Att lösa ojämlikheter. Tillgänglig om hur man löser ojämlikheter

Idag, vänner, kommer det inte att finnas någon snor eller sentimentalitet. Istället kommer jag att skicka dig, inga frågor ställda, i strid med en av de mest formidabla motståndarna i algebrakursen 8-9.

Ja, du förstod allt rätt: vi pratar om ojämlikheter med modul. Vi kommer att titta på fyra grundläggande tekniker med vilka du lär dig att lösa cirka 90 % av sådana problem. Hur är det med de återstående 10%? Tja, vi ska prata om dem i en separat lektion. :)

Men innan jag analyserar någon av teknikerna vill jag påminna dig om två fakta som du redan behöver veta. Annars riskerar du att inte förstå materialet i dagens lektion alls.

Vad du redan behöver veta

Captain Obviousness verkar antyda att för att lösa ojämlikheter med modul behöver du veta två saker:

Hur ojämlikheter löses;
Vad är en modul?

Låt oss börja med den andra punkten.

Moduldefinition

Allt är enkelt här. Det finns två definitioner: algebraisk och grafisk. Till att börja med - algebraisk:

Definition. Modulen för ett tal $x$ är antingen själva talet, om det är icke-negativt, eller talet mitt emot det, om den ursprungliga $x$ fortfarande är negativ.

Det är skrivet så här:

\[\vänster| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Enkelt uttryckt är en modul ett "tal utan minus." Och det är just i denna dualitet (på vissa ställen behöver du inte göra något med det ursprungliga numret, men på andra måste du ta bort någon form av minus) som är där hela svårigheten ligger för nybörjarelever.

Det finns också en geometrisk definition. Det är också användbart att veta, men vi kommer bara att vända oss till det i komplexa och vissa speciella fall, där det geometriska tillvägagångssättet är bekvämare än det algebraiska (spoiler: inte idag).

Definition. Låt punkten $a$ markeras på talraden. Sedan modulen $\left| x-a \right|$ är avståndet från punkt $x$ till punkt $a$ på denna linje.

Om du ritar en bild får du något sånt här:

Grafisk moduldefinition

På ett eller annat sätt, från definitionen av en modul följer dess nyckelegenskap omedelbart: modulen för ett tal är alltid en icke-negativ storhet. Detta faktum kommer att vara en röd tråd som löper genom hela vår berättelse idag.

Att lösa ojämlikheter. Intervallmetod

Låt oss nu titta på ojämlikheterna. Det finns väldigt många av dem, men vår uppgift nu är att kunna lösa åtminstone de enklaste av dem. De som reducerar till linjära ojämlikheter, samt till intervallmetoden.

Jag har två stora lektioner om detta ämne (förresten, väldigt, MYCKET användbara - jag rekommenderar att du studerar dem):

Intervallmetod för ojämlikheter (särskilt titta på videon);
Fraktionella rationella ojämlikheter är en mycket omfattande lektion, men efter den kommer du inte att ha några frågor alls.

Om du vet allt detta, om frasen "låt oss gå från ojämlikhet till ekvation" inte får dig att ha en vag önskan att slå dig själv i väggen, så är du redo: välkommen till helvetet till lektionens huvudämne. :)

1. Ojämlikheter i formen "Modul är mindre än funktion"

Detta är ett av de vanligaste problemen med moduler. Det krävs för att lösa en olikhet av formen:

\[\vänster| f\höger| \ltg\]

Funktionerna $f$ och $g$ kan vara vad som helst, men vanligtvis är de polynom. Exempel på sådana ojämlikheter:

Alla kan lösas bokstavligen på en rad enligt följande schema:

\[\vänster| f\höger| \lt g\Högerpil -g \lt f \lt g\quad \left(\Högerpil \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \eller hur)\]

Det är lätt att se att vi gör oss av med modulen, men i gengäld får vi en dubbel olikhet (eller, vilket är samma sak, ett system med två olikheter). Men denna övergång tar hänsyn till absolut alla möjliga problem: om talet under modulen är positivt fungerar metoden; om det är negativt fungerar det fortfarande; och även med den mest otillräckliga funktionen i stället för $f$ eller $g$, kommer metoden fortfarande att fungera.

Naturligtvis uppstår frågan: kunde det inte vara enklare? Tyvärr är det inte möjligt. Detta är hela poängen med modulen.

Dock nog med filosoferandet. Låt oss lösa ett par problem:

Uppgift. Lös ojämlikheten:

\[\vänster| 2x+3 \höger| \lt x+7\]

Lösning. Så vi har framför oss en klassisk ojämlikhet av formen "modulen är mindre" - det finns inte ens något att omvandla. Vi arbetar enligt algoritmen:

\[\begin(align) & \left| f\höger| \lt g\Högerpil -g \lt f \lt g; \\ & \vänster| 2x+3 \höger| \lt x+7\Högerpil -\vänster(x+7 \höger) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

Skynda dig inte för att öppna parentesen som föregås av ett "minus": det är mycket möjligt att du på grund av din brådska kommer att göra ett stötande misstag.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

Problemet reducerades till två elementära ojämlikheter. Låt oss notera deras lösningar på parallella tallinjer:
Skärning av många
Skärningspunkten mellan dessa uppsättningar kommer att vara svaret.

Svar: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Uppgift. Lös ojämlikheten:

\[\vänster| ((x)^(2))+2x-3 \höger|+3\vänster(x+1 \höger) \lt 0\]

Lösning. Denna uppgift är lite svårare. Låt oss först isolera modulen genom att flytta den andra termen till höger:

\[\vänster| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\vänster(x+1 \höger)\]

Uppenbarligen har vi återigen en olikhet av formen "modulen är mindre", så vi blir av med modulen med den redan kända algoritmen:

\[-\vänster(-3\vänster(x+1 \höger) \höger) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\vänster(x+1 \höger)\]

Nu uppmärksamhet: någon kommer att säga att jag är lite av en pervers med alla dessa parenteser. Men låt mig återigen påminna er om att vårt huvudmål är rätt lösa ojämlikheten och få svaret. Senare, när du har bemästrat allt som beskrivs i den här lektionen perfekt, kan du pervertera det själv som du vill: öppna parenteser, lägg till minus, etc.

Till att börja med tar vi helt enkelt bort det dubbla minuset till vänster:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\vänster(x+1 \höger)\]

Låt oss nu öppna alla parenteser i den dubbla olikheten:

Låt oss gå vidare till den dubbla ojämlikheten. Den här gången blir beräkningarna mer seriösa:

\[\vänster\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( anpassa till höger.\]

Båda ojämlikheterna är kvadratiska och kan lösas med intervallmetoden (det är därför jag säger: om du inte vet vad detta är, är det bättre att inte ta på moduler ännu). Låt oss gå vidare till ekvationen i den första ojämlikheten:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\vänster(x+5 \höger)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(align)\]

Som du kan se är utdata en ofullständig kvadratisk ekvation, som kan lösas på ett elementärt sätt. Låt oss nu titta på den andra ojämlikheten i systemet. Där måste du tillämpa Vietas teorem:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(align)\]

Vi markerar de resulterande talen på två parallella linjer (separera för den första olikheten och separera för den andra):
Återigen, eftersom vi löser ett system av ojämlikheter, är vi intresserade av skärningspunkten mellan de skuggade uppsättningarna: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Detta är svaret.
Svar: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Jag tror att efter dessa exempel är lösningsschemat extremt tydligt:

Isolera modulen genom att flytta alla andra termer till motsatt sida av olikheten. Därmed får vi en olikhet av formen $\left| f\höger| \ltg$.
Lös denna ojämlikhet genom att bli av med modulen enligt schemat som beskrivs ovan. Vid något tillfälle kommer det att bli nödvändigt att gå från dubbel olikhet till ett system med två oberoende uttryck, som vart och ett redan kan lösas separat.
Slutligen, allt som återstår är att skära lösningarna för dessa två oberoende uttryck - och det är det, vi kommer att få det slutliga svaret.

En liknande algoritm finns för olikheter av följande typ, när modulen är större än funktionen. Det finns dock ett par allvarliga "men". Vi ska prata om dessa "men" nu.

2. Ojämlikheter i formen "Modul är större än funktion"

De ser ut så här:

\[\vänster| f\höger| \gtg\]

Liknar den förra? Det verkar. Och ändå löses sådana problem på ett helt annat sätt. Formellt är schemat följande:

\[\vänster| f\höger| \gt g\Högerpil \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

Med andra ord, vi överväger två fall:

Först ignorerar vi helt enkelt modulen och löser den vanliga ojämlikheten;
Sedan utökar vi i huvudsak modulen med minustecknet och multiplicerar sedan båda sidor av olikheten med −1, medan jag har tecknet.

I det här fallet kombineras alternativen med en vinkelhake, d.v.s. Vi har framför oss en kombination av två krav.

Observera igen: detta är inte ett system, utan en helhet, därför i svaret kombineras mängderna snarare än korsar varandra. Detta är en grundläggande skillnad från föregående punkt!

I allmänhet är många studenter helt förvirrade med fackföreningar och korsningar, så låt oss reda ut denna fråga en gång för alla:

"∪" är ett fackligt tecken. I själva verket är detta en stiliserad bokstav "U", som kom till oss från det engelska språket och är en förkortning för "Union", dvs. "Föreningar".
"∩" är korsningstecknet. Den här skiten kom inte någonstans ifrån, utan framstod helt enkelt som en motpol till "∪".

För att göra det ännu lättare att komma ihåg, dra bara benen till dessa tecken för att göra glasögon (bara nu inte anklaga mig för att främja drogberoende och alkoholism: om du på allvar studerar den här lektionen, då är du redan en drogmissbrukare):

Skillnad mellan korsning och förening av uppsättningar

Översatt till ryska betyder detta följande: unionen (totaliteten) inkluderar element från båda uppsättningarna, därför är det inte på något sätt mindre än var och en av dem; men skärningspunkten (systemet) inkluderar bara de element som är samtidigt i både den första uppsättningen och den andra. Därför är skärningspunkten mellan mängder aldrig större än källmängderna.

Så det blev tydligare? Det är toppen. Låt oss gå vidare till praktiken.

Uppgift. Lös ojämlikheten:

\[\vänster| 3x+1 \right| \gt 5-4x\]

Lösning. Vi fortsätter enligt schemat:

\[\vänster| 3x+1 \right| \gt 5-4x\Högerpil \vänster[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ höger.\]

Vi löser varje ojämlikhet i befolkningen:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Vi markerar varje resulterande uppsättning på nummerraden och kombinerar dem sedan:
Union av uppsättningar
Det är ganska uppenbart att svaret blir $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Svar: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Uppgift. Lös ojämlikheten:

\[\vänster| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\]

Lösning. Väl? Ingenting - allt är sig likt. Vi går från en ojämlikhet med en modul till en uppsättning av två olikheter:

\[\vänster| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\Högerpil \vänster[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(align) \right.\]

Vi löser alla ojämlikheter. Tyvärr kommer rötterna där inte att vara särskilt bra:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(align)\]

Den andra ojämlikheten är också lite vild:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(align)\]

Nu måste du markera dessa siffror på två axlar - en axel för varje olikhet. Du måste dock markera punkterna i rätt ordning: ju större nummer, desto längre flyttas punkten åt höger.

Och här väntar ett setup på oss. Om allt är klart med siffrorna $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (termerna i täljaren för den första bråk är mindre än termerna i täljaren för den andra , så summan är också mindre), med talen $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ det kommer inte heller att finnas några svårigheter (positivt tal uppenbarligen mer negativt), sedan med det sista paret är allt inte så klart. Vilket är störst: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ eller $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Placeringen av punkter på tallinjerna och faktiskt svaret kommer att bero på svaret på denna fråga.

Så låt oss jämföra:

\[\begin(matris) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matris)\]

Vi isolerade roten, fick icke-negativa tal på båda sidor av ojämlikheten, så vi har rätt att kvadrera båda sidor:

\[\begin(matris) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matris)\]

Jag tror att det är en no brainer att $4\sqrt(13) \gt 3$, så $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, de sista punkterna på axlarna kommer att placeras så här:
Ett fall av fula rötter
Låt mig påminna dig om att vi löser en uppsättning, så svaret blir en förening, inte en skärningspunkt av skuggade uppsättningar.

Svar: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

Som du kan se fungerar vårt schema utmärkt för både enkla och mycket svåra problem. Den enda "svaga punkten" i detta tillvägagångssätt är att du måste jämföra irrationella tal korrekt (och tro mig: det här är inte bara rötter). Men en separat (och mycket allvarlig) lektion kommer att ägnas åt jämförelsefrågor. Och vi går vidare.

3. Ojämlikheter med icke-negativa "svansar"

Nu kommer vi till det mest intressanta. Dessa är ojämlikheter i formen:

\[\vänster| f\höger| \gt\vänster| g\right|\]

Generellt sett är algoritmen som vi kommer att prata om nu endast korrekt för modulen. Det fungerar i alla ojämlikheter där det finns garanterat icke-negativa uttryck till vänster och höger:

Vad ska man göra med dessa uppgifter? Kom bara ihåg:

I ojämlikheter med icke-negativa "svansar" kan båda sidor höjas till vilken naturlig makt som helst. Det kommer inte att finnas några ytterligare begränsningar.

Först och främst kommer vi att vara intresserade av att kvadrera - det bränner moduler och rötter:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\end(align)\]

Förväxla inte detta med att ta roten från en kvadrat:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\vänster| f \right|\ne f\]

Otaliga misstag gjordes när en student glömde att installera en modul! Men det här är en helt annan historia (detta är liksom irrationella ekvationer), så vi ska inte gå in på detta nu. Låt oss lösa ett par problem bättre:

Uppgift. Lös ojämlikheten:

\[\vänster| x+2 \höger|\ge \vänster| 1-2x \right|\]

Lösning. Låt oss omedelbart lägga märke till två saker:

Detta är inte en strikt ojämlikhet. Punkter på tallinjen kommer att punkteras.

Båda sidorna av ojämlikheten är uppenbarligen icke-negativa (detta är en egenskap hos modulen: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Därför kan vi kvadrera båda sidor av olikheten för att bli av med modulen och lösa problemet med den vanliga intervallmetoden:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\end(align)\]

I det sista steget fuskade jag lite: jag ändrade sekvensen av termer och utnyttjade modulens jämnhet (i själva verket multiplicerade jag uttrycket $1-2x$ med -1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ höger)\höger)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Vi löser med intervallmetoden. Låt oss gå från ojämlikhet till ekvation:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(align)\]

Vi markerar de hittade rötterna på tallinjen. Än en gång: alla punkter är skuggade eftersom den ursprungliga ojämlikheten inte är strikt!
Att bli av med modultecknet
Låt mig påminna er för de som är särskilt envisa: vi tar tecknen från den senaste ojämlikheten, som skrevs ner innan vi gick vidare till ekvationen. Och vi målar över de ytor som krävs i samma ojämlikhet. I vårt fall är det $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

OK det är över nu. Problemet är löst.

Svar: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Uppgift. Lös ojämlikheten:

\[\vänster| ((x)^(2))+x+1 \höger|\le \vänster| ((x)^(2))+3x+4 \höger|\]

Lösning. Vi gör allt likadant. Jag kommer inte kommentera - titta bara på sekvensen av åtgärder.

Kvadra den:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left) | ((x)^(2))+3x+4 \höger| \höger))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \höger))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \höger))^(2)); \\ & ((\vänster(((x)^(2))+x+1 \höger))^(2))-((\vänster(((x)^(2))+3x+4 \ höger))^(2))\le 0; \\ & \vänster(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \höger)\ gånger \\ & \ gånger \vänster(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \höger)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Intervallmetod:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Högerpil x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Högerpil D=16-40 \lt 0\Högerpil \varnothing . \\\end(align)\]

Det finns bara en rot på tallinjen:
Svaret är ett helt intervall
Svar: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

En liten notering om den sista uppgiften. Som en av mina elever korrekt noterade är båda submodulära uttrycken i denna ojämlikhet uppenbarligen positiva, så modultecknet kan utelämnas utan att skada hälsan.

Men det här är en helt annan nivå av tänkande och ett annat förhållningssätt - det kan villkorligt kallas konsekvensmetoden. Om det - i en separat lektion. Låt oss nu gå vidare till den sista delen av dagens lektion och titta på en universell algoritm som alltid fungerar. Även när alla tidigare tillvägagångssätt var maktlösa. :)

4. Metod för uppräkning av alternativ

Vad händer om alla dessa tekniker inte hjälper? Om ojämlikheten inte kan reduceras till icke-negativa svansar, om det är omöjligt att isolera modulen, om det i allmänhet finns smärta, sorg, melankoli?

Sedan kommer det "tunga artilleriet" av all matematik upp på scenen - brute force-metoden. I förhållande till ojämlikheter med modul ser det ut så här:

Skriv ut alla submodulära uttryck och sätt dem lika med noll;
Lös de resulterande ekvationerna och markera rötterna som finns på en tallinje;
Den raka linjen kommer att delas upp i flera sektioner, inom vilka varje modul har ett fast tecken och därför är unikt avslöjat;
Lös ojämlikheten på varje sådan sektion (du kan separat överväga rötterna-gränser som erhölls i steg 2 - för tillförlitlighet). Kombinera resultaten - det här kommer att vara svaret. :)

Så hur? Svag? Lätt! Bara under lång tid. Låt oss se i praktiken:

Uppgift. Lös ojämlikheten:

\[\vänster| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Lösning. Den här skiten kokar inte ner till ojämlikheter som $\left| f\höger| \lt g$, $\left| f\höger| \gt g$ eller $\left| f\höger| \lt \left| g \right|$, så vi agerar framåt.

Vi skriver ut submodulära uttryck, likställer dem med noll och hittar rötterna:

\[\begin(align) & x+2=0\Högerpil x=-2; \\ & x-1=0\Högerpil x=1. \\\end(align)\]

Totalt har vi två rötter som delar upp tallinjen i tre sektioner, inom vilka varje modul avslöjas unikt:
Partitionering av tallinjen med nollor av submodulära funktioner
Låt oss titta på varje avsnitt separat.

1. Låt $x \lt -2$. Då är båda submodulära uttryck negativa, och den ursprungliga olikheten kommer att skrivas om enligt följande:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1,5 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align)\]

Vi har en ganska enkel begränsning. Låt oss skära det med det initiala antagandet att $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Uppenbarligen kan variabeln $x$ inte samtidigt vara mindre än −2 och större än 1,5. Det finns inga lösningar på detta område.

1.1. Låt oss betrakta gränsfallet separat: $x=-2$. Låt oss bara ersätta detta nummer med den ursprungliga ojämlikheten och kontrollera: är det sant?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \left| -3\right|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0.5\Högerpil \varnothing . \\\end(align)\]

Det är uppenbart att beräkningskedjan har lett oss till en felaktig ojämlikhet. Därför är den ursprungliga olikheten också falsk, och $x=-2$ ingår inte i svaret.

2. Låt nu $-2 \lt x \lt 1$. Den vänstra modulen öppnas redan med ett "plus", men den högra öppnas fortfarande med ett "minus". Vi har:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(align)\]

Återigen korsar vi det ursprungliga kravet:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Och återigen, uppsättningen av lösningar är tom, eftersom det inte finns några tal som både är mindre än -2,5 och större än -2.

2.1. Och återigen ett specialfall: $x=1$. Vi ersätter i den ursprungliga ojämlikheten:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ & \vänster| 3\höger| \lt \left| 0\right|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0.5\Högerpil \varnothing . \\\end(align)\]

I likhet med det tidigare "specialfallet" är talet $x=1$ uppenbarligen inte inkluderat i svaret.

3. Den sista delen av raden: $x \gt 1$. Här öppnas alla moduler med ett plustecken:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x \gt 4,5 \\ \end(align)\ ]

Och återigen skär vi den hittade uppsättningen med den ursprungliga begränsningen:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]

Till sist! Vi har hittat ett intervall som blir svaret.

Svar: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Till sist, en kommentar som kan rädda dig från dumma misstag när du löser verkliga problem:

Lösningar på ojämlikheter med moduler representerar vanligtvis kontinuerliga mängder på tallinjen - intervall och segment. Isolerade punkter är mycket mindre vanliga. Och ännu mindre ofta händer det att lösningens gräns (slutet av segmentet) sammanfaller med gränsen för det aktuella området.

Följaktligen, om gränser (samma "särskilda fall") inte ingår i svaret, kommer områdena till vänster och höger om dessa gränser nästan säkert inte att inkluderas i svaret. Och vice versa: gränsen in i svaret, vilket innebär att vissa områden runt den också kommer att vara svar.

Tänk på detta när du granskar dina lösningar.

Men idag kan inte rationella ojämlikheter lösa allt. Mer exakt, inte bara alla kan bestämma. Få människor kan göra detta.
Klitschko

Den här lektionen kommer att bli tuff. Så tuff att bara de utvalda kommer att nå slutet. Innan jag börjar läsa rekommenderar jag därför att ta bort kvinnor, katter, gravida barn och... från skärmar.

Kom igen, det är faktiskt enkelt. Låt oss säga att du behärskar intervallmetoden (om du inte behärskar den rekommenderar jag att du går tillbaka och läser den) och lärt dig hur du löser ojämlikheter av formen $P\left(x \right) \gt 0$, där $ P\left(x \right)$ är något polynom eller produkt av polynom.

Jag tror att det inte kommer att vara svårt för dig att lösa till exempel något sånt här (förresten, prova det som en uppvärmning):

\[\begin(align) & \left(2((x)^(2))+3x+4 \right)\left(4x+25 \right) \gt 0; \\ & x\left(2((x)^(2))-3x-20 \right)\left(x-1 \right)\ge 0; \\ & \left(8x-((x)^(4)) \right)((\left(x-5 \right))^(6))\le 0. \\ \end(align)\]

Låt oss nu komplicera problemet lite och överväga inte bara polynom, utan så kallade rationella fraktioner av formen:

där $P\left(x \right)$ och $Q\left(x \right)$ är samma polynom av formen $((a)_(n))((x)^(n))+( (a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$, eller produkten av sådana polynom.

Detta kommer att vara en rationell ojämlikhet. Den grundläggande punkten är närvaron av variabeln $x$ i nämnaren. Till exempel är dessa rationella ojämlikheter:

\[\begin(align) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\left(3-x \right))^(2))\left(4-((x)^( 2)) \right))\ge 0. \\ \end(align)\]

Och detta är inte en rationell ojämlikhet, utan den vanligaste ojämlikheten, som kan lösas med intervallmetoden:

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

När jag ser framåt kommer jag genast att säga: det finns åtminstone två sätt att lösa rationella ojämlikheter, men alla av dem, på ett eller annat sätt, kommer ner till metoden med intervaller som vi redan känner till. Därför, innan vi analyserar dessa metoder, låt oss komma ihåg de gamla fakta, annars kommer det inte att finnas någon mening från det nya materialet.

Vad du redan behöver veta

Det finns aldrig för många viktiga fakta. Vi behöver egentligen bara fyra.

Förkortade multiplikationsformler

Ja, ja: de kommer att förfölja oss genom hela skolans matematikläroplan. Och på universitetet också. Det finns en hel del av dessa formler, men vi behöver bara följande:

\[\begin(align) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\vänster(a-b \höger)\vänster(a+b \höger); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\vänster(a+b \höger)\vänster(((a)^(2))-ab+((b) ^(2)) \right); \\ & ((a)^(3))-((b)^(3))=\vänster(a-b \höger)\vänster(((a)^(2))+ab+((b)^( 2))\höger). \\ \end(align)\]

Var uppmärksam på de två sista formlerna - dessa är summan och skillnaden av kuber (och inte kuben för summan eller skillnaden!). De är lätta att komma ihåg om du märker att tecknet i den första parentesen sammanfaller med tecknet i det ursprungliga uttrycket, och i det andra är det motsatt tecknet i det ursprungliga uttrycket.

Linjära ekvationer

Dessa är de enklaste ekvationerna av formen $ax+b=0$, där $a$ och $b$ är vanliga tal och $a\ne 0$. Denna ekvation kan enkelt lösas:

\[\begin(align) & ax+b=0; \\&ax=-b; \\ & x=-\frac(b)(a). \\ \end(align)\]

Låt mig notera att vi har rätt att dividera med koefficienten $a$, eftersom $a\ne 0$. Detta krav är ganska logiskt, eftersom för $a=0$ får vi detta:

För det första finns det ingen variabel $x$ i denna ekvation. Detta bör generellt sett inte förvirra oss (detta händer, säg, i geometri, och ganska ofta), men ändå är detta inte längre en linjär ekvation.

För det andra beror lösningen på denna ekvation enbart på koefficienten $b$. Om $b$ också är noll, har vår ekvation formen $0=0$. Denna jämlikhet är alltid sann; detta betyder att $x$ är vilket tal som helst (vanligtvis skrivet så här: $x\in \mathbb(R)$). Om koefficienten $b$ inte är lika med noll, så är likheten $b=0$ aldrig uppfylld, d.v.s. det finns inga svar (skriv $x\i \varnothing $ och läs "lösningsuppsättningen är tom").

För att undvika alla dessa svårigheter, utgår vi helt enkelt från $a\ne 0$, vilket inte alls begränsar oss i vidare tänkande.

Kvadratisk ekvation

Låt mig påminna dig om att det här är vad en andragradsekvation kallas:

Här till vänster finns ett polynom av andra graden, och återigen $a\ne 0$ (annars får vi en linjär i stället för en andragradsekvation). Följande ekvationer löses genom diskriminanten:

Om $D \gt 0$ får vi två olika rötter;
Om $D=0$ blir roten densamma, men av den andra multipliciteten (vilken sorts multiplicitet är detta och hur man tar hänsyn till det - mer om det senare). Eller så kan vi säga att ekvationen har två identiska rötter;
För $D \lt 0$ finns inga rötter alls, och tecknet för polynomet $a((x)^(2))+bx+c$ för valfri $x$ sammanfaller med tecknet för koefficienten $a $. Detta är förresten ett mycket användbart faktum, som de av någon anledning glömmer att prata om i algebra-lektionerna.

Själva rötterna beräknas med den välkända formeln:

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

Därav förresten begränsningarna för diskriminanten. När allt kommer omkring finns inte kvadratroten ur ett negativt tal. Många elever har en fruktansvärd röra i huvudet om rötter, så jag skrev ner en hel lektion speciellt: vad är en rot i algebra och hur man beräknar den - jag rekommenderar starkt att läsa den. :)

Operationer med rationella bråk

Du vet redan allt som skrevs ovan om du har studerat intervallmetoden. Men det vi kommer att analysera nu har inga analoger i det förflutna - detta är ett helt nytt faktum.

Definition. Ett rationellt bråk är ett uttryck för formen

\[\frac(P\vänster(x \höger))(Q\vänster(x \höger))\]

där $P\left(x \right)$ och $Q\left(x \right)$ är polynom.

Uppenbarligen är det lätt att få en ojämlikhet från en sådan bråkdel - du behöver bara lägga till tecknet "större än" eller "mindre än" till höger. Och lite längre kommer vi att upptäcka att det är ett nöje att lösa sådana problem, allt är väldigt enkelt.

Problem börjar när det finns flera sådana bråk i ett uttryck. De måste föras till en gemensam nämnare – och det är i detta ögonblick som ett stort antal offensiva misstag görs.

Därför, för att framgångsrikt lösa rationella ekvationer, måste du ta fasta på två färdigheter:

Faktorering av polynomet $P\left(x \right)$;
Faktiskt, att föra bråk till en gemensam nämnare.

Hur faktoriseras ett polynom? Väldigt enkelt. Låt oss ha ett polynom av formen

Vi likställer det med noll. Vi får en ekvation av $n$:te graden:

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

Låt oss säga att vi löste den här ekvationen och fick rötterna $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (var inte orolig: i de flesta fall kommer det att finnas inte mer än två av dessa rötter). I det här fallet kan vårt ursprungliga polynom skrivas om enligt följande:

\[\begin(align) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x) )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\vänster(x -((x)_(1)) \höger)\cdot \left(x-((x)_(2)) \right)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \right) \end(align)\]

Det är allt! Observera: den inledande koefficienten $((a)_(n))$ har inte försvunnit någonstans - den kommer att vara en separat multiplikator framför parenteserna, och om det behövs kan den infogas i någon av dessa parenteser (övning visar att med $((a)_ (n))\ne \pm 1$ finns det nästan alltid bråk bland rötterna).

Uppgift. Förenkla uttrycket:

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

Lösning. Låt oss först titta på nämnare: de är alla linjära binomialer, och det finns inget att faktorisera här. Så låt oss faktorisera täljarna:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \right)\left(x-4 \right); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\vänster(x-\frac(3)(2) \höger)\vänster(x-1 \höger)=\vänster(2x- 3 \höger)\vänster(x-1 \höger); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\vänster(x+2 \höger)\vänster(x-\frac(2)(5) \höger)=\vänster(x +2 \höger)\vänster(2-5x \höger). \\\end(align)\]

Observera: i det andra polynomet dök den ledande koefficienten "2", helt i enlighet med vårt schema, först upp framför parentesen och inkluderades sedan i den första parentesen, eftersom bråkdelen dök upp där.

Samma sak hände i det tredje polynomet, bara där är ordningen på termerna också omvänd. Koefficienten "−5" slutade dock med att inkluderas i den andra parentesen (kom ihåg: du kan ange faktorn i en och endast en parentes!), vilket räddade oss från besväret med bråkrötter.

När det gäller det första polynomet är allt enkelt: dess rötter söks antingen standardmässigt genom diskriminanten eller med hjälp av Vietas teorem.

Låt oss återgå till det ursprungliga uttrycket och skriva om det med täljarna inkluderade:

\[\begin(matris) \frac(\left(x+5 \right)\left(x-4 \right))(x-4)-\frac(\left(2x-3 \right)\left( x-1 \höger))(2x-3)-\frac(\vänster(x+2 \höger)\vänster(2-5x \höger))(x+2)= \\ =\vänster(x+5 \höger)-\vänster(x-1 \höger)-\vänster(2-5x \höger)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \end(matris)\]

Svar: $5x+4$.

Som du kan se, inget komplicerat. Lite matematik i årskurs 7 och 8 och det är det. Poängen med alla transformationer är att få något enkelt och lätt att arbeta med från ett komplext och skrämmande uttryck.

Detta kommer dock inte alltid att vara fallet. Så nu ska vi titta på ett allvarligare problem.

Men först, låt oss ta reda på hur man för två bråk till en gemensam nämnare. Algoritmen är extremt enkel:

Faktor båda nämnare;
Betrakta den första nämnaren och lägg till den faktorer som finns i den andra nämnaren, men inte i den första. Den resulterande produkten kommer att vara den gemensamma nämnaren;
Ta reda på vilka faktorer var och en av de ursprungliga bråken saknas så att nämnarna blir lika med det gemensamma.

Den här algoritmen kan för dig verka som bara text med "många bokstäver". Låt oss därför titta på allt med ett specifikt exempel.

Uppgift. Förenkla uttrycket:

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \höger)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))((x)^(2)))-4)- \frac(2)(2-x) \right)\]

Lösning. Det är bättre att lösa sådana storskaliga problem i delar. Låt oss skriva ner vad som står i den första parentesen:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

Till skillnad från föregående problem är här nämnarna inte så enkla. Låt oss faktorisera var och en av dem.

Det kvadratiska trinomiet $((x)^(2))+2x+4$ kan inte faktoriseras, eftersom ekvationen $((x)^(2))+2x+4=0$ inte har några rötter (diskriminanten är negativ ). Vi lämnar det oförändrat.

Den andra nämnaren - det kubiska polynomet $((x)^(3))-8$ - vid noggrann undersökning är skillnaden mellan kuber och expanderas enkelt med hjälp av de förkortade multiplikationsformlerna:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\vänster(x-2 \höger)\vänster(((x) ^(2))+2x+4 \höger)\]

Inget annat kan faktoriseras, eftersom det i den första parentesen finns en linjär binomial, och i den andra finns en konstruktion som redan är bekant för oss, som inte har några riktiga rötter.

Slutligen är den tredje nämnaren ett linjärt binomial som inte kan expanderas. Således kommer vår ekvation att ta formen:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2)))+8)(\left(x-2 \höger)\vänster (((x)^(2))+2x+4 \höger))-\frac(1)(x-2)\]

Det är ganska uppenbart att den gemensamma nämnaren kommer att vara exakt $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$, och att reducera alla bråk till det är nödvändigt för att multiplicera det första bråket på $\left(x-2 \right)$, och det sista - på $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$. Då återstår bara att ge liknande:

\[\begin(matris) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ höger))+\frac(((x)^(2))+8)(\vänster(x-2 \höger)\vänster(((x)^(2))+2x+4 \höger))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x +4 \höger))= \\ =\frac(x\cdot \vänster(x-2 \höger)+\vänster(((x)^(2))+8 \höger)-\vänster(((x) )^(2))+2x+4 \höger))(\vänster(x-2 \höger)\vänster(((x)^(2))+2x+4 \höger))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\vänster(x-2 \höger)\vänster (((x)^(2))+2x+4 \höger))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\vänster(x-2 \höger)\ vänster(((x)^(2))+2x+4 \höger)). \\ \end(matris)\]

Var uppmärksam på den andra raden: när nämnaren redan är vanlig, d.v.s. Istället för tre separata bråk skrev vi en stor; du ska inte bli av med parentesen direkt. Det är bättre att skriva en extra rad och notera att det till exempel fanns ett minus före den tredje bråkdelen - och den kommer inte att gå någonstans, utan kommer att "hänga" i täljaren framför parentesen. Detta kommer att rädda dig från många misstag.

Tja, på sista raden är det användbart att faktorisera täljaren. Dessutom är detta en exakt kvadrat, och förkortade multiplikationsformler kommer återigen till vår hjälp. Vi har:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2)))+2x+4 \right) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Låt oss nu ta itu med den andra konsolen på exakt samma sätt. Här ska jag bara skriva en kedja av jämlikheter:

\[\begin(matris) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( x)^(2)))(\vänster(x-2 \höger)\vänster(x+2 \höger))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ^(2)))(\vänster(x-2 \höger)\vänster(x+2 \höger))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^( 2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right) )\cdot \left(x+2 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2) \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right) ). \\ \end(matris)\]

Låt oss återgå till det ursprungliga problemet och titta på produkten:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \höger)\vänster(x+2 \höger))=\frac(1)(x+2)\]

Svar: \[\frac(1)(x+2)\].

Innebörden av denna uppgift är densamma som den föregående: att visa hur rationella uttryck kan förenklas om du närmar dig deras omvandling på ett klokt sätt.

Och nu när du vet allt detta, låt oss gå vidare till huvudämnet för dagens lektion - att lösa fraktionerade rationella ojämlikheter. Dessutom, efter en sådan förberedelse kommer du att knäcka själva ojämlikheterna som nötter. :)

Det främsta sättet att lösa rationella ojämlikheter

Det finns åtminstone två tillvägagångssätt för att lösa rationella ojämlikheter. Nu ska vi titta på en av dem - den som är allmänt accepterad i skolans matematikkurs.

Men först, låt oss notera en viktig detalj. Alla ojämlikheter är uppdelade i två typer:

Strikt: $f\left(x \right) \gt 0$ eller $f\left(x \right) \lt 0$;
Lax: $f\left(x \right)\ge 0$ eller $f\left(x \right)\le 0$.

Ojämlikheter av den andra typen kan lätt reduceras till den första, liksom ekvationen:

Detta lilla “tillägg” $f\left(x \right)=0$ leder till en sådan obehaglig sak som fyllda punkter - vi blev bekanta med dem i intervallmetoden. Annars finns det inga skillnader mellan strikta och icke-strikta ojämlikheter, så låt oss titta på den universella algoritmen:

Samla alla element som inte är noll på ena sidan av olikhetstecknet. Till exempel till vänster;

Minska alla bråk till en gemensam nämnare (om det finns flera sådana bråk), ta med liknande. Faktorera sedan, om möjligt, täljaren och nämnaren. På ett eller annat sätt kommer vi att få en olikhet av formen $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$, där "bocken" är olikhetstecknet .

Vi likställer täljaren med noll: $P\left(x \right)=0$. Vi löser denna ekvation och får rötterna $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... Sedan kräver vi att nämnaren inte var lika med noll: $Q\left(x \right)\ne 0$. Naturligtvis måste vi i huvudsak lösa ekvationen $Q\left(x \right)=0$, och vi får rötterna $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*)$ , $x_(3 )^(*)$, ... (i verkliga problem kommer det knappast att finnas fler än tre sådana rötter).

Vi markerar alla dessa rötter (både med och utan asterisker) på en enda tallinje, och rötterna utan stjärnor målas över, och de med stjärnor punkteras.

Vi placerar "plus" och "minus" tecknen, välj de intervaller som vi behöver. Om olikheten har formen $f\left(x \right) \gt 0$, så blir svaret intervallen markerade med ett "plus". Om $f\left(x \right) \lt 0$, så tittar vi på intervallen med "minus".

Övning visar att de största svårigheterna orsakas av punkterna 2 och 4 - kompetenta transformationer och korrekt arrangemang av siffror i stigande ordning. Tja, i det sista steget, var extremt försiktig: vi placerar alltid skyltar utifrån den allra sista ojämlikheten som skrevs innan vi gick vidare till ekvationerna. Detta är en universell regel, ärvd från intervallmetoden.

Så det finns ett schema. Låt oss öva.

Uppgift. Lös ojämlikheten:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

Lösning. Vi har en strikt olikhet av formen $f\left(x \right) \lt 0$. Uppenbarligen har punkterna 1 och 2 i vårt system redan uppfyllts: alla element av ojämlikhet är samlade till vänster, det finns inget behov av att föra någonting till en gemensam nämnare. Låt oss därför gå direkt till den tredje punkten.

Vi likställer täljaren med noll:

\[\begin(align) & x-3=0; \\ & x=3. \end(align)\]

Och nämnaren:

\[\begin(align) & x+7=0; \\ & ((x)^(*))=-7. \\ \end(align)\]

Det är här många människor fastnar, för i teorin måste du skriva $x+7\ne 0$, som krävs av ODZ (du kan inte dividera med noll, det är allt). Men i framtiden kommer vi att pricka ut poängen som kom från nämnaren, så det finns ingen anledning att komplicera dina beräkningar igen - skriv ett likhetstecken överallt och oroa dig inte. Ingen kommer att dra av poäng för detta. :)

Fjärde punkten. Vi markerar de resulterande rötterna på tallinjen:
Alla punkter är fastställda, eftersom ojämlikheten är strikt
Notera: alla punkter är fastställda, eftersom den ursprungliga ojämlikheten är strikt. Och här spelar det ingen roll om dessa poäng kom från täljaren eller nämnaren.

Nåväl, låt oss titta på tecknen. Låt oss ta valfritt tal $((x)_(0)) \gt 3$. Till exempel, $((x)_(0))=100$ (men med samma framgång skulle man kunna ta $((x)_(0))=3.1$ eller $((x)_(0)) = 1\ 000\ 000 $). Vi får:

Så till höger om alla rötter har vi en positiv region. Och när man passerar genom varje rot ändras tecknet (detta kommer inte alltid att vara fallet, men mer om det senare). Låt oss därför gå vidare till den femte punkten: ordna skyltarna och välj den du behöver:

Låt oss återgå till den sista ojämlikheten som var innan vi löste ekvationerna. Egentligen sammanfaller det med den ursprungliga, eftersom vi inte utförde några transformationer i denna uppgift.

Eftersom vi behöver lösa en olikhet av formen $f\left(x \right) \lt 0$, skuggade jag intervallet $x\in \left(-7;3 \right)$ - det är det enda som är markerat med ett minustecken. Detta är svaret.

Svar: $x\in \left(-7;3 \right)$

Det är allt! Är det svårt? Nej, det är inte svårt. Det är sant att uppgiften var lätt. Låt oss nu komplicera uppdraget lite och överväga en mer "sofistikerad" ojämlikhet. När jag löser det kommer jag inte längre att ge sådana detaljerade beräkningar - jag kommer helt enkelt att beskriva nyckelpunkterna. I allmänhet kommer vi att formatera det på samma sätt som vi skulle formatera det under självständigt arbete eller en tentamen. :)

Uppgift. Lös ojämlikheten:

\[\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0\]

Lösning. Detta är en icke strikt olikhet av formen $f\left(x \right)\ge 0$. Alla element som inte är noll är samlade till vänster, det finns inga olika nämnare. Låt oss gå vidare till ekvationerna.

Täljare:

\[\begin(align) & \left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\Högerpil ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\Högerpil ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \end(align)\]

Nämnare:

\[\begin(align) & 13x-4=0; \\ & 13x=4; \\ & ((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \end(align)\]

Jag vet inte vilken typ av pervers som skapade det här problemet, men rötterna blev inte särskilt bra: det skulle vara svårt att placera dem på tallinjen. Och om med roten $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ allt är mer eller mindre tydligt (detta är det enda positiva talet - det kommer att vara till höger), då $ ((x)_(1 ))=-(1)/(7)\;$ och $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$ kräver ytterligare forskning: vilken är större?

Du kan ta reda på detta till exempel så här:

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2) ))\]

Jag hoppas att det inte finns något behov av att förklara varför det numeriska bråket $-(2)/(14)\; \gt -(2)/(11)\;$? Vid behov rekommenderar jag att komma ihåg hur man utför operationer med bråk.

Och vi markerar alla tre rötterna på tallinjen:
Prickarna från täljaren fylls i, prickarna från nämnaren punkteras
Vi sätter upp skyltar. Till exempel kan du ta $((x)_(0))=1$ och ta reda på tecknet vid denna punkt:

\[\begin(align) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4); \\ & f\left(1 \right)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\\end(align)\]

Den sista olikheten före ekvationerna var $f\left(x \right)\ge 0$, så vi är intresserade av plustecknet.

Vi har två uppsättningar: den ena är ett vanligt segment och den andra är en öppen stråle på tallinjen.

Svar: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$

En viktig anmärkning om siffrorna som vi ersätter för att ta reda på tecknet längst till höger. Det är absolut inte nödvändigt att ersätta talet närmast roten längst till höger. Du kan ta miljarder eller till och med "plus-oändlighet" - i det här fallet bestäms tecknet för polynomet i parentes, täljare eller nämnare enbart av tecknet för den ledande koefficienten.

Låt oss titta igen på funktionen $f\left(x \right)$ från den senaste olikheten:

Dess notation innehåller tre polynom:

\[\begin(align) & ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1; \\ & ((P)_(2))\vänster(x \höger)=11x+2; \\ & Q\vänster(x \höger)=13x-4. \end(align)\]

Alla av dem är linjära binomialer, och alla deras ledande koefficienter (nummer 7, 11 och 13) är positiva. Därför, när man ersätter mycket stora tal, kommer polynomen i sig också att vara positiva. :)

Denna regel kan tyckas alltför komplicerad, men bara till en början när vi analyserar mycket enkla problem. I allvarliga ojämlikheter kommer vi att ersätta "plus-oändlighet" att vi kan räkna ut tecknen mycket snabbare än standarden $((x)_(0))=100$.

Vi kommer att ställas inför sådana utmaningar mycket snart. Men först, låt oss titta på ett alternativt sätt att lösa fraktionerade rationella ojämlikheter.

Alternativt sätt

Denna teknik föreslogs till mig av en av mina elever. Jag har själv aldrig använt det, men praktiken har visat att många elever verkligen tycker att det är bekvämare att lösa ojämlikheter på det här sättet.

Så de ursprungliga uppgifterna är desamma. Vi måste lösa den fraktionella rationella ojämlikheten:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\]

Låt oss tänka: varför är polynomet $Q\left(x \right)$ "sämre" än polynomet $P\left(x \right)$? Varför måste vi överväga separata grupper av rötter (med och utan asterisk), tänka på punkterade punkter etc.? Det är enkelt: ett bråk har en definitionsdomän, enligt vilken bråket är vettigt bara när dess nämnare skiljer sig från noll.

Annars finns det inga skillnader mellan täljaren och nämnaren: vi likställer det också med noll, letar efter rötterna och markerar dem sedan på tallinjen. Så varför inte byta ut bråklinjen (i själva verket divisionstecknet) med vanlig multiplikation och skriva ner alla krav för ODZ i form av en separat olikhet? Till exempel, så här:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & P\left(x \right)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Observera: detta tillvägagångssätt kommer att reducera problemet till intervallmetoden, men kommer inte att komplicera lösningen alls. När allt kommer omkring kommer vi fortfarande att likställa polynomet $Q\left(x \right)$ med noll.

Låt oss se hur detta fungerar på verkliga problem.

Uppgift. Lös ojämlikheten:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

Lösning. Så låt oss gå vidare till intervallmetoden:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\Högerpil \left\( \begin(align) & \left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Den första ojämlikheten kan lösas på ett elementärt sätt. Vi likställer helt enkelt varje parentes till noll:

\[\begin(align) & x+8=0\Högerpil ((x)_(1))=-8; \\ & x-11=0\Högerpil ((x)_(2))=11. \\ \end(align)\]

Den andra ojämlikheten är också enkel:

Markera punkterna $((x)_(1))$ och $((x)_(2))$ på talraden. Alla är utslagna, eftersom ojämlikheten är strikt:
Den rätta punkten skars ut två gånger. Det här är okej.
Var uppmärksam på punkten $x=11$. Det visar sig att den är "dubbelpunkterad": å ena sidan sticker vi ut den på grund av ojämlikhetens svårighetsgrad, å andra sidan på grund av det extra kravet på DL.

Det blir i alla fall bara en punkterad punkt. Därför ordnar vi tecknen för olikheten $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ - det sista vi såg innan vi började lösa ekvationerna:

Vi är intresserade av positiva regioner, eftersom vi löser en olikhet av formen $f\left(x \right) \gt 0$ - vi kommer att skugga dem. Allt som återstår är att skriva ner svaret.

Svar. $x\in \left(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \right)$

Med den här lösningen som exempel skulle jag vilja varna dig för ett vanligt misstag bland nybörjarstudenter. Nämligen: aldrig öppna parenteser inom ojämlikheter! Tvärtom, försök att faktorisera allt - detta kommer att förenkla lösningen och rädda dig från många problem.

Låt oss nu prova något mer komplicerat.

Uppgift. Lös ojämlikheten:

\[\frac(\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right))(15x+33)\le 0\]

Lösning. Detta är en icke strikt ojämlikhet av formen $f\left(x \right)\le 0$, så här måste du vara noggrann uppmärksam på de skuggade punkterna.

Låt oss gå vidare till intervallmetoden:

\[\left\( \begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)\le 0, \\ & 15x+33\ ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Låt oss gå till ekvationen:

\[\begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0 \\ & 2x-13=0\Högerpil ((x )_(1))=6,5; \\ & 12x-9=0\Högerpil ((x)_(2))=0,75; \\ & 15x+33=0\Högerpil ((x)_(3))=-2.2. \\ \end(align)\]

Vi tar hänsyn till det ytterligare kravet:

Vi markerar alla resulterande rötter på tallinjen:
Om en punkt är både punkterad och ifylld anses den vara punkterad
Återigen, två punkter "överlappar" varandra - det här är normalt, det kommer alltid att vara så här. Det är bara viktigt att förstå att en punkt markerad som både punkterad och målad över faktiskt är en punkterad punkt. De där. "stickning" är en starkare handling än "målning".

Detta är helt logiskt, eftersom vi genom att nypa markerar punkter som påverkar funktionens tecken, men som inte själva deltar i svaret. Och om numret vid någon tidpunkt inte längre passar oss (till exempel faller det inte in i ODZ), stryker vi det från övervägande till slutet av uppgiften.

I allmänhet, sluta filosofera. Vi placerar skyltar och målar över de intervallen som är markerade med ett minustecken:

Svar. $x\in \left(-\infty ;-2.2 \right)\bigcup \left[ 0.75;6.5 \right]$.

Och återigen ville jag uppmärksamma er på denna ekvation:

\[\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0\]

Än en gång: öppna aldrig parenteserna i sådana ekvationer! Du kommer bara att göra saker svårare för dig själv. Kom ihåg: produkten är lika med noll när minst en av faktorerna är lika med noll. Följaktligen "faller denna ekvation helt enkelt isär" i flera mindre, som vi löste i föregående problem.

Med hänsyn till mångfalden av rötter

Av de tidigare problemen är det lätt att se att det är de icke strikta ojämlikheterna som är svårast, eftersom man i dem måste hålla koll på de skuggade punkterna.

Men det finns en ännu större ondska i världen - dessa är flera rötter i ojämlikheter. Här behöver du inte längre hålla reda på några skuggade prickar - här kanske ojämlikhetstecknet inte plötsligt ändras när du passerar genom dessa samma prickar.

Vi har ännu inte funderat på något liknande i den här lektionen (även om ett liknande problem ofta stött på i intervallmetoden). Därför introducerar vi en ny definition:

Definition. Roten till ekvationen $((\left(x-a \right))^(n))=0$ är lika med $x=a$ och kallas roten av $n$:te multipliciteten.

Egentligen är vi inte särskilt intresserade av det exakta värdet av multipliciteten. Det enda som spelar roll är om samma nummer $n$ är jämnt eller udda. Därför att:

Om $x=a$ är en rot av jämn multiplicitet, så ändras inte funktionens tecken när den passerar den;
Och vice versa, om $x=a$ är en rot av udda multiplicitet, kommer funktionens tecken att ändras.

Alla tidigare problem som diskuteras i den här lektionen är ett specialfall av en rot av udda multiplicitet: överallt är multipliciteten lika med en.

Och vidare. Innan vi börjar lösa problem skulle jag vilja uppmärksamma er på en subtilitet som verkar uppenbar för en erfaren student, men som driver många nybörjare i dvala. Nämligen:

Roten till multipliciteten $n$ uppstår endast i det fall då hela uttrycket höjs till denna potens: $((\left(x-a \right))^(n))$, och inte $\left(((x) ^( n))-a \right)$.

Än en gång: parentesen $((\left(x-a \right))^(n))$ ger oss roten $x=a$ av multipliciteten $n$, men parentesen $\left(((x)^( n)) -a \right)$ eller, som ofta händer, $(a-((x)^(n)))$ ger oss en rot (eller två rötter, om $n$ är jämn) av den första multipliciteten , oavsett vad som är lika med $n$.

Jämföra:

\[((\vänster(x-3 \höger))^(5))=0\Högerpil x=3\vänster(5k \höger)\]

Allt är klart här: hela konsolen höjdes till femte potensen, så resultatet vi fick var roten till femte potensen. Och nu:

\[\vänster(((x)^(2))-4 \höger)=0\högerpil ((x)^(2))=4\högerpil x=\pm 2\]

Vi har två rötter, men båda har första multiplicitet. Eller här är en till:

\[\left(((x)^(10))-1024 \right)=0\högerpil ((x)^(10))=1024\högerpil x=\pm 2\]

Och låt inte den tionde graden störa dig. Huvudsaken är att 10 är ett jämnt tal, så vid utgången har vi två rötter, och båda har återigen den första multipeln.

I allmänhet, var försiktig: mångfald uppstår endast när graden avser hela parentesen, inte bara variabeln.

Uppgift. Lös ojämlikheten:

\[\frac(((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right))((\left(x+7) \höger))^(5)))\ge 0\]

Lösning. Låt oss försöka lösa det på ett alternativt sätt - genom övergången från kvoten till produkten:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0. \\ \end(align )\höger.\]

Låt oss ta itu med den första ojämlikheten med intervallmetoden:

\[\begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left( x+7 \höger))^(5))=0; \\ & ((x)^(2))=0\Högerpil x=0\vänster(2k \höger); \\ & ((\vänster(6-x \höger))^(3))=0\Högerpil x=6\vänster(3k \höger); \\ & x+4=0\Högerpil x=-4; \\ & ((\vänster(x+7 \höger))^(5))=0\Högerpil x=-7\vänster(5k \höger). \\ \end(align)\]

Dessutom löser vi den andra ojämlikheten. Faktum är att vi redan har löst det, men för att granskarna inte ska hitta fel på lösningen är det bättre att lösa det igen:

\[((\vänster(x+7 \höger))^(5))\ne 0\Högerpil x\ne -7\]

Observera: det finns inga multipliciteter i den sista ojämlikheten. Egentligen: vilken skillnad gör det hur många gånger du stryker över punkten $x=-7$ på tallinjen? Minst en gång, minst fem gånger blir resultatet detsamma: en punkterad punkt.

Låt oss markera allt vi har på talraden:

Som sagt, punkten $x=-7$ kommer så småningom att punkteras. Multiplikheterna är ordnade utifrån att lösa ojämlikheten med intervallmetoden.

Allt som återstår är att placera skyltarna:

Eftersom punkten $x=0$ är en rot av jämn multiplicitet, ändras inte tecknet när det passerar genom den. De återstående punkterna har en udda mångfald, och allt är enkelt med dem.

Svar. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$

Än en gång, var uppmärksam på $x=0$. På grund av den jämna mångfalden uppstår en intressant effekt: allt till vänster om det målas över, allt till höger målas också över, och själva spetsen målas helt över.

Som ett resultat behöver den inte vara isolerad när du spelar in svaret. De där. det finns inget behov av att skriva något som $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ (även om ett sådant svar formellt också skulle vara korrekt). Istället skriver vi omedelbart $x\in \left[ -4;6 \right]$.

Sådana effekter är möjliga endast med rötter av jämn mångfald. Och i nästa problem kommer vi att möta den omvända "manifestationen" av denna effekt. Redo?

Uppgift. Lös ojämlikheten:

\[\frac(((\vänster(x-3 \höger))^(4))\vänster(x-4 \höger))(((\vänster(x-1 \höger))^(2)) \left(7x-10-((x)^(2)) \right))\ge 0\]

Lösning. Den här gången kommer vi att följa standardschemat. Vi likställer täljaren med noll:

\[\begin(align) & ((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right)=0; \\ & ((\vänster(x-3 \höger))^(4))=0\Högerpil ((x)_(1))=3\vänster(4k \höger); \\ & x-4=0\Högerpil ((x)_(2))=4. \\ \end(align)\]

Och nämnaren:

\[\begin(align) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \right)=0; \\ & ((\vänster(x-1 \höger))^(2))=0\Högerpil x_(1)^(*)=1\vänster(2k \höger); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\Högerpil x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \end(align)\]

Eftersom vi löser en icke strikt olikhet av formen $f\left(x \right)\ge 0$, kommer rötterna från nämnaren (som har asterisker) att tas ut och de från täljaren skuggas.

Vi placerar skyltar och skuggar de områden som är markerade med ett "plus":
Punkt $x=3$ är isolerad. Detta är en del av svaret
Innan vi skriver ner det slutliga svaret, låt oss ta en närmare titt på bilden:

Punkten $x=1$ har en jämn multiplicitet, men är själv punkterad. Följaktligen måste det isoleras i svaret: du måste skriva $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, och inte $x\in \left(-\ infty ;2 \right)$.

Punkten $x=3$ har också en jämn multiplicitet och är skuggad. Arrangemanget av tecken indikerar att själva punkten passar oss, men ett steg åt vänster eller höger – och vi befinner oss i ett område som definitivt inte passar oss. Sådana punkter kallas isolerade och skrivs i formen $x\in \left$ 3 \right$$.

Vi kombinerar alla mottagna bitar till en gemensam uppsättning och skriver ner svaret.

Svar: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left$ 3 \right$\bigcup \left[ 4;5 \right) $

Definition. Att lösa ojämlikhet betyder hitta alla dess lösningar, eller bevisa att denna uppsättning är tom.

Det verkar: vad kan vara obegripligt här? Ja, faktum är att mängder kan definieras på olika sätt. Låt oss skriva ner svaret på det sista problemet igen:

Vi läser bokstavligen vad som står. Variabeln "x" tillhör en viss mängd, som erhålls genom att kombinera (U-tecknet) fyra separata uppsättningar:

Intervall $\left(-\infty ;1 \right)$, vilket bokstavligen betyder "alla tal mindre än ett, men inte själva enheten";
Intervall $\left(1;2 \right)$, dvs. "alla siffror i intervallet från 1 till 2, men inte själva siffrorna 1 och 2";
Uppsättningen $\left$ 3 \right$$, bestående av ett enda nummer - tre;
Intervallet $\left[ 4;5 \right)$ som innehåller alla siffror i intervallet 4 till 5, såväl som själva fyran, men inte de fem.

Den tredje punkten är av intresse här. Till skillnad från intervall, som definierar oändliga uppsättningar av tal och endast indikerar gränserna för dessa uppsättningar, anger uppsättningen $\left$ 3 \right$$ strikt ett tal genom uppräkning.

För att förstå att vi listar specifika nummer som ingår i uppsättningen (och inte sätter gränser eller något annat), används lockiga hängslen. Till exempel betyder notationen $\left$ 1;2 \right$$ exakt "en mängd som består av två tal: 1 och 2", men inte ett segment från 1 till 2. Blanda inte ihop dessa begrepp under några omständigheter .

Regel för att lägga till multiplar

Tja, i slutet av dagens lektion, en liten burk från Pavel Berdov. :)

Uppmärksamma elever har säkert redan undrat: vad händer om täljaren och nämnaren har samma rötter? Så, följande regel fungerar:

Mångfalden av identiska rötter läggs till. Alltid. Även om denna rot förekommer i både täljaren och nämnaren.

Ibland är det bättre att bestämma sig än att prata. Därför löser vi följande problem:

Uppgift. Lös ojämlikheten:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+ 9x+14 \höger))\ge 0\]

\[\begin(align) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \end(align)\]

Inget speciellt än. Vi likställer nämnaren med noll:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+9x+14 \right)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Högerpil x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Högerpil x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \end(align)\]

Två identiska rötter upptäcktes: $((x)_(1))=-2$ och $x_(4)^(*)=-2$. Båda har den första multipliciteten. Därför ersätter vi dem med en rot $x_(4)^(*)=-2$, men med multipliciteten 1+1=2.

Dessutom finns det identiska rötter: $((x)_(2))=-4$ och $x_(2)^(*)=-4$. De är också av den första multipliciteten, så endast $x_(2)^(*)=-4$ av multipliciteten 1+1=2 kommer att finnas kvar.

Observera: i båda fallen lämnade vi exakt den "punkterade" roten och uteslöt den "målade" från övervägande. För i början av lektionen kom vi överens: om en punkt både punkteras och målas över, så anser vi den ändå vara punkterad.

Som ett resultat har vi fyra rötter, och alla klipptes ut:

\[\begin(align) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\vänster(2k \höger); \\ & x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\vänster(2k \höger). \\ \end(align)\]

Vi markerar dem på tallinjen, med hänsyn till multipliciteten:

Vi placerar skyltar och målar över de områden som är intressanta för oss:

Allt. Inga isolerade punkter eller andra perversioner. Du kan skriva ner svaret.

Svar. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.

Regel för att multiplicera multiplar

Ibland uppstår en ännu mer obehaglig situation: en ekvation som har flera rötter höjs i sig till viss makt. I det här fallet ändras mångfalden av alla ursprungliga rötter.

Detta är sällsynt, så de flesta elever har ingen erfarenhet av att lösa sådana problem. Och regeln här är:

När en ekvation höjs till $n$-potentialen ökar också multipliciteten av alla dess rötter med $n$ gånger.

Med andra ord, att höja till en potens leder till att multipliceringarna multipliceras med samma potens. Låt oss titta på denna regel med ett exempel:

Uppgift. Lös ojämlikheten:

\[\frac(x((\vänster(((x)^(2))-6x+9 \höger))^(2))((\vänster(x-4 \höger))^(5)) )(((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2)))\le 0\]

Lösning. Vi likställer täljaren med noll:

Produkten är noll när minst en av faktorerna är noll. Allt är klart med den första faktorn: $x=0$. Men sedan börjar problemen:

\[\begin(align) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))=0; \\ & ((x)^(2))-6x+9=0\vänster(2k \höger); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\left(2k \right)\left(2k \right) \ \& ((x)_(2))=3\vänster(4k \höger) \\ \end(align)\]

Som vi ser har ekvationen $((x)^(2))-6x+9=0$ en enkel rot av den andra multipliciteten: $x=3$. Hela denna ekvation kvadreras sedan. Därför blir multipliciteten av roten $2\cdot 2=4$, vilket är vad vi så småningom skrev ner.

\[((\vänster(x-4 \höger))^(5))=0\högerpil x=4\vänster(5k \höger)\]

Det finns inga problem med nämnaren heller:

\[\begin(align) & ((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2))=0; \\ & ((\vänster(2-x \höger))^(3))=0\Högerpil x_(1)^(*)=2\vänster(3k \höger); \\ & ((\vänster(x-1 \höger))^(2))=0\Högerpil x_(2)^(*)=1\vänster(2k \höger). \\ \end(align)\]

Totalt fick vi fem prickar: två punkterade och tre målade. Det finns inga sammanfallande rötter i täljaren och nämnaren, så vi markerar dem helt enkelt på talraden:

Vi arrangerar skyltarna med hänsyn till mångfald och målar över de intervaller som intresserar oss:
Återigen en isolerad punkt och en punkterad
På grund av rötterna till jämn mångfald fick vi återigen ett par "icke-standardiserade" element. Detta är $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, och inte $x\in \left[ 0;2 \right)$, och även en isolerad punkt $ x\in \left$ 3 \right$$.

Svar. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left$ 3 \right$\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$

Som du kan se är allt inte så komplicerat. Huvudsaken är uppmärksamhet. Den sista delen av den här lektionen ägnas åt transformationer - samma som vi diskuterade i början.

Förkonverteringar

De ojämlikheter som vi kommer att undersöka i detta avsnitt kan inte kallas komplexa. Men till skillnad från tidigare uppgifter kommer du här att behöva tillämpa färdigheter från teorin om rationella bråk - faktorisering och reduktion till en gemensam nämnare.

Vi diskuterade denna fråga i detalj i början av dagens lektion. Om du inte är säker på att du förstår vad jag pratar om rekommenderar jag starkt att gå tillbaka och upprepa det. För det är ingen idé att proppa metoder för att lösa ojämlikheter om man "flyter" i att konvertera bråk.

I läxor kommer det förresten också att finnas många liknande uppgifter. De placeras i en separat underavdelning. Och där hittar du mycket icke-triviala exempel. Men detta kommer att vara i läxor, och låt oss nu titta på ett par sådana ojämlikheter.

Uppgift. Lös ojämlikheten:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

Lösning. Flytta allt åt vänster:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

Vi tar till en gemensam nämnare, öppnar parenteserna och tar med liknande termer i täljaren:

\[\begin(align) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \right)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \right)\left(x-1 \ höger))(x\cdot \left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\vänster(((x)^(2))-2x-x+2 \höger))(x\vänster(x-1 \höger)) \le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\vänster(x-1 \höger))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0. \\\end(align)\]

Nu har vi framför oss en klassisk bråk-rationell ojämlikhet, vars lösning inte längre är svår. Jag föreslår att lösa det med en alternativ metod - genom metoden med intervaller:

\[\begin(align) & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \end(align)\]

Glöm inte begränsningen som kommer från nämnaren:

Vi markerar alla nummer och begränsningar på nummerraden:

Alla rötter har första multiplicitet. Inga problem. Vi sätter helt enkelt skyltar och målar över de områden vi behöver:

Detta är allt. Du kan skriva ner svaret.

Svar. $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \right)$.

Naturligtvis var detta ett väldigt enkelt exempel. Så låt oss nu titta på problemet mer seriöst. Och förresten, nivån på denna uppgift är ganska överensstämmande med självständigt och testarbete om detta ämne i 8:e klass.

Uppgift. Lös ojämlikheten:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

Lösning. Flytta allt åt vänster:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

Innan vi för båda bråken till en gemensam nämnare, låt oss faktorisera dessa nämnare. Vad händer om samma parentes kommer ut? Med den första nämnaren är det enkelt:

\[((x)^(2))+8x-9=\vänster(x-1 \höger)\vänster(x+9 \höger)\]

Den andra är lite svårare. Lägg gärna till en konstant faktor i parentesen där bråket förekommer. Kom ihåg: det ursprungliga polynomet hade heltalskoefficienter, så det finns en god chans att faktoriseringen kommer att ha heltalskoefficienter (i själva verket kommer den alltid att göra det, om inte diskriminanten är irrationell).

\[\begin(align) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac(2)(3) \right)= \\ & =\left(x-1 \right)\left(3x-2 \right) \end(align)\]

Som du kan se finns det en vanlig parentes: $\left(x-1 \right)$. Vi återvänder till ojämlikheten och för båda bråken till en gemensam nämnare:

\[\begin(align) & \frac(1)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right))-\frac(1)(\left(x-1 \right)\ vänster(3x-2 \höger))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right )\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ \end(align)\]

Vi likställer nämnaren med noll:

\[\begin(align) & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( justera)\]

Inga multiplar eller sammanfallande rötter. Vi markerar fyra siffror på raden:

Vi sätter ut skyltar:

Vi skriver ner svaret.

Svar: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5.5;+\infty \ right) $.

Allt! Så här läser jag till den här raden. :)

Ojämlikheter kallas linjära vars vänstra och högra sida är linjära funktioner med avseende på den okända kvantiteten. Dessa inkluderar till exempel ojämlikheter:

2x-1-x+3; 7x0;

5 >4 - 6x 9- x< x + 5 .

1) Strikta ojämlikheter: axe +b>0 eller yxa+b<0

2) Icke strikta ojämlikheter: axe +b≤0 eller yxa+b≫ 0

Låt oss analysera denna uppgift. En av parallellogrammets sidor är 7 cm. Hur lång måste den andra sidan vara så att parallellogrammets omkrets är större än 44 cm?

Låt den önskade sidan vara X cm I detta fall kommer parallellogrammets omkrets att representeras av (14 + 2x) cm. Olikheten 14 + 2x > 44 är en matematisk modell av problemet med omkretsen av ett parallellogram. Om vi ersätter variabeln i denna olikhet X på till exempel talet 16, då får vi den korrekta numeriska olikheten 14 + 32 > 44. I det här fallet säger de att talet 16 är en lösning på olikheten 14 + 2x > 44.

Att lösa ojämlikheten namnge värdet på en variabel som gör den till en sann numerisk olikhet.

Därför är vart och ett av talen 15,1; 20;73 fungerar som en lösning på olikheten 14 + 2x > 44, men talet 10 är till exempel inte dess lösning.

Lös ojämlikhet innebär att etablera alla sina lösningar eller att bevisa att det inte finns några lösningar.

Formuleringen av lösningen till ojämlikheten liknar formuleringen av roten till ekvationen. Och ändå är det inte vanligt att beteckna "ojämlikhetens rot".

Egenskaperna hos numeriska likheter hjälpte oss att lösa ekvationer. På samma sätt kommer egenskaperna hos numeriska ojämlikheter att hjälpa till att lösa ojämlikheter.

När vi löser en ekvation ändrar vi den till en annan, enklare ekvation, men likvärdig med den givna. Svaret på ojämlikheter finns på ett liknande sätt. När de ändrar en ekvation till en ekvivalent ekvation använder de satsen om att överföra termer från en sida av ekvationen till den motsatta och om att multiplicera båda sidor av ekvationen med samma tal som inte är noll. När man löser en olikhet finns det en betydande skillnad mellan den och en ekvation, vilket ligger i det faktum att vilken lösning som helst av en ekvation kan verifieras helt enkelt genom att substitutionen in i den ursprungliga ekvationen. När det gäller ojämlikheter saknas denna metod, eftersom det inte är möjligt att ersätta otaliga lösningar med den ursprungliga ojämlikheten. Därför finns det ett viktigt koncept, dessa pilar<=>är ett tecken på likvärdiga eller likvärdiga transformationer. Förvandlingen kallas likvärdig, eller likvärdig, om de inte ändrar uppsättningen av lösningar.

Liknande regler för att lösa ojämlikheter.

Om vi flyttar någon term från en del av ojämlikheten till en annan, och ersätter dess tecken med det motsatta, får vi en olikhet som motsvarar denna.

Om båda sidorna av olikheten multipliceras (divideras) med samma positiva tal får vi en olikhet som motsvarar denna.

Om båda sidorna av olikheten multipliceras (divideras) med samma negativa tal, och ersätter olikhetstecknet med det motsatta, får vi en olikhet som motsvarar den givna.

Använder dessa regler Låt oss beräkna följande ojämlikheter.

1) Låt oss analysera ojämlikheten 2x - 5 > 9.

Detta linjär ojämlikhet, kommer vi att hitta dess lösning och diskutera de grundläggande begreppen.

2x - 5 > 9<=>2x>14(5 flyttades till vänster sida med motsatt tecken), sedan dividerade vi allt med 2 och det har vi x > 7. Låt oss plotta uppsättningen av lösningar på axeln x

Vi har fått en positivt riktad stråle. Vi noterar mängden lösningar antingen i form av ojämlikhet x > 7, eller i form av intervallet x(7; ∞). Vad är en särskild lösning på denna ojämlikhet? Till exempel, x = 10är en speciell lösning på denna ojämlikhet, x = 12– Det här är också en speciell lösning på denna ojämlikhet.

Det finns många dellösningar, men vår uppgift är att hitta alla lösningar. Och det finns oftast otaliga lösningar.

Låt oss reda ut det exempel 2:

2) Lös ojämlikhet 4a - 11 > a + 13.

Låt oss lösa det: A flytta den åt sidan 11 flytta den till andra sidan, vi får 3a< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 ojämlikheten har formen a<8 .

4a - 11 > a + 13<=>3a< 24 <=>a< 8 .

Vi kommer också att visa uppsättningen a< 8 , men redan på axeln A.

Vi skriver antingen svaret i form av ojämlikhet a< 8, либо A(-∞;8), 8 slås inte på.

Intervallmetod– ett enkelt sätt att lösa fraktionerade rationella ojämlikheter. Detta är namnet på ojämlikheter som innehåller rationella (eller bråk-rationella) uttryck som är beroende av en variabel.

1. Betrakta till exempel följande ojämlikhet

Intervallmetoden låter dig lösa det på ett par minuter.

På vänster sida av denna ojämlikhet finns en bråkdel rationell funktion. Rationell eftersom den inte innehåller rötter, sinus eller logaritmer - bara rationella uttryck. Till höger är noll.

Intervallmetoden är baserad på följande egenskap hos en bråkrationell funktion.

En rationell bråkfunktion kan ändra tecken endast vid de punkter där den är lika med noll eller inte existerar.

Låt oss komma ihåg hur ett kvadratiskt trinomial faktoriseras, det vill säga ett uttryck för formen.

Var och är rötterna till andragradsekvationen.

Vi ritar en axel och placerar punkterna där täljaren och nämnaren går till noll.

Nollorna i nämnaren och är punkterade punkter, eftersom funktionen på vänster sida av olikheten inte är definierad vid dessa punkter (du kan inte dividera med noll). Nollorna i täljaren och - är skuggade, eftersom ojämlikheten inte är strikt. När och vår ojämlikhet är uppfylld, eftersom båda dess sidor är lika med noll.

Dessa punkter delar upp axeln i intervall.

Låt oss bestämma tecknet för den bråkmässiga rationella funktionen på vänster sida av vår ojämlikhet på vart och ett av dessa intervall. Vi kommer ihåg att en rationell bråkfunktion kan ändra tecken endast vid de punkter där den är lika med noll eller inte existerar. Detta betyder att vid vart och ett av intervallen mellan punkterna där täljaren eller nämnaren går till noll, kommer tecknet för uttrycket på vänster sida av olikheten att vara konstant - antingen "plus" eller "minus".

Och därför, för att bestämma tecknet för funktionen på varje sådant intervall, tar vi vilken punkt som helst som hör till detta intervall. Den som är bekväm för oss.
. Ta till exempel och kontrollera uttryckets tecken på vänster sida av ojämlikheten. Var och en av "parenteserna" är negativa. Den vänstra sidan har en skylt.

Nästa intervall: . Låt oss kolla skylten vid . Vi finner att den vänstra sidan har bytt tecken till .

Låt oss ta det. När uttrycket är positivt - därför är det positivt över hela intervallet från till.

När den vänstra sidan av ojämlikheten är negativ.

Och slutligen, class="tex" alt="x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

Vi har funnit med vilka intervall uttrycket är positivt. Allt som återstår är att skriva ner svaret:

Svar: .

Observera: skyltarna växlar mellan intervaller. Detta hände pga när de passerade varje punkt ändrade exakt en av de linjära faktorerna tecken, medan resten höll den oförändrad.

Vi ser att intervallmetoden är väldigt enkel. För att lösa den bråk-rationella ojämlikheten med intervallmetoden reducerar vi den till formen:

Eller class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0"> !}, eller eller .

(på vänster sida finns en rationell bråkfunktion, på höger sida är noll).

Sedan markerar vi på tallinjen de punkter där täljaren eller nämnaren går till noll.
Dessa punkter delar upp hela tallinjen i intervall, på vilka den bråkrationella funktionen behåller sitt tecken.
Allt som återstår är att ta reda på dess tecken vid varje intervall.
Vi gör detta genom att kontrollera uttryckets tecken vid vilken punkt som helst som hör till ett givet intervall. Efter det skriver vi ner svaret. Det är allt.

Men frågan uppstår: växlar tecknen alltid? Nej inte alltid! Man ska vara försiktig och inte placera skyltar mekaniskt och tanklöst.

2. Låt oss överväga en annan ojämlikhet.

Class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \ vänster(x-3 \höger))>0"> !}

Placera punkterna på axeln igen. Prickarna och punkteras eftersom de är nollor i nämnaren. Poängen är också bortskuren, eftersom ojämlikheten är strikt.

När täljaren är positiv är båda faktorerna i nämnaren negativa. Detta kan enkelt kontrolleras genom att ta valfritt tal från ett givet intervall, till exempel . Den vänstra sidan har tecknet:

När täljaren är positiv; Den första faktorn i nämnaren är positiv, den andra faktorn är negativ. Den vänstra sidan har tecknet:

Situationen är densamma! Täljaren är positiv, den första faktorn i nämnaren är positiv, den andra är negativ. Den vänstra sidan har tecknet:

Slutligen, med class="tex" alt="x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Svar: .

Varför stördes växlingen av tecken? För när man passerar genom en punkt är multiplikatorn "ansvarig" för den bytte inte tecken. Följaktligen ändrade inte hela den vänstra sidan av vår ojämlikhet tecken.

Slutsats: om den linjära multiplikatorn är en jämn potens (till exempel i kvadrat), så ändras inte tecknet för uttrycket på vänster sida när det passerar genom en punkt. Vid en udda grad ändras förstås tecknet.

3. Låt oss överväga ett mer komplext fall. Den skiljer sig från den föregående genom att ojämlikheten inte är strikt:

Den vänstra sidan är densamma som i föregående problem. Bilden av tecken kommer att vara densamma:

Kanske blir svaret detsamma? Nej! En lösning läggs till Detta händer eftersom på både vänster och höger sida av ojämlikheten är lika med noll - därför är denna punkt en lösning.

Svar: .

Denna situation uppstår ofta i problem på Unified State Examination i matematik. Det är här sökande går i en fälla och tappar poäng. Var försiktig!

4. Vad ska man göra om täljaren eller nämnaren inte kan räknas in i linjära faktorer? Tänk på denna ojämlikhet:

Ett kvadrattrinomial kan inte faktoriseras: diskriminanten är negativ, det finns inga rötter. Men det här är bra! Detta betyder att tecknet på uttrycket för alla är detsamma, och specifikt positivt. Du kan läsa mer om detta i artikeln om egenskaper hos kvadratiska funktioner.

Och nu kan vi dela båda sidor av vår ojämlikhet med ett värde som är positivt för alla. Låt oss komma fram till en likvärdig ojämlikhet:

Vilket enkelt löses med intervallmetoden.

Observera att vi delade båda sidor av ojämlikheten med ett värde som vi säkert visste var positivt. Naturligtvis, i allmänhet, ska du inte multiplicera eller dividera en olikhet med en variabel vars tecken är okänt.

5 . Låt oss överväga en annan ojämlikhet, till synes ganska enkel:

Jag vill bara multiplicera det med . Men vi är redan smarta och vi kommer inte att göra det här. Det kan trots allt vara både positivt och negativt. Och vi vet att om båda sidor av ojämlikheten multipliceras med ett negativt värde så ändras ojämlikhetens tecken.

Vi kommer att göra det annorlunda - vi kommer att samla allt i en del och föra det till en gemensam nämnare. Den högra sidan förblir noll:

Class="tex" alt="\genfrac())()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

Och efter det – ansök intervallmetod.

Att lösa ojämlikheter online

Innan du löser ojämlikheter måste du ha en god förståelse för hur ekvationer löses.

Det spelar ingen roll om ojämlikheten är strikt () eller icke-strikt (≤, ≥), det första steget är att lösa ekvationen genom att ersätta olikhetstecknet med likhet (=).

Låt oss förklara vad det innebär att lösa en ojämlikhet?

Efter att ha studerat ekvationerna får eleven följande bild i huvudet: han behöver hitta värden på variabeln så att båda sidor av ekvationen får samma värden. Med andra ord, hitta alla punkter där jämlikhet gäller. Allt är korrekt!

När vi talar om ojämlikheter menar vi att hitta intervall (segment) som ojämlikheten håller i sig. Om det finns två variabler i olikheten, så blir lösningen inte längre intervaller, utan några områden på planet. Gissa själv vad som blir lösningen på en ojämlikhet i tre variabler?

Hur löser man ojämlikheter?

Ett universellt sätt att lösa ojämlikheter anses vara intervallmetoden (även känd som intervallmetoden), som består i att bestämma alla intervall inom vars gränser en given ojämlikhet kommer att uppfyllas.

Utan att gå in på typen av ojämlikhet, i det här fallet är det inte meningen, du måste lösa motsvarande ekvation och bestämma dess rötter, följt av beteckningen av dessa lösningar på talaxeln.

Hur man korrekt skriver lösningen på en ojämlikhet?

När du har bestämt lösningsintervallen för ojämlikheten måste du skriva ut själva lösningen korrekt. Det finns en viktig nyans - ingår gränserna för intervallen i lösningen?

Allt är enkelt här. Om lösningen till ekvationen uppfyller ODZ och olikheten inte är strikt, så ingår gränsen för intervallet i lösningen till ojämlikheten. Annars nej.

Med tanke på varje intervall kan lösningen på ojämlikheten vara själva intervallet, eller ett halvintervall (när en av dess gränser uppfyller olikheten), eller ett segment - intervallet tillsammans med dess gränser.

Viktig poäng

Tro inte att bara intervall, halvintervall och segment kan lösa ojämlikheten. Nej, lösningen kan även innehålla enskilda punkter.

Till exempel har olikheten |x|≤0 bara en lösning - det här är punkt 0.

Och ojämlikheten |x|

Varför behöver man en ojämlikhetsräknare?

Ojämlikhetsberäknaren ger det korrekta slutsvaret. I de flesta fall tillhandahålls en illustration av en nummeraxel eller ett plan. Det syns om gränserna för intervallen ingår i lösningen eller inte - punkterna visas som skuggade eller punkterade.

Tack vare onlinekalkylatorn för ojämlikhet kan du kontrollera om du hittade ekvationens rötter korrekt, markerade dem på talaxeln och kontrollerade att ojämlikhetsvillkoret uppfylldes på intervallen (och gränserna)?

Om ditt svar skiljer sig från räknarens svar, måste du definitivt dubbelkolla din lösning och identifiera felet.

Hjälp på Tele2, taxor, frågor