Konveksnost funkcije. Smer izbokline

Koncept konveksnosti funkcije

Razmislite o funkciji \(y = f\levo(x \desno),\), za katero se predpostavlja, da je zvezna na segmentu \(\levo[ (a,b) \desno].\) Funkcija \(y = f \levo(x \desno),\) )\). konveksno navzdol (ali preprosto konveksen), če je za katero koli točko \((x_1)\) in \((x_2)\) iz \(\levo[ (a,b) \desno]\) neenakost \ Če je ta neenakost stroga za katero koli \(( x_1 ),(x_2) \in \left[ (a,b) \desno],\), tako da \((x_1) \ne (x_2),\) potem funkcija \(f\left(x \desno) \ ) se imenujejo strogo konveksno navzdol

Podobno je definirana navzgor konveksna funkcija. Pokliče se funkcija \(f\levo(x \desno)\). konveksno navzgor (oz konkavno), če za katero koli točko \((x_1)\) in \((x_2)\) segmenta \(\levo[ (a,b) \desno]\) velja neenakost \ Če je ta neenakost stroga za katero koli \( ( x_1),(x_2) \in \left[ (a,b) \desno],\), tako da \((x_1) \ne (x_2),\) potem funkcija \(f\left(x \desno) ) \) se imenujejo strogo konveksno navzgor na segmentu \(\levo[ (a,b) \desno].\)

Geometrijska interpretacija konveksnosti funkcije

Uvedene definicije konveksne funkcije imajo preprosto geometrijsko interpretacijo.

Za funkcijo, konveksno navzdol (risba \(1\)), središče \(B\) poljubne tetive \((A_1)(A_2)\) leži višji

Podobno velja za funkcijo konveksno navzgor (risba \(2\)), središče \(B\) poljubne tetive \((A_1)(A_2)\) leži spodaj ustrezna točka \((A_0)\) grafa funkcije ali sovpada s to točko.

Konveksne funkcije imajo še eno vizualno lastnost, ki je povezana z lokacijo tangenta na graf funkcije. Funkcija \(f\levo(x \desno)\) je konveksno navzdol na odseku \(\levo[ (a,b) \desno]\), če in samo če njegov graf ne leži nižje od tangente, narisane nanj v kateri koli točki \((x_0)\) odseka \(\levo [ (a ,b) \desno]\) (slika \(3\)).

V skladu s tem je funkcija \(f\levo(x \desno)\). konveksno navzgor na odseku \(\levo[ (a,b) \desno]\), če in samo če njegov graf ne leži višje od tangente, narisane nanj v kateri koli točki \((x_0)\) odseka \(\levo [ (a ,b) \desno]\) (slika \(4\)). Te lastnosti so izrek in jih je mogoče dokazati z uporabo definicije konveksnosti funkcije.

Zadostni pogoji za konveksnost

Naj za funkcijo \(f\left(x \desno)\) prvi odvod \(f"\left(x \desno)\) obstaja na segmentu \(\left[ (a,b) \desno], \) in drugi odvod \(f""\levo(x \desno)\) − na intervalu \(\levo((a,b) \desno).\) Potem veljajo naslednji zadostni kriteriji za konveksnost:

Če je \(f""\levo(x \desno) \ge 0\) za vse \(x \in \levo((a,b) \desno),\), potem je funkcija \(f\levo(x \ prav )\) konveksno navzdol na segmentu \(\levo[ (a,b) \desno];\)

Če je \(f""\levo(x \desno) \le 0\) za vse \(x \in \levo((a,b) \desno),\), potem je funkcija \(f\levo(x \ prav )\) konveksno navzgor na segmentu \(\levo[ (a,b) \desno].\)

V primerih, ko je drugi odvod strogo večji od (manjši od) nič, govorimo o stroga konveksnost navzdol (oz gor ).

Dokažimo zgornji izrek za primer navzdol konveksne funkcije. Naj ima funkcija \(f\left(x \right)\) nenegativni drugi odvod na intervalu \(\left((a,b) \right):\) \(f""\left(x \desno) \ge 0.\) Označimo z \((x_0)\) razpolovišče odseka \(\levo[ ((x_1),(x_2)) \desno].\) Predpostavimo, da je dolžina tega odseka je enako \(2h.\). Potem lahko koordinate \((x_1)\) in \((x_2)\) zapišemo kot: \[(x_1) = (x_0) - h,\;\;(x_2 ) = (x_0) + h.\] Razširi funkcijo \(f\left(x \desno)\) v točki \((x_0)\) v Taylorjevo vrsto z ostankom v Lagrangeovi obliki. Dobimo naslednje izraze: \[ (f\levo(((x_1)) \desno) = f\levo(((x_0) - h) \desno) ) = (f\levo(((x_0)) \desno ) - f"\levo(((x_0)) \desno)h + \frac((f""\levo(((\xi _1)) \desno)(h^2)))((2},} \] \[ {f\left({{x_2}} \right) = f\left({{x_0} + h} \right) } = {f\left({{x_0}} \right) + f"\left({{x_0}} \right)h + \frac{{f""\left({{\xi _2}} \right){h^2}}}{{2!}},} \] где \({x_0} - h !}
Dodajte obe enakosti: \[ (f\levo(((x_1)) \desno) + f\levo(((x_2)) \desno) ) = (2f\levo(((x_0)) \desno) + \frac (((h^2)))(2)\levo[ (f""\levo(((\xi _1)) \desno) + f""\levo(((\xi _2)) \desno)) \desno].) \] Ker \((\xi _1),(\xi _2) \in \left((a,b) \desno),\) so drugi odvodi na desni strani nenegativni . Torej \ ali \, ki je po definiciji funkcija \(f\levo(x \desno)\) konveksno navzdol .

Upoštevajte, da je nujen pogoj konveksnosti za funkcijo (tj. neposredni izrek, v katerem na primer iz pogoja konveksnosti sledi \(f""\left(x \desno) \ge 0\)) izpolnjen samo za nestroge neenakosti. V primeru stroge konveksnosti nujni pogoj praviloma ni izpolnjen. Na primer, funkcija \(f\levo(x \desno) = (x^4)\) je strogo konveksna navzdol. Vendar pa je v točki \(x = 0\) njen drugi odvod enak nič, tj. stroga neenakost \(f""\left(x \desno) \gt 0\) v tem primeru ni izpolnjena.

Lastnosti konveksnih funkcij

Naštejemo nekaj lastnosti konveksnih funkcij ob predpostavki, da so vse funkcije definirane in zvezne na segmentu \(\levo[ (a,b) \desno].\)

Če sta funkciji \(f\) in \(g\) konveksni navzdol (navzgor), potem katera koli od njiju linearna kombinacija \(af + bg,\), kjer so \(a\), \(b\) pozitivna realna števila, prav tako konveksna navzdol (navzgor).

Če je funkcija \(u = g\levo(x \desno)\) konveksna navzdol in je funkcija \(y = f\levo(u \desno)\) konveksna navzdol in nepadajoča, potem kompleksna funkcija \(y = f\levo((g\levo(x \desno)) \desno)\) bo tudi konveksno navzdol.

Če je funkcija \(u = g\levo(x \desno)\) konveksna navzgor in je funkcija \(y = f\levo(u \desno)\) konveksna navzdol in nenaraščajoča, potem kompleksna funkcija \(y = f\levo((g\levo(x \desno)) \desno)\) bo konveksiral navzdol.

Lokalni maksimum konveksna navzgor definirana funkcija na segmentu \(\levo[ (a,b) \desno],\) je hkrati njegova najvišjo vrednost na tem segmentu.

Lokalni minimum navzdol konveksna funkcija, definirana na segmentu \(\levo[ (a,b) \desno],\), je hkrati njegova najmanjša vrednost na tem segmentu.

Funkcijski graf l=f(x) klical konveksen na intervalu (a;b), če se nahaja pod katero koli svojo tangento na tem intervalu.

Funkcijski graf l=f(x) klical konkavno na intervalu (a;b), če se nahaja nad katero koli svojo tangento v tem intervalu.

Slika prikazuje konveksno krivuljo na (a;b) in konkavno do (b;c).

Primeri.

Razmislite o zadostnem znaku, ki vam omogoča, da ugotovite, ali bo graf funkcije v danem intervalu konveksen ali konkaven.

Izrek. Pustiti l=f(x) razločljiv po (a;b). Če na vseh točkah intervala (a;b) drugi odvod funkcije l = f(x) negativna, tj. f ""(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f""(x) > 0 je konkaven.

Dokaz. Predpostavimo za gotovost, da f""(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.

Oglejte si graf funkcije y = f(x) poljubna točka M0 z absciso x0 Î ( a; b) in nariši skozi točko M0 tangenta. Njena enačba. Pokazati moramo, da je graf funkcije na (a;b) leži pod to tangento, tj. z enako vrednostjo x ordinata krivulje y = f(x) bo manjša od ordinate tangente.

Torej je enačba krivulje y = f(x). Označimo tangentno ordinato, ki ustreza abscisi x. Potem. Zato je razlika med ordinatami krivulje in tangento pri isti vrednosti x volja .

Razlika f(x) – f(x0) transformirajo po Lagrangeovem izreku, kjer c med x in x0.

torej

Ponovno uporabimo Lagrangeov izrek za izraz v oglatih oklepajih: , kjer c 1 med c 0 in x0. Po izreku f ""(x) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.

Tako katera koli točka krivulje leži pod tangento krivulje za vse vrednosti x in x0 Î ( a; b), kar pomeni, da je krivulja konveksna. Drugi del izreka dokažemo podobno.

Primeri.

Imenuje se točka na grafu zvezne funkcije, ki loči njen konveksni del od konkavnega prevojna točka.

Očitno na prevojni točki tangenta, če obstaja, seka krivuljo, ker na eni strani te točke leži krivulja pod tangento, na drugi strani pa nad njo.

Določimo zadostne pogoje, da je dana točka krivulje prevojna točka.

Izrek. Naj bo krivulja definirana z enačbo y = f(x). če f ""(x 0) = 0 oz f ""(x 0) ne obstaja in pri prehodu skozi vrednost x = x0 izpeljanka f ""(x) spremeni predznak, nato točka grafa funkcije z absciso x = x0 obstaja prelomna točka.

Dokaz. Pustiti f ""(x) < 0 при x < x0 in f ""(x) > 0 pri x > x0. Nato pri x < x0 krivulja je konveksna in x > x0- konkavno. Zato bistvo A, ki leži na krivulji, z absciso x0 obstaja prelomna točka. Podobno lahko obravnavamo drugi primer, ko f ""(x) > 0 pri x < x0 in f ""(x) < 0 при x > x0.

Prevojne točke je torej treba iskati samo med tistimi točkami, kjer drugi odvod izgine ali ne obstaja.

Primeri. Poiščite prevojne točke in določite intervale konveksnosti in konkavnosti krivulj.

ASIMPTOTE GRAFA FUNKCIJE

Pri raziskovanju funkcije je pomembno ugotoviti obliko njenega grafa z neomejeno odstranitvijo točke grafa od izhodišča.

Posebej zanimiv je primer, ko se graf funkcije, ko je njena spremenljiva točka odmaknjena v neskončnost, neomejeno približuje določeni premici.

Direktno poklicano asimptota funkcijski graf l = f(x)če je oddaljenost od spremenljive točke M graf na to črto, ko je točka odstranjena M v neskončnost teži k nič, tj. točka grafa funkcije, ker teži v neskončnost, se mora neomejeno približevati asimptoti.

Krivulja se lahko približa svoji asimptoti, ostane na eni strani ali na različnih straneh, seka asimptoto neskončno velikokrat in se premika z ene strani na drugo.

Če z d označimo oddaljenost od točke M krivulje na asimptoto, je jasno, da se d nagiba k ničli, ko točko odstranimo M do neskončnosti.

Nadalje bomo razlikovali med navpičnimi in poševnimi asimptotami.

VERTIKALNE ASIMPTOTE

Naj pri x→ x0 obe strani funkcije l = f(x) neomejeno narašča v absolutni vrednosti, tj. ali ali . Potem iz definicije asimptote sledi, da je premica x = x0 je asimptota. Obratno je tudi očitno, če črta x = x0 je asimptota, torej .

Tako je navpična asimptota grafa funkcije y = f(x) se imenuje črta, če f(x)→ ∞ pod vsaj enim od pogojev x→ x0– 0 oz x → x0 + 0, x = x0

Zato najdemo navpične asimptote grafa funkcije l = f(x) treba najti te vrednosti x = x0, pri katerem gre funkcija v neskončnost (trpi neskončno diskontinuiteto). Potem ima navpična asimptota enačbo x = x0.

Primeri.

POŠEVNE ASIMPTOTE

Ker je asimptota ravna črta, potem je krivulja l = f(x) ima poševno asimptoto, potem bo njena enačba l = kx + b. Naša naloga je najti koeficiente k in b.

Izrek. Naravnost l = kx + b služi kot poševna asimptota pri x→ +∞ za graf funkcije l = f(x)če in samo če . Podobna izjava velja za x → –∞.

Dokaz. Pustiti MP- dolžina segmenta je enaka razdalji od točke M do asimptote. Po stanju. Označimo s φ kot naklona asimptote glede na os Ox. Potem od ΔMNP temu sledi. Ker je φ konstanten kot (φ ≠ π/2), potem , ampak

Za določitev konveksnosti (konkavnosti) funkcije na določenem intervalu lahko uporabimo naslednje izreke.

1. izrek. Naj bo funkcija definirana in zvezna na intervalu ter ima končni odvod. Da je funkcija konveksna (konkavna) v , je nujno in zadostno, da njen odvod pada (narašča) na tem intervalu.

2. izrek. Naj bo funkcija definirana in zvezna skupaj s svojim odvodom na in ima v sebi zvezen drugi odvod. Za konveksnost (konkavnost) funkcije v je nujno in zadostno, da znotraj

Dokažimo izrek 2 za primer konveksnosti funkcije .

Nujnost. Vzemimo poljubno točko. Funkcijo razširimo blizu točke v Taylorjev niz

Enačba tangente na krivuljo v točki z absciso:

Potem je presežek krivulje nad tangento nanjo v točki enak

Tako je ostanek enak presežku krivulje nad tangento nanjo v točki . Zaradi kontinuitete, če , potem tudi za , ki pripadajo dovolj majhni okolici točke , in zato, očitno, za vse, ki se razlikujejo od vrednosti , ki pripadajo navedeni okolici.

To pomeni, da graf funkcije leži nad tangento, krivulja pa je v poljubni točki konveksna.

Ustreznost. Naj bo krivulja konveksna na intervalu . Vzemimo poljubno točko.

Podobno kot pri prejšnjem razširimo funkcijo blizu točke v Taylorjev niz

Presežek krivulje nad tangento nanjo v točki z absciso, definirano z izrazom, je

Ker je eksces pozitiven za dovolj majhno okolico točke , je pozitiven tudi drugi odvod. Ko si prizadevamo, to dobimo za poljubno točko .

Primer. Raziščite funkcijo konveksnosti (konkavnosti).

Njegova izpeljanka narašča na celotni realni osi, zato je po izreku 1 funkcija konkavna na .

Njegova druga izpeljanka , zato je po izreku 2 funkcija konkavna na .

3.4.2.2 Prevojne točke

Opredelitev. prevojna točka Graf zvezne funkcije se imenuje točka, ki ločuje intervale, v katerih je funkcija konveksna in konkavna.

Iz te definicije sledi, da so prevojne točke točke ekstrema prvega odvoda. To implicira naslednje trditve za nujne in zadostne pregibne pogoje.

Izrek (nujni prevojni pogoj). Da bi bila točka prevojna točka dvakrat diferenciabilne funkcije, mora biti njen drugi odvod v tej točki enak nič ( ) ali ni obstajal.

Izrek (zadostni pogoj za pregib).Če drugi odvod dvakrat diferenciabilne funkcije pri prehodu skozi določeno točko spremeni predznak, potem obstaja prevojna točka.

Upoštevajte, da drugi odvod morda ne obstaja v sami točki.

Geometrična interpretacija prevojnih točk je prikazana na sl. 3.9

V okolici točke je funkcija konveksna in njen graf leži pod tangento, narisano v tej točki. V bližini točke je funkcija konkavna in njen graf leži nad tangento, narisano v tej točki. Na prevojni točki tangenta deli graf funkcije na coni konveksnosti in konkavnosti.

3.4.2.3 Pregled funkcije glede konveksnosti in prisotnosti prevojnih točk

1. Poišči drugi odvod.

2. Poiščite točke, v katerih drugi odvod ali ne obstaja.

riž. 3.9.

3. Preglejte predznak drugega odvoda levo in desno od najdenih točk in sklepajte o intervalih konveksnosti ali konkavnosti ter prisotnosti prevojnih točk.

Primer. Preglejte funkcijo glede konveksnosti in prisotnosti prevojnih točk.

2. Drugi odvod je enak nič pri .

3. Drugi odvod spremeni predznak pri , tako da je točka prevojna točka.

Na intervalu , potem je funkcija na tem intervalu konveksna.

Na intervalu , potem je funkcija na tem intervalu konkavna.

3.4.2.4 Splošna shema za preučevanje funkcij in risanje

Pri preučevanju funkcije in risanju njenega grafa je priporočljivo uporabiti naslednjo shemo:

Poiščite obseg funkcije.
Raziščite funkcijo sodo - liho. Spomnimo se, da je graf sode funkcije simetričen glede na os y, graf lihe funkcije pa je simetričen glede na izhodišče.
Poiščite navpične asimptote.
Raziščite obnašanje funkcije v neskončnosti, poiščite vodoravne ali poševne asimptote.
Poiščite ekstreme in intervale monotonosti funkcije.
Poiščite intervale konveksnosti funkcije in prevojne točke.
Poiščite presečišča s koordinatnimi osemi.

Študija funkcije se izvaja hkrati z gradnjo njenega grafa.

Primer. Raziščite funkcijo in ga začrtaj.

1. Obseg funkcije - .

2. Preučevana funkcija je soda , zato je njegov graf simetričen glede na os y.

3. Imenovalec funkcije izgine pri , zato ima graf funkcije navpični asimptoti in .

Točki sta diskontinuitetni točki druge vrste, saj limiti na levi in desni strani teh točk težita k .

4. Obnašanje funkcije v neskončnosti.

Zato ima graf funkcije horizontalno asimptoto.

5. Ekstremi in intervali monotonosti. Iskanje prve izpeljanke

Za torej funkcija v teh intervalih pada.

Za torej funkcija v teh intervalih narašča.

Za torej je točka kritična točka.

Iskanje drugega odvoda

Ker , potem je točka najmanjša točka funkcije .

6. Intervali konveksnosti in prevojne točke.

Funkcija pri , zato je funkcija na tem intervalu konkavna.

Funkcija pri , pomeni, da je funkcija konveksna na teh intervalih.

Funkcija nikoli ne izgine, zato ni prevojnih točk.

7. Presečišča s koordinatnimi osemi.

Enačba ima rešitev, ki pomeni presečišče grafa funkcije z y-osjo (0, 1).

Enačba nima rešitve, kar pomeni, da ni presečišč z abscisno osjo.

Ob upoštevanju izvedenih raziskav je mogoče zgraditi graf funkcije

Shematski graf funkcije prikazano na sl. 3.10.

riž. 3.10.

3.4.2.5 Asimptote grafa funkcije

Opredelitev. Asimptota graf funkcije imenujemo ravna črta, ki ima lastnost, da se razdalja od točke () do te ravne črte nagiba k 0 z neomejeno odstranitvijo točke grafa od izhodišča.

Splošna shema preučevanja funkcije in konstrukcije grafa.
1. Preiskava funkcije za konveksnost in konkavnost.

Asimptote grafa funkcije.

Uvod.

Pri šolskem tečaju matematike ste se že srečali s potrebo po risanju funkcijskih grafov. V letu ste uporabili metodo od točke do točke. Treba je poudariti, da je konceptualno preprosta in razmeroma hitro pripelje do cilja. V primerih, ko je funkcija zvezna in se spreminja precej gladko, lahko ta metoda zagotovi tudi potrebno stopnjo natančnosti grafičnega prikaza. Če želite to narediti, morate vzeti več točk, da dosežete določeno gostoto njihove postavitve.

Predpostavimo zdaj, da ima funkcija na nekaterih mestih značilnosti v svojem "obnašanju": bodisi se njene vrednosti močno spremenijo nekje na majhnem območju ali pa pride do prekinitev. Najpomembnejši deli grafa na ta način morda ne bodo zaznani.

Ta okoliščina zmanjšuje vrednost metode konstruiranja grafa "po točkah".

Obstaja še en način za risanje grafov, ki temelji na analitični študiji funkcij. Ugodno se primerja z metodo, ki se obravnava pri šolskem tečaju matematike.

1. Preiskava funkcije za konveksnost in konkavnost .

Naj funkcija
je diferencibilna na intervalu (a, c). Potem obstaja tangenta na graf funkcije v kateri koli točki
ta graf (
), tangenta pa ni vzporedna z osjo OY, saj je njen naklon enak
, seveda.

O
definicija Rekli bomo, da je graf funkcije
na (a, c) ima sprostitev, usmerjeno navzdol (navzgor), če se ne nahaja pod (ne nad) nobeno tangento na graf funkcije na (a, c).

a) konkavna krivulja b) konveksna krivulja

1. izrek (nujni pogoj za konveksnost (konkavnost) krivulje).

Če je graf dvakrat diferenciabilne funkcije konveksna (konkavna) krivulja, potem je drugi odvod na intervalu (a, c) na tem intervalu negativen (pozitiven).

2. izrek(zadostni pogoj za konveksnost (konkavnost) krivulje).

Če je funkcija dvakrat diferenciabilna na (a, b) in
(
) v vseh točkah tega intervala, potem je krivulja, ki je graf funkcije, konveksna (konkavna) na tem intervalu.

Prevojne točke grafa funkcije.

Opredelitev Pika
se imenuje prevojna točka grafa funkcije, če je v točki
graf ima tangento in obstaja taka soseska točke , znotraj katerega ima graf funkcije levo in desno od točke različno smeri konveksnosti.

O očitno je, da na prevojni točki tangenta prečka graf funkcije, saj na eni strani te točke graf leži nad tangento, na drugi pa pod njo, tj. v bližini prevojne točke, graf funkcije prehaja geometrijsko z ene strani tangente na drugo in se skozi njo "upogiba". Od tod izvira ime "prevojna točka".

Izrek 3(potreben pogoj prevojne točke). Naj ima graf funkcije prevoj v točki in funkcija v točki

zvezni drugi odvod. Potem

.
Ni vsaka točka, za katero , je prevojna točka. Na primer graf funkcije

nima prevojne točke pri (0, 0), čeprav

pri

. Zato je enakost drugega odvoda na nič le nujen pogoj za pregib.

Točke grafa, za katere se imenuje kritične točkeII-mesta. Potrebno je dodatno raziskati vprašanje prisotnosti kinkinga na vsaki kritični točki.

Izrek 4(zadosten pogoj za prelomno točko). Naj ima funkcija drugi odvod v neki okolici točke . Potem, če znotraj navedene soseske
ima različna predznaka levo in desno od točke, potem ima graf prevoj v točki.
Komentiraj. Izrek ostane resničen, če
ima drugi odvod v neki okolici točke , razen same točke, in v točki je tangenta na graf funkcije
. Potem, če ima znotraj označene okolice različna predznaka levo in desno od točke , potem ima graf funkcije prevoj v točki .
Shema preučevanja funkcije za konveksnost, konkavnost, prevojne točke.

Primer. Raziščite funkcijo
konveksnost, konkavnost, prevojne točke.
1.

2.
,
=

3. ne obstaja pri

)	1	(1, +)
-		+
	1

Asimptote grafa funkcije.

Pri preučevanju obnašanja funkcije pri
ali v bližini diskontinuitetnih točk 2. vrste se pogosto izkaže, da se graf funkcije približa eni ali drugi ravni črti kolikor hočemo. Takšne linije se imenujejo.

O definicija 1. Naravnost

imenujemo asimptota krivulje L, če se razdalja od točke krivulje do te premice nagiba k nič, ko se točka oddaljuje vzdolž krivulje v neskončnost. Obstajajo tri vrste asimptot: navpične, vodoravne in poševne.

Definicija 2. Naravnost
se imenuje navpična asimptota grafa funkcije, če je vsaj ena od enostranskih limit enaka
, tj. oz

Na primer graf funkcije
ima navpično asimptoto
, Ker
, A
.

Definicija 3. Ravna črta y \u003d A se imenuje vodoravna asimptota grafa funkcije, ko

če

Na primer, graf funkcije ima vodoravno asimptoto y=0, ker
.

Definicija 4. Naravnost

(

) imenujemo poševna asimptota grafa funkcije za

če

;

Če vsaj ena od mej ne obstaja, potem krivulja nima asimptot. Če, potem je treba te meje iskati ločeno, za in
.

Na primer. Poiščite asimptote grafa funkcije

; x=0 – navpična asimptota

;
.

je poševna asimptota.
4. Shema popolne študije funkcije in risbe.

Razmislite o vzorčni shemi, po kateri je priporočljivo raziskati obnašanje funkcije in zgraditi njen graf.

Primer. Raziščite funkcijo

in ga začrtaj.

1., razen x=-1.

2.
funkcija ne soda ne liha

-

-

+

+

l

-4

t r.

0

Zaključek.
Pomembna značilnost obravnavane metode je, da temelji predvsem na odkrivanju in preučevanju značilnih lastnosti v obnašanju krivulje. Mesta, kjer se funkcija gladko spreminja, niso posebej podrobno raziskana in taka študija ni potrebna. Toda tista mesta, kjer ima funkcija kakršne koli posebnosti v obnašanju, so predmet popolne raziskave in najbolj natančne grafične predstavitve. Te značilnosti so točke maksimuma, minimuma, točke diskontinuitete funkcije itd.

Določitev smeri konkavnosti in pregibov ter navedena metoda iskanja asimptot omogočajo še bolj podrobno preučevanje funkcij in natančnejšo predstavo o njihovih grafih.

Navodilo

Prevojne točke funkcije morajo pripadati domeni njene definicije, ki jo je treba najprej najti. Funkcijski graf je črta, ki je lahko zvezna ali ima diskontinuitete, monotono pada ali narašča, ima najmanjše ali največje točke (asimptote), je konveksna ali konkavna. Ostra sprememba zadnjih dveh stanj se imenuje pregib.

Nujni pogoj za obstoj pregiba funkcije je, da je sekunda enaka nič. Tako lahko z dvakratnim diferenciranjem funkcije in izenačenjem nastalega izraza z ničlo najdemo abscise možnih prevojnih točk.

Ta pogoj izhaja iz definicije lastnosti konveksnosti in konkavnosti grafa funkcije, tj. negativne in pozitivne vrednosti drugega odvoda. Na prevojni točki pride do ostre spremembe teh lastnosti, kar pomeni, da izpeljanka preide ničelno oznako. Vendar enakost na nič še vedno ni dovolj, da bi označila prelomno točko.

Obstajata dva zadostna pogoja, da abscisa, ugotovljena na prejšnji stopnji, pripada prevojni točki: Skozi to točko lahko narišete tangento na funkcijo. Druga izpeljanka ima različna predznaka desno in levo od domnevne prevojne točke. Tako njen obstoj v sami točki ni nujen, dovolj je ugotoviti, da v njej spremeni predznak.Drugi odvod funkcije je nič, tretji pa ne.

Prvi zadostni pogoj je univerzalen in se uporablja pogosteje kot drugi. Razmislite o ilustrativnem primeru: y = (3 x + 3) ∛ (x - 5).

Rešitev. Poiščite domeno definicije. V tem primeru ni nobenih omejitev, torej gre za celoten prostor realnih števil. Izračunajte prvi odvod: y' = 3 ∛ (x - 5) + (3 x + 3) / ∛ (x - 5)².

Bodite pozorni na videz frakcije. Iz tega sledi, da je domena definicije derivata omejena. Točka x = 5 je preluknjana, kar pomeni, da lahko skozi njo poteka tangenta, kar delno ustreza prvemu kriteriju zadostnosti prevoja.

Določite enostranske meje za dobljeni izraz pri x → 5 - 0 in x → 5 + 0. Enako sta -∞ in +∞. Dokazali ste, da poteka navpična tangenta skozi točko x=5. Ta točka je lahko prevojna točka, vendar najprej izračunajte drugi odvod: - 5)^5 = (2 x - 22)/∛(x - 5)^5.

Izpusti imenovalec, ker si že upošteval točko x = 5. Rešite enačbo 2 x - 22 = 0. Ima en sam koren x = 11. Zadnji korak je potrditev, da sta točki x = 5 in x = 11 prevojni točki. Analizirajte obnašanje drugega odvoda v njihovi bližini. Očitno v točki x = 5 spremeni znak iz "+" v "-", v točki x = 11 pa obratno. Sklep: obe točki sta prevojni točki. Prvi zadostni pogoj je izpolnjen.