Olika sätt att bevisa Pythagoras sats. Olika sätt att bevisa Pythagoras sats: exempel, beskrivning och recensioner Den första Pythagoras sats

De som är intresserade av historien om Pythagoras sats, som studeras i skolans läroplan, kommer också att vara nyfikna på ett sådant faktum som publiceringen 1940 av en bok med trehundrasjuttio bevis på denna till synes enkla sats. Men det fängslade många matematiker och filosofer från olika epoker. I Guinness rekordbok är det registrerat som teoremet med maximalt antal bevis.

Pythagoras sats historia

Förknippad med namnet Pythagoras var satsen känd långt innan den store filosofens födelse. Sålunda, i Egypten, under konstruktionen av strukturer, beaktades bildförhållandet för en rät triangel för fem tusen år sedan. Babyloniska texter nämner samma bildförhållande för en rätvinklig triangel 1200 år före Pythagoras födelse.

Frågan uppstår, varför säger då historien att ursprunget till Pythagoras sats tillhör honom? Det kan bara finnas ett svar - han bevisade förhållandet mellan sidor i en triangel. Han gjorde vad de som helt enkelt använde bildförhållandet och hypotenusan som fastställts av erfarenhet inte gjorde för århundraden sedan.

Från Pythagoras liv

Den framtida store vetenskapsmannen, matematikern, filosofen föddes på ön Samos 570 f.Kr. Historiska dokument har bevarat information om Pythagoras far, som var en ädelstenshuggare, men det finns ingen information om hans mor. De sa om pojken som föddes att han var ett extraordinärt barn som visade en passion för musik och poesi från barndomen. Historiker inkluderar Hermodamas och Pherecydes av Syros som lärare för unga Pythagoras. Den första introducerade pojken i musernas värld, och den andra, som var filosof och grundare av den italienska filosofiska skolan, riktade den unge mannens blick mot logotyperna.

Vid 22 års ålder (548 f.Kr.) åkte Pythagoras till Naucratis för att studera egyptiernas språk och religion. Därefter låg hans väg i Memphis, där han tack vare prästerna, efter att ha gått igenom sina geniala tester, förstod egyptisk geometri, vilket kanske fick den nyfikna unge mannen att bevisa Pythagoras sats. Historien kommer senare att ge detta namn till satsen.

Babylons kung i fångenskap

På väg hem till Hellas blir Pythagoras tillfångatagen av kungen av Babylon. Men att vara i fångenskap gynnade det nyfikna sinnet hos den blivande matematikern han hade mycket att lära sig. Under dessa år var matematiken i Babylon faktiskt mer utvecklad än i Egypten. Han tillbringade tolv år med att studera matematik, geometri och magi. Och kanske var det babylonisk geometri som var inblandad i beviset på förhållandet mellan sidorna i en triangel och historien om upptäckten av satsen. Pythagoras hade tillräckligt med kunskap och tid för detta. Men det finns ingen dokumentär bekräftelse eller vederläggning av att detta hände i Babylon.

År 530 f.Kr. Pythagoras flyr från fångenskapen till sitt hemland, där han bor vid tyrannen Polykrates hov i status som halvslav. Pythagoras är inte nöjd med ett sådant liv, och han drar sig tillbaka till grottorna på Samos och går sedan till södra Italien, där den grekiska kolonin Croton låg vid den tiden.

Hemlig klosterordning

På basis av denna koloni organiserade Pythagoras en hemlig klosterordning, som var en religiös förening och ett vetenskapligt sällskap på samma gång. Detta sällskap hade sin egen stadga, som talade om att observera ett speciellt sätt att leva.

Pythagoras hävdade att för att förstå Gud måste en person känna till sådana vetenskaper som algebra och geometri, kunna astronomi och förstå musik. Forskningsarbete kokade ner till kunskap om den mystiska sidan av siffror och filosofi. Det bör noteras att de principer som Pythagoras predikade vid den tiden är vettiga att imiteras för närvarande.

Många av upptäckterna som Pythagoras elever gjorde tillskrevs honom. Men kort sagt, historien om skapandet av Pythagoras sats av forntida historiker och biografer från den tiden är direkt associerad med namnet på denna filosof, tänkare och matematiker.

Pythagoras läror

Kanske idén om sambandet mellan satsen och namnet Pythagoras föranleddes av den stora grekens uttalande att alla fenomen i vårt liv är krypterade i den ökända triangeln med sina ben och hypotenusa. Och denna triangel är "nyckeln" till att lösa alla nya problem. Den store filosofen sa att du borde se triangeln, då kan du anse att problemet är två tredjedelar löst.

Pythagoras talade om sin undervisning endast till sina elever muntligen, utan att göra några anteckningar, höll det hemligt. Tyvärr har den största filosofens lära inte överlevt till denna dag. Det läckte ut något, men det är omöjligt att säga hur mycket som är sant och hur mycket som är falskt i det som blev känt. Även med historien om Pythagoras sats är inte allt säkert. Historiker av matematik tvivlar på Pythagoras författarskap, enligt deras åsikt användes satsen många århundraden före hans födelse.

Pythagoras sats

Det kan tyckas konstigt, men det finns inga historiska fakta som bevisar Pythagoras själv teorem – varken i arkiven eller i några andra källor. I den moderna versionen tror man att den tillhör ingen mindre än Euklid själv.

Det finns bevis från en av de största matematikhistorikerna, Moritz Cantor, som upptäckte på en papyrus lagrad i Berlinmuseet, nedskriven av egyptierna omkring 2300 f.Kr. e. likhet, som lyder: 3² + 4² = 5².

Kort historia om Pythagoras sats

Formuleringen av teoremet från euklidiska "principer", i översättning, låter samma som i den moderna tolkningen. Det är inget nytt i hennes läsning: kvadraten på sidan mitt emot den räta vinkeln är lika med summan av kvadraterna på sidorna som gränsar till den räta vinkeln. Det faktum att de antika civilisationerna i Indien och Kina använde teoremet bekräftas av avhandlingen "Zhou - bi suan jin". Den innehåller information om den egyptiska triangeln, som beskriver bildförhållandet som 3:4:5.

Inte mindre intressant är en annan kinesisk matematisk bok, "Chu Pei", som också nämner den pythagoriska triangeln med förklaringar och ritningar som sammanfaller med ritningarna av hinduisk geometri av Bashara. Om själva triangeln säger boken att om en rät vinkel kan brytas ner i dess beståndsdelar, så kommer linjen som förbinder sidornas ändar att vara lika med fem om basen är lika med tre och höjden är lika med fyra .

Indisk avhandling "Sulva Sutra", som går tillbaka till ungefär 700-500-talen f.Kr. e. talar om att konstruera en rät vinkel med den egyptiska triangeln.

Bevis för satsen

På medeltiden ansåg eleverna att det var för svårt att bevisa ett teorem. Svaga elever lärde sig satser utantill, utan att förstå innebörden av beviset. I detta avseende fick de smeknamnet "åsnor", eftersom Pythagoras teorem var ett oöverstigligt hinder för dem, som en bro för en åsna. På medeltiden kom eleverna med en humoristisk vers om ämnet för denna sats.

För att bevisa Pythagoras sats på enklaste sätt bör du helt enkelt mäta dess sidor, utan att använda begreppet area i beviset. Längden på sidan mitt emot den räta vinkeln är c, och a och b intill den, som ett resultat får vi ekvationen: a 2 + b 2 = c 2. Detta påstående, som nämnts ovan, verifieras genom att mäta längden på sidorna i en rätvinklig triangel.

Om vi börjar beviset för satsen med att överväga arean av rektanglarna som är byggda på triangelns sidor, kan vi bestämma arean av hela figuren. Det kommer att vara lika med arean av en kvadrat med sidan (a+b), och å andra sidan summan av arean av fyra trianglar och den inre kvadraten.

(a + b) 2 = 4 x ab/2 + c2;

a2 + 2ab + b2;

c 2 = a 2 + b 2 , vilket är vad som behövde bevisas.

Den praktiska betydelsen av Pythagoras sats är att den kan användas för att hitta längderna på segment utan att mäta dem. Under konstruktionen av strukturer beräknas avstånd, placering av stöd och balkar, och tyngdpunkter bestäms. Pythagoras sats tillämpas också i all modern teknologi. De glömde inte satsen när de skapade filmer i 3D-6D-dimensioner, där förutom de tre dimensionerna vi är vana vid: höjd, längd, bredd, tid, lukt och smak beaktas. Hur är smaker och lukter relaterade till satsen, frågar du dig? Allt är väldigt enkelt - när du visar en film måste du beräkna var och vad som luktar och smakar att regissera i aulan.

Det är bara början. Obegränsade möjligheter att upptäcka och skapa ny teknik väntar nyfikna sinnen.

Pythagoras sats- en av de grundläggande satserna i euklidisk geometri, som etablerar sambandet

mellan sidorna av en rätvinklig triangel.

Man tror att den bevisades av den grekiske matematikern Pythagoras, efter vilken den fick sitt namn.

Geometrisk formulering av Pythagoras sats.

Teoremet formulerades ursprungligen enligt följande:

I en rätvinklig triangel är arean av kvadraten byggd på hypotenusan lika med summan av kvadraternas area,

byggd på ben.

Algebraisk formulering av Pythagoras sats.

I en rätvinklig triangel är kvadraten på hypotenusans längd lika med summan av kvadraterna på benens längder.

Det vill säga beteckna längden på triangelns hypotenusa med c, och längden på benen igenom a Och b:

Båda formuleringarna Pythagoras satsär likvärdiga, men den andra formuleringen är mer elementär, det gör den inte

kräver områdesbegreppet. Det vill säga att det andra påståendet kan verifieras utan att veta något om området och

genom att endast mäta längderna på sidorna i en rätvinklig triangel.

Omvänd Pythagoras sats.

Om kvadraten på en sida av en triangel är lika med summan av kvadraterna på de andra två sidorna, då

rät triangel.

Eller med andra ord:

För varje trippel positiva tal a, b Och c, Så att

det finns en rätvinklig triangel med ben a Och b och hypotenusa c.

Pythagoras sats för en likbent triangel.

Pythagoras sats för en liksidig triangel.

Bevis för Pythagoras sats.

För närvarande har 367 bevis för detta teorem registrerats i den vetenskapliga litteraturen. Förmodligen teorem

Pythagoras är den enda satsen med ett så imponerande antal bevis. Sådan mångfald

kan endast förklaras av satsens grundläggande betydelse för geometrin.

Naturligtvis kan alla konceptuellt delas in i ett litet antal klasser. Den mest kända av dem:

bevis områdesmetod, axiomatisk Och exotiska bevis(Till exempel,

genom att använda differentialekvationer).

1. Bevis för Pythagoras sats med liknande trianglar.

Följande bevis för den algebraiska formuleringen är det enklaste av de konstruerade bevisen

direkt från axiomen. I synnerhet använder den inte begreppet area av en figur.

Låta ABC det finns en rät triangel med en rät vinkel C. Låt oss rita höjden från C och beteckna

dess grund genom H.

Triangel ACH liknar en triangel AB C vid två hörn. Likaså triangel CBH liknande ABC.

Genom att introducera notationen:

vi får:

som motsvarar -

Vikt a 2 och b 2, vi får:

eller , vilket är vad som behövde bevisas.

2. Bevis för Pythagoras sats med areametoden.

Bevisen nedan är, trots sin uppenbara enkelhet, inte alls så enkla. Allihopa

använda egenskaper för arean, vars bevis är mer komplexa än beviset för själva Pythagoras sats.

Bevis genom jämviktskomplementaritet.

Låt oss ordna fyra lika rektangulära

triangel som visas i figuren

till höger.

Fyrkant med sidor c- fyrkantig,

eftersom summan av två spetsiga vinklar är 90°, och

utvikt vinkel - 180°.

Å ena sidan är hela figurens yta lika med

arean av en kvadrat med sida ( a+b), och å andra sidan, summan av areorna av fyra trianglar och

Q.E.D.

3. Bevis för Pythagoras sats med den infinitesimala metoden.

Titta på ritningen som visas i figuren och

se sidan ändrasa, vi kan

skriv följande relation för oändligt

små sidostegMed Och a(med hjälp av likhet

trianglar):

Med hjälp av variabelseparationsmetoden hittar vi:

Ett mer allmänt uttryck för förändringen i hypotenusan vid inkrement på båda sidor:

Genom att integrera denna ekvation och använda de initiala villkoren får vi:

Så kommer vi fram till det önskade svaret:

Som är lätt att se, uppstår det kvadratiska beroendet i den slutliga formeln på grund av det linjära

proportionalitet mellan triangelns sidor och inkrementen, medan summan är relaterad till den oberoende

bidrag från ökningen av olika ben.

Ett enklare bevis kan erhållas om vi antar att ett av benen inte upplever en ökning

(i det här fallet benet b). Sedan får vi för integrationskonstanten:

Berättelse

Chu-pei 500-200 f.Kr. Till vänster finns inskriften: summan av kvadraterna av längderna på höjden och basen är kvadraten på hypotenusans längd.

I den gamla kinesiska boken Chu-pei ( engelsk) (kinesiska 周髀算經) talar om en pytagoreisk triangel med sidorna 3, 4 och 5. Samma bok erbjuder en teckning som sammanfaller med en av ritningarna av den hinduiska geometrin i Bashara.

Omkring 400 f.Kr. BC, enligt Proclus, gav Platon en metod för att hitta pythagoras trillingar, kombinera algebra och geometri. Omkring 300 f.Kr. e. Det äldsta axiomatiska beviset för Pythagoras sats dök upp i Euklids element.

Formuleringar

Geometrisk formulering:

Teoremet formulerades ursprungligen enligt följande:

Algebraisk formulering:

Det vill säga anger längden på triangelns hypotenusa med , och längden på benen med och :

Båda formuleringarna av satsen är likvärdiga, men den andra formuleringen är mer elementär den kräver inte areabegreppet. Det vill säga att det andra påståendet kan verifieras utan att veta något om arean och genom att bara mäta längderna på sidorna i en rätvinklig triangel.

Converse Pythagoras sats:

För varje trippel av positiva siffror , och , så att , finns det en rätvinklig triangel med ben och och hypotenusa .

Bevis

För närvarande har 367 bevis för detta teorem registrerats i den vetenskapliga litteraturen. Förmodligen är Pythagoras sats den enda satsen med ett så imponerande antal bevis. Sådan mångfald kan endast förklaras av satsens grundläggande betydelse för geometrin.

Naturligtvis kan alla konceptuellt delas in i ett litet antal klasser. De mest kända av dem: bevis med areametoden, axiomatiska och exotiska bevis (till exempel genom att använda differentialekvationer).

Genom liknande trianglar

Följande bevis för den algebraiska formuleringen är det enklaste av bevisen, konstruerat direkt från axiomen. I synnerhet använder den inte begreppet area av en figur.

Låta ABC det finns en rät triangel med en rät vinkel C. Låt oss rita höjden från C och beteckna dess bas med H. Triangel ACH liknar en triangel ABC vid två hörn. Likaså triangel CBH liknande ABC. Genom att introducera notationen

vi får

Vad är likvärdigt

Lägger vi ihop det får vi

, vilket är vad som behövde bevisas

Bevis med areametoden

Bevisen nedan är, trots sin uppenbara enkelhet, inte alls så enkla. De använder alla egenskaper för arean, vars bevis är mer komplext än beviset för själva Pythagoras sats.

Bevis via ekvikomplementering

Låt oss ordna fyra lika räta trianglar som visas i figur 1.
Fyrkant med sidor cär en kvadrat, eftersom summan av två spetsiga vinklar är 90° och den räta vinkeln är 180°.
Arean av hela figuren är lika med, å ena sidan, arean av en kvadrat med sidan (a + b), och å andra sidan med summan av arean av de fyra trianglarna och området av det inre torget.

Q.E.D.

Euklids bevis

Tanken med Euklids bevis är följande: låt oss försöka bevisa att halva arean av kvadraten byggd på hypotenusan är lika med summan av halva areorna av kvadraterna byggda på benen, och sedan areorna av de stora och två små kvadraterna är lika.

Låt oss titta på ritningen till vänster. På den konstruerade vi kvadrater på sidorna av en rätvinklig triangel och ritade en stråle s från spetsen på den räta vinkeln C vinkelrätt mot hypotenusan AB, den skär kvadraten ABIK, byggd på hypotenusan, i två rektanglar - BHJI och HAKJ, respektive. Det visar sig att områdena för dessa rektanglar är exakt lika med områdena på kvadraterna byggda på motsvarande ben.

Låt oss försöka bevisa att arean av kvadraten DECA är lika med arean av rektangeln AHJK För att göra detta kommer vi att använda en hjälpobservation: arean av en triangel med samma höjd och bas som. den givna rektangeln är lika med halva arean av den givna rektangeln. Detta är en konsekvens av att definiera arean av en triangel som halva produkten av basen och höjden. Av denna observation följer att arean av triangeln ACK är lika med arean av triangeln AHK (visas inte i figuren), vilket i sin tur är lika med halva arean av rektangeln AHJK.

Låt oss nu bevisa att arean av triangeln ACK också är lika med halva arean av kvadratens DECA. Det enda som behöver göras för detta är att bevisa likheten mellan trianglarna ACK och BDA (eftersom arean av triangeln BDA är lika med halva arean av kvadraten enligt ovanstående egenskap). Denna likhet är uppenbar: trianglarna är lika på båda sidor och vinkeln mellan dem. Nämligen - AB=AK, AD=AC - likheten mellan vinklarna CAK och BAD är lätt att bevisa med rörelsemetoden: vi roterar triangeln CAK 90° moturs, då är det uppenbart att motsvarande sidor av de två trianglarna i frågan kommer att sammanfalla (beroende på det faktum att vinkeln vid kvadratens spets är 90°).

Resonemanget för likheten mellan områdena för kvadraten BCFG och rektangeln BHJI är helt lika.

Således bevisade vi att arean av en kvadrat byggd på hypotenusan är sammansatt av områdena med kvadrater byggda på benen. Tanken bakom detta bevis illustreras ytterligare av animationen ovan.

Bevis på Leonardo da Vinci

Huvudelementen i beviset är symmetri och rörelse.

Låt oss betrakta ritningen, som kan ses från symmetrin, segmentet skär kvadraten i två identiska delar (eftersom trianglarna är lika i konstruktion).

Med en 90-graders rotation moturs runt punkten ser vi likheten mellan de skuggade figurerna och.

Nu är det klart att arean av figuren vi har skuggat är lika med summan av hälften av ytorna på de små kvadraterna (byggda på benen) och arean av den ursprungliga triangeln. Å andra sidan är det lika med halva arean av den stora kvadraten (byggd på hypotenusan) plus arean av den ursprungliga triangeln. Således är halva summan av ytorna av små kvadrater lika med halva arean av den stora kvadraten, och därför är summan av arean av kvadrater byggda på benen lika med arean av kvadraten byggd på hypotenusa.

Bevis med den infinitesimala metoden

Följande bevis med hjälp av differentialekvationer tillskrivs ofta den berömda engelske matematikern Hardy, som levde under första hälften av 1900-talet.

Titta på ritningen som visas i figuren och observera förändringen i sidan a, kan vi skriva följande relation för infinitesimala sidosteg Med Och a(med triangellikhet):

Med hjälp av metoden för separation av variabler, finner vi

Ett mer allmänt uttryck för förändringen i hypotenusan vid inkrement på båda sidor

Genom att integrera denna ekvation och använda de initiala villkoren får vi

Därmed kommer vi fram till det önskade svaret

Som det är lätt att se uppträder det kvadratiska beroendet i den slutliga formeln på grund av den linjära proportionaliteten mellan triangelns sidor och inkrementen, medan summan är associerad med oberoende bidrag från ökningen av olika ben.

Ett enklare bevis kan erhållas om vi antar att ett av benen inte upplever en ökning (i detta fall ben). Sedan får vi för integrationskonstanten

Variationer och generaliseringar

Liknande geometriska former på tre sidor

Generalisering för liknande trianglar, area av gröna former A + B = area av blå C

Pythagoras sats med liknande räta trianglar

Euklid generaliserade Pythagoras sats i sitt arbete Början, expanderar rutornas ytor på sidorna till områdena för liknande geometriska figurer:

Om vi konstruerar liknande geometriska figurer (se euklidisk geometri) på sidorna av en rätvinklig triangel, kommer summan av de två mindre figurerna att vara lika med arean av den större figuren.

Huvudidén med denna generalisering är att arean för en sådan geometrisk figur är proportionell mot kvadraten på någon av dess linjära dimensioner och i synnerhet mot kvadraten på längden på vilken sida som helst. Därför för liknande siffror med områden A, B Och C byggd på sidor med längd a, b Och c, vi har:

Men enligt Pythagoras sats, a 2 + b 2 = c 2 då A + B = C.

Omvänt, om vi kan bevisa det A + B = C för tre liknande geometriska figurer utan att använda Pythagoras sats, då kan vi bevisa själva satsen och rör sig i motsatt riktning. Till exempel kan startmitttriangeln återanvändas som en triangel C på hypotenusan och två liknande räta trianglar ( A Och B), byggda på de andra två sidorna, som bildas genom att dividera den centrala triangeln med dess höjd. Summan av de två mindre trianglarnas area är då uppenbarligen lika med arean av den tredje, alltså A + B = C och genom att utföra det föregående beviset i omvänd ordning får vi Pythagoras sats a 2 + b 2 = c 2 .

Cosinussats

Pythagoras sats är ett specialfall av den mer allmänna cosinussatsen, som relaterar längderna på sidorna i en godtycklig triangel:

där θ är vinkeln mellan sidorna a Och b.

Om θ är 90 grader så är cos θ = 0 och formeln förenklas till den vanliga Pythagoras sats.

Gratis triangel

Till valfritt valt hörn av en godtycklig triangel med sidor a, b, c Låt oss skriva in en likbent triangel på ett sådant sätt att de lika vinklarna vid dess bas θ är lika med den valda vinkeln. Låt oss anta att den valda vinkeln θ är belägen mittemot den angivna sidan c. Som ett resultat fick vi triangel ABD med vinkeln θ, som ligger mittemot sidan a och fester r. Den andra triangeln bildas av vinkeln θ, som ligger mittemot sidan b och fester Med längd s, som det visas på bilden. Thabit Ibn Qurra hävdade att sidorna i dessa tre trianglar är relaterade enligt följande:

När vinkeln θ närmar sig π/2 blir basen av den likbenta triangeln mindre och de två sidorna r och s överlappar varandra mindre och mindre. När θ = π/2 blir ADB en rätvinklig triangel, r + s = c och vi får den initiala Pythagoras sats.

Låt oss överväga ett av argumenten. Triangel ABC har samma vinklar som triangel ABD, men i omvänd ordning. (De två trianglarna har en gemensam vinkel vid vertex B, båda har en vinkel θ och har även samma tredje vinkel, baserat på summan av triangelns vinklar) Följaktligen liknar ABC reflektionen ABD av triangeln DBA, som visas i den nedre bilden. Låt oss skriva ner förhållandet mellan motsatta sidor och de som gränsar till vinkeln θ,

Också en reflektion av en annan triangel,

Låt oss multiplicera bråken och addera dessa två förhållanden:

Q.E.D.

Generalisering för godtyckliga trianglar via parallellogram

Generalisering för godtyckliga trianglar,
grönt område tomt = område blå

Bevis på tesen som i figuren ovan

Låt oss göra en ytterligare generalisering för icke-räta trianglar genom att använda parallellogram på tre sidor istället för kvadrater. (rutor är ett specialfall.) Den översta figuren visar att för en spetsig triangel är parallellogrammets yta på långsidan lika med summan av parallellogrammen på de andra två sidorna, förutsatt att parallellogrammet på långsidan sidan är konstruerad som visas i figuren (måtten som anges av pilarna är desamma och bestämmer sidorna av det nedre parallellogrammet). Denna ersättning av kvadrater med parallellogram har en tydlig likhet med Pythagoras ursprungliga sats, som tros ha formulerats av Pappus av Alexandria år 4 e.Kr. e.

Den nedre bilden visar bevisets framsteg. Låt oss titta på den vänstra sidan av triangeln. Det vänstra gröna parallellogrammet har samma area som den vänstra sidan av det blå parallellogrammet eftersom de har samma bas b och höjd h. Dessutom har det vänstra gröna parallellogrammet samma area som det vänstra gröna parallellogrammet i den översta bilden eftersom de delar en gemensam bas (den övre vänstra sidan av triangeln) och en gemensam höjd vinkelrät mot den sidan av triangeln. Med liknande resonemang för den högra sidan av triangeln kommer vi att bevisa att det nedre parallellogrammet har samma area som de två gröna parallellogrammen.

Komplexa tal

Pythagoras sats används för att hitta avståndet mellan två punkter i ett kartesiskt koordinatsystem, och denna sats är giltig för alla sanna koordinater: avstånd s mellan två punkter ( a, b) Och ( CD) är lika med

Det är inga problem med formeln om komplexa tal behandlas som vektorer med reella komponenter x + jag y = (x, y). . Till exempel avstånd s mellan 0 + 1 i och 1 + 0 i beräknas som vektorns modul (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), eller

Men för operationer med vektorer med komplexa koordinater är det nödvändigt att göra några förbättringar av den pythagoriska formeln. Avstånd mellan punkter med komplexa tal ( a, b) Och ( c, d); a, b, c, Och d alla komplexa, vi formulerar med hjälp av absoluta värden. Distans s baserat på vektorskillnad (a − c, b − d) i följande form: låt skillnaden a − c = sid+i q, Var sid- verklig del av skillnaden, qär den imaginära delen, och i = √(−1). Likaså låt b − d = r+i s. Sedan:

var är det komplexa konjugerade talet för . Till exempel avståndet mellan punkter (a, b) = (0, 1) Och (c, d) = (i, 0) , låt oss räkna ut skillnaden (a − c, b − d) = (−i, 1) och resultatet skulle bli 0 om komplexa konjugat inte användes. Därför, genom att använda den förbättrade formeln, får vi

Modulen definieras enligt följande:

Stereometri

En betydande generalisering av Pythagoras sats för tredimensionell rymd är de Goys sats, uppkallad efter J.-P. de Gois: om en tetraeder har en rät vinkel (som i en kub), då är kvadraten på arean av ansiktet mittemot den räta vinkeln lika med summan av kvadraterna av ytorna på de andra tre ytorna. Denna slutsats kan sammanfattas som " n-dimensionell Pythagoras sats":

Pythagoras sats i det tredimensionella rymden relaterar diagonalen AD till tre sidor.

En annan generalisering: Pythagoras sats kan appliceras på stereometri i följande form. Betrakta en rektangulär parallellepiped som visas i figuren. Låt oss hitta längden på diagonalen BD med hjälp av Pythagoras sats:

där de tre sidorna bildar en rätvinklig triangel. Vi använder den horisontella diagonalen BD och den vertikala kanten AB för att hitta längden på diagonalen AD, för detta använder vi återigen Pythagoras sats:

eller, om vi skriver allt i en ekvation:

Detta resultat är ett tredimensionellt uttryck för att bestämma storleken på vektorn v(diagonal AD), uttryckt i termer av dess vinkelräta komponenter ( v k) (tre inbördes vinkelräta sidor):

Denna ekvation kan betraktas som en generalisering av Pythagoras sats för flerdimensionellt rymd. Men resultatet är faktiskt inget annat än upprepad tillämpning av Pythagoras sats på en sekvens av räta trianglar i successivt vinkelräta plan.

Vektor utrymme

När det gäller ett ortogonalt system av vektorer finns det en likhet, som också kallas Pythagoras sats:

Om - det här är projektioner av vektorn på koordinataxlarna, så sammanfaller denna formel med det euklidiska avståndet - och betyder att längden på vektorn är lika med kvadratroten ur summan av kvadraterna av dess komponenter.

Analogen av denna likhet i fallet med ett oändligt system av vektorer kallas Parsevals likhet.

Icke-euklidisk geometri

Pythagoras sats härrör från den euklidiska geometrins axiom och är i själva verket inte giltig för icke-euklidisk geometri, i den form som den är skriven ovan. (Det vill säga, Pythagoras sats visar sig vara en slags motsvarighet till Euklids postulat om parallellism) Med andra ord, i icke-euklidisk geometri kommer förhållandet mellan sidorna i en triangel nödvändigtvis att vara i en annan form än Pythagoras sats. Till exempel, i sfärisk geometri, alla tre sidorna av en rätvinklig triangel (säg a, b Och c), som begränsar oktanten (åttonde delen) av enhetssfären, har en längd på π/2, vilket motsäger Pythagoras sats, eftersom a 2 + b 2 ≠ c 2 .

Låt oss här betrakta två fall av icke-euklidisk geometri - sfärisk och hyperbolisk geometri; i båda fallen, som för det euklidiska rummet för räta trianglar, följer resultatet, som ersätter Pythagoras sats, av cosinussatsen.

Pythagoras sats förblir dock giltig för hyperbolisk och elliptisk geometri om kravet att triangeln är rektangulär ersätts med villkoret att summan av triangelns två vinklar måste vara lika med den tredje, t.ex. A+B = C. Då ser förhållandet mellan sidorna ut så här: summan av arean av cirklar med diametrar a Och b lika med arean av en cirkel med diameter c.

Sfärisk geometri

För vilken rätvinklig triangel som helst på en sfär med radie R(till exempel om vinkeln γ i en triangel är rät) med sidor a, b, c Förhållandet mellan parterna kommer att se ut så här:

Denna likhet kan härledas som ett specialfall av den sfäriska cosinussatsen, som är giltig för alla sfäriska trianglar:

där cosh är den hyperboliska cosinus. Denna formel är ett specialfall av hyperbolisk cosinussats, som är giltig för alla trianglar:

där γ är vinkeln vars spets är motsatt sidan c.

Var g I j kallas en metrisk tensor. Det kan vara en funktion av position. Sådana krökta utrymmen inkluderar Riemannsk geometri som ett allmänt exempel. Denna formulering är också lämplig för euklidiska rymden när man använder krökta koordinater. Till exempel, för polära koordinater:

Vektor konstverk

Pythagoras sats kopplar samman två uttryck för storleken på en vektorprodukt. Ett sätt att definiera en korsprodukt kräver att den uppfyller ekvationen:

Denna formel använder punktprodukten. Den högra sidan av ekvationen kallas Gram-determinanten för a Och b, vilket är lika med arean av parallellogrammet som bildas av dessa två vektorer. Baserat på detta krav, samt kravet att vektorprodukten är vinkelrät mot dess komponenter a Och b Härav följer att, med undantag för triviala fall från 0- och 1-dimensionellt rymd, definieras korsprodukten endast i tre och sju dimensioner. Vi använder definitionen av vinkeln i n-dimensionellt utrymme:

Denna egenskap hos en korsprodukt ger dess storlek enligt följande:

Genom Pythagoras grundläggande trigonometriska identitet får vi en annan form av att skriva dess värde:

Ett alternativt tillvägagångssätt för att definiera en korsprodukt är att använda ett uttryck för dess storlek. Sedan, resonerande i omvänd ordning, får vi ett samband med den skalära produkten:

se även

Anteckningar

Historieämne: Pythagoras sats i babylonisk matematik
( , s. 351) s. 351
( , Vol I, s. 144)
En diskussion om historiska fakta ges i (, s. 351) s. 351
Kurt Von Fritz (april, 1945). "Upptäckten av incommensurability av Hippasus av Metapontum". The Annals of Mathematics, andra serien(Annals of Mathematics) 46 (2): 242–264.
Lewis Carroll, "The Story with Knots", M., Mir, 1985, sid. 7
Asger Aaboe Avsnitt från matematikens tidiga historia. - Mathematical Association of America, 1997. - P. 51. - ISBN 0883856131
Python-förslag av Elisha Scott Loomis
Euklids Element: Bok VI, påstående VI 31: "I rätvinkliga trianglar är figuren på den sida som täcker den räta vinkeln lika med de liknande och liknande beskrivna figurerna på sidorna som innehåller den räta vinkeln."
Lawrence S. Leff citerade verk. - Barron's Educational Series - S. 326. - ISBN 0764128922
Howard Whitley Eves§4.8:...generalisering av Pythagoras sats // Stora ögonblick i matematik (före 1650). - Mathematical Association of America, 1983. - P. 41. - ISBN 0883853108
Tâbit ibn Qorra (fullständigt namn Thābit ibn Qurra ibn Marwan Al-Ṣābiʾ al-Ḥarrānī) (826-901 e.Kr.) var en läkare bosatt i Bagdad som skrev mycket om Euklids element och andra matematiska ämnen.
Aydin Sayili (mars 1960). "Thâbit ibn Qurras generalisering av Pythagoras sats." Isis 51 (1): 35–37. DOI:10.1086/348837.
Judith D. Sally, Paul SallyÖvning 2.10 (ii) // Citerat arbete. - P. 62. - ISBN 0821844032
För detaljer om en sådan konstruktion, se George Jennings Figur 1.32: Den generaliserade Pythagoras sats // Modern geometri med tillämpningar: med 150 figurer. - 3:a. - Springer, 1997. - P. 23. - ISBN 038794222X
Arlen Brown, Carl M. Pearcy Artikel C: Norm för en godtycklig n-tuple ... // En introduktion till analys . - Springer, 1995. - S. 124. - ISBN 0387943692 Se även sidorna 47-50.
Alfred Gray, Elsa Abbena, Simon Salamon Modern differentialgeometri av kurvor och ytor med Mathematica. - 3:a. - CRC Press, 2006. - P. 194. - ISBN 1584884487
Rajendra Bhatia Matrisanalys. - Springer, 1997. - P. 21. - ISBN 0387948465
Stephen W. Hawking citerade verk. - 2005. - P. 4. - ISBN 0762419229

Sats

I en rätvinklig triangel är kvadraten på hypotenusans längd lika med summan av kvadraterna på benens längder (fig. 1):

$c^(2)=a^(2)+b^(2)$

Bevis för Pythagoras sats

Låt triangeln $A B C$ vara en rätvinklig triangel med rät vinkel $C$ (Fig. 2).

Låt oss rita höjden från spetsen $C$ till hypotenusan $A B$ och beteckna höjdens bas som $H$.

Rätt triangel $A C H$ liknar triangeln $A B C$ i två vinklar ($\vinkel A C B=\vinkel C H A=90^(\circ)$, $\vinkel A$ är vanligt). Likaså liknar triangeln $C B H$ $A B C$ .

Genom att introducera notationen

$$B C=a, A C=b, A B=c$$

från likheten mellan trianglar får vi det

$$\frac(a)(c)=\frac(H B)(a), \frac(b)(c)=\frac(A H)(b)$$

Härifrån har vi det

$$a^(2)=c \cdot H B, b^(2)=c \cdot A H$$

Lägger vi till de resulterande jämlikheterna, får vi

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot H B+c \cdot A H$$

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot(H B+A H)$$

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot A B$$

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot c$$

$$a^(2)+b^(2)=c^(2)$$

Q.E.D.

Geometrisk formulering av Pythagoras sats

Sats

I en rätvinklig triangel är arean av kvadraten byggd på hypotenusan lika med summan av arean av kvadraterna byggda på benen (Fig. 2):

Exempel på problemlösning

Exempel

Träning. Givet en rätvinklig triangel $A B C$, vars sidor är 6 cm och 8 cm Hitta hypotenusan för denna triangel.

Lösning. Enligt bentillståndet $a=6$ cm, $b=8$ cm Sedan, enligt Pythagoras sats, kvadraten på hypotenusan

$c^(2)=a^(2)+b^(2)=6^(2)+8^(2)=36+64=100$

Från detta får vi den önskade hypotenusan

$c=\sqrt(100)=10$ (cm)

Svar. 10 cm

Exempel

Träning. Hitta arean av en rätvinklig triangel om det är känt att ett av dess ben är 5 cm större än det andra och hypotenusan är 25 cm.

Lösning. Låt $x$ cm vara längden på det mindre benet, då är $(x+5)$ cm längden på det större. Sedan, enligt Pythagoras sats, har vi:

$$x^(2)+(x+5)^(2)=25^(2)$$

Vi öppnar parenteserna, reducerar liknande och löser den resulterande andragradsekvationen:

$x^(2)+5 x-300=0$

Enligt Vietas teorem får vi det

$x_(1)=15$ (cm) , $x_(2)=-20$ (cm)

Värdet $x_(2)$ uppfyller inte villkoren för problemet, vilket innebär att det mindre benet är 15 cm och det större benet är 20 cm.

Arean av en rätvinklig triangel är lika med hälften av produkten av längden på dess ben, det vill säga

$$S=\frac(15 \cdot 20)(2)=15 \cdot 10=150\left(\mathrm(cm)^(2)\right)$$

Svar.$S=150\left(\mathrm(cm)^(2)\right)$

Historisk referens

Pythagoras sats- en av de grundläggande satserna i euklidisk geometri, som fastställer förhållandet mellan sidorna i en rätvinklig triangel.

Den antika kinesiska boken "Zhou Bi Xuan Jing" talar om en pytagoreisk triangel med sidorna 3, 4 och 5. Den ledande tyska matematikhistorikern, Moritz Cantor (1829 - 1920), menar att jämlikheten $3^(2)+4^ (2)=5^ (2) $ var redan känt för egyptierna omkring 2300 f.Kr. Enligt vetenskapsmannen byggde sedan byggare räta vinklar med hjälp av räta trianglar med sidorna 3, 4 och 5. Något mer är känt om Pythagoras sats bland babylonierna. En text ger en ungefärlig beräkning av hypotenusan för en likbent rätvinklig triangel.

Verkets text läggs upp utan bilder och formler.
Den fullständiga versionen av verket finns på fliken "Arbetsfiler" i PDF-format

Introduktion

I en skolgeometrikurs löses endast matematiska problem med hjälp av Pythagoras sats. Tyvärr övervägs inte frågan om den praktiska tillämpningen av Pythagoras sats.

I detta avseende var syftet med mitt arbete att ta reda på tillämpningsområdena för Pythagoras sats.

För närvarande är det allmänt erkänt att framgången för utvecklingen av många områden av vetenskap och teknik beror på utvecklingen av olika områden av matematik. En viktig förutsättning för att öka produktionseffektiviteten är det omfattande införandet av matematiska metoder i teknik och samhällsekonomi, vilket innebär att nya, effektiva metoder för kvalitativ och kvantitativ forskning skapas som gör det möjligt att lösa problem från praktiken.

Jag kommer att överväga exempel på den praktiska tillämpningen av Pythagoras sats. Jag ska inte försöka ge alla exempel på användningen av satsen - detta skulle knappast vara möjligt. Omfattningen av satsen är ganska omfattande och kan i allmänhet inte anges med tillräcklig fullständighet.

Hypotes:

Med hjälp av Pythagoras sats kan du lösa inte bara matematiska problem.

Följande mål har identifierats för detta forskningsarbete:

Ta reda på tillämpningsområdena för Pythagoras sats.

Baserat på ovanstående mål identifierades följande uppgifter:

Samla information om den praktiska tillämpningen av Pythagoras sats i olika källor och bestämma satsens tillämpningsområden.

Studera lite historisk information om Pythagoras och hans teorem.

Visa tillämpningen av satsen för att lösa historiska problem.

Bearbeta den insamlade informationen om ämnet.

Jag ägnade mig åt att söka och samla information - studera tryckt material, arbeta med material på Internet, bearbeta den insamlade informationen.

Forskningsmetodik:

Att studera teoretiskt material.

Studie av forskningsmetoder.

Praktiskt genomförande av studien.

Kommunikativ (mätmetod, frågeformulär).

Projekttyp: information och forskning. Arbetet gjordes på fritiden.

Om Pythagoras.

Pythagoras - antik grekisk filosof, matematiker, astronom. Han underbyggde många egenskaper hos geometriska figurer, utvecklade en matematisk teori om siffror och deras proportioner. Han gjorde betydande bidrag till utvecklingen av astronomi och akustik. Författare till de gyllene verserna, grundare av Pythagoras skola i Croton.

Enligt legenden föddes Pythagoras omkring 580 f.Kr. e. på ön Samos i en förmögen köpmansfamilj. Hans mor, Pyphasis, fick sitt namn för att hedra Pythia, en prästinna av Apollo. Pythia förutspådde för Mnesarchus och hans fru födelsen av en son, sonen fick också sitt namn efter Pythia. Enligt många gamla vittnesmål var pojken fantastiskt vacker och visade snart sina extraordinära förmågor. Han fick sin första kunskap från sin far Mnesarchus, en juvelerare och ädelstenshuggare, som drömde att hans son skulle fortsätta sin verksamhet. Men livet bestämde annorlunda. Den framtida filosofen visade stora förmågor för vetenskapen. Bland Pythagoras lärare fanns Pherecydes från Syros och den äldre Hermodamant. Den första ingav pojken en kärlek till vetenskap, och den andra - till musik, målning och poesi. Därefter träffade Pythagoras den berömda filosofen och matematikern Thales från Miletus och åkte på hans råd till Egypten, centrum för vetenskaplig och forskningsverksamhet vid den tiden. Efter att ha bott 22 år i Egypten och 12 år i Babylon återvände han till ön Samos, lämnade den sedan av okänd anledning och flyttade till staden Croton, i södra Italien. Här skapade han Pythagoras skola (union), där olika frågor om filosofi och matematik studerades. Vid ungefär 60 års ålder gifte Pythagoras sig med Theano, en av hans elever. De har tre barn, som alla blir anhängare till sin far. Den tidens historiska förhållanden kännetecknas av en bred rörelse av demos mot aristokraternas makt. Pythagoras och hans elever flydde från vågorna av folklig ilska och flyttade till staden Tarentum. Enligt en version: Kilon, en rik och ond man, kom till honom och ville gå med i brödraskapet medan han var full. Efter att ha blivit nekad började Cylon slåss mot Pythagoras. Under branden räddade eleverna lärarens liv på egen bekostnad. Pythagoras blev ledsen och begick snart självmord.

Det bör noteras att detta är ett av alternativen för hans biografi. De exakta datumen för hans födelse och död har inte fastställts, många fakta om hans liv är motsägelsefulla. Men en sak är klar: denne man levde och lämnade sina ättlingar med ett stort filosofiskt och matematiskt arv.

Pythagoras sats.

Pythagoras sats är geometrins viktigaste påstående. Satsen är formulerad enligt följande: arean av en kvadrat byggd på hypotenusan av en rät triangel är lika med summan av arean av kvadraterna byggda på dess ben.

Upptäckten av detta uttalande tillskrivs Pythagoras från Samos (1100-talet f.Kr.)

En studie av babyloniska kilskriftstavlor och gamla kinesiska manuskript (kopior av ännu äldre manuskript) visade att den berömda satsen var känd långt före Pythagoras, kanske flera tusen år före honom.

(Men det finns ett antagande att Pythagoras gav ett fullständigt bevis på det)

Men det finns en annan åsikt: i Pythagoras skola fanns en underbar sed att tillskriva Pythagoras alla förtjänster och inte tillskriva sig själva upptäckarnas ära, utom kanske i några få fall.

(Iamblichus-syrisk grekisktalande författare, författare till avhandlingen "Pythagoras liv." (2:a århundradet e.Kr.)

Således menar den tyske matematikhistorikern Cantor att likheten 3 2 + 4 2 = 5 2 var

känt för egyptierna omkring 2300 f.Kr. e. under kung Amenehmets tid (enligt papyrus 6619 från Berlinmuseet). Vissa tror att Pythagoras gav satsen ett fullständigt bevis, medan andra förnekar honom denna förtjänst.

Vissa tillskriver Pythagoras beviset som Euklid gav i sina element. Å andra sidan hävdar Proclus (matematiker, 400-talet) att beviset i elementen tillhörde Euklid själv, det vill säga matematikens historia har nästan inga tillförlitliga uppgifter om Pythagoras matematiska aktivitet bevarat. Inom matematiken kanske det inte finns någon annan sats som förtjänar alla slags jämförelser.

I vissa listor över Euklids element kallades denna sats "nymfsatsen" för likheten mellan ritningen med ett bi, en fjäril ("fjärilssats"), som på grekiska kallades en nymf. Grekerna använde detta ord för att namnge några andra gudinnor, såväl som unga kvinnor och brudar. Den arabiska översättaren uppmärksammade inte ritningen och översatte ordet "nymf" som "brud". Så här dök det tillgivna namnet "brudens teorem" ut. Det finns en legend att när Pythagoras från Samos bevisade sin sats tackade han gudarna genom att offra 100 tjurar. Därav ett annat namn - "satsen om hundra tjurar".

I engelsktalande länder kallades det: "väderkvarn", "påfågelsvans", "brudstol", "åsnebro" (om studenten inte kunde "korsa" den, då var han en riktig "åsna")

I det förrevolutionära Ryssland kallades ritningen av Pythagoras sats för fallet med en likbent triangel "Pythagoreiska byxor".

Dessa "byxor" visas när du bygger rutor på varje sida av en rätvinklig triangel mot utsidan.

Hur många olika bevis för Pythagoras sats finns det?

Sedan Pythagoras tid har mer än 350 av dem förekommit. Teoremet inkluderades i Guinness rekordbok. Om vi analyserar satsens bevis använder de få fundamentalt olika idéer.

Användningsområden för satsen.

Det används ofta för att lösa geometrisk uppgifter.

Det är med dess hjälp som du geometriskt kan hitta värdena för kvadratrötter av heltal:

För att göra detta bygger vi en rätvinklig triangel AOB (vinkel A är 90°) med enhetsben. Då är dess hypotenusa √2. Sedan konstruerar vi ett enhetssegment BC, BC är vinkelrät mot OB, längden på hypotenusan OC = √3 osv.

(vi möter denna metod hos Euclid och F. Kirensky).

Uppgifter i vetskap fysiker Gymnasieskolor kräver kunskap om Pythagoras sats.

Dessa är problem relaterade till tillägg av hastigheter.

Var uppmärksam på bilden: ett problem från en fysiklärobok i 9:e klass. I praktisk mening kan det formuleras på följande sätt: i vilken vinkel mot flodens flöde ska en båt som transporterar passagerare mellan bryggorna förflytta sig för att uppfylla schemat (bryggorna ligger på motsatta flodens stränder)

När en skidskytt skjuter mot ett mål, gör han en "justering för vinden." Om vinden blåser från höger och idrottaren skjuter rakt, kommer kulan att gå till vänster. För att träffa målet måste du flytta siktet åt höger med det avstånd som kulan är förskjuten. Särskilda tabeller har sammanställts för dem (baserade på följder från Pythagoras). Skidskytten vet i vilken vinkel han ska flytta siktet när vindhastigheten är känd.

Astronomi - också ett brett område för tillämpning av satsen Ljusstrålens väg. Figuren visar vägen för en ljusstråle från A till B och tillbaka. Ljusstrålen visas med en krökt pil för tydlighetens skull, faktiskt, ljusstrålen är rak.

Vilken väg tar strålen?? Ljus vandrar samma väg fram och tillbaka. Vad är halva sträckan som strålen färdas? Om vi betecknar segmentet AB symbol l, halva tiden liksom t, och även betecknar ljusets hastighet med bokstaven c, då kommer vår ekvation att ta formen

c * t = l

Detta är produkten av tiden och hastigheten!

Låt oss nu försöka titta på samma fenomen från en annan referensram, till exempel från ett rymdskepp som flyger förbi ett rinnande ljus i en hastighet v. Med en sådan observation kommer hastigheterna för alla kroppar att förändras, och stationära kroppar kommer att börja röra sig med en hastighet våt motsatt håll. Låt oss anta att skeppet rör sig till vänster. Sedan kommer de två punkterna som kaninen springer att börja röra sig åt höger med samma hastighet. Dessutom, medan kaninen springer sin väg, startpunkten A skiftar och strålen återgår till en ny punkt C.

Fråga: hur mycket hinner punkten röra sig (för att förvandlas till punkt C) medan ljusstrålen färdas? Mer exakt: vad är hälften av denna förskjutning? Om vi betecknar halva strålens gångtid med bokstaven t", och halva sträckan A.C. brev d, då får vi vår ekvation i formen:

v * t" = d

Brev v anger rymdfarkostens hastighet.

En annan fråga: hur långt kommer ljusstrålen att färdas?(Närmare bestämt, vad är hälften av denna väg? Vad är avståndet till det okända objektet?)

Om vi betecknar halva längden av ljusvägen med bokstaven s får vi ekvationen:

c * t" = s

Här cär ljusets hastighet, och t"- detta är samma tid som diskuterats ovan.

Tänk nu på triangeln ABC. Detta är en likbent triangel vars höjd är l, som vi introducerade när vi betraktade processen ur en fast synvinkel. Eftersom rörelsen är vinkelrät l, då kunde det inte påverka henne.

Triangel ABC består av två halvor - identiska rätvinkliga trianglar, vars hypotenuser AB Och FÖRE KRISTUS. måste kopplas till benen enligt Pythagoras sats. Ett av benen är d, som vi just beräknat, och det andra benet är s, som ljuset passerar genom, och som vi också beräknat:

s 2 = l 2 + d 2

Detta är Pythagoras sats!

Fenomen stjärnaberration, upptäcktes 1729, är att alla stjärnor på himlaklotet beskriver ellipser. Den halvstora axeln för dessa ellipser observeras från jorden i en vinkel på 20,5 grader. Denna vinkel är associerad med jordens rörelse runt solen med en hastighet av 29,8 km per timme. För att observera en stjärna från en jord i rörelse är det nödvändigt att luta teleskopröret framåt tillsammans med stjärnans rörelse, eftersom medan ljuset färdas längs med teleskopet, rör sig okularet framåt tillsammans med jorden. Tillägget av ljusets hastigheter och jorden görs vektoriellt, med hjälp av den sk.

Pythagoras. U2=C2+V2

C-hastighet av ljus

V-markhastighet

Teleskoprör

I slutet av artonhundratalet gjordes olika antaganden om existensen av människoliknande invånare på Mars, detta var en följd av upptäckterna av den italienske astronomen Schiaparelli (han upptäckte kanaler på Mars som länge ansetts vara konstgjorda). Naturligtvis har frågan om det är möjligt att kommunicera med dessa hypotetiska varelser med hjälp av ljussignaler orsakat en livlig diskussion. Vetenskapsakademin i Paris instiftade till och med ett pris på 100 000 franc för den första personen som etablerade kontakt med någon invånare i en annan himlakropp; detta pris väntar fortfarande på den lyckliga vinnaren. Som ett skämt, om än inte helt utan anledning, beslutades det att sända en signal till invånarna på Mars i form av Pythagoras sats.

Det är inte känt hur man gör detta; men det är uppenbart för alla att det matematiska faktum som uttrycks av Pythagoras sats gäller överallt, och därför måste invånare i en annan värld som liknar oss förstå en sådan signal.

mobilanslutning

Vem i den moderna världen använder inte en mobiltelefon? Varje mobiltelefonabonnent är intresserad av dess kvalitet. Och kvaliteten beror i sin tur på höjden på mobiloperatörens antenn. För att beräkna radien inom vilken sändning kan tas emot använder vi Pythagoras sats.

Vilken maxhöjd bör en mobiloperatörs antenn ha för att sändningar ska tas emot inom en radie av R=200 km? (Jordens radie är 6380 km.)

Lösning:

Låta AB=x , BC=R=200 km , OC= r =6380 km.

OB=OA+ABOB=r + x.

Med hjälp av Pythagoras sats får vi Svar: 2,3 km.

När man bygger hus och stugor uppstår ofta frågan om längden på takbjälken om balkarna redan är gjorda. Till exempel: det är planerat att bygga ett sadeltak på ett hus (sektionsform). Vilken längd ska takbjälken vara om balkarna görs AC=8 m, och AB=BF.

Lösning:

Triangel ADC är likbent AB=BC=4 m, BF=4 m Om vi antar att FD=1,5 m, då:

A) Från triangel DBC: DB=2,5 m.

B) Från triangel ABF:

Fönster

I byggnader Gotisk och romansk stil de övre delarna av fönstren är uppdelade av stenribbor, som inte bara spelar rollen som prydnad, utan också bidrar till fönstrens styrka. Figuren visar ett enkelt exempel på ett sådant fönster i gotisk stil. Metoden för att konstruera den är mycket enkel: Från figuren är det lätt att hitta mitten av sex cirkelbågar vars radier är lika

fönsterbredd (b) för yttre bågar

halva bredden, (b/2) för inre bågar

Det återstår en hel cirkel som rör vid fyra bågar. Eftersom den är innesluten mellan två koncentriska cirklar är dess diameter lika med avståndet mellan dessa cirklar, dvs b/2 och därför är radien b/4. Och då blir det klart och

läget för dess centrum.

I romansk arkitektur Motivet som visas i figuren återfinns ofta. Om b fortfarande anger fönstrets bredd, kommer halvcirklarnas radier att vara R = b / 2 och r = b / 4. Radien p för den inre cirkeln kan beräknas från den räta triangeln som visas i fig. prickad linje Hypotenusan för denna triangel, som passerar genom cirklarnas tangenspunkt, är lika med b/4+p, en sida är lika med b/4 och den andra är b/2-p. Enligt Pythagoras sats har vi:

(b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/4-p) 2

b 2 /16+ bp/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4 - bp/2 +p 2 ,

Om vi dividerar med b och tar med liknande termer får vi:

(3/2)p=b/4, p=b/6.

I skogsindustrin: för byggbehov skärs stockar till balkar, och huvuduppgiften är att få så lite avfall som möjligt. Den minsta mängden avfall uppstår när virket har störst volym. Vad ska stå i avsnittet? Som framgår av lösningen måste tvärsnittet vara kvadratiskt, och Pythagoras sats och andra överväganden gör att vi kan dra en sådan slutsats.

Största volymen virke

Uppgift

Från en cylindrisk stock måste du skära en rektangulär stråle med den största volymen. Vilken form ska dess tvärsnitt ha (fig. 23)?

Lösning

Om sidorna av en rektangulär sektion är x och y, så enligt Pythagoras sats

x 2 + y 2 = d 2,

där d är stockens diameter. Volymen av en stråle är störst när dess tvärsnittsarea är störst, det vill säga när xy når sitt största värde. Men om xy är störst, kommer produkten x 2 y 2 också att vara störst. Eftersom summan x 2 + y 2 är oförändrad, är produkten x 2 y 2 störst, enligt vad som tidigare bevisats.

x 2 = y 2 eller x = y.

Så tvärsnittet av balken bör vara kvadratiskt.

Transportuppgifter(så kallade optimeringsproblem; problem, vars lösning gör att vi kan svara på frågan: hur man fördelar medel för att uppnå stora fördelar)

Vid första anblicken, inget speciellt: mät höjden från golv till tak på flera punkter, subtrahera några centimeter så att skåpet inte vilar mot taket. Genom att göra detta kan svårigheter uppstå vid montering av möbler. När allt kommer omkring monterar möbeltillverkare ramen genom att placera skåpet i ett horisontellt läge, och när ramen är monterad lyfter de den till ett vertikalt läge. Låt oss titta på skåpets sidovägg. Höjden på skåpet bör vara 10 cm mindre än avståndet från golv till tak, förutsatt att detta avstånd inte överstiger 2500 mm. Och djupet på skåpet är 700 mm. Varför 10 cm, och inte 5 cm eller 7, och vad har Pythagoras sats att göra med det?

Så: sidovägg 2500-100=2400 (mm) - maximal höjd på strukturen.

Under processen att lyfta ramen måste sidoväggen passera fritt både vertikalt och diagonalt. Förbi Pythagoras sats

AC = √ AB 2 + BC 2

AC = √ 2400 2 + 700 2 = 2500 (mm)

Vad händer om höjden på skåpet minskas med 50 mm?

AC = √ 2450 2 + 700 2 = 2548 (mm)

Diagonal 2548 mm. Det betyder att du inte kan installera en garderob (du kan förstöra taket).

Åskledare.

Det är känt att en blixtstång skyddar alla föremål från blixtnedslag vars avstånd från basen inte överstiger två gånger dess höjd. Det är nödvändigt att bestämma den optimala positionen för blixtstången på ett sadeltak, vilket säkerställer dess lägsta tillgängliga höjd.

Enligt Pythagoras sats h 2 ≥a 2 +b 2 betyder h≥(a 2 +b 2) 1/2

Vi behöver snarast göra ett växthus för plantor i vår sommarstuga.

En 1m1m kvadrat är gjord av brädor. Det finns filmrester som mäter 1,5m1,5m. På vilken höjd i mitten av torget ska remsan fixeras så att filmen helt täcker den?

1) Växthusdiagonal d==1,4;0,7

2) Filmdiagonal d 1= 2,12 1,06

3) Rälshöjd x= 0,7

Slutsats

Som ett resultat av forskningen fick jag reda på några tillämpningsområden för Pythagoras sats. Jag har samlat in och bearbetat mycket material från litterära källor och Internet om detta ämne. Jag studerade en del historisk information om Pythagoras och hans teorem. Ja, verkligen, med hjälp av Pythagoras sats kan du inte bara lösa matematiska problem. Pythagoras sats har funnit sin tillämpning inom konstruktion och arkitektur, mobil kommunikation och litteratur.

Studie och analys av informationskällor om Pythagoras sats

visade det:

A) den exklusiva uppmärksamheten från matematiker och matematikälskare till satsen är baserad på dess enkelhet, skönhet och betydelse;

b) i många århundraden har Pythagoras sats tjänat som en drivkraft för intressanta och viktiga matematiska upptäckter (Fermats sats, Einsteins relativitetsteori);

V) Pythagoras sats - är förkroppsligandet av matematikens universella språk, giltigt över hela världen;

G) omfattningen av satsen är ganska omfattande och kan i allmänhet inte anges med tillräcklig fullständighet;

d) Pythagoras teorems hemligheter fortsätter att hetsa mänskligheten och därför ges var och en av oss en chans att vara involverad i deras upptäckt.

Bibliografi

"Uspekhi Matemacheskikh Nauk", 1962, vol. 17, nr 6 (108).

Alexander Danilovich Alexandrov (på sin femtioårsdag),

Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Geometri, 10 - 11 celler. - M.: Utbildning, 1992.

Atanasyan L.S. och andra geometri, 10 - 11 celler. - M.: Utbildning, 1992.

Vladimirov Yu.S. Rum - tid: explicita och dolda dimensioner. - M.: "Science", 1989.

Voloshin A.V. Pythagoras. - M.: Utbildning, 1993.

Tidningen "Matematik", nr 21, 2006.

Tidningen "Matematik", nr 28, 1995.

Geometri: Lärobok. För 7 - 11 årskurser. mellanstadiet/ G.P. Bevz, V.G. Bevz, N.G. Vladimirova. - M.: Utbildning, 1992.

Geometri: Lärobok för årskurs 7 - 9. Allmän utbildning Institutioner/ L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev et al. - 6:e uppl. - M.: Utbildning, 1996.

Glazer G.I. Matematikens historia i skolan: IX - X betyg. Manual för lärare. - M.: Utbildning, 1983.

Ytterligare kapitel till skolboken i 8:an: Lärobok för skolelever. och avancerade klasser studerat matematik / L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev et al. - M.: Education, 1996.

Yelensky Shch. I Pythagoras fotspår. M., 1961.

Kiselev A.P., Rybkin N.A. Geometri: Planimetri: 7 - 9 betyg: Lärobok och problembok. - M.: Bustard, 1995.

Klein M. Matematik. Sök efter sanning: Översättning från engelska. / Ed. och förord IN OCH. Arshinova, Yu.V. Sachkova. - M.: Mir, 1998.

Liturman V. Pythagoras sats. - M., 1960.

Matematik: Handbok för skolbarn och elever / B. Frank et al.; Översättning med honom. - 3:e uppl., stereotyp. - M.: Bustard, 2003.

Peltuer A. Vem är du Pythagoras? - M.: Kunskap är makt, nr 12, 1994.

Perelman Ya I. Underhållande matematik. - M.: "Science", 1976.

Ponomareva T.D. Stora vetenskapsmän. - M.: Astrel Publishing House LLC, 2002.

Sveshnikova A. Resa in i matematikens historia. - M., 1995.

Semenov E.E. Att studera geometri: Bok. För elever 6 - 8 årskurser. skolmedel - M.: Utbildning, 1987.

Smyshlyaev V.K. Om matematik och matematiker. - Mari bokförlag, 1977.

Tuchnin N.P. Hur man ställer en fråga. - M.: Utbildning, 1993.

Cherkasov O.Yu. Planimetri vid inträdesprovet. - M.: Moscow Lyceum, 1996.

Encyklopedisk ordbok för en ung matematiker. Comp. A.P. Savin. - M.: Pedagogik, 1985.

Encyklopedi för barn. T. 11. Matematik. /Kapitel Ed. M.D. Aksenov. - M.: Avanta +, 2001.