Аналітичне завдання руху. Завдання на круговий рух Пункту а кругової траси довжина якої

З пункту А кругової траси, довжина якої дорівнює 75 км, одночасно в одному напрямку стартували два автомобілі. Швидкість першого автомобіля дорівнює 89 км/год, швидкість другого автомобіля 59 км/год. Через скільки хвилин після старту перший автомобіль випереджатиме друге рівно на одне коло?

Рішення завдання

Даний урок показує, як, використовуючи фізичну формулу визначення часу при рівномірному русі: , скласти пропорцію визначення часу, коли один автомобіль обжене інший на коло. При розв'язанні задачі вказано чітку послідовність дій для вирішення подібних завдань: вводимо конкретне позначення для того, що ми хочемо знайти, записуємо час, який потрібен одному і другому автомобілю для подолання певної кількості кіл, враховуючи, що цей час – однакова величина – прирівнюємо отримані рівності . Рішення є знаходження невідомої величини в лінійному рівнянні. Для отримання результатів потрібно не забути підставити кількість отриманих кіл у формулу для визначення часу.

Розв'язання цього завдання рекомендовано учнів 7-х класів щодо теми «Математичний мову. Математична модель» (Лінійне рівняння з однією змінною»). Під час підготовки до ОДЕ урок рекомендовано при повторенні теми «Математична мова. Математична модель".

Posted on 23.03.2018

З пункту A кругової траси виїхав велосипедист.

Через 30 хвилин він ще не повернувся до пункту А і з пункту А слідом за ним вирушив мотоцикліст. Через 10 хвилин після відправлення він наздогнав велосипедиста вперше,

а ще через 30 хвилин після цього наздогнав його вдруге.

Знайдіть швидкість мотоцикліста, якщо довжина траси дорівнює 30 км.

Відповідь дайте у км/год

завдання з математики

освіта

відповісти

коментувати

У обране

Світл-ана02-02

23 години тому

Якщо я правильно зрозуміла умову, мотоцикліст виїхав за півгодини з початку старту велосипедиста. І тут рішення виглядає так.

Одна і та ж відстань велосипедист проїжджає за 40 хвилин, а мотоцикліст за 10 хвилин швидкість мотоцикліста в чотири рази більша за швидкість велосипедиста.

Допустимо, велосипедист рухається зі швидкістю х км/год, тоді швидкість мотоцикліста 4х км/год. До другої зустрічі пройде (1/2 + 1/2 + 1/6) = 7/6 години з моменту старту велосипедиста та (1/2 + 1/6) = 4/6 години з моменту старту мотоцикліста. На момент другої зустрічі велосипедист проїде (7х/6) км, а мотоцикліст — (16х/6) км, обігнавши велосипедиста однією коло, тобто. проїхавши на 30 км більше. Отримуємо рівняння.

16х/6 - 7х/6 = 30, звідки

Отже, велосипедист їхав зі швидкістю 20 км/год, отже, мотоцикліст їхав зі швидкістю (4*20) = 80 км/год.

Відповідь. Швидкість мотоцикліста 80 км/год.

коментувати

У обране

віддячити

Vdtes-t

22 години тому

Якщо рішення в км/годину, то час треба виразити у годиннику.

Позначимо

v швидкість велосипедиста

m швидкість мотоцикліста

Через ½ години з пункту А слідом за велосипедистом вирушив мотоцикліст. Через ⅙ годину після відправлення він наздогнав велосипедиста вперше

записуємо у вигляді рівняння шлях пройдений до першої зустрічі:

а ще через ½ години після цього мотоцикліст наздогнав його вдруге.

записуємо у вигляді рівняння шлях пройдений до другої зустрічі:

Вирішуємо систему з двох рівнянь:

v/2+v/6=m/6

m/2=30+v/2

Спрощуємо перше рівняння (помножуючи обидві частини на 6):

Підставляємо m у друге рівняння:

швидкість велосипедиста дорівнює 20 км/год.

Визначаємо швидкість мотоцикліста

Відповідь: швидкість мотоцикліста дорівнює 80 км/год

Розділи: Математика

Тип уроку: повторювально-узагальнюючий урок.

Цілі уроку:

освітні

розвиваючі

виховні

Обладнання уроку:

Інтерактивна дошка;
конверти із завданнями, картами тематичного контролю, картками – консультантами.

Структура уроку.

	Основні етапи уроку	Завдання, які вирішуються на даному етапі
	Організаційний момент, вступна частина	створення доброзичливої атмосфери у класі настроїти учнів на продуктивну роботу визначити відсутніх перевірити готовність учнів до уроку
	Підготовка учнів до активної роботи (повторення)	перевірити знання учнів на тему: “Рішення текстових завдань різних типів на рух” здійснення розвитку мови та мислення відповідних учнів розвиток аналітичності та критичності мислення учнів через коментування відповідей однокласників організовувати навчальну діяльність всього класу під час відповіді викликаних до дошки учнів
	Етап узагальнення та систематизації вивченого матеріалу (робота у групах)	перевірити в учнів уміння вирішувати завдання різних типів рухів, сформувати в учнів знання, що відображаються у вигляді ідей та теорій, перехід від приватних ідей до ширших узагальнень здійснювати формування моральних відносин учнів до учасників освітнього процесу (під час групової роботи)
	Перевірка виконання роботи, коригування (за потреби)	перевірити виконання даних для груп завдань (їх правильність) продовжувати формувати в учнів уміння аналізувати, виділяти головне, будувати аналогії, узагальнювати та систематизувати розвивати вміння вести дискусії
	Підбиття підсумків уроку. Розбір домашнього завдання	повідомити учнів про домашнє завдання, роз'яснити методику його виконання мотивувати необхідність та обов'язковість виконання домашнього завдання підбити підсумки уроку

Форми організації пізнавальної діяльності учнів:

фронтальна форма пізнавальної діяльності - на етапах II, IY, Y.
групова форма пізнавальної діяльності – на ІІІ етапі.

Методи навчання: словесна, наочна, практична, пояснювально – ілюстративна, репродуктивна, частково – пошукова, аналітична, порівняльна, узагальнююча, традуктивна.

Хід уроку

I. Організаційний момент, вступна частина.

Вчитель оголошує тему уроку, цілі уроку та основні моменти уроку. Перевіряє готовність класу до роботи.

ІІ. Підготовка учнів до активної роботи (повторення)

Дайте відповідь на питання.

Який рух називають рівномірним (рух із постійною швидкістю).
Назвіть формулу шляху при рівномірному русі ( S = Vt).
З цієї формули висловіть швидкість та час.
Вказати одиниці виміру.

Переведення одиниць вимірювання швидкості

ІІІ. Етап узагальнення та систематизації вивченого матеріалу (робота у групах)

Весь клас розбивається за групами (5-6 осіб у групі). Бажано, щоб у одній групі були учні різного рівня підготовки. Серед них призначається керівник групи (найсильніший учень), який і керуватиме роботою групи.

Усі групи отримують конверти із завданнями (вони однакові всім груп), картки консультанти (для слабких учнів) і листи тематичного контролю. У аркушах тематичного контролю керівник групи виставляє оцінки кожному учневі групи за кожне завдання і відзначає труднощі, які виникли у учнів під час виконання конкретних завдань.

Картка із завданнями для кожної групи.

№ 5.

№ 7. Моторний човен пройшов проти течії річки 112 км і повернувся до пункту відправлення, витративши на дорогу назад на 6 годин менше. Знайдіть швидкість течії, якщо швидкість човна в нерухомій воді дорівнює 11 км/год. Відповідь дайте у км/год.

№8. Теплохід проходить за течією річки до пункту призначення 513 км і після стоянки повертається до пункту відправлення. Знайдіть швидкість теплохода в нерухомій воді, якщо швидкість перебігу дорівнює 4 км/год, стоянка триває 8 годин, а в пункт відправлення теплохід повертається через 54 години після відплиття з нього. Відповідь дайте у км/год.

Приклад картки тематичного контролю.

Клас ________ Ф.І.учня___________________________________

№ завдання		Зауваження

Картки консультантів.

Картка № 1 (консультант)

1. Рух прямою дорогою

При розв'язанні задач на рівномірний рух часто трапляються дві ситуації.

Якщо початкова відстань між об'єктами дорівнює S , а швидкості об'єктів V1 та V2, то:

а) при русі об'єктів назустріч один одному час, через який вони зустрінуться, дорівнює .

б) при русі об'єктів в один бік час, через який перший об'єкт наздожене другий, дорівнює , ( V 2 > V 1)

Приклад 1. Потяг, пройшовши 450 км, було зупинено через сніговий замет. Через півгодини шлях було розчищено, і машиніст, збільшивши швидкість поїзда на 15 км/год, привів його на станцію без запізнення. Знайдіть початкову швидкість поїзда, якщо шлях, пройдений ним до зупинки, становив 75% усього шляху.

Знайдемо весь шлях: 450: 0, 75 = 600 (км)
Знайдемо довжину другої ділянки: 600 - 450 = 150 (км)
Складемо і розв'яжемо рівняння:

Х = -75 не підходить за умовою задачі, де x > 0.

Відповідь: початкова швидкість поїзда дорівнює 60 км/год.

Картка № 2 (консультант)

2. Рух замкненою дорогою

Якщо довжина замкнутої дороги дорівнює S, а швидкості об'єктів V 1 і V 2 , то:

а) при русі об'єктів у різних напрямках час між їх зустрічами обчислюється за формулою;
б) при русі об'єктів в одному напрямку час між їх зустрічами обчислюється за формулою

приклад 2.На змаганнях по кільцевій трасі один лижник проходить коло на 2 хв швидше за інший і через годину обійшов його рівно на коло. За який час кожен лижник проходить коло?

Нехай Sм – довжина кільцевої траси та xм/хв та yм/хв – швидкості першого та другого лижників відповідно ( x > y) .

Тоді S/xхв і S/yхв – час, протягом якого проходить коло перший і другий лижники відповідно. З першої умови отримуємо рівняння. Оскільки швидкість видалення першого лижника від другого лижника дорівнює ( x - y) м/хв, то з другої умови маємо рівняння.

Розв'яжемо систему рівнянь.

Зробимо заміну S/x= aі S/y=b, Тоді система рівнянь набуде вигляду:

. Помножимо обидві частини рівняння на 60 a(a + 2) > 0.

60(a + 2) – 60a = a(a + 2)a 2 + 2a - 120 = 0. Квадратне рівняння має один позитивний корінь a = 10 , тоді b = 12. Значить перший лижник проходить коло за 10 хвилин, а другий лижник – за 12 хвилин.

Відповідь: 10 хв; 12 хв.

Картка № 3 (консультант)

3. Рух річкою

Якщо об'єкт рухається за течією річки, його швидкість дорівнює Vпо теч. = Vсоб. + Vтеч.

Якщо об'єкт рухається проти течії річки, його швидкість дорівнює V проти теч =V соб. - Vтеч. Власна швидкість об'єкта (швидкість у нерухомій воді) дорівнює

Швидкість течії річки дорівнює

Швидкість руху плоту дорівнює швидкості течії річки.

приклад 3.Катер спустився вниз протягом річки на 50 км, а потім пройшов у зворотному напрямку 36 км, що зайняло у нього на 30 хвилин більше часу, ніж за течією. Якою є власна швидкість катера, якщо швидкість течії річки 4 км/год?

Нехай власна швидкість катера дорівнює хкм/год, тоді його швидкість за течією річки дорівнює ( x + 4) км/год, а проти течії річки ( x - 4) км/год. Час руху катера за течією річки дорівнює ч, а проти течії річки ч. Оскільки 30 хвилин = 1/2 год, то згідно з умовою завдання складемо рівняння =. Помножимо обидві частини рівняння на 2( x + 4)(x- 4) >0 .

Отримаємо 72( x + 4) -100(x - 4) = (x + 4)(x - 4) x 2 + 28x- 704 = 0 x 1 = 16, x 2 = - 44 (виключаємо, тому що x> 0).

Отже, власна швидкість катера дорівнює 16 км/год.

Відповідь: 16 км/год.

IV. Етап аналізу вирішення завдань.

Розбираються завдання, що викликали в учнів утруднення.

№ 1. З двох міст, відстань між якими дорівнює 480 км, назустріч одне одному одночасно виїхали два автомобілі. Через скільки годин автомобілі зустрінуться, якщо їх швидкості дорівнюють 75 км/год та 85 км/год?

75 + 85 = 160 (км/год) – швидкість зближення.
480: 160 = 3 (год).

Відповідь: автомобілі зустрінуться за 3 години.

№ 2. З міст A і B, відстань між якими дорівнює 330 км, назустріч один одному одночасно виїхали два автомобілі та зустрілися через 3 години на відстані 180 км від міста B. Знайдіть швидкість автомобіля, що виїхав із міста A. Відповідь дайте у км/ год.

(330 - 180): 3 = 50 (км/год)

Відповідь: швидкість автомобіля, що виїхав із міста A, дорівнює 50 км/год.

№ 3. З пункту А до пункту В, відстань між якими 50 км, одночасно виїхали автомобіліст і велосипедист. Відомо, що за годину автомобіліст проїжджає на 65 км більше, ніж велосипедист. Визначте швидкість велосипедиста, якщо відомо, що він прибув у пункт на 4 години 20 хвилин пізніше автомобіліста. Відповідь дайте у км/год.

Складемо таблицю.

Складемо рівняння з огляду на те, що 4 години 20 хвилин =

Очевидно, що х = -75 не підходить за умовою задачі.

Відповідь: швидкість велосипедиста 10 км/год.

№ 4. Два мотоциклісти стартують одночасно в одному напрямку з двох діаметрально протилежних точок кругової траси, довжина якої дорівнює 14 км. Через скільки хвилин мотоциклісти порівняються вперше, якщо швидкість одного з них на 21 км/год більша за швидкість іншого?

Складемо таблицю.

Складемо рівняння.

, де 1/3 години = 20 хвилин.

Відповідь: через 20 хвилин мотоциклісти порівняються вперше.

№ 5. З однієї точки кругової траси, довжина якої дорівнює 12 км, одночасно в одному напрямку стартували два автомобілі. Швидкість першого автомобіля дорівнює 101 км/год, і через 20 хвилин після старту він випереджав друге авто на одне коло. Знайдіть швидкість другого автомобіля. Відповідь дайте у км/год.

Складемо таблицю.

Складемо рівняння.

Відповідь: швидкість другого автомобіля 65 км/год.

№ 6. З пункту A кругової траси виїхав велосипедист, а за 40 хвилин слідом за ним вирушив мотоцикліст. Через 8 хвилин після відправлення він наздогнав велосипедиста вперше, а ще через 36 хвилин після цього наздогнав його вдруге. Знайдіть швидкість мотоцикліста, якщо довжина траси дорівнює 30 км. Відповідь дайте у км/год.

Складемо таблицю.

Рух до першої зустрічі

велосипедист

№ 9. Від пристані А до пристані В, відстань між якими дорівнює 168 км, вирушив із постійною швидкістю перший теплохід, а через 2 години після цього слідом за ним, зі швидкістю на 2 км/год більшою, вирушив другий. Знайдіть швидкість першого теплохода, якщо до пункту В обидва теплоходи прибули одночасно. Відповідь дайте у км/год.

Складемо таблицю, виходячи з їх умови, що швидкість першого теплохода дорівнює х км/год.

Складемо рівняння:

Помножуючи обидві частини рівняння на х

Відповідь: швидкість першого теплохода дорівнює річці 12 км/год.

V. Підбиття підсумків уроку.

Під час підбиття підсумків уроку ще раз слід звернути увагу учнів на принципи розв'язання задач на рух. При дачі домашнього завдання дати пояснення до найважчих завдань.

Література

1) Стаття : Математика ЄДІ 2014 (система завдань із відкритого банку завдань) Корянов А.Г., Надєжкіна Н.В. – опубліковано на сайті

Розділи: Математика

У статті розглянуто завдання на допомогу учням: для відпрацювання навичок розв'язання текстових завдань під час підготовки до ЄДІ, навчання вирішення завдань складання математичної моделі реальних ситуацій переважають у всіх паралелях основний і старшої школи. У ній представлені завдання: рух по колу; на знаходження довжини об'єкта, що рухається; на перебування середньої швидкості.

I. Завдання на рух по колу.

Завдання рух по колу виявилися складними багатьом школярів. Вирішуються вони майже так, як і звичайні завдання на рух. Вони також застосовується формула . Але є момент, на який звернемо увагу.

Завдання 1.З пункту А кругової траси виїхав велосипедист, а за 30 хв слідом за ним вирушив мотоцикліст. Через 10 хв після відправлення він наздогнав велосипедиста вперше, а ще через 30 хв після цього наздогнав його вдруге. Знайдіть швидкість мотоцикліста, якщо довжина траси дорівнює 30 км. Відповідь дайте у км/год.

Рішення.Швидкості учасників приймемо за хкм/год та у км/год. Вперше мотоцикліст випередив велосипедиста через 10 хв, тобто через годину після старту. До цього моменту велосипедист був у дорозі 40 хв, тобто год. Учасники руху проїхали однакові відстані, тобто y = x. Внесемо дані до таблиці.

Таблиця 1

Мотоцикліст потім вдруге випередив велосипедиста. Сталося це через 30 хв, тобто через годину після першого обгону. Які відстані вони проїхали? Мотоцикліст випередив велосипедиста. А це означає, що він проїхав на одне коло більше. Ось той момент,

який треба звернути увагу. Один круг - це довжина траси, Вона дорівнює 30 км. Складемо іншу таблицю.

Таблиця 2

Отримаємо друге рівняння: y - x = 30. Маємо систему рівнянь: У відповіді зазначимо швидкість мотоцикліста.

Відповідь: 80 км/год.

Завдання (самостійно).

I.1.1. З пункту А кругової траси виїхав велосипедист, а через 40 хв слідом за ним вирушив мотоцикліст. Через 10 хв після відправлення він наздогнав велосипедиста вперше, а ще через 36 хв після цього наздогнав його вдруге. Знайдіть швидкість мотоцикліста, якщо довжина траси дорівнює 36 км. Відповідь дайте у км/год.

I.1. 2. З пункту А кругової траси виїхав велосипедист, а через 30 хв слідом за ним вирушив мотоцикліст. Через 8 хв після відправлення він наздогнав велосипедиста вперше, а ще через 12 хв після цього наздогнав його вдруге. Знайдіть швидкість мотоцикліста, якщо довжина траси дорівнює 15 км. Відповідь дайте у км/год.

I.1. 3. З пункту А кругової траси виїхав велосипедист, а через 50 хв слідом за ним вирушив мотоцикліст. Через 10 хв після відправлення він наздогнав велосипедиста вперше, а ще через 18 хв після цього наздогнав його вдруге. Знайдіть швидкість мотоцикліста, якщо довжина траси дорівнює 15 км. Відповідь дайте у км/год.

Два мотоциклісти стартують одночасно в одному напрямку з двох діаметрально протилежних точок кругової траси, довжина якої 20 км. Через скільки хвилин мотоциклісти порівняються вперше, якщо швидкість одного з них на 15 км/год більша за швидкість іншого?

Рішення.

Малюнок 1

При одночасному старті мотоцикліст, що стартував з "А", проїхав на півкола більше, що стартував із "В". Тобто на 10 км. При русі двох мотоциклістів одному напрямку швидкість видалення v = -. За умовою задачі v = 15 км / год = км / хв = км / хв - швидкість видалення. Знаходимо час, через який мотоциклісти порівняються вперше.

10: = 40 (хв).

Відповідь: 40 хв.

Завдання (самостійно).

I.2.1. Два мотоциклісти стартують одночасно в одному напрямку з двох діаметрально протилежних точок кругової траси, довжина якої 27 км. Через скільки хвилин мотоциклісти порівняються вперше, якщо швидкість одного з них на 27 км/год більша за швидкість іншого?

I.2.2. Два мотоциклісти стартують одночасно в одному напрямку з двох діаметрально протилежних точок кругової траси, довжина якої 6 км. Через скільки хвилин мотоциклісти порівняються вперше, якщо швидкість одного з них на 9 км/год більша за швидкість іншого?

З однієї точки кругової траси, довжина якої дорівнює 8 км, одночасно в одному напрямку стартували два автомобілі. Швидкість першого автомобіля дорівнює 89 км/год, і через 16 хв. після старту він випереджав другий автомобіль на одне коло. Знайдіть швидкість другого автомобіля. Відповідь дайте у км/год.

Рішення.

х км/год – швидкість другого автомобіля.

(89 – х) км/год – швидкість видалення.

8 км – довжина кругової траси.

Рівняння.

(89 - х) = 8,

89 - х = 2 · 15,

Відповідь: 59 км/год.

Завдання (самостійно).

І.3.1. З однієї точки кругової траси, довжина якої дорівнює 12 км, одночасно в одному напрямку стартували два автомобілі. Швидкість першого автомобіля дорівнює 103 км/год і через 48 хв після старту він випереджав другий автомобіль на одне коло. Знайдіть швидкість другого автомобіля. Відповідь дайте у км/год.

I.3.2. З однієї точки кругової траси, довжина якої дорівнює 6 км, одночасно в одному напрямку стартували два автомобілі. Швидкість першого автомобіля дорівнює 114 км/год і через 9 хв після старту він випереджав другий автомобіль на одне коло. Знайдіть швидкість другого автомобіля. Відповідь дайте у км/год.

І.3.3. З однієї точки кругової траси, довжина якої дорівнює 20 км, одночасно в одному напрямку стартували два автомобілі. Швидкість першого автомобіля дорівнює 105 км/год і через 48 хв після старту він випереджав другий автомобіль на одне коло. Знайдіть швидкість другого автомобіля. Відповідь дайте у км/год.

І.3.4. З однієї точки кругової траси, довжина якої дорівнює 9 км, одночасно в одному напрямку стартували два автомобілі. Швидкість першого автомобіля дорівнює 93 км/год і через 15 хв після старту він випереджав другий автомобіль на одне коло. Знайдіть швидкість другого автомобіля. Відповідь дайте у км/год.

Годинник зі стрілками показує 8 год 00 хв. Через скільки хвилин хвилинна стрілка вчетверте порівняється з годинниковою?

Рішення. Припускаємо, що експериментально не розв'язуємо завдання.

За годину хвилинна стрілка проходить одне коло, а годинна частина кола. Нехай їх швидкості дорівнюють 1 (коло на годину) і Старт – о 8.00. Знайдемо час, за який хвилинна стрілка вперше наздожене вартову.

Хвилинна стрілка пройде на більше, тому отримаємо рівняння

Отже, вперше стрілки зрівняються через

Нехай вдруге стрілки зрівняються через час z. Хвилинна стрілка пройде відстань 1z, а годинна причому хвилинна стрілка пройде на одне коло більше. Запишемо рівняння:

Вирішивши його, отримаємо, що .

Отже, через стрілки зрівняються вдруге, ще через - втретє, і ще через - вчетверте.

Отже, якщо старт був о 8.00., то вчетверте стрілки зрівняються через

4г = 60 * 4 хв = 240 хв.

Відповідь: 240 хвилин.

Завдання (самостійно).

I.4.1.Годинник зі стрілками показують 4 год 45 хв. Через скільки хвилин хвилинна стрілка всьоме порівняється з годинниковою?

I.4.2.Годинник зі стрілками показують 2 год рівно. Через скільки хвилин хвилинна стрілка вдесяте порівняється з годинниковою?

I.4.3. Годинник зі стрілками показує 8 год 20 хв. Через скільки хвилин хвилинна стрілка вчетверте порівняється з годинниковою? четвертий

ІІ. Завдання на знаходження довжини об'єкта, що рухається.

Поїзд, рухаючись рівномірно зі швидкістю 80км/год, проїжджає повз придорожній стовп за 36 с. Знайдіть довжину поїзда в метрах.

Рішення. Так як швидкість поїзда вказана в годиннику, то переведемо секунди в годинник.

1) 36 сек =

2) знайдемо довжину складу поїзда за кілометри.

80 ·

Відповідь: 800м.

Завдання (самостійно).

II.2.Потяг, рухаючись рівномірно зі швидкістю 60км/ч, проїжджає повз придорожній стовп за 69 с. Знайдіть довжину поїзда за метри. Відповідь: 1150м.

ІІ.3. Поїзд, рухаючись рівномірно зі швидкістю 60км/год, проїжджає повз лісосмуги, довжина якої 200 м, за 1хв 21 с. Знайдіть довжину поїзда за метри. Відповідь: 1150м.

ІІІ. Завдання на середню швидкість.

На іспиті з математики може зустрітися завдання про перебування середньої швидкості. Треба запам'ятати, що середня швидкість не дорівнює середньому арифметичному швидкостям. Середня швидкість знаходиться за спеціальною формулою:

Якщо ділянок колії було дві, то .

Відстань між двома селами 18 км. Велосипедист їхав із одного села до іншого 2ч, а повертався тією самою дорогою 3ч. Яка середня швидкість руху велосипедиста на всій ділянці колії?

Рішення:

2 год +3 год = 5 год - витратив на весь рух,

Турист йшов зі швидкістю 4км/год, потім такий самий час зі швидкістю 5 км/год. Яка середня швидкість руху туриста по всьому ділянці шляху?

Нехай турист йшов t год зі швидкістю 4 км/год та t год зі швидкістю 5 км/год. Тоді за 2t год він пройшов 4t + 5t = 9t (км). Середня швидкість руху туриста дорівнює = 4,5 (км/год).

Відповідь: 4,5 км/год.

Зауважуємо, середня швидкість руху туриста дорівнювала середньому арифметичному двох даних швидкостей. Можна переконатися в тому, що якщо час руху на двох ділянках шляху однаковий, то середня швидкість руху дорівнює середньому арифметичному двох даних швидкостей. Для цього вирішимо це завдання в загальному вигляді.

Турист йшов зі швидкістю км/год, потім такий самий час зі швидкістю км/год. Яка середня швидкість руху туриста по всьому ділянці шляху?

Нехай турист йшов t год зі швидкістю км/год та t год зі швидкістю км/год. Тоді за 2t год він пройшов t + t = t (км). Середня швидкість руху туриста дорівнює

= (Км/год).

Певну відстань автомобіль подолав у гору зі швидкістю 42 км/год, а з гори – зі швидкістю 56 км/год.

Середня швидкість руху дорівнює 2 s: (км/год).

Відповідь: 48 км/год.

Певну відстань автомобіль подолав у гору зі швидкістю км/год, а з гори – зі швидкістю км/год.

Яка середня швидкість руху автомобіля на всій ділянці колії?

Нехай довжина ділянки колії дорівнює s км. Тоді в обидва кінці автомобіль проїхав 2 s км, витративши на весь шлях .

Середня швидкість руху дорівнює 2 s: (Км/год).

Відповідь: км/год.

Розглянемо задачу, в якій середня швидкість задана, а одну із швидкостей потрібно визначити. Потрібно застосування рівняння.

У гору велосипедист їхав зі швидкістю 10 км/год, а з гори – з деякою іншою постійною швидкістю. Як він підрахував, середня швидкість руху дорівнювала 12 км/год.

ІІІ.2. Половину часу, витраченого на дорогу, автомобіль їхав зі швидкістю 60 км/год., а другу половину часу – зі швидкістю 46 км/год. Знайдіть середню швидкість автомобіля протягом усього шляху.

III.3.На шляху з одного селища в інший автомобіль деякий час йшов зі швидкістю 60 км/год, потім такий самий час зі швидкістю 40км/год, потім такий самий час зі швидкістю, що дорівнює середній швидкості руху на двох перших ділянках шляху . Яка середня швидкість руху на всьому шляху з одного селища до іншого?

ІІІ.4. Велосипедист їде від будинку до місця роботи із середньою швидкістю 10 км/год, а назад – із середньою швидкістю 15 км/год, оскільки дорога йде трохи під ухил. Знайдіть середню швидкість руху велосипедиста по всьому шляху від будинку до місця роботи і назад.

ІІІ.5. Автомобіль їхав із пункту А до пункту В порожняком із постійною швидкістю, а повертався тією самою дорогою із вантажем зі швидкістю 60 км/год. З якою швидкістю він їхав порожняком, якщо середня швидкість руху дорівнювала 70 км/год?.

ІІІ.6. Перші 100 км. автомобіль їхав зі швидкістю 50 км/год, наступні 120 км – зі швидкістю 90 км/год, а потім 120 км – зі швидкістю 100 км/год. Знайдіть середню швидкість автомобіля протягом усього шляху.

ІІІ.7. Перші 100 км автомобіль їхав зі швидкістю 50 км/год, наступні 140 км – зі швидкістю 80 км/год, та був 150 км – зі швидкістю 120 км/год. Знайдіть середню швидкість автомобіля протягом усього шляху.

ІІІ.8. Перші 150 км автомобіль їхав зі швидкістю 50 км/год, наступні 130 км - зі швидкістю 60 км/год, а потім 120 км - зі швидкістю 80 км/год. Знайдіть середню швидкість автомобіля протягом усього шляху.

ІІІ. 9. Перші 140 км. автомобіль їхав зі швидкістю 70 км/год, наступні 120 км – зі швидкістю 80 км/год, а потім 180 км – зі швидкістю 120 км/год. Знайдіть середню швидкість автомобіля протягом усього шляху.

Завдання 1. З точки А до точки В одночасно виїхали два автомобілі.
Перший їхав весь шлях із постійною швидкістю.
Другий проїхав першу половину шляху зі швидкістю,
меншої швидкості першого на 14 км/год,
а другу половину колії зі швидкістю 105 км/год,
і тому прибув до В одночасно з першим автомобілем.
Знайти швидкість першого автомобіля,
якщо відомо, що вона більша за 50 км/год.
Рішення: Приймемо всю відстань за 1.
Швидкість першого автомобіля приймемо за х.
Тоді час, за який перший автомобіль проїхав всю відстань,
одно 1/х.
У другого автомобіля швидкість першу половину шляху, тобто 1/2,
була на 14 км/год менше швидкості першого автомобіля, х-14.
Час, який другий автомобіль витратив, дорівнює 1/2: (х-14) = 1/2 (х-14).
Другу половину шляху, тобто. 1/2, автомобіль пройшов
зі швидкістю 105 км/година.
Час, який він витратив, дорівнює 1/2: 105 = 1/2 * 105 = 1/210.
Час першого та другого рівні між собою.
Складаємо рівняння:
1/х = 1/2(х-14) + 1/210
Знаходимо спільний знаменник – 210х(х-14)
210(х-14) = 105х + х(х-14)
210х - 2940 = 105х + х² - 14х
х² - 119х + 2940 = 0
Вирішуючи це квадратне рівняння через дискримінант, знаходимо коріння:
х1 = 84
х2 = 35. Другий корінь не підходить за умовою завдання.
Відповідь: швидкість першого автомобіля дорівнює 84 км/година.

Завдання 2. З пункту А кругової траси, довжина якої дорівнює 30 км,
одночасно в одному напрямку стартували два автомобілісти.
Швидкість першого дорівнює 92 км/год, а швидкість другого - 77 км/год.
За кілька хвилин перший автомобіліст
випереджатиме другого на 1 коло?
Рішення:Це завдання, незважаючи на те, що воно дається в 11 класі,
можна вирішити лише на рівні початкової школи.
Задамо всього чотири запитання та отримаємо чотири відповіді.
1. Скільки кілометрів пройде перший автомобіліст за 1 годину?
92 км.
2. Скільки кілометрів пройде другий автомобіліст за 1 годину?
77 км.
3. На скільки кілометрів випереджатиме перший автомобіліст другого через 1 годину?
92 - 77 = 15 км.
4. Скільки годин знадобиться, щоб перший автомобіліст випереджав другого на 30 км?
30:15 = 2 години = 120 хвилин.
Відповідь: за 120 хвилин.

Задача 3. З пункту А до пункту В, відстань між якими 60 км ,
одночасно виїхали автомобіліст та велосипедист.
Відомо, що за годину автомобіліст проїжджає
на 90 км більше, ніж велосипедист.
Визначити швидкість велосипедиста, якщо відомо, що він прибув у пункт на 5 годин 24 хвилини пізніше автомобіліста.
Рішення: Щоб правильно вирішувати будь-яке поставлене перед нами завдання,
необхідно дотримуватись певного плану.
І найголовніше, що треба розуміти, що ми хочемо із цього.
Тобто до якого рівняння ми хочемо прийти за тих умов, які дані.
Ми порівнюватимемо між собою час кожного.
Автомобіль проїжджає на 90 км на годину більше, ніж велосипедист.
Це означає, що швидкість автомобіля більше швидкості
велосипедиста на 90 км/година.
Приймаючи швидкість велосипедиста за х км/годину,
отримаємо швидкість авто х + 90 км/год.
Час у дорозі велосипедиста 60/х.
Час у дорозі авто - 60 / (х + 90).
5 годин 24 хвилини це 5 24/60 години = 5 2/5 = 27/5 години
Складаємо рівняння:
60/х = 60/(х+90) + 27/5 Скорочуємо чисельник кожного дробу на 3
20/х = 20/(х+90) + 9/5 Загальний знаменник 5х(х+90)
20*5(х+90) = 20*5х + 9х(х+90)
100х + 9000 = 100х + 9х ² + 810х
9х ² + 810х - 9000 = 0
х² + 90х - 1000 = 0
Вирішуючи це рівнянь через дискримінант або теорему Вієта, отримаємо:
х1 = - 100 Не підходить за змістом завдання.
х2 = 10
Відповідь: швидкість велосипедиста 10 км/година.

Завдання 4. Велосипедист проїхав 40 км із міста до села.
На зворотному шляху він поїхав з тією ж швидкістю,
Але через 2 години їзди зробив зупинку на 20 хвилин.
Після зупинки він збільшив швидкість на 4 км/год.
і тому витратив на зворотний шлях із села до міста стільки ж часу, скільки на шлях із міста до села.
Знайти початкову швидкість велосипедиста.
Рішення: це завдання вирішуємо щодо витраченого часу
спочатку в село, а потім назад.
З міста в село велосипедист їхав з однією швидкістю х км/год.
При цьому він витратив 40 годин.
Назад за 2 години він проїхав 2х км.
Йому залишилося проїхати 40 - 2х км, які він пройшов
зі швидкістю х + 4 км/год.
При цьому час, який він витратив на дорогу назад
складається з трьох доданків.
2 години; 20 хвилин = 1/3 години; (40 - 2х) / (х + 4) години.
Складаємо рівняння:
40/х = 2 + 1/3 + (40 - 2х) / (х + 4)
40/х = 7/3 + (40 - 2х) / (х + 4)Загальний знаменник 3х(х+4)
40 * 3 (х + 4) = 7х (х + 4) + 3х (40 - 2х)
120х + 480 = 7х ² + 28х + 120х - 6х ²
х² + 28х - 480 = 0 Вирішуючи це рівнянь через дискримінант або теорему Вієта, отримаємо:
х1 = 12
х2 = - 40 Не підходить за умовою задачі.
Відповідь: початкова швидкість велосипедиста 12 км/година.

Завдання 5. Два автомобілі виїхали одночасно з одного пункту в тому самому напрямку.
Швидкість першого 50 км/год, другого - 40 км/год.
Через півгодини з того ж пункту в тому ж напрямку виїхав третій автомобіль,
який обігнав перший автомобіль на 1,5 години пізніше,
ніж другий автомобіль.
Знайти швидкість третього автомобіля.
Рішення: За півгодини перший автомобіль проїде 25 км, а другий 20 км.
Тобто. початкова відстань між першим та третім автомобілем дорівнює 25 км,
а між другим та третім - 20 км.
У випадку, коли один автомобіль наздоганяє інший, їх швидкості віднімаються.
Якщо прийняти швидкість третього автомобіля за х км/год,
тоді вийде, що другий автомобіль він наздогнав через 20/(х-40) години.
Тоді перший автомобіль він наздожене через 25/(х - 50) години.
Складаємо рівняння:
25/(х - 50) = 20/(х - 40) + 3/2Загальний знаменник 2(х - 50)(х - 40)
25 * 2 (х - 40) = 20 * 2 (х - 50) + 3 (х - 50) (х - 40)
50х - 2000 = 40х - 2000 + 3х ² - 270х + 6000
3х² - 280х + 6000 = 0 Вирішуючи дане рівняння через дискримінант, отримаємо
х1 = 60
х2 = 100/3
Відповідь: швидкість третього автомобіля 60 км/година.