Convexitatea funcției. Direcție convexă

Conceptul de convexitate a unei funcții

Luați în considerare funcția \(y = f\left(x \right),\) care se presupune a fi continuă pe intervalul \(\left[ (a,b) \right].\) Funcția \(y = f\ left(x \right )\) este numit convex în jos (sau pur și simplu convex), dacă pentru orice puncte \((x_1)\) și \((x_2)\) din \(\left[ (a,b) \right]\) inegalitatea \ Dacă această inegalitate este strictă pentru orice \(( x_1),(x_2) \în \left[ (a,b) \right],\) astfel încât \((x_1) \ne (x_2),\) apoi funcția \(f\left(x \right) \) sunt numite strict convex în jos

O funcție convexă în sus este definită în mod similar. Este apelată funcția \(f\left(x \right)\). convex în sus (sau concav), dacă pentru orice puncte \((x_1)\) și \((x_2)\) ale segmentului \(\left[ (a,b) \right]\) inegalitatea \ Dacă această inegalitate este strictă pentru orice \ (( x_1),(x_2) \in \left[ (a,b) \right],\) astfel încât \((x_1) \ne (x_2),\) apoi funcția \(f\left(x \ dreapta) \) sunt numite strict convex în sus pe segmentul \(\stanga[(a,b)\dreapta].\)

Interpretarea geometrică a convexității unei funcții

Definițiile introduse ale unei funcții convexe au o interpretare geometrică simplă.

Pentru functie, convex în jos (Figura \(1\)), punctul de mijloc \(B\) al oricărei coarde \((A_1)(A_2)\) se află superior

În mod similar, pentru funcția, convex în sus (Figura \(2\)), punctul de mijloc \(B\) al oricărei coarde \((A_1)(A_2)\) se află de mai jos punctul corespunzător \((A_0)\) al graficului funcției sau coincide cu acest punct.

Funcțiile convexe au o altă proprietate vizuală, care este legată de locație tangentă la graficul funcției. Funcția \(f\left(x \right)\) este convex în jos pe segmentul \(\left[ (a,b) \right]\) dacă și numai dacă graficul său nu se află mai jos decât tangenta trasată la el în orice punct \((x_0)\) al segmentului \(\left [ (a ,b) \right]\) (Figura \(3\)).

În consecință, funcția \(f\left(x \right)\) este convex în sus pe segmentul \(\left[ (a,b) \right]\) dacă și numai dacă graficul său nu este mai mare decât tangenta trasată la el în orice punct \((x_0)\) al segmentului \(\left [ (a ,b) \right]\) (Figura \(4\)). Aceste proprietăți constituie o teoremă și pot fi demonstrate folosind definiția convexității unei funcții.

Condiții suficiente pentru convexitate

Fie ca funcția \(f\left(x \right)\) să aibă derivata prima \(f"\left(x \right)\) să existe pe intervalul \(\left[ (a,b) \right], \) și derivata a doua \(f""\left(x \right)\) - pe intervalul \(\left((a,b) \right).\) Atunci sunt valabile următoarele criterii suficiente de convexitate:

Dacă \(f""\left(x \right) \ge 0\) pentru toate \(x \in \left((a,b) \right),\), atunci funcția \(f\left(x \ corect )\) convex în jos pe segmentul \(\left[ (a,b) \right];\)

Dacă \(f""\left(x \right) \le 0\) pentru toate \(x \in \left((a,b) \right),\), atunci funcția \(f\left(x \ corect )\) convex în sus pe segmentul \(\stanga[(a,b)\dreapta].\)

În cazurile în care derivata a doua este strict mai mare (mai mică decât) zero, vorbim, respectiv, despre convexitate strictă în jos (sau sus ).

Să demonstrăm teorema de mai sus pentru cazul unei funcții convexe în jos. Fie ca funcția \(f\left(x \right)\) să aibă o derivată secundă nenegativă pe intervalul \(\left((a,b) \right):\) \(f""\left(x \right) \ge 0.\) Să notăm cu \((x_0)\) punctul de mijloc al segmentului \(\left[ ((x_1),(x_2)) \right].\) Să presupunem că lungimea acest segment este egal cu \(2h.\) Atunci coordonatele \((x_1)\) și \((x_2)\) pot fi scrise ca: \[(x_1) = (x_0) - h,\;\; (x_2) = (x_0) + h.\] Să extindem funcția \(f\left(x \right)\) în punctul \((x_0)\) într-o serie Taylor cu un termen de rest în forma Lagrange . Obținem următoarele expresii: \[ (f\left(((x_1)) \right) = f\left(((x_0) - h) \right) ) = (f\left(((x_0)) \right ) - f"\left(((x_0)) \right)h + \frac((f""\left(((\xi _1)) \right)(h^2)))((2},} \] \[ {f\left({{x_2}} \right) = f\left({{x_0} + h} \right) } = {f\left({{x_0}} \right) + f"\left({{x_0}} \right)h + \frac{{f""\left({{\xi _2}} \right){h^2}}}{{2!}},} \] где \({x_0} - h !}
Să adăugăm ambele egalități: \[ (f\left(((x_1)) \right) + f\left(((x_2)) \right) ) = (2f\left(((x_0)) \right) + \ frac (((h^2)))(2)\left[ (f""\left(((\xi _1)) \right) + f""\left(((\xi _2)) \right) ) \right].) \] Deoarece \((\xi _1),(\xi _2) \in \left((a,b) \right),\) atunci derivatele secunde din partea dreaptă sunt nenegative . Prin urmare, \ sau \ adică, în conformitate cu definiția, funcția \(f\left(x \right)\) convex în jos .

Rețineți că condiția necesară pentru convexitatea unei funcții (adică o teoremă directă în care, de exemplu, de la condiția de convexitate în jos rezultă că \(f""\left(x \right) \ge 0\)) este satisfăcută numai pentru inegalitățile nestrictive. În cazul convexității stricte, condiția necesară nu este, în general, îndeplinită. De exemplu, funcția \(f\left(x \right) = (x^4)\) este strict convexă în jos. Totuși, în punctul \(x = 0\) derivata a doua a acesteia este egală cu zero, adică. inegalitatea strictă \(f""\left(x \right) \gt 0\) nu este valabilă în acest caz.

Proprietățile funcțiilor convexe

Să enumerăm câteva proprietăți ale funcțiilor convexe, presupunând că toate funcțiile sunt definite și continue pe intervalul \(\left[(a,b)\right].\)

Dacă funcțiile \(f\) și \(g\) sunt convexe în jos (în sus), atunci oricare dintre ele combinație liniară \(af + bg,\) unde \(a\), \(b\) sunt numere reale pozitive, este de asemenea convex în jos (în sus).

Dacă funcția \(u = g\left(x \right)\) este convexă în jos, iar funcția \(y = f\left(u \right)\) este convexă în jos și nedescrescătoare, atunci functie complexa \(y = f\left((g\left(x \right)) \right)\) va fi, de asemenea, convex în jos.

Dacă funcția \(u = g\left(x \right)\) este convexă în sus, iar funcția \(y = f\left(u \right)\) este convexă în jos și necrescătoare, atunci functie complexa \(y = f\left((g\left(x \right)) \right)\) va fi convex în jos.

Maxim local funcția convexă în sus definită pe intervalul \(\left[ (a,b) \right],\) este, de asemenea, cea mai mare valoare pe acest segment.

Minimum local funcția convexă în jos definită pe intervalul \(\left[ (a,b) \right],\) este, de asemenea, cea mai mică valoare pe acest segment.

Graficul unei funcții y=f(x) numit convex pe interval (a; b), dacă este situat sub oricare dintre tangentele sale pe acest interval.

Graficul unei funcții y=f(x) numit concav pe interval (a; b), dacă este situat deasupra oricăreia dintre tangentele sale pe acest interval.

Figura prezintă o curbă convexă la (a; b)și concav pe (b; c).

Exemple.

Să luăm în considerare un criteriu suficient care ne permite să stabilim dacă graficul unei funcții într-un interval dat va fi convex sau concav.

Teorema. Lăsa y=f(x) diferentiabil pe (a; b). Dacă în toate punctele intervalului (a; b) derivata a doua a functiei y = f(x) negativ, adică f ""(X) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f""(X) > 0 – concav.

Dovada. Să presupunem pentru certitudine că f""(X) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.

Să luăm funcțiile din grafic y = f(x) punct arbitrar M0 cu abscisă x 0 Î ( A; b) și trageți prin punct M0 tangentă. Ecuația ei. Trebuie să arătăm că graficul funcției pe (a; b) se află sub această tangentă, adică la aceeasi valoare X ordonata curbei y = f(x) va fi mai mică decât ordonata tangentei.

Deci, ecuația curbei este y = f(x). Să notăm ordonata tangentei corespunzătoare abscisei X. Apoi . În consecință, diferența dintre ordonatele curbei și tangentei pentru aceeași valoare X voi .

Diferență f(x) – f(x 0) transforma conform teoremei lui Lagrange, unde cîntre XȘi x 0.

Prin urmare,

Aplicam din nou teorema lui Lagrange expresiei din paranteze drepte: , unde c 1între c 0Și x 0. Conform condiţiilor teoremei f ""(X) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.

Astfel, orice punct al curbei se află sub tangenta la curbă pentru toate valorile XȘi x 0 Î ( A; b), ceea ce înseamnă că curba este convexă. A doua parte a teoremei este demonstrată într-un mod similar.

Exemple.

Se numește punctul de pe graficul unei funcții continue care separă partea sa convexă de partea concavă punct de inflexiune.

Evident, în punctul de inflexiune, tangenta, dacă există, intersectează curba, deoarece pe o parte a acestui punct, curba se află sub tangentă, iar pe cealaltă parte - deasupra acesteia.

Să determinăm condiții suficiente pentru faptul că un punct dat al curbei este un punct de inflexiune.

Teorema. Fie curba definită de ecuație y = f(x). Dacă f ""(X 0) = 0 sau f ""(X 0) nu există nici măcar la trecerea prin valoare X = x 0 derivat f ""(X) schimbă semnul, apoi punctul din graficul funcției cu abscisa X = x 0 există un punct de inflexiune.

Dovada. Lăsa f ""(X) < 0 при X < x 0Și f ""(X) > 0 la X > x 0. Apoi la X < x 0 curba este convexă, iar când X > x 0– concav. Prin urmare, punctul A, culcat pe curbă, cu abscisă x 0 există un punct de inflexiune. Al doilea caz poate fi considerat în mod similar, când f ""(X) > 0 la X < x 0Și f ""(X) < 0 при X > x 0.

Astfel, punctele de inflexiune ar trebui căutate numai printre acele puncte în care derivata a doua dispare sau nu există.

Exemple. Găsiți punctele de inflexiune și determinați intervalele de convexitate și concavitate ale curbelor.

ASIMPTOTE ALE GRAFULUI FUNCȚIEI

Când se studiază o funcție, este important să se stabilească forma graficului acesteia la o distanță nelimitată a punctului grafic de la origine.

Un interes deosebit este cazul când graficul unei funcții, când punctul ei variabil este îndepărtat la infinit, se apropie la infinit de o anumită dreaptă.

Linia dreaptă se numește asimptotă grafica functionala y = f(x), dacă distanța de la punctul variabil M grafică la această linie atunci când eliminați un punct M la infinit tinde spre zero, i.e. un punct de pe graficul unei funcții, deoarece tinde spre infinit, trebuie să se apropie la infinit de asimptotă.

O curbă se poate apropia de asimptota ei, rămânând pe o parte a acesteia sau pe laturi diferite, traversând asimptota de un număr infinit de ori și deplasându-se dintr-o parte în alta.

Dacă notăm cu d distanța de la punct M curba la asimptotă, atunci este clar că d tinde spre zero pe măsură ce punctul se îndepărtează M catre infinit.

Vom distinge în continuare între asimptotele verticale și oblice.

ASIMPTOTE VERTICALE

Lasă la X→ x 0 din orice funcție laterală y = f(x) crește nelimitat în valoare absolută, adică sau sau . Apoi din definiția unei asimptote rezultă că linia dreaptă X = x 0 este o asimptotă. Opusul este, de asemenea, evident, dacă linia X = x 0 este o asimptotă, adică .

Astfel, asimptota verticală a graficului funcției y = f(x) se numeste linie dreapta daca f(x)→ ∞ în cel puțin una dintre condiții X→ x 0– 0 sau X → x 0 + 0, X = x 0

Prin urmare, pentru a găsi asimptotele verticale ale graficului funcției y = f(x) trebuie să găsim acele valori X = x 0, la care funcția merge la infinit (suferă o discontinuitate infinită). Apoi asimptota verticală are ecuația X = x 0.

Exemple.

ASIMPTOTE SLANT

Deoarece asimptota este o linie dreaptă, atunci dacă curba y = f(x) are o asimptotă oblică, atunci ecuația sa va fi y = kx + b. Sarcina noastră este să găsim coeficienții kȘi b.

Teorema. Drept y = kx + b serveşte ca asimptotă oblică la X→ +∞ pentru graficul funcției y = f(x) atunci și numai când . O afirmație similară este adevărată pentru X → –∞.

Dovada. Lăsa MP– lungimea unui segment egală cu distanța de la punct M a asimptota. După condiție. Să notăm cu φ unghiul de înclinare al asimptotei față de axă Bou. Apoi de la ΔMNP rezultă că . Deoarece φ este un unghi constant (φ ≠ π/2), atunci , dar

Pentru a determina convexitatea (concavitatea) unei funcții pe un anumit interval, puteți folosi următoarele teoreme.

Teorema 1. Fie ca funcția să fie definită și continuă pe interval și să aibă o derivată finită. Pentru ca o funcție să fie convexă (concavă) în , este necesar și suficient ca derivata ei să scadă (să crească) pe acest interval.

Teorema 2. Fie ca funcția să fie definită și continuă împreună cu derivata sa și să aibă o derivată a doua continuă în interior. Pentru convexitatea (concavitatea) unei funcții în ea este necesar și suficient ca în interior

Să demonstrăm teorema 2 pentru cazul funcției convexe.

Necesitate. Să luăm un punct arbitrar. Să extindem funcția în jurul unui punct dintr-o serie Taylor

Ecuația unei tangente la o curbă într-un punct având o abscisă:

Atunci excesul curbei peste tangenta la aceasta în punctul este egal cu

Astfel, restul este egal cu cantitatea de exces al curbei peste tangenta la aceasta în punctul . Datorită continuităţii, dacă , apoi şi pentru , aparţinând unei vecinătăţi suficient de restrânse a punctului , şi deci, evident, pentru orice valoare diferită de , aparţinând vecinătăţii indicate.

Aceasta înseamnă că graficul funcției se află deasupra tangentei și curba este convexă într-un punct arbitrar.

Adecvarea. Fie curba convexă pe interval. Să luăm un punct arbitrar.

Similar cu cel precedent, extindem funcția în jurul unui punct dintr-o serie Taylor

Excesul curbei peste tangenta la aceasta într-un punct având o abscisă definită de expresie este egal cu

Deoarece excesul este pozitiv pentru o vecinătate suficient de mică a punctului, derivata a doua este de asemenea pozitivă. În timp ce ne străduim, găsim că pentru un punct arbitrar .

Exemplu. Examinați funcția pentru convexitate (concavitate).

Derivatul său crește pe întreaga dreaptă numerică, ceea ce înseamnă că, prin Teorema 1, funcția este concavă pe .

Derivata a doua a acesteia , prin urmare, prin Teorema 2, funcția este concavă pe .

3.4.2.2 Puncte de inflexiune

Definiție. Punct de inflexiune Graficul unei funcții continue este punctul care separă intervalele în care funcția este convexă și concavă.

Din această definiție rezultă că punctele de inflexiune sunt punctele extreme ale primei derivate. Aceasta implică următoarele afirmații pentru condițiile necesare și suficiente pentru inflexiune.

Teorema (condiția necesară pentru inflexiune). Pentru ca un punct să fie un punct de inflexiune al unei funcții de două ori diferențiabile, este necesar ca derivata sa a doua în acest punct să fie egală cu zero ( ) sau nu a existat.

Teoremă (condiție suficientă pentru inflexiune). Dacă derivata a doua a unei funcții de două ori diferențiabile își schimbă semnul la trecerea printr-un anumit punct, atunci există un punct de inflexiune.

Rețineți că la punctul însuși derivata a doua poate să nu existe.

Interpretarea geometrică a punctelor de inflexiune este ilustrată în Fig. 3.9

În vecinătatea unui punct, funcția este convexă, iar graficul său se află sub tangentei desenate în acest punct. În vecinătatea unui punct, funcția este concavă și graficul ei se află deasupra tangentei desenate în acest punct. În punctul de inflexiune, tangenta împarte graficul funcției în regiuni convexe și concave.

3.4.2.3 Examinarea funcției pentru convexitate și prezența punctelor de inflexiune

1. Găsiți derivata a doua.

2. Aflați punctele în care derivata a doua sau nu există.

Orez. 3.9.

3. Investigați semnul derivatei a doua în stânga și dreapta punctelor găsite și trageți o concluzie despre intervalele de convexitate sau concavitate și prezența punctelor de inflexiune.

Exemplu. Examinați funcția pentru convexitate și prezența punctelor de inflexiune.

2. A doua derivată este egală cu zero la .

3. A doua derivată își schimbă semnul la , ceea ce înseamnă că punctul este un punct de inflexiune.

Pe interval, atunci funcția este convexă pe acest interval.

Pe intervalul , ceea ce înseamnă că funcția este concavă pe acest interval.

3.4.2.4 Schema generală de studiere a funcţiilor şi trasarea unui grafic

Când studiați o funcție și trasați graficul acesteia, se recomandă utilizarea următoarei scheme:

Găsiți domeniul de definire al funcției.
Investigați funcția pentru paritate - ciudatenie. Reamintim că graficul unei funcții pare este simetric față de axa ordonatelor, iar graficul unei funcții impare este simetric față de origine.
Găsiți asimptote verticale.
Investigați comportamentul unei funcții la infinit, găsiți asimptote orizontale sau oblice.
Găsiți extremele și intervalele de monotonitate ale funcției.
Aflați intervalele de convexitate ale funcției și punctele de inflexiune.
Aflați punctele de intersecție cu axele de coordonate.

Studiul funcției se realizează concomitent cu construcția graficului acesteia.

Exemplu. Explorați funcția și complotează-l.

1. Domeniul funcției este .

2. Funcția studiată este pară , prin urmare graficul său este simetric față de ordonată.

3. Numitorul funcției ajunge la zero la , deci graficul funcției are asimptote verticale și .

Punctele sunt puncte de discontinuitate de al doilea fel, deoarece limitele din stânga și din dreapta la aceste puncte tind să .

4. Comportarea funcției la infinit.

Prin urmare, graficul funcției are o asimptotă orizontală.

5. Extrema și intervale de monotonitate. Găsirea primei derivate

Atunci când , deci, în aceste intervale funcția scade.

La , prin urmare, în aceste intervale funcția crește.

La , deci punctul este un punct critic.

Găsirea derivatei a doua

Deoarece , atunci punctul este punctul minim al funcției.

6. Intervale de convexitate și puncte de inflexiune.

Funcția la , ceea ce înseamnă că funcția este concavă pe acest interval.

Funcția pentru , ceea ce înseamnă că funcția este convexă pe aceste intervale.

Funcția nu dispare nicăieri, ceea ce înseamnă că nu există puncte de inflexiune.

7. Puncte de intersecție cu axe de coordonate.

Ecuația are o soluție, ceea ce înseamnă punctul de intersecție a graficului funcției cu axa ordonatelor (0, 1).

Ecuația nu are soluție, ceea ce înseamnă că nu există puncte de intersecție cu axa x.

Ținând cont de cercetările efectuate, este posibilă reprezentarea grafică a funcției

Graficul schematic al unei funcții prezentată în fig. 3.10.

Orez. 3.10.

3.4.2.5 Asimptotele graficului unei funcții

Definiție. Asimptotă Graficul unei funcții se numește linie dreaptă care are proprietatea că distanța de la punctul () la această linie dreaptă tinde spre 0 pe măsură ce punctul grafic se deplasează nedefinit de la origine.

Schema generală pentru studierea funcției și trasarea graficului.
1. Studiul funcției de convexitate și concavitate.

Asimptotele graficului unei funcții.

Introducere.

În cursul de matematică din școală, ați întâmpinat deja nevoia de a construi grafice ale funcțiilor. În , ați folosit metoda punct cu punct. Trebuie remarcat faptul că este simplu ca concept și duce la obiectiv relativ rapid. În cazurile în care funcția este continuă și se modifică destul de ușor, această metodă poate oferi și gradul necesar de acuratețe în reprezentarea grafică. Pentru a face acest lucru, trebuie să luați mai multe puncte pentru a obține o anumită densitate a plasării lor.

Să presupunem acum că funcția în anumite locuri are particularități în „comportamentul” ei: fie valorile sale undeva într-o zonă mică se schimbă brusc, fie există discontinuități. Este posibil ca cele mai semnificative părți ale graficului să nu fie detectate în acest fel.

Această circumstanță reduce valoarea metodei „punct cu punct” de construire a unui grafic.

Există o a doua modalitate de a construi grafice, bazată pe studiul analitic al funcțiilor. Se compară favorabil cu metoda discutată la cursul de matematică din școală.

1. Studiul funcției pentru convexitate și concavitate .

Lasă funcția
este diferențiabilă pe intervalul (a, b). Apoi există o tangentă la graficul funcției în orice punct
acest grafic (
), iar tangenta nu este paralelă cu axa OY, deoarece coeficientul său unghiular este egal cu
, desigur.

DESPRE
determinare Vom spune că graficul funcției
pe (a, b) are o eliberare îndreptată în jos (în sus) dacă se află nu sub (nu deasupra) vreunei tangente la graficul funcției de pe (a, b).

a) curbă concavă b) curbă convexă

Teorema 1 (o condiție necesară pentru convexitatea (concavitatea) curbei).

Dacă graficul unei funcții de două ori diferențiabile este o curbă convexă (concavă), atunci derivata a doua a intervalului (a, b) este negativă (pozitivă) pe acest interval.

Teorema 2(o condiție suficientă pentru convexitatea (concavitatea) unei curbe).

Dacă o funcție este de două ori diferențiabilă pe (a, b) și
(
) în toate punctele acestui interval, atunci curba care este graficul funcției este convexă (concavă) pe acest interval.

Punctele de inflexiune ale unui grafic al funcției.

Definiție Punct
se numește punctul de inflexiune al graficului unei funcții dacă în punctul respectiv
graficul are o tangentă și există o astfel de vecinătate a punctului , în cadrul căruia graficul funcției din stânga și dreapta punctului are direcții diferite de convexitate.

DESPRE Este evident că în punctul de inflexiune tangenta intersectează graficul funcției, deoarece pe o parte a acestui punct graficul se află deasupra tangentei, iar pe cealaltă - sub aceasta, adică în vecinătatea punctului de inflexiune, graficul funcției trece geometric dintr-o parte a tangentei pe cealaltă și se „aplecă” peste ea. De aici provine numele „punct de inflexiune”.

Teorema 3(o condiție necesară pentru punctul de inflexiune). Fie ca graficul unei funcții să aibă un punct de inflexiune într-un punct și să fie funcția să aibă un punct de inflexiune într-un punct

derivată a doua continuă. Apoi

.
Nu orice punct pentru care este un punct de inflexiune. De exemplu, graficul unei funcții

nu are un punct de inflexiune la (0, 0), deși

. Prin urmare, egalitatea derivatei a doua la zero este doar o condiție necesară pentru inflexiune.

Graficul punctelor pentru care este numit puncte criticeII-orase. Este necesar să se investigheze în continuare problema prezenței îndoielilor în fiecare punct critic.

Teorema 4(condiție suficientă pentru punctul de inflexiune). Fie ca funcția să aibă o derivată a doua într-o vecinătate a punctului. Apoi, dacă în cartierul specificat
are semne diferite la stânga și la dreapta punctului, apoi graficul are o inflexiune în punct.
Cometariu. Teorema rămâne adevărată dacă
are o derivată a doua într-o vecinătate a punctului, cu excepția punctului însuși, și există o tangentă la graficul funcției în punct
. Apoi, dacă în vecinătatea specificată are semne diferite la stânga și la dreapta punctului, atunci graficul funcției are o inflexiune în punct.
Schema de studiu a funcției pentru punctele de convexitate, concavitate și inflexiune.

Exemplu. Explorați funcția
pentru convexitate, concavitate, puncte de inflexiune.
1.

2.
,
=

3. nu există când

)	1	(1, +)
-		+
	1

Asimptotele graficului unei funcții.

Când se studiază comportamentul unei funcţii la
sau în apropierea punctelor de discontinuitate de al 2-lea fel, se dovedește adesea că graficul unei funcții se apropie de orice linie dată cât de aproape se dorește. Acestea se numesc linii drepte.

DESPRE definiția 1. Drept

se numește asimptotă a unei curbe L dacă distanța de la un punct de pe curbă la această linie tinde spre zero pe măsură ce punctul se îndepărtează de-a lungul curbei până la infinit. Există trei tipuri de asimptote: verticale, orizontale, oblice.

Definiția 2. Drept
se numește asimptotă verticală a graficului unei funcții dacă cel puțin una dintre limitele unilaterale este egală cu
, adică sau

De exemplu, graficul unei funcții
are o asimptotă verticală
, deoarece
, A
.

Definiția 3. Linia dreaptă y=A se numește asimptota orizontală a graficului funcției at

Dacă

De exemplu, graficul unei funcții are o asimptotă orizontală y=0, deoarece
.

Definiția 4. Drept

(

) se numește asimptota înclinată a graficului funcției la

Dacă

;

Dacă cel puțin una dintre limite nu există, atunci curba nu are asimptote. Dacă, atunci ar trebui să căutăm aceste limite separat, cu și
.

De exemplu. Găsiți asimptotele graficului unei funcții

; x=0 – asimptotă verticală

;
.

- asimptotă oblică.
4. Schema unui studiu complet al funcției și trasarea unui grafic.

Să luăm în considerare o diagramă aproximativă conform căreia este indicat să studiem comportamentul unei funcții și să construim graficul acesteia.

Exemplu. Explorați funcția

și complotează-l.

1. cu excepția x=-1.

2.
funcția nu este nici pară, nici impară

-

-

+

+

y

-4

t r.

0

Concluzie.
O caracteristică importantă a metodei luate în considerare este că se bazează în primul rând pe detectarea și studiul trăsăturilor caracteristice în comportamentul curbei. Locurile în care funcția se schimbă fără probleme nu sunt studiate în detaliu și nu este nevoie de un astfel de studiu. Dar acele locuri în care funcția are anumite particularități în comportament sunt supuse unei cercetări complete și celei mai precise reprezentări grafice. Aceste caracteristici sunt puncte de maxim, minim, puncte de discontinuitate a funcției etc.

Determinarea direcției concavității și a inflexiunilor, precum și metoda specificată de găsire a asimptotelor, fac posibilă studierea funcțiilor și mai detaliată și obținerea unei idei mai precise a graficelor lor.

Instrucțiuni

Punctele de inflexiune ale unei funcții trebuie să aparțină domeniului definiției acesteia, care trebuie găsit mai întâi. Graficul unei funcții este o dreaptă care poate fi continuă sau să aibă discontinuități, să scadă sau să crească monoton, să aibă puncte minime sau maxime (asimptote), să fie convexă sau concavă. O schimbare bruscă în ultimele două stări se numește punct de inflexiune.

O condiție necesară pentru existența unei inflexii a unei funcții este ca a doua să fie egală cu zero. Astfel, prin diferențierea funcției de două ori și echivalând expresia rezultată cu zero, putem găsi abscisa punctelor de inflexiune posibile.

Această condiție rezultă din definirea proprietăților de convexitate și concavitate ale graficului unei funcții, i.e. valori negative și pozitive ale derivatei a doua. La punctul de inflexiune are loc o schimbare bruscă a acestor proprietăți, ceea ce înseamnă că derivata trece de marcajul zero. Cu toate acestea, a fi egal cu zero nu este încă suficient pentru a indica o inflexiune.

Sunt două condiții suficiente pentru ca abscisa găsită la etapa precedentă să aparțină punctului de inflexiune: Prin acest punct se poate trage o tangentă la funcție. A doua derivată are semne diferite la dreapta și la stânga presupusului punct de inflexiune. Astfel, existența sa în punctul în sine nu este necesară, este suficient să se determine că la el își schimbă semnul.Derivata a doua a funcției este egală cu zero, dar a treia nu este.

Prima condiție suficientă este universală și este folosită mai des decât altele. Luați în considerare un exemplu ilustrativ: y = (3 x + 3) ∛(x - 5).

Soluție: Găsiți domeniul definiției. În acest caz nu există restricții, prin urmare, este întregul spațiu al numerelor reale. Calculați prima derivată: y’ = 3 ∛(x - 5) + (3 x + 3)/∛(x - 5)².

Observați aspectul fracției. De aici rezultă că domeniul de definire al derivatului este limitat. Punctul x = 5 este perforat, ceea ce înseamnă că o tangentă poate trece prin el, ceea ce corespunde parțial primului semn de inflexiune suficientă.

Determinați limitele unilaterale pentru expresia rezultată pentru x → 5 – 0 și x → 5 + 0. Ele sunt -∞ și +∞. Ai demonstrat că o tangentă verticală trece prin punctul x=5. Acest punct poate fi un punct de inflexiune, dar mai întâi calculați derivata a doua: Y'' = 1/∛(x - 5)² + 3/∛(x - 5)² – 2/3 (3 x + 3)/∛ (x - 5)^5 = (2 x – 22)/∛(x - 5)^5.

Omiteți numitorul deoarece ați luat deja în considerare punctul x = 5. Rezolvați ecuația 2 x – 22 = 0. Are o singură rădăcină x = 11. Ultimul pas este să confirmați că punctele x = 5 și x = 11 sunt puncte de inflexiune. Analizați comportamentul derivatei a doua în vecinătatea lor. Evident, în punctul x = 5 se schimbă semnul din „+” în „-”, iar în punctul x = 11 – invers. Concluzie: ambele puncte sunt puncte de inflexiune. Prima condiție suficientă este îndeplinită.