (f\left(((x_0)) \right ) - f"\left(((x_0)) \right)h + \frac((f""\left(((\xi _1)) \right)(h^2)))((2},} \] \[ {f\left({{x_2}} \right) = f\left({{x_0} + h} \right) } = {f\left({{x_0}} \right) + f"\left({{x_0}} \right)h + \frac{{f""\left({{\xi _2}} \right){h^2}}}{{2!}},} \] где \({x_0} - h !}
Pridajte obe rovnosti: \[ (f\left(((x_1)) \right) + f\left(((x_2)) \right) ) = (2f\left(((x_0)) \right) + \frac (((h^2)))(2)\left[ (f""\left(((\xi _1)) \right) + f""\left(((\xi _2)) \right)) \right].) \] Keďže \((\xi _1),(\xi _2) \in \left((a,b) \right),\) druhé derivácie na pravej strane sú nezáporné . Preto \ alebo \ to je podľa definície funkcia \(f\left(x \right)\) konvexné nadol .

Všimnite si, že nevyhnutná podmienka konvexnosti pre funkciu (t. j. priama veta, v ktorej napríklad z podmienky konvexnosti vyplýva, že \(f""\left(x \right) \ge 0\)) je splnená iba pre neprísne nerovnosti. V prípade striktnej konvexnosti nie je vo všeobecnosti splnená nevyhnutná podmienka. Napríklad funkcia \(f\left(x \right) = (x^4)\) je striktne konvexná smerom nadol. V bode \(x = 0\) sa však jeho druhá derivácia rovná nule, t.j. striktná nerovnosť \(f""\vľavo(x \vpravo) \gt 0\) nie je v tomto prípade splnená.

Vlastnosti konvexných funkcií

Uvádzame niektoré vlastnosti konvexných funkcií za predpokladu, že všetky funkcie sú definované a spojité na segmente \(\left[ (a,b) \right].\)

Ak sú funkcie \(f\) a \(g\) smerom nadol (nahor) konvexné, potom ktorákoľvek z nich lineárna kombinácia \(af + bg,\) kde \(a\), \(b\) sú kladné reálne čísla, tiež konvexné smerom nadol (nahor).

Ak je funkcia \(u = g\left(x \right)\) smerom dole konvexná a funkcia \(y = f\left(u \right)\) je dole konvexná a neklesá, potom komplexná funkcia \(y = f\left((g\left(x \right)) \right)\) bude tiež konvexné nadol.

Ak je funkcia \(u = g\left(x \right)\) smerom hore konvexná a funkcia \(y = f\left(u \right)\) je dole konvexná a nerastúca, potom komplexná funkcia \(y = f\left((g\left(x \right)) \right)\) bude konvexné nadol.

Miestne maximum konvexná funkcia smerom nahor definovaná na segmente \(\left[ (a,b) \right],\) je súčasne jeho najvyššia hodnota v tomto segmente.

Miestne minimum nadol konvexná funkcia definovaná na segmente \(\left[ (a,b) \right],\) je súčasne jeho najmenšia hodnota v tomto segmente.

Graf funkcií r=f(x) volal konvexné na intervale (a; b), ak sa nachádza pod niektorou z jeho dotyčníc na tomto intervale.

Graf funkcií r=f(x) volal konkávne na intervale (a; b), ak sa nachádza nad niektorou z jeho dotyčníc v tomto intervale.

Na obrázku je znázornená konvexná krivka (a; b) a konkávne do (b;c).

Príklady.

Zvážte dostatočné znamienko, ktoré vám umožní určiť, či bude graf funkcie v danom intervale konvexný alebo konkávny.

Veta. Nechať byť r=f(x) odlíšiteľné podľa (a; b). Ak vo všetkých bodoch intervalu (a; b) druhá derivácia funkcie r = f(x) negatívne, t.j. f ""(X) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f""(X) > 0 je konkávna.

Dôkaz. Predpokladajme pre istotu, že f""(X) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.

Vezmite funkčný graf y = f(x)ľubovoľný bod M0 s úsečkou x0 Î ( a; b) a nakreslite bod M0 dotyčnica. Jej rovnica. Musíme ukázať, že graf funkcie na (a; b) leží pod touto dotyčnicou, t.j. s rovnakou hodnotou X ordinát krivky y = f(x) bude menšia ako ordináta dotyčnice.

Takže rovnica krivky je y = f(x). Označme dotyčnicu y zodpovedajúcu úsečke X. Potom . Preto je rozdiel medzi ordinátami krivky a dotyčnice na rovnakej hodnote X bude .

Rozdiel f(x) – f(x0) transformovať podľa Lagrangeovej vety, kde c medzi X a x0.

teda

Opäť aplikujeme Lagrangeovu vetu na výraz v hranatých zátvorkách: , kde c 1 medzi c 0 a x0. Podľa vety f ""(X) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.

Akýkoľvek bod krivky teda leží pod dotyčnicou ku krivke pre všetky hodnoty X a x0 Î ( a; b), čo znamená, že krivka je konvexná. Druhá časť vety je dokázaná podobne.

Príklady.

Bod na grafe spojitej funkcie, ktorý oddeľuje jej konvexnú časť od konkávnej časti, sa nazýva inflexný bod.

Je zrejmé, že v inflexnom bode dotyčnica, ak existuje, pretína krivku, pretože na jednej strane tohto bodu leží krivka pod dotyčnicou a na druhej strane nad ňou.

Definujme dostatočné podmienky na to, aby daný bod krivky bol inflexným bodom.

Veta. Nech je krivka definovaná rovnicou y = f(x). Ak f ""(X 0) = 0 alebo f ""(X 0) neexistuje a pri prechode cez hodnotu X = x0 derivát f ""(X) zmení znamienko, potom bod grafu funkcie s osou x X = x0 existuje inflexný bod.

Dôkaz. Nechať byť f ""(X) < 0 при X < x0 a f ""(X) > 0 at X > x0. Potom o X < x0 krivka je konvexná a X > x0- konkávny. Preto pointa A, ležiace na krivke, s úsečkou x0 existuje inflexný bod. Podobne môžeme uvažovať aj o druhom prípade, kedy f ""(X) > 0 at X < x0 a f ""(X) < 0 при X > x0.

Inflexné body by sa teda mali hľadať iba medzi bodmi, kde druhá derivácia zaniká alebo neexistuje.

Príklady. Nájdite inflexné body a určte intervaly konvexnosti a konkávnosti kriviek.

ASYMPTOTY GRAFU FUNKCIE

Pri skúmaní funkcie je dôležité určiť tvar jej grafu s neobmedzeným odstránením bodu grafu z počiatku.

Zvlášť zaujímavý je prípad, keď sa graf funkcie, keď je jej premenný bod vzdialený do nekonečna, neurčito približuje k určitej priamke.

Priamy hovor asymptota funkčný graf r = f(x) ak je vzdialenosť od premenného bodu M grafu k tejto čiare, keď je bod odstránený M do nekonečna inklinuje k nule, t.j. bod grafu funkcie, keďže smeruje k nekonečnu, sa musí neobmedzene približovať k asymptote.

Krivka sa môže priblížiť k svojej asymptote, zostať na jednej jej strane alebo na rôznych stranách, pričom asymptotu pretína nekonečne veľakrát a pohybuje sa z jednej strany na druhú.

Ak označíme d vzdialenosť od bodu M krivky k asymptote, je jasné, že d má tendenciu k nule, keď je bod odstránený M do nekonečna.

Ďalej budeme rozlišovať medzi zvislými a šikmými asymptotami.

VERTIKÁLNE ASYMPTOTY

Nechajte pri X→ x0 na oboch stranách funkcie r = f(x) neobmedzene narastá v absolútnej hodnote, t.j. alebo alebo . Potom z definície asymptoty vyplýva, že úsečka X = x0 je asymptota. Opak je tiež zrejmé, ak linka X = x0 je asymptota, takže .

Teda vertikálna asymptota grafu funkcie y = f(x) sa nazýva riadok if f(x)→ ∞ za aspoň jednej z podmienok X→ x0– 0 alebo X → x0 + 0, X = x0

Preto nájsť vertikálne asymptoty grafu funkcie r = f(x) treba nájsť tie hodnoty X = x0, pri ktorej funkcia ide do nekonečna (trpí nekonečnou diskontinuitou). Potom vertikálna asymptota má rovnicu X = x0.

Príklady.

ŠIKMÉ ASYMPTOTY

Keďže asymptota je priamka, potom ak krivka r = f(x) má šikmú asymptotu, potom jej rovnica bude r = kx + b. Našou úlohou je nájsť koeficienty k a b.

Veta. Rovno r = kx + b slúži ako šikmá asymptota pri X→ +∞ pre graf funkcie r = f(x) ak a len vtedy . Podobné tvrdenie platí aj pre X → –∞.

Dôkaz. Nechať byť MP- dĺžka úseku rovnajúca sa vzdialenosti od bodu M do asymptoty. Podľa podmienok. Označme φ uhol sklonu asymptoty k osi Vôl. Potom od ΔMNP z toho vyplýva. Keďže φ je konštantný uhol (φ ≠ π/2), potom , ale

Na určenie konvexnosti (konkávnosti) funkcie na určitom intervale možno použiť nasledujúce vety.

Veta 1. Nech je funkcia definovaná a spojitá na intervale a má konečnú deriváciu. Aby bola funkcia konvexná (konkávna) v , je potrebné a postačujúce, aby jej derivácia na tomto intervale klesala (zvyšovala sa).

Veta 2. Nech je funkcia definovaná a spojitá spolu s jej deriváciou a má vo vnútri spojitú druhú deriváciu. Pre konvexnosť (konkávnosť) funkcie v ňom je potrebné a postačujúce, že vnútri

Dokážme vetu 2 pre prípad konvexnosti funkcie.

Nevyhnutnosť. Zoberme si ľubovoľný bod. Rozšírime funkciu blízko bodu v Taylorovom rade

Rovnica dotyčnice ku krivke v bode s úsečkou:

Potom sa prebytok krivky nad dotyčnicou k nej v bode rovná

Zvyšok sa teda rovná prebytku krivky nad dotyčnicou k nej v bode . Z dôvodu kontinuity, ak , potom aj pre , patriace do dostatočne malého okolia bodu , a teda, samozrejme, pre akékoľvek odlišné od hodnoty , patriace do určeného okolia.

To znamená, že graf funkcie leží nad dotyčnicou a krivka je konvexná v ľubovoľnom bode.

Primeranosť. Nech je krivka konvexná na intervale . Zoberme si ľubovoľný bod.

Podobne ako v predchádzajúcom rozšírime funkciu blízko bodu v Taylorovom rade

Prebytok krivky nad dotyčnicou k nej v bode s úsečkou definovanou výrazom sa rovná

Pretože prebytok je kladný pre dostatočne malé okolie bodu , je aj druhá derivácia kladná. Keď sa snažíme, získame to za ľubovoľný bod .

Príklad. Preskúmajte funkciu konvexnosti (konkávnosti).

Jeho derivát rastie na celej reálnej osi, takže podľa vety 1 je funkcia konkávna na .

Jeho druhý derivát , preto podľa vety 2 je funkcia konkávna na .

3.4.2.2 Inflexné body

Definícia. inflexný bod graf spojitej funkcie sa nazýva bod oddeľujúci intervaly, v ktorých je funkcia konvexná a konkávna.

Z tejto definície vyplýva, že inflexné body sú body extrémneho bodu prvej derivácie. Z toho vyplývajú nasledujúce tvrdenia pre nevyhnutné a dostatočné podmienky skloňovania.

Veta (nevyhnutná inflexná podmienka). Aby bol bod inflexným bodom dvakrát diferencovateľnej funkcie, je potrebné, aby jej druhá derivácia v tomto bode bola rovná nule ( ) alebo neexistovali.

Veta (dostatočná podmienka na skloňovanie). Ak druhá derivácia dvakrát diferencovateľnej funkcie zmení znamienko pri prechode cez určitý bod, potom existuje inflexný bod.

Všimnite si, že druhá derivácia nemusí existovať v samotnom bode.

Geometrická interpretácia inflexných bodov je znázornená na obr. 3.9

V okolí bodu je funkcia konvexná a jej graf leží pod dotyčnicou nakreslenou v tomto bode. V okolí bodu je funkcia konkávna a jej graf leží nad dotyčnicou nakreslenou v tomto bode. V inflexnom bode dotyčnica rozdeľuje graf funkcie na oblasti konvexnosti a konkávnosti.

3.4.2.3 Skúmanie funkcie na konvexnosť a prítomnosť inflexných bodov

1. Nájdite druhú deriváciu.

2. Nájdite body, v ktorých druhá derivácia alebo neexistuje.

Ryža. 3.9.

3. Preskúmajte znamienko druhej derivácie vľavo a vpravo od nájdených bodov a urobte záver o intervaloch konvexnosti alebo konkávnosti a prítomnosti inflexných bodov.

Príklad. Preskúmajte funkciu pre konvexnosť a prítomnosť inflexných bodov.

2. Druhá derivácia sa rovná nule pri .

3. Druhá derivácia zmení znamienko na , takže bod je inflexný bod.

Na intervale je funkcia konvexná na tomto intervale.

Na intervale je funkcia na tomto intervale konkávna.

3.4.2.4 Všeobecná schéma pre štúdium funkcií a vykresľovanie

Pri štúdiu funkcie a vykresľovaní jej grafu sa odporúča použiť nasledujúcu schému:

Nájdite rozsah funkcie.
Preskúmajte funkciu pre párne - nepárne. Pripomeňme, že graf párnej funkcie je symetrický podľa osi y a graf nepárnej funkcie je symetrický podľa počiatku.
Nájdite vertikálne asymptoty.
Preskúmajte správanie funkcie v nekonečne, nájdite vodorovné alebo šikmé asymptoty.
Nájdite extrémy a intervaly monotónnosti funkcie.
Nájdite intervaly konvexnosti funkcie a inflexné body.
Nájdite priesečníky so súradnicovými osami.

Štúdium funkcie sa vykonáva súčasne s konštrukciou jej grafu.

Príklad. Funkcia Preskúmať a naplánovať to.

1. Rozsah funkcie - .

2. Sledovaná funkcia je párna , takže jeho graf je symetrický podľa osi y.

3. Menovateľ funkcie zaniká v , takže graf funkcie má zvislé asymptoty a .

Body sú bodmi diskontinuity druhého druhu, pretože limity vľavo a vpravo v týchto bodoch majú tendenciu .

4. Správanie sa funkcie v nekonečne.

Preto má graf funkcie horizontálnu asymptotu.

5. Extrémy a intervaly monotónnosti. Nájdenie prvej derivácie

Pre , teda funkcia klesá v týchto intervaloch.

Preto sa funkcia v týchto intervaloch zvyšuje.

Preto je bod kritickým bodom.

Nájdenie druhej derivácie

Pretože potom je bod minimálnym bodom funkcie.

6. Intervaly konvexnosti a inflexné body.

Funkcia pri , takže funkcia je na tomto intervale konkávna.

Funkcia v , znamená, že funkcia je na týchto intervaloch konvexná.

Funkcia nikdy nezmizne, takže neexistujú žiadne inflexné body.

7. Priesečníky so súradnicovými osami.

Rovnica , má riešenie , čo znamená priesečník grafu funkcie s osou y (0, 1).

Rovnica nemá riešenie, čo znamená, že neexistujú žiadne priesečníky s osou x.

S prihliadnutím na uskutočnený výskum je možné zostaviť graf funkcie

Schematický graf funkcie znázornené na obr. 3.10.

Ryža. 3.10.

3.4.2.5 Asymptoty grafu funkcie

Definícia. Asymptota graf funkcie sa nazýva priamka, ktorá má tú vlastnosť, že vzdialenosť od bodu () k tejto priamke smeruje k 0 s neobmedzeným odstránením bodu grafu z počiatku.

Všeobecná schéma štúdia funkcie a konštrukcie grafu.
1. Skúmanie funkcie pre konvexnosť a konkávnosť.

Asymptoty grafu funkcie.

Úvod.

V školskom kurze matematiky ste sa už stretli s potrebou vykresľovať grafy funkcií. V roku ste použili metódu bod po bode. Treba si uvedomiť, že je koncepciou jednoduchá a pomerne rýchlo vedie k cieľu. V prípadoch, keď je funkcia spojitá a mení sa pomerne plynulo, môže táto metóda poskytnúť aj potrebný stupeň presnosti grafického znázornenia. Aby ste to dosiahli, musíte vziať viac bodov, aby ste dosiahli určitú hustotu ich umiestnenia.

Predpokladajme teraz, že funkcia má na niektorých miestach znaky vo svojom „správaní“: buď sa jej hodnoty niekde na malej ploche prudko zmenia, alebo sú tam prestávky. Najvýznamnejšie časti grafu nemusia byť týmto spôsobom detekované.

Táto okolnosť znižuje hodnotu metódy konštrukcie grafu „po bodoch“.

Existuje druhý spôsob vykresľovania grafov, založený na analytickom štúdiu funkcií. Priaznivo sa porovnáva s metódou uvažovanou v kurze školskej matematiky.

1. Vyšetrovanie funkcie pre konvexnosť a konkávnosť .

Nechajte funkciu
je diferencovateľný na intervale (a, c). Potom existuje dotyčnica ku grafu funkcie v ľubovoľnom bode
tento graf (
) a dotyčnica nie je rovnobežná s osou OY, pretože jej sklon je rovný
, samozrejme.

O
definícia Povieme, že graf funkcie
na (a, c) má uvoľnenie smerujúce nadol (hore), ak sa nenachádza pod (nie nad) žiadnou dotyčnicou ku grafu funkcie na (a, c).

a) konkávna krivka b) konvexná krivka

Veta 1 (nevyhnutná podmienka pre konvexnosť (konkávnosť) krivky).

Ak je grafom dvakrát diferencovateľnej funkcie konvexná (konkávna) krivka, potom druhá derivácia na intervale (a, c) je na tomto intervale záporná (kladná).

Veta 2(dostatočná podmienka pre konvexnosť (konkávnosť) krivky).

Ak je funkcia dvakrát diferencovateľná na (a, b) a
(
) vo všetkých bodoch tohto intervalu, potom krivka, ktorá je grafom funkcie, je na tomto intervale konvexná (konkávna).

Inflexné body grafu funkcie.

Definícia Bodka
sa nazýva inflexný bod funkčného grafu, ak je v bode
graf má dotyčnicu a existuje také okolie bodu , v rámci ktorej má graf funkcie vľavo a vpravo od bodu rôzne smery konvexnosti.

O je zrejmé, že v inflexnom bode dotyčnica pretína graf funkcie, keďže na jednej strane tohto bodu leží graf nad dotyčnicou a na druhej - pod ňou, t.j. v blízkosti inflexného bodu, graf funkcie prechádza geometricky z jednej strany dotyčnice na druhú a "ohýba sa" cez ňu. Odtiaľ pochádza názov „inflexný bod“.

Veta 3(nutná podmienka inflexného bodu). Nech má graf funkcie inflexiu v bode a nech funkcia má v bode

spojitá druhá derivácia. Potom

.
Nie každý bod, pre ktorý je , je inflexný bod. Napríklad graf funkcie

nemá inflexný bod v (0, 0), hoci

pri

. Preto je rovnosť druhej derivácie k nule len nevyhnutnou podmienkou pre inflexiu.

Body grafu, pre ktoré je tzv kritických bodovII-Mestá. Je potrebné ďalej skúmať otázku prítomnosti zalomenia v každom kritickom bode.

Veta 4(dostatočná podmienka pre inflexný bod). Nech má funkcia druhú deriváciu v niektorom okolí bodu. Potom, ak v určenom okolí
má rôzne znamienka naľavo a napravo od bodu , potom má graf v bode inflexiu .
Komentujte. Veta zostáva pravdivá, ak
má druhú deriváciu v nejakom susedstve bodu, s výnimkou samotného bodu a v bode je dotyčnica ku grafu funkcie
. Potom, ak v rámci vyznačeného okolia má rôzne znamienka vľavo a vpravo od bodu , potom má graf funkcie inflexiu v bode .
Schéma štúdia funkcie pre konvexnosť, konkávnosť, inflexné body.

Príklad. Funkcia Preskúmať
konvexnosť, konkávnosť, inflexné body.
1.

2.
,
=

3. neexistuje pri

)	1	(1, +)
-		+
	1

Asymptoty grafu funkcie.

Pri štúdiu správania funkcie pri
alebo v blízkosti bodov diskontinuity 2. druhu sa často ukáže, že graf funkcie sa približuje k tej či onej priamke tak blízko, ako len chceme. Takéto čiary sú tzv.

O definícia 1. Rovno

sa nazýva asymptota krivky L, ak vzdialenosť od bodu krivky k tejto priamke smeruje k nule, keď sa bod vzďaľuje pozdĺž krivky do nekonečna. Existujú tri typy asymptot: vertikálne, horizontálne, šikmé.

Definícia 2. Rovno
sa nazýva vertikálna asymptota grafu funkcie, ak sa aspoň jedna z jednostranných limit rovná
, t.j. alebo

Napríklad graf funkcie
má vertikálnu asymptotu
, pretože
, a
.

Definícia 3. Priamka y \u003d A sa nazýva horizontálna asymptota grafu funkcie, keď

Napríklad graf funkcie má vodorovnú asymptotu y=0, pretože
.

Definícia 4. Rovno

(

) sa nazýva šikmá asymptota grafu funkcie pre

;

Ak aspoň jedna z limitov neexistuje, potom krivka nemá žiadne asymptoty. Ak, potom by sa tieto limity mali hľadať oddelene, pre a
.

Napríklad. Nájdite asymptoty grafu funkcie

; x=0 – vertikálna asymptota

;
.

je šikmá asymptota.
4. Schéma kompletnej štúdie funkcie a vykreslenia.

Zvážte príklad schémy, pomocou ktorej je vhodné preskúmať správanie funkcie a zostaviť jej graf.

Príklad. Funkcia Preskúmať

a naplánovať to.

1, okrem x=-1.

2.
nefunguje ani párne, ani nepárne

-

-

+

+

r

-4

t r.

0

Záver.
Dôležitým znakom uvažovanej metódy je, že je založená predovšetkým na detekcii a štúdiu charakteristických znakov v správaní krivky. Miesta, kde sa funkcia plynule mení, nie sú podrobne študované a ani nie je potrebná takáto štúdia. Ale tie miesta, kde má funkcia nejaké zvláštnosti v správaní, sú predmetom úplného výskumu a čo najpresnejšieho grafického znázornenia. Týmito znakmi sú body maxima, minima, body diskontinuity funkcie atď.

Určenie smeru konkávnosti a inflexie, ako aj naznačený spôsob hľadania asymptot, umožňujú študovať funkcie ešte podrobnejšie a získať presnejšiu predstavu o ich grafoch.

Inštrukcia

Inflexné body funkcie musia patriť do oblasti jej definície, ktorú je potrebné nájsť ako prvú. Funkčný graf je čiara, ktorá môže byť spojitá alebo môže mať diskontinuity, monotónne klesať alebo narastať, mať minimálne alebo maximálne body (asymptoty), byť konvexná alebo konkávna. Prudká zmena v posledných dvoch stavoch sa nazýva inflexia.

Nevyhnutnou podmienkou existencie inflexie funkcie je, aby sa druhá rovnala nule. Takže po dvojnásobnej diferenciácii funkcie a prirovnaní výsledného výrazu k nule je možné nájsť úsečky možných inflexných bodov.

Táto podmienka vyplýva z definície vlastností konvexnosti a konkávnosti grafu funkcie, t.j. záporné a kladné hodnoty druhého derivátu. V inflexnom bode dochádza k prudkej zmene týchto vlastností, čo znamená, že derivácia prechádza nulovou značkou. Rovnosť k nule však stále nestačí na označenie inflexného bodu.

Existujú dve dostatočné podmienky, že úsečka nájdená v predchádzajúcej fáze patrí inflexnému bodu: Prostredníctvom tohto bodu môžete nakresliť dotyčnicu k funkcii. Druhá derivácia má odlišné znamienka vpravo a vľavo od predpokladaného inflexného bodu. Jej existencia v samotnom bode teda nie je potrebná, stačí určiť, že v ňom mení znamienko Druhá derivácia funkcie je nulová, ale tretia nie.

Prvá dostatočná podmienka je univerzálna a používa sa častejšie ako ostatné. Zoberme si názorný príklad: y = (3 x + 3) ∛ (x - 5).

Riešenie. Nájdite doménu definície. V tomto prípade neexistujú žiadne obmedzenia, preto ide o celý priestor reálnych čísel. Vypočítajte prvú deriváciu: y' = 3 ∛ (x - 5) + (3 x + 3) / ∛ (x - 5)².

Venujte pozornosť vzhľadu zlomku. Z toho vyplýva, že oblasť definície derivátu je obmedzená. Bod x = 5 je prepichnutý, čo znamená, že ním môže prechádzať dotyčnica, čo čiastočne zodpovedá prvému kritériu dostatočnosti inflexie.

Určte jednostranné limity pre výsledný výraz pri x → 5 - 0 a x → 5 + 0. Rovnajú sa -∞ a +∞. Dokázali ste, že bodom x=5 prechádza vertikálna dotyčnica. Tento bod môže byť inflexný bod, ale najprv vypočítajte druhú deriváciu: - 5)^5 = (2 x - 22)/∛(x - 5)^5.

Vynechajte menovateľa, pretože ste už brali do úvahy bod x = 5. Vyriešte rovnicu 2 x - 22 = 0. Má jeden koreň x = 11. Posledným krokom je potvrdenie, že body x = 5 a x = 11 sú inflexné body. Analyzujte správanie druhého derivátu v ich blízkosti. Je zrejmé, že v bode x = 5 sa znamienko zmení z „+“ na „-“ a v bode x = 11 naopak. Záver: oba body sú inflexné body. Prvá postačujúca podmienka je splnená.