Rešitev neenačb. Na voljo o reševanju neenakosti

Danes, prijatelji, ne bo smrklja in sentimenta. Namesto tega vas bom brez dodatnih vprašanj poslal v bitko z enim najmočnejših nasprotnikov v tečaju algebre za 8. in 9. razred.

Da, vse ste prav razumeli: govorimo o neenačbah z modulom. Ogledali si bomo štiri osnovne tehnike, s katerimi se boste naučili rešiti približno 90 % teh težav. Kaj pa ostalih 10%? No, o njih bomo govorili v ločeni lekciji. :)

Preden analiziram kakršen koli trik, bi rad spomnil na dve dejstvi, ki ju že morate vedeti. V nasprotnem primeru tvegate, da sploh ne boste razumeli gradiva današnje lekcije.

Kaj že morate vedeti

Captain Evidence tako rekoč namiguje, da morate za reševanje neenakosti z modulom vedeti dve stvari:

Kako se rešujejo neenakosti?
Kaj je modul.

Začnimo z drugo točko.

Definicija modula

Tukaj je vse preprosto. Obstajata dve definiciji: algebraična in grafična. Začnimo z algebro:

Opredelitev. Modul števila $x$ je bodisi samo število, če je nenegativno, bodisi nasprotno število, če je prvotni $x$ še vedno negativen.

Napisano je takole:

\[\levo| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Preprosto povedano, je modul "število brez minusa". In v tej dvojnosti (nekje vam ni treba storiti ničesar z izvirno številko, nekje pa morate tam odstraniti nekaj minusa) je vsa težava za študente začetnike.

Obstaja tudi geometrijska definicija. Koristno ga je tudi poznati, vendar se ga bomo sklicevali le v zapletenih in nekaterih posebnih primerih, kjer je geometrijski pristop bolj primeren kot algebrski (spojler: danes ne).

Opredelitev. Naj bo na realni premici označena točka $a$. Nato modul $\left| x-a \right|$ je razdalja od točke $x$ do točke $a$ na tej premici.

Če narišete sliko, dobite nekaj takega:

Opredelitev grafičnega modula

Tako ali drugače njegova ključna lastnost takoj izhaja iz definicije modula: modul števila je vedno nenegativna vrednost. To dejstvo bo rdeča nit skozi celotno našo današnjo zgodbo.

Rešitev neenačb. Metoda razmika

Zdaj pa se lotimo neenakosti. Veliko jih je, vendar je naša naloga zdaj rešiti vsaj najpreprostejše od njih. Tiste, ki so reducirane na linearne neenakosti, pa tudi na metodo intervalov.

Imam dve veliki vadnici na to temo (mimogrede, zelo, ZELO uporabna - priporočam študij):

Intervalna metoda za neenakosti (predvsem si oglejte video);
Ulomno-racionalne neenakosti je zelo obsežna lekcija, vendar po njej ne boste imeli nobenih vprašanj.

Če veste vse to, če besedna zveza "gremo od neenakosti k enačbi" ne povzroči nejasne želje, da bi se ubili v zid, potem ste pripravljeni: dobrodošli v peklu pri glavni temi lekcije. :)

1. Neenakosti oblike "Modul manj kot funkcija"

To je ena najpogostejših nalog z moduli. Rešiti je treba neenačbo oblike:

\[\levo| f\desno| \ltg\]

Karkoli lahko deluje kot funkciji $f$ in $g$, vendar sta običajno polinoma. Primeri takih neenakosti:

Vsi so rešeni dobesedno v eni vrstici po shemi:

\[\levo| f\desno| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \desno.\desno)\]

Lahko vidimo, da se znebimo modula, namesto tega pa dobimo dvojno neenakost (ali, kar je isto, sistem dveh neenakosti). Toda ta prehod upošteva absolutno vse možne težave: če je številka pod modulom pozitivna, metoda deluje; če je negativen, še vedno deluje; in tudi z najbolj neustrezno funkcijo namesto $f$ ali $g$ bo metoda še vedno delovala.

Seveda se postavlja vprašanje: ali ni lažje? Na žalost ne morete. To je bistvo modula.

Ampak dovolj filozofiranja. Rešimo nekaj težav:

Naloga. Reši neenačbo:

\[\levo| 2x+3\desno| \ltx+7\]

rešitev. Torej imamo klasično neenakost v obliki "modul je manjši od" - niti ni ničesar za transformacijo. Delamo po algoritmu:

\[\begin(align) & \left| f\desno| \lt g\desna puščica -g \lt f \lt g; \\ & \levo| 2x+3\desno| \lt x+7\desna puščica -\levo(x+7 \desno) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\konec(poravnaj)\]

Ne hitite z odpiranjem oklepajev, pred katerimi je "minus": povsem možno je, da boste zaradi naglice naredili žaljivo napako.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\levo\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \desno.\]

\[\levo\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \desno.\]

\[\levo\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \desno.\]

Problem smo zreducirali na dve elementarni neenakosti. Zabeležimo njihove rešitve na vzporednih realnih premicah:
Presečišče mnogih
Sečišče teh množic bo odgovor.

Odgovor: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \desno)$

Naloga. Reši neenačbo:

\[\levo| ((x)^(2))+2x-3 \desno|+3\levo(x+1 \desno) \lt 0\]

rešitev. Ta naloga je nekoliko težja. Za začetek izoliramo modul tako, da premaknemo drugi izraz v desno:

\[\levo| ((x)^(2))+2x-3 \desno| \lt -3\levo(x+1 \desno)\]

Očitno imamo spet neenakost oblike "modul je manjši", zato se modula znebimo po že znanem algoritmu:

\[-\levo(-3\levo(x+1 \desno) \desno) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\levo(x+1 \desno)\]

Zdaj pa pozor: kdo bo rekel, da sem z vsemi temi oklepaji malo perverznež. Še enkrat pa vas opozarjam, da je naš ključni cilj pravilno reši neenačbo in dobi odgovor. Kasneje, ko popolnoma obvladate vse, kar je opisano v tej lekciji, se lahko poljubno pervertirate: odpirate oklepaje, dodajate minuse itd.

In za začetek se znebimo dvojnega minusa na levi:

\[-\levo(-3\levo(x+1 \desno) \desno)=\levo(-1 \desno)\cdot \levo(-3 \desno)\cdot \levo(x+1 \desno) =3\levo(x+1\desno)\]

Zdaj pa odprimo vse oklepaje v dvojni neenakosti:

Preidimo na dvojno neenakost. Tokrat bodo izračuni resnejši:

\[\levo\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \desno.\]

\[\levo\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( poravnaj)\desno.\]

Obe neenačbi sta kvadratni in se rešujeta z intervalno metodo (zato pravim: če ne veš, kaj je, je bolje, da se modulov še ne lotevaš). Preidemo na enačbo v prvi neenačbi:

\[\začetek(poravnaj) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\levo(x+5 \desno)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\konec(poravnaj)\]

Kot lahko vidite, se je izhod izkazal kot nepopolna kvadratna enačba, ki je elementarno rešena. Zdaj pa se posvetimo drugi neenakosti sistema. Tam morate uporabiti Vietin izrek:

\[\začetek(poravnaj) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \levo(x-3 \desno)\levo(x+2 \desno)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\konec(poravnaj)\]

Dobljena števila označimo na dveh vzporednih premicah (ločeno za prvo neenakost in ločeno za drugo):
Ponovno, ker rešujemo sistem neenačb, nas zanima presečišče osenčenih množic: $x\in \left(-5;-2 \right)$. To je odgovor.
Odgovor: $x\in \left(-5;-2 \desno)$

Mislim, da je po teh primerih shema rešitve zelo jasna:

Izolirajte modul tako, da premaknete vse druge člene na nasprotno stran neenakosti. Tako dobimo neenakost oblike $\left| f\desno| \ltg$.
Rešite to neenakost tako, da se znebite modula, kot je opisano zgoraj. Na neki točki bo treba z dvojne neenakosti preiti na sistem dveh neodvisnih izrazov, od katerih je že mogoče reševati vsakega posebej.
Nazadnje ostane samo križanje rešitev teh dveh neodvisnih izrazov - in to je to, dobili bomo končni odgovor.

Podoben algoritem obstaja za neenačbe naslednje vrste, ko je modul večji od funkcije. Vendar pa obstaja nekaj resnih "ampak". O teh "ampak" bomo zdaj govorili.

2. Neenakosti oblike "Modul je večji od funkcije"

Izgledajo takole:

\[\levo| f\desno| \gt g\]

Podoben prejšnjemu? Izgleda. Kljub temu se takšne naloge rešujejo na popolnoma drugačen način. Formalno je shema naslednja:

\[\levo| f\desno| \gt g\desna puščica \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \desno.\]

Z drugimi besedami, upoštevamo dva primera:

Najprej preprosto zanemarimo modul - rešimo običajno neenakost;
Potem pravzaprav odpremo modul z znakom minus, nato pa oba dela neenačbe pomnožimo z −1, s predznakom.

V tem primeru so možnosti združene z oglatim oklepajem, tj. Imamo kombinacijo dveh zahtev.

Še enkrat pozor: pred nami ni sistem, ampak agregat, torej pri odgovoru so množice združene, ne pa sekane. To je temeljna razlika od prejšnjega odstavka!

Na splošno ima veliko študentov veliko zmede glede zvez in križišč, zato si enkrat za vselej poglejmo to vprašanje:

"∪" je verižni znak. Pravzaprav je to stilizirana črka "U", ki je k nam prišla iz angleškega jezika in je okrajšava za "Union", tj. "Združenja".
"∩" je znak križišča. Ta bedarija ni prišla od nikoder, ampak se je samo pojavila kot nasprotje "∪".

Da bi si bilo še lažje zapomniti, samo dodajte noge tem znakom, da naredite očala (samo ne mi zdaj očitati, da promoviram odvisnost od drog in alkoholizem: če resno preučujete to lekcijo, potem ste že odvisnik od drog):

Razlika med presekom in unijo množic

Prevedeno v ruščino to pomeni naslednje: zveza (zbirka) vključuje elemente iz obeh sklopov, torej nič manj kot vsakega od njih; toda presečišče (sistem) vključuje le tiste elemente, ki so tako v prvem kot v drugem nizu. Zato presečišče množic ni nikoli večje od izvornih množic.

Je torej postalo bolj jasno? To je super. Pojdimo k praksi.

Naloga. Reši neenačbo:

\[\levo| 3x+1 \desno| \gt 5-4x\]

rešitev. Delujemo po shemi:

\[\levo| 3x+1 \desno| \gt 5-4x\desna puščica \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \desno) \\\end(align) \ prav.\]

Rešimo vsako populacijsko neenakost:

\[\levo[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\levo[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\levo[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \desno.\]

Vsak nastali niz označimo na številski premici in jih nato združimo:
Zveza sklopov
Očitno je odgovor $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Odgovor: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \desno)$

Naloga. Reši neenačbo:

\[\levo| ((x)^(2))+2x-3 \desno| \gtx\]

rešitev. No? Ne, vse je isto. Z neenačbe z modulom preidemo na niz dveh neenakosti:

\[\levo| ((x)^(2))+2x-3 \desno| \gt x\desna puščica \levo[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(align) \desno.\]

Vsako neenačbo rešimo. Na žalost korenine tam ne bodo zelo dobre:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\ &D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\konec(poravnaj)\]

Tudi pri drugi neenakosti je malo igre:

\[\začetek(poravnaj) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\ &D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\konec(poravnaj)\]

Zdaj moramo te številke označiti na dveh oseh - ena os za vsako neenakost. Vendar pa morate točke označiti v pravilnem vrstnem redu: večje kot je število, bolj se točka premakne v desno.

In tukaj čakamo na nastavitev. Če je s številkami $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (členi v števcu prvega ulomek manjši od členov v števcu sekunde, zato je tudi vsota manjša), s številkami $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ prav tako ne bo težav (pozitivno število očitno bolj negativno), vendar z zadnjim parom ni vse tako preprosto. Kaj je večje: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ ali $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Od odgovora na to vprašanje bo odvisna razporeditev točk na številskih premicah in pravzaprav odgovor.

Torej primerjajmo:

\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrix)\]

Izolirali smo koren, dobili nenegativna števila na obeh straneh neenakosti, zato imamo pravico kvadrirati obe strani:

\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrix)\]

Mislim, da ni pametno, da je $4\sqrt(13) \gt 3$, torej $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$ bodo končno točke na oseh razporejene takole:
Primer grdih korenin
Naj vas spomnim, da rešujemo množico, zato bo odgovor unija in ne presečišče osenčenih množic.

Odgovor: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \desno)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\desno)$

Kot lahko vidite, naša shema deluje odlično tako za preproste naloge kot za zelo težke. Edina "šibka točka" tega pristopa je, da morate pravilno primerjati iracionalna števila (in verjemite mi: to niso samo korenine). Toda ločena (in zelo resna lekcija) bo posvečena vprašanjem primerjave. In gremo naprej.

3. Neenakosti z nenegativnimi "repi"

Tako smo prišli do najbolj zanimivega. To so neenakosti oblike:

\[\levo| f\desno| \gt\levo| g\desno|\]

Na splošno velja algoritem, o katerem bomo zdaj govorili, samo za modul. Deluje v vseh neenačbah, kjer so na levi in desni zagotovljeni nenegativni izrazi:

Kaj storiti s temi nalogami? Le Zapomni si:

V neenačbah z nenegativnimi repi lahko obe strani dvignemo na poljubno naravno potenco. Dodatnih omejitev ne bo.

Najprej nas bo zanimalo kvadriranje - zažge module in korenine:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\levo(\sqrt(f) \desno))^(2))=f. \\\konec(poravnaj)\]

Samo tega ne zamenjujte s kvadratnim korenom:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\levo| f \desno|\ne f\]

Nešteto napak je bilo storjeno, ko je študent pozabil namestiti modul! A to je povsem druga zgodba (to so tako rekoč iracionalne enačbe), zato se vanjo zdaj ne bomo spuščali. Raje rešimo nekaj težav:

Naloga. Reši neenačbo:

\[\levo| x+2 \desno|\ge \levo| 1-2x \desno|\]

rešitev. Takoj opazimo dvoje:

To je nestroga neenakost. Točke na številski premici bodo izčrtane.

Obe strani neenakosti sta očitno nenegativni (to je lastnost modula: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Zato lahko kvadriramo obe strani neenakosti, da se znebimo modula in rešimo problem z običajno intervalno metodo:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \desno) )^(2)); \\ & ((\levo(x+2 \desno))^(2))\ge ((\levo(2x-1 \desno))^(2)). \\\konec(poravnaj)\]

Pri zadnjem koraku sem malce goljufal: spremenil sem zaporedje členov z uporabo paritete modula (pravzaprav sem izraz $1-2x$ pomnožil z −1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \desno))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \desno)-\left(x+2 \desno) \desno)\cdot \left(\left(2x-1 \desno)+\left(x+2 \ desno)\desno)\le 0; \\ & \levo(2x-1-x-2 \desno)\cdot \levo(2x-1+x+2 \desno)\le 0; \\ & \levo(x-3 \desno)\cdot \levo(3x+1 \desno)\le 0. \\\konec(poravnaj)\]

Rešujemo z intervalno metodo. Pojdimo od neenakosti k enačbi:

\[\begin(align) & \left(x-3 \desno)\left(3x+1 \desno)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\konec(poravnaj)\]

Najdene korenine označimo na številski premici. Še enkrat: vse točke so zasenčene, ker prvotna neenakost ni stroga!
Znebite se znaka modula
Za posebej trdovratne naj vas spomnim: predznake vzamemo iz zadnje neenakosti, ki smo jo zapisali, preden smo prešli na enačbo. In prebarvamo področja, ki jih zahteva ista neenakost. V našem primeru je to $\levo(x-3 \desno)\levo(3x+1 \desno)\le 0$.

OK, zdaj je vsega konec. Problem rešen.

Odgovor: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \desno]$.

Naloga. Reši neenačbo:

\[\levo| ((x)^(2))+x+1 \desno|\le \levo| ((x)^(2))+3x+4 \desno|\]

rešitev. Vse delamo enako. Ne bom komentiral - samo poglejte zaporedje dejanj.

Kvadratiramo:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left | ((x)^(2))+3x+4 \desno| \desno))^(2)); \\ & ((\levo(((x)^(2))+x+1 \desno))^(2))\le ((\levo(((x)^(2))+3x+4 \desno))^(2)); \\ & ((\levo(((x)^(2))+x+1 \desno))^(2))-((\levo(((x)^(2))+3x+4 \ desno))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \desno)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \desno)\le 0; \\ & \levo(-2x-3 \desno)\levo(2((x)^(2))+4x+5 \desno)\le 0. \\\konec(poravnaj)\]

Način razmika:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Desna puščica x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Desna puščica D=16-40 \lt 0\Desna puščica \varnič . \\\konec(poravnaj)\]

Na številski premici je samo en koren:
Odgovor je cela vrsta
Odgovor: $x\in \left[ -1,5;+\infty \right)$.

Majhna opomba o zadnji nalogi. Kot je natančno ugotovil eden od mojih študentov, sta oba submodulna izraza v tej neenakosti očitno pozitivna, zato lahko znak modula izpustimo brez škode za zdravje.

A to je že povsem druga raven razmišljanja in drugačen pristop – temu lahko pogojno rečemo metoda posledic. O njem - v ločeni lekciji. In zdaj preidimo na zadnji del današnje lekcije in razmislimo o univerzalnem algoritmu, ki vedno deluje. Tudi ko so bili vsi prejšnji pristopi nemočni. :)

4. Metoda naštevanja možnosti

Kaj pa, če vsi ti triki ne delujejo? Če se neenakost ne reducira na nenegativne repe, če modula ni mogoče izolirati, če sploh bolečina-žalost-hrepenenje?

Nato na sceno stopi "težka artilerija" vse matematike - metoda štetja. Kar zadeva neenakosti z modulom, je videti takole:

Izpišite vse podmodulne izraze in jih enačite na nič;
Reši dobljene enačbe in najdene korenine označi na eni številski premici;
Ravna črta bo razdeljena na več odsekov, znotraj katerih ima vsak modul fiksen predznak in se zato nedvoumno širi;
Rešite neenakost na vsakem takem odseku (ločeno lahko upoštevate mejne korenine, pridobljene v odstavku 2 - za zanesljivost). Združi rezultate - to bo odgovor. :)

No, kako? Slaba? Enostavno! Samo za dolgo časa. Poglejmo v praksi:

Naloga. Reši neenačbo:

\[\levo| x+2 \desno| \lt\levo| x-1 \desno|+x-\frac(3)(2)\]

rešitev. To sranje se ne zmanjša na neenakosti, kot je $\left| f\desno| \lt g$, $\levo| f\desno| \gt g$ ali $\left| f\desno| \lt\levo| g \right|$, torej pojdimo naprej.

Izpišemo podmodulne izraze, jih enačimo na nič in poiščemo korenine:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\desna puščica x=1. \\\konec(poravnaj)\]

Skupaj imamo dva korena, ki delita številsko premico na tri dele, znotraj katerih je vsak modul razkrit edinstveno:
Razdelitev številske premice z ničlami submodularnih funkcij
Razmislimo o vsakem razdelku posebej.

1. Naj bo $x \lt -2$. Potem sta oba izraza podmodula negativna, prvotna neenakost pa je prepisana na naslednji način:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \desno) \lt -\left(x-1 \desno)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1,5 \\ & x \gt 1,5 \\\konec (poravnaj)\]

Dobili smo dokaj preprosto omejitev. Presekajmo ga s prvotno predpostavko, da je $x \lt -2$:

\[\levo\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Očitno je, da spremenljivka $x$ ne more biti hkrati manjša od −2, vendar večja od 1,5. Na tem področju ni rešitev.

1.1. Ločeno razmislimo o mejnem primeru: $x=-2$. Samo nadomestimo to število v prvotno neenakost in preverimo: ali drži?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \levo| -3 \desno|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\desna puščica \varnič . \\\konec(poravnaj)\]

Očitno nas je računska veriga pripeljala do napačne neenakosti. Zato je tudi prvotna neenakost napačna in $x=-2$ ni vključen v odgovor.

2. Zdaj naj bo $-2 \lt x \lt 1$. Levi modul se bo že odprl s "plusom", desni pa je še vedno z "minusom". Imamo:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \desno)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt - 2.5 \\\konec(poravnaj)\]

Spet se presekamo s prvotno zahtevo:

\[\levo\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

In spet prazna množica rešitev, saj ni števil, ki bi bila hkrati manjša od −2,5 in večja od −2.

2.1. In spet poseben primer: $x=1$. V prvotno neenakost nadomestimo:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \levo| 3\desno| \lt\levo| 0 \desno|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\desna puščica \varnič . \\\konec(poravnaj)\]

Podobno kot v prejšnjem "posebnem primeru", število $x=1$ očitno ni vključeno v odgovor.

3. Zadnji del vrstice: $x \gt 1$. Tukaj so vsi moduli razširjeni z znakom plus:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

In spet presekamo najdeno množico z izvirno omejitvijo:

\[\levo\( \begin(align) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4,5;+\infty \prav)\]

Končno! Našli smo interval, ki bo odgovor.

Odgovor: $x\in \left(4,5;+\infty \desno)$

Za konec še ena opomba, ki vas lahko reši pred neumnimi napakami pri reševanju resničnih problemov:

Rešitve neenačb z moduli so običajno zvezne množice na številski premici - intervali in odseki. Izolirane točke so veliko redkejše. In še redkeje se zgodi, da meje rešitve (konec segmenta) sovpadajo z mejo obravnavanega območja.

Če torej meje (tisti zelo »posebni primeri«) niso vključene v odgovor, potem tudi območja levo-desno od teh meja skoraj zagotovo ne bodo vključena v odgovor. In obratno: meja je vnesena kot odziv, kar pomeni, da bodo tudi nekatera območja okoli nje odzivi.

Upoštevajte to, ko preverjate svoje rešitve.

In danes ne more vsakdo rešiti racionalnih neenakosti. Natančneje, ne morejo se odločiti le vsi. Malokdo to zmore.
Kličko

Ta lekcija bo težka. Tako težko, da ga bodo do konca dosegli samo Izbrani. Zato pred branjem priporočam odstranitev žensk, mačk, nosečih otrok in ...

V redu, pravzaprav je zelo preprosto. Recimo, da ste obvladali intervalno metodo (če je niste, priporočam, da se vrnete in jo preberete) in se naučili reševati neenačbe v obliki $P\left(x \desno) \gt 0$, kjer je $P \left(x \right)$ je nek polinom ali produkt polinomov.

Verjamem, da vam ne bo težko rešiti na primer takšne igre (mimogrede, poskusite jo za ogrevanje):

\[\begin(align) & \left(2((x)^(2))+3x+4 \desno)\left(4x+25 \desno) \gt 0; \\ & x\levo(2((x)^(2))-3x-20 \desno)\levo(x-1 \desno)\ge 0; \\ & \left(8x-((x)^(4)) \right)((\left(x-5 \desno))^(6))\le 0. \\ \end(align)\]

Zdaj pa malo zapletimo nalogo in upoštevajmo ne le polinome, temveč tako imenovane racionalne ulomke oblike:

kjer sta $P\left(x \right)$ in $Q\left(x \right)$ enaka polinoma oblike $((a)_(n))((x)^(n))+( ( a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$ ali produkt takih polinomov.

To bo racionalna neenakost. Temeljna točka je prisotnost spremenljivke $x$ v imenovalcu. Na primer, tukaj so racionalne neenakosti:

\[\begin(align) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\levo(7x+1 \desno)\levo(11x+2 \desno))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\levo(3-x \desno))^(2))\levo(4-((x)^( 2)) \desno))\ge 0. \\ \end(align)\]

In to ni racionalna, ampak najpogostejša neenakost, ki se rešuje z intervalno metodo:

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

Če pogledam naprej, bom takoj rekel: obstajata vsaj dva načina za reševanje racionalnih neenakosti, vendar so vsi na tak ali drugačen način zmanjšani na metodo intervalov, ki nam je že znana. Zato se pred analizo teh metod spomnimo starih dejstev, sicer iz novega materiala ne bo nobenega smisla.

Kaj že morate vedeti

Pomembnih dejstev ni veliko. Res potrebujemo samo štiri.

Formule za skrajšano množenje

Da, da: preganjali nas bodo skozi šolski učni načrt matematike. In tudi na univerzi. Teh formul je kar nekaj, a potrebujemo le naslednje:

\[\begin(align) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\levo(a\pm b \desno))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\levo(a-b \desno)\levo(a+b \desno); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\levo(a+b \desno)\levo(((a)^(2))-ab+((b) ^(2))\desno); \\ & ((a)^(3))-((b)^(3))=\levo(a-b \desno)\levo(((a)^(2))+ab+((b)^( 2))\desno). \\ \end(align)\]

Bodite pozorni na zadnji dve formuli - to je vsota in razlika kock (in ne kocka vsote ali razlike!). Zlahka si jih zapomnite, če opazite, da je znak v prvem oklepaju enak znaku v izvirnem izrazu, v drugem oklepaju pa je nasproten znaku v izvirnem izrazu.

Linearne enačbe

To so najenostavnejše enačbe oblike $ax+b=0$, kjer sta $a$ in $b$ navadni števili, $a\ne 0$. To enačbo je enostavno rešiti:

\[\začetek(poravnaj) & ax+b=0; \\ &ax=-b; \\ & x=-\frac(b)(a). \\ \end(align)\]

Opozarjam, da imamo pravico deliti s koeficientom $a$, ker je $a\ne 0$. Ta zahteva je povsem logična, saj z $a=0$ dobimo tole:

Prvič, v tej enačbi ni spremenljivke $x$. To nas na splošno ne bi smelo zmesti (to se recimo zgodi v geometriji in to precej pogosto), a vseeno nismo več linearna enačba.

Drugič, rešitev te enačbe je odvisna samo od koeficienta $b$. Če je tudi $b$ nič, potem je naša enačba $0=0$. Ta enakost je vedno resnična; zato je $x$ poljubno število (običajno zapisano kot $x\in \mathbb(R)$). Če koeficient $b$ ni enak nič, potem enakost $b=0$ ni nikoli izpolnjena, tj. ni odgovorov (napisano $x\in \varnothing $ in se glasi "nabor rešitev je prazen").

Da bi se izognili vsem tem zapletom, preprosto predpostavimo $a\ne 0$, kar pa nas nikakor ne omejuje pri nadaljnjih razmišljanjih.

Kvadratne enačbe

Naj vas spomnim, da se temu reče kvadratna enačba:

Tukaj na levi je polinom druge stopnje in spet $a\ne 0$ (sicer dobimo namesto kvadratne enačbe linearno). Naslednje enačbe so rešene z diskriminanto:

Če je $D \gt 0$, dobimo dva različna korena;
Če je $D=0$, potem bo koren ena, vendar druge množine (kakšna je množica in kako jo upoštevati - o tem kasneje). Lahko pa rečemo, da ima enačba dva enaka korena;
Za $D \lt 0$ sploh ni nobenih korenin in predznak polinoma $a((x)^(2))+bx+c$ za kateri koli $x$ sovpada s predznakom koeficienta $a $. Mimogrede, to je zelo uporabno dejstvo, ki se ga iz neznanega razloga pozabi povedati pri pouku algebre.

Sami koreni se izračunajo po znani formuli:

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

Od tod, mimogrede, omejitve diskriminatorja. Navsezadnje kvadratni koren negativnega števila ne obstaja. Kar se tiče korenin, ima veliko učencev v glavi strašno zmešnjavo, zato sem posebej posnel celo lekcijo: kaj je koren v algebri in kako ga izračunati - toplo priporočam branje. :)

Operacije z racionalnimi ulomki

Vse, kar je bilo napisano zgoraj, že veste, če ste študirali metodo intervalov. Toda to, kar bomo analizirali zdaj, nima analogij v preteklosti - to je popolnoma novo dejstvo.

Opredelitev. Racionalni ulomek je izraz oblike

\[\frac(P\levo(x \desno))(Q\levo(x \desno))\]

kjer sta $P\left(x \desno)$ in $Q\left(x \desno)$ polinoma.

Očitno je, da je iz takega ulomka enostavno dobiti neenakost - dovolj je le, da na desno pripišemo znak "več kot" ali "manj kot". In malo naprej bomo ugotovili, da je reševanje takšnih težav užitek, tam je vse zelo preprosto.

Težave se začnejo, ko je v enem izrazu več takih ulomkov. Treba jih je zreducirati na skupni imenovalec – in ravno v tem trenutku se naredi ogromno napak v napadu.

Zato je za uspešno reševanje racionalnih enačb potrebno trdno obvladati dve veščini:

Faktorizacija polinoma $P\left(x \right)$;
Pravzaprav spravljanje ulomkov na skupni imenovalec.

Kako faktorizirati polinom? Zelo preprosto. Naj imamo polinom oblike

Izenačimo ga z ničlo. Dobimo enačbo $n$-te stopnje:

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

Recimo, da smo rešili to enačbo in dobili korene $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (brez skrbi: v večini primerov jih ne bo več kot dva od teh korenov). V tem primeru lahko naš izvirni polinom prepišemo takole:

\[\begin(align) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\levo(x -((x)_(1)) \desno)\cdot \levo(x-((x)_(2)) \desno)\cdot ...\cdot \levo(x-((x)_( n)) \desno) \end(align)\]

To je vse! Upoštevajte: vodilni koeficient $((a)_(n))$ ni nikamor izginil - bo ločen faktor pred oklepaji in po potrebi ga lahko vstavite v katerega koli od teh oklepajev (praksa kaže da so pri $((a)_ (n))\ne \pm 1$ med koreni skoraj vedno ulomki).

Naloga. Poenostavite izraz:

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

rešitev. Najprej poglejmo imenovalce: vsi so linearni binomi in tukaj ni ničesar za faktorizirati. Torej faktorizirajmo števce:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \desno)\left(x-4 \desno); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\levo(x-\frac(3)(2) \desno)\levo(x-1 \desno)=\levo(2x- 3\desno)\levo(x-1\desno); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\levo(x+2 \desno)\levo(x-\frac(2)(5) \desno)=\levo(x +2 \desno)\levo(2-5x \desno). \\\konec(poravnaj)\]

Upoštevajte: v drugem polinomu se je višji koeficient "2", v celoti v skladu z našo shemo, najprej pojavil pred oklepajem, nato pa je bil vključen v prvi oklepaj, saj je tam prišel ulomek.

Enako se je zgodilo pri tretjem polinomu, le da je tudi tam zmešan vrstni red členov. Vendar pa je bil koeficient »−5« na koncu vključen v drugi oklepaj (ne pozabite: faktor lahko vnesete v enem in samo enem oklepaju!), kar nas je rešilo nevšečnosti, povezane z delnimi koreni.

Kar se tiče prvega polinoma, je tam vse preprosto: njegove korenine se iščejo bodisi na standardni način prek diskriminanta bodisi z uporabo izreka Vieta.

Vrnimo se k prvotnemu izrazu in ga prepišemo s števci, razčlenjeni na faktorje:

\[\begin(matrika) \frac(\left(x+5 \desno)\left(x-4 \desno))(x-4)-\frac(\left(2x-3 \desno)\left( x-1 \desno))(2x-3)-\frac(\levo(x+2 \desno)\levo(2-5x \desno))(x+2)= \\ =\levo(x+5 \desno)-\levo(x-1 \desno)-\levo(2-5x \desno)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \konec(matrika)\]

Odgovor: $5x+4$.

Kot lahko vidite, nič zapletenega. Malo matematike 7.-8.razreda in to je to. Bistvo vseh transformacij je spremeniti kompleksen in strašljiv izraz v nekaj preprostega in z lahkoto delati.

Vendar ne bo vedno tako. Zdaj bomo razmislili o resnejšem problemu.

Toda najprej ugotovimo, kako spraviti dva ulomka na skupni imenovalec. Algoritem je zelo preprost:

Faktoriziraj oba imenovalca;
Upoštevajte prvi imenovalec in mu dodajte dejavnike, ki so prisotni v drugem imenovalcu, vendar ne v prvem. Dobljeni produkt bo skupni imenovalec;
Ugotovite, kateri faktorji manjkajo vsakemu od prvotnih ulomkov, da bi imenovalci postali enaki skupnemu.

Morda se vam bo ta algoritem zdel le besedilo, v katerem je "veliko črk". Pa si poglejmo konkreten primer.

Naloga. Poenostavite izraz:

\[\levo(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \desno)\cdot \levo(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \desno)\]

rešitev. Tako obsežne naloge je najbolje reševati po delih. Zapišimo, kaj je v prvem oklepaju:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

Za razliko od prejšnjega problema tukaj imenovalci niso tako enostavni. Razložimo vsakega od njih na faktorje.

Kvadratnega trinoma $((x)^(2))+2x+4$ ni mogoče faktorizirati, ker enačba $((x)^(2))+2x+4=0$ nima korenin (diskriminanta je negativna) . Pustimo nespremenjeno.

Drugi imenovalec, kubični polinom $((x)^(3))-8$, je ob natančnejšem pregledu razlika kock in ga je mogoče enostavno razstaviti s skrajšanimi formulami za množenje:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\levo(x-2 \desno)\levo(((x) ^(2))+2x+4 \desno)\]

Ničesar drugega ni mogoče faktorizirati, saj je v prvem oklepaju linearni binom, v drugem pa nam že poznana konstrukcija, ki nima pravih korenin.

Končno je tretji imenovalec linearni binom, ki ga ni mogoče razstaviti. Tako bo naša enačba imela obliko:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\levo(x-2 \desno)\levo (((x)^(2))+2x+4 \desno))-\frac(1)(x-2)\]

Povsem očitno je, da bo $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ skupni imenovalec in če želite nanj reducirati vse ulomke, prvi ulomek je treba pomnožiti z $\left(x-2 \right)$, zadnjega pa z $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$. Potem ostane le še, da prinesete naslednje:

\[\begin(matrix) \frac(x\cdot \left(x-2 \desno))(\left(x-2 \desno)\left(((x)^(2))+2x+4 \ desno))+\frac(((x)^(2))+8)(\levo(x-2 \desno)\levo(((x)^(2))+2x+4 \desno))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \desno))(\left(x-2 \desno)\left(((x)^(2))+2x +4 \desno))= \\ =\frac(x\cdot \levo(x-2 \desno)+\levo(((x)^(2))+8 \desno)-\levo(((x )^(2))+2x+4 \desno))(\levo(x-2 \desno)\levo(((x)^(2))+2x+4 \desno))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\levo(x-2 \desno)\levo (((x)^(2))+2x+4 \desno))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\levo(x-2 \desno)\ levo(((x)^(2))+2x+4 \desno)). \\ \konec(matrika)\]

Bodite pozorni na drugo vrstico: ko je imenovalec že običajen, tj. namesto treh ločenih ulomkov smo napisali enega velikega, ne smete se takoj znebiti oklepajev. Bolje je napisati dodatno vrstico in upoštevati, da je bil, recimo, minus pred tretjim ulomkom - in ne bo šel nikamor, ampak bo "visel" v števcu pred oklepajem. Tako si boste prihranili marsikatero napako.

No, v zadnji vrstici je koristno faktorizirati števec. Poleg tega gre za natančen kvadrat in spet nam na pomoč priskočijo skrajšane formule za množenje. Imamo:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\levo(x-2 \desno)\levo(((x)^(2))+2x+4 \desno))= \frac(((\levo(x-2 \desno))^(2)))(\levo(x-2 \desno)\levo(((x)^(2))+2x+4 \desno) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Zdaj pa se lotimo drugega nosilca na enak način. Tukaj bom preprosto napisal verigo enakosti:

\[\begin(matrix) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( x)^(2)))(\levo(x-2 \desno)\levo(x+2 \desno))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ^(2)))(\levo(x-2 \desno)\levo(x+2 \desno))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^( 2)))(\levo(x-2 \desno)\levo(x+2 \desno))+\frac(2\cdot \levo(x+2 \desno))(\levo(x-2 \desno) )\cdot \left(x+2 \desno))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \desno))(\left(x-2 \desno)\levo(x+2 \desno))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\levo(x-2 \desno)\levo(x+2 \desno) ). \\ \konec(matrika)\]

Vrnemo se k prvotni težavi in pogledamo izdelek:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\levo(x-2) \desno)\levo(x+2 \desno))=\frac(1)(x+2)\]

Odgovor: \[\frac(1)(x+2)\].

Pomen tega problema je enak prejšnjemu: pokazati, koliko racionalnih izrazov je mogoče poenostaviti, če se njihovega preoblikovanja lotite pametno.

In zdaj, ko vse to veste, preidimo na glavno temo današnje lekcije - reševanje ulomkov racionalnih neenakosti. Še več, po takšni pripravi bodo same neenakosti kliknile kot orehi. :)

Glavni način reševanja racionalnih neenakosti

Obstajata vsaj dva pristopa k reševanju racionalnih neenakosti. Zdaj bomo razmislili o enem od njih - tistem, ki je splošno sprejet v šolskem tečaju matematike.

A najprej opozorimo na pomembno podrobnost. Vse neenakosti so razdeljene na dve vrsti:

Strogo: $f\left(x \desno) \gt 0$ ali $f\left(x \desno) \lt 0$;
Nestriktno: $f\levo(x \desno)\ge 0$ ali $f\levo(x \desno)\le 0$.

Neenakosti druge vrste se zlahka reducirajo na prvo, kot tudi na enačbo:

Ta majhen "dodatek" $f\left(x \right)=0$ vodi do tako neprijetne stvari, kot so zapolnjene točke - srečali smo jih že pri intervalni metodi. Sicer pa med strogimi in nestrogimi neenakostmi ni razlik, zato analizirajmo univerzalni algoritem:

Zberite vse neničelne elemente na eni strani znaka neenakosti. Na primer na levi;

Vse ulomke prinesite na skupni imenovalec (če je takih ulomkov več), prinesite podobne. Nato, če je mogoče, faktorizirajte na števec in imenovalec. Tako ali drugače dobimo neenakost oblike $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$, kjer je kljukica znak neenakosti.

Števec enačite na nič: $P\left(x \desno)=0$. Rešimo to enačbo in dobimo korene $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... Nato zahtevamo da imenovalec ni bil enak nič: $Q\levo(x \desno)\ne 0$. Seveda moramo v bistvu rešiti enačbo $Q\left(x \right)=0$ in dobimo korene $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*) $, $x_(3 )^(*)$, ... (v realnih problemih bo težko več kot trije takšni koreni).

Vse te korene (tako z zvezdicami kot brez) označimo na eni številski premici in korene brez zvezdic prebarvamo, tiste z zvezdicami pa izluknjamo.

Postavimo znake plus in minus, izberemo intervale, ki jih potrebujemo. Če ima neenakost obliko $f\left(x \right) \gt 0$, bodo odgovor intervali, označeni z "plusom". Če je $f\left(x \desno) \lt 0$, potem gledamo intervale z "minusi".

Praksa kaže, da največje težave povzročata točki 2 in 4 - kompetentne transformacije in pravilna razporeditev številk v naraščajočem vrstnem redu. No, pri zadnjem koraku bodite izjemno previdni: znake vedno postavljamo na podlagi zadnja neenakost, zapisana preden preidemo na enačbe. To je univerzalno pravilo, podedovano iz intervalne metode.

Torej, obstaja shema. Vadimo.

Naloga. Reši neenačbo:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

rešitev. Imamo strogo neenakost oblike $f\left(x \desno) \lt 0$. Očitno sta točki 1 in 2 iz naše sheme že zaključeni: vsi elementi neenakosti so zbrani na levi strani, nič ni treba reducirati na skupni imenovalec. Pa pojdimo k tretji točki.

Nastavite števec na nič:

\[\začetek(poravnaj) & x-3=0; \\ &x=3. \end(align)\]

In imenovalec:

\[\začetek(poravnaj) & x+7=0; \\ & ((x)^(*))=-7. \\ \end(align)\]

Na tem mestu se marsikdo zatakne, saj je v teoriji treba zapisati $x+7\ne 0$, kot zahteva ODZ (ne moreš deliti z ničlo, to je vse). Toda navsezadnje bomo v prihodnosti izločili točke, ki so prišle iz imenovalca, zato ne smete znova komplicirati pri izračunih - povsod napišite enakovredni znak in ne skrbite. Nihče ne bo odvzel točk za to. :)

Četrta točka. Dobljene korenine označimo na številski premici:
Vse točke so preluknjane, ker je neenakost stroga
Opomba: vse točke so preluknjane, ker je prvotna neenakost stroga. In tukaj ni več pomembno: te točke so prišle iz števca ali iz imenovalca.

No, poglej znake. Vzemite poljubno število $((x)_(0)) \gt 3$. Na primer, $((x)_(0))=100$ (vendar bi prav tako lahko vzeli $((x)_(0))=3,1$ ali $((x)_(0)) = 1\000\000$). Dobimo:

Torej, desno od vseh korenin imamo pozitivno območje. In pri prehodu skozi vsak koren se znak spremeni (to ne bo vedno tako, vendar o tem kasneje). Zato nadaljujemo do pete točke: postavimo znake in izberemo pravega:

Vrnemo se k zadnji neenačbi, ki je bila pred reševanjem enačb. Pravzaprav sovpada z originalnim, saj v tej nalogi nismo izvajali nobenih transformacij.

Ker je treba rešiti neenačbo v obliki $f\left(x \right) \lt 0$, sem interval $x\in \left(-7;3 \right)$ osenčil - je edini označeno z znakom minus. To je odgovor.

Odgovor: $x\in \left(-7;3 \desno)$

To je vse! Je težko? Ne, ni težko. Dejansko je bila to lahka naloga. Zdaj pa malo zakomplicirajmo nalogo in razmislimo o bolj "fancy" neenakosti. Pri reševanju ne bom več dajal tako podrobnih izračunov - preprosto bom orisal ključne točke. V glavnem, uredili ga bomo tako, kot bi to naredili na samostojnem delu ali izpitu. :)

Naloga. Reši neenačbo:

\[\frac(\levo(7x+1 \desno)\levo(11x+2 \desno))(13x-4)\ge 0\]

rešitev. To je nestroga neenakost oblike $f\left(x \desno)\ge 0$. Vsi neničelni elementi so zbrani na levi strani, ni različnih imenovalcev. Pojdimo k enačbam.

Števec:

\[\begin(align) & \left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\desna puščica ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\Desna puščica ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \end(align)\]

Imenovalec:

\[\začetek(poravnaj) & 13x-4=0; \\ & 13x=4; \\ & ((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \end(align)\]

Ne vem, kakšen perverznež je sestavil to težavo, vendar se korenine niso izkazale dobro: težko jih bo razporediti na številsko premico. In če je s korenom $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ vse bolj ali manj jasno (to je edina pozitivna številka - bo na desni), potem $ ((x)_(1 ))=-(1)/(7)\;$ in $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$ zahtevata nadaljnjo študijo: kateri je večji?

To lahko ugotovite na primer:

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2 ))\]

Upam, da ni treba razlagati, zakaj številski ulomek $-(2)/(14)\; \gt -(2)/(11)\;$? Če je potrebno, priporočam, da se spomnite, kako izvajati dejanja z ulomki.

In označimo vse tri korenine na številski premici:
Točke iz števca so osenčene, iz imenovalca so izrezane
Postavili smo znake. Na primer, lahko vzamete $((x)_(0))=1$ in na tej točki najdete znak:

\[\begin(align) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \desno)\left(11x+2 \desno))(13x-4); \\ & f\levo(1 \desno)=\frac(\levo(7\cdot 1+1 \desno)\levo(11\cdot 1+2 \desno))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\\konec(poravnaj)\]

Zadnja neenakost pred enačbami je bila $f\left(x \right)\ge 0$, zato nas zanima znak plus.

Dobili smo dve množici: ena je navaden odsek, druga pa odprt žarek na številski premici.

Odgovor: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$

Pomembna opomba o številkah, ki jih nadomestimo, da ugotovimo znak na skrajnem desnem intervalu. Ni treba zamenjati številke blizu skrajno desnega korena. Lahko vzamete milijarde ali celo "plus-neskončnost" - v tem primeru je predznak polinoma v oklepaju, števcu ali imenovalcu določen izključno s predznakom vodilnega koeficienta.

Oglejmo si še enkrat funkcijo $f\left(x \right)$ iz zadnje neenakosti:

Vsebuje tri polinome:

\[\begin(align) & ((P)_(1))\left(x \desno)=7x+1; \\ & ((P)_(2))\levo(x \desno)=11x+2; \\ & Q\levo(x\desno)=13x-4. \end(align)\]

Vsi so linearni binomi in vsi imajo pozitivne koeficiente (števila 7, 11 in 13). Zato bodo pri zamenjavi zelo velikih števil tudi sami polinomi pozitivni. :)

To pravilo se morda zdi preveč zapleteno, vendar le na začetku, ko analiziramo zelo enostavne naloge. V resnih neenakostih nam bo zamenjava "plus-neskončno" omogočila, da predznake ugotovimo veliko hitreje kot standard $((x)_(0))=100$.

S takimi izzivi se bomo soočili zelo kmalu. Najprej pa si poglejmo alternativni način reševanja ulomkov racionalnih neenakosti.

Alternativni način

To tehniko mi je predlagal eden od mojih študentov. Sam ga nisem nikoli uporabljal, vendar je praksa pokazala, da je marsikateremu študentu res bolj priročno reševanje neenačb na ta način.

Torej, izvirni podatki so enaki. Rešiti moramo delno racionalno neenakost:

\[\frac(P\levo(x \desno))(Q\levo(x \desno)) \gt 0\]

Pomislimo: zakaj je polinom $Q\left(x \right)$ "slabši" od polinoma $P\left(x \right)$? Zakaj moramo upoštevati ločene skupine korenov (z in brez zvezdice), razmišljati o preluknjanih točkah itd.? Preprosto je: ulomek ima definirano področje, po katerem je ulomek smiseln le, če je njegov imenovalec različen od nič.

Sicer pa med števcem in imenovalcem ni razlik: tudi njega enačimo z nič, iščemo korenine, nato jih označimo na številski premici. Zakaj torej ne bi zamenjali ulomka (pravzaprav znaka za deljenje) z običajnim množenjem in vseh zahtev DHS zapisali kot ločeno neenakost? Na primer takole:

\[\frac(P\levo(x \desno))(Q\levo(x \desno)) \gt 0\desna puščica \levo\( \begin(align) & P\left(x \desno)\cdot Q \left(x \desno) \gt 0, \\ & Q\left(x \desno)\ne 0. \\ \end(align) \desno.\]

Upoštevajte: ta pristop vam bo omogočil zmanjšanje težave na metodo intervalov, vendar rešitve sploh ne bo zapletlo. Navsezadnje bomo tako ali tako izenačili polinom $Q\left(x \right)$ na nič.

Poglejmo, kako deluje pri resničnih nalogah.

Naloga. Reši neenačbo:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

rešitev. Torej, pojdimo na intervalno metodo:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\desna puščica \levo\( \begin(align) & \left(x+8 \desno)\left(x-11 \desno) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Prvo neenačbo rešimo elementarno. Samo nastavite vsak oklepaj na nič:

\[\begin(align) & x+8=0\Rightarrow ((x)_(1))=-8; \\ & x-11=0\Desna puščica ((x)_(2))=11. \\ \end(align)\]

Z drugo neenakostjo je vse preprosto:

Na realni premici označimo točki $((x)_(1))$ in $((x)_(2))$. Vsi so preluknjani, ker je neenakost stroga:
Desna točka se je izkazala za dvakrat preluknjano. To je v redu.
Bodite pozorni na točko $x=11$. Izkazalo se je, da je »dvakrat izdolbena«: po eni strani jo izdolbemo zaradi resnosti neenakosti, po drugi strani pa zaradi dodatne zahteve ODZ.

V vsakem primeru bo to le preluknjana točka. Zato smo postavili znake za neenakost $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ - zadnjo, ki smo jo videli, preden smo začeli reševati enačbe:

Zanimajo nas pozitivna območja, saj rešujemo neenačbo oblike $f\left(x \desno) \gt 0$ in jih bomo pobarvali. Ostaja le še zapisati odgovor.

Odgovori. $x\in \left(-\infty ;-8 \desno)\bigcup \left(11;+\infty \desno)$

Na primeru te rešitve bi vas rad posvaril pred pogosto napako študentov začetnikov. Namreč: pri neenačbah nikoli ne odpirajte oklepajev! Nasprotno, poskusite faktorizirati vse – tako boste poenostavili rešitev in si prihranili marsikatero težavo.

Zdaj pa poskusimo nekaj težjega.

Naloga. Reši neenačbo:

\[\frac(\levo(2x-13 \desno)\levo(12x-9 \desno))(15x+33)\le 0\]

rešitev. To je nestroga neenakost oblike $f\left(x \desno)\le 0$, zato morate tukaj skrbno spremljati izpolnjene točke.

Preidimo na intervalno metodo:

\[\levo\( \begin(align) & \left(2x-13 \desno)\left(12x-9 \desno)\left(15x+33 \desno)\le 0, \\ & 15x+33\ ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Pojdimo k enačbi:

\[\begin(align) & \left(2x-13 \desno)\left(12x-9 \desno)\left(15x+33 \desno)=0 \\ & 2x-13=0\desna puščica ((x )_(1))=6,5; \\ & 12x-9=0\Desna puščica ((x)_(2))=0,75; \\ & 15x+33=0\Desna puščica ((x)_(3))=-2,2. \\ \end(align)\]

Upoštevamo dodatno zahtevo:

Vse dobljene korenine označimo na številski premici:
Če je točka hkrati izrezana in zapolnjena, se šteje za izčrtano.
Spet se dve točki "prekrivata" - to je normalno, vedno bo tako. Pomembno je le razumeti, da je točka, ki je hkrati označena kot izsekana in zapolnjena, dejansko izsekana točka. Tisti. "Žlebljenje" je močnejše dejanje kot "prebarvanje".

To je povsem logično, saj s punkcijo označimo točke, ki vplivajo na predznak funkcije, same pa ne sodelujejo pri odgovoru. In če nam na neki točki številka ne bo več ustrezala (na primer ne sodi v ODZ), jo izbrišemo iz obravnave do samega konca naloge.

Sploh nehajte filozofirati. Razporedimo znake in prebarvamo tiste intervale, ki so označeni z znakom minus:

Odgovori. $x\in \left(-\infty ;-2,2 \desno)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \desno]$.

In spet sem vas želel opozoriti na to enačbo:

\[\levo(2x-13 \desno)\levo(12x-9 \desno)\levo(15x+33 \desno)=0\]

Še enkrat: v takih enačbah nikoli ne odpirajte oklepajev! Samo sebi si otežuješ. Ne pozabite: produkt je enak nič, ko je vsaj eden od faktorjev enak nič. Posledično ta enačba preprosto “razpade” na več manjših, ki smo jih rešili v prejšnji nalogi.

Ob upoštevanju množice korenin

Iz prejšnjih nalog je lahko razbrati, da so ravno nestroge neenakosti najtežje, saj je pri njih treba slediti zapolnjenim točkam.

Toda na svetu obstaja še večje zlo - to so več korenin v neenakosti. Tukaj že ni treba slediti nekaterim zapolnjenim točkam - tukaj se znak neenakosti ne sme nenadoma spremeniti, ko gremo skozi te iste točke.

Česa takega v tej lekciji še nismo obravnavali (čeprav je podoben problem pogosto naletel na intervalno metodo). Predstavimo torej novo definicijo:

Opredelitev. Koren enačbe $((\left(x-a \right))^(n))=0$ je enak $x=a$ in se imenuje koren $n$te mnogokratnosti.

Pravzaprav nas natančna vrednost večkratnosti ne zanima posebej. Pomembno je le, ali je prav to število $n$ sodo ali liho. Ker:

Če je $x=a$ sodi množinski koren, se predznak funkcije ne spremeni, ko gre skozi njega;
In obratno, če je $x=a$ koren lihe mnogokratnosti, se predznak funkcije spremeni.

Poseben primer lihega mnogokratnega korena so vsi prejšnji problemi, obravnavani v tej lekciji: tam je množica povsod enaka ena.

In dalje. Preden začnemo reševati probleme, bi vas rad opozoril na eno subtilnost, ki se izkušenemu študentu zdi očitna, vendar mnoge začetnike spravi v stupor. namreč:

Večkratni koren $n$ se pojavi le, ko je celoten izraz povišan na to potenco: $((\left(x-a \right))^(n))$ in ne $\left(((x)^( n) )-a\desno)$.

Še enkrat: oklepaj $((\left(x-a \right))^(n))$ nam daje koren $x=a$ množice $n$, oklepaj $\left(((x)^( n)) -a \right)$ ali, kot se pogosto zgodi, $(a-((x)^(n)))$ nam da koren (ali dva korena, če je $n$ sodo) prve množice , ne glede na to, kaj je enako $n$.

Primerjaj:

\[((\levo(x-3 \desno))^(5))=0\Desna puščica x=3\levo(5k \desno)\]

Tukaj je vse jasno: celoten oklepaj je bil dvignjen na peto moč, tako da smo na izhodu dobili koren pete stopnje. In zdaj:

\[\levo(((x)^(2))-4 \desno)=0\Desna puščica ((x)^(2))=4\Desna puščica x=\pm 2\]

Dobili smo dva korena, vendar imata oba prvo množico. Ali pa še ena:

\[\levo(((x)^(10))-1024 \desno)=0\Desna puščica ((x)^(10))=1024\Desna puščica x=\pm 2\]

In naj vas deseta stopnja ne zmede. Glavna stvar je, da je 10 sodo število, zato imamo na izhodu dva korena in oba imata spet prvo množico.

Na splošno bodite previdni: večkratnost se pojavi le, če stopnja velja za celotno skupino, ne le za spremenljivko.

Naloga. Reši neenačbo:

\[\frac(((x)^(2))((\levo(6-x \desno))^(3))\levo(x+4 \desno))(((\levo(x+7) \desno))^(5)))\ge 0\]

rešitev. Poskusimo jo rešiti na alternativni način – s prehodom od partikularnega k produktu:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \desno)\cdot ( (\levo(x+7 \desno))^(5))\ge 0, \\ & ((\levo(x+7 \desno))^(5))\ne 0. \\ \end(align )\prav.\]

Prvo neenakost obravnavamo z intervalno metodo:

\[\begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \desno)\cdot ((\left( x+7 \desno))^(5))=0; \\ & ((x)^(2))=0\Desna puščica x=0\levo(2k \desno); \\ & ((\levo(6-x \desno))^(3))=0\Desna puščica x=6\levo(3k \desno); \\ & x+4=0\desna puščica x=-4; \\ & ((\levo(x+7 \desno))^(5))=0\Desna puščica x=-7\levo(5k \desno). \\ \end(align)\]

Dodatno rešimo še drugo neenačbo. Pravzaprav smo jo že rešili, a da recenzenti ne bodo našli napake v rešitvi, je bolje, da jo rešimo znova:

\[((\levo(x+7 \desno))^(5))\ne 0\desna puščica x\ne -7\]

Upoštevajte, da v zadnji neenakosti ni množic. Res: kakšna je razlika, kolikokrat prečrtati točko $x=-7$ na številski premici? Vsaj enkrat, vsaj petkrat – rezultat bo enak: preluknjana točka.

Zabeležimo vse, kar smo dobili na številski premici:

Kot sem rekel, bo točka $x=-7$ sčasoma izčrtana. Množnice so urejene na podlagi rešitve neenačbe z intervalno metodo.

Ostaja še postavitev znakov:

Ker je točka $x=0$ sodi množinski koren, se predznak pri prehodu skozi njo ne spremeni. Preostale točke imajo nenavadno množico in z njimi je vse preprosto.

Odgovori. $x\in \left(-\infty ;-7 \desno)\bigcup \left[ -4;6 \desno]$

Ponovno bodite pozorni na $x=0$. Zaradi enakomerne mnogoterosti nastane zanimiv učinek: vse levo od nje je prebarvano, tudi desno, sama točka pa je v celoti prebarvana.

Posledično ga pri snemanju odgovora ni treba izolirati. Tisti. ni vam treba napisati nekaj takega kot $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ (čeprav bi bil formalno tudi tak odgovor pravilen). Namesto tega takoj zapišemo $x\in \left[ -4;6 \right]$.

Takšni učinki so možni samo za korenine sode množice. In v naslednji nalogi bomo naleteli na obratno "manifestacijo" tega učinka. pripravljena

Naloga. Reši neenačbo:

\[\frac(((\levo(x-3 \desno))^(4))\levo(x-4 \desno))(((\levo(x-1 \desno))^(2)) \levo(7x-10-((x)^(2)) \desno))\ge 0\]

rešitev. Tokrat se bomo držali standardne sheme. Nastavite števec na nič:

\[\begin(align) & ((\left(x-3 \desno))^(4))\left(x-4 \desno)=0; \\ & ((\levo(x-3 \desno))^(4))=0\Desna puščica ((x)_(1))=3\levo(4k \desno); \\ & x-4=0\desna puščica ((x)_(2))=4. \\ \end(align)\]

In imenovalec:

\[\begin(align) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \right)=0; \\ & ((\levo(x-1 \desno))^(2))=0\Desna puščica x_(1)^(*)=1\levo(2k \desno); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\Desna puščica x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \end(align)\]

Ker rešujemo nestrogo neenačbo oblike $f\left(x \right)\ge 0$, bomo korene iz imenovalca (ki imajo zvezdice) izrezali, tiste iz števca pa prebarvali. .

Razporedimo znake in pobožamo območja, označena s "plusom":
Točka $x=3$ je izolirana. To je del odgovora
Preden zapišete končni odgovor, natančno poglejte sliko:

Točka $x=1$ ima sodo mnogokratnost, vendar je sama preluknjana. Zato ga bo treba izolirati v odgovoru: napisati morate $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$ in ne $x\in \levo(-\ infty ;2\desno)$.

Tudi točka $x=3$ ima sodo mnogokratnost in je osenčena. Razporeditev oznak pove, da nam sama točka ustreza, a korak v levo in desno - in se znajdemo na območju, ki nam vsekakor ne ustreza. Take točke imenujemo izolirane in jih zapišemo kot $x\v \levo$ 3 \desno$$.

Vse dobljene kose združimo v skupni sklop in zapišemo odgovor.

Odgovor: $x\in \left(-\infty ;1 \desno)\bigcup \left(1;2 \desno)\bigcup \left$ 3 \desno$\bigcup \left[ 4;5 \desno) $

Opredelitev. Reševanje neenačbe pomeni najti množico vseh njegovih rešitev, ali dokažite, da je ta niz prazen.

Zdi se: kaj je tukaj lahko nerazumljivo? Da, dejstvo je, da je množice mogoče določiti na različne načine. Prepišimo odgovor na zadnjo težavo:

Napisano dobesedno beremo. Spremenljivka "x" pripada določenemu nizu, ki ga dobimo z združitvijo (simbol "U") štirih ločenih nizov:

Interval $\left(-\infty ;1 \right)$, kar dobesedno pomeni "vsa števila, manjša od ena, ne pa ena sama";
Interval je $\left(1;2 \right)$, tj. "vse številke med 1 in 2, ne pa same številke 1 in 2";
Množica $\left$ 3 \desno$$, sestavljena iz enega samega števila - tri;
Interval $\left[ 4;5 \right)$, ki vsebuje vsa števila med 4 in 5, plus samo 4, vendar ne 5.

Tukaj je zanimiva tretja točka. Za razliko od intervalov, ki določajo neskončne množice števil in označujejo le meje teh množic, določa množica $\left$ 3 \right$$ natanko eno število z oštevilčenjem.

Da bi razumeli, da navajamo določene številke, vključene v niz (in ne postavljamo meja ali česar koli drugega), so uporabljeni zaviti oklepaji. Na primer, zapis $\left$ 1;2 \right$$ pomeni natanko "niz, sestavljen iz dveh števil: 1 in 2", ne pa segmenta od 1 do 2. V nobenem primeru ne zamenjujte teh pojmov .

Pravilo seštevanja množice

No, na koncu današnje lekcije, malo kositra od Pavla Berdova. :)

Pozorni učenci so si verjetno že zastavili vprašanje: kaj se bo zgodilo, če sta v števcu in imenovalcu enaka korena? Torej deluje naslednje pravilo:

Množice enakih korenov se seštejejo. Nenehno. Tudi če se ta koren pojavlja tako v števcu kot v imenovalcu.

Včasih se je bolje odločiti kot pogovarjati. Zato rešujemo naslednji problem:

Naloga. Reši neenačbo:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\levo(((x)^(2))-16 \desno)\levo(((x)^(2))+ 9x+14 \desno))\ge 0\]

\[\begin(align) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \end(align)\]

Zaenkrat nič posebnega. Nastavite imenovalec na nič:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+9x+14 \right)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Desna puščica x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Desna puščica x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \end(align)\]

Najdena sta dva enaka korena: $((x)_(1))=-2$ in $x_(4)^(*)=-2$. Oba imata prvo množico. Zato jih nadomestimo z enim korenom $x_(4)^(*)=-2$, vendar z množitvijo 1+1=2.

Poleg tega obstajajo tudi enaki koreni: $((x)_(2))=-4$ in $x_(2)^(*)=-4$. So tudi prve množine, tako da ostane samo $x_(2)^(*)=-4$ množice 1+1=2.

Opomba: v obeh primerih smo pustili točno »izrezano« korenino, »prebarvano« pa izločili iz obravnave. Kajti že na začetku pouka smo se strinjali: če piko hkrati izluknjamo in prebarvamo, jo še vedno smatramo za izlučkano.

Kot rezultat, imamo štiri korenine in vse so se izkazale za izdolbene:

\[\začetek(poravnaj) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\levo(2k \desno); \\ & x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\levo(2k \desno). \\ \end(align)\]

Označimo jih na številski premici ob upoštevanju množice:

Postavimo znake in prebarvamo področja, ki nas zanimajo:

Vse. Brez izoliranih točk in drugih perverzij. Odgovor lahko zapišete.

Odgovori. $x\in \left(-\infty ;-7 \desno)\bigcup \left(4;+\infty \desno)$.

pravilo množenja

Včasih se zgodi še bolj neprijetna situacija: enačba, ki ima več korenov, se sama dvigne na določeno potenco. To spremeni množice vseh prvotnih korenin.

To je redko, zato večina študentov nima izkušenj z reševanjem tovrstnih problemov. In pravilo tukaj je:

Ko enačbo dvignemo na potenco $n$, se za faktor $n$ poveča tudi množica vseh njenih korenov.

Z drugimi besedami, povišanje na potenco povzroči množenje množic z isto potenco. Vzemimo to pravilo kot primer:

Naloga. Reši neenačbo:

\[\frac(x((\levo(((x)^(2))-6x+9 \desno))^(2))((\levo(x-4 \desno))^(5)) )(((\levo(2-x \desno))^(3))((\levo(x-1 \desno))^(2)))\le 0\]

rešitev. Nastavite števec na nič:

Produkt je enak nič, če je vsaj eden od faktorjev enak nič. S prvim množiteljem je vse jasno: $x=0$. In tukaj se začnejo težave:

\[\begin(align) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))=0; \\ & ((x)^(2))-6x+9=0\levo(2k \desno); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\levo(2k \desno)\levo(2k \desno) \ \ & ((x)_(2))=3\levo(4k \desno) \\ \end(align)\]

Kot lahko vidite, ima enačba $((x)^(2))-6x+9=0$ edinstven koren druge množitve: $x=3$. Celotna enačba se nato kvadrira. Zato bo množica korena $2\cdot 2=4$, kar smo končno zapisali.

\[((\levo(x-4 \desno))^(5))=0\Desna puščica x=4\levo(5k \desno)\]

Tudi z imenovalcem ni težav:

\[\begin(align) & ((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \desno))^(2))=0; \\ & ((\levo(2-x \desno))^(3))=0\Desna puščica x_(1)^(*)=2\levo(3k \desno); \\ & ((\levo(x-1 \desno))^(2))=0\Desna puščica x_(2)^(*)=1\levo(2k \desno). \\ \end(align)\]

Skupaj smo dobili pet točk: dve izluščeni in tri vpolnjene. V števcu in imenovalcu ni sovpadajočih korenin, zato ju samo označimo na številski premici:

Znake razporedimo ob upoštevanju mnogoterosti in prebarvamo intervale, ki nas zanimajo:
Spet ena izolirana točka in ena preluknjana
Zaradi korenin enakomerne mnogoterosti smo ponovno prejeli nekaj "nestandardnih" elementov. To je $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, ne $x\in \left[ 0;2 \right)$, in tudi izolirana točka $ x\in \levo$ 3 \desno$$.

Odgovori. $x\in \left[ 0;1 \desno)\bigcup \left(1;2 \desno)\bigcup \left$ 3 \desno$\bigcup \left[ 4;+\infty \desno)$

Kot lahko vidite, vse ni tako težko. Glavna stvar je pozornost. Zadnji del te lekcije je posvečen transformacijam - prav tistim, o katerih smo razpravljali na samem začetku.

Predkonverzije

Neenakosti, o katerih bomo razpravljali v tem razdelku, niso zapletene. Vendar boste morali za razliko od prejšnjih nalog tukaj uporabiti veščine iz teorije racionalnih ulomkov – faktorizacija in redukcija na skupni imenovalec.

O tem vprašanju smo podrobno razpravljali na samem začetku današnje lekcije. Če niste prepričani, da razumete, za kaj gre, toplo priporočam, da se vrnete in ponovite. Ker nima smisla nabijati metode reševanja neenačb, če "plavaš" v pretvarjanju ulomkov.

Mimogrede, v domači nalogi bo tudi veliko podobnih nalog. Postavljeni so v ločen pododdelek. In tam boste našli zelo netrivialne primere. Toda to bo v domači nalogi, zdaj pa analizirajmo nekaj takih neenakosti.

Naloga. Reši neenačbo:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

rešitev. Premikanje vsega v levo:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

Zmanjšamo na skupni imenovalec, odpremo oklepaje, v števcu damo enake izraze:

\[\begin(align) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \desno)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \desno)\left(x-1 \ desno))(x\cdot \levo(x-1 \desno))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\levo(((x)^(2))-2x-x+2 \desno))(x\levo(x-1 \desno)) \le0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\levo(x-1 \desno))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\levo(x-1 \desno))\le 0. \\\konec(poravnaj)\]

Sedaj imamo klasično ulomno racionalno neenačbo, katere rešitev ni več težka. Predlagam, da ga rešite z alternativno metodo - z metodo intervalov:

\[\begin(align) & \left(3x-2 \desno)\cdot x\cdot \left(x-1 \desno)=0; \\ & ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \end(align)\]

Ne pozabite na omejitev, ki izhaja iz imenovalca:

Na številski premici označimo vse številke in omejitve:

Vsi koreni imajo prvo množico. Brez težav. Samo postavimo znake in prebarvamo področja, ki jih potrebujemo:

To je vse. Odgovor lahko zapišete.

Odgovori. $x\in \left(-\infty ;0 \desno)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \desno)$.

Seveda je bil to zelo preprost primer. Zdaj si poglejmo težavo podrobneje. In mimogrede, raven te naloge je povsem skladna s samostojnim in kontrolnim delom na to temo v 8. razredu.

Naloga. Reši neenačbo:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

rešitev. Premikanje vsega v levo:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

Preden oba ulomka spravimo na skupni imenovalec, te imenovalce razstavimo na faktorje. Nenadoma bodo izšli isti oklepaji? S prvim imenovalcem je enostavno:

\[((x)^(2))+8x-9=\levo(x-1 \desno)\levo(x+9 \desno)\]

Drugi je malo težji. V oklepaj, kjer je bil najden ulomek, lahko dodate konstanten množitelj. Ne pozabite: prvotni polinom je imel cele koeficiente, zato je zelo verjetno, da bo faktorizacija imela tudi cele koeficiente (pravzaprav vedno, razen če je diskriminant iracionalen).

\[\begin(align) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \desno)\left(x-\frac(2)(3) \desno)= \\ & =\levo(x-1 \desno)\levo(3x-2 \desno) \end(poravnaj)\]

Kot lahko vidite, obstaja skupni oklepaj: $\left(x-1 \right)$. Vrnemo se k neenakosti in oba ulomka spravimo na skupni imenovalec:

\[\begin(align) & \frac(1)(\left(x-1 \desno)\left(x+9 \desno))-\frac(1)(\left(x-1 \desno)\ levo(3x-2\desno))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \desno)-1\cdot \left(x+9 \desno))(\left(x-1 \desno)\left(x+9 \desno) )\levo(3x-2 \desno))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\levo(x-1 \desno)\levo(x+9 \desno)\levo(3x-2 \desno))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\levo(x-1 \desno)\levo(x+9 \desno)\levo(3x-2 \desno))\ge 0; \\ \end(align)\]

Nastavite imenovalec na nič:

\[\begin(align) & \left(x-1 \desno)\left(x+9 \desno)\left(3x-2 \desno)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( poravnaj)\]

Brez množic in brez sovpadajočih korenin. Na ravni črti označimo štiri številke:

Postavljamo znake:

Odgovor zapišemo.

Odgovor: $x\in \left(-\infty ;-9 \desno)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \desno)\bigcup \left[ 5,5;+\infty \ desno)$.

Vse! Tako sem prebrala do te vrstice. :)

Linearne neenakosti se imenujejo katerih levi in desni del sta linearni funkciji glede na neznano vrednost. Sem sodijo na primer neenakosti:

2x-1-x+3; 7x0;

5 >4-6x 9- x< x + 5 .

1) Stroge neenakosti: ax+b>0 oz sekira+b<0

2) Nestroge neenakosti: ax+b≤0 oz sekira+b≫ 0

Sprejmimo to nalogo. Ena stranica paralelograma je 7 cm. Kolikšna mora biti dolžina druge stranice, da bo obseg paralelograma večji od 44 cm?

Naj bo želena stran X glej V tem primeru bo obseg paralelograma predstavljen z (14 + 2x) glej Neenakost 14 + 2x > 44 je matematični model problema oboda paralelograma. Če v tej neenakosti zamenjamo spremenljivko X na primer na številko 16, potem dobimo pravilno numerično neenakost 14 + 32\u003e 44. V tem primeru rečemo, da je številka 16 rešitev neenakosti 14 + 2x\u003e 44.

Rešitev neenakosti poimenujte vrednost spremenljivke, ki jo spremeni v pravo številsko neenakost.

Zato je vsako od števil 15.1; 20;73 deluje kot rešitev neenačbe 14 + 2x > 44, število 10 pa na primer ni njena rešitev.

Reši neenačbo pomeni ugotoviti vse njegove rešitve ali dokazati, da rešitve ne obstajajo.

Formulacija rešitve neenačbe je podobna formulaciji korena enačbe. In vendar ni običajno označevati "korena neenakosti".

Lastnosti številskih enačb so nam pomagale pri reševanju enačb. Podobno bodo lastnosti številskih neenakosti pomagale pri reševanju neenakosti.

Ko rešimo enačbo, jo spremenimo v enostavnejšo enačbo, vendar enakovredno dani. Na podoben način najdemo odgovor za neenakosti. Pri spreminjanju enačbe v njej enakovredno enačbo uporabijo izrek o prenosu členov iz enega dela enačbe v nasprotnega in o množenju obeh delov enačbe z istim številom, ki ni nič. Pri reševanju neenačbe obstaja bistvena razlika med njo in enačbo, ki je v tem, da lahko vsako rešitev enačbe preverimo preprosto tako, da jo zamenjamo v prvotno enačbo. Pri neenačbah te metode ni, saj v prvotno neenačbo ni mogoče nadomestiti neskončnega števila rešitev. Zato obstaja pomemben koncept, te puščice<=>je znak enakovrednih ali enakovrednih transformacij. Preoblikovanje se imenuje enakovreden oz enakovredenče ne spremenijo odločitvenega sklopa.

Podobna pravila za reševanje neenačb.

Če katerikoli člen premaknemo iz enega dela neenačbe v drugega, pri tem pa zamenjamo njegov predznak z nasprotnim, dobimo neenakost, ki je enakovredna dani.

Če oba dela neenačbe pomnožimo (delimo) z istim pozitivnim številom, dobimo neenačbo, ki je enakovredna dani.

Če oba dela neenačbe pomnožimo (delimo) z istim negativnim številom, pri tem pa zamenjamo znak neenačbe z nasprotnim, dobimo neenakost, ki je enakovredna dani.

Uporaba teh pravila izračunamo naslednje neenakosti.

1) Analizirajmo neenakost 2x - 5 > 9.

to linearna neenakost, najti njeno rešitev in razpravljati o osnovnih pojmih.

2x - 5 > 9<=>2x > 14(5 smo premaknili na levo stran z nasprotnim predznakom), potem smo vse delili z 2 in imamo x > 7. Na os uporabimo niz rešitev x

Dobili smo pozitivno usmerjen žarek. Množico rešitev zapišemo bodisi v obliki neenačbe x > 7, ali kot interval x(7; ∞). In kaj je posebna rešitev te neenakosti? na primer x=10 je posebna rešitev te neenakosti, x=12 je tudi posebna rešitev te neenakosti.

Posebnih rešitev je veliko, a naša naloga je najti vse rešitve. In rešitev je običajno neskončno.

Analizirajmo primer 2:

2) Reši neenačbo 4a - 11 > a + 13.

Rešimo: A premaknite se na eno stran 11 premaknemo na drugo stran, dobimo 3a< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 neenakost ima obliko a<8 .

4a - 11 > a + 13<=>3a< 24 <=>a< 8 .

Komplet bomo tudi razstavili a< 8 , vendar že na osi A.

Odgovor je bodisi zapisan kot neenakost a< 8, либо A(-∞;8), 8 se ne vklopi.

Metoda razmika je preprost način za reševanje ulomkov racionalnih neenakosti. To je ime neenačb, ki vsebujejo racionalne (ali ulomke-racionalne) izraze, ki so odvisni od spremenljivke.

1. Upoštevajte na primer naslednjo neenakost

Intervalna metoda vam omogoča, da jo rešite v nekaj minutah.

Na levi strani te neenakosti je ulomljena racionalna funkcija. Racionalno, ker ne vsebuje niti korenin, niti sinusov, niti logaritmov - samo racionalne izraze. Na desni je nič.

Intervalna metoda temelji na naslednji lastnosti ulomljene racionalne funkcije.

Delna racionalna funkcija lahko spremeni predznak samo v tistih točkah, kjer je enaka nič ali ne obstaja.

Spomnimo se, kako je kvadratni trinom faktoriziran, to je izraz oblike .

Kje in so korenine kvadratne enačbe.

Narišemo os in razporedimo točke, v katerih števec in imenovalec izničita.

Ničle imenovalca in so preluknjane točke, saj na teh točkah funkcija na levi strani neenakosti ni definirana (ne morete deliti z ničlo). Ničle števca in - so zasenčene, ker neenakost ni stroga. Za in je naša neenakost izpolnjena, saj sta oba dela enaka nič.

Te točke razdelijo os na intervale.

Določimo predznak ulomno-racionalne funkcije na levi strani naše neenakosti na vsakem od teh intervalov. Spomnimo se, da lahko ulomljena racionalna funkcija spremeni predznak samo v tistih točkah, kjer je enaka nič ali ne obstaja. To pomeni, da bo na vsakem od intervalov med točkami, kjer števec ali imenovalec izgine, predznak izraza na levi strani neenakosti konstanten - bodisi "plus" ali "minus".

In zato za določitev znaka funkcije na vsakem takem intervalu vzamemo katero koli točko, ki pripada temu intervalu. Tistega, ki nam ustreza.
. Vzemimo na primer in preverimo predznak izraza na levi strani neenakosti. Vsak od "oklepajev" je negativen. Na levi strani je znak.

Naslednji interval: . Preverimo znak za. Dobimo, da je leva stran spremenila predznak v .

Vzemimo . Ko je izraz pozitiven - torej je pozitiven na celotnem intervalu od do .

Za je leva stran neenakosti negativna.

In končno class="tex" alt="x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

Ugotovili smo, v katerih intervalih je izraz pozitiven. Ostaja še napisati odgovor:

Odgovor: .

Pozor: znaki na intervalih se izmenjujejo. To se je zgodilo, ker pri prehodu skozi vsako točko je točno en od linearnih faktorjev spremenil predznak, ostali pa so ga ohranili nespremenjenega.

Vidimo, da je intervalna metoda zelo preprosta. Za rešitev ulomno-racionalne neenakosti z metodo intervalov jo pripeljemo do oblike:

oz class="tex" alt="\genfrac()()()(0)(\displaystyle P\left(x \desno))(\displaystyle Q\left(x \desno)) > 0"> !}, ali ali .

(na levi strani - frakcijsko-racionalna funkcija, na desni strani - nič).

Nato - na številski premici označimo točke, v katerih števec ali imenovalec izgine.
Te točke razdelijo celotno številsko premico na intervale, na vsakem od katerih ulomno-racionalna funkcija ohrani svoj predznak.
Ostaja samo ugotoviti njegov znak na vsakem intervalu.
To naredimo tako, da preverimo predznak izraza na poljubni točki v danem intervalu. Po tem zapišemo odgovor. To je vse.

Toda postavlja se vprašanje: ali se znaki vedno izmenjujejo? Ne ne vedno! Paziti moramo, da znakov ne postavljamo mehanično in nepremišljeno.

2. Poglejmo še eno neenakost.

Class="tex" alt="\genfrac()()()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \levo(x-3\desno))>0"> !}

Ponovno postavimo točke na os. Točki in sta preluknjani, ker sta ničli imenovalca. Pika je tudi preluknjana, saj je neenakost stroga.

Ko je števec pozitiven, sta oba faktorja v imenovalcu negativna. To je enostavno preveriti tako, da vzamete poljubno število iz danega intervala, na primer . Na levi strani je znak:

Ko je števec pozitiven; prvi faktor v imenovalcu je pozitiven, drugi faktor je negativen. Na levi strani je znak:

Ko je situacija enaka! Števec je pozitiven, prvi faktor v imenovalcu je pozitiven, drugi pa negativen. Na levi strani je znak:

Končno s class="tex" alt="x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Odgovor: .

Zakaj je bila menjava likov prekinjena? Ker je pri prehodu skozi točko za to "odgovoren" množitelj ni spremenil predznaka. Posledično tudi celotna leva stran naše neenakosti ni spremenila predznaka.

Zaključek: če je linearni faktor v enakomerni moči (na primer v kvadratu), potem se pri prehodu skozi točko znak izraza na levi strani ne spremeni. V primeru lihe stopnje se predznak seveda spremeni.

3. Razmislimo o bolj zapletenem primeru. Od prejšnje se razlikuje po tem, da neenakost ni stroga:

Leva stran je enaka kot v prejšnjem problemu. Slika znakov bo enaka:

Morda bo odgovor enak? ne! Rešitev je dodana. To je zato, ker sta pri , tako leva kot desna stran neenakosti enaki nič - zato je ta točka rešitev.

Odgovor: .

Pri nalogi na izpitu iz matematike se ta situacija pogosto pojavi. Tu se kandidati ujamejo v past in izgubijo točke. Bodi previden!

4. Kaj pa, če števca ali imenovalca ni mogoče faktorizirati v linearne faktorje? Razmislite o tej neenakosti:

Kvadratnega trinoma ni mogoče faktorizirati: diskriminant je negativen, ni korenin. Ampak to je dobro! To pomeni, da je predznak izraza enak za vse, konkretno pa je pozitiven. Več o tem si lahko preberete v članku o lastnostih kvadratne funkcije.

In zdaj lahko delimo obe strani naše neenakosti z vrednostjo, ki je pozitivna za vse. Pridemo do enakovredne neenakosti:

Kar se zlahka reši z intervalno metodo.

Pozor – obe strani neenakosti smo delili z vrednostjo, za katero smo zagotovo vedeli, da je pozitivna. Seveda v splošnem primeru ne bi smeli množiti ali deliti neenakosti s spremenljivko, katere predznak ni znan.

5 . Razmislite o drugi neenakosti, ki je na videz precej preprosta:

Zato ga želim pomnožiti z . Ampak mi smo že pametni in tega ne bomo storili. Navsezadnje je lahko pozitiven in negativen. In vemo, da če oba dela neenakosti pomnožimo z negativno vrednostjo, se predznak neenakosti spremeni.

Mi bomo ravnali drugače - vse bomo zbrali na en del in spravili na skupni imenovalec. Na desni strani bo ostala ničla:

Class="tex" alt="\genfrac()()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

In po tem - uporabno intervalna metoda.

Reševanje neenačb na spletu

Preden rešimo neenačbe, je treba dobro razumeti, kako se enačbe rešujejo.

Ni pomembno, ali je neenakost stroga () ali nestroga (≤, ≥), prvi korak je rešitev enačbe z zamenjavo znaka neenakosti z enakostjo (=).

Pojasnite, kaj pomeni rešiti neenačbo?

Po študiju enačb ima študent v glavi naslednjo sliko: najti morate takšne vrednosti spremenljivke, za katere imata oba dela enačbe enake vrednosti. Z drugimi besedami, poiščite vse točke, kjer velja enakost. Vse je pravilno!

Ko govorimo o neenakosti, mislimo na iskanje intervalov (odsekov), na katerih neenakost velja. Če sta v neenačbi dve spremenljivki, potem rešitev ne bodo več intervali, temveč nekatera področja na ravnini. Uganete, kakšna bo rešitev neenačbe v treh spremenljivkah?

Kako rešiti neenačbe?

Metoda intervalov (imenovana tudi metoda intervalov) velja za univerzalni način reševanja neenakosti, ki je sestavljen iz določanja vseh intervalov, znotraj katerih bo dana neenakost izpolnjena.

Ne da bi se spuščali v vrsto neenakosti, v tem primeru ni bistvo, potrebno je rešiti ustrezno enačbo in določiti njene korenine, čemur sledi oznaka teh rešitev na numerični osi.

Kako pravilno zapišemo rešitev neenačbe?

Ko določite intervale za reševanje neenačbe, morate pravilno zapisati samo rešitev. Obstaja pomemben odtenek - ali so meje intervalov vključene v rešitev?

Tukaj je vse preprosto. Če rešitev enačbe zadosti ODZ in neenačba ni stroga, potem je meja intervala vključena v rešitev neenačbe. Sicer pa ne.

Ob upoštevanju vsakega intervala je rešitev neenačbe lahko sam interval ali polovični interval (ko ena od njegovih meja zadošča neenačbi) ali segment - interval skupaj s svojimi mejami.

Pomembna točka

Ne mislite, da so samo intervali, polintervali in segmenti lahko rešitev neenakosti. Ne, v rešitev so lahko vključene tudi posamezne točke.

Na primer, neenačba |x|≤0 ima samo eno rešitev - točko 0.

In neenakost |x|

Čemu je namenjen kalkulator neenakosti?

Kalkulator neenakosti daje pravilen končni odgovor. V tem primeru je v večini primerov podana ilustracija numerične osi ali ravnine. Vidite lahko, ali so meje intervalov vključene v rešitev ali ne - točke so prikazane zapolnjene ali preluknjane.

Zahvaljujoč spletnemu kalkulatorju neenakosti lahko preverite, ali ste pravilno našli korenine enačbe, jih označili na številski premici in preverili pogoje neenakosti na intervalih (in mejah)?

Če se vaš odgovor razlikuje od odgovora kalkulatorja, morate vsekakor še enkrat preveriti svojo rešitev in ugotoviti storjeno napako.

Pomoč pri Tele2, tarife, vprašanja