Pomoc na Tele2, tarify, otázky

Dnes, priatelia, nebudú žiadne sople ani sentimentalita. Namiesto toho vás pošlem bez akýchkoľvek otázok do boja s jedným z najobávanejších protivníkov v kurze algebry pre 8.-9. ročník.

Áno, všetko ste pochopili správne: hovoríme o nerovnostiach s modulom. Pozrieme sa na štyri základné techniky, pomocou ktorých sa naučíte riešiť približne 90 % takýchto problémov. A čo zvyšných 10%? No, budeme o nich hovoriť v samostatnej lekcii. :)

Pred analýzou niektorej z techník by som vám však rád pripomenul dva fakty, ktoré už potrebujete vedieť. V opačnom prípade riskujete, že látku dnešnej lekcie vôbec nepochopíte.

Čo už potrebujete vedieť

Zdá sa, že Captain Obviousness naznačuje, že na vyriešenie nerovností pomocou modulu potrebujete vedieť dve veci:

1. Ako sa riešia nerovnosti;
2. Čo je modul?

Začnime druhým bodom.

Definícia modulu

Všetko je tu jednoduché. Existujú dve definície: algebraická a grafická. Na začiatok - algebraické:

Definícia. Modul čísla $x$ je buď samotné číslo, ak nie je záporné, alebo opačné číslo, ak je pôvodné $x$ stále záporné.

Píše sa to takto:

\[\left| x \vpravo|=\vľavo\( \začiatok(zarovnanie) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\koniec (zarovnanie) \vpravo.\]

Jednoducho povedané, modul je „číslo bez mínusu“. A práve v tejto dualite (niekde nemusíte s pôvodným číslom nič robiť, inde však musíte odstrániť nejaké mínus) je pre začínajúcich študentov celý problém.

Existuje aj geometrická definícia. Je tiež užitočné vedieť, ale budeme sa k tomu venovať iba v zložitých a niektorých špeciálnych prípadoch, kde je geometrický prístup vhodnejší ako algebraický (spoiler: dnes nie).

Definícia. Na číselnej osi nech je vyznačený bod $a$. Potom modul $\left| x-a \vpravo|$ je vzdialenosť od bodu $x$ k bodu $a$ na tejto priamke.

Ak nakreslíte obrázok, dostanete niečo takéto:

Definícia grafického modulu

Tak či onak, z definície modulu okamžite vyplýva jeho kľúčová vlastnosť: modul čísla je vždy nezáporná veličina. Tento fakt sa bude ťahať červenou niťou celým naším dnešným rozprávaním.

Riešenie nerovností. Intervalová metóda

Teraz sa pozrime na nerovnosti. Je ich veľmi veľa, ale našou úlohou je teraz vedieť vyriešiť aspoň tie najjednoduchšie z nich. Tie, ktoré redukujú na lineárne nerovnosti, ako aj na intervalovú metódu.

Mám dve veľké lekcie na túto tému (mimochodom, veľmi, VEĽMI užitočné - odporúčam si ich preštudovať):

1. Intervalová metóda pre nerovnosti (najmä sledujte video);
2. Zlomkové racionálne nerovnosti sú veľmi rozsiahlou lekciou, ale po nej už nebudete mať žiadne otázky.

Ak toto všetko viete, ak fráza „prejdime od nerovnosti k rovnici“ vo vás nespôsobí vágnu túžbu udrieť sa o stenu, potom ste pripravení: vitajte v pekle pri hlavnej téme lekcie. :)

1. Nerovnosti tvaru „Modul je menší ako funkcia“

Toto je jeden z najčastejších problémov s modulmi. Je potrebné vyriešiť nerovnosť formulára:

\[\left| f\vpravo| \ltg\]

Funkcie $f$ a $g$ môžu byť čokoľvek, ale zvyčajne sú to polynómy. Príklady takýchto nerovností:

\[\začiatok(zarovnanie) & \left| 2x+3 \vpravo| \lt x+7; \\ & \left| ((x)^(2))+2x-3 \vpravo|+3\vľavo(x+1 \vpravo) \lt 0; \\ & \left| ((x)^(2))-2\left| x \vpravo|-3 \vpravo| \lt 2. \\\end(zarovnať)\]

Všetky je možné vyriešiť doslova v jednom riadku podľa nasledujúcej schémy:

\[\left| f\vpravo| \lt g\Šípka doprava -g \lt f \lt g\quad \left(\Šípka doprava \doľava\( \začiatok(zarovnanie) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\koniec (zarovnanie) \vpravo.\vpravo)\]

Je ľahké vidieť, že sa zbavíme modulu, ale na oplátku dostaneme dvojitú nerovnosť (alebo, čo je to isté, systém dvoch nerovností). Tento prechod však zohľadňuje absolútne všetky možné problémy: ak je číslo pod modulom kladné, metóda funguje; ak je negatívny, stále funguje; a dokonca aj s najnevhodnejšou funkciou namiesto $f$ alebo $g$ bude metóda stále fungovať.

Prirodzene vyvstáva otázka: nemôže to byť jednoduchšie? Bohužiaľ to nie je možné. Toto je celý zmysel modulu.

Dosť však s filozofovaním. Poďme vyriešiť pár problémov:

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

\[\left| 2x+3 \vpravo| \lt x+7\]

Riešenie. Máme teda pred sebou klasickú nerovnosť tvaru „modul je menší“ – ani nie je čo transformovať. Pracujeme podľa algoritmu:

\[\začiatok(zarovnanie) & \left| f\vpravo| \lt g\Šípka doprava -g \lt f \lt g; \\ & \left| 2x+3 \vpravo| \lt x+7\Šípka doprava -\doľava(x+7 \doprava) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\koniec (zarovnanie)\]

Neponáhľajte sa otvárať zátvorky, pred ktorými je „mínus“: je celkom možné, že v dôsledku vášho zhonu urobíte urážlivú chybu.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \začiatok(zarovnanie) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(zarovnanie) \vpravo.\]

\[\left\( \začiatok(zarovnanie) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(zarovnanie) \vpravo.\]

\[\left\( \začiatok(zarovnanie) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(zarovnanie) \vpravo.\]

Problém sa zredukoval na dve elementárne nerovnosti. Všimnime si ich riešenia na rovnobežných číselných radoch:

Priesečník mnohých

Priesečník týchto množín bude odpoveďou.

Odpoveď: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \vpravo|+3\vľavo(x+1 \vpravo) \lt 0\]

Riešenie. Táto úloha je trochu náročnejšia. Najprv izolujme modul posunutím druhého výrazu doprava:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \vpravo| \lt -3\left(x+1 \right)\]

Je zrejmé, že opäť máme nerovnosť tvaru „modul je menší“, takže sa modulu zbavíme pomocou už známeho algoritmu:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

Teraz pozor: niekto povie, že som trochu perverzný so všetkými týmito zátvorkami. Dovoľte mi však ešte raz pripomenúť, že naším kľúčovým cieľom je správne vyriešiť nerovnosť a získať odpoveď. Neskôr, keď dokonale zvládnete všetko, čo je opísané v tejto lekcii, môžete to sami prevrátiť, ako chcete: otvárať zátvorky, pridávať mínusy atď.

Na začiatok sa jednoducho zbavíme dvojitého mínus vľavo:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\left(x+1 \right)\]

Teraz otvorme všetky zátvorky v dvojitej nerovnosti:

Prejdime k dvojitej nerovnosti. Tentoraz budú výpočty serióznejšie:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(zarovnať) \vpravo.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( zarovnať)\vpravo.\]

Obidve nerovnosti sú kvadratické a dajú sa vyriešiť pomocou intervalovej metódy (preto hovorím: ak neviete, čo to je, je lepšie ešte nebrať moduly). Prejdime k rovnici v prvej nerovnosti:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(zarovnať)\]

Ako vidíte, výstupom je neúplná kvadratická rovnica, ktorú je možné vyriešiť elementárnym spôsobom. Teraz sa pozrime na druhú nerovnosť systému. Tam budete musieť použiť Vietovu vetu:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(zarovnať)\]

Výsledné čísla označíme na dvoch rovnobežných čiarach (oddelené pre prvú nerovnosť a oddelené pre druhú):

Opäť, keďže riešime sústavu nerovníc, zaujíma nás priesečník tieňovaných množín: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Toto je odpoveď.

Odpoveď: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Myslím si, že po týchto príkladoch je schéma riešenia veľmi jasná:

1. Izolujte modul presunutím všetkých ostatných členov na opačnú stranu nerovnosti. Tak dostaneme nerovnosť v tvare $\left| f\vpravo| \ltg$.
2. Vyriešte túto nerovnosť odstránením modulu podľa schémy opísanej vyššie. V istom momente bude potrebné prejsť od dvojitej nerovnosti k systému dvoch nezávislých výrazov, z ktorých každý sa už dá riešiť samostatne.
3. Nakoniec zostáva len pretnúť riešenia týchto dvoch nezávislých výrazov – a je to, dostaneme konečnú odpoveď.

Podobný algoritmus existuje pre nerovnosti nasledujúceho typu, keď je modul väčší ako funkcia. Existuje však niekoľko vážnych „ale“. Teraz si povieme niečo o týchto „ale“.

2. Nerovnosti tvaru „Modul je väčší ako funkcia“

Vyzerajú takto:

\[\left| f\vpravo| \gtg\]

Podobné ako predchádzajúce? Zdá sa. A predsa sa takéto problémy riešia úplne iným spôsobom. Formálne je schéma nasledovná:

\[\left| f\vpravo| \gt g\Šípka doprava \doľava[ \začiatok(zarovnanie) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\koniec (zarovnanie) \doprava.\]

Inými slovami, uvažujeme o dvoch prípadoch:

1. Najprv jednoducho ignorujeme modul a vyriešime obvyklú nerovnosť;
2. Potom v podstate rozšírime modul so znamienkom mínus a potom vynásobíme obe strany nerovnosti −1, zatiaľ čo ja mám znamienko.

V tomto prípade sú možnosti kombinované s hranatou zátvorkou, t.j. Máme pred sebou kombináciu dvoch požiadaviek.

Uvedomte si prosím ešte raz: toto nie je systém, ale totalita v odpovedi sa množiny skôr kombinujú než pretínajú. To je zásadný rozdiel oproti predchádzajúcemu bodu!

Vo všeobecnosti je veľa študentov úplne zmätených s odbormi a križovatkami, takže poďme vyriešiť tento problém raz a navždy:

• "∪" je odborový znak. V skutočnosti ide o štylizované písmeno „U“, ktoré k nám prišlo z anglického jazyka a je skratkou pre „Union“, t.j. "Asociácie".
• "∩" je značka križovatky. Toto svinstvo neprišlo odnikiaľ, ale jednoducho sa objavilo ako protipól k „∪“.

Aby ste si to ešte ľahšie zapamätali, nakreslite nohy k týmto znakom a vytvorte okuliare (len ma teraz neobviňujte z propagácie drogovej závislosti a alkoholizmu: ak vážne študujete túto lekciu, potom ste už drogovo závislý):

Rozdiel medzi priesečníkom a zjednotením množín

V preklade do ruštiny to znamená nasledovné: únia (totalita) zahŕňa prvky z oboch množín, preto nie je v žiadnom prípade menšia ako každá z nich; ale priesečník (systém) zahŕňa len tie prvky, ktoré sú súčasne v prvej množine aj v druhej. Preto priesečník množín nie je nikdy väčší ako zdrojové množiny.

Takže to bolo jasnejšie? To je skvelé. Prejdime k praxi.

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

\[\left| 3x+1 \vpravo| \gt 5-4x\]

Riešenie. Postupujeme podľa schémy:

\[\left| 3x+1 \vpravo| \gt 5-4x\Šípka doprava \vľavo[ ​​\začiatok(zarovnanie) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\vľavo(5-4x \vpravo) \\\koniec (zarovnanie) \ správny.\]

Riešime každú nerovnosť v populácii:

\[\left[ \začiatok(zarovnanie) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(zarovnanie) \vpravo.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \začiatok(zarovnanie) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(zarovnanie) \vpravo.\]

Každú výslednú množinu označíme na číselnej osi a potom ich spojíme:

Spojenie množín

Je celkom zrejmé, že odpoveď bude $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Odpoveď: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \vpravo| \gt x\]

Riešenie. dobre? Nič - všetko je rovnaké. Prejdeme od nerovnosti s modulom k množine dvoch nerovností:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \vpravo| \gt x\Šípka doprava \doľava[ \začiatok(zarovnanie) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(zarovnať) \vpravo.\]

Riešime každú nerovnosť. Bohužiaľ, korene tam nebudú veľmi dobré:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(zarovnať)\]

Druhá nerovnosť je tiež trochu divoká:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(zarovnať)\]

Teraz musíte tieto čísla označiť na dvoch osiach - jednu os pre každú nerovnosť. Musíte však označiť body v správnom poradí: čím väčšie číslo, tým viac sa bod posunie doprava.

A tu nás čaká nastavenie. Ak je všetko jasné s číslami $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (výrazy v čitateli prvého zlomky sú menšie ako členy v čitateli druhého , takže súčet je tiež menší, s číslami $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ tiež nebudú žiadne ťažkosti (kladné číslo je samozrejme negatívnejšie), potom s posledným párom nie je všetko také jasné. Čo je väčšie: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ alebo $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Od odpovede na túto otázku bude závisieť umiestnenie bodov na číselných radoch a vlastne aj odpoveď.

Tak porovnajme:

\[\začiatok(matica) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matica)\]

Izolovali sme koreň, dostali nezáporné čísla na oboch stranách nerovnosti, takže máme právo odmocniť obe strany:

\[\začiatok(matica) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matica)\]

Myslím si, že je zbytočné, že $4\sqrt(13) \gt 3$, takže $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2) $, konečné body na osiach budú umiestnené takto:

Prípad škaredých koreňov

Pripomínam, že riešime množinu, takže odpoveďou bude únia, nie priesečník tieňovaných množín.

Odpoveď: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \vpravo)$

Ako vidíte, naša schéma funguje skvele na jednoduché aj veľmi ťažké problémy. Jedinou „slabou stránkou“ tohto prístupu je, že musíte správne porovnávať iracionálne čísla (a verte mi: nie sú to len korene). Ale problematike porovnávania bude venovaná samostatná (a veľmi vážna) lekcia. A ideme ďalej.

3. Nerovnosti s nezápornými „chvostmi“

Teraz sa dostávame k najzaujímavejšej časti. Toto sú tvarové nerovnosti:

\[\left| f\vpravo| \gt\left| g\vpravo|\]

Všeobecne povedané, algoritmus, o ktorom budeme teraz hovoriť, je správny iba pre modul. Funguje pri všetkých nerovnostiach, kde sú vľavo a vpravo zaručené nezáporné výrazy:

Čo robiť s týmito úlohami? Len si pamätaj:

V nerovnostiach s nezápornými „chvostmi“ môžu byť obe strany povýšené na akúkoľvek prirodzenú silu. Nebudú žiadne ďalšie obmedzenia.

V prvom rade nás bude zaujímať kvadratúra - spaľuje moduly a korene:

\[\začiatok(zarovnať) & ((\vľavo(\vľavo| f \vpravo| \vpravo))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\end(zarovnať)\]

Len si to nemýľte s prevzatím odmocniny zo štvorca:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \vpravo|\ne f\]

Keď študent zabudol nainštalovať modul, urobil sa nespočetne veľa chýb! Ale toto je úplne iný príbeh (sú to akoby iracionálne rovnice), takže to teraz nebudeme rozoberať. Poďme lepšie vyriešiť niekoľko problémov:

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

\[\left| x+2 \vpravo|\ge \vľavo| 1-2x \vpravo|\]

Riešenie. Hneď si všimnime dve veci:

1. Toto nie je striktná nerovnosť. Body na číselnej osi budú punktované.
2. Obe strany nerovnosti sú samozrejme nezáporné (toto je vlastnosť modulu: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Preto môžeme odmocniť obe strany nerovnosti, aby sme sa zbavili modulu a vyriešili problém pomocou obvyklej intervalovej metódy:

\[\začiatok(zarovnanie) & ((\vľavo(\vľavo| x+2 \vpravo| \vpravo))^(2))\ge ((\vľavo(\vľavo| 1-2x \vpravo| \vpravo) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\end(zarovnať)\]

V poslednom kroku som trochu podvádzal: zmenil som postupnosť výrazov a využil som rovnomernosť modulu (v skutočnosti som výraz $1-2x$ vynásobil -1).

\[\začiatok(zarovnať) & ((\vľavo(2x-1 \vpravo))^(2))-((\vľavo(x+2 \vpravo))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ vpravo)\vpravo)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Riešime pomocou intervalovej metódy. Prejdime od nerovnosti k rovnici:

\[\začiatok(zarovnanie) & \ľavý(x-3 \vpravo)\ľavý(3x+1 \vpravo)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(zarovnať)\]

Nájdené korene označíme na číselnej osi. Ešte raz: všetky body sú zatienené, pretože pôvodná nerovnosť nie je striktná!

Zbavenie sa znamienka modulu

Dovoľte mi pripomenúť pre tých, ktorí sú obzvlášť tvrdohlaví: berieme znamienka z poslednej nerovnosti, ktorá bola zapísaná pred prechodom na rovnicu. A natrieme požadované oblasti v rovnakej nerovnosti. V našom prípade je to $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

Dobre, teraz je po všetkom. Problém je vyriešený.

Odpoveď: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

\[\left| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \vpravo|\]

Riešenie. Všetko robíme rovnako. Nebudem to komentovať - ​​stačí sa pozrieť na postupnosť akcií.

Štvorec:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le (\left(\left | ((x)^(2))+3x+4 \right| \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ vpravo))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \vpravo)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Intervalová metóda:

\[\začiatok(zarovnanie) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Šípka vpravo x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\šípka doprava D=16-40 \lt 0\šípka doprava \varnothing . \\\end(zarovnať)\]

Na číselnej osi je iba jeden koreň:

Odpoveďou je celý interval

Odpoveď: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Malá poznámka k poslednej úlohe. Ako presne poznamenal jeden z mojich študentov, oba submodulárne výrazy v tejto nerovnosti sú zjavne pozitívne, takže znamienko modulu možno vynechať bez ujmy na zdraví.

Ale toto je úplne iná úroveň myslenia a iný prístup - možno to podmienečne nazvať metódou dôsledkov. O tom - v samostatnej lekcii. Teraz prejdime k poslednej časti dnešnej lekcie a pozrime sa na univerzálny algoritmus, ktorý vždy funguje. Aj keď všetky predchádzajúce prístupy boli bezmocné. :)

4. Spôsob enumerácie možností

Čo ak všetky tieto techniky nepomôžu? Ak sa nerovnosť nedá zredukovať na nezáporné chvosty, ak nie je možné izolovať modul, ak vo všeobecnosti existuje bolesť, smútok, melanchólia?

Potom prichádza na scénu „ťažké delostrelectvo“ celej matematiky – metóda hrubej sily. Vo vzťahu k nerovnostiam s modulom to vyzerá takto:

1. Napíšte všetky submodulárne výrazy a nastavte ich na nulu;
2. Vyriešte výsledné rovnice a označte korene nájdené na jednej číselnej osi;
3. Rovná čiara bude rozdelená do niekoľkých sekcií, v rámci ktorých má každý modul pevný znak, a preto je jednoznačne odhalený;
4. Vyriešte nerovnosť na každom takomto úseku (pre spoľahlivosť môžete samostatne zvážiť hranice koreňov získané v kroku 2). Skombinujte výsledky - toto bude odpoveď. :)

Tak ako? slabý? Jednoducho! Len na dlho. Pozrime sa v praxi:

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

\[\left| x+2 \vpravo| \lt \left| x-1 \vpravo|+x-\frac(3)(2)\]

Riešenie. Toto svinstvo sa nezredukuje na nerovnosti ako $\left| f\vpravo| \lt g$, $\left| f\vpravo| \gt g$ alebo $\left| f\vpravo| \lt \left| g \right|$, takže budeme konať dopredu.

Vypíšeme submodulárne výrazy, prirovnáme ich k nule a nájdeme korene:

\[\začiatok(zarovnanie) & x+2=0\šípka doprava x=-2; \\ & x-1=0\Šípka doprava x=1. \\\end(zarovnať)\]

Celkovo máme dva korene, ktoré rozdeľujú číselnú os na tri časti, v rámci ktorých je každý modul odhalený jedinečne:

Rozdelenie číselného radu nulami submodulárnych funkcií

Pozrime sa na každú časť zvlášť.

1. Nech $x \lt -2$. Potom sú oba submodulárne výrazy záporné a pôvodná nerovnosť sa prepíše takto:

\[\začiatok(zarovnanie) & -\vľavo(x+2 \vpravo) \lt -\vľavo(x-1 \vpravo)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1,5 \\ & x \gt 1,5 \\\end(zarovnať)\]

Máme pomerne jednoduché obmedzenie. Preložme to s počiatočným predpokladom, že $x \lt -2$:

\[\vľavo\( \začiatok(zarovnanie) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\koniec (zarovnanie) \vpravo.\Šípka doprava x\v \varnothing \]

Je zrejmé, že premenná $x$ nemôže byť súčasne menšia ako -2 a väčšia ako 1,5. V tejto oblasti neexistujú žiadne riešenia.

1.1. Uvažujme osobitne o hraničnom prípade: $x=-2$. Dosadíme toto číslo do pôvodnej nerovnosti a skontrolujeme: je to pravda?

\[\začať(zarovnať) & ((\vľavo. \vľavo| x+2 \vpravo| \lt \ľavo| x-1 \vpravo|+x-1,5 \vpravo|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \left| -3\vpravo|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\Šípka doprava \varnothing . \\\end(zarovnať)\]

Je zrejmé, že reťazec výpočtov nás priviedol k nesprávnej nerovnosti. Pôvodná nerovnosť je teda tiež nepravdivá a $x=-2$ nie je zahrnuté v odpovedi.

2. Teraz nech $-2 \lt x \lt 1$. Ľavý modul sa už otvorí s „plus“, ale pravý sa bude stále otvárať s „mínusom“. Máme:

\[\začiatok(zarovnanie) & x+2 \lt -\vľavo(x-1 \vpravo)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt - 2,5 \\\koniec (zarovnanie)\]

Opäť sa stretávame s pôvodnou požiadavkou:

\[\vľavo\( \začiatok(zarovnanie) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\koniec (zarovnanie) \vpravo.\Šípka doprava x\v \varnothing \]

A opäť, množina riešení je prázdna, pretože neexistujú žiadne čísla, ktoré by boli zároveň menšie ako -2,5 a väčšie ako -2.

2.1. A opäť špeciálny prípad: $x=1$. Do pôvodnej nerovnosti dosadíme:

\[\začať(zarovnať) & ((\vľavo. \vľavo| x+2 \vpravo| \lt \vľavo| x-1 \vpravo|+x-1,5 \vpravo|)_(x=1)) \\ & \left| 3\vpravo| \lt \left| 0\vpravo|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Šípka doprava \varnothing . \\\end(zarovnať)\]

Podobne ako v predchádzajúcom „špeciálnom prípade“ číslo $x=1$ jednoznačne nie je zahrnuté v odpovedi.

3. Posledný kus riadku: $x \gt 1$. Tu sú všetky moduly otvorené so znamienkom plus:

\[\začiatok(zarovnanie) & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x \gt 4,5 \\ \koniec (zarovnanie)\ ]

A opäť pretíname nájdenú množinu s pôvodným obmedzením:

\[\vľavo\( \začiatok(zarovnanie) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\koniec (zarovnanie) \vpravo.\Šípka doprava x\v \ľavo(4,5;+\infty \vpravo)\ ]

Konečne! Našli sme interval, ktorý bude odpoveďou.

Odpoveď: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Na záver jedna poznámka, ktorá vás môže zachrániť pred hlúpymi chybami pri riešení skutočných problémov:

Riešenia nerovností s modulmi zvyčajne predstavujú súvislé množiny na číselnej osi – intervaly a segmenty. Izolované body sú oveľa menej bežné. A ešte menej často sa stáva, že hranica riešenia (koniec segmentu) sa zhoduje s hranicou posudzovaného rozsahu.

V dôsledku toho, ak v odpovedi nie sú zahrnuté hranice (rovnaké „špeciálne prípady“), potom oblasti naľavo a napravo od týchto hraníc takmer určite nebudú zahrnuté do odpovede. A naopak: do odpovede vstúpila hranica, čo znamená, že niektoré oblasti okolo nej budú tiež odpoveďami.

Majte to na pamäti pri kontrole vašich riešení.

Ale dnes racionálne nerovnosti nedokážu vyriešiť všetko. Presnejšie, rozhodnúť sa nemôže len každý. Toto dokáže málokto.
Kličko

Táto lekcia bude náročná. Tak ťažké, že do konca sa dostanú len Vyvolení. Preto pred začatím čítania odporúčam odstrániť z obrazoviek ženy, mačky, tehotné deti a....

No tak, je to vlastne jednoduché. Povedzme, že ste zvládli intervalovú metódu (ak ste ju neovládali, odporúčam vrátiť sa a prečítať si ju) a naučili ste sa riešiť nerovnice tvaru $P\left(x \right) \gt 0$, kde $ P\left(x \right)$ je nejaký polynóm alebo súčin polynómov.

Verím, že pre vás nebude ťažké vyriešiť napríklad niečo takéto (mimochodom, skúste to ako rozcvičku):

\[\begin(align) & \left(2((x)^(2))+3x+4 \right)\left(4x+25 \right) \gt 0; \\ & x\left(2((x)^(2))-3x-20 \right)\left(x-1 \right)\ge 0; \\ & \left(8x-((x)^(4)) \right)((\left(x-5 \right))^(6))\le 0. \\ \end(align)\]

Teraz si problém trochu skomplikujeme a uvažujme nielen o polynómoch, ale aj o takzvaných racionálnych zlomkoch tvaru:

kde $P\left(x \right)$ a $Q\left(x \right)$ sú rovnaké polynómy v tvare $((a)_(n))((x)^(n))+( (a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$ alebo súčin takýchto polynómov.

Toto bude racionálna nerovnosť. Základným bodom je prítomnosť premennej $x$ v menovateli. Ide napríklad o racionálne nerovnosti:

\[\begin(align) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\left(3-x \right))^(2))\left(4-((x)^( 2)) \right))\ge 0. \\ \end(align)\]

A to nie je racionálna nerovnosť, ale najbežnejšia nerovnosť, ktorú je možné vyriešiť intervalovou metódou:

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

Pri pohľade do budúcnosti poviem hneď: existujú najmenej dva spôsoby, ako vyriešiť racionálne nerovnosti, ale všetky, tak či onak, prichádzajú k nám už známej metóde intervalov. Preto predtým, ako rozoberieme tieto metódy, spomeňme si na staré fakty, inak nebude mať nový materiál zmysel.

Čo už potrebujete vedieť

Dôležitých faktov nikdy nie je priveľa. Naozaj potrebujeme len štyri.

Skrátené vzorce násobenia

Áno, áno: budú nás prenasledovať počas celého školského učiva matematiky. A aj na univerzite. Týchto vzorcov je pomerne veľa, ale potrebujeme iba tieto:

\[\begin(align) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\vľavo(a-b \vpravo)\vľavo(a+b \vpravo); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b) ^(2)) \vpravo); \\ & ((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^( 2))\vpravo). \\ \end(zarovnať)\]

Venujte pozornosť posledným dvom vzorcom - sú to súčet a rozdiel kociek (a nie kocka súčtu alebo rozdielu!). Ľahko si ich zapamätáte, ak si všimnete, že znak v prvej zátvorke sa zhoduje so znakom v pôvodnom výraze a v druhej je opačný ako znak v pôvodnom výraze.

Lineárne rovnice

Toto sú najjednoduchšie rovnice tvaru $ax+b=0$, kde $a$ a $b$ sú obyčajné čísla a $a\ne 0$. Táto rovnica sa dá vyriešiť jednoducho:

\[\begin(align) & ax+b=0; \\&ax=-b; \\ & x=-\frac(b)(a). \\ \end(zarovnať)\]

Dovoľte mi poznamenať, že máme právo deliť koeficientom $a$, pretože $a\ne 0$. Táto požiadavka je celkom logická, keďže pre $a=0$ dostaneme toto:

Po prvé, v tejto rovnici nie je žiadna premenná $x$. Toto by nás vo všeobecnosti nemalo zmiasť (to sa stáva, povedzme, v geometrii a dosť často), ale stále to už nie je lineárna rovnica.

Po druhé, riešenie tejto rovnice závisí výlučne od koeficientu $b$. Ak $b$ je tiež nula, potom naša rovnica má tvar $0=0$. Táto rovnosť je vždy pravdivá; to znamená, že $x$ je ľubovoľné číslo (zvyčajne sa píše takto: $x\in \mathbb(R)$). Ak sa koeficient $b$ nerovná nule, potom nie je nikdy splnená rovnosť $b=0$, t.j. neexistujú žiadne odpovede (napíšte $x\do \varnothing $ a prečítajte si „sada riešení je prázdna“).

Aby sme sa vyhli všetkým týmto ťažkostiam, jednoducho predpokladáme $a\ne 0$, čo nás v ďalšom uvažovaní vôbec neobmedzuje.

Kvadratické rovnice

Dovoľte mi pripomenúť, že toto sa nazýva kvadratická rovnica:

Tu vľavo je polynóm druhého stupňa a opäť $a\ne 0$ (inak namiesto kvadratickej rovnice dostaneme lineárnu). Nasledujúce rovnice sa riešia pomocou diskriminantu:

1. Ak $D \gt 0$, dostaneme dva rôzne korene;
2. Ak $D=0$, potom koreň bude rovnaký, ale druhej násobnosti (aký druh násobnosti je to a ako to vziať do úvahy - o tom neskôr). Alebo môžeme povedať, že rovnica má dva rovnaké korene;
3. Pre $D \lt 0$ neexistujú vôbec žiadne korene a znamienko polynómu $a((x)^(2))+bx+c$ pre ľubovoľné $x$ sa zhoduje so znamienkom koeficientu $a $. Toto je mimochodom veľmi užitočná skutočnosť, o ktorej z nejakého dôvodu zabúdajú hovoriť na hodinách algebry.

Samotné korene sa vypočítajú pomocou dobre známeho vzorca:

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

Odtiaľ, mimochodom, obmedzenia pre diskriminujúcich. Koniec koncov, druhá odmocnina záporného čísla neexistuje. Mnoho študentov má v hlave strašný neporiadok s koreňmi, preto som špeciálne napísal celú lekciu: čo je koreň v algebre a ako ho vypočítať - vrelo odporúčam prečítať si to. :)

Operácie s racionálnymi zlomkami

Všetko, čo bolo napísané vyššie, už viete, ak ste študovali intervalovú metódu. Ale to, čo teraz rozoberieme, nemá v minulosti obdobu – to je úplne nová skutočnosť.

Definícia. Racionálny zlomok je vyjadrením formy

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\]

kde $P\left(x \right)$ a $Q\left(x \right)$ sú polynómy.

Je zrejmé, že z takéhoto zlomku je ľahké získať nerovnosť – stačí pridať znamienko „väčšie ako“ alebo „menšie ako“ vpravo. A o kúsok ďalej zistíme, že riešenie takýchto problémov je potešením, všetko je veľmi jednoduché.

Problémy začínajú, keď je v jednom výraze niekoľko takýchto zlomkov. Treba ich priviesť k spoločnému menovateľovi – a práve v tejto chvíli vzniká veľké množstvo útočných chýb.

Preto, aby ste úspešne vyriešili racionálne rovnice, musíte pevne pochopiť dve zručnosti:

1. Faktorizácia polynómu $P\left(x \right)$;
2. Vlastne, privedenie zlomkov k spoločnému menovateľovi.

Ako faktorizovať polynóm? Veľmi jednoduché. Majme polynóm tvaru

Prirovnávame to k nule. Získame rovnicu $n$-tého stupňa:

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

Povedzme, že sme vyriešili túto rovnicu a dostali korene $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (neľakajte sa: vo väčšine prípadov to bude nie viac ako dva z týchto koreňov). V tomto prípade môže byť náš pôvodný polynóm prepísaný takto:

\[\začiatok(zarovnanie) & P\vľavo(x \vpravo)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\left(x -((x)_(1)) \right)\cdot \left(x-((x)_(2)) \right)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \right) \end(align)\]

To je všetko! Poznámka: vodiaci koeficient $((a)_(n))$ nikde nezmizol - bude to samostatný násobiteľ pred zátvorkami a v prípade potreby ho možno vložiť do ktorejkoľvek z týchto zátvoriek (cvičenie ukazuje že s $((a)_ (n))\ne \pm 1$ sú medzi koreňmi takmer vždy zlomky).

Úloha. Zjednodušte výraz:

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

Riešenie. Najprv sa pozrime na menovateľov: všetky sú to lineárne binomické jednotky a nie je tu nič, čo by sa malo brať do úvahy. Rozpočítajme teda čitateľa:

\[\začiatok(zarovnať) & ((x)^(2))+x-20=\vľavo(x+5 \vpravo)\vľavo(x-4 \vpravo); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\vľavo(x-\frac(3)(2) \vpravo)\vľavo(x-1 \vpravo)=\vľavo(2x- 3 \vpravo)\doľava(x-1 \vpravo); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\vľavo(x+2 \vpravo)\vľavo(x-\frac(2)(5) \vpravo)=\vľavo(x +2 \vpravo)\vľavo(2-5x \vpravo). \\\end(zarovnať)\]

Upozorňujeme: v druhom polynóme sa vodiaci koeficient „2“ v úplnom súlade s našou schémou prvýkrát objavil pred zátvorkou a potom bol zahrnutý do prvej zátvorky, pretože sa tam objavil zlomok.

To isté sa stalo v treťom polynóme, len tam je poradie členov tiež obrátené. Koeficient „-5“ sa však nakoniec dostal do druhej zátvorky (pamätajte: faktor môžete zadať iba do jednej zátvorky!), čo nás ušetrilo od nepríjemností spojených s zlomkovými koreňmi.

Pokiaľ ide o prvý polynóm, všetko je jednoduché: jeho korene sa hľadajú štandardne cez diskriminant alebo pomocou Vietovej vety.

Vráťme sa k pôvodnému výrazu a prepíšme ho s čitateľmi:

\[\začiatok(matica) \frac(\vľavo(x+5 \vpravo)\vľavo(x-4 \vpravo))(x-4)-\frac(\vľavo(2x-3 \vpravo)\vľavo( x-1 \vpravo))(2x-3)-\frac(\vľavo(x+2 \vpravo)\vľavo(2-5x \vpravo))(x+2)= \\ =\vľavo(x+5 \right)-\left(x-1 \right)-\left(2-5x \right)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \end(matica)\]

Odpoveď: $5x+4$.

Ako vidíte, nič zložité. Trochu matematiky v 7.-8. ročníku a je to. Zmyslom všetkých premien je dostať zo zložitého a desivého výrazu niečo jednoduché a ľahko sa s tým pracuje.

Nie vždy to tak však bude. Teraz sa teda pozrieme na vážnejší problém.

Najprv však poďme zistiť, ako priviesť dva zlomky k spoločnému menovateľovi. Algoritmus je veľmi jednoduchý:

1. Faktor oboch menovateľov;
2. Zvážte prvého menovateľa a pridajte k nemu faktory, ktoré sú prítomné v druhom menovateli, ale nie v prvom. Výsledný produkt bude spoločným menovateľom;
3. Zistite, aké faktory chýbajú každému z pôvodných zlomkov, aby sa menovatele rovnali spoločným.

Tento algoritmus sa vám môže zdať ako text s „veľa písmen“. Pozrime sa preto na všetko na konkrétnom príklade.

Úloha. Zjednodušte výraz:

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \vpravo)\]

Riešenie. Takéto rozsiahle problémy je lepšie riešiť po častiach. Napíšme, čo je v prvej zátvorke:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

Na rozdiel od predchádzajúceho problému tu nie sú menovatele také jednoduché. Zoberme si faktor každého z nich.

Štvorcový trojčlen $((x)^(2))+2x+4$ nemožno faktorizovať, pretože rovnica $((x)^(2))+2x+4=0$ nemá korene (diskriminant je záporný ). Necháme nezmenené.

Druhý menovateľ - kubický polynóm $((x)^(3))-8$ - po dôkladnom preskúmaní je rozdiel kociek a možno ho ľahko rozšíriť pomocou skrátených vzorcov na násobenie:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+4 \vpravo)\]

Nič iné sa nedá faktorizovať, keďže v prvej zátvorke je lineárna binómia a v druhej je nám už známa konštrukcia, ktorá nemá skutočné korene.

Napokon, tretím menovateľom je lineárny binom, ktorý nemožno rozšíriť. Naša rovnica teda bude mať tvar:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \right))-\frac(1)(x-2)\]

Je celkom zrejmé, že spoločný menovateľ bude presne $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ a zredukovať naň všetky zlomky je potrebné vynásobiť prvý zlomok na $\left(x-2 \right)$ a posledný - na $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$. Potom už zostáva len dať podobné:

\[\začiatok(matica) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ vpravo))+\frac(((x)^(2))+8)(\vľavo(x-2 \vpravo)\vľavo(((x)^(2))+2x+4 \vpravo))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x +4 \right))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \right)+\left(((x)^(2))+8 \right)-\left(((x) )^(2))+2x+4 \vpravo))(\vľavo(x-2 \vpravo)\vľavo(((x)^(2))+2x+4 \vpravo))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\vľavo(x-2 \vpravo)\vľavo (((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\ vľavo(((x)^(2))+2x+4 \vpravo)). \\ \end(matica)\]

Pozor na druhý riadok: keď je menovateľ už spoločný, t.j. Namiesto troch samostatných zlomkov sme napísali jeden veľký, zátvorky by ste sa nemali hneď zbavovať. Je lepšie napísať ďalší riadok a poznamenať, že povedzme pred tretím zlomkom bolo mínus - a nikam to nepôjde, ale bude „visieť“ v čitateli pred zátvorkou. To vám ušetrí veľa chýb.

No, v poslednom riadku je užitočné faktorizovať čitateľa. Navyše ide o presný štvorec a opäť nám pomáhajú skrátené vzorce násobenia. Máme:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Teraz sa vysporiadajme s druhou zátvorkou presne rovnakým spôsobom. Tu len napíšem reťazec rovnosti:

\[\begin(matica) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac(((( x)^(2)))(\vľavo(x-2 \vpravo)\vľavo(x+2 \vpravo))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^( 2)))(\vľavo(x-2 \vpravo)\vľavo(x+2 \vpravo))+\frac(2\cdot \ľavo(x+2 \vpravo))(\vľavo(x-2 \vpravo )\cdot \left(x+2 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2) \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right) ). \\ \end(matica)\]

Vráťme sa k pôvodnému problému a pozrime sa na produkt:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]

Odpoveď: \[\frac(1)(x+2)\].

Zmysel tejto úlohy je rovnaký ako tá predchádzajúca: ukázať, ako možno racionálne výrazy zjednodušiť, ak k ich premene pristúpite rozumne.

A keď už toto všetko viete, prejdime k hlavnej téme dnešnej lekcie – riešeniu zlomkových racionálnych nerovností. Navyše po takejto príprave rozlúsknete samotné nerovnosti ako orechy. :)

Hlavný spôsob riešenia racionálnych nerovností

Existujú minimálne dva prístupy k riešeniu racionálnych nerovností. Teraz sa pozrieme na jeden z nich - ten, ktorý je všeobecne akceptovaný v školskom kurze matematiky.

Najprv si však všimnime dôležitý detail. Všetky nerovnosti sú rozdelené do dvoch typov:

1. Prísne: $f\left(x \right) \gt 0$ alebo $f\left(x \right) \lt 0$;
2. Lax: $f\left(x \right)\ge 0$ alebo $f\left(x \right)\le 0$.

Nerovnosti druhého typu možno ľahko zredukovať na prvý, ako aj rovnicu:

Toto malé „doplnenie“ $f\left(x \right)=0$ vedie k takej nepríjemnej veci, akou sú vyplnené body - zoznámili sme sa s nimi v intervalovej metóde. V opačnom prípade neexistujú žiadne rozdiely medzi striktnými a neprísnymi nerovnosťami, takže sa pozrime na univerzálny algoritmus:

1. Zhromaždite všetky nenulové prvky na jednej strane znaku nerovnosti. Napríklad vľavo;
2. Všetky zlomky zredukujte na spoločného menovateľa (ak je takýchto zlomkov niekoľko), prineste podobné. Potom, ak je to možné, vynásobte čitateľa a menovateľa. Tak či onak, dostaneme nerovnosť v tvare $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$, kde „fajfka“ je znak nerovnosti .
3. Čitateľ prirovnáme k nule: $P\left(x \right)=0$. Vyriešime túto rovnicu a získame korene $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... Potom požadujeme že menovateľ nebol rovný nule: $Q\left(x \right)\ne 0$. Samozrejme, v podstate musíme vyriešiť rovnicu $Q\left(x \right)=0$ a dostaneme korene $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*)$ , $x_(3 )^(*)$, ... (v skutočných problémoch sotva budú viac ako tri takéto korene).
4. Všetky tieto korene (s hviezdičkami aj bez nich) označíme na jednej číselnej osi a korene bez hviezd premaľujeme a tie s hviezdičkami prepichneme.
5. Umiestňujeme znamienka „plus“ a „mínus“, vyberieme intervaly, ktoré potrebujeme. Ak má nerovnosť tvar $f\left(x \right) \gt 0$, odpoveďou budú intervaly označené „plus“. Ak $f\left(x \right) \lt 0$, potom sa pozrieme na intervaly s „mínuskami“.

Prax ukazuje, že najväčšie ťažkosti spôsobujú body 2 a 4 - kompetentné transformácie a správne usporiadanie čísel vo vzostupnom poradí. No, pri poslednom kroku buďte mimoriadne opatrní: značky vždy umiestňujeme na základe úplne posledná nerovnosť napísaná pred prechodom na rovnice. Toto je univerzálne pravidlo, zdedené z intervalovej metódy.

Takže existuje schéma. Poďme cvičiť.

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

Riešenie. Máme striktnú nerovnosť v tvare $f\left(x \right) \lt 0$. Je zrejmé, že body 1 a 2 z našej schémy už boli splnené: všetky prvky nerovnosti sú zhromaždené vľavo, nie je potrebné nič priviesť k spoločnému menovateľovi. Preto prejdime rovno k tretiemu bodu.

Čitateľa prirovnáme k nule:

\[\begin(align) & x-3=0; \\ & x=3. \end(align)\]

A menovateľ:

\[\begin(align) & x+7=0; \\ & ((x)^(*))=-7. \\ \end(zarovnať)\]

Tu sa veľa ľudí zasekne, pretože teoreticky musíte napísať $x+7\ne 0$, ako to vyžaduje ODZ (nemôžete deliť nulou, to je všetko). Ale v budúcnosti budeme vypichovať body, ktoré pochádzajú z menovateľa, takže nie je potrebné znova komplikovať výpočty - napíšte všade rovnaké znamienko a nemusíte sa obávať. Nikto vám za to nebude strhávať body. :)

Štvrtý bod. Výsledné korene označíme na číselnej osi:

Všetky body sú vyznačené, pretože nerovnosť je prísna

Poznámka: všetky body sú vyznačené, pretože pôvodná nerovnosť je prísna. A tu nezáleží na tom, či tieto body pochádzajú z čitateľa alebo menovateľa.

Nuž, pozrime sa na znamenia. Zoberme si ľubovoľné číslo $((x)_(0)) \gt 3$. Napríklad $((x)_(0))=100$ (ale s rovnakým úspechom by ste mohli vziať $((x)_(0))=3,1$ alebo $((x)_(0)) = 1\ 000\ 000 $). Dostaneme:

Takže napravo od všetkých koreňov máme pozitívny región. A pri prechode cez každý koreň sa znamienko mení (nebude to tak vždy, ale o tom neskôr). Preto prejdime k piatemu bodu: usporiadajte značky a vyberte ten, ktorý potrebujete:

Vráťme sa k poslednej nerovnosti, ktorá bola pred riešením rovníc. V skutočnosti sa zhoduje s pôvodným, pretože sme v tejto úlohe nevykonali žiadne transformácie.

Keďže potrebujeme vyriešiť nerovnosť v tvare $f\left(x \right) \lt 0$, vytieňoval som interval $x\in \left(-7;3 \right)$ - ako jediný je označený so znamienkom mínus. Toto je odpoveď.

Odpoveď: $x\in \left(-7;3 \right)$

To je všetko! Je to zložité? Nie, nie je to ťažké. Pravda, úloha bola ľahká. Teraz trochu skomplikujme misiu a zvážme „sofistikovanejšiu“ nerovnosť. Pri jeho riešení už nebudem dávať také podrobné výpočty - len načrtnem kľúčové body. Vo všeobecnosti ho naformátujeme tak, ako by sme ho formátovali počas samostatnej práce alebo skúšky. :)

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

\[\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0\]

Riešenie. Toto je neprísna nerovnosť tvaru $f\left(x \right)\ge 0$. Všetky nenulové prvky sú zhromaždené vľavo, neexistujú žiadne iné menovateľy. Prejdime k rovniciam.

Čitateľ:

\[\začiatok(zarovnanie) & \ľavý(7x+1 \vpravo)\ľavý(11x+2 \vpravo)=0 \\ & 7x+1=0\šípka doprava ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\šípka doprava ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \end(zarovnať)\]

Menovateľ:

\[\začiatok(zarovnanie) & 13x-4=0; \\ & 13x=4; \\ & ((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \end(zarovnať)\]

Neviem, aký druh perverza spôsobil tento problém, ale korene nedopadli veľmi dobre: ​​bolo by ťažké ich umiestniť na číselnú os. A ak s odmocninou $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ je všetko viac-menej jasné (toto je jediné kladné číslo - bude vpravo), potom $ ((x)_(1))=-(1)/(7)\;$ a $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$ vyžadujú ďalší výskum: ktorý je väčší?

Môžete to zistiť napríklad takto:

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2) ))\]

Dúfam, že nie je potrebné vysvetľovať, prečo číselný zlomok $-(2)/(14)\; \gt -(2)/(11)\;$? V prípade potreby odporúčam zapamätať si, ako vykonávať operácie so zlomkami.

A označíme všetky tri korene na číselnej osi:

Bodky z čitateľa sú vyplnené, bodky z menovateľa sú prepichnuté

Umiestňujeme značky. Môžete napríklad vziať $((x)_(0))=1$ a zistiť znamenie v tomto bode:

\[\začiatok(zarovnanie) & f\vľavo(x \vpravo)=\frac(\vľavo(7x+1 \vpravo)\vľavo(11x+2 \vpravo))(13x-4); \\ & f\left(1 \right)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\\end(align)\]

Posledná nerovnica pred rovnicami bola $f\left(x \right)\ge 0$, takže nás zaujíma znamienko plus.

Máme dve sady: jedna je obyčajný segment a druhá je otvorený lúč na číselnej osi.

Odpoveď: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$

Dôležitá poznámka o číslach, ktoré nahrádzame, aby sme zistili znamienko na intervale úplne vpravo. Absolútne nie je potrebné nahradiť číslo najbližšie k pravému koreňu. Môžete si vziať miliardy alebo dokonca „plus-nekonečno“ - v tomto prípade je znamienko polynómu v zátvorke, čitateli alebo menovateli určené výlučne znamienkom vedúceho koeficientu.

Pozrime sa ešte raz na funkciu $f\left(x \right)$ od poslednej nerovnosti:

Jeho zápis obsahuje tri polynómy:

\[\začiatok(zarovnanie) & ((P)_(1))\vľavo(x \vpravo)=7x+1; \\ & ((P)_(2))\left(x \right)=11x+2; \\ & Q\left(x \right)=13x-4. \end(align)\]

Všetky sú lineárne binomy a všetky ich vodiace koeficienty (čísla 7, 11 a 13) sú kladné. Preto pri dosadzovaní veľmi veľkých čísel budú kladné aj samotné polynómy. :)

Toto pravidlo sa môže zdať príliš komplikované, ale iba na začiatku, keď analyzujeme veľmi ľahké problémy. Pri vážnych nerovnostiach nám nahradenie „plus-nekonečno“ umožní zistiť znamienka oveľa rýchlejšie ako štandardné $((x)_(0))=100$.

Veľmi skoro budeme čeliť takýmto výzvam. Najprv sa však pozrime na alternatívny spôsob riešenia zlomkových racionálnych nerovností.

Alternatívny spôsob

Túto techniku ​​mi navrhol jeden z mojich študentov. Sám som to nikdy nepoužil, ale prax ukázala, že mnohým študentom naozaj vyhovuje riešiť nerovnosti týmto spôsobom.

Takže počiatočné údaje sú rovnaké. Musíme vyriešiť zlomkovú racionálnu nerovnosť:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\]

Zamyslime sa: prečo je polynóm $Q\left(x \right)$ “horší” ako polynóm $P\left(x \right)$? Prečo musíme uvažovať o samostatných skupinách koreňov (s hviezdičkou a bez nej), premýšľať o prepichnutých bodoch atď.? Je to jednoduché: zlomok má doménu definície, podľa ktorej zlomok dáva zmysel iba vtedy, keď je jeho menovateľ iný ako nula.

Inak rozdiely medzi čitateľom a menovateľom nie sú: tiež ho prirovnáme k nule, hľadáme korene, potom ich označíme na číselnej osi. Prečo teda nenahradiť zlomkovú čiaru (v skutočnosti znamienko delenia) obyčajným násobením a nezapísať všetky požiadavky ODZ vo forme samostatnej nerovnosti? Napríklad takto:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & P\left(x \right)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Poznámka: tento prístup zredukuje problém na intervalovú metódu, ale vôbec neskomplikuje riešenie. Veď aj tak budeme polynóm $Q\left(x \right)$ rovnať nule.

Pozrime sa, ako to funguje na skutočných problémoch.

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

Riešenie. Prejdime teda k intervalovej metóde:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\šípka doprava \vľavo\( \začiatok(zarovnanie) & \ľavá(x+8 \vpravo)\vľavo(x-11 \vpravo) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(zarovnať) \vpravo.\]

Prvá nerovnosť sa dá vyriešiť elementárnym spôsobom. Jednoducho prirovnáme každú zátvorku k nule:

\[\začiatok(zarovnanie) & x+8=0\šípka doprava ((x)_(1))=-8; \\ & x-11=0\šípka doprava ((x)_(2))=11. \\ \end(zarovnať)\]

Druhá nerovnosť je tiež jednoduchá:

Označte body $((x)_(1))$ a $((x)_(2))$ na číselnej osi. Všetky sú vyradené, pretože nerovnosť je prísna:

Správny bod bol vyrazený dvakrát. Toto je fajn.

Venujte pozornosť bodu $x=11$. Ukazuje sa, že je „dvojitá punkcia“: na jednej strane ho vyčnievame kvôli závažnosti nerovnosti, na druhej strane kvôli dodatočnej požiadavke DL.

V každom prípade to bude len prepichnutý bod. Preto usporiadame znamienka pre nerovnosť $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ - posledné, ktoré sme videli predtým, než sme začali riešiť rovnice:

Nás zaujímajú pozitívne oblasti, keďže riešime nerovnosť v tvare $f\left(x \right) \gt 0$ - tie vytieňujeme. Zostáva už len zapísať odpoveď.

Odpoveď. $x\v \ľavo(-\infty ;-8 \vpravo)\veľký pohár \ľavý(11;+\infty \vpravo)$

Na príklade tohto riešenia by som vás chcel varovať pred častou chybou začínajúcich študentov. Totiž: nikdy neotvárajte zátvorky v nerovnostiach! Naopak, snažte sa všetko zohľadniť - zjednodušíte tým riešenie a ušetríte veľa problémov.

Teraz skúsme niečo zložitejšie.

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

\[\frac(\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right))(15x+33)\le 0\]

Riešenie. Toto je nestriktná nerovnosť tvaru $f\left(x \right)\le 0$, takže tu musíte venovať veľkú pozornosť tieňovaným bodom.

Prejdime k intervalovej metóde:

\[\vľavo\( \začiatok(zarovnať) & \vľavo(2x-13 \vpravo)\vľavo(12x-9 \vpravo)\vľavo(15x+33 \vpravo)\le 0, \\ & 15x+33\ nie 0. \\ \end(zarovnať) \vpravo.\]

Poďme k rovnici:

\[\začiatok(zarovnanie) & \vľavo(2x-13 \vpravo)\vľavo(12x-9 \vpravo)\vľavo(15x+33 \vpravo)=0 \\ & 2x-13=0\šípka vpravo ((x )_(1))=6,5; \\ & 12x-9=0\šípka doprava ((x)_(2))=0,75; \\ & 15x+33=0\Šípka doprava ((x)_(3))=-2,2. \\ \end(zarovnať)\]

Berieme do úvahy dodatočnú požiadavku:

Všetky výsledné korene označíme na číselnej osi:

Ak je bod prepichnutý aj vyplnený, považuje sa za prepichnutý

Opäť sa dva body „prekrývajú“ - to je normálne, vždy to tak bude. Dôležité je len pochopiť, že bod označený ako prepichnutý aj prefarbený je v skutočnosti prepichnutý bod. Tie. „pichanie“ je silnejšia akcia ako „maľovanie“.

Je to úplne logické, pretože štipnutím označujeme body, ktoré ovplyvňujú znamienko funkcie, ale samy sa na odpovedi nezúčastňujú. A ak nám v určitom momente už číslo nevyhovuje (napr. nespadá do ODZ), odškrtávame ho z úvahy až do úplného konca úlohy.

Vo všeobecnosti prestaňte filozofovať. Umiestňujeme značky a maľujeme cez tie intervaly, ktoré sú označené znamienkom mínus:

Odpoveď. $x\in \left(-\infty ;-2,2 \right)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \right]$.

A opäť som chcel upriamiť vašu pozornosť na túto rovnicu:

\[\vľavo(2x-13 \vpravo)\vľavo(12x-9 \vpravo)\vľavo(15x+33 \vpravo)=0\]

Ešte raz: nikdy neotvárajte zátvorky v takýchto rovniciach! Všetko si len sťažíte. Pamätajte: súčin sa rovná nule, keď sa aspoň jeden z faktorov rovná nule. Následne sa táto rovnica jednoducho „rozpadne“ na niekoľko menších, ktoré sme vyriešili v predchádzajúcom probléme.

Berúc do úvahy množstvo koreňov

Z predchádzajúcich problémov je dobre vidieť, že práve neprísne nerovnosti sú najťažšie, pretože v nich musíte sledovať vytieňované body.

Ale na svete je ešte väčšie zlo – to sú viaceré korene v nerovnostiach. Tu už nemusíte sledovať niektoré tieňované body - tu sa znamienko nerovnosti nemusí náhle zmeniť pri prechode cez tie isté body.

O ničom takom sme v tejto lekcii ešte neuvažovali (hoci s podobným problémom sme sa často stretávali aj pri intervalovej metóde). Preto uvádzame novú definíciu:

Definícia. Koreň rovnice $((\left(x-a \right))^(n))=0$ sa rovná $x=a$ a nazýva sa koreň $n$-tej násobnosti.

V skutočnosti nás presná hodnota multiplicity nijako zvlášť nezaujíma. Jediné, na čom záleží, je, či je toto isté číslo $n$ párne alebo nepárne. Pretože:

1. Ak $x=a$ je odmocnina párnej násobnosti, potom sa znamienko funkcie pri prechode cez ňu nemení;
2. A naopak, ak $x=a$ je koreň nepárnej násobnosti, potom sa znamienko funkcie zmení.

Všetky predchádzajúce problémy diskutované v tejto lekcii sú špeciálnym prípadom koreňa nepárnej násobnosti: všade sa násobnosť rovná jednej.

A ďalej. Skôr ako začneme riešiť problémy, rád by som upriamil vašu pozornosť na jednu jemnosť, ktorá sa skúsenému študentovi zdá zrejmá, no mnohých začiatočníkov privádza do strnulosti. menovite:

Koreň násobnosti $n$ vzniká iba v prípade, keď je celý výraz umocnený na túto mocninu: $((\left(x-a \right))^(n))$, a nie $\left(((x) ^( n))-a \vpravo)$.

Ešte raz: zátvorka $((\left(x-a \right))^(n))$ nám dáva koreň $x=a$ násobnosti $n$, ale zátvorka $\left(((x)^( n)) -a \right)$ alebo, ako sa často stáva, $(a-((x)^(n)))$ nám dáva koreň (alebo dva korene, ak je $n$ párne) prvej násobnosti , bez ohľadu na to, čo sa rovná $n$.

Porovnaj:

\[((\vľavo(x-3 \vpravo))^(5))=0\šípka doprava x=3\vľavo(5k \vpravo)\]

Tu je všetko jasné: celá konzola bola zvýšená na piatu mocninu, takže výstup, ktorý sme dostali, bol koreň piatej mocniny. A teraz:

\[\vľavo(((x)^(2))-4 \vpravo)=0\Šípka doprava ((x)^(2))=4\Šípka doprava x=\pm 2\]

Máme dva korene, ale oba majú prvú multiplicitu. Alebo tu je ďalší:

\[\vľavo(((x)^(10))-1024 \right)=0\šípka vpravo ((x)^(10))=1024\šípka vpravo x=\pm 2\]

A desiaty stupeň nech vás netrápi. Hlavná vec je, že 10 je párne číslo, takže na výstupe máme dva korene a oba majú opäť prvý násobok.

Vo všeobecnosti buďte opatrní: k multiplicite dochádza iba vtedy stupeň sa vzťahuje na celú zátvorku, nielen na premennú.

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

\[\frac(((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right))(((\left(x+7) \right))^(5)))\ge 0\]

Riešenie. Skúsme to vyriešiť alternatívnym spôsobom - prechodom z kvocientu na súčin:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0. \\ \end(align )\správny.\]

Poďme sa vysporiadať s prvou nerovnosťou pomocou intervalovej metódy:

\[\začiatok(zarovnanie) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left( x+7 \vpravo))^(5))=0; \\ & ((x)^(2))=0\šípka doprava x=0\vľavo(2k \vpravo); \\ & ((\vľavo(6-x \vpravo))^(3))=0\šípka vpravo x=6\vľavo(3k \vpravo); \\ & x+4=0\Šípka doprava x=-4; \\ & ((\vľavo(x+7 \vpravo))^(5))=0\šípka vpravo x=-7\vľavo(5k \vpravo). \\ \end(zarovnať)\]

Dodatočne riešime druhú nerovnosť. V skutočnosti sme to už vyriešili, ale aby recenzenti na riešení nenašli chybu, je lepšie to vyriešiť znova:

\[((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0\Rightarrow x\ne -7\]

Poznámka: v poslednej nerovnosti nie sú žiadne násobky. V skutočnosti: aký je rozdiel v tom, koľkokrát prečiarknete bod $x=-7$ na číselnej osi? Aspoň raz, aspoň päťkrát bude výsledok rovnaký: prepichnutý bod.

Označme všetko, čo sme dostali na číselnú os:

Ako som povedal, bod $x=-7$ bude nakoniec prepichnutý. Násobnosti sú usporiadané na základe riešenia nerovnice pomocou intervalovej metódy.

Zostáva len umiestniť značky:

Keďže bod $x=0$ je odmocninou párnej násobnosti, znamienko sa pri prechode cez neho nemení. Zvyšné body majú nepárny násobok a všetko je s nimi jednoduché.

Odpoveď. $x\v \ľavo(-\infty ;-7 \vpravo)\veľký pohár \ľavý[ -4;6 \vpravo]$

Ešte raz, venujte pozornosť $x=0$. Vďaka rovnomernej mnohosti vzniká zaujímavý efekt: všetko vľavo od neho je prelakované, všetko vpravo je tiež premaľované a samotný bod je úplne prelakovaný.

Vďaka tomu nemusí byť pri zaznamenávaní odpovede izolovaný. Tie. nie je potrebné písať niečo ako $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ (aj keď formálne by takáto odpoveď bola tiež správna). Namiesto toho okamžite napíšeme $x\in \left[ -4;6 \right]$.

Takéto účinky sú možné len s koreňmi rovnomernej násobnosti. A v ďalšom probléme sa stretneme s opačným „prejavom“ tohto efektu. pripravený?

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

\[\frac(((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right))(((\left(x-1 \right))^(2)) \left(7x-10-((x)^(2)) \right))\ge 0\]

Riešenie. Tentokrát budeme postupovať podľa štandardnej schémy. Čitateľa prirovnáme k nule:

\[\začiatok(zarovnať) & ((\vľavo(x-3 \vpravo))^(4))\vľavo(x-4 \vpravo)=0; \\ & ((\left(x-3 \right))^(4))=0\Rightarrow ((x)_(1))=3\left(4k \right); \\ & x-4=0\Šípka doprava ((x)_(2))=4. \\ \end(zarovnať)\]

A menovateľ:

\[\začiatok(zarovnať) & ((\vľavo(x-1 \vpravo))^(2))\vľavo(7x-10-((x)^(2)) \vpravo)=0; \\ & ((\vľavo(x-1 \vpravo))^(2))=0\šípka vpravo x_(1)^(*)=1\vľavo(2k \vpravo); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\šípka doprava x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \end(zarovnať)\]

Keďže riešime nestriktnú nerovnosť v tvare $f\left(x \right)\ge 0$, korene z menovateľa (ktoré majú hviezdičky) sa vyberú a tie z čitateľa budú tieňované.

Umiestňujeme značky a tieňujeme oblasti označené „plus“:

Bod $x=3$ je izolovaný. Toto je časť odpovede

Pred napísaním konečnej odpovede sa pozrime bližšie na obrázok:

1. Bod $x=1$ má párnu násobnosť, ale sám je prepichnutý. V dôsledku toho bude musieť byť v odpovedi izolovaná: musíte napísať $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, a nie $x\in \left(-\ infty ;2 \right)$.
2. Bod $x=3$ má tiež párnu násobnosť a je tieňovaný. Usporiadanie značiek naznačuje, že samotný bod nám vyhovuje, ale krok doľava alebo doprava – a ocitáme sa v oblasti, ktorá nám rozhodne nevyhovuje. Takéto body sa nazývajú izolované a zapisujú sa v tvare $x\in \left\( 3 \right\)$.

Všetky prijaté kúsky spojíme do spoločnej sady a zapíšeme odpoveď.

Odpoveď: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;5 \right) $

Definícia. Riešenie nerovnosti znamená nájsť množinu všetkých jeho riešení alebo dokážte, že táto množina je prázdna.

Zdalo by sa: čo tu môže byť nepochopiteľné? Áno, faktom je, že množiny možno definovať rôznymi spôsobmi. Napíšme si ešte raz odpoveď na posledný problém:

Doslova čítame, čo je napísané. Premenná „x“ patrí do určitej množiny, ktorá sa získa spojením (znak „U“) štyroch samostatných množín:

• Interval $\left(-\infty ;1 \right)$, čo doslovne znamená „všetky čísla menšie ako jedna, ale nie samotná jednotka“;
• Interval $\left(1;2 \right)$, t.j. „všetky čísla v rozsahu od 1 do 2, ale nie samotné čísla 1 a 2“;
• Množina $\left\( 3 \right\)$, pozostávajúca z jedného jediného čísla - tri;
• Interval $\left[ 4;5 \right)$ obsahujúci všetky čísla v rozsahu od 4 do 5, ako aj samotné štyri, ale nie päť.

Tu je zaujímavý tretí bod. Na rozdiel od intervalov, ktoré definujú nekonečné množiny čísel a označujú len hranice týchto množín, množina $\left\( 3 \right\)$ špecifikuje striktne jedno číslo pomocou enumerácie.

Aby sme pochopili, že uvádzame konkrétne čísla zahrnuté v súprave (a neurčujeme hranice ani nič iné), používajú sa zložené zátvorky. Napríklad zápis $\left\( 1;2 \right\)$ znamená presne „množinu pozostávajúcu z dvoch čísel: 1 a 2“, ale nie segment od 1 do 2. Za žiadnych okolností si tieto pojmy nezamieňajte .

Pravidlo pre sčítanie násobkov

No a na záver dnešnej lekcie malá plechovka od Pavla Berdova. :)

Pozorných študentov už zrejme napadlo: čo sa stane, ak budú mať čitateľ a menovateľ rovnaké korene? Funguje teda nasledujúce pravidlo:

Pridajú sa násobky rovnakých koreňov. Vždy. Aj keď sa tento koreň vyskytuje v čitateli aj v menovateli.

Niekedy je lepšie rozhodnúť sa ako rozprávať. Preto riešime nasledujúci problém:

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+ 9x+14 \vpravo))\ge 0\]

\[\begin(align) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \end(zarovnať)\]

Zatiaľ nič zvláštne. Menovateľa prirovnáme k nule:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+9x+14 \right)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\šípka doprava x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\šípka doprava x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \end(zarovnať)\]

Boli objavené dva identické korene: $((x)_(1))=-2$ a $x_(4)^(*)=-2$. Obaja majú prvú násobnosť. Preto ich nahradíme jedným koreňom $x_(4)^(*)=-2$, ale s násobnosťou 1+1=2.

Okrem toho existujú aj identické korene: $((x)_(2))=-4$ a $x_(2)^(*)=-4$. Sú tiež prvej násobnosti, takže zostane len $x_(2)^(*)=-4$ z násobnosti 1+1=2.

Poznámka: v oboch prípadoch sme ponechali presne „prepichnutý“ koreň a vylúčili sme z úvahy „namaľovaný“. Pretože na začiatku hodiny sme sa zhodli: ak je bod prepichnutý aj prelakovaný, tak ho stále považujeme za prepichnutý.

V dôsledku toho máme štyri korene a všetky boli vyrezané:

\[\begin(align) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\left(2k \right); \\ & x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\vľavo(2k \vpravo). \\ \end(zarovnať)\]

Označujeme ich na číselnej osi, berúc do úvahy násobnosť:

Umiestňujeme značky a farby na oblasti, ktoré nás zaujímajú:

Všetky. Žiadne izolované body alebo iné zvrátenosti. Odpoveď si môžete zapísať.

Odpoveď. $x\v \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.

Pravidlo pre násobenie

Niekedy nastane ešte nepríjemnejšia situácia: rovnica, ktorá má viacero koreňov, je sama povýšená na nejakú moc. V tomto prípade sa menia násobnosti všetkých pôvodných koreňov.

Toto je zriedkavé, takže väčšina študentov nemá skúsenosti s riešením takýchto problémov. A tu platí pravidlo:

Keď sa rovnica zvýši na $n$ mocninu, násobky všetkých jej koreňov sa tiež zvýšia $n$ krát.

Inými slovami, zvýšenie na mocninu vedie k vynásobeniu násobkov rovnakou mocninou. Pozrime sa na toto pravidlo na príklade:

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

\[\frac(x((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))((\left(x-4 \right))^(5)) )(((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2)))\le 0\]

Riešenie. Čitateľa prirovnáme k nule:

Súčin je nula, keď je aspoň jeden z faktorov nulový. S prvým faktorom je všetko jasné: $x=0$. Ale potom začnú problémy:

\[\begin(align) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))=0; \\ & ((x)^(2))-6x+9=0\left(2k \right); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\vľavo (2k \vpravo)\vľavo (2k \vpravo) \ \& ((x)_(2))=3\vľavo (4k \vpravo) \\ \end(zarovnať)\]

Ako vidíme, rovnica $((x)^(2))-6x+9=0$ má jeden koreň druhej násobnosti: $x=3$. Celá táto rovnica sa potom umocní na druhú. Preto násobnosť koreňa bude $2\cdot 2=4$, čo sme si nakoniec zapísali.

\[((\vľavo(x-4 \vpravo))^(5))=0\šípka vpravo x=4\vľavo(5k \vpravo)\]

Problémy nie sú ani s menovateľom:

\[\začiatok(zarovnať) & ((\vľavo(2-x \vpravo))^(3))((\vľavo(x-1 \vpravo))^(2))=0; \\ & ((\vľavo(2-x \vpravo))^(3))=0\šípka vpravo x_(1)^(*)=2\vľavo(3k \vpravo); \\ & ((\vľavo(x-1 \vpravo))^(2))=0\šípka vpravo x_(2)^(*)=1\vľavo(2k \vpravo). \\ \end(zarovnať)\]

Celkovo sme dostali päť bodiek: dve prepichnuté a tri maľované. V čitateli a menovateli nie sú žiadne zhodné korene, takže ich jednoducho označíme na číselnej osi:

Značky usporiadame s prihliadnutím na násobnosti a namaľujeme intervaly, ktoré nás zaujímajú:

Opäť jeden izolovaný bod a jeden prepichnutý

Kvôli koreňom rovnomernej mnohosti sme opäť dostali pár „neštandardných“ prvkov. Toto je $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, a nie $x\in \left[ 0;2 \right)$, a tiež izolovaný bod $ x\v \vľavo\( 3 \vpravo\)$.

Odpoveď. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$

Ako vidíte, všetko nie je také zložité. Hlavná vec je pozornosť. Posledná časť tejto lekcie je venovaná transformáciám – tým istým, o ktorých sme hovorili na samom začiatku.

Predkonverzie

Nerovnosti, ktoré budeme v tejto časti skúmať, nemožno nazvať komplexnými. Na rozdiel od predchádzajúcich úloh tu však budete musieť uplatniť zručnosti z teórie racionálnych zlomkov – faktorizácie a redukcie na spoločného menovateľa.

Túto otázku sme podrobne rozobrali na samom začiatku dnešnej lekcie. Ak si nie ste istý, či rozumiete, o čom hovorím, vrelo odporúčam vrátiť sa a zopakovať si to. Pretože nemá zmysel napchávať sa metódami na riešenie nerovností, ak „plávate“ v prevode zlomkov.

Mimochodom, v domácich úlohách bude tiež veľa podobných úloh. Sú umiestnené v samostatnej podsekcii. A tam nájdete veľmi netriviálne príklady. Ale toto bude v domácej úlohe a teraz sa pozrime na pár takýchto nerovností.

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

Riešenie. Presuňte všetko doľava:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

Zredukujeme na spoločného menovateľa, otvoríme zátvorky a v čitateli uvedieme podobné výrazy:

\[\začiatok(zarovnanie) & \frac(x\cbodka x)(\vľavo(x-1 \vpravo)\cbodka x)-\frac(\vľavo(x-2 \vpravo)\vľavo(x-1 \ right))(x\cdot \left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \right))(x\left(x-1 \right)) \le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\vľavo(x-1 \vpravo))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\vľavo (x-1 \vpravo))\le 0. \\\end(zarovnať)\]

Teraz máme pred sebou klasickú zlomkovo-racionálnu nerovnosť, ktorej riešenie už nie je zložité. Navrhujem to vyriešiť alternatívnou metódou - metódou intervalov:

\[\začiatok(zarovnanie) & \ľavý(3x-2 \vpravo)\cbodka x\cbodka \ľavý(x-1 \vpravo)=0; \\ & ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \end(zarovnať)\]

Nezabudnite na obmedzenie, ktoré pochádza z menovateľa:

Označujeme všetky čísla a obmedzenia na číselnej osi:

Všetky korene majú prvú multiplicitu. Žiaden problém. Jednoducho umiestnime značky a namaľujeme oblasti, ktoré potrebujeme:

To je všetko. Odpoveď si môžete zapísať.

Odpoveď. $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \right)$.

Samozrejme, toto bol veľmi jednoduchý príklad. Takže teraz sa pozrime na problém vážnejšie. A mimochodom, úroveň tejto úlohy celkom zodpovedá samostatnej a testovacej práci na túto tému v 8. ročníku.

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

Riešenie. Presuňte všetko doľava:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

Predtým, ako privedieme oba zlomky k spoločnému menovateľovi, rozložme ich na faktoring. Čo ak vyjdú rovnaké zátvorky? S prvým menovateľom je to jednoduché:

\[((x)^(2))+8x-9=\vľavo(x-1 \vpravo)\vľavo(x+9 \vpravo)\]

Druhý je trochu náročnejší. Neváhajte pridať konštantný faktor do zátvorky, kde sa objaví zlomok. Pamätajte: pôvodný polynóm mal celočíselné koeficienty, takže je veľká šanca, že faktorizácia bude mať celočíselné koeficienty (v skutočnosti bude mať vždy, pokiaľ diskriminant nie je iracionálny).

\[\začiatok(zarovnanie) & 3((x)^(2))-5x+2=3\vľavo(x-1 \vpravo)\vľavo(x-\frac(2)(3) \vpravo)= \\ & =\left(x-1 \right)\left(3x-2 \right) \end(zarovnať)\]

Ako vidíte, existuje spoločná zátvorka: $\left(x-1 \right)$. Vrátime sa k nerovnosti a oba zlomky privedieme k spoločnému menovateľovi:

\[\začiatok(zarovnanie) & \frac(1)(\vľavo(x-1 \vpravo)\vľavo(x+9 \vpravo))-\frac(1)(\vľavo(x-1 \vpravo)\ left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right )\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\vľavo(x-1 \vpravo)\vľavo(x+9 \vpravo)\vľavo(3x-2 \vpravo))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ \end(zarovnať)\]

Menovateľa prirovnáme k nule:

\[\začiatok(zarovnanie) & \vľavo(x-1 \vpravo)\vľavo(x+9 \vpravo)\vľavo(3x-2 \vpravo)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( zarovnať)\]

Žiadne násobky alebo zhodné korene. Na riadku označíme štyri čísla:

Umiestňujeme značky:

Odpoveď zapíšeme.

Odpoveď: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5,5;+\infty \ right) $.

Všetky! Takto som sa dočítal do tohto riadku. :)

Nerovnosti sa nazývajú lineárne ktorých ľavá a pravá strana sú lineárne funkcie vzhľadom na neznámu veličinu. Patria sem napríklad nerovnosti:

2x-1-x+3; 7x0;

5 >4 - 6x 9- X< x + 5 .

1) Prísne nerovnosti: sekera +b>0 alebo sekera+b<0

2) Neprísne nerovnosti: ax +b≤0 alebo sekera+b≫ 0

Poďme analyzovať túto úlohu. Jedna zo strán rovnobežníka má 7 cm. Aká musí byť dĺžka druhej strany, aby obvod rovnobežníka bol väčší ako 44 cm?

Nech je požadovaná strana X cm. V tomto prípade bude obvod rovnobežníka reprezentovaný (14 + 2x) cm Nerovnica 14 + 2x > 44 je matematický model úlohy obvodu rovnobežníka. Ak nahradíme premennú v tejto nerovnosti X napríklad na čísle 16 dostaneme správnu číselnú nerovnosť 14 + 32 > 44. V tomto prípade hovoria, že číslo 16 je riešením nerovnosti 14 + 2x > 44.

Riešenie nerovnosti pomenujte hodnotu premennej, ktorá ju zmení na skutočnú číselnú nerovnosť.

Preto je každé z čísel 15,1; 20;73 funguje ako riešenie nerovnice 14 + 2x > 44, ale napríklad číslo 10 nie je jej riešením.

Vyriešte nerovnosť znamená stanoviť všetky svoje riešenia alebo dokázať, že žiadne riešenia neexistujú.

Formulácia riešenia nerovnosti je podobná formulácii koreňa rovnice. A predsa nie je zvykom označovať „koreň nerovnosti“.

Vlastnosti numerických rovníc nám pomohli vyriešiť rovnice. Podobne aj vlastnosti numerických nerovností pomôžu pri riešení nerovností.

Pri riešení rovnice ju nahradíme inou, jednoduchšou rovnicou, ale ekvivalentnou danej. Odpoveď na nerovnosti sa nachádza podobným spôsobom. Pri zmene rovnice na ekvivalentnú rovnicu používajú vetu o prenose členov z jednej strany rovnice na opačnú a o vynásobení oboch strán rovnice rovnakým nenulovým číslom. Pri riešení nerovnice je medzi ňou a rovnicou podstatný rozdiel, ktorý spočíva v tom, že akékoľvek riešenie rovnice je možné overiť jednoduchým dosadením do pôvodnej rovnice. Pri nerovnostiach táto metóda absentuje, keďže do pôvodnej nerovnosti nie je možné dosadiť nespočetné množstvo riešení. Preto existuje dôležitý koncept, tieto šípky<=>je znakom ekvivalentných alebo ekvivalentných transformácií. Transformácia sa nazýva ekvivalent, alebo ekvivalent, ak nezmenia zostavu riešení.

Podobné pravidlá pre riešenie nerovností.

Ak presunieme ľubovoľný člen z jednej časti nerovnosti do druhej, pričom jeho znamienko nahradíme opačným, dostaneme nerovnosť ekvivalentnú tomuto.

Ak sa obe strany nerovnosti vynásobia (vydelia) rovnakým kladným číslom, dostaneme nerovnosť ekvivalentnú tejto nerovnici.

Ak sa obe strany nerovnosti vynásobia (vydelia) rovnakým záporným číslom, pričom znamienko nerovnosti nahradíme opačným, dostaneme nerovnosť ekvivalentnú danému.

Pomocou týchto pravidlá Vypočítajme nasledujúce nerovnosti.

1) Poďme analyzovať nerovnosť 2x - 5 > 9.

Toto lineárna nerovnosť, nájdeme jej riešenie a rozoberieme základné pojmy.

2x - 5 > 9<=>2x>14(5 bola presunutá na ľavú stranu s opačným znamienkom), potom sme všetko vydelili 2 a máme x > 7. Nakreslíme množinu riešení na os X

Získali sme pozitívne nasmerovaný lúč. Zaznamenávame množinu riešení buď vo forme nerovnosti x > 7, alebo v tvare intervalu x(7; ∞). Aké je konkrétne riešenie tejto nerovnosti? Napríklad, x = 10 je konkrétnym riešením tejto nerovnosti, x = 12- toto je tiež osobitné riešenie tejto nerovnosti.

Čiastkových riešení je veľa, ale našou úlohou je nájsť všetky riešenia. A zvyčajne existuje nespočetné množstvo riešení.

Poďme to vyriešiť príklad 2:

2) Vyriešte nerovnosť 4a - 11 > a + 13.

Poďme to vyriešiť: A presuňte ho na jednu stranu 11 presuňte ho na druhú stranu, dostaneme 3a< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 nerovnosť má tvar a<8 .

4a - 11 > a + 13<=>3a< 24 <=>a< 8 .

Zostavu aj vystavíme a< 8 , ale už na osoh A.

Odpoveď buď napíšeme v tvare nerovnosti a< 8, либо A(-∞;8), 8 sa nezapne.

Intervalová metóda– jednoduchý spôsob riešenia zlomkových racionálnych nerovností. Toto je názov pre nerovnosti obsahujúce racionálne (alebo zlomkovo-racionálne) výrazy, ktoré závisia od premennej.

1. Zvážte napríklad nasledujúcu nerovnosť

Intervalová metóda vám to umožní vyriešiť za pár minút.

Na ľavej strane tejto nerovnosti je zlomková racionálna funkcia. Racionálne, pretože neobsahuje odmocniny, sínusy ani logaritmy – iba racionálne výrazy. Na pravej strane je nula.

Intervalová metóda je založená na nasledujúcej vlastnosti zlomkovej racionálnej funkcie.

Zlomková racionálna funkcia môže zmeniť znamienko iba v tých bodoch, v ktorých sa rovná nule alebo v ktorých neexistuje.

Pripomeňme si, ako sa rozkladá kvadratická trojčlenka, teda vyjadrenie tvaru .

Kde a sú korene kvadratickej rovnice.

Nakreslíme os a umiestnime body, v ktorých čitateľ a menovateľ idú na nulu.

Nuly menovateľa a sú prepichnuté body, pretože v týchto bodoch funkcia na ľavej strane nerovnosti nie je definovaná (nulou sa nedá deliť). Nuly v čitateli a - sú vytieňované, pretože nerovnosť nie je striktná. Kedy a naša nerovnosť je uspokojená, keďže obe jej strany sú rovné nule.

Tieto body rozdeľujú os na intervaly.

Určme znamienko zlomkovej racionálnej funkcie na ľavej strane našej nerovnosti na každom z týchto intervalov. Pamätáme si, že zlomková racionálna funkcia môže zmeniť znamienko iba v tých bodoch, v ktorých sa rovná nule alebo v ktorých neexistuje. To znamená, že v každom z intervalov medzi bodmi, kde sa čitateľ alebo menovateľ dostane na nulu, bude znamienko výrazu na ľavej strane nerovnosti konštantné - buď „plus“ alebo „mínus“.

A preto, aby sme určili znamienko funkcie na každom takomto intervale, vezmeme ľubovoľný bod patriaci do tohto intervalu. Ten, ktorý je pre nás pohodlný.
. Vezmite si napríklad a skontrolujte znamienko výrazu na ľavej strane nerovnosti. Každý z "zátvoriek" je negatívny. Na ľavej strane je znak.

Ďalší interval: . Pozrime sa na znak na . Zistili sme, že ľavá strana zmenila svoj znak na .

Vezmime si to. Keď je výraz kladný – teda je kladný v celom intervale od do.

Keď je ľavá strana nerovnosti záporná.

A nakoniec class="tex" alt="x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

Zistili sme, v akých intervaloch je výraz kladný. Zostáva už len napísať odpoveď:

Odpoveď: .

Upozornenie: intervaly sa striedajú. Stalo sa to preto pri prechode každým bodom práve jeden z lineárnych faktorov zmenil znamienko, zatiaľ čo zvyšok ho ponechal nezmenený.

Vidíme, že intervalová metóda je veľmi jednoduchá. Aby sme zlomkovo-racionálnu nerovnosť vyriešili pomocou intervalovej metódy, zredukujeme ju na tvar:

Alebo class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0"> !}, alebo alebo .

(na ľavej strane je zlomková racionálna funkcia, na pravej strane je nula).

Potom na číselnej osi označíme body, v ktorých čitateľ alebo menovateľ klesá na nulu.
Tieto body rozdeľujú celú číselnú os na intervaly, na každom z nich si zlomkovo-racionálna funkcia zachováva svoje znamienko.
Zostáva len zistiť jeho znamenie v každom intervale.
Urobíme to tak, že skontrolujeme znamienko výrazu v ľubovoľnom bode patriacom do daného intervalu. Potom si odpoveď zapíšeme. To je všetko.

Vynára sa však otázka: striedajú sa znamenia vždy? Nie vždy! Musíte byť opatrní a neumiestňovať značky mechanicky a bezmyšlienkovite.

2. Zoberme si ďalšiu nerovnosť.

Class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \ vľavo(x-3 \vpravo))>0"> !}

Znova umiestnite body na os. Bodky a sú prepichnuté, pretože sú nulami menovateľa. Bod je tiež vyrezaný, pretože nerovnosť je prísna.

Keď je čitateľ kladný, oba faktory v menovateli sú záporné. Dá sa to jednoducho skontrolovať tak, že zoberiete ľubovoľné číslo z daného intervalu, napríklad . Na ľavej strane je znak:

Keď je čitateľ kladný; Prvý faktor v menovateli je kladný, druhý faktor je záporný. Na ľavej strane je znak:

Situácia je rovnaká! Čitateľ je kladný, prvý faktor v menovateli je kladný, druhý záporný. Na ľavej strane je znak:

Nakoniec pomocou class="tex" alt="x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Odpoveď: .

Prečo bolo striedanie znakov narušené? Pretože pri prechode bodom je zaň „zodpovedný“ násobiteľ nezmenil znamienko. V dôsledku toho celá ľavá strana našej nerovnosti nezmenila znamienko.

Záver: ak je lineárny multiplikátor párnou mocninou (napríklad druhou mocninou), potom pri prechode bodom sa znamienko výrazu na ľavej strane nemení. V prípade nepárneho stupňa sa znamienko samozrejme mení.

3. Uvažujme o zložitejšom prípade. Od predchádzajúceho sa líši tým, že nerovnosť nie je striktná:

Ľavá strana je rovnaká ako v predchádzajúcom probléme. Obrázok značiek bude rovnaký:

Možno bude odpoveď rovnaká? Nie! Pridá sa riešenie Stáva sa to preto, že ľavá aj pravá strana nerovnosti sa rovnajú nule – preto je tento bod riešením.

Odpoveď: .

Táto situácia sa často vyskytuje pri úlohách na Jednotnej štátnej skúške z matematiky. Tu sa žiadatelia dostanú do pasce a stratia body. Buď opatrný!

4. Čo robiť, ak čitateľa alebo menovateľa nemožno zahrnúť do lineárnych faktorov? Zvážte túto nerovnosť:

Štvorcový trojčlen nemožno rozdeliť na faktor: diskriminant je záporný, neexistujú žiadne korene. Ale toto je dobré! To znamená, že znak výrazu pre všetkých je rovnaký a konkrétne pozitívny. Viac sa o tom dočítate v článku o vlastnostiach kvadratických funkcií.

A teraz môžeme obe strany našej nerovnosti rozdeliť hodnotou, ktorá je pozitívna pre všetkých. Dostaňme sa k ekvivalentnej nerovnosti:

Čo sa dá ľahko vyriešiť pomocou intervalovej metódy.

Upozorňujeme, že obe strany nerovnosti sme vydelili hodnotou, o ktorej sme s istotou vedeli, že je kladná. Samozrejme, vo všeobecnosti by ste nemali násobiť ani deliť nerovnosť premennou, ktorej znamienko je neznáme.

5 . Zoberme si ďalšiu nerovnosť, zdanlivo celkom jednoduchú:

Chcem to len vynásobiť . Ale my sme už múdri a neurobíme to. Koniec koncov, môže to byť pozitívne aj negatívne. A vieme, že ak sa obe strany nerovnosti vynásobia zápornou hodnotou, znamienko nerovnosti sa zmení.

Urobíme to inak – všetko pozbierame do jednej časti a privedieme k spoločnému menovateľovi. Pravá strana zostane nulová:

Class="tex" alt="\genfrac())()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

A potom - aplikujte intervalová metóda.

Riešenie nerovností online

Pred riešením nerovníc musíte dobre pochopiť, ako sa rovnice riešia.

Nezáleží na tom, či je nerovnosť prísna () alebo neprísna (≤, ≥), prvým krokom je vyriešiť rovnicu nahradením znamienka nerovnosti rovnosťou (=).

Poďme si vysvetliť, čo to znamená vyriešiť nerovnosť?

Po preštudovaní rovníc dostane študent v hlave nasledujúci obrázok: potrebuje nájsť hodnoty premennej tak, aby obe strany rovnice nadobudli rovnaké hodnoty. Inými slovami, nájdite všetky body, v ktorých platí rovnosť. Všetko je správne!

Keď hovoríme o nerovnostiach, máme na mysli hľadanie intervalov (segmentov), ​​na ktorých nerovnosť platí. Ak sú v nerovnosti dve premenné, tak riešením už nebudú intervaly, ale nejaké plochy v rovine. Uhádnite sami, aké bude riešenie nerovnosti v troch premenných?

Ako vyriešiť nerovnosti?

Za univerzálny spôsob riešenia nerovníc sa považuje metóda intervalov (známa aj ako metóda intervalov), ktorá spočíva v určení všetkých intervalov, v rámci ktorých bude daná nerovnosť splnená.

Bez toho, aby ste sa dostali do typu nerovnosti, v tomto prípade to nie je bod, musíte vyriešiť zodpovedajúcu rovnicu a určiť jej korene, po čom nasleduje označenie týchto riešení na číselnej osi.

Ako správne napísať riešenie nerovnice?

Po určení intervalov riešenia nerovnosti je potrebné správne zapísať samotné riešenie. Existuje dôležitá nuansa - sú hranice intervalov zahrnuté v riešení?

Všetko je tu jednoduché. Ak riešenie rovnice vyhovuje ODZ a nerovnosť nie je striktná, potom je hranica intervalu zahrnutá do riešenia nerovnosti. Inak nie.

Vzhľadom na každý interval môže byť riešením nerovnosti samotný interval alebo polovičný interval (keď jedna z jeho hraníc vyhovuje nerovnosti), alebo segment - interval spolu s jeho hranicami.

Dôležitý bod

Nemyslite si, že nerovnosť môžu vyriešiť iba intervaly, polintervaly a segmenty. Nie, riešenie môže obsahovať aj jednotlivé body.

Napríklad nerovnosť |x|≤0 má len jedno riešenie – toto je bod 0.

A nerovnosť |x|

Prečo potrebujete kalkulačku nerovností?

Kalkulačka nerovností dáva správnu konečnú odpoveď. Vo väčšine prípadov je poskytnutá ilustrácia číselnej osi alebo roviny. Je viditeľné, či sú hranice intervalov zahrnuté v riešení alebo nie - body sú zobrazené ako tieňované alebo prepichnuté.

Vďaka online kalkulačke nerovností si môžete skontrolovať, či ste správne našli korene rovnice, označili ich na číselnej osi a skontrolovali splnenie podmienky nerovnosti na intervaloch (a hraniciach)?

Ak sa vaša odpoveď líši od odpovede kalkulačky, určite musíte svoje riešenie ešte raz skontrolovať a identifikovať chybu.