Hjälp på Tele2, taxor, frågor

ojämlikhetslösning i läge uppkopplad lösning nästan vilken ojämlikhet som helst uppkopplad. Matematisk ojämlikheter på nätet att lösa matematik. Hitta snabbt ojämlikhetslösning i läge uppkopplad. Webbplatsen www.site låter dig hitta lösning nästan vilken som helst algebraisk, trigonometrisk eller transcendental ojämlikhet på nätet. När du studerar nästan vilken gren av matematik som helst i olika stadier måste du bestämma dig ojämlikheter på nätet. För att få ett svar omedelbart, och viktigast av allt ett korrekt svar, behöver du en resurs som låter dig göra detta. Tack vare sajten www.site lösa ojämlikhet online kommer att ta några minuter. Den största fördelen med www.site när man löser matematiska ojämlikheter på nätet- det här är hastigheten och noggrannheten för svaret som tillhandahålls. Sajten kan lösa alla algebraiska ojämlikheter på nätet, trigonometriska ojämlikheter på nätet, transcendentala ojämlikheter på nätet, och ojämlikheter med okända parametrar i läge uppkopplad. Ojämlikheter tjäna som en kraftfull matematisk apparat lösningar praktiska problem. Med hjälpen matematiska ojämlikheter det är möjligt att uttrycka fakta och relationer som kan verka förvirrande och komplexa vid första anblicken. Okända mängder ojämlikheter kan hittas genom att formulera problemet i matematisk språk i formen ojämlikheter Och besluta mottagen uppgift i läge uppkopplad på webbplatsen www.site. Några algebraisk ojämlikhet, trigonometrisk ojämlikhet eller ojämlikheter som innehåller transcendentala funktioner du enkelt kan besluta online och få det exakta svaret. När man studerar naturvetenskap stöter man oundvikligen på behovet lösningar på ojämlikheter. I det här fallet måste svaret vara korrekt och måste erhållas omedelbart i läget uppkopplad. Därför för lösa matematiska ojämlikheter online vi rekommenderar webbplatsen www.site, som kommer att bli din oumbärliga kalkylator för lösa algebraiska ojämlikheter online, trigonometriska ojämlikheter online, och transcendentala ojämlikheter på nätet eller ojämlikheter med okända parametrar. För praktiska problem med att hitta onlinelösningar på olika matematiska ojämlikheter resurs www.. Lösning ojämlikheter på nätet själv är det användbart att kontrollera det mottagna svaret med hjälp av onlinelösning av ojämlikheter på webbplatsen www.site. Du måste skriva ojämlikheten korrekt och omedelbart få onlinelösning, varefter allt som återstår är att jämföra svaret med din lösning på ojämlikheten. Att kontrollera svaret tar inte mer än en minut, det räcker lösa ojämlikhet online och jämför svaren. Detta hjälper dig att undvika misstag beslut och rätta svaret i tid när lösa ojämlikheter online antingen algebraisk, trigonometrisk, transcendentala eller olikhet med okända parametrar.

Till exempel är olikheten uttrycket \(x>5\).

Typer av ojämlikheter:

Om \(a\) och \(b\) är tal eller , så kallas olikheten numerisk. Det är faktiskt bara att jämföra två siffror. Sådana ojämlikheter delas in i trogen Och otrogen.

Till exempel:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) är en felaktig numerisk olikhet, eftersom \(17+3=20\), och \(20\) är mindre än \(115\) (och inte större än eller lika med) .

Om \(a\) och \(b\) är uttryck som innehåller en variabel, så har vi ojämlikhet med variabel. Sådana ojämlikheter delas in i typer beroende på innehållet:

Vad är lösningen på en ojämlikhet?

Om du ersätter ett tal i stället för en variabel med en olikhet, blir det en numerisk.

Om ett givet värde för x förvandlar den ursprungliga olikheten till en sann numerisk, så kallas den lösning på ojämlikhet. Om inte, är detta värde inte en lösning. Och till lösa ojämlikheten– du måste hitta alla dess lösningar (eller visa att det inte finns några).

Till exempel, om vi ersätter talet \(7\) i den linjära olikheten \(x+6>10\), får vi den korrekta numeriska olikheten: \(13>10\). Och om vi ersätter \(2\), blir det en felaktig numerisk olikhet \(8>10\). Det vill säga \(7\) är en lösning på den ursprungliga ojämlikheten, men \(2\) är det inte.

Olikheten \(x+6>10\) har dock andra lösningar. Faktum är att vi får de korrekta numeriska olikheterna när vi ersätter \(5\), och \(12\), och \(138\)... Och hur kan vi hitta alla möjliga lösningar? För detta använder de För vårt fall har vi:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Det vill säga, valfritt antal större än fyra är lämpligt för oss. Nu måste du skriva ner svaret. Lösningar på ojämlikheter skrivs vanligtvis numeriskt och markerar dem dessutom på talaxeln med skuggning. För vårt fall har vi:

Svar: \(x\in(4;+\infty)\)

När ändras tecknet på en ojämlikhet?

Det finns en stor fälla i ojämlikheter som studenter verkligen "älskar" att falla i:

När man multiplicerar (eller dividerar) en olikhet med ett negativt tal, vänds den ("mer" med "mindre", "mer eller lika" med "mindre än eller lika" och så vidare)

Varför händer det här? För att förstå detta, låt oss titta på transformationerna av den numeriska olikheten \(3>1\). Det är korrekt, tre är verkligen större än en. Låt oss först försöka multiplicera det med ett positivt tal, till exempel två:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Som vi kan se förblir ojämlikheten sann efter multiplikation. Och oavsett vilket positivt tal vi multiplicerar med, kommer vi alltid att få rätt ojämlikhet. Låt oss nu försöka multiplicera med ett negativt tal, till exempel minus tre:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Resultatet är en felaktig ojämlikhet, eftersom minus nio är mindre än minus tre! Det vill säga, för att olikheten ska bli sann (och därför omvandlingen av multiplikation med negativ var "laglig"), måste du vända jämförelsetecknet, så här: \(−9)<− 3\).
Med division kommer det att fungera på samma sätt, du kan kontrollera det själv.

Regeln som skrivits ovan gäller alla typer av ojämlikheter, inte bara numeriska.

Svar: \(x\in(-1;\infty)\)

Ojämlikheter och funktionshinder

Ojämlikheter, precis som ekvationer, kan ha begränsningar på , det vill säga på värdena på x. Följaktligen bör de värden som är oacceptabla enligt DZ uteslutas från utbudet av lösningar.

Exempel: Lös ojämlikheten \(\sqrt(x+1)<3\)

Lösning: Det är tydligt att för att vänstersidan ska vara mindre än \(3\) måste det radikala uttrycket vara mindre än \(9\) (trots allt från \(9\) bara \(3\)). Vi får:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)

Allt? Vilket värde på x som är mindre än \(8\) passar oss? Nej! För om vi till exempel tar värdet \(-5\) som verkar passa kravet så blir det ingen lösning på den ursprungliga olikheten, eftersom det leder oss till att beräkna roten till ett negativt tal.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Därför måste vi också ta hänsyn till begränsningarna för värdet av X - det kan inte vara så att det finns ett negativt tal under roten. Således har vi det andra kravet för x:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

Och för att x ska vara den slutliga lösningen måste den uppfylla båda kraven samtidigt: den måste vara mindre än \(8\) (för att vara en lösning) och större än \(-1\) (för att vara tillåtlig i princip). När vi ritar det på tallinjen har vi det slutliga svaret:

Svar: \(\vänster[-1;8\höger)\)

Uppmärksamhet!
Det finns ytterligare
material i specialavdelning 555.
För dem som är väldigt "inte särskilt..."
Och för dem som "mycket...")

Vad har hänt "kvadratisk ojämlikhet"? Ingen fråga!) Om du tar några andragradsekvationen och ersätt tecknet i den "=" (lika) med alla ojämlikhetstecken ( > ≥ < ≤ ≠ ), får vi en kvadratisk ojämlikhet. Till exempel:

1. x 2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x 2 ≤ 4

Ja, ni förstår...)

Det är inte för inte som jag kopplade ihop ekvationer och ojämlikheter här. Poängen är att det första steget i att lösa några kvadratisk ojämlikhet - lösa ekvationen från vilken denna ojämlikhet är gjord. Av denna anledning leder oförmågan att lösa andragradsekvationer automatiskt till fullständigt misslyckande i ojämlikheter. Är tipset tydligt?) Om något, titta på hur man löser eventuella andragradsekvationer. Allt beskrivs där i detalj. Och i den här lektionen kommer vi att ta itu med ojämlikheter.

Ojämlikheten redo för lösning har formen: till vänster är ett kvadratiskt trinomium ax 2 +bx+c, till höger - noll. Ojämlikhetstecknet kan vara absolut vad som helst. De två första exemplen är här är redan redo att fatta ett beslut. Det tredje exemplet behöver fortfarande förberedas.

Om du gillar den här sidan...

Förresten, jag har ytterligare ett par intressanta webbplatser för dig.)

Du kan träna på att lösa exempel och ta reda på din nivå. Testning med omedelbar verifiering. Låt oss lära oss - med intresse!)

Du kan bekanta dig med funktioner och derivator.

Idag, vänner, kommer det inte att finnas någon snor eller sentimentalitet. Istället kommer jag att skicka dig, inga frågor ställda, i strid med en av de mest formidabla motståndarna i algebrakursen 8-9.

Ja, du förstod allt rätt: vi pratar om ojämlikheter med modul. Vi kommer att titta på fyra grundläggande tekniker med vilka du lär dig att lösa cirka 90 % av sådana problem. Hur är det med de återstående 10%? Tja, vi ska prata om dem i en separat lektion. :)

Men innan jag analyserar någon av teknikerna vill jag påminna dig om två fakta som du redan behöver veta. Annars riskerar du att inte förstå materialet i dagens lektion alls.

Vad du redan behöver veta

Captain Obviousness verkar antyda att för att lösa ojämlikheter med modul behöver du veta två saker:

1. Hur ojämlikheter löses;
2. Vad är en modul?

Låt oss börja med den andra punkten.

Moduldefinition

Allt är enkelt här. Det finns två definitioner: algebraisk och grafisk. Till att börja med - algebraisk:

Definition. Modulen för ett tal $x$ är antingen själva talet, om det är icke-negativt, eller talet mitt emot det, om den ursprungliga $x$ fortfarande är negativ.

Det är skrivet så här:

\[\vänster| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Enkelt uttryckt är en modul ett "tal utan minus." Och det är i denna dualitet (på vissa ställen behöver du inte göra något med det ursprungliga numret, men på andra måste du ta bort någon form av minus) som är där hela svårigheten ligger för nybörjarelever.

Det finns också en geometrisk definition. Det är också användbart att veta, men vi kommer bara att vända oss till det i komplexa och vissa speciella fall, där det geometriska tillvägagångssättet är bekvämare än det algebraiska (spoiler: inte idag).

Definition. Låt punkten $a$ markeras på talraden. Sedan modulen $\left| x-a \right|$ är avståndet från punkt $x$ till punkt $a$ på denna linje.

Om du ritar en bild får du något sånt här:

På ett eller annat sätt, från definitionen av en modul följer dess nyckelegenskap omedelbart: modulen för ett tal är alltid en icke-negativ storhet. Detta faktum kommer att vara en röd tråd som löper genom hela vår berättelse idag.

Att lösa ojämlikheter. Intervallmetod

Låt oss nu titta på ojämlikheterna. Det finns väldigt många av dem, men vår uppgift nu är att kunna lösa åtminstone de enklaste av dem. De som reducerar till linjära ojämlikheter, samt till intervallmetoden.

Jag har två stora lektioner om detta ämne (förresten, väldigt, MYCKET användbara - jag rekommenderar att du studerar dem):

1. Intervallmetod för ojämlikheter (särskilt titta på videon);
2. Fraktionella rationella ojämlikheter är en mycket omfattande lektion, men efter den kommer du inte att ha några frågor alls.

Om du vet allt detta, om frasen "låt oss gå från ojämlikhet till ekvation" inte får dig att ha en vag önskan att slå dig själv i väggen, så är du redo: välkommen till helvetet till lektionens huvudämne. :)

1. Ojämlikheter i formen "Modul är mindre än funktion"

Detta är ett av de vanligaste problemen med moduler. Det krävs för att lösa en olikhet av formen:

\[\vänster| f\höger| \ltg\]

Funktionerna $f$ och $g$ kan vara vad som helst, men vanligtvis är de polynom. Exempel på sådana ojämlikheter:

\[\begin(align) & \left| 2x+3 \höger| \lt x+7; \\ & \vänster| ((x)^(2))+2x-3 \höger|+3\vänster(x+1 \höger) \lt 0; \\ & \vänster| ((x)^(2))-2\vänster| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end(align)\]

Alla kan lösas bokstavligen på en rad enligt följande schema:

\[\vänster| f\höger| \lt g\Högerpil -g \lt f \lt g\quad \left(\Högerpil \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \eller hur)\]

Det är lätt att se att vi gör oss av med modulen, men i gengäld får vi en dubbel olikhet (eller, vilket är samma sak, ett system med två olikheter). Men denna övergång tar hänsyn till absolut alla möjliga problem: om talet under modulen är positivt fungerar metoden; om det är negativt fungerar det fortfarande; och även med den mest otillräckliga funktionen i stället för $f$ eller $g$, kommer metoden fortfarande att fungera.

Naturligtvis uppstår frågan: kunde det inte vara enklare? Tyvärr är det inte möjligt. Detta är hela poängen med modulen.

Dock nog med filosoferandet. Låt oss lösa ett par problem:

Uppgift. Lös ojämlikheten:

\[\vänster| 2x+3 \höger| \lt x+7\]

Lösning. Så vi har framför oss en klassisk ojämlikhet av formen "modulen är mindre" - det finns inte ens något att omvandla. Vi arbetar enligt algoritmen:

\[\begin(align) & \left| f\höger| \lt g\Högerpil -g \lt f \lt g; \\ & \vänster| 2x+3 \höger| \lt x+7\Högerpil -\vänster(x+7 \höger) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

Skynda dig inte för att öppna parentesen som föregås av ett "minus": det är mycket möjligt att du på grund av din brådska kommer att göra ett stötande misstag.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

Problemet reducerades till två elementära ojämlikheter. Låt oss notera deras lösningar på parallella tallinjer:

Skärning av många

Skärningspunkten mellan dessa uppsättningar kommer att vara svaret.

Svar: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Uppgift. Lös ojämlikheten:

\[\vänster| ((x)^(2))+2x-3 \höger|+3\vänster(x+1 \höger) \lt 0\]

Lösning. Denna uppgift är lite svårare. Låt oss först isolera modulen genom att flytta den andra termen till höger:

\[\vänster| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\vänster(x+1 \höger)\]

Uppenbarligen har vi återigen en olikhet av formen "modulen är mindre", så vi blir av med modulen med den redan kända algoritmen:

\[-\vänster(-3\vänster(x+1 \höger) \höger) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\vänster(x+1 \höger)\]

Nu uppmärksamhet: någon kommer att säga att jag är lite av en pervers med alla dessa parenteser. Men låt mig återigen påminna er om att vårt huvudmål är rätt lösa ojämlikheten och få svaret. Senare, när du har bemästrat allt som beskrivs i den här lektionen perfekt, kan du pervertera det själv som du vill: öppna parenteser, lägg till minus, etc.

Till att börja med tar vi helt enkelt bort det dubbla minuset till vänster:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\vänster(x+1 \höger)\]

Låt oss nu öppna alla parenteser i den dubbla olikheten:

Låt oss gå vidare till den dubbla ojämlikheten. Den här gången blir beräkningarna mer seriösa:

\[\vänster\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( anpassa till höger.\]

Båda ojämlikheterna är kvadratiska och kan lösas med intervallmetoden (det är därför jag säger: om du inte vet vad detta är, är det bättre att inte ta på sig moduler ännu). Låt oss gå vidare till ekvationen i den första ojämlikheten:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\vänster(x+5 \höger)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(align)\]

Som du kan se är utdata en ofullständig kvadratisk ekvation, som kan lösas på ett elementärt sätt. Låt oss nu titta på den andra ojämlikheten i systemet. Där måste du tillämpa Vietas teorem:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(align)\]

Vi markerar de resulterande talen på två parallella linjer (separera för den första olikheten och separera för den andra):

Återigen, eftersom vi löser ett system av ojämlikheter, är vi intresserade av skärningspunkten mellan de skuggade uppsättningarna: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Detta är svaret.

Svar: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Jag tror att efter dessa exempel är lösningsschemat extremt tydligt:

1. Isolera modulen genom att flytta alla andra termer till motsatt sida av olikheten. Därmed får vi en olikhet av formen $\left| f\höger| \ltg$.
2. Lös denna ojämlikhet genom att bli av med modulen enligt schemat som beskrivs ovan. Vid någon tidpunkt kommer det att bli nödvändigt att gå från dubbel olikhet till ett system med två oberoende uttryck, som vart och ett redan kan lösas separat.
3. Slutligen, allt som återstår är att skära lösningarna för dessa två oberoende uttryck - och det är det, vi kommer att få det slutliga svaret.

En liknande algoritm finns för olikheter av följande typ, när modulen är större än funktionen. Det finns dock ett par allvarliga "men". Vi ska prata om dessa "men" nu.

2. Ojämlikheter i formen "Modul är större än funktion"

De ser ut så här:

\[\vänster| f\höger| \gtg\]

Liknar den förra? Det verkar. Och ändå löses sådana problem på ett helt annat sätt. Formellt är schemat följande:

\[\vänster| f\höger| \gt g\Högerpil \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

Med andra ord, vi överväger två fall:

1. Först ignorerar vi helt enkelt modulen och löser den vanliga ojämlikheten;
2. Sedan utökar vi i huvudsak modulen med minustecknet och multiplicerar sedan båda sidor av olikheten med −1, medan jag har tecknet.

I det här fallet kombineras alternativen med en vinkelhake, d.v.s. Vi har framför oss en kombination av två krav.

Observera igen: detta är inte ett system, utan en helhet, därför i svaret kombineras mängderna snarare än korsar varandra. Detta är en grundläggande skillnad från föregående punkt!

I allmänhet är många studenter helt förvirrade med fackföreningar och korsningar, så låt oss reda ut denna fråga en gång för alla:

• "∪" är ett fackligt tecken. I själva verket är detta en stiliserad bokstav "U", som kom till oss från det engelska språket och är en förkortning för "Union", dvs. "Föreningar".
• "∩" är korsningstecknet. Den här skiten kom inte någonstans ifrån, utan framstod helt enkelt som en motpol till "∪".

För att göra det ännu lättare att komma ihåg, dra bara benen till dessa tecken för att göra glasögon (bara nu inte anklaga mig för att främja drogberoende och alkoholism: om du på allvar studerar den här lektionen, då är du redan en drogmissbrukare):

Översatt till ryska betyder detta följande: unionen (totaliteten) inkluderar element från båda uppsättningarna, därför är det inte på något sätt mindre än var och en av dem; men skärningspunkten (systemet) inkluderar bara de element som är samtidigt i både den första uppsättningen och den andra. Därför är skärningspunkten mellan mängder aldrig större än källmängderna.

Så det blev tydligare? Det är toppen. Låt oss gå vidare till praktiken.

Uppgift. Lös ojämlikheten:

\[\vänster| 3x+1 \right| \gt 5-4x\]

Lösning. Vi fortsätter enligt schemat:

\[\vänster| 3x+1 \right| \gt 5-4x\Högerpil \vänster[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ höger.\]

Vi löser varje ojämlikhet i befolkningen:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Vi markerar varje resulterande uppsättning på nummerraden och kombinerar dem sedan:

Union av uppsättningar

Det är ganska uppenbart att svaret blir $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Svar: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Uppgift. Lös ojämlikheten:

\[\vänster| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\]

Lösning. Väl? Ingenting - allt är sig likt. Vi går från en ojämlikhet med en modul till en uppsättning av två olikheter:

\[\vänster| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\Högerpil \vänster[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(align) \right.\]

Vi löser alla ojämlikheter. Tyvärr kommer rötterna där inte att vara särskilt bra:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(align)\]

Den andra ojämlikheten är också lite vild:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(align)\]

Nu måste du markera dessa siffror på två axlar - en axel för varje olikhet. Du måste dock markera punkterna i rätt ordning: ju större nummer, desto längre flyttas punkten åt höger.

Och här väntar ett setup på oss. Om allt är klart med siffrorna $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (termerna i täljaren för den första bråk är mindre än termerna i täljaren för den andra , så summan är också mindre), med talen $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ det kommer inte heller att finnas några svårigheter (positivt tal uppenbarligen mer negativt), sedan med det sista paret är allt inte så klart. Vilket är störst: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ eller $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Placeringen av punkter på tallinjerna och faktiskt svaret kommer att bero på svaret på denna fråga.

Så låt oss jämföra:

\[\begin(matris) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matris)\]

Vi isolerade roten, fick icke-negativa tal på båda sidor av ojämlikheten, så vi har rätt att kvadrera båda sidor:

\[\begin(matris) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matris)\]

Jag tror att det är en no brainer att $4\sqrt(13) \gt 3$, så $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, de sista punkterna på axlarna kommer att placeras så här:

Ett fall av fula rötter

Låt mig påminna dig om att vi löser en uppsättning, så svaret blir en förening, inte en skärningspunkt av skuggade uppsättningar.

Svar: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

Som du kan se fungerar vårt schema utmärkt för både enkla och mycket svåra problem. Den enda "svaga punkten" i detta tillvägagångssätt är att du måste jämföra irrationella tal korrekt (och tro mig: det här är inte bara rötter). Men en separat (och mycket allvarlig) lektion kommer att ägnas åt jämförelsefrågor. Och vi går vidare.

3. Ojämlikheter med icke-negativa "svansar"

Nu kommer vi till det mest intressanta. Dessa är ojämlikheter i formen:

\[\vänster| f\höger| \gt\vänster| g\right|\]

Generellt sett är algoritmen som vi kommer att prata om nu endast korrekt för modulen. Det fungerar i alla ojämlikheter där det finns garanterat icke-negativa uttryck till vänster och höger:

Vad ska man göra med dessa uppgifter? Kom bara ihåg:

I ojämlikheter med icke-negativa "svansar" kan båda sidor höjas till vilken naturlig makt som helst. Det kommer inte att finnas några ytterligare begränsningar.

Först och främst kommer vi att vara intresserade av att kvadrera - det bränner moduler och rötter:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\end(align)\]

Förväxla inte detta med att ta roten från en kvadrat:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\vänster| f \right|\ne f\]

Otaliga misstag gjordes när en student glömde att installera en modul! Men det här är en helt annan historia (detta är liksom irrationella ekvationer), så vi ska inte gå in på detta nu. Låt oss lösa ett par problem bättre:

Uppgift. Lös ojämlikheten:

\[\vänster| x+2 \höger|\ge \vänster| 1-2x \right|\]

Lösning. Låt oss omedelbart lägga märke till två saker:

1. Detta är inte en strikt ojämlikhet. Punkter på tallinjen kommer att punkteras.
2. Båda sidorna av ojämlikheten är uppenbarligen icke-negativa (detta är en egenskap hos modulen: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Därför kan vi kvadrera båda sidor av olikheten för att bli av med modulen och lösa problemet med den vanliga intervallmetoden:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\end(align)\]

I det sista steget fuskade jag lite: jag ändrade sekvensen av termer och utnyttjade modulens jämnhet (i själva verket multiplicerade jag uttrycket $1-2x$ med -1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ höger)\höger)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Vi löser med intervallmetoden. Låt oss gå från ojämlikhet till ekvation:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(align)\]

Vi markerar de hittade rötterna på tallinjen. Än en gång: alla punkter är skuggade eftersom den ursprungliga ojämlikheten inte är strikt!

Att bli av med modultecknet

Låt mig påminna er för de som är särskilt envisa: vi tar tecknen från den senaste ojämlikheten, som skrevs ner innan vi gick vidare till ekvationen. Och vi målar över de ytor som krävs i samma ojämlikhet. I vårt fall är det $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

OK det är över nu. Problemet är löst.

Svar: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Uppgift. Lös ojämlikheten:

\[\vänster| ((x)^(2))+x+1 \höger|\le \vänster| ((x)^(2))+3x+4 \höger|\]

Lösning. Vi gör allt likadant. Jag kommer inte kommentera - titta bara på sekvensen av åtgärder.

Kvadra den:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left) | ((x)^(2))+3x+4 \höger| \höger))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \höger))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \höger))^(2)); \\ & ((\vänster(((x)^(2))+x+1 \höger))^(2))-((\vänster(((x)^(2))+3x+4 \ höger))^(2))\le 0; \\ & \vänster(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \höger)\ gånger \\ & \ gånger \vänster(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \höger)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Intervallmetod:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Högerpil x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Högerpil D=16-40 \lt 0\Högerpil \varnothing . \\\end(align)\]

Det finns bara en rot på tallinjen:

Svaret är ett helt intervall

Svar: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

En liten notering om den sista uppgiften. Som en av mina elever korrekt noterade är båda submodulära uttrycken i denna ojämlikhet uppenbarligen positiva, så modultecknet kan utelämnas utan att skada hälsan.

Men det här är en helt annan nivå av tänkande och ett annat förhållningssätt - det kan villkorligt kallas konsekvensmetoden. Om det - i en separat lektion. Låt oss nu gå vidare till den sista delen av dagens lektion och titta på en universell algoritm som alltid fungerar. Även när alla tidigare tillvägagångssätt var maktlösa. :)

4. Metod för uppräkning av alternativ

Vad händer om alla dessa tekniker inte hjälper? Om ojämlikheten inte kan reduceras till icke-negativa svansar, om det är omöjligt att isolera modulen, om det i allmänhet finns smärta, sorg, melankoli?

Sedan kommer det "tunga artilleriet" av all matematik upp på scenen - brute force-metoden. I förhållande till ojämlikheter med modul ser det ut så här:

1. Skriv ut alla submodulära uttryck och sätt dem lika med noll;
2. Lös de resulterande ekvationerna och markera rötterna som finns på en tallinje;
3. Den raka linjen kommer att delas upp i flera sektioner, inom vilka varje modul har ett fast tecken och därför är unikt avslöjat;
4. Lös ojämlikheten på varje sådan sektion (du kan separat överväga rötterna-gränser som erhölls i steg 2 - för tillförlitlighet). Kombinera resultaten - det här kommer att vara svaret. :)

Så hur? Svag? Lätt! Bara under lång tid. Låt oss se i praktiken:

Uppgift. Lös ojämlikheten:

\[\vänster| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Lösning. Den här skiten kokar inte ner till ojämlikheter som $\left| f\höger| \lt g$, $\left| f\höger| \gt g$ eller $\left| f\höger| \lt \left| g \right|$, så vi agerar framåt.

Vi skriver ut submodulära uttryck, likställer dem med noll och hittar rötterna:

\[\begin(align) & x+2=0\Högerpil x=-2; \\ & x-1=0\Högerpil x=1. \\\end(align)\]

Totalt har vi två rötter som delar upp tallinjen i tre sektioner, inom vilka varje modul avslöjas unikt:

Partitionering av tallinjen med nollor av submodulära funktioner

Låt oss titta på varje avsnitt separat.

1. Låt $x \lt -2$. Då är båda submodulära uttryck negativa, och den ursprungliga olikheten kommer att skrivas om enligt följande:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1,5 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align)\]

Vi har en ganska enkel begränsning. Låt oss skära det med det initiala antagandet att $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Uppenbarligen kan variabeln $x$ inte samtidigt vara mindre än −2 och större än 1,5. Det finns inga lösningar på detta område.

1.1. Låt oss betrakta gränsfallet separat: $x=-2$. Låt oss bara ersätta detta nummer med den ursprungliga ojämlikheten och kontrollera: är det sant?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \left| -3\right|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0.5\Högerpil \varnothing . \\\end(align)\]

Det är uppenbart att beräkningskedjan har lett oss till en felaktig ojämlikhet. Därför är den ursprungliga olikheten också falsk, och $x=-2$ ingår inte i svaret.

2. Låt nu $-2 \lt x \lt 1$. Den vänstra modulen öppnas redan med ett "plus", men den högra öppnas fortfarande med ett "minus". Vi har:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(align)\]

Återigen korsar vi det ursprungliga kravet:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Och återigen, uppsättningen av lösningar är tom, eftersom det inte finns några tal som både är mindre än -2,5 och större än -2.

2.1. Och återigen ett specialfall: $x=1$. Vi ersätter i den ursprungliga ojämlikheten:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ & \vänster| 3\höger| \lt \left| 0\right|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0.5\Högerpil \varnothing . \\\end(align)\]

I likhet med det tidigare "specialfallet" är talet $x=1$ uppenbarligen inte inkluderat i svaret.

3. Den sista delen av raden: $x \gt 1$. Här öppnas alla moduler med ett plustecken:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x \gt 4,5 \\ \end(align)\ ]

Och återigen skär vi den hittade uppsättningen med den ursprungliga begränsningen:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]

Till sist! Vi har hittat ett intervall som blir svaret.

Svar: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Till sist, en kommentar som kan rädda dig från dumma misstag när du löser verkliga problem:

Lösningar på ojämlikheter med moduler representerar vanligtvis kontinuerliga mängder på tallinjen - intervall och segment. Isolerade punkter är mycket mindre vanliga. Och ännu mindre ofta händer det att lösningens gräns (slutet av segmentet) sammanfaller med gränsen för det aktuella området.

Följaktligen, om gränser (samma "särskilda fall") inte ingår i svaret, kommer områdena till vänster och höger om dessa gränser nästan säkert inte att inkluderas i svaret. Och vice versa: gränsen in i svaret, vilket innebär att vissa områden runt den också kommer att vara svar.

Tänk på detta när du granskar dina lösningar.

Först lite texter för att få en känsla för problemet som intervallmetoden löser. Låt oss säga att vi måste lösa följande ojämlikhet:

(x − 5)(x + 3) > 0

Vad är alternativen? Det första som kommer att tänka på för de flesta elever är reglerna "plus på plus ger plus" och "minus på minus ger plus." Därför räcker det att betrakta fallet när båda parenteserna är positiva: x − 5 > 0 och x + 3 > 0. Sedan överväger vi även fallet när båda parenteserna är negativa: x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

Mer avancerade elever kommer (kanske) ihåg att till vänster finns en kvadratisk funktion vars graf är en parabel. Dessutom skär denna parabel OX-axeln i punkterna x = 5 och x = −3. För vidare arbete måste du öppna fästena. Vi har:

x 2 − 2x − 15 > 0

Nu är det klart att parabelns grenar är riktade uppåt, eftersom koefficient a = 1 > 0. Låt oss försöka rita ett diagram över denna parabel:

Funktionen är större än noll där den passerar ovanför OX-axeln. I vårt fall är dessa intervallen (−∞ −3) och (5; +∞) - detta är svaret.

Observera: bilden visar exakt funktionsdiagram, inte hennes schema. För för en riktig graf behöver du räkna koordinater, beräkna förskjutningar och annat skit som vi absolut inte har någon nytta av nu.

Varför är dessa metoder ineffektiva?

Så vi har övervägt två lösningar på samma ojämlikhet. Båda visade sig vara ganska besvärliga. Det första beslutet kommer - tänk bara på det! — En uppsättning system för ojämlikhet. Den andra lösningen är inte heller särskilt lätt: du måste komma ihåg grafen för parabeln och en massa andra små fakta.

Det var en väldigt enkel ojämlikhet. Den har bara 2 multiplikatorer. Föreställ dig nu att det inte kommer att finnas 2, utan minst 4 multiplikatorer. Till exempel:

(x − 7)(x − 1)(x + 4)(x + 9)< 0

Hur löser man en sådan ojämlikhet? Gå igenom alla möjliga kombinationer av för- och nackdelar? Ja, vi kommer att somna snabbare än vi hittar en lösning. Att rita en graf är inte heller ett alternativ, eftersom det inte är klart hur en sådan funktion beter sig på koordinatplanet.

För sådana ojämlikheter behövs en speciell lösningsalgoritm, som vi kommer att överväga idag.

Vad är intervallmetoden

Intervallmetoden är en speciell algoritm utformad för att lösa komplexa olikheter av formen f (x) > 0 och f (x)< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

1. Lös ekvationen f (x) = 0. I stället för en olikhet får vi alltså en ekvation som är mycket enklare att lösa;
2. Markera alla erhållna rötter på koordinatlinjen. Således kommer den räta linjen att delas upp i flera intervall;
3. Ta reda på tecknet (plus eller minus) för funktionen f (x) på intervallet längst till höger. För att göra detta räcker det att ersätta med f (x) valfritt tal som kommer att vara till höger om alla markerade rötter;
4. Markera skyltarna med de återstående intervallen. För att göra detta, kom bara ihåg att när du passerar genom varje rot ändras tecknet.

Det är allt! Efter detta återstår bara att skriva ner de intervaller som intresserar oss. De är markerade med ett "+"-tecken om olikheten var av formen f (x) > 0, eller med ett "−"-tecken om olikheten var av formen f (x)< 0.

Vid första anblicken kan det tyckas att intervallmetoden är någon form av tinny sak. Men i praktiken kommer allt att vara väldigt enkelt. Bara öva lite så blir allt klart. Ta en titt på exemplen och se själv:

Uppgift. Lös ojämlikheten:

(x − 2)(x + 7)< 0

Vi arbetar med intervallmetoden. Steg 1: ersätt ojämlikheten med en ekvation och lös den:

(x − 2)(x + 7) = 0

Produkten är noll om och endast om minst en av faktorerna är noll:

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

Vi har två rötter. Låt oss gå vidare till steg 2: markera dessa rötter på koordinatlinjen. Vi har:

Nu steg 3: hitta tecknet för funktionen på intervallet längst till höger (till höger om den markerade punkten x = 2). För att göra detta måste du ta valfritt tal som är större än talet x = 2. Låt oss till exempel ta x = 3 (men ingen förbjuder att ta x = 4, x = 10 och jämnt x = 10 000). Vi får:

f (x) = (x - 2) (x + 7);
x = 3;
f (3) = (3 - 2) (3 + 7) = 1 10 = 10;

Vi finner att f (3) = 10 > 0, så vi sätter ett plustecken i intervallet längst till höger.

Låt oss gå vidare till den sista punkten - vi måste notera tecknen på de återstående intervallen. Vi kommer ihåg att när man passerar genom varje rot måste tecknet ändras. Till höger om roten x = 2 finns det till exempel ett plus (vi såg till detta i föregående steg), så det måste finnas ett minus till vänster.

Detta minus sträcker sig till hela intervallet (−7; 2), så det finns ett minus till höger om roten x = −7. Därför finns det ett plus till vänster om roten x = −7. Det återstår att markera dessa tecken på koordinataxeln. Vi har:

Låt oss återgå till den ursprungliga ojämlikheten, som hade formen:

(x − 2)(x + 7)< 0

Så funktionen måste vara mindre än noll. Det betyder att vi är intresserade av minustecknet, som bara visas på ett intervall: (−7; 2). Detta kommer att vara svaret.

Uppgift. Lös ojämlikheten:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Steg 1: nollställ vänster sida:

(x + 9)(x - 3)(1 - x) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

Kom ihåg: produkten är lika med noll när minst en av faktorerna är lika med noll. Det är därför vi har rätt att likställa varje enskild parentes till noll.

Steg 2: markera alla rötter på koordinatlinjen:

Steg 3: ta reda på tecknet på gapet längst till höger. Vi tar vilket tal som helst som är större än x = 1. Vi kan till exempel ta x = 10. Vi har:

f (x) = (x + 9) (x - 3) (1 - x);
x = 10;
f (10) = (10 + 9)(10 − 3)(1 − 10) = 19 · 7 · (−9) = − 1197;
f (10) = -1197< 0.

Steg 4: placera de återstående skyltarna. Vi kommer ihåg att när man passerar genom varje rot ändras tecknet. Som ett resultat kommer vår bild att se ut så här:

Det är allt. Allt som återstår är att skriva ner svaret. Ta en ny titt på den ursprungliga ojämlikheten:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Detta är en olikhet av formen f(x)< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

Detta är svaret.

En notering om funktionstecken

Övning visar att de största svårigheterna i intervallmetoden uppstår i de två sista stegen, d.v.s. vid utsättning av skyltar. Många elever börjar bli förvirrade: vilka siffror man ska ta och var man ska sätta skyltarna.

För att slutligen förstå intervallmetoden, överväg två observationer som den är baserad på:

1. En kontinuerlig funktion byter tecken endast vid dessa punkter där det är lika med noll. Sådana punkter delar upp koordinataxeln i bitar, inom vilka funktionens tecken aldrig ändras. Det är därför vi löser ekvationen f (x) = 0 och markerar de hittade rötterna på den räta linjen. Siffrorna som hittas är "gränspunkter" som skiljer för- och nackdelar.
2. För att ta reda på tecknet för en funktion på vilket intervall som helst, räcker det att ersätta ett valfritt tal från detta intervall i funktionen. Till exempel, för intervallet (−5; 6) har vi rätt att ta x = −4, x = 0, x = 4 och även x = 1,29374 om vi vill. Varför är det viktigt? Ja, för tvivel börjar gnaga i många elever. Tänk om vi får ett plus för x = −4 och för x = 0 får vi ett minus? Men inget sådant kommer någonsin att hända. Alla punkter på samma intervall ger samma tecken. Kom ihåg det här.

Det är allt du behöver veta om intervallmetoden. Naturligtvis har vi analyserat det i dess enklaste form. Det finns mer komplexa ojämlikheter - icke-strikta, bråkdelar och med upprepade rötter. Du kan också använda intervallmetoden för dem, men detta är ett ämne för en separat stor lektion.

Nu skulle jag vilja titta på en avancerad teknik som dramatiskt förenklar intervallmetoden. Mer exakt påverkar förenklingen endast det tredje steget - beräkning av tecknet på den högra delen av linjen. Av någon anledning lärs inte denna teknik ut i skolor (åtminstone ingen har förklarat detta för mig). Men förgäves - för i själva verket är denna algoritm väldigt enkel.

Funktionens tecken är alltså på den högra delen av tallinjen. Den här biten har formen (a ; +∞), där a är den största roten av ekvationen f (x) = 0. Låt oss överväga ett specifikt exempel för att inte bli förvirrad:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0;
f (x) = (x - 1) (2 + x) (7 - x);
(x - 1)(2 + x)(7 - x) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

Vi har 3 rötter. Låt oss lista dem i stigande ordning: x = −2, x = 1 och x = 7. Uppenbarligen är den största roten x = 7.

För den som har lättare att resonera grafiskt kommer jag att markera dessa rötter på koordinatlinjen. Vi får se vad som händer:

Det krävs att man hittar tecknet för funktionen f (x) på intervallet längst till höger, dvs. till (7; +∞). Men som vi redan har noterat, för att bestämma tecknet kan du ta vilket nummer som helst från detta intervall. Till exempel kan du ta x = 8, x = 150 osv. Och nu – samma teknik som inte lärs ut i skolor: låt oss ta oändligheten som ett tal. Mer exakt, plus oändlighet, dvs. +∞.

"Är du hög? Hur kan du ersätta oändlighet med en funktion?” - du kanske frågar. Men tänk på det: vi behöver inte värdet av själva funktionen, vi behöver bara tecknet. Därför betyder till exempel värdena f (x) = −1 och f (x) = −938 740 576 215 samma sak: funktionen på detta intervall är negativ. Därför är allt som krävs av dig att hitta tecknet som visas i oändligheten, och inte värdet på funktionen.

Faktum är att det är väldigt enkelt att ersätta oändligheten. Låt oss återgå till vår funktion:

f (x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x)

Föreställ dig att x är ett väldigt stort tal. Miljarder eller till och med biljoner. Låt oss nu se vad som händer inom varje parentes.

Första parentes: (x − 1). Vad händer om du subtraherar en från en miljard? Resultatet kommer att bli en siffra som inte skiljer sig mycket från en miljard, och denna siffra kommer att vara positiv. På samma sätt med den andra parentesen: (2 + x). Lägger du till en miljard till två får du en miljard och kopek - det är ett positivt tal. Slutligen den tredje parentesen: (7 − x). Här kommer det att finnas en minusmiljard, från vilken en patetisk pjäs i form av en sjua ”gnags av”. De där. det resulterande talet kommer inte att skilja sig mycket från minus miljarder - det kommer att vara negativt.

Allt som återstår är att hitta tecknet på hela verket. Eftersom vi hade plus i första parentes och minus i sista får vi följande konstruktion:

(+) · (+) · (−) = (−)

Det sista tecknet är minus! Och det spelar ingen roll vad värdet av själva funktionen är. Huvudsaken är att detta värde är negativt, dvs. intervallet längst till höger har ett minustecken. Allt som återstår är att slutföra det fjärde steget i intervallmetoden: ordna alla tecken. Vi har:

Den ursprungliga ojämlikheten var:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0

Därför är vi intresserade av intervallen markerade med ett minustecken. Vi skriver ut svaret:

x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)

Det var hela tricket jag ville berätta för dig. Sammanfattningsvis, här är en annan olikhet som kan lösas med intervallmetoden med oändlighet. För att visuellt förkorta lösningen kommer jag inte att skriva stegnummer och detaljerade kommentarer. Jag kommer bara att skriva det du verkligen behöver skriva när du löser verkliga problem:

Uppgift. Lös ojämlikheten:

x (2x + 8)(x − 3) > 0

Vi ersätter ojämlikheten med en ekvation och löser den:

x (2x + 8)(x - 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Vi markerar alla tre rötterna på koordinatlinjen (med tecken på en gång):

Det finns ett plus på höger sida av koordinataxeln, eftersom funktionen ser ut som:

f (x) = x (2x + 8)(x − 3)

Och om vi ersätter oändligheten (till exempel en miljard) får vi tre positiva parenteser. Eftersom det ursprungliga uttrycket måste vara större än noll är vi bara intresserade av de positiva. Allt som återstår är att skriva ut svaret:

x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)