Tele2 bo'yicha yordam, tariflar, savollar

tengsizlik yechimi rejimida onlayn yechim deyarli har qanday tengsizlik onlayn. Matematik Internetdagi tengsizliklar matematikani yechish uchun. Tez toping tengsizlik yechimi rejimida onlayn. Veb-sayt www.site sizga topish imkonini beradi yechim deyarli har qanday berilgan algebraik, trigonometrik yoki onlayn transsendental tengsizlik. Matematikaning deyarli har qanday sohasini turli bosqichlarda o'rganishda siz qaror qabul qilishingiz kerak Internetdagi tengsizliklar. Darhol javob olish va eng muhimi, aniq javob olish uchun sizga buni amalga oshirish imkonini beruvchi resurs kerak. www.site sayti uchun rahmat tengsizlikni onlayn hal qilish bir necha daqiqa vaqt oladi. Matematikani yechishda www.saytning asosiy afzalligi Internetdagi tengsizliklar- bu taqdim etilgan javobning tezligi va aniqligi. Sayt har qanday narsani hal qila oladi onlayn algebraik tengsizliklar, onlayn trigonometrik tengsizliklar, onlayn transsendental tengsizliklar, shuningdek tengsizliklar rejimida noma'lum parametrlar bilan onlayn. Tengsizliklar kuchli matematik apparat bo‘lib xizmat qiladi yechimlar amaliy muammolar. Yordam bilan matematik tengsizliklar birinchi qarashda chalkash va murakkab ko‘rinadigan fakt va munosabatlarni ifodalash mumkin. Noma'lum miqdorlar tengsizliklar da muammoni shakllantirish orqali topish mumkin matematik shakldagi til tengsizliklar Va qaror rejimda qabul qilingan vazifa onlayn www.site veb-saytida. Har qanday algebraik tengsizlik, trigonometrik tengsizlik yoki tengsizliklar o'z ichiga olgan transsendental xususiyatlarni osongina topishingiz mumkin qaror onlayn va aniq javobni oling. Tabiiy fanlarni o'rganayotganda siz muqarrar ravishda ehtiyojga duch kelasiz tengsizliklarning yechimlari. Bunday holda, javob aniq bo'lishi kerak va darhol rejimda olinishi kerak onlayn. Shuning uchun uchun onlayn matematik tengsizliklarni yechish Sizning ajralmas kalkulyatoringizga aylanadigan www.site saytini tavsiya qilamiz algebraik tengsizliklarni onlayn yechish, onlayn trigonometrik tengsizliklar, shuningdek onlayn transsendental tengsizliklar yoki tengsizliklar noma'lum parametrlar bilan. Turli xil onlayn echimlarni topishning amaliy muammolari uchun matematik tengsizliklar resurs www.. Yechish Internetdagi tengsizliklar o'zingizdan foydalanib, olingan javobni tekshirish foydali bo'ladi tengsizliklarni onlayn hal qilish www.site veb-saytida. Siz tengsizlikni to'g'ri yozishingiz va darhol olishingiz kerak onlayn yechim, shundan so'ng javobni tengsizlikka yechimingiz bilan solishtirish qoladi. Javobni tekshirish bir daqiqadan ko'proq vaqtni oladi, bu etarli tengsizlikni onlayn hal qilish va javoblarni solishtiring. Bu sizga xatolardan qochishga yordam beradi qaror va javobni o'z vaqtida to'g'rilang tengsizliklarni onlayn hal qilish yoki algebraik, trigonometrik, transsendental yoki tengsizlik noma'lum parametrlar bilan.

Masalan, tengsizlik \(x>5\) ifodasidir.

Tengsizliklar turlari:

Agar \(a\) va \(b\) raqamlar yoki bo'lsa, tengsizlik deyiladi raqamli. Bu aslida ikkita raqamni solishtirish. Bunday tengsizliklar bo'linadi sodiq Va bevafo.

Masalan:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) notoʻgʻri sonli tengsizlik, chunki \(17+3=20\) va \(20\) \(115\) dan kichik (va dan katta yoki teng emas) .

Agar \(a\) va \(b\) o'zgaruvchini o'z ichiga olgan iboralar bo'lsa, bizda bor o'zgaruvchi bilan tengsizlik. Bunday tengsizliklar mazmuniga ko'ra turlarga bo'linadi:

Tengsizlikning yechimi qanday?

Agar o'zgaruvchi o'rniga raqamni tengsizlikka almashtirsangiz, u songa aylanadi.

Agar x uchun berilgan qiymat dastlabki tengsizlikni haqiqiy songa aylantirsa, u deyiladi tengsizlikning yechimi. Agar yo'q bo'lsa, unda bu qiymat yechim emas. Va uchun tengsizlikni yechish- uning barcha yechimlarini topishingiz kerak (yoki yo'qligini ko'rsatish).

Masalan, agar \(7\) sonni chiziqli tengsizlikka \(x+6>10\) almashtirsak, to‘g‘ri sonli tengsizlik hosil bo‘ladi: \(13>10\). Va agar \(2\) o'rniga qo'ysak, noto'g'ri sonli tengsizlik \(8>10\) bo'ladi. Ya'ni, \(7\) asl tengsizlikning yechimidir, lekin \(2\) emas.

Biroq \(x+6>10\) tengsizlik boshqa yechimlarga ega. Haqiqatan ham, \(5\) va \(12\) va \(138\) oʻrniga qoʻyilganda toʻgʻri sonli tengsizliklarni olamiz... Va qanday qilib barcha mumkin boʻlgan yechimlarni topish mumkin? Buning uchun ular foydalanadilar Bizning holatimizda:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Ya'ni, to'rtdan katta har qanday raqam bizga mos keladi. Endi siz javobni yozishingiz kerak. Tengsizliklarning yechimlari, qoida tariqasida, raqamlar o'qi bo'yicha qo'shimcha ravishda soya bilan belgilab, raqamlar bilan yoziladi. Bizning holatlarimiz uchun bizda:

Javob: \(x\in(4;+\infty)\)

Tengsizlik belgisi qachon o'zgaradi?

Talabalar haqiqatan ham tushib qolishni "sevadigan" tengsizliklarda bitta katta tuzoq bor:

Tengsizlikni manfiy songa ko'paytirishda (yoki bo'lishda) u teskari ("ko'p" "kam", "ko'p yoki teng" "kichik yoki teng" va boshqalar) teskari bo'ladi.

Nima uchun bu sodir bo'lmoqda? Buni tushunish uchun \(3>1\) sonli tengsizlikning o'zgarishlarini ko'rib chiqamiz. To'g'ri, uchtasi bittadan katta. Birinchidan, uni har qanday ijobiy raqamga ko'paytirishga harakat qilaylik, masalan, ikkita:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Ko'rib turganimizdek, ko'paytirishdan keyin tengsizlik haqiqat bo'lib qoladi. Va biz qanday ijobiy sonni ko'paytirmasin, biz doimo to'g'ri tengsizlikni olamiz. Endi manfiy songa ko'paytirishga harakat qilaylik, masalan, minus uchta:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Natijada noto'g'ri tengsizlik, chunki minus to'qqiz minus uchdan kam! Ya'ni, tengsizlik to'g'ri bo'lishi uchun (shuning uchun ko'paytirishning manfiyga o'zgarishi "qonuniy" edi), siz taqqoslash belgisini teskari qilishingiz kerak, masalan: \(-9<− 3\).
Bo'linish bilan u xuddi shunday ishlaydi, uni o'zingiz tekshirishingiz mumkin.

Yuqorida yozilgan qoida faqat sonli tengsizliklarga emas, balki barcha turdagi tengsizliklarga tegishli.

Javob: \(x\in(-1;\infty)\)

Tengsizlik va nogironlik

Tengsizliklar, xuddi tenglamalar kabi, , ya'ni x qiymatlari bo'yicha cheklovlarga ega bo'lishi mumkin. Shunga ko'ra, DZ bo'yicha qabul qilinishi mumkin bo'lmagan qiymatlar echimlar qatoridan chiqarib tashlanishi kerak.

Misol: Tengsizlikni yeching \(\sqrt(x+1)<3\)

Yechim: Ko'rinib turibdiki, chap tomon \(3\) dan kichik bo'lishi uchun radikal ifoda \(9\) dan kichik bo'lishi kerak (axir, \(9\) dan faqat \(3\)). Biz olamiz:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)

Hammasi? X ning \(8\) dan kichik har qanday qiymati bizga mos keladimi? Yo'q! Chunki, masalan, talabga mos keladigan \(-5\) qiymatini olsak, bu asl tengsizlikning yechimi bo'lmaydi, chunki u bizni manfiy sonning ildizini hisoblashga olib keladi.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Shuning uchun biz X qiymatidagi cheklovlarni ham hisobga olishimiz kerak - bu ildiz ostida salbiy raqam bo'lishi mumkin emas. Shunday qilib, bizda x uchun ikkinchi talab mavjud:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

Va x yakuniy yechim bo'lishi uchun u bir vaqtning o'zida ikkala talabni ham qondirishi kerak: u \(8\) dan kichik (yechim bo'lishi uchun) va \(-1\) dan katta bo'lishi kerak (printsipial jihatdan maqbul bo'lishi uchun). Buni raqamlar qatorida chizib, biz yakuniy javobni olamiz:

Javob: \(\chap[-1;8\o'ng)\)

Diqqat!
Qo'shimchalar mavjud
555-sonli maxsus bo'limdagi materiallar.
Juda "juda emas ..." bo'lganlar uchun
Va "juda ..." bo'lganlar uchun)

Nima bo'ldi "kvadrat tengsizlik"? Savol yo'q!) Agar olsangiz har qanday kvadrat tenglama va undagi belgini almashtiring "=" (teng) har qanday tengsizlik belgisiga ( > ≥ < ≤ ≠ ), kvadrat tengsizlikni olamiz. Masalan:

1. x 2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x 2 ≤ 4

Xo'sh, tushunasiz ...)

Bu yerda tenglamalar va tengsizliklarni bog‘laganim bejiz emas. Gap shundaki, hal qilishda birinchi qadam har qanday kvadratik tengsizlik - bu tengsizlik tuzilgan tenglamani yeching. Shu sababli, kvadrat tenglamalarni yechishning mumkin emasligi avtomatik ravishda tengsizliklarda to'liq muvaffaqiyatsizlikka olib keladi. Maslahat aniqmi?) Agar biror narsa bo'lsa, har qanday kvadrat tenglamalarni qanday yechish kerakligini ko'rib chiqing. U erda hamma narsa batafsil tasvirlangan. Va bu darsda biz tengsizliklar bilan shug'ullanamiz.

Yechish uchun tayyor tengsizlik quyidagi ko'rinishga ega: chap - kvadratik trinomial ax 2 +bx+c, o'ngda - nol. Tengsizlik belgisi mutlaqo har qanday bo'lishi mumkin. Birinchi ikkita misol bu erda qaror qabul qilishga allaqachon tayyor. Uchinchi misol hali tayyorlanishi kerak.

Agar sizga bu sayt yoqsa...

Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)

Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan sinov. Keling, o'rganamiz - qiziqish bilan!)

Funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.

Bugun, do'stlar, snot yoki sentimentallik bo'lmaydi. Buning o'rniga, men sizni hech qanday savolsiz, 8-9-sinf algebra kursidagi eng dahshatli raqiblardan biri bilan jangga yuboraman.

Ha, siz hamma narsani to'g'ri tushundingiz: biz modulli tengsizliklar haqida gapiramiz. Biz to'rtta asosiy texnikani ko'rib chiqamiz, ular yordamida siz bunday muammolarning 90% ni hal qilishni o'rganasiz. Qolgan 10% haqida nima deyish mumkin? Xo'sh, biz ular haqida alohida darsda gaplashamiz. :)

Biroq, har qanday texnikani tahlil qilishdan oldin, siz allaqachon bilishingiz kerak bo'lgan ikkita faktni eslatib o'tmoqchiman. Aks holda, bugungi dars materialini umuman tushunmaslik xavfi bor.

Siz allaqachon bilishingiz kerak bo'lgan narsa

Kapitan Obviousness modulli tengsizliklarni hal qilish uchun siz ikkita narsani bilishingiz kerakligini ko'rsatmoqda:

1. Tengsizliklar qanday hal qilinadi;
2. Modul nima?

Ikkinchi nuqtadan boshlaylik.

Modul ta'rifi

Bu erda hamma narsa oddiy. Ikkita ta'rif mavjud: algebraik va grafik. Boshlash uchun - algebraik:

Ta'rif. $x$ sonining moduli yo manfiy boʻlmasa, uning oʻzi yoki agar asl $x$ hali ham manfiy boʻlsa, unga qarama-qarshi sondir.

Bu shunday yozilgan:

\[\chap| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \o'ng.\]

Oddiy so'zlar bilan aytganda, modul "minussiz raqam" dir. Va aynan shu ikkilik (ba'zi joylarda siz asl raqam bilan hech narsa qilishingiz shart emas, boshqalarida esa qandaydir minusni olib tashlashingiz kerak), bu erda boshlang'ich talabalar uchun barcha qiyinchilik yotadi.

Geometrik ta'rif ham mavjud. Buni bilish ham foydalidir, lekin biz unga faqat murakkab va ba'zi maxsus holatlarda murojaat qilamiz, bu erda geometrik yondashuv algebraikdan ko'ra qulayroqdir (spoiler: bugungi kunda emas).

Ta'rif. Raqamlar qatorida $a$ nuqtasi belgilansin. Keyin modul $\left| x-a \right|$ - bu chiziqdagi $x$ nuqtadan $a$ nuqtagacha bo'lgan masofa.

Agar siz rasm chizsangiz, siz shunga o'xshash narsani olasiz:

Qanday bo'lmasin, modulning ta'rifidan uning asosiy xususiyati darhol kelib chiqadi: sonning moduli har doim manfiy bo'lmagan miqdordir. Bu haqiqat bizning bugungi hikoyamiz orqali qizil ip bo'ladi.

Tengsizliklarni yechish. Intervalli usul

Endi tengsizliklarni ko'rib chiqaylik. Ularning ko'pchiligi bor, ammo bizning vazifamiz hech bo'lmaganda eng oddiyini hal qilishdir. Chiziqli tengsizliklarga, shuningdek, interval usuliga qisqartiruvchilar.

Menda ushbu mavzu bo'yicha ikkita katta saboq bor (Aytgancha, juda, juda foydali - men ularni o'rganishni tavsiya qilaman):

1. Tengsizliklar uchun intervalli usul (ayniqsa, videoni tomosha qiling);
2. Kasrli ratsional tengsizliklar - bu juda keng ko'lamli dars, ammo undan keyin sizda hech qanday savol bo'lmaydi.

Agar siz bularning barchasini bilsangiz, agar "tengsizlikdan tenglamaga o'tamiz" iborasi o'zingizni devorga urish istagini uyg'otmasa, unda siz tayyorsiz: darsning asosiy mavzusiga do'zaxga xush kelibsiz :).

1. “Modul funksiyadan kichik” shaklidagi tengsizliklar

Bu modullar bilan bog'liq eng keng tarqalgan muammolardan biridir. Shaklning tengsizligini yechish uchun talab qilinadi:

\[\chap| f\o'ng| \ltg\]

$f$ va $g$ funktsiyalari har qanday bo'lishi mumkin, lekin odatda ular polinomlardir. Bunday tengsizliklarga misollar:

\[\begin(align) & \left| 2x+3 \o'ng| \lt x+7; \\ & \chap| ((x)^(2))+2x-3 \o'ng|+3\chap(x+1 \o'ng) \lt 0; \\ & \chap| ((x)^(2))-2\chap| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end(tuzalash)\]

Ularning barchasini quyidagi sxema bo'yicha bir qatorda tom ma'noda hal qilish mumkin:

\[\chap| f\o'ng| \lt g\O'ng strelka -g \lt f \lt g\to'rt \chap (\O'ng strelka \chap\( \boshlang(hizalang) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(tekislang) \o'ng.\o'ng)\]

Biz moduldan xalos bo'lganimizni ko'rish oson, lekin buning evaziga biz qo'shaloq tengsizlikni olamiz (yoki bir xil narsa, ikkita tengsizlik tizimi). Ammo bu o'tish mutlaqo barcha mumkin bo'lgan muammolarni hisobga oladi: agar modul ostidagi raqam ijobiy bo'lsa, usul ishlaydi; salbiy bo'lsa, u hali ham ishlaydi; va hatto $f$ yoki $g$ oʻrniga eng noadekvat funksiya bilan ham usul ishlaydi.

Tabiiyki, savol tug'iladi: oddiyroq bo'lishi mumkin emasmi? Afsuski, bu mumkin emas. Bu modulning butun nuqtasi.

Biroq, falsafalash bilan kifoya. Keling, bir nechta muammolarni hal qilaylik:

Vazifa. Tengsizlikni yeching:

\[\chap| 2x+3 \o'ng| \lt x+7\]

Yechim. Shunday qilib, bizning oldimizda "modul kamroq" shaklidagi klassik tengsizlik bor - hatto o'zgartirish uchun hech narsa yo'q. Biz algoritmga muvofiq ishlaymiz:

\[\begin(align) & \left| f\o'ng| \lt g\O'ng strelka -g \lt f \lt g; \\ & \chap| 2x+3 \o'ng| \lt x+7\O'ng strelka -\chap(x+7 \o'ng) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(hizalang)\]

Oldindan "minus" qo'yilgan qavslarni ochishga shoshilmang: shoshqaloqligingiz tufayli siz haqoratli xatoga yo'l qo'yishingiz mumkin.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(hizalang) \o'ng.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \o'ngga.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \o'ng.\]

Muammo ikkita elementar tengsizlikka qisqartirildi. Parallel sonlar toʻgʻrida ularning yechimlarini koʻrsatamiz:

Ko'pchilikning kesishishi

Bu to'plamlarning kesishishi javob bo'ladi.

Javob: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Vazifa. Tengsizlikni yeching:

\[\chap| ((x)^(2))+2x-3 \o'ng|+3\chap(x+1 \o'ng) \lt 0\]

Yechim. Bu vazifa biroz qiyinroq. Birinchidan, ikkinchi atamani o'ngga siljitish orqali modulni ajratib olaylik:

\[\chap| ((x)^(2))+2x-3 \o'ng| \lt -3\chap(x+1 \o'ng)\]

Shubhasiz, bizda yana "modul kichikroq" ko'rinishidagi tengsizlik mavjud, shuning uchun biz allaqachon ma'lum bo'lgan algoritm yordamida moduldan xalos bo'lamiz:

\[-\left(-3\left(x+1 \o'ng) \o'ng) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\chap(x+1 \o'ng)\]

Endi e'tibor bering: kimdir mana shu qavslar bilan men biroz buzuqman, deb aytadi. Lekin yana bir bor eslatib o'tamanki, bizning asosiy maqsadimiz tengsizlikni to‘g‘ri yeching va javobini oling. Keyinchalik, ushbu darsda tasvirlangan hamma narsani mukammal o'zlashtirganingizdan so'ng, uni o'zingiz xohlaganingizcha buzishingiz mumkin: qavslarni oching, minuslarni qo'shing va hokazo.

Boshlash uchun biz chap tarafdagi ikkita minusdan xalos bo'lamiz:

\[-\left(-3\left(x+1 \o'ng) \o'ng)=\left(-1 \o'ng)\cdot \left(-3 \o'ng)\cdot \left(x+1 \o'ng) =3\chap(x+1 \o'ng)\]

Endi juft tengsizlikdagi barcha qavslarni ochamiz:

Keling, qo'sh tengsizlikka o'tamiz. Bu safar hisob-kitoblar jiddiyroq bo'ladi:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(tekislash) \o'ngga.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( tekislang)\o'ng.\]

Ikkala tengsizlik kvadratik bo'lib, intervalli usul yordamida yechilishi mumkin (shuning uchun men aytaman: agar bu nima ekanligini bilmasangiz, modullarni hali qabul qilmaganingiz ma'qul). Birinchi tengsizlikdagi tenglamaga o'tamiz:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \o'ng)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(tekislash)\]

Ko'rib turganingizdek, chiqish elementar usulda echilishi mumkin bo'lgan to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamadir. Endi sistemaning ikkinchi tengsizligini ko'rib chiqamiz. U erda siz Vyeta teoremasini qo'llashingiz kerak bo'ladi:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \o'ng)\left(x+2 \o'ng)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(tekislash)\]

Olingan raqamlarni ikkita parallel chiziqda belgilaymiz (birinchi tengsizlik uchun alohida, ikkinchisi uchun alohida):

Shunga qaramay, biz tengsizliklar tizimini yechayotganimiz sababli, bizni soyali to'plamlarning kesishishi qiziqtiradi: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Bu javob.

Javob: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Menimcha, ushbu misollardan keyin yechim sxemasi juda aniq:

1. Boshqa barcha shartlarni tengsizlikning qarama-qarshi tomoniga o'tkazish orqali modulni ajratib oling. Shunday qilib, $\left| ko'rinishdagi tengsizlikni olamiz f\o'ng| \ltg$.
2. Ushbu tengsizlikni yuqorida tavsiflangan sxema bo'yicha moduldan qutulish orqali hal qiling. Bir nuqtada, qo'shaloq tengsizlikdan ikkita mustaqil ifoda tizimiga o'tish kerak bo'ladi, ularning har biri allaqachon alohida yechilishi mumkin.
3. Va nihoyat, bu ikkita mustaqil iboraning yechimlarini kesishish qoladi - va biz yakuniy javobni olamiz.

Modul funktsiyadan katta bo'lsa, xuddi shunday algoritm quyidagi turdagi tengsizliklar uchun mavjud. Biroq, bir nechta jiddiy "lekin" bor. Biz hozir bu "lekin" haqida gaplashamiz.

2. “Moduli funksiyadan katta” shaklidagi tengsizliklar.

Ular shunday ko'rinadi:

\[\chap| f\o'ng| \gtg\]

Avvalgisiga o'xshashmi? Ga o'xshaydi. Va shunga qaramay, bunday muammolar butunlay boshqacha tarzda hal qilinadi. Rasmiy ravishda, sxema quyidagicha:

\[\chap| f\o'ng| \gt g\O'ng strelka \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(hizalang) \o'ng.\]

Boshqacha qilib aytganda, biz ikkita holatni ko'rib chiqamiz:

1. Birinchidan, biz oddiygina modulni e'tiborsiz qoldiramiz va odatdagi tengsizlikni hal qilamiz;
2. Keyin, mohiyatiga ko'ra, biz modulni minus belgisi bilan kengaytiramiz va keyin tengsizlikning ikkala tomonini -1 ga ko'paytiramiz, menda esa ishora bor.

Bunday holda, variantlar kvadrat qavs bilan birlashtiriladi, ya'ni. Bizning oldimizda ikkita talabning kombinatsiyasi mavjud.

Yana bir bor e'tibor bering: bu tizim emas, balki butunlikdir javobda to'plamlar kesishgan emas, balki birlashtirilgan. Bu avvalgi nuqtadan tubdan farq qiladi!

Umuman olganda, ko'plab talabalar kasaba uyushmalari va chorrahalar bilan aralashib ketishadi, shuning uchun keling, bu masalani bir marta va umuman hal qilaylik:

• "∪" - ittifoq belgisi. Aslida, bu bizga ingliz tilidan kelgan va "Union" ning qisqartmasi bo'lgan stilize qilingan "U" harfi, ya'ni. "Assotsiatsiyalar".
• "∩" - kesishish belgisi. Bu axlat hech qayerdan kelmadi, balki shunchaki "∪" ga qarshi nuqta sifatida paydo bo'ldi.

Eslab qolish osonroq bo'lishi uchun ko'zoynak yasash uchun oyoqlarini shu belgilarga torting (meni endi giyohvandlik va alkogolizmni targ'ib qilishda ayblamang: agar siz ushbu darsni jiddiy o'rganayotgan bo'lsangiz, demak siz allaqachon giyohvandsiz):

Rus tiliga tarjima qilinganda, bu quyidagilarni anglatadi: birlashma (jami) ikkala to'plamning elementlarini o'z ichiga oladi, shuning uchun u ularning har biridan kam emas; lekin kesishma (tizim) faqat birinchi to'plamda ham, ikkinchisida ham bir vaqtning o'zida bo'lgan elementlarni o'z ichiga oladi. Shuning uchun to'plamlarning kesishishi hech qachon manba to'plamlaridan katta bo'lmaydi.

Shunday qilib, aniqroq bo'ldimi? Bu ajoyib. Keling, amaliyotga o'tamiz.

Vazifa. Tengsizlikni yeching:

\[\chap| 3x+1 \o'ng| \gt 5-4x\]

Yechim. Biz sxema bo'yicha harakat qilamiz:

\[\chap| 3x+1 \o'ng| \gt 5-4x\O'ng strelka \chap[ \begin(hizala) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \o'ng) \\\end(hizalang) \ to'g'ri.\]

Populyatsiyadagi har bir tengsizlikni hal qilamiz:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(hizalang) \o'ngga.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \o'ng.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(hizala) \o'ng.\]

Biz har bir natija to'plamini raqamlar qatorida belgilaymiz va keyin ularni birlashtiramiz:

To'plamlar ittifoqi

Javob $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$ bo'lishi aniq.

Javob: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Vazifa. Tengsizlikni yeching:

\[\chap| ((x)^(2))+2x-3 \o'ng| \gt x\]

Yechim. Nima bopti? Hech narsa - hammasi bir xil. Biz modulli tengsizlikdan ikkita tengsizliklar to'plamiga o'tamiz:

\[\chap| ((x)^(2))+2x-3 \o'ng| \gt x\O'ng strelka \left[ \begin(hizala) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(tekislash) \o'ngga.\]

Biz har bir tengsizlikni hal qilamiz. Afsuski, u erda ildizlar juda yaxshi bo'lmaydi:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(tekislash)\]

Ikkinchi tengsizlik ham biroz yovvoyi:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(tekislash)\]

Endi siz bu raqamlarni ikkita o'qda belgilashingiz kerak - har bir tengsizlik uchun bitta o'q. Biroq, siz nuqtalarni to'g'ri tartibda belgilashingiz kerak: raqam qanchalik katta bo'lsa, nuqta o'ngga o'tadi.

Va bu erda bizni sozlash kutmoqda. Agar $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ raqamlari bilan hamma narsa aniq bo'lsa (birinchi raqamdagi shartlar) kasr sekundning numeratoridagi hadlardan kichik, shuning uchun yig'indi ham kichik bo'ladi), $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt) raqamlari bilan (21))(2)$ ham hech qanday qiyinchiliklar bo'lmaydi (ijobiy raqam aniqroq salbiy), keyin oxirgi juftlik bilan hamma narsa unchalik aniq emas. Qaysi biri kattaroq: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ yoki $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Raqamli chiziqlardagi nuqtalarning joylashishi va aslida javob bu savolga javobga bog'liq bo'ladi.

Shunday qilib, taqqoslaylik:

\[\begin(matritsa) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matritsa)\]

Biz ildizni ajratib oldik, tengsizlikning ikkala tomonida manfiy bo'lmagan raqamlarni oldik, shuning uchun biz ikkala tomonni kvadratga solish huquqiga egamiz:

\[\begin(matritsa) ((\left(2+\sqrt(13) \o'ng))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \o'ng))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matritsa)\]

Menimcha, $4\sqrt(13) \gt 3$, shuning uchun $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$ bo'lsa, o'qlardagi yakuniy nuqtalar quyidagicha joylashtiriladi:

Xunuk ildizlar ishi

Sizga eslatib o'tamanki, biz to'plamni hal qilyapmiz, shuning uchun javob soyali to'plamlarning kesishmasi emas, balki birlashma bo'ladi.

Javob: $x\in \left(-\infty;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2) );+\infty \right)$

Ko'rib turganingizdek, bizning sxemamiz oddiy va juda qiyin muammolar uchun juda yaxshi ishlaydi. Ushbu yondashuvdagi yagona "zaif nuqta" shundaki, siz irratsional sonlarni to'g'ri taqqoslashingiz kerak (va menga ishoning: bu nafaqat ildizlar). Ammo taqqoslash masalalariga alohida (va juda jiddiy) dars ajratiladi. Va biz davom etamiz.

3. Salbiy bo'lmagan "dumlar" bilan tengsizliklar

Endi biz eng qiziqarli qismga o'tamiz. Bu shakldagi tengsizliklar:

\[\chap| f\o'ng| \gt \left| g\o'ng|\]

Umuman olganda, biz hozir gaplashadigan algoritm faqat modul uchun to'g'ri. U chap va o'ngda kafolatlangan salbiy bo'lmagan ifodalar mavjud bo'lgan barcha tengsizliklarda ishlaydi:

Bu vazifalar bilan nima qilish kerak? Faqat esda tuting:

Salbiy bo'lmagan "quyruq" bilan tengsizliklarda ikkala tomon ham har qanday tabiiy kuchga ko'tarilishi mumkin. Hech qanday qo'shimcha cheklovlar bo'lmaydi.

Avvalo, biz kvadratlashtirishga qiziqamiz - u modullar va ildizlarni yoqib yuboradi:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\ chap (\ sqrt (f) \ o'ng)) ^ (2)) = f. \\\end(tekislash)\]

Buni kvadratning ildizini olish bilan adashtirmang:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\chap| f \right|\ne f\]

Talaba modul o'rnatishni unutganida son-sanoqsiz xatolarga yo'l qo'yildi! Ammo bu butunlay boshqacha hikoya (bular, go'yo irratsional tenglamalar), shuning uchun biz hozir bunga kirmaymiz. Keling, bir nechta muammolarni yaxshiroq hal qilaylik:

Vazifa. Tengsizlikni yeching:

\[\chap| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \o'ng|\]

Yechim. Keling, darhol ikkita narsaga e'tibor beraylik:

1. Bu qat'iy tengsizlik emas. Raqam chizig'idagi nuqtalar teshiladi.
2. Tengsizlikning ikkala tomoni ham manfiy emas (bu modulning xususiyati: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Shunday qilib, moduldan xalos bo'lish va muammoni odatiy interval usuli yordamida hal qilish uchun biz tengsizlikning ikkala tomonini kvadratga olamiz:

\[\begin(hizala) & ((\left(\left| x+2 \o'ng| \o'ng))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \o'ng| \o'ng)) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \o'ng))^(2))\ge ((\left(2x-1 \o'ng))^(2)). \\\end(tekislash)\]

Oxirgi bosqichda men biroz aldadim: modulning tengligidan foydalanib, atamalar ketma-ketligini o'zgartirdim (aslida $1-2x$ ifodasini -1 ga ko'paytirdim).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \o'ng)-\left(x+2 \o'ng) \o'ng)\cdot \left(\left(2x-1 \o'ng)+\chap(x+2 \ o'ng)\o'ng)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \o'ng)\cdot \left(2x-1+x+2 \o'ng)\le 0; \\ & \left(x-3 \o'ng)\cdot \left(3x+1 \o'ng)\le 0. \\\end(align)\]

Interval usuli yordamida hal qilamiz. Tengsizlikdan tenglamaga o'tamiz:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(tekislash)\]

Topilgan ildizlarni raqamlar qatorida belgilaymiz. Yana bir bor: barcha nuqtalar soyali, chunki asl tengsizlik qat'iy emas!

Modul belgisidan qutulish

Ayniqsa, o'jar bo'lganlar uchun eslatib o'taman: biz tenglamaga o'tishdan oldin yozilgan oxirgi tengsizlikdan belgilarni olamiz. Va biz bir xil tengsizlikda talab qilinadigan maydonlarni bo'yab qo'yamiz. Bizning holatda bu $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

OK, endi hammasi tugadi. Muammo hal qilindi.

Javob: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Vazifa. Tengsizlikni yeching:

\[\chap| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \o'ng|\]

Yechim. Biz hamma narsani xuddi shunday qilamiz. Men izoh bermayman - faqat harakatlar ketma-ketligiga qarang.

Kvadrati:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \o'ng| \o'ng))^(2))\le ((\left(\left) |. ((x)^(2))+3x+4 \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \o'ng))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \right)))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \o'ng))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ o'ng))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x)) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \o‘ng)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \o'ng)\le 0. \\\end(align)\]

Interval usuli:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \o'ng)=0 \\ & -2x-3=0\ O'ng strelka x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\end(tekislash)\]

Raqamlar qatorida faqat bitta ildiz bor:

Javob butun intervaldir

Javob: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Oxirgi vazifa haqida kichik eslatma. Mening talabalarimdan biri aniq ta'kidlaganidek, ushbu tengsizlikdagi ikkala submodul iboralar ham ijobiy, shuning uchun modul belgisi sog'likka zarar bermasdan qoldirilishi mumkin.

Ammo bu butunlay boshqacha fikrlash darajasi va boshqa yondashuv - uni shartli ravishda oqibatlar usuli deb atash mumkin. Bu haqda - alohida darsda. Keling, bugungi darsning yakuniy qismiga o'tamiz va har doim ishlaydigan universal algoritmni ko'rib chiqamiz. Oldingi barcha yondashuvlar kuchsiz bo'lsa ham :)

4. Variantlarni sanab o'tish usuli

Agar bu usullarning barchasi yordam bermasa-chi? Agar tengsizlikni salbiy bo'lmagan quyruqlarga qisqartirish mumkin bo'lmasa, modulni izolyatsiya qilishning iloji bo'lmasa, umuman olganda og'riq, qayg'u, melankolik bo'lsa?

Keyin hamma matematikaning "og'ir artilleriyasi" sahnaga chiqadi - shafqatsiz kuch usuli. Modulli tengsizliklarga nisbatan quyidagicha ko'rinadi:

1. Barcha submodulli ifodalarni yozing va ularni nolga tenglang;
2. Olingan tenglamalarni yeching va bitta son chizig'ida topilgan ildizlarni belgilang;
3. To'g'ri chiziq bir nechta bo'limlarga bo'linadi, ularning ichida har bir modul o'zgarmas belgiga ega va shuning uchun noyob tarzda namoyon bo'ladi;
4. Har bir bunday bo'lim bo'yicha tengsizlikni yeching (ishonchlilik uchun 2-bosqichda olingan ildiz-chegaralarni alohida ko'rib chiqishingiz mumkin). Natijalarni birlashtiring - bu javob bo'ladi. :)

Qanday? Zaifmi? Osonlik bilan! Faqat uzoq vaqt. Keling, amalda ko'rib chiqaylik:

Vazifa. Tengsizlikni yeching:

\[\chap| x+2 \o'ng| \lt \chap| x-1 \o'ng|+x-\frac(3)(2)\]

Yechim. Bu ahmoqlik $\left| kabi tengsizliklarga tushmaydi f\o'ng| \lt g$, $\chap| f\o'ng| \gt g$ yoki $\left| f\o'ng| \lt \chap| g \right|$, shuning uchun biz oldinga harakat qilamiz.

Biz submodulyar iboralarni yozamiz, ularni nolga tenglashtiramiz va ildizlarni topamiz:

\[\boshlang(align) & x+2=0\O'ng strelka x=-2; \\ & x-1=0\Oʻng strelka x=1. \\\end(tekislash)\]

Hammasi bo'lib, bizda raqamlar chizig'ini uchta bo'limga ajratadigan ikkita ildiz bor, ular ichida har bir modul o'ziga xos tarzda ochiladi:

Submodulyar funksiyalarning raqamlar qatorini nolga bo'lish

Keling, har bir bo'limni alohida ko'rib chiqaylik.

1. $x \lt -2$ bo'lsin. Keyin ikkala submodulli ibora ham manfiy bo'lib, asl tengsizlik quyidagicha qayta yoziladi:

\[\begin(hizala) & -\left(x+2 \o'ng) \lt -\left(x-1 \o'ng)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1,5 \\ & x \gt 1,5 \\\end(hizala)\]

Bizda juda oddiy cheklov bor. Keling, uni $x \lt -2$ degan dastlabki taxmin bilan kesishamiz:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align) \right.\O'ng strelka x\in \varnothing \]

Shubhasiz, $x$ o'zgaruvchisi bir vaqtning o'zida -2 dan kichik va 1,5 dan katta bo'lishi mumkin emas. Bu sohada hech qanday yechim yo'q.

1.1. Chegaraviy holatni alohida ko'rib chiqaylik: $x=-2$. Keling, bu raqamni asl tengsizlikka almashtiramiz va tekshiramiz: bu to'g'rimi?

\[\begin(hizala) & ((\chap. \chap| x+2 \o'ng| \lt \chap| x-1 \o'ng|+x-1,5 \o'ng|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \chap| -3\o'ng|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\O'ng ko'rsatkich \varnothing . \\\end(tekislash)\]

Ko'rinib turibdiki, hisob-kitoblar zanjiri bizni noto'g'ri tengsizlikka olib keldi. Demak, asl tengsizlik ham noto'g'ri va $x=-2$ javobga kiritilmagan.

2. Endi $-2 \lt x \lt 1$ bo'lsin. Chap modul allaqachon "ortiqcha" bilan ochiladi, lekin o'ng modul hali ham "minus" bilan ochiladi. Bizda ... bor:

\[\boshlang(tuzala) & x+2 \lt -\chap(x-1 \o'ng)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt - 2.5 \\\end (tekislash)\]

Biz yana asl talab bilan kesishamiz:

\[\chap\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(hizalang) \o'ng.\O'ng strelka x\in \varnothing \]

Va yana, yechimlar to'plami bo'sh, chunki ikkalasi ham -2,5 dan kichik va -2 dan katta bo'lgan raqamlar yo'q.

2.1. Va yana alohida holat: $x=1$. Biz asl tengsizlikni almashtiramiz:

\[\begin(hizala) & ((\chap. \chap| x+2 \o'ng| \lt \chap| x-1 \o'ng|+x-1,5 \o'ng|)_(x=1)) \\ & \left| 3\o'ng| \lt \chap| 0\o'ng|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\O'ng strelka \varnothing . \\\end(tekislash)\]

Oldingi "maxsus holat"ga o'xshab, javobda $x=1$ raqami aniq kiritilmagan.

3. Qatorning oxirgi qismi: $x \gt 1$. Bu erda barcha modullar ortiqcha belgisi bilan ochiladi:

\[\boshlang(align) & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x \gt 4,5 \\ \end(hizalang)\ ]

Va yana topilgan to'plamni asl cheklov bilan kesib o'tamiz:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\ end(hizalang) \o'ng.\O'ng strelka x\ichida \chap(4,5;+\infty \o'ng)\ ]

Va nihoyat! Biz javob bo'ladigan intervalni topdik.

Javob: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Va nihoyat, haqiqiy muammolarni hal qilishda sizni ahmoqona xatolardan qutqarishi mumkin bo'lgan bir eslatma:

Modulli tengsizliklarning yechimlari odatda raqamlar chizig‘idagi uzluksiz to‘plamlarni – intervallarni va segmentlarni ifodalaydi. Izolyatsiya qilingan nuqtalar kamroq tarqalgan. Va hatto kamroq hollarda, yechimning chegarasi (segmentning oxiri) ko'rib chiqilayotgan diapazonning chegarasiga to'g'ri keladi.

Binobarin, agar javobda chegaralar (xuddi shu "maxsus holatlar") qo'shilmagan bo'lsa, bu chegaralarning chap va o'ng tomonidagi joylar javobga deyarli kiritilmaydi. Va aksincha: chegara javobga kirdi, ya'ni uning atrofidagi ba'zi joylar ham javoblar bo'ladi.

Yechimlaringizni ko'rib chiqishda buni yodda saqlang.

Birinchidan, interval usuli hal qiladigan muammoni his qilish uchun ozgina qo'shiq matni. Aytaylik, quyidagi tengsizlikni yechishimiz kerak:

(x − 5)(x + 3) > 0

Variantlar qanday? Aksariyat talabalarning xayoliga keladigan birinchi narsa "ortiqcha ortiqcha ortiqcha ortiqcha beradi" va "minus minus ortiqcha beradi" qoidalari. Shuning uchun ikkala qavs musbat bo'lgan holatni ko'rib chiqish kifoya: x − 5 > 0 va x + 3 > 0. Keyin ikkala qavs manfiy bo'lgan holatni ham ko'rib chiqamiz: x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

Ilg'or talabalar (ehtimol) chap tomonda grafigi parabola bo'lgan kvadratik funktsiya borligini eslashadi. Bundan tashqari, bu parabola OX o'qini x = 5 va x = -3 nuqtalarda kesib o'tadi. Keyingi ish uchun siz qavslarni ochishingiz kerak. Bizda ... bor:

x 2 − 2x − 15 > 0

Endi parabolaning shoxlari yuqoriga yo'naltirilganligi aniq, chunki a = 1 > 0 koeffitsienti. Keling, ushbu parabolaning diagrammasini chizishga harakat qilaylik:

Funktsiya OX o'qidan o'tgan joyda noldan katta. Bizning holatda, bu (−∞ −3) va (5; +∞) oraliqlari - bu javob.

Iltimos, diqqat qiling: rasmda aniq ko'rsatilgan funktsiya diagrammasi, uning jadvali emas. Chunki haqiqiy grafik uchun siz koordinatalarni hisoblashingiz, siljishlarni hisoblashingiz kerak va hozircha biz uchun mutlaqo foydasi yo'q.

Nima uchun bu usullar samarasiz?

Shunday qilib, biz bir xil tengsizlikning ikkita yechimini ko'rib chiqdik. Ularning ikkalasi ham juda og'ir bo'lib chiqdi. Birinchi qaror paydo bo'ladi - bu haqda o'ylab ko'ring! — tengsizliklar sistemasi majmui. Ikkinchi yechim ham unchalik oson emas: siz parabola grafigini va boshqa bir qator kichik faktlarni eslab qolishingiz kerak.

Bu juda oddiy tengsizlik edi. U faqat 2 ta ko'paytirgichga ega. Endi tasavvur qiling-a, 2 emas, balki kamida 4 ko'paytiruvchi bo'ladi.

(x − 7)(x − 1)(x + 4)(x + 9)< 0

Bunday tengsizlikni qanday hal qilish mumkin? Ijobiy va kamchiliklarning barcha mumkin bo'lgan kombinatsiyalaridan o'tingmi? Ha, biz yechim topganimizdan ko'ra tezroq uxlab qolamiz. Grafikni chizish ham variant emas, chunki bunday funktsiya koordinata tekisligida qanday ishlashi aniq emas.

Bunday tengsizliklar uchun maxsus yechim algoritmi kerak, biz bugun ko'rib chiqamiz.

Interval usuli nima

Intervalli usul f (x) > 0 va f (x) ko’rinishdagi murakkab tengsizliklarni yechish uchun mo’ljallangan maxsus algoritmdir.< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

1. f (x) = 0 tenglamani yeching. Shunday qilib, tengsizlik o'rniga yechish ancha sodda bo'lgan tenglamani olamiz;
2. Olingan barcha ildizlarni koordinata chizig'ida belgilang. Shunday qilib, to'g'ri chiziq bir nechta intervallarga bo'linadi;
3. Eng o'ng oraliqdagi f (x) funksiyaning ishorasini (ortiqcha yoki minus) toping. Buning uchun barcha belgilangan ildizlarning o'ng tomonida joylashgan har qanday raqamni f (x) ga almashtirish kifoya;
4. Qolgan oraliqlarda belgilarni belgilang. Buni amalga oshirish uchun har bir ildizdan o'tayotganda belgi o'zgarishini unutmang.

Ana xolos! Shundan so'ng, bizni qiziqtirgan intervallarni yozish qoladi. Agar tengsizlik f (x) > 0 ko'rinishda bo'lsa, ular "+" belgisi bilan yoki tengsizlik f (x) ko'rinishda bo'lsa, "-" belgisi bilan belgilanadi.< 0.

Bir qarashda, intervalli usul qandaydir tiniq narsadek tuyulishi mumkin. Lekin amalda hamma narsa juda oddiy bo'ladi. Bir oz mashq qiling va hamma narsa aniq bo'ladi. Misollarni ko'rib chiqing va o'zingiz ko'ring:

Vazifa. Tengsizlikni yeching:

(x − 2)(x + 7)< 0

Interval usuli yordamida ishlaymiz. 1-qadam: tengsizlikni tenglama bilan almashtiring va uni yeching:

(x − 2)(x + 7) = 0

Agar omillarning kamida bittasi nolga teng bo'lsa, mahsulot nolga teng bo'ladi:

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

Bizda ikkita ildiz bor. Keling, 2-bosqichga o'tamiz: bu ildizlarni koordinata chizig'ida belgilang. Bizda ... bor:

Endi 3-qadam: funktsiyaning eng o'ng oraliqdagi belgisini toping (belgilangan nuqtaning o'ng tomonida x = 2). Buning uchun siz x = 2 sonidan katta bo'lgan istalgan raqamni olishingiz kerak. Masalan, x = 3 ni olaylik (lekin x = 4, x = 10 va hatto x = 10 000 ni olishni hech kim taqiqlamaydi). Biz olamiz:

f (x) = (x - 2)(x + 7);
x = 3;
f (3) = (3 - 2)(3 + 7) = 1 10 = 10;

Biz f (3) = 10 > 0 ekanligini topamiz, shuning uchun biz eng o'ng oraliqda ortiqcha belgisini qo'yamiz.

Keling, oxirgi nuqtaga o'tamiz - qolgan intervallardagi belgilarga e'tibor qaratishimiz kerak. Har bir ildizdan o'tayotganda belgi o'zgarishi kerakligini eslaymiz. Misol uchun, x = 2 ildizining o'ng tomonida ortiqcha (biz oldingi bosqichda bunga ishonch hosil qilganmiz), shuning uchun chap tomonda minus bo'lishi kerak.

Bu minus butun intervalgacha (-7; 2) tarqaladi, shuning uchun x = -7 ildizning o'ng tomonida minus mavjud. Shuning uchun, x = −7 ildizining chap tomonida plyus mavjud. Bu belgilarni koordinata o'qida belgilash qoladi. Bizda ... bor:

Keling, quyidagi shaklga ega bo'lgan asl tengsizlikka qaytaylik:

(x − 2)(x + 7)< 0

Shunday qilib, funktsiya noldan kichik bo'lishi kerak. Bu shuni anglatadiki, bizni faqat bitta oraliqda paydo bo'ladigan minus belgisi qiziqtiradi: (−7; 2). Bu javob bo'ladi.

Vazifa. Tengsizlikni yeching:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

1-qadam: chap tomonni nolga o'rnating:

(x + 9)(x - 3)(1 - x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = -9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

Esingizda bo'lsin: omillarning kamida bittasi nolga teng bo'lganda mahsulot nolga teng. Shuning uchun biz har bir alohida qavsni nolga tenglashtirish huquqiga egamiz.

2-qadam: koordinata chizig'idagi barcha ildizlarni belgilang:

3-qadam: eng o'ngdagi bo'shliqning belgisini toping. Biz x = 1 dan katta bo'lgan har qanday sonni olamiz. Masalan, biz x = 10 ni olamiz. Bizda:

f (x) = (x + 9)(x - 3)(1 - x);
x = 10;
f (10) = (10 + 9)(10 - 3)(1 - 10) = 19 · 7 · (-9) = - 1197;
f (10) = -1197< 0.

4-qadam: qolgan belgilarni joylashtirish. Har bir ildizdan o'tayotganda belgi o'zgarishini eslaymiz. Natijada bizning rasmimiz quyidagicha ko'rinadi:

Ana xolos. Faqat javobni yozish qoladi. Asl tengsizlikka yana bir nazar tashlang:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Bu f(x) ko‘rinishdagi tengsizlikdir.< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

Bu javob.

Funktsiya belgilari haqida eslatma

Amaliyot shuni ko'rsatadiki, intervalli usulda eng katta qiyinchiliklar oxirgi ikki bosqichda paydo bo'ladi, ya'ni. belgilarni qo'yishda. Ko'pgina talabalar chalkashishni boshlaydilar: qaysi raqamlarni olish va belgilarni qaerga qo'yish kerak.

Nihoyat interval usulini tushunish uchun u asoslangan ikkita kuzatishni ko'rib chiqing:

1. Uzluksiz funksiya faqat shu nuqtalarda belgini o'zgartiradi bu erda u nolga teng. Bunday nuqtalar koordinata o'qini bo'laklarga ajratadi, ular ichida funktsiyaning belgisi hech qachon o'zgarmaydi. Shuning uchun ham f (x) = 0 tenglamani yechib, topilgan ildizlarni to‘g‘ri chiziqqa belgilaymiz. Topilgan raqamlar ijobiy va salbiy tomonlarini ajratib turadigan "chegara" nuqtalari.
2. Funksiyaning istalgan oraliqdagi ishorasini bilish uchun shu oraliqdagi istalgan sonni funksiyaga almashtirish kifoya. Masalan, (−5; 6) oraliq uchun, agar xohlasak, x = −4, x = 0, x = 4 va hatto x = 1,29374 ni olish huquqiga egamiz. Nima uchun bu muhim? Ha, chunki shubhalar ko'plab talabalarni kemira boshlaydi. Masalan, x = −4 uchun ortiqcha, x = 0 uchun esa minus bo'lsa-chi? Ammo hech qachon bunday narsa bo'lmaydi. Xuddi shu oraliqdagi barcha nuqtalar bir xil belgini beradi. Buni eslab qoling.

Interval usuli haqida bilishingiz kerak bo'lgan hamma narsa shu. Albatta, biz uni eng oddiy shaklda tahlil qildik. Keyinchalik murakkab tengsizliklar mavjud - qat'iy bo'lmagan, kasrli va takroriy ildizlar bilan. Siz ular uchun interval usulidan ham foydalanishingiz mumkin, ammo bu alohida katta dars uchun mavzu.

Endi men interval usulini sezilarli darajada soddalashtiradigan ilg'or texnikani ko'rib chiqmoqchiman. Aniqroq aytganda, soddalashtirish faqat uchinchi bosqichga ta'sir qiladi - chiziqning eng o'ng qismidagi belgini hisoblash. Ba'zi sabablarga ko'ra, bu texnika maktablarda o'qitilmaydi (hech bo'lmaganda menga buni hech kim tushuntirmadi). Lekin behuda - chunki aslida bu algoritm juda oddiy.

Demak, funksiyaning belgisi son qatorining o‘ng qismida joylashgan. Ushbu qism (a ; +∞) ko'rinishga ega bo'lib, bu erda a tenglamaning eng katta ildizi f (x) = 0. O'zingizni chalg'itmaslik uchun, keling, aniq bir misolni ko'rib chiqaylik:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0;
f (x) = (x - 1)(2 + x)(7 - x);
(x - 1)(2 + x)(7 - x) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

Bizda 3 ta ildiz bor. Ularni o‘sish tartibida sanab o‘tamiz: x = −2, x = 1 va x = 7. Shubhasiz, eng katta ildiz x = 7.

Grafik jihatdan mulohaza yuritishni oson topadiganlar uchun men bu ildizlarni koordinata chizig'ida belgilayman. Keling, nima bo'lishini ko'rib chiqaylik:

Eng o'ng oraliqda f (x) funksiyaning ishorasini topish talab qilinadi, ya'ni. gacha (7; +∞). Ammo biz allaqachon ta'kidlaganimizdek, belgini aniqlash uchun siz ushbu intervaldan istalgan raqamni olishingiz mumkin. Masalan, siz x = 8, x = 150 va hokazolarni olishingiz mumkin. Va endi - maktablarda o'qitilmaydigan o'sha texnika: cheksizlikni raqam sifatida olaylik. Aniqroq aytganda, ortiqcha cheksizlik, ya'ni. +∞.

“Siz toshbo'ronmisiz? Qanday qilib cheksizlikni funktsiyaga almashtirish mumkin? - deb so'rashingiz mumkin. Ammo o'ylab ko'ring: bizga funktsiyaning o'zi qiymati kerak emas, bizga faqat belgi kerak. Shuning uchun, masalan, f (x) = -1 va f (x) = -938 740 576 215 qiymatlari bir xil narsani anglatadi: bu oraliqdagi funktsiya manfiy. Shuning uchun sizdan talab qilinadigan narsa bu funksiyaning qiymatini emas, balki cheksizlikda paydo bo'ladigan belgini topishdir.

Aslida, cheksizlikni almashtirish juda oddiy. Funktsiyamizga qaytaylik:

f (x) = (x - 1)(2 + x)(7 - x)

Tasavvur qiling-a, x juda katta son. Milliard yoki hatto trillion. Keling, har bir qavsda nima sodir bo'lishini ko'rib chiqaylik.

Birinchi qavs: (x − 1). Agar milliarddan bittani ayirsangiz nima bo'ladi? Natijada milliarddan unchalik farq qilmaydigan raqam bo'ladi va bu raqam ijobiy bo'ladi. Xuddi shunday ikkinchi qavs bilan: (2 + x). Agar milliardni ikkiga qo'shsangiz, siz milliard va kopek olasiz - bu ijobiy raqam. Nihoyat, uchinchi qavs: (7 - x). Bu erda minus milliard bo'ladi, undan ettita ko'rinishidagi ayanchli parcha "kemirildi". Bular. natijada olingan raqam minus milliarddan unchalik farq qilmaydi - bu salbiy bo'ladi.

Qolgan narsa butun ishning belgisini topishdir. Birinchi qavslarda ortiqcha va oxirgisida minus bo'lganligi sababli biz quyidagi qurilishni olamiz:

(+) · (+) · (−) = (−)

Yakuniy belgi - minus! Va funktsiyaning o'zi qanday qiymatga ega ekanligi muhim emas. Asosiysi, bu qiymat salbiy, ya'ni. eng o'ngdagi interval minus belgisiga ega. Intervalli usulning to'rtinchi bosqichini bajarish uchun qoladi: barcha belgilarni tartibga soling. Bizda ... bor:

Dastlabki tengsizlik quyidagicha edi:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0

Shuning uchun biz minus belgisi bilan belgilangan oraliqlarga qiziqamiz. Javobni yozamiz:

x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)

Bu men sizga aytmoqchi bo'lgan butun hiyla edi. Xulosa qilib aytganda, cheksizlikdan foydalangan holda interval usuli bilan yechish mumkin bo'lgan yana bir tengsizlik. Yechimni vizual ravishda qisqartirish uchun men qadam raqamlari va batafsil sharhlarni yozmayman. Men faqat haqiqiy muammolarni hal qilishda yozishingiz kerak bo'lgan narsalarni yozaman:

Vazifa. Tengsizlikni yeching:

x (2x + 8)(x − 3) > 0

Tengsizlikni tenglama bilan almashtiramiz va uni yechamiz:

x (2x + 8)(x - 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Biz koordinata chizig'ida barcha uchta ildizni belgilaymiz (bir vaqtning o'zida belgilar bilan):

Koordinata o'qining o'ng tomonida ortiqcha bor, chunki funktsiya quyidagicha ko'rinadi:

f (x) = x (2x + 8)(x - 3)

Va agar biz cheksizlikni (masalan, milliard) almashtirsak, biz uchta musbat qavs olamiz. Asl ifoda noldan katta bo'lishi kerakligi sababli, bizni faqat ijobiy tomonlar qiziqtiradi. Faqat javobni yozish qoladi:

x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)