Convessità di una funzione. Direzione del rigonfiamento

Il concetto di convessità di una funzione

Si consideri la funzione \(y = f\left(x \right),\) che si presume sia continua sul segmento \(\left[ (a,b) \right].\) La funzione \(y = f \left(x \right),\) )\) viene chiamato convesso verso il basso (o semplicemente convesso) se per qualsiasi punto \((x_1)\) e \((x_2)\) da \(\left[ (a,b) \right]\) x_1),(x_2) \in \left[ (a, b) \right],\) tale che \((x_1) \ne (x_2),\) allora la funzione \(f\left(x \right) \) è chiamata rigorosamente convesso verso il basso

Una funzione convessa verso l'alto è definita in modo simile. Viene chiamata la funzione \(f\left(x \right)\). convesso verso l'alto (o concavo) se per ogni punto \((x_1)\) e \((x_2)\) del segmento \(\left[ (a,b) \right]\) la disuguaglianza \ Se questa disuguaglianza è stretta per ogni \( ( x_1),(x_2) \in \left[ (a,b) \right],\) tale che \((x_1) \ne (x_2),\) allora la funzione \(f\left(x \right ) \) vengono chiamati rigorosamente convesso verso l'alto sul segmento \(\sinistra[ (a,b) \destra].\)

Interpretazione geometrica della convessità di una funzione

Le definizioni introdotte di funzione convessa hanno una semplice interpretazione geometrica.

Per la funzione, convesso verso il basso (disegno \(1\)), il punto medio \(B\) di qualsiasi accordo \((A_1)(A_2)\) giace sopra

Allo stesso modo, per la funzione convesso verso l'alto (disegno \(2\)), il punto medio \(B\) di ogni accordo \((A_1)(A_2)\) giace qui di seguito punto corrispondente \((A_0)\) del grafico della funzione o coincide con questo punto.

Le funzioni convesse hanno un'altra proprietà visiva, che è correlata alla posizione tangente al grafico della funzione. La funzione \(f\left(x \right)\) è convesso verso il basso sul segmento \(\left[ (a,b) \right]\) se e solo se il suo grafico giace non più in basso della tangente tracciata ad esso in qualsiasi punto \((x_0)\) del segmento \(\left [ (a ,b) \destra]\) (figura \(3\)).

Di conseguenza, la funzione \(f\left(x \right)\) è convesso verso l'alto sul segmento \(\left[ (a,b) \right]\) se e solo se il suo grafico non è più alto della tangente tracciata ad esso in qualsiasi punto \((x_0)\) del segmento \(\left [ (a ,b) \destra]\) (figura \(4\)). Queste proprietà sono un teorema e possono essere dimostrate utilizzando la definizione di convessità di una funzione.

Condizioni sufficienti per la convessità

Sia per la funzione \(f\left(x \right)\) la prima derivata \(f"\left(x \right)\) esiste sul segmento \(\left[ (a,b) \right], \) e la derivata seconda \(f""\left(x \right)\) − sull'intervallo \(\left((a,b) \right).\) Allora valgono i seguenti criteri sufficienti per la convessità:

Se \(f""\left(x \right) \ge 0\) per ogni \(x \in \left((a,b) \right),\) allora la funzione \(f\left(x \ giusto )\) convesso verso il basso sul segmento \(\sinistra[ (a,b) \destra];\)

Se \(f""\left(x \right) \le 0\) per ogni \(x \in \left((a,b) \right),\) allora la funzione \(f\left(x \ giusto )\) convesso verso l'alto sul segmento \(\sinistra[ (a,b) \destra].\)

Nei casi in cui la derivata seconda è strettamente maggiore di (minore di) zero, si parla, rispettivamente, di stretta convessità verso il basso (o su ).

Dimostriamo il teorema precedente per il caso di una funzione convessa verso il basso. Sia la funzione \(f\left(x \right)\) avere una derivata seconda non negativa sull'intervallo \(\left((a,b) \right):\) \(f""\left(x \right) \ge 0.\) Indichiamo con \((x_0)\) il punto medio del segmento \(\left[ ((x_1),(x_2)) \right].\) Assumiamo che la lunghezza di questo segmento è uguale a \(2h.\) Allora le coordinate \((x_1)\) e \((x_2)\) possono essere scritte come: \[(x_1) = (x_0) - h,\;\;(x_2 ) = (x_0) + h.\] Espandere la funzione \(f\left(x \right)\) nel punto \((x_0)\) in una serie di Taylor con un resto nella forma di Lagrange. Otteniamo le seguenti espressioni: \[ (f\left(((x_1)) \right) = f\left(((x_0) - h) \right) ) = (f\left(((x_0)) \right ) - f"\sinistra(((x_0)) \destra)h + \frac((f""\sinistra(((\xi _1)) \destra)(h^2)))((2},} \] \[ {f\left({{x_2}} \right) = f\left({{x_0} + h} \right) } = {f\left({{x_0}} \right) + f"\left({{x_0}} \right)h + \frac{{f""\left({{\xi _2}} \right){h^2}}}{{2!}},} \] где \({x_0} - h !}
Somma entrambe le uguaglianze: \[ (f\left(((x_1)) \right) + f\left(((x_2)) \right) ) = (2f\left(((x_0)) \right) + \frac (((h^2)))(2)\sinistra[ (f""\sinistra(((\xi _1)) \destra) + f""\sinistra(((\xi _2)) \destra)) \right].) \] Poiché \((\xi _1),(\xi _2) \in \left((a,b) \right),\) le derivate seconde sul lato destro sono non negative . Pertanto, \ o \ cioè, secondo la definizione, la funzione \(f\left(x \right)\) convesso verso il basso .

Si noti che la condizione di convessità necessaria per una funzione (cioè un teorema diretto in cui, ad esempio, dalla condizione di convessità segue che \(f""\left(x \right) \ge 0\)) è soddisfatta solo per disuguaglianze non strette. Nel caso di stretta convessità, la condizione necessaria non è generalmente soddisfatta. Ad esempio, la funzione \(f\left(x \right) = (x^4)\) è strettamente convessa verso il basso. Tuttavia, nel punto \(x = 0\) la sua derivata seconda è uguale a zero, cioè la disuguaglianza stretta \(f""\left(x \right) \gt 0\) non è soddisfatta in questo caso.

Proprietà delle funzioni convesse

Elenchiamo alcune proprietà delle funzioni convesse, assumendo che tutte le funzioni siano definite e continue sul segmento \(\left[ (a,b) \right].\)

Se le funzioni \(f\) e \(g\) sono convesse verso il basso (verso l'alto), allora ognuna di esse combinazione lineare \(af + bg,\) dove \(a\), \(b\) sono numeri reali positivi, anch'essi convessi verso il basso (verso l'alto).

Se la funzione \(u = g\left(x \right)\) è convessa verso il basso e la funzione \(y = f\left(u \right)\) è convessa verso il basso e non decrescente, allora funzione complessa Anche \(y = f\left((g\left(x \right)) \right)\) sarà convesso verso il basso.

Se la funzione \(u = g\left(x \right)\) è convessa verso l'alto e la funzione \(y = f\left(u \right)\) è convessa verso il basso e non crescente, allora funzione complessa \(y = f\left((g\left(x \right)) \right)\) sarà convesso verso il basso.

Massimo locale funzione convessa verso l'alto definita sul segmento \(\left[ (a,b) \right],\) è contemporaneamente la sua valore più alto su questo segmento.

Minimo locale funzione convessa verso il basso definita sul segmento \(\left[ (a,b) \right],\) è contemporaneamente la sua il valore più piccolo su questo segmento.

Grafico delle funzioni si=f(x) chiamato convesso sull'intervallo (a;b), se si trova al di sotto di una qualsiasi delle sue tangenti su questo intervallo.

Grafico delle funzioni si=f(x) chiamato concavo sull'intervallo (a;b), se si trova sopra una qualsiasi delle sue tangenti in questo intervallo.

La figura mostra una curva convessa su (a;b) e concava a (avanti Cristo).

Esempi.

Considera un segno sufficiente che ti permetta di determinare se il grafico di una funzione in un dato intervallo sarà convesso o concavo.

Teorema. Lascia stare si=f(x) differenziabile per (a;b). Se in tutti i punti dell'intervallo (a;b) derivata seconda della funzione si = f(x) negativo, cioè f ""(X) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f""(X) > 0 è concavo.

Prova. Assumiamo per certezza che f""(X) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.

Affronta il grafico della funzione y = f(x) punto arbitrario M0 con ascissa x0 Î ( un; b) e passa attraverso il punto M0 tangente. La sua equazione. Dobbiamo mostrare che il grafico della funzione su (a;b) si trova al di sotto di questa tangente, cioè con lo stesso valore X ordinata della curva y = f(x) sarà minore dell'ordinata della tangente.

Quindi l'equazione della curva è y = f(x). Indichiamo l'ordinata tangente corrispondente all'ascissa X. Quindi . Pertanto, la differenza tra le ordinate della curva e la tangente allo stesso valore X volere .

Differenza f(x) – f(x0) trasformare secondo il teorema di Lagrange, dove c tra X e x0.

Così,

Applichiamo nuovamente il teorema di Lagrange all'espressione tra parentesi quadre: , dove c 1 tra c 0 e x0. Secondo il teorema f ""(X) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.

Pertanto, qualsiasi punto della curva si trova al di sotto della tangente alla curva per tutti i valori X e x0 Î ( un; b), il che significa che la curva è convessa. Analogamente si dimostra la seconda parte del teorema.

Esempi.

Viene chiamato il punto sul grafico di una funzione continua che separa la sua parte convessa dalla parte concava punto di flesso.

Ovviamente, nel punto di flesso, la tangente, se esiste, interseca la curva, perché da un lato di questo punto, la curva si trova sotto la tangente e dall'altro sopra di essa.

Definiamo condizioni sufficienti affinché un dato punto della curva sia un punto di flesso.

Teorema. Lascia che la curva sia definita dall'equazione y = f(x). Se f ""(X 0) = 0 o f ""(X 0) non esiste e quando si passa attraverso il valore X = x0 derivato f ""(X) cambia segno, quindi punto del grafico della funzione con l'ascissa X = x0 c'è un punto di flessione.

Prova. Lascia stare f ""(X) < 0 при X < x0 e f ""(X) > 0 a X > x0. Poi alle X < x0 la curva è convessa, e X > x0- concavo. Da qui il punto UN, sdraiato sulla curva, con ascissa x0 c'è un punto di flessione. Allo stesso modo, possiamo considerare il secondo caso, quando f ""(X) > 0 a X < x0 e f ""(X) < 0 при X > x0.

Pertanto, i punti di flesso dovrebbero essere cercati solo tra quei punti in cui la derivata seconda si annulla o non esiste.

Esempi. Trova i punti di flesso e determina gli intervalli di convessità e concavità delle curve.

ASINTOTI DEL GRAFICO DI UNA FUNZIONE

Quando si studia una funzione, è importante stabilire la forma del suo grafico con una rimozione illimitata del punto del grafico dall'origine.

Di particolare interesse è il caso in cui il grafico di una funzione, quando il suo punto variabile viene rimosso all'infinito, si avvicina indefinitamente a una certa retta.

Chiamata diretta asintoto grafico delle funzioni si = f(x) se la distanza dal punto variabile M grafico a questa linea quando il punto viene rimosso M all'infinito tende a zero, cioè il punto del grafico della funzione, tendendo all'infinito, deve avvicinarsi indefinitamente all'asintoto.

La curva può avvicinarsi al suo asintoto, rimanendo su un lato di esso o su lati diversi, intersecando l'asintoto un numero infinito di volte e spostandosi da un lato all'altro.

Se indichiamo con d la distanza dal punto M curva all'asintoto, è chiaro che d tende a zero man mano che il punto viene rimosso M all'infinito.

Distingueremo ulteriormente tra asintoti verticali e obliqui.

ASINTOTI VERTICALI

Lascia stare X→ x0 entrambi i lati della funzione si = f(x) aumenta indefinitamente in valore assoluto, cioè o o . Quindi segue dalla definizione dell'asintoto che la linea X = x0è un asintoto. Il contrario è ovvio anche se la linea X = x0è un asintoto, quindi .

Quindi, l'asintoto verticale del grafico della funzione y = f(x)è chiamato una linea se f(x)→ ∞ in almeno una delle condizioni X→ x0– 0 o X → x0 + 0, X = x0

Pertanto, per trovare gli asintoti verticali del grafico della funzione si = f(x) bisogno di trovare quei valori X = x0, in cui la funzione va all'infinito (subisce una discontinuità infinita). Quindi l'asintoto verticale ha l'equazione X = x0.

Esempi.

ASINTOTI INCLINATI

Poiché l'asintoto è una linea retta, allora se la curva si = f(x) ha un asintoto obliquo, allora la sua equazione sarà si = kx + b. Il nostro compito è trovare i coefficienti K e b.

Teorema. Dritto si = kx + b funge da asintoto obliquo a X→ +∞ per il grafico della funzione si = f(x) se e solo se . Un'affermazione simile è vera per X → –∞.

Prova. Lascia stare deputato- la lunghezza del segmento pari alla distanza dal punto M all'asintoto. Per condizione. Indichiamo con φ l'angolo di inclinazione dell'asintoto rispetto all'asse Bue. Poi da ΔMNP segue quello. Poiché φ è un angolo costante (φ ≠ π/2), allora , ma

Per determinare la convessità (concavità) di una funzione su un certo intervallo, si possono utilizzare i seguenti teoremi.

Teorema 1. Sia la funzione definita e continua sull'intervallo e abbia una derivata finita. Affinché una funzione sia convessa (concava) in , è necessario e sufficiente che la sua derivata diminuisca (aumenti) su questo intervallo.

Teorema 2. Sia la funzione definita e continua insieme alla sua derivata su e abbia una derivata seconda continua all'interno di . Per la convessità (concavità) della funzione in esso è necessario e sufficiente che all'interno

Dimostriamo il Teorema 2 per il caso di convessità della funzione .

Necessità. Prendiamo un punto arbitrario. Espandiamo la funzione vicino al punto in una serie di Taylor

L'equazione di una tangente a una curva in un punto avente un'ascissa:

Quindi l'eccesso della curva rispetto alla tangente ad essa nel punto è uguale a

Pertanto, il resto è uguale all'eccesso della curva rispetto alla tangente ad essa nel punto . A causa della continuità, se , quindi anche per , appartenente ad un intorno sufficientemente piccolo del punto , e quindi, ovviamente, per qualunque valore diverso da , appartenente all'intorno specificato.

Ciò significa che il grafico della funzione si trova sopra la tangente e la curva è convessa in un punto arbitrario.

Adeguatezza. Sia la curva convessa sull'intervallo . Prendiamo un punto arbitrario.

Analogamente al precedente, espandiamo la funzione vicino al punto in una serie di Taylor

L'eccesso della curva rispetto alla tangente ad essa nel punto avente l'ascissa, definito dall'espressione è uguale a

Poiché l'eccesso è positivo per un intorno sufficientemente piccolo del punto , anche la derivata seconda è positiva. Mentre ci sforziamo, lo otteniamo per un punto arbitrario .

Esempio. Indagare per la funzione di convessità (concavità).

Il suo derivato cresce su tutto l'asse reale, quindi per il Teorema 1 la funzione è concava su .

La sua derivata seconda , quindi, per il Teorema 2, la funzione è concava su .

3.4.2.2 Punti di flesso

Definizione. punto di flesso grafico di una funzione continua è chiamato il punto che separa gli intervalli in cui la funzione è convessa e concava.

Da questa definizione segue che i punti di flesso sono i punti del punto estremo della derivata prima. Ciò implica le seguenti asserzioni per le condizioni di inflessione necessarie e sufficienti.

Teorema (condizione di inflessione necessaria). Affinché un punto sia un punto di flesso di una funzione differenziabile due volte, è necessario che la sua derivata seconda in questo punto sia uguale a zero ( ) o non esisteva.

Teorema (condizione sufficiente per l'inflessione). Se la derivata seconda di una funzione differenziabile due volte cambia segno quando passa per un certo punto, allora c'è un punto di flesso.

Si noti che la derivata seconda potrebbe non esistere nel punto stesso.

L'interpretazione geometrica dei punti di flesso è illustrata in fig. 3.9

In un intorno di un punto, la funzione è convessa e il suo grafico si trova sotto la tangente tracciata in questo punto. Nelle vicinanze di un punto, la funzione è concava e il suo grafico si trova sopra la tangente tracciata in questo punto. Nel punto di flesso, la tangente divide il grafico della funzione in regioni di convessità e concavità.

3.4.2.3 Esame di una funzione per la convessità e la presenza di punti di flesso

1. Trova la seconda derivata.

2. Trova i punti in cui la derivata seconda o non esiste.

Riso. 3.9.

3. Esaminare il segno della derivata seconda a sinistra ea destra dei punti trovati e trarre una conclusione sugli intervalli di convessità o concavità e sulla presenza di punti di flesso.

Esempio. Indagare la funzione per la convessità e la presenza di punti di flesso.

2. La derivata seconda è uguale a zero in .

3. La derivata seconda cambia segno in , quindi il punto è il punto di flesso.

Sull'intervallo , allora la funzione è convessa su questo intervallo.

Sull'intervallo , allora la funzione è concava su questo intervallo.

3.4.2.4 Schema generale per lo studio delle funzioni e la rappresentazione grafica

Quando si studia una funzione e si traccia il suo grafico, si consiglia di utilizzare il seguente schema:

Trova l'ambito della funzione.
Indagare la funzione per pari - dispari. Ricordiamo che il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all'asse y e il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all'origine.
Trova gli asintoti verticali.
Esplora il comportamento di una funzione all'infinito, trova asintoti orizzontali o obliqui.
Trova estremi e intervalli di monotonia della funzione.
Trova gli intervalli di convessità della funzione e i punti di flesso.
Trova punti di intersezione con assi coordinati.

Lo studio della funzione viene effettuato contemporaneamente alla costruzione del suo grafico.

Esempio. Esplora la funzione e traccialo.

1. Ambito della funzione - .

2. La funzione studiata è pari , quindi il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse y.

3. Il denominatore della funzione si annulla in , quindi il grafico della funzione ha asintoti verticali e .

I punti sono punti di discontinuità del secondo tipo, poiché i limiti a sinistra ea destra in questi punti tendono a .

4. Comportamento della funzione all'infinito.

Pertanto, il grafico della funzione ha un asintoto orizzontale.

5. Estremi e intervalli di monotonicità. Trovare la derivata prima

Per , quindi, la funzione decresce in questi intervalli.

Per , quindi, la funzione cresce in questi intervalli.

Per , quindi, il punto è un punto critico.

Trovare la derivata seconda

Poiché , allora il punto è il punto di minimo della funzione .

6. Intervalli di convessità e punti di flesso.

Funzione a , quindi la funzione è concava su questo intervallo.

La funzione in , significa che la funzione è convessa su questi intervalli.

La funzione non svanisce mai, quindi non ci sono punti di flesso.

7. Punti di intersezione con gli assi coordinati.

L'equazione , ha una soluzione , che indica il punto di intersezione del grafico della funzione con l'asse y (0, 1).

L'equazione non ha soluzione, il che significa che non ci sono punti di intersezione con l'asse delle ascisse.

Tenendo conto della ricerca condotta, è possibile costruire un grafico della funzione

Grafico schematico di una funzione mostrato in fig. 3.10.

Riso. 3.10.

3.4.2.5 Asintoti del grafico di una funzione

Definizione. Asintoto il grafico della funzione si chiama retta, che ha la proprietà che la distanza dal punto () a questa retta tende a 0 con una rimozione illimitata del punto del grafico dall'origine.

Lo schema generale dello studio della funzione e la costruzione di un grafo.
1. Studio della funzione per convessità e concavità.

Asintoti del grafico di una funzione.

Introduzione.

Nel corso di matematica della scuola, hai già incontrato la necessità di tracciare grafici di funzioni. In , hai utilizzato il metodo punto per punto. Va notato che è semplice nel concetto e conduce relativamente rapidamente all'obiettivo. Nei casi in cui la funzione è continua e cambia abbastanza agevolmente, questo metodo può anche fornire il necessario grado di accuratezza della rappresentazione grafica. Per fare ciò, devi prendere più punti per raggiungere una certa densità del loro posizionamento.

Supponiamo ora che la funzione in alcuni punti abbia caratteristiche nel suo "comportamento": o i suoi valori cambiano bruscamente da qualche parte in una piccola area, oppure ci sono interruzioni. Le parti più significative del grafico potrebbero non essere rilevate in questo modo.

Questa circostanza riduce il valore del metodo di costruzione di un grafico "per punti".

Esiste un secondo modo per tracciare grafici, basato sullo studio analitico delle funzioni. Si confronta favorevolmente con il metodo considerato nel corso di matematica della scuola.

1. Studio di una funzione per convessità e concavità .

Lascia la funzione
è differenziabile sull'intervallo (a, c). Quindi c'è una tangente al grafico della funzione in qualsiasi punto
questo grafico (
), e la tangente non è parallela all'asse OY, poiché la sua pendenza è uguale a
, Certo.

O
definizione Diremo che il grafico della funzione
su (a, c) ha un rilascio rivolto verso il basso (su) se si trova non sotto (non sopra) alcuna tangente al grafico della funzione su (a, c).

a) curva concava b) curva convessa

Teorema 1 (una condizione necessaria per la convessità (concavità) della curva).

Se il grafico di una funzione differenziabile due volte è una curva convessa (concava), allora la seconda derivata sull'intervallo (a, c) è negativa (positiva) su questo intervallo.

Teorema 2(una condizione sufficiente per la convessità (concavità) della curva).

Se la funzione è differenziabile due volte su (a, b) e
(
) in tutti i punti di questo intervallo, allora la curva che è il grafico della funzione è convessa (concava) su questo intervallo.

I punti di flesso del grafico della funzione.

Definizione Punto
è chiamato il punto di flesso del grafico della funzione, se nel punto
il grafico ha una tangente e c'è un tale intorno del punto , all'interno della quale il grafico della funzione a sinistra ea destra del punto ha diverse direzioni di convessità.

O è ovvio che nel punto di flesso la tangente attraversa il grafico della funzione, poiché da un lato di questo punto il grafico si trova sopra la tangente, e dall'altro - sotto di essa, cioè in prossimità del punto di flesso, il il grafico della funzione passa geometricamente da un lato all'altro della tangente e si "piega" attraverso di essa. Da qui deriva il nome "punto di flesso".

Teorema 3(condizione necessaria del punto di flesso). Lascia che il grafico della funzione abbia un'inflessione in un punto e lascia che la funzione abbia in un punto

derivata seconda continua. Quindi

.
Non tutti i punti per i quali , è un punto di flesso. Ad esempio, il grafico della funzione

non ha punto di flesso in (0, 0), sebbene

. Pertanto, l'uguaglianza della derivata seconda a zero è solo una condizione necessaria per l'inflessione.

Punti del grafico per i quali viene chiamato punti criticiII-città.È necessario approfondire la questione della presenza di kinking in ogni punto critico.

Teorema 4(condizione sufficiente per un punto di flesso). Lascia che la funzione abbia una derivata seconda in un intorno del punto . Quindi, se all'interno dell'intorno specificato
ha segni diversi a sinistra ea destra del punto, allora il grafico ha un'inflessione nel punto.
Commento. Il teorema rimane vero se
ha una derivata seconda in qualche intorno del punto, ad eccezione del punto stesso, e c'è una tangente al grafico della funzione nel punto
. Allora, se all'interno dell'intorno indicato ha segni diversi a sinistra ea destra del punto , allora il grafico della funzione ha un'inflessione nel punto .
Schema di studio della funzione per convessità, concavità, punti di flesso.

Esempio. Esplora la funzione
convessità, concavità, punti di flesso.
1.

2.
,
=

3. non esiste a

)	1	(1, +)
-		+
	1

Asintoti del grafico di una funzione.

Quando si studia il comportamento di una funzione a
o in prossimità di punti di discontinuità di 2a specie, risulta spesso che il grafico di una funzione si avvicina a una o all'altra retta tanto vicino quanto si vuole. Tali linee sono chiamate.

O definizione 1. Dritto

è chiamato asintoto della curva L se la distanza dal punto della curva a questa linea tende a zero mentre il punto si allontana lungo la curva all'infinito. Esistono tre tipi di asintoti: verticale, orizzontale, obliquo.

Definizione 2. Dritto
è chiamato asintoto verticale del grafico della funzione se almeno uno dei limiti unilaterali è uguale a
, cioè, o

Ad esempio, il grafico della funzione
ha un asintoto verticale
, perché
, un
.

Definizione 3. La linea retta y \u003d A è chiamata asintoto orizzontale del grafico della funzione quando

Ad esempio, il grafico di una funzione ha un asintoto orizzontale y=0, perché
.

Definizione 4. Dritto

(

) è chiamato l'asintoto obliquo del grafico della funzione per

;

Se almeno uno dei limiti non esiste, allora la curva non ha asintoti. Se, allora questi limiti dovrebbero essere cercati separatamente, per e
.

Per esempio. Trova gli asintoti del grafico di una funzione

; x=0 – asintoto verticale

;
.

è l'asintoto obliquo.
4. Schema di studio completo della funzione e tracciato.

Si consideri uno schema esemplare con il quale è consigliabile indagare il comportamento di una funzione e costruirne il grafico.

Esempio. Esplora la funzione

e traccialo.

1., eccetto x=-1.

2.
funzione né pari né dispari

-

-

+

+

si

-4

t.r.

0

Conclusione.
Una caratteristica importante del metodo considerato è che si basa principalmente sul rilevamento e sullo studio delle caratteristiche nel comportamento della curva. I luoghi in cui la funzione cambia dolcemente non sono studiati in dettaglio e non c'è bisogno di uno studio del genere. Ma quei luoghi in cui la funzione ha qualche particolarità nel comportamento sono soggetti a una ricerca completa e alla rappresentazione grafica più accurata. Queste caratteristiche sono i punti di massimo, minimo, punti di discontinuità della funzione, ecc.

La determinazione della direzione della concavità e delle inflessioni, nonché il metodo indicato per trovare gli asintoti, consentono di studiare le funzioni in modo ancora più dettagliato e di avere un'idea più precisa dei loro grafici.

Istruzione

I punti di flesso della funzione devono appartenere al dominio della sua definizione, che deve essere trovato per primo. Un grafico di funzione è una linea che può essere continua o avere discontinuità, diminuire o aumentare in modo monotono, avere punti di minimo o massimo (asintoti), essere convessa o concava. Un brusco cambiamento negli ultimi due stati è chiamato inflessione.

Condizione necessaria per l'esistenza di un'inflessione della funzione è che il secondo sia uguale a zero. Pertanto, dopo aver differenziato due volte la funzione ed eguagliando l'espressione risultante a zero, si possono trovare le ascisse di possibili punti di flesso.

Questa condizione deriva dalla definizione delle proprietà di convessità e concavità del grafico della funzione, cioè valori negativi e positivi della derivata seconda. Al punto di flesso, c'è un brusco cambiamento in queste proprietà, il che significa che la derivata supera il segno zero. Tuttavia, l'uguaglianza a zero non è ancora sufficiente per indicare un punto di flesso.

Ci sono due condizioni sufficienti che l'ascissa trovata nella fase precedente appartenga al punto di flesso: Attraverso questo punto, puoi tracciare una tangente alla funzione. La derivata seconda ha segni diversi a destra ea sinistra del presunto punto di flesso. Pertanto, la sua esistenza nel punto stesso non è necessaria, è sufficiente determinare che cambia segno in esso.La derivata seconda della funzione è zero, ma la terza no.

La prima condizione sufficiente è universale ed è usata più spesso di altre. Considera un esempio illustrativo: y = (3 x + 3) ∛ (x - 5).

Soluzione.Trova il dominio di definizione. In questo caso non ci sono restrizioni, quindi è l'intero spazio dei numeri reali. Calcola la derivata prima: y' = 3 ∛ (x - 5) + (3 x + 3) / ∛ (x - 5)².

Presta attenzione all'aspetto della frazione. Ne consegue che il dominio di definizione della derivata è limitato. Il punto x = 5 è forato, il che significa che una tangente può attraversarlo, il che corrisponde in parte al primo criterio per la sufficienza dell'inflessione.

Determina i limiti unilaterali per l'espressione risultante in x → 5 - 0 e x → 5 + 0. Sono uguali a -∞ e +∞. Hai dimostrato che una tangente verticale passa per il punto x=5. Questo punto può essere un punto di flesso, ma prima calcola la derivata seconda: - 5)^5 = (2 x - 22)/∛(x - 5)^5.

Ometti il denominatore, perché hai già tenuto conto del punto x = 5. Risolvi l'equazione 2 x - 22 = 0. Ha un'unica radice x = 11. L'ultimo passo è confermare che i punti x = 5 e x = 11 sono punti di flesso. Analizza il comportamento della derivata seconda nelle loro vicinanze. Ovviamente nel punto x = 5 cambia segno da “+” a “-”, e nel punto x = 11, viceversa. Conclusione: entrambi i punti sono punti di flesso. La prima condizione sufficiente è soddisfatta.