kompleksne izpeljanke. logaritemski odvod

Odkar ste prišli sem, ste verjetno že uspeli videti to formulo v učbeniku

in naredi tak obraz:

Prijatelj, ne skrbi! Pravzaprav je vse preprosto osramotiti. Zagotovo boste vse razumeli. Samo ena prošnja - preberite članek počasi poskusite razumeti vsak korak. Napisal sem čim bolj preprosto in jasno, vendar se je treba še poglobiti v idejo. In obvezno rešite naloge iz članka.

Kaj je kompleksna funkcija?

Predstavljajte si, da se selite v drugo stanovanje in zato pakirate stvari v velike škatle. Naj bo treba zbrati nekaj majhnih predmetov, na primer šolske potrebščine. Če jih samo vržete v ogromno škatlo, se med drugim izgubijo. Da bi se temu izognili, jih najprej spravite na primer v vrečko, ki jo nato spravite v veliko škatlo, nakar jo zaprete. Ta "najtežji" postopek je prikazan na spodnjem diagramu:

Zdi se, kje je tu matematika? In poleg tega se kompleksna funkcija oblikuje na POPOLNOMA ENAK način! Samo mi »pakiramo« ne zvezke in pisala, ampak \ (x \), medtem ko služijo različni »paketi« in »škatle«.

Na primer, vzemimo x in ga "spakirajmo" v funkcijo:

Kot rezultat dobimo seveda \(\cos⁡x\). To je naša "vreča stvari". In zdaj ga damo v "škatlo" - zapakiramo ga na primer v kubično funkcijo.

Kaj bo na koncu? Da, tako je, tam bo "paket s stvarmi v škatli", to je "kosinus x na kubik."

Nastala konstrukcija je kompleksna funkcija. Od preprostega se razlikuje po tem VEČ »vplivov« (paketov) se uporabi za en X v vrsti in izkaže se, da je "funkcija iz funkcije" - "paket v paketu".

V šolskem tečaju je zelo malo vrst teh istih "paketov", le štiri:

"Zapakirajmo" x najprej v eksponentno funkcijo z osnovo 7 in nato v trigonometrično funkcijo. Dobimo:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

In zdaj dvakrat “zapakirajmo” x v trigonometrične funkcije, najprej v in nato v:

\(x → sin⁡x → ctg⁡ (sin⁡x)\)

Preprosto, kajne?

Zdaj sami zapišite funkcije, kjer je x:
- najprej se "zapakira" v kosinus, nato pa v eksponentno funkcijo z osnovo \(3\);
- najprej na peto potenco, nato pa na tangento;
- najprej na osnovni logaritem \(4\) , nato na potenco \(-2\).

Odgovore na to vprašanje si oglejte na koncu članka.

Ampak ali lahko "spakiramo" x ne dvakrat, ampak trikrat? Brez problema! In štiri, pet in petindvajsetkrat. Tukaj je na primer funkcija, v kateri je x "zapakiran" \(4\)-krat:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Toda takih formul v šolski praksi ne bomo našli (več sreče imajo učenci - lahko so težji☺).

"Razpakiranje" kompleksne funkcije

Ponovno si oglejte prejšnjo funkcijo. Ali lahko ugotovite zaporedje "pakiranja"? V kaj je bil najprej stlačen X, v kaj potem in tako naprej do samega konca. Se pravi, katera funkcija je ugnezdena v katero? Vzemite kos papirja in zapišite, kaj mislite. To lahko storite z verigo puščic, kot smo zapisali zgoraj, ali na kateri koli drug način.

Zdaj je pravilen odgovor: najprej je bil x "zapakiran" na \(4\) potenco, nato je bil rezultat zapakiran v sinus, ta pa je bil postavljen v logaritemsko osnovo \(2\) in v na koncu je bila celotna konstrukcija stlačena v močne petice.

To pomeni, da je potrebno zaporedje odviti V OBRATNEM VRSTNEM REDU. In tukaj je namig, kako to narediti lažje: samo poglejte X - od njega morate plesati. Poglejmo si nekaj primerov.

Tukaj je na primer funkcija: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Pogledamo X - kaj se najprej zgodi z njim? Vzeto od njega. In potem? Vzame se tangens rezultata. In zaporedje bo enako:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Drug primer: \(y=\cos⁡((x^3))\). Analiziramo - najprej smo x kubirali, nato pa iz rezultata vzeli kosinus. Torej bo zaporedje: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Bodite pozorni, zdi se, da je funkcija podobna prvi (kjer s slikami). Toda to je popolnoma drugačna funkcija: tukaj v kocki x (to je \(\cos⁡((x x x)))\) in tam v kocki kosinus \(x\) (to je \(\ cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Ta razlika izhaja iz različnih zaporedij "pakiranja".

Zadnji primer (s pomembnimi informacijami v njem): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Jasno je, da smo tukaj najprej izvedli aritmetične operacije z x, nato pa smo iz rezultata vzeli sinus: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). In to je pomembna točka: kljub dejstvu, da aritmetične operacije same po sebi niso funkcije, tukaj delujejo tudi kot način "pakiranja". Poglobimo se nekoliko globlje v to subtilnost.

Kot sem rekel zgoraj, je v preprostih funkcijah x "zapakiran" enkrat, v kompleksnih funkcijah pa dva ali več. Poleg tega je vsaka kombinacija enostavnih funkcij (to je njihova vsota, razlika, množenje ali deljenje) tudi enostavna funkcija. Na primer, \(x^7\) je preprosta funkcija, prav tako \(ctg x\). Zato so vse njihove kombinacije preproste funkcije:

\(x^7+ ctg x\) - preprosto,
\(x^7 ctg x\) je preprosto,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) je preprost in tako naprej.

Če pa k takšni kombinaciji dodamo še eno funkcijo, bo to že kompleksna funkcija, saj bosta "paketa" dva. Glej diagram:

V redu, nadaljujmo zdaj. Zapišite zaporedje funkcij "ovijanja":
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Odgovori so spet na koncu članka.

Notranje in zunanje funkcije

Zakaj moramo razumeti gnezdenje funkcij? Kaj nam to daje? Gre za to, da brez takšne analize ne bomo mogli zanesljivo najti derivatov zgoraj obravnavanih funkcij.

In da bi šli naprej, bomo potrebovali še dva pojma: notranje in zunanje funkcije. To je zelo preprosta stvar, poleg tega smo jih pravzaprav že analizirali zgoraj: če se spomnimo naše analogije na samem začetku, potem je notranja funkcija "paket", zunanja pa "škatla". Tisti. tisto, v kar je X najprej »zavito«, je notranja funkcija, tisto, v kar je »zavito« notranje, pa je že zunanje. No, razumljivo je zakaj - zunaj je, pomeni zunanje.

Tukaj v tem primeru: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), je funkcija \(\log_2⁡x\) interna in
- zunanji.

In v tem: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) je notranji in
- zunanji.

Izvedite zadnjo prakso analize kompleksnih funkcij in končno preidimo na točko, zaradi katere se je vse začelo - našli bomo izpeljanke kompleksnih funkcij:

Izpolnite vrzeli v tabeli:

Odvod kompleksne funkcije

Bravo za nas, še vedno smo prišli do "šefa" te teme - pravzaprav izpeljanke kompleksne funkcije in konkretno do tiste zelo grozne formule z začetka članka.☺

\((f(g(x)"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Ta formula se glasi takole:

Odvod kompleksne funkcije je enak zmnožku odvoda zunanje funkcije glede na konstantno notranjo funkcijo in odvoda notranje funkcije.

In takoj si oglejte shemo razčlenjevanja "po besedah", da boste razumeli, na kaj se nanašati:

Upam, da izraza "derivat" in "izdelek" ne povzročata težav. "Kompleksna funkcija" - smo že razstavili. Ulov je v "izpeljanki zunanje funkcije glede na konstantno notranjo funkcijo." Kaj je to?

Odgovor: to je običajna izpeljanka zunanje funkcije, pri kateri se spremeni le zunanja funkcija, notranja pa ostane enaka. Še vedno nejasno? V redu, vzemimo primer.

Recimo, da imamo funkcijo \(y=\sin⁡(x^3)\). Jasno je, da je notranja funkcija tukaj \(x^3\), zunanja pa
. Poiščimo zdaj odvod zunanjega glede na konstanto notranjega.

Operacija iskanja odvoda se imenuje diferenciacija.

Kot rezultat reševanja problemov iskanja odvodov najenostavnejših (in ne zelo preprostih) funkcij z opredelitvijo odvoda kot meje razmerja prirastka in prirastka argumenta se je pojavila tabela odvodov in natančno določena pravila diferenciacije. . Isaac Newton (1643-1727) in Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) sta prva delala na področju iskanja derivatov.

Zato v našem času, da bi našli odvod katere koli funkcije, ni treba izračunati zgoraj omenjene meje razmerja med prirastkom funkcije in prirastkom argumenta, ampak je treba uporabiti samo tabelo odvodov in pravila diferenciacije. Za iskanje izpeljanke je primeren naslednji algoritem.

Da bi našli izpeljanko, potrebujete izraz pod znakom za črto razčleniti preproste funkcije in določite, katera dejanja (zmnožek, vsota, količnik) te funkcije so povezane. Nadalje najdemo odvode elementarnih funkcij v tabeli odvodov, formule za odvode produkta, vsote in količnika - v pravilih diferenciacije. Tabela odvodov in pravila razlikovanja so podani po prvih dveh primerih.

Primer 1 Poiščite odvod funkcije

rešitev. Iz pravil diferenciacije ugotovimo, da je odvod vsote funkcij vsota odvodov funkcij, tj.

Iz tabele odvodov ugotovimo, da je odvod "X" enak ena, odvod sinusa pa je kosinus. Te vrednosti nadomestimo v vsoti derivatov in poiščemo derivat, ki ga zahteva pogoj problema:

Primer 2 Poiščite odvod funkcije

rešitev. Diferenciraj kot izpeljanko vsote, v kateri je drugi člen s konstantnim faktorjem, ga lahko vzamemo iz predznaka izpeljanke:

Če še vedno obstajajo vprašanja o tem, od kod nekaj prihaja, praviloma postanejo jasni po branju tabele derivatov in najpreprostejših pravil diferenciacije. Prav zdaj gremo k njim.

Tabela odvodov enostavnih funkcij

1. Izpeljava konstante (števila). Poljubno število (1, 2, 5, 200 ...), ki je v funkcijskem izrazu. Vedno nič. To si je zelo pomembno zapomniti, saj je potrebno zelo pogosto
2. Izpeljanka neodvisne spremenljivke. Najpogosteje "x". Vedno enako ena. Tudi to si je pomembno zapomniti
3. Izpeljanka stopnje. Ko rešujete naloge, morate nekvadratne korene pretvoriti v potenco.
4. Odvod spremenljivke na potenco -1
5. Izpeljava kvadratnega korena
6. Sinusni odvod
7. Kosinusni odvod
8. Tangentni odvod
9. Odvod kotangensa
10. Odvod arkusina
11. Odvod ark kosinusa
12. Odvod arc tangente
13. Odvod inverzne tangente
14. Odvod naravnega logaritma
15. Odvod logaritemske funkcije
16. Izpeljanka eksponenta
17. Odvod eksponentne funkcije

Pravila razlikovanja

1. Odvod vsote ali razlike
2. Izpeljanka izdelka
2a. Izpeljanka izraza, pomnožena s konstantnim faktorjem
3. Izpeljava količnika
4. Odvod kompleksne funkcije

1. praviloČe funkcije

so na neki točki diferencibilne, nato pa na isti točki funkcije

tiste. odvod algebraične vsote funkcij je enak algebraični vsoti odvodov teh funkcij.

Posledica. Če se dve diferencibilni funkciji razlikujeta za konstanto, potem sta njuna odvoda enaka, tj.

2. praviloČe funkcije

so na neki točki diferencibilni, potem je tudi njihov produkt diferencibilen na isti točki

tiste. odvod zmnožka dveh funkcij je enak vsoti zmnožkov vsake od teh funkcij in odvoda druge.

Posledica 1. Konstantni faktor lahko vzamemo iz predznaka odvoda:

Posledica 2. Odvod zmnožka več diferenciabilnih funkcij je enak vsoti zmnožkov odvoda vsakega od faktorjev in vseh ostalih.

Na primer za tri množitelje:

3. praviloČe funkcije

na neki točki mogoče razlikovati in , potem je na tej točki njihov količnik tudi diferenciabilen.u/v in

tiste. odvod količnika dveh funkcij je enak ulomku, katerega števec je razlika med zmnožki imenovalca in odvoda števca ter števca in odvoda odštevalca, imenovalec pa je kvadrat prejšnjega števca. .

Kje pogledati na drugih straneh

Pri iskanju odvoda zmnožka in količnika v realnih problemih je vedno treba uporabiti več pravil diferenciranja hkrati, zato je več primerov o teh odvodih v članku."Odvod produkta in količnika".

Komentiraj. Ne zamenjujte konstante (torej števila) kot člena v vsoti in kot konstantnega faktorja! Pri členu je njegova izpeljanka enaka nič, pri konstantnem faktorju pa je vzeta iz predznaka izpeljank. To je tipična napaka, ki se pojavi na začetni stopnji učenja izpeljank, a ko povprečen učenec reši več eno-dvokomponentnih primerov, te napake povprečen študent ne dela več.

In če imate pri diferenciranju produkta ali količnika izraz u"v, v katerem u- število, na primer 2 ali 5, to je konstanta, potem bo izpeljanka tega števila enaka nič in zato bo celoten izraz enak nič (tak primer je analiziran v primeru 10) .

Druga pogosta napaka je mehansko reševanje odvoda kompleksne funkcije kot odvoda enostavne funkcije. Zato odvod kompleksne funkcije posvečen posebnemu članku. Najprej pa se bomo naučili poiskati izpeljanke enostavnih funkcij.

Na tej poti ne morete brez transformacij izrazov. Če želite to narediti, boste morda morali odpreti priročnike v novem sistemu Windows Dejanja z močmi in koreninami in Dejanja z ulomki .

Če iščete rešitve za izpeljanke s potencami in koreni, torej, kako izgleda funkcija , nato pa sledite lekciji " Odvod vsote ulomkov s potencami in koreni".

Če imate nalogo, kot je , potem ste v lekciji "Odvodi preprostih trigonometričnih funkcij".

Primeri korak za korakom - kako najti izpeljanko

Primer 3 Poiščite odvod funkcije

rešitev. Določimo dele izraza funkcije: celoten izraz predstavlja zmnožek, njegovi faktorji pa so vsote, v drugem izmed členov pa je konstanten faktor. Uporabimo pravilo diferenciacije zmnožkov: odvod zmnožka dveh funkcij je enak vsoti zmnožkov vsake od teh funkcij in odvoda druge:

Nato uporabimo pravilo diferenciacije vsote: odvod algebraične vsote funkcij je enak algebraični vsoti odvodov teh funkcij. V našem primeru je v vsaki vsoti drugi člen z znakom minus. V vsaki vsoti vidimo tako neodvisno spremenljivko, katere odvod je enak ena, kot konstanto (število), katere odvod je enak nič. Torej se "x" spremeni v eno in minus 5 - v nič. V drugem izrazu je "x" pomnožen z 2, tako da dva pomnožimo z isto enoto kot izpeljanka "x". Dobimo naslednje vrednosti derivatov:

Najdene odvode nadomestimo v vsoto produktov in dobimo odvod celotne funkcije, ki jo zahteva pogoj problema:

Rešitev naloge na izpeljanki pa lahko preverite na .

Primer 4 Poiščite odvod funkcije

rešitev. Poiskati moramo odvod količnika. Uporabimo formulo za razlikovanje količnika: odvod količnika dveh funkcij je enak ulomku, katerega števec je razlika med zmnožki imenovalca in odvoda števca ter števca in odvoda imenovalca, in imenovalec je kvadrat prejšnjega števca. Dobimo:

Odvod faktorjev v števcu smo našli že v primeru 2. Ne pozabimo tudi, da je produkt, ki je drugi faktor v števcu v trenutnem primeru, vzet s predznakom minus:

Če iščete rešitve takšnih problemov, v katerih morate najti odvod funkcije, kjer obstaja zvezen kup korenin in stopenj, kot je npr. potem dobrodošli v razredu "Izvod vsote ulomkov s potencami in koreni" .

Če želite izvedeti več o odvodih sinusov, kosinusov, tangentov in drugih trigonometričnih funkcij, to je, ko je funkcija videti kot , potem imaš lekcijo "Izvodi preprostih trigonometričnih funkcij" .

Primer 5 Poiščite odvod funkcije

rešitev. V tej funkciji vidimo zmnožek, katerega eden od faktorjev je kvadratni koren neodvisne spremenljivke, z odvodom katere smo se seznanili v tabeli odvodov. Glede na pravilo diferenciacije produkta in tabelarno vrednost odvoda kvadratnega korena dobimo:

Rešitev naloge z izpeljavo lahko preverite na spletni kalkulator derivatov .

Primer 6 Poiščite odvod funkcije

rešitev. V tej funkciji vidimo količnik, katerega dividenda je kvadratni koren neodvisne spremenljivke. Glede na pravilo diferenciacije količnika, ki smo ga ponovili in uporabili v primeru 4, in tabelarno vrednost odvoda kvadratnega korena dobimo:

Če se želite znebiti ulomka v števcu, pomnožite števec in imenovalec z.

V tej lekciji se bomo naučili, kako najti odvod kompleksne funkcije. Pouk je logično nadaljevanje pouka Kako najti izpeljanko?, na katerem smo analizirali najpreprostejše izpeljanke, seznanili pa smo se tudi s pravili diferenciacije in nekaterimi tehničnimi metodami iskanja izpeljank. Torej, če niste zelo dobri z izpeljankami funkcij ali nekatere točke tega članka niso povsem jasne, potem najprej preberite zgornjo lekcijo. Prosim, prilagodite se resnemu razpoloženju - gradivo ni enostavno, vendar ga bom vseeno poskušal predstaviti preprosto in jasno.

V praksi se moraš z odvodom kompleksne funkcije ukvarjati zelo pogosto, rekel bi celo skoraj vedno, ko ti dajo nalogo najti odvode.

V tabeli pogledamo pravilo (št. 5) za razlikovanje kompleksne funkcije:

Razumemo. Najprej si poglejmo zapis. Tu imamo dve funkciji - in , funkcija pa je, figurativno rečeno, ugnezdena v funkciji . Funkcija te vrste (ko je ena funkcija ugnezdena v drugo) se imenuje kompleksna funkcija.

Poklical bom funkcijo zunanja funkcija, in funkcijo – notranja (ali ugnezdena) funkcija.

! Te definicije niso teoretične in se ne smejo pojavljati v končni zasnovi nalog. Neformalne izraze »zunanja funkcija«, »notranja« funkcija uporabljam samo zato, da bi lažje razumeli snov.

Če želite razjasniti situacijo, upoštevajte:

Primer 1

Poiščite odvod funkcije

Pod sinusom nimamo le črke "x", temveč celoten izraz, zato iskanje derivata takoj iz tabele ne bo delovalo. Opazimo tudi, da tukaj ni mogoče uporabiti prvih štirih pravil, zdi se, da obstaja razlika, dejstvo pa je, da je nemogoče "raztrgati" sinus:

V tem primeru je že iz mojih razlag intuitivno jasno, da je funkcija kompleksna funkcija, polinom pa notranja funkcija (vdelava) in zunanja funkcija.

Prvi korak, ki ga je treba izvesti pri iskanju odvoda kompleksne funkcije razumeti, katera funkcija je notranja in katera zunanja.

V primeru preprostih primerov se zdi jasno, da je polinom ugnezden pod sinus. Kaj pa, če ni očitno? Kako natančno določiti, katera funkcija je zunanja in katera notranja? Da bi to naredili, predlagam uporabo naslednje tehnike, ki jo je mogoče izvesti mentalno ali na osnutku.

Predstavljajmo si, da moramo vrednost izraza izračunati s kalkulatorjem (namesto ena je lahko poljubno število).

Kaj najprej izračunamo? Najprej boste morali izvesti naslednje dejanje: , zato bo polinom notranja funkcija:

Drugič boste morali najti, zato bo sinus - zunanja funkcija:

Potem ko smo RAZUMEJTE Pri notranjih in zunanjih funkcijah je čas, da uporabimo pravilo diferenciacije sestavljenih funkcij.

Začnemo se odločati. Iz lekcije Kako najti izpeljanko? spomnimo se, da se zasnova rešitve katere koli izpeljanke vedno začne takole - izraz zapremo v oklepaj in zgoraj desno postavimo črto:

Najprej poiščemo odvod zunanje funkcije (sinus), pogledamo tabelo odvodov elementarnih funkcij in opazimo, da . Vse tabelarične formule so uporabne, tudi če je "x" nadomeščen s kompleksnim izrazom, v tem primeru:

Upoštevajte, da notranja funkcija ni spremenilo, se ga ne dotikamo.

No, to je povsem očitno

Končni rezultat uporabe formule izgleda takole:

Konstantni faktor je običajno postavljen na začetek izraza:

Če pride do nesporazuma, odločitev zapišite na papir in še enkrat preberite obrazložitve.

Primer 2

Poiščite odvod funkcije

Primer 3

Poiščite odvod funkcije

Kot vedno pišemo:

Ugotavljamo, kje imamo zunanjo funkcijo in kje notranjo. Da bi to naredili, poskušamo (miselno ali na osnutku) izračunati vrednost izraza za . Kaj je treba storiti najprej? Najprej morate izračunati, čemu je enaka osnova:, kar pomeni, da je polinom notranja funkcija:

In šele nato se izvede potenciranje, zato je funkcija moči zunanja funkcija:

V skladu s formulo morate najprej najti odvod zunanje funkcije, v tem primeru stopnjo. V tabeli iščemo želeno formulo:. Še enkrat ponavljamo: katera koli tabelarična formula velja ne samo za "x", ampak tudi za kompleksen izraz. Tako je rezultat uporabe pravila diferenciacije kompleksne funkcije naslednji:

Ponovno poudarjam, da ko vzamemo odvod zunanje funkcije, se notranja funkcija ne spremeni:

Zdaj je treba najti zelo preprosto izpeljanko notranje funkcije in malo "prečesati" rezultat:

Primer 4

Poiščite odvod funkcije

To je primer za samostojno reševanje (odgovor na koncu lekcije).

Za utrjevanje razumevanja odvoda kompleksne funkcije bom dal primer brez komentarjev, poskusite sami ugotoviti, razlog, kje je zunanja in kje notranja funkcija, zakaj so naloge rešene na ta način?

Primer 5

a) Poiščite odvod funkcije

b) Poiščite odvod funkcije

Primer 6

Poiščite odvod funkcije

Tukaj imamo koren in da ga lahko razlikujemo, ga moramo predstaviti kot stopnjo. Tako funkcijo najprej postavimo v ustrezno obliko za diferenciacijo:

Z analizo funkcije pridemo do zaključka, da je vsota treh členov notranja funkcija, potenciranje pa zunanja funkcija. Uporabimo pravilo diferenciacije kompleksne funkcije:

Stopnjo ponovno predstavimo kot radikal (koren), za odvod notranje funkcije pa uporabimo preprosto pravilo za razlikovanje vsote:

pripravljena Izraz lahko spravite tudi na skupni imenovalec v oklepaju in vse zapišete kot en ulomek. Seveda je lepo, a ko dobimo okorne dolge izpeljanke, je bolje, da tega ne storimo (lahko se zmedemo, naredimo nepotrebno napako in učitelju bo neprijetno preverjati).

Primer 7

Poiščite odvod funkcije

To je primer za samostojno reševanje (odgovor na koncu lekcije).

Zanimivo je, da lahko včasih namesto pravila za razlikovanje kompleksne funkcije uporabimo pravilo za razlikovanje količnika , vendar bi takšna rešitev izgledala kot smešna perverzija. Tukaj je tipičen primer:

Primer 8

Poiščite odvod funkcije

Tukaj lahko uporabite pravilo diferenciacije količnika , vendar je veliko bolj donosno najti derivat s pravilom diferenciacije kompleksne funkcije:

Funkcijo pripravimo na diferenciacijo - odvodu izvzamemo znak minus in dvignemo kosinus na števec:

Kosinus je notranja funkcija, potenciranje je zunanja funkcija.
Uporabimo naše pravilo:

Poiščemo odvod notranje funkcije, ponastavimo kosinus nazaj navzdol:

pripravljena V obravnavanem primeru je pomembno, da se ne zmedete v znakih. Mimogrede, poskusite to rešiti s pravilom , se morata odgovora ujemati.

Primer 9

Poiščite odvod funkcije

To je primer za samostojno reševanje (odgovor na koncu lekcije).

Do sedaj smo obravnavali primere, ko smo imeli samo eno gnezdenje v kompleksni funkciji. V praktičnih nalogah lahko pogosto najdemo izpeljanke, kjer so kot gnezdeče lutke ena v drugo ugnezdene 3 ali celo 4-5 funkcij hkrati.

Primer 10

Poiščite odvod funkcije

Razumemo priloge te funkcije. Poskušamo ovrednotiti izraz z uporabo eksperimentalne vrednosti. Kako bi računali na kalkulator?

Najprej morate najti, kar pomeni, da je arkusin najgloblje gnezdenje:

Ta arksinus enote je treba nato kvadrirati:

In končno dvignemo sedem na potenco:

To pomeni, da imamo v tem primeru tri različne funkcije in dve ugnezditvi, medtem ko je najbolj notranja funkcija arksinus, najbolj zunanja funkcija pa eksponentna funkcija.

Začnemo se odločati

V skladu s pravilom morate najprej vzeti izpeljanko zunanje funkcije. Pogledamo tabelo odvodov in poiščemo odvod eksponentne funkcije: Edina razlika je v tem, da imamo namesto "x" kompleksen izraz, kar pa ne izniči veljavnosti te formule. Torej je rezultat uporabe pravila diferenciacije kompleksne funkcije naslednji:

Pod armaturno ploščo imamo spet zapleteno funkcijo! Je pa že lažje. Preprosto je videti, da je notranja funkcija arkus in zunanja funkcija stopinja. V skladu s pravilom diferenciacije kompleksne funkcije morate najprej vzeti odvod stopnje.

če g(x) In f(u) so diferenciabilne funkcije svojih argumentov v točkah x in u= g(x), potem je kompleksna funkcija tudi diferenciabilna v točki x in se najde po formuli

Tipična napaka pri reševanju problemov na izpeljankah je samodejni prenos pravil za razlikovanje enostavnih funkcij na kompleksne funkcije. Naučili se bomo izogniti tej napaki.

Primer 2 Poiščite odvod funkcije

Napačna rešitev: izračunajte naravni logaritem vsakega člena v oklepajih in poiščite vsoto odvodov:

Pravilna rešitev: spet določimo, kje je "jabolko" in kje "mleto meso". Tu je naravni logaritem izraza v oklepajih "jabolko", to je funkcija na vmesnem argumentu u, izraz v oklepaju pa je "mleto meso", torej vmesni argument u z neodvisno spremenljivko x.

Nato (z uporabo formule 14 iz tabele derivatov)

V mnogih realnih problemih je izraz z logaritmom nekoliko bolj zapleten, zato je lekcija

Primer 3 Poiščite odvod funkcije

Napačna rešitev:

Pravilna rešitev.Še enkrat določimo, kje je "jabolko" in kje "mleto meso". Tu je kosinus izraza v oklepaju (formula 7 v tabeli izpeljank) "jabolko", pripravljeno je v načinu 1, ki vpliva samo nanj, in izraz v oklepaju (izpeljanka stopnje - številka 3 v tabela derivatov) je "mleto meso", se kuha v načinu 2 in vpliva samo nanj. In kot vedno povezujemo dve izpeljanki z znakom produkta. rezultat:

Odvod kompleksne logaritemske funkcije je pogosta naloga pri testih, zato toplo priporočamo, da obiščete lekcijo "Odvod logaritemske funkcije".

Prvi primeri so bili za kompleksne funkcije, v katerih je bil vmesni argument nad neodvisno spremenljivko preprosta funkcija. Toda v praktičnih nalogah je pogosto potrebno najti izpeljanko kompleksne funkcije, kjer je vmesni argument bodisi sam kompleksna funkcija bodisi vsebuje tako funkcijo. Kaj storiti v takih primerih? Poiščite izpeljanke takšnih funkcij z uporabo tabel in pravil razlikovanja. Ko je izpeljanka vmesnega argumenta najdena, se preprosto nadomesti na pravo mesto v formuli. Spodaj sta dva primera, kako se to naredi.

Poleg tega je koristno vedeti naslednje. Če lahko kompleksno funkcijo predstavimo kot verigo treh funkcij

potem je treba njen derivat najti kot produkt derivatov vsake od teh funkcij:

Pri številnih domačih nalogah boste morda morali odpreti vadnice v novih oknih. Dejanja z močmi in koreninami in Dejanja z ulomki .

Primer 4 Poiščite odvod funkcije

Uporabimo pravilo diferenciacije kompleksne funkcije, pri čemer ne pozabimo, da je v dobljenem produktu odvodov vmesni argument glede na neodvisno spremenljivko x ne spremeni:

Pripravimo drugi faktor produkta in uporabimo pravilo za diferenciacijo vsote:

Drugi izraz je koren, torej

Tako je bilo ugotovljeno, da vmesni argument, ki je vsota, vsebuje kompleksno funkcijo kot enega izmed členov: potenciranje je kompleksna funkcija, tisto, kar je dvignjeno na potenco, pa je vmesni argument z neodvisno spremenljivko. x.

Zato ponovno uporabimo pravilo diferenciacije kompleksne funkcije:

Stopnjo prvega faktorja pretvorimo v koren in z razlikovanjem drugega faktorja ne pozabimo, da je derivat konstante enak nič:

Zdaj lahko najdemo odvod vmesnega argumenta, ki je potreben za izračun odvoda kompleksne funkcije, zahtevane v pogoju problema l:

Primer 5 Poiščite odvod funkcije

Najprej uporabimo pravilo diferenciranja vsote:

Dobite vsoto odvodov dveh kompleksnih funkcij. Poiščite prvo:

Tukaj je dvig sinusa na potenco kompleksna funkcija, sam sinus pa je vmesni argument v neodvisni spremenljivki x. Zato na poti uporabimo pravilo diferenciacije kompleksne funkcije vzeti množitelj iz oklepaja :

Zdaj najdemo drugi člen izmed tistih, ki tvorijo odvod funkcije l:

Tukaj je dvig kosinusa na potenco kompleksna funkcija f, sam kosinus pa je vmesni argument glede na neodvisno spremenljivko x. Spet uporabimo pravilo diferenciacije kompleksne funkcije:

Rezultat je zahtevana izpeljanka:

Tabela odvodov nekaterih kompleksnih funkcij

Za kompleksne funkcije, ki temeljijo na pravilu diferenciacije kompleksne funkcije, ima formula za odvod enostavne funkcije drugačno obliko.

1. Odvod kompleksne potenčne funkcije, kjer u x
2. Izpeljanka korena izraza
3. Odvod eksponentne funkcije
4. Posebni primer eksponentne funkcije
5. Odvod logaritemske funkcije s poljubno pozitivno bazo A
6. Odvod kompleksne logaritemske funkcije, kjer je u je diferenciabilna funkcija argumenta x
7. Sinusni odvod
8. Kosinusni odvod
9. Tangentni odvod
10. Odvod kotangensa
11. Odvod arkusina
12. Odvod ark kosinusa
13. Odvod arc tangente
14. Odvod inverzne tangente

Če sledimo definiciji, potem je odvod funkcije v točki meja razmerja prirastka funkcije Δ l na prirastek argumenta Δ x:

Zdi se, da je vse jasno. Toda poskusite izračunati s to formulo, recimo, odvod funkcije f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x greh x. Če naredite vse po definiciji, potem boste po nekaj straneh izračunov preprosto zaspali. Zato obstajajo enostavnejši in učinkovitejši načini.

Za začetek ugotavljamo, da lahko tako imenovane elementarne funkcije ločimo od celotne raznolikosti funkcij. Gre za razmeroma preproste izraze, katerih izpeljanke so že dolgo izračunane in vnesene v tabelo. Takšne funkcije si je dovolj enostavno zapomniti, skupaj z njihovimi izpeljankami.

Izvodi elementarnih funkcij

Osnovne funkcije so vse, kar je navedeno spodaj. Izpeljanke teh funkcij moramo poznati na pamet. Poleg tega si jih ni težko zapomniti - zato so osnovni.

Torej, derivati elementarnih funkcij:

Ime	funkcija	Izpeljanka
Konstanta	f(x) = C, C ∈ R	0 (da, da, nič!)
Stopnja z racionalnim eksponentom	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = greh x	cos x
Kosinus	f(x) = cos x	− greh x(minus sinus)
Tangenta	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Kotangens	f(x) = ctg x	− 1/greh2 x
naravni logaritem	f(x) = dnevnik x	1/x
Poljubni logaritem	f(x) = dnevnik a x	1/(x ln a)
Eksponentna funkcija	f(x) = e x	e x(nič spremenjeno)

Če elementarno funkcijo pomnožimo s poljubno konstanto, potem zlahka izračunamo tudi odvod nove funkcije:

(C · f)’ = C · f ’.

Na splošno lahko konstante vzamemo iz predznaka odvoda. Na primer:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Očitno je mogoče elementarne funkcije med seboj dodajati, množiti, deliti in še veliko več. Tako se bodo pojavile nove funkcije, ne več zelo elementarne, ampak prav tako diferencljive po določenih pravilih. Ta pravila so obravnavana spodaj.

Odvod vsote in razlike

Naj funkcije f(x) In g(x), katerih izpeljanke so nam znane. Na primer, lahko vzamete osnovne funkcije, ki smo jih obravnavali zgoraj. Nato lahko najdete odvod vsote in razlike teh funkcij:

(f + g)’ = f ’ + g ’
(f − g)’ = f ’ − g ’

Torej je odvod vsote (razlike) dveh funkcij enak vsoti (razliki) odvodov. Lahko je več terminov. Na primer, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Strogo gledano, v algebri ni pojma "odštevanje". Obstaja koncept "negativnega elementa". Zato razlika f − g lahko prepišemo kot vsoto f+ (−1) g, in potem ostane samo ena formula - odvod vsote.

f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

funkcija f(x) je vsota dveh osnovnih funkcij, torej:

f ’(x) = (x 2+ greh x)’ = (x 2)' + (greh x)’ = 2x+ cosx;

Podobno trdimo za funkcijo g(x). Samo že obstajajo trije izrazi (z vidika algebre):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

odgovor:
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Izpeljanka izdelka

Matematika je logična veda, zato mnogi verjamejo, da če je odvod vsote enak vsoti odvodov, potem je odvod produkta stavka"\u003e enako zmnožku izpeljank. Ampak fige za vas! Izpeljanka zmnožka se izračuna po popolnoma drugačni formuli. In sicer:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formula je preprosta, a pogosto pozabljena. Pa ne samo šolarji, tudi študenti. Rezultat so nepravilno rešeni problemi.

Naloga. Poiščite izpeljanke funkcij: f(x) = x 3 cosx; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

funkcija f(x) je produkt dveh osnovnih funkcij, zato je vse preprosto:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (-greh x) = x 2 (3 cos x − x greh x)

funkcija g(x) prvi množitelj je nekoliko bolj zapleten, vendar se splošna shema od tega ne spremeni. Očitno prvi množitelj funkcije g(x) je polinom, njegov odvod pa je odvod vsote. Imamo:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

odgovor:
f ’(x) = x 2 (3 cos x − x greh x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Upoštevajte, da je v zadnjem koraku izpeljanka faktorizirana. Formalno to ni potrebno, vendar večina izpeljank ni izračunana sama od sebe, temveč za raziskovanje funkcije. To pomeni, da bo nadalje odvod izenačen z nič, odkriti bodo njegovi znaki itd. Za tak primer je bolje imeti izraz razčlenjen na faktorje.

Če obstajata dve funkciji f(x) In g(x), in g(x) ≠ 0 na množici, ki nas zanima, lahko definiramo novo funkcijo h(x) = f(x)/g(x). Za takšno funkcijo lahko najdete tudi izpeljanko:

Ni slabo, kajne? Od kod minus? zakaj g 2? In takole! To je ena najbolj zapletenih formul - ne morete je ugotoviti brez steklenice. Zato ga je bolje preučiti s posebnimi primeri.

Naloga. Poiščite izpeljanke funkcij:

V števcu in imenovalcu vsakega ulomka so elementarne funkcije, zato potrebujemo le formulo za odvod količnika:

Po tradiciji števec razdelimo na faktorje - to bo zelo poenostavilo odgovor:

Kompleksna funkcija ni nujno pol kilometra dolga formula. Na primer, zadostuje, da vzamete funkcijo f(x) = greh x in zamenjajte spremenljivko x, recimo, na x 2+in x. Izkazalo se je f(x) = greh ( x 2+in x) je kompleksna funkcija. Ima tudi izpeljanko, vendar je ne bo uspelo najti v skladu z zgoraj obravnavanimi pravili.

Kako biti? V takih primerih pomagata zamenjava spremenljivke in formula za odvod kompleksne funkcije:

f ’(x) = f ’(t) · t', če x se nadomesti z t(x).

Praviloma je stanje z razumevanjem te formule še bolj žalostno kot z izpeljanko količnika. Zato ga je tudi bolje razložiti s konkretnimi primeri, s podrobnim opisom vsakega koraka.

Naloga. Poiščite izpeljanke funkcij: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = greh ( x 2+in x)

Upoštevajte, da če je v funkciji f(x) namesto izraza 2 x+ 3 bo enostavno x, potem dobimo elementarno funkcijo f(x) = e x. Zato naredimo zamenjavo: naj bo 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Iščemo odvod kompleksne funkcije po formuli:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

In zdaj - pozor! Izvajanje obratne zamenjave: t = 2x+ 3. Dobimo:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Zdaj pa poglejmo funkcijo g(x). Očitno je treba zamenjati. x 2+in x = t. Imamo:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (greh t)’ · t' = cos t · t ’

Povratna zamenjava: t = x 2+in x. Nato:

g ’(x) = cos( x 2+in x) · ( x 2+in x)' = cos ( x 2+in x) · (2 x + 1/x).

To je vse! Kot je razvidno iz zadnjega izraza, se je celoten problem zmanjšal na izračun odvoda vsote.

odgovor:
f ’(x) = 2 e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) ker ( x 2+in x).

Zelo pogosto pri pouku namesto izraza "izpeljanka" uporabljam besedo "možganska kap". Na primer, udarec vsote je enak vsoti udarcev. Je to bolj jasno? No, to je dobro.

Tako se izračun derivata zmanjša na to, da se znebite teh udarcev v skladu z zgoraj opisanimi pravili. Kot zadnji primer se vrnimo k odpeljani moči z racionalnim eksponentom:

(x n)’ = n · x n − 1

Le redki to vedo v vlogi n lahko tudi delno število. Na primer, koren je x 0,5 . Kaj pa, če je pod korenino kaj zapletenega? Spet se bo izkazala zapletena funkcija - takšne konstrukcije radi dajejo na testih in izpitih.