Tele2 bo'yicha yordam, tariflar, savollar

Maktab o‘quv dasturida o‘rganilayotgan Pifagor teoremasining tarixi bilan qiziquvchilarni 1940 yilda oddiy ko‘rinadigan bu teoremaning uch yuz yetmishta isboti bilan kitobning nashr etilishi kabi fakt ham qiziqtiradi. Ammo u turli davrlardagi ko'plab matematik va faylasuflarning ongini qiziqtirdi. Ginnesning rekordlar kitobida u maksimal isbotlar soniga ega teorema sifatida qayd etilgan.

Pifagor teoremasining tarixi

Pifagor nomi bilan bog'liq bo'lgan teorema buyuk faylasuf tug'ilishidan ancha oldin ma'lum bo'lgan. Shunday qilib, Misrda inshootlarni qurishda to'g'ri burchakli uchburchakning tomonlari nisbati besh ming yil oldin hisobga olingan. Bobil matnlarida Pifagor tug'ilishidan 1200 yil oldin to'g'ri burchakli uchburchak tomonlarining bir xil nisbati qayd etilgan.

Savol tug'iladi, nima uchun hikoyada aytiladi - Pifagor teoremasining paydo bo'lishi unga tegishli? Faqat bitta javob bo'lishi mumkin - u uchburchakdagi tomonlar nisbatini isbotladi. U tajriba bilan o'rnatilgan aspekt nisbati va gipotenuzani oddiygina ishlatganlar asrlar oldin qilmagan ishni qildi.

Pifagor hayotidan

Bo'lajak buyuk olim, matematik, faylasuf miloddan avvalgi 570 yilda Samos orolida tug'ilgan. Tarixiy hujjatlarda marvarid o'ymakorligi bo'lgan Pifagorning otasi haqida ma'lumotlar saqlanib qolgan, ammo uning onasi haqida hech qanday ma'lumot yo'q. Tug'ilgan o'g'il haqida ular bolaligidan musiqa va she'riyatga ishtiyoqni namoyon etgan ajoyib bola ekanligini aytishdi. Tarixchilar Hermodamant va Siroslik Ferekidlarni yosh Pifagorlarning ustozlari deb atashadi. Birinchisi bolani Musalar olamiga kiritdi, ikkinchisi faylasuf va italyan falsafa maktabining asoschisi bo'lib, yigitning nigohini logotiplarga qaratdi.

Pifagor 22 yoshida (miloddan avvalgi 548 yil) Misrliklarning tili va dinini oʻrganish uchun Navkratisga boradi. Bundan tashqari, uning yo'li Memfisda bo'lib, u erda ruhoniylar tufayli, ularning mohir sinovlaridan o'tib, u Misr geometriyasini tushundi, bu, ehtimol, qiziquvchan yigitni Pifagor teoremasini isbotlashga undadi. Keyinchalik tarix bu nomni teorema bilan bog'laydi.

Bobil shohi tomonidan asirga olingan

Pifagor Hellasga uyiga ketayotib, Bobil shohi tomonidan qo'lga olinadi. Ammo asirlikda bo'lish boshlang'ich matematikning qiziquvchan ongiga foyda keltirdi, u ko'p narsalarni o'rganishi kerak edi. Darhaqiqat, o'sha yillarda Bobilda matematika Misrga qaraganda ancha rivojlangan edi. U o'n ikki yil davomida matematika, geometriya va sehrni o'rgandi. Va, ehtimol, uchburchak tomonlari nisbati va teoremaning ochilish tarixini isbotlashda Bobil geometriyasi ishtirok etgan. Buning uchun Pifagorda yetarli bilim va vaqt bor edi. Ammo bu Bobilda sodir bo'lgan, buni hech qanday hujjatli tasdiqlash yoki rad etish yo'q.

Miloddan avvalgi 530 yilda Pifagor asirlikdan o'z vataniga qochadi va u erda yarim qul maqomida zolim Polikrat saroyida yashaydi. Bunday hayot Pifagorga mos kelmaydi va u Samos g'orlariga nafaqaga chiqadi va keyin o'sha paytda Kroton yunon koloniyasi joylashgan Italiyaning janubiga boradi.

Yashirin monastir tartibi

Bu mustamlaka negizida Pifagor bir vaqtning o'zida diniy ittifoq va ilmiy jamiyat bo'lgan yashirin monastir ordeni tashkil qilgan. Bu jamiyat o'ziga xos turmush tarziga rioya qilish haqida gapiradigan o'z ustaviga ega edi.

Pifagor Xudoni tushunish uchun inson algebra va geometriya kabi fanlarni bilishi, astronomiyani bilishi va musiqani tushunishi kerak, deb ta'kidlagan. Tadqiqot ishlari raqamlar va falsafaning mistik tomonlarini bilishga qisqartirildi. Shuni ta'kidlash kerakki, o'sha paytda Pifagor tomonidan targ'ib qilingan tamoyillar hozirgi vaqtda taqlid qilishda ma'noga ega.

Pifagor shogirdlari tomonidan qilingan ko'plab kashfiyotlar unga tegishli edi. Shunga qaramay, qisqacha aytganda, o'sha davrning qadimgi tarixchilari va biograflari tomonidan Pifagor teoremasini yaratish tarixi bevosita ushbu faylasuf, mutafakkir va matematik nomi bilan bog'liq.

Pifagor ta'limoti

Ehtimol, teoremani Pifagor nomi bilan bog'lash g'oyasiga buyuk yunon tarixchilarining oyoqlari va gipotenuzasi bo'lgan mashhur uchburchakda hayotimizning barcha hodisalari shifrlanganligi haqidagi bayonoti sabab bo'lgan. Va bu uchburchak yuzaga keladigan barcha muammolarni hal qilishning "kalitidir". Buyuk faylasufning aytishicha, uchburchakni ko'rish kerak, shunda muammoning uchdan ikki qismi hal qilingan deb taxmin qilish mumkin.

Pifagor o'z ta'limotini faqat o'z shogirdlariga og'zaki, hech qanday qayd qilmasdan, sir saqlagan holda aytib bergan. Afsuski, eng buyuk faylasufning ta'limoti bugungi kungacha saqlanib qolgani yo'q. Uning ba'zilari tashqariga chiqib ketgan, ammo ma'lum bo'lgan narsaning qanchalik haqiqat va qanchalik yolg'on ekanligini aytish mumkin emas. Pifagor teoremasining tarixi bilan ham hamma narsa aniq emas. Matematika tarixchilari Pifagorning muallifligiga shubha qilishadi, ularning fikricha, teorema uning tug'ilishidan ko'p asrlar oldin ishlatilgan.

Pifagor teoremasi

Bu g'alati tuyulishi mumkin, ammo Pifagorning o'zi tomonidan teoremani isbotlashning tarixiy faktlari yo'q - na arxivlarda, na boshqa manbalarda. Zamonaviy versiyada u Evklidning o'zidan boshqa hech kimga tegishli emas deb ishoniladi.

Miloddan avvalgi 2300-yillarda misrliklar tomonidan yozilgan Berlin muzeyida saqlanadigan papirusda kashf etilgan eng buyuk matematika tarixchilaridan biri Morits Kantor haqida dalillar mavjud. e. tenglik, o'qiydi: 3² + 4² = 5².

Pifagor teoremasi tarixidan qisqacha

Tarjimada Evklid "Boshlanishlari" teoremasining formulasi zamonaviy talqindagi kabi eshitiladi. Uni o'qishda hech qanday yangilik yo'q: to'g'ri burchakka qarama-qarshi tomonning kvadrati to'g'ri burchakka ulashgan tomonlarning kvadratlari yig'indisiga teng. Hindiston va Xitoyning qadimgi tsivilizatsiyalari teoremadan foydalanganligi "Chjou Bi Suan Jin" risolasi bilan tasdiqlangan. Unda Misr uchburchagi haqidagi ma'lumotlar mavjud bo'lib, u tomonlar nisbatini 3:4:5 deb ta'riflaydi.

Yana bir qiziqarli Xitoy matematik kitobi "Chu-pei" ham Pifagor uchburchagi haqida tushuntirish va Basxara hind geometriyasining chizmalariga to'g'ri keladigan chizmalarni eslatib o'tadi. Uchburchakning o'zi haqida kitobda aytilishicha, agar to'g'ri burchakni uning tarkibiy qismlariga ajratish mumkin bo'lsa, u holda tomonlarning uchlarini bog'laydigan chiziq beshga teng bo'ladi, agar poydevor uchta bo'lsa va balandligi to'rtta bo'lsa.

Taxminan miloddan avvalgi 7-5-asrlarga oid hindlarning "Sulva sutra" risolasi. e., Misr uchburchagi yordamida to'g'ri burchakni qurish haqida gapiradi.

Teoremaning isboti

O'rta asrlarda talabalar teoremani isbotlashni juda qiyin deb hisoblashgan. Zaif o‘quvchilar isbotning ma’nosini tushunmay, teoremalarni yoddan o‘rgandilar. Shu munosabat bilan ular "eshaklar" laqabini oldilar, chunki Pifagor teoremasi ular uchun eshak uchun ko'prik kabi engib bo'lmaydigan to'siq edi. O'rta asrlarda talabalar ushbu teorema mavzusida o'ynoqi she'r bilan chiqishdi.

Pifagor teoremasini eng oson yo'l bilan isbotlash uchun, isbotda maydonlar tushunchasidan foydalanmasdan, shunchaki uning tomonlarini o'lchash kerak. To'g'ri burchakka qarama-qarshi tomonning uzunligi c va unga qo'shni bo'lgan a va b, natijada biz tenglamani olamiz: a 2 + b 2 \u003d c 2. Ushbu bayonot, yuqorida aytib o'tilganidek, to'g'ri burchakli uchburchakning tomonlari uzunligini o'lchash orqali tasdiqlanadi.

Agar biz teoremani isbotlashni uchburchakning yon tomonlarida qurilgan to'rtburchaklar maydonini hisobga olgan holda boshlasak, butun shaklning maydonini aniqlashimiz mumkin. Bu yon tomoni (a + b) bo'lgan kvadratning maydoniga, boshqa tomondan, to'rtta uchburchak va ichki kvadrat maydonlarining yig'indisiga teng bo'ladi.

(a + b) 2 = 4 x ab/2 + c 2;

a 2 + 2ab + b 2;

c 2 = a 2 + b 2, bu isbotlanishi kerak edi.

Pifagor teoremasining amaliy ahamiyati shundan iboratki, uning yordamida segmentlarning uzunliklarini o‘lchamasdan topish mumkin. Tuzilmalarni qurishda masofalar, tayanchlar va nurlarni joylashtirish hisoblab chiqiladi, tortishish markazlari aniqlanadi. Pifagor teoremasi barcha zamonaviy texnologiyalarda ham qo'llaniladi. Ular 3D-6D o'lchamdagi filmlarni yaratishda teoremani unutmadilar, bu erda odatiy 3 ta qiymatdan tashqari: balandlik, uzunlik, kenglik, vaqt, hid va ta'm hisobga olinadi. Ta'm va hidlar teorema bilan qanday bog'liq, deb so'rayapsizmi? Hammasi juda oddiy - filmni ko'rsatayotganda, auditoriyaga qayerda va qanday hid va ta'mni yo'naltirish kerakligini hisoblashingiz kerak.

Bu faqat boshlanishi. Yangi texnologiyalarni kashf qilish va yaratish uchun cheksiz imkoniyatlar qiziquvchan aqllarni kutmoqda.

Pifagor teoremasi- munosabatni o'rnatuvchi Evklid geometriyasining asosiy teoremalaridan biri

to'g'ri burchakli uchburchakning tomonlari o'rtasida.

Buni yunon matematigi Pifagor isbotlagan va uning nomi bilan atalgan deb ishoniladi.

Pifagor teoremasining geometrik formulasi.

Teorema dastlab quyidagicha tuzilgan:

To'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuzada qurilgan kvadratning maydoni kvadratlar maydonlarining yig'indisiga teng,

kateterlar ustiga qurilgan.

Pifagor teoremasining algebraik formulasi.

To'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuzaning uzunligining kvadrati oyoqlarning uzunliklari kvadratlarining yig'indisiga teng.

Ya'ni, orqali uchburchakning gipotenuzasi uzunligini bildiradi c, va oyoqlarning uzunliklari orqali a Va b:

Har ikkala formulalar pifagor teoremalari ekvivalentdir, lekin ikkinchi formula ko'proq elementar, unday emas

maydon tushunchasini talab qiladi. Ya'ni, ikkinchi bayonotni hudud va haqida hech narsa bilmasdan tekshirish mumkin

to'g'ri burchakli uchburchakning faqat tomonlari uzunligini o'lchash orqali.

Teskari Pifagor teoremasi.

Agar uchburchakning bir tomonining kvadrati qolgan ikki tomonining kvadratlari yig‘indisiga teng bo‘lsa, u holda

uchburchak to'rtburchakdir.

Yoki boshqacha aytganda:

Musbat sonlarning har qanday uchligi uchun a, b Va c, shu kabi

oyoqlari bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchak mavjud a Va b va gipotenuza c.

Teng yonli uchburchak uchun Pifagor teoremasi.

Teng tomonli uchburchak uchun Pifagor teoremasi.

Pifagor teoremasining isbotlari.

Hozirgi vaqtda ilmiy adabiyotlarda ushbu teoremaning 367 ta isboti qayd etilgan. Ehtimol, teorema

Pifagor juda ta'sirli dalillarga ega bo'lgan yagona teoremadir. Bunday xilma-xillik

teoremaning geometriya uchun asosiy ahamiyati bilangina izohlash mumkin.

Albatta, kontseptual jihatdan ularning barchasini oz sonli sinflarga bo'lish mumkin. Ulardan eng mashhurlari:

dalil hudud usuli, aksiomatik Va ekzotik dalillar(Masalan,

yordamida differensial tenglamalar).

1. Pifagor teoremasining o'xshash uchburchaklar nuqtai nazaridan isboti.

Algebraik formulaning quyidagi isboti tuzilgan isbotlarning eng oddiyidir

to'g'ridan-to'g'ri aksiomalardan. Xususan, u figuraning maydoni tushunchasidan foydalanmaydi.

Mayli ABC to'g'ri burchakli uchburchak mavjud C. Keling, balandlikni chizamiz C va belgilang

orqali uning poydevori H.

Uchburchak ACH uchburchakka o'xshaydi AB Ikki burchakda C. Xuddi shunday, uchburchak CBH o'xshash ABC.

Belgini kiritish orqali:

olamiz:

,

qaysi biri mos keladi -

Katlangan holda a 2 va b 2, biz olamiz:

yoki , isbotlanishi kerak edi.

2. Pifagor teoremasini maydon usuli bilan isbotlash.

Quyidagi dalillar, ko'rinib turgan soddaligiga qaramay, unchalik oddiy emas. Ularning hammasi

dalil Pifagor teoremasining o'zini isbotlashdan ko'ra murakkabroq bo'lgan maydonning xususiyatlaridan foydalaning.

• Ekvikomplementatsiya orqali isbotlash.

To'rtta teng to'rtburchaklar joylashtiring

rasmda ko'rsatilganidek, uchburchak

o'ngda.

Yonlari bilan to'rtburchak c- kvadrat,

chunki ikki o'tkir burchaklar yig'indisi 90 °, va

rivojlangan burchak 180 ° dir.

Butun figuraning maydoni, bir tomondan,

tomoni bilan kvadratning maydoni ( a+b), va boshqa tomondan, to'rtta uchburchakning maydonlari yig'indisi va

Q.E.D.

3. Pifagor teoremasini cheksiz kichiklar usuli bilan isbotlash.

​

Rasmda ko'rsatilgan chizmani hisobga olgan holda va

tomonning o'zgarishini kuzatisha, Biz qilolamiz

cheksiz uchun quyidagi munosabatni yozing

kichik yon qadamlarBilan Va a(o'xshashlik yordamida

uchburchaklar):

O'zgaruvchilarni ajratish usulidan foydalanib, biz quyidagilarni topamiz:

Ikkala oyoqning o'sishida gipotenuzani o'zgartirishning umumiy ifodasi:

Ushbu tenglamani integrallash va dastlabki shartlardan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

Shunday qilib, biz kerakli javobga erishamiz:

Ko'rish oson bo'lganidek, yakuniy formuladagi kvadratik bog'liqlik chiziqli tufayli paydo bo'ladi

uchburchak tomonlari va o'sishlar o'rtasidagi proportsionallik, yig'indi esa mustaqil bilan bog'liq.

turli oyoqlarning o'sishidan hissa.

Agar oyoqlardan biri o'sishni boshdan kechirmaydi deb hisoblasak, oddiyroq dalilni olish mumkin

(bu holda, oyoq b). Keyin integratsiya konstantasi uchun biz quyidagilarni olamiz:

Hikoya

Chu-pei miloddan avvalgi 500-200 yillar. Chap tomonda yozuv bor: balandlik va poydevor uzunliklarining kvadratlari yig'indisi gipotenuza uzunligining kvadratidir.

Qadimgi Xitoy kitobida Chu-pei ( Ingliz) (xitoycha chàngìnìnì) tomonlari 3, 4 va 5 boʻlgan Pifagor uchburchagi haqida gapiradi. Xuddi shu kitobda Basxaraning hind geometriyasi chizmalaridan biriga toʻgʻri keladigan chizma taklif qilingan.

Miloddan avvalgi 400 yillar atrofida. e., Proklusga ko'ra, Platon algebra va geometriyani birlashtirgan Pifagor uchliklarini topish usulini bergan. Miloddan avvalgi 300 yillar atrofida. e. Evklidning elementlari Pifagor teoremasining eng qadimgi aksiomatik isbotini o'z ichiga oladi.

So'zlash

Geometrik formulalar:

Teorema dastlab quyidagicha tuzilgan:

Algebraik formula:

Ya'ni, uchburchakning gipotenuzasi uzunligini va oyoqlarning uzunliklarini va orqali:

Teoremaning ikkala formulasi ham ekvivalentdir, lekin ikkinchi formula ko'proq elementardir, u maydon tushunchasini talab qilmaydi. Ya'ni, ikkinchi bayonotni maydon haqida hech narsa bilmasdan va faqat to'g'ri burchakli uchburchakning tomonlari uzunligini o'lchash orqali tekshirish mumkin.

Teskari Pifagor teoremasi:

Musbat sonlarning har qanday uchligi uchun va , shundayki, oyoqlari va va gipotenuzasi bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchak mavjud.

Isbot

Hozirgi vaqtda ilmiy adabiyotlarda ushbu teoremaning 367 ta isboti qayd etilgan. Ehtimol, Pifagor teoremasi shunday ta'sirchan miqdordagi dalillarga ega bo'lgan yagona teoremadir. Bunday xilma-xillikni faqat teoremaning geometriya uchun fundamental ahamiyati bilan izohlash mumkin.

Albatta, kontseptual jihatdan ularning barchasini oz sonli sinflarga bo'lish mumkin. Ulardan eng mashhurlari: maydon usuli bilan isbotlash, aksiomatik va ekzotik isbotlar (masalan, differentsial tenglamalar yordamida).

Shu kabi uchburchaklar orqali

Algebraik formulaning quyidagi isboti to'g'ridan-to'g'ri aksiomalardan qurilgan isbotlarning eng oddiyidir. Xususan, u raqam maydoni tushunchasidan foydalanmaydi.

Mayli ABC to'g'ri burchakli uchburchak mavjud C. Keling, balandlikni chizamiz C va uning asosini bilan belgilang H. Uchburchak ACH uchburchakka o'xshaydi ABC ikki burchakda. Xuddi shunday, uchburchak CBH o'xshash ABC. Belgilanish bilan tanishtirish

olamiz

Ekvivalent nima

Qo'shsak, olamiz

, bu isbotlanishi kerak edi

Hudud dalillari

Quyidagi dalillar, ko'rinib turgan soddaligiga qaramay, unchalik oddiy emas. Ularning barchasi maydonning xususiyatlaridan foydalanadi, buning isboti Pifagor teoremasining o'zini isbotlashdan ko'ra murakkabroqdir.

Ekvivalentlik orqali isbotlash

1. 1-rasmda ko'rsatilganidek, to'rtta teng to'g'ri burchakli uchburchakni joylashtiring.
2. Yonlari bilan to'rtburchak c kvadratdir, chunki ikkita o'tkir burchakning yig'indisi 90 ° va to'g'ri burchak 180 °.
3. Butun figuraning maydoni, bir tomondan, bir tomoni (a + b) bo'lgan kvadratning maydoniga, boshqa tomondan, to'rtta uchburchakning maydonlari va maydoni yig'indisiga teng. ichki kvadratdan.

Q.E.D.

Evklidning isboti

Evklidning isboti g'oyasi quyidagicha: keling, gipotenuzada qurilgan kvadrat maydonining yarmi oyoqlarda qurilgan kvadratlarning yarim maydonlari yig'indisiga teng ekanligini isbotlashga harakat qilaylik, keyin esa maydonlar. katta va ikkita kichik kvadrat tengdir.

Chapdagi rasmni ko'rib chiqing. Biz uning ustiga to'g'ri burchakli uchburchakning yon tomonlariga kvadratlar qurdik va to'g'ri burchakli C burchak cho'qqisidan AB gipotenuzasiga perpendikulyar bo'lgan s nurini chizdik, u gipotenuzaga qurilgan ABIK kvadratini ikkita to'rtburchak - BHJI va HAKJga kesib tashladi. , mos ravishda. Ma'lum bo'lishicha, bu to'rtburchaklar maydonlari mos keladigan oyoqlarda qurilgan kvadratlarning maydonlariga to'liq teng.

Keling, DECA kvadratining maydoni AHJK to'rtburchaklar maydoniga teng ekanligini isbotlashga harakat qilaylik. Buning uchun biz yordamchi kuzatuvdan foydalanamiz: balandligi va asosi berilgan uchburchakning maydoni. to'rtburchaklar berilgan to'rtburchaklar maydonining yarmiga teng. Bu uchburchakning maydonini poydevor va balandlikning yarmi mahsuloti sifatida belgilashning natijasidir. Ushbu kuzatishdan kelib chiqadiki, ACK uchburchakning maydoni AHK uchburchagining maydoniga teng (ko'rsatilmagan), bu esa o'z navbatida AHJK to'rtburchaklar maydonining yarmiga teng.

Keling, ACK uchburchagining maydoni ham DECA kvadratining yarmiga teng ekanligini isbotlaylik. Buning uchun qilish kerak bo'lgan yagona narsa ACK va BDA uchburchaklarining tengligini isbotlashdir (chunki BDA uchburchakning maydoni yuqoridagi xususiyat bo'yicha kvadrat maydonining yarmiga teng). Bu tenglik aniq: uchburchaklar ikki tomonda va ular orasidagi burchakda tengdir. Ya'ni - AB=AK, AD=AC - CAK va BAD burchaklarining tengligini harakat usuli bilan isbotlash oson: keling, CAK uchburchagini soat miliga teskari yo'nalishda 90° aylantiramiz, shunda ko'rib chiqilayotgan ikki uchburchakning mos tomonlari mos kelishi aniq. (kvadrat tepasidagi burchak 90 ° bo'lganligi sababli).

BCFG kvadrati va BHJI to'rtburchaklar maydonlarining tengligi haqidagi argument butunlay o'xshashdir.

Shunday qilib, biz gipotenuzada qurilgan kvadratning maydoni oyoqlarda qurilgan kvadratlarning maydonlarining yig'indisi ekanligini isbotladik. Ushbu dalilning g'oyasi yuqoridagi animatsiya bilan yanada ko'proq tasvirlangan.

Leonardo da Vinchining isboti

Isbotning asosiy elementlari simmetriya va harakatdir.

Chizmani ko'rib chiqing, simmetriyadan ko'rinib turibdiki, segment kvadratni ikkita bir xil qismga ajratadi (chunki uchburchaklar va qurilishda tengdir).

Nuqta atrofida soat miliga teskari 90 graduslik aylanishdan foydalanib, biz soyali raqamlarning tengligini ko'ramiz va .

Endi biz soya qilgan rasmning maydoni kichik kvadratlar (oyoqlarda qurilgan) va asl uchburchak maydonining yarmining yig'indisiga teng ekanligi aniq. Boshqa tomondan, u katta kvadrat (gipotenuzada qurilgan) maydonining yarmiga va asl uchburchakning maydoniga teng. Shunday qilib, kichik kvadratlar maydonlarining yarmi yig'indisi katta kvadratning yarmiga teng, shuning uchun oyoqlarda qurilgan kvadratlar maydonlarining yig'indisi qurilgan kvadrat maydoniga teng. gipotenuzada.

Infinitesimal usuli bilan isbotlash

Differensial tenglamalar yordamida quyidagi dalil ko'pincha 20-asrning birinchi yarmida yashagan mashhur ingliz matematigi Hardiga tegishli.

Rasmda ko'rsatilgan chizmani hisobga olgan holda va yon tomonning o'zgarishini kuzatish a, cheksiz kichik tomonlar o'sishi uchun quyidagi munosabatni yozishimiz mumkin Bilan Va a(shunga o'xshash uchburchaklar yordamida):

O'zgaruvchilarni ajratish usulidan foydalanib, biz topamiz

Ikkala oyoqning o'sishida gipotenuzani o'zgartirish uchun umumiyroq ifoda

Ushbu tenglamani integrallash va dastlabki shartlardan foydalanib, biz hosil bo'lamiz

Shunday qilib, biz kerakli javobga erishamiz

Ko'rinib turibdiki, yakuniy formuladagi kvadratik bog'liqlik uchburchak tomonlari va o'sishlar orasidagi chiziqli proportsionallik tufayli paydo bo'ladi, yig'indi esa turli oyoqlarning o'sishidan mustaqil hissalar tufayli yuzaga keladi.

Oyoqlardan biri (bu holda, oyoq) o'sishni boshdan kechirmaydi deb hisoblasak, oddiyroq dalilni olish mumkin. Keyin integratsiya doimiysi uchun biz olamiz

Variatsiyalar va umumlashtirishlar

Uch tomondan o'xshash geometrik shakllar

Shu kabi uchburchaklar uchun umumlashtirish, yashil raqamlar maydoni A + B = ko'k C maydoni

Shu kabi to'g'ri burchakli uchburchaklar yordamida Pifagor teoremasi

Pifagor teoremasini umumlashtirish Evklid tomonidan o'z ishida qilingan Boshlanishlar, yon tomonlardagi kvadratlarning maydonlarini o'xshash geometrik shakllar joylariga kengaytirish:

Agar biz to'g'ri burchakli uchburchakning yon tomonlarida shunga o'xshash geometrik figuralarni (Evklid geometriyasiga qarang) quradigan bo'lsak, u holda ikkita kichik figuraning yig'indisi kattaroq shaklning maydoniga teng bo'ladi.

Ushbu umumlashtirishning asosiy g'oyasi shundan iboratki, bunday geometrik figuraning maydoni uning har qanday chiziqli o'lchamlari kvadratiga va, xususan, har qanday tomon uzunligining kvadratiga proportsionaldir. Shuning uchun, maydonlar bilan o'xshash raqamlar uchun A, B Va C uzunligi bilan yon tomonlarga qurilgan a, b Va c, bizda ... bor:

Ammo, Pifagor teoremasiga ko'ra, a 2 + b 2 = c 2, keyin A + B = C.

Aksincha, buni isbotlay olsak A + B = C Pifagor teoremasidan foydalanmasdan uchta o'xshash geometrik figuralar uchun biz teoremaning o'zini teskari yo'nalishda harakatlantirgan holda isbotlashimiz mumkin. Misol uchun, boshlang'ich markaziy uchburchak uchburchak sifatida qayta ishlatilishi mumkin C gipotenuzada va ikkita o'xshash to'g'ri burchakli uchburchak ( A Va B) markaziy uchburchakni balandligiga bo'lish natijasida hosil bo'lgan boshqa ikki tomonda qurilgan. Uchburchakning ikkita kichik maydonining yig'indisi uchinchisining maydoniga teng bo'ladi, shuning uchun A + B = C va oldingi isbotlarni teskari tartibda bajarib, Pifagor teoremasini olamiz a 2 + b 2 = c 2.

Kosinus teoremasi

Pifagor teoremasi ixtiyoriy uchburchakda tomonlarning uzunliklarini bog'laydigan umumiy kosinus teoremasining maxsus holatidir:

bu yerda th - tomonlar orasidagi burchak a Va b.

Agar th 90 daraja bo'lsa, u holda cos θ = 0 va formula odatdagi Pifagor teoremasiga soddalashtirilgan.

Ixtiyoriy uchburchak

Yon tomonlari bo'lgan ixtiyoriy uchburchakning istalgan tanlangan burchagiga a, b, c biz teng yonli uchburchakni shunday chizamizki, uning asosidagi teng burchaklar th tanlangan burchakka teng bo'lsin. Tanlangan burchak th ko'rsatilgan tomonga qarama-qarshi joylashgan deb faraz qilaylik c. Natijada yon tomoniga qarama-qarshi joylashgan th burchagi bo'lgan ABD uchburchakka ega bo'ldik a va partiyalar r. Ikkinchi uchburchak yon tomonga qarama-qarshi bo'lgan th burchagidan hosil bo'ladi b va partiyalar Bilan uzoq s, rasmda ko'rsatilganidek. Sobit ibn Qurra bu uchburchakdagi tomonlarning bir-biriga bog'liqligini quyidagicha ta'kidlagan:

th burchak p/2 ga yaqinlashganda, teng yonli uchburchakning asosi kichrayadi va ikki tomon r va s kamroq va kamroq ustma-ust tushadi. th = p/2 bo'lganda, ADB to'g'ri burchakli uchburchakka aylanadi, r + s = c va biz dastlabki Pifagor teoremasini olamiz.

Keling, dalillardan birini ko'rib chiqaylik. ABC uchburchagining burchaklari ABD uchburchagi bilan bir xil, lekin teskari tartibda. (Ikki uchburchak B cho'qqisida umumiy burchakka ega, ikkalasi ham th burchagiga ega, shuningdek, uchburchak burchaklarining yig'indisi bo'yicha bir xil uchinchi burchakka ega) Shunga ko'ra, ABC ko'rsatilgandek DBA uchburchagining ABD aksiga o'xshaydi. pastki rasmda. Qarama-qarshi tomonlar va th burchakka qo'shni tomonlar o'rtasidagi munosabatni yozamiz,

Boshqa uchburchakning aksi ham shunday,

Kasrlarni ko'paytiring va quyidagi ikki nisbatni qo'shing:

Q.E.D.

Ixtiyoriy uchburchaklar uchun parallelogrammalar orqali umumlashtirish

Ixtiyoriy uchburchaklar uchun umumlashtirish,
yashil maydon uchastka = maydon ko'k

Yuqoridagi rasmda tezisning isboti

Keling, to'rtburchaklar bo'lmagan uchburchaklar uchun kvadrat o'rniga uch tomondan parallelogrammalarni qo'llagan holda qo'shimcha umumlashtiramiz. (kvadratchalar alohida holat.) Yuqori rasmda ko'rsatilgandek, o'tkir burchakli uchburchak uchun uzun tomondagi parallelogrammning maydoni boshqa ikki tomondagi parallelogrammalarning yig'indisiga teng bo'ladi, agar parallelogramma bo'lsa. uzun tomoni rasmda ko'rsatilganidek qurilgan (strelkalar bilan belgilangan o'lchamlar bir xil va pastki parallelogrammning tomonlarini aniqlaydi). Kvadratchalarning parallelogrammlar bilan almashtirilishi dastlabki Pifagor teoremasiga aniq o'xshaydi va milodiy 4-yilda Iskandariyalik Pappus tomonidan tuzilgan deb hisoblanadi. e.

Pastki rasmda isbotning borishi ko'rsatilgan. Keling, uchburchakning chap tomonini ko'rib chiqaylik. Chap yashil parallelogramm ko'k parallelogrammaning chap tomoni bilan bir xil maydonga ega, chunki ular bir xil asosga ega b va balandligi h. Bundan tashqari, chap yashil quti yuqori rasmdagi chap yashil quti bilan bir xil maydonga ega, chunki ular umumiy asosga (uchburchakning yuqori chap tomoni) va uchburchakning bu tomoniga perpendikulyar umumiy balandlikka ega. Uchburchakning o'ng tomoni uchun xuddi shunday bahslashsak, biz pastki parallelogramm ikkita yashil parallelogramm bilan bir xil maydonga ega ekanligini isbotlaymiz.

Kompleks sonlar

Pifagor teoremasi Dekart koordinata tizimidagi ikki nuqta orasidagi masofani topish uchun ishlatiladi va bu teorema barcha haqiqiy koordinatalar uchun to'g'ri keladi: masofa s ikki nuqta o'rtasida ( a, b) va ( c, d) teng

Kompleks sonlar haqiqiy komponentlar bilan vektor sifatida ko'rib chiqilsa, formula bilan hech qanday muammo bo'lmaydi x + men y = (x, y). . Masalan, masofa s 0 + 1 orasida i va 1 + 0 i vektor moduli sifatida hisoblang (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), yoki

Biroq, murakkab koordinatali vektorlar bilan operatsiyalar uchun Pifagor formulasini ma'lum bir yaxshilash kerak. Kompleks sonli nuqtalar orasidagi masofa ( a, b) va ( c, d); a, b, c, Va d barcha murakkab, biz mutlaq qiymatlar yordamida formulamiz. Masofa s vektor farqiga asoslanadi (a − c, b − d) quyidagi shaklda: farq qilsin a − c = p+i q, Qayerda p farqning haqiqiy qismi, q xayoliy qism va i = √(−1) ga teng. Xuddi shunday, ruxsat bering b − d = r+i s. Keyin:

ning murakkab konjugati qayerda. Masalan, nuqtalar orasidagi masofa (a, b) = (0, 1) Va (c, d) = (i, 0) , farqni hisoblang (a − c, b − d) = (−i, 1) va agar murakkab konjugatlar ishlatilmasa, natija 0 bo'ladi. Shuning uchun, takomillashtirilgan formuladan foydalanib, biz olamiz

Modul quyidagicha aniqlanadi:

Stereometriya

Uch o'lchovli fazo uchun Pifagor teoremasining muhim umumlashtirilishi J.-P nomi bilan atalgan de Gua teoremasidir. de Gua: agar tetraedr to'g'ri burchakka ega bo'lsa (kubdagi kabi), to'g'ri burchakka qarama-qarshi yuzning maydoni kvadrati qolgan uchta yuzning kvadratlari yig'indisiga teng. Ushbu xulosani quyidagicha umumlashtirish mumkin: n-o'lchovli Pifagor teoremasi":

Uch o'lchovdagi Pifagor teoremasi AD diagonalini uch tomon bilan bog'laydi.

Yana bir umumlashtirish: Pifagor teoremasi stereometriyaga quyidagi shaklda qo'llanilishi mumkin. Rasmda ko'rsatilganidek, to'rtburchaklar qutini ko'rib chiqing. Pifagor teoremasi yordamida BD diagonali uzunligini toping:

bu erda uch tomoni to'g'ri burchakli uchburchak hosil qiladi. AD diagonalining uzunligini topish uchun BD gorizontal diagonali va AB vertikal chetidan foydalaning va yana Pifagor teoremasidan foydalaning:

yoki agar hamma narsa bitta tenglamada yozilgan bo'lsa:

Ushbu natija vektorning kattaligini aniqlash uchun 3D ifodasidir v(diagonal AD) uning perpendikulyar komponentlari bilan ifodalangan ( v k) (uchta o'zaro perpendikulyar tomon):

Bu tenglamani ko'p o'lchovli fazo uchun Pifagor teoremasining umumlashtirilishi sifatida ko'rish mumkin. Biroq, natijada Pifagor teoremasini ketma-ket perpendikulyar tekisliklardagi to'g'ri burchakli uchburchaklar ketma-ketligiga qayta-qayta qo'llashdan boshqa narsa emas.

vektor maydoni

Ortogonal vektorlar tizimida tenglik yuzaga keladi, bu Pifagor teoremasi deb ham ataladi:

Agar - bu vektorning koordinata o'qlariga proyeksiyalari bo'lsa, u holda bu formula Evklid masofasiga to'g'ri keladi - va vektor uzunligi uning komponentlari kvadratlari yig'indisining kvadrat ildiziga teng ekanligini anglatadi.

Cheksiz vektorlar sistemasidagi bu tenglikning analogi Parseval tengligi deyiladi.

Evklid bo'lmagan geometriya

Pifagor teoremasi Evklid geometriyasining aksiomalaridan olingan bo'lib, aslida, yuqorida yozilgan shaklda Evklid bo'lmagan geometriya uchun haqiqiy emas. (Ya'ni, Pifagor teoremasi Evklidning parallellik postulatiga o'ziga xos ekvivalent bo'lib chiqadi) Boshqacha aytganda, Evklid bo'lmagan geometriyada uchburchak tomonlari orasidagi nisbat Pifagor teoremasidan farqli shaklda bo'lishi shart. . Masalan, sferik geometriyada to'g'ri burchakli uchburchakning barcha uch tomoni (aytaylik a, b Va c) birlik sferaning oktantini (sakkizdan bir qismini) bog'lagan uzunlik p/2 ga ega, bu Pifagor teoremasiga ziddir, chunki a 2 + b 2 ≠ c 2 .

Bu erda Evklid bo'lmagan geometriyaning ikkita holatini ko'rib chiqing - sferik va giperbolik geometriya; ikkala holatda ham, to'g'ri burchakli uchburchaklar uchun Evklid fazosiga kelsak, Pifagor teoremasi o'rnini bosuvchi natija kosinus teoremasidan kelib chiqadi.

Biroq, Pifagor teoremasi giperbolik va elliptik geometriya uchun amal qiladi, agar uchburchakning to'g'ri burchakli bo'lishi talabi uchburchakning ikki burchagi yig'indisi uchinchisiga teng bo'lishi sharti bilan almashtirilsa, deylik. A+B = C. Keyin tomonlar orasidagi nisbat quyidagicha ko'rinadi: diametrli doiralar maydonlarining yig'indisi a Va b diametrli doira maydoniga teng c.

sferik geometriya

Radiusli shardagi har qanday to'g'ri burchakli uchburchak uchun R(masalan, uchburchakdagi g burchak to'g'ri bo'lsa) tomonlari bilan a, b, c tomonlar o'rtasidagi munosabatlar quyidagicha ko'rinadi:

Bu tenglikni barcha sferik uchburchaklar uchun amal qiladigan sferik kosinus teoremasining maxsus holati sifatida olish mumkin:

bu erda kosh - giperbolik kosinus. Ushbu formula barcha uchburchaklar uchun amal qiladigan giperbolik kosinus teoremasining maxsus holatidir:

Bu erda g - uchi yon tomonga qarama-qarshi bo'lgan burchak c.

Qayerda g ij metrik tenzor deyiladi. Bu pozitsiya funktsiyasi bo'lishi mumkin. Bunday egri chiziqli bo'shliqlar umumiy misol sifatida Riman geometriyasini o'z ichiga oladi. Ushbu formula egri chiziqli koordinatalardan foydalanganda Evklid fazosiga ham mos keladi. Masalan, qutb koordinatalari uchun:

vektor mahsuloti

Pifagor teoremasi vektor mahsulotining kattaligi uchun ikkita ifodani bog'laydi. O'zaro mahsulotni aniqlashning bir yondashuvi u tenglamani qondirishni talab qiladi:

bu formula nuqta mahsulotidan foydalanadi. Tenglamaning o'ng tomoni Gram determinanti deb ataladi a Va b, bu ikki vektor hosil qilgan parallelogrammning maydoniga teng. Ushbu talabga, shuningdek vektor mahsuloti uning tarkibiy qismlariga perpendikulyar bo'lishi talabiga asoslanadi a Va b Bundan kelib chiqadiki, 0 va 1 o'lchovli fazoning ahamiyatsiz holatlaridan tashqari, vektor mahsuloti faqat uch va etti o'lchovda aniqlanadi. Biz burchakning ta'rifidan foydalanamiz n- o'lchovli bo'shliq:

vektor mahsulotining bu xossasi uning qiymatini quyidagi shaklda beradi:

Pifagorning asosiy trigonometrik identifikatori orqali biz uning qiymatini yozishning boshqa shaklini olamiz:

O'zaro mahsulotni aniqlashning muqobil yondashuvi uning kattaligi uchun ifodadan foydalanadi. Keyin, teskari tartibda bahs yuritib, biz skalyar mahsulot bilan bog'lanishga erishamiz:

Shuningdek qarang

Eslatmalar

1. Tarix mavzusi: Bobil matematikasida Pifagor teoremasi
2. ( , 351-bet) 351-bet
3. ( , I jild, 144-bet)
4. Tarixiy faktlar muhokamasi (, 351-bet) 351-betda keltirilgan
5. Kurt Von Fritz (1945 yil aprel). "Metapontum Gipasus tomonidan o'lchovsizlikning kashfiyoti". Matematika yilnomalari, ikkinchi seriya(Matematika yilnomalari) 46 (2): 242–264.
6. Lyuis Kerroll, "Tugunlar bilan hikoya", M., Mir, 1985, p. 7
7. Asger Aaboe Matematikaning dastlabki tarixidan epizodlar. - Amerika Matematik Assotsiatsiyasi, 1997. - P. 51. - ISBN 0883856131
8. Pifagor taklifi Elisha Skott Loomis tomonidan
9. Evklidniki Elementlar: VI kitob, VI taklif 31: "To'g'ri burchakli uchburchaklarda to'g'ri burchakka cho'zilgan tomondagi raqam to'g'ri burchakni o'z ichiga olgan tomonlardagi o'xshash va shunga o'xshash tasvirlangan raqamlarga tengdir."
10. Lourens S. Leff keltirilgan ish. - Barronning ta'lim seriyasi. - P. 326. - ISBN 0764128922
11. Xovard Uitli Eves§4.8:...Pifagor teoremasini umumlashtirish // Matematikaning buyuk lahzalari (1650 yilgacha) . - Amerika Matematik Assotsiatsiyasi, 1983. - P. 41. - ISBN 0883853108
12. Tobit ibn Qorra (toʻliq ismi Sobit ibn Qurra ibn Marvan Al-Sabiʼ al-Harroniy) (milodiy 826-901) Bagʻdodda yashovchi tabib boʻlib, Evklid elementlari va boshqa matematik mavzularda koʻp yozgan.
13. Oydin Sayili (1960 yil mart). "Sobit ibn Qurraning Pifagor teoremasini umumlashtirish". Isis 51 (1): 35–37. DOI: 10.1086/348837.
14. Judit D. Sally, Pol Sally Mashq 2.10(ii) // Keltirilgan ish. - P. 62. - ISBN 0821844032
15. Bunday qurilishning tafsilotlari uchun qarang Jorj Jennings 1.32-rasm: Umumlashtirilgan Pifagor teoremasi // Ilovalar bilan zamonaviy geometriya: 150 ta raqam bilan. - 3-chi. - Springer, 1997. - B. 23. - ISBN 038794222X
16. Arlen Braun, Karl M.Pirsi element C: O'zboshimchalik uchun norma n-tuple ... // Tahlilga kirish. - Springer, 1995. - B. 124. - ISBN 0387943692 Shuningdek, 47-50-betlarga qarang.
17. Alfred Grey, Elza Abbena, Saymon Salamon Mathematica bilan egri va sirtlarning zamonaviy differensial geometriyasi. - 3-chi. - CRC Press, 2006. - P. 194. - ISBN 1584884487
18. Rajendra Bhatiya matritsa tahlili. - Springer, 1997. - B. 21. - ISBN 0387948465
19. Stiven V. Xoking keltirilgan ish. - 2005. - B. 4. - ISBN 0762419229

Teorema

To'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuzaning uzunligi kvadrati oyoqlarning uzunliklari kvadratlarining yig'indisiga teng (1-rasm):

$c^(2)=a^(2)+b^(2)$

Pifagor teoremasining isboti

$A B C$ uchburchak toʻgʻri burchakli $C$ boʻlgan toʻgʻri burchakli uchburchak boʻlsin (2-rasm).

$C$ cho'qqisidan $A B$ gipotenuzasiga balandlik chizamiz, balandlik asosini $H$ deb belgilaymiz.

To'g'ri burchakli uchburchak $A C H$ ikki burchakda $A B C$ uchburchakka o'xshaydi ($\burchak A C B=\burchak C H A=90^(\circ)$, $\burchak A$ keng tarqalgan). Xuddi shunday, $C B H$ uchburchagi $A B C$ ga o'xshaydi.

Belgilanish bilan tanishtirish

$$B C=a, A C=b, A B=c$$

uchburchaklarning o'xshashligidan biz buni olamiz

$$\frac(a)(c)=\frac(H B)(a), \frac(b)(c)=\frac(A H)(b)$$

Demak, bizda shunday bor

$$a^(2)=c \cdot H B, b^(2)=c \cdot A H$$

Olingan tengliklarni qo'shib, biz hosil qilamiz

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot H B+c \cdot A H$$

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot(H B+A H)$$

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot A B$$

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot c$$

$$a^(2)+b^(2)=c^(2)$$

Q.E.D.

Pifagor teoremasining geometrik formulasi

Teorema

To'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuzada qurilgan kvadratning maydoni oyoqlarda qurilgan kvadratlar maydonlarining yig'indisiga teng (2-rasm):

Muammoni hal qilishga misollar

Misol

Mashq qilish. Sizga oyoqlari 6 sm va 8 sm boʻlgan $A B C$ toʻgʻri burchakli uchburchak berilgan.Ushbu uchburchakning gipotenuzasini toping.

Yechim. Oyoq shartiga ko'ra $a=6$ sm, $b=8$ sm.Unda Pifagor teoremasi bo'yicha gipotenuzaning kvadrati.

$c^(2)=a^(2)+b^(2)=6^(2)+8^(2)=36+64=100$

Demak, biz kerakli gipotenuzani olamiz

$c=\sqrt(100)=10$ (sm)

Javob. 10 sm

Misol

Mashq qilish. To'g'ri burchakli uchburchakning bir oyog'i ikkinchisidan 5 sm uzunroq va gipotenuzasi 25 sm bo'lishi ma'lum bo'lsa, uning maydonini toping.

Yechim.$x$ sm kichikroq oyog'ining uzunligi, keyin $(x+5)$ sm kattasining uzunligi bo'lsin. Keyin, Pifagor teoremasiga ko'ra, bizda:

$$x^(2)+(x+5)^(2)=25^(2)$$

Qavslarni ochamiz, shunga o'xshashlarni kamaytiramiz va hosil bo'lgan kvadrat tenglamani echamiz:

$x^(2)+5 x-300=0$

Veta teoremasiga ko'ra, biz buni olamiz

$x_(1)=15$ (sm) , $x_(2)=-20$ (sm)

$x_(2)$ qiymati masala shartini qanoatlantirmaydi, ya'ni kichikroq oyog'i 15 sm, kattasi esa 20 sm.

To'g'ri burchakli uchburchakning maydoni uning oyoqlari uzunligining yarmiga teng, ya'ni

$$S=\frac(15 \cdot 20)(2)=15 \cdot 10=150\left(\mathrm(sm)^(2)\o'ng)$$

Javob.$S=150\chap(\mathrm(sm)^(2)\o'ng)$

Tarixiy ma'lumotnoma

Pifagor teoremasi- to'g'ri burchakli uchburchak tomonlari orasidagi munosabatni o'rnatuvchi Evklid geometriyasining asosiy teoremalaridan biri.

Qadimgi Xitoy kitobi "Chjou bi suan jing" tomonlari 3, 4 va 5 bo'lgan Pifagor uchburchagi haqida gapiradi. Eng yirik nemis matematika tarixchisi Moritz Kantor (1829 - 1920) tenglik $3^(2)+4^(2) deb hisoblaydi. )=5^ (2) $ miloddan avvalgi 2300-yillarda misrliklarga ma'lum bo'lgan. Olimning soʻzlariga koʻra, quruvchilar keyinchalik tomonlari 3, 4 va 5 boʻlgan toʻgʻri burchakli uchburchaklar yordamida toʻgʻri burchaklar yasagan. Bobilliklar orasida Pifagor teoremasi haqida biroz koʻproq maʼlum. Bitta matnda teng yonli to'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasining taxminiy hisobi berilgan.

Hozirgi vaqtda ilmiy adabiyotlarda ushbu teoremaning 367 ta isboti qayd etilgan. Ehtimol, Pifagor teoremasi shunday ta'sirchan miqdordagi dalillarga ega bo'lgan yagona teoremadir. Bunday xilma-xillikni faqat teoremaning geometriya uchun fundamental ahamiyati bilan izohlash mumkin.

Ish matni rasm va formulalarsiz joylashtirilgan.
Ishning to'liq versiyasi PDF formatidagi "Ish fayllari" yorlig'ida mavjud

Kirish

Maktab geometriya kursida Pifagor teoremasidan foydalanib, faqat matematik masalalar yechiladi. Afsuski, Pifagor teoremasini amaliy qo'llash masalasi ko'rib chiqilmaydi.

Shu munosabat bilan mening ishimning maqsadi Pifagor teoremasining qamrovini aniqlash edi.

Hozirgi vaqtda fan va texnikaning ko'plab sohalari rivojlanishining muvaffaqiyati matematikaning turli sohalarining rivojlanishiga bog'liqligi umumiy e'tirof etilgan. Ishlab chiqarish samaradorligini oshirishning muhim sharti texnologiya va xalq xo‘jaligiga matematik usullarni keng joriy etish bo‘lib, u amaliyotda ilgari surilgan muammolarni hal etish imkonini beruvchi sifat va miqdor tadqiqotining yangi, samarali usullarini yaratishni nazarda tutadi.

Men Pifagor teoremasini amaliy qo'llash misollarini ko'rib chiqaman. Men teoremadan foydalanishning barcha misollarini berishga harakat qilmayman - bu mumkin emas. Teoremani qo'llash sohasi juda keng va odatda uni etarli darajada to'liqlik bilan ko'rsatib bo'lmaydi.

Gipoteza:

Pifagor teoremasidan foydalanib, siz nafaqat matematik muammolarni hal qilishingiz mumkin.

Ushbu tadqiqot ishi uchun quyidagi maqsad belgilangan:

Pifagor teoremasining qamrovini aniqlang.

Yuqoridagi maqsaddan kelib chiqib, quyidagi vazifalar belgilandi:

Pifagor teoremasining turli manbalarda amaliy qo‘llanilishi haqida ma’lumot to‘plang va teoremaning qo‘llanish sohalarini aniqlang.

Pifagor va uning teoremasi haqida ba'zi tarixiy ma'lumotlarni bilib oling.

Tarixiy masalalarni yechishda teoremaning qo‘llanilishini ko‘rsating.

Mavzu bo'yicha to'plangan ma'lumotlarni qayta ishlang.

Men ma'lumot qidirish va to'plash bilan shug'ullanardim - bosma materiallarni o'rgandim, Internetda materiallar bilan ishladim va to'plangan ma'lumotlarni qayta ishladim.

Tadqiqot metodologiyasi:

Nazariy materialni o'rganish.

Tadqiqot usullarini o'rganish.

Tadqiqotning amaliy amalga oshirilishi.

Kommunikativ (o'lchash usuli, so'roq).

Loyiha turi: axborot tadqiqoti. Ish bo'sh vaqtimda amalga oshirildi.

Pifagor haqida.

Pifagor - qadimgi yunon faylasufi, matematiki va astronomi. U geometrik figuralarning ko‘pgina xossalarini asoslab berdi, sonlar va ularning nisbatlarining matematik nazariyasini ishlab chiqdi. U astronomiya va akustika rivojiga katta hissa qo'shgan. "Oltin oyatlar" muallifi, Krotondagi Pifagor maktabining asoschisi.

Afsonaga ko'ra, Pifagor miloddan avvalgi 580 yilda tug'ilgan. e. Samos orolida badavlat savdogar oilasida. Uning onasi Pitasis o'z ismini Apollonning ruhoniysi Pifiya sharafiga oldi. Pifiya Mnesarx va uning xotiniga o'g'il tug'ilishini bashorat qilgan, o'g'liga ham Pifiya nomi berilgan. Ko'pgina qadimiy guvohliklarga ko'ra, bola ajoyib darajada chiroyli edi va tez orada o'zining ajoyib qobiliyatlarini namoyish etdi. U birinchi bilimni zargar va qimmatbaho tosh o'ymakor bo'lgan otasi Mnesarxdan olgan, u o'g'lining ishini davom ettirishini orzu qilgan. Ammo hayot boshqacha hukm qildi. Bo'lajak faylasuf fanlarga juda moyillik ko'rsatdi. Pifagor o'qituvchilari orasida Siroslik Perekidlar va oqsoqol Germodamant bor edi. Birinchisi bolada ilm-fanga, ikkinchisi musiqa, rasm va she'riyatga muhabbat uyg'otdi. Keyinchalik Pifagor mashhur faylasuf - matematik Miletlik Thales bilan uchrashdi va uning maslahati bilan o'sha paytdagi ilmiy va tadqiqot faoliyati markazi bo'lgan Misrga jo'nadi. 22 yil Misrda va 12 yil Bobilda yashagach, u Samos oroliga qaytib keldi, keyin noma'lum sabablarga ko'ra uni tark etib, Italiya janubidagi Kroton shahriga ko'chib o'tdi. Bu yerda u falsafa va matematikaning turli masalalarini oʻrganuvchi Pifagor maktabini (ittifoqini) yaratdi. Taxminan 60 yoshida Pifagor o'z shogirdlaridan biri Teanoga uylandi. Ularning uchta farzandi bor va ularning barchasi otalariga ergashishadi. O'sha davrning tarixiy sharoiti aristokratlar hokimiyatiga qarshi demolarning keng harakati bilan tavsiflanadi. Xalq g'azabi to'lqinlaridan qochib, Pifagor va uning shogirdlari Tarentum shahriga ko'chib o'tishdi. Bir versiyaga ko'ra: Kilon boy va yovuz odam uning oldiga mast holda birodarlikka qo'shilishni xohlaydi. Rad etilgan Cylon Pifagor bilan jang boshladi. Yong'in paytida o'quvchilar o'z hisobidan o'qituvchining hayotini saqlab qolishgan. Pifagor uyini sog'indi va tez orada o'z joniga qasd qildi.

Shuni ta'kidlash kerakki, bu uning tarjimai holining variantlaridan biridir. Uning tug'ilgan va o'limining aniq sanalari aniqlanmagan, uning hayotining ko'plab faktlari bir-biriga ziddir. Lekin bir narsa aniq: bu odam yashab o‘z avlodlariga buyuk falsafiy-matematik meros qoldirgan.

Pifagor teoremasi.

Pifagor teoremasi geometriyaning eng muhim bayonotidir. Teorema quyidagicha tuzilgan: to'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasiga qurilgan kvadratning maydoni uning oyoqlarida qurilgan kvadratlar maydonlarining yig'indisiga teng.

Ushbu bayonotning kashfiyoti Samoslik Pifagorga (miloddan avvalgi XII asr) tegishli.

Bobil mixxatlari va qadimiy xitoy qoʻlyozmalarini (hatto eski qoʻlyozmalarning nusxalari) oʻrganish shuni koʻrsatdiki, mashhur teorema Pifagordan ancha oldin, ehtimol undan bir necha ming yillar oldin maʼlum boʻlgan.

(Ammo Pifagor unga to'liq dalil bergan degan taxmin bor)

Ammo yana bir fikr bor: Pifagor maktabida barcha fazilatlarni Pifagorga bog'lash ajoyib odat edi va kashfiyotchilarning shon-shuhratiga mos kelmadi, ehtimol bir nechta holatlar bundan mustasno.

(Iamblix-suriy yunon tilida so'zlashuvchi yozuvchi, "Pifagor hayoti" risolasining muallifi. (milodiy II asr)

Shunday qilib, nemis matematika tarixchisi Kantor 3 2 + 4 2= 5 2 tengligi bo'lgan deb hisoblaydi.

Miloddan avvalgi 2300-yillarda misrliklarga ma'lum. e. qirol Amenechmet davrida (Berlin muzeyining 6619-papirusiga ko'ra). Ba'zilar Pifagor teoremani to'liq isbotlagan deb hisoblashadi, boshqalari esa uning bu qadriyatini inkor etadilar.

Ba'zilar Evklidning "Elementlar" asarida keltirgan isbotini Pifagorga bog'lashadi. Boshqa tomondan, Prokl (matematik, 5-asr) «Asosiylar»dagi isbot Evklidning oʻziga tegishli ekanligini, yaʼni matematika tarixida Pifagorning matematik faoliyati toʻgʻrisida ishonchli maʼlumotlar deyarli yoʻqligini taʼkidlaydi. Matematikada, ehtimol, har xil taqqoslashga loyiq bo'lgan boshqa teorema yo'q.

Evklidning "Boshlanishlari" ning ba'zi ro'yxatlarida bu teorema chizmaning asalari, kapalak ("kapalak teoremasi") bilan o'xshashligi uchun "nimfa teoremasi" deb nomlangan, bu yunoncha nimfa deb nomlangan. Yunonlar bu so'zni boshqa ma'budalar, shuningdek, yosh ayollar va kelinlar deb ham atashgan. Arabcha tarjimon rasmga e’tibor bermay, “nimfa” so‘zini “kelin” deb tarjima qilgan. “Kelin teoremasi” degan mehrli nom shunday paydo bo'ldi. Samoslik Pifagor o‘z teoremasini isbotlaganida, 100 ta ho‘kizni qurbon qilib, xudolarga minnatdorchilik bildirgan, degan rivoyat bor. Shuning uchun boshqa nom - "yuz buqa teoremasi".

Ingliz tilida so'zlashadigan mamlakatlarda uni "shamol tegirmoni", "tovus dumi", "kelin kursisi", "eshak ko'prigi" deb atashgan (agar talaba undan "o'ta olmasa", u haqiqiy "eshak" edi).

Inqilobdan oldingi Rossiyada teng yonli uchburchak ishi uchun Pifagor teoremasining chizmasi "Pifagor shimi" deb nomlangan.

Ushbu "shimlar" to'g'ri burchakli uchburchakning har bir tomonida tashqi tomonga kvadratchalar qurganda paydo bo'ladi.

Pifagor teoremasining necha xil isboti bor?

Pifagor davridan beri ularning 350 dan ortig'i paydo bo'lgan.Teorema Ginnesning rekordlar kitobiga kiritilgan. Agar teoremaning isbotlarini tahlil qiladigan bo'lsak, ular bir nechta tubdan farqli fikrlardan foydalanadilar.

Teoremani qo'llash sohalari.

U hal qilishda keng qo'llaniladi geometrik vazifalar.

Uning yordami bilan siz butun sonlarning kvadrat ildizlarining qiymatlarini geometrik tarzda topishingiz mumkin:

Buning uchun biz birlik oyoqlari bilan AOB to'g'ri burchakli uchburchakni (A burchagi 90 °) quramiz. U holda uning gipotenuzasi √2 ga teng. Keyin bitta BC segmentini quramiz, BC OB ga perpendikulyar, gipotenuzaning uzunligi OS=√3 va hokazo.

(bu usul Evklid va F. Kirenskiyda uchraydi).

Kursdagi vazifalar fizika o'rta maktab Pifagor teoremasini bilishni talab qiladi.

Bu tezliklarni qo'shish bilan bog'liq vazifalar.

Slaydga e'tibor bering: 9-sinf fizika darsligidan topshiriq. Amaliy ma'noda uni quyidagicha shakllantirish mumkin: jadvalga rioya qilish uchun iskala o'rtasida yo'lovchilarni olib ketayotgan qayiq daryo oqimining qaysi burchagida harakatlanishi kerak? (Perslar daryoning qarama-qarshi qirg'og'ida joylashgan)

Biatlonchi nishonga o'q uzganda, u "shamolni tuzatish" qiladi. Agar shamol o'ngdan essa va sportchi to'g'ri chiziqda o'q uzsa, o'q chap tomonga o'tadi. Nishonga tegish uchun ko'rishni o'qning siljish masofasi bo'yicha o'ngga siljitish kerak. Ular uchun maxsus jadvallar tuzilgan (O'rtoq Pifagorning oqibatlari asosida). Biatlonchi ma'lum shamol tezligida ko'rishni qaysi burchakka o'zgartirishni biladi.

Astronomiya - teoremani qo'llash uchun ham keng maydon yorug'lik nurining yo'li. Rasmda yorug'lik nurining yo'li ko'rsatilgan A B ga va orqaga. Nurning yo'li aniqlik uchun egri o'q bilan ko'rsatilgan, aslida yorug'lik nuri to'g'ri.

Nurning yo'li qanday? Nur bir xil tarzda oldinga va orqaga tarqaladi. Nur bosib o'tgan yo'lning yarmi nima? Agar segmentni belgilasak AB ramzi l, vaqtning yarmi kabi t, shuningdek yorug'lik tezligini harf bilan bildiradi c, keyin bizning tenglamamiz shaklni oladi

c*t=l

Bu tezlikka sarflangan vaqtning mahsuli!

Keling, xuddi shu hodisani boshqa mos yozuvlar tizimidan, masalan, harakatlanuvchi nurning yonidan tezlik bilan uchib o'tayotgan kosmik kemadan ko'rishga harakat qilaylik. v. Bunday kuzatish bilan barcha jismlarning tezligi o'zgaradi va harakatsiz jismlar tezlik bilan harakat qila boshlaydi. v qarama-qarshi yo'nalishda. Aytaylik, kema chap tomonga harakatlanyapti. Keyin quyon yuguradigan ikkita nuqta bir xil tezlikda o'ngga o'tadi. Bundan tashqari, quyon o'z yo'lida yugurayotganda, boshlang'ich nuqtasi A siljiydi va nur yangi nuqtaga qaytadi C.

Savol: yorug'lik nuri harakatlanayotganda nuqta qancha vaqt harakat qiladi (C nuqtaga aylanish uchun)? Aniqroq: bu ofsetning yarmi nimaga teng? Nurning sayohat vaqtining yarmini harf bilan belgilasak t", va masofaning yarmi AC xat d, keyin biz tenglamamizni quyidagi shaklda olamiz:

v * t" = d

xat v kosmik kemaning tezligini ko'rsatadi.

Yana bir savol: bu holda yorug'lik nuri qanday yo'lni bosib o'tadi?(Aniqrog'i, bu yo'lning yarmi nima? Noma'lum ob'ektgacha bo'lgan masofa qancha?)

Agar yorug'lik yo'lining yarmi uzunligini s harfi bilan belgilasak, u holda tenglamani olamiz:

c*t" = s

Bu yerga c yorug'lik tezligi, va t" yuqorida muhokama qilingan vaqt bilan bir xil.

Endi uchburchakni ko'rib chiqing ABC. Bu balandligi teng bo'lgan teng yonli uchburchak l, biz jarayonni qat'iy nuqtai nazardan ko'rib chiqishda joriy qildik. Harakat perpendikulyar bo'lgani uchun l, keyin bu unga ta'sir qila olmadi.

Uchburchak ABC ikki yarmidan tashkil topgan - bir xil to'g'ri burchakli uchburchaklar, ularning gipotenuslari AB Va Miloddan avvalgi oyoqlari bilan bog'langan bo'lishi kerak Pifagor teoremasiga ko'ra. Oyoqlardan biri d, biz hozirgina hisoblab chiqdik va ikkinchi oyog'i s bo'lib, yorug'lik o'tadi va biz ham hisoblab chiqdik.Biz tenglamani olamiz:

s 2 = l 2 +d 2

Bu Pifagor teoremasi!

Fenomen yulduz aberatsiyasi, 1729 yilda kashf etilgan bo'lib, osmon sferasidagi barcha yulduzlar ellipslarni tasvirlaydi. Ushbu ellipslarning yarim katta o'qi Yerdan 20,5 daraja burchak ostida kuzatiladi. Bu burchak Yerning Quyosh atrofida soatiga 29,8 km tezlikda harakatlanishi bilan bog'liq. Harakatlanayotgan Yerdan yulduzni kuzatish uchun teleskop trubkasini yulduz harakati bo'ylab oldinga burish kerak, chunki yorug'lik teleskop uzunligi bo'ylab harakatlanayotganda, okulyar yer bilan birga oldinga siljiydi. Yorug'lik va Yerning tezligini qo'shish vektorli ravishda amalga oshiriladi.

Pifagorlar. U 2 \u003d C 2 + V 2

C - yorug'lik tezligi

V-yer tezligi

teleskop trubkasi

O'n to'qqizinchi asrning oxirida Marsning odamlarga o'xshash aholisi borligi haqida turli xil taxminlar paydo bo'ldi, bu italiyalik astronom Schiaparelli kashfiyotlari natijasidir (u Marsda uzoq vaqt davomida sun'iy deb hisoblangan kanallarni ochgan) . Tabiiyki, bu faraziy mavjudotlar bilan yorug‘lik signallari yordamida muloqot qilish mumkinmi, degan savol qizg‘in muhokamalarga sabab bo‘ldi. Parij Fanlar akademiyasi hatto boshqa samoviy jismning qaysidir yashovchisi bilan aloqa o'rnatgan birinchi odam uchun 100 000 frank miqdorida mukofot belgilagan; bu mukofot hali ham omadlini kutmoqda. Hazil sifatida, garchi mutlaqo asossiz bo'lmasa ham, Mars aholisiga Pifagor teoremasi ko'rinishida signal yuborishga qaror qilindi.

Buni qanday qilish ma'lum emas; lekin hammaga ayonki, Pifagor teoremasi bilan ifodalangan matematik fakt hamma joyda sodir boʻladi va shuning uchun biz kabi boshqa dunyo aholisi bunday signalni tushunishi kerak.

Mobil aloqa

Bugungi dunyoda kim uyali telefondan foydalanmaydi? Har bir mobil aloqa abonenti uning sifati bilan qiziqadi. Va sifati, o'z navbatida, uyali aloqa operatori antennasining balandligiga bog'liq. Uzatishni qaysi radiusda qabul qilish mumkinligini hisoblash uchun biz foydalanamiz Pifagor teoremasi.

R=200 km radiusda uzatishni qabul qilish uchun mobil operator antennasining maksimal balandligi qancha bo'lishi kerak? (Yerning radiusi 6380 km.)

Yechim:

Mayli AB= x , BC=R=200 km , OC= r = 6380 km.

OB=OA+ABOB=r+x.

Pifagor teoremasidan foydalanib, biz olamiz Javob: 2,3 km.

Uylar va kottejlarni qurishda, agar nurlar allaqachon qilingan bo'lsa, tom uchun raftersning uzunligi haqida savol tug'iladi. Masalan: uyda gable tomini qurish rejalashtirilgan (seksiya shakli). Agar to'sinlar AC=8 m. va AB=BF bo'lsa, raftersning uzunligi qanday bo'lishi kerak.

Yechim:

ADC uchburchak teng yon tomonli AB=BC=4 m., BF=4 m.FD=1,5 m. deb faraz qilsak, u holda:

A) DBC uchburchakdan: DB=2,5 m.

B) ABF uchburchagidan:

Oyna

Binolarda Gotika va Romanesk uslubi derazalarning yuqori qismlari tosh qovurg'alar bilan bo'linadi, ular nafaqat bezak rolini o'ynaydi, balki derazalarning mustahkamligiga ham hissa qo'shadi. Rasmda gotika uslubidagi bunday oynaning oddiy namunasi ko'rsatilgan. Uni qurish usuli juda oddiy: rasmdan radiusi teng bo'lgan oltita aylana yoylarining markazlarini topish oson.

tashqi kamar uchun deraza kengligi (b).

yarim kenglik, (b/2) ichki yoylar uchun

To'rtta yoyga tegib turgan to'liq doira hali ham mavjud. Ikki konsentrik doiralar orasiga o'ralganligi sababli, uning diametri bu doiralar orasidagi masofaga teng, ya'ni b / 2 va shuning uchun radius b / 4 ga teng. Va keyin aniq bo'ladi

uning markazining holati.

IN Romanesk me'morchiligi rasmda ko'rsatilgan motiv ko'pincha topiladi. Agar b hali ham derazaning kengligini bildirsa, u holda yarim doiralarning radiusi R = b / 2 va r = b / 4 ga teng bo'ladi. Ichki doira radiusi p ni shaklda ko'rsatilgan o'ng uchburchakdan hisoblash mumkin. nuqta chiziq. Bu uchburchakning aylanalarning teginish nuqtasidan o'tuvchi gipotenuzasi b/4+p ga, bir oyog'i b/4 ga, ikkinchisi esa b/2-p ga teng. Pifagor teoremasi bo'yicha bizda:

(b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/4-p) 2

b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2/16 + b 2/4 - bp / 2 + p 2,

b ga bo'linib, o'xshash shartlarni keltirsak, biz quyidagilarni olamiz:

(3/2)p=b/4, p=b/6.

O'rmon sanoatida: qurilish ehtiyojlari uchun loglar yog'ochga kesiladi, asosiy vazifa esa iloji boricha kamroq chiqindilarni olishdir. Chiqindilarning eng kichik miqdori nur eng katta hajmga ega bo'lganda bo'ladi. Bo'limda nima bo'lishi kerak? Yechimdan ko'rinib turibdiki, kesma kvadrat bo'lishi kerak va Pifagor teoremasi va boshqa mulohazalar shunday xulosa chiqarishga imkon beradi.

Eng katta hajmdagi bar

Vazifa

Silindrsimon logdan eng katta hajmdagi to'rtburchaklar nurni kesish kerak. Uning kesimi qanday shaklda bo'lishi kerak (23-rasm)?

Yechim

Agar to'rtburchaklar kesimning tomonlari x va y bo'lsa, u holda Pifagor teoremasi bo'yicha

x 2 + y 2 \u003d d 2,

bu erda d - logning diametri. Yog'ochning hajmi uning tasavvurlar maydoni eng katta bo'lganda, ya'ni xy eng katta qiymatiga etganida eng katta bo'ladi. Ammo agar xy eng katta bo'lsa, u holda x 2 y 2 mahsuloti ham eng katta bo'ladi. X 2 + y 2 yig'indisi o'zgarmaganligi sababli, ilgari isbotlangan narsaga ko'ra, x 2 y 2 mahsuloti eng katta bo'ladi.

x 2 \u003d y 2 yoki x \u003d y.

Shunday qilib, nurning kesimi kvadrat bo'lishi kerak.

Transport vazifalari(optimallashtirish vazifalari deb ataladigan vazifalar; echimi savolga javob berishga imkon beradigan vazifalar: katta foyda olish uchun mablag'larni qanday tasarruf etish kerak)

Bir qarashda, hech qanday maxsus narsa yo'q: poldan shiftgacha balandlikni bir necha nuqtada o'lchang, shkaf shiftga to'g'ri kelmasligi uchun bir necha santimetrni olib tashlang. Shunday qilib, mebelni yig'ish jarayonida qiyinchiliklar paydo bo'lishi mumkin. Axir, mebel ishlab chiqaruvchilari shkafni gorizontal holatda joylashtirish orqali ramkani yig'adilar va ramka yig'ilganda uni vertikal holatga ko'taradilar. Shkafning yon devorini ko'rib chiqing. Shkafning balandligi poldan shiftgacha bo'lgan masofadan 10 sm kamroq bo'lishi kerak, bu masofa 2500 mm dan oshmasligi kerak. Va shkafning chuqurligi 700 mm. Nima uchun 5 sm yoki 7 emas, balki 10 sm va Pifagor teoremasining bunga qanday aloqasi bor?

Shunday qilib: yon devor 2500-100=2400(mm) - strukturaning maksimal balandligi.

Ramkani ko'tarish jarayonida yon devor balandlikda ham, diagonalda ham erkin o'tishi kerak. tomonidan Pifagor teoremasi

AC \u003d √ AB 2 + BC 2

AC= √ 2400 2 + 700 2 = 2500 (mm)

Shkaf balandligi 50 mm ga kamaytirilsa nima bo'ladi?

AC= √ 2450 2 + 700 2 = 2548 (mm)

Diagonali 2548 mm. Shunday qilib, siz shkafni qo'ya olmaysiz (shipni buzishingiz mumkin).

Chaqmoq.

Ma'lumki, chaqmoq chaqmoq barcha ob'ektlarni chaqmoqlardan himoya qiladi, uning poydevoridan masofa uning ikki barobar balandligidan oshmaydi. Gable uyingizda chaqmoq chizig'ining eng past balandligini ta'minlab, uning optimal holatini aniqlash kerak.

Pifagor teoremasiga ko'ra h 2 ≥ a 2 +b 2 anglatadi h≥(a 2 +b 2) 1/2

Shoshilinch ravishda ularning yozgi uyida ko'chatlar uchun issiqxona qilish kerak.

Taxtalardan 1m1m kvadrat yiqildi. 1,5 m1,5 m o'lchamdagi plyonka qoldiqlari mavjud. Kvadratning markazida qaysi balandlikda rels o'rnatilishi kerak, shunda plyonka uni to'liq qoplaydi?

1) Issiqxona diagonali d == 1,4;0,7

2) plyonka diagonali d 1= 2,12 1,06

3) temir yo'l balandligi x= 0,7

Xulosa

Tadqiqotlar natijasida men Pifagor teoremasini qo'llashning ba'zi sohalarini bilib oldim. Men ushbu mavzu bo'yicha adabiy manbalardan va Internetdan juda ko'p materiallar to'pladim va qayta ishladim. Men Pifagor va uning teoremasi haqidagi ba'zi tarixiy ma'lumotlarni o'rgandim. Ha, haqiqatan ham, Pifagor teoremasidan foydalanib, siz nafaqat matematik muammolarni hal qilishingiz mumkin. Pifagor teoremasi qurilish va arxitektura, mobil aloqa va adabiyotda o'z qo'llanilishini topdi.

Pifagor teoremasi haqidagi ma'lumot manbalarini o'rganish va tahlil qilish

shuni ko'rsatdi:

A) matematiklar va matematiklarning teoremaga alohida e'tibor qaratishlari uning soddaligi, go'zalligi va ahamiyatiga asoslanadi;

b) Pifagor teoremasi ko'p asrlar davomida qiziqarli va muhim matematik kashfiyotlar uchun turtki bo'lib xizmat qiladi (Fermat teoremasi, Eynshteynning nisbiylik nazariyasi);

V) Pifagor teoremasi - butun dunyoda amal qiladigan universal matematik tilining timsoli;

G) teorema doirasi ancha keng va umuman uni yetarlicha toʻliqlik bilan koʻrsatib boʻlmaydi;

d) Pifagor teoremasining sirlari insoniyatni hayajonlantirishda davom etmoqda va shuning uchun har birimizga ularning ochilishida ishtirok etish imkoniyati beriladi.

Bibliografiya

Uspexi matematicheskikh nauk, 1962, jild 17, № 6 (108).

Aleksandr Danilovich Aleksandrov (ellik yilligida),

Aleksandrov A.D., Verner A.L., Ryjik V.I. Geometriya, 10 - 11 hujayra. - M.: Ma'rifat, 1992 yil.

Atanasyan L.S. va hokazo Geometriya, 10 - 11 hujayra. - M.: Ma'rifat, 1992 yil.

Vladimirov Yu.S. Fazo - vaqt: aniq va yashirin o'lchovlar. - M.: "Nauka", 1989 yil.

Voloshin A.V. Pifagorlar. - M.: Ma'rifat, 1993 yil.

«Matematika» gazetasi, 2006 yil 21-son.

«Matematika» gazetasi, 28-son, 1995 yil.

Geometriya: Proc. 7-11 hujayra uchun. o'rta maktab / G.P. Bevz, V.G. Bevz, N.G. Vladimirova. - M.: Ma'rifat, 1992 yil.

Geometriya: 7 - 9 katak uchun darslik. umumiy ta'lim Institutlar / L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev va boshqalar - 6-nashr. - M.: Ma'rifat, 1996 yil.

Glazer G.I. Maktabda matematika tarixi: IX - Xcl. O'qituvchilar uchun qo'llanma. - M.: Ma'rifat, 1983 yil.

8-sinf maktab darsligiga qo'shimcha boblar: Maktab o'quvchilari uchun darslik. va chuqurlashtirilgan sinflar. o'rganish matematika / L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev va boshqalar - M .: Ta'lim, 1996 yil.

Yelenskiy Sh. Pifagor izidan. M., 1961 yil.

Kiselev A.P., Rybkin N.A. Geometriya: Planimetriya: 7 - 9 katak: Darslik va muammoli kitob. - M.: Bustard, 1995 yil.

Kline M. Matematika. Haqiqatni qidirish: Ingliz tilidan tarjima. / Ed. va so'zboshi. IN VA. Arshinova, Yu.V. Sachkov. - M.: Mir, 1998 yil.

Liturman V. Pifagor teoremasi. - M., 1960 yil.

Matematika: Maktab o'quvchilari va talabalar uchun qo'llanma / B. Frank va boshqalar; Undan tarjima. - 3-nashr, stereotip. - M.: Bustard, 2003 yil.

Peltver A. Siz Pifagor kimsiz? - M.: Bilim - kuch, 12-son, 1994 yil.

Perelman Ya.I. Qiziqarli matematika. - M.: "Fan", 1976 yil.

Ponomareva T.D. Buyuk olimlar. - M .: MChJ Astrel nashriyoti, 2002 yil.

Sveshnikova A. Matematika tarixiga sayohat. - M., 1995 yil.

Semyonov E.E. Biz geometriyani o'rganamiz: Kitob. Talabalar uchun 6 - 8 hujayra. o'rta maktab - M.: Ma'rifat, 1987 yil.

Smyshlyaev V.K. Matematika va matematiklar haqida. - Mari kitob nashriyoti, 1977 yil.

Tuchnin N.P. Qanday qilib savol berish kerak. - M.: Ma'rifat, 1993 yil.

Cherkasov O.Yu. Kirish imtihonida planimetriya. - M.: Moskva litseyi, 1996 yil.

Yosh matematikning entsiklopedik lug'ati. Comp. A.P. Savin. - M.: Pedagogika, 1985 yil.

Bolalar uchun ensiklopediya. T. 11. Matematika. /Ch. Ed. M.D. Aksenova. - M.: Avanta +, 2001 yil.