Rôzne spôsoby, ako dokázať Pytagorovu vetu. Rôzne spôsoby, ako dokázať Pytagorovu vetu: príklady, popis a recenzie Prvá Pytagorova veta

Tí, ktorí sa zaujímajú o históriu Pytagorovej vety, ktorá sa študuje v školských osnovách, budú zvedaví aj na takú skutočnosť, akou bola v roku 1940 vydaná kniha s tristosedemdesiatimi dôkazmi tejto zdanlivo jednoduchej vety. Ale zaujala mysle mnohých matematikov a filozofov rôznych období. V Guinessovej knihe rekordov je zapísaná ako veta s maximálnym počtom dôkazov.

História Pytagorovej vety

Veta spojená s menom Pytagoras bola známa dlho pred narodením veľkého filozofa. V Egypte sa teda pri stavbe stavieb bral do úvahy pomer strán pravouhlého trojuholníka pred päťtisíc rokmi. Babylonské texty spomínajú rovnaký pomer strán pravouhlého trojuholníka 1200 rokov pred narodením Pytagorasa.

Vynára sa otázka, prečo potom história hovorí, že pôvod Pytagorovej vety patrí jemu? Odpoveď môže byť len jedna – dokázal pomer strán v trojuholníku. Urobil to, čo pred storočiami neurobili tí, ktorí jednoducho používali pomer strán a preponu stanovenú skúsenosťou.

Zo života Pytagorasa

Budúci veľký vedec, matematik, filozof sa narodil na ostrove Samos v roku 570 pred Kristom. V historických dokumentoch sa zachovali informácie o Pytagorasovom otcovi, ktorý bol rezbárom drahých kameňov, ale o jeho matke nie sú žiadne informácie. O chlapcovi, ktorý sa narodil, povedali, že je to mimoriadne dieťa, ktoré už od detstva prejavovalo vášeň pre hudbu a poéziu. Medzi historikov patria Hermodamas a Pherecydes of Syros ako učitelia mladého Pytagora. Prvý uviedol chlapca do sveta múz a druhý, filozof a zakladateľ talianskej filozofickej školy, nasmeroval pohľad mladého muža na logos.

Vo veku 22 rokov (548 pred Kristom) odišiel Pytagoras do Naucratis, aby študoval jazyk a náboženstvo Egypťanov. Ďalej jeho cesta ležala v Memphise, kde vďaka kňazom, ktorí prešli ich dômyselnými testami, pochopil egyptskú geometriu, čo možno podnietilo zvedavého mladého muža, aby dokázal Pytagorovu vetu. História neskôr priradí tento názov vete.

Zajatie babylonského kráľa

Na ceste domov do Hellas je Pytagoras zajatý babylonským kráľom. Ale byť v zajatí prospelo zvedavej mysli ctižiadostivého matematika, ktorý sa musel veľa učiť. V tých rokoch bola matematika v Babylone skutočne rozvinutejšia ako v Egypte. Dvanásť rokov študoval matematiku, geometriu a mágiu. A možno to bola babylonská geometria, ktorá sa podieľala na dôkaze pomeru strán trojuholníka a na histórii objavu vety. Pytagoras mal na to dostatok vedomostí a času. Neexistuje však žiadne dokumentárne potvrdenie alebo vyvrátenie toho, že sa to stalo v Babylone.

V roku 530 pred Kr. Pytagoras uteká zo zajatia do vlasti, kde žije na dvore tyrana Polykrata v postavení polootroka. Pytagoras nie je spokojný s takýmto životom a odchádza do jaskýň na Samose a potom ide na juh Talianska, kde sa v tom čase nachádzala grécka kolónia Croton.

Tajný mníšsky rád

Na základe tejto kolónie Pytagoras zorganizoval tajný mníšsky rád, ktorý bol náboženským zväzkom a vedeckou spoločnosťou zároveň. Táto spoločnosť mala svoju vlastnú chartu, ktorá hovorila o dodržiavaní zvláštneho spôsobu života.

Pytagoras tvrdil, že na pochopenie Boha musí človek poznať také vedy ako algebra a geometria, poznať astronómiu a rozumieť hudbe. Výskumná práca sa scvrkla na poznanie mystickej stránky čísel a filozofie. Treba poznamenať, že princípy, ktoré v tom čase hlásal Pytagoras, majú v súčasnosti zmysel pri napodobňovaní.

Mnohé z objavov, ktoré urobili Pytagorasovi žiaci, boli pripisované jemu. História vzniku Pytagorovej vety starovekými historikmi a biografmi tej doby je však v skratke priamo spojená s menom tohto filozofa, mysliteľa a matematika.

Učenie Pytagoras

Možno, že myšlienka spojenia medzi teorémom a menom Pythagoras bola vyvolaná vyhlásením veľkého Gréka, že všetky javy nášho života sú zašifrované v notoricky známom trojuholníku s nohami a preponou. A tento trojuholník je „kľúčom“ k riešeniu všetkých vznikajúcich problémov. Veľký filozof povedal, že by ste mali vidieť trojuholník, potom môžete uvažovať, že problém je z dvoch tretín vyriešený.

Pytagoras hovoril o svojom učení iba svojim študentom ústne, bez akýchkoľvek poznámok, pričom to držal v tajnosti. Žiaľ, učenie najväčšieho filozofa sa dodnes nezachovalo. Niečo z toho uniklo, ale nedá sa povedať, nakoľko je pravda a koľko klamstva v tom, čo sa stalo známym. Ani s históriou Pytagorovej vety nie je všetko isté. Historici matematiky pochybujú o autorstve Pythagora, podľa ich názoru sa veta používala mnoho storočí pred jeho narodením.

Pytagorova veta

Môže sa to zdať zvláštne, ale neexistujú žiadne historické fakty, ktoré by dokazovali vetu samotného Pytagora – ani v archívoch, ani v iných zdrojoch. V modernej verzii sa verí, že nepatrí nikomu inému ako samotnému Euklidovi.

Existujú dôkazy od jedného z najväčších historikov matematiky Moritza Cantora, ktorý objavil na papyruse uloženom v Berlínskom múzeu, zapísanom Egypťanmi okolo roku 2300 pred Kristom. e. rovnosť, ktorá znela: 3² + 4² = 5².

Stručná história Pytagorovej vety

Formulácia vety z euklidovských „Princípov“ v preklade znie rovnako ako v modernej interpretácii. V jej čítaní nie je nič nové: štvorec strany oproti pravému uhlu sa rovná súčtu štvorcov strán susediacich s pravým uhlom. Skutočnosť, že staroveké civilizácie Indie a Číny používali teorém, potvrdzuje pojednanie „Zhou - bi suan jin“. Obsahuje informácie o egyptskom trojuholníku, ktorý popisuje pomer strán ako 3:4:5.

Nemenej zaujímavá je aj ďalšia čínska matematická kniha „Chu Pei“, ktorá tiež spomína pytagorejský trojuholník s vysvetleniami a kresbami, ktoré sa zhodujú s kresbami hinduistickej geometrie od Bashara. O samotnom trojuholníku kniha hovorí, že ak sa dá pravý uhol rozložiť na jeho jednotlivé časti, potom sa čiara, ktorá spája konce strán, bude rovnať piatim, ak sa základňa rovná trom a výška sa rovná štyrom. .

Indické pojednanie „Sulva Sutra“, pochádzajúce približne zo 7. – 5. storočia pred Kristom. hovorí o zostrojení pravého uhla pomocou egyptského trojuholníka.

Dôkaz vety

V stredoveku považovali študenti dokazovanie vety za príliš ťažké. Slabí študenti sa učili vety naspamäť bez toho, aby rozumeli významu dôkazu. V tomto ohľade dostali prezývku „somáre“, pretože Pytagorova veta bola pre nich neprekonateľnou prekážkou, ako most pre osla. V stredoveku študenti prišli s vtipným veršom na tému tejto vety.

Aby ste čo najjednoduchšie dokázali Pytagorovu vetu, mali by ste jednoducho zmerať jej strany bez použitia konceptu oblastí v dôkaze. Dĺžka strany oproti pravému uhlu je c a k nej susedia a a b, výsledkom je rovnica: a 2 + b 2 = c 2. Toto tvrdenie, ako je uvedené vyššie, je overené meraním dĺžok strán pravouhlého trojuholníka.

Ak začneme dôkaz teorémy zvážením plochy obdĺžnikov postavených na stranách trojuholníka, môžeme určiť plochu celého obrázku. Bude sa rovnať ploche štvorca so stranou (a+b) a na druhej strane súčtu plôch štyroch trojuholníkov a vnútorného štvorca.

(a + b)2 = 4 x ab/2 + c2;

a2 + 2ab + b2;

c 2 = a 2 + b 2 , čo bolo potrebné dokázať.

Praktický význam Pytagorovej vety je v tom, že sa dá použiť na nájdenie dĺžok segmentov bez ich merania. Pri stavbe konštrukcií sa počítajú vzdialenosti, umiestnenie podpier a nosníkov, určujú sa ťažiská. Pytagorova veta sa uplatňuje aj vo všetkých moderných technológiách. Na vetu nezabudli ani pri tvorbe filmov v rozmeroch 3D-6D, kde sa okrem troch rozmerov, na ktoré sme zvyknutí, berie do úvahy výška, dĺžka, šírka, čas, vôňa a chuť. Pýtate sa, ako súvisia chute a vône s vetou? Všetko je veľmi jednoduché – pri premietaní filmu si treba spočítať, kde a čo vonia a chute režírovať v hľadisku.

Je to len začiatok. Neobmedzený priestor na objavovanie a vytváranie nových technológií čaká na zvedavé mysle.

Pytagorova veta- jedna zo základných teorém euklidovskej geometrie, zakladajúca vzťah

medzi stranami pravouhlého trojuholníka.

Predpokladá sa, že to dokázal grécky matematik Pytagoras, po ktorom bol pomenovaný.

Geometrická formulácia Pytagorovej vety.

Pôvodne bola veta formulovaná takto:

V pravouhlom trojuholníku sa plocha štvorca postaveného na prepone rovná súčtu plôch štvorcov,

postavené na nohách.

Algebraická formulácia Pytagorovej vety.

V pravouhlom trojuholníku sa druhá mocnina dĺžky prepony rovná súčtu druhých mocnín dĺžok nôh.

Teda označenie dĺžky prepony trojuholníka o c, a dĺžky nôh cez a A b:

Obe formulácie Pytagorova veta sú ekvivalentné, ale druhá formulácia je elementárnejšia, nie

vyžaduje koncepciu oblasti. To znamená, že druhé tvrdenie je možné overiť bez toho, aby sme vedeli čokoľvek o oblasti a

meraním iba dĺžok strán pravouhlého trojuholníka.

Obrátiť Pytagorovu vetu.

Ak sa štvorec jednej strany trojuholníka rovná súčtu štvorcov ostatných dvoch strán, potom

správny trojuholník.

Alebo inak povedané:

Pre každú trojicu kladných čísel a, b A c, také že

existuje pravouhlý trojuholník s nohami a A b a preponu c.

Pytagorova veta pre rovnoramenný trojuholník.

Pytagorova veta pre rovnostranný trojuholník.

Dôkazy Pytagorovej vety.

V súčasnosti je vo vedeckej literatúre zaznamenaných 367 dôkazov tejto vety. Pravdepodobne teorém

Pytagoras je jediná veta s takým pôsobivým počtom dôkazov. Taká rozmanitosť

možno vysvetliť iba základným významom vety pre geometriu.

Samozrejme, koncepčne všetky možno rozdeliť do malého počtu tried. Najznámejší z nich:

dôkaz plošná metóda, axiomatická A exotické dôkazy(Napríklad,

používaním diferenciálne rovnice).

1. Dôkaz Pytagorovej vety pomocou podobných trojuholníkov.

Nasledujúci dôkaz algebraickej formulácie je najjednoduchším zo skonštruovaných dôkazov

priamo z axióm. Najmä nepoužíva pojem plochy postavy.

Nechaj ABC existuje pravouhlý trojuholník s pravým uhlom C. Nakreslíme výšku od C a označujú

jeho základ cez H.

Trojuholník ACH podobný trojuholníku AB C v dvoch rohoch. Rovnako aj trojuholník CBH podobný ABC.

Zavedením notácie:

dostaneme:

čo zodpovedá -

Zložené a 2 a b 2, dostaneme:

alebo , čo je potrebné dokázať.

2. Dôkaz Pytagorovej vety plošnou metódou.

Nižšie uvedené dôkazy, napriek ich zjavnej jednoduchosti, nie sú vôbec také jednoduché. Všetky

využívať vlastnosti plochy, ktorých dôkazy sú zložitejšie ako dôkazy samotnej Pytagorovej vety.

Dôkaz prostredníctvom ekvikomplementarity.

Usporiadame štyri rovnaké obdĺžnikové

trojuholník, ako je znázornené na obrázku

napravo.

Štvoruholník so stranami c- námestie,

keďže súčet dvoch ostrých uhlov je 90°, a

rozložený uhol - 180°.

Plocha celej postavy je na jednej strane rovnaká,

plocha štvorca so stranou ( a+b), a na druhej strane súčet obsahov štyroch trojuholníkov a

Q.E.D.

3. Dôkaz Pytagorovej vety infinitezimálnou metódou.

Pri pohľade na výkres zobrazený na obrázku a

sleduje zmenu stranya, môžeme

napíšte nasledujúci vzťah pre nekonečno

malý bočné prírastkys A a(pomocou podobnosti

trojuholníky):

Pomocou metódy variabilnej separácie zistíme:

Všeobecnejšie vyjadrenie pre zmenu prepony v prípade prírastkov na oboch stranách:

Integráciou tejto rovnice a použitím počiatočných podmienok dostaneme:

Dostávame sa teda k požadovanej odpovedi:

Ako je ľahké vidieť, kvadratická závislosť v konečnom vzorci sa javí ako lineárna

úmernosť medzi stranami trojuholníka a prírastkami, pričom súčet súvisí s nezávislou

príspevky z prírastku rôznych nôh.

Jednoduchší dôkaz možno získať, ak predpokladáme, že jedna z nôh nezaznamená zvýšenie

(v tomto prípade nohu b). Potom pre integračnú konštantu dostaneme:

Príbeh

Chu-pei 500-200 pred Kristom. Vľavo je nápis: súčet druhých mocnín dĺžok výšky a základne je druhá mocnina dĺžky prepony.

V starej čínskej knihe Chu-pei ( Angličtina) (čínsky 周髀算經) hovorí o pytagorejskom trojuholníku so stranami 3, 4 a 5. Tá istá kniha ponúka kresbu, ktorá sa zhoduje s jednou z nákresov hinduistickej geometrie Bashara.

Okolo roku 400 pred Kr. BC, podľa Prokla, Platón dal metódu na nájdenie pytagorejských trojíc, kombinovaním algebry a geometrie. Okolo roku 300 pred Kr. e. Najstarší axiomatický dôkaz Pytagorovej vety sa objavil v Euklidových Prvkoch.

Formulácie

Geometrické zloženie:

Pôvodne bola veta formulovaná takto:

Algebraická formulácia:

To znamená, že dĺžku prepony trojuholníka označíme a dĺžky nôh označíme a:

Obidve formulácie vety sú ekvivalentné, ale druhá formulácia je elementárnejšia, nevyžaduje pojem plochy. To znamená, že druhé tvrdenie možno overiť bez toho, aby sme vedeli čokoľvek o ploche a meraním iba dĺžok strán pravouhlého trojuholníka.

Premeňte Pytagorovu vetu:

Pre každú trojicu kladných čísel , a , Tak, že , existuje pravouhlý trojuholník s nohami a a prepona .

Dôkaz

V súčasnosti je vo vedeckej literatúre zaznamenaných 367 dôkazov tejto vety. Pravdepodobne je Pytagorova veta jedinou vetou s takým pôsobivým počtom dôkazov. Takáto rozmanitosť sa dá vysvetliť iba základným významom vety pre geometriu.

Samozrejme, koncepčne všetky možno rozdeliť do malého počtu tried. Najznámejšie z nich: dôkazy plošnou metódou, axiomatické a exotické dôkazy (napríklad pomocou diferenciálnych rovníc).

Cez podobné trojuholníky

Nasledujúci dôkaz algebraickej formulácie je najjednoduchší z dôkazov, skonštruovaný priamo z axióm. Najmä nepoužíva pojem plochy postavy.

Nechaj ABC existuje pravouhlý trojuholník s pravým uhlom C. Nakreslíme výšku od C a jeho základňu označíme H. Trojuholník ACH podobný trojuholníku ABC v dvoch rohoch. Rovnako aj trojuholník CBH podobný ABC. Zavedením notového zápisu

dostaneme

Čo je ekvivalentné

Keď to zrátame, dostaneme

, čo bolo potrebné dokázať

Dôkazy plošnou metódou

Nižšie uvedené dôkazy, napriek ich zjavnej jednoduchosti, nie sú vôbec také jednoduché. Všetky využívajú vlastnosti plochy, ktorých dôkaz je zložitejší ako dôkaz samotnej Pytagorovej vety.

Dôkaz prostredníctvom ekvikomplementácie

Usporiadajme štyri rovnaké pravouhlé trojuholníky, ako je znázornené na obrázku 1.
Štvoruholník so stranami c je štvorec, pretože súčet dvoch ostrých uhlov je 90° a priamy uhol je 180°.
Plocha celého obrázku sa rovná na jednej strane ploche štvorca so stranou (a + b) a na druhej strane súčtu plôch štyroch trojuholníkov a plocha vnútorného námestia.

Q.E.D.

Euklidov dôkaz

Myšlienka Euklidovho dôkazu je nasledovná: skúsme dokázať, že polovica plochy štvorca postaveného na prepone sa rovná súčtu polovičných plôch štvorcov postavených na nohách a potom plôch veľké a dva malé štvorce sú rovnaké.

Pozrime sa na nákres vľavo. Na ňom sme zostrojili štvorce na stranách pravouhlého trojuholníka a nakreslili lúč s z vrcholu pravého uhla C kolmo na preponu AB, rozreže štvorec ABIK, postavený na prepone, na dva obdĺžniky - BHJI a HAKJ, resp. Ukazuje sa, že plochy týchto obdĺžnikov sú presne rovnaké ako plochy štvorcov postavených na zodpovedajúcich nohách.

Pokúsme sa dokázať, že plocha štvorca DECA sa rovná ploche obdĺžnika AHJK Na tento účel použijeme pomocné pozorovanie: Plocha trojuholníka s rovnakou výškou a základňou ako daný obdĺžnik sa rovná polovici plochy daného obdĺžnika. Je to dôsledok definovania plochy trojuholníka ako polovice súčinu základne a výšky. Z tohto pozorovania vyplýva, že plocha trojuholníka ACK sa rovná ploche trojuholníka AHK (na obrázku nie je znázornená), čo sa zase rovná polovici plochy obdĺžnika AHJK.

Dokážme teraz, že plocha trojuholníka ACK sa tiež rovná polovici plochy štvorca DECA. Jediná vec, ktorú je potrebné urobiť, je dokázať rovnosť trojuholníkov ACK a BDA (pretože plocha trojuholníka BDA sa rovná polovici plochy štvorca podľa vyššie uvedenej vlastnosti). Táto rovnosť je zrejmá: trojuholníky sú rovnaké na oboch stranách a uhol medzi nimi. Totiž - AB=AK, AD=AC - rovnosť uhlov CAK a BAD sa dá ľahko dokázať metódou pohybu: trojuholník CAK otočíme o 90° proti smeru hodinových ručičiek, potom je zrejmé, že zodpovedajúce strany dvoch trojuholníkov v otázka sa bude zhodovať (vzhľadom na skutočnosť, že uhol vo vrchole štvorca je 90°).

Zdôvodnenie rovnosti plôch štvorca BCFG a obdĺžnika BHJI je úplne podobné.

Dokázali sme teda, že plocha štvorca postaveného na prepone je zložená z plôch štvorcov postavených na nohách. Myšlienku tohto dôkazu ďalej ilustruje animácia vyššie.

Dôkaz Leonarda da Vinciho

Hlavnými prvkami dôkazu sú symetria a pohyb.

Zoberme si výkres, ako je zrejmé zo symetrie, segment rozreže štvorec na dve rovnaké časti (pretože trojuholníky sú v konštrukcii rovnaké).

Použitím 90-stupňového otočenia proti smeru hodinových ručičiek okolo bodu vidíme rovnosť tieňovaných číslic a.

Teraz je jasné, že plocha postavy, ktorú sme zatienili, sa rovná súčtu polovice plôch malých štvorcov (postavených na nohách) a plochy pôvodného trojuholníka. Na druhej strane sa rovná polovici plochy veľkého štvorca (postaveného na prepone) plus plocha pôvodného trojuholníka. Polovica súčtu plôch malých štvorcov sa teda rovná polovici plochy veľkého štvorca, a preto sa súčet plôch štvorcov postavených na nohách rovná ploche štvorca postaveného na hypotenzia.

Dôkaz infinitezimálnou metódou

Nasledujúci dôkaz pomocou diferenciálnych rovníc sa často pripisuje slávnemu anglickému matematikovi Hardymu, ktorý žil v prvej polovici 20. storočia.

Pri pohľade na výkres zobrazený na obrázku a pozorovaní zmeny strany a, môžeme napísať nasledujúci vzťah pre infinitezimálne prírastky strán s A a(pomocou podobnosti trojuholníkov):

Pomocou metódy separácie premenných nájdeme

Všeobecnejšie vyjadrenie pre zmenu prepony v prípade prírastkov na oboch stranách

Integráciou tejto rovnice a použitím počiatočných podmienok dostaneme

Tak sa dostávame k želanej odpovedi

Ako je ľahké vidieť, kvadratická závislosť v konečnom vzorci sa objavuje v dôsledku lineárnej úmernosti medzi stranami trojuholníka a prírastkami, zatiaľ čo súčet je spojený s nezávislými príspevkami z prírastku rôznych častí.

Jednoduchší dôkaz možno získať, ak predpokladáme, že jedna z nôh nezaznamená prírastok (v tomto prípade noha). Potom pre integračnú konštantu dostaneme

Variácie a zovšeobecnenia

Podobné geometrické tvary na troch stranách

Zovšeobecnenie pre podobné trojuholníky, plocha zelených tvarov A + B = plocha modrej C

Pytagorova veta s použitím podobných pravouhlých trojuholníkov

Euklides vo svojom diele zovšeobecnil Pytagorovu vetu Začiatky, rozšírenie plôch štvorcov po stranách na plochy podobných geometrických útvarov:

Ak zostrojíme podobné geometrické útvary (pozri euklidovská geometria) na stranách pravouhlého trojuholníka, potom sa súčet dvoch menších útvarov bude rovnať ploche väčšieho útvaru.

Hlavnou myšlienkou tohto zovšeobecnenia je, že plocha takéhoto geometrického útvaru je úmerná štvorcu ľubovoľného z jeho lineárnych rozmerov a najmä štvorcu dĺžky ktorejkoľvek strany. Preto pre podobné čísla s plochami A, B A C postavené na stranách s dĺžkou a, b A c, máme:

Ale podľa Pytagorovej vety, a 2 + b 2 = c 2 potom A + B = C.

A naopak, ak to dokážeme A + B = C pre tri podobné geometrické útvary bez použitia Pytagorovej vety, potom dokážeme samotnú vetu, ktorá sa pohybuje v opačnom smere. Napríklad začiatočný stredový trojuholník možno znova použiť ako trojuholník C na prepone a dva podobné pravouhlé trojuholníky ( A A B), postavené na ďalších dvoch stranách, ktoré sú tvorené delením stredového trojuholníka jeho výškou. Súčet plôch dvoch menších trojuholníkov sa teda zjavne rovná ploche tretieho A + B = C a vykonaním predchádzajúceho dôkazu v opačnom poradí dostaneme Pytagorovu vetu a 2 + b 2 = c 2 .

Kosínusová veta

Pytagorova veta je špeciálnym prípadom všeobecnejšej kosínusovej vety, ktorá spája dĺžky strán v ľubovoľnom trojuholníku:

kde θ je uhol medzi stranami a A b.

Ak je θ 90 stupňov, potom cos θ = 0 a vzorec sa zjednoduší na obvyklú Pytagorovu vetu.

Voľný trojuholník

Do ľubovoľného vybraného rohu ľubovoľného trojuholníka so stranami a, b, c Opíšme rovnoramenný trojuholník tak, že rovnaké uhly na jeho základni θ sa rovnajú zvolenému uhlu. Predpokladajme, že zvolený uhol θ leží oproti označenej strane c. V dôsledku toho sme dostali trojuholník ABD s uhlom θ, ktorý je umiestnený oproti strane a a večierky r. Druhý trojuholník tvorí uhol θ, ktorý sa nachádza oproti strane b a večierky s dĺžka s, ako je znázornené na obrázku. Thabit Ibn Qurra tvrdil, že strany v týchto troch trojuholníkoch spolu súvisia takto:

Keď sa uhol θ približuje k π/2, základňa rovnoramenného trojuholníka sa zmenšuje a dve strany r a s sa čoraz menej prekrývajú. Keď θ = π/2, ADB sa zmení na pravouhlý trojuholník, r + s = c a získame počiatočnú Pytagorovu vetu.

Pozrime sa na jeden z argumentov. Trojuholník ABC má rovnaké uhly ako trojuholník ABD, ale v opačnom poradí. (Dva trojuholníky majú spoločný uhol vo vrchole B, oba majú uhol θ a tiež majú rovnaký tretí uhol na základe súčtu uhlov trojuholníka) V súlade s tým je ABC podobný odrazu ABD trojuholníka DBA, pretože znázornené na spodnom obrázku. Zapíšme si vzťah medzi protiľahlými stranami a stranami susediacimi s uhlom θ,

Tiež odraz iného trojuholníka,

Vynásobme zlomky a sčítajme tieto dva pomery:

Q.E.D.

Zovšeobecnenie pre ľubovoľné trojuholníky pomocou rovnobežníkov

Zovšeobecnenie pre ľubovoľné trojuholníky,
zelená plocha parcela = plocha Modrá

Dôkaz tézy, že na obrázku vyššie

Urobme ďalšie zovšeobecnenie pre iné ako pravouhlé trojuholníky použitím rovnobežníkov na troch stranách namiesto štvorcov. (štvorce sú špeciálnym prípadom.) Horný obrázok ukazuje, že pre ostrý trojuholník sa plocha rovnobežníka na dlhej strane rovná súčtu rovnobežníkov na ostatných dvoch stranách za predpokladu, že rovnobežník na dlhej strane strana je konštruovaná tak, ako je znázornené na obrázku (rozmery označené šípkami sú rovnaké a určujú strany spodného rovnobežníka). Toto nahradenie štvorcov rovnobežníkmi má jasnú podobnosť s pôvodnou Pythagorovou vetou, o ktorej sa predpokladá, že ju sformuloval Pappus z Alexandrie v roku 4 nášho letopočtu. e.

Spodný obrázok ukazuje priebeh dôkazu. Pozrime sa na ľavú stranu trojuholníka. Ľavý zelený rovnobežník má rovnakú plochu ako ľavá strana modrého rovnobežníka, pretože majú rovnakú základňu b a výška h. Navyše, ľavý zelený rovnobežník má rovnakú plochu ako ľavý zelený rovnobežník na hornom obrázku, pretože majú spoločnú základňu (ľavá horná strana trojuholníka) a spoločnú výšku kolmú na túto stranu trojuholníka. Použitím podobného uvažovania pre pravú stranu trojuholníka dokážeme, že spodný rovnobežník má rovnakú plochu ako dva zelené rovnobežníky.

Komplexné čísla

Pytagorova veta sa používa na nájdenie vzdialenosti medzi dvoma bodmi v karteziánskom súradnicovom systéme a táto veta platí pre všetky skutočné súradnice: vzdialenosť s medzi dvoma bodmi ( a, b) A ( c,d) sa rovná

So vzorcom nie sú žiadne problémy, ak sa s komplexnými číslami zaobchádza ako s vektormi s reálnymi zložkami X + ja y = (X, r). . Napríklad vzdialenosť s medzi 0 + 1 i a 1 + 0 i vypočítaný ako modul vektora (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), alebo

Pri operáciách s vektormi so zložitými súradnicami je však potrebné vykonať určité vylepšenia Pytagorovho vzorca. Vzdialenosť medzi bodmi s komplexnými číslami ( a, b) A ( c, d); a, b, c, A d všetko zložité, formulujeme pomocou absolútnych hodnôt. Vzdialenosť s na základe rozdielu vektorov (a − c, b − d) v nasledujúcom tvare: nech rozdiel a − c = p+i q, Kde p- skutočná časť rozdielu, q je imaginárna časť a i = √(−1). Rovnako tak nech b − d = r+i s. potom:

kde je komplexne konjugované číslo pre . Napríklad vzdialenosť medzi bodmi (a, b) = (0, 1) A (c, d) = (i, 0) , vypočítajme rozdiel (a − c, b − d) = (−i, 1) a výsledok by bol 0, ak by sa nepoužili komplexné konjugáty. Preto pomocou vylepšeného vzorca dostaneme

Modul je definovaný nasledovne:

Stereometria

Významným zovšeobecnením Pytagorovej vety pre trojrozmerný priestor je de Goyova veta, pomenovaná po J.-P. de Gois: ak má štvorsten pravý uhol (ako v kocke), potom sa štvorec plochy oproti pravému uhlu rovná súčtu štvorcov plôch ostatných troch plôch. Tento záver možno zhrnúť ako „ n-rozmerná Pytagorova veta":

Pytagorova veta v trojrozmernom priestore spája uhlopriečku AD s tromi stranami.

Ďalšie zovšeobecnenie: Pytagorovu vetu možno aplikovať na stereometriu v nasledujúcej forme. Zvážte pravouhlý rovnobežnosten, ako je znázornené na obrázku. Nájdite dĺžku uhlopriečky BD pomocou Pytagorovej vety:

kde tri strany tvoria pravouhlý trojuholník. Na zistenie dĺžky uhlopriečky AD použijeme vodorovnú uhlopriečku BD a zvislú hranu AB, na to opäť použijeme Pytagorovu vetu:

alebo ak všetko napíšeme do jednej rovnice:

Tento výsledok je trojrozmerným vyjadrením na určenie veľkosti vektora v(uhlopriečka AD), vyjadrená ako jej kolmé zložky ( v k ) (tri vzájomne kolmé strany):

Túto rovnicu možno považovať za zovšeobecnenie Pytagorovej vety pre viacrozmerný priestor. Výsledkom však v skutočnosti nie je nič iné ako opakovaná aplikácia Pytagorovej vety na postupnosť pravouhlých trojuholníkov v postupne kolmých rovinách.

Vektorový priestor

V prípade ortogonálneho systému vektorov existuje rovnosť, ktorá sa nazýva aj Pytagorova veta:

Ak - toto sú projekcie vektora na súradnicové osi, potom sa tento vzorec zhoduje s euklidovskou vzdialenosťou - a znamená, že dĺžka vektora sa rovná druhej odmocnine súčtu druhých mocnín jeho zložiek.

Analóg tejto rovnosti v prípade nekonečného systému vektorov sa nazýva Parsevalova rovnosť.

Neeuklidovská geometria

Pytagorova veta je odvodená z axióm euklidovskej geometrie a v skutočnosti neplatí pre neeuklidovskú geometriu v podobe, v akej je napísaná vyššie. (To znamená, že Pytagorova veta je akýmsi ekvivalentom Euklidovho postulátu rovnobežnosti) Inými slovami, v neeuklidovskej geometrii bude vzťah medzi stranami trojuholníka nevyhnutne vo forme odlišnej od Pytagorovej vety. Napríklad v sférickej geometrii sú všetky tri strany pravouhlého trojuholníka (povedzme a, b A c), ktoré obmedzujú oktant (ôsmu časť) jednotkovej gule, majú dĺžku π/2, čo je v rozpore s Pytagorovou vetou, pretože a 2 + b 2 ≠ c 2 .

Uvažujme tu o dvoch prípadoch neeuklidovskej geometrie – sférickej a hyperbolickej geometrii; v oboch prípadoch, čo sa týka euklidovského priestoru pre pravouhlé trojuholníky, výsledok, ktorý nahrádza Pytagorovu vetu, vyplýva z kosínusovej vety.

Pytagorova veta však zostáva v platnosti pre hyperbolickú a eliptickú geometriu, ak sa požiadavka, že trojuholník je pravouhlý, nahradí podmienkou, že súčet dvoch uhlov trojuholníka sa musí rovnať tretiemu, povedzme A+B = C. Potom vzťah medzi stranami vyzerá takto: súčet plôch kruhov s priemermi a A b rovná ploche kruhu s priemerom c.

Sférická geometria

Pre ľubovoľný pravouhlý trojuholník na gule s polomerom R(napríklad ak je uhol γ v trojuholníku pravý) so stranami a, b, c Vzťah medzi stranami bude vyzerať takto:

Túto rovnosť možno odvodiť ako špeciálny prípad sférickej kosínusovej vety, ktorá platí pre všetky sférické trojuholníky:

kde cosh je hyperbolický kosínus. Tento vzorec je špeciálnym prípadom hyperbolickej kosínusovej vety, ktorá platí pre všetky trojuholníky:

kde γ je uhol, ktorého vrchol je oproti strane c.

Kde g ij nazývaný metrický tenzor. Môže to byť funkcia polohy. Takéto zakrivené priestory zahŕňajú Riemannovu geometriu ako všeobecný príklad. Táto formulácia je vhodná aj pre euklidovský priestor pri použití krivočiarych súradníc. Napríklad pre polárne súradnice:

Vektorové umelecké dielo

Pytagorova veta spája dva výrazy pre veľkosť vektorového súčinu. Jeden prístup k definovaniu krížového produktu vyžaduje, aby spĺňal rovnicu:

Tento vzorec používa bodkový produkt. Pravá strana rovnice sa nazýva Gramov determinant pre a A b, ktorá sa rovná ploche rovnobežníka tvoreného týmito dvoma vektormi. Na základe tejto požiadavky, ako aj požiadavky, aby vektorový súčin bol kolmý na jeho zložky a A b z toho vyplýva, že okrem triviálnych prípadov z 0- a 1-rozmerného priestoru je krížový súčin definovaný len v troch a siedmich dimenziách. Používame definíciu uhla v n-rozmerný priestor:

Táto vlastnosť krížového produktu dáva jeho veľkosť takto:

Prostredníctvom základnej trigonometrickej identity Pytagoras získavame inú formu zápisu jej hodnoty:

Alternatívnym prístupom k definovaniu krížového produktu je použitie výrazu pre jeho veľkosť. Potom, uvažovaním v opačnom poradí, získame spojenie so skalárnym súčinom:

pozri tiež

Poznámky

Téma histórie: Pytagorova veta v babylonskej matematike
( , s. 351) s
( , zväzok I, s. 144)
Diskusia o historických faktoch je uvedená v (, S. 351) S. 351
Kurt von Fritz (apríl 1945). "Objav nesúmerateľnosti Hippasom z Metaponta". The Annals of Mathematics, druhá séria(Annals of Mathematics) 46 (2): 242–264.
Lewis Carroll, „Príbeh s uzlami“, M., Mir, 1985, s. 7
Asger Aaboe Epizódy z ranej histórie matematiky. - Mathematical Association of America, 1997. - S. 51. - ISBN 0883856131
Návrh Pythonu od Elisha Scott Loomis
Euklidove Prvky: Kniha VI, výrok VI 31: „V pravouhlých trojuholníkoch sa obrazec na strane zvierajúcej pravý uhol rovná podobným a podobne opísaným obrazcom na stranách obsahujúcich pravý uhol.“
Lawrence S. Leff citované dielo. - Barronova náučná séria - S. 326. - ISBN 0764128922
Howard Whitley Eves§4.8:...zovšeobecnenie Pytagorovej vety // Veľké momenty v matematike (pred 1650). - Mathematical Association of America, 1983. - S. 41. - ISBN 0883853108
Tâbit ibn Qorra (celým menom Thābit ibn Qurra ibn Marwan Al-Ṣābiʾ al-Ḥarrānī) (826-901 nl) bol lekár žijúci v Bagdade, ktorý veľa písal o Euklidových prvkoch a iných matematických predmetoch.
Aydin Sayili (marec 1960). "Zobecnenie Pytagorovej vety Thâbit ibn Qurra." Isis 51 (1): 35–37. DOI:10.1086/348837.
Judith D. Sally, Paul Sally Cvičenie 2.10 (ii) // Citovaná práca. - S. 62. - ISBN 0821844032
Podrobnosti o takejto konštrukcii pozri George Jennings Obrázok 1.32: Zovšeobecnená Pytagorova veta // Moderná geometria s aplikáciami: so 150 obrazcami. - 3. - Springer, 1997. - S. 23. - ISBN 038794222X
Arlen Brown, Carl M. Pearcy Položka C: Norma pre ľubovoľné n-tuple ... // Úvod do analýzy . - Springer, 1995. - S. 124. - ISBN 0387943692 Pozri tiež strany 47-50.
Alfred Gray, Elsa Abbena, Simon Salamon Moderná diferenciálna geometria kriviek a plôch s Mathematica. - 3. - CRC Press, 2006. - S. 194. - ISBN 1584884487
Rajendra Bhatia Maticová analýza. - Springer, 1997. - S. 21. - ISBN 0387948465
Stephen W. Hawking citované dielo. - 2005. - S. 4. - ISBN 0762419229

Veta

V pravouhlom trojuholníku sa druhá mocnina dĺžky prepony rovná súčtu druhých mocnín dĺžok nôh (obr. 1):

$c^(2)=a^(2)+b^(2)$

Dôkaz Pytagorovej vety

Nech trojuholník $A B C$ je pravouhlý trojuholník s pravým uhlom $C$ (obr. 2).

Nakreslíme výšku od vrcholu $C$ po preponu $A B$ a základňu výšky označme ako $H$.

Pravoúhlý trojuholník $A C H$ je podobný trojuholníku $A B C$ v dvoch uhloch ($\uhol A C B=\uhol C H A=90^(\circ)$, $\uhol A$ je bežný). Podobne trojuholník $C B H$ je podobný ako $A B C$ .

Zavedením notového zápisu

$$B C=a, A C=b, A B=c$$

z podobnosti trojuholníkov dostaneme, že

$$\frac(a)(c)=\frac(H B)(a), \frac(b)(c)=\frac(A H)(b)$$

Odtiaľ to máme

$$a^(2)=c \cdot H B, b^(2)=c \cdot A H$$

Pridaním výsledných rovníc dostaneme

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot H B+c \cdot A H$$

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot(H B+A H)$$

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot A B$$

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot c$$

$$a^(2)+b^(2)=c^(2)$$

Q.E.D.

Geometrická formulácia Pytagorovej vety

Veta

V pravouhlom trojuholníku sa plocha štvorca postaveného na prepone rovná súčtu plôch štvorcov postavených na nohách (obr. 2):

Príklady riešenia problémov

Príklad

Cvičenie. Je daný pravouhlý trojuholník $A B C$, ktorého strany sú 6 cm a 8 cm Nájdite preponu tohto trojuholníka.

Riešenie. Podľa podmienky nohy $a=6$ cm, $b=8$ cm Potom podľa Pytagorovej vety druhá mocnina prepony

$c^(2)=a^(2)+b^(2)=6^(2)+8^(2)=36+64=100 $

Z toho získame požadovanú preponu

$c=\sqrt(100)=10$ (cm)

Odpoveď. 10 cm

Príklad

Cvičenie. Nájdite oblasť pravouhlého trojuholníka, ak je známe, že jedna z jeho nôh je o 5 cm väčšia ako druhá a prepona je 25 cm.

Riešenie. Nech $x$ cm je dĺžka menšej nohy, potom $(x+5)$ cm je dĺžka väčšej nohy. Potom podľa Pytagorovej vety máme:

$$x^(2)+(x+5)^(2)=25^(2)$$

Otvoríme zátvorky, zmenšíme podobné a vyriešime výslednú kvadratickú rovnicu:

$x^(2)+5 x-300=0$

Podľa Vietovej vety to získame

$x_(1)=15$ (cm) , $x_(2)=-20$ (cm)

Hodnota $x_(2)$ nespĺňa podmienky úlohy, čo znamená, že menšia noha má 15 cm a väčšia noha 20 cm.

Plocha pravouhlého trojuholníka sa rovná polovici súčinu dĺžok jeho nôh, to znamená

$$S=\frac(15 \cdot 20)(2)=15 \cdot 10=150\left(\mathrm(cm)^(2)\right)$$

Odpoveď.$S=150\vľavo(\mathrm(cm)^(2)\vpravo)$

Historický odkaz

Pytagorova veta- jedna zo základných teorém euklidovskej geometrie, stanovujúca vzťah medzi stranami pravouhlého trojuholníka.

Staroveká čínska kniha „Zhou Bi Xuan Jing“ hovorí o pytagorejskom trojuholníku so stranami 3, 4 a 5. Popredný nemecký historik matematiky Moritz Cantor (1829 - 1920) verí, že rovnosť $3^(2)+4^ (2)=5^ (2) $ poznali už Egypťania okolo roku 2300 pred Kristom. Podľa vedca potom stavitelia stavali pravé uhly pomocou pravouhlých trojuholníkov so stranami 3, 4 a 5. O Pytagorovej vete je medzi Babylončanmi známe niečo viac. Jeden text uvádza približný výpočet prepony rovnoramenného pravouhlého trojuholníka.

Text práce je uverejnený bez obrázkov a vzorcov.
Plná verzia diela je dostupná v záložke „Pracovné súbory“ vo formáte PDF

Úvod

V kurze školskej geometrie sa pomocou Pytagorovej vety riešia iba matematické úlohy. Bohužiaľ, otázka praktickej aplikácie Pytagorovej vety sa nezohľadňuje.

V tomto smere bolo cieľom mojej práce zistiť oblasti použitia Pytagorovej vety.

V súčasnosti sa všeobecne uznáva, že úspech rozvoja mnohých oblastí vedy a techniky závisí od rozvoja rôznych oblastí matematiky. Dôležitou podmienkou zvyšovania efektívnosti výroby je plošné zavádzanie matematických metód do techniky a národného hospodárstva, čo zahŕňa vytváranie nových efektívnych metód kvalitatívneho a kvantitatívneho výskumu, ktoré umožňujú riešiť problémy, ktoré prináša prax.

Zvážim príklady praktickej aplikácie Pytagorovej vety. Nebudem sa snažiť uvádzať všetky príklady použitia vety – to by bolo sotva možné. Rozsah vety je pomerne rozsiahly a vo všeobecnosti ho nemožno uviesť s dostatočnou úplnosťou.

hypotéza:

Pomocou Pytagorovej vety môžete riešiť nielen matematické problémy.

Pre túto výskumnú prácu je definovaný nasledujúci cieľ:

Zistite oblasti použitia Pytagorovej vety.

Na základe vyššie uvedeného cieľa boli určené nasledujúce úlohy:

Zbierajte informácie o praktickej aplikácii Pytagorovej vety v rôznych zdrojoch a určte oblasti aplikácie vety.

Preštudujte si niekoľko historických informácií o Pytagorasovi a jeho vete.

Ukážte aplikáciu vety pri riešení historických problémov.

Spracujte zozbierané údaje k téme.

Zaoberal som sa vyhľadávaním a zbieraním informácií – štúdiom tlačených materiálov, prácou s materiálom na internete, spracovaním zozbieraných údajov.

Metodológie výskumu:

Štúdium teoretického materiálu.

Štúdium výskumných metód.

Praktická realizácia štúdie.

Komunikatívne (metóda merania, dotazník).

Typ projektu: informácií a výskumu. Práce sa robili vo voľnom čase.

O Pytagorasovi.

Pytagoras - starogrécky filozof, matematik, astronóm. Doložil mnohé vlastnosti geometrických útvarov, vypracoval matematickú teóriu čísel a ich proporcií. Významne prispel k rozvoju astronómie a akustiky. Autor Zlatých veršov, zakladateľ pytagorejskej školy v Krotóne.

Podľa legendy sa Pytagoras narodil okolo roku 580 pred Kristom. e. na ostrove Samos v bohatej kupeckej rodine. Jeho matka, Pyphasis, dostala svoje meno na počesť Pythie, kňažky Apolla. Pythia predpovedala Mnesarchovi a jeho manželke narodenie syna, syn bol tiež pomenovaný po Pythii. Podľa mnohých starodávnych svedectiev bol chlapec rozprávkovo krásny a čoskoro ukázal svoje mimoriadne schopnosti. Prvé poznatky získal od svojho otca Mnesarcha, klenotníka a rezbára drahých kameňov, ktorý sníval o tom, že jeho syn bude pokračovať v podnikaní. Život však rozhodol inak. Budúci filozof preukázal veľké schopnosti pre vedu. Medzi učiteľmi Pytagoras boli Pherecydes zo Syros a starší Hermodamant. Prvý vštepil chlapcovi lásku k vede a druhý - k hudbe, maľbe a poézii. Následne sa Pytagoras stretol so slávnym filozofom a matematikom Thalesom z Milétu a na jeho radu odišiel do Egypta, centra vtedajšej vedeckej a výskumnej činnosti. Po 22 rokoch života v Egypte a 12 rokoch v Babylone sa vrátil na ostrov Samos, potom ho z neznámych dôvodov opustil a presťahoval sa do mesta Croton v južnom Taliansku. Tu vytvoril pytagorejskú školu (úniu), v ktorej sa študovali rôzne otázky filozofie a matematiky. Vo veku približne 60 rokov sa Pytagoras oženil s Theano, jednou zo svojich žiačok. Majú tri deti, z ktorých všetky sa stanú nasledovníkmi svojho otca. Vtedajšie historické pomery sa vyznačujú širokým pohybom démos proti moci aristokratov. Na úteku pred vlnami ľudového hnevu sa Pytagoras a jeho študenti presťahovali do mesta Tarentum. Podľa jednej verzie: Prišiel za ním Kilon, bohatý a zlý muž, ktorý sa chcel v opitosti pripojiť k bratstvu. Keď bol Cylon odmietnutý, začal bojovať s Pytagorasom. Počas požiaru študenti na vlastné náklady zachránili život učiteľa. Pytagoras zosmutnel a čoskoro spáchal samovraždu.

Treba poznamenať, že toto je jedna z možností jeho biografie. Presné dátumy jeho narodenia a smrti neboli stanovené, mnohé fakty o jeho živote sú protichodné. Jedno je však jasné: tento muž žil a zanechal svojim potomkom veľké filozofické a matematické dedičstvo.

Pytagorova veta.

Pytagorova veta je najdôležitejším výrokom geometrie. Veta je formulovaná takto: plocha štvorca postaveného na prepone pravouhlého trojuholníka sa rovná súčtu plôch štvorcov postavených na jeho nohách.

Objav tohto výroku sa pripisuje Pytagorasovi zo Samosu (12. storočie pred Kristom)

Štúdium babylonských klinopisných tabuliek a starých čínskych rukopisov (kópie ešte starodávnejších rukopisov) ukázalo, že slávna veta bola známa dávno pred Pytagorasom, možno niekoľko tisíc rokov pred ním.

(Ale existuje predpoklad, že Pytagoras o tom podal úplný dôkaz)

Existuje však aj iný názor: v pytagorejskej škole bol úžasný zvyk pripisovať všetky zásluhy Pythagorovi a nepripisovať si slávu objaviteľov, s výnimkou niekoľkých prípadov.

(Iamblichus-sýrsky grécky hovoriaci spisovateľ, autor traktátu „Život Pytagorasa.“ (2. storočie n. l.)

Nemecký matematický historik Cantor sa teda domnieva, že rovnosť 3 2 + 4 2 = 5 2 bola

poznali Egypťania okolo roku 2300 pred Kristom. e. za čias kráľa Amenehmeta (podľa papyrusu 6619 Berlínskeho múzea). Niektorí veria, že Pytagoras dal vetu úplný dôkaz, zatiaľ čo iní mu túto zásluhu popierajú.

Niektorí pripisujú Pytagorasovi dôkaz, ktorý dal Euklides vo svojich Prvkoch. Na druhej strane Proclus (matematik, 5. storočie) tvrdí, že dôkaz v Prvkoch patril samotnému Euklidovi, to znamená, že dejiny matematiky nezachovali takmer žiadne spoľahlivé údaje o matematickej činnosti Pytagorasa. V matematike snáď neexistuje žiadna iná veta, ktorá by si zaslúžila všetky druhy prirovnaní.

V niektorých zoznamoch Euklidových prvkov sa táto veta nazývala „nymfou“ pre podobnosť kresby s včelou, motýľom („motýľová veta“), ktorá sa v gréčtine nazývala nymfa. Gréci toto slovo používali na pomenovanie niektorých ďalších bohýň, ale aj mladých žien a neviest. Arabský prekladateľ nevenoval pozornosť kresbe a preložil slovo „nymfa“ ako „nevesta“. Takto sa objavilo láskavé meno „veta nevesty“. Existuje legenda, že keď Pytagoras zo Samosu dokázal svoju vetu, poďakoval bohom obetovaním 100 býkov. Preto ďalšie meno - „teorém sto býkov“.

V anglicky hovoriacich krajinách sa tomu hovorilo: „veterný mlyn“, „páví chvost“, „stolička nevesty“, „oslí most“ (ak ho študent nemohol „prejsť“, bol to skutočný „osol“).

V predrevolučnom Rusku sa kresba Pytagorovej vety pre prípad rovnoramenného trojuholníka nazývala „Pytagorove nohavice“.

Tieto „nohavice“ sa objavia, keď postavíte štvorce na každej strane pravouhlého trojuholníka smerom von.

Koľko rôznych dôkazov Pytagorovej vety existuje?

Od čias Pytagora sa ich objavilo viac ako 350. Veta bola zapísaná do Guinessovej knihy rekordov. Ak analyzujeme dôkazy vety, používajú niekoľko zásadne odlišných myšlienok.

Oblasti použitia vety.

Je široko používaný pri riešení geometrickýúlohy.

S jeho pomocou môžete geometricky nájsť hodnoty druhých odmocnín celých čísel:

Aby sme to dosiahli, postavíme pravouhlý trojuholník AOB (uhol A je 90°) s nohami jednotky. Potom je jeho prepona √2. Potom zostrojíme jednotkový segment BC, BC je kolmý na OB, dĺžka prepony OC = √3 atď.

(s touto metódou sa stretávame u Euklida a F. Kirenského).

Známe úlohy fyzikov Stredné školy vyžadujú znalosť Pytagorovej vety.

Ide o problémy súvisiace so sčítaním rýchlostí.

Venujte pozornosť snímke: úloha z učebnice fyziky pre 9. ročník. V praktickom zmysle to možno formulovať takto: pod akým uhlom k toku rieky by sa mala loď prepravujúca cestujúcich medzi mólami pohybovať, aby dodržala harmonogram (móla sú na opačných brehoch rieky)

Keď biatlonista strieľa na terč, robí „úpravu podľa vetra“. Ak vietor fúka sprava a športovec strieľa rovno, guľka pôjde doľava. Aby ste zasiahli cieľ, musíte posunúť zameriavač doprava o vzdialenosť, o ktorú je guľka posunutá. Boli pre nich zostavené špeciálne tabuľky (na základe dôsledkov z Pytagoras). Biatlonista vie, pod akým uhlom pohnúť zameriavačom, keď je známa rýchlosť vetra.

astronómia - aj široký priestor pre aplikáciu vety Dráha svetelného lúča. Obrázok ukazuje cestu svetelného lúča z A do B a späť. Dráha lúča je kvôli prehľadnosti znázornená zakrivenou šípkou, v skutočnosti je svetelný lúč rovný.

Akú dráhu má lúč?? Svetlo sa pohybuje rovnakou cestou tam a späť. Aká je polovica vzdialenosti, ktorú lúč prejde? Ak označíme segment AB symbol l, polovicu času ako t, a tiež označujúce rýchlosť svetla s písmenom c, potom bude mať naša rovnica tvar

c * t = l

Toto je výsledok stráveného času a rýchlosti!

Teraz sa skúsme pozrieť na ten istý jav z inej referenčnej sústavy, napríklad z kozmickej lode prelietajúcej okolo lúča rýchlosťou v. Pri takomto pozorovaní sa zmenia rýchlosti všetkých telies a stacionárne telesá sa začnú pohybovať rýchlosťou v v opačnom smere. Predpokladajme, že loď sa pohybuje doľava. Potom sa dva body, medzi ktorými zajačik beží, začnú pohybovať doprava rovnakou rýchlosťou. Navyše, zatiaľ čo zajačik beží svojou cestou, východiskovým bodom A posunie a lúč sa vráti do nového bodu C.

Otázka: Koľko času má bod pohnúť sa (premeniť sa na bod C), kým sa svetelný lúč pohybuje? Presnejšie: aká je polovica tohto výtlaku? Ak polovicu doby dojazdu lúča označíme písmenom t" a polovičná vzdialenosť A.C. list d, potom dostaneme našu rovnicu v tvare:

v * t" = d

List v označuje rýchlosť kozmickej lode.

Ďalšia otázka: ako ďaleko prejde svetelný lúč?(Presnejšie, aká je polovica tejto cesty? Aká je vzdialenosť od neznámeho objektu?)

Ak polovicu dĺžky svetelnej dráhy označíme písmenom s, dostaneme rovnicu:

c * t" = s

Tu c je rýchlosť svetla a t"- toto je rovnaký čas, ako je uvedené vyššie.

Teraz zvážte trojuholník ABC. Toto je rovnoramenný trojuholník, ktorého výška je l, ktorý sme predstavili pri posudzovaní procesu z pevného hľadiska. Keďže pohyb je kolmý l, potom ju to nemohlo ovplyvniť.

Trojuholník ABC zložený z dvoch polovíc - identických pravouhlých trojuholníkov, ktorých prepony AB A B.C. musia byť spojené s nohami podľa Pytagorovej vety. Jedna z nôh je d, ktorú sme práve vypočítali, a druhá vetva je s, ktorou prechádza svetlo a ktorú sme tiež vypočítali.

s 2 = l 2 +d 2

Toto je Pytagorova veta!

Fenomén hviezdna aberácia, objavený v roku 1729 je, že všetky hviezdy na nebeskej sfére opisujú elipsy. Hlavná os týchto elips je pozorovaná zo Zeme pod uhlom 20,5 stupňa. Tento uhol je spojený s pohybom Zeme okolo Slnka rýchlosťou 29,8 km za hodinu. Aby bolo možné pozorovať hviezdu z pohybujúcej sa Zeme, je potrebné nakloniť tubus ďalekohľadu dopredu spolu s pohybom hviezdy, pretože zatiaľ čo svetlo sa pohybuje po dĺžke ďalekohľadu, okulár sa pohybuje dopredu spolu so zemou. Sčítanie rýchlostí svetla a Zeme sa robí vektorovo, pomocou tzv.

Pytagoras. U2=C2+V2

C-rýchlosť svetla

V-pozemná rýchlosť

Tubus teleskopu

Na konci devätnásteho storočia vznikli rôzne domnienky o existencii ľudí podobných obyvateľov Marsu, čo bol dôsledok objavov talianskeho astronóma Schiaparelliho (objavil kanály na Marse, ktoré boli dlho považované za umelé). Prirodzene, otázka, či je možné s týmito hypotetickými tvormi komunikovať pomocou svetelných signálov, vyvolala živú diskusiu. Parížska akadémia vied dokonca stanovila cenu 100 000 frankov pre prvého človeka, ktorý nadviaže kontakt s akýmkoľvek obyvateľom iného nebeského telesa; táto cena stále čaká na šťastného výhercu. Ako vtip, aj keď nie celkom bezdôvodne, sa rozhodlo vyslať signál obyvateľom Marsu v podobe Pytagorovej vety.

Nie je známe, ako to urobiť; ale každému je jasné, že matematický fakt vyjadrený Pytagorovou vetou platí všade, a preto takýto signál musia pochopiť aj obyvatelia iného sveta podobného nám.

mobilné pripojenie

Kto v modernom svete nepoužíva mobilný telefón? Každý predplatiteľ mobilného telefónu sa zaujíma o jeho kvalitu. A kvalita zase závisí od výšky antény mobilného operátora. Na výpočet polomeru, v ktorom je možné prijímať prenos, používame Pytagorova veta.

Akú maximálnu výšku by mala mať anténa mobilného operátora, aby bolo možné prijímať prenosy v okruhu R=200 km? (Polomer Zeme je 6380 km.)

Riešenie:

Nechaj AB = x , BC=R=200 km , OC= r = 6380 km.

OB=OA+ABOB=r + x.

Pomocou Pytagorovej vety dostaneme Odpoveď: 2,3 km.

Pri stavbe domov a chát často vzniká otázka dĺžky krokiev pre strechu, ak už boli vyrobené trámy. Napríklad: plánuje sa postaviť sedlovú strechu na dome (sekčný tvar). Akú dĺžku by mali mať krokvy, ak sú nosníky AC=8 m, a AB=BF.

Riešenie:

Trojuholník ADC je rovnoramenný AB=BC=4 m, BF=4 m Ak predpokladáme, že FD=1,5 m, potom:

A) Z trojuholníka DBC: DB=2,5 m.

B) Z trojuholníka ABF:

okno

V budovách Gotický a románsky štýl horné časti okien sú členené kamennými rebrami, ktoré plnia nielen úlohu ornamentu, ale prispievajú aj k pevnosti okien. Obrázok ukazuje jednoduchý príklad takéhoto okna v gotickom štýle. Spôsob konštrukcie je veľmi jednoduchý: Z obrázku je ľahké nájsť stredy šiestich oblúkov kružníc, ktorých polomery sú rovnaké.

šírka okna (b) pre vonkajšie oblúky

polovičná šírka, (b/2) pre vnútorné oblúky

Zostáva úplný kruh dotýkajúci sa štyroch oblúkov. Keďže je uzavretý medzi dvoma sústrednými kružnicami, jeho priemer sa rovná vzdialenosti medzi týmito kružnicami, t.j. b/2, a preto je polomer b/4. A potom sa vyjasní a

polohu jeho stredu.

IN románska architektúra Motív zobrazený na obrázku sa často nachádza. Ak b stále označuje šírku okna, potom polomery polkruhov budú R = b / 2 a r = b / 4. Polomer p vnútorného kruhu možno vypočítať z pravouhlého trojuholníka znázorneného na obr. bodkovaná čiara Prepona tohto trojuholníka prechádzajúceho bodom dotyku kružníc sa rovná b/4+p, jedna strana sa rovná b/4 a druhá je b/2-p. Podľa Pytagorovej vety máme:

(b/4+p)2 = (b/4)2 +(b/4-p) 2

b2/16+ bp/2+p2=b2/16+b2/4 - bp/2+p2,

Po delení b a získaní podobných výrazov dostaneme:

(3/2) p=b/4, p=b/6.

V lesnom priemysle: pre stavebné potreby sa polená režú na trámy, pričom hlavnou úlohou je získať čo najmenej odpadu. Najmenšie množstvo odpadu vznikne vtedy, keď má drevo najväčší objem. Čo by malo byť v sekcii? Ako je zrejmé z riešenia, prierez musí byť štvorcový, a Pytagorova veta a ďalšie úvahy nám umožňujú vyvodiť takýto záver.

Drevo s najväčším objemom

Úloha

Z valcového guľatiny musíte vyrezať obdĺžnikový lúč najväčšieho objemu. Aký tvar má mať jeho prierez (obr. 23)?

Riešenie

Ak sú strany pravouhlého rezu x a y, potom podľa Pytagorovej vety

x 2 + y 2 = d 2,

kde d je priemer guľatiny. Objem lúča je najväčší, keď je jeho prierez najväčší, teda keď xy dosiahne svoju najväčšiu hodnotu. Ale ak je xy najväčšie, potom súčin x 2 y 2 bude tiež najväčší. Keďže súčet x 2 + y 2 je nezmenený, potom podľa toho, čo bolo dokázané skôr, súčin x 2 y 2 je najväčší, keď

x2 = y2 alebo x = y.

Takže prierez lúča by mal byť štvorcový.

Dopravné úlohy(tzv. optimalizačné problémy; problémy, ktorých riešenie nám umožňuje odpovedať na otázku: ako alokovať finančné prostriedky na dosiahnutie veľkých výhod)

Na prvý pohľad nič zvláštne: zmerajte výšku od podlahy po strop v niekoľkých bodoch, odpočítajte niekoľko centimetrov, aby sa skrinka neopierala o strop. Týmto spôsobom môžu vzniknúť ťažkosti v procese montáže nábytku. Nábytkári totiž montujú rám tak, že skrinku postavia do vodorovnej polohy a keď je rám zložený, zdvihnú ho do zvislej polohy. Pozrime sa na bočnú stenu skrine. Výška skrine by mala byť o 10 cm menšia ako vzdialenosť od podlahy k stropu za predpokladu, že táto vzdialenosť nepresiahne 2500 mm. A hĺbka skrine je 700 mm. Prečo 10 cm a nie 5 cm alebo 7 a čo s tým má spoločné Pytagorova veta?

Takže: bočná stena 2500-100=2400 (mm) - maximálna výška konštrukcie.

Počas procesu zdvíhania rámu musí bočná stena voľne prechádzať vertikálne aj diagonálne. Autor: Pytagorova veta

AC = √ AB 2 + BC 2

AC = √ 2400 2 + 700 2 = 2500 (mm)

Čo sa stane, ak sa výška skrine zníži o 50 mm?

AC = √ 2450 2 + 700 2 = 2548 (mm)

Uhlopriečka 2548 mm. To znamená, že nemôžete nainštalovať skrinku (mohli by ste zničiť strop).

Bleskozvod.

Je známe, že bleskozvod chráni pred bleskom všetky predmety, ktorých vzdialenosť od jeho základne nepresahuje dvojnásobok jeho výšky. Je potrebné určiť optimálnu polohu bleskozvodu na sedlovej streche so zabezpečením jej najnižšej prístupnej výšky.

Podľa Pytagorovej vety h 2 ≥a 2 +b 2 znamená h≥(a 2 +b 2) 1/2

Naliehavo potrebujeme urobiť skleník pre sadenice na našej letnej chate.

Štvorec 1m1m je vyrobený z dosiek. Sú tam zvyšky fólie s rozmermi 1,5 m1,5 m. V akej výške v strede štvorca by mal byť pás pripevnený tak, aby ho film úplne zakryl?

1) Skleníková uhlopriečka d==1,4;0,7

2) Uhlopriečka filmu d 1= 2,12 1,06

3) Výška koľajnice x= 0,7

Záver

Výsledkom výskumu som zistil niektoré oblasti použitia Pytagorovej vety. Na túto tému som zozbieral a spracoval množstvo materiálu z literárnych zdrojov a internetu. Naštudoval som si niekoľko historických informácií o Pytagorasovi a jeho vete. Áno, skutočne, pomocou Pytagorovej vety môžete vyriešiť nielen matematické problémy. Pytagorova veta našla svoje uplatnenie v stavebníctve a architektúre, mobilných komunikáciách a literatúre.

Štúdium a analýza zdrojov informácií o Pytagorovej vete

ukázal, že:

A) výhradná pozornosť matematikov a milovníkov matematiky vete sa zakladá na jej jednoduchosti, kráse a význame;

b) po mnoho storočí slúžila Pytagorova veta ako impulz pre zaujímavé a dôležité matematické objavy (Fermatova veta, Einsteinova teória relativity);

V) Pytagorova veta – je stelesnením univerzálneho jazyka matematiky, platného na celom svete;

G) rozsah vety je pomerne rozsiahly a vo všeobecnosti ho nemožno uviesť s dostatočnou úplnosťou;

d) tajomstvá Pytagorovej vety stále vzrušujú ľudstvo, a preto má každý z nás šancu zapojiť sa do ich objavovania.

Bibliografia

„Uspekhi Matematicheskikh Nauk“, 1962, zv. 17, č.

Alexander Danilovič Alexandrov (na jeho päťdesiate narodeniny),

Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Geometria, 10 - 11 buniek. - M.: Vzdelávanie, 1992.

Atanasyan L.S. a ďalšie, 10 - 11 buniek. - M.: Vzdelávanie, 1992.

Vladimirov Yu.S. Priestor – čas: explicitné a skryté dimenzie. - M.: „Veda“, 1989.

Voloshin A.V. Pytagoras. - M.: Vzdelávanie, 1993.

Noviny "Matematika", číslo 21, 2006.

Noviny "Matematika", číslo 28, 1995.

Geometria: Učebnica. Pre 7-11 ročníkov. stredná škola/ G.P. Bevz, V.G. Bevz, N.G. Vladimírovej. - M.: Vzdelávanie, 1992.

Geometria: Učebnica pre 7. - 9. ročník. všeobecné vzdelanie Inštitúcie/ L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev a kol. - M.: Vzdelávanie, 1996.

Glazer G.I. Dejiny matematiky v škole: IX - X ročník. Manuál pre učiteľov. - M.: Vzdelávanie, 1983.

Doplnkové kapitoly k školskej učebnici 8. ročníka: Učebnica pre žiakov školy. a pokročilé triedy študoval matematika / L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev a kol. - M.: Vzdelávanie, 1996.

Yelensky Shch Po stopách Pytagoras. M., 1961.

Kiselev A.P., Rybkin N.A. Geometria: Planimetria: 7 - 9 ročníkov: Učebnica a učebnica úloh. - M.: Drop, 1995.

Klein M. Matematika. Hľadaj pravdu: Preklad z angličtiny. / Ed. a predslov IN AND. Aršinová, Yu.V. Sachkovej. - M.: Mir, 1998.

Liturman V. Pytagorova veta. - M., 1960.

Matematika: Príručka pre školákov a študentov / B. Frank a kol.; Preklad s ním. - 3. vyd., stereotyp. - M.: Drop, 2003.

Peltuer A. Kto ste Pytagoras? - M.: Vedomosti sú sila, č.12, 1994.

Perelman Ya I. Zábavná matematika. - M.: „Veda“, 1976.

Ponomareva T.D. Veľkí vedci. - M.: Astrel Publishing House LLC, 2002.

Sveshnikova A. Cesta do dejín matematiky. - M., 1995.

Semenov E.E. Štúdium geometrie: Kniha. Pre žiakov 6. - 8. ročníka. školský priemer - M.: Vzdelávanie, 1987.

Smyshlyaev V.K. O matematike a matematikoch. - Mari Book Publishing House, 1977.

Tuchnin N.P. Ako položiť otázku. - M.: Vzdelávanie, 1993.

Čerkasov O.Yu. Planimetria na prijímacej skúške. - M.: Moskovské lýceum, 1996.

Encyklopedický slovník mladého matematika. Comp. A.P. Savin. - M.: Pedagogika, 1985.

Encyklopédia pre deti. T. 11. Matematika. /Kapitola Ed. M.D. Aksenov. - M.: Avanta +, 2001.