Випуклість функції. Напрямок опуклості

Поняття опуклості функції

Розглянемо функцію \(y = f\left(x \right),\) яка передбачається безперервною на відрізку \(\left[(a,b) \right].\) Функція \(y = f\left(x \right) )\) називається опуклою вниз (або просто опуклою), якщо для будь-яких точок \((x_1)\) і \((x_2)\) з \(\left[ (a,b) \right]\) виконується нерівність \ Якщо дана нерівність є суворою за будь-яких \(( x_1),(x_2) \in \left[ (a,b) \right],\) таких, що \((x_1) \ne (x_2),\) то функцію \(f\left(x \right) \) називають суворо опуклою вниз

Аналогічно визначається опукла догори функція. Функція \(f\left(x \right)\) називається опуклою вгору (або увігнутою), якщо для будь-яких точок \((x_1)\) і \((x_2)\) відрізка \(\left[(a,b) \right]\) справедлива нерівність \ Якщо ця нерівність є суворою за будь-яких \(( x_1),(x_2) \in \left[ (a,b) \right],\) таких, що \((x_1) \ne (x_2),\) то функцію \(f\left(x \right) \) називають суворо опуклою вгору на відрізку \(\left[(a,b)\right].\)

Геометрична інтерпретація опуклості функції

Введені визначення опуклої функції мають просту геометричну інтерпретацію.

Для функції, опуклою вниз (малюнок \(1\)), середина \(B\) будь-якої хорди \((A_1)(A_2)\) лежить вище

Аналогічно, для функції, опуклою вгору (малюнок \(2\)), середина \(B\) будь-якої хорди \((A_1)(A_2)\) лежить нижчевідповідної точки \((A_0)\) графіка функції або збігається з цією точкою.

Випуклі функції мають ще одну наочну властивість, яка пов'язана з розташуванням дотичної до графіка функції. Функція \(f\left(x \right)\) є опуклою вниз на відрізку \(\left[ (a,b) \right]\) тоді і тільки тоді, коли її графік лежить не нижче дотичної проведеної до нього в будь-якій точці \((x_0)\) відрізка \(\left[ (a ,b) \right]\) (малюнок \(3\)).

Відповідно, функція \(f\left(x \right)\) є опуклою вгору на відрізку \(\left[ (a,b) \right]\) тоді і тільки тоді, коли її графік лежить не вище за дотичну проведену до нього в будь-якій точці \((x_0)\) відрізка \(\left[ (a ,b) \right]\) (малюнок \(4\)). Дані властивості є теорему і можуть бути доведені з використанням визначення опуклості функції.

Достатні умови опуклості

Нехай для функції \(f\left(x \right)\) перша похідна \(f"\left(x \right)\) існує на відрізку \(\left[(a,b) \right],\) а друга похідна \(f""\left(x \right)\) − на інтервалі \(\left((a,b) \right).\) Тоді справедливі такі достатні ознаки опуклості:

Якщо \(f""\left(x \right) \ge 0\) при всіх \(x \in \left((a,b) \right),\) то функція \(f\left(x \right) )\) випукла вниз на відрізку \(\left[(a,b) \right];\)

Якщо \(f""\left(x \right) \le 0\) при всіх \(x \in \left((a,b) \right),\) то функція \(f\left(x \right) )\) випукла вгору на відрізку \(\left[(a,b)\right].\)

У тих випадках, коли друга похідна строго більша (менша) за нуль, кажуть, відповідно, про суворої опуклості вниз (або вгору ).

Доведемо наведену теорему для випадку опуклої функції вниз. Нехай функція \(f\left(x \right)\) має невід'ємну другу похідну на інтервалі \(\left((a,b) \right):\) \(f""\left(x \right) \ge 0.\) Позначимо через \((x_0)\) середину відрізка \(\left[((x_1),(x_2)) \right].\) Припустимо, що довжина цього відрізка дорівнює \(2h.\) Тоді координати \((x_1)\) і \((x_2)\) можна записати у вигляді: \[(x_1) = (x_0) - h,\;\;(x_2) = (x_0) + h.\] Розкладемо функцію \ (f \ left (x \ right) \) в точці \ ((x_0) \) в ряд Тейлора з залишковим членом у формі Лагранжа. Отримуємо наступні вирази: \[(f\left(((x_1)) \right) = f\left(((x_0) - h) \right) ) = (f\left(((x_0)) \right) - f"\left(((x_0)) \right)h + \frac((f""\left(((\xi _1)) \right)(h^2)))((2},} \] \[ {f\left({{x_2}} \right) = f\left({{x_0} + h} \right) } = {f\left({{x_0}} \right) + f"\left({{x_0}} \right)h + \frac{{f""\left({{\xi _2}} \right){h^2}}}{{2!}},} \] где \({x_0} - h !}
Складемо обидві рівності: \[ (f\left(((x_1)) \right) + f\left(((x_2)) \right) ) = (2f\left(((x_0)) \right) + \frac (((h^2)))(2)\left[ (f""\left(((\xi _1)) \right) + f""\left(((\xi _2)) \right)) \right].) \] Оскільки \((\xi _1),(\xi _2) \in \left((a,b) \right),\) то другі похідні у правій частині невід'ємні. Отже, \ або \ тобто, відповідно до визначення, функція \(f\left(x \right)\) випукла вниз .

Зазначимо, що необхідна умова опуклості функції (тобто. пряма теорема, у якій, наприклад, з умови опуклості вниз випливає, що (f"" \ left (x \ right) \ ge 0 \)) виконується лише для суворого нерівності. У разі суворої опуклості необхідна умова, власне кажучи, не дотримується. Наприклад, функція \(f\left(x \right) = (x^4)\) є строго опуклою вниз. Однак у точці (x = 0) її друга похідна дорівнює нулю, тобто. Сувора нерівність \(f""\left(x \right) \gt 0\) у цьому випадку не виконується.

Властивості опуклих функцій

Перерахуємо деякі властивості опуклих функцій, припускаючи, що всі функції визначені та безперервні на відрізку \(\left[(a,b)\right].\)

Якщо функції (f) і (g) опуклі вниз (вгору), то будь-яка їх лінійна комбінація \(af + bg,\) де \(a\), \(b\) - позитивні дійсні числа, також випукла вниз (вгору).

Якщо функція \(u = g\left(x \right)\) опукла вниз, а функція \(y = f\left(u \right)\) є опуклою вниз і незниженою, то складна функція \(y = f\left((g\left(x \right)) \right)\) буде також опуклою вниз.

Якщо функція \(u = g\left(x \right)\) опукла вгору, а функція \(y = f\left(u \right)\) є опуклою вниз і незростаючою, то складна функція \(y = f\left((g\left(x \right)) \right)\) буде опуклою вниз.

Локальний максимум опуклою вгору функції, заданої на відрізку \(\left[ (a,b) \right],\) є одночасно її найбільшим значенням на цьому відрізку.

Локальний мінімум опуклою вниз функції, заданої на відрізку \(\left[ (a,b) \right],\) є одночасно її найменшим значенням на цьому відрізку.

Графік функції y=f(x)називається опуклимна інтервалі (a; b), якщо він розташований нижче за будь-яку свою дотичну на цьому інтервалі.

Графік функції y=f(x)називається увігнутимна інтервалі (a; b)якщо він розташований вище будь-якої своєї дотичної на цьому інтервалі.

На малюнку показана крива, опукла на (a; b)і увігнута на (b; c).

приклади.

Розглянемо достатню ознаку, що дозволяє встановити, чи графік функції у цьому інтервалі опуклим чи увігнутим.

Теорема. Нехай y=f(x)диференційована на (a; b). Якщо у всіх точках інтервалу (a; b)друга похідна функції y = f(x)негативна, тобто. f ""(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f""(x) > 0 – увігнутий.

Доведення. Припустимо для певності, що f""(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.

Візьмемо на графіку функції y = f(x)довільну точку M 0з абсцисою x 0 Î ( a; b) і проведемо через точку M 0дотичну. Її рівняння. Ми повинні показати, що графік функції на (a; b)лежить нижче від цієї дотичної, тобто. при тому самому значенні xордината кривої y = f(x)буде менше ординату дотичної.

Отже, рівняння кривої має вигляд y = f(x). Позначимо ординату щодо, відповідну абсцисі x. Тоді. Отже, різниця ординат кривої і дотичної при тому самому значенні xбуде.

Різниця f(x) – f(x 0)перетворимо за теоремою Лагранжа, де cміж xі x 0.

Таким чином,

До виразу, що стоїть у квадратних дужках, знову застосуємо теорему Лагранжа: , де з 1між з 0і x 0. За умовою теореми f ""(x) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.

Таким чином, будь-яка точка кривої лежить нижче за дотичну до кривої при всіх значеннях xі x 0 Î ( a; b), а це означає, що крива випукла. Друга частина теореми доводиться аналогічно.

Приклади.

Точка графіка безперервної функції, що відокремлює його опуклу частину від увігнутої, називається точкою перегину.

Вочевидь, що у точці перегину дотична, якщо вона існує, перетинає криву, т.к. з одного боку від цієї точки крива лежить під дотичною, з другого боку – з неї.

Визначимо достатні умови того, що ця точка кривої є точкою перегину.

Теорема. Нехай крива визначається рівнянням y = f(x). Якщо f ""(x 0) = 0 або f ""(x 0) немає і під час переходу через значення x = x 0похідна f ""(x) змінює знак, то точка графіка функції з абсцисою x = x 0є точка перегину.

Доведення. Нехай f ""(x) < 0 при x < x 0і f ""(x) > 0 при x > x 0. Тоді при x < x 0крива випукла, а при x > x 0- Увігнута. Отже, точка A, що лежить на кривій, з абсцисою x 0є точка перегину. Аналогічно можна розглядати другий випадок, коли f ""(x) > 0 при x < x 0і f ""(x) < 0 при x > x 0.

Таким чином, точки перегину слід шукати тільки серед таких точок, де друга похідна перетворюється на нуль або не існує.

приклади.Знайти точки перегину та визначити інтервали опуклості та увігнутості кривих.

АСИМПТОТИ ГРАФІКА ФУНКЦІЇ

Під час дослідження функції важливо встановити форму її графіка при необмеженому видаленні точки графіка від початку координат.

Особливий інтерес представляє випадок, коли графік функції при видаленні його змінної точки в безкінечність необмежено наближається до деякої прямої.

Пряма називається асимптотоюграфіка функції y = f(x), якщо відстань від змінної точки Mграфіка до цієї прямої при видаленні точки Mу нескінченність прагне нулю, тобто. точка графіка функції при своєму прагненні до нескінченності повинна необмежено наближатися до асимптота.

Крива може наближатися до своєї асимптоти, залишаючись з одного боку від неї або з різних боків, безліч разів перетинаючи асимптоту і переходячи з одного її боку на іншу.

Якщо позначимо через d відстань від точки Mкривою до асимптоти, то ясно, що d прагне нуля при видаленні точки Mу нескінченність.

Будемо надалі розрізняти асимптоти вертикальні та похилі.

ВЕРТИКАЛЬНІ АСИМПТОТИ

Нехай при x→ x 0з будь-якої сторони функція y = f(x)необмежено збільшується за абсолютною величиною, тобто. або або . Тоді з визначення асимптоти випливає, що пряма x = x 0є асимптотою. Очевидно і зворотне, якщо пряма x = x 0є асимптотою, т.ч. .

Таким чином, вертикальною асимптотою графіка функції y = f(x)називається пряма, якщо f(x)→ ∞ хоча б за однієї з умов x→ x 0- 0 або x → x 0 + 0, x = x 0

Отже, для відшукання вертикальних асимптот графіка функції y = f(x)потрібно знайти ті значення x = x 0, при яких функція перетворюється на нескінченність (терпить нескінченний розрив). Тоді вертикальна асимптота має рівняння x = x 0.

приклади.

НАКЛОННІ АСИМПТОТИ

Оскільки асимптота – це пряма, якщо крива y = f(x)має похилу асимптоту, то її рівняння буде y = kx + b. Наше завдання знайти коефіцієнти kі b.

Теорема. Пряма y = kx + bслужить похилою асимптотою при x→ +∞ для графіка функції y = f(x)тоді і лише тоді, коли . Аналогічне твердження вірне і при x → –∞.

Доведення. Нехай MP- Довжина відрізка, що дорівнює відстані від точки Mдо асимптоти. За умовою . Позначимо через φ кут нахилу асимптоти до осі Ox. Тоді з ΔMNPвипливає, що . Оскільки φ постійний кут (φ ≠ π/2), то , але

Для визначення опуклості (увігнутості) функції певному інтервалі можна використовувати такі теореми.

Теорема 1.Нехай функція визначена і безперервна на інтервалі та має кінцеву похідну. Для того, щоб функція була опуклою (увігнутою), необхідно і достатньо, щоб її похідна убувала (зростала) на цьому інтервалі.

Теорема 2.Нехай функція визначена і безперервна разом зі своєю похідною і має всередині безперервну другу похідну. Для опуклості (увігнутості) функції необхідно і достатньо, щоб усередині

Доведемо теорему 2 для випадку опуклості функції.

Необхідність. Візьмемо довільну точку. Розкладемо функцію біля крапки в ряд Тейлора

Рівняння дотичної до кривої в точці, що має абсцису:

Тоді перевищення кривої над дотичною до неї в точці одно

Таким чином, залишок дорівнює величині перевищення кривої над дотичною до неї в точці . Через безперервність , якщо , то й для , що належать досить малої околиці точки , тому, очевидно, й у будь-якого відмінного значення , що належить до зазначеної околиці.

Значить, графік функції лежить вище за дотичну і крива випукла в довільній точці .

Достатність. Нехай крива випукла на проміжку. Візьмемо довільну точку.

Аналогічно попередньому розкладемо функцію біля точки в ряд Тейлора

Перевищення кривої над дотичною до неї в точці, що має абсцису, яка визначається виразом

Оскільки перевищення позитивно досить малої околиці точки , то позитивна і друга похідна . При прагненні отримуємо, що для довільної точки .

приклад.Дослідити на опуклість (увігнутість) функцію .

Її похідна зростає по всій числовій осі, отже по теоремі 1 функція увігнута на .

Її друга похідна тому по теоремі 2 функція увігнута на .

3.4.2.2 Точки перегину

Визначення. Точкою перегинуграфіка безперервної функції називається точка, що розділяє інтервали, в яких функція опукла та увігнута.

З цього визначення випливає, що точки перегину – це точки точки екстремуму першої похідної. Звідси випливають такі твердження для необхідного та достатнього умов перегину.

Теорема (необхідна умова перегину). Для того щоб точка була точкою перегину двічі диференційованої функції необхідно, щоб її друга похідна в цій точці дорівнювала нулю ( ) чи не існувала.

Теорема (достатня умова перегину).Якщо друга похідна функції, що двічі диференціюється, при переході через деяку точку змінює знак, тобто точка перегину.

Зазначимо, що у самій точці друга похідна може існувати.

Геометрична інтерпретація точок перегину ілюструється рис. 3.9

В околиці точки функція опукла і графік її лежить нижче за дотичну, проведену в цій точці. В околиці точки функція увігнута і графік її лежить вище за дотичну, проведену в цій точці. У точці перегину дотична розділяє графік функції області опуклості і увігнутості.

3.4.2.3 Дослідження функції на опуклість та наявність точок перегину

1. Знайти другу похідну.

2. Знайти точки, у яких друга похідна чи немає.

Мал. 3.9.

3. Дослідити знак другої похідної ліворуч і праворуч від знайдених точок та зробити висновок про інтервали опуклості або увігнутості та наявність точок перегину.

приклад. Дослідити функцію на опуклість та наявність точок перегину.

2. Друга похідна дорівнює нулю при .

3. Друга похідна змінює знак при , отже точка - точка перегину.

На інтервалі , отже функція опукла цьому інтервалі.

На інтервалі , отже функція увігнута цьому інтервалі.

3.4.2.4 Загальна схема дослідження функцій та побудови графіка

При дослідженні функції та побудові її графіка рекомендується використовувати таку схему:

Знайти область визначення функції.
Дослідити функцію на парність – непарність. Нагадаємо, що графік парної функції симетричний щодо осі ординат, а графік непарної функції симетричний щодо початку координат.
Знайти вертикальні асимптоти.
Дослідити поведінку функції у нескінченності, знайти горизонтальні чи похилі асимптоти.
Знайти екстремуми та інтервали монотонності функції.
Знайти інтервали опуклості функції та точки перегину.
Знайти точки перетину з осями координат.

Дослідження функції проводиться одночасно із побудовою її графіка.

приклад. Дослідити функцію та побудувати її графік.

1. Область визначення функції - .

2. Досліджувана функція – парна тому її графік симетричний щодо осі ординат.

3. Знаменник функції перетворюється на нуль при , тому графік функції має вертикальні асимптоти і .

Крапки є точками розриву другого роду, оскільки межі зліва і справа в цих точках прагнуть .

4. Поведінка функції у нескінченності.

Тому графік функції має горизонтальну асимптоту.

5. Екстремуми та інтервали монотонності. Знаходимо першу похідну

При тому у цих інтервалах функція зменшується.

При цьому в цих інтервалах функція зростає.

При тому точка є критичною точкою.

Знаходимо другу похідну

Оскільки точка є точкою мінімуму функції .

6. Інтервали опуклості та точки перегину.

Функція при , отже у цьому інтервалі функція увігнута.

Функція при , отже цих інтервалах функція опукла.

Функція ніде не звертається в нуль, отже, точок перегину немає.

7. Точки перетину з осями координат.

Рівняння має рішення , означає точка перетину графіка функції з віссю ординат (0, 1).

Рівняння немає рішення, отже точок перетину з віссю абсцис немає.

З урахуванням проведеного дослідження можна будувати графік функції

Схематично графік функції зображено на рис. 3.10.

Мал. 3.10.

3.4.2.5 Асимптоти графіка функції

Визначення. Асимптотоюграфіка функції називається пряма, що має тим властивістю, що відстань від точки () до цієї прямої прагне 0 при необмеженому видаленні точки графіка від початку координат.

Загальна схема дослідження функції та побудова графіка.
1. Дослідження функції на опуклість та увігнутість.

Асимптоти графіка функції.

Вступ.

У шкільному курсі математики ви зустрічалися з необхідністю побудови графіків функций. У , Ви використовували спосіб побудови за точками. Слід зазначити, що він простий за ідеєю і порівняно швидко призводить до мети. У випадках, коли функція безперервна і змінюється досить плавно, такий спосіб може забезпечити необхідний ступінь точності графічного уявлення. Для цього потрібно брати більше точок, щоб досягти певної густоти їх розміщення.

Припустимо тепер, що функція окремих місцях має особливості у своїй «поведінці»: або її значення десь малому ділянці різко змінюються, чи мають місце розриви. Найбільш суттєві частини графіка в такий спосіб можуть бути виявлені.

Це і знижує цінність способу побудови графіка «по точках».

Існує другий спосіб побудови графіків, що базується на аналітичному дослідженні функцій. Він вигідно відрізняється від способу, розглянутого у шкільному курсі математики.

1. Дослідження функції на опуклість та увігнутість .

Нехай функція
диференційована на інтервалі (а, в). Тоді існує дотична до графіка функції у будь-якій точці
цього графіка (
), причому дотична не паралельна осі OY , так як її кутовий коефіцієнт, що дорівнює
, Кінцевий.

Про
розподіл Говоритимемо, що графік функції
на (а, в) має випускати, спрямовану вниз (вгору), якщо він розташований не нижче (не вище) будь-якої щодо графіку функції на (а, в).

а) увігнута крива б) опукла крива

Теорема 1 (Необхідна умова опуклості (увігнутості) кривої).

Якщо графік двічі диференційованої функції опукла (увігнута) крива , друга похідна на інтервалі (а, в) негативна (позитивна) на цьому інтервалі.

Теорема 2(Достатня умова опуклості (увігнутості) кривої).

Якщо функція двічі диференційована на (а, в) та
(
) у всіх точках цього інтервалу, то крива, що є графіком функції опукла (увігнута) на цьому інтервалі.

Точки перегину графіка функції.

ВизначенняКрапка
називається точкою перегину графіка функції, якщо в точці
графік має дотичну, і існує така околиця точки , в межах якої графік функції ліворуч і праворуч точки має різні напрями опуклості.

Про Вочевидь, що у точці перегину дотична перетинає графік функції, оскільки з одного боку від цієї точки графік лежить над дотичною, з другого – під нею, т. е. на околиці точки перегину графік функції геометрично перетворюється з одного боку дотичної на іншу "перегинається" через неї. Звідси і походить назва «точки перегину».

Теорема 3(Необхідна умова точки перегину). Нехай графік функції має перегин у точці та нехай функція має у точці

безперервну другу похідну. Тоді

.
Не всяка точка, для якої є точкою перегину. Наприклад, графік функції

не має перегину в точці (0, 0), хоча

при

. Тому рівність нулю другої похідної є лише необхідною умовою перегину.

Точки графіка, для яких називається критичними точкамиII-го роду.Необхідно додатково дослідити питання про наявність перегибів кожної критичної точки.

Теорема 4(Достатня умова точки перегину). Нехай функція має другу похідну в деякій околиці точки. Тоді, якщо в межах зазначеної околиці
має різні знаки зліва і праворуч від точки, то графік має перегин у точці.
Зауваження.Теорема залишається вірною, якщо
має другу похідну в околиці точки, за винятком самої точки, і існує дотична до графіка функції в точці
. Тоді, якщо в межах зазначеної околиці має різні знаки зліва і праворуч від точки, то графік функції має перегин у точці .
Схема дослідження функції на опуклість, увігнутість, точки перегину.

приклад.Дослідити функцію
на опуклість, увігнутість, точки перегину.
1.

2.
,
=

3. не існує при

)	1	(1, +)
-		+
	1

Асимптоти графіка функції.

При дослідженні поведінки функції при
або поблизу точок розриву 2-го роду, часто виявляється, що графік функції скільки завгодно близько наближається до тієї чи іншої прямої. Такі прямі називають.

Про розподіл 1. Пряма

називається асимптотою кривої L, якщо відстань від точки кривої до цієї прямої прагне нуля при видаленні точки по кривій до нескінченності. Існує три види асимптоту: вертикальні, горизонтальні, похилі.

Визначення 2.Пряма
називається вертикальною асимптотою графіка функції, якщо хоча б одна з односторонніх меж дорівнює
, тобто

Наприклад, графік функції
має вертикальну асимптоту
, т. до.
, а
.

Визначення 3.Пряма у = А називається горизонтальною асимптотою графіка функції при

якщо

Наприклад, графік функції має горизонтальну асимптоту у = 0 т. до.
.

Визначення 4.Пряма

(

) називається похилою асимптотою графіка функції при

якщо

;

Якщо хоча б один із меж не існує, то крива асимптот не має. Якщо, то слід шукати ці межі окремо, при
.

Наприклад. Знайти асимптоти графіка функції

; х = 0 - вертикальна асимптота

;
.

- похила асимптота.
4. Схема повного дослідження функції та побудова графіка.

Розглянемо зразкову схему за якою доцільно дослідити поведінку функції та будувати її графік.

приклад.Дослідити функцію

та побудувати її графік.

1. крім х=-1.

2.
функція ні парна ні непарна

-

-

+

+

y

-4

т р.

0

Висновок.
Важливою особливістю розглянутого способу є те, що в його основі лежить насамперед виявлення та вивчення характерних рис у поведінці кривої. Місця, де функція змінюється плавно, не вивчаються особливо докладно, та й немає потреби у такому вивченні. Натомість ті місця, де функція має якісь особливості у поведінці, підлягають повному дослідженню та максимально точному графічному зображенню. Цими особливостями є точки максимуму, мінімуму, точки розриву функції та ін.

Визначення напрямку увігнутості та перегинів, а також зазначений спосіб знаходження асимптоту дають можливість провести дослідження функцій ще більш детально та отримати більш точне уявлення про їх графіки.

Інструкція

Точки перегину функції повинні належати області її визначення, яку потрібно знайти насамперед. Графік функції - це лінія, яка може бути безперервною або мати розриви, монотонно зменшуватися або зростати, мати мінімальні або максимальні точки (асимптоти), бути опуклою або увігнутою. Різка зміна двох останніх станів і називається перегином.

Необхідна умова існування перегину функції полягає у рівності другої нулю. Таким чином, двічі продиференціювавши функцію і прирівнявши вираз нулю, можна знайти абсциси можливих точок перегину.

Ця умова випливає з визначення властивостей опуклості та увігнутості графіка функції, тобто. негативному та позитивному значенню другої похідної. У точці перегину різка зміна цих властивостей, отже, похідна переходить нульову позначку. Однак рівності нулю ще недостатньо для того, щоб позначити перегин.

Існує два достатніх того, що знайдена на попередньому етапі абсцис належить точці перегину:Через цю точку можна провести дотичну до функції. Друга похідна має різні знаки праворуч і ліворуч від передбачуваної точки перегину. Таким чином, її існування в самій точці необов'язкове, достатньо визначити, що вона змінює знак. Друга похідна функції дорівнює нулю, а третя – ні.

Перша достатня умова є універсальною і застосовується найчастіше за інших. Розглянемо приклад, що ілюструє: у = (3 х + 3) ∛(х - 5).

Рішення. Знайдіть область визначення. У разі обмежень немає, отже, нею є весь простір дійсних чисел. Обчисліть першу похідну:у' = 3 ∛(х - 5) + (3 х + 3)/∛(х - 5)².

Зверніть увагу на появу дробу. З нього випливає, що область визначення похідної обмежена. Точка х = 5 є виколотою, отже, через неї може проходити дотична, що частково відповідає першій ознакі достатності перегину.

Визначте односторонні межі для виразу, що вийшов, при х → 5 – 0 і х → 5 + 0. Вони рівні -∞ і +∞. Ви довели, що через точку х=5 проходить вертикальна дотична. Ця точка може бути точкою перегину, але спочатку обчисліть другу похідну:У'' = 1/∛(х - 5)² + 3/∛(х - 5)² – 2/3 (3 х + 3)/∛(х - 5) 5 = (2 х - 22) / ∛ (х - 5) ^5.

Опустіть знаменник, оскільки точку х = 5 ви вже врахували. Розв'яжіть рівняння 2 х – 22 = 0. Воно має єдиний корінь х = 11. Останній етап – підтвердження того, що точки х = 5 та х = 11 є точками перегину. Проаналізуйте поведінку другої похідної на околицях. Вочевидь, що у точці х = 5 вона змінює знак з «+» на «-», а точці х = 11 – навпаки. Висновок: обидві точки є точками перегину. Виконана перша достатня умова.