Допомога по Теле2, тарифи, питання

Тим, хто цікавиться історією теореми Піфагора, яку вивчають у шкільній програмі, буде також цікавий такий факт, як публікація у 1940 році книги з трьохсот сімдесятьма доказами цієї, здавалося б, простої теореми. Але вона інтригувала уми багатьох математиків та філософів різних епох. У книзі рекордів Гіннеса вона зафіксована як теорема з найбільшою кількістю доказів.

Історія теореми Піфагора

Пов'язана з ім'ям Піфагора теорема була відома задовго до народження великого філософа. Так було в Єгипті, під час будівництва споруд, враховувалося співвідношення сторін прямокутного трикутника п'ять тисячоліть тому. У вавилонських текстах згадується все те ж співвідношення сторін прямокутного трикутника за 1200 років до народження Піфагора.

Виникає питання, чому тоді говорить історія - поява теореми Піфагора належить йому? Відповідь може бути лише одна - він довів співвідношення сторін у трикутнику. Він зробив те, що століття тому не робили ті, хто просто користувався співвідношенням сторін та гіпотенузи, встановленим досвідченим шляхом.

З життя Піфагора

Майбутній великий учений, математик, філософ народився на острові Самос в 570 році до нашої ери. Історичні документи зберегли відомості про отця Піфагора, який був різьбяр по дорогоцінному каменю, а ось про матір відомостей немає. Про хлопчика, що народився, говорили, що це непересічна дитина, що проявила з дитячого віку пристрасть до музики і поезії. До вчителів юного Піфагора історики відносять Гермодаманта та Ферекіда Сіросського. Перший ввів хлопчика у світ муз, а другий, будучи філософом та засновником італійської школи філософії, направив погляд юнака до логосу.

У 22 роки від народження (548 р. до н. е.) Піфагор відправився в Навкратіс для вивчення мови та релігії єгиптян. Далі його шлях лежав до Мемфісу, де завдяки жерцям, пройшовши через їхні хитромудрі випробування, він збагнув єгипетську геометрію, яка, можливо, наштовхнула допитливого юнака на доказ теореми Піфагора. Історія надалі припише теоремі саме це ім'я.

У полоні царя Вавилона

Дорогою додому в Елладу, Піфагор потрапляє в полон царя Вавилона. Але знаходження в полоні принесло користь допитливому розуму математика-початківця, йому було чому повчитися. Адже в ті роки математика у Вавилоні була більш розвиненою, ніж у Єгипті. Дванадцять років він провів за вивченням математики, геометрії та магії. І, можливо, саме вавилонська геометрія причетна до доказу співвідношення сторін трикутника та історії відкриття теореми. Піфагор мав для цього достатньо отриманих знань і часу. Але що це сталося у Вавилоні, документального підтвердження чи спростування тому немає.

У 530 р. до н. Піфагор біжить із полону на батьківщину, де мешкає при дворі тирана Полікрата у статусі напівраба. Таке життя Піфагора не влаштовує, і він віддаляється в печери Самоса, а потім вирушає на південь Італії, де на той час була грецька колонія Кротон.

Таємний чернечий орден

На базі цієї колонії Піфагор організував таємний чернечий орден, що представляв собою релігійний союз та наукове суспільство одночасно. Це суспільство мало свій статут, у якому йшлося про дотримання особливого способу життя.

Піфагор стверджував, щоб зрозуміти Бога, людина має пізнати такі науки як алгебра та геометрія, знати астрономію та розуміти музику. Дослідницька робота зводилася до пізнання містичного боку чисел та філософії. Слід зазначити, що проповідовані на той час Піфагором принципи мають сенс у наслідуванні і в даний час.

Багато відкриттів, які робили учні Піфагора, приписувалися йому. Проте, якщо говорити коротко, історія створення теореми Піфагора древніми істориками та біографами того часу, пов'язується безпосередньо з ім'ям цього філософа, мислителя та математика.

Вчення Піфагора

Можливо, на думку про зв'язок теореми з ім'ям Піфагора наштовхнуло істориків висловлювання великого грека, що у горезвісному трикутнику з його катетами та гіпотенузою зашифровано всі явища нашого життя. А цей трикутник є "ключом" до вирішення всіх проблем, що виникають. Великий філософ говорив, що слід побачити трикутник, тоді вважатимуться, що завдання дві третини вирішена.

Про своє навчання Піфагор розповідав лише своїм учням усно, не роблячи жодних записів, тримаючи його в таємниці. На превеликий жаль, вчення найбільшого філософа не збереглося до наших днів. Щось із нього просочилося, але не можна сказати скільки істинного, а скільки хибного в тому, що стало відомо. Навіть із історією теореми Піфагора не все безперечно. Історики математики сумніваються в авторстві Піфагора, на думку теореми користувалися багато століть до народження.

теорема Піфагора

Може здатися дивним, але історичних фактів доказу теореми самим Піфагором немає — ні в архівах, ні в інших джерелах. У сучасній версії вважається, що воно належить нікому іншому, як самому Евкліду.

Є докази одного з найбільших істориків математики Моріца Кантора, який виявив на папірусі, що зберігається в Берлінському музеї, записане єгиптянами приблизно в 2300 до н. е. рівність, яка гласила: 3? + 4? = 5?.

Коротко з історії теореми Піфагора

Формулювання теореми з евклідових "Початків", у перекладі звучить так само як і в сучасній інтерпретації. Нового в її прочитанні немає: квадрат сторони, що протилежить прямому куту, дорівнює сумі квадратів сторін, прилеглих до прямого кута. Про те, що теоремою користувалися давні цивілізації Індії та Китаю, підтверджує трактат "Чжоу - бі суань цзінь". Він містить відомості про єгипетський трикутник, в якому описано співвідношення сторін як 3:4:5.

Не менш цікавою є ще одна китайська математична книга «Чу-пей», в якій також згадується про піфагоровий трикутник з поясненням і малюнками, що збігаються з кресленнями індуської геометрії Басхари. Про самому трикутнику в книзі написано, що якщо прямий кут можна розкласти на складові частини, тоді лінія, яка з'єднує кінці сторін, дорівнюватиме п'яти, якщо основа дорівнює трьом, а висота дорівнює чотирьом.

Індійський трактат "Сульва сутра", що відноситься приблизно до VII-V століть до н. е., розповідає про побудову прямого кута за допомогою єгипетського трикутника.

Доказ теореми

У середні віки учні вважали доказ теореми надто складною справою. Слабкі учні заучували теореми напам'ять, без розуміння сенсу доказу. У зв'язку з цим вони одержали прізвисько "осли", тому що теорема Піфагора була для них непереборною перешкодою, як для осла міст. У середні віки учні вигадали жартівливий вірш щодо цієї теореми.

Щоб довести теорему Піфагора найлегшим шляхом, слід просто виміряти його сторони, не використовуючи в доказі поняття про площі. Довжина сторони, що протилежить прямому куту - це c, а прилеглі до нього a і b, в результаті отримуємо рівняння: a 2 + b 2 = c 2 . Дане твердження, як говорилося вище, перевіряється шляхом виміру довжин сторін прямокутного трикутника.

Якщо почати доказ теореми з розгляду площі прямокутників, побудованих на сторонах трикутника, можна визначити площу всієї фігури. Вона дорівнює площі квадрата зі стороною (a+b), а з іншого боку, сумі площ чотирьох трикутників і внутрішнього квадрата.

(a + b) 2 = 4 x ab/2 + c 2;

a 2 + 2ab + b 2;

c 2 = a 2 + b 2 що і потрібно довести.

Практичне значення теореми Піфагора у тому, що з допомогою можна знайти довжини відрізків, не вимірюючи їх. При будівництві споруд розраховуються відстані, розміщення опор та балок, визначаються центри ваги. Застосовується теорема Піфагора та у всіх сучасних технологіях. Не забули про теорему і під час створення кіно в 3D-6D-вимірюваннях, де крім звичних нам 3-х величин: висоти, довжини, ширини - враховуються час, запах та смак. Як пов'язані з теоремою смаки та запахи – запитаєте ви? Все дуже просто - при показі фільму потрібно розрахувати, куди і які запахи та смаки спрямовувати у залі для глядачів.

Чи то ще буде. Безмежний простір для відкриття та створення нових технологій чекає допитливі уми.

теорема Піфагора- Одна з основних теорем евклідової геометрії, що встановлює співвідношення

між сторонами прямокутного трикутника.

Вважається, що доведено грецьким математиком Піфагором, на честь якого названо.

Геометричне формулювання теореми Піфагора.

Спочатку теорема була сформульована наступним чином:

У прямокутному трикутнику площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі площ квадратів,

побудованих на катетах.

Алгебраїчне формулювання теореми Піфагора.

У прямокутному трикутнику квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин катетів.

Тобто, позначивши довжину гіпотенузи трикутника через c, а довжини катетів через aі b:

Обидві формулювання теореми Піфагораеквівалентні, але друге формулювання більш елементарне, воно не

потребує поняття площі. Тобто друге твердження можна перевірити, нічого не знаючи про площу та

вимірявши тільки довжини сторін прямокутного трикутника.

Зворотний теорема Піфагора.

Якщо квадрат однієї сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін, то

трикутник прямокутний.

Або, іншими словами:

Для будь-якої трійки позитивних чисел a, bі c, такий, що

існує прямокутний трикутник із катетами aі bта гіпотенузою c.

Теорема Піфагора для рівнобедреного трикутника.

Теорема Піфагора для рівнобічного трикутника.

Докази теореми Піфагора.

На даний момент у науковій літературі зафіксовано 367 доказів цієї теореми. Ймовірно, теорема

Піфагора є єдиною теоремою з настільки значним числом доказів. Таке різноманіття

можна пояснити лише фундаментальним значенням теореми для геометрії.

Зрозуміло, концептуально їх можна розбити на малу кількість класів. Найвідоміші з них:

докази методом площ, аксіоматичніі екзотичні докази(наприклад,

за допомогою диференціальних рівнянь).

1. Доказ теореми Піфагора через трикутники.

Наступний доказ алгебраїчного формулювання - найпростіший з доказів, що будуються

безпосередньо з аксіом. Зокрема воно не використовує поняття площі фігури.

Нехай ABCє прямокутний трикутник із прямим кутом C. Проведемо висоту з Cі позначимо

її заснування через H.

Трикутник ACHподібний до трикутника ABЗ двома кутами. Аналогічно трикутник CBHподібний ABC.

Ввівши позначення:

отримуємо:

,

що відповідає -

Склавши a 2 та b 2, отримуємо:

або , що потрібно було довести.

2. Підтвердження теореми Піфагора шляхом площ.

Нижче наведені докази, незважаючи на їхню простоту, зовсім не такі прості. Всі вони

використовують властивості площі, докази яких складніші за доказ самої теореми Піфагора.

• Доказ через рівнодоповнюваність.

Розташуємо чотири рівні прямокутні

трикутника так, як показано на малюнку

праворуч.

Чотирикутник зі сторонами c- Квадратом,

оскільки сума двох гострих кутів 90°, а

розгорнутий кут - 180 °.

Площа всієї фігури дорівнює, з одного боку,

площі квадрата зі стороною ( a+b), а з іншого боку, сумі площ чотирьох трикутників і

Що й потрібно було довести.

3. Доказ теореми Піфагора методом нескінченно малих.

​

Розглядаючи креслення, показане на малюнку, і

спостерігаючи зміну сторониa, ми можемо

записати наступне співвідношення для нескінченно

малих прирощень сторінзі a(використовуючи подобу

трикутників):

Використовуючи метод поділу змінних, знаходимо:

Більш загальний вираз зміни гіпотенузи у разі прирощень обох катетов:

Інтегруючи дане рівняння та використовуючи початкові умови, отримуємо:

Таким чином, ми приходимо до бажаної відповіді:

Як неважко бачити, квадратична залежність у остаточній формулі з'являється завдяки лінійній

пропорційності між сторонами трикутника та прирощеннями, тоді як сума пов'язана з незалежними

вкладами від збільшення різних катетів.

Простіший доказ можна отримати, якщо вважати, що один з катетів не відчуває збільшення

(в даному випадку катет b). Тоді для константи інтегрування отримаємо:

Історія

Чу-пей 500-200 років до нашої ери. Зліва напис: сума квадратів довжин висоти та основи є квадрат довжини гіпотенузи.

У давньокитайській книзі Чу-пей ( англ.) (кит. 周髀算經 ) йдеться про піфагоровому трикутнику зі сторонами 3, 4 і 5. У цій же книзі запропоновано малюнок, який збігається з одним із креслень індуської геометрії Басхари.

Приблизно 400 р. до зв. е., згідно з Проклом, Платон дав метод знаходження піфагорових трійок, що поєднує алгебру та геометрію. Приблизно 300 р. до зв. е. у «Початках» Евкліда з'явився найстаріший аксіоматичний доказ теореми Піфагора.

Формулювання

Геометричне формулювання:

Спочатку теорема була сформульована наступним чином:

Алгебраїчне формулювання:

Тобто, позначивши довжину гіпотенузи трикутника через , а довжини катетів через і :

Обидві формулювання теореми еквівалентні, але друге формулювання більш елементарне, вона вимагає поняття площі . Тобто друге твердження можна перевірити, нічого не знаючи про площу та вимірявши лише довжини сторін прямокутного трикутника.

Зворотня теорема Піфагора:

Для будь-якої трійки позитивних чисел , і , такий, що існує прямокутний трикутник з катетами і гіпотенузою .

Докази

На даний момент у науковій літературі зафіксовано 367 доказів цієї теореми. Ймовірно, теорема Піфагора є єдиною теоремою з настільки значним числом доказів. Таке різноманіття можна пояснити лише фундаментальним значенням теореми для геометрії.

Зрозуміло, концептуально їх можна розбити на малу кількість класів. Найвідоміші з них: докази методом площ, аксіоматичні та екзотичні докази (наприклад, за допомогою диференціальних рівнянь).

Через подібні трикутники

Наступний доказ алгебраїчної формулювання - найпростіший з доказів, що будуються безпосередньо з аксіом. Зокрема, воно не використовує поняття площі фігури.

Нехай ABCє прямокутний трикутник із прямим кутом C. Проведемо висоту з Cі позначимо її основу через H. Трикутник ACHподібний до трикутника ABCпо двох кутах. Аналогічно трикутник CBHподібний ABC. Ввівши позначення

отримуємо

Що еквівалентно

Склавши, отримуємо

, що й потрібно було довести

Докази методом площ

Нижче наведені докази, незважаючи на їхню простоту, зовсім не такі прості. Всі вони використовують властивості площі, докази яких складніші за доказ самої теореми Піфагора.

Доказ через рівнодоповнюваність

1. Розташуємо чотири рівні прямокутні трикутники так, як показано на малюнку 1.
2. Чотирикутник зі сторонами cє квадратом, оскільки сума двох гострих кутів 90 °, а розгорнутий кут - 180 °.
3. Площа всієї фігури дорівнює, з одного боку, площі квадрата зі стороною (a+b), з другого боку, сумі площ чотирьох трикутників і площі внутрішнього квадрата.

Що й потрібно було довести.

Доказ Евкліда

Ідея доказу Евкліда полягає в наступному: спробуємо довести, що половина площі квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі половин площ квадратів, побудованих на катетах, а тоді площі великого і двох малих квадратів рівні.

Розглянемо креслення зліва. На ньому ми побудували квадрати на сторонах прямокутного трикутника і провели з вершини прямого кута С промінь перпендикулярно до гіпотенузи AB, він розсікає квадрат ABIK, побудований на гіпотенузі, на два прямокутники - BHJI і HAKJ відповідно. Виявляється, що площі даних прямокутників точно рівні площам квадратів, побудованих на відповідних катетах.

Спробуємо довести, що площа квадрата DECA дорівнює площі прямокутника AHJK Для цього скористаємося допоміжним спостереженням: Площа трикутника з тією самою висотою та основою, що й даний прямокутник дорівнює половині площі заданого прямокутника. Це наслідок визначення площі трикутника як половини добутку основи висоту. З цього спостереження випливає, що площа трикутника ACK дорівнює площі трикутника AHK (не зображеного на малюнку), яка, у свою чергу, дорівнює половині площі прямокутника AHJK.

Доведемо тепер, що площа трикутника ACK також дорівнює половині площі квадрата DECA. Єдине, що необхідно для цього зробити, - це довести рівність трикутників ACK і BDA (оскільки площа трикутника BDA дорівнює половині площі квадрата за вказаною вище властивістю). Рівність ця очевидна: трикутники рівні з обох боків і розі між ними. Саме - AB=AK, AD=AC - рівність кутів CAK і BAD легко довести методом руху: повернемо трикутник CAK на 90° проти годинникової стрілки, тоді очевидно, що відповідні сторони двох трикутників, що розглядаються, співпадуть (через кут при вершині квадрата - 90 °).

Міркування про рівність площ квадрата BCFG і прямокутника BHJI абсолютно аналогічне.

Тим самим було доведено, що площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, складається з площ квадратів, побудованих на катетах. Ідея цього доказу додатково проілюстрована за допомогою анімації, яка розташована вище.

Доказ Леонардо да Вінчі

Головні елементи доказу – симетрія та рух.

Розглянемо креслення, як видно з симетрії, відрізок розсікає квадрат на дві однакові частини (оскільки трикутники і рівні по побудові).

Користуючись поворотом на 90 градусів проти годинникової стрілки навколо крапки, ми вбачаємо рівність заштрихованих фігур і.

Тепер ясно, що площа заштрихованої нами фігури дорівнює сумі половин площ маленьких квадратів (побудованих на катетах) та площі вихідного трикутника. З іншого боку, вона дорівнює половині площі великого квадрата (побудованого на гіпотенузі) плюс площа вихідного трикутника. Таким чином, половина суми площ маленьких квадратів дорівнює половині площі великого квадрата, а отже сума площ квадратів, побудованих на катетах, дорівнює площі квадрата, побудованого на гіпотенузі.

Доказ методом нескінченно малих

Наступний доказ за допомогою диференціальних рівнянь часто приписують відомому англійському математику Харді, який жив у першій половині XX ст.

Розглядаючи креслення, показане на малюнку, і спостерігаючи зміну сторони a, ми можемо записати наступне співвідношення для нескінченно малих прирощень сторін зі a(використовуючи подобу трикутників):

Користуючись методом поділу змінних, знаходимо

Більше загальний вираз зміни гіпотенузи у разі прирощень обох катетов

Інтегруючи дане рівняння та використовуючи початкові умови, отримуємо

Таким чином, ми приходимо до бажаної відповіді

Як неважко бачити, квадратична залежність у остаточній формулі з'являється завдяки лінійній пропорційності між сторонами трикутника та прирощеннями, тоді як сума пов'язана з незалежними вкладами від прирощення різних катетів.

Простіший доказ можна отримати, якщо вважати, що один з катетів не відчуває збільшення (в даному випадку катет). Тоді для константи інтегрування отримаємо

Варіації та узагальнення

Подібні геометричні фігури на трьох сторонах

Узагальнення для подібних трикутників, площа зелених фігур A + B = площі синій C

Теорема Піфагора з використанням подібних прямокутних трикутників

Узагальнення теореми Піфагора зробив Евклід у своїй роботі Початок, розширивши площі квадратів на сторонах до площ подібних геометричних фігур :

Якщо побудувати подібні геометричні фігури (див. Евклідова геометрія) на сторонах прямокутного трикутника, тоді сума двох менших фігур дорівнюватиме площі більшої фігури.

Головна ідея цього узагальнення полягає в тому, що площа подібної геометричної фігури є пропорційною квадрату будь-якого свого лінійного розміру і зокрема квадрату довжини будь-якої сторони. Отже, для подібних фігур із майданами A, Bі Cпобудованих на сторонах із довжиною a, bі c, маємо:

Але, за теоремою Піфагора, a 2 + b 2 = c 2 , тоді A + B = C.

І навпаки, якщо ми зможемо довести, що A + B = Cдля трьох подібних геометричних фігур без використання теореми Піфагора тоді ми зможемо довести саму теорему, рухаючись у зворотному напрямку. Наприклад, стартовий центральний трикутник може бути повторно використаний як трикутник Cна гіпотенузі, і два подібні прямокутні трикутники ( Aі B), побудовані на двох інших сторонах, які утворюються в результаті розподілу центрального трикутника його заввишки. Сума двох менших площ трикутників тоді, очевидно, дорівнює площі третього, таким чином A + B = Cі, виконуючи попереднє доказування у зворотному порядку, отримаємо теорему Піфагора a 2 + b 2 = c 2 .

Теорема косінусів

Теорема Піфагора - це окремий випадок більш загальної теореми косінусів, яка пов'язує довжини сторін у довільному трикутнику:

де θ - кут між сторонами aі b.

Якщо θ дорівнює 90 градусів, тоді cos θ = 0 і формула спрощується до стандартної теореми Піфагора.

Довільний трикутник

У будь-який вибраний кут довільного трикутника зі сторонами a, b, cвпишемо рівнобедрений трикутник таким чином, щоб рівні кути при його основі θ дорівнювали обраному куту. Припустимо, що вибраний кут θ розташований навпроти сторони, позначеної c. В результаті ми отримали трикутник ABD з кутом θ, що розташований навпроти сторони aі сторони r. Другий трикутник утворюється кутом θ, що розташований навпроти сторони bі сторони здовжиною s, як показано на малюнку. Сабіт Ібн Курра стверджував, що сторони у цих трьох трикутниках пов'язані таким чином:

Коли кут θ наближається до π/2, основа рівнобедреного трикутника зменшується і дві сторони r і s перекривають один одного все менше і менше. Коли θ = π/2, ADB перетворюється на прямокутний трикутник, r + s = cі одержуємо початкову теорему Піфагора.

Розглянемо один із аргументів. Трикутник ABC має такі ж кути, як і трикутник ABD, але у зворотному порядку. (Два трикутники мають загальний кут при вершині B, обидва мають кут θ і мають однаковий третій кут, за сумою кутів трикутника) Відповідно, ABC - подібний до відображення ABD трикутника DBA, як показано на нижньому малюнку. Запишемо співвідношення між протилежними сторонами та прилеглими до кута θ,

Так само відображення іншого трикутника,

Перемножимо дроби і додамо ці два співвідношення:

що й потрібно було довести.

Узагальнення для довільних трикутників через паралелограми

Узагальнення для довільних трикутників,
площа зеленого ділянки = площісинього

Доказ тези, що на малюнку вище

Зробимо подальше узагальнення для непрямокутних трикутників, використовуючи паралелограми на трьох сторонах замість квадратів. (квадрати - окремий випадок.) Верхній малюнок демонструє, що для гострокутного трикутника площа паралелограма на довгій стороні дорівнює сумі паралелограмів на двох інших сторонах, за умови що паралелограм на довгій стороні побудований, як зображено на малюнку (розміри, зазначені стрілками, однакові боку нижнього паралелограма). Ця заміна квадратів паралелограмами має чітку схожість із початковою теоремою Піфагора, вважається, що її сформулював Папп Олександрійський у 4 р. н. е.

Нижній малюнок показує перебіг доказу. Подивимося на ліву сторону трикутника. Лівий зелений паралелограм має таку ж площу, як ліва частина синього паралелограма, тому що вони мають таку ж основу bта висоту h. Крім того, лівий зелений паралелограм має таку ж площу, як лівий зелений паралелограм на верхньому малюнку, тому що вони мають загальну основу (верхня ліва сторона трикутника) та загальну висоту, перпендикулярну до цієї сторони трикутника. Аналогічно міркуючи праворуч трикутника доведемо, що нижній паралелограм має таку ж площу, як у двох зелених паралелограмів.

Комплексні числа

Теорему Піфагора використовують, щоб знайти відстань між двома точками в декартовій координатній системі і ця теорема справедлива для всіх істинних координат: відстань sміж двома точками ( a, b) та ( c, d) одно

Не виникає проблем із формулою, якщо до комплексних чисел ставитися як до векторів із дійсними компонентами x + i y = (x, y). . Наприклад, відстань sміж 0 + 1 iта 1 + 0 iрозраховуємо як модуль вектора (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), або

Проте, для операцій із векторами з комплексними координатами необхідно провести певне вдосконалення формули Піфагора. Відстань між точками з комплексними числами ( a, b) та ( c, d); a, b, c, і dвсі комплексні, сформулюємо, використовуючи абсолютні величини. Відстань sзаснований на векторній різниці (a − c, b − d) у наступному вигляді: нехай різниця a − c = p+ i q, де p- дійсна частина різниці, q- уявна частина, і i = √(−1). Аналогічно, хай b − d = r+ i s. Тоді:

де - це комплексне сполучене число для . Наприклад, відстань між точками (a, b) = (0, 1) і (c, d) = (i, 0) , розрахуємо різницею (a − c, b − d) = (−i, 1) і в результаті ми отримали б 0, якби не були використані комплексні пов'язані. Отже, використовуючи вдосконалену формулу, отримаємо

Модуль визначено так:

Стереометрія

Значним узагальненням теореми Піфагора для тривимірного простору є теорема де Гуа, названа на честь Ж.-П. де Гуа: якщо тетраедр має прямий кут (як у кубі), тоді квадрат площі грані, що лежить навпроти прямого кута, дорівнює сумі квадратів площ інших трьох граней. Цей висновок може бути узагальнено як « n-мірна теорема Піфагора»:

Теорема Піфагора у тривимірному просторі пов'язує діагональ AD із трьома сторонами.

Інше узагальнення: Теорема Піфагора може бути використана для стереометрії в наступному вигляді. Розглянемо прямокутний паралелепіпед, як показано на малюнку. Знайдемо довжину діагоналі BD за теоремою Піфагора:

де три сторони утворюють прямокутний трикутник. Використовуємо горизонтальну діагональ BD та вертикальне ребро AB, щоб знайти довжину діагоналі AD, для цього знову використовуємо теорему Піфагора:

або, якщо все записати одним рівнянням:

Цей результат - це тривимірне вираз визначення величини вектора v(Діагональ AD), вираженого через його перпендикулярні складові ( v k) (три взаємно перпендикулярні сторони):

Це рівняння можна як узагальнення теореми Піфагора для багатовимірного простору. Проте, результат насправді не що інше, як неодноразове застосування теореми Піфагора до послідовності прямокутних трикутників в послідовно перпендикулярних площинах.

Векторний простір

У разі ортогональної системи векторів має місце рівність, яку теж називають теоремою Піфагора:

Якщо - це проекції вектора на координатні осі, то ця формула збігається з відстанню Евкліда - і означає, що довжина вектора дорівнює кореню квадратної суми квадратів його компонентів.

Аналог цієї рівності у разі нескінченної системи векторів має назву рівності Парсеваля.

Неєвклідова геометрія

Теорема Піфагора виводиться з аксіом геометрії евклідової і, фактично, не дійсна для неевклідової геометрії, в тому вигляді, в якому записана вище. (Тобто теорема Піфагора виявляється своєрідним еквівалентом постулату Евкліда про паралельність) Іншими словами, у неевклідовій геометрії співвідношення між сторонами трикутника обов'язково буде у формі, відмінної від теореми Піфагора. Наприклад, у сферичній геометрії всі три сторони прямокутного трикутника (скажімо a, bі c), які обмежують собою октант (восьму частину) одиничної сфери, мають довжину π/2, що суперечить теоремі Піфагора, тому що a 2 + b 2 ≠ c 2 .

Розглянемо тут два випадки неевклідової геометрії – сферична та гіперболічна геометрія; в обох випадках, як і для евклідового простору для прямокутних трикутників, результат, який замінює теорему Піфагора, випливає з теореми косінусів.

Однак, теорема Піфагора залишається справедливою для гіперболічної та еліптичної геометрії, якщо вимогу про прямокутність трикутника замінити умовою, що сума двох кутів трикутника має дорівнювати третьому, скажімо A+B = C. Тоді співвідношення між сторонами виглядає так: сума площ кіл з діаметрами aі bдорівнює площі кола з діаметром c.

Сферична геометрія

Для будь-якого прямокутного трикутника на сфері радіусом R(наприклад, якщо кут γ у трикутнику прямий) зі сторонами a, b, cспіввідношення між сторонами матиме такий вигляд:

Ця рівність може бути виведена як особливий випадок сферичної теореми косінусів, яка справедлива для всіх сферичних трикутників:

де cosh – це гіперболічний косинус. Ця формула є окремим випадком гіперболічної теореми косінусів, яка справедлива для всіх трикутників:

де γ - це кут, вершина якого протилежна стороні c.

де g ijназивається метричним тензором. Він може бути функцією позиції. Такі криволінійні простори включають Риманова геометрію як загальний приклад. Це формулювання також підходить для Евклідова простору при застосуванні криволінійних координат. Наприклад, для полярних координат:

Векторний витвір

Теорема Піфагора пов'язує два вирази величини векторного твору. Один із підходів до визначення векторного твору вимагає, щоб він задовольняв рівняння:

у цій формулі використовується скалярний твір. Права сторона рівняння називається детермінант Грама для aі bщо дорівнює площі паралелограма, утвореного цими двома векторами. Виходячи з цієї вимоги, а також вимоги про перпендикулярність векторного твору до його складових aі bслід, що, крім виняткових випадків з 0- і 1-мерного простору, векторне твір визначено лише у трьох і семи вимірах. Використовуємо визначення кута в n-мірному просторі:

ця властивість векторного твору дає його величину в такому вигляді:

Через фундаментальне тригонометричне тотожність Піфагора отримуємо іншу форму запису його величини:

Альтернативний підхід до визначення векторного твору використовує вираз його величини. Тоді, розмірковуючи у зворотному порядку, отримуємо зв'язок із скалярним твором:

Див. також

Примітки

1. History topic: Pythagoras's theorem in Babylonian математики
2. ( , С. 351) С. 351
3. ( , Vol I, p. 144)
4. Обговорення історичних фактів наведено в ( , С. 351) С. 351
5. Kurt Von Fritz (Apr., 1945). "Дисcovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum". The Annals of Mathematics, Second Series(Annals of Mathematics) 46 (2): 242–264.
6. Льюїс Керрол, "Історія з вузликами", М., Світ, 1985, с. 7
7. Asger Aaboe Episodes from the early history of mathematics . - Mathematical Association of America, 1997. - P. 51. - ISBN 0883856131
8. Pythagorean Proposition Elisha Scott Loomis
9. Euclid’s Elements: Book VI, Proposition VI 31: «У правій-залицяючій ланцюжку фігури на стороні підтримують праву янгу є еквівалентною для подібних і подібних позначених зображень на сторінках, розташованих в правій янглі.»
10. Lawrence S. Leff cited work. - Barron"s Educational Series. - P. 326. - ISBN 0764128922
11. Howard Whitley Eves§4.8:...generalization of Pythagorean theorem // Great moments in mathematics (before 1650) . - Mathematical Association of America, 1983. - P. 41. - ISBN 0883853108
12. Tâbit ibn Qorra (full name Thābit ibn Qurra ibn Marwan Al-Ṣābiʾ al-Ḥarrānī) (826-901 AD) був фізичним життям в Baghdad, який простіше на Euclid's Elements and other mathematic
13. Aydin Sayili (Mar. 1960). «Thabit ibn Qurra» з Generalization of the Pythagorean Theorem». Isis 51 (1): 35-37. DOI: 10.1086/348837.
14. Judith D. Sally, Paul Sally Exercise 2.10 (ii) // Cited work. – P. 62. – ISBN 0821844032
15. Для details of such a construction, viz George Jennings Figure 1.32: Generalized Pythagorean theorem // Modern geometry with applications: with 150 figures . - 3rd. - Springer, 1997. - P. 23. - ISBN 038794222X
16. Arlen Brown, Carl M. Pearcy Item C: Norm for an arbitrary n-tuple ... / / An introduction to analysis. - Springer, 1995. - P. 124. - ISBN 0387943692 See also pages 47-50.
17. Alfred Gray, Elsa Abbena, Simon Salamon Modern differential geometry curves and surfaces with Mathematica . - 3rd. – CRC Press, 2006. – P. 194. – ISBN 1584884487
18. Rajendra Bhatia Matrix analysis. - Springer, 1997. - P. 21. - ISBN 0387948465
19. Stephen W. Hawking cited work. – 2005. – P. 4. – ISBN 0762419229

Теорема

У прямокутному трикутнику квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин катетів (рис. 1):

$c^(2)=a^(2)+b^(2)$

Доказ теореми Піфагора

Нехай трикутник $A B C$ - прямокутний трикутник із прямим кутом $C$ (рис. 2).

Проведемо висоту з вершини $ C $ на гіпотенузу $ A B $, основу висоти позначимо як $ H $.

Прямокутний трикутник $A C H$ подібний до трикутника $A B C$ по двох кутах ($\angle A C B=\angle C H A=90^(\circ)$, $\angle A$ - загальний). Аналогічно, трикутник $C B H$ подібний до $A B C$ .

Ввівши позначення

$$B C=a, A C=b, A B=c$$

з подоби трикутників отримуємо, що

$$\frac(a)(c)=\frac(H B)(a), \frac(b)(c)=\frac(A H)(b)$$

Звідси маємо, що

$$a^(2)=c \cdot H B, b^(2)=c \cdot A H$$

Склавши отримані рівності, отримуємо

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot H B+c \cdot A H$$

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot(H B+A H)$$

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot A B$$

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot c$$

$$a^(2)+b^(2)=c^(2)$$

Що й потрібно було довести.

Геометричне формулювання теореми Піфагора

Теорема

У прямокутному трикутнику площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах (рис. 2):

Приклади розв'язання задач

приклад

Завдання.Заданий прямокутний трикутник $A B C$, катети якого дорівнюють 6 см і 8 см. Знайти гіпотенузу цього трикутника.

Рішення.Згідно з умовою катети $a=6$ см, $b=8$ см. Тоді, згідно з теоремою Піфагора, квадрат гіпотенузи

$c^(2)=a^(2)+b^(2)=6^(2)+8^(2)=36+64=100$

Звідси отримуємо, що шукана гіпотенуза

$ c = \ sqrt (100) = 10 $ (см)

Відповідь. 10 см

приклад

Завдання.Знайти площу прямокутного трикутника, якщо відомо, що один з його катетів на 5 см більший за інший, а гіпотенуза дорівнює 25 см.

Рішення.Нехай $x$ см - довжина меншого катета, тоді $(x+5)$ см - довжина більшого. Тоді згідно з теоремою Піфагора маємо:

$$x^(2)+(x+5)^(2)=25^(2)$$

Розкриваємо дужки, зводимо подібні та вирішуємо отримане квадратне рівняння:

$x^(2)+5 x-300=0$

Відповідно до теореми Вієта, отримуємо, що

$x_(1)=15$ (см) , $x_(2)=-20$ (см)

Значення $x_(2)$ не задовольняє умові завдання, отже, менший катет дорівнює 15 див, а більший - 20 див.

Площа прямокутного трикутника дорівнює напівтвору довжин його катетів, тобто

$$S=\frac(15 \cdot 20)(2)=15 \cdot 10=150\left(\mathrm(см)^(2)\right)$$

Відповідь.$S=150\left(\mathrm(см)^(2)\right)$

Історична довідка

теорема Піфагора- Одна з основних теорем евклідової геометрії, що встановлює співвідношення між сторонами прямокутного трикутника.

У давньокитайській книзі "Чжоу бі суань цзін" йдеться про піфагоровий трикутник зі сторонами 3, 4 і 5. Найбільший німецький історик математики Моріц Кантор (1829 - 1920) вважає, що рівність $3^(2)+4^(2)=5^ (2) $ було відомо вже єгиптянам ще близько 2300 до н.е. На думку вченого, будівельники тоді будували прямі кути за допомогою прямокутних трикутників зі сторонами 3, 4 і 5. Дещо більше відомо про теорему Піфагора у вавилонян. В одному тексті наводиться наближене обчислення гіпотенузи рівнобедреного прямокутного трикутника.

На даний момент у науковій літературі зафіксовано 367 доказів цієї теореми. Ймовірно, теорема Піфагора є єдиною теоремою з настільки значним числом доказів. Таке різноманіття можна пояснити лише фундаментальним значенням теореми для геометрії.

Текст роботи розміщено без зображень та формул.
Повна версія роботи доступна у вкладці "Файли роботи" у форматі PDF

Вступ

У шкільному курсі геометрії з допомогою теореми Піфагора вирішуються лише математичні завдання. На жаль, питання практичного застосування теореми Піфагора не розглядається.

У зв'язку з цим, метою моєї роботи було з'ясувати сфери застосування теореми Піфагора.

В даний час загальне визнання отримало те, що успіх розвитку багатьох галузей науки і техніки залежить від розвитку різних напрямів математики. Важливою умовою підвищення ефективності виробництва є широке впровадження математичних методів у техніку та народне господарство, що передбачає створення нових, ефективних методів якісного та кількісного дослідження, що дозволяють вирішувати завдання, що висуваються практикою.

Розгляну приклади практичного застосування теореми Піфагора. Не намагатимусь навести всі приклади використання теореми – це навряд чи було б можливо. Область застосування теореми досить широка і взагалі може бути зазначена з достатньою повнотою.

Гіпотеза:

З допомогою теореми Піфагора можна вирішувати як математичні завдання.

По даній дослідницькій роботі визначено таку мету:

З'ясувати сферу застосування теореми Піфагора.

Виходячи з вищезгаданої мети, були позначені такі завдання:

Зібрати інформацію про практичне застосування теореми Піфагора в різних джерелах та визначити сфери застосування теореми.

Вивчити деякі історичні відомості про Піфагора та його теорему.

Показати застосування теореми під час вирішення історичних завдань.

Обробити зібрані дані на тему.

Я займалася пошуком та збиранням інформації - вивчала друкований матеріал, працювала з матеріалом в інтернеті, обробкою зібраними даними.

Методика дослідження:

Вивчення теоретичного матеріалу.

Вивчення методик дослідження.

Практичне виконання дослідження.

Комунікативний (метод виміру, анкетування).

Вид проекту:інформаційно-дослідницький. Робота виконувалася у вільний час.

Про Піфагора.

Піфагор – давньогрецький філософ, математик, астроном. Обгрунтував багато властивостей геометричних фігур, розробив математичну теорію чисел та його пропорцій. Зробив значний внесок у розвиток астрономії та акустики. Автор "Золотих віршів", засновник піфагорійської школи в Кротоні.

За переказами Піфагор народився близько 580 р. до н. е. на острові Самос у багатій купецькій родині. Його мати - Піфазіс, що отримала своє ім'я на честь Піфії, жриці Аполлона. Піфія передбачила Менісарху та його дружині появу на світ сина, син також був названий на честь Піфії. За багатьма античними свідченнями хлопчик був казково гарний і незабаром виявив свої неабиякі здібності. Перші пізнання отримав від свого батька Менісарха, ювеліра, різьбяра по дорогоцінному каменю, який мріяв, що син стане продовжувачем його справи. Але життя розсудило інакше. Майбутній філософ виявив великі здібності до наук. Серед вчителів Піфагора були Ферекід Сіроський та старець Гермодамант. Перший прищепив хлопчикові любов до науки, а другий - до музики, живопису та поезії. Згодом Піфагор познайомився відомим філософом - математиком Фалесом Мілетським і за його порадою вирушив до Єгипту - центру тодішньої наукової та дослідницької діяльності. Проживши 22 роки в Єгипті та 12 років у Вавилоні, він повернувся на острів Самос, потім залишив його з невідомих причин і переїхав до міста Кротон, на південь Італії. Тут він створив піфагорійську школу (союз), в якій вивчали різні питання філософії та математики. У віці приблизно 60 років Піфагора одружився з Феано, однією зі своїх учениць. У них народжено трьох дітей, і всі вони стають послідовниками свого батька. Історичні умови на той час характеризуються широким рухом демосу проти влади аристократів. Рятуючись від хвиль народного гніву, Піфагор та його учні переїхали до міста Тарента. За однією версією: до нього прийшов Кілон, багата і зла людина, бажаючи п'яну вступити в братство. Отримавши відмову, Кілон розпочав боротьбу з Піфагором. Під час пожежі учні своєю ціною врятували життя вчителю. Піфагор засумував і незабаром наклав на себе руки.

Слід зазначити, що це один із варіантів його біографії. Точні дати його народження та смерті не встановлені, багато фактів його життя суперечливі. Але ясно одне: ця людина жила, і залишила нащадкам велику філософську та математичну спадщину.

Теорема Піфагора.

Теорема Піфагора – найважливіше твердження геометрії. Теорема формулюється так: площа квадрата, побудованого на гіпотенузі прямокутного трикутника, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих з його катетах.

Відкриття цього твердження приписують Піфагору Самоському (XII ст. до н. е.)

Вивчення вавилонських клинописних табличок і стародавніх китайських рукописів (копій ще древніх манускриптів) показало, що знаменита теорема була відома задовго до Піфагора, можливо кілька тисячоліть до нього.

(Але є припущення, що Піфагор дав її повноцінний доказ)

Але є й інша думка: у піфагорійській школі був чудовий звичай приписувати всі заслуги Піфагору і дещо не присвоювати собі слави першовідкривачів, крім, можливо, кількох випадків.

(Ямвліх-сирійський грекомовний письменник, автор трактату «Життя Піфагора». (II століття н. е.)

Так німецький історик математики Кантор вважає, що рівність 3 2 + 4 2 = 5 2 була

відомо єгиптянам близько 2300 років до зв. е. за часів царя Аменехмета (згідно з папірусом 6619 Берлінського музею). Одні вважають, що Піфагор дав теоремі повноцінний доказ, інші відмовляю йому у цій заслугі.

Деякі приписують Піфагору доказ, який Евклід наводив у «Початках». З іншого боку, Прокл (математик, 5 століття) стверджує, що доказ у «Початках» належав самому Евкліду, тобто історія математики майже не зберегла достовірних даних про математичну діяльність Піфагора. У математиці, мабуть, не знайти жодної іншої теореми, що заслуговує на всілякі порівняння.

У деяких списках «Почав» Евкліда ця теорема назвалася «теорема німфи» за подібність креслення з бджілкою, метеликом («теорема метелика»), що по гречку назвалося німфою. Цим словом греки назвали ще деяких богинь, а також молодих жінок та наречених. Арабський перекладач не звернув уваги на креслення та переклав слово «німфа» як «наречена». Так виникла ласкава назва «теорема нареченої». Існує легенда, що коли Піфагор Самоський довів свою теорему, він віддячив богам, принісши в жертву 100 бугаїв. Звідси ще одна назва-«теорема ста бугаїв».

В англомовних країнах її назвали: «Ветровий млин», «павлиний хвіст», «крісло нареченої», «віслячий міст» (якщо учень не міг через нього «перейти», значить, він був справжнім «ослом»)

У дореволюційній Росії малюнок теореми Піфагора для випадку рівнобедреного трикутника називали піфагоровими штанами.

Ці «штани» з'являються, коли з кожної стороні прямокутного трикутника побудувати квадрати у зовнішню сторону.

Скільки є різних доказів теореми Піфагора?

З часів Піфагора їх з'явилося понад 350. Теорема потрапила до Книги рекордів Гіннеса. Якщо проаналізувати докази теореми, то різних ідей у ​​яких використовується небагато.

Області застосування теореми.

Широке застосування має при вирішенні геометричнихзадач.

Саме з її допомогою, можна геометрично знаходити значення квадратного коріння з цілих чисел:

Для цього будуємо прямокутний трикутник АОВ (кут А дорівнює 90 °) з одиничними катетами. Тоді його гіпотенуза √2. Потім будуємо одиничний відрізок ВС, ВС перпендикулярний до ОВ, довжина гіпотенузи ОС=√3 і т.д.

(Цей спосіб зустрічаємо у Евкліда та Ф. Кіренського).

Завдання в курсі фізикиСередня школа потребує знання теореми Піфагора.

Це завдання пов'язані зі складанням швидкостей.

Зверніть увагу на слайд: завдання підручника фізики 9 класу. У практичному сенсі її можна сформулювати так: під яким кутом до течії річки повинен рухатися катер, який здійснює перевезення пасажирів між пристанями, щоб укластися в розклад?

Коли біатлоніст стріляє по мішені, він робить поправку на вітер. Якщо вітер дме праворуч, а спортсмен стріляє прямою, то куля піде вліво. Щоб потрапити у ціль, треба зрушити приціл праворуч на відстань зміщення кулі. Їх складено спеціальні таблиці (з урахуванням наслідків із т. Піфагора). Біатлоніст знає, на який кут зміщувати приціл за відомої швидкості вітру.

Астрономія -також широка сфера для застосування теореми Шлях світлового променя.На малюнку показано шлях світлового променя від Aдо B та назад. Шлях променя показаний вигнутою стрілкою для наочності, насправді світловий промінь - прямий.

Який шлях проходить промінь? Світло йде туди і назад однаковий шлях. Чому дорівнює половина шляху, який проходить промінь? Якщо позначити відрізок ABсимволом l, половину часу як t, а також позначивши швидкість руху світла буквою c, то наше рівняння набуде вигляду

c * t = l

Адже це твір витраченого часу на швидкість!

Тепер спробуємо поглянути на те саме явище з іншої системи відліку, наприклад, з космічного корабля, що пролітає повз бігаючий промінь зі швидкістю v. При такому спостереженні швидкості всіх тіл зміняться, причому нерухомі тіла рухатимуться зі швидкістю vу протилежний бік. Припустимо, що корабель рухається вліво. Тоді дві точки, між якими бігає зайчик, рухатимуться вправо з тією ж швидкістю. Причому, поки зайчик пробігає свій шлях, вихідна точка Aзміщується і промінь повертається вже у нову точку C.

Питання: на скільки встигне зміститися точка (щоб перетворитися на точку C), поки мандрує світловий промінь?Точніше: чому дорівнює половина даного усунення? Якщо позначити половину часу подорожі променя літерою t", а половину відстані ACбуквою d, то отримаємо наше рівняння у вигляді:

v * t" = d

Літерою vпозначено швидкість руху космічного корабля.

Інше питання: який шлях при цьому пройде промінь світла?(Точніше, чому дорівнює половина цього шляху? Чому дорівнює відстань до невідомого об'єкта?)

Якщо позначити половину довжини шляху світла буквою s, отримаємо рівняння:

c * t" = s

Тут c- це швидкість світла, а t"- це теж час, який розглядали вище.

Тепер розглянемо трикутник ABC. Це рівнобедрений трикутник, висота якого дорівнює l, яке ми запровадили під час розгляду процесу з нерухомої точки зору. Оскільки рух відбувається перпендикулярно l, то воно не могло вплинути на неї.

Трикутник ABCскладений із двох половинок - однакових прямокутних трикутників, гіпотенузи яких ABі BCповинні бути пов'язані з катетами за теоремою Піфагора. Один із катетів - це d, яке ми розрахували щойно, а другий катет - це s, що проходить світло, і який ми теж розрахували.Отримуємо рівняння:

s 2 = l 2 + d 2

Адже це теорема Піфагора!

Явище зоряної аберації,відкрите 1729 року, у тому, що це зірки на небесній сфері описують еліпси. Велика піввісь цих еліпсів спостерігається із Землі під кутом, рівним 20,5 градуса. Такий кут пов'язаний із рухом Землі навколо Сонця зі швидкістю 29,8 км на годину. Щоб з Землі, що рухається, спостерігати зірку, необхідно нахилити трубу телескопа вперед по руху зірки, так як поки світло проходить довжину телескопа, окуляр разом з землею переміщається вперед. Додавання швидкостей світла і Землі проводиться векторно, використовуючи т.п.

Піфагора. U 2 =C 2 +V 2

З-швидкість світла

V-швидкість землі

Труба телескопа

Наприкінці дев'ятнадцятого століття висловлювалися різноманітні припущення про існування мешканців Марса подібних до людини, це стало наслідком відкриттів італійського астронома Скіапареллі (відкрив на Марсі канали, які довгий час вважалися штучними). Природно, що питання про те, чи можна за допомогою світлових сигналів пояснювати ці гіпотетичні істоти, викликало жваву дискусію. Паризькою академією наук була навіть встановлена ​​премія в 100 000 франків тому, хто перший встановить зв'язок з якимсь мешканцем іншого небесного тіла; ця премія все ще чекає на щасливця. Жартома, хоч і не зовсім безпідставно, було вирішено передати мешканцям Марса сигнал у вигляді теореми Піфагора.

Невідомо, як це зробити; але всім очевидно, що математичний факт, що виражається теоремою Піфагора, має місце всюди, і тому схожі на нас мешканці іншого світу повинні зрозуміти такий сигнал.

мобільний зв'язок

Хто у сучасному світі не користується стільниковим телефоном? Кожен абонент мобільного зв'язку зацікавлений у його якості. А якість залежить від висоти антени мобільного оператора. Щоб розрахувати, в якому радіусі можна приймати передачу, застосовуємо теорему Піфагора.

Яку найбільшу висоту повинна мати антена мобільного оператора, щоб можна було приймати передачу в радіусі R=200 км? (Радіус Землі дорівнює 6380 км.)

Рішення:

Нехай AB = x , BC=R=200 км , OC = r = 6380 км.

OB = OA + ABOB = r + x.

Використовуючи теорему Піфагора, отримаємо Відповідь: 2,3 км.

При будівництві будинків та котеджів часто постає питання про довжину крокв для даху, якщо вже виготовлені балки. Наприклад: у будинку задумано побудувати двосхилий дах (форма в перерізі). Якої довжини повинні бути крокви, якщо виготовлені балки AC = 8 м, і AB = BF.

Рішення:

Трикутник ADC - рівнобедрений AB=BC=4 м., BF=4 м. Якщо припустити, що FD=1,5 м., тоді:

А) З трикутника DBC: DB = 2,5 м-коду.

Б) З трикутника ABF:

Вікна

У будинках готичного та романського стилюверхні частини вікон розчленовуються кам'яними ребрами, які грають роль орнаменту, а й сприяють міцності вікон. На малюнку представлений простий приклад такого вікна у готичному стилі. Спосіб побудови його дуже простий: З малюнка легко знайти центри шести дуг кіл, радіуси яких рівні

ширині вікна (b) для зовнішніх дуг

половині ширини (b/2) для внутрішніх дуг

Залишається ще повне коло, що стосується чотирьох дуг. Оскільки вона укладена між двома концентричними колами, то її діаметр дорівнює відстані між цими колами, тобто b/2 і, отже, радіус дорівнює b/4. А тоді стає ясним і

становище її центру.

У романській архітектуріНайчастіше зустрічається мотив, представлений малюнку. Якщо b, як і раніше, позначає ширину вікна, то радіуси півкола будуть рівні R = b / 2 і r = b / 4. Радіус p внутрішнього кола можна обчислити з прямокутного трикутника, зображеного на рис. пунктиром. Гіпотенуза цього трикутника, що проходить через точку торкання кіл, дорівнює b/4+p, один катет дорівнює b/4, а інший b/2-p. За теоремою Піфагора маємо:

(b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/4-p) 2

b 2 /16+ bp/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4 - bp/2 +p 2 ,

Розділивши на b і наводячи подібні члени, отримаємо:

(3/2) p=b/4, p=b/6.

У лісовій промисловості: для потреб будівництва колоди розпилюють на брус, при цьому головне завдання - отримати якнайменше відходів. Найменше відходів буде тоді, коли брус має найбільший обсяг. Що ж має бути у перерізі? Як видно з рішення перетин має бути квадратним, а теорема Піфагората інші міркування дозволяють зробити такий висновок.

Брус найбільшого обсягу

Завдання

З циліндричного колоди треба випиляти прямокутний брус найбільшого об'єму. Якої форми має бути його перетин (рис. 23)?

Рішення

Якщо сторони прямокутного перерізу х та y, то за теоремою Піфагора

x 2 + y 2 = d 2

де d – діаметр колоди. Об'єм бруса найбільший, коли площа його перерізу найбільша, тобто коли ху досягає найбільшої величини. Але якщо найбільше, то найбільшим буде і добуток х 2 y 2 . Оскільки сума х 2 + y 2 незмінна, то, за доведеним раніше, добуток х 2 y 2 найбільший, коли

х 2 = y 2 або x = y.

Отже, переріз бруса має бути квадратним.

Транспортні завдання(Так звані завдання на оптимізацію; завдання, вирішення яких дозволяє відповісти на питання: як мати у своєму розпорядженні засоби для досягнення великої вигоди)

На перший погляд нічого особливого: зняти розміри висоти від підлоги до стелі в декількох точках, відібрати кілька сантиметрів, щоб шафа не впиралася в стелю. Вчинивши так, у процесі збирання меблів можуть виникнути труднощі. Адже складання каркаса меблярі виконують, розташовуючи шафу в горизонтальному положенні, а коли каркас зібраний, піднімають його у вертикальне положення. Розглянемо бічну стінку шафи. Висота шафи повинна бути на 10 см менше відстані від підлоги до стелі за умови, що ця відстань не перевищує 2500 мм. А глибина шафи – 700 мм. Чому на 10 см, а не на 5 см або на 7, причому тут теорема Піфагора?

Отже: бічна стінка 2500-100 = 2400 (мм) - максимальна висота конструкції.

Бічна стінка в процесі підйому каркаса повинна вільно пройти як по висоті, так і по діагоналі. за теоремі Піфагора

АС = √ АВ 2 + ВС 2

АС = √ 2400 2 + 700 2 = 2500 (мм)

Що станеться, якщо висоту шафи зменшити на 50 мм?

АС = √ 2450 2 + 700 2 = 2548 (мм)

Діагональ 2548 мм. Значить, шафа не поставиш (можна зіпсувати стелю).

Блискавковідведення.

Відомо, що блискавковідвід захищає від блискавки всі предмети, відстань яких від його основи не перевищує його подвоєної висоти. Необхідно визначити оптимальне положення блискавковідведення на двосхилим даху, що забезпечує найменшу його доступну висоту.

За теоремою Піфагора h 2 ≥ a 2 +b 2, значить h≥(a 2 +b 2) 1/2

Терміново на дачній ділянці треба зробити парник для розсади.

З дощок збитий квадрат 1м1м. Є залишки плівки розміром 1,5м1,5м. На якій висоті в центрі квадрата треба закріпити рейку, щоб плівка його повністю покрила?

1) Діагональ парника d = = 1,4; 0,7

2) Діагональ плівки d 1= 2,12 1,06

3) Висота рейки x= 0,7

Висновок

В результаті дослідження я з'ясувала деякі сфери застосування теореми Піфагора. Мною зібрано та оброблено багато матеріалу з літературних джерел та інтернету на цю тему. Я вивчила деякі історичні відомості про Піфагора та його теорему. Так, справді, з допомогою теореми Піфагора можна вирішувати як математичні завдання. Теорема Піфагора знайшла своє застосування у будівництві та архітектурі, мобільному зв'язку, літературі.

Вивчення та аналіз джерел інформації про теорему Піфагора

показав, що:

а) виняткову увагу боку математиків і любителів математики до теореми грунтується на її простоті, красі і значимості;

б)теорема Піфагора протягом багатьох століть служить поштовхом до цікавих та важливих математичних відкриттів (теорема Ферма, теорія відносності Ейнштейна);

в) теорема Піфагора - є втіленням універсальної мови математики, справедливої ​​у всьому світі;

г) область застосування теореми досить широка і взагалі не може бути вказана з достатньою повнотою;

д) таємниці теореми Піфагора продовжують хвилювати людство і тому кожному з нас дають шанс бути причетним до їхнього розкриття.

Бібліографія

"Успіхи математичних наук", 1962, т. 17, № 6 (108).

Олександр Данилович Александров (до п'ятдесятиріччя від дня народження),

Александров А.Д., Вернер А.Л., Рижик В.І. Геометрія, 10 – 11 кл. - М: Просвітництво, 1992.

Атанасян Л.С. та ін. Геометрія, 10 - 11 кл. - М: Просвітництво, 1992.

Володимиров Ю.С. Простір - час: явні та приховані розмірності. - М: «Наука», 1989.

Волошин А.В. Піфагор. - М: Просвітництво, 1993.

Газета "Математика", № 21, 2006.

Газета "Математика", № 28, 1995.

Геометрія: Навч. Для 7 – 11 кл. сред.шк./Г.П. Бевз, В.Г. Бевз, Н.Г. Володимирова. - М: Просвітництво, 1992.

Геометрія: Учеб.для 7 - 9 кл. загальноосвіт. Установ/Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев та ін. - 6-те вид. - М: Просвітництво, 1996.

Глейзер Г.І. Історія математики у школі: IX – Xкл. Посібник для вчителів. - М: Просвітництво, 1983.

Додаткові розділи до шкільного підручника 8 кл.: Навчальний посібник учнів шк. і класів з поглибл. вивч. математики/Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев та ін - М.: Просвітництво, 1996.

Єленьський Щ. Слідами Піфагора. М., 1961.

Кисельов А.П., Рибкін Н.А. Геометрія: Планіметрія: 7 - 9 кл.: Підручник та задачник. - М: Дрофа, 1995.

Клайн М. Математика. Пошук істини: Переклад з англ. / За ред. та передисл. В.І. Аршинова, Ю.В. Сачкова. - М: Світ, 1998.

Літурман В. Теорема Піфагора. – М., 1960.

Математика: Довідник школяра та студента / Б. Франк та ін; Переклад із ньому. - 3-тє вид., Стереотип. - М: Дрофа, 2003.

Пельтуєр А. Хто ви Піфагор? - М: Знання - сила, № 12, 1994.

Перельман Я. І. Цікава математика. - М: «Наука», 1976.

Пономарьова Т.Д. Великі вчені. - М: ТОВ «Видавництво Астрель», 2002.

Свєшнікова А. Подорож в історію математики. - М., 1995.

Семенов Є.Є. Вивчаємо геометрію: Кн. Для учнів 6 – 8 кл. сред.шк. - М: Просвітництво, 1987.

Смишляєв В.К. Про математику та математиків. – Марійське книжкове видавництво, 1977.

Тучнін Н.П. Як поставити запитання. - М: Просвітництво, 1993.

Черкас О.Ю. Планиметрія на вступному екзамені. - М: Московський ліцей, 1996.

Енциклопедичний словник молодого математика. Упоряд. А.П. Савин. - М: Педагогіка, 1985.

Енциклопедія для дітей Т. 11. Математика. /Голов. ред. М.Д. Аксьонова. - М: Аванта +, 2001.