Funktionens konvexitet. Konvex riktning

Begreppet konvexitet för en funktion

Betrakta funktionen \(y = f\vänster(x \höger),\) som antas vara kontinuerlig på intervallet \(\vänster[ (a,b) \höger].\) Funktion \(y = f\ left(x \right )\) anropas konvexa ner (eller bara konvex), om för några punkter \((x_1)\) och \((x_2)\) från \(\left[ (a,b) \right]\) olikheten \ Om denna olikhet är strikt för någon \(( x_1),(x_2) \in \left[ (a,b) \right],\) så att \((x_1) \ne (x_2),\) sedan funktionen \(f\left(x \right) \) kallas strikt konvex nedåt

En uppåtriktad konvex funktion definieras på liknande sätt. Funktionen \(f\left(x \right)\) anropas konvexa upp (eller konkav), om för några punkter \((x_1)\) och \((x_2)\) i segmentet \(\left[ (a,b) \right]\) olikheten \ Om denna olikhet är strikt för någon \ (( x_1),(x_2) \in \left[ (a,b) \right],\) så att \((x_1) \ne (x_2),\) sedan funktionen \(f\left(x \ höger) \) kallas strikt konvex uppåt på segmentet \(\vänster[ (a,b) \höger].\)

Geometrisk tolkning av en funktions konvexitet

De införda definitionerna av en konvex funktion har en enkel geometrisk tolkning.

För funktionen, konvexa ner (Figur \(1\)), mittpunkten \(B\) i valfritt ackord \((A_1)(A_2)\) ligger högre

På samma sätt, för funktionen, konvexa upp (Figur \(2\)), mittpunkten \(B\) i valfritt ackord \((A_1)(A_2)\) ligger Nedan motsvarande punkt \((A_0)\) i funktionsgrafen eller sammanfaller med denna punkt.

Konvexa funktioner har en annan visuell egenskap, som är relaterad till platsen tangent till grafen för funktionen. Funktionen \(f\left(x \right)\) är konvexa ner på segmentet \(\vänster[ (a,b) \höger]\) om och endast om dess graf inte ligger lägre än tangenten som ritas till det vid någon punkt \((x_0)\) i segmentet \(\vänster) [ (a ,b) \right]\) (Figur \(3\)).

Följaktligen är funktionen \(f\left(x \right)\). konvexa upp på segmentet \(\vänster[ (a,b) \höger]\) om och endast om dess graf inte ligger högre än tangenten som ritas till det vid någon punkt \((x_0)\) i segmentet \(\vänster) [ (a ,b) \höger]\) (Figur \(4\)). Dessa egenskaper utgör ett teorem och kan bevisas med definitionen av konvexitet för en funktion.

Tillräckliga förutsättningar för konvexitet

Låt funktionen \(f\left(x \right)\) ha sin första derivata \(f"\left(x \right)\) existera i intervallet \(\left[ (a,b) \right], \) och andraderivatan \(f""\left(x \right)\) - på intervallet \(\left((a,b) \right).\) Då är följande tillräckliga kriterier för konvexitet giltiga:

Om \(f""\left(x \right) \ge 0\) för alla \(x \in \left((a,b) \right),\) då funktionen \(f\left(x \ höger )\) konvexa ner på segmentet \(\vänster[ (a,b) \höger];\)

Om \(f""\vänster(x \höger) \le 0\) för alla \(x \i \vänster((a,b) \höger),\) då funktionen \(f\vänster(x \ höger )\) konvex uppåt på segmentet \(\vänster[ (a,b) \höger].\)

I de fall andraderivatan är strikt större (mindre än) noll talar vi om strikt konvexitet nedåt (eller upp ).

Låt oss bevisa ovanstående sats för fallet med en nedåtriktad konvex funktion. Låt funktionen \(f\left(x \right)\) ha en icke-negativ andraderivata på intervallet \(\left((a,b) \right):\) \(f""\left(x) \höger) \ge 0.\) Låt oss beteckna med \((x_0)\) mittpunkten av segmentet \(\vänster[ ((x_1),(x_2)) \höger].\) Antag att längden av detta segment är lika med \(2h.\) Då kan koordinaterna \((x_1)\) och \((x_2)\) skrivas som: \[(x_1) = (x_0) - h,\;\; (x_2) = (x_0) + h.\] Låt oss expandera funktionen \(f\left(x \right)\) vid punkten \((x_0)\) till en Taylor-serie med en restterm i lagrangeform . Vi får följande uttryck: \[ (f\left(((x_1)) \right) = f\left(((x_0) - h) \right) ) = (f\left(((x_0)) \right ) - f"\left(((x_0)) \right)h + \frac((f""\left(((\xi _1)) \right)(h^2))))(2},} \] \[ {f\left({{x_2}} \right) = f\left({{x_0} + h} \right) } = {f\left({{x_0}} \right) + f"\left({{x_0}} \right)h + \frac{{f""\left({{\xi _2}} \right){h^2}}}{{2!}},} \] где \({x_0} - h !}
Låt oss lägga till båda likheterna: \[ (f\left(((x_1)) \right) + f\left(((x_2)) \right) ) = (2f\left(((x_0)) \right) + \ frac (((h^2)))(2)\left[ (f""\left(((\xi _1)) \right) + f""\left(((\xi _2)) \right) ) \höger].) \] Eftersom \((\xi _1),(\xi _2) \in \left((a,b) \right),\) så är andraderivatorna på höger sida icke-negativa . Därför \ eller \ det vill säga, i enlighet med definitionen, funktionen \(f\left(x \right)\) konvexa ner .

Observera att det nödvändiga villkoret för en funktions konvexitet (d.v.s. en direkt sats där det till exempel från konvexitetsvillkoret och nedåt följer att \(f""\left(x \right) \ge 0\)) är tillfredsställt endast för de icke strikta ojämlikheterna. Vid strikt konvexitet är det nödvändiga villkoret i allmänhet inte uppfyllt. Till exempel är funktionen \(f\left(x \right) = (x^4)\) strikt nedåtkonvex. Men vid punkten \(x = 0\) är dess andraderivata lika med noll, dvs. den strikta olikheten \(f""\left(x \right) \gt 0\) håller inte i detta fall.

Konvexa funktioners egenskaper

Låt oss lista några egenskaper hos konvexa funktioner, förutsatt att alla funktioner är definierade och kontinuerliga i intervallet \(\left[ (a,b) \right].\)

Om funktionerna \(f\) och \(g\) är konvexa nedåt (uppåt), då någon av dem Linjär kombination \(af + bg,\) där \(a\), \(b\) är positiva reella tal, är också konvex nedåt (uppåt).

Om funktionen \(u = g\left(x \right)\) är nedåtkonvex, och funktionen \(y = f\left(u \right)\) är nedåtkonvex och icke-minskande, då komplex funktion \(y = f\left((g\left(x \right)) \right)\) kommer också att vara konvex nedåt.

Om funktionen \(u = g\left(x \right)\) är konvex uppåt, och funktionen \(y = f\left(u \right)\) är konvex nedåt och icke-ökande, då komplex funktion \(y = f\left((g\left(x \right)) \right)\) kommer att vara konvex nedåt.

Lokalt maximum uppåtkonvex funktion definierad på intervallet \(\vänster[ (a,b) \höger],\) är också dess högsta värde på detta segment.

Lokalt minimum nedåtkonvex funktion definierad på intervallet \(\left[ (a,b) \right],\) är också dess lägsta värdet på detta segment.

Graf över en funktion y=f(x) kallad konvex på intervallet (a; b), om den är belägen under någon av dess tangenter på detta intervall.

Graf över en funktion y=f(x) kallad konkav på intervallet (a; b), om den är placerad ovanför någon av dess tangenter på detta intervall.

Figuren visar en kurva som är konvex vid (a; b) och konkav på (före Kristus).

Exempel.

Låt oss överväga ett tillräckligt kriterium som tillåter oss att avgöra om grafen för en funktion i ett givet intervall kommer att vara konvex eller konkav.

Sats. Låta y=f(x) differentierbar på (a; b). Om på alla punkter i intervallet (a; b) andra derivatan av funktionen y = f(x) negativ, dvs. f ""(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f""(x) > 0 – konkav.

Bevis. Låt oss anta det för bestämdhet f""(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.

Låt oss ta funktionerna på grafen y = f(x) godtycklig punkt M0 med abskiss x 0 Î ( a; b) och dra igenom punkten M0 tangent. Hennes ekvation. Vi måste visa att grafen för funktionen på (a; b) ligger under denna tangent, dvs. till samma värde x kurvans ordinata y = f(x) kommer att vara mindre än tangentens ordinata.

Så, ekvationen för kurvan är y = f(x). Låt oss beteckna ordinatan för tangenten som motsvarar abskissan x. Sedan . Följaktligen är skillnaden mellan ordinaterna för kurvan och tangenten för samma värde x kommer .

Skillnad f(x) – f(x 0) transformera enligt Lagranges sats, där c mellan x Och x 0.

Således,

Vi tillämpar återigen Lagranges sats på uttrycket inom hakparenteser: , där c 1 mellan c 0 Och x 0. Enligt satsens villkor f ""(x) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.

Varje punkt på kurvan ligger alltså under tangenten till kurvan för alla värden x Och x 0 Î ( a; b), vilket betyder att kurvan är konvex. Den andra delen av satsen bevisas på ett liknande sätt.

Exempel.

Punkten på grafen för en kontinuerlig funktion som skiljer dess konvexa del från den konkava delen kallas böjningspunkt.

Uppenbarligen, vid böjningspunkten, skär tangenten, om den finns, kurvan, eftersom på ena sidan av denna punkt ligger kurvan under tangenten och på andra sidan - ovanför den.

Låt oss bestämma tillräckliga förutsättningar för att en given punkt på kurvan är en böjningspunkt.

Sats. Låt kurvan definieras av ekvationen y = f(x). Om f ""(x 0) = 0 eller f ""(x 0) finns inte ens när man passerar genom värdet x = x 0 derivat f ""(x) byter tecken, sedan punkten i grafen för funktionen med abskissan x = x 0 det finns en böjningspunkt.

Bevis. Låta f ""(x) < 0 при x < x 0 Och f ""(x) > 0 kl x > x 0. Sedan kl x < x 0 kurvan är konvex och när x > x 0– konkav. Därför poängen A, liggande på kurvan, med abskiss x 0 det finns en böjningspunkt. Det andra fallet kan betraktas på liknande sätt, när f ""(x) > 0 kl x < x 0 Och f ""(x) < 0 при x > x 0.

Böjningspunkter bör därför endast sökas bland de punkter där andraderivatan försvinner eller inte existerar.

Exempel. Hitta böjningspunkter och bestäm intervallen för konvexitet och konkavitet för kurvor.

ASYMPTOTER PÅ FUNKTIONENS GRAFI

När man studerar en funktion är det viktigt att fastställa formen på dess graf på ett obegränsat avstånd från grafpunkten från origo.

Av särskilt intresse är fallet när grafen för en funktion, när dess variabla punkt tas bort till oändlighet, på obestämd tid närmar sig en viss rät linje.

Den räta linjen kallas asymptot funktionsgrafik y = f(x), om avståndet från den variabla punkten M grafik till denna linje när du tar bort en punkt M till oändligheten tenderar mot noll, dvs. en punkt på grafen för en funktion, eftersom den tenderar mot oändligheten, måste på obestämd tid närma sig asymptoten.

En kurva kan närma sig sin asymptot, stanna kvar på ena sidan av den eller på olika sidor, korsa asymptoten ett oändligt antal gånger och flytta från den ena sidan till den andra.

Om vi betecknar med d avståndet från punkten M kurva till asymptoten, då är det tydligt att d tenderar mot noll när punkten flyttas bort M till oändligheten.

Vi kommer ytterligare att skilja mellan vertikala och sneda asymptoter.

VERTIKALA ASYMPTOTER

Låt kl x→ x 0 från vilken sidofunktion som helst y = f(x)ökar obegränsat i absolut värde, d.v.s. eller eller . Sedan av definitionen av en asymptot följer att den räta linjen x = x 0är en asymptot. Motsatsen är också uppenbar, om linjen x = x 0är en asymptot, dvs. .

Alltså den vertikala asymptoten av grafen för funktionen y = f(x) kallas en rät linje if f(x)→ ∞ under minst ett av villkoren x→ x 0– 0 eller x → x 0 + 0, x = x 0

Därför, för att hitta de vertikala asymptoterna i grafen för funktionen y = f(x) måste hitta dessa värden x = x 0, där funktionen går till oändlighet (lider en oändlig diskontinuitet). Då har den vertikala asymptoten ekvationen x = x 0.

Exempel.

SLUTA ASYMPTOTER

Eftersom asymptoten är en rak linje, då om kurvan y = f(x) har en sned asymptot, så blir dess ekvation y = kx + b. Vår uppgift är att hitta koefficienterna k Och b.

Sats. Hetero y = kx + b fungerar som en sned asymptot vid x→ +∞ för grafen för funktionen y = f(x) då och bara när . Ett liknande uttalande gäller för x → –∞.

Bevis. Låta MP– längden på ett segment lika med avståndet från punkten M att asymptotera. Efter villkor. Låt oss beteckna med φ asymptotens lutningsvinkel mot axeln Oxe. Sedan från ΔMNP följer det. Eftersom φ är en konstant vinkel (φ ≠ π/2), då , men

För att bestämma konvexiteten (konkavitet) för en funktion på ett visst intervall kan du använda följande satser.

Sats 1. Låt funktionen vara definierad och kontinuerlig på intervallet och ha en finit derivata. För att en funktion ska vara konvex (konkav) i , är det nödvändigt och tillräckligt att dess derivata minskar (ökar) på detta intervall.

Sats 2. Låt funktionen vara definierad och kontinuerlig tillsammans med dess derivata på och ha en kontinuerlig andraderivata inuti. För konvexitet (konkavitet) av en funktion i det är nödvändigt och tillräckligt att inuti

Låt oss bevisa sats 2 för fallet med konvex funktion.

Nödvändighet. Låt oss ta en godtycklig poäng. Låt oss utöka funktionen kring en punkt i en Taylor-serie

Ekvation för en tangent till en kurva i en punkt som har en abskissa:

Då är överskottet av kurvan över tangenten till den vid punkten lika med

Sålunda är resten lika med mängden överskott av kurvan över tangenten till den vid punkt . På grund av kontinuitet, om , då också för , som tillhör en tillräckligt liten stadsdel av punkten , och därför, uppenbarligen, för något värde som skiljer sig från , tillhör det angivna grannskapet.

Det betyder att grafen för funktionen ligger ovanför tangenten och kurvan är konvex i en godtycklig punkt.

Lämplighet. Låt kurvan vara konvex på intervallet. Låt oss ta en godtycklig poäng.

På samma sätt som den föregående expanderar vi funktionen runt en punkt i en Taylor-serie

Överskottet av kurvan över tangenten till den i en punkt som har en abskiss definierad av uttrycket är lika med

Eftersom överskottet är positivt för en tillräckligt liten omgivning av punkten, är den andra derivatan också positiv. När vi strävar, finner vi det för en godtycklig punkt .

Exempel. Undersök funktionen för konvexitet (konkavitet).

Dess derivat ökar på hela tallinjen, vilket innebär att funktionen enligt sats 1 är konkav på .

Dess andra derivata , därför, av sats 2, är funktionen konkav på .

3.4.2.2 Böjningspunkter

Definition. Böjningspunkt Grafen för en kontinuerlig funktion är den punkt som skiljer de intervall där funktionen är konvex och konkav.

Av denna definition följer att böjningspunkterna är förstaderivatans extrema punkter. Detta innebär följande uttalanden för de nödvändiga och tillräckliga villkoren för böjning.

Sats (nödvändigt villkor för böjning). För att en punkt ska vara en böjningspunkt för en två gånger differentierbar funktion, är det nödvändigt att dess andraderivata vid denna punkt är lika med noll ( ) eller fanns inte.

Sats (tillräckligt villkor för böjning). Om andraderivatan av en två gånger differentierbar funktion ändrar tecken när den passerar genom en viss punkt, så finns det en böjningspunkt.

Observera att vid själva punkten kanske den andra derivatan inte existerar.

Den geometriska tolkningen av inflexionspunkter illustreras i fig. 3.9

I närheten av en punkt är funktionen konvex och dess graf ligger under tangenten som ritas vid denna punkt. I närheten av en punkt är funktionen konkav och dess graf ligger ovanför tangenten som ritas vid denna punkt. Vid böjningspunkten delar tangenten in grafen för funktionen i konvexa och konkava områden.

3.4.2.3 Undersökning av funktionen för konvexitet och förekomsten av böjningspunkter

1. Hitta andraderivatan.

2. Hitta de punkter där andraderivatan eller inte finns.

Ris. 3.9.

3. Undersök tecknet för andraderivatan till vänster och höger om de hittade punkterna och dra en slutsats om intervallen för konvexitet eller konkavitet och förekomsten av böjningspunkter.

Exempel. Undersök funktionen för konvexitet och förekomsten av böjningspunkter.

2. Andraderivatan är lika med noll vid .

3. Den andra derivatan ändrar tecken vid , vilket betyder att punkten är en böjningspunkt.

På intervallet är funktionen konvex på detta intervall.

På intervallet , vilket betyder att funktionen är konkav på detta intervall.

3.4.2.4 Allmänt schema för att studera funktioner och rita en graf

När du studerar en funktion och ritar dess graf, rekommenderas att du använder följande schema:

Hitta definitionsdomänen för funktionen.
Undersök funktionen för paritet - udda. Kom ihåg att grafen för en jämn funktion är symmetrisk kring ordinataaxeln, och grafen för en udda funktion är symmetrisk kring origo.
Hitta vertikala asymptoter.
Undersök beteendet hos en funktion i oändligheten, hitta horisontella eller sneda asymptoter.
Hitta extrema och monotoniska intervall för funktionen.
Hitta konvexitetsintervallen för funktionen och böjningspunkterna.
Hitta skärningspunkterna med koordinataxlarna.

Studiet av funktionen utförs samtidigt med konstruktionen av dess graf.

Exempel. Utforska funktion och plotta det.

1. Funktionens domän är .

2. Funktionen som studeras är jämn , därför är dess graf symmetrisk kring ordinatan.

3. Funktionens nämnare går till noll vid , så grafen för funktionen har vertikala asymptoter och .

Punkterna är diskontinuitetspunkter av det andra slaget, eftersom gränserna till vänster och höger vid dessa punkter tenderar att .

4. Funktionens beteende i oändligheten.

Därför har grafen för funktionen en horisontell asymptot.

5. Extrema och monotoniska intervaller. Att hitta den första derivatan

När därför i dessa intervaller minskar funktionen.

Vid , i dessa intervaller ökar därför funktionen.

Vid , därför är punkten en kritisk punkt.

Hitta den andra derivatan

Eftersom , då är punkten minimipunkten för funktionen.

6. Konvexitetsintervall och böjpunkter.

Funktion kl , vilket betyder att funktionen är konkav på detta intervall.

Funktionen för , vilket betyder att funktionen är konvex på dessa intervall.

Funktionen försvinner inte någonstans, vilket betyder att det inte finns några böjningspunkter.

7. Skärningspunkter med koordinataxlar.

Ekvationen har en lösning, vilket betyder skärningspunkten för funktionens graf med ordinataaxeln (0, 1).

Ekvationen har ingen lösning, vilket betyder att det inte finns några skärningspunkter med x-axeln.

Med hänsyn till utförd forskning är det möjligt att plotta funktionen

Schematisk graf över en funktion visas i fig. 3.10.

Ris. 3.10.

3.4.2.5 Asymptoter i grafen för en funktion

Definition. Asymptot Grafen för en funktion kallas för en rät linje som har egenskapen att avståndet från punkt () till denna räta linje tenderar till 0 då grafpunkten rör sig oändligt från origo.

Allmänt schema för att studera funktionen och rita grafen.
1. Studie av funktionen för konvexitet och konkavitet.

Asymptoter i grafen för en funktion.

Introduktion.

I din skolmatematikkurs har du redan stött på behovet av att konstruera grafer över funktioner. I använde du punkt-för-punkt-metoden. Det bör noteras att det är enkelt i konceptet och leder relativt snabbt till målet. I de fall funktionen är kontinuerlig och ändras ganska smidigt kan denna metod ge den nödvändiga graden av noggrannhet i den grafiska representationen. För att göra detta måste du ta fler poäng för att uppnå en viss täthet av deras placering.

Låt oss nu anta att funktionen på vissa ställen har egenheter i sitt "beteende": antingen ändras dess värden någonstans i ett litet område kraftigt eller så finns det diskontinuiteter. De viktigaste delarna av grafen kanske inte upptäcks på detta sätt.

Denna omständighet minskar värdet av metoden "punkt för punkt" för att konstruera en graf.

Det finns ett andra sätt att konstruera grafer, baserat på analytiska studier av funktioner. Den står sig väl i jämförelse med den metod som diskuteras i skolans matematikkurs.

1. Studie av funktion för konvexitet och konkavitet .

Låt funktionen
är differentierbar på intervallet (a, b). Sedan finns det en tangent till grafen för funktionen vid vilken punkt som helst
detta diagram (
), och tangenten är inte parallell med OY-axeln, eftersom dess vinkelkoefficient är lika med
, självklart.

HANDLA OM
bestämning Vi kommer att säga att grafen för funktionen
på (a, b) har en utlösning riktad nedåt (uppåt) om den inte är placerad under (inte ovanför) någon tangent till grafen för funktionen på (a, b).

a) konkav kurva b) konvex kurva

Sats 1 (ett nödvändigt villkor för kurvans konvexitet (konkavitet).

Om grafen för en två gånger differentierbar funktion är en konvex (konkav) kurva, så är andraderivatan på intervallet (a, b) negativ (positiv) på detta intervall.

Sats 2(ett tillräckligt villkor för konvexiteten (konkavitet) hos en kurva).

Om en funktion är dubbelt differentierbar på (a, b) och
(
) vid alla punkter i detta intervall, då är kurvan som är grafen för funktionen konvex (konkav) på detta intervall.

Böjningspunkter för en funktionsgraf.

Definition Punkt
kallas böjningspunkten för grafen för en funktion om vid punkten
grafen har en tangent, och det finns en sådan grannskap av punkten , inom vilken grafen för funktionen till vänster och höger om punkten har olika konvexitetsriktningar.

HANDLA OM Det är uppenbart att tangenten vid böjningspunkten skär funktionens graf, eftersom grafen på ena sidan av denna punkt ligger ovanför tangenten och på den andra - under den, dvs i närheten av böjningspunkten grafen för funktionen passerar geometriskt från ena sidan av tangenten till den andra och "böjer" över den. Det är här namnet "böjningspunkt" kommer ifrån.

Sats 3(ett nödvändigt villkor för böjningspunkten). Låt grafen för en funktion ha en böjningspunkt i en punkt och låt funktionen ha en böjningspunkt i en punkt

kontinuerlig andraderivata. Sedan

.
Inte varje punkt för vilken är en böjningspunkt. Till exempel grafen för en funktion

har inte en böjningspunkt vid (0, 0), även om

på

. Därför är likheten mellan andraderivatan och noll endast ett nödvändigt villkor för böjning.

Graf punkter som det kallas för kritiska punkterII-städer. Det är nödvändigt att ytterligare undersöka frågan om förekomsten av kinks vid varje kritisk punkt.

Sats 4(tillräckligt villkor för böjningspunkten). Låt funktionen ha en andraderivata i någon grannskap av punkten. Sedan, om inom det angivna området
har olika tecken till vänster och höger om punkten, då har grafen en böjning i punkten.
Kommentar. Teoremet förblir sant om
har en andraderivata i någon närhet av punkten, med undantag för själva punkten, och det finns en tangent till grafen för funktionen i punkten
. Sedan, om den inom det angivna området har olika tecken till vänster och till höger om punkten, så har grafen för funktionen en böjning i punkten.
Schema för att studera funktionen för konvexitet, konkavitet och böjningspunkter.

Exempel. Utforska funktion
för konvexitet, konkavitet, böjningspunkter.
1.

2.
,
=

3. finns inte när

)	1	(1, +)
-		+
	1

Asymptoter i grafen för en funktion.

När man studerar beteendet hos en funktion vid
eller nära diskontinuitetspunkter av 2:a slaget, visar det sig ofta att grafen för en funktion närmar sig en given linje så nära som önskas. Dessa kallas raka linjer.

HANDLA OM definition 1. Hetero

kallas en asymptot av en kurva L om avståndet från en punkt på kurvan till denna linje tenderar till noll när punkten rör sig bort längs kurvan till oändlighet. Det finns tre typer av asymptoter: vertikal, horisontell, sned.

Definition 2. Hetero
kallas en vertikal asymptot av grafen för en funktion om minst en av de ensidiga gränserna är lika med
, dvs eller

Till exempel grafen för en funktion
har en vertikal asymptot
, därför att
, A
.

Definition 3. Den räta linjen y=A kallas den horisontella asymptoten i grafen för funktionen vid

Till exempel har grafen för en funktion en horisontell asymptot y=0, eftersom
.

Definition 4. Hetero

(

) kallas den lutande asymptoten i grafen för funktionen vid

;

Om åtminstone en av gränserna inte existerar, har kurvan inga asymptoter. Om, då bör vi leta efter dessa gränser separat, med och
.

Till exempel. Hitta asymptoter i grafen för en funktion

; x=0 – vertikal asymptot

;
.

- sned asymptot.
4. Schema för en komplett studie av funktionen och rita en graf.

Låt oss överväga ett ungefärligt diagram enligt vilket det är tillrådligt att studera beteendet hos en funktion och bygga dess graf.

Exempel. Utforska funktion

och plotta det.

1. förutom x=-1.

2.
Funktionen är varken jämn eller udda

-

-

+

+

y

-4

t r.

0

Slutsats.
En viktig egenskap hos den övervägda metoden är att den i första hand baseras på detektering och studie av karakteristiska egenskaper i kurvans beteende. Platser där funktionen förändras smidigt studeras inte särskilt ingående och det finns inget behov av sådana studier. Men de platser där funktionen har några egenheter i beteende är föremål för fullständig forskning och den mest exakta grafiska representationen. Dessa funktioner är punkter för maximum, minimum, punkter för diskontinuitet för funktionen, etc.

Att bestämma riktningen för konkavitet och böjningar, såväl som den specificerade metoden för att hitta asymptoter, gör det möjligt att studera funktioner ännu mer detaljerat och få en mer exakt uppfattning om deras grafer.

Instruktioner

Böjningspunkterna för en funktion måste tillhöra dess definitionsdomän, som måste hittas först. Grafen för en funktion är en linje som kan vara kontinuerlig eller ha diskontinuiteter, monotont minska eller öka, ha minimala eller maximala punkter (asymptoter), vara konvex eller konkav. En skarp förändring i de två sista tillstånden kallas en vändpunkt.

En nödvändig förutsättning för att det ska finnas en böjning av en funktion är att den andra är lika med noll. Genom att differentiera funktionen två gånger och likställa det resulterande uttrycket till noll, kan vi alltså hitta abskissan för möjliga inflexionspunkter.

Detta tillstånd följer av definitionen av egenskaperna för konvexitet och konkavitet hos grafen för en funktion, dvs. negativa och positiva värden för den andra derivatan. Vid böjningspunkten sker en kraftig förändring i dessa egenskaper, vilket gör att derivatan passerar nollstrecket. Men att vara lika med noll är ännu inte tillräckligt för att indikera en böjning.

Det finns två tillräckliga förutsättningar för att abskissan som hittats i föregående steg tillhör böjningspunkten: Genom denna punkt kan man dra en tangent till funktionen. Den andra derivatan har olika tecken till höger och vänster om den förmodade böjningspunkten. Således är dess existens vid själva punkten inte nödvändigt, det räcker att fastställa att den ändrar tecken. Funktionens andra derivata är lika med noll, men den tredje är det inte.

Det första tillräckliga villkoret är universellt och används oftare än andra. Betrakta ett illustrativt exempel: y = (3 x + 3) ∛(x - 5).

Lösning: Hitta definitionsdomänen. I det här fallet finns det inga begränsningar, därför är det hela utrymmet av reella tal. Beräkna den första derivatan: y’ = 3 ∛(x - 5) + (3 x + 3)/∛(x - 5)².

Lägg märke till bråkets utseende. Av detta följer att definitionsområdet för derivatet är begränsat. Punkten x = 5 är punkterad, vilket innebär att en tangent kan passera genom den, vilket delvis motsvarar det första tecknet på tillräcklig böjning.

Bestäm de ensidiga gränserna för det resulterande uttrycket för x → 5 – 0 och x → 5 + 0. De är -∞ och +∞. Du har bevisat att en vertikal tangent passerar genom punkten x=5. Denna punkt kan vara en böjningspunkt, men beräkna först den andra derivatan: Y'' = 1/∛(x - 5)² + 3/∛(x - 5)² – 2/3 (3 x + 3)/∛ (x - 5)^5 = (2 x – 22)/∛(x - 5)^5.

Utelämna nämnaren eftersom du redan har tagit hänsyn till punkten x = 5. Lös ekvationen 2 x – 22 = 0. Den har en enda rot x = 11. Det sista steget är att bekräfta att punkterna x = 5 och x = 11 är böjningspunkter. Analysera beteendet hos andraderivatan i deras närhet. Uppenbarligen, vid punkten x = 5 ändrar det tecken från "+" till "-", och vid punkten x = 11 - vice versa. Slutsats: båda punkterna är böjningspunkter. Det första tillräckliga villkoret är uppfyllt.