Pomoc na Tele2, tarify, otázky

Keďže ste sem prišli, pravdepodobne ste už tento vzorec videli v učebnici

a urobte tvár takto:

Priateľ, neboj sa! V skutočnosti je všetko jednoducho poburujúce. Určite všetko pochopíte. Len jedna prosba - prečítajte si článok pomaly snažte sa pochopiť každý krok. Napísal som čo najjednoduchšie a najzrozumiteľnejšie, ale stále musíte pochopiť myšlienku. A nezabudnite vyriešiť úlohy z článku.

Čo je to komplexná funkcia?

Predstavte si, že sa sťahujete do iného bytu a preto balíte veci do veľkých krabíc. Predpokladajme, že potrebujete zbierať nejaké malé predmety, napríklad školské písacie potreby. Ak ich len hodíte do obrovskej krabice, okrem iného sa stratia. Aby ste tomu predišli, najskôr ich vložíte napríklad do vrecka, ktoré potom vložíte do veľkej škatule, ktorú následne zalepíte. Tento „komplexný“ proces je znázornený na obrázku nižšie:

Zdalo by sa, čo s tým má spoločné matematika? Áno, napriek tomu, že komplexná funkcia sa tvorí PRESNE ROVNAKÝM spôsobom! Len my „balíme“ nie zošity a perá, ale \(x\), pričom „balíky“ a „škatule“ sú odlišné.

Vezmime si napríklad x a „zabalíme“ ho do funkcie:

Výsledkom je, samozrejme, \(\cos⁡x\). Toto je naša „taška vecí“. Teraz to dáme do „škatule“ – zabalíme to napríklad do kubickej funkcie.

Čo sa nakoniec stane? Áno, je to tak, bude tam „taška vecí v škatuli“, to znamená „kosínus X na kocky“.

Výsledný dizajn je komplexná funkcia. V tom sa líši od jednoduchého NIEKOĽKO „vplyvov“ (balíčkov) sa aplikuje na jeden X v rade a ukáže sa, ako keby „funkcia z funkcie“ - „balenie v obale“.

V školskom kurze je veľmi málo typov týchto „balíčkov“, iba štyri:

Poďme teraz „zabaliť“ X najprv do exponenciálnej funkcie so základom 7 a potom do goniometrickej funkcie. Dostaneme:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

Teraz „zabalíme“ x dvakrát do goniometrických funkcií, najprv v a potom v:

\(x → sin⁡x → cotg⁡ (sin⁡x)\)

Jednoduché, však?

Teraz napíšte funkcie sami, kde x:
- najprv sa „zabalí“ do kosínusu a potom do exponenciálnej funkcie so základom \(3\);
- najprv k piatej mocnine a potom k dotyčnici;
- najprv na logaritmus so základňou \(4\) , potom na mocninu \(-2\).

Odpovede na túto úlohu nájdete na konci článku.

Môžeme „zbaliť“ X nie dva, ale trikrát? Žiaden problém! A štyri, päť a dvadsaťpäťkrát. Tu je napríklad funkcia, v ktorej je x „zbalené“ \(4\)-krát:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Ale takéto vzorce sa v školskej praxi nenájdu (študenti majú viac šťastia - tí môžu byť komplikovanejší☺).

"Rozbalenie" komplexnej funkcie

Pozrite sa znova na predchádzajúcu funkciu. Dokážete zistiť poradie „balenia“? Do čoho sa X napchalo ako prvé, do čoho potom a tak ďalej až do úplného konca. To znamená, ktorá funkcia je vnorená do ktorej? Vezmite si kus papiera a napíšte, čo si myslíte. Môžete to urobiť retiazkou so šípkami ako sme písali vyššie alebo iným spôsobom.

Teraz je správna odpoveď: najprv sa x „zabalilo“ do \(4\)-tej mocniny, potom sa výsledok zabalil do sínusu a ten sa zasa umiestnil do logaritmu na základ \(2\) , a nakoniec sa celá táto konštrukcia napchala do silových pätiek.

To znamená, že musíte rozvinúť sekvenciu V OPAČNOM PORADÍ. A tu je rada, ako to urobiť jednoduchšie: okamžite sa pozrite na X – mali by ste z neho tancovať. Pozrime sa na niekoľko príkladov.

Napríklad tu je nasledujúca funkcia: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Pozeráme sa na X – čo sa s ním stane ako prvé? Prevzaté od neho. A potom? Zoberie sa tangens výsledku. Postupnosť bude rovnaká:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Ďalší príklad: \(y=\cos⁡((x^3))\). Poďme analyzovať - ​​najprv sme X na kocky a potom vzali kosínus výsledku. To znamená, že postupnosť bude: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Venujte pozornosť, funkcia sa zdá byť podobná úplne prvej (kde má obrázky). Ale toto je úplne iná funkcia: tu v kocke je x (to znamená \(\cos⁡((x·x·x)))\) a tam v kocke je kosínus \(x\) ( tj \(\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Tento rozdiel vyplýva z rôznych „baliacich“ sekvencií.

Posledný príklad (s dôležitými informáciami v ňom): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Je jasné, že tu najprv robili aritmetické operácie s x, potom vzali sínus výsledku: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). A to je dôležitý bod: napriek tomu, že aritmetické operácie nie sú samy osebe funkciami, tu fungujú aj ako spôsob „zbalenia“. Poďme sa ponoriť trochu hlbšie do tejto jemnosti.

Ako som povedal vyššie, v jednoduchých funkciách je x „zabalené“ raz a v zložitých funkciách - dva alebo viac. Navyše, každá kombinácia jednoduchých funkcií (to znamená ich súčet, rozdiel, násobenie alebo delenie) je tiež jednoduchou funkciou. Napríklad \(x^7\) je jednoduchá funkcia a rovnako aj \(ctg x\). To znamená, že všetky ich kombinácie sú jednoduché funkcie:

\(x^7+ ctg x\) - jednoduché,
\(x^7· postieľka x\) – jednoduché,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – jednoduché atď.

Ak sa však na takúto kombináciu použije ešte jedna funkcia, stane sa z nej komplexná funkcia, pretože budú existovať dva „balíky“. Pozri diagram:

Dobre, pokračuj. Napíšte postupnosť „baliacich“ funkcií:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Odpovede sú opäť na konci článku.

Vnútorné a vonkajšie funkcie

Prečo musíme rozumieť vnoreniu funkcií? Čo nám to dáva? Faktom je, že bez takejto analýzy nebudeme schopní spoľahlivo nájsť deriváty vyššie uvedených funkcií.

A aby sme sa pohli ďalej, budeme potrebovať ešte dva pojmy: interné a externé funkcie. Je to veľmi jednoduchá vec, navyše sme ich už analyzovali vyššie: ak si spomenieme na našu analógiu na samom začiatku, potom je vnútorná funkcia „balíček“ a vonkajšia funkcia je „škatuľka“. Tie. to, v čom je X „zabalené“ ako prvé, je vnútorná funkcia a to, do čoho je „zabalená“ vnútorná funkcia, je už externé. No, je jasné prečo - je vonku, to znamená externe.

V tomto príklade: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), funkcia \(\log_2⁡x\) je interná a
- vonkajší.

A v tomto: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) je interné a
- vonkajší.

Dokončite posledný nácvik analýzy komplexných funkcií a prejdime konečne k tomu, s čím sme všetci začali – nájdeme deriváty komplexných funkcií:

Vyplňte prázdne miesta v tabuľke:

Derivácia komplexnej funkcie

Bravo, konečne sme sa dostali k „šéfovi“ tejto témy – vlastne k derivácii komplexnej funkcie a konkrétne k tej strašnej formulke z úvodu článku.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Tento vzorec znie takto:

Derivácia komplexnej funkcie sa rovná súčinu derivácie vonkajšej funkcie vzhľadom na konštantnú vnútornú funkciu a deriváciu vnútornej funkcie.

A okamžite sa pozrite na diagram analýzy „slovo po slove“, aby ste pochopili, čo je čo:

Dúfam, že výrazy „derivát“ a „produkt“ nespôsobujú žiadne ťažkosti. „Komplexná funkcia“ - už sme to vyriešili. Háčik je v „deriváte vonkajšej funkcie vzhľadom na konštantnú vnútornú funkciu“. Čo to je?

Odpoveď: Toto je obvyklá derivácia vonkajšej funkcie, pri ktorej sa mení iba vonkajšia funkcia a vnútorná zostáva rovnaká. Stále nie je jasné? Dobre, použime príklad.

Majme funkciu \(y=\sin⁡(x^3)\). Je jasné, že vnútorná funkcia je tu \(x^3\) a vonkajšia
. Nájdime teraz derivát exteriéru vzhľadom na konštantný interiér.

Operácia nájdenia derivácie sa nazýva diferenciácia.

V dôsledku riešenia problémov hľadania derivácií najjednoduchších (a nie veľmi jednoduchých) funkcií definovaním derivácie ako limity pomeru prírastku k prírastku argumentu sa objavila tabuľka derivácií a presne definované pravidlá diferenciácie. . Prvými, ktorí pracovali v oblasti hľadania derivátov, boli Isaac Newton (1643-1727) a Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Preto v našej dobe na nájdenie derivácie akejkoľvek funkcie nepotrebujete vypočítať vyššie uvedenú hranicu pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu, ale stačí použiť tabuľku deriváty a pravidlá diferenciácie. Na nájdenie derivácie je vhodný nasledujúci algoritmus.

Ak chcete nájsť derivát, potrebujete výraz pod prvočíslom rozdeliť jednoduché funkcie na komponenty a určiť, aké akcie (produkt, súčet, podiel) tieto funkcie spolu súvisia. Ďalej nájdeme derivácie elementárnych funkcií v tabuľke derivácií a vzorce pre derivácie súčinu, súčtu a kvocientu - v pravidlách diferenciácie. Tabuľka derivácií a pravidlá diferenciácie sú uvedené po prvých dvoch príkladoch.

Príklad 1 Nájdite deriváciu funkcie

Riešenie. Z pravidiel diferenciácie zistíme, že derivácia súčtu funkcií je súčtom derivácií funkcií, t.j.

Z tabuľky derivácií zistíme, že derivácia „x“ sa rovná jednej a derivácia sínusu sa rovná kosínusu. Tieto hodnoty dosadíme do súčtu derivácií a nájdeme deriváciu požadovanú podmienkou problému:

Príklad 2 Nájdite deriváciu funkcie

Riešenie. Derivujeme ako deriváciu súčtu, v ktorom má druhý člen konštantný faktor; možno ho vyňať zo znamienka derivácie:

Ak stále vznikajú otázky o tom, odkiaľ niečo pochádza, zvyčajne sa vyjasnia po oboznámení sa s tabuľkou derivátov a najjednoduchšími pravidlami diferenciácie. Práve k nim prechádzame.

Tabuľka derivácií jednoduchých funkcií

1. Derivácia konštanty (čísla). Akékoľvek číslo (1, 2, 5, 200...), ktoré je vo výraze funkcie. Vždy sa rovná nule. Toto je veľmi dôležité mať na pamäti, pretože sa to vyžaduje veľmi často
2. Derivát nezávisle premennej. Najčastejšie "X". Vždy sa rovná jednej. To je tiež dôležité mať na pamäti na dlhú dobu
3. Derivácia stupňa. Pri riešení problémov musíte premeniť iné ako odmocniny na mocniny.
4. Derivácia premennej k mocnine -1
5. Derivácia odmocniny
6. Derivácia sínusu
7. Derivácia kosínusu
8. Derivácia dotyčnice
9. Derivácia kotangens
10. Derivácia arcsínusu
11. Derivácia oblúkového kosínusu
12. Derivácia arkustangens
13. Derivácia oblúkového kotangens
14. Derivácia prirodzeného logaritmu
15. Derivácia logaritmickej funkcie
16. Derivácia exponentu
17. Derivácia exponenciálnej funkcie

Pravidlá diferenciácie

1. Derivácia sumy alebo rozdielu
2. Derivát produktu
2a. Derivát výrazu vynásobený konštantným faktorom
3. Derivácia kvocientu
4. Derivácia komplexnej funkcie

Pravidlo 1.Ak funkcie

sú v určitom bode diferencovateľné, potom sú funkcie diferencovateľné v tom istom bode

a

tie. derivácia algebraického súčtu funkcií sa rovná algebraickému súčtu derivácií týchto funkcií.

Dôsledok. Ak sa dve diferencovateľné funkcie líšia konštantným členom, potom sú ich derivácie rovnaké, t.j.

Pravidlo 2.Ak funkcie

sú v určitom bode diferencovateľné, potom je ich produkt diferencovateľný v tom istom bode

a

tie. Derivácia súčinu dvoch funkcií sa rovná súčtu súčinov každej z týchto funkcií a derivácie druhej.

Dôsledok 1. Konštantný faktor možno vyňať zo znamienka derivácie:

Dôsledok 2. Derivácia súčinu niekoľkých diferencovateľných funkcií sa rovná súčtu súčinov derivácie každého faktora a všetkých ostatných.

Napríklad pre tri multiplikátory:

Pravidlo 3.Ak funkcie

v určitom bode rozlíšiteľné A , potom je v tomto bode ich kvocient tiež diferencovateľnýu/v a

tie. derivácia kvocientu dvoch funkcií sa rovná zlomku, ktorého čitateľ je rozdielom medzi súčinmi menovateľa a derivácie čitateľa a čitateľa a derivácie menovateľa a menovateľ je druhá mocnina bývalý čitateľ.

Kde hľadať veci na iných stránkach

Pri hľadaní derivátu súčinu a kvocientu v reálnych problémoch je vždy potrebné aplikovať niekoľko pravidiel diferenciácie naraz, preto je v článku viac príkladov na tieto deriváty"Derivát produktu a kvocient funkcií".

Komentujte. Nemali by ste si zamieňať konštantu (čiže číslo) ako člen v súčte a ako konštantný faktor! V prípade člena sa jeho derivácia rovná nule a v prípade konštantného faktora je vyňatá zo znamienka derivácií. Ide o typickú chybu, ktorá sa vyskytuje v počiatočnom štádiu štúdia derivátov, ale keďže bežný študent rieši niekoľko jedno- a dvojdielnych príkladov, už túto chybu nerobí.

A ak pri rozlišovaní produktu alebo kvocientu máte termín u"v, v ktorom u- číslo, napríklad 2 alebo 5, to znamená konštanta, potom sa derivácia tohto čísla bude rovnať nule, a preto sa celý člen bude rovnať nule (tento prípad je diskutovaný v príklade 10).

Ďalšou častou chybou je mechanické riešenie derivácie komplexnej funkcie ako derivácie jednoduchej funkcie. Preto derivácia komplexnej funkcie je venovaný samostatný článok. Najprv sa však naučíme nájsť derivácie jednoduchých funkcií.

Na ceste sa nezaobídete bez transformácie výrazov. Ak to chcete urobiť, možno budete musieť otvoriť príručku v nových oknách. Akcie so silami a koreňmi A Operácie so zlomkami .

Ak hľadáte riešenia na derivácie zlomkov s mocninou a odmocninou, teda keď funkcia vyzerá a potom postupujte podľa lekcie „Derivácia súčtu zlomkov s mocninami a odmocninami“.

Ak máte úlohu napr , potom absolvujete lekciu „Derivácie jednoduchých goniometrických funkcií“.

Príklady krok za krokom - ako nájsť derivát

Príklad 3 Nájdite deriváciu funkcie

Riešenie. Definujeme časti funkčného výrazu: celý výraz predstavuje súčin a jeho faktory sú súčty, v druhom z nich jeden z výrazov obsahuje konštantný faktor. Aplikujeme pravidlo diferenciácie produktu: derivácia produktu dvoch funkcií sa rovná súčtu produktov každej z týchto funkcií deriváciou druhej:

Ďalej aplikujeme pravidlo diferenciácie súčtu: derivácia algebraického súčtu funkcií sa rovná algebraickému súčtu derivácií týchto funkcií. V našom prípade má v každom súčte druhý člen znamienko mínus. V každom súčte vidíme ako nezávislú premennú, ktorej derivácia sa rovná jednej, tak aj konštantu (číslo), ktorej derivácia sa rovná nule. Takže „X“ sa zmení na jednotku a mínus 5 sa zmení na nulu. V druhom výraze sa "x" vynásobí 2, takže dva vynásobíme rovnakou jednotkou ako derivácia "x". Získame nasledujúce derivačné hodnoty:

Nájdené derivácie dosadíme do súčtu súčinov a získame deriváciu celej funkcie, ktorú vyžaduje podmienka úlohy:

A môžete skontrolovať riešenie problému s odvodením na.

Príklad 4. Nájdite deriváciu funkcie

Riešenie. Musíme nájsť deriváciu kvocientu. Aplikujeme vzorec na derivovanie kvocientu: derivácia kvocientu dvoch funkcií sa rovná zlomku, ktorého čitateľ je rozdielom medzi súčinmi menovateľa a derivácie čitateľa a čitateľa a deriváciou funkcie menovateľ a menovateľ je druhá mocnina predchádzajúceho čitateľa. Dostaneme:

Deriváciu faktorov v čitateli sme už našli v príklade 2. Nezabúdajme tiež, že súčin, ktorý je v aktuálnom príklade druhým faktorom v čitateli, sa berie so znamienkom mínus:

Ak hľadáte riešenia problémov, v ktorých potrebujete nájsť deriváciu funkcie, kde je súvislá kopa koreňov a mocnín, ako napr. , potom vitajte v triede "Derivácia súčtu zlomkov s mocninou a odmocninou" .

Ak sa potrebujete dozvedieť viac o deriváciách sínusov, kosínusov, dotyčníc a iných goniometrických funkcií, teda keď funkcia vyzerá , potom lekcia pre vás "Derivácie jednoduchých goniometrických funkcií" .

Príklad 5. Nájdite deriváciu funkcie

Riešenie. V tejto funkcii vidíme súčin, ktorého jedným z faktorov je druhá odmocnina nezávisle premennej, s ktorej deriváciou sme sa oboznámili v tabuľke derivácií. Pomocou pravidla pre diferenciáciu súčinu a tabuľkovej hodnoty derivácie odmocniny dostaneme:

Riešenie problému s odvodením môžete skontrolovať na adrese online kalkulačka derivátov .

Príklad 6. Nájdite deriváciu funkcie

Riešenie. V tejto funkcii vidíme kvocient, ktorého dividenda je druhou odmocninou nezávislej premennej. Pomocou pravidla diferenciácie kvocientov, ktoré sme zopakovali a aplikovali v príklade 4, a tabuľkovej hodnoty derivácie odmocniny dostaneme:

Ak sa chcete zbaviť zlomku v čitateli, vynásobte čitateľa a menovateľa číslom .

V tejto lekcii sa naučíme, ako nájsť derivácia komplexnej funkcie. Hodina je logickým pokračovaním lekcie Ako nájsť derivát?, v ktorej sme skúmali najjednoduchšie deriváty a oboznámili sa aj s pravidlami diferenciácie a niektorými technickými technikami hľadania derivátov. Ak teda nie ste veľmi dobrí s derivátmi funkcií alebo niektoré body v tomto článku nie sú úplne jasné, prečítajte si najprv vyššie uvedenú lekciu. Nalaďte sa prosím vážne - materiál nie je jednoduchý, ale aj tak sa ho pokúsim podať jednoducho a zrozumiteľne.

V praxi sa musíte veľmi často zaoberať deriváciou komplexnej funkcie, dokonca by som povedal, že takmer vždy, keď dostanete úlohy na nájdenie derivácií.

Pozrime sa na tabuľku pri pravidle (č. 5) na diferenciáciu komplexnej funkcie:

Poďme na to. V prvom rade si dajme pozor na vstup. Tu máme dve funkcie - a , pričom funkcia je, obrazne povedané, vnorená do funkcie . Funkcia tohto typu (keď je jedna funkcia vnorená do inej) sa nazýva komplexná funkcia.

Zavolám funkciu vonkajšia funkcia a funkciu – interná (alebo vnorená) funkcia.

! Tieto definície nie sú teoretické a nemali by sa objaviť v konečnom návrhu zadaní. Neformálne výrazy „vonkajšia funkcia“, „vnútorná“ funkcia používam len preto, aby som vám uľahčil pochopenie materiálu.

Na objasnenie situácie zvážte:

Príklad 1

Nájdite deriváciu funkcie

Pod sínusom nemáme len písmeno „X“, ale celý výraz, takže nájdenie derivátu hneď z tabuľky nebude fungovať. Všimli sme si tiež, že tu nie je možné použiť prvé štyri pravidlá, zdá sa, že existuje rozdiel, ale faktom je, že sínus nemožno „roztrhať na kúsky“:

V tomto príklade je už z mojich vysvetlení intuitívne jasné, že funkcia je komplexná funkcia a polynóm je vnútorná funkcia (vloženie) a vonkajšia funkcia.

Prvý krokčo musíte urobiť pri hľadaní derivácie komplexnej funkcie je to pochopiť, ktorá funkcia je vnútorná a ktorá vonkajšia.

V prípade jednoduchých príkladov sa zdá byť jasné, že pod sínus je vložený polynóm. Ale čo ak všetko nie je zrejmé? Ako presne určiť, ktorá funkcia je vonkajšia a ktorá vnútorná? Na tento účel navrhujem použiť nasledujúcu techniku, ktorú je možné vykonať mentálne alebo v koncepte.

Predstavme si, že potrebujeme vypočítať hodnotu výrazu at na kalkulačke (namiesto jednej môže byť ľubovoľné číslo).

Čo vypočítame ako prvé? Po prvé budete musieť vykonať nasledujúcu akciu: , preto bude polynóm internou funkciou:

Po druhé bude potrebné nájsť, takže sínus – bude vonkajšia funkcia:

Po nás VYPREDANÉ Pri vnútorných a vonkajších funkciách je čas uplatniť pravidlo diferenciácie zložitých funkcií.

Začnime sa rozhodovať. Z triedy Ako nájsť derivát? pamätáme si, že návrh riešenia akejkoľvek derivácie vždy začína takto - výraz uzavrieme do zátvoriek a vpravo hore umiestnime ťah:

Najprv nájdeme deriváciu vonkajšej funkcie (sínus), pozrieme sa na tabuľku derivácií elementárnych funkcií a všimneme si, že . Všetky vzorce tabuľky sú použiteľné aj vtedy, ak je „x“ nahradené zložitým výrazom, v tomto prípade:

Upozorňujeme, že vnútorná funkcia sa nezmenil, nedotýkame sa ho.

No to je celkom zrejmé

Konečný výsledok použitia vzorca vyzerá takto:

Konštantný faktor je zvyčajne umiestnený na začiatku výrazu:

Ak dôjde k nejakému nedorozumeniu, zapíšte si riešenie na papier a znova si prečítajte vysvetlenia.

Príklad 2

Nájdite deriváciu funkcie

Príklad 3

Nájdite deriváciu funkcie

Ako vždy píšeme:

Poďme zistiť, kde máme vonkajšiu funkciu a kde vnútornú. Aby sme to dosiahli, snažíme sa (mentálne alebo v koncepte) vypočítať hodnotu výrazu v . Čo by ste mali urobiť ako prvé? Najprv musíte vypočítať, čomu sa rovná základňa: preto je polynóm vnútorná funkcia:

A až potom sa vykoná umocnenie, preto je výkonová funkcia vonkajšou funkciou:

Podľa vzorca musíte najskôr nájsť deriváciu vonkajšej funkcie, v tomto prípade stupeň. Požadovaný vzorec hľadáme v tabuľke: . Znova opakujeme: akýkoľvek tabuľkový vzorec platí nielen pre „X“, ale aj pre komplexný výraz. Výsledkom aplikácie pravidla pre diferenciáciu komplexnej funkcie je teda:

Opäť zdôrazňujem, že keď vezmeme deriváciu vonkajšej funkcie, naša vnútorná funkcia sa nezmení:

Teraz už len zostáva nájsť veľmi jednoduchú deriváciu vnútornej funkcie a trochu upraviť výsledok:

Príklad 4

Nájdite deriváciu funkcie

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami (odpoveď na konci hodiny).

Aby ste upevnili svoje chápanie derivácie komplexnej funkcie, uvediem príklad bez komentárov, skúste na to prísť sami, dôvod, kde je vonkajšia a kde vnútorná funkcia, prečo sú úlohy riešené týmto spôsobom?

Príklad 5

a) Nájdite deriváciu funkcie

b) Nájdite deriváciu funkcie

Príklad 6

Nájdite deriváciu funkcie

Tu máme koreň a na rozlíšenie koreňa musí byť reprezentovaný ako mocnosť. Najprv teda uvedieme funkciu do tvaru vhodnej na diferenciáciu:

Analýzou funkcie dospejeme k záveru, že súčet troch členov je vnútorná funkcia a umocnenie je vonkajšia funkcia. Aplikujeme pravidlo diferenciácie komplexných funkcií:

Stupeň opäť reprezentujeme ako radikál (odmocninu) a pre deriváciu vnútornej funkcie aplikujeme jednoduché pravidlo na derivovanie súčtu:

Pripravený. Môžete tiež zredukovať výraz na spoločného menovateľa v zátvorkách a zapísať všetko ako jeden zlomok. Je to, samozrejme, krásne, ale keď získate ťažkopádne dlhé deriváty, je lepšie to nerobiť (je ľahké sa zmiasť, urobiť zbytočnú chybu a pre učiteľa bude nepohodlné to kontrolovať).

Príklad 7

Nájdite deriváciu funkcie

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami (odpoveď na konci hodiny).

Je zaujímavé poznamenať, že niekedy namiesto pravidla na diferenciáciu komplexnej funkcie môžete použiť pravidlo na diferenciáciu kvocientu , no takéto riešenie bude vyzerať ako vtipná zvrátenosť. Tu je typický príklad:

Príklad 8

Nájdite deriváciu funkcie

Tu môžete použiť pravidlo diferenciácie kvocientu , ale je oveľa výnosnejšie nájsť deriváciu pomocou pravidla diferenciácie komplexnej funkcie:

Pripravíme funkciu na diferenciáciu - posunieme mínus z derivačného znamienka a zvýšime kosínus do čitateľa:

Kosínus je vnútorná funkcia, umocňovanie je vonkajšia funkcia.
Využime naše pravidlo:

Nájdeme deriváciu vnútornej funkcie a resetujeme kosínus späť:

Pripravený. V uvažovanom príklade je dôležité nenechať sa zmiasť v znameniach. Mimochodom, skúste to vyriešiť pomocou pravidla , odpovede sa musia zhodovať.

Príklad 9

Nájdite deriváciu funkcie

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami (odpoveď na konci hodiny).

Doteraz sme sa zaoberali prípadmi, keď sme mali iba jedno hniezdenie v komplexnej funkcii. V praktických úlohách sa často dajú nájsť odvodeniny, kde sa ako hniezdiace bábiky jedna do druhej vnorí naraz 3 alebo aj 4-5 funkcií.

Príklad 10

Nájdite deriváciu funkcie

Poďme pochopiť prílohy tejto funkcie. Skúsme vypočítať výraz pomocou experimentálnej hodnoty. Ako by sme rátali s kalkulačkou?

Najprv musíte nájsť , čo znamená, že arcsínus je najhlbšie vloženie:

Tento arcsínus jednej by sa potom mal odmocniť:

A nakoniec zdvihneme sedem na mocninu:

To znamená, že v tomto príklade máme tri rôzne funkcie a dve vloženia, pričom najvnútornejšia funkcia je arcsínus a najvzdialenejšia funkcia je exponenciálna funkcia.

Začnime sa rozhodovať

Podľa pravidla musíte najprv vziať deriváciu externej funkcie. Pozrieme sa na tabuľku derivácií a nájdeme deriváciu exponenciálnej funkcie: Jediný rozdiel je v tom, že namiesto „x“ máme komplexný výraz, ktorý nepopiera platnosť tohto vzorca. Takže výsledok aplikácie pravidla na diferenciáciu komplexnej funkcie je nasledujúci:

Pod ťahom máme opäť komplexnú funkciu! Ale už je to jednoduchšie. Je ľahké overiť, že vnútorná funkcia je arcsínus, vonkajšia funkcia je stupeň. Podľa pravidla pre diferenciáciu komplexnej funkcie musíte najprv vziať deriváciu mocniny.

Ak g(X) A f(u) – diferencovateľné funkcie ich argumentov, resp X A u= g(X), potom je v bode diferencovateľná aj komplexná funkcia X a nachádza sa podľa vzorca

Typickou chybou pri riešení derivačných úloh je mechanické prenášanie pravidiel na diferenciáciu jednoduchých funkcií na funkcie zložité. Naučme sa tejto chybe vyhnúť.

Príklad 2 Nájdite deriváciu funkcie

Nesprávne riešenie: vypočítajte prirodzený logaritmus každého člena v zátvorkách a hľadajte súčet derivácií:

Správne riešenie: opäť určíme, kde je „jablko“ a kde „mleté ​​mäso“. Prirodzeným logaritmom výrazu v zátvorkách je tu „jablko“, teda funkcia nad stredným argumentom u, a výraz v zátvorkách je „mleté ​​mäso“, teda medziargument u nezávislou premennou X.

Potom (pomocou vzorca 14 z tabuľky derivátov)

V mnohých problémoch zo skutočného života môže byť výraz s logaritmom o niečo komplikovanejší, a preto existuje poučenie

Príklad 3 Nájdite deriváciu funkcie

Nesprávne riešenie:

Správne riešenie. Opäť určíme, kde je „jablko“ a kde je „mleté ​​mäso“. Tu je kosínus výrazu v zátvorkách (vzorec 7 v tabuľke derivátov) „jablko“, je pripravený v režime 1, ktorý ovplyvňuje iba neho, a výraz v zátvorkách (derivát stupňa je číslo 3 v tabuľke derivátov) je „mleté ​​mäso“, pripravuje sa v režime 2, ktorý sa týka iba neho. A ako vždy spájame dva deriváty so znakom produktu. výsledok:

Derivácia komplexnej logaritmickej funkcie je častou úlohou v testoch, preto dôrazne odporúčame, aby ste sa zúčastnili lekcie „Derivácia logaritmickej funkcie“.

Prvé príklady sa týkali komplexných funkcií, v ktorých bola medziľahlým argumentom nezávislej premennej jednoduchá funkcia. Ale v praktických úlohách je často potrebné nájsť deriváciu komplexnej funkcie, kde medziľahlý argument je buď sám o sebe zložitá funkcia, alebo takúto funkciu obsahuje. Čo robiť v takýchto prípadoch? Nájdite deriváty takýchto funkcií pomocou tabuliek a pravidiel diferenciácie. Keď sa nájde derivát stredného argumentu, jednoducho sa dosadí na správne miesto vo vzorci. Nižšie sú uvedené dva príklady, ako sa to robí.

Okrem toho je užitočné vedieť nasledujúce. Ak možno komplexnú funkciu znázorniť ako reťazec troch funkcií

potom by sa jeho derivát mal nájsť ako súčin derivátov každej z týchto funkcií:

Mnohé z vašich domácich úloh môžu vyžadovať, aby ste si otvorili sprievodcov v nových oknách. Akcie so silami a koreňmi A Operácie so zlomkami .

Príklad 4. Nájdite deriváciu funkcie

Aplikujeme pravidlo diferenciácie komplexnej funkcie, pričom nezabúdame, že vo výslednom súčine derivácií existuje medziargument vzhľadom na nezávislú premennú X sa nemení:

Pripravíme druhý faktor súčinu a použijeme pravidlo na rozlíšenie súčtu:

Druhým pojmom je koreň, takže

Zistili sme teda, že prostredný argument, ktorým je súčet, obsahuje komplexnú funkciu ako jeden z výrazov: povýšenie na moc je komplexná funkcia a to, čo sa zvýši na moc, je stredný argument vo vzťahu k nezávislému. premenlivý X.

Preto opäť aplikujeme pravidlo pre diferenciáciu komplexnej funkcie:

Stupeň prvého faktora transformujeme na odmocninu a pri diferenciácii druhého faktora nezabudnite, že derivácia konštanty sa rovná nule:

Teraz môžeme nájsť deriváciu stredného argumentu potrebného na výpočet derivácie komplexnej funkcie potrebnej v príkaze problému r:

Príklad 5. Nájdite deriváciu funkcie

Najprv použijeme pravidlo na rozlíšenie súčtu:

Získali sme súčet derivácií dvoch komplexných funkcií. Poďme nájsť prvý:

V tomto prípade je zvýšenie sínusu na mocninu komplexnou funkciou a samotný sínus je prechodným argumentom pre nezávislú premennú X. Preto použijeme pravidlo diferenciácie komplexnej funkcie vyňatie faktora zo zátvoriek :

Teraz nájdeme druhý člen derivácií funkcie r:

Tu je zvýšenie kosínusu na mocninu komplexnou funkciou f a samotný kosínus je prostredný argument v nezávislej premennej X. Použime opäť pravidlo na diferenciáciu komplexnej funkcie:

Výsledkom je požadovaný derivát:

Tabuľka derivácií niektorých komplexných funkcií

Pre komplexné funkcie na základe pravidla diferenciácie komplexnej funkcie má vzorec pre deriváciu jednoduchej funkcie inú formu.

1. Derivácia komplexnej mocninnej funkcie, kde u X
2. Derivácia koreňa výrazu
3. Derivácia exponenciálnej funkcie
4. Špeciálny prípad exponenciálnej funkcie
5. Derivácia logaritmickej funkcie s ľubovoľnou kladnou bázou A
6. Derivácia komplexnej logaritmickej funkcie, kde u– diferencovateľná funkcia argumentu X
7. Derivácia sínusu
8. Derivácia kosínusu
9. Derivácia dotyčnice
10. Derivácia kotangens
11. Derivácia arcsínusu
12. Derivácia oblúkového kosínusu
13. Derivácia arkustangens
14. Derivácia oblúkového kotangens

Ak budete postupovať podľa definície, potom derivácia funkcie v bode je limita pomeru prírastku funkcie Δ r na prírastok argumentu Δ X:

Zdá sa, že všetko je jasné. Ale skúste použiť tento vzorec na výpočet, povedzme, derivácie funkcie f(X) = X 2 + (2X+ 3) · e X hriech X. Ak robíte všetko podľa definície, potom po niekoľkých stránkach výpočtov jednoducho zaspíte. Preto existujú jednoduchšie a efektívnejšie spôsoby.

Na začiatok si všimneme, že z celej škály funkcií môžeme rozlíšiť takzvané elementárne funkcie. Ide o pomerne jednoduché výrazy, ktorých deriváty sú už dávno vypočítané a tabuľkové. Takéto funkcie sú celkom ľahko zapamätateľné - spolu s ich derivátmi.

Deriváty elementárnych funkcií

Všetky základné funkcie sú uvedené nižšie. Deriváty týchto funkcií musia byť známe naspamäť. Navyše nie je vôbec ťažké si ich zapamätať - preto sú elementárne.

Takže deriváty elementárnych funkcií:

názov	Funkcia	Derivát
Neustále	f(X) = C, C ∈ R	0 (áno, nula!)
Mocnina s racionálnym exponentom	f(X) = X n	n · X n − 1
Sinus	f(X) = hriech X	cos X
Kosínus	f(X) = cos X	− hriech X(mínus sinus)
Tangenta	f(X) = tg X	1/cos 2 X
Kotangens	f(X) = ctg X	− 1/sin 2 X
Prirodzený logaritmus	f(X) = log X	1/X
Ľubovoľný logaritmus	f(X) = log a X	1/(X ln a)
Exponenciálna funkcia	f(X) = e X	e X(nič sa nezmenilo)

Ak sa elementárna funkcia vynásobí ľubovoľnou konštantou, potom sa derivácia novej funkcie tiež ľahko vypočíta:

(C · f)’ = C · f ’.

Vo všeobecnosti možno zo znamienka derivácie vyňať konštanty. Napríklad:

(2X 3)' = 2 · ( X 3)“ = 2 3 X 2 = 6X 2 .

Je zrejmé, že elementárne funkcie sa dajú k sebe pridávať, násobiť, deliť – a ešte oveľa viac. Takto sa objavia nové funkcie, už nie zvlášť elementárne, ale aj diferencované podľa určitých pravidiel. Tieto pravidlá sú uvedené nižšie.

Derivácia súčtu a rozdielu

Nech sú dané funkcie f(X) A g(X), ktorých deriváty sú nám známe. Môžete si napríklad vziať základné funkcie diskutované vyššie. Potom môžete nájsť deriváciu súčtu a rozdielu týchto funkcií:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Takže derivácia súčtu (rozdielu) dvoch funkcií sa rovná súčtu (rozdielu) derivácií. Termínov môže byť viac. Napríklad, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Presne povedané, v algebre neexistuje koncept „odčítania“. Existuje pojem „negatívny prvok“. Preto ten rozdiel f − g možno prepísať ako súčet f+ (-1) g, a potom zostane len jeden vzorec - derivácia súčtu.

f(X) = X 2 + hriech x; g(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

Funkcia f(X) je súčet dvoch základných funkcií, teda:

f ’(X) = (X 2 + hriech X)’ = (X 2)“ + (hriech X)’ = 2X+ cos x;

Podobne zvažujeme aj funkciu g(X). Len už existujú tri pojmy (z hľadiska algebry):

g ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

odpoveď:
f ’(X) = 2X+ cos x;
g ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Derivát produktu

Matematika je logická veda, takže veľa ľudí verí, že ak sa derivácia sumy rovná sume derivácií, potom derivácia produktu štrajk">rovná súčinu derivátov. Ale poserte sa! Derivát súčinu sa vypočíta podľa úplne iného vzorca. Konkrétne:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Vzorec je jednoduchý, no často sa naň zabúda. A to nielen školákov, ale aj študentov. Výsledkom sú nesprávne vyriešené problémy.

Úloha. Nájdite deriváty funkcií: f(X) = X 3 cos x; g(X) = (X 2 + 7X− 7) · e X .

Funkcia f(X) je súčinom dvoch základných funkcií, takže všetko je jednoduché:

f ’(X) = (X 3 kos X)’ = (X 3)“ čos X + X 3 (kos X)’ = 3X 2 kos X + X 3 (- hriech X) = X 2 (3 cos X − X hriech X)

Funkcia g(X) prvý multiplikátor je trochu komplikovanejší, ale všeobecná schéma sa nemení. Je zrejmé, že prvý faktor funkcie g(X) je polynóm a jeho derivácia je deriváciou súčtu. Máme:

g ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · e X)’ = (X 2 + 7X− 7)“ · e X + (X 2 + 7X− 7) · ( e X)’ = (2X+ 7) · e X + (X 2 + 7X− 7) · e X = e X· (2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · e X = X(X+ 9) · e X .

odpoveď:
f ’(X) = X 2 (3 cos X − X hriech X);
g ’(X) = X(X+ 9) · e X .

Upozorňujeme, že v poslednom kroku sa derivácia faktorizuje. Formálne to nie je potrebné robiť, ale väčšina derivácií sa nevypočítava sama o sebe, ale kvôli skúmaniu funkcie. To znamená, že derivácia sa bude ďalej rovnať nule, určia sa jej znamienka atď. Pre takýto prípad je lepšie mať výraz faktorizovaný.

Ak existujú dve funkcie f(X) A g(X), a g(X) ≠ 0 na množine, ktorá nás zaujíma, môžeme definovať novú funkciu h(X) = f(X)/g(X). Pre takúto funkciu môžete nájsť aj deriváciu:

Nie slabé, čo? Kde sa vzalo mínus? Prečo? g 2? A takto! Toto je jeden z najkomplexnejších vzorcov - bez fľaše to nezistíte. Preto je lepšie si to naštudovať na konkrétnych príkladoch.

Úloha. Nájdite deriváty funkcií:

Čitateľ a menovateľ každého zlomku obsahuje elementárne funkcie, takže všetko, čo potrebujeme, je vzorec pre deriváciu kvocientu:

Podľa tradície rozložme čitateľa na faktor – tým sa výrazne zjednoduší odpoveď:

Komplexná funkcia nie je nevyhnutne pol kilometra dlhý vzorec. Napríklad stačí zobrať funkciu f(X) = hriech X a nahradiť premennú X povedzme ďalej X 2 + ln X. Vyjde to f(X) = hriech ( X 2 + ln X) - ide o komplexnú funkciu. Má tiež derivát, ale nebude možné ho nájsť pomocou vyššie uvedených pravidiel.

Čo mám robiť? V takýchto prípadoch pomôže nahradenie premennej a vzorca pre deriváciu komplexnej funkcie:

f ’(X) = f ’(t) · t', Ak X sa nahrádza t(X).

Spravidla je situácia s pochopením tohto vzorca ešte smutnejšia ako s deriváciou kvocientu. Preto je tiež lepšie to vysvetliť na konkrétnych príkladoch, s podrobným popisom každého kroku.

Úloha. Nájdite deriváty funkcií: f(X) = e 2X + 3 ; g(X) = hriech ( X 2 + ln X)

Všimnite si, že ak vo funkcii f(X) namiesto výrazu 2 X+ 3 bude ľahké X, potom dostaneme elementárnu funkciu f(X) = e X. Preto urobíme náhradu: nech 2 X + 3 = t, f(X) = f(t) = e t. Hľadáme deriváciu komplexnej funkcie pomocou vzorca:

f ’(X) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

A teraz - pozor! Vykonávame spätnú výmenu: t = 2X+ 3. Dostaneme:

f ’(X) = e t · t ’ = e 2X+ 3 (2 X + 3)’ = e 2X+ 3 2 = 2 e 2X + 3

Teraz sa pozrime na funkciu g(X). Je zrejmé, že ho treba vymeniť X 2 + ln X = t. Máme:

g ’(X) = g ’(t) · t“ = (hriech t)’ · t’ = cos t · t ’

Spätná výmena: t = X 2 + ln X. potom:

g ’(X) = cos ( X 2 + ln X) · ( X 2 + ln X)’ = cos ( X 2 + ln X) · (2 X + 1/X).

To je všetko! Ako vidno z posledného výrazu, celý problém sa zredukoval na výpočet derivačného súčtu.

odpoveď:
f ’(X) = 2 · e 2X + 3 ;
g ’(X) = (2X + 1/X) pretože ( X 2 + ln X).

Veľmi často na svojich hodinách namiesto výrazu „derivát“ používam slovo „hlavný“. Napríklad zdvih súčtu sa rovná súčtu zdvihov. Je to jasnejšie? No to je dobre.

Výpočet derivácie teda vedie k zbaveniu sa tých istých ťahov podľa vyššie uvedených pravidiel. Ako posledný príklad sa vráťme k derivačnej mocnine s racionálnym exponentom:

(X n)’ = n · X n − 1

V úlohe to málokto vie n môže byť aj zlomkové číslo. Napríklad koreň je X 0,5. Čo ak je pod koreňom niečo fantastické? Výsledkom bude opäť zložitá funkcia - takéto konštrukcie radi dávajú v testoch a skúškach.

Úloha. Nájdite deriváciu funkcie:

Najprv prepíšme odmocninu s racionálnym exponentom:

f(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .

Teraz urobíme náhradu: nech X 2 + 8X − 7 = t. Derivát nájdeme pomocou vzorca:

f ’(X) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)“ · t’ = 0,5 · t−0,5 · t ’.

Urobme opačnú výmenu: t = X 2 + 8X− 7. Máme:

f ’(X) = 0,5 · ( X 2 + 8X− 7) −0,5 · ( X 2 + 8X− 7)’ = 0,5 · (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .

Nakoniec späť ku koreňom: