Výrazy, konverzia výrazov

Ako sa zbaviť iracionality v menovateli? Spôsoby, príklady, riešenia

V 8. ročníku na hodinách algebry v rámci témy transformácie iracionálnych výrazov prichádza rozhovor o oslobodenie od iracionality v menovateli zlomku. V tomto článku budeme analyzovať, o aký druh transformácie ide, zvážime, aké akcie nám umožňujú zbaviť sa iracionality v menovateli zlomku a poskytneme riešenia typických príkladov s podrobnými vysvetleniami.

Navigácia na stránke.

Čo znamená zbaviť sa iracionality v menovateli zlomku?

Najprv musíte prísť na to, čo je iracionalita v menovateli a čo znamená zbaviť sa iracionality v menovateli zlomku. K tomu nám pomôžu informácie zo školských učebníc. Nasledujúce body si zaslúžia pozornosť.

Keď zlomkový záznam obsahuje základný znak (radikál) v menovateli, potom hovoria, že menovateľ obsahuje iracionalita. Je to pravdepodobne spôsobené tým, že čísla písané s koreňovými znamienkami sú často . Ako príklad si vezmime zlomky , , , Je zrejmé, že menovatele každého z nich obsahujú znamienko koreňa, a teda iracionalitu. Na strednej škole je nevyhnutné stretnutie so zlomkami, ktorých iracionalitu menovateľov navodzujú nielen znaky odmocniny, ale aj odmocniny, odmocniny štvrtého stupňa atď. Tu sú príklady takýchto zlomkov: .

Vzhľadom na vyššie uvedené informácie a význam slova „oslobodiť“ je nasledujúca definícia vnímaná veľmi prirodzene:

Definícia.

Výnimka z iracionality v menovateli zlomku- ide o transformáciu, pri ktorej sa zlomok s iracionalitou v menovateli nahradí identicky rovnakým zlomkom, ktorý v menovateli neobsahuje odmocniny.

Často môžete počuť, že sa hovorí neoslobodiť sa, ale zbaviť sa iracionality v menovateli zlomku. Význam sa nemení.

Ak napríklad prejdeme od zlomku k zlomku, ktorého hodnota sa rovná hodnote pôvodného zlomku a ktorého menovateľ neobsahuje znamienko koreňa, potom môžeme konštatovať, že sme sa oslobodili od iracionality v menovateli zlomku. . Ďalší príklad: nahradenie zlomku identicky rovnakým zlomkom v menovateli zlomku dochádza k oslobodeniu od iracionality.

Takže sú prijaté počiatočné informácie. Zostáva zistiť, čo je potrebné urobiť, aby sme sa zbavili iracionality v menovateli zlomku.

Spôsoby, ako sa oslobodiť od iracionality, príklady

Zvyčajne, aby sme sa zbavili iracionality v menovateli zlomku, dva zlomkové konverzie: Vynásobte čitateľa a menovateľa nenulovým číslom alebo výrazom a preveďte výraz v menovateli. Nižšie sa pozrieme na to, ako sa tieto transformácie zlomkov používajú ako súčasť hlavných spôsobov, ako sa zbaviť iracionality v menovateli zlomku. Uvažujme o nasledujúcich prípadoch.

V najjednoduchších prípadoch stačí transformovať výraz v menovateli. Príkladom je zlomok, ktorého menovateľom je odmocnina z deviatky. V tomto prípade jej nahradenie hodnotou 3 zbaví menovateľa iracionálnosti.

V zložitejších prípadoch je potrebné vopred vynásobiť čitateľa a menovateľa zlomku nejakým nenulovým číslom alebo výrazom, čo následne umožňuje previesť menovateľ zlomku do tvaru bez koreňových znamienok. Napríklad po vynásobení čitateľa a menovateľa zlomku číslom sa zlomok stane , a potom možno výraz v menovateli nahradiť výrazom bez znamienok koreňov x+1 . Po oslobodení od iracionality v menovateli teda zlomok nadobúda tvar .

Ak hovoríme o všeobecnom prípade, potom, aby sme sa zbavili iracionality v menovateľovi zlomku, musíme sa uchýliť k rôznym prijateľným transformáciám, niekedy celkom špecifickým.

A teraz podrobne.

Prevod výrazu na menovateľ zlomku

Ako už bolo uvedené, jedným zo spôsobov, ako sa zbaviť iracionality v menovateľovi zlomku, je transformácia menovateľa. Uvažujme o príkladoch.

Príklad.

Zbavte sa iracionality v menovateli zlomku .

rozhodnutie.

Rozbalením zátvoriek v menovateli sa dostaneme k výrazu . Prejdime k zlomkom . Výpočet hodnôt pod znakmi koreňov máme . Je zrejmé, že vo výslednom výraze je to možné, čo dáva zlomok, ktorý sa rovná 1/16. Tak sme sa zbavili iracionality v menovateli.

Zvyčajne je riešenie napísané stručne bez vysvetlenia, pretože vykonané akcie sú pomerne jednoduché:

odpoveď:

.

Príklad.

rozhodnutie.

Keď sme hovorili o transformácii iracionálnych výrazov pomocou vlastností koreňov, všimli sme si, že pre ľubovoľný výraz A pre párne n (v našom prípade n=2 ) možno výraz nahradiť výrazom |A| na celú ODZ premenných pre pôvodný výraz. Preto môžete vykonať nasledujúcu transformáciu daného zlomku: , ktorý v menovateli oslobodzuje od iracionality.

odpoveď:

.

Vynásobenie čitateľa a menovateľa odmocninou

Keď má výraz v menovateli zlomku tvar , kde výraz A neobsahuje základné znamienka, vynásobením čitateľa a menovateľa sa zbavíme iracionality v menovateli. Táto akcia je možná, pretože nezmizne na ODZ premenných pre pôvodný výraz. V tomto prípade sa v menovateli získa výraz, ktorý sa dá ľahko previesť do formy bez koreňových znakov: . Aplikáciu tohto prístupu ukážeme na príkladoch.

Príklad.

Zbavte sa iracionality v menovateli zlomku: a), b).

rozhodnutie.

a) Vynásobením čitateľa a menovateľa zlomku druhou odmocninou z troch dostaneme .

b) Aby sme sa zbavili znamienka druhej odmocniny v menovateli, vynásobíme čitateľa a menovateľa zlomku číslom , potom vykonáme transformácie v menovateli:

odpoveď:

a), b) .

V prípade, že menovateľ obsahuje faktory alebo , kde m a n sú nejaké prirodzené čísla, treba čitateľa a menovateľa vynásobiť takým faktorom, aby sa potom výraz v menovateli dal previesť do tvaru alebo , kde k je nejaké prirodzené číslo, resp. Potom je ľahké prejsť na zlomok bez iracionality v menovateli. Aplikáciu opísanej metódy zbavenia sa iracionality v menovateli si ukážeme na príkladoch.

Príklad.

Zbavte sa iracionality v menovateli zlomku: a), b).

rozhodnutie.

a) Najbližšie prirodzené číslo väčšie ako 3 a deliteľné 5 je 5. Aby sa ukazovateľ šestky rovnal piatim, výraz v menovateli sa musí vynásobiť. V dôsledku toho oslobodenie od iracionality v menovateli zlomku uľahčí výraz, ktorým sa musí čitateľ a menovateľ vynásobiť:

b) Je zrejmé, že najbližšie prirodzené číslo, ktoré presahuje 15 a je deliteľné 4 bezo zvyšku, je 16. Ak chcete, aby sa exponent v menovateli rovnal 16, musíte vynásobiť výraz, ktorý sa tam nachádza. Takže vynásobením čitateľa a menovateľa pôvodného zlomku číslom (všimnite si, že hodnota tohto výrazu sa nerovná nule, pre ktorú je reálne x) sa zbavíte iracionality v menovateli:

odpoveď:

a) , b) .

Násobenie prídavným výrazom

Ďalší spôsob, ako sa zbaviť iracionality v menovateli zlomku, zahŕňa prípady, keď menovateľ obsahuje výrazy v tvare , , , , alebo . V týchto prípadoch, aby sme sa zbavili iracionality v menovateli zlomku, je potrebné vynásobiť čitateľa a menovateľa zlomku tzv. konjugovaný výraz.

Zostáva zistiť, ktoré výrazy sú konjugované pre vyššie uvedené. V prípade výrazu je prídavný výraz , v prípade výrazu je prídavný výraz . Podobne pre výraz je konjugát a pre výraz je konjugát . A pre výraz je konjugát a pre výraz je konjugát . Takže výraz konjugovaný s týmto výrazom sa od neho líši znamienkom pred druhým výrazom.

Pozrime sa, aký je výsledok vynásobenia výrazu jeho konjugovaným výrazom. Zvážte napríklad produkt . Môže byť nahradený rozdielom druhých mocnín, teda odkiaľ môžete ísť ďalej k výrazu a−b, ktorý neobsahuje odmocniny.

Teraz je jasné, ako vynásobenie čitateľa a menovateľa zlomku výrazom konjugovaným s menovateľom vám umožňuje zbaviť sa iracionality v menovateľovi zlomku. Pozrime sa na riešenia typických príkladov.

Príklad.

Vyjadrite výraz ako zlomok, ktorého menovateľ neobsahuje radikál: a), b).

rozhodnutie.

a) Výraz spojený s menovateľom je . Vynásobíme ním čitateľa a menovateľa, čo nám umožní zbaviť sa iracionality v menovateli zlomku:

b) Pre výraz je konjugát . Vynásobením čitateľa a menovateľa ním dostaneme

Najprv bolo možné odstrániť znamienko mínus z menovateľa a až potom vynásobiť čitateľa a menovateľa výrazom spojeným s menovateľom:

odpoveď:

a) , b) .

Poznámka: Pri násobení čitateľa a menovateľa zlomku výrazom s premennými konjugovanými s menovateľom je potrebné dbať na to, aby nezmizol pre žiadnu množinu hodnôt premenných z DPV pre pôvodný výraz.

Príklad.

Zbavte sa iracionality v menovateli zlomku.

rozhodnutie.

Na začiatok nájdime oblasť prípustných hodnôt (ODZ) premennej x. Je určená podmienkami x≥0 a , z ktorých usudzujeme, že ODZ je množina x≥0 .

Výraz spojený s menovateľom je . Môžeme ňou vynásobiť čitateľa a menovateľa zlomku za predpokladu, že , čo na ODZ je ekvivalentné podmienke x≠16 . Zároveň máme

A pre x=16 máme .

Teda pre všetky hodnoty premennej x z ODZ, okrem x=16, a pre x=16 máme .

odpoveď:

Použitie vzorcov súčtu kociek a rozdielu kociek

Z predchádzajúceho odseku sme sa dozvedeli, že násobenie čitateľa a menovateľa zlomku výrazom konjugovaný do menovateľa sa vykonáva za účelom ďalšieho uplatnenia vzorca rozdielu štvorcov a tým zbavenia sa iracionality v menovateli. V niektorých prípadoch sú užitočné aj iné skrátené vzorce na násobenie, aby sme sa zbavili iracionality v menovateli. Napríklad vzorec pre rozdiel kociek a 3 −b 3 = (a−b) (a 2 +a b+b 2) umožňuje zbaviť sa iracionality, keď menovateľ zlomku obsahuje výrazy s odmocninou tvaru, resp. , kde A a B sú nejaké čísla alebo výrazy. Na tento účel sa čitateľ a menovateľ zlomku vynásobí neúplnou druhou mocninou súčtu alebo rozdiel, resp. Podobne sa vyskúša vzorec súčtu kociek a 3 +b 3 = (a+b) (a 2 −a b+b 2).

Príklad.

Zbavte sa iracionality v menovateli zlomku: a), b) .

rozhodnutie.

a) Je ľahké uhádnuť, že v tomto prípade zbavenie sa iracionality v menovateli umožňuje vynásobiť čitateľa a menovateľa neúplnou druhou mocninou súčtu čísel a , pretože nám to v budúcnosti umožní transformovať výraz v menovateľ podľa vzorca rozdiel kociek:

b) Vyjadrenie v menovateli zlomku môže byť reprezentovaný ako , z ktorého je jasne vidieť, že ide o neúplnú druhú mocninu rozdielu medzi číslami 2 a . Ak sa teda čitateľ a menovateľ zlomku vynásobí súčtom, potom sa menovateľ môže previesť podľa vzorca súčet kociek, čo vám umožní zbaviť sa iracionality v menovateľovi zlomku. Dá sa to urobiť za podmienky , ktorá je ekvivalentná podmienke a ďalej x≠−8 :

A pri dosadení x=−8 do pôvodného zlomku máme .

Teda pre všetky x z ODZ pre pôvodný zlomok (v tomto prípade ide o množinu R ), okrem x=−8 , máme a pre x=8 máme .

odpoveď:

Pomocou rôznych metód

V zložitejších príkladoch to zvyčajne nejde jedným úkonom zbaviť sa iracionality v menovateli, ale musíte dôsledne aplikovať metódu za metódou, vrátane tých, o ktorých sme hovorili vyššie. Niekedy môžu byť potrebné niektoré neštandardné riešenia. Celkom zaujímavé úlohy na diskutovanú tému možno nájsť v učebnici, ktorej autorom je Yu. N. Kolyagin. Bibliografia.

1. Algebra: učebnica pre 8 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; vyd. S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M. : Vzdelávanie, 2008. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019243-9.
2. Mordkovič A.G. Algebra. 8. trieda. O 14:00 1. časť Učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich. - 11. vyd., vymazané. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 s.: chor. ISBN 978-5-346-01155-2.
3. Algebra a začiatok matematickej analýzy. 10. ročník: učebnica. pre všeobecné vzdelanie inštitúcie: základné a profilové. úrovne / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; vyd. A. B. Žižčenko. - 3. vyd. - M.: Osveta, 2010.- 368 s. : Illinois - ISBN 978-5-09-022771-1.

Danny Peric Campana

Ďalšou zaujímavou knihou pre školákov, ktorí majú záujem, bohužiaľ nepreložená do ruštiny, je kniha „Danielovy matematické dobrodružstvá“ (Las Aventuras Matemáticas de Daniel) od čílskeho učiteľa matematiky Dannyho Pericha Campana, veľmi výnimočnej a zaujímavej osobnosti. Deti nielen učí, ale aj píše pesničky, dáva na internet rôzne učebné materiály o matematike. Dajú sa nájsť na youtube a na stránke http://www.sectormatematica.cl/ (všetky materiály sú samozrejme v španielčine).

Tu uverejňujem jednu kapitolu z knihy od Dannyho Perica. Zdalo sa mi to celkom zaujímavé a užitočné pre školákov. Aby bolo jasné, o čom hovoríme, poviem, že Daniel a Camila pracujú v škole, sú učiteľmi.

Tajomstvo zbavenia sa iracionality

„Camila, mám teraz veľa problémov, keď sa snažím vysvetliť, čo sa používa na to, čím prechádzame na lekcii,“ povedal Daniel.

„Naozaj nerozumiem, o čom hovoríš.

- Hovorím o tom, čo je vo všetkých školských učebniciach a dokonca aj v knihách na univerzitnej úrovni. Stále nepochybujem: prečo sa potrebujeme zbaviť iracionality v menovateli? A nerád hovorím to, čomu tak dlho nerozumiem, sťažoval sa Daniel.

„Tiež neviem, odkiaľ pochádza a prečo je to potrebné, ale musí to mať nejaké logické vysvetlenie.

- Raz som čítal v jednom vedeckom časopise, že zbavenie sa iracionality v menovateli vám umožní získať výsledok s väčšou presnosťou, ale toto som už nikdy nevidel a nie som si istý, či je to tak.

Prečo to neskontrolujeme? spýtala sa Camila.

„Máš pravdu,“ súhlasil Daniel. „Namiesto toho, aby ste sa sťažovali, mali by ste sa pokúsiť vyvodiť vlastné závery. Potom mi pomôžte...

„Samozrejme, teraz ma to zaujíma.

„Mali by sme vziať nejaké výrazy a zbaviť sa iracionality v menovateli, potom nahradiť koreň jeho hodnotou a nájsť výsledok výrazu pred a po odstránení iracionality v menovateli a zistiť, či sa niečo zmení.

"Samozrejme," súhlasila Camila. - Poďme to urobiť.

"Vezmite si napríklad výraz," povedal Daniel a vzal hárok papiera, aby si zapísal, čo sa deje. - Vynásobte čitateľa a menovateľa a získajte .

"Bude to správne a môže nám to pomôcť vyvodiť závery, ak budeme považovať iné iracionálne výrazy za rovnaké ako tento," navrhla Camila.

- Súhlasím, - povedal Daniel, - Ja vydelím čitateľa a menovateľa a vy ich vynásobíte .

- Zvládol som . A ty máš?

"Mám," odpovedal Daniel. - Teraz vypočítame pôvodný výraz a výsledné výrazy a nahradíme ho jeho hodnotou so všetkými desatinnými miestami, ktoré dáva kalkulačka. Dostaneme:

"Nevidím nič neobvyklé," povedala Camila. „Čakal som nejaký rozdiel, ktorý by ospravedlnil zbavenie sa iracionality.

„Ako som vám povedal, raz som o tom čítal v súvislosti s prístupom. Čo by ste povedali, keby sme zmenili na menej presné číslo, napríklad ?

Skúsme a uvidíme, čo sa stane.

Riešenie rovníc so zlomkami pozrime sa na príklady. Príklady sú jednoduché a názorné. S ich pomocou môžete pochopiť tým najzrozumiteľnejším spôsobom.
Napríklad potrebujete vyriešiť jednoduchú rovnicu x/b + c = d.

Rovnica tohto typu sa nazýva lineárna, pretože menovateľ obsahuje iba čísla.

Riešenie sa uskutoční vynásobením oboch strán rovnice b, potom rovnica nadobudne tvar x = b*(d – c), t.j. menovateľ zlomku na ľavej strane sa zníži.

Napríklad, ako vyriešiť zlomkovú rovnicu:
x/5+4=9
Obe časti vynásobíme 5. Dostaneme:
x+20=45
x=45-20=25

Ďalší príklad, kde je neznáma v menovateli:

Rovnice tohto typu sa nazývajú zlomkové racionálne alebo jednoducho zlomkové.

Zlomkovú rovnicu by sme riešili zbavením sa zlomkov, potom sa táto rovnica najčastejšie zmení na lineárnu alebo kvadratickú, ktorá sa rieši bežným spôsobom. Mali by ste vziať do úvahy iba nasledujúce body:

• hodnota premennej, ktorá zmení menovateľa na 0, nemôže byť koreň;
• rovnicu nemôžete deliť ani násobiť výrazom =0.

Tu vstupuje do platnosti taká koncepcia, ako je oblasť prípustných hodnôt (ODZ) - to sú hodnoty koreňov rovnice, pre ktoré má rovnica zmysel.

Pri riešení rovnice je teda potrebné nájsť korene a potom ich skontrolovať, či sú v súlade s ODZ. Tie korene, ktoré nezodpovedajú nášmu DHS, sú z odpovede vylúčené.

Napríklad musíte vyriešiť zlomkovú rovnicu:

Na základe vyššie uvedeného pravidla x nemôže byť = 0, t.j. ODZ v tomto prípade: x - akákoľvek iná hodnota ako nula.

Menovateľa sa zbavíme vynásobením všetkých členov rovnice x

A vyriešiť obvyklú rovnicu

5x - 2x = 1
3x=1
x = 1/3

Odpoveď: x = 1/3

Poďme riešiť rovnicu zložitejšie:

Nachádza sa tu aj ODZ: x -2.

Pri riešení tejto rovnice neprenesieme všetko jedným smerom a zlomky privedieme do spoločného menovateľa. Okamžite vynásobíme obe strany rovnice výrazom, ktorý zredukuje všetky menovatele naraz.

Ak chcete zmenšiť menovateľov, musíte vynásobiť ľavú stranu x + 2 a pravú stranu 2. Obidve strany rovnice teda musia byť vynásobené 2 (x + 2):

Toto je najbežnejšie násobenie zlomkov, o ktorom sme už hovorili vyššie.

Napíšeme rovnakú rovnicu, ale trochu iným spôsobom.

Ľavá strana sa zmenší o (x + 2) a pravá o 2. Po zmenšení dostaneme obvyklú lineárnu rovnicu:

x \u003d 4 - 2 \u003d 2, čo zodpovedá našej ODZ

Odpoveď: x = 2.

Riešenie rovníc so zlomkami nie také ťažké, ako by sa mohlo zdať. V tomto článku sme si to ukázali na príkladoch. Ak máte nejaké ťažkosti s ako riešiť rovnice so zlomkami, potom sa odhláste v komentároch.

V tejto téme zvážime všetky tri vyššie uvedené skupiny limitov s iracionalitou. Začnime s limitami obsahujúcimi neistotu tvaru $\frac(0)(0)$.

Zverejnenie neistoty $\frac(0)(0)$.

Schéma riešenia štandardných príkladov tohto typu zvyčajne pozostáva z dvoch krokov:

• Iracionality, ktorá spôsobila neistotu, sa zbavíme násobením takzvaným „adjointovým“ výrazom;
• V prípade potreby výraz v čitateli alebo menovateli (prípadne v oboch) rozložíme na faktory;
• Znížime faktory, ktoré vedú k neistote a vypočítame požadovanú hodnotu limitu.

Vyššie použitý výraz "pridružený výraz" bude podrobne vysvetlený v príkladoch. Zatiaľ nie je dôvod sa tomu podrobne venovať. Vo všeobecnosti môžete ísť opačným smerom, bez použitia konjugovaného výrazu. Niekedy vás dobre zvolená náhrada dokáže zbaviť iracionality. Takéto príklady sú v štandardných testoch zriedkavé, preto budeme brať do úvahy iba jeden príklad č. 6 na použitie náhrady (pozri druhú časť tejto témy).

Budeme potrebovať niekoľko vzorcov, ktoré napíšem nižšie:

\začiatok(rovnica) a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b) \koniec(rovnica) \začiatok(rovnica) a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2 +ab+b^2) \koniec(rovnica) \začiatok(rovnica) a^3+b^3=(a+b)\cdot(a^2-ab+b^2) \koniec(rovnica) \začiatok (rovnica) a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end(rovnica)

Okrem toho predpokladáme, že čitateľ pozná vzorce na riešenie kvadratických rovníc. Ak $x_1$ a $x_2$ sú korene štvorcového trinomu $ax^2+bx+c$, potom ich možno faktorizovať pomocou nasledujúceho vzorca:

\začiatok(rovnica) ax^2+bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2) \end(rovnica)

Vzorce (1)-(5) úplne postačujú na riešenie štandardných problémov, na ktoré sa teraz obrátime.

Príklad č. 1

Nájdite $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$.

Pretože $\lim_(x\to 3)(\sqrt(7-x)-2)=\sqrt(7-3)-2=\sqrt(4)-2=0$ a $\lim_(x\ to 3) (x-3)=3-3=0$, potom v danej limite máme neistotu tvaru $\frac(0)(0)$. Rozdiel $\sqrt(7-x)-2$ nám bráni odhaliť túto neistotu. Aby sme sa zbavili takýchto iracionalít, používa sa násobenie takzvaným „prídavným výrazom“. Teraz zvážime, ako takéto násobenie funguje. Vynásobte $\sqrt(7-x)-2$ $\sqrt(7-x)+2$:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)$$

Na rozšírenie zátvoriek použijeme , pričom na pravú stranu uvedeného vzorca nahradíme $a=\sqrt(7-x)$, $b=2$:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=(\sqrt(7-x))^2-2^2=7-x-4=3-x .$$

Ako vidíte, ak vynásobíte čitateľa $\sqrt(7-x)+2$, potom koreň (t.j. iracionalita) v čitateli zmizne. Tento výraz $\sqrt(7-x)+2$ bude konjugovať na výraz $\sqrt(7-x)-2$. Nemôžeme však jednoducho vziať a vynásobiť čitateľa $\sqrt(7-x)+2$, pretože to zmení zlomok $\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$, ktorý je pod limitom . Musíte vynásobiť čitateľa aj menovateľa súčasne:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)= \left|\frac(0)(0)\right|=\lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2)) $$

Teraz si pamätajte, že $(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=3-x$ a rozbaľte zátvorky. A po otvorení zátvoriek a malej transformácii $3-x=-(x-3)$ zlomok znížime o $x-3$:

$$ \lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt( 7-x)+2))= \lim_(x\to 3)\frac(3-x)((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))=\\ =\lim_ (x\to 3)\frac(-(x-3))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))= \lim_(x\to 3)\frac(-1 )(\sqrt(7-x)+2) $$

Neistota $\frac(0)(0)$ je preč. Teraz môžete ľahko získať odpoveď na tento príklad:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(-1)(\sqrt(7-x)+2)=\frac(-1)(\sqrt(7-3)+2)=-\frac( 1)(\sqrt(4)+2)=-\frac(1)(4).$$

Všimol som si, že konjugovaný výraz môže zmeniť svoju štruktúru - v závislosti od toho, aký druh iracionality by mal odstrániť. V príkladoch #4 a #5 (pozri druhú časť tejto témy) sa použije iný druh konjugovaného výrazu.

Odpoveď: $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)=-\frac(1)(4)$.

Príklad č. 2

Nájdite $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$.

Pretože $\lim_(x\to 2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\sqrt(2^2+5)-\sqrt(7\cdot 2 ^ 2-19)=3-3=0$ a $\lim_(x\to 2)(3x^2-5x-2)=3\cdot2^2-5\cdot 2-2=0$, potom sa zaoberajú neurčitosťou tvaru $\frac(0)(0)$. Zbavme sa iracionality v menovateli tohto zlomku. Aby sme to urobili, pridajme čitateľa aj menovateľa zlomku $\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$ do výraz $\sqrt(x^ 2+5)+\sqrt(7x^2-19)$ konjugovaný s menovateľom:

$$ \lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\left|\frac(0 )(0)\vpravo|= \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) ((\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) $$

Opäť, ako v príklade č. 1, musíte na rozšírenie použiť zátvorky. Dosadením $a=\sqrt(x^2+5)$, $b=\sqrt(7x^2-19)$ do pravej strany uvedeného vzorca dostaneme nasledujúci výraz pre menovateľa:

$$ \left(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19)\right)\left(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)\ right)=\\ =\left(\sqrt(x^2+5)\right)^2-\left(\sqrt(7x^2-19)\right)^2=x^2+5-(7x ^2-19)=-6x^2+24=-6\cdot(x^2-4) $$

Vráťme sa k nášmu limitu:

$$ \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((\sqrt(x ^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))= \lim_(x\to 2)\frac( (3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(-6\cdot(x^2-4))=\\ =-\ frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x^2-4) $$

V príklade č. 1 sa frakcia znížila takmer okamžite po vynásobení expresiou konjugátu. Tu je potrebné pred redukciou faktorizovať výrazy $3x^2-5x-2$ a $x^2-4$ a až potom pristúpiť k redukcii. Na faktorizáciu výrazu $3x^2-5x-2$ musíte použiť . Najprv vyriešme kvadratickú rovnicu $3x^2-5x-2=0$:

$$ 3x^2-5x-2=0\\ \začiatok(zarovnané) & D=(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49;\\ & x_1=\ frac(-(-5)-\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5-7)(6)=-\frac(2)(6)=-\frac(1)(3) ;\\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2. \end(zarovnané) $$

Nahradením $x_1=-\frac(1)(3)$, $x_2=2$ za , získame:

$$ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)(x-2)=3\cdot\left(x+\ frac(1)(3)\vpravo)(x-2)=\vľavo(3\cbodka x+3\cbodka\frac(1)(3)\vpravo)(x-2) =(3x+1)( x-2). $$

Teraz je čas vyňať výraz $x^2-4$. Použime , pričom doň nahradíme $a=x$, $b=2$:

$$ x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2) $$

Využime získané výsledky. Keďže $x^2-4=(x-2)(x+2)$ a $3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$, potom:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2 -19)))(x^2-4) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x ^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((x-2)(x+2)) $$

Znížením o zátvorku $ x-2 $ dostaneme:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^ 2-19)))((x-2)(x+2)) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt( x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(x+2). $$

Všetko! Neistota je preč. Ešte jeden krok a dostávame sa k odpovedi:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x+2)=\\ =-\frac(1)(6)\cdot\frac((3\cdot 2+1)(\sqrt(2^2+5)+\sqrt(7\cdot 2 ^2-19)))(2+2)= -\frac(1)(6)\cdot\frac(7(3+3))(4)=-\frac(7)(4). $$

Odpoveď: $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=-\frac(7)( 4) $.

V nasledujúcom príklade zvážte prípad, keď bude iracionalita prítomná v čitateli aj v menovateli zlomku.

Príklad č. 3

Nájdite $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 )) $.

Pretože $\lim_(x\to 5)(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))=\sqrt(9)-\sqrt(9)=0$ a $\lim_( x \to 5)(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9))=\sqrt(16)-\sqrt(16)=0$, potom máme neurčitosť tvaru $ \frac (0) (0) $. Keďže v tomto prípade sú korene prítomné v menovateli aj v čitateli, aby ste sa zbavili neistoty, budete musieť násobiť dvoma zátvorkami naraz. Najprv k výrazu $\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)$ konjugujte s čitateľom. A po druhé, k výrazu $\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9)$ konjugovať s menovateľom.

$$ \lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))=\left|\frac(0)(0)\right|=\\ =\lim_(x\to 5)\frac((\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16) )(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((\sqrt(x^2) -3x+6)-\sqrt(5x-9))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9))(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2 -16))) $$ $$ -x^2+x+20=0;\\ \začiatok (zarovnané) & D=1^2-4\cdot(-1)\cdot 20=81;\\ & x_1=\frac(-1-\sqrt(81))(-2)=\frac(-10)(-2)=5;\\ & x_2=\frac(-1+\sqrt(81))( -2)=\frac(8)(-2)=-4. \end(zarovnané) \\ -x^2+x+20=-1\cdot(x-5)(x-(-4))=-(x-5)(x+4). $$

Pre výraz $x^2-8x+15$ dostaneme:

$$ x^2-8x+15=0;\\ \začiatok(zarovnané) & D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=4;\\ & x_1=\frac(-(- 8)-\sqrt(4))(2)=\frac(6)(2)=3;\\ & x_2=\frac(-(-8)+\sqrt(4))(2)=\frac (10)(2)=5. \end(zarovnané)\\ x^2+8x+15=1\cdot(x-3)(x-5)=(x-3)(x-5). $$

Nahradením získaných expanzií $-x^2+x+20=-(x-5)(x+4)$ a $x^2+8x+15=(x-3)(x-5)$ do uvažovaného limit, bude mať:

$$ \lim_(x\to 5)\frac((-x^2+x+20)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x^2 -8x+15)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \lim_(x\to 5)\frac(-(x-5)(x+4)(\ sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3)(x-5)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)) )=\\ =\lim_(x\to 5)\frac(-(x+4)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3) (\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \frac(-(5+4)(\sqrt(5^2-3\cdot 5+6)+\sqrt(5 \cdot 5-9)))((5-3)(\sqrt(5+4)+\sqrt(5^2-16)))=-6. $$

Odpoveď: $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 )) = -6 $.

V ďalšej (druhej) časti zvážime niekoľko ďalších príkladov, v ktorých bude mať konjugovaný výraz inú formu ako v predchádzajúcich úlohách. Hlavná vec na zapamätanie je, že účelom použitia konjugovaného výrazu je zbaviť sa iracionality, ktorá spôsobuje neistotu.

Pri štúdiu premien iracionálneho výrazu je veľmi dôležitá otázka, ako sa zbaviť iracionality v menovateli zlomku. Účelom tohto článku je vysvetliť túto akciu pomocou konkrétnych príkladov úloh. V prvom odseku zvážime základné pravidlá tejto transformácie av druhom - charakteristické príklady s podrobnými vysvetleniami.

Pojem oslobodenia od iracionality v menovateli

Začnime vysvetlením, aký význam má takáto premena vo všeobecnosti. Na tento účel pripomíname nasledujúce ustanovenia.

O iracionalite môžeme hovoriť v menovateli zlomku, ak je tam prítomný radikál, ktorý je tiež znakom koreňa. Čísla napísané týmto znakom sú často iracionálne. Príklady by boli 1 2, - 2 x + 3, x + y x - 2 x x y + 1, 11 7 - 5. Zlomky s iracionálnymi menovateľmi zahŕňajú aj tie, ktoré majú korene rôzneho stupňa (štvorcové, kubické atď.), napríklad 3 4 3, 1 x + x y 4 + y. Aby sme sa zbavili iracionality, malo by to byť zjednodušenie výrazu a uľahčenie ďalších výpočtov. Sformulujme si hlavnú definíciu:

Definícia 1

Zbavte sa iracionality v menovateli zlomku- znamená transformovať ho a nahradiť ho rovnako rovnakým zlomkom, ktorého menovateľ neobsahuje odmocniny ani stupne.

Takéto konanie možno nazvať oslobodením alebo zbavením sa iracionality, pričom význam zostáva rovnaký. Teda prechod z 1 2 na 2 2, t.j. na zlomok s rovnakou hodnotou bez znamienka odmocniny v menovateli a bude akciou, ktorú potrebujeme. Uveďme ďalší príklad: máme zlomok x x - y . Urobme potrebné transformácie a získajme zlomok x · x + y x - y, ktorý sa mu identicky rovná, čím sa oslobodíme od iracionality v menovateli.

Po sformulovaní definície môžeme pristúpiť priamo k štúdiu postupnosti úkonov, ktoré je potrebné pre takúto transformáciu vykonať.

Základné kroky, ako sa zbaviť iracionality v menovateli zlomku

Aby ste sa zbavili koreňov, musíte vykonať dve po sebe nasledujúce transformácie zlomku: vynásobte obe časti zlomku číslom iným ako nula a potom transformujte výraz získaný v menovateli. Zvážte hlavné prípady.

V najjednoduchšom prípade si vystačíte s transformáciou menovateľa. Napríklad môžeme vziať zlomok s menovateľom rovným odmocnine z 9. Po vypočítaní 9 zapíšeme do menovateľa 3 a zbavíme sa tak iracionality.

Oveľa častejšie však musíte vopred vynásobiť čitateľa a menovateľa číslom, ktoré vám potom umožní dostať menovateľa do požadovaného tvaru (bez koreňov). Ak teda vynásobíme 1 x + 1 x + 1 , dostaneme zlomok x + 1 x + 1 x + 1 a výraz v jeho menovateli môžeme nahradiť x + 1 . Takže sme previedli 1 x + 1 na x + 1 x + 1, čím sme sa zbavili iracionality.

Niekedy sú transformácie, ktoré sa majú vykonať, dosť špecifické. Pozrime sa na niekoľko názorných príkladov.

Ako previesť výraz na menovateľ zlomku

Ako sme povedali, najjednoduchšie je previesť menovateľa.

Príklad 1

podmienka: zbavte zlomok 1 2 18 + 50 iracionality v menovateli.

rozhodnutie

Na začiatok otvorme zátvorky a získame výraz 1 2 18 + 2 50 . Pomocou základných vlastností koreňov prejdime k výrazu 1 2 · 18 + 2 · 50 . Vypočítame hodnoty oboch výrazov pod koreňmi a dostaneme 1 36 + 100 . Tu už môžete extrahovať korene. V dôsledku toho sme dostali zlomok 1 6 + 10, ktorý sa rovná 1 16. Tým je transformácia dokončená.

Priebeh celého riešenia zapisujeme bez komentára:

1 2 18 + 50 = 1 2 18 + 2 50 = = 1 2 18 + 2 50 = 1 36 + 100 = 1 6 + 10 = 1 16

odpoveď: 1 2 18 + 50 = 1 16 .

Príklad 2

podmienka: daný zlomok 7 - x (x + 1) 2 . Zbavte sa iracionality v menovateli.

rozhodnutie

Už skôr v článku o transformáciách iracionálnych výrazov pomocou vlastností koreňov sme spomenuli, že pre ľubovoľné A a dokonca aj n môžeme nahradiť výraz A n n za | A | na celom rozsahu prípustných hodnôt premenných. Preto to v našom prípade môžeme zapísať takto: 7 - x x + 1 2 = 7 - x x + 1. Takto sme sa oslobodili od iracionality v menovateli.

odpoveď: 7 - x x + 12 = 7 - x x + 1.

Zbavenie sa iracionality násobením koreňom

Ak menovateľ zlomku obsahuje výraz tvaru A a samotný výraz A nemá koreňové znamienka, potom sa iracionality môžeme zbaviť jednoduchým vynásobením oboch častí pôvodného zlomku číslom A. Možnosť tejto akcie je určená skutočnosťou, že A v rozsahu platných hodnôt sa nezmení na 0 . Po vynásobení bude menovateľ obsahovať výraz tvaru A · A, ktorý sa dá ľahko zbaviť koreňov: A · A \u003d A 2 \u003d A. Pozrime sa, ako túto metódu aplikovať v praxi.

Príklad 3

podmienka: sú uvedené zlomky x 3 a - 1 x 2 + y - 4. Zbavte sa iracionality v ich menovateľoch.

rozhodnutie

Vynásobme prvý zlomok druhou odmocninou z 3. Získame nasledovné:

x 3 = x 3 3 3 = x 3 3 2 = x 3 3

V druhom prípade musíme vynásobiť x 2 + y - 4 a transformovať výsledný výraz do menovateľa:

1 x 2 + y - 4 = - 1 x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 = = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 2 = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4

odpoveď: x 3 = x 3 3 a - 1 x 2 + y - 4 = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 .

Ak menovateľ pôvodného zlomku obsahuje výrazy v tvare A n m alebo A m n (za predpokladu, že m a n sú prirodzené), musíme zvoliť faktor, aby sa výsledný výraz dal previesť na A n n k alebo A n k n (ak je k prirodzené). Potom nebude ťažké zbaviť sa iracionality. Vezmime si príklad.

Príklad 4

podmienka: dané zlomky 7 6 3 5 a x x 2 + 1 4 15 . Zbavte sa iracionality v menovateľoch.

rozhodnutie

Musíme vziať prirodzené číslo, ktoré možno deliť piatimi, pričom musí byť väčšie ako tri. Aby sa exponent 6 rovnal 5, musíme vynásobiť 6 2 5. Preto budeme musieť vynásobiť obe časti pôvodného zlomku číslom 6 2 5:

7 6 3 5 = 7 6 2 5 6 3 5 6 2 5 = 7 6 2 5 6 3 5 6 2 = 7 6 2 5 6 5 5 = = 7 6 2 5 6 = 7 36 5 6

V druhom prípade potrebujeme číslo väčšie ako 15, ktoré môžeme bezo zvyšku deliť 4. Berieme 16. Aby sme dostali takýto exponent v menovateli, musíme vziať x 2 + 1 4 ako faktor. Ujasnime si, že hodnota tohto výrazu v žiadnom prípade nebude 0. Vypočítame:

x x 2 + 1 4 15 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 15 x 2 + 1 4 = = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 16 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 4 4 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4

Odpoveď: 7 6 3 5 = 7 36 5 6 a x x 2 + 1 4 15 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 .

Zbavenie sa iracionality násobením adjunkovaným výrazom

Nasledujúca metóda je vhodná pre tie prípady, keď menovateľ pôvodného zlomku obsahuje výrazy a + b, a - b, a + b, a - b, a + b, a - b. V takýchto prípadoch musíme brať ako faktor adjungovaný výraz. Vysvetlíme si význam tohto pojmu.

Pre prvý výraz a + b bude konjugát a - b, pre druhý a - b - a + b. Pre a + b - a - b, pre a - b - a + b, pre a + b - a - b a pre a - b - a + b. Inými slovami, konjugovaný výraz je výraz, v ktorom je opačné znamienko pred druhým výrazom.

Poďme sa pozrieť, čo presne táto metóda je. Povedzme, že máme súčin tvaru a - b · a + b . Môže byť nahradený druhou mocninou rozdielu a - b · a + b = a 2 - b 2 , po čom prejdeme k výrazu a − b bez radikálov. Zbavili sme sa teda iracionality v menovateli zlomku vynásobením konjugovaným výrazom. Uveďme si pár názorných príkladov.

Príklad 5

podmienka: zbavte sa iracionality vo výrazoch 3 7 - 3 a x - 5 - 2 .

rozhodnutie

V prvom prípade vezmeme konjugovaný výraz rovný 7 + 3. Teraz ním vynásobíme obe časti pôvodného zlomku:

3 7 - 3 = 3 7 + 3 7 - 3 7 + 3 = 3 7 + 3 7 2 - 3 2 = = 3 7 + 3 7 - 9 = 3 7 + 3 - 2 = - 3 7 + 3 2

V druhom prípade potrebujeme výraz - 5 + 2 , čo je konjugát výrazu - 5 - 2 . Vynásobte ním čitateľa a menovateľa a dostanete:

x - 5 - 2 = x - 5 + 2 - 5 - 2 - 5 + 2 = = x - 5 + 2 - 5 2 - 2 2 = x - 5 + 2 5 - 2 = x 2 - 5 3

Pred násobením je tiež možné vykonať transformáciu: ak najskôr odstránime mínus z menovateľa, bude pohodlnejšie počítať:

x - 5 - 2 = - x 5 + 2 = - x 5 - 2 5 + 2 5 - 2 = = - x 5 - 2 5 2 - 2 2 = - x 5 - 2 5 - 2 = - x 5 - 2 3 = = x 2 - 5 3

odpoveď: 3 7 - 3 = - 3 7 + 3 2 a x - 5 - 2 = x 2 - 5 3 .

Je dôležité venovať pozornosť skutočnosti, že výraz získaný v dôsledku násobenia sa nezmení na 0 pre žiadne premenné z rozsahu platných hodnôt pre tento výraz.

Príklad 6

podmienka: daný zlomok x x + 4 . Transformujte ho tak, aby v menovateli neboli žiadne iracionálne výrazy.

rozhodnutie

Začnime nájdením rozsahu platných hodnôt pre x . Je definovaná podmienkami x ≥ 0 a x + 4 ≠ 0 . Z nich môžeme usúdiť, že požadovaná oblasť je množina x ≥ 0 .

Konjugát menovateľa je x - 4 . Kedy na ňom môžeme vykonať násobenie? Iba ak x - 4 ≠ 0 . V rozsahu prijateľných hodnôt to bude ekvivalentné podmienke x≠16. V dôsledku toho dostaneme nasledovné:

x x + 4 = x x - 4 x + 4 x - 4 = = x x - 4 x 2 - 4 2 = x x - 4 x - 16

Ak sa x rovná 16, dostaneme:

x x + 4 = 16 16 + 4 = 16 4 + 4 = 2

Preto x x + 4 = x · x - 4 x - 16 pre všetky hodnoty x, ktoré patria do rozsahu platných hodnôt, okrem 16 . Pre x = 16 dostaneme x x + 4 = 2 .

odpoveď: x x + 4 = x x - 4 x - 16, x ∈ [ 0, 16) ∪ (16, + ∞) 2, x = 16.

Prevod zlomkov s iracionalitou v menovateli pomocou vzorcov pre súčet a rozdiel kociek

V predchádzajúcom odseku sme vykonali násobenie konjugovanými výrazmi, aby sme potom použili vzorec rozdielu štvorcov. Niekedy, aby sme sa zbavili iracionality v menovateli, je užitočné použiť iné skrátené vzorce násobenia, napríklad rozdiel kociek a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + a b + b 2). Tento vzorec je vhodné použiť, ak menovateľ pôvodného zlomku obsahuje výrazy s koreňmi tretieho stupňa v tvare A 3 - B 3 , A 3 2 + A 3 · B 3 + B 3 2 . atď. Na jej uplatnenie potrebujeme vynásobiť menovateľa zlomku neúplnou druhou mocninou súčtu A 3 2 + A 3 · B 3 + B 3 2 alebo rozdielu A 3 - B 3 . Podobne môžete použiť súčtový vzorec a 3 + b 3 \u003d (a) (a 2 - a b + b 2).

Príklad 7

podmienka: transformujte zlomky 1 7 3 - 2 3 a 3 4 - 2 · x 3 + x 2 3 tak, aby ste sa zbavili iracionality v menovateli.

rozhodnutie

Pre prvý zlomok musíme použiť metódu vynásobenia oboch častí neúplným štvorcom súčtu 7 3 a 2 3, pretože potom môžeme vykonať transformáciu pomocou vzorca rozdielu kocky:

1 7 3 - 2 3 = 1 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 7 3 - 2 3 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 = = 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 7 3 3 - 2 3 3 = 7 2 3 + 7 2 3 + 2 2 3 7 - 2 = = 49 3 + 14 3 + 4 3 5

V druhom zlomku predstavujeme menovateľa ako 2 2 - 2 · x 3 + x 3 2 . V tomto výraze je viditeľná neúplná druhá mocnina rozdielu 2 a x 3, čo znamená, že obe časti zlomku môžeme vynásobiť súčtom 2 + x 3 a použiť vzorec pre súčet kociek. Na to musí byť splnená podmienka 2 + x 3 ≠ 0, čo je ekvivalentné x 3 ≠ - 2 a x ≠ - 8:

3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 3 2 2 - 2 x 3 + x 3 2 = = 3 2 + x 3 2 2 - 2 x 3 + x 3 2 2 + x 3 = 6 + 3 x 3 2 3 + x 3 3 = = 6 + 3 x 3 8 + x

Nahraďte zlomkom - 8 a nájdite hodnotu:

3 4 - 2 8 3 + 8 2 3 = 3 4 - 2 2 + 4 = 3 4

Poďme si to zhrnúť. Pre všetky x zahrnuté v rozsahu pôvodného zlomku (množiny R), s výnimkou - 8 , dostaneme 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 6 + 3 x 3 8 + x . Ak x = 8, potom 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 3 4 .

odpoveď: 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 \u003d 6 + 3 x 3 8 + x, x ≠ 8 3 4, x \u003d - 8.

Dôsledná aplikácia rôznych transformačných metód

V praxi sa často vyskytujú zložitejšie príklady, keď sa iracionality v menovateli nedokážeme zbaviť len jednou metódou. Pre nich musíte postupne vykonať niekoľko transformácií alebo vybrať neštandardné riešenia. Zoberme si jeden taký problém.

Príklad N

podmienka: preveďte 5 7 4 - 2 4, aby ste sa zbavili koreňových znakov v menovateli.

rozhodnutie

Vynásobme obe časti pôvodného zlomku konjugovaným výrazom 7 4 + 2 4 s nenulovou hodnotou. Získame nasledovné:

5 7 4 - 2 4 = 5 7 4 + 2 4 7 4 - 2 4 7 4 + 2 4 = = 5 7 4 + 2 4 7 4 2 - 2 4 2 = 5 7 4 + 2 4 7 - 2

A teraz použijeme rovnakú metódu znova:

5 7 4 + 2 4 7 - 2 = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 7 - 2 7 + 2 = = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 7 2 - 2 2 = 5 7 4 + 7 4 7 + 2 7 - 2 = = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 5 = 7 4 + 2 4 7 + 2

odpoveď: 5 7 4 - 2 4 = 7 4 + 2 4 7 + 2 .

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter