Допомога по Теле2, тарифи, питання

Кутомміж прямими в просторі будемо називати будь-який із суміжних кутів, утворених двома прямими, проведеними через довільну точку паралельно даним.

Нехай у просторі задані дві прямі:

Очевидно, що за кут між прямими можна прийняти кут між їх напрямними векторами і . Так як , то за формулою для косинуса кута між векторами отримаємо

Умови паралельності та перпендикулярності двох прямих рівносильні умовам паралельності та перпендикулярності їх напрямних векторів та :

Дві прямі паралельнітоді й лише тоді, коли відповідні коефіцієнти пропорційні, тобто. l 1 паралельна l 2 тоді і тільки тоді, коли паралельний .

Дві прямі перпендикулярніі тоді, коли сума творів відповідних коефіцієнтів дорівнює нулю: .

У гол між прямою та площиною

Нехай пряма d- не перпендикулярна площині θ;
d′− проекція прямий dна площину θ;
Найменший із кутів між прямими dі d′ ми назвемо кутом між прямою та площиною.
Позначимо його як φ=( d,θ)
Якщо d⊥θ , то ( d,θ)=π/2

Oi→j→k→ − прямокутна система координат.
Рівняння площини:

θ: Ax+By+Cz+D=0

Вважаємо, що пряма задана точкою та напрямним вектором: d[M 0,p→]
Вектор n→(A,B,C)⊥θ
Тоді залишається з'ясувати кут між векторами n→ і p→, позначимо його як γ=( n→,p→).

Якщо кут γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Якщо кут γ>π/2 , то кут, що шукається φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Тоді, кут між прямою та площиноюможна вважати за формулою:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+Bp 2+Cp 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√p 21+p 22+p 23

Вопрос29. Концепція квадратичні форми. Знаковизначеність квадратичних форм.

Квадратичною формою j (х 1, х 2, …, x n) n дійсних змінних х 1, х 2, …, x nназивається сума виду
, (1)

де a ij - Деякі числа, звані коефіцієнтами. Не обмежуючи спільності, можна вважати, що a ij = a ji.

Квадратична форма називається дійсною,якщо a ij Î ГR. Матрицею квадратичної форминазивається матриця, складена з її коефіцієнтів. Квадратичній формі (1) відповідає єдина симетрична матриця
Т. е. А Т = А. Отже, квадратична форма (1) може бути записана матричному вигляді j ( х) = х Т Ах, де х Т = (х 1 х 2 … x n). (2)

І, навпаки, будь-якій симетричній матриці (2) відповідає єдина квадратична форма з точністю до позначення змінних.

Рангом квадратичної форминазивають ранг її матриці. Квадратична форма називається невиродженою,якщо невиродженою є її матриця А. (нагадаємо, що матриця Аназивається невиродженою, якщо її визначник не дорівнює нулю). Інакше квадратична форма є виродженою.

позитивно визначеною(або суворо позитивною), якщо

j ( х) > 0 для будь-якого х = (х 1 , х 2 , …, x n), крім х = (0, 0, …, 0).

Матриця Апозитивно визначеної квадратичної форми j ( х) також називається позитивно визначеною. Отже, позитивно визначеної квадратичної форми відповідає єдина позитивно визначена матриця і навпаки.

Квадратична форма (1) називається негативно визначеною(або суворо негативною), якщо

j ( х) < 0, для любого х = (х 1 , х 2 , …, x n), крім х = (0, 0, …, 0).

Аналогічно як і вище, матриця негативно визначеної квадратичної форми також називається негативно визначеною.

Отже, позитивно (негативно) певна квадра-тична форма j ( х) досягає мінімального (максимального) значення j ( х*) = 0 при х* = (0, 0, …, 0).

Зазначимо, що більшість квадратичних форм перестав бути знаковизначеними, тобто вони є ні позитивними, ні негативними. Такі квадратичні форми звертаються до 0 як початку системи координат, а й у інших точках.

Коли n> 2 потрібні спеціальні критерії перевірки знаковизначеності квадратичної форми. Розглянемо їх.

Головними мінорамиквадратичної форми називаються мінори:

тобто це мінори порядку 1, 2, …, nматриці А, розташовані у лівому верхньому кутку, останній з них збігається з визначником матриці А.

Критерій позитивної визначеності (Критерій Сільвестра)

х) = х Т Ахбула позитивно визначеною, необхідно і достатньо, що всі головні мінори матриці Абули позитивні, тобто: М 1 > 0, M 2 > 0, …, M n > 0. Критерій негативної визначеності Для того щоб квадратична форма j ( х) = х Т Ахбула негативно визначеною, необхідно і достатньо, щоб її головні мінори парного порядку були позитивні, а непарного – негативні, тобто: М 1 < 0, M 2 > 0, М 3 < 0, …, (–1)n

Буду коротким. Кут між двома прямими дорівнює куту між їхніми напрямними векторами. Таким чином, якщо вам вдасться знайти координати напрямних векторів a = (x 1 ; y 1 ; z 1) і b = (x 2 ; y 2 ​​; z 2), то зможете знайти кут. Точніше, косинус кута за формулою:

Подивимося, як ця формула працює на конкретних прикладах:

Завдання. У кубі ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 відзначені точки E і F - середини ребер A 1 B 1 і B 1 C 1 відповідно. Знайдіть кут між прямими AE та BF.

Оскільки ребро куба не вказано, покладемо AB = 1. Введемо стандартну систему координат: початок у точці A, осі x, y, z направимо вздовж AB, AD та AA 1 відповідно. Одиничний відрізок дорівнює AB = 1. Тепер знайдемо координати напрямних векторів для наших прямих.

Знайдемо координати вектора AE. Для цього нам потрібні точки A = (0; 0; 0) та E = (0,5; 0; 1). Оскільки точка E - середина відрізка A 1 B 1 її координати рівні середньому арифметичному координат кінців. Зауважимо, що початок вектора AE збігається з початком координат, тому AE = (0,5; 0; 1).

Тепер розберемося із вектором BF. Аналогічно, розбираємо точки B = (1; 0; 0) та F = (1; 0,5; 1), т.к. F – середина відрізка B 1 C 1 . Маємо:
BF = (1 - 1; 0,5 - 0; 1 - 0) = (0; 0,5; 1).

Отже, напрямні вектори готові. Косинус кута між прямими - це косинус кута між напрямними векторами, тому маємо:

Завдання. У правильній тригранній призмі ABCA 1 B 1 C 1 всі ребра якої рівні 1 відзначені точки D і E - середини ребер A 1 B 1 і B 1 C 1 відповідно. Знайдіть кут між прямими AD та BE.

Введемо стандартну систему координат: початок координат у точці A, вісь x направимо вздовж AB, z – вздовж AA 1 . Вісь направимо так, щоб площина OXY збігалася з площиною ABC. Одиничний відрізок дорівнює AB = 1. Знайдемо координати напрямних векторів для прямих.

Спочатку знайдемо координати вектора AD. Розглянемо точки: A = (0; 0; 0) та D = (0,5; 0; 1), т.к. D – середина відрізка A 1 B 1 . Оскільки початок вектора AD збігається з початком координат, отримуємо AD = (0,5; 0; 1).

Тепер знайдемо координати вектора BE. Крапка B = (1; 0; 0) вважається легко. З точкою E – серединою відрізка C 1 B 1 – трохи складніше. Маємо:

Залишилося знайти косинус кута:

Завдання. У правильній шестигранній призмі ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 всі ребра якої рівні 1 відзначені точки K і L - середини ребер A 1 B 1 і B 1 C 1 відповідно. Знайдіть кут між прямими AK та BL.

Введемо стандартну для призми систему координат: початок координат помістимо в центр нижньої основи, вісь x направимо вздовж FC, вісь y через середини відрізків AB і DE, а вісь z вертикально вгору. Одиничний відрізок знову дорівнює AB = 1. Випишемо координати точок, що цікавлять нас:

Точки K і L - середини відрізків A 1 B 1 і B 1 C 1 відповідно тому їх координати знаходяться через середнє арифметичне. Знаючи точки, знайдемо координати напрямних векторів AK та BL:

Тепер знайдемо косинус кута:

Завдання. У правильній чотирикутній піраміді SABCD, всі ребра якої дорівнюють 1, відзначені точки E і F - середини сторін SB і SC відповідно. Знайдіть кут між прямими AE та BF.

Введемо стандартну систему координат: початок у точці A, осі x та y направимо вздовж AB і AD відповідно, а вісь z направимо вертикально вгору. Поодинокий відрізок дорівнює AB = 1.

Точки E і F - середини відрізків SB і SC відповідно, тому їх координати перебувають як середнє арифметичне кінці. Випишемо координати цікавих для нас точок:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Знаючи точки, знайдемо координати напрямних векторів AE та BF:

Координати вектора AE збігаються з координатами точки E, оскільки точка A – початок координат. Залишилося знайти косинус кута:

Визначення.Якщо задані дві прямі y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 то гострий кут між цими прямими буде визначатися як

Дві прямі паралельні, якщо k1 = k2. Дві прямі перпендикулярні, якщо k1 = -1/k2.

Теорема.Прямі Ах + Ву + С = 0 і А 1 х + В 1 у + С 1 = 0 паралельні, коли пропорційні коефіцієнти А 1 = λА, 1 = λВ. Якщо ще й С1 = С, то прямі збігаються. Координати точки перетину двох прямих перебувають як розв'язання системи рівнянь цих прямих.

Рівняння прямої, що проходить через цю точку

Перпендикулярно даній прямій

Визначення.Пряма, що проходить через точку М 1 (х 1, у 1) і перпендикулярна до прямої у = kx + b представляється рівнянням:

Відстань від точки до прямої

Теорема.Якщо задана точка М (х 0, у 0), то відстань до прямої Ах + Ву + С = 0 визначається як

.

Доведення.Нехай точка М 1 (х 1, у 1) - основа перпендикуляра, опущеного з точки М на задану пряму. Тоді відстань між точками М та М 1:

(1)

Координати x 1 і 1 можуть бути знайдені як рішення системи рівнянь:

Друге рівняння системи – це рівняння прямої, що проходить через задану точку М0 перпендикулярно заданій прямій. Якщо перетворити перше рівняння системи на вигляд:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

то, вирішуючи, отримаємо:

Підставляючи ці вирази рівняння (1), знаходимо:

Теорему доведено.

приклад. Визначити кут між прямими: y = -3 x + 7; y = 2 x +1.

k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ = p /4.

приклад. Показати, що прямі 3х - 5у + 7 = 0 і 10х + 6у - 3 = 0 перпендикулярні.

Рішення. Знаходимо: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 * k 2 = -1, отже, прямі перпендикулярні.

приклад. Дано вершини трикутника А(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Знайти рівняння висоти, проведеної з вершини З.

Рішення. Знаходимо рівняння сторони АВ: ; 4 x = 6 y - 6;

2 x - 3 y + 3 = 0;

Шукане рівняння висоти має вигляд: Ax + By + C = 0 або y = kx + b. k =. Тоді y =. Т.к. висота проходить через точку С, її координати задовольняють даному рівнянню: звідки b = 17. Разом: .

Відповідь: 3 x + 2 y - 34 = 0.

Рівняння прямої, що проходить через цю точку в цьому напрямку. Рівняння прямої, що проходить через дві дані точки. Кут між двома прямими. Умова паралельності та перпендикулярності двох прямих. Визначення точки перетину двох прямих

1. Рівняння пряме, що проходить через дану точку A(x 1 , y 1) у даному напрямку, що визначається кутовим коефіцієнтом k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Це рівняння визначає пучок прямих, що проходять через точку A(x 1 , y 1), яка називається центром пучка.

2. Рівняння прямої, що проходить через дві точки: A(x 1 , y 1) та B(x 2 , y 2), записується так:

Кутовий коефіцієнт прямий, що проходить через дві дані точки, визначається за формулою

3. Кутом між прямими Aі Bназивається кут, на який треба повернути першу пряму Aнавколо точки перетину цих прямих проти руху годинникової стрілки до збігу її з другою прямою B. Якщо дві прямі задані рівняннями з кутовим коефіцієнтом

y = k 1 x + B 1 ,

y = k 2 x + B 2 , (4)

то кут між ними визначається за формулою

Слід звернути увагу на те, що в чисельнику дробу з кутового коефіцієнта другої прямої віднімається кутовий коефіцієнт першої прямої.

Якщо рівняння прямої задані у загальному вигляді

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)

кут між ними визначається за формулою

4. Умови паралельності двох прямих:

а) Якщо прямі задані рівняннями (4) з кутовим коефіцієнтом, то необхідна і достатня умова їхньої паралельності полягає в рівності їх кутових коефіцієнтів:

k 1 = k 2 . (8)

б) Для випадку, коли прямі задані рівняннями у загальному вигляді (6), необхідна і достатня умова їхньої паралельності полягає в тому, що коефіцієнти при відповідних поточних координатах у їх рівняннях пропорційні, тобто.

5. Умови перпендикулярності двох прямих:

а) У разі, коли прямі задані рівняннями (4) з кутовим коефіцієнтом, необхідна і достатня умова їхньої перпендикулярності полягає в тому, що їх кутові коефіцієнти обернені за величиною та протилежні за знаком, тобто.

Ця умова може бути записана також у вигляді

k 1 k 2 = -1. (11)

б) Якщо рівняння прямих задані у загальному вигляді (6), то умова їх перпендикулярності (необхідна та достатня) полягає у виконанні рівності

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Координати точки перетину двох прямих знаходять, розв'язуючи систему рівнянь (6). Прямі (6) перетинаються в тому і лише в тому випадку, коли

1. Напишіть рівняння прямих, що проходять через точку M, одна з яких паралельна, а інша перпендикулярна заданій прямій l.

Кут φ загальними рівняннями A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 і A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 обчислюється за формулою:

Кут φ між двома прямими, заданими канонічними рівняннями(x-x 1)/m 1 = (y-y 1)/n 1 і (x-x 2)/m 2 = (y-y 2)/n 2 обчислюється за формулою:

Відстань від точки до прямої

Кожну площину у просторі можна як лінійне рівняння, зване загальним рівняннямплощині

Приватні випадки.

o Якщо у рівнянні (8) , то площина проходить через початок координат.

o При (,) площина паралельна осі(осі, осі) відповідно.

o При (,) площина паралельна площині (площині, площині).

Рішення: використовуємо (7)

Відповідь: загальне рівняння площини.

приклад.

Площина у прямокутній системі координат Oxyz задана загальним рівнянням площини. . Запишіть координати всіх звичайних векторів цієї площини.

Нам відомо, що коефіцієнти при змінних x, y та z у загальному рівнянні площини є відповідними координатами нормального вектора цієї площини. Отже, нормальний вектор заданої площини має координати. Безліч всіх нормальних векторів можна поставити як.

Напишіть рівняння площини, якщо у прямокутній системі координат Oxyz у просторі вона проходить через точку , а - Нормальний вектор цієї площини.

Наведемо два розв'язки цього завдання.

З умови маємо. Підставляємо ці дані до загального рівняння площини, що проходить через точку:

Напишіть загальне рівняння площини паралельної координатної площини Oyz і проходить через точку .

Площина, яка паралельна координатній площині Oyz може бути задана загальним неповним рівнянням площини виду . Бо точка належить площині за умовою, то координати цієї точки повинні задовольняти рівняння площини, тобто повинна бути справедлива рівність. Звідси знаходимо. Таким чином, шукане рівняння має вигляд.

Рішення. Векторний твір за визначенням 10.26 ортогонально векторам p і q. Отже, воно ортогонально шуканої площини і вектор можна взяти її нормального вектора. Знайдемо координати вектора n:

тобто . Використовуючи формулу (11.1), отримаємо

Розкривши в цьому рівнянні дужки, приходимо до остаточної відповіді.

Відповідь: .

Перепишемо вектор нормалі у вигляді та знайдемо його довжину:

Відповідно до вищесказаного:

Відповідь:

У паралельних площин той самий вектор нормалі. 1) З рівняння знайдемо вектор нормалі площини:.

2) Рівняння площини складемо по точці вектору нормалі:

Відповідь:

Векторні рівняння площини в просторі

Параметричне рівняння площини у просторі

Рівняння площини, що проходить через цю точку перпендикулярно даному вектору

Нехай у тривимірному просторі задана прямокутна декартова система координат. Сформулюємо таке завдання:

Скласти рівняння площини, що проходить через цю точку M(x 0, y 0, z 0) перпендикулярно даному вектору n = ( A, B, C} .

Рішення. Нехай P(x, y, z) - довільна точка простору. Крапка Pналежить площині тоді і лише тоді, коли вектор MP = {x − x 0, y − y 0, z − z 0) ортогональний вектор n = {A, B, C) (рис.1).

Написавши умову ортогональності цих векторів (n, MP) = 0 у координатній формі, отримаємо:

Рівняння площини за трьома точками

У векторному вигляді

у координатах

Взаємне розташування площин у просторі

- Загальні рівняння двох площин. Тоді:

1) якщо то площині збігаються;

2) якщо то площини паралельні;

3) якщо або , то площини перетинаються і система рівнянь

(6)

є рівняннями прямої перетину даних площин.

(Пам'ятаємо, що нуль вже був), наприклад, до одиниці: .

РішенняТак як , то і два інших «шматки» теж повинні дорівнювати одиниці. По суті, потрібно вирішити систему:

Скласти параметричні рівняння наступних прямих: : Прямі задані канонічними рівняннями і першому етапі слід знайти якусь точку, що належить прямий, і її напрямний вектор.

а) З рівнянь

Зручність параметричних рівнянь у тому, що з допомогою дуже легко знаходити інші точки прямий. Наприклад, знайдемо точку , координати якої, скажімо, відповідають значенню параметра:

Таким чином: б) Розглянемо канонічні рівняння . Вибір точки тут нескладний, але підступний: (будьте уважні, не переплутайте координати!). Як витягнути напрямний вектор? Можна поміркувати, чому паралельна дана пряма, а можна використовувати простий формальний прийом: у пропорції знаходяться «гравець» і «зет», тому запишемо напрямний вектор, а на місце поставимо нуль: .

Складемо параметричні рівняння прямої:

в) Перепишемо рівняння як , тобто «зет» може бути будь-яким. А якщо будь-яким, то нехай, наприклад, . Таким чином, точка належить даній прямій. Для знаходження напрямного вектора використовуємо наступний формальний прийом: у вихідних рівняннях знаходяться «ікс» та «ігрок», і в напрямному векторі на даних місцях записуємо нулі: . На місце, що залишилося, ставимо одиницю: . Замість одиниці підійде будь-яке число, крім нуля.

Запишемо параметричні рівняння прямої:

а. Нехай дані дві прямі Ці прямі як було зазначено в розділі 1, утворюють різні позитивні та негативні кути, які при цьому можуть бути як гострими, так і тупими. Знаючи один із цих кутів ми легко знайдемо якийсь інший.

Між іншим, у всіх цих кутів чисельна величина тангенсу одна й та сама, відмінність може бути лише у знаку

Рівняння прямих. Числа суть проекції напрямних векторів першої та другої прямої Кут між цими векторами дорівнює одному з кутів, що утворюються прямими лініями. Тому завдання зводиться до визначення кута між векторами.

Для простоти можна умовитись під кутом між двома прямими розуміти гострий позитивний кут (як, наприклад, на рис. 53).

Тоді тангенс цього кута завжди буде позитивним. Таким чином, якщо в правій частині формули (1) вийде знак мінус, ми його повинні відкинути, тобто зберегти тільки абсолютну величину.

приклад. Визначити кут між прямими

За формулою (1) маємо

с. Якщо буде зазначено, яка зі сторін кута є його початком і яка кінцем, то, відраховуючи завжди напрям кута проти годинникової стрілки, ми можемо формули (1) витягти щось більше. Як неважко переконатися із рис. 53 знак, що виходить у правій частині формули (1), буде вказувати, який саме - гострий або тупий - кут утворює друга пряма з першою.

(Дійсно, з рис, 53 ми вбачаємо, що кут між першим і другим напрямними векторами або дорівнює шуканому куту між прямими, або відрізняється від нього на ±180 °.)

d. Якщо прямі паралельні, то паралельні та їх напрямні вектори Застосовуючи умову паралельності двох векторів отримаємо!

Це умова необхідна і достатня для паралельності двох прямих.

приклад. Прямі

паралельні, оскільки

e. Якщо прямі перпендикулярні, то їх напрямні вектори теж перпендикулярні. Застосовуючи умову перпендикулярності двох векторів ми отримаємо умову перпендикулярності двох прямих, а саме

приклад. Прямі

перпендикулярні через те, що

У зв'язку з умовами паралельності та перпендикулярності вирішимо наступні два завдання.

f. Через точку провести пряму паралельно даній прямій

Рішення проводиться так. Оскільки пряма паралельна даної, то за її напрямний вектор можна взяти той же самий, що і у даної прямої, тобто вектор з проекціями А і В. А тоді рівняння шуканої прямої напишеться у формі (§ 1)

приклад. Рівняння прямої, що проходить через точку (1; 3) паралельно прямий

буде наступне!

g. Через точку провести пряму перпендикулярно даній прямій

Тут за напрямний вектор не годиться брати вектор з проекціями А і , а треба віяти вектор, йому перпендикулярний. Проекції цього вектора мають бути обрані таким чином, згідно з умовою перпендикулярності обох векторів, тобто згідно з умовою

Виконати ж цю умову можна незліченною безліччю способів, тому що тут одне рівняння з двома невідомими. Але найпростіше взяти йди ж. Тоді рівняння шуканої прямої напишеться у формі

приклад. Рівняння прямої, що проходить через точку (-7; 2) перпендикулярної прямої

буде наступне (за другою формулою)!

h. У тому випадку, коли прямі задані рівняннями виду

переписуючи ці рівняння інакше, маємо