Uttryck, uttrycksomvandling

Hur blir man av med irrationalitet i nämnaren? Sätt, exempel, lösningar

I 8:e klass, på algebra lektioner, inom ramen för ämnet omvandling av irrationella uttryck, kommer ett samtal om befrielse från irrationalitet i bråkens nämnare. I den här artikeln kommer vi att analysera vilken typ av transformation detta är, överväga vilka åtgärder som gör att vi kan bli av med irrationalitet i nämnaren av en bråkdel och ge lösningar på typiska exempel med detaljerade förklaringar.

Sidnavigering.

Vad innebär det att bli av med irrationalitet i bråkets nämnare?

Först måste du ta reda på vad irrationalitet är i nämnaren och vad det innebär att bli av med irrationalitet i nämnaren av ett bråk. Information från skolböcker kommer att hjälpa oss med detta. Följande punkter förtjänar uppmärksamhet.

När bråkposten innehåller rottecken (radikal) i nämnaren, då säger de att nämnaren innehåller irrationalitet. Detta beror troligen på att siffror skrivna med rottecken ofta är . Som ett exempel, låt oss ta bråk, , , , uppenbarligen innehåller nämnarna för var och en av dem rotens tecken, och därav irrationaliteten. I gymnasiet är ett möte med bråk oundvikligt, vars irrationella nämnare introduceras inte bara av tecknen på kvadratrötter, utan också av tecknen på kubrötter, rötter av fjärde graden, etc. Här är exempel på sådana fraktioner: .

Med tanke på ovanstående information och innebörden av ordet "befria", uppfattas följande definition mycket naturligt:

Definition.

Undantag från irrationalitet i nämnaren av ett bråk- detta är en transformation där ett bråk med irrationalitet i nämnaren ersätts med ett identiskt lika bråk som inte innehåller rottecken i nämnaren.

Man kan ofta höra att de säger att man inte ska frigöra sig, utan att göra sig av med irrationaliteten i bråkens nämnare. Innebörden förändras inte.

Om vi ​​till exempel går från ett bråk till ett bråk vars värde är lika med värdet på det ursprungliga bråket och vars nämnare inte innehåller rottecknet, så kan vi konstatera att vi har befriat oss från irrationalitet i bråkets nämnare . Ett annat exempel: att ersätta en bråkdel med en identisk lika bråkdel det finns en frigörelse från irrationalitet i nämnaren för ett bråk.

Så den första informationen tas emot. Det återstår att ta reda på vad som behöver göras för att bli av med irrationaliteten i bråkens nämnare.

Sätt att befria dig från irrationalitet, exempel

Vanligtvis, för att bli av med irrationalitet i nämnaren av ett bråk, två bråkomvandlingar: Multiplicera täljaren och nämnaren med ett tal eller uttryck som inte är noll och konvertera uttrycket till nämnaren. Nedan kommer vi att titta på hur dessa bråktransformationer används som en del av de huvudsakliga sätten att bli av med irrationalitet i nämnaren för ett bråk. Låt oss överväga följande fall.

I de enklaste fallen räcker det att omvandla uttrycket i nämnaren. Ett exempel är ett bråk vars nämnare är roten till nio. I det här fallet kommer nämnaren att bli irrationell genom att ersätta den med värdet 3.

I mer komplexa fall är det nödvändigt att förmultiplicera bråkets täljare och nämnare med ett tal eller uttryck som inte är noll, vilket sedan låter dig konvertera bråkets nämnare till en form som inte innehåller rottecken. Till exempel, efter att ha multiplicerat täljaren och nämnaren för ett bråk med , blir bråket , och då kan uttrycket i nämnaren ersättas med uttrycket utan tecken på rötterna x+1 . Således, efter befrielse från irrationalitet i nämnaren, tar bråket formen .

Om vi ​​pratar om det allmänna fallet, måste man, för att bli av med irrationalitet i nämnaren av en bråkdel, tillgripa olika acceptabla transformationer, ibland ganska specifika.

Och nu i detalj.

Konvertera ett uttryck till nämnaren av ett bråk

Som redan nämnts är ett sätt att bli av med irrationalitet i nämnaren av ett bråk att transformera nämnaren. Låt oss överväga exempel.

Exempel.

Bli av med irrationalitet i nämnaren av ett bråk .

Lösning.

Utvidgar parenteserna i nämnaren kommer vi fram till uttrycket . Låt oss gå vidare till bråk . Att beräkna värdena under rötternas tecken har vi . Uppenbarligen, i det resulterande uttrycket, är det möjligt, vilket ger en bråkdel, som är lika med 1/16. Så vi blev av med irrationaliteten i nämnaren.

Vanligtvis skrivs lösningen kort utan förklaring, eftersom de åtgärder som utförs är ganska enkla:

Svar:

.

Exempel.

Lösning.

När vi talade om transformation av irrationella uttryck med hjälp av egenskaperna hos rötter, noterade vi att för alla uttryck A för jämnt n (i vårt fall n=2 ) kan uttrycket ersättas med uttrycket |A| på hela ODZ av variabler för det ursprungliga uttrycket. Därför kan du utföra följande transformation av en given bråkdel: , som frigör från irrationalitet i nämnaren.

Svar:

.

Multiplicera täljaren och nämnaren med roten

När uttrycket i nämnaren för ett bråk har formen , där uttrycket A inte innehåller rottecken, kan man multiplicera täljaren och nämnaren med att bli av med irrationaliteten i nämnaren. Denna åtgärd är möjlig eftersom den inte försvinner på ODZ för variablerna för det ursprungliga uttrycket. I det här fallet, i nämnaren, erhålls ett uttryck som är lätt att konvertera till formen utan rottecken: . Vi visar tillämpningen av detta tillvägagångssätt med exempel.

Exempel.

Bli av med irrationalitet i bråkets nämnare: a), b).

Lösning.

a) Multiplicera täljaren och nämnaren av bråket med kvadratroten ur tre får vi .

b) För att bli av med kvadratrottecknet i nämnaren multiplicerar vi bråkets täljare och nämnare med , varefter vi utför transformationer i nämnaren:

Svar:

a), b) .

I det fall då nämnaren innehåller faktorer eller , där m och n är några naturliga tal, måste täljaren och nämnaren multipliceras med en sådan faktor så att uttrycket i nämnaren därefter kan omvandlas till formen eller , där k är något naturligt tal, respektive. Då är det lätt att gå över till ett bråk utan irrationalitet i nämnaren. Vi kommer att visa tillämpningen av den beskrivna metoden för att bli av med irrationalitet i nämnaren med hjälp av exempel.

Exempel.

Bli av med irrationalitet i nämnaren för ett bråk: a), b).

Lösning.

a) Det närmaste naturliga talet större än 3 och delbart med 5 är 5. För att indikatorn för sexorna ska bli lika med fem måste uttrycket i nämnaren multipliceras med. Följaktligen kommer befrielsen från irrationalitet i bråkets nämnare att underlättas av uttrycket med vilket täljaren och nämnaren måste multipliceras:

b) Det är uppenbart att det närmaste naturliga talet som överstiger 15 och är delbart med 4 utan rest är 16. För att få exponenten i nämnaren blev lika med 16, måste du multiplicera uttrycket som finns där med. Således, multiplicera täljaren och nämnaren för det ursprungliga bråket med (observera att värdet på detta uttryck inte är lika med noll för vilket verkligt x) kommer att bli av med irrationaliteten i nämnaren:

Svar:

A) , b) .

Multiplikation med adjunkt uttryck

Nästa sätt att bli av med irrationalitet i bråkets nämnare omfattar fall där nämnaren innehåller uttryck av formen , , , , eller . I dessa fall är det nödvändigt att multiplicera bråkets täljare och nämnare med s.k. konjugerat uttryck.

Det återstår att ta reda på vilka uttryck som är konjugerade för ovanstående. För ett uttryck är det adjoint uttrycket , och för ett uttryck är det adjoint uttrycket . På samma sätt, för ett uttryck är konjugatet , och för ett uttryck är konjugatet . Och för uttrycket är konjugatet , och för uttrycket är konjugatet . Så uttrycket konjugerat till detta uttryck skiljer sig från det i tecken före den andra termen.

Låt oss se vad resultatet blir av att multiplicera ett uttryck med dess konjugerade uttryck. Tänk till exempel på produkten . Det kan ersättas med kvadratskillnaden, det vill säga varifrån man kan gå vidare till uttrycket a−b, som inte innehåller rottecken.

Nu blir det tydligt hur multiplicering av täljaren och nämnaren för ett bråk med uttrycket konjugerat till nämnaren gör att du kan bli av med irrationalitet i bråkets nämnare. Låt oss överväga lösningarna på typiska exempel.

Exempel.

Uttryck uttrycket som ett bråk, vars nämnare inte innehåller en radikal: a), b).

Lösning.

a) Uttrycket konjugerat till nämnaren är . Vi multiplicerar täljaren och nämnaren med det, vilket gör att vi kan bli av med irrationalitet i bråkets nämnare:

b) För uttrycket är konjugatet . Multiplicera täljaren och nämnaren med det får vi

Det var möjligt att först ta bort minustecknet från nämnaren och först efter det multiplicera täljaren och nämnaren med uttrycket konjugerat med nämnaren:

Svar:

A) , b) .

Observera: när man multiplicerar täljaren och nämnaren för ett bråk med ett uttryck med variabler konjugerade till nämnaren, måste man se till att den inte försvinner för någon uppsättning variabelvärden från DPV för det ursprungliga uttrycket.

Exempel.

Bli av med irrationalitet i nämnaren av ett bråk.

Lösning.

Till att börja med, låt oss hitta arean av tillåtna värden (ODZ) för variabeln x. Det bestäms av villkoren x≥0 och , från vilka vi drar slutsatsen att ODZ är mängden x≥0 .

Uttrycket konjugera till nämnaren är . Vi kan multiplicera täljaren och nämnaren av bråket med det, förutsatt att , som på ODZ är ekvivalent med villkoret x≠16 . Samtidigt har vi

Och för x=16 har vi .

Således, för alla värden av variabeln x från ODZ, förutom x=16, , och för x=16 har vi .

Svar:

Använda formlerna för summan av kuber och skillnaden mellan kuber

Från föregående stycke lärde vi oss att multiplikationen av täljaren och nämnaren av ett bråk med uttrycket konjugat till nämnaren utförs för att ytterligare tillämpa kvadratskillnadens formel och därigenom bli av med irrationalitet i nämnaren. I vissa fall är andra förkortade multiplikationsformler också användbara för att bli av med irrationalitet i nämnaren. Till exempel formeln för skillnaden mellan kuber a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+b 2) låter dig bli av med irrationalitet när nämnaren i ett bråk innehåller uttryck med kubrötter av formen eller , där A och B är några tal eller uttryck. För att göra detta multipliceras bråkets täljare och nämnare med den ofullständiga kvadraten på summan eller skillnad, respektive. Formeln för summan av kuber prövas på liknande sätt a 3 +b 3 =(a+b) (a 2 −a b+b 2).

Exempel.

Bli av med irrationalitet i nämnaren för ett bråk: a), b) .

Lösning.

a) Det är lätt att gissa att i det här fallet, att bli av med irrationalitet i nämnaren gör det möjligt att multiplicera täljaren och nämnaren med en ofullständig kvadrat av summan av siffror och eftersom detta i framtiden kommer att tillåta oss att omvandla uttrycket i nämnare enligt formelskillnaden mellan kuber:

b) Uttryck i nämnaren av ett bråk kan representeras som , av vilket det tydligt framgår att detta är en ofullständig kvadrat av skillnaden mellan siffrorna 2 och . Således, om täljaren och nämnaren för bråket multipliceras med summan, kan nämnaren konverteras enligt formeln summan av kuber, vilket gör att du kan bli av med irrationalitet i bråkets nämnare. Detta kan göras under villkoret , vilket är ekvivalent med villkoret och ytterligare x≠−8:

Och när vi substituerar x=−8 i det ursprungliga bråket har vi .

För alla x från ODZ för den ursprungliga bråkdelen (i detta fall är detta mängden R ), förutom x=−8 , har vi alltså , och för x=8 har vi .

Svar:

Använder olika metoder

I mer komplicerade exempel går det oftast inte i en handling att bli av med irrationaliteten i nämnaren, utan man måste konsekvent tillämpa metod efter metod, inklusive de som diskuterats ovan. Ibland kan vissa icke-standardiserade lösningar krävas. Ganska intressanta uppgifter om ämnet som diskuteras kan hittas i läroboken författad av Yu. N. Kolyagin. Bibliografi.

1. Algebra: lärobok för 8 celler. Allmän utbildning institutioner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S. A. Teljakovskij. - 16:e upplagan. - M. : Utbildning, 2008. - 271 sid. : sjuk. - ISBN 978-5-09-019243-9.
2. Mordkovich A.G. Algebra. 8: e klass. Kl 14.00 Del 1. En lärobok för studenter vid utbildningsinstitutioner / A. G. Mordkovich. - 11:e uppl., raderad. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
3. Algebra och början av matematisk analys. Årskurs 10: lärobok. för allmänbildning institutioner: grundläggande och profil. nivåer / [Yu. M. Kolyagin, M.V. Tkacheva, N.E. Fedorova, M.I. Shabunin]; ed. A. B. Zhizhchenko. - 3:e uppl. - M.: Upplysning, 2010.- 368 sid. : ill. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Danny Peric Campana

En annan intressant bok för skolbarn som är intresserade, tyvärr inte översatt till ryska, är boken "Daniels matematiska äventyr" (Las Aventuras Matemáticas de Daniel) av den chilenske matematikläraren Danny Perich Campana, en mycket extraordinär och intressant person. Han undervisar inte bara barn, utan skriver också låtar, lägger ut olika läromedel om matematik på Internet. De finns på youtube och på sajten http://www.sectormatematica.cl/ (naturligtvis är allt material på spanska).

Här lägger jag upp ett kapitel ur boken av Danny Peric. Det föreföll mig ganska intressant och användbart för skolbarn. För att tydliggöra vad vi pratar om kommer jag att säga att Daniel och Camila jobbar på en skola, de är lärare.

Hemligheten att bli av med irrationalitet

"Camila, jag har nu många problem när jag försöker förklara vad som används för det vi går igenom på lektionen", sa Daniel.

”Jag förstår inte riktigt vad du pratar om.

– Jag pratar om det som står i alla skolböcker och till och med böcker på universitetsnivå. Jag tvivlar fortfarande inte: varför behöver vi bli av med irrationalitet i nämnaren? Och jag hatar att berätta det jag inte förstår så länge, klagade Daniel.

"Jag vet inte heller var det kommer ifrån och varför det behövs, men det måste finnas någon logisk förklaring till det här.

– En gång läste jag i en vetenskaplig tidskrift att att bli av med irrationaliteten i nämnaren gör att man kan få ett resultat med större precision, men jag har aldrig sett det här igen och jag är inte säker på att så är fallet.

Varför kollar vi inte upp det? frågade Camila.

"Du har rätt", instämde Daniel. ”Istället för att klaga bör du försöka dra dina egna slutsatser. Hjälp mig då...

"Självklart, nu är jag intresserad av det själv.

”Vi borde ta några uttryck och göra oss av med irrationaliteten i nämnaren, sedan ersätta roten med dess värde och hitta resultatet av uttrycket före och efter att vi blivit av med irrationaliteten i nämnaren och se om något förändras.

"Självklart", instämde Camila. - Låt oss göra det.

"Ta till exempel uttrycket", sa Daniel och tog ett papper för att skriva ner vad som hände. - Multiplicera täljaren och nämnaren med och få .

"Det kommer att vara korrekt och kan hjälpa oss att dra slutsatser om vi anser att andra irrationella uttryck är lika med detta," föreslog Camila.

- Jag håller med, - sa Daniel, - Jag delar täljaren och nämnaren med , och du multiplicerar dem med .

- Jag lyckades . Och du?

"Det har jag", svarade Daniel. - Nu beräknar vi det ursprungliga uttrycket och de resulterande, och ersätter det med dess värde med alla decimaler som räknaren ger. Vi får:

"Jag ser inget utöver det vanliga," sa Camila. "Jag förväntade mig någon sorts skillnad som skulle motivera att bli av med irrationalitet.

”Som jag sa så läste jag om det en gång i samband med tillvägagångssättet. Vad skulle du säga om vi ändrade till ett mindre exakt nummer, som ?

Låt oss försöka se vad som händer.

Lösa ekvationer med bråk låt oss titta på exempel. Exemplen är enkla och illustrativa. Med deras hjälp kan du förstå på det mest förståeliga sättet.
Till exempel måste du lösa en enkel ekvation x/b + c = d.

En ekvation av denna typ kallas linjär, eftersom nämnaren innehåller endast siffror.

Lösningen utförs genom att multiplicera båda sidor av ekvationen med b, sedan tar ekvationen formen x = b*(d – c), d.v.s. nämnaren för bråket på vänster sida reduceras.

Till exempel, hur man löser en bråkekvation:
x/5+4=9
Vi multiplicerar båda delarna med 5. Vi får:
x+20=45
x=45-20=25

Ett annat exempel där det okända finns i nämnaren:

Ekvationer av denna typ kallas bråkrationell eller helt enkelt bråkdel.

Vi skulle lösa en bråkekvation genom att göra oss av med bråk, varefter denna ekvation, oftast, övergår i en linjär eller kvadratisk, som löses på vanligt sätt. Du bör endast ta hänsyn till följande punkter:

• värdet på en variabel som vänder nämnaren till 0 kan inte vara en rot;
• du kan inte dividera eller multiplicera ekvationen med uttrycket =0.

Här träder i kraft ett sådant koncept som området för tillåtna värden (ODZ) - dessa är värdena för rötterna till ekvationen som ekvationen är vettig för.

Således, när man löser ekvationen, är det nödvändigt att hitta rötterna och sedan kontrollera dem för överensstämmelse med ODZ. De rötter som inte motsvarar vårt DHS är uteslutna från svaret.

Till exempel måste du lösa en bråkekvation:

Baserat på ovanstående regel kan x inte vara = 0, dvs. ODZ i detta fall: x - något annat värde än noll.

Vi blir av med nämnaren genom att multiplicera alla termer i ekvationen med x

Och lös den vanliga ekvationen

5x - 2x = 1
3x=1
x = 1/3

Svar: x = 1/3

Låt oss lösa ekvationen mer komplicerad:

ODZ finns också här: x -2.

När vi löser denna ekvation kommer vi inte att överföra allt i en riktning och föra bråk till en gemensam nämnare. Vi multiplicerar omedelbart båda sidor av ekvationen med ett uttryck som kommer att reducera alla nämnare på en gång.

För att minska nämnarna måste du multiplicera vänster sida med x + 2 och höger sida med 2. Så båda sidor av ekvationen måste multipliceras med 2 (x + 2):

Detta är den vanligaste multiplikationen av bråk, som vi redan har diskuterat ovan.

Vi skriver samma ekvation, men på ett lite annorlunda sätt.

Den vänstra sidan reduceras med (x + 2), och den högra sidan med 2. Efter reduktionen får vi den vanliga linjära ekvationen:

x \u003d 4 - 2 \u003d 2, vilket motsvarar vår ODZ

Svar: x = 2.

Lösa ekvationer med bråk inte så svårt som det kan verka. I den här artikeln har vi visat detta med exempel. Om du har några svårigheter med hur man löser ekvationer med bråk, avsluta prenumerationen i kommentarerna.

I det här ämnet kommer vi att överväga alla tre ovanstående grupper av gränser med irrationalitet. Låt oss börja med gränser som innehåller en osäkerhet av formen $\frac(0)(0)$.

Osäkerhetsupplysning $\frac(0)(0)$.

Schemat för att lösa standardexempel av denna typ består vanligtvis av två steg:

• Vi gör oss av med irrationaliteten som orsakade osäkerheten genom att multiplicera med det så kallade "adjoint" uttrycket;
• Vid behov delar vi upp uttrycket i täljaren eller nämnaren (eller båda) i faktorer;
• Vi minskar de faktorer som leder till osäkerhet och beräknar gränsvärdets önskade värde.

Termen "adjoint expression" som används ovan kommer att förklaras i detalj i exemplen. Än så länge finns det ingen anledning att uppehålla sig vid det i detalj. I allmänhet kan du gå åt andra hållet, utan att använda det konjugerade uttrycket. Ibland kan en väl vald ersättare bli av med irrationalitet. Sådana exempel är sällsynta i standardtester, så vi överväger endast ett exempel nr 6 för att använda ersättningen (se den andra delen av detta ämne).

Vi kommer att behöva några formler, som jag kommer att skriva ner nedan:

\begin(ekvation) a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b) \end(ekvation) \begin(ekvation) a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2 +ab+b^2) \end(ekvation) \begin(ekvation) a^3+b^3=(a+b)\cdot(a^2-ab+b^2) \end(ekvation) \begin (ekvation) a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end(ekvation)

Dessutom antar vi att läsaren kan formlerna för att lösa andragradsekvationer. Om $x_1$ och $x_2$ är rötterna till kvadrattrinomialet $ax^2+bx+c$, kan det faktoriseras med följande formel:

\begin(ekvation) ax^2+bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2) \end(ekvation)

Formlerna (1)-(5) är tillräckligt för att lösa standardproblem, som vi nu övergår till.

Exempel #1

Hitta $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$.

Eftersom $\lim_(x\to 3)(\sqrt(7-x)-2)=\sqrt(7-3)-2=\sqrt(4)-2=0$ och $\lim_(x\ till 3) (x-3)=3-3=0$, då har vi i den givna gränsen en osäkerhet av formen $\frac(0)(0)$. Skillnaden $\sqrt(7-x)-2$ hindrar oss från att avslöja denna osäkerhet. För att bli av med sådana irrationaliteter används multiplikation med det så kallade "adjoint uttrycket". Vi ska nu överväga hur en sådan multiplikation fungerar. Multiplicera $\sqrt(7-x)-2$ med $\sqrt(7-x)+2$:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)$$

För att utöka parenteserna använder vi , och ersätter $a=\sqrt(7-x)$, $b=2$ till höger om den nämnda formeln:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=(\sqrt(7-x))^2-2^2=7-x-4=3-x .$$

Som du kan se, om du multiplicerar täljaren med $\sqrt(7-x)+2$, försvinner roten (dvs irrationaliteten) i täljaren. Detta uttryck $\sqrt(7-x)+2$ kommer att vara konjugera till uttrycket $\sqrt(7-x)-2$. Men vi kan inte bara ta och multiplicera täljaren med $\sqrt(7-x)+2$, eftersom detta kommer att ändra bråket $\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$, som är under gränsen. Du måste multiplicera både täljaren och nämnaren samtidigt:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)= \left|\frac(0)(0)\right|=\lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2)) $$

Kom nu ihåg att $(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=3-x$ och utöka parenteserna. Och efter att ha öppnat parenteserna och en liten transformation $3-x=-(x-3)$, minskar vi bråket med $x-3$:

$$ \lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt( 7-x)+2))= \lim_(x\till 3)\frac(3-x)((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))=\\ =\lim_ (x\to 3)\frac(-(x-3))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))= \lim_(x\to 3)\frac(-1) )(\sqrt(7-x)+2) $$

Osäkerheten $\frac(0)(0)$ är borta. Nu kan du enkelt få svaret på detta exempel:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(-1)(\sqrt(7-x)+2)=\frac(-1)(\sqrt(7-3)+2)=-\frac( 1)(\sqrt(4)+2)=-\frac(1)(4).$$

Jag noterar att det konjugerade uttrycket kan ändra sin struktur - beroende på vilken typ av irrationalitet det ska ta bort. I exemplen #4 och #5 (se den andra delen av detta ämne) kommer en annan typ av konjugatuttryck att användas.

Svar: $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)=-\frac(1)(4)$.

Exempel #2

Hitta $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$.

Eftersom $\lim_(x\to 2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\sqrt(2^2+5)-\sqrt(7\cdot 2 ^ 2-19)=3-3=0$ och $\lim_(x\to 2)(3x^2-5x-2)=3\cdot2^2-5\cdot 2-2=0$, då vi har att göra med en osäkerhet av formen $\frac(0)(0)$. Låt oss bli av med irrationalitet i nämnaren för denna bråkdel. För att göra detta, låt oss lägga till både täljaren och nämnaren för bråket $\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$ till uttryck $\sqrt(x^ 2+5)+\sqrt(7x^2-19)$ konjugera till nämnaren:

$$ \lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\left|\frac(0 )(0)\right|= \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) ((\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) $$

Återigen, som i exempel nr 1, måste du använda parenteser för att expandera. Genom att ersätta $a=\sqrt(x^2+5)$, $b=\sqrt(7x^2-19)$ till höger i den nämnda formeln får vi följande uttryck för nämnaren:

$$ \left(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19)\right)\left(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)\ höger)=\\ =\vänster(\sqrt(x^2+5)\höger)^2-\vänster(\sqrt(7x^2-19)\höger)^2=x^2+5-(7x ^2-19)=-6x^2+24=-6\cdot(x^2-4) $$

Låt oss gå tillbaka till vår gräns:

$$ \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((\sqrt(x) ^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))= \lim_(x\to 2)\frac( (3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(-6\cdot(x^2-4))=\\ =-\ frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x^2-4) $$

I exempel nr 1, nästan omedelbart efter multiplicering med konjugatuttrycket, reducerades fraktionen. Här, före reduktionen, är det nödvändigt att faktorisera uttrycken $3x^2-5x-2$ och $x^2-4$, och först därefter gå vidare till reduktionen. För att faktorisera uttrycket $3x^2-5x-2$ måste du använda . Låt oss först lösa andragradsekvationen $3x^2-5x-2=0$:

$$ 3x^2-5x-2=0\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49;\\ & x_1=\ frac(-(-5)-\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5-7)(6)=-\frac(2)(6)=-\frac(1)(3) ;\\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2. \end(justerad) $$

Genom att ersätta $x_1=-\frac(1)(3)$, $x_2=2$ med , har vi:

$$ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)(x-2)=3\cdot\left(x+\ frac(1)(3)\höger)(x-2)=\vänster(3\cdot x+3\cdot\frac(1)(3)\höger)(x-2) =(3x+1)( x-2). $$

Nu är det dags att faktorisera uttrycket $x^2-4$. Låt oss använda , och ersätta $a=x$, $b=2$ i det:

$$ x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2) $$

Låt oss använda de erhållna resultaten. Eftersom $x^2-4=(x-2)(x+2)$ och $3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$, då:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2) -19)))(x^2-4) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x) ^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((x-2)(x+2)) $$

Om vi ​​minskar med parentes $x-2$ får vi:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^ 2-19)))((x-2)(x+2)) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt( x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(x+2). $$

Allt! Osäkerheten är borta. Ett steg till och vi kommer till svaret:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x+2)=\\ =-\frac(1)(6)\cdot\frac((3\cdot 2+1)(\sqrt(2^2+5)+\sqrt(7\cdot 2) ^2-19)))(2+2)= -\frac(1)(6)\cdot\frac(7(3+3))(4)=-\frac(7)(4). $$

Svar: $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=-\frac(7)( 4)$.

I följande exempel, överväg fallet när irrationalitet kommer att finnas både i täljaren och i nämnaren för ett bråk.

Exempel #3

Hitta $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9) ))$.

Eftersom $\lim_(x\to 5)(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))=\sqrt(9)-\sqrt(9)=0$ och $\lim_( x \to 5)(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9))=\sqrt(16)-\sqrt(16)=0$, då har vi en osäkerhet av formen $ \frac (0)(0)$. Eftersom i det här fallet rötterna finns både i nämnaren och i täljaren, för att bli av med osäkerheten, måste du multiplicera med två parenteser samtidigt. Först, konjugera till uttrycket $\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)$ till täljaren. Och för det andra, till uttrycket $\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9)$ konjugera till nämnaren.

$$ \lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9) ))=\vänster|\frac(0)(0)\höger|=\\ =\lim_(x\till 5)\frac((\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16) )(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((\sqrt(x^2) -3x+6)-\sqrt(5x-9))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9))(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2) -16))) $$ $$ -x^2+x+20=0;\\ \begin(aligned) & D=1^2-4\cdot(-1)\cdot 20=81;\\ & x_1=\frac(-1-\sqrt(81))(-2)=\frac(-10)(-2)=5;\\ & x_2=\frac(-1+\sqrt(81))( -2)=\frac(8)(-2)=-4. \end(justerad) \\ -x^2+x+20=-1\cdot(x-5)(x-(-4))=-(x-5)(x+4). $$

För uttrycket $x^2-8x+15$ får vi:

$$ x^2-8x+15=0;\\ \begin(aligned) & D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=4;\\ & x_1=\frac(-(- 8)-\sqrt(4))(2)=\frac(6)(2)=3;\\ & x_2=\frac(-(-8)+\sqrt(4))(2)=\frac (10)(2)=5. \end(aligned)\\ x^2+8x+15=1\cdot(x-3)(x-5)=(x-3)(x-5). $$

Ersätter de erhållna expansionerna $-x^2+x+20=-(x-5)(x+4)$ och $x^2+8x+15=(x-3)(x-5)$ i den övervägda gräns, kommer att ha:

$$ \lim_(x\to 5)\frac((-x^2+x+20)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x^2) -8x+15)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \lim_(x\to 5)\frac(-(x-5)(x+4)(\ sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3)(x-5)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)) )=\\ =\lim_(x\till 5)\frac(-(x+4)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3) (\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \frac(-(5+4)(\sqrt(5^2-3\cdot 5+6)+\sqrt(5) \cdot 5-9)))((5-3)(\sqrt(5+4)+\sqrt(5^2-16)))=-6. $$

Svar: $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9) ))=-6$.

I nästa (andra) del kommer vi att överväga ytterligare ett par exempel där det konjugerade uttrycket kommer att ha en annan form än i de tidigare problemen. Det viktigaste att komma ihåg är att syftet med att använda ett konjugat uttryck är att bli av med irrationaliteten som orsakar osäkerhet.

När man studerar omvandlingarna av ett irrationellt uttryck är frågan om hur man kan bli av med irrationalitet i nämnaren av ett bråk mycket viktig. Syftet med den här artikeln är att förklara denna åtgärd med specifika uppgiftsexempel. I det första stycket kommer vi att överväga de grundläggande reglerna för denna transformation, och i det andra - karakteristiska exempel med detaljerade förklaringar.

Begreppet befrielse från irrationalitet i nämnaren

Låt oss börja med en förklaring av vad meningen med en sådan transformation är i allmänhet. För detta erinrar vi om följande bestämmelser.

Vi kan tala om irrationalitet i bråkens nämnare om det finns en radikal närvarande där, vilket också är rotens tecken. Siffror skrivna med detta tecken är ofta irrationella. Exempel skulle vara 1 2 , - 2 x + 3 , x + y x - 2 · x · y + 1 , 11 7 - 5 . Bråk med irrationella nämnare inkluderar även de som har rötter av olika grader där (kvadrat, kubik, etc.), till exempel 3 4 3, 1 x + x y 4 + y. Att bli av med irrationalitet bör vara att förenkla uttrycket och underlätta ytterligare beräkningar. Låt oss formulera huvuddefinitionen:

Definition 1

Bli av med irrationalitet i nämnaren av ett bråk- betyder att omvandla det, ersätta det med en identiskt lika bråkdel, vars nämnare inte innehåller rötter och grader.

En sådan handling kan kallas befrielse eller att bli av med irrationalitet, medan innebörden förblir densamma. Övergången från 1 2 till 2 2, dvs. till ett bråk med lika värde utan ett rottecken i nämnaren och kommer att vara den åtgärd vi behöver. Låt oss ge ett annat exempel: vi har en bråkdel x x - y . Låt oss utföra de nödvändiga transformationerna och få bråket x · x + y x - y som är identiskt lika med det, och befria oss från irrationalitet i nämnaren.

Efter att ha formulerat definitionen kan vi fortsätta direkt till studiet av sekvensen av åtgärder som måste utföras för en sådan transformation.

Grundläggande steg för att bli av med irrationalitet i nämnaren av ett bråk

För att bli av med rötterna måste du utföra två på varandra följande bråktransformationer: multiplicera båda delarna av bråket med ett annat tal än noll och omvandla sedan uttrycket som erhålls i nämnaren. Låt oss överväga de viktigaste fallen.

I det enklaste fallet klarar du dig med omvandlingen av nämnaren. Till exempel kan vi ta ett bråk med en nämnare lika med roten av 9. Efter att ha räknat ut 9 skriver vi 3 i nämnaren och blir därmed av med irrationalitet.

Men mycket oftare måste du förmultiplicera täljaren och nämnaren med ett tal som sedan gör att du kan få nämnaren till önskad form (utan rötter). Så om vi multiplicerar 1 x + 1 med x + 1 får vi bråkdelen x + 1 x + 1 x + 1 och vi kan ersätta uttrycket i dess nämnare med x + 1 . Så vi omvandlade 1 x + 1 till x + 1 x + 1, och blev av med irrationaliteten.

Ibland är de transformationer som ska utföras ganska specifika. Låt oss titta på några illustrativa exempel.

Hur man konverterar ett uttryck till nämnaren för ett bråk

Som vi sa är det enklaste att göra att konvertera nämnaren.

Exempel 1

Skick: befria bråket 1 2 18 + 50 från irrationalitet i nämnaren.

Lösning

Till att börja med, låt oss öppna parenteserna och få uttrycket 1 2 18 + 2 50 . Med hjälp av rötternas grundläggande egenskaper, låt oss gå vidare till uttrycket 1 2 · 18 + 2 · 50 . Vi beräknar värdena för båda uttrycken under rötterna och får 1 36 + 100 . Här kan du redan extrahera rötterna. Som ett resultat fick vi en bråkdel 1 6 + 10, lika med 1 16. Detta fullbordar förvandlingen.

Vi skriver ner förloppet av hela lösningen utan kommentarer:

1 2 18 + 50 = 1 2 18 + 2 50 = = 1 2 18 + 2 50 = 1 36 + 100 = 1 6 + 10 = 1 16

Svar: 1 2 18 + 50 = 1 16 .

Exempel 2

Skick: givet en bråkdel 7 - x (x + 1) 2 . Bli av med irrationaliteten i nämnaren.

Lösning

Tidigare i artikeln om transformationer av irrationella uttryck med hjälp av egenskaperna hos rötter nämnde vi att för vilket A och till och med n som helst kan vi ersätta uttrycket A n n med | A | på hela intervallet av tillåtna värden för variabler. Därför kan vi i vårt fall skriva det så här: 7 - x x + 1 2 = 7 - x x + 1. På så sätt befriade vi oss från irrationaliteten i nämnaren.

Svar: 7 - x x + 1 2 = 7 - x x + 1 .

Att bli av med irrationalitet genom att multiplicera med roten

Om nämnaren i bråket innehåller ett uttryck av formen A och uttrycket A i sig inte har rottecken, så kan vi bli av med irrationalitet genom att helt enkelt multiplicera båda delarna av det ursprungliga bråket med A. Möjligheten för denna åtgärd bestäms av det faktum att A i intervallet av giltiga värden inte kommer att förvandlas till 0 . Efter multiplikation kommer nämnaren att innehålla ett uttryck av formen A · A, vilket är lätt att bli av med rötterna: A · A \u003d A 2 \u003d A. Låt oss se hur man tillämpar denna metod i praktiken.

Exempel 3

Skick: bråk x 3 och - 1 x 2 + y - 4 ges. Bli av med irrationaliteten i deras nämnare.

Lösning

Låt oss multiplicera det första bråket med den andra roten av 3. Vi får följande:

x 3 = x 3 3 3 = x 3 3 2 = x 3 3

I det andra fallet måste vi multiplicera med x 2 + y - 4 och transformera det resulterande uttrycket i nämnaren:

1 x 2 + y - 4 = - 1 x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 = = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 2 = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4

Svar: x 3 = x 3 3 och - 1 x 2 + y - 4 = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 .

Om nämnaren för det ursprungliga bråket innehåller uttryck av formen A n m eller A m n (förutsatt att m och n är naturliga), måste vi välja en faktor så att det resulterande uttrycket kan omvandlas till A n n k eller A n k n (om k är naturligt). Efter det kommer det inte att vara svårt att bli av med irrationalitet. Låt oss ta ett exempel.

Exempel 4

Skick: givna bråk 7 6 3 5 och x x 2 + 1 4 15 . Bli av med irrationaliteten i nämnarna.

Lösning

Vi måste ta ett naturligt tal som kan delas med fem, medan det måste vara större än tre. För att göra exponenten 6 lika med 5 måste vi multiplicera med 6 2 5. Därför måste vi multiplicera båda delarna av den ursprungliga bråkdelen med 6 2 5:

7 6 3 5 = 7 6 2 5 6 3 5 6 2 5 = 7 6 2 5 6 3 5 6 2 = 7 6 2 5 6 5 5 = = 7 6 2 5 6 = 7 36 5 6

I det andra fallet behöver vi ett tal större än 15, som kan delas med 4 utan en rest. Vi tar 16 . För att få en sådan exponent i nämnaren måste vi ta x 2 + 1 4 som faktor. Låt oss förtydliga att värdet på detta uttryck inte kommer att vara 0 i alla fall. Vi beräknar:

x x 2 + 1 4 15 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 15 x 2 + 1 4 = = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 16 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 4 4 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4

Svar: 7 6 3 5 = 7 36 5 6 och x x 2 + 1 4 15 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 .

Att bli av med irrationalitet genom att multiplicera med ett adjunkt uttryck

Följande metod är lämplig för de fall då nämnaren för det ursprungliga bråket innehåller uttrycken a + b, a - b, a + b, a - b, a + b, a - b. I sådana fall måste vi ta det adjoint uttrycket som en faktor. Låt oss förklara innebörden av detta koncept.

För det första uttrycket a + b kommer konjugatet att vara a - b, för det andra a - b - a + b. För a + b - a - b, för a - b - a + b, för a + b - a - b, och för a - b - a + b. Med andra ord är ett konjugat uttryck ett uttryck där det motsatta tecknet står framför den andra termen.

Låt oss ta en titt på exakt vad denna metod är. Låt oss säga att vi har en produkt av formen a - b · a + b . Den kan ersättas med kvadratskillnaden a - b · a + b = a 2 - b 2 , varefter vi går över till uttrycket a − b utan radikaler. Således blev vi av med irrationaliteten i bråkets nämnare genom att multiplicera med det konjugerade uttrycket. Låt oss ta ett par illustrativa exempel.

Exempel 5

Skick: bli av med irrationaliteten i uttrycken 3 7 - 3 och x - 5 - 2 .

Lösning

I det första fallet tar vi det konjugerade uttrycket lika med 7 + 3. Nu multiplicerar vi båda delarna av det ursprungliga bråket med det:

3 7 - 3 = 3 7 + 3 7 - 3 7 + 3 = 3 7 + 3 7 2 - 3 2 = = 3 7 + 3 7 - 9 = 3 7 + 3 - 2 = - 3 7 + 3 2

I det andra fallet behöver vi uttrycket - 5 + 2 , som är konjugatet av uttrycket - 5 - 2 . Multiplicera täljaren och nämnaren med det och få:

x - 5 - 2 = x - 5 + 2 - 5 - 2 - 5 + 2 = = x - 5 + 2 - 5 2 - 2 2 = x - 5 + 2 5 - 2 = x 2 - 5 3

Det är också möjligt att utföra en transformation före multiplikation: om vi tar bort minus från nämnaren först, kommer det att vara bekvämare att räkna:

x - 5 - 2 = - x 5 + 2 = - x 5 - 2 5 + 2 5 - 2 = = - x 5 - 2 5 2 - 2 2 = - x 5 - 2 5 - 2 = - x 5 - 2 3 = = x 2 - 5 3

Svar: 3 7 - 3 = - 3 7 + 3 2 och x - 5 - 2 = x 2 - 5 3 .

Det är viktigt att vara uppmärksam på det faktum att uttrycket som erhålls som ett resultat av multiplikation inte blir 0 för några variabler från intervallet av giltiga värden för detta uttryck.

Exempel 6

Skick: givet en bråkdel x x + 4 . Förvandla det så att det inte finns några irrationella uttryck i nämnaren.

Lösning

Låt oss börja med att hitta intervallet för giltiga värden för x . Den definieras av villkoren x ≥ 0 och x + 4 ≠ 0 . Av dem kan vi dra slutsatsen att det önskade området är en mängd x ≥ 0 .

Konjugatet av nämnaren är x-4. När kan vi göra multiplikation på den? Endast om x-4 ≠ 0. På området för acceptabla värden kommer detta att motsvara villkoret x≠16. Som ett resultat kommer vi att få följande:

x x + 4 = x x - 4 x + 4 x - 4 = = x x - 4 x 2 - 4 2 = x x - 4 x - 16

Om x är lika med 16 får vi:

x x + 4 = 16 16 + 4 = 16 4 + 4 = 2

Därför är x x + 4 = x · x - 4 x - 16 för alla värden på x som hör till intervallet av giltiga värden, förutom 16 . För x = 16 får vi x x + 4 = 2 .

Svar: x x + 4 = x x - 4 x - 16 , x ∈ [ 0 , 16) ∪ (16 , + ∞) 2 , x = 16 .

Konvertera bråk med irrationalitet i nämnaren med formlerna för summan och skillnaden av kuber

I föregående stycke utförde vi multiplikation med konjugerade uttryck för att sedan använda kvadratskillnadens formel. Ibland, för att bli av med irrationalitet i nämnaren, är det användbart att använda andra förkortade multiplikationsformler, till exempel skillnaden mellan kuber a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + a b + b 2). Denna formel är bekväm att använda om nämnaren för det ursprungliga bråket innehåller uttryck med tredjegradsrötter av formen A 3 - B 3 , A 3 2 + A 3 · B 3 + B 3 2 . etc. För att tillämpa det måste vi multiplicera bråkets nämnare med den ofullständiga kvadraten på summan A 3 2 + A 3 · B 3 + B 3 2 eller skillnaden A 3 - B 3 . På samma sätt kan du använda summaformeln a 3 + b 3 \u003d (a) (a 2 - a b + b 2).

Exempel 7

Skick: transformera bråken 1 7 3 - 2 3 och 3 4 - 2 · x 3 + x 2 3 för att bli av med irrationaliteten i nämnaren.

Lösning

För den första bråkdelen måste vi använda metoden att multiplicera båda delarna med den ofullständiga kvadraten på summan av 7 3 och 2 3, för då kan vi utföra transformationen med hjälp av kubdifferensformeln:

1 7 3 - 2 3 = 1 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 7 3 - 2 3 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 = = 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 7 3 3 - 2 3 3 = 7 2 3 + 7 2 3 + 2 2 3 7 - 2 = = 49 3 + 14 3 + 4 3 5

I det andra bråket representerar vi nämnaren som 2 2 - 2 · x 3 + x 3 2 . I detta uttryck syns den ofullständiga kvadraten på skillnaden 2 och x 3, vilket innebär att vi kan multiplicera båda delarna av bråket med summan 2 + x 3 och använda formeln för summan av kuber. För detta måste villkoret 2 + x 3 ≠ 0 vara uppfyllt, vilket motsvarar x 3 ≠ - 2 och x ≠ - 8:

3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 3 2 2 - 2 x 3 + x 3 2 = = 3 2 + x 3 2 2 - 2 x 3 + x 3 2 2 + x 3 = 6 + 3 x 3 2 3 + x 3 3 = = 6 + 3 x 3 8 + x

Ersätt med en bråkdel - 8 och hitta värdet:

3 4 - 2 8 3 + 8 2 3 = 3 4 - 2 2 + 4 = 3 4

Låt oss sammanfatta. För alla x som ingår i intervallet för den ursprungliga bråkdelen (uppsättning R), med undantag för - 8 , får vi 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 6 + 3 x 3 8 + x . Om x = 8 så är 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 3 4 .

Svar: 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 \u003d 6 + 3 x 3 8 + x, x ≠ 8 3 4, x \u003d - 8.

Konsekvent tillämpning av olika transformationsmetoder

Ofta finns det i praktiken mer komplexa exempel när vi inte kan bli av med irrationaliteten i nämnaren med bara en metod. För dem måste du sekventiellt utföra flera transformationer eller välja icke-standardiserade lösningar. Låt oss ta ett sådant problem.

Exempel N

Skick: konvertera 5 7 4 - 2 4 för att bli av med rottecken i nämnaren.

Lösning

Låt oss multiplicera båda delarna av den ursprungliga bråkdelen med det konjugerade uttrycket 7 4 + 2 4 med ett värde som inte är noll. Vi får följande:

5 7 4 - 2 4 = 5 7 4 + 2 4 7 4 - 2 4 7 4 + 2 4 = = 5 7 4 + 2 4 7 4 2 - 2 4 2 = 5 7 4 + 2 4 7 - 2

Och nu tillämpar vi samma metod igen:

5 7 4 + 2 4 7 - 2 = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 7 - 2 7 + 2 = = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 7 2 - 2 2 = 5 7 4 + 7 4 7 + 2 7 - 2 = = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 5 = 7 4 + 2 4 7 + 2

Svar: 5 7 4 - 2 4 = 7 4 + 2 4 7 + 2 .

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter