Допомога по Теле2, тарифи, питання

вирішення нерівностів режимі онлайн Рішеннямайже будь-якої заданої нерівності онлайн. Математичні нерівності онлайндля вирішення математики. Швидко знайти вирішення нерівностів режимі онлайн. Сайт www.сайт дозволяє знайти Рішеннямайже будь-якого заданого алгебраїчного, тригонометричногоабо трансцендентної нерівності онлайн. Під час вивчення практично будь-якого розділу математики різних етапах доводиться вирішувати нерівності онлайн. Щоб отримати відповідь відразу, а головне точну відповідь, необхідний ресурс, що дозволяє це зробити. Завдяки сайту www.сайт вирішення нерівності онлайнзайме кілька хвилин. Основна перевага www.сайт при вирішенні математичних нерівності онлайн- це швидкість і точність відповіді, що видається. Сайт здатний вирішувати будь-які алгебраїчні нерівності онлайн, тригонометричні нерівності онлайн, трансцендентні нерівності онлайн, а також нерівностіз невідомими параметрами в режимі онлайн. Нерівностіслужать потужним математичним апаратом рішенняпрактичних завдань. За допомогою математичних нерівностейможна висловити факти та співвідношення, які можуть здатися на перший погляд заплутаними та складними. Невідомі величини нерівностейможна знайти, сформулювавши завдання на математичномумові у вигляді нерівностейі вирішитиотримане завдання у режимі онлайнна сайті www.сайт. Будь-яке алгебраїчна нерівність, тригонометрична нерівністьабо нерівностімістять трансцендентніфункції Ви легко вирішітьонлайн та отримайте точну відповідь. Вивчаючи природничі науки, неминуче стикаєшся з необхідністю розв'язання нерівностей. При цьому відповідь має бути точною і отримати її необхідно відразу в режимі онлайн. Тому для розв'язання математичних нерівностей онлайнми рекомендуємо сайт www.сайт, який стане вашим незамінним калькулятором розв'язання алгебраїчних нерівностей онлайн, тригонометричних нерівностей онлайн, а також трансцендентних нерівностей онлайнабо нерівностейіз невідомими параметрами. Для практичних завдань з знаходження інетравол рішень різних математичних нерівностейресурсу www.. Вирішальна нерівності онлайнсамостійно, корисно перевірити отриману відповідь, використовуючи онлайн розв'язання нерівностейна сайті www.сайт. Необхідно правильно записати нерівність і миттєво отримаєте онлайн рішення, після чого залишиться лише порівняти відповідь з Вашим розв'язанням нерівності. Перевірка відповіді займе не більше хвилини, достатньо вирішити нерівність онлайнта порівняти відповіді. Це допоможе Вам уникнути помилок у рішенніі вчасно скоригувати відповідь при вирішенні нерівностей онлайнбудь то алгебраїчне, тригонометричне, трансцендентнеабо нерівністьіз невідомими параметрами.

Наприклад, нерівністю є вираз (x> 5).

Види нерівностей:

Якщо \(a\) і \(b\) – це числа або , то нерівність називається числовим. Фактично, це просто порівняння двох чисел. Такі нерівності поділяються на вірніі невірні.

Наприклад:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) - неправильна числова нерівність, так як \(17+3=20\), а \(20\) менше \(115\) (а не більше або одно).

Якщо ж \(a\) і \(b\) - це вирази, що містять змінну, то у нас нерівність зі змінною. Такі нерівності поділяють за типами залежно від вмісту:

Що таке розв'язання нерівності?

Якщо в нерівність замість змінної підставити якесь число, воно перетвориться на числове.

Якщо це значення для ікса перетворює вихідне нерівність вірне числове, воно називається вирішенням нерівності. Якщо ж ні - то це значення рішенням не є. І щоб вирішити нерівність- Треба знайти всі його рішення (або показати, що їх немає).

Наприклад,якщо ми в лінійну нерівність \(x+6>10\), підставимо замість ікса число \(7\) - отримаємо правильну числову нерівність: \(13>10\). А якщо підставимо \(2\), буде неправильна числова нерівність \(8>10\). Тобто \(7\) - це рішення вихідної нерівності, а \(2\) - ні.

Проте, нерівність (x+6>10) має й інші рішення. Справді, ми отримаємо вірні числові нерівності при підстановці і (5), і (12), і (138) ... І як же нам знайти всі можливі рішення? Для цього використовують Для нашого випадку маємо:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Тобто нам підійде будь-яке число більше чотирьох. Тепер слід записати відповідь. Вирішення нерівностей, як правило, записують числовими , додатково позначаючи їх на числовій осі штрихуванням. Для нашого випадку маємо:

Відповідь: \(x\in(4;+\infty)\)

Коли змінюється знак у нерівності?

У нерівностях є одна велика пастка, в яку дуже люблять траплятися учні:

При множенні (або розподілі) нерівності на від'ємне число, змінюється на протилежний («більше» на «менше», «більше чи одно» на «менше чи одно» тощо)

Чому так відбувається? Щоб це зрозуміти, давайте подивимося перетворення числової нерівності \(3>1\). Воно вірне, трійка справді більше одиниці. Спочатку спробуємо помножити його на будь-яке позитивне число, наприклад двійку:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Як бачимо, після множення нерівність залишилася вірною. І на яке б позитивне число ми не множили – завжди отримуватимемо правильну нерівність. А тепер спробуємо помножити на негативне число, наприклад мінус трійку:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Вийшла неправильна нерівність, адже мінус дев'ять менше, ніж мінус три! Тобто для того, щоб нерівність стала вірною (а значить, перетворення множення на негативне було «законним»), потрібно перевернути знак порівняння, ось так: \(−9<− 3\).
З розподілом вийде аналогічно, можете перевірити самі.

Записане вище правило поширюється попри всі види нерівностей, а чи не лише на числові.

Відповідь: \(x\in(-1;\infty)\)

Нерівності та ОДЗ

Нерівності, як і рівняння можуть мати обмеження на , тобто значення ікса. Відповідно, із проміжку рішень мають бути виключені ті значення, які неприпустимі за ОДЗ.

Приклад: Розв'язати нерівність \(\sqrt(x+1)<3\)

Рішення: Зрозуміло, що для того щоб ліва частина була меншою (3), підкорене вираз має бути менше (9) (адже з (9) саме (3)). Отримуємо:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)

Всі? Нам підійде будь-яке значення ікса менше (8)? Ні! Тому що якщо ми візьмемо, наприклад, нібито відповідне під вимогу значення \(-5\) - воно рішенням вихідної нерівності не буде, тому що призведе нас до обчислення кореня з негативного числа.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Тому ми повинні враховувати обмеження на значення ікса – він може бути таким, щоб під коренем було негативне число. Таким чином, маємо другу вимогу на ікс:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

І щоб ікс був остаточним рішенням, він повинен задовольняти відразу обом вимогам: він повинен бути меншим (8) (щоб бути рішенням) і більше (-1) (щоб бути допустимим у принципі). Наносячи на числову вісь, маємо остаточну відповідь:

Відповідь: \(\left[-1;8\right)\)

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

Що таке "квадратна нерівність"?Не питання!) Якщо взяти будь-якеквадратне рівняння та замінити в ньому знак "=" (рівно) на будь-який значок нерівності ( > ≥ < ≤ ≠ ), вийде квадратна нерівність. Наприклад:

1. x 2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x 2 ≤ 4

Ну ви зрозуміли...)

Я не дарма тут зв'язав рівняння та нерівності. Справа в тому, що перший крок у вирішенні будь-якогоквадратної нерівності - вирішити рівняння, з якого ця нерівність зроблена.З цієї причини - нездатність вирішувати квадратні рівняння автоматично призводить до повного провалу та в нерівностях. Натяки зрозумілі?) Якщо що, подивіться, як вирішувати будь-які квадратні рівняння. Там все докладно розписано. А у цьому уроці ми займемося саме нерівностями.

Готова для вирішення нерівність має вигляд: ліворуч - квадратний тричлен ax 2 +bx+c, праворуч - нуль.Знак нерівності може бути абсолютно будь-яким. Перші два приклади тут вже готові до вирішення.Третій приклад треба ще підготувати.

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Сьогодні, друзі, не буде жодних соплів та сентиментів. Замість них я без зайвих питань відправлю вас у бій з одним із найгрізніших супротивників у курсі алгебри 8—9 класу.

Так, ви все правильно зрозуміли: йдеться про нерівності з модулем. Ми розглянемо чотири основні прийоми, за допомогою яких ви навчитеся вирішувати близько 90% таких завдань. А що з рештою 10%? Що ж, про них ми поговоримо в окремому уроці.

Однак перед тим, як розбирати якісь там прийоми, хотілося б нагадати два факти, які потрібно знати. Інакше ви ризикуєте взагалі зрозуміти матеріал сьогоднішнього уроку.

Що вже треба знати

Капітан Очевидність хіба що натякає, що з розв'язання нерівностей з модулем необхідно знати дві речі:

1. Як вирішуються нерівності;
2. Що таке модуль |

Почнемо із другого пункту.

Визначення модуля

Тут все просто. Є два визначення: алгебраїчне та графічне. Для початку - алгебраїчне:

Визначення. Модуль числа $x$ - це або саме це число, якщо воно невід'ємне, або число, йому протилежне, якщо вихідний $x$ - все-таки негативний.

Записується це так:

\[\left| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\end(align) \right.\]

Говорячи простою мовою, модуль це «число без мінуса». І саме в цій двоїстості (десь із вихідним числом нічого не треба робити, а десь доведеться прибрати якийсь там мінус) і полягає вся складність для учнів-початківців.

Є ще геометричне визначення. Його теж корисно знати, але звертатися до нього ми будемо лише у складних і якихось спеціальних випадках, де геометричний підхід зручніший за алгебраїчну (спойлер: не сьогодні).

Визначення. Нехай на числовій прямій відзначено точку $a$. Тоді модулем $ \ left | x-a \right|$ називається відстань від точки $x$ до точки $a$ на цій прямій.

Якщо накреслити картинку, то вийде щось на кшталт цього:

Так чи інакше, з визначення модуля відразу випливає його ключова властивість: модуль числа завжди є величиною невід'ємною. Цей факт буде червоною ниткою йти через всю нашу сьогоднішню розповідь.

Розв'язання нерівностей. Метод інтервалів

Тепер розберемося з нерівностями. Їх існує безліч, але наше завдання зараз — вміти вирішувати хоча б найпростіші з них. Ті, що зводяться до лінійних нерівностей, і навіть методу інтервалів.

На цю тему у мене є два великі уроки (між іншим, дуже, ДУЖЕ корисних — рекомендую вивчити):

1. Метод інтервалів для нерівностей (особливо подивіться відео);
2. Дробно-раціональні нерівності - дуже об'ємний урок, але після нього у вас взагалі не залишиться будь-яких питань.

Якщо ви все це знаєте, якщо фраза «перейдемо від нерівності до рівняння» не викликає у вас невиразне бажання убитися об стіну, то ви готові: ласкаво просимо до пекла до основної теми уроку.:)

1. Нерівності виду «Модуль менше функції»

Це одне з найпоширеніших завдань з модулями. Потрібно вирішити нерівність виду:

\[\left| f \right| \lt g\]

У ролі функцій $f$ і $g$ може бути будь-що, але зазвичай це многочлены. Приклади таких нерівностей:

\[\begin(align) & \left| 2x+3 \right| \lt x+7; \\ & \left| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \left| ((x) ^ (2))-2 \ left | x \right|-3 \right| \lt 2. \\end(align)\]

Всі вони вирішуються буквально в один рядок за схемою:

\[\left| f \right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \& f \gt -g \\end(align) \right.\right)\]

Неважко помітити, що позбавляємося від модуля, але натомість отримуємо подвійну нерівність (або, що теж саме, систему з двох нерівностей). Проте цей перехід враховує абсолютно всі можливі проблеми: якщо число під модулем позитивне, метод працює; якщо негативно - все одно працює; і навіть за самої неадекватної функції дома $f$ чи $g$ метод все одно спрацює.

Звичайно, виникає питання: а простіше не можна? На жаль, не можна. У цьому вся фішка модуля.

Втім, вистачить філософствувати. Давайте вирішимо кілька завдань:

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

\[\left| 2x+3 \right| \lt x+7\]

Рішення. Отже, маємо класичну нерівність виду «модуль менше» — навіть перетворювати нічого. Працюємо за алгоритмом:

\[\begin(align) & \left| f \right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \left| 2x+3 \right| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\end(align)\]

Не поспішайте розкривати дужки, перед якими стоїть «мінус»: цілком можливо, що через поспіху ви припуститеся образливої ​​помилки.

\-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\\end(align) \right.\]

Завдання звелося до двох елементарних нерівностей. Зазначимо їх рішення на паралельних числових прямих:

Перетин множин

Перетином цих множин і буде відповідь.

Відповідь: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

Рішення. Це завдання вже трохи складніше. Для початку усамітнимо модуль, перенісши друге доданок вправо:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\left(x+1 \right)\]

Очевидно, перед нами знову нерівність виду «модуль менший», тому позбавляємося модуля за вже відомим алгоритмом:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

Ось зараз увага: хтось скаже, що я трохи збоченець із усіма цими дужками. Але ще раз нагадаю, що наша ключова мета грамотно вирішити нерівність та отримати відповідь. Пізніше, коли ви досконало освоїте все, про що розказано в цьому уроці, можете самі перекручуватись як хочете: розкривати дужки, вносити мінуси і т.д.

А ми для початку просто позбудемося подвійного мінусу зліва:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\left(x+1 \right)\]

Тепер розкриємо всі дужки у подвійній нерівності:

Переходимо до подвійної нерівності. На цей раз викладки будуть серйознішими:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( align) \right.\]

Обидві нерівності є квадратними і вирішуються методом інтервалів (бо й кажу: якщо не знаєте, що це таке, краще поки не братися за модулі). Переходимо до рівняння у першій нерівності:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \ & x \ left (x + 5 \ right) = 0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\end(align)\]

Як бачимо, на виході вийшло неповне квадратне рівняння, яке вирішується елементарно. Тепер розберемося з другою нерівністю системи. Там доведеться застосувати теорему Вієта:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \&((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\end(align)\]

Зазначаємо отримані числа на двох паралельних прямих (окрема для першої нерівності та окрема для другої):

Знову ж таки, оскільки ми вирішуємо систему нерівностей, нас цікавить перетин заштрихованих множин: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Це є відповідь.

Відповідь: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Думаю, після цих прикладів схема рішення гранично зрозуміла:

1. Усамітнити модуль, перенісши всі інші доданки в протилежну частину нерівності. Таким чином, ми отримаємо нерівність виду $\left| f \right| \lt g$.
2. Вирішити цю нерівність, позбавившись модуля за описаною вище схемою. У якийсь момент потрібно перейти від подвійної нерівності до системи з двох самостійних виразів, кожне з яких можна вирішувати окремо.
3. Зрештою, залишиться лише перетнути рішення цих двох самостійних висловів — і все, ми отримаємо остаточну відповідь.

Аналогічний алгоритм існує й у нерівностей наступного типу, коли модуль більше функції. Однак там є кілька серйозних «але». Про ці «але» ми зараз і поговоримо.

2. Нерівності виду «Модуль більше функції»

Виглядають вони так:

\[\left| f \right| \gt g\]

Схоже на попереднє? Схоже. Проте вирішуються такі завдання зовсім по-іншому. Формально схема наступна:

\[\left| f \right| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \end(align) \right.\]

Іншими словами, ми розглядаємо два випадки:

1. Спочатку просто ігноруємо модуль - вирішуємо нормальну нерівність;
2. Потім по суті розкриваємо модуль зі знаком мінус, а потім множимо обидві частини нерівності на −1, мене при цьому знак.

У цьому варіанти об'єднані квадратною дужкою, тобто. маємо сукупність двох вимог.

Зверніть увагу ще раз: перед нами не система, а сукупність, тому у відповіді безлічі об'єднуються, а не перетинаються. Це принципова відмінність від попереднього пункту!

Взагалі, з об'єднаннями та перетинами у багатьох учнів суцільна плутанина, тому давайте розберемося в цьому питанні раз і назавжди:

• "∪" - це знак об'єднання. По суті, це стилізована літера U, яка прийшла до нас з англійської мови і є абревіатурою від Union, тобто. "Об'єднання".
• "∩" - це знак перетину. Ця хрень звідки не прийшла, а просто виникла як протиставлення до «∪».

Щоб ще простіше було запам'ятати, просто прималюйте до цих знаків ніжки, щоб вийшли келихи (ось тільки не треба зараз звинувачувати мене в пропаганді наркоманії та алкоголізму: якщо ви всерйоз вивчаєте цей урок, то вже наркоман):

У перекладі російською це означає таке: об'єднання (сукупність) включає у собі елементи з обох множин, тому не менше кожного їх; а ось перетин (система) включає лише ті елементи, які одночасно знаходяться і в першій множині, і в другій. Тому перетин множин ніколи не буває більше множин-вихідників.

Так стало зрозуміліше? От і відмінно. Переходимо до практики.

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

\[\left| 3x+1 \right| \gt 5-4x\]

Рішення. Діємо за схемою:

\[\left| 3x+1 \right| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\end(align) \ right.\]

Вирішуємо кожну нерівність сукупності:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\\end(align) \right.\]

Відзначаємо кожну отриману множину на числовій прямій, а потім об'єднуємо їх:

Об'єднання множин

Очевидно, що відповіддю буде $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Відповідь: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\]

Рішення. Ну що? Та нічого — все те саме. Переходимо від нерівності з модулем до сукупності двох нерівностей:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(align) \right.\]

Вирішуємо кожну нерівність. На жаль, коріння там буде не оч:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \& D=1+12=13; \ \ & x = \ frac (-1 \ pm \ sqrt (13)) (2). \\end(align)\]

У другій нерівності теж трохи дичини:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \& ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \ & D = 9 + 12 = 21; \ & x = \ frac (-3 \ pm \ sqrt (21)) (2). \\end(align)\]

Тепер треба відзначити ці числа на двох осях — по одній осі кожної нерівності. Однак відзначати крапки потрібно в правильному порядку: чим більше число, тим далі зсув крапку вправо.

І ось тут на нас чекає підстава. Якщо з числами $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ все ясно (доданки в чисельнику першого дробу менше доданків у чисельнику другого , Тому сума теж менше), з числами $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt(21))(2)$ теж не виникне труднощів (позитивне число свідомо більше негативного), то ось з останньою парочкою все не так однозначно. Що більше: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ або $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Від відповіді це питання залежатиме розстановка точок на числових прямих і, власне, відповідь.

Тому давайте порівнювати:

\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \- -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrix)\]

Ми усамітнили корінь, отримали невід'ємні числа з обох сторін нерівності, тому вправі звести обидві сторони квадрат:

\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\end(matrix)\]

Думаю, тут і їжу зрозуміло, що $4\sqrt(13) \gt 3$, тому $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) (2)$, остаточно точки на осях будуть розставлені так:

Випадок негарного коріння

Нагадаю, ми вирішуємо сукупність, тому у відповідь піде об'єднання, а не перетин заштрихованих множин.

Відповідь: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

Як бачите, наша схема чудово працює як для простих завдань, так і для жорстких. Єдине «слабке місце» у такому підході — треба грамотно порівнювати ірраціональні числа (і повірте: це не лише коріння). Але питанням порівняння буде присвячено окремий (і дуже серйозний урок). А ми йдемо далі.

3. Нерівності з невід'ємними «хвістами»

От ми й дісталися найцікавішого. Це нерівності виду:

\[\left| f \right| \gt \left| g \right|\]

Взагалі кажучи, алгоритм, про який ми зараз поговоримо, вірний лише для модуля. Він працює у всіх нерівностях, де ліворуч і праворуч стоять гарантовано невід'ємні вирази:

Що робити із цими завданнями? Просто пам'ятайте:

У нерівностях з невід'ємними «хвістами» можна зводити обидві частини у будь-який натуральний ступінь. Жодних додаткових обмежень при цьому не виникне.

Насамперед нас цікавитиме зведення у квадрат — він спалює модулі та коріння:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \& ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\end(align)\]

Ось тільки не треба плутати це із вилученням кореня з квадрата:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \right|\ne f\]

Безліч помилок було допущено в той момент, коли учень забував ставити модуль! Але це зовсім інша історія (це ніби ірраціональні рівняння), тому не зараз у це поглиблюватимемося. Давайте краще вирішимо кілька завдань:

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

\[\left| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \right|\]

Рішення. Відразу зауважимо дві речі:

1. Це несувора нерівність. Крапки на числовій прямій будуть виколоті.
2. Обидві сторони нерівності явно невід'ємні (ця властивість модуля: $ \ left | f \ left (x \ right) \ right | \ ge 0 $).

Отже, можемо звести обидві частини нерівності в квадрат, щоб позбавитися модуля і вирішувати завдання звичайним методом інтервалів:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) ) ^ (2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\end(align)\]

На останньому кроці я трохи схитрував: змінив послідовність доданків, скориставшись парністю модуля (по суті, помножив вираз $1-2x$ на -1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \) right) \right)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\end(align)\]

Вирішуємо методом інтервалів. Переходимо від нерівності до рівняння:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\end(align)\]

Зазначаємо знайдене коріння на числовій прямій. Ще раз: усі крапки зафарбовані, оскільки вихідна нерівність — не сувора!

Звільнення від знаку модуля

Нагадаю для особливо затятих: знаки ми беремо з останньої нерівності, яка була записана перед переходом до рівняння. І зафарбовуємо області, які потрібні в тій же нерівності. У нашому випадку це $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

Ну от і все. Завдання вирішено.

Відповідь: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

\[\left| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \right|\]

Рішення. Робимо все те саме. Я не коментуватиму — просто подивіться на послідовність дій.

Зводимо у квадрат:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left) ((x)^(2))+3x+4 \right| \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \right)) ^ (2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \) right))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Метод інтервалів:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Rightarrow x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing. \\end(align)\]

Всього один корінь на числовій прямій:

Відповідь - цілий інтервал

Відповідь: $x\in \left[ -1,5;+\infty \right)$.

Невелике зауваження щодо останнього завдання. Як точно зауважив один мій учень, обидва підмодульні вирази в даній нерівності свідомо позитивні, тому знак модуля можна без шкоди для здоров'я опустити.

Але це вже зовсім інший рівень роздумів та інший підхід його умовно можна назвати методом слідств. Про нього – в окремому уроці. А зараз перейдемо до фінальної частини сьогоднішнього уроку та розглянемо універсальний алгоритм, який працює завжди. Навіть тоді, коли всі попередні підходи виявилися безсилими.

4. Метод перебору варіантів

А якщо всі ці прийоми не допоможуть? Якщо нерівність не зводиться невід'ємним хвостам, якщо усамітнити модуль не виходить, якщо взагалі біль-сум сум?

Тоді на сцену виходить "важка артилерія" всієї математики - метод перебору. Стосовно нерівностей з модулем він виглядає так:

1. Виписати всі підмодульні вирази та прирівняти їх до нуля;
2. Розв'язати отримані рівняння і відзначити знайдене коріння на одній числовій прямій;
3. Пряма розіб'ється на кілька ділянок, усередині якого кожен модуль має фіксований знак і тому однозначно розкривається;
4. Вирішити нерівність на кожній такій ділянці (можна окремо розглянути корені-кордони, отримані в пункті 2 для надійності). Результати об'єднати – це і буде відповідь.

Ну як? Слабко? Легко! Лише довго. Подивимося практично:

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

\[\left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Рішення. Ця хрень не зводиться до нерівностей виду $ \ left | f \right| \lt g$, $\left| f \right| \gt g$ або $\left| f \right| \lt \left| g \right|$, тому діємо напролом.

Виписуємо підмодульні вирази, прирівнюємо їх до нуля і знаходимо коріння:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1 = 0 \ Rightarrow x = 1. \\end(align)\]

Разом у нас два корені, які розбивають числову пряму на три ділянки, всередині яких кожен модуль розкривається однозначно:

Розбиття числової прямої нулями підмодульних функцій

Розглянемо кожну ділянку окремо.

1. Нехай $x \lt -2$. Тоді обидва підмодульні вирази негативні, і вихідна нерівність перепишеться так:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1,5 \\ & x \gt 1,5 \\end(align)\]

Здобули досить просте обмеження. Перетнемо його з вихідним припущенням, що $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Очевидно, що змінна $x$ не може одночасно бути меншою за −2, але більше за 1,5. Рішень на цій ділянці немає.

1.1. Окремо розглянемо прикордонний випадок $x=-2$. Просто підставимо це число у вихідну нерівність і перевіримо: чи виконується вона?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \left| -3 \right|-2-1,5; \ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5 \Rightarrow \varnothing. \\end(align)\]

Очевидно, що ланцюжок обчислень привів нас до невірної нерівності. Отже, вихідна нерівність теж неправильна, і $x=-2$ не входить у відповідь.

2. Нехай тепер $-2 \lt x \lt 1$. Лівий модуль вже розкриється з плюсом, але правий все ще з мінусом. Маємо:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt -2,5 \\end(align)\]

Знову перетинаємо з вихідною вимогою:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

І знову порожня безліч рішень, оскільки немає таких чисел, які одночасно менші за −2,5, але більші за −2.

2.1. І знову окремий випадок: $ x = 1 $. Підставляємо у вихідну нерівність:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \left| 3 \right| \lt \left| 0 \right|+1-1,5; \ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5 \Rightarrow \varnothing. \\end(align)\]

Аналогічно попередньому «приватному випадку» число $x=1$ явно не входить у відповідь.

3. Останній шматок прямий: $x \gt 1$. Тут усі модулі розкриваються зі знаком «плюс»:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x \gt 4,5 \\ \end(align)\]

І знову перетинаємо знайдену множину з вихідним обмеженням:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4,5;+\infty) \right)\]

Ну нарешті то! Ми знайшли інтервал, який і буде відповіддю.

Відповідь: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Насамкінець — одне зауваження, яке, можливо, убереже вас від дурних помилок під час вирішення реальних завдань:

Розв'язання нерівностей з модулями зазвичай є суцільні множини на числовій прямій - інтервали та відрізки. Набагато рідше трапляються ізольовані точки. І ще рідше трапляється так, що меж рішення (кінець відрізка) збігається з межею діапазону, що розглядається.

Отже, якщо кордони (ті самі «приватні випадки») не входять у відповідь, то майже напевно не увійдуть у відповідь і області зліва-праворуч від цих кордонів. І навпаки: кордон увійшов у відповідь — отже, і якісь області навколо неї також будуть відповідями.

Пам'ятайте про це, коли ви перевіряєте свої рішення.

Для початку — трохи лірики, щоби відчути проблему, яку вирішує метод інтервалів. Припустимо, нам треба вирішити таку нерівність:

(x − 5)(x + 3) > 0

Які є варіанти? Перше, що спадає на думку більшості учнів - це правила "плюс на плюс дає плюс" і "мінус на мінус дає плюс". Тому достатньо розглянути випадок, коли обидві дужки позитивні: x − 5 > 0 та x + 3 > 0. Потім також розглянемо випадок, коли обидві дужки негативні: x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

Більш просунуті учні згадають (можливо), що ліворуч стоїть квадратична функція, графік якої – парабола. Причому ця парабола перетинає вісь OX у точках x = 5 та x = −3. Для подальшої роботи треба розкрити дужки. Маємо:

x 2 − 2x − 15 > 0

Тепер відомо, що гілки параболи спрямовані нагору, т.к. коефіцієнт a = 1 > 0. Спробуємо намалювати схему цієї параболи:

Функція більша за нуль там, де вона проходить вище осі OX . У нашому випадку це інтервали (−∞−3) та (5; +∞) – це і є відповідь.

Зверніть увагу: на малюнку зображено саме схема функції, а не її графік. Тому що для справжнього графіка треба рахувати координати, розраховувати усунення та іншу хрень, яка нам зараз зовсім ні до чого.

Чому ці методи є неефективними?

Отже, ми розглянули два рішення однієї й тієї ж нерівності. Обидва вони виявилися дуже громіздкими. У першому рішенні виникає – ви тільки вдумайтесь! - Сукупність систем нерівностей. Друге рішення теж не дуже легке: треба пам'ятати графік параболи і ще купу дрібних фактів.

Це була дуже проста нерівність. У ньому всього 2 множники. А тепер уявіть, що множників буде не 2, а хоча б 4. Наприклад:

(x − 7)(x − 1)(x + 4)(x + 9)< 0

Як вирішувати таку нерівність? Перебирати всі можливі комбінації плюсів та мінусів? Та ми заснемо швидше, ніж знайдемо рішення. Малювати графік - теж не варіант, оскільки незрозуміло, як поводиться така функція на координатній площині.

Для таких нерівностей потрібен спеціальний алгоритм розв'язання, який ми сьогодні розглянемо.

Що таке метод інтервалів

Метод інтервалів - це спеціальний алгоритм, призначений для розв'язання складних нерівностей виду f(x) > 0 і f(x)< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

1. Розв'язати рівняння f(x) = 0. Таким чином, замість нерівності отримуємо рівняння, яке вирішується набагато простіше;
2. Відзначити все отримане коріння на координатній прямій. Отже, пряма розділиться кілька інтервалів;
3. З'ясувати знак (плюс або мінус) функції f (x ) на правому інтервалі. Для цього достатньо підставити в f (x ) будь-яке число, яке буде правіше всіх зазначених коренів;
4. Відзначити знаки інших інтервалах. Для цього достатньо запам'ятати, що при переході через кожен корінь змінюється знак.

От і все! Після цього залишиться лише виписати інтервали, які нас цікавлять. Вони позначені знаком «+», якщо нерівність мала вигляд f(x) > 0, або знаком «−», якщо нерівність має вигляд f(x)< 0.

На перший погляд може здатися, що метод інтервалів — якась жерсть. Але практично все буде дуже просто. Варто трохи потренуватися - і все стане зрозумілим. Погляньте на приклади і переконайтеся в цьому самі:

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

(x − 2)(x + 7)< 0

Працюємо за методом інтервалів. Крок 1: замінюємо нерівність рівнянням та вирішуємо її:

(x − 2)(x + 7) = 0

Добуток дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли хоча б один із множників дорівнює нулю:

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

Отримали два корені. Переходимо до кроку 2: відзначаємо це коріння на координатній прямій. Маємо:

Тепер крок 3: знаходимо знак функції на правому інтервалі (правіше зазначеної точки x = 2). Для цього треба взяти будь-яке число, яке більше за число x = 2. Наприклад, візьмемо x = 3 (але ніхто не забороняє взяти x = 4, x = 10 і навіть x = 10 000). Отримаємо:

f(x) = (x − 2)(x + 7);
x = 3;
f(3) = (3 − 2)(3 + 7) = 1 · 10 = 10;

Отримуємо, що f(3) = 10 > 0, тому в правому інтервалі ставимо знак плюс.

Переходимо до останнього пункту — слід зазначити знаки на інших інтервалах. Пам'ятаємо, що при переході через кожен корінь знак має змінюватись. Наприклад, праворуч від кореня x = 2 стоїть плюс (ми переконалися у цьому попередньому кроці), тому ліворуч повинен стояти мінус.

Цей мінус поширюється на весь інтервал (-7; 2), тому праворуч від кореня x = -7 стоїть мінус. Отже, ліворуч від кореня x = −7 стоїть плюс. Залишилося відзначити ці знаки координатної осі. Маємо:

Повернемося до вихідної нерівності, яка мала вигляд:

(x − 2)(x + 7)< 0

Отже, функція має бути меншою за нуль. Отже, нас цікавить знак мінус, що виникає лише одному інтервалі: (−7; 2). Це буде відповідь.

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Крок 1: прирівнюємо ліву частину до нуля:

(x + 9) (x - 3) (1 - x) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

Пам'ятайте: добуток дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю. Саме тому ми маємо право прирівняти до нуля кожну окрему дужку.

Крок 2: відзначаємо всі коріння на координатній прямій:

Крок 3: з'ясовуємо знак правого проміжку. Беремо будь-яке число, яке більше, ніж x = 1. Наприклад, можна взяти x = 10. Маємо:

f(x) = (x + 9)(x − 3)(1 − x );
x = 10;
f (10) = (10 + 9)(10 − 3)(1 − 10) = 19 · 7 · (−9) = − 1197;
f (10) = −1197< 0.

Крок 4: розставляємо решту знаків. Пам'ятаємо, що під час переходу через кожен корінь знак змінюється. У результаті наша картинка буде виглядати так:

От і все. Залишилося лише виписати відповідь. Погляньте ще раз на вихідну нерівність:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Це нерівність виду f(x)< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

Це є відповідь.

Зауваження щодо знаків функції

Практика показує, що найбільші труднощі у методі інтервалів виникають останніх двох кроках, тобто. при розміщенні знаків. Багато учнів починають плутатися: які треба брати числа та де ставити знаки.

Щоб остаточно розібратися у методі інтервалів, розглянемо два зауваження, на яких він побудований:

1. Безперервна функція змінює знак лише у тих точках, де вона дорівнює нулю. Такі точки розбивають координатну вісь на шматки, у яких знак функції будь-коли змінюється. Ось навіщо ми вирішуємо рівняння f(x) = 0 і відзначаємо знайдене коріння на прямій. Знайдені числа - це "прикордонні" точки, що відокремлюють плюси від мінусів.
2. Щоб з'ясувати знак функції на якомусь інтервалі, достатньо підставити в функцію будь-яке число цього інтервалу. Наприклад, для інтервалу (−5; 6) ми маємо право брати x = −4, x = 0, x = 4 і навіть x = 1,29374, якщо нам захочеться. Чому це важливо? Та тому, що багатьох учнів починають гризти сумніви. Мовляв, якщо для x = −4 ми отримаємо плюс, а для x = 0 — мінус? А нічого такого ніколи не буде. Всі точки на одному інтервалі дають один і той самий знак. Пам'ятайте про це.

Ось і все, що потрібно знати про спосіб інтервалів. Звичайно, ми розібрали його у найпростішому варіанті. Існують більш складні нерівності — нестрогі, дробові і з корінням, що повторюється. Для них також можна застосовувати метод інтервалів, але це тема для окремого великого уроку.

Тепер хотів би розібрати просунутий прийом, який різко полегшує метод інтервалів. Точніше, спрощення торкається лише третього кроку — обчислення знака на правому шматку прямої. З якихось причин цей прийом не проходять у школах (принаймні мені ніхто такого не пояснював). А дарма, адже насправді цей алгоритм дуже простий.

Отже, знак функції правому шматку числової осі. Цей шматок має вигляд (a ; +∞), де a — найбільший корінь рівняння f (x ) = 0. Щоб не підривати мозок, розглянемо конкретний приклад:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0;
f (x) = (x - 1) (2 + x) (7 - x);
(x - 1) (2 + x) (7 - x) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = -2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

Ми отримали 3 корені. Перелічимо їх у порядку зростання: x = −2, x = 1 та x = 7. Очевидно, що найбільший корінь — це x = 7.

Для тих, кому легше міркувати графічно, я відзначу це коріння на координатній прямій. Подивимось що вийде:

Потрібно знайти знак функції f (x ) на правому інтервалі, тобто. на (7; +∞). Але як ми вже зазначали, визначення знака можна взяти будь-яке число з цього інтервалу. Наприклад, можна взяти х = 8, х = 150 і т.д. А тепер - той самий прийом, який не проходять у школах: давайте в якості числа візьмемо нескінченність. Точніше, плюс нескінченність, тобто. +∞.

«Ти че, обкурився? Як можна підставити в функцію нескінченність? - Можливо, спитайте ви. Але задумайтеся: адже нам не потрібно саме значення функції, нам потрібен тільки знак. Тому, наприклад, значення f(x) = −1 і f(x) = −938 740 576 215 означають те саме: функція на даному інтервалі негативна. Тому все, що від вас вимагається, — знайти знак, який виникає на нескінченності, а не значення функції.

Насправді підставляти нескінченність дуже просто. Повернемося до нашої функції:

f (x ) = (x − 1)(2 + x )(7 − x )

Уявіть, що x це дуже велике число. Мільярд або навіть трильйон. Тепер подивимося, що відбуватиметься у кожній дужці.

Перша дужка: (x – 1). Що буде, якщо від мільярда відняти одиницю? Вийде число, що не особливо відрізняється від мільярда, і це число буде позитивним. Аналогічно з другою дужкою: (2 + x). Якщо до двійки додати мільярд, отримаємо мільярд із копійками — це позитивне число. Нарешті, третя дужка: (7 - x). Тут буде мінус мільярд, від якого «відгризли» жалюгідний шматочок у вигляді сімки. Тобто. отримане число мало чим відрізнятиметься від мінус мільярда — воно буде негативним.

Залишилось знайти знак всього твору. Оскільки в перших дужках у нас був плюс, а в останній мінус, отримуємо наступну конструкцію:

(+) · (+) · (−) = (−)

Підсумковий знак – мінус! І не має значення, чому дорівнює значення самої функції. Головне, що це значення негативне, тобто. на правому інтервалі стоїть знак мінус. Залишилося виконати четвертий крок способу інтервалів: розставити всі знаки. Маємо:

Вихідна нерівність мала вигляд:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0

Отже, нас цікавлять інтервали, що позначені знаком мінус. Виписуємо відповідь:

x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)

Ось і весь прийом, який я хотів розповісти. Насамкінець — ще одна нерівність, яка вирішується методом інтервалів із залученням нескінченності. Щоб візуально скоротити рішення, я не писатиму номери кроків та розгорнуті коментарі. Напишу тільки те, що дійсно треба писати під час вирішення реальних завдань:

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

x (2x + 8)(x − 3) > 0

Замінюємо нерівність рівнянням і розв'язуємо її:

x (2x + 8)(x − 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Відзначаємо всі три корені на координатній прямій (відразу зі знаками):

Справа на координатній осі стоїть плюс, т.к. функція має вигляд:

f (x ) = x (2x + 8)(x − 3)

А якщо підставити нескінченність (наприклад, мільярд), отримаємо три позитивні дужки. Оскільки вихідний вираз має бути більшим за нуль, нас цікавлять лише плюси. Залишилось виписати відповідь:

x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)