Ifodalar, ifoda konvertatsiyasi

Maxrajdagi mantiqsizlikdan qanday qutulish mumkin? Usullar, misollar, echimlar

8-sinfda algebra darslarida irratsional ifodalarni o'zgartirish mavzusi doirasida suhbat o'tkaziladi. kasrning maxrajidagi irratsionallikdan ozodlik. Ushbu maqolada biz bu qanday transformatsiya ekanligini tahlil qilamiz, qanday harakatlar kasrning maxrajidagi irratsionallikdan xalos bo'lishga imkon berishini ko'rib chiqamiz va batafsil tushuntirishlar bilan tipik misollarga echimlarni taqdim etamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Kasrning maxrajidagi mantiqsizlikdan xalos bo'lish nimani anglatadi?

Avval siz maxrajdagi irratsionallik nima ekanligini va kasrning maxrajidagi irratsionallikdan xalos bo'lish nimani anglatishini tushunishingiz kerak. Bunda bizga maktab darsliklaridagi ma'lumotlar yordam beradi. Quyidagi fikrlar e'tiborga loyiqdir.

Kasrning yozuvida maxrajda ildiz belgisi (radikal) bo‘lsa, unda maxrajda shunday deyiladi. mantiqsizlik. Bu, ehtimol, ildiz belgilaridan foydalangan holda yozilgan raqamlar ko'pincha bo'lishi bilan bog'liq. Misol tariqasida kasrlarni keltiramiz , , , aniqki, ularning har birining maxrajlarida ildiz belgisi, shuning uchun irratsionallik mavjud. O'rta maktabda kasrlar bilan uchrashish muqarrar, ularning maxrajlarida irratsionallik faqat kvadrat ildiz belgilari bilan emas, balki kub ildizlar, to'rtinchi ildizlar va boshqalar bilan ham kiritiladi. Mana shunday kasrlarga misollar: , .

Taqdim etilgan ma'lumotlar va "erkin" so'zining ma'nosini hisobga olsak, quyidagi ta'rif juda tabiiy:

Ta'rif.

Kasrning maxrajidagi irratsionallikdan ozodlik maxrajida irratsional bo‘lgan kasr maxrajda ildiz belgilari bo‘lmagan bir xil teng kasr bilan almashtiriladigan o‘zgartirishdir.

Ko'pincha odamlarning o'zini ozod qilmaslik, balki kasr maxrajidagi mantiqsizlikdan xalos bo'lish haqida gapirishlarini eshitishingiz mumkin. Ma'nosi o'zgarmaydi.

Masalan, kasrdan qiymati asl kasrning qiymatiga teng bo'lgan va maxrajida ildiz belgisi bo'lmagan kasrga o'tsak, maxrajdagi irratsionallikdan xalos bo'lganimizni aytishimiz mumkin. kasr. Yana bir misol: kasrni bir xil kasr bilan almashtirish kasrning maxrajida irratsionallikdan ozodlik bor.

Shunday qilib, dastlabki ma'lumotlar olindi. Kasrning maxrajidagi mantiqsizlikdan xalos bo'lish uchun nima qilish kerakligini aniqlash qoladi.

Mantiqsizlikdan xalos bo'lish yo'llari, misollar

Odatda, mantiqsizlikdan qutulish uchun kasrning maxrajida ikkitadan foydalaniladi. kasr konvertatsiyalari: Numerator va maxrajni nolga teng bo'lmagan son yoki ifodaga ko'paytirish va ifodani maxrajga o'zgartirish. Quyida biz kasrning maxrajidan irratsionallikni olib tashlashning asosiy usullarida bu kasr konvertatsiyalaridan qanday foydalanilishini ko'rib chiqamiz. Keling, quyidagi holatlarga to'xtalib o'tamiz.

Eng oddiy hollarda ifodani maxrajga aylantirish kifoya. Masalan, maxraji to'qqizning ildizi bo'lgan kasr. Bunda uni 3 qiymatiga almashtirish maxrajni irratsionallikdan ozod qiladi.

Murakkab holatlarda, birinchi navbatda, kasrning payini va maxrajini nolga teng bo'lmagan raqam yoki ifoda bilan ko'paytirishingiz kerak, bu esa keyinchalik kasrning maxrajini radikal belgilari bo'lmagan shaklga aylantirish imkonini beradi. Masalan, kasrning soni va maxraji ga ko'paytirilgandan so'ng, kasr shaklni oladi. , keyin esa maxrajdagi ifoda ildizlarning belgilarisiz x+1 ifoda bilan almashtirilishi mumkin. Shunday qilib, kasr maxrajdagi irratsionallikdan ozod bo'lgandan so'ng, kasr shaklini oladi.

Agar umumiy holat haqida gapiradigan bo'lsak, unda kasrning maxrajidagi irratsionallikdan xalos bo'lish uchun har xil ruxsat etilgan o'zgarishlarga, ba'zan esa aniq o'zgarishlarga murojaat qilish kerak.

Va endi batafsil.

Ifodani kasrning maxrajiga aylantirish

Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, kasrning maxrajidagi irratsionallikdan xalos bo'lish usullaridan biri maxrajni o'zgartirishdir. Keling, misollarning yechimlarini ko'rib chiqaylik.

Misol.

Kasrning maxrajidagi mantiqsizlikdan xalos bo'ling .

Yechim.

Maxrajdagi qavslarni ochib, ifodaga kelamiz . Keyin ular kasrlarga o'tishga imkon beradi . Ildiz belgilari ostidagi qiymatlarni hisoblab, bizda mavjud . Shubhasiz, olingan ifodada 1/16 ga teng bo'lgan kasrni berish mumkin. Shu tariqa biz maxrajdagi mantiqsizlikdan qutuldik.

Odatda yechim tushuntirishsiz qisqacha yoziladi, chunki bajarilgan harakatlar juda oddiy:

Javob:

.

Misol.

Yechim.

Ildiz xossalaridan foydalangan holda irratsional ifodalarni o‘zgartirish haqida gapirganda, n bo‘lgan har qanday A ifodasi uchun (bizning holatda n=2) ifodani |A| ifoda bilan almashtirish mumkinligini ta’kidladik. original ifoda uchun o'zgaruvchilarning butun ODZ bo'yicha. Shunday qilib, siz berilgan kasrni quyidagi o'zgartirishni amalga oshirishingiz mumkin: , bu bizni maxrajdagi irratsionallikdan xalos qiladi.

Javob:

.

Numerator va maxrajni ildizga ko'paytirish

Kasrning maxrajidagi ifoda shaklga ega bo'lsa, A ifodasi ildiz belgilarini o'z ichiga olmaydi, u holda pay va maxrajni ko'paytirish maxrajdagi irratsionallikdan xalos bo'lishga imkon beradi. Bu harakat mumkin, chunki u asl ifoda uchun o'zgaruvchan o'zgaruvchilarda yo'qolmaydi. Bunday holda, maxraj radikal belgilarsiz shaklga osongina aylantirilishi mumkin bo'lgan ifoda hosil qiladi: . Keling, ushbu yondashuvning qo'llanilishini misollar bilan ko'rsatamiz.

Misol.

Kasrning maxrajidagi irratsionallikdan ozod bo'ling: a) , b) .

Yechim.

a) Kasrning soni va maxrajini uchta kvadrat ildizga ko'paytirsak, biz hosil bo'lamiz .

b) maxrajdagi kvadrat ildiz belgisidan qutulish uchun kasrning soni va maxrajini ga ko'paytiring, so'ngra maxrajdagi o'zgarishlarni bajaring:

Javob:

a) , b) .

Agar maxrajda faktorlar bo'lsa yoki m va n ba'zi natural sonlar bo'lsa, pay va maxraj shunday ko'paytmaga ko'paytirilishi kerakki, shundan so'ng maxrajdagi ifoda yoki ko'rinishiga aylantirilishi mumkin, bu erda k mos ravishda ba'zi natural sonlar. Keyin maxrajda irratsionalliksiz kasrga o'tish oson. Keling, misollar yordamida maxrajdagi irratsionallikdan xalos bo'lishning tasvirlangan usulini qo'llashni ko'rsatamiz.

Misol.

Kasrning maxrajidagi irratsionallikdan ozod bo'ling: a) , b) .

Yechim.

a) 3 dan katta va 5 ga bo'linadigan eng yaqin natural son 5 ga teng. Oltining ko'rsatkichi beshga teng bo'lishi uchun maxrajdagi ifodani ko'paytirish kerak. Binobarin, kasrning maxrajidagi irratsionallikdan xalos bo'lish son va maxrajni ko'paytirish kerak bo'lgan ifoda bilan osonlashadi:

b) Shubhasiz, 15 dan oshadigan va 4 ga qoldiqsiz bo'linadigan eng yaqin natural son 16 dir. Maxrajdagi ko'rsatkich 16 ga teng bo'lishi uchun u yerdagi ifodani ko'paytirish kerak. Shunday qilib, asl kasrning payini va maxrajini (esda tuting, bu ifodaning qiymati har qanday haqiqiy x uchun nolga teng emas) ga ko'paytirilsa, maxrajdagi irratsionallikdan xalos bo'ladi:

Javob:

A) , b) .

Uning konjugati bilan ko'paytirish

Kasr maxrajidagi irratsionallikdan qutulishning quyidagi usuli maxrajda , , , yoki shaklidagi ifodalarni o'z ichiga olgan holatlarni qamrab oladi. Bunday hollarda, kasrning maxrajidagi irratsionallikdan xalos bo'lish uchun siz kasrning hisoblagichi va maxrajini deb atalmish bilan ko'paytirishingiz kerak. konjugativ ifoda.

Qaysi iboralar yuqoridagilarga konjugat ekanligini aniqlash uchun qoladi. Ifoda uchun qo'shma ifoda , ifoda uchun esa qo'shma ifoda bo'ladi. Xuddi shunday, ifoda uchun konjugat , ifoda uchun esa konjugat . Va ifoda uchun konjugat, ifoda uchun esa bog'lovchi bo'ladi. Demak, bu iboraga qo`shma ibora undan ikkinchi had oldidagi belgi bilan farq qiladi.

Keling, ifodani konjugatga ko'paytirish nimaga olib kelishini ko'rib chiqaylik. Masalan, ishni ko'rib chiqing . Uni kvadratlar farqi bilan almashtirish mumkin, ya'ni bu erdan ildiz belgilarini o'z ichiga olmaydigan a−b ifodasiga o'tishimiz mumkin.

Endi kasrning soni va maxrajini maxrajga konjugat ifodasiga ko'paytirish kasrning maxrajidagi irratsionallikdan xalos bo'lishga qanday imkon berishi aniq bo'ladi. Keling, odatiy misollarning echimlarini ko'rib chiqaylik.

Misol.

Ifodani maxrajida radikal bo'lmagan kasr sifatida tasavvur qiling: a) , b) .

Yechim.

a) maxrajga qo‘shilgan ifoda . Keling, son va maxrajni unga ko'paytiramiz, bu bizga kasrning maxrajidagi irratsionallikdan xalos bo'lishga imkon beradi:

b) ifodaning konjugati . Numerator va maxrajni unga ko'paytirsak, biz olamiz

Avval maxrajdan minus belgisini olib tashlash mumkin edi va shundan keyingina hisoblagich va maxrajni maxrajga konjugat ifodasi bilan ko'paytiring:

Javob:

A) , b) .

Iltimos, diqqat qiling: kasrning hisoblagichi va maxrajini o'zgaruvchilari maxrajga konjugatsiyalangan ifodaga ko'paytirishda, u asl ifoda uchun ODZ dan o'zgaruvchilar qiymatlari to'plami uchun yo'qolmasligiga e'tibor berish kerak.

Misol.

Kasrning maxrajidagi mantiqsizlikdan ozod bo'ling.

Yechim.

Birinchidan, x o'zgaruvchisining ruxsat etilgan qiymatlari oralig'ini (APV) topamiz. U x≥0 va shartlari bilan aniqlanadi, shundan ODZ x≥0 to’plam degan xulosaga kelamiz.

Maxrajning konjugat ifodasi . ODZ bo'yicha x≠16 shartga ekvivalent bo'lishi sharti bilan kasrning sonini va maxrajini unga ko'paytirishimiz mumkin. Bu holatda bizda bor

Va x=16 da biz bor .

Shunday qilib, ODZ dan x o'zgaruvchining barcha qiymatlari uchun, x=16 dan tashqari, , va x=16 uchun bizda mavjud.

Javob:

Kublar yig'indisi va kublar ayirmasi formulalaridan foydalanish

Oldingi xatboshidan biz kasrning sonini va maxrajini maxrajga ifodalangan ifodaga ko'paytirish kvadratlar formulasining farqini keyinchalik qo'llash va shu bilan maxrajdagi irratsionallikdan xalos bo'lish uchun amalga oshirilishini bilib oldik. Ba'zi hollarda, boshqa qisqartirilgan ko'paytirish formulalari maxrajdagi irratsionallikdan xalos bo'lish uchun foydalidir. Masalan, kublar farqi formulasi a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+b 2) kasrning maxrajida shaklning kub ildizlari bo'lgan iboralar mavjud bo'lsa, irratsionallikdan xalos bo'lishga imkon beradi. , bu erda A va B ba'zi raqamlar yoki ifodalar. Buning uchun kasrning soni va maxraji yig'indining qisman kvadratiga ko'paytiriladi. yoki mos ravishda farq bilan. Kublar yig'indisi formulasi xuddi shu tarzda qo'llaniladi. a 3 +b 3 =(a+b)·(a 2 −a·b+b 2).

Misol.

Kasrning maxrajidagi irratsionallikdan ozod bo'ling: a) , b) .

Yechim.

a) Bu holda, hisoblagich va maxrajni raqamlar yig'indisining to'liq bo'lmagan kvadratiga ko'paytirish va maxrajdagi irratsionallikdan xalos bo'lishga imkon berishini taxmin qilish oson, chunki kelajakda bu sizga ifodani o'zgartirishga imkon beradi. kublar ayirmasi formulasidan foydalanib maxrajda:

b) Kasrning maxrajidagi ifodasi shaklida ifodalanishi mumkin , shundan aniq ko'rinib turibdiki, bu 2 va raqamlar orasidagi farqning to'liq bo'lmagan kvadrati. Shunday qilib, agar kasrning numeratori va maxraji yig'indiga ko'paytirilsa, u holda maxraj kublar yig'indisi formulasi yordamida o'zgartirilishi mumkin, bu bizni kasrning maxrajidagi irratsionallikdan xalos qiladi. Buni keyingi x≠−8 shartga ekvivalent bo'lgan shart ostida bajarish mumkin:

Va x=−8 ni asl kasrga almashtirganda, bizda mavjud .

Shunday qilib, asl kasr uchun ODZ dan barcha x uchun (bu holda bu R to'plami), x=−8 bundan mustasno, bizda mavjud , va x=8 uchun bizda mavjud .

Javob:

Turli usullardan foydalanish

Murakkab misollarda, odatda, bitta harakatda maxrajdagi mantiqsizlikdan xalos bo'lish mumkin emas, lekin siz ketma-ket usullarni, shu jumladan yuqorida muhokama qilinganlarni ham qo'llashingiz kerak. Ba'zida ba'zi nostandart echimlar talab qilinishi mumkin. Muhokama qilinayotgan mavzu bo'yicha juda qiziqarli vazifalarni Yu. N. Kolyagin muallifligidagi darslikda topish mumkin. Adabiyotlar ro'yxati.

1. Algebra: darslik 8-sinf uchun. umumiy ta'lim muassasalar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tomonidan tahrirlangan S. A. Telyakovskiy. - 16-nashr. - M.: Ta'lim, 2008. - 271 b. : kasal. - ISBN 978-5-09-019243-9.
2. Mordkovich A.G. Algebra. 8-sinf. 2 soat ichida 1-qism. Umumta'lim muassasalari o'quvchilari uchun darslik / A. G. Mordkovich. - 11-nashr, o'chirilgan. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 b.: kasal. ISBN 978-5-346-01155-2.
3. Algebra va matematik tahlilning boshlanishi. 10-sinf: darslik. umumiy ta'lim uchun muassasalar: asosiy va profil. darajalari / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; tomonidan tahrirlangan A. B. Jijchenko. - 3-nashr. - M.: Ta'lim, 2010.- 368 b. : kasal. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Denni Perik Kampana

Afsuski, rus tiliga tarjima qilinmagan maktab o'quvchilari uchun yana bir qiziqarli kitob - bu juda g'ayrioddiy va qiziqarli shaxs bo'lgan Chili matematika o'qituvchisi Denni Perich Kampananing "Danielning matematik sarguzashtlari" (Las Aventuras Matemáticas de Daniel) kitobidir. U nafaqat bolalarga dars beradi, balki qo'shiqlar yozadi va matematika bo'yicha turli o'quv materiallarini Internetga joylashtiradi. Ularni YouTube va http://www.sectormatematica.cl/ veb-saytida topish mumkin (albatta, barcha materiallar ispan tilida).

Bu erda men Danni Perikning kitobidan bir bobni joylashtiraman. Men uni maktab o'quvchilari uchun juda qiziqarli va foydali deb topdim. Nima haqida gapirayotganimizni aniqroq qilish uchun aytamanki, Doniyor va Kamila maktabda ishlaydi, ular o'qituvchi.

Mantiqsizlikdan qutulish siri

"Kamila, men darsda nima uchun foydalanilayotganini tushuntirishga harakat qilayotganimda juda ko'p muammolarga duch kelyapman", dedi Daniel.

- Nima haqida gapirayotganingizni umuman tushunmayapman.

- Men barcha maktab darsliklarida va hatto universitet darajasidagi kitoblarda nima borligi haqida gapiryapman. Menda hali ham shubha bor: nima uchun siz maxrajdagi mantiqsizlikdan xalos bo'lishingiz kerak? Men esa uzoq vaqtdan beri tushunmagan narsamni odamlarga aytishdan nafratlanaman, - deb shikoyat qildi Doniyor.

"Men bu qayerdan kelib chiqqanini va nima uchun kerakligini ham bilmayman, ammo buning mantiqiy izohi bo'lishi kerak.

— Men bir marta ilmiy jurnalda maxrajdagi mantiqsizlikdan xalos bo‘lish natijani yanada aniqroq olish imkonini berishi haqida o‘qiganman, lekin men buni boshqa hech qachon ko‘rmaganman va bu haqiqat ekanligiga ishonchim komil emas.

- Nega tekshirmaymiz? — soʻradi Kamila.

"Siz haqsiz", deb rozi bo'ldi Doniyor. — Shikoyat qilishdan ko'ra, o'zingiz xulosa chiqarishga harakat qiling. Keyin menga yordam bering ...

- Albatta, hozir o'zim ham bunga qiziqaman.

"Biz ba'zi iboralarni olib, maxrajdagi irratsionallikdan xalos bo'lishimiz kerak, keyin ildizni uning qiymati bilan almashtiramiz va maxrajdagi irratsionallikdan xalos bo'lishdan oldingi va keyin ifoda natijasini topamiz va biror narsa o'zgaradimi yoki yo'qmi".

- Albatta, - rozi bo'ldi Kamila. - Keling, shunday qilaylik.

"Masalan, iborani olaylik", dedi Doniyor va nima bo'layotganini yozish uchun qog'oz oldi. - Hisob va maxrajni ko'paytiring va ni oling.

"Bu to'g'ri bo'ladi va agar biz shunga o'xshash boshqa mantiqsiz iboralarni ko'rib chiqsak, xulosa chiqarishimizga yordam beradi", dedi Kamila.

"Roziman, - dedi Doniyor, - men son va maxrajni ga bo'laman, siz esa ularni ga ko'paytirasiz."

- Men muvaffaq bo'ldim. Sizchi?

- Menda, - javob berdi Doniyor. - Endi keling, asl ifodani va hosil bo'lganlarni hisoblab chiqamiz, uni uning qiymati bilan kalkulyator bergan barcha kasrlar bilan almashtiramiz. Biz olamiz:

"Men hech qanday maxsus narsani ko'rmayapman", dedi Kamila. "Men mantiqsizlikdan xalos bo'lishni oqlaydigan qandaydir farqni kutgan edim."

"Sizga aytganimdek, men bir marta yondashuv bilan bog'liq holda bu haqda o'qiganman. Agar uni kamroq aniq raqam bilan almashtirsak, nima deysiz, masalan?

- Keling, nima bo'lishini ko'rib chiqaylik.

Kasrli tenglamalarni yechish Keling, misollarni ko'rib chiqaylik. Misollar oddiy va tushunarli. Ularning yordami bilan siz eng tushunarli tarzda tushunishingiz mumkin.
Masalan, oddiy x/b + c = d tenglamasini yechish kerak.

Bunday turdagi tenglama chiziqli deb ataladi, chunki Maxraj faqat raqamlarni o'z ichiga oladi.

Yechim tenglamaning ikkala tomonini b ga ko'paytirish orqali amalga oshiriladi, keyin tenglama x = b* (d - c) ko'rinishini oladi, ya'ni. chap tomondagi kasrning maxraji bekor qilinadi.

Masalan, kasrli tenglamani qanday yechish mumkin:
x/5+4=9
Biz ikkala tomonni 5 ga ko'paytiramiz.
x+20=45
x=45-20=25

Noma'lum maxrajda bo'lgan boshqa misol:

Bunday turdagi tenglamalar kasr-ratsional yoki oddiy kasr deyiladi.

Biz kasr tenglamasini kasrlardan xalos bo'lish yo'li bilan yechamiz, shundan so'ng bu tenglama ko'pincha chiziqli yoki kvadrat tenglamaga aylanadi, u odatiy tarzda echiladi. Siz faqat quyidagi fikrlarni hisobga olishingiz kerak:

• maxrajni 0 ga aylantiruvchi o‘zgaruvchining qiymati ildiz bo‘la olmaydi;
• Siz tenglamani =0 ifodasiga bo'la olmaysiz yoki ko'paytira olmaysiz.

Bu erda ruxsat etilgan qiymatlar mintaqasi (ADV) tushunchasi kuchga kiradi - bu tenglama mantiqiy bo'lgan tenglama ildizlarining qiymatlari.

Shunday qilib, tenglamani yechishda ildizlarni topish va keyin ularni ODZga muvofiqligini tekshirish kerak. Bizning ODZga mos kelmaydigan ildizlar javobdan chiqarib tashlanadi.

Masalan, kasr tenglamasini echishingiz kerak:

Yuqoridagi qoidaga asoslanib, x = 0 bo'lishi mumkin emas, ya'ni. Bu holda ODZ: x – noldan boshqa har qanday qiymat.

Biz tenglamaning barcha shartlarini x ga ko'paytirish orqali maxrajdan qutulamiz

Va biz odatdagi tenglamani hal qilamiz

5x - 2x = 1
3x = 1
x = 1/3

Javob: x = 1/3

Keling, murakkabroq tenglamani yechamiz:

Bu erda ODZ ham mavjud: x -2.

Ushbu tenglamani yechishda biz hamma narsani bir tomonga siljitmaymiz va kasrlarni umumiy maxrajga keltiramiz. Biz darhol tenglamaning ikkala tomonini barcha maxrajlarni birdaniga bekor qiladigan ifodaga ko'paytiramiz.

Maxrajlarni kamaytirish uchun chap tomonni x+2 ga, o'ng tomonini 2 ga ko'paytirish kerak. Bu tenglamaning har ikki tomonini 2(x+2) ga ko'paytirish kerak degan ma'noni anglatadi:

Bu biz yuqorida muhokama qilgan kasrlarning eng keng tarqalgan ko'paytmasidir.

Keling, bir xil tenglamani yozamiz, lekin biroz boshqacha

Chap tomoni (x+2), o'ng tomoni esa 2 ga kamaytiriladi. Kamaytirilgandan so'ng biz odatdagi chiziqli tenglamani olamiz:

x = 4 – 2 = 2, bu bizning ODZ ga mos keladi

Javob: x = 2.

Kasrli tenglamalarni yechish tuyulishi mumkin bo'lgan darajada qiyin emas. Ushbu maqolada biz buni misollar bilan ko'rsatdik. Agar sizda biron bir qiyinchilik bo'lsa kasrli tenglamalarni yechish usullari, keyin izohlarda obunani bekor qiling.

Ushbu mavzuda biz yuqorida sanab o'tilgan irratsionallik bilan chegaralarning uchta guruhini ko'rib chiqamiz. $\frac(0)(0)$ shaklidagi noaniqlikni o'z ichiga olgan chegaralardan boshlaylik.

Noaniqlikni oshkor qilish $\frac(0)(0)$.

Ushbu turdagi standart misollarga yechim odatda ikki bosqichdan iborat:

• Biz "konjugat" deb ataladigan iborani ko'paytirish orqali noaniqlikni keltirib chiqargan irratsionallikdan xalos bo'lamiz;
• Agar kerak bo'lsa, son yoki maxrajdagi (yoki ikkalasi) ifodani koeffitsientga kiriting;
• Biz noaniqlikka olib keladigan omillarni kamaytiramiz va chegaraning kerakli qiymatini hisoblaymiz.

Yuqorida qo'llanilgan "konjugat ifoda" atamasi misollarda batafsil tushuntiriladi. Hozircha bu haqda batafsil to'xtalishga asos yo'q. Umuman olganda, siz konjugat ifodasini ishlatmasdan, boshqa yo'l bilan borishingiz mumkin. Ba'zan to'g'ri tanlangan almashtirish mantiqsizlikni bartaraf qilishi mumkin. Bunday misollar standart testlarda kamdan-kam uchraydi, shuning uchun biz almashtirishdan foydalanish uchun faqat bitta 6-sonli misolni ko'rib chiqamiz (ushbu mavzuning ikkinchi qismiga qarang).

Bizga bir nechta formulalar kerak bo'ladi, men ularni quyida yozaman:

\begin(tenglama) a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b) \end(tenglama) \begin(tenglama) a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2 +ab+b^2) \end(tenglama) \begin(tenglama) a^3+b^3=(a+b)\cdot(a^2-ab+b^2) \end(tenglama) \begin (tenglama) a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end(tenglama)

Bundan tashqari, o'quvchi kvadrat tenglamalarni yechish formulalarini biladi deb taxmin qilamiz. Agar $x_1$ va $x_2$ kvadratik uchburchak $ax^2+bx+c$ning ildizlari boʻlsa, uni quyidagi formula yordamida faktorlarga ajratish mumkin:

\begin(tenglama) ax^2+bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2) \end(tenglama)

Formulalar (1)-(5) standart masalalarni yechish uchun yetarli bo'lib, biz hozir unga o'tamiz.

Misol № 1

$\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$ ni toping.

Chunki $\lim_(x\to 3)(\sqrt(7-x)-2)=\sqrt(7-3)-2=\sqrt(4)-2=0$ va $\lim_(x\ to 3) (x-3)=3-3=0$, u holda berilgan limitda bizda $\frac(0)(0)$ ko'rinishdagi noaniqlik mavjud. $\sqrt(7-x)-2$ farqi bu noaniqlikni oshkor qilishimizga xalaqit beradi. Bunday mantiqsizliklardan xalos bo'lish uchun "konjugat ifoda" deb ataladigan ko'paytirish qo'llaniladi. Endi biz bunday ko'paytirish qanday ishlashini ko'rib chiqamiz. $\sqrt(7-x)-2$ ga $\sqrt(7-x)+2$ koʻpaytiring:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)$$

Qavslarni ochish uchun ko'rsatilgan formulaning o'ng tomonidagi $a=\sqrt(7-x)$, $b=2$ o'rniga qo'ying:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=(\sqrt(7-x))^2-2^2=7-x-4=3-x .$$

Ko'rib turganingizdek, agar siz numeratorni $\sqrt(7-x)+2$ ga ko'paytirsangiz, u holda hisoblagichdagi ildiz (ya'ni irratsionallik) yo'qoladi. Ushbu ifoda $\sqrt(7-x)+2$ bo'ladi konjugat$\sqrt(7-x)-2$ ifodasiga. Biroq, biz hisoblagichni oddiygina $\sqrt(7-x)+2$ ga ko'paytira olmaymiz, chunki bu $\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$ kasrini o'zgartiradi. chegara ostida. Siz bir vaqtning o'zida pay va maxrajni ko'paytirishingiz kerak:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)= \left|\frac(0)(0)\o'ng|=\lim_(x\to) 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2)) $$

Endi $(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=3-x$ ekanligini unutmang va qavslarni oching. Qavslarni ochib, $3-x=-(x-3)$ kichik oʻzgartirishdan soʻng, kasrni $x-3$ ga kamaytiramiz:

$$ \lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt( 7-x)+2))= \lim_(x\to 3)\frac(3-x)((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))=\\ =\lim_ (x\to 3)\frac(-(x-3))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))= \lim_(x\to 3)\frac(-1) )(\sqrt(7-x)+2) $$

$\frac(0)(0)$ noaniqlik yo'qoldi. Endi siz ushbu misolning javobini osongina olishingiz mumkin:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(-1)(\sqrt(7-x)+2)=\frac(-1)(\sqrt(7-3)+2)=-\frac( 1)(\sqrt(4)+2)=-\frac(1)(4).$$

Shuni ta'kidlaymanki, konjugat ifodasi qanday irratsionallikni olib tashlashi kerakligiga qarab tuzilishini o'zgartirishi mumkin. 4 va 5-sonli misollarda (ushbu mavzuning ikkinchi qismiga qarang) boshqa turdagi konjugat ifodasi qo'llaniladi.

Javob: $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)=-\frac(1)(4)$.

Misol № 2

$\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$ ni toping.

Chunki $\lim_(x\to 2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\sqrt(2^2+5)-\sqrt(7\cdot 2 ^ 2-19)=3-3=0$ va $\lim_(x\to 2)(3x^2-5x-2)=3\cdot2^2-5\cdot 2-2=0$, keyin biz $\frac(0)(0)$ shaklidagi noaniqlik bilan shug'ullanmoqdalar. Keling, bu kasrning maxrajidagi irratsionallikdan xalos bo'laylik. Buning uchun $\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$ kasrning ham payini, ham maxrajini qo'shamiz. $\sqrt(x^ 2+5)+\sqrt(7x^2-19)$ ifodasi maxrajga konjugat:

$$ \lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\left|\frac(0) )(0)\o'ng|= \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) ((\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) $$

Shunga qaramay, 1-misolda bo'lgani kabi, kengaytirish uchun qavslardan foydalanish kerak. Ko‘rsatilgan formulaning o‘ng tomoniga $a=\sqrt(x^2+5)$, $b=\sqrt(7x^2-19)$ larni qo‘yib, maxraj uchun quyidagi ifodani olamiz:

$$ \left(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19)\right)\left(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)\ o'ng)=\\ =\left(\sqrt(x^2+5)\o'ng)^2-\left(\sqrt(7x^2-19)\o'ng)^2=x^2+5-(7x) ^2-19)=-6x^2+24=-6\cdot(x^2-4) $$

Keling, chegaramizga qaytaylik:

$$ \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))((\sqrt(x) ^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))= \lim_(x\to 2)\frac( (3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(-6\cdot(x^2-4))=\\ =-\ frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x^2-4) $$

1-misolda, konjugat ifodasi bilan ko'paytirilgandan so'ng deyarli darhol kasr qisqartirildi. Bu erda, kamaytirishdan oldin, siz $3x^2-5x-2$ va $x^2-4$ iboralarini faktorlarga ajratishingiz kerak bo'ladi va shundan keyingina qisqartirishga o'ting. $3x^2-5x-2$ ifodasini faktor qilish uchun siz dan foydalanishingiz kerak. Birinchidan, $3x^2-5x-2=0$ kvadrat tenglamani yechamiz:

$$ 3x^2-5x-2=0\\ \begin(hizalangan) & D=(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49;\\ & x_1=\ frac(-(-5)-\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5-7)(6)=-\frac(2)(6)=-\frac(1)(3) ;\\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2. \end(hizalangan) $$

$x_1=-\frac(1)(3)$, $x_2=2$ ni ga almashtirsak, bizda:

$$ 3x^2-5x-2=3\cdot\chap(x-\left(-\frac(1)(3)\o'ng)\o'ng)(x-2)=3\cdot\chap(x+\ frac(1)(3)\o'ng)(x-2)=\chap(3\cdot x+3\cdot\frac(1)(3)\o'ng)(x-2) =(3x+1)( x-2). $$

Endi $x^2-4$ ifodasini faktorlarga ajratish vaqti keldi. $a=x$, $b=2$ oʻrniga dan foydalanamiz:

$$ x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2) $$

Keling, olingan natijalardan foydalanamiz. $x^2-4=(x-2)(x+2)$ va $3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$ ekan, u holda:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2) -19)))(x^2-4) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x) ^2+5)+\sqrt(7x^2-19)((x-2)(x+2)) $$

$x-2$ qavsga kamaytirsak, biz quyidagilarni olamiz:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^ 2-19)))((x-2)(x+2)) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt( x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(x+2). $$

Hammasi! Ishonchsizlik yo'qoldi. Yana bir qadam va biz javobga kelamiz:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x+2)=\\ =-\frac(1)(6)\cdot\frac((3\cdot 2+1)(\sqrt(2^2+5)+\sqrt(7\cdot 2) ^2-19)))(2+2)= -\frac(1)(6)\cdot\frac(7(3+3))(4)=-\frac(7)(4). $$

Javob: $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=-\frac(7)( 4)$.

Quyidagi misolda kasrning ayirmasida ham, maxrajida ham irratsionallik mavjud bo'lgan holatni ko'rib chiqing.

Misol № 3

$\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9) ni toping. ))$.

$\lim_(x\to 5)(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))=\sqrt(9)-\sqrt(9)=0$ va $\lim_( x \to 5)(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9))=\sqrt(16)-\sqrt(16)=0$ bo‘lsa, $ shaklida noaniqlikka ega bo‘lamiz. \frac (0)(0)$. Bu holda ildizlar maxrajda ham, hisoblagichda ham mavjud bo'lganligi sababli, noaniqlikdan xalos bo'lish uchun bir vaqtning o'zida ikkita qavsga ko'paytirish kerak bo'ladi. Birinchidan, $\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)$ ifodasiga numeratorga konjugatsiya qiling. Ikkinchidan, $\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9)$ ifodasiga maxrajga konjugat.

$$ \lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9) ))=\left|\frac(0)(0)\right|=\\ =\lim_(x\to 5)\frac((\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16) )(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((\sqrt(x^2) -3x+6)-\sqrt(5x-9))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9))(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2) -16))) $$ $$ -x^2+x+20=0;\\ \begin(hizalangan) & D=1^2-4\cdot(-1)\cdot 20=81;\\ & x_1=\frac(-1-\sqrt(81))(-2)=\frac(-10)(-2)=5;\\ & x_2=\frac(-1+\sqrt(81))( -2)=\frac(8)(-2)=-4. \end(hizalangan) \\ -x^2+x+20=-1\cdot(x-5)(x-(-4))=-(x-5)(x+4). $$

$x^2-8x+15$ ifodasi uchun biz quyidagilarni olamiz:

$$ x^2-8x+15=0;\\ \begin(hizalangan) & D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=4;\\ & x_1=\frac(-(-) 8)-\sqrt(4))(2)=\frac(6)(2)=3;\\ & x_2=\frac(-(-8)+\sqrt(4))(2)=\frac (10)(2)=5. \end(hizalangan)\\ x^2+8x+15=1\cdot(x-3)(x-5)=(x-3)(x-5). $$

Olingan kengaytmalarni $-x^2+x+20=-(x-5)(x+4)$ va $x^2+8x+15=(x-3)(x-5)$ chegarasiga almashtirish ko'rib chiqilayotganda quyidagilar bo'ladi:

$$ \lim_(x\to 5)\frac((-x^2+x+20)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x^2) -8x+15)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \lim_(x\to 5)\frac(-(x-5)(x+4)(\ sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3)(x-5)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)) )=\\ =\lim_(x\to 5)\frac(-(x+4)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3) (\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \frac(-(5+4)(\sqrt(5^2-3\cdot 5+6)+\sqrt(5) \cdot 5-9)))((5-3)(\sqrt(5+4)+\sqrt(5^2-16)))=-6. $$

Javob: $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9) ))=-6$.

Keyingi (ikkinchi) qismda biz bir nechta misollarni ko'rib chiqamiz, ularda konjugat ifodasi oldingi muammolarga qaraganda boshqacha shaklga ega bo'ladi. Esda tutish kerak bo'lgan asosiy narsa shundaki, konjugat ifodasini qo'llashdan maqsad noaniqlikni keltirib chiqaradigan irratsionallikdan xalos bo'lishdir.

Irratsional ifodaning o'zgarishini o'rganishda kasrning maxrajidagi irratsionallikdan qanday qutulish juda muhim savol. Ushbu maqolaning maqsadi muayyan misol muammolari yordamida ushbu harakatni tushuntirishdir. Birinchi xatboshida biz ushbu transformatsiyaning asosiy qoidalarini ko'rib chiqamiz, ikkinchisida - batafsil tushuntirishlar bilan tipik misollar.

Maxrajdagi irratsionallikdan ozodlik tushunchasi

Keling, bunday o'zgarishlarning ma'nosini tushuntirishdan boshlaylik. Buning uchun quyidagi qoidalarni yodda tuting.

Biz kasrning maxrajidagi irratsionallik haqida gapirishimiz mumkin, agar u erda ildiz belgisi sifatida ham tanilgan radikal mavjud bo'lsa. Ushbu belgi yordamida yozilgan raqamlar ko'pincha irratsionaldir. Misollar: 1 2, - 2 x + 3, x + y x - 2 · x · y + 1, 11 7 - 5. Irratsional maxrajli kasrlarga turli darajadagi (kvadrat, kub va boshqalar) ildiz belgilariga ega bo'lganlar ham kiradi, masalan, 3 4 3, 1 x + x · y 4 + y. Ifodani soddalashtirish va keyingi hisob-kitoblarni osonlashtirish uchun siz mantiqsizlikdan xalos bo'lishingiz kerak. Keling, asosiy ta'rifni tuzamiz:

Ta'rif 1

Kasrning maxrajidagi mantiqsizlikdan ozod bo'ling- uni maxrajida ildizlar yoki darajalar bo'lmagan bir xil teng kasr bilan almashtirish orqali o'zgartirishni anglatadi.

Bunday harakatni ozodlik yoki mantiqsizlikdan qutulish deb atash mumkin, ammo ma'no bir xil bo'lib qoladi. Shunday qilib, 1 2 dan 2 2 ga o'tish, ya'ni. maxrajdagi ildiz belgisiz teng qiymatli kasrga va bizga kerak bo'lgan harakat bo'ladi. Yana bir misol keltiraylik: bizda x x - y kasr bor. Kerakli o'zgarishlarni amalga oshiramiz va maxrajdagi irratsionallikdan xalos bo'lgan bir xil x · x + y x - y kasrni olamiz.

Ta'rifni shakllantirgandan so'ng, biz to'g'ridan-to'g'ri bunday o'zgartirish uchun bajarilishi kerak bo'lgan harakatlar ketma-ketligini o'rganishga o'tishimiz mumkin.

Kasrning maxrajidagi irratsionallikdan qutulishning asosiy bosqichlari

Ildizlardan xalos bo'lish uchun siz kasrning ikkita ketma-ket o'zgarishini amalga oshirishingiz kerak: kasrning ikkala qismini noldan boshqa raqamga ko'paytiring va keyin olingan ifodani maxrajga aylantiring. Keling, asosiy holatlarni ko'rib chiqaylik.

Eng oddiy holatda, siz maxrajni o'zgartirish orqali olishingiz mumkin. Masalan, maxraji 9 ning ildiziga teng bo'lgan kasrni olishimiz mumkin. 9 ni hisoblab, biz maxrajga 3 ni yozamiz va shu bilan irratsionallikdan xalos bo'lamiz.

Biroq, ko'pincha, birinchi navbatda, hisoblagich va maxrajni raqamga ko'paytirish kerak bo'ladi, bu esa keyinchalik maxrajni kerakli shaklga (ildizsiz) keltirishga imkon beradi. Demak, 1 x + 1 ni x + 1 ga ko'paytirsak, x + 1 x + 1 x + 1 kasrni olamiz va uning maxrajidagi ifodani x + 1 bilan almashtira olamiz. Shunday qilib, biz irratsionallikdan xalos bo'lgan holda 1 x + 1 ni x + 1 x + 1 ga aylantirdik.

Ba'zan amalga oshirishingiz kerak bo'lgan o'zgarishlar juda aniq. Keling, bir nechta yorqin misollarni ko'rib chiqaylik.

Ifodani kasrning maxrajiga qanday aylantirish mumkin

Aytganimizdek, buni qilishning eng oson yo'li maxrajni aylantirishdir.

1-misol

Vaziyat: 1 2 · 18 + 50 kasrni maxrajdagi irratsionallikdan ozod qiling.

Yechim

Avval qavslarni ochamiz va 1 2 18 + 2 50 ifodasini olamiz. Ildizlarning asosiy xossalaridan foydalanib, 1 2 18 + 2 50 ifodasiga o'tamiz. Ikkala ifodaning qiymatlarini ildiz ostida hisoblaymiz va 1 36 + 100 ni olamiz. Bu erda siz allaqachon ildizlarni chiqarib olishingiz mumkin. Natijada, biz 1 16 ga teng bo'lgan 1 6 + 10 kasrni oldik. Transformatsiyani shu yerda yakunlash mumkin.

Keling, butun yechimning borishini izohsiz yozamiz:

1 2 18 + 50 = 1 2 18 + 2 50 = 1 2 18 + 2 50 = 1 36 + 100 = 1 6 + 10 = 1 16

Javob: 1 2 18 + 50 = 1 16.

2-misol

Vaziyat: 7 - x (x + 1) 2 kasr berilgan. Denominatordagi mantiqsizlikdan xalos bo'ling.

Yechim

Ilgari irratsional ifodalarni ildizlarning xossalari yordamida o‘zgartirishga bag‘ishlangan maqolada biz har qanday A va hatto n uchun A n n ifodasini | A | o'zgaruvchilarning ruxsat etilgan qiymatlarining butun diapazonida. Shuning uchun, bizning holatlarimizda biz buni quyidagicha yozishimiz mumkin: 7 - x x + 1 2 = 7 - x x + 1. Shu tariqa biz o‘zimizni maxrajdagi mantiqsizlikdan xalos qildik.

Javob: 7 - x x + 1 2 = 7 - x x + 1.

Ildizga ko'paytirish orqali mantiqsizlikdan qutulish

Agar kasrning maxrajida A ko’rinishdagi ifoda bo’lsa va A ifodaning o’zida ildiz belgilari bo’lmasa, biz asl kasrning ikkala tomonini A ga oddiygina ko’paytirish orqali irratsionallikdan xalos bo’lishimiz mumkin. Ushbu harakatning imkoniyati A qabul qilinadigan qiymatlar oralig'ida 0 ga aylanmasligi bilan belgilanadi. Ko'paytirishdan so'ng, maxrajda A · A ko'rinishidagi ifoda bo'ladi, uni ildizlardan qutulish oson: A · A = A 2 = A. Keling, ushbu usulni amalda qanday to'g'ri qo'llashni ko'rib chiqaylik.

3-misol

Vaziyat: berilgan kasrlar x 3 va - 1 x 2 + y - 4. Ularning maxrajlaridagi mantiqsizlikdan xalos bo'ling.

Yechim

Birinchi kasrni 3 ning ikkinchi ildiziga ko'paytiramiz. Biz quyidagilarni olamiz:

x 3 = x 3 3 3 = x 3 3 2 = x 3 3

Ikkinchi holda, biz x 2 + y - 4 ga ko'paytirishimiz va olingan ifodani maxrajga aylantirishimiz kerak:

1 x 2 + y - 4 = - 1 x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 = = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 2 = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4

Javob: x 3 = x · 3 3 va - 1 x 2 + y - 4 = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4.

Agar asl kasrning maxrajida A n m yoki A m n ko‘rinishdagi ifodalar bo‘lsa (tabiiy m va n bo‘yicha), natijada hosil bo‘lgan ifodani A n n k yoki A n k n ga aylantiradigan ko‘rsatkich tanlashimiz kerak (tabiiy k) . Shundan so'ng irratsionallikdan qutulish oson bo'ladi. Keling, ushbu misolni ko'rib chiqaylik.

4-misol

Vaziyat: berilgan kasrlar 7 6 3 5 va x x 2 + 1 4 15. Denominatorlarda mantiqsizlikdan xalos bo'ling.

Yechim

Biz beshga bo'linadigan natural sonni olishimiz kerak va u uchdan katta bo'lishi kerak. 6 ko'rsatkichi 5 ga teng bo'lishi uchun biz 6 2 5 ga ko'paytirishimiz kerak. Shunday qilib, biz asl kasrning ikkala qismini 6 2 5 ga ko'paytirishimiz kerak:

7 6 3 5 = 7 6 2 5 6 3 5 6 2 5 = 7 6 2 5 6 3 5 6 2 = 7 6 2 5 6 5 5 = 7 6 2 5 6 = 7 36 5 6

Ikkinchi holda, bizga 15 dan katta raqam kerak, uni 4 ga qoldiqsiz bo'lish mumkin. Biz 16 ni olamiz. Maxrajda bunday ko'rsatkichni olish uchun omil sifatida x 2 + 1 4 ni olishimiz kerak. Aniqlik kiritamizki, bu ifodaning qiymati hech qanday holatda 0 bo'lmaydi. Biz hisoblaymiz:

x x 2 + 1 4 15 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 15 x 2 + 1 4 = = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 16 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 4 4 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4

Javob: 7 6 3 5 = 7 · 36 5 6 va x x 2 + 1 4 15 = x · x 2 + 1 4 x 2 + 1 4.

Konjugat ifodaga ko`paytirish orqali mantiqsizlikdan qutulish

Asl kasrning maxraji a + b, a - b, a + b, a - b, a + b, a - b ifodalarini o'z ichiga olgan holatlar uchun quyidagi usul mos keladi. Bunday hollarda biz konjugat ifodani omil sifatida qabul qilishimiz kerak. Keling, ushbu tushunchaning ma'nosini tushuntiramiz.

Birinchi a + b ifodasi uchun konjugat a - b, ikkinchi a - b uchun - a + b bo'ladi. a + b uchun – a - b, a - b uchun – a + b, a + b uchun – a - b, a - b uchun – a + b. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, qo'shma ibora ikkinchi haddan oldin qarama-qarshi belgi paydo bo'lgan ifodadir.

Keling, bu usulning aniq nima ekanligini ko'rib chiqaylik. Aytaylik, a - b · a + b ko'rinishdagi mahsulotimiz bor. Uni a - b · a + b = a 2 - b 2 kvadratlar farqi bilan almashtirish mumkin, shundan so'ng biz radikallardan mahrum bo'lgan a - b ifodasiga o'tamiz. Shunday qilib, biz konjugat ifodaga ko'paytirish orqali kasrning maxrajidagi irratsionallikdan xalos bo'ldik. Keling, bir nechta yorqin misollarni olaylik.

5-misol

Vaziyat: 3 7 - 3 va x - 5 - 2 ifodalardagi mantiqsizlikdan xalos bo'ling.

Yechim

Birinchi holda, biz 7 + 3 ga teng konjugat ifodasini olamiz. Endi biz asl kasrning ikkala qismini unga ko'paytiramiz:

3 7 - 3 = 3 7 + 3 7 - 3 7 + 3 = 3 7 + 3 7 2 - 3 2 = = 3 7 + 3 7 - 9 = 3 7 + 3 - 2 = - 3 7 + 3 2

Ikkinchi holda, bizga - 5 + 2 ifodasi kerak, bu ifodaning konjugati - 5 - 2. Hisob va maxrajni unga ko'paytiring va quyidagini oling:

x - 5 - 2 = x · - 5 + 2 - 5 - 2 · - 5 + 2 = = x · - 5 + 2 - 5 2 - 2 2 = x · - 5 + 2 5 - 2 = x · 2 - 5 3

Ko'paytirishdan oldin o'zgartirishni ham amalga oshirish mumkin: agar biz avval maxrajdan minusni olib tashlasak, hisoblash qulayroq bo'ladi:

x - 5 - 2 = - x 5 + 2 = - x 5 - 2 5 + 2 5 - 2 = = - x 5 - 2 5 2 - 2 2 = - x 5 - 2 5 - 2 = - x · 5 - 2 3 = = x · 2 - 5 3

Javob: 3 7 - 3 = - 3 7 + 3 2 va x - 5 - 2 = x 2 - 5 3.

Ko'paytirish natijasida olingan ifoda ushbu ifoda uchun maqbul qiymatlar oralig'idagi biron bir o'zgaruvchi uchun 0 ga aylanmasligiga e'tibor qaratish lozim.

6-misol

Vaziyat: x x + 4 kasr berilgan. Uni maxrajda irratsional ifodalar bo‘lmasligi uchun o‘zgartiring.

Yechim

Keling, x o'zgaruvchisi uchun maqbul qiymatlar oralig'ini topishdan boshlaylik. U x ≥ 0 va x + 4 ≠ 0 shartlari bilan aniqlanadi. Ulardan xulosa qilishimiz mumkinki, kerakli mintaqa x ≥ 0 to'plamdir.

Maxrajning konjugati x - 4 ga teng. Qachon unga ko'paytiramiz? Faqat x - 4 ≠ 0 bo'lsa. Qabul qilinadigan qiymatlar oralig'ida bu x≠16 shartiga ekvivalent bo'ladi. Natijada biz quyidagilarni olamiz:

x x + 4 = x x - 4 x + 4 x - 4 = = x x - 4 x 2 - 4 2 = x x - 4 x - 16

Agar x 16 ga teng bo'lsa, biz quyidagilarni olamiz:

x x + 4 = 16 16 + 4 = 16 4 + 4 = 2

Shuning uchun, x x + 4 = x · x - 4 x - 16 qabul qilinadigan qiymatlar oralig'iga tegishli bo'lgan barcha x qiymatlari uchun, 16 dan tashqari. X = 16 da biz x x + 4 = 2 ni olamiz.

Javob: x x + 4 = x · x - 4 x - 16 , x ∈ [ 0 , 16) ∪ (16 , + ∞) 2 , x = 16 .

Kublarning yig'indisi va ayirmasi formulalari yordamida maxrajdagi irratsional kasrlarni aylantirish.

Oldingi xatboshida biz kvadratlar farqi uchun formuladan foydalanish uchun konjugat iboralar bilan ko'paytirdik. Ba'zan maxrajdagi mantiqsizlikdan xalos bo'lish uchun boshqa qisqartirilgan ko'paytirish formulalaridan foydalanish foydali bo'ladi, masalan, kublar farqi a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + a b + b 2). Agar asl kasrning maxraji A 3 - B 3, A 3 2 + A 3 · B 3 + B 3 2 ko'rinishdagi uchinchi darajali ildizli iboralarni o'z ichiga olgan bo'lsa, bu formuladan foydalanish qulay. va hokazo. Uni qo'llash uchun kasrning maxrajini A 3 2 + A 3 · B 3 + B 3 2 yig'indisining qisman kvadratiga yoki A 3 - B 3 farqiga ko'paytirishimiz kerak. Yig'indi formulasi xuddi shu tarzda qo'llanilishi mumkin a 3 + b 3 = (a) (a 2 - a b + b 2).

7-misol

Vaziyat: 1 7 3 - 2 3 va 3 4 - 2 · x 3 + x 2 3 kasrlarni maxrajdagi irratsionallikdan qutulish uchun aylantiring.

Yechim

Birinchi kasr uchun biz ikkala qismni 7 3 va 2 3 yig'indisining qisman kvadratiga ko'paytirish usulini qo'llashimiz kerak, chunki biz kublar farqi formulasidan foydalanib aylantirishimiz mumkin:

1 7 3 - 2 3 = 1 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 7 3 - 2 3 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 = = 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 7 3 3 - 2 3 3 = 7 2 3 + 7 2 3 + 2 2 3 7 - 2 = = 49 3 + 14 3 + 4 3 5

Ikkinchi kasrda maxrajni 2 2 - 2 x 3 + x 3 2 sifatida ifodalaymiz. Bu ifoda 2 va x 3 farqining toʻliq boʻlmagan kvadratini koʻrsatadi, yaʼni kasrning ikkala qismini 2+x3 yigʻindisiga koʻpaytirishimiz va kublar yigʻindisi formulasidan foydalanishimiz mumkin. Buning uchun x 3 ≠ - 2 va x ≠ - 8 ga ekvivalent bo'lgan 2 + x 3 ≠ 0 sharti bajarilishi kerak:

3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 3 2 2 - 2 x 3 + x 3 2 = = 3 2 + x 3 2 2 - 2 x 3 + x 3 2 2 + x 3 = 6 + 3 x 3 2 3 + x 3 3 = = 6 + 3 x 3 8 + x

Kasrga 8 ni almashtiramiz va qiymatni topamiz:

3 4 - 2 8 3 + 8 2 3 = 3 4 - 2 2 + 4 = 3 4

Keling, xulosa qilaylik. Asl kasr (R to'plami) qiymatlari oralig'iga kiritilgan barcha x uchun - 8 dan tashqari, biz 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 6 + 3 x 3 8 + x ni olamiz. Agar x = 8 bo'lsa, u holda 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 3 4.

Javob: 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 6 + 3 x 3 8 + x, x ≠ 8 3 4, x = - 8.

Turli xil konversiya usullarini izchil qo'llash

Ko'pincha amalda biz faqat bitta usul yordamida maxrajdagi irratsionallikdan xalos bo'lolmaydigan murakkab misollar mavjud. Ular uchun siz doimiy ravishda bir nechta transformatsiyalarni amalga oshirishingiz yoki nostandart echimlarni tanlashingiz kerak. Keling, shunday bir muammoni olaylik.

Misol N

Vaziyat: maxrajdagi ildiz belgilaridan qutulish uchun 5 7 4 - 2 4 ni aylantiring.

Yechim

Asl kasrning ikkala tomonini nolga teng bo'lmagan qiymatli 7 4 + 2 4 konjugativ ifodaga ko'paytiramiz. Biz quyidagilarni olamiz:

5 7 4 - 2 4 = 5 7 4 + 2 4 7 4 - 2 4 7 4 + 2 4 = = 5 7 4 + 2 4 7 4 2 - 2 4 2 = 5 7 4 + 2 4 7 - 2

Endi yana bir xil usuldan foydalanamiz:

5 7 4 + 2 4 7 - 2 = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 7 - 2 7 + 2 = = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 7 2 - 2 2 = 5 7 4 + 7 4 7 + 2 7 - 2 = = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 5 = 7 4 + 2 4 7 + 2

Javob: 5 7 4 - 2 4 = 7 4 + 2 4 · 7 + 2.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing