Pomoč pri Tele2, tarife, vprašanja

rešitev neenakosti v načinu na spletu rešitev skoraj vsako dano neenakost na spletu. matematične neenakosti na spletu rešiti matematiko. Najdi hitro rešitev neenakosti v načinu na spletu. Spletna stran www.site vam omogoča iskanje rešitev skoraj vsako dano algebrski, trigonometrična oz transcendentalna neenakost na spletu. Pri študiju skoraj katere koli veje matematike na različnih stopnjah se morate odločiti neenakosti na spletu. Če želite takoj dobiti odgovor in, kar je najpomembnejše, točen odgovor, potrebujete vir, ki vam to omogoča. Zahvaljujoč spletnemu mestu www.site reši neenakost na spletu bo trajalo nekaj minut. Glavna prednost www.site pri reševanju matematičnih neenakosti na spletu- to je hitrost in točnost podanega odgovora. Spletno mesto lahko reši katero koli algebraične neenakosti na spletu, trigonometrične neenakosti na spletu, transcendentalne neenakosti na spletu, in neenakosti z neznanimi parametri v načinu na spletu. Neenakosti služijo kot močan matematični aparat rešitve praktični problemi. S pomočjo matematične neenakosti mogoče je izraziti dejstva in razmerja, ki se na prvi pogled zdijo zmedena in zapletena. Neznane količine neenakosti lahko najdete tako, da problem formulirate v matematični jezik v obliki neenakosti in odločiti se prejeta naloga v načinu na spletu na spletni strani www.site. Kaj algebraična neenakost, trigonometrična neenakost oz neenakosti ki vsebuje transcendentalno funkcije, ki jih lahko enostavno odločiti se na spletu in dobite natančen odgovor. Pri študiju naravoslovja se neizogibno srečaš s potrebo rešitve neenačb. V tem primeru mora biti odgovor točen in ga je treba dobiti takoj v načinu na spletu. Zato za reševanje matematičnih neenakosti na spletu priporočamo stran www.site, ki bo postala vaš nepogrešljiv kalkulator za reševanje algebraičnih neenačb na spletu, trigonometrične neenakosti na spletu, in transcendentalne neenakosti na spletu oz neenakosti z neznanimi parametri. Za praktične probleme iskanja spletnih rešitev za različne matematične neenakosti vir www.. Reševanje neenakosti na spletu sami, je koristno preveriti prejeti odgovor z spletno reševanje neenačb na spletni strani www.site. Neenakost morate pravilno zapisati in jo takoj dobiti spletna rešitev, nato pa ostane le še primerjava odgovora s svojo rešitvijo neenačbe. Preverjanje odgovora ne bo trajalo več kot minuto, dovolj je reši neenakost na spletu in primerjajte odgovore. Tako se boste izognili napakam pri odločitev in pravočasno popravi odgovor, ko reševanje neenačb na spletu bodisi algebrski, trigonometrična, transcendentalno oz neenakost z neznanimi parametri.

Na primer, neenakost je izraz \(x>5\).

Vrste neenakosti:

Če sta \(a\) in \(b\) števili ali , se imenuje neenakost številčno. Pravzaprav gre samo za primerjavo dveh številk. Takšne neenakosti so razdeljene na zvest in nezvest.

Na primer:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) je nepravilna številska neenakost, ker je \(17+3=20\) in \(20\) manjše od \(115\) (in ni večje ali enako) .

Če sta \(a\) in \(b\) izraza, ki vsebujeta spremenljivko, potem imamo neenakost s spremenljivko. Takšne neenakosti so glede na vsebino razdeljene na vrste:

Kakšna je rešitev neenakosti?

Če namesto spremenljivke v neenakost nadomestite število, se bo ta spremenila v številsko.

Če podana vrednost za x spremeni prvotno neenakost v pravo numerično, potem se pokliče rešitev neenakosti. Če ne, potem ta vrednost ni rešitev. In do reši neenakost– najti morate vse njegove rešitve (ali pokazati, da jih ni).

na primerče nadomestimo število \(7\) v linearno neenačbo \(x+6>10\), dobimo pravilno številsko neenakost: \(13>10\). In če zamenjamo \(2\), bo numerična neenakost \(8>10\) napačna. To pomeni, da je \(7\) rešitev prvotne neenakosti, vendar \(2\) ni.

Vendar pa ima neenakost \(x+6>10\) druge rešitve. Dejansko bomo dobili pravilne številske neenakosti, ko zamenjamo \(5\), in \(12\), in \(138\) ... In kako lahko najdemo vse možne rešitve? Za to uporabljajo Za naš primer imamo:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

To pomeni, da nam bo ustrezala katera koli številka, večja od štiri. Zdaj morate zapisati odgovor. Rešitve neenačb običajno zapišemo številčno in jih na številski osi dodatno označimo s senčenjem. Za naš primer imamo:

odgovor: \(x\in(4;+\infty)\)

Kdaj se spremeni predznak neenakosti?

V neenakosti obstaja ena velika past, v katero se učenci zelo radi ujamejo:

Pri množenju (ali deljenju) neenakosti z negativnim številom se obrne (»več« z »manj«, »več ali enako« z »manj kot ali enako« in tako naprej)

Zakaj se to dogaja? Da bi to razumeli, si poglejmo transformacije numerične neenakosti \(3>1\). Res je, tri je res večje od ena. Najprej ga poskusimo pomnožiti s poljubnim pozitivnim številom, na primer z dvema:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Kot lahko vidimo, po množenju neenakost ostane resnična. In ne glede na to, s katerim pozitivnim številom pomnožimo, bomo vedno dobili pravilno neenakost. Zdaj pa poskusimo pomnožiti z negativnim številom, na primer minus tri:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Rezultat je napačna neenakost, ker je minus devet manj kot minus tri! To pomeni, da bi neenakost postala resnična (in je bila torej pretvorba množenja z negativom "legalna"), morate obrniti primerjalni znak, takole: \(−9<− 3\).
Z delitvijo bo šlo na enak način, lahko preverite sami.

Zgoraj zapisano pravilo velja za vse vrste neenačb, ne samo za numerične.

odgovor: \(x\in(-1;\infty)\)

Neenakosti in invalidnost

Neenakosti, tako kot enačbe, imajo lahko omejitve na , to je na vrednosti x. Skladno s tem je treba iz nabora rešitev izločiti tiste vrednosti, ki so po DZ nesprejemljive.

primer: Rešite neenačbo \(\sqrt(x+1)<3\)

rešitev: Jasno je, da mora biti radikalni izraz manjši od \(9\), da bi bila leva stran manjša od \(3\) (navsezadnje iz \(9\) samo \(3\)). Dobimo:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)

Vsi? Nam bo ustrezala katera koli vrednost x, manjša od \(8\)? ne! Ker če vzamemo na primer vrednost \(-5\), za katero se zdi, da ustreza zahtevi, to ne bo rešitev prvotne neenakosti, saj nas bo pripeljala do izračuna korena negativnega števila.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Zato moramo upoštevati tudi omejitve glede vrednosti X – ne more biti tako, da bi bilo pod korenom negativno število. Tako imamo drugo zahtevo za x:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

In da je x končna rešitev, mora izpolnjevati obe zahtevi hkrati: biti mora manjši od \(8\) (da je rešitev) in večji od \(-1\) (da je načeloma dopusten). Če ga narišemo na številsko premico, dobimo končni odgovor:

odgovor: \(\levo[-1;8\desno)\)

Pozor!
Obstajajo dodatni
materiali v posebnem oddelku 555.
Za tiste, ki so zelo "ne zelo ..."
In za tiste, ki "zelo ...")

Kaj se je zgodilo "kvadratna neenakost"? Brez dvoma!) Če vzamete kaj kvadratno enačbo in v njej zamenjaj predznak "=" (enako) kateremu koli znaku neenakosti ( > ≥ < ≤ ≠ ), dobimo kvadratno neenakost. Na primer:

1. x 2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x 2 ≤ 4

No, saj razumeš ...)

Ni zaman, da sem tukaj povezal enačbe in neenačbe. Bistvo je, da je prvi korak pri reševanju kaj kvadratna neenakost - reši enačbo, iz katere je sestavljena ta neenačba. Iz tega razloga nezmožnost reševanja kvadratnih enačb samodejno povzroči popolno napako pri neenakosti. Je namig jasen?) Če kaj, poglejte, kako rešiti katero koli kvadratno enačbo. Tam je vse podrobno opisano. In v tej lekciji se bomo ukvarjali z neenakostmi.

Za rešitev pripravljena neenačba ima obliko: levo - kvadratni trinom sekira 2 +bx+c, na desni - nič. Znak neenakosti je lahko popolnoma karkoli. Prva dva primera sta tukaj so že pripravljeni na odločitev. Tretji primer je treba še pripraviti.

Če vam je všeč ta stran ...

Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učimo se - z zanimanjem!)

Lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.

Danes, prijatelji, ne bo nobenih smrkljev ali sentimentalnosti. Namesto tega vas bom brez vprašanj poslal v bitko z enim najmočnejših nasprotnikov v tečaju algebre za 8. in 9. razred.

Da, vse ste prav razumeli: govorimo o neenačbah z modulom. Ogledali si bomo štiri osnovne tehnike, s katerimi se boste naučili rešiti približno 90% tovrstnih težav. Kaj pa preostalih 10%? No, o njih bomo govorili v ločeni lekciji. :)

Vendar bi vas rad pred analizo katere koli tehnike spomnil na dve dejstvi, ki ju že morate poznati. V nasprotnem primeru tvegate, da sploh ne boste razumeli gradiva današnje lekcije.

Kaj že morate vedeti

Zdi se, da Captain Obviousness namiguje, da morate za reševanje neenakosti z modulom vedeti dve stvari:

1. Kako se rešujejo neenakosti;
2. Kaj je modul?

Začnimo z drugo točko.

Definicija modula

Tukaj je vse preprosto. Obstajata dve definiciji: algebraična in grafična. Za začetek - algebraično:

Opredelitev. Modul števila $x$ je bodisi samo število, če je nenegativno, bodisi nasprotno število, če je prvotni $x$ še vedno negativen.

Napisano je takole:

\[\levo| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Preprosto povedano, modul je "število brez minusa." In prav v tej dvojnosti (ponekod vam ni treba storiti ničesar z izvirno številko, drugje pa morate odstraniti kakšen minus) je vsa težava začetnikov.

Obstaja tudi geometrijska definicija. Koristno je tudi vedeti, vendar se bomo nanj obrnili le v zapletenih in nekaterih posebnih primerih, kjer je geometrijski pristop bolj primeren kot algebrski (spoiler: danes ne).

Opredelitev. Naj bo na številski premici označena točka $a$. Nato modul $\left| x-a \right|$ je razdalja od točke $x$ do točke $a$ na tej premici.

Če narišete sliko, boste dobili nekaj takega:

Tako ali drugače iz definicije modula takoj sledi njegova ključna lastnost: modul števila je vedno nenegativna količina. To dejstvo bo rdeča nit skozi celotno našo današnjo pripoved.

Reševanje neenačb. Intervalna metoda

Zdaj pa poglejmo neenakosti. Veliko jih je, vendar je naša naloga zdaj rešiti vsaj najpreprostejše od njih. Tiste, ki se reducirajo na linearne neenakosti, pa tudi na intervalno metodo.

Imam dve veliki lekciji o tej temi (mimogrede, zelo, ZELO koristni - priporočam, da jih preučite):

1. Intervalna metoda za neenakosti (posebej si oglejte video);
2. Ulomne racionalne neenakosti so zelo obsežna lekcija, a po njej ne boste imeli nikakršnih vprašanj.

Če veste vse to, če besedna zveza "preidemo od neenakosti k enačbi" ne vzbuja nejasne želje, da bi se udarili ob zid, potem ste pripravljeni: dobrodošli v peklu pri glavni temi lekcije :).

1. Neenakosti oblike "Modul je manjši od funkcije"

To je ena najpogostejših težav z moduli. Rešiti je treba neenačbo oblike:

\[\levo| f\desno| \ltg\]

Funkciji $f$ in $g$ sta lahko karkoli, običajno pa sta polinomi. Primeri takih neenakosti:

\[\begin(align) & \left| 2x+3 \desno| \lt x+7; \\ & \levo| ((x)^(2))+2x-3 \desno|+3\levo(x+1 \desno) \lt 0; \\ & \levo| ((x)^(2))-2\levo| x \desno|-3 \desno| \lt 2. \\\konec(poravnaj)\]

Vse jih je mogoče rešiti dobesedno v eni vrstici po naslednji shemi:

\[\levo| f\desno| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \desno.\desno)\]

Lahko vidimo, da se znebimo modula, v zameno pa dobimo dvojno neenakost (ali, kar je isto, sistem dveh neenakosti). Toda ta prehod upošteva absolutno vse možne težave: če je število pod modulom pozitivno, metoda deluje; če je negativen, še vedno deluje; in tudi z najbolj neustrezno funkcijo namesto $f$ ali $g$ bo metoda še vedno delovala.

Seveda se postavlja vprašanje: ali ne bi moglo biti preprostejše? Na žalost ni mogoče. To je bistvo modula.

Vendar dovolj s filozofiranjem. Rešimo nekaj težav:

Naloga. Reši neenačbo:

\[\levo| 2x+3 \desno| \lt x+7\]

rešitev. Torej, pred nami je klasična neenakost v obliki "modul je manjši" - sploh ni ničesar za transformacijo. Delamo po algoritmu:

\[\begin(align) & \left| f\desno| \lt g\desna puščica -g \lt f \lt g; \\ & \levo| 2x+3 \desno| \lt x+7\desna puščica -\levo(x+7 \desno) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\konec(poravnaj)\]

Ne hitite z odpiranjem oklepajev, pred katerimi je "minus": povsem možno je, da boste zaradi naglice naredili žaljivo napako.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\levo\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \desno.\]

\[\levo\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \desno.\]

\[\levo\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

Problem smo zreducirali na dve elementarni neenakosti. Oglejmo si njihove rešitve na vzporednih številskih premicah:

Presečišče mnogih

Sečišče teh množic bo odgovor.

Odgovor: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \desno)$

Naloga. Reši neenačbo:

\[\levo| ((x)^(2))+2x-3 \desno|+3\levo(x+1 \desno) \lt 0\]

rešitev. Ta naloga je nekoliko težja. Najprej izolirajmo modul tako, da premaknemo drugi izraz v desno:

\[\levo| ((x)^(2))+2x-3 \desno| \lt -3\levo(x+1 \desno)\]

Očitno imamo spet neenakost oblike "modul je manjši", zato se modula znebimo z že znanim algoritmom:

\[-\levo(-3\levo(x+1 \desno) \desno) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\levo(x+1 \desno)\]

Zdaj pa pozor: kdo bo rekel, da sem malo perverznež z vsemi temi oklepaji. A naj vas še enkrat spomnim, da je naš ključni cilj pravilno reši neenačbo in dobi odgovor. Kasneje, ko boste popolnoma obvladali vse, kar je opisano v tej lekciji, lahko sami spremenite, kot želite: odprete oklepaje, dodate minuse itd.

Za začetek se preprosto znebimo dvojnega minusa na levi:

\[-\levo(-3\levo(x+1 \desno) \desno)=\levo(-1 \desno)\cdot \levo(-3 \desno)\cdot \levo(x+1 \desno) =3\levo(x+1 \desno)\]

Zdaj pa odprimo vse oklepaje v dvojni neenakosti:

Pojdimo k dvojni neenakosti. Tokrat bodo izračuni resnejši:

\[\levo\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \desno.\]

\[\levo\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( poravnaj)\desno.\]

Obe neenačbi sta kvadratni in ju je mogoče rešiti z intervalno metodo (zato pravim: če ne veste, kaj je to, je bolje, da se modulov še ne lotevate). Pojdimo k enačbi v prvi neenačbi:

\[\začetek(poravnaj) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\levo(x+5 \desno)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\konec(poravnaj)\]

Kot lahko vidite, je rezultat nepopolna kvadratna enačba, ki jo je mogoče rešiti na elementaren način. Zdaj pa poglejmo drugo neenakost sistema. Tam boste morali uporabiti Vietin izrek:

\[\začetek(poravnaj) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \levo(x-3 \desno)\levo(x+2 \desno)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\konec(poravnaj)\]

Dobljena števila označimo na dveh vzporednih črtah (ločeno za prvo neenakost in ločeno za drugo):

Spet, ker rešujemo sistem neenačb, nas zanima presečišče osenčenih množic: $x\in \left(-5;-2 \right)$. To je odgovor.

Odgovor: $x\in \left(-5;-2 \desno)$

Mislim, da je po teh primerih shema rešitve izjemno jasna:

1. Izolirajte modul tako, da premaknete vse druge člene na nasprotno stran neenakosti. Tako dobimo neenakost oblike $\left| f\desno| \ltg$.
2. Rešite to neenakost tako, da se znebite modula po zgoraj opisani shemi. Na neki točki bo treba z dvojne neenakosti preiti na sistem dveh neodvisnih izrazov, od katerih je že mogoče reševati vsakega posebej.
3. Končno ostane le še presekati rešitve teh dveh neodvisnih izrazov - in to je to, dobili bomo končni odgovor.

Podoben algoritem obstaja za neenakosti naslednje vrste, ko je modul večji od funkcije. Vendar pa obstaja nekaj resnih "ampak". Zdaj bomo govorili o teh "ampak".

2. Neenakosti oblike "Modul je večji od funkcije"

Izgledajo takole:

\[\levo| f\desno| \gtg\]

Podobno prejšnjemu? Izgleda. In vendar se takšne težave rešujejo na povsem drugačen način. Formalno je shema naslednja:

\[\levo| f\desno| \gt g\desna puščica \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \desno.\]

Z drugimi besedami, upoštevamo dva primera:

1. Najprej preprosto zanemarimo modul in rešimo običajno neenakost;
2. Nato v bistvu razširimo modul z znakom minus in nato pomnožimo obe strani neenakosti z −1, medtem ko imam predznak.

V tem primeru so možnosti združene z oglatim oklepajem, tj. Pred seboj imamo kombinacijo dveh zahtev.

Ponovno upoštevajte: to torej ni sistem, ampak celota v odgovoru so množice kombinirane in ne križane. To je temeljna razlika od prejšnje točke!

Na splošno je veliko študentov popolnoma zmedenih s sindikati in križišči, zato razrešimo to vprašanje enkrat za vselej:

• "∪" je znak unije. Pravzaprav je to stilizirana črka "U", ki je k nam prišla iz angleškega jezika in je okrajšava za "Union", tj. "Združenja".
• "∩" je znak križišča. Ta bedarija ni prišla od nikoder, ampak se je preprosto pojavila kot kontrapunkt "∪".

Da si boste še lažje zapomnili, samo narišite noge tem znakom, da naredite očala (samo ne me zdaj obtoževati, da spodbujam odvisnost od drog in alkoholizem: če resno preučujete to lekcijo, potem ste že odvisnik od drog):

Prevedeno v ruščino, to pomeni naslednje: zveza (celota) vključuje elemente iz obeh sklopov, zato nikakor ni manjša od vsakega od njih; toda presečišče (sistem) vključuje samo tiste elemente, ki so hkrati v prvem in drugem nizu. Zato presečišče množic ni nikoli večje od izvornih množic.

Torej je postalo bolj jasno? To je super. Pojdimo k praksi.

Naloga. Reši neenačbo:

\[\levo| 3x+1 \desno| \gt 5-4x\]

rešitev. Nadaljujemo po shemi:

\[\levo| 3x+1 \desno| \gt 5-4x\desna puščica \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \desno) \\\end(align) \ prav.\]

Rešimo vsako neenakost v populaciji:

\[\levo[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\levo[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\levo[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Vsak nastali niz označimo na številski premici in jih nato združimo:

Zveza sklopov

Povsem očitno je, da bo odgovor $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Odgovor: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \desno)$

Naloga. Reši neenačbo:

\[\levo| ((x)^(2))+2x-3 \desno| \gt x\]

rešitev. No? Nič - vse je isto. Od neenakosti z modulom preidemo na niz dveh neenakosti:

\[\levo| ((x)^(2))+2x-3 \desno| \gt x\desna puščica \levo[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(align) \desno.\]

Rešimo vsako neenakost. Na žalost korenine tam ne bodo zelo dobre:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\konec(poravnaj)\]

Tudi druga neenakost je malce divja:

\[\začetek(poravnaj) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\konec(poravnaj)\]

Zdaj morate te številke označiti na dveh oseh - ena os za vsako neenakost. Vendar pa morate točke označiti v pravilnem vrstnem redu: večje kot je število, bolj se točka premakne v desno.

In tukaj nas čaka postavitev. Če je s številkami $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (členi v števcu prvega ulomek manjši od členov v števcu sekunde, zato je tudi vsota manjša), s številkami $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ prav tako ne bo težav (pozitivno število očitno bolj negativno), potem pa z zadnjim parom ni vse tako jasno. Kaj je večje: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ ali $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Od odgovora na to vprašanje bo odvisna postavitev točk na številskih premicah in pravzaprav odgovor.

Torej primerjajmo:

\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrix)\]

Izolirali smo koren, dobili nenegativna števila na obeh straneh neenakosti, zato imamo pravico kvadrirati obe strani:

\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrix)\]

Mislim, da ni pametno, da je $4\sqrt(13) \gt 3$, torej $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$ bodo končne točke na oseh postavljene takole:

Primer grdih korenin

Naj vas spomnim, da rešujemo množico, zato bo odgovor unija, ne presečišče osenčenih množic.

Odgovor: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \desno)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

Kot lahko vidite, naša shema odlično deluje tako pri preprostih kot pri zelo težkih težavah. Edina "šibka točka" tega pristopa je, da morate pravilno primerjati iracionalna števila (in verjemite mi: to niso samo korenine). Toda ločena (in zelo resna) lekcija bo namenjena vprašanjem primerjave. In gremo naprej.

3. Neenakosti z nenegativnimi "repi"

Zdaj smo pri najbolj zanimivem delu. To so neenakosti oblike:

\[\levo| f\desno| \gt \levo| g\desno|\]

Na splošno je algoritem, o katerem bomo govorili zdaj, pravilen samo za modul. Deluje v vseh neenačbah, kjer so na levi in ​​desni zagotovljeni nenegativni izrazi:

Kaj storiti s temi nalogami? Le Zapomni si:

V neenačbah z nenegativnimi "repi" lahko obe strani dvignemo na poljubno naravno potenco. Dodatnih omejitev ne bo.

Najprej nas bo zanimalo kvadriranje - zažge module in korenine:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\levo(\sqrt(f) \desno))^(2))=f. \\\konec(poravnaj)\]

Samo tega ne zamenjujte s kvadratnim korenom:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\levo| f \desno|\ne f\]

Nešteto napak je bilo storjeno, ko je študent pozabil namestiti modul! A to je povsem druga zgodba (to so tako rekoč iracionalne enačbe), zato se v to zdaj ne bomo spuščali. Bolje rešimo nekaj težav:

Naloga. Reši neenačbo:

\[\levo| x+2 \desno|\ge \levo| 1-2x \desno|\]

rešitev. Naj takoj opazimo dvoje:

1. To ni stroga neenakost. Točke na številski premici bodo preluknjane.
2. Obe strani neenakosti sta očitno nenegativni (to je lastnost modula: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Zato lahko kvadriramo obe strani neenakosti, da se znebimo modula in rešimo problem z običajno intervalno metodo:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \desno) )^(2)); \\ & ((\levo(x+2 \desno))^(2))\ge ((\levo(2x-1 \desno))^(2)). \\\konec(poravnaj)\]

Pri zadnjem koraku sem malo goljufal: spremenil sem zaporedje členov, pri čemer sem izkoristil parnost modula (pravzaprav sem izraz $1-2x$ pomnožil z −1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \desno))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \desno)-\left(x+2 \desno) \desno)\cdot \left(\left(2x-1 \desno)+\left(x+2 \ desno)\desno)\le 0; \\ & \levo(2x-1-x-2 \desno)\cdot \levo(2x-1+x+2 \desno)\le 0; \\ & \levo(x-3 \desno)\cdot \levo(3x+1 \desno)\le 0. \\\konec(poravnaj)\]

Rešujemo z intervalno metodo. Pojdimo od neenakosti k enačbi:

\[\begin(align) & \left(x-3 \desno)\left(3x+1 \desno)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\konec(poravnaj)\]

Najdene korenine označimo na številski premici. Še enkrat: vse točke so zasenčene, ker prvotna neenakost ni stroga!

Znebiti se znaka modula

Naj spomnim za tiste, ki ste še posebej trmasti: predznake vzamemo iz zadnje neenakosti, ki smo jo zapisali, preden smo prešli na enačbo. In prebarvamo površine, zahtevane v isti neenačbi. V našem primeru je $\levo(x-3 \desno)\levo(3x+1 \desno)\le 0$.

OK, zdaj je vsega konec. Problem je rešen.

Odgovor: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \desno]$.

Naloga. Reši neenačbo:

\[\levo| ((x)^(2))+x+1 \desno|\le \levo| ((x)^(2))+3x+4 \desno|\]

rešitev. Vse delamo enako. Ne bom komentiral - samo poglejte zaporedje dejanj.

Kvadrat:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left |. ((x)^(2))+3x+4 \desno|)^(2)); \\ & ((\levo(((x)^(2))+x+1 \desno))^(2))\le ((\levo(((x)^(2))+3x+4 \desno))^(2)); \\ & ((\levo(((x)^(2))+x+1 \desno))^(2))-((\levo(((x)^(2))+3x+4 \ desno))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \desno)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \desno)\le 0; \\ & \levo(-2x-3 \desno)\levo(2((x)^(2))+4x+5 \desno)\le 0. \\\konec(poravnaj)\]

Intervalna metoda:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Desna puščica x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Desna puščica D=16-40 \lt 0\Desna puščica \varnič . \\\konec(poravnaj)\]

Na številski premici je samo en koren:

Odgovor je cel interval

Odgovor: $x\in \left[ -1,5;+\infty \right)$.

Majhna opomba o zadnji nalogi. Kot je natančno ugotovil eden od mojih študentov, sta oba submodularna izraza v tej neenakosti očitno pozitivna, zato lahko znak modula izpustimo brez škode za zdravje.

Ampak to je povsem druga raven razmišljanja in drugačen pristop – pogojno lahko temu rečemo metoda posledic. O tem - v ločeni lekciji. Zdaj pa pojdimo na zadnji del današnje lekcije in si oglejmo univerzalni algoritem, ki vedno deluje. Tudi ko so bili vsi prejšnji pristopi nemočni.

4. Metoda naštevanja možnosti

Kaj pa, če vse te tehnike ne pomagajo? Če neenakosti ni mogoče zmanjšati na nenegativne repe, če je nemogoče izolirati modul, če na splošno obstaja bolečina, žalost, melanholija?

Nato na sceno stopi "težka artilerija" vse matematike - metoda surove sile. V zvezi z neenakostmi z modulom je videti takole:

1. Izpišite vse submodularne izraze in jih postavite na nič;
2. Reši dobljene enačbe in označi najdene korene na eni številski premici;
3. Ravna črta bo razdeljena na več odsekov, znotraj katerih ima vsak modul fiksen predznak in je zato edinstveno razkrit;
4. Rešite neenačbo na vsakem takem odseku (ločeno lahko upoštevate meje korenin, pridobljene v koraku 2 - za zanesljivost). Združite rezultate - to bo odgovor :)

Torej, kako? šibek? Enostavno! Samo za dolgo časa. Poglejmo v praksi:

Naloga. Reši neenačbo:

\[\levo| x+2 \desno| \lt \levo| x-1 \desno|+x-\frac(3)(2)\]

rešitev. To sranje se ne zmanjša na neenakosti, kot je $\left| f\desno| \lt g$, $\levo| f\desno| \gt g$ ali $\left| f\desno| \lt \levo| g \right|$, zato ukrepamo vnaprej.

Izpišemo submodularne izraze, jih enačimo na nič in poiščemo korene:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\desna puščica x=1. \\\konec(poravnaj)\]

Skupaj imamo dva korena, ki delita številsko premico na tri odseke, znotraj katerih je vsak modul razkrit edinstveno:

Razdelitev številske premice z ničlami ​​submodularnih funkcij

Oglejmo si vsak razdelek posebej.

1. Naj bo $x \lt -2$. Potem sta oba submodularna izraza negativna in prvotna neenakost bo prepisana na naslednji način:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \desno) \lt -\left(x-1 \desno)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1,5 \\ & x \gt 1,5 \\\konec(poravnaj)\]

Imamo dokaj preprosto omejitev. Presekajmo ga z začetno predpostavko, da je $x \lt -2$:

\[\levo\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Očitno je, da spremenljivka $x$ ne more biti hkrati manjša od −2 in večja od 1,5. Na tem področju ni rešitev.

1.1. Ločeno razmislimo o mejnem primeru: $x=-2$. Nadomestimo to številko v prvotno neenakost in preverimo: ali drži?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \levo| -3\desno|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\desna puščica \varnič . \\\konec(poravnaj)\]

Očitno je, da nas je računska veriga pripeljala do nepravilne neenakosti. Zato je tudi prvotna neenakost napačna in $x=-2$ ni vključen v odgovor.

2. Naj bo zdaj $-2 \lt x \lt 1$. Levi modul se bo že odprl s "plusom", desni pa se bo še vedno odprl z "minusom". Imamo:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \desno)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt - 2.5 \\\konec(poravnaj)\]

Spet se presekamo s prvotno zahtevo:

\[\levo\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

In spet, množica rešitev je prazna, saj ni števil, ki bi bila hkrati manjša od −2,5 in večja od −2.

2.1. In spet poseben primer: $x=1$. V prvotno neenakost nadomestimo:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \levo| 3\desno| \lt \levo| 0\desno|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\desna puščica \varnič . \\\konec(poravnaj)\]

Podobno kot v prejšnjem "posebnem primeru", število $x=1$ očitno ni vključeno v odgovor.

3. Zadnji del vrstice: $x \gt 1$. Tu se vsi moduli odprejo z znakom plus:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

In spet presekamo najdeno množico z izvirno omejitvijo:

\[\levo\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]

Končno! Našli smo interval, ki bo odgovor.

Odgovor: $x\in \left(4,5;+\infty \desno)$

Za konec še ena pripomba, ki vas lahko reši neumnih napak pri reševanju resničnih problemov:

Rešitve neenačb z moduli običajno predstavljajo zvezne množice na številski premici - intervale in odseke. Izolirane točke so veliko manj pogoste. In še manj pogosto se zgodi, da meja rešitve (konec segmenta) sovpada z mejo obravnavanega območja.

Posledično, če meje (isti »posebni primeri«) niso vključene v odgovor, potem območja levo in desno od teh meja skoraj zagotovo ne bodo vključena v odgovor. In obratno: meja je vnesena v odgovor, kar pomeni, da bodo nekatera območja okoli nje tudi odgovori.

Upoštevajte to, ko pregledujete svoje rešitve.

Najprej malo besedila, da dobite občutek za problem, ki ga rešuje intervalna metoda. Recimo, da moramo rešiti naslednjo neenačbo:

(x − 5)(x + 3) > 0

Kakšne so možnosti? Prva stvar, ki pride na misel večini študentov, so pravila "plus na plus daje plus" in "minus na minus daje plus." Zato je dovolj, da upoštevamo primer, ko sta oba oklepaja pozitivna: x − 5 > 0 in x + 3 > 0. Potem upoštevamo tudi primer, ko sta oba oklepaja negativna: x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

Naprednejši učenci si bodo (morda) zapomnili, da je na levi kvadratna funkcija, katere graf je parabola. Poleg tega ta parabola seka os OX v točkah x = 5 in x = −3. Za nadaljnje delo morate odpreti oklepaje. Imamo:

x 2 − 2x − 15 > 0

Zdaj je jasno, da so veje parabole usmerjene navzgor, ker koeficient a = 1 > 0. Poskusimo narisati diagram te parabole:

Funkcija je večja od nič, kjer prehaja nad os OX. V našem primeru sta to intervala (−∞ −3) in (5; +∞) - to je odgovor.

Prosimo, upoštevajte: slika prikazuje natančno funkcijski diagram, ne njen urnik. Ker za pravi graf je treba šteti koordinate, računati pomike in druge bedarije, ki nam zaenkrat ne koristijo čisto nič.

Zakaj so te metode neučinkovite?

Torej smo obravnavali dve rešitvi iste neenakosti. Oba sta se izkazala za precej okorna. Prva odločitev se pojavi - samo premisli! — niz sistemov neenakosti. Tudi druga rešitev ni posebej enostavna: zapomniti si je treba graf parabole in še kup drugih drobnih dejstev.

Bila je zelo preprosta neenakost. Ima samo 2 množitelja. Zdaj pa si predstavljajte, da ne bosta 2, ampak vsaj 4 množitelji. Na primer:

(x − 7)(x − 1)(x + 4)(x + 9)< 0

Kako rešiti takšno neenakost? Pregledati vse možne kombinacije prednosti in slabosti? Da, hitreje bomo zaspali, kot našli rešitev. Risanje grafa tudi ni možnost, saj ni jasno, kako se takšna funkcija obnaša na koordinatni ravnini.

Za takšne neenakosti je potreben poseben algoritem rešitve, ki ga bomo obravnavali danes.

Kaj je intervalna metoda

Intervalna metoda je poseben algoritem, namenjen reševanju kompleksnih neenačb oblike f (x) > 0 in f (x)< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

1. Rešimo enačbo f (x) = 0. Tako namesto neenačbe dobimo enačbo, ki jo je veliko preprosteje rešiti;
2. Vse dobljene korenine označite na koordinatni premici. Tako bo ravna črta razdeljena na več intervalov;
3. Ugotovite predznak (plus ali minus) funkcije f (x) na skrajnem desnem intervalu. Če želite to narediti, je dovolj, da v f (x) nadomestite poljubno število, ki bo desno od vseh označenih korenin;
4. Označite znake na preostalih intervalih. Če želite to narediti, se spomnite, da se znak spremeni pri prehodu skozi vsak koren.

To je vse! Po tem preostane le še zapisovanje intervalov, ki nas zanimajo. Označeni so z znakom »+«, če je bila neenakost oblike f (x) > 0, oziroma z znakom »−«, če je bila neenačba oblike f (x)< 0.

Na prvi pogled se morda zdi, da je intervalna metoda nekakšna malenkost. Toda v praksi bo vse zelo preprosto. Samo malo vadite in vse vam bo jasno. Oglejte si primere in se prepričajte sami:

Naloga. Reši neenačbo:

(x − 2)(x + 7)< 0

Delamo po intervalni metodi. 1. korak: neenačbo zamenjajte z enačbo in jo rešite:

(x − 2)(x + 7) = 0

Produkt je enak nič, če in samo če je vsaj eden od faktorjev enak nič:

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

Dobili smo dve korenini. Pojdimo na korak 2: označite te korenine na koordinatni črti. Imamo:

Zdaj korak 3: poiščite predznak funkcije na skrajno desnem intervalu (desno od označene točke x = 2). Če želite to narediti, morate vzeti poljubno število, ki je večje od števila x = 2. Na primer, vzemimo x = 3 (vendar nihče ne prepoveduje jemanja x = 4, x = 10 in celo x = 10.000). Dobimo:

f (x) = (x − 2)(x + 7);
x = 3;
f (3) = (3 − 2)(3 + 7) = 1 10 = 10;

Ugotovimo, da je f (3) = 10 > 0, zato v skrajni desni interval postavimo znak plus.

Preidimo na zadnjo točko - opaziti moramo znake na preostalih intervalih. Ne pozabimo, da se mora pri prehodu skozi vsak koren spremeniti predznak. Na primer, desno od korena x = 2 je plus (v to smo se prepričali v prejšnjem koraku), zato mora biti levo minus.

Ta minus se razteza na celoten interval (−7; 2), tako da je minus desno od korena x = −7. Zato je levo od korena x = −7 plus. Ostaja še označiti te znake na koordinatni osi. Imamo:

Vrnimo se k prvotni neenakosti, ki je imela obliko:

(x − 2)(x + 7)< 0

Torej mora biti funkcija manjša od nič. To pomeni, da nas zanima znak minus, ki se pojavi samo na enem intervalu: (−7; 2). To bo odgovor.

Naloga. Reši neenačbo:

(x + 9)(x − 3)(1 − x)< 0

1. korak: nastavite levo stran na nič:

(x + 9)(x − 3)(1 − x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

Ne pozabite: produkt je enak nič, če je vsaj eden od faktorjev enak nič. Zato imamo pravico vsak posamezen oklepaj enačiti z ničlo.

2. korak: označite vse korenine na koordinatni črti:

3. korak: ugotovite znak skrajne desne vrzeli. Vzamemo poljubno število, ki je večje od x = 1. Na primer, lahko vzamemo x = 10. Imamo:

f (x) = (x + 9)(x − 3)(1 − x);
x = 10;
f (10) = (10 + 9)(10 − 3)(1 − 10) = 19 · 7 · (−9) = − 1197;
f (10) = −1197< 0.

4. korak: postavitev preostalih znakov. Spomnimo se, da se pri prehodu skozi vsak koren spremeni predznak. Posledično bo naša slika videti takole:

To je vse. Preostane le še zapisati odgovor. Poglejte še enkrat prvotno neenakost:

(x + 9)(x − 3)(1 − x)< 0

To je neenakost oblike f(x)< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

To je odgovor.

Opomba o funkcijskih znakih

Praksa kaže, da največje težave pri intervalni metodi nastanejo v zadnjih dveh korakih, tj. pri postavljanju znakov. Mnogi učenci se začnejo zmedeti: katere številke vzeti in kam postaviti znake.

Da bi končno razumeli intervalno metodo, razmislite o dveh ugotovitvah, na katerih temelji:

1. Zvezna funkcija spremeni predznak samo v teh točkah kjer je enak nič. Takšne točke razdelijo koordinatno os na dele, znotraj katerih se predznak funkcije nikoli ne spremeni. Zato rešimo enačbo f (x) = 0 in najdene korenine označimo na premici. Najdene številke so "mejne" točke, ki ločujejo prednosti in slabosti.
2. Če želite izvedeti znak funkcije na katerem koli intervalu, je dovolj, da v funkcijo nadomestite poljubno število iz tega intervala. Na primer, za interval (−5; 6) imamo pravico vzeti x = −4, x = 0, x = 4 in celo x = 1,29374, če želimo. Zakaj je pomembno? Da, saj marsikaterega dijaka začnejo glodati dvomi. Na primer, kaj če za x = −4 dobimo plus, za x = 0 pa minus? A kaj takega se ne bo nikoli zgodilo. Vse točke na istem intervalu dajejo enak predznak. Zapomni si to.

To je vse, kar morate vedeti o intervalni metodi. Seveda smo ga analizirali v najpreprostejši obliki. Obstajajo bolj zapletene neenakosti - nestroge, delne in s ponavljajočimi se koreninami. Za njih lahko uporabite tudi intervalno metodo, vendar je to tema za ločeno veliko lekcijo.

Zdaj bi rad pogledal napredno tehniko, ki dramatično poenostavlja intervalno metodo. Natančneje, poenostavitev vpliva le na tretji korak - izračun predznaka na skrajno desnem delu črte. Iz nekega razloga se te tehnike ne učijo v šolah (vsaj meni tega nihče ni razložil). Toda zaman - ker je v resnici ta algoritem zelo preprost.

Torej je znak funkcije na desnem delu številske premice. Ta kos ima obliko (a ; +∞), kjer je a največji koren enačbe f (x) = 0. Da vam ne bi padlo na pamet, si oglejmo konkreten primer:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0;
f (x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x);
(x − 1)(2 + x)(7 − x) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

Dobili smo 3 korenine. Naštejmo jih v naraščajočem vrstnem redu: x = −2, x = 1 in x = 7. Očitno je največji koren x = 7.

Za tiste, ki lažje sklepajo grafično, bom te korene označil na koordinatni premici. Poglejmo, kaj se zgodi:

Na skrajnem desnem intervalu je potrebno najti predznak funkcije f (x), tj. na (7; +∞). Toda kot smo že omenili, lahko za določitev predznaka vzamete poljubno število iz tega intervala. Na primer, lahko vzamete x = 8, x = 150 itd. In zdaj - ista tehnika, ki je ne učijo v šolah: vzemimo neskončnost kot število. Natančneje, plus neskončnost, tj. +∞.

»Ali si okamenjen? Kako lahko neskončnost nadomestiš s funkcijo?« - boste morda vprašali. Toda pomislite: ne potrebujemo vrednosti same funkcije, potrebujemo le znak. Zato na primer vrednosti f (x) = −1 in f (x) = −938 740 576 215 pomenita isto: funkcija na tem intervalu je negativna. Zato je vse, kar se od vas zahteva, da poiščete znak, ki se pojavi v neskončnosti, in ne vrednosti funkcije.

Pravzaprav je zamenjava neskončnosti zelo preprosta. Vrnimo se k naši funkciji:

f (x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x)

Predstavljajte si, da je x zelo veliko število. Milijardo ali celo trilijon. Zdaj pa poglejmo, kaj se zgodi v vsakem oklepaju.

Prvi oklepaj: (x − 1). Kaj se zgodi, če od milijarde odštejete ena? Rezultat bo število, ki se ne bo veliko razlikovalo od milijarde, in to število bo pozitivno. Podobno z drugim oklepajem: (2 + x). Če dvema prištejete milijardo, dobite milijardo in kopejk - to je pozitivna številka. Na koncu še tretji oklepaj: (7 − x ). Tu bo minus milijarda, iz katere je bil "odglodan" patetičen košček v obliki sedmice. Tisti. dobljeno število se ne bo veliko razlikovalo od minus milijarde - negativno bo.

Ostaja le še najti znak celotnega dela. Ker smo imeli v prvem oklepaju plus, v zadnjem pa minus, dobimo naslednjo konstrukcijo:

(+) · (+) · (−) = (−)

Zadnji znak je minus! In ni pomembno, kakšna je vrednost same funkcije. Glavna stvar je, da je ta vrednost negativna, tj. skrajni desni interval ima znak minus. Še vedno je treba dokončati četrti korak intervalne metode: urediti vse znake. Imamo:

Prvotna neenakost je bila:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0

Zato nas zanimajo intervali označeni z minusom. Zapišemo odgovor:

x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)

To je ves trik, ki sem ti ga hotel povedati. Za zaključek je tu še ena neenačba, ki jo je mogoče rešiti z intervalno metodo z uporabo neskončnosti. Za vizualno skrajšanje rešitve ne bom pisal številk korakov in podrobnih komentarjev. Napisal bom samo tisto, kar morate res napisati pri reševanju resničnih problemov:

Naloga. Reši neenačbo:

x (2x + 8)(x − 3) > 0

Neenačbo nadomestimo z enačbo in jo rešimo:

x (2x + 8)(x − 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Na koordinatni črti označimo vse tri korenine (z znaki hkrati):

Na desni strani koordinatne osi je plus, ker funkcija izgleda takole:

f (x) = x (2x + 8)(x − 3)

In če nadomestimo neskončnost (na primer milijardo), dobimo tri pozitivne oklepaje. Ker mora biti prvotni izraz večji od nič, nas zanimajo samo pozitivni elementi. Preostane le še odgovor:

x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)