Вирази, перетворення виразів

Як звільнитися від ірраціональності у знаменнику? Способи, приклади, рішення

У 8 класі на уроках алгебри в рамках теми перетворення ірраціональних виразів заходить розмова про звільнення від ірраціональності у знаменнику дробу. У цій статті ми розберемо, що за перетворення, розглянемо, які дії дозволяють звільнитися від ірраціональності в знаменнику дробу, і наведемо рішення характерних прикладів з детальними поясненнями.

Навігація на сторінці.

Що означає звільнитися від ірраціональності у знаменнику дробу?

Спочатку потрібно розібратися, що таке ірраціональність у знаменнику і що означає звільнитися від ірраціональності у знаменнику дробу. У цьому нам допоможе інформація зі шкільних підручників. Заслуговують на увагу такі моменти.

Коли запис дробу містить у знаменнику знак кореня (радикал), то кажуть, що у знаменнику присутній ірраціональність. Ймовірно, це пов'язано з тим, що записані за допомогою знаків коріння числа часто є . Як приклад наведемо дроби , , , , очевидно, знаменники кожної їх містять знак кореня, отже, і ірраціональність. У старших класах неминуча зустріч із дробами, ірраціональність у знаменники яких вносять як знаки квадратних коренів, а й знаки кубічних коренів, коренів четвертого ступеня тощо. Ось приклади таких дробів: .

Враховуючи наведену інформацію та зміст слова «звільнитися», дуже природно сприймається таке визначення:

Визначення.

Звільнення від ірраціональності у знаменнику дробу- це перетворення, при якому дріб з ірраціональністю в знаменнику замінюється тотожно рівним дробом, що не містить знаменника знаків коренів.

Часто можна чути, що говорять не звільнитися, а позбутися ірраціональності у знаменнику дробу. Сенс у своїй не змінюється.

Наприклад, якщо від дробу перейти до дробу , значення якого дорівнює значенню вихідного дробу і знаменник якого не містить знака кореня, можна констатувати, що ми звільнилися від ірраціональності в знаменнику дробу. Ще приклад: заміна дробу тотожно рівним йому дробом є звільнення від ірраціональності у знаменнику дробу.

Отже, початкову інформацію отримано. Залишається дізнатися, що потрібно робити, щоб звільнитися від ірраціональності у знаменнику дробу.

Способи звільнення від ірраціональності, приклади

Зазвичай для звільнення від ірраціональності у знаменнику дробу використовують два перетворення дробу: множення чисельника та знаменника на відмінне від нуля число або вираз та перетворення виразу у знаменнику. Нижче ми розглянемо, як ці перетворення дробів використовуються в рамках основних способів, що дозволяють позбавитися ірраціональності в знаменнику дробу. Торкнемося наступні випадки.

У найпростіших випадках достатньо перетворити вираз у знаменнику. Як приклад можна навести дріб, у знаменнику якого знаходиться корінь із дев'яти. І тут заміна його значенням 3 звільняє знаменник від ірраціональності.

У більш складних випадках доводиться попередньо виконувати множення чисельника та знаменника дробу на деяке відмінне від нуля число або вираз, що згодом дозволяє перетворити знаменник дробу на вигляд, що не містить знаків коріння. Наприклад, після множення чисельника та знаменника дробу на , дріб набуває вигляду , а далі вираз у знаменнику можна замінити виразом без знаків коріння x+1. Таким чином, після звільнення від ірраціональності в знаменнику дріб набуває вигляду .

Якщо говорити про загальний випадок, то щоб позбутися ірраціональності в знаменнику дробу, доводиться вдаватися до різних допустимих перетворень, іноді досить специфічних.

А тепер докладно.

Перетворення виразу у знаменнику дробу

Як було зазначено, одне із способів позбавлення ірраціональності в знаменнику дробу полягає у перетворенні знаменника. Розглянемо рішення прикладів.

приклад.

Позбутися ірраціональності у знаменнику дробу .

Рішення.

Розкривши дужки у знаменнику, прийдемо до виразу . Далі дозволяють перейти до дробу . Обчисливши значення під знаками коріння, маємо . Очевидно, в отриманому виразі можна , що дає дріб, який дорівнює 1/16. Так ми позбулися ірраціональності у знаменнику.

Зазвичай рішення записують коротко без пояснення, оскільки дії, що виконуються, досить прості:

Відповідь:

.

приклад.

Рішення.

Коли ми говорили про перетворення ірраціональних виразів з використанням властивостей коренів, то зазначили, що для будь-якого виразу A при парних n (у нашому випадку n=2) вираз можна замінити на вираз |A| по всій ОДЗ змінних для вихідного висловлювання. Тому можна виконати таке перетворення заданого дробу: , що звільняє від ірраціональності у знаменнику

Відповідь:

.

Примноження чисельника та знаменника на корінь

Коли вираз у знаменнику дробу має вигляд , де вираз A не містить знаків коренів, то звільнитися від ірраціональності у знаменнику дозволяє множення чисельника та знаменника на . Ця дія можлива, тому що не звертається в нуль на ОДЗ змінних для вихідного виразу. При цьому в знаменнику виходить вираз, який легко перетворити на вигляд без знаків коріння: . Покажемо застосування цього підходу на прикладах.

приклад.

Звільніться від ірраціональності у знаменнику дробу: а) , б) .

Рішення.

а) Помноживши чисельник і знаменник дробу на квадратний корінь із трьох, отримаємо .

б) Щоб позбутися знака квадратного кореня в знаменнику, помножимо чисельник і знаменник дробу на , після чого проведемо перетворення в знаменнику:

Відповідь:

а) , б) .

У випадку, коли в знаменнику знаходяться множники або де m і n деякі натуральні числа, чисельник і знаменник треба помножити на такий множник, щоб після цього вираз у знаменнику можна було перетворити до виду або , де k - деяке натуральне число, відповідно. Далі легко перейти до дробу без ірраціональності у знаменнику. Покажемо застосування описаного способу позбавлення ірраціональності в знаменнику на прикладах.

приклад.

Звільнитися від ірраціональності у знаменнику дробу: а), б).

Рішення.

а) Найближче натуральне число, що перевищує 3 і поділяється на 5 є 5 . Щоб показник шістки дорівнював п'яти, вираз у знаменнику треба помножити на . Отже, звільненню від ірраціональності в знаменнику дробу сприятиме вираз, на який треба помножити чисельник і знаменник:

б) Очевидно, що найближче натуральне число, яке перевищує 15 і при цьому ділиться на 4 , це 16 . Щоб отримати показник ступеня в знаменнику став дорівнює 16, потрібно помножити вираз, що знаходиться там. Таким чином, множення чисельника і знаменника вихідного дробу на (зауважимо, значення цього виразу не дорівнює нулю при яких дійсних x ) дозволить позбутися ірраціональності в знаменнику:

Відповідь:

а) , б) .

Множення на сполучене вираз

Наступний спосіб звільнення від ірраціональності в знаменнику дробу покриває випадки, коли в знаменнику знаходяться вирази виду , , , , або . У цих випадках, щоб звільнитися від ірраціональності у знаменнику дробу, треба чисельник та знаменник дробу помножити на так зване поєднане вираз.

Залишилося дізнатися, які вирази є сполученими для зазначених вище. Для вираження сполученим виразом є, а для вираження сполученим є вираз. Аналогічно, для вираження сполученим є , а для вираження сполученим є . І для вираження сполученим є, а для вираження сполученим є. Отже, вираз, пов'язаний з цим виразом, відрізняється від нього знаком перед другим доданком.

Давайте подивимося, до чого призводить множення виразу на пов'язане вираз. Наприклад розглянемо твір . Його можна замінити різницею квадратів, тобто, звідки далі можна перейти до виразу a-b, яке не містить знаків коріння.

Тепер стає зрозуміло, як множення чисельника та знаменника дробу на вираз, пов'язане знаменнику, дозволяє звільнитися від ірраціональності у знаменнику дробу. Розглянемо рішення характерних прикладів.

приклад.

Подайте вираз у вигляді дробу, знаменник якого не містить радикала: а), б).

Рішення.

а) Вираз, пов'язаний знаменнику, це . Помножимо на нього чисельник та знаменник, що дозволить нам звільнитися від ірраціональності у знаменнику дробу:

б) Для вираження пов'язаним є . Помножуючи на нього чисельник та знаменник, отримуємо

Можна було спочатку винести знак мінус із знаменника, а вже після цього множити чисельник і знаменник на вираз, пов'язаний із знаменником:

Відповідь:

а) , б) .

Зверніть увагу: при множенні чисельника та знаменника дробу на вираз зі змінними, пов'язане знаменнику, потрібно подбати, щоб воно не зверталося в нуль за жодного набору значень змінних з ОДЗ для вихідного виразу.

приклад.

Звільнитися від ірраціональності у знаменнику дробу.

Рішення.

Спочатку знайдемо область допустимих значень (ОДЗ) змінної x . Вона визначається умовами x≥0 і , у тому числі укладаємо, що ОДЗ є безліч x≥0 .

Вираз, пов'язаний з знаменником, є . Ми можемо помножити на нього чисельник і знаменник дробу за умови, що , яке на ОДЗ рівносильне умові x≠16. При цьому маємо

А за x=16 маємо .

Таким чином, для всіх значень змінної x з ОДЗ, крім x=16 , а за x=16 маємо .

Відповідь:

Використання формул сума кубів та різниця кубів

З попереднього пункту ми дізналися, що множення чисельника та знаменника дробу на вираз, пов'язане знаменнику, проводиться для того, щоб надалі застосувати формулу різницю квадратів і тим самим звільнитися від ірраціональності у знаменнику. У деяких випадках для звільнення від ірраціональності у знаменнику виявляються корисними й інші формули скороченого множення. Наприклад, формула різниця кубів a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+b 2)дозволяє позбутися ірраціональності, коли в знаменнику дробу знаходяться вирази з кубічним корінням виду або , де A та B – деякі числа або вирази. Для цього чисельник та знаменник дробу множиться на неповний квадрат суми або на різницю відповідно. Аналогічно приміряється і формула сума кубів a 3 +b 3 =(a+b)·(a 2 −a·b+b 2).

приклад.

Звільніться від ірраціональності у знаменнику дробу: а) , б) .

Рішення.

а) Нескладно здогадатися, що в даному випадку звільнитися від ірраціональності в знаменнику дозволяє множення чисельника та знаменника на неповний квадрат суми чисел і , так як надалі це дозволить перетворити вираз у знаменнику за формулою різниця кубів:

б) Вираз у знаменнику дробу можна уявити у вигляді , З якого добре видно, що це неповний квадрат різниці чисел 2 і . Таким чином, якщо чисельник і знаменник дробу помножити на суму, то знаменник можна буде перетворити за формулою сума кубів, що дозволить звільнитися від ірраціональності знаменника дробу. Це можна зробити за умови , що рівносильне умові і далі x ≠−8 :

А при підстановці x=−8 у вихідний дріб маємо .

Таким чином, для всіх x з ОДЗ для вихідного дробу (в даному випадку це безліч R), крім x=−8 маємо , а за x=8 маємо .

Відповідь:

Використання різних способів

У прикладах складніше зазвичай не виходить в одну дію звільнитися від ірраціональності в знаменнику, а доводиться послідовно застосовувати метод за методом, у тому числі з розібраних вище. Іноді можуть знадобитися і якісь нестандартні прийоми рішення. Досить цікаві завдання з теми, що обговорюється, можна знайти в підручнику під авторством Колягіна Ю.М. Список літератури.

1. Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
2. Мордковіч А. Г.Алгебра. 8 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович. - 11-те вид., стер. – К.: Мнемозіна, 2009. – 215 с.: іл. ISBN 978-5-346-01155-2.
3. Алгебрата початку математичного аналізу. 10 клас: навч. для загальноосвіт. установ: базовий та профіл. рівні/[Ю. М. Колягін, М. В. Ткачова, Н. Є. Федорова, М. І. Шабунін]; за ред. А. Б. Жижченко. - 3-тє вид. - М.: Просвітництво, 2010. - 368 с. : іл.- ISBN 978-5-09-022771-1.

Дані Періч Кампана

Ще одна цікава книга для школярів, які цікавляться, на жаль, не перекладена російською мовою, - це книга “Математичні пригоди Даніеля” (Las Aventuras Matemáticas de Daniel) чилійського вчителя математики Данні Періча Кампани (Danny Perich Campana), людини дуже неординарної та цікавої . Він не тільки вчить дітлахів, а й пише пісні, викладає в Інтернет різні навчальні матеріали з математики. Їх можна знайти на youtube, і на сайті http://www.sectormatematica.cl/ (зрозуміло, всі матеріали іспанською мовою).

Тут викладаю один розділ із книги Данні Періча. Мені вона видалася досить цікавою та корисною для школярів. Щоб було зрозуміло, про що йдеться, скажу, що Даніель та Каміла працюють у школі, вони вчителі.

Таємниця позбавлення від ірраціональності

- Каміло, у мене зараз виникає багато проблем, коли намагаюся пояснити, для чого застосовується те, що проходимо на уроці, - сказав Даніель.

— Не дуже розумію, про що ти говориш.

— Я про те, що є у всіх шкільних підручниках та навіть книгах університетського рівня. Мене все одно не залишають сумніву: навіщо потрібно позбавлятися ірраціональності у знаменнику? І я терпіти не можу розповідати те, чого не розумію вже стільки часу, — скаржився Даніель.

— Я теж не знаю, звідки це йде і навіщо це потрібно, але має бути якесь логічне пояснення.

— Якось я прочитав в одному науковому журналі, що порятунок від ірраціональності у знаменнику дозволяє отримати результат з більшою точністю, але ніколи більше не зустрічав цього і не впевнений, що це так і є.

— А чому б це не перевірити? - Запитала Каміла.

— Ти маєш рацію, — погодився Даніель. — Замість того, щоб скаржитися, треба спробувати зробити самі висновки. Тоді допоможи мені…

— Звичайно, тепер мені це цікаво.

— Ми повинні взяти якісь вирази і позбутися ірраціональності в знаменнику, потім замінити корінь на його значення і знайти результат виразу до порятунку ірраціональності в знаменнику і потім і подивитися, чи щось зміниться.

— Звичайно, — погодилася Каміла. - Давай так і зробимо.

- Візьмемо, наприклад, вираз, - сказав Даніель і взяв аркуш паперу, щоб записувати те, що відбувається. — Помножимо чисельник і знаменник і отримаємо .

— Буде правильно і може допомогти нам зробити висновки, якщо ми розглянемо інші ірраціональні вислови, що дорівнюють цьому, — запропонувала Каміла.

- Згоден, - сказав Даніель, - я поділю чисельник і знаменник на , а ти домнож їх на .

- У мене вийшло . А у тебе?

- У мене, - відповів Даніель. — Тепер обчислимо вихідний вираз та отримані, замінюючи його значення з усіма десятковими знаками, які дає калькулятор. Отримаємо:

— Не бачу нічого особливого, — сказала Каміла. — Я чекала якоїсь відмінності, яка б виправдала звільнення від ірраціональності.

— Як я вже тобі казав, я колись читав про це у зв'язку з наближенням. Що ти скажеш, якщо ми замінимо на менш точне число, наприклад, на ?

— Пробуємо та дивимося, що вийшло.

Розв'язання рівнянь із дробамирозглянемо з прикладів. Приклади прості та показові. З їхньою допомогою ви найбільш зрозумілим чином зможете засвоїти, .
Наприклад, потрібно розв'язати просте рівняння x/b + c = d.

Рівняння цього називається лінійним, т.к. у знаменнику знаходяться лише числа.

Рішення виконується шляхом множення обох частин рівняння на b, тоді рівняння набуває вигляду x = b*(d – c), тобто. знаменник дробу у лівій частині скорочується.

Наприклад, як розв'язати дробове рівняння:
x/5+4=9
Помножуємо обидві частини на 5. Отримуємо:
х +20 = 45
x = 45-20 = 25

Інший приклад, коли невідоме знаходиться у знаменнику:

Рівняння такого типу називаються дробово-раціональними чи просто дробовими.

Вирішувати дробове рівняння будемо шляхом позбавлення від дробів, після чого це рівняння, найчастіше, перетворюється на лінійне або квадратне, яке вирішується звичайним способом. Слід лише врахувати такі моменти:

• значення змінної, що звертає до 0 знаменник, коренем бути не може;
• не можна ділити чи множити рівняння вираз =0.

Тут набирає чинності таке поняття, як область допустимих значень (ОДЗ) – це значення коренів рівняння, у яких рівняння має сенс.

Таким чином, вирішуючи рівняння, необхідно знайти коріння, після чого перевірити їх на відповідність ОДЗ. Те коріння, яке не відповідає нашій ОДЗ, з відповіді виключається.

Наприклад, потрібно вирішити дробове рівняння:

З вищевказаного правила х може бути = 0, тобто. ОДЗ у разі: х – будь-яке значення, відмінне від нуля.

Позбавляємося знаменника шляхом множення всіх членів рівняння на х

І вирішуємо нормальне рівняння

5x - 2х = 1
3x = 1
х = 1/3

Відповідь: х = 1/3

Вирішимо рівняння складніше:

Тут також є ОДЗ: х -2.

Вирішуючи це рівняння, ми не будемо переносити все в один бік і приводити дроби до спільного знаменника. Ми відразу помножимо обидві частини рівняння на вираз, який скоротить відразу всі знаменники.

Для скорочення знаменників потрібно ліву частину помножити на х+2, а праву - на 2. Отже, обидві частини рівняння треба множити на 2(х+2):

Це звичайнісіньке множення дробів, яке ми вже розглянули вище

Запишемо це ж рівняння, але дещо по-іншому

Ліва частина скорочується на (х+2), а права на 2. Після скорочення отримуємо звичайне лінійне рівняння:

х = 4 - 2 = 2, що відповідає нашій ОДЗ

Відповідь: х = 2.

Розв'язання рівнянь із дробамине так складно, як може здатися. У цій статті ми на прикладах показали це. Якщо у вас виникли якісь труднощі з тим, як розв'язувати рівняння з дробами, то відписуйтесь у коментарях.

У цій темі ми розглянемо всі три перелічені вище групи меж з ірраціональностями. Почнемо з меж, що містять невизначеність виду $ frac (0) (0) $.

Розкриття невизначеності $\frac(0)(0)$.

Схема вирішення стандартних прикладів такого типу зазвичай складається із двох кроків:

• Позбавляємося ірраціональності, що викликала невизначеність, домножуючи на так зване "сполучене" вираз;
• При необхідності розкладаємо вираз у чисельнику або знаменнику (або там і там) на множники;
• Скорочуємо множники, що призводять до невизначеності, і обчислюємо значення межі, що шукається.

Термін "сполучений вираз", використаний вище, буде детально пояснений у прикладах. Поки що зупинятись на ньому докладно немає резону. Взагалі можна піти іншим шляхом, без використання сполученого виразу. Іноді ірраціональності може позбавити вдало підібрана заміна. Такі приклади рідкісні у стандартних контрольних роботах, тому використання заміни розглянемо лише приклад №6 (див. другу частину цієї теми).

Нам знадобиться кілька формул, які я запишу нижче:

\begin(equation) a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b) \end(equation) \begin(equation) a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2 +ab+b^2) \end(equation) \begin(equation) a^3+b^3=(a+b)\cdot(a^2-ab+b^2) \end(equation) \begin (equation) a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end(equation)

Крім того, припускаємо, що читач знає формули для розв'язання квадратних рівнянь. Якщо $x_1$ і $x_2$ - коріння квадратного тричлену $ax^2+bx+c$, то розкласти його на множники можна за такою формулою:

\begin(equation) ax^2+bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2) \end(equation)

Формул (1)-(5) цілком вистачить на вирішення стандартних завдань, яких ми зараз і перейдемо.

Приклад №1

Знайти $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$.

Оскільки $\lim_(x\to 3)(\sqrt(7-x)-2)=\sqrt(7-3)-2=\sqrt(4)-2=0$ і $\lim_(x\ to 3) (x-3)=3-3=0$, то заданому межі ми маємо невизначеність виду $\frac(0)(0)$. Розкрити цю невизначеність нам заважає різницю $ sqrt (7-x)-2 $. Для того, щоб позбавлятися подібних ірраціональностей, застосовують множення на так зване "сполучене вираження". Як діє таке множення, ми зараз і розглянемо. Помножимо $\sqrt(7-x)-2$ на $sqrt(7-x)+2$:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)$$

Щоб розкрити дужки застосуємо , підставивши праву частину згаданої формули $a=\sqrt(7-x)$, $b=2$:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=(\sqrt(7-x))^2-2^2=7-x-4=3-x .$$

Як бачите, якщо помножити чисельник на $sqrt(7-x)+2$, то корінь (тобто ірраціональність) у чисельнику зникне. Ось цей вираз $\sqrt(7-x)+2$ і буде пов'язанимдо виразу $ \ sqrt (7-x) - 2 $. Однак ми не вправі просто взяти і помножити чисельник на $\sqrt(7-x)+2$, бо це змінить дріб $\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$, що стоїть під межею . Помножувати потрібно одчасно і чисельник і знаменник:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)= \left|\frac(0)(0)\right|=\lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2)) $$

Тепер пригадаємо, що $(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=3-x$ і розкриємо дужки. А після розкриття дужок і невеликого перетворення $3-x=-(x-3)$ скоротимо дріб на $x-3$:

$$ \lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt( 7-x)+2))= \lim_(x\to 3)\frac(3-x)((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))=\\ =\lim_ (x\to 3)\frac(-(x-3))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))= \lim_(x\to 3)\frac(-1 )(\sqrt(7-x)+2) $$

Невизначеність $\frac(0)(0)$ зникла. Зараз можна легко отримати відповідь цього прикладу:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(-1)(\sqrt(7-x)+2)=\frac(-1)(\sqrt(7-3)+2)=-\frac( 1)(\sqrt(4)+2)=-\frac(1)(4).$$

Зауважу, що сполучене вираження може змінювати свою структуру - залежно від того, яку саме ірраціональність вона має прибрати. У прикладах №4 і №5 (див. другу частину цієї теми) буде використано інший вид сполученого виразу.

Відповідь: $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)=-\frac(1)(4)$.

Приклад №2

Знайти $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$.

Оскільки $\lim_(x\to 2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\sqrt(2^2+5)-\sqrt(7\cdot 2 ^2-19)=3-3=0$ і $\lim_(x\to 2)(3x^2-5x-2)=3\cdot2^2-5\cdot 2-2=0$, то ми маємо справу з невизначеністю виду $ frac (0) (0) $. Позбавимося ірраціональності в знаменнику даного дробу. Для цього доможемо і чисельник і знаменник дробу $\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$ на вираз $\sqrt(x^ 2+5)+\sqrt(7x^2-19)$, пов'язане до знаменника:

$$ \lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\left|\frac(0 )(0)\right|= \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))) ((\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) $$

Знову, як і прикладі №1, потрібно використовуватиме розкриття дужок. Підставивши праву частину згаданої формули $a=\sqrt(x^2+5)$, $b=\sqrt(7x^2-19)$, отримаємо такий вираз для знаменника:

$$ \left(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19)\right)\left(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)\ right)=\\ =\left(\sqrt(x^2+5)\right)^2-\left(\sqrt(7x^2-19)\right)^2=x^2+5-(7x ^2-19)=-6x^2+24=-6\cdot(x^2-4) $$

Повернемося до нашої межі:

$$ \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((\sqrt(x ^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))= \lim_(x\to 2)\frac( (3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(-6\cdot(x^2-4))=\\ =-\ frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x^2-4) $$

У прикладі №1 практично відразу після домноження на сполучене вираз відбулося скорочення дробу. Тут перед скороченням доведеться розкласти на множники вирази $3x^2-5x-2$ і $x^2-4$, а потім перейти до скорочення. Щоб розкласти на множники вираз $3x^2-5x-2$ потрібно використати . Для початку розв'яжемо квадратне рівняння $3x^2-5x-2=0$:

$$ 3x^2-5x-2=0\\begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49;\\ & x_1=\ frac(-(-5)-\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5-7)(6)=-\frac(2)(6)=-\frac(1)(3) ; \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2. \end(aligned) $$

Підставляючи $x_1=-\frac(1)(3)$, $x_2=2$ в , будемо мати:

$$ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)(x-2)=3\cdot\left(x+\ frac(1)(3)\right)(x-2)=\left(3\cdot x+3\cdot\frac(1)(3)\right)(x-2) =(3x+1)( x-2). $$

Тепер настала черга розкласти на множники вираз $x^2-4$. Скористаємося , підставивши до неї $a=x$, $b=2$:

$$ x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2) $$

Використовуємо отримані результати. Оскільки $x^2-4=(x-2)(x+2)$ і $3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$, то:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2) -19)))(x^2-4) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x) ^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((x-2)(x+2)) $$

Скорочуючи на дужку $x-2$ отримаємо:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^) 2-19)))((x-2)(x+2)) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt( x^2+5)+sqrt(7x^2-19)))(x+2). $$

Всі! Невизначеність зникла. Ще один крок і ми приходимо до відповіді:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x+2)=\ =-\frac(1)(6)\cdot\frac((3\cdot 2+1)(\sqrt(2^2+5)+\sqrt(7\cdot 2) ^2-19)))(2+2)= -frac(1)(6)cdotfrac(7(3+3))(4)=-frac(7)(4). $$

Відповідь: $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=-\frac(7)( 4) $.

У наступному прикладі розглянемо випадок, коли ірраціональності будуть присутні як у чисельнику, так і в знаменнику дробу.

Приклад №3

Знайти $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9) )) $.

Оскільки $\lim_(x\to 5)(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))=\sqrt(9)-\sqrt(9)=0$ і $\lim_( x\to 5)(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9))=\sqrt(16)-\sqrt(16)=0$, то ми маємо невизначеність виду $\frac (0)(0)$. Оскільки в цьому випадку коріння є і в знаменнику, і в чисельнику, то щоб позбутися невизначеності доведеться примножувати відразу на дві дужки. По-перше, на вираз $ sqrt (x + 4) + sqrt (x ^ 2-16) $, пов'язане чисельнику. А по-друге на вираз $\sqrt(x^2-3x+6)-sqrt(5x-9)$, пов'язане знаменнику.

$$ \lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))=\left|\frac(0)(0)\right|=\\ =\lim_(x\to 5)\frac((\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16)) )(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((\sqrt(x^2) -3x+6)-\sqrt(5x-9))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9))(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2) -16))) $$ $$ -x^2+x+20=0;\\ \begin(aligned) & D=1^2-4\cdot(-1)\cdot 20=81;\\ & x_1=\frac(-1-\sqrt(81))(-2)=\frac(-10)(-2)=5;\\ & x_2=\frac(-1+\sqrt(81))( -2)=\frac(8)(-2)=-4. \end(aligned) -x^2+x+20=-1cdot(x-5)(x-(-4))=-(x-5)(x+4). $$

Для вираження $x^2-8x+15$ отримаємо:

$$ x^2-8x+15=0; \\ \begin(aligned) & D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=4;\\ & x_1=\frac(-(- 8)-\sqrt(4))(2)=\frac(6)(2)=3;\\ & x_2=\frac(-(-8)+\sqrt(4))(2)=\frac (10) (2) = 5. \end(aligned)\x^2+8x+15=1cdot(x-3)(x-5)=(x-3)(x-5). $$

Підставляючи отримані розлучення $-x^2+x+20=-(x-5)(x+4)$ і $x^2+8x+15=(x-3)(x-5)$ у розглянуту межу, будемо мати:

$$ \lim_(x\to 5)\frac((-x^2+x+20)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x^2 -8x+15)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \lim_(x\to 5)\frac(-(x-5)(x+4)(\ sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3)(x-5)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)) )=\\ =\lim_(x\to 5)\frac(-(x+4)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3) (\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \frac(-(5+4)(\sqrt(5^2-3\cdot 5+6)+\sqrt(5) \cdot 5-9)))((5-3)(\sqrt(5+4)+\sqrt(5^2-16)))=-6. $$

Відповідь: $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 )) = -6 $.

У наступній (другій) частині розглянемо ще кілька прикладів, у яких сполучене вираз матиме інший вигляд, ніж у попередніх завданнях. Головне, пам'ятайте, що мета використання сполученого виразу - позбавитися ірраціональності, що викликає невизначеність.

При вивченні перетворень ірраціонального вираження дуже важливим є питання, як звільнитися від ірраціональності в знаменнику дробу. Метою цієї статті є пояснення цієї дії на конкретних прикладах завдань. У першому пункті ми розглянемо основні правила цього перетворення, тоді як у другому – характерні приклади з докладними поясненнями.

Поняття звільнення від ірраціональності у знаменнику

Почнемо з пояснення, у чому полягає сенс такого перетворення. Для цього згадаємо такі положення.

Про ірраціональність у знаменнику дробу можна говорити в тому випадку, якщо там є радикал, він же знак кореня. Числа, які записані за допомогою такого знака, часто належать до ірраціональних. Прикладами може бути 1 2 , - 2 x + 3 , x + y x - 2 · x · y + 1 , 11 7 - 5 . До дробів з ірраціональними знаменниками також належать ті, що мають там знаки коренів різного ступеня (квадратний, кубічний тощо), наприклад, 3 4 3 , 1 x + x · y 4 + y . Позбавлятися ірраціональності слід для спрощення вираження та полегшення подальших обчислень. Сформулюємо основне визначення:

Визначення 1

Звільнитися від ірраціональності у знаменнику дробу– означає перетворити її, замінивши на тотожно рівний дріб, у знаменнику якого немає коренів і ступенів.

Така дія може називатися звільненням або звільненням від ірраціональності, сенс при цьому залишається тим самим. Так, перехід від 12 до 22, тобто. до дробу з рівним значенням без знаку кореня у знаменнику і буде необхідною нам дією. Наведемо ще один приклад: у нас є дріб x x - y. Проведемо необхідні перетворення і отримаємо тотожно рівний їй дріб x · x + y x - y, звільнившись від ірраціональності в знаменнику.

Після формулювання визначення ми можемо переходити безпосередньо до вивчення послідовності дій, які необхідно виконати для такого перетворення.

Основні дії для позбавлення від ірраціональності у знаменнику дробу

Для звільнення від коренів потрібно провести два послідовні перетворення дробу: помножити обидві частини дробу на число, відмінне від нуля, а потім перетворити вираз, що вийшов у знаменнику. Розглянемо основні випадки.

У найпростішому випадку можна уникнути перетворенням знаменника. Наприклад, ми можемо взяти дріб зі знаменником, що дорівнює кореню з 9 . Обчисливши 9 , ​​ми запишемо в знаменнику 3 і позбавимося таким чином ірраціональності.

Однак набагато частіше доводиться попередньо множити чисельник та знаменник на таке число, яке потім дозволить привести знаменник до потрібного виду (без коріння). Так, якщо ми виконаємо множення 1 x + 1 на x + 1 ми отримаємо дріб x + 1 x + 1 · x + 1 і зможемо замінити вираз у її знаменнику на x + 1 . Так ми перетворили 1 x + 1 в x + 1 x + 1, позбувшись ірраціональності.

Іноді перетворення, які потрібно виконати, бувають досить специфічними. Розберемо кілька прикладів.

Як перетворити вираз у знаменнику дробу

Як ми вже говорили, найпростіше виконати перетворення знаменника.

Приклад 1

Умова:звільніть дріб 1 2 · 18 + 50 від ірраціональності у знаменнику.

Рішення

Для початку розкриємо дужки і отримаємо вираз 12 · 18 + 2 · 50 . Використовуючи основні властивості коренів, перейдемо до виразу 12 · 18 + 2 · 50 . Обчислюємо значення обох виразів під корінням і отримуємо 136 + 100. Тут уже можна одержати коріння. У результаті у нас вийшов дріб 1 6 + 10 , що дорівнює 1 16 . На цьому перетворення можна закінчити.

Запишемо хід всього рішення без коментарів:

1 2 · 18 + 50 = 1 2 · 18 + 2 · 50 = = 1 2 · 18 + 2 · 50 = 1 36 + 100 = 1 6 + 10 = 1 16

Відповідь: 1 2 · 18 + 50 = 1 16 .

Приклад 2

Умова:дано дріб 7 - x (x + 1) 2 . Позбавтеся ірраціональності в знаменнику.

Рішення

Раніше у статті, присвяченій перетворенням ірраціональних виразів із застосуванням властивостей коренів, ми згадували, що при будь-якому A та парних n ми можемо замінити вираз A n n на | A | по всій області допустимих значень змінних. Отже, у разі ми можемо записати так: 7 - x x + 1 2 = 7 - x x + 1 . У такий спосіб ми звільнилися від ірраціональності у знаменнику.

Відповідь: 7 - x x + 1 2 = 7 - x x + 1 .

Позбавлення ірраціональності методом множення на корінь

Якщо в знаменнику дробу знаходиться вираз виду A і вираз A не має знаків коренів, то ми можемо звільнитися від ірраціональності, просто помноживши обидві частини вихідного дробу на A . Можливість цієї дії визначається тим, що A на ділянці допустимих значень не буде звертатися в 0 . Після множення в знаменнику виявиться вираз виду A · A , який легко позбавити коріння: A · A = A 2 = A . Подивимося, як правильно застосовувати цей метод практично.

Приклад 3

Умова:дано дроби x 3 і - 1 x 2 + y - 4. Позбавтеся ірраціональності в їх знаменниках.

Рішення

Виконаємо множення першого дробу на корінь другого ступеня із 3 . Отримаємо таке:

x 3 = x · 3 3 · 3 = x · 3 3 2 = x · 3 3

У другому випадку нам треба виконати множення на x 2 + y - 4 і перетворити вираз у знаменнику:

1 x 2 + y - 4 = - 1 · x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 · x 2 + y - 4 = = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 2 = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4

Відповідь: x 3 = x · 3 3 і - 1 x 2 + y - 4 = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4.

Якщо ж у знаменнику вихідного дробу є вирази виду A n m або A m n (за умови натуральних m і n), нам потрібно вибрати такий множник, щоб вираз, що вийшов, можна було перетворити в A n n · k або A n · k n (при натуральному k) . Після цього позбавитися ірраціональності буде нескладно. Розберемо такий приклад.

Приклад 4

Умова:дано дроби 7 6 3 5 та x x 2 + 1 4 15 . Позбавтеся ірраціональності в знаменниках.

Рішення

Нам потрібно взяти натуральне число, яке можна розділити на п'ять, при цьому воно має бути більшим за три. Щоб показник 6 дорівнював 5 , нам треба виконати множення на 6 2 5 . Отже, обидві частини вихідного дробу нам доведеться помножити на 6 2 5:

7 6 3 5 = 7 · 6 2 5 6 3 5 · 6 2 5 = 7 · 6 2 5 6 3 5 · 6 2 = 7 · 6 2 5 6 5 5 = = 7 · 6 2 5 6 = 7 · 36 5 6

У другому випадку нам знадобиться число, більше 15, яке можна розділити на 4 без залишку. Беремо 16 . Щоб отримати такий показник ступеня у знаменнику, нам треба взяти як множник x 2 + 1 4 . Уточнимо, що значення цього виразу не буде 0 в жодному разі. Обчислюємо:

x x 2 + 1 4 15 = x · x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 15 · x 2 + 1 4 = = x · x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 16 = x · x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 4 4 = x · x 2 + 1 4 x 2 + 1 4

Відповідь: 7 6 3 5 = 7 · 36 5 6 та x x 2 + 1 4 15 = x · x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 .

Позбавлення ірраціональності методом множення на сполучене вираз

Наступний метод підійде для тих випадків, коли в знаменнику вихідного дробу стоять вирази a + b, a - b, a + b, a - b, a + b, a - b. У таких випадках нам треба взяти як множник сполучений вираз. Пояснимо зміст цього поняття.

Для першого виразу a + b сполученим буде a - b, для другого a - b - a + b. Для a + b - a - b, для a - b - a + b, для a + b - a - b, а для a - b - a + b. Інакше висловлюючись, сполучене вираз – це такий вираз, у якому перед другим доданком стоїть протилежний знак.

Давайте розглянемо, у чому саме полягає цей метод. Припустимо, ми маємо добуток виду a - b · a + b . Воно може бути замінене різницею квадратів a - b · a + b = a 2 - b 2 , після чого ми переходимо до виразу a - b, позбавленого радикалів. Таким чином, ми звільнилися від ірраціональності у знаменнику дробу за допомогою множення на сполучене вираз. Візьмемо кілька наочних прикладів.

Приклад 5

Умова:позбавтеся ірраціональності у виразах 3 7 - 3 і x - 5 - 2 .

Рішення

У першому випадку беремо сполучене вираз, що дорівнює 7 + 3 . Тепер множимо обох частин вихідного дробу на нього:

3 7 - 3 = 3 · 7 + 3 7 - 3 · 7 + 3 = 3 · 7 + 3 7 2 - 3 2 = = 3 · 7 + 3 7 - 9 = 3 · 7 + 3 - 2 = - 3 · 7 + 3 2

У другому випадку нам знадобиться вираз - 5 + 2 , який є сполученим виразом - 5 - 2 . Помножимо на нього чисельник та знаменник і отримаємо:

x - 5 - 2 = x · - 5 + 2 - 5 - 2 · - 5 + 2 = = x · - 5 + 2 - 5 2 - 2 2 = x · - 5 + 2 5 - 2 = x · 2 - 5 3

Можливо також перед множенням виконати перетворення: якщо ми винесемо зі знаменника спочатку мінус, вважатиметься зручніше:

x - 5 - 2 = - x 5 + 2 = - x · 5 - 2 5 + 2 · 5 - 2 = = - x · 5 - 2 5 2 - 2 2 = - x · 5 - 2 5 - 2 = - x · 5 - 2 3 = = x · 2 - 5 3

Відповідь: 3 7 - 3 = - 3 · 7 + 3 2 і x - 5 - 2 = x · 2 - 5 3 .

Важливо звернути увагу на те, щоб вираз, отриманий в результаті множення, не зверталося в 0 ні за яких змінних в області допустимих значень для даного виразу.

Приклад 6

Умова:дано дріб x x + 4 . Перетворіть її так, щоб у знаменнику не було ірраціональних виразів.

Рішення

Почнемо з знаходження області допустимих значень змінної x. Вона визначена умовами x ≥ 0 та x + 4 ≠ 0 . З них можна дійти невтішного висновку, що потрібна область є безліч x ≥ 0 .

Сполучене знаменнику вираз є x - 4 . Коли ми можемо виконати множення? Тільки тому випадку, якщо x - 4 ≠ 0 . На ділянці допустимих значень це буде рівнозначно умові x≠16. У результаті ми отримаємо таке:

x x + 4 = x · x - 4 x + 4 · x - 4 = = x · x - 4 x 2 - 4 2 = x · x - 4 x - 16

Якщо x дорівнюватиме 16 , то ми отримаємо:

x x + 4 = 16 16 + 4 = 16 4 + 4 = 2

Отже, x x + 4 = x · x - 4 x - 16 при всіх значеннях x , що належать до області допустимих значень, за винятком 16 . За x = 16 отримаємо x x + 4 = 2 .

Відповідь: x x + 4 = x · x - 4 x - 16 , x ∈ [ 0 , 16) ∪ (16 , + ∞) 2 , x = 16 .

Перетворення дробів з ірраціональністю у знаменнику з використанням формул суми та різниці кубів

У попередньому пункті ми виконували множення на сполучені вирази для того, щоб потім використовувати формулу різниці квадратів. Іноді для позбавлення від ірраціональності у знаменнику корисно скористатися й іншими формулами скороченого множення, наприклад, різницею кубів a 3 − b 3 = (a − b) · (a 2 + a · b + b 2). Цією формулою зручно користуватися, якщо в знаменнику вихідного дробу стоять вирази з корінням третього ступеня виду A3 - B3, A32 + A3 · B3 + B32. і т.д. Щоб застосувати її, нам потрібно помножити знаменник дробу на неповний квадрат суми A 3 2 + A 3 · B 3 + B 3 2 або різницю A 3 - B 3 . Так само можна застосувати і формулу суми a 3 + b 3 = (а) · (a 2 − a · b + b 2).

Приклад 7

Умова:перетворіть дроби 1 7 3 - 2 3 і 3 4 - 2 · x 3 + x 2 3 так, щоб позбавитися ірраціональності в знаменнику.

Рішення

Для першого дробу нам потрібно скористатися методом множення обох частин на неповний квадрат суми 73 і 23, оскільки потім ми зможемо виконати перетворення за допомогою формули різниці кубів:

1 7 3 - 2 3 = 1 · 7 3 2 + 7 3 · 2 3 + 2 3 2 7 3 - 2 3 · 7 3 2 + 7 3 · 2 3 + 2 3 2 = = 7 3 2 + 7 3 · 2 3 + 2 3 2 7 3 3 - 2 3 3 = 7 2 3 + 7 · 2 3 + 2 2 3 7 - 2 = = 49 3 + 14 3 + 4 3 5

У другому дробі представимо знаменник як 2 2 - 2 · х 3 + х 3 2 . У цьому вся виразі видно неповний квадрат різниці 2 і х 3 , отже, можемо помножити обидві частини дробу у сумі 2 + х 3 і скористатися формулою суми кубів. Для цього має бути дотримана умова 2 + x 3 ≠ 0, рівносильна x 3 ≠ - 2 і x ≠ − 8:

3 4 - 2 · x 3 + x 2 3 = 3 2 2 - 2 · x 3 + x 3 2 = = 3 · 2 + x 3 2 2 - 2 · x 3 + x 3 2 · 2 + x 3 = 6 + 3 · x 3 2 3 + x 3 3 = = 6 + 3 · x 3 8 + x

Підставимо в дріб - 8 і знайдемо значення:

3 4 - 2 · 8 3 + 8 2 3 = 3 4 - 2 · 2 + 4 = 3 4

Підведемо підсумки. При всіх x , що входять в область значень вихідного дробу (множина R), за винятком - 8 ми отримаємо 3 4 - 2 · x 3 + x 2 3 = 6 + 3 · x 3 8 + x . Якщо x = 8, то 3 4 - 2 · x 3 + x 2 3 = 3 4 .

Відповідь: 3 4 - 2 · x 3 + x 2 3 = 6 + 3 · x 3 8 + x , x ≠ 8 3 4 , x = - 8 .

Послідовне застосування різних способів перетворення

Часто на практиці зустрічаються складніші приклади, коли ми не можемо звільнитися від ірраціональності у знаменнику за допомогою всього одного методу. Їх потрібно послідовно виконувати кілька перетворень чи підбирати нестандартні рішення. Візьмемо одне таке завдання.

Приклад N

Умова:перетворіть 5 7 4 - 2 4 , щоб позбавитися знаків коренів у знаменнику.

Рішення

Виконаємо множення обох частин вихідного дробу на сполучене вираз 7 4 + 2 4 з ненульовим значенням. Отримаємо таке:

5 7 4 - 2 4 = 5 · 7 4 + 2 4 7 4 - 2 4 · 7 4 + 2 4 = = 5 · 7 4 + 2 4 7 4 2 - 2 4 2 = 5 · 7 4 + 2 4 7 - 2

А тепер застосуємо той самий спосіб ще раз:

5 · 7 4 + 2 4 7 - 2 = 5 · 7 4 + 2 4 · 7 + 2 7 - 2 · 7 + 2 = = 5 · 7 4 + 2 4 · 7 + 2 7 2 - 2 2 = 5 · 7 4 + 7 4 · 7 + 2 7 - 2 = = 5 · 7 4 + 2 4 · 7 + 2 5 = 7 4 + 2 4 · 7 + 2

Відповідь: 5 7 4 - 2 4 = 7 4 + 2 4 · 7 + 2 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter