Pomoc na Tele2, tarify, otázky

Z bodu A okružnej trate, ktorej dĺžka je 75 km, vyštartovali súčasne dve autá rovnakým smerom. Rýchlosť prvého auta je 89 km/h, rýchlosť druhého auta je 59 km/h. Koľko minút po štarte bude prvé auto pred druhým presne o jedno kolo?

Riešenie problému

Táto lekcia ukazuje, ako pomocou fyzikálneho vzorca na určenie času pri rovnomernom pohybe: vytvorte pomer na určenie času, kedy jedno auto predbehne druhé v kruhu. Pri riešení problému je na vyriešenie takýchto problémov uvedená jasná postupnosť akcií: zadáme konkrétne označenie toho, čo chceme nájsť, zapíšeme si čas, za ktorý jedno a druhé auto prejde určitý počet kôl. berúc do úvahy, že tento čas je rovnaká hodnota - výsledné rovnosti dávame na roveň . Riešenie spočíva v hľadaní neznámej veličiny v lineárnej rovnici. Ak chcete získať výsledky, nezabudnite nahradiť počet získaných kôl do vzorca na určenie času.

Riešenie tohto problému sa odporúča žiakom 7. ročníka pri štúdiu témy „Matematický jazyk. Matematický model (Lineárna rovnica s jednou premennou). Pri príprave na OGE sa odporúča lekcia pri opakovaní témy „Matematický jazyk. Matematický model“.

Uverejnené dňa 23.03.2018

Cyklista opustil bod A okružnej trasy.

Po 30 minútach sa ešte nevrátil do bodu A a z bodu A za ním išiel motorkár. 10 minút po odjazde prvýkrát dobehol cyklistu,

a o 30 minút neskôr som ho dobehol druhýkrát.

Nájdite rýchlosť motocyklistu, ak je dĺžka trasy 30 km.

Svoju odpoveď uveďte v km/h

matematický problém

vzdelanie

odpoveď

komentovať

K obľúbeným

Svetl-ana02-02

pred 23 hodinami

Ak som správne pochopil podmienku, motorkár odišiel pol hodiny po štarte cyklistu. V tomto prípade riešenie vyzerá takto.

Cyklista prejde rovnakú vzdialenosť za 40 minút a motocyklista za 10 minút teda rýchlosť motocyklistu je štvornásobná oproti rýchlosti cyklistu.

Povedzme, že cyklista sa pohybuje rýchlosťou x km/h, potom je rýchlosť motocyklistu 4x km/h. Pred druhým stretnutím uplynie (1/2 + 1/2 + 1/6) = 7/6 hodín od štartu cyklistu a (1/2 + 1/6) = 4/6 hodín od motorkár štartuje. Do druhého stretnutia bude mať cyklista najazdené (7x/6) km a motocyklista (16x/6) km, ktorý predbehol cyklistu o jedno kolo, t.j. prešli o 30 km viac. Dostaneme rovnicu.

16x/6 - 7x/6 = 30, odkiaľ

Cyklista teda išiel rýchlosťou 20 km/h, čo znamená, že motocyklista išiel rýchlosťou (4*20) = 80 km/h.

Odpoveď. Rýchlosť motocyklistu je 80 km/h.

komentovať

K obľúbeným

poďakovať

Vdtes-t

pred 22 hodinami

Ak je riešenie v km/h, potom musí byť čas vyjadrený v hodinách.

Označme

v rýchlosť cyklistu

m rýchlosť motocyklistu

Po pol hodine sledoval cyklistu z bodu A motocyklista. ⅙ hodinu po odjazde prvýkrát dobehol cyklistu

Cestu prejdenú pred prvým stretnutím zapíšeme vo forme rovnice:

a ďalšiu ½ hodiny nato ho motorkár dobehol druhýkrát.

Prejdenú cestu k druhému stretnutiu zapíšeme vo forme rovnice:

Riešime systém dvoch rovníc:

Zjednodušíme prvú rovnicu (vynásobením oboch strán číslom 6):

Dosaďte m do druhej rovnice:

Rýchlosť cyklistu je 20 km/h

Určenie rýchlosti motocyklistu

Odpoveď: rýchlosť motorkára je 80 km/h

Sekcie: Matematika

Typ lekcie: opakovacia a zovšeobecňujúca lekcia.

Ciele lekcie:

• vzdelávacie
– opakovať metódy riešenia rôznych typov slovných úloh s pohybom
• rozvíjanie
- rozvíjať reč žiakov obohacovaním a komplikovaním slovnej zásoby, rozvíjať myslenie žiakov schopnosťou analyzovať, zovšeobecňovať a systematizovať látku
• vzdelávacie
– formovanie humánneho postoja žiakov k účastníkom vzdelávacieho procesu

Vybavenie lekcie:

• interaktívna tabuľa;
• obálky so zadaniami, tematické kontrolné karty, karty konzultantov.

Štruktúra lekcie.

Formy organizácie kognitívnej činnosti študentov:

• frontálna forma kognitívnej aktivity - v štádiách II, IY, Y.
• skupinová forma kognitívnej činnosti - v štádiu III.

Vyučovacie metódy: verbálne, názorné, praktické, výkladovo - názorné, reproduktívne, čiastočne - rešeršné, analytické, porovnávacie, zovšeobecňujúce, traduktívne.

Učiteľ oznámi tému hodiny, ciele hodiny a hlavné body hodiny. Kontroluje pripravenosť triedy na prácu.

Odpovedz na otázku.

1. Aký druh pohybu sa nazýva rovnomerný (pohyb konštantnou rýchlosťou).
2. Aký je vzorec pre cestu s rovnomerným pohybom ( S = Vt).
3. Z tohto vzorca vyjadrite rýchlosť a čas.
4. Zadajte merné jednotky.
5. Prevod rýchlostných jednotiek

Celá trieda je rozdelená do skupín (5-6 ľudí v skupine). Odporúča sa mať v jednej skupine študentov rôznych úrovní zručností. Medzi nimi je určený vedúci skupiny (najsilnejší študent), ktorý bude viesť prácu skupiny.

Všetky skupiny dostanú obálky so zadaniami (sú rovnaké pre všetky skupiny), kartičky konzultantov (pre slabých žiakov) a tematické kontrolné hárky. V tematických kontrolných hárkoch vedúci skupiny hodnotí každého žiaka v skupine za každú úlohu a zaznamenáva ťažkosti, s ktorými sa žiaci stretli pri plnení konkrétnych úloh.

Karta s úlohami pre každú skupinu.

№ 5.

č. 7. Motorový čln prešiel 112 km proti prúdu rieky a vrátil sa do východiskového bodu, pričom na spiatočnej ceste strávil o 6 hodín menej. Nájdite rýchlosť prúdu, ak je rýchlosť člna na stojatej vode 11 km/h. Svoju odpoveď uveďte v km/h.

č. 8. Motorová loď prejde po rieke do cieľa 513 km a po zastavení sa vráti do východiskového bodu. Zistite rýchlosť lode na stojatej vode, ak je aktuálna rýchlosť 4 km/h, pobyt trvá 8 hodín a loď sa vráti do východiskového bodu 54 hodín po odchode. Svoju odpoveď uveďte v km/h.

Ukážka tematickej kontrolnej karty.

Kartové konzultanti.

Analyzujú sa problémy, ktoré študentom spôsobili ťažkosti.

č. 1. Z dvoch miest, ktorých vzdialenosť je 480 km, išli proti sebe súčasne dve autá. Po koľkých hodinách sa autá stretnú, ak ich rýchlosť bude 75 km/h a 85 km/h?

1. 75 + 85 = 160 (km/h) – nájazdová rýchlosť.
2. 480 : 160 = 3 (h).

Odpoveď: autá sa stretnú o 3 hodiny.

č. 2. Z miest A a B, ktorých vzdialenosť je 330 km, súčasne odišli dve autá oproti sebe a stretli sa po 3 hodinách vo vzdialenosti 180 km od mesta B. Zistite rýchlosť auta, ktoré opustilo mesto A Uveďte odpoveď v km/h.

1. (330 – 180) : 3 = 50 (km/h)

Odpoveď: rýchlosť auta opúšťajúceho mesto A je 50 km/h.

č.3. Motorista a cyklista odchádzali súčasne z bodu A do bodu B, pričom vzdialenosť medzi nimi je 50 km. Je známe, že motorista prejde za hodinu o 65 km viac ako cyklista. Určte rýchlosť cyklistu, ak je známe, že prišiel do bodu B o 4 hodiny 20 minút neskôr ako motorista. Svoju odpoveď uveďte v km/h.

Urobme si stôl.

Vytvorme rovnicu, berúc do úvahy, že 4 hodiny 20 minút =

Je zrejmé, že x = -75 nezodpovedá podmienkam problému.

Odpoveď: Rýchlosť cyklistu je 10 km/h.

č. 4. Dvaja motocyklisti štartujú súčasne rovnakým smerom z dvoch diametrálne odlišných bodov na okružnej trati, ktorej dĺžka je 14 km. Koľko minút bude trvať, kým sa motorkári prvýkrát stretnú, ak rýchlosť jedného z nich je o 21 km/h väčšia ako rýchlosť druhého?

Urobme si stôl.

Vytvorme rovnicu.

Odpoveď: o 20 minút prejdú motorkári prvý raz.

č.5. Z jedného bodu na okružnej trati, ktorej dĺžka je 12 km, vyštartovali súčasne dva vozy v rovnakom smere. Rýchlosť prvého auta je 101 km/h a 20 minút po štarte bolo o kolo pred druhým autom. Nájdite rýchlosť druhého auta. Svoju odpoveď uveďte v km/h.

Urobme si stôl.

Vytvorme rovnicu.

Odpoveď: rýchlosť druhého auta je 65 km/h.

č. 6. Cyklista opustil bod A okružnej trate a o 40 minút ho nasledoval motocyklista. 8 minút po odjazde dobehol cyklistu prvýkrát a o ďalších 36 minút ho dobehol druhýkrát. Nájdite rýchlosť motocyklistu, ak je dĺžka trasy 30 km. Svoju odpoveď uveďte v km/h.

Urobme si stôl.

Sekcie: Matematika

Článok pojednáva o problémoch, ktoré majú žiakom pomôcť: rozvíjať zručnosti pri riešení slovných úloh pri príprave na Jednotnú štátnu skúšku, pri učení sa riešiť úlohy vytvárať matematický model reálnych situácií vo všetkých paralelách základnej a strednej školy. Predkladá úlohy: na pohyb v kruhu; nájsť dĺžku pohybujúceho sa objektu; zistiť priemernú rýchlosť.

I. Problémy spojené s pohybom v kruhu.

Problémy s kruhovým pohybom sa ukázali ako ťažké pre mnohých školákov. Riešia sa takmer rovnako ako bežné pohybové problémy. Používajú aj vzorec. Ale je tu jeden bod, ktorému by sme chceli venovať pozornosť.

Úloha 1. Cyklista opustil bod A kruhovej trate a o 30 minút neskôr ho nasledoval motocyklista. 10 minút po odjazde prvýkrát dobehol cyklistu a o ďalších 30 minút ho dobehol druhýkrát. Nájdite rýchlosť motocyklistu, ak je dĺžka trasy 30 km. Svoju odpoveď uveďte v km/h.

Riešenie. Rýchlosti účastníkov budú brané ako X km/h a y km/h. Prvýkrát predbehol motocyklista cyklistu o 10 minút neskôr, teda hodinu po štarte. Do tohto bodu bol cyklista na ceste 40 minút, teda hodín. Účastníci pohybu prešli rovnaké vzdialenosti, teda y = x. Zadáme údaje do tabuľky.

stôl 1

Motocyklista potom prešiel okolo cyklistu druhýkrát. Stalo sa tak o 30 minút neskôr, teda hodinu po prvom predbiehaní. Ako ďaleko cestovali? Motorkár predbehol cyklistu. To znamená, že dokončil ešte jedno kolo. Toto je moment

ktorým je potrebné venovať pozornosť. Jedno kolo je dĺžka trate, je to 30 km. Vytvoríme ďalšiu tabuľku.

tabuľka 2

Dostaneme druhú rovnicu: y - x = 30. Máme sústavu rovníc: V odpovedi uvádzame rýchlosť motocyklistu.

Odpoveď: 80 km/h.

Úlohy (nezávisle).

I.1.1. Cyklista opustil bod „A“ okružnej trasy a po 40 minútach ho nasledoval motocyklista. 10 minút po odjazde prvýkrát dobehol cyklistu a o ďalších 36 minút ho dobehol druhýkrát. Nájdite rýchlosť motocyklistu, ak je dĺžka trasy 36 km. Svoju odpoveď uveďte v km/h.

I.1. 2. Cyklista opustil bod „A“ okružnej trasy a po 30 minútach ho nasledoval motocyklista. 8 minút po odjazde prvýkrát dobehol cyklistu a o ďalších 12 minút ho dobehol druhýkrát. Nájdite rýchlosť motocyklistu, ak je dĺžka trasy 15 km. Svoju odpoveď uveďte v km/h.

I.1. 3. Cyklista opustil bod „A“ okružnej trasy a po 50 minútach ho nasledoval motocyklista. 10 minút po výjazde prvýkrát dobehol cyklistu a o ďalších 18 minút ho dobehol druhýkrát. Nájdite rýchlosť motocyklistu, ak je dĺžka trasy 15 km. Svoju odpoveď uveďte v km/h.

Dvaja motorkári štartujú súčasne rovnakým smerom z dvoch diametrálne odlišných bodov na kruhovej trati, ktorej dĺžka je 20 km. Koľko minút bude trvať, kým sa motorkári prvýkrát stretnú, ak rýchlosť jedného z nich je o 15 km/h väčšia ako rýchlosť druhého?

Riešenie.

Obrázok 1

Pri súčasnom štarte precestoval motocyklista, ktorý štartoval z „A“, o pol kola viac ako ten, ktorý štartoval z „B“. Teda 10 km. Keď sa dvaja motocyklisti pohybujú rovnakým smerom, rýchlosť odstraňovania v = -. Podľa podmienok problému v = 15 km/h = km/min = km/min – rýchlosť odstraňovania. Nachádzame čas, po ktorom sa motorkári prvýkrát dostanú k sebe.

10:= 40 (min).

odpoveď: 40 min.

Úlohy (nezávisle).

I.2.1. Dvaja motorkári štartujú súčasne rovnakým smerom z dvoch diametrálne odlišných bodov na kruhovej trati, ktorej dĺžka je 27 km. Koľko minút bude trvať, kým sa motorkári prvýkrát stretnú, ak rýchlosť jedného z nich je o 27 km/h väčšia ako rýchlosť druhého?

I.2.2. Dvaja motocyklisti štartujú súčasne rovnakým smerom z dvoch diametrálne odlišných bodov na kruhovej trati, ktorej dĺžka je 6 km. Koľko minút bude trvať, kým sa motorkári prvýkrát stretnú, ak rýchlosť jedného z nich je o 9 km/h väčšia ako rýchlosť druhého?

Z jedného bodu na okružnej trati, ktorej dĺžka je 8 km, vyštartovali súčasne dve autá rovnakým smerom. Rýchlosť prvého auta je 89 km/h a 16 minút po štarte bolo o kolo pred druhým autom. Nájdite rýchlosť druhého auta. Svoju odpoveď uveďte v km/h.

Riešenie.

x km/h je rýchlosť druhého auta.

(89 – x) km/h – rýchlosť sťahovania.

Dĺžka okružnej trasy je 8 km.

Rovnica.

(89 – x) = 8,

89 – x = 2 15,

odpoveď: 59 km/h.

Úlohy (nezávisle).

I.3.1. Z jedného bodu na okružnej trati, ktorej dĺžka je 12 km, vyštartovali súčasne dve autá rovnakým smerom. Rýchlosť prvého auta je 103 km/h a 48 minút po štarte bolo o kolo pred druhým autom. Nájdite rýchlosť druhého auta. Svoju odpoveď uveďte v km/h.

I.3.2. Z jedného bodu na okružnej trati, ktorej dĺžka je 6 km, vyštartovali súčasne dve autá rovnakým smerom. Rýchlosť prvého auta je 114 km/h a 9 minút po štarte bolo o kolo pred druhým autom. Nájdite rýchlosť druhého auta. Svoju odpoveď uveďte v km/h.

I.3.3. Z jedného bodu na okružnej trati, ktorej dĺžka je 20 km, vyštartovali súčasne dve autá rovnakým smerom. Rýchlosť prvého auta je 105 km/h a 48 minút po štarte bolo o kolo pred druhým autom. Nájdite rýchlosť druhého auta. Svoju odpoveď uveďte v km/h.

I.3.4. Z jedného bodu na okružnej trati, ktorej dĺžka je 9 km, vyštartovali súčasne dve autá rovnakým smerom. Rýchlosť prvého auta je 93 km/h a 15 minút po štarte bolo o kolo pred druhým autom. Nájdite rýchlosť druhého auta. Svoju odpoveď uveďte v km/h.

Hodiny s ručičkami ukazujú 8 hodín 00 minút. Za koľko minút sa minútová ručička štvrtýkrát zarovná s hodinovou?

Riešenie. Predpokladáme, že problém neriešime experimentálne.

Za jednu hodinu prejde minútová ručička jeden kruh a hodinová ručička jeden kruh. Nech sú ich rýchlosti 1 (kolá za hodinu) a Začiatok - o 8.00 hod. Poďme nájsť čas, za ktorý minútová ručička prvýkrát dobehne hodinovú.

Minútová ručička sa posunie ďalej, takže dostaneme rovnicu

To znamená, že šípky sa po prvýkrát zarovnajú

Nechajte šípky zarovnať druhýkrát po čase z. Minútová ručička prejde vzdialenosť 1·z a hodinová o jeden kruh viac. Napíšeme rovnicu:

Keď to vyriešime, dostaneme to.

Takže cez šípky sa zarovnajú druhýkrát, po ďalšom - po tretíkrát a po ďalšom - po štvrtýkrát.

Preto, ak bol začiatok o 8.00, tak sa ručičky po štvrtýkrát vyrovnajú

4 hodiny = 60 x 4 minúty = 240 minút.

Odpoveď: 240 minút.

Úlohy (nezávisle).

I.4.1. Hodiny s ručičkami ukazujú 4 hodiny 45 minút. Za koľko minút sa minútová ručička po siedmykrát zhodí s hodinovou?

I.4.2 Hodiny s ručičkami ukazujú presne 2 hodiny. Za koľko minút sa minútová ručička po desiaty raz zarovná s hodinovou?

I.4.3. Hodiny s ručičkami ukazujú 8 hodín 20 minút. Za koľko minút sa minútová ručička štvrtýkrát zarovná s hodinovou? štvrtý

II. Problémy pri hľadaní dĺžky pohybujúceho sa objektu.

Vlak, ktorý sa rovnomerne pohybuje rýchlosťou 80 km/h, prejde cez cestný stĺp za 36 s. Nájdite dĺžku vlaku v metroch.

Riešenie. Keďže rýchlosť vlaku je udávaná v hodinách, prevedieme sekundy na hodiny.

1) 36 sekúnd =

2) nájdite dĺžku vlaku v kilometroch.

80·

Odpoveď: 800 m.

Úlohy (nezávisle).

II.2 Vlak, ktorý sa pohybuje rovnomerne rýchlosťou 60 km/h, prejde cez cestný stĺp za 69 s. Nájdite dĺžku vlaku v metroch. Odpoveď: 1150 m.

II.3. Vlak, ktorý sa pohybuje rovnomerne rýchlosťou 60 km/h, prejde lesný pás dlhý 200 m za 1 min 21 s. Nájdite dĺžku vlaku v metroch. Odpoveď: 1150 m.

III. Problémy so strednou rýchlosťou.

Na skúške z matematiky môžete naraziť na problém so zisťovaním priemernej rýchlosti. Musíme si uvedomiť, že priemerná rýchlosť sa nerovná aritmetickému priemeru rýchlostí. Priemerná rýchlosť sa zistí pomocou špeciálneho vzorca:

Ak by cesta mala dva úseky, tak .

Vzdialenosť medzi oboma obcami je 18 km. Cyklista cestoval z jednej dediny do druhej 2 hodiny a vracal sa po tej istej ceste 3 hodiny. Aká je priemerná rýchlosť cyklistu na celej trase?

Riešenie:

2 hodiny + 3 hodiny = 5 hodín – strávených na celý pohyb,

Turista išiel rýchlosťou 4 km/h, potom presne rovnaký čas rýchlosťou 5 km/h. Aká je priemerná rýchlosť turistu na celej trase?

Nechajte turistu kráčať t h rýchlosťou 4 km/h a t h rýchlosťou 5 km/h. Potom za 2t hodiny prešiel 4t + 5t = 9t (km). Priemerná rýchlosť turistu je = 4,5 (km/h).

Odpoveď: 4,5 km/h.

Poznamenávame, že priemerná rýchlosť turistu sa rovnala aritmetickému priemeru dvoch daných rýchlostí. Môžete si overiť, že ak je čas jazdy na dvoch úsekoch trasy rovnaký, potom sa priemerná rýchlosť pohybu rovná aritmetickému priemeru dvoch daných rýchlostí. Aby sme to dosiahli, vyriešme rovnaký problém vo všeobecnej forme.

Turista išiel rýchlosťou km/h, potom presne rovnaký čas rýchlosťou km/h. Aká je priemerná rýchlosť turistu na celej trase?

Nechajte turistu kráčať t h rýchlosťou km/h a t h rýchlosťou km/h. Potom za 2t hodiny precestoval t + t = t (km). Priemerná rýchlosť turistu je

Auto prešlo určitú vzdialenosť do kopca rýchlosťou 42 km/h a dolu z hory rýchlosťou 56 km/h.

.

Priemerná rýchlosť pohybu je 2 s: (km/h).

Odpoveď: 48 km/h.

Auto prešlo určitú vzdialenosť do kopca rýchlosťou km/h a z kopca rýchlosťou km/h.

Aká je priemerná rýchlosť auta na celej trase?

Nech je dĺžka úseku cesty s km. Potom auto prešlo 2 s km v oboch smeroch, pričom strávilo celú cestu .

Priemerná rýchlosť pohybu je 2 s: (km/h).

Odpoveď: km/h.

Zvážte problém, v ktorom je uvedená priemerná rýchlosť a je potrebné určiť jednu z rýchlostí. Bude potrebné použiť rovnicu.

Cyklista išiel do kopca rýchlosťou 10 km/h a dolu z kopca inou konštantnou rýchlosťou. Ako vypočítal, priemerná rýchlosť bola 12 km/h.

III.2. Polovicu času stráveného na ceste išlo auto rýchlosťou 60 km/h a druhú polovicu času rýchlosťou 46 km/h. Zistite priemernú rýchlosť auta počas celej cesty.

III.3 Na ceste z jednej obce do druhej išlo auto istý čas rýchlosťou 60 km/h, potom presne rovnaký čas rýchlosťou 40 km/h, potom presne rovnaký čas rýchlosťou 60 km/h. rýchlosť rovnajúcu sa priemernej rýchlosti na prvých dvoch úsekoch trasy. Aká je priemerná rýchlosť jazdy po celej trase z jednej obce do druhej?

III.4. Cyklista ide z domu do práce priemernou rýchlosťou 10 km/h a späť priemernou rýchlosťou 15 km/h, keďže cesta ide mierne z kopca. Zistite priemernú rýchlosť cyklistu počas celej cesty z domu do práce a späť.

III.5. Auto išlo z bodu A do bodu B prázdne konštantnou rýchlosťou a po tej istej ceste sa vrátilo s nákladom rýchlosťou 60 km/h. Akou rýchlosťou jazdil naprázdno, ak bola priemerná rýchlosť 70 km/h?

III.6. Prvých 100 km jazdilo auto rýchlosťou 50 km/h, ďalších 120 km rýchlosťou 90 km/h a potom 120 km rýchlosťou 100 km/h. Zistite priemernú rýchlosť auta počas celej cesty.

III.7. Prvých 100 km auto jazdilo rýchlosťou 50 km/h, ďalších 140 km rýchlosťou 80 km/h a potom 150 km rýchlosťou 120 km/h. Zistite priemernú rýchlosť auta počas celej cesty.

III.8. Prvých 150 km jazdilo auto rýchlosťou 50 km/h, ďalších 130 km rýchlosťou 60 km/h a potom 120 km rýchlosťou 80 km/h. Zistite priemernú rýchlosť auta počas celej cesty.

III. 9. Automobil išiel prvých 140 km rýchlosťou 70 km/h, ďalších 120 km rýchlosťou 80 km/h a potom 180 km rýchlosťou 120 km/h. Zistite priemernú rýchlosť auta počas celej cesty.

Úloha 1. Dve autá odišli z bodu A do bodu B súčasne.
Prvý jazdil celú cestu konštantnou rýchlosťou.
Druhý jazdil prvú polovicu cesty rýchlosťou
nižšia rýchlosť prvého o 14 km/h,
a v druhej polovici cesty rýchlosťou 105 km/h,
a preto prišiel do B v rovnakom čase ako prvé auto.
Nájdite rýchlosť prvého auta,
ak je známe, že je to viac ako 50 km/h.
Riešenie: Zoberme si celú vzdialenosť ako 1.
Vezmime rýchlosť prvého auta ako x.
Potom je čas, ktorý prvému autu trvalo prejsť celú vzdialenosť
rovná sa 1/x.
Druhy rýchlosť auta za prvú polovicu cesty, t.j. 1/2,
bola o 14 km/h nižšia ako rýchlosť prvého auta, x-14.
Čas strávený druhým autom je 1/2: (x-14) = 1/2(x-14).
Druhá polovica cesty, t.j. 1/2, auto prešlo
pri rýchlosti 105 km/h.
Čas, ktorý strávil, je 1/2: 105 = 1/2 * 105 = 1/210.
Časy prvého a druhého sú navzájom rovnaké.
Urobme rovnicu:
1/x = 1/2 (x-14) + 1/210
Nájdeme spoločného menovateľa - 210x(x-14)
210(x-14) = 105x + x(x-14)
210x - 2940 = 105x + x² - 14x
x² - 119x + 2940 = 0
Riešením tejto kvadratickej rovnice cez diskriminant nájdeme korene:
x1 = 84
x2 = 35. Druhý koreň nevyhovuje podmienkam problému.
Odpoveď: rýchlosť prvého auta je 84 km/h.

Úloha 2. Z bodu A okružnej trasy, ktorej dĺžka je 30 km,
Dvaja motoristi vyštartovali súčasne v rovnakom smere.
Rýchlosť prvého je 92 km/h a rýchlosť druhého 77 km/h.
Za koľko minút príde prvý motorista
bude pred druhým 1 kolo?
Riešenie: Táto úloha, napriek tomu, že je zadaná v 11. ročníku,
možno riešiť na úrovni základnej školy.
Položme si len štyri otázky a získajme štyri odpovede.
1. Koľko kilometrov prejde prvý motorista za 1 hodinu?
92 km.
2. Koľko kilometrov prejde druhý motorista za 1 hodinu?
77 km.
3. O koľko kilometrov predbehne prvý motorista druhého po 1 hodine?
92 - 77 = 15 km.
4. Koľko hodín bude trvať, kým prvý motorista bude mať náskok 30 km pred druhým?
30:15 = 2 hodiny = 120 minút.
Odpoveď: za 120 minút.

Úloha 3. Z bodu A do bodu B je vzdialenosť medzi nimi 60 km,
odišli súčasne motorista a cyklista.
Je známe, že každú hodinu prejde motorista
O 90 km viac ako cyklista.
Určte rýchlosť cyklistu, ak je známe, že prišiel do bodu B o 5 hodín 24 minút neskôr ako motorista.
Riešenie: Aby sme správne vyriešili akýkoľvek problém, ktorý nám bol pridelený,
musíte sa držať určitého plánu.
A najdôležitejšie je, že musíme pochopiť, čo od toho chceme.
Teda k akej rovnici sa chceme dostať za podmienok, ktoré sú dané.
Porovnáme čas každého medzi sebou.
Auto prejde o 90 km za hodinu viac ako cyklista.
To znamená, že rýchlosť auta je väčšia ako rýchlosť
cyklista rýchlosťou 90 km/h.
Ak vezmeme rýchlosť cyklistu x km/h,
dostaneme rýchlosť auta x + 90 km/h.
Čas jazdy cyklistu je 60/x.
Čas cesty pre auto je 60/(x+90).
5 hodín 24 minút je 5 24/60 hodín = 5 2/5 = 27/5 hodín
Urobme rovnicu:
60/x = 60/(x+90) + 27/5 Znížte čitateľa každého zlomku o 3
20/x = 20/(x+90) + 9/5 Spoločný menovateľ 5x(x+90)
20*5(x+90) = 20*5x + 9x(x+90)
100x + 9000 = 100x + 9x² + 810x
9x² + 810x – 9000 = 0
x² + 90x – 1000 = 0
Vyriešením tejto rovnice pomocou diskriminačnej alebo Vietovej vety dostaneme:
x1 = - 100 Nezodpovedá účelu problému.
x2 = 10
Odpoveď: Rýchlosť cyklistu je 10 km/h.

Úloha 4. Cyklista išiel 40 km z mesta do dediny.
Na spiatočnej ceste jazdil rovnakou rýchlosťou
ale po 2 hodinách jazdy som na 20 minút zastavil.
Po zastavení zvýšil rýchlosť o 4 km/h
a preto na ceste späť z dediny do mesta strávil rovnaký čas ako na ceste z mesta do dediny.
Nájdite počiatočnú rýchlosť cyklistu.
Riešenie: tento problém riešime vo vzťahu k strávenému času
najprv do dediny a potom späť.
Cyklista išiel z mesta do obce rovnakou rýchlosťou x km/hod.
Pri tom strávil 40 hodín.
Za 2 hodiny cestoval 2 km späť.
Do cesty mu zostáva 40 km – 2 km, ktoré prešiel
pri rýchlosti x + 4 km/h.
Zároveň čas, ktorý strávil na ceste späť
pozostáva z troch termínov.
2 hodiny; 20 minút = 1/3 hodiny; (40 - 2x)/(x + 4) hodín.
Urobme rovnicu:
40/x = 2 + 1/3 + (40 - 2x)/(x + 4)
40/x = 7/3 + (40 - 2x)/(x + 4) Spoločný menovateľ 3x(x + 4)
40*3(x + 4) = 7x(x + 4) + 3x(40 - 2x)
120x + 480 = 7x² + 28x + 120x - 6x²
x² + 28x – 480 = 0 Vyriešením tejto rovnice pomocou diskriminačnej alebo Vietovej vety dostaneme:
x1 = 12
x2 = - 40 Nezodpovedá podmienkam problému.
Odpoveď: Počiatočná rýchlosť cyklistu je 12 km/h.

Úloha 5. Dve autá opustili rovnaký bod v rovnakom čase rovnakým smerom.
Rýchlosť prvého je 50 km/h, druhého 40 km/h.
O pol hodiny neskôr z toho istého bodu odišlo tretie auto rovnakým smerom,
ktorý predbehol prvé auto o 1,5 hodiny neskôr,
ako druhé auto.
Nájdite rýchlosť tretieho auto.
Riešenie: Za pol hodinu prvé auto prejde 25 km a druhé 20 km.
Tie. počiatočná vzdialenosť medzi prvým a tretím autom je 25 km,
a medzi druhým a tretím - 20 km.
Keď jedno auto dobehne druhé, oni rýchlosti sa odpočítajú.
Ak vezmeme rýchlosť tretieho auta x km/h,
potom sa ukáže, že druhé auto dobehol po 20/(x-40) hodinách.
Potom dobehne prvé auto za 25/(x - 50) hodín.
Urobme rovnicu:
25/(x – 50) = 20/(x – 40) + 3/2 Spoločný menovateľ 2 (x - 50) (x - 40)
25*2(x - 40) = 20*2(x - 50) + 3 (x - 50)(x - 40)
50x – 2000 = 40x – 2000 + 3x² – 270x + 6000
3x² - 280x + 6000 = 0 Vyriešením tejto rovnice cez diskriminant dostaneme
x1 = 60
x2 = 100/3
Odpoveď: rýchlosť tretieho auta je 60 km/h.