Funksiyaning qavariqligi. Qavariq yo'nalish

Funksiyaning qavariqligi haqida tushuncha

\(\left[ (a,b) \right] intervalida uzluksiz deb qabul qilingan \(y = f\left(x \right),\) funksiyani ko'rib chiqaylik.\) Funktsiya \(y = f\ left(x \right )\) deyiladi konveks pastga (yoki oddiygina qavariq), agar \((x_1)\) va \((x_2)\) dan \(\left[ (a,b) \right]\) nuqtalari uchun tengsizlik \ Agar bu tengsizlik har qanday \(( x_1),(x_2) \in \left[ (a,b) \right],\) shundayki, \((x_1) \ne (x_2),\) keyin funksiya \(f\left(x \right) \) deyiladi qat'iy konveks pastga

Yuqoriga qaragan qavariq funksiya ham xuddi shunday aniqlanadi. \(f\left(x \right)\) funksiyasi chaqiriladi yuqoriga qavariq (yoki botiq), agar segmentning \((x_1)\) va \((x_2)\) nuqtalari uchun \(\left[ (a,b) \right]\) tengsizlik bo'lsa \ Agar bu tengsizlik har qanday \ uchun qat'iy bo'lsa. (( x_1),(x_2) \in \left[ (a,b) \right],\) shundayki, \((x_1) \ne (x_2),\) keyin \(f\left(x \) funksiyasi o'ng) \) deyiladi yuqoriga qat'iy konveks segmentida \(\left[(a,b) \o'ng].\)

Funksiyaning qavariqligining geometrik talqini

Qavariq funksiyaning kiritilgan ta'riflari oddiy geometrik talqinga ega.

Funktsiya uchun, konveks pastga (\(1\)-rasm), har qanday akkordning \(B\) oʻrta nuqtasi \((A_1)(A_2)\) yotadi yuqoriroq

Xuddi shunday, funktsiya uchun, yuqoriga qavariq (Rasm \(2\)), har qanday akkordning \(B\) o'rta nuqtasi \((A_1)(A_2)\) yotadi quyida funktsiya grafigining mos keladigan nuqtasi \((A_0)\) yoki shu nuqtaga to'g'ri keladi.

Konveks funktsiyalari joylashuvga bog'liq bo'lgan boshqa vizual xususiyatga ega tangens funksiya grafigiga. Funktsiya \(f\left(x \o'ng)\) bo'ladi konveks pastga \(\left[ (a,b) \o'ng]\) segmentida, agar uning grafigi segmentning \((x_0)\) istalgan nuqtasida chizilgan tangensdan past bo'lmasa, [ (a ,b) \o'ng]\) (rasm \(3\)).

Shunga ko'ra, funksiya \(f\left(x \o'ng)\) bo'ladi yuqoriga qavariq \(\left[ (a,b) \o'ng]\) segmentida, agar uning grafigi segmentning \((x_0)\) istalgan nuqtasida chizilgan tangensdan yuqori bo'lmasa. [ (a ,b) \o'ng]\) (\(4\)-rasm). Bu xossalar teoremani tashkil qiladi va funksiyaning qavariqlik ta’rifi yordamida isbotlanishi mumkin.

Qavariqlik uchun etarli shartlar

\(f\left(x \right)\) funksiyaning birinchi hosilasi \(f"\left(x \right)\) \(\left[ (a,b) \right] oralig'ida mavjud bo'lsin, \) va ikkinchi hosila \(f""\left(x \right)\) - oralig'ida \(\left((a,b) \right).\) Keyin qavariqlik uchun quyidagi etarli mezonlar amal qiladi:

Agar \(f""\left(x \right) \ge 0\) hamma uchun \(x \in \left((a,b) \right),\) bo'lsa, \(f\left(x \) funksiyasi o'ng)\) konveks pastga segmentida \(\left[(a,b) \o'ng];\)

Agar \(f""\left(x \o'ng) \le 0\) hamma uchun \(x \in \left((a,b) \right),\) bo'lsa, \(f\left(x \) funktsiyasi o'ng)\) konveks yuqoriga segmentida \(\left[(a,b) \o'ng].\)

Ikkinchi hosila noldan qat'iy katta (kamroq) bo'lgan hollarda, biz mos ravishda bu haqda gapiramiz. pastga qarab qattiq konveks (yoki yuqoriga ).

Pastga qaragan qavariq funksiya uchun yuqoridagi teoremani isbotlaylik. \(f\left(x \right)\) funksiyasi \(\left((a,b) \right):\) \(f""\left(x) oralig'ida manfiy bo'lmagan ikkinchi hosilaga ega bo'lsin. \right) \ge 0.\) Segmentning o'rta nuqtasini \((x_0)\) bilan belgilaymiz \(\left[ ((x_1),(x_2)) \right].\) Faraz qilaylik: bu segment \(2h.\) ga teng bo'lsa, \((x_1)\) va \((x_2)\) koordinatalarini quyidagicha yozish mumkin: \[(x_1) = (x_0) - h,\;\; (x_2) = (x_0) + h.\] \((x_0)\) nuqtadagi \(f\left(x \o'ng)\) funksiyani Lagranj ko'rinishidagi qolgan hadli Teylor qatoriga kengaytiramiz. . Biz quyidagi ifodalarni olamiz: \[ (f\left(((x_1)) \right) = f\left(((x_0) - h) \right) ) = (f\left(((x_0)) \right ) - f"\left(((x_0)) \right)h + \frac((f""\left(((\xi _1)) \right)(h^2)))((2)},} \] \[ {f\left({{x_2}} \right) = f\left({{x_0} + h} \right) } = {f\left({{x_0}} \right) + f"\left({{x_0}} \right)h + \frac{{f""\left({{\xi _2}} \right){h^2}}}{{2!}},} \] где \({x_0} - h !}
Ikkala tenglikni qo'shamiz: \[ (f\left(((x_1)) \right) + f\left(((x_2)) \right) ) = (2f\left(((x_0)) \right) + \ frac (((h^2)(2)\left[ (f""\left(((\xi _1)) \o'ng) + f""\left(((\xi _2)) \o'ng) ) \right].) \] \((\xi _1),(\xi _2) \in \left((a,b) \right),\) boʻlgani uchun oʻng tomondagi ikkinchi hosilalar manfiy emas. . Shuning uchun, \ yoki \ ya'ni, ta'rifga muvofiq, \(f\left(x \o'ng)\) funktsiyasi. konveks pastga .

E'tibor bering, funktsiyaning qavariqligi uchun zarur shart (ya'ni, to'g'ridan-to'g'ri teorema, unda, masalan, qavariqlik shartidan pastga qarab, \(f""\left(x \right) \ge 0\)) faqat qat'iy bo'lmagan tengsizliklar uchun qanoatlantiriladi. Qattiq konveks bo'lsa, zaruriy shart, umuman olganda, qoniqtirilmaydi. Masalan, \(f\left(x \right) = (x^4)\) funksiyasi qat`iy pastga qarab qavariq. Biroq, \(x = 0\) nuqtada uning ikkinchi hosilasi nolga teng, ya'ni. qat'iy tengsizlik \(f""\left(x \right) \gt 0\) bu holda bajarilmaydi.

Qavariq funksiyalarning xossalari

Keling, barcha funksiyalar \(\left[ (a,b) \o'ng].\) oralig'ida aniqlangan va uzluksiz deb faraz qilib, qavariq funksiyalarning ayrim xususiyatlarini sanab o'tamiz.

Agar \(f\) va \(g\) funktsiyalari pastga (yuqoriga) qavariq bo'lsa, u holda ulardan birontasi chiziqli birikma \(af + bg,\) bu yerda \(a\), \(b\) musbat haqiqiy sonlar ham pastga (yuqoriga) qavariq.

Agar \(u = g\left(x \o'ng)\) funksiya pastga tomon qavariq va \(y = f\left(u \o'ng)\) funksiya pastga qarab qavariq va kamaymaydigan bo'lsa, u holda. murakkab funktsiya \(y = f\left((g\left(x \right)) \right)\) ham pastga qarab qavariq bo'ladi.

Agar \(u = g\left(x \o'ng)\) funksiya yuqoriga qavariq, \(y = f\left(u \o'ng)\) funksiya pastga tomon qavariq va ortib bormaydigan bo'lsa, u holda murakkab funktsiya \(y = f\left((g\left(x \right)) \right)\) pastga qarab qavariq bo'ladi.

Mahalliy maksimal \(\left[(a,b) \o'ng],\) oralig'ida aniqlangan yuqoriga qarab qavariq funksiya ham uning eng yuqori qiymat ushbu segmentda.

Mahalliy minimal \(\left[(a,b) \right],\) oraliqda aniqlangan pastga qaragan qavariq funksiya ham uning eng past qiymat ushbu segmentda.

Funksiya grafigi y=f(x) chaqirdi qavariq intervalda (a; b), agar u bu oraliqda o'zining tangenslaridan pastda joylashgan bo'lsa.

Funksiya grafigi y=f(x) chaqirdi botiq intervalda (a; b), agar u bu oraliqda o'zining tangenslaridan yuqorisida joylashgan bo'lsa.

Rasmda qavariq bo'lgan egri chiziq ko'rsatilgan (a; b) va botiq (b;c).

Misollar.

Berilgan oraliqdagi funksiya grafigi qavariq yoki botiq bo'lishini aniqlash imkonini beruvchi yetarli mezonni ko'rib chiqamiz.

Teorema. Mayli y=f(x) bilan farqlanadi (a; b). Agar intervalning barcha nuqtalarida bo'lsa (a; b) funksiyaning ikkinchi hosilasi y = f(x) salbiy, ya'ni. f ""(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f""(x) > 0 – botiq.

Isbot. Keling, buni aniq deb hisoblaylik f""(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.

Grafikdagi funksiyalarni olaylik y = f(x) ixtiyoriy nuqta M0 abscissa bilan x 0 Î ( a; b) va nuqta orqali chizamiz M0 tangens. Uning tenglamasi. Funktsiya grafigi yoqilganligini ko'rsatishimiz kerak (a; b) bu tangens ostida yotadi, ya'ni. bir xil qiymatda x egri chiziqning ordinatasi y = f(x) tangensning ordinatasidan kichik bo'ladi.

Demak, egri chiziq tenglamasi y = f(x). Abtsissaga mos keladigan tangens ordinatasini belgilaymiz x. Keyin. Binobarin, egri chiziqning ordinatalari va bir xil qiymat uchun tangens o'rtasidagi farq x bo'ladi.

Farq f(x) – f(x 0) Lagranj teoremasi bo'yicha o'zgartiring, bu erda c orasida x Va x 0.

Shunday qilib,

Biz yana Lagranj teoremasini kvadrat qavs ichidagi ifodaga qo'llaymiz: , bu erda c 1 orasida c 0 Va x 0. Teorema shartlariga ko'ra f ""(x) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.

Shunday qilib, egri chiziqdagi har qanday nuqta barcha qiymatlar uchun egri chiziqning tangensi ostida joylashgan x Va x 0 Î ( a; b), bu egri chiziqning qavariq ekanligini bildiradi. Teoremaning ikkinchi qismi ham xuddi shunday tarzda isbotlangan.

Misollar.

Uzluksiz funksiya grafigidagi uning qavariq qismini botiq qismidan ajratib turuvchi nuqta deyiladi burilish nuqtasi.

Shubhasiz, burilish nuqtasida tangens, agar mavjud bo'lsa, egri chiziqni kesib o'tadi, chunki bu nuqtaning bir tomonida egri chiziq tangens ostida, boshqa tomonida esa uning ustida joylashgan.

Egri chiziqning berilgan nuqtasi burilish nuqtasi bo'lishi uchun etarli shartlarni aniqlaylik.

Teorema. Egri chiziq tenglama bilan aniqlansin y = f(x). Agar f ""(x 0) = 0 yoki f ""(x 0) qiymatdan o'tganda ham mavjud emas x = x 0 hosila f ""(x) belgisini, so‘ngra abtsissa bilan funksiya grafigidagi nuqtani o‘zgartiradi x = x 0 burilish nuqtasi mavjud.

Isbot. Mayli f ""(x) < 0 при x < x 0 Va f ""(x) > 0 da x > x 0. Keyin soat x < x 0 egri chiziq qavariq va qachon x > x 0- konkav. Shuning uchun, nuqta A, egri ustida yotgan, abscissa bilan x 0 burilish nuqtasi mavjud. Ikkinchi holat xuddi shunday ko'rib chiqilishi mumkin, qachon f ""(x) > 0 da x < x 0 Va f ""(x) < 0 при x > x 0.

Shunday qilib, burilish nuqtalarini faqat ikkinchi hosila yo'qolgan yoki mavjud bo'lmagan nuqtalardan izlash kerak.

Misollar. Burilish nuqtalarini toping va egri chiziqlarning qavariqlik va botiqlik oraliqlarini aniqlang.

FUNKSIYA grafigining ASIMPTOTLARI

Funktsiyani o'rganayotganda, uning grafigining shaklini grafa nuqtasidan boshdan cheksiz masofada o'rnatish muhimdir.

Funktsiya grafigi, uning o'zgaruvchan nuqtasi cheksizlikka olib tashlanganda, ma'lum bir to'g'ri chiziqqa cheksiz yaqinlashganda, ayniqsa qiziqish uyg'otadi.

To'g'ri chiziq deyiladi asimptota funktsiya grafikasi y = f(x), agar o'zgaruvchan nuqtadan masofa M nuqtani olib tashlashda ushbu chiziqqa grafiklar M cheksizlik nolga intiladi, ya'ni. funktsiya grafigidagi nuqta cheksizlikka intilayotganligi sababli asimptotaga cheksiz yaqinlashishi kerak.

Egri chiziq o'zining asimptotasiga yaqinlashib, uning bir tomonida yoki turli tomonlarida qolishi, asimptotani cheksiz ko'p marta kesib o'tishi va bir tomondan ikkinchisiga o'tishi mumkin.

Agar nuqtadan masofani d bilan belgilasak M asimptotaga egri chiziq bo'lsa, nuqta uzoqlashganda d nolga intilishi aniq bo'ladi. M cheksizlikka.

Keyinchalik vertikal va qiya asimptotalarni ajratamiz.

Vertikal ASIMPTOTLAR

ruxsat bering x→ x 0 har qanday yon funktsiyadan y = f(x) mutlaq qiymatda cheksiz ortadi, ya'ni. yoki yoki . Keyin asimptotaning ta'rifidan to'g'ri chiziq kelib chiqadi x = x 0 asimptota hisoblanadi. Qarama-qarshilik ham aniq, agar chiziq x = x 0 asimptotadir, ya'ni. .

Shunday qilib, funksiya grafigining vertikal asimptotasi y = f(x) agar to'g'ri chiziq deyiladi f(x)→ ∞ shartlardan kamida bittasida x→ x 0– 0 yoki x → x 0 + 0, x = x 0

Shuning uchun funksiya grafigining vertikal asimptotalarini topish y = f(x) bu qiymatlarni topish kerak x = x 0, bunda funksiya cheksizlikka boradi (cheksiz uzilishga duchor bo'ladi). Keyin vertikal asimptota tenglamaga ega bo'ladi x = x 0.

Misollar.

QAYTA ASIMPTOTLAR

Asimptot to'g'ri chiziq bo'lgani uchun, agar egri chiziq bo'lsa y = f(x) qiya asimptotaga ega bo'lsa, uning tenglamasi bo'ladi y = kx + b. Bizning vazifamiz koeffitsientlarni topishdir k Va b.

Teorema. Streyt y = kx + b da qiya asimptota vazifasini bajaradi x→ +∞ funksiya grafigi uchun y = f(x) keyin va faqat qachon . Shunga o'xshash bayonot uchun to'g'ri x → –∞.

Isbot. Mayli deputat- nuqtadan masofaga teng segment uzunligi M asimptota qilish. Shart bo'yicha. Asimptotaning o'qqa moyillik burchagini ph bilan belgilaymiz ho'kiz. Keyin dan DMNP bunga amal qiladi. ph o'zgarmas burchak (ph ≠ p/2) bo'lgani uchun, u holda , lekin

Funksiyaning ma’lum oraliqdagi qavariqligini (qavariqligini) aniqlash uchun quyidagi teoremalardan foydalanish mumkin.

Teorema 1. Funktsiya oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo'lsin va chekli hosilaga ega bo'lsin. Funktsiya qavariq (botiq) bo'lishi uchun uning hosilasi shu oraliqda kamayishi (ortishi) zarur va etarli.

Teorema 2. Funktsiya hosilasi bilan birga aniqlangan va uzluksiz bo'lsin va ichida uzluksiz ikkinchi hosila bo'lsin. Funktsiyaning qavariqligi (qavariqligi) uchun undagi funksiya zarur va etarli

Qavariq funksiya holati uchun 2-teoremani isbotlaymiz.

Zaruriyat. Keling, o'zboshimchalik bilan bir nuqtani olaylik. Teylor qatoridagi nuqta atrofida funksiyani kengaytiramiz

Abtsissaga ega nuqtadagi egri chiziqqa teginish tenglamasi:

Keyin egri chiziqning nuqtadagi unga tegib turgan ortiqcha qismi teng bo'ladi

Shunday qilib, qoldiq egri chiziqning nuqtadagi teginish ustidagi ortiqcha miqdoriga teng bo'ladi. Davomiylik tufayli, agar , keyin ham uchun, nuqtaning yetarlicha kichik mahallasiga mansub va shuning uchun, aniqki, dan farq qiladigan har qanday qiymat uchun, ko'rsatilgan mahallaga tegishli.

Bu funksiya grafigi tangens ustida yotadi va egri chiziq ixtiyoriy nuqtada qavariq ekanligini bildiradi.

Adekvatlik. Egri chiziq oraliqda qavariq bo'lsin. Keling, o'zboshimchalik bilan bir nuqtani olaylik.

Avvalgisiga o'xshab, biz funksiyani Teylor seriyasidagi nuqta atrofida kengaytiramiz

Ifodasi bilan aniqlangan abtsissaga ega bo'lgan nuqtada egri chiziqning unga tegish ustidagi ortiqcha qismi tengdir.

Nuqtaning etarlicha kichik qo'shnisi uchun ortiqcha ijobiy bo'lganligi sababli, ikkinchi hosila ham ijobiydir. Biz harakat qilganimizda, biz buni o'zboshimchalik bilan topamiz .

Misol. Funksiyani qavariq (qavariq) uchun tekshiring.

Uning hosilasi butun son chizig'ida ortadi, ya'ni 1-teorema bo'yicha funktsiya bo'g'iq bo'ladi.

Uning ikkinchi hosilasi , shuning uchun 2-teorema bo'yicha funktsiya botiq bo'ladi.

3.4.2.2 Burilish nuqtalari

Ta'rif. Burilish nuqtasi Uzluksiz funksiya grafigi - bu funksiya qavariq va botiq bo'lgan oraliqlarni ajratuvchi nuqta.

Ushbu ta'rifdan kelib chiqadiki, burilish nuqtalari birinchi hosilaning ekstremum nuqtalari hisoblanadi. Bu fleksiyon uchun zarur va etarli shartlar uchun quyidagi bayonotlarni nazarda tutadi.

Teorema (burilish uchun zaruriy shart). Nuqta ikki marta differentsiallanuvchi funktsiyaning burilish nuqtasi bo'lishi uchun uning bu nuqtadagi ikkinchi hosilasi nolga teng bo'lishi kerak ( ) yoki mavjud emas edi.

Teorema (burilish uchun etarli shart). Ikki marta differentsiallanuvchi funksiyaning ikkinchi hosilasi ma’lum nuqtadan o‘tganda ishorani o‘zgartirsa, u holda burilish nuqtasi mavjud bo‘ladi.

E'tibor bering, nuqtaning o'zida ikkinchi hosila mavjud bo'lmasligi mumkin.

Burilish nuqtalarining geometrik talqini rasmda ko'rsatilgan. 3.9

Nuqtaga yaqin joyda funksiya qavariq va uning grafigi shu nuqtada chizilgan tangens ostida yotadi. Nuqtaga yaqin joyda funksiya botiq va uning grafigi shu nuqtada chizilgan tangens ustida joylashgan. Burilish nuqtasida tangens funksiya grafigini qavariq va botiq mintaqalarga ajratadi.

3.4.2.3 Funktsiyani qavariqlik va burilish nuqtalarining mavjudligi uchun tekshirish

1. Ikkinchi hosilani toping.

2. Ikkinchi hosila yoki mavjud bo‘lmagan nuqtalarni toping.

Guruch. 3.9.

3. Topilgan nuqtalarning chap va o’ng tomonidagi ikkinchi hosila belgisini o’rganing va qavariq yoki botiqlik oraliqlari va burilish nuqtalarining mavjudligi haqida xulosa chiqaring.

Misol. Funktsiyani qavariqlik va burilish nuqtalari mavjudligini tekshiring.

2. Ikkinchi hosila da nolga teng.

3. Ikkinchi hosila da belgisini o‘zgartiradi, bu nuqta burilish nuqtasi ekanligini bildiradi.

Intervalda, u holda funksiya bu oraliqda qavariq bo'ladi.

Intervalda , ya'ni funktsiya bu oraliqda konkav.

3.4.2.4 Funksiyalarni o'rganish va grafikni tuzishning umumiy sxemasi

Funktsiyani o'rganish va uning grafigini tuzishda quyidagi sxemadan foydalanish tavsiya etiladi:

Funksiyaning aniqlanish sohasini toping.
Paritet – g‘alatilik funksiyasini o‘rganing. Eslatib o‘tamiz, juft funksiya grafigi ordinata o‘qiga nisbatan simmetrik, toq funksiya grafigi esa koordinata o‘qiga nisbatan simmetrikdir.
Vertikal asimptotalarni toping.
Funktsiyaning cheksizlikdagi harakatini o'rganing, gorizontal yoki qiya asimptotalarni toping.
Funksiyaning monotonligining ekstremal va intervallarini toping.
Funksiyaning qavariqlik oraliqlarini va burilish nuqtalarini toping.
Koordinata o'qlari bilan kesishgan nuqtalarni toping.

Funktsiyani o'rganish uning grafigini qurish bilan bir vaqtda amalga oshiriladi.

Misol. Funktsiyani o'rganish va uni tuzing.

1. Funksiyaning sohasi .

2. O‘rganilayotgan funksiya juft , shuning uchun uning grafigi ordinataga nisbatan simmetrikdir.

3. Funktsiyaning maxraji da nolga tushadi, shuning uchun funksiya grafigida vertikal asimptota va .

Nuqtalar ikkinchi turdagi uzilish nuqtalaridir, chunki bu nuqtalardagi chap va o'ngdagi chegaralar ga intiladi.

4. Funksiyaning cheksizlikdagi xatti-harakati.

Shuning uchun funksiya grafigi gorizontal asimptotaga ega.

5. Ekstremal va monotonlik intervallari. Birinchi hosilani topish

Qachon, shuning uchun bu intervallarda funktsiya kamayadi.

da, shuning uchun bu intervallarda funktsiya ortadi.

da, shuning uchun nuqta muhim nuqtadir.

Ikkinchi hosilani topish

dan boshlab, u holda nuqta funktsiyaning minimal nuqtasidir.

6. Qavariq intervallari va burilish nuqtalari.

Funktsiya: , ya'ni funktsiya bu oraliqda konkav bo'ladi.

Bu oraliqlarda funksiya qavariq ekanligini bildiruvchi funksiya uchun.

Funktsiya hech qanday joyda yo'qolmaydi, ya'ni hech qanday burilish nuqtalari yo'q.

7. Koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari.

Tenglamaning yechimi bor, ya’ni funksiya grafigining ordinata o’qi bilan kesishgan nuqtasi (0, 1).

Tenglamaning yechimi yo'q, ya'ni x o'qi bilan kesishish nuqtalari yo'q.

O'tkazilgan tadqiqotlarni hisobga olgan holda, funktsiyani chizish mumkin

Funksiyaning sxematik grafigi shaklda ko'rsatilgan. 3.10.

Guruch. 3.10.

3.4.2.5 Funksiya grafigining asimptotalari

Ta'rif. Asimptot Funksiyaning grafigi, grafik nuqtasi koordinata boshidan cheksiz harakat qilganda () nuqtadan bu toʻgʻri chiziqgacha boʻlgan masofa 0 ga intiluvchi xossaga ega boʻlgan toʻgʻri chiziq deb ataladi.

Funksiyani o‘rganish va grafikni tuzishning umumiy sxemasi.
1. Qavariq va botiqlik funksiyasini o'rganish.

Funksiya grafigining asimptotalari.

Kirish.

Maktab matematika kursida siz allaqachon funksiyalar grafiklarini qurish zarurligiga duch kelgansiz. In , siz nuqta-nuqta usulidan foydalangansiz. Shuni ta'kidlash kerakki, u kontseptsiyada sodda va maqsadga nisbatan tez olib keladi. Funktsiya uzluksiz bo'lgan va juda silliq o'zgargan hollarda, bu usul grafik tasvirda kerakli darajadagi aniqlikni ta'minlashi mumkin. Buning uchun siz ularni joylashtirishning ma'lum bir zichligiga erishish uchun ko'proq ball olishingiz kerak.

Endi faraz qilaylik, ma'lum joylarda funktsiya o'zining "xulq-atvori" ning o'ziga xos xususiyatlariga ega: yoki kichik hududda uning qiymatlari keskin o'zgaradi yoki uzilishlar mavjud. Grafikning eng muhim qismlari bu tarzda aniqlanmasligi mumkin.

Bu holat grafikni qurishning "nuqta-nuqta" usulining qiymatini pasaytiradi.

Funktsiyalarni analitik o'rganishga asoslangan grafiklarni qurishning ikkinchi usuli mavjud. Bu maktab matematika kursida muhokama qilingan usul bilan ijobiy taqqoslanadi.

1. Qavariq va botiqlik funksiyasini o'rganish .

Funktsiyaga ruxsat bering
(a, b) oraliqda differensiallanadi. U holda funksiya grafigiga istalgan nuqtada tangens mavjud
bu diagramma (
), va tangens OY o'qiga parallel emas, chunki uning burchak koeffitsienti teng
, albatta.

HAQIDA
qat'iyat Biz funktsiyaning grafigini aytamiz
(a, b) ustidagi bo'shatish pastga (yuqoriga) yo'naltirilgan bo'lsa, agar u (a, b) dagi funksiya grafigiga teginish ostida bo'lmasa (yuqorida emas).

a) botiq egri chiziq b) qavariq egri chiziq

Teorema 1 (egri chiziqning konveksligi (konkavligi) uchun zaruriy shart).

Agar ikki marta differensiallanuvchi funksiyaning grafigi qavariq (qavariq) egri chiziq bo‘lsa, (a, b) oraliqdagi ikkinchi hosila shu oraliqda manfiy (musbat) bo‘ladi.

Teorema 2(egri chiziqning qavariqligi (konkavligi) uchun etarli shart).

Agar funktsiya (a, b) va da ikki marta differentsiallansa
(
) bu oraliqning barcha nuqtalarida, u holda funksiyaning grafigi bo'lgan egri chiziq bu oraliqda qavariq (qavariq) bo'ladi.

Funksiya grafigining burilish nuqtalari.

Ta'rif Nuqta
nuqtada bo'lsa, funksiya grafigining burilish nuqtasi deyiladi
grafik tangensga ega va nuqtaning shunday qo'shnisi mavjud , uning ichida nuqtaning chap va o'ng tomonidagi funksiya grafigi turli xil qavariq yo'nalishlariga ega.

HAQIDA Ko'rinib turibdiki, burilish nuqtasida tangens funksiya grafigini kesib o'tadi, chunki bu nuqtaning bir tomonida grafik tangensning ustida, ikkinchi tomonida esa uning ostida, ya'ni burilish nuqtasiga yaqin joyda joylashgan. funksiya grafigi geometrik ravishda tangensning bir tomonidan ikkinchi tomoniga o'tadi va uning ustida "egiladi". Bu erda "burilish nuqtasi" nomi kelib chiqadi.

Teorema 3(burilish nuqtasi uchun zaruriy shart). Funktsiya grafigi nuqtada burilish nuqtasiga ega bo'lsin va funktsiya nuqtada burilish nuqtasiga ega bo'lsin.

uzluksiz ikkinchi hosila. Keyin

.
Har bir nuqta burilish nuqtasi bo'lavermaydi. Masalan, funksiya grafigi

(0, 0) da burilish nuqtasi yo'q, garchi

. Demak, ikkinchi hosilaning nolga tengligi faqat burilish uchun zaruriy shartdir.

U chaqirilgan grafik nuqtalari tanqidiy nuqtalarII-shaharlar. Har bir muhim nuqtada burilishlar mavjudligi haqidagi savolni qo'shimcha tekshirish kerak.

Teorema 4(burilish nuqtasi uchun etarli shart). Funktsiya nuqtaning qaysidir qo'shnisida ikkinchi hosilaga ega bo'lsin. Keyin, agar belgilangan mahalla ichida bo'lsa
nuqtaning chap va o'ng tomonida turli xil belgilar mavjud, keyin grafik nuqtada burilishga ega.
Izoh. Agar teorema to'g'ri bo'lib qoladi
nuqtaning o'zi bundan mustasno, nuqtaning ba'zi qo'shnilarida ikkinchi hosilaga ega va nuqtadagi funktsiya grafigiga teginish mavjud.
. So'ngra, agar ko'rsatilgan mahalla ichida nuqtaning chap va o'ng tomonida turli xil belgilar mavjud bo'lsa, u holda funktsiya grafigi nuqtada burilishga ega.
Qavariqlik, botiqlik va burilish nuqtalari uchun funktsiyani o'rganish sxemasi.

Misol. Funktsiyani o'rganish
qavariqlik, botiqlik, burilish nuqtalari uchun.
1.

2.
,
=

3. qachon mavjud emas

)	1	(1, +)
-		+
	1

Funksiya grafigining asimptotalari.

Funktsiyaning harakatini o'rganayotganda
yoki 2-turdagi uzilish nuqtalari yaqinida, ko'pincha funktsiya grafigi har qanday berilgan chiziqqa kerakli darajada yaqinlashishi aniq bo'ladi. Bu to'g'ri chiziqlar deyiladi.

HAQIDA ta'rif 1. Streyt

Agar nuqta egri chiziq bo‘ylab cheksizlikka qarab uzoqlashganda egri chiziqdagi nuqtadan bu chiziqgacha bo‘lgan masofa nolga intilsa, L egri chizig‘ining asimptotasi deyiladi. Asimptotalarning uch turi mavjud: vertikal, gorizontal, qiya.

Ta'rif 2. Streyt
funktsiya grafigining vertikal asimptoti deyiladi, agar bir tomonlama chegaralardan kamida bittasi teng bo'lsa.
, ya'ni yoki

Masalan, funksiya grafigi
vertikal asimptotaga ega
, chunki
, A
.

Ta'rif 3. y=A to‘g‘ri chiziq funksiya grafigining gorizontal asimptoti deyiladi

Agar

Masalan, funksiya grafigi gorizontal asimptota y=0 ga ega, chunki
.

Ta'rif 4. Streyt

(

) funksiya grafigining qiya asimptotasi deyiladi

Agar

;

Agar chegaralardan kamida bittasi mavjud bo'lmasa, egri chiziqning asimptotalari yo'q. Agar, u holda biz bu chegaralarni va bilan alohida izlashimiz kerak
.

Masalan. Funksiya grafigining asimptotalarini toping

; x=0 – vertikal asimptota

;
.

- qiya asimptota.
4. Funksiyani to‘liq o‘rganish sxemasi va grafigini tuzish.

Keling, taxminiy diagrammani ko'rib chiqaylik, unga ko'ra funktsiyaning harakatini o'rganish va uning grafigini qurish tavsiya etiladi.

Misol. Funktsiyani o'rganish

va uni tuzing.

1. x=-1 dan tashqari.

2.
funksiya juft ham, toq ham emas

-

-

+

+

y

-4

t r.

0

Xulosa.
Ko'rib chiqilayotgan usulning muhim xususiyati shundaki, u birinchi navbatda egri chiziqning xatti-harakatlaridagi xarakterli xususiyatlarni aniqlash va o'rganishga asoslangan. Funktsiya muammosiz o'zgarib turadigan joylar alohida batafsil o'rganilmaydi va bunday o'rganishga hojat yo'q. Ammo funktsiyaning xatti-harakatlarida har qanday o'ziga xos xususiyatlarga ega bo'lgan joylar to'liq tadqiq qilinadi va eng aniq grafik tasvirga ega. Bu xususiyatlar funksiyaning maksimal, minimal nuqtalari, uzilish nuqtalari va boshqalar.

Konkavlik va burilish yo'nalishini, shuningdek, asimptotalarni topishning belgilangan usulini aniqlash funktsiyalarni yanada batafsil o'rganish va ularning grafiklari haqida aniqroq tasavvurga ega bo'lish imkonini beradi.

Ko'rsatmalar

Funksiyaning burilish nuqtalari birinchi navbatda topilishi kerak bo'lgan ta'rif sohasiga tegishli bo'lishi kerak. Funksiya grafigi uzluksiz yoki uzilishlarga ega, monoton kamayishi yoki ortishi, minimal yoki maksimal nuqtalari (asimptotalari), qavariq yoki botiq bolishi mumkin bolgan chiziqdir. Oxirgi ikki holatdagi keskin o'zgarish burilish nuqtasi deb ataladi.

Funksiyaning burilish mavjudligining zaruriy sharti ikkinchisining nolga tengligidir. Shunday qilib, funktsiyani ikki marta farqlash va olingan ifodani nolga tenglashtirish orqali biz mumkin bo'lgan burilish nuqtalarining abssissasini topishimiz mumkin.

Bu holat funktsiya grafigining qavariqlik va konkavlik xususiyatlarini aniqlashdan kelib chiqadi, ya'ni. ikkinchi hosilaning salbiy va ijobiy qiymatlari. Burilish nuqtasida bu xususiyatlarning keskin o'zgarishi kuzatiladi, ya'ni hosila nol belgisidan o'tadi. Biroq, nolga teng bo'lish burilishni ko'rsatish uchun hali etarli emas.

Oldingi bosqichda topilgan abtsissaning burilish nuqtasiga tegishli ekanligiga ikkita shart yetarli: Bu nuqta orqali funksiyaga teginish chizish mumkin. Ikkinchi hosila taxmin qilingan burilish nuqtasining o'ng va chap tomonida turli xil belgilarga ega. Demak, uning nuqtada mavjudligi shart emas, uning belgisi o'zgarishini aniqlash kifoya.Funktsiyaning ikkinchi hosilasi nolga teng, uchinchisi esa yo'q.

Birinchi etarli shart universaldir va boshqalarga qaraganda tez-tez ishlatiladi. Tasviriy misolni ko'rib chiqing: y = (3 x + 3) ∛(x - 5).

Yechish: Ta’rif sohasini toping. Bu holda hech qanday cheklovlar yo'q, shuning uchun bu haqiqiy sonlarning butun maydoni. Birinchi hosilani hisoblang: y’ = 3 ∛(x - 5) + (3 x + 3)/∛(x - 5)².

Fraksiyaning ko'rinishiga e'tibor bering. Bundan kelib chiqadiki, hosilaning ta'rif sohasi cheklangan. X = 5 nuqtasi teshilgan, ya'ni u orqali tangens o'tishi mumkin, bu qisman etarli burilishning birinchi belgisiga mos keladi.

X → 5 – 0 va x → 5 + 0 uchun natijaviy ifoda uchun bir tomonlama chegaralarni aniqlang. Ular -∞ va +∞. Vertikal tangens x=5 nuqtadan o'tishini isbotladingiz. Bu nuqta burilish nuqtasi bo'lishi mumkin, lekin birinchi navbatda ikkinchi hosilani hisoblang: Y'' = 1/∛(x - 5)² + 3/∛(x - 5)² – 2/3 (3 x + 3)/∛ (x - 5)^5 = (2 x – 22)/∛(x - 5)^5.

Maxrajni tashlab qo'ying, chunki siz allaqachon x = 5 nuqtasini hisobga olgansiz. 2 x – 22 = 0 tenglamani yeching. Uning bitta ildizi bor x = 11. Oxirgi qadam x = 5 va x = 11 nuqtalari burilish nuqtalari ekanligini tasdiqlashdir. Ikkinchi hosilaning ularning yaqinidagi xatti-harakatlarini tahlil qiling. Shubhasiz, x = 5 nuqtada u "+" dan "-" ga ishorani o'zgartiradi va x = 11 nuqtada - aksincha. Xulosa: ikkala nuqta ham burilish nuqtasidir. Birinchi yetarli shart bajariladi.