Derivate complexe. Derivată logaritmică

De când ați venit aici, probabil că ați văzut deja această formulă în manual

si fa o fata ca asta:

Prietene, nu-ți face griji! De fapt, totul este pur și simplu scandalos. Cu siguranță vei înțelege totul. O singură cerere - citiți articolul încet, încearcă să înțelegi fiecare pas. Am scris cât se poate de simplu și clar, dar tot trebuie să înțelegeți ideea. Și asigurați-vă că rezolvați sarcinile din articol.

Ce este o funcție complexă?

Imaginați-vă că vă mutați într-un alt apartament și, prin urmare, împachetați lucrurile în cutii mari. Să presupunem că trebuie să colectați câteva obiecte mici, de exemplu, materiale de scris la școală. Dacă doar le arunci într-o cutie imensă, se vor pierde printre altele. Pentru a evita acest lucru, le pui mai întâi, de exemplu, într-o pungă, pe care apoi o pui într-o cutie mare, după care o sigilezi. Acest proces „complex” este prezentat în diagrama de mai jos:

S-ar părea, ce legătură are matematica cu asta? Da, în ciuda faptului că o funcție complexă se formează EXACT ÎN ACELAȘI mod! Numai că „împachetăm” nu caiete și pixuri, ci \(x\), în timp ce „pachetele” și „cutiile” sunt diferite.

De exemplu, să luăm x și să-l „împachetăm” într-o funcție:

Ca rezultat, obținem, desigur, \(\cos⁡x\). Acesta este „sacul nostru de lucruri”. Acum să-l punem într-o „cutie” - împachetați-l, de exemplu, într-o funcție cubică.

Ce se va întâmpla până la urmă? Da, așa este, va exista o „pungă de lucruri într-o cutie”, adică „cosinus cu X cub”.

Designul rezultat este o funcție complexă. Diferă de unul simplu prin aceea că Mai multe „influențe” (pachete) sunt aplicate unui X la rândși se dovedește ca și cum „funcție din funcție” - „ambalare în ambalaj”.

În cursul școlar există foarte puține tipuri de aceste „pachete”, doar patru:

Acum să „împachetăm” X mai întâi într-o funcție exponențială cu baza 7 și apoi într-o funcție trigonometrică. Primim:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

Acum să „împachetăm” x de două ori în funcții trigonometrice, mai întâi în și apoi în:

\(x → sin⁡x → cotg⁡ (sin⁡x)\)

Simplu, nu?

Acum scrieți singur funcțiile, unde x:
- mai întâi este „împachetat” într-un cosinus, apoi într-o funcție exponențială cu baza \(3\);
- mai întâi la puterea a cincea, iar apoi la tangentă;
- primul la logaritmul la baza \(4\) , apoi la puterea \(-2\).

Găsiți răspunsurile la această sarcină la sfârșitul articolului.

Putem „împacheta” X nu de două, ci de trei ori? Nici o problemă! Și de patru, și cinci și de douăzeci și cinci de ori. Iată, de exemplu, o funcție în care x este „ambalat” \(4\) ori:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Dar astfel de formule nu se vor găsi în practica școlară (elevii sunt mai norocoși - ale lor pot fi mai complicate☺).

„Despachetarea” unei funcții complexe

Priviți din nou funcția anterioară. Vă puteți da seama de secvența de „împachetare”? În ce a fost îndesat X mai întâi, în ce apoi și așa mai departe până la sfârșit. Adică, ce funcție este imbricată în care? Ia o bucată de hârtie și notează ce crezi. Puteți face acest lucru cu un lanț cu săgeți așa cum am scris mai sus sau în orice alt mod.

Acum, răspunsul corect este: mai întâi, x a fost „împachetat” în puterea \(4\)-a, apoi rezultatul a fost împachetat într-un sinus, acesta, la rândul său, a fost plasat în logaritmul la baza \(2\) , iar în cele din urmă toată această construcție a fost îndesată într-o putere de cinci.

Adică, trebuie să derulați secvența ÎN ORDINE INVERSĂ. Și iată un indiciu despre cum să o faci mai ușor: uită-te imediat la X - ar trebui să dansezi din el. Să ne uităm la câteva exemple.

De exemplu, iată următoarea funcție: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Ne uităm la X - ce se întâmplă mai întâi cu el? Luat de la el. Și apoi? Se ia tangenta rezultatului. Secvența va fi aceeași:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Un alt exemplu: \(y=\cos⁡((x^3))\). Să analizăm - mai întâi am tăiat X cub, apoi am luat cosinusul rezultatului. Aceasta înseamnă că șirul va fi: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Atentie, functia pare a fi asemanatoare cu prima (unde are poze). Dar aceasta este o funcție complet diferită: aici în cub este x (adică \(\cos⁡((x·x·x)))\), iar acolo în cub este cosinusul \(x\) ( adică \(\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Această diferență apare din diferite secvențe de „ambalare”.

Ultimul exemplu (cu informații importante în el): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Este clar că aici au făcut mai întâi operații aritmetice cu x, apoi au luat sinusul rezultatului: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). Și acesta este un punct important: în ciuda faptului că operațiile aritmetice nu sunt funcții în sine, aici acționează și ca o modalitate de „împachetare”. Să ne adâncim puțin în această subtilitate.

După cum am spus mai sus, în funcțiile simple x este „împachetat” o dată, iar în funcțiile complexe - două sau mai multe. Mai mult, orice combinație de funcții simple (adică suma, diferența, înmulțirea sau împărțirea lor) este și o funcție simplă. De exemplu, \(x^7\) este o funcție simplă și la fel este \(ctg x\). Aceasta înseamnă că toate combinațiile lor sunt funcții simple:

\(x^7+ ctg x\) - simplu,
\(x^7· cot x\) – simplu,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – simplu etc.

Cu toate acestea, dacă se aplică încă o funcție unei astfel de combinații, aceasta va deveni o funcție complexă, deoarece vor exista două „pachete”. Vezi diagrama:

Bine, dă-i drumul acum. Scrieți secvența funcțiilor de „împachetare”:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Răspunsurile sunt din nou la sfârșitul articolului.

Funcții interne și externe

De ce trebuie să înțelegem imbricarea funcțiilor? Ce ne oferă asta? Faptul este că fără o astfel de analiză nu vom putea găsi în mod fiabil derivate ale funcțiilor discutate mai sus.

Și pentru a merge mai departe, vom avea nevoie de încă două concepte: funcții interne și externe. Acesta este un lucru foarte simplu, în plus, de fapt, le-am analizat deja mai sus: dacă ne amintim analogia de la început, atunci funcția internă este un „pachet”, iar funcția externă este o „cutie”. Acestea. ceea ce este „înfășurat” X este o funcție internă, iar ceea ce este „înfășurat” funcția internă este deja extern. Ei bine, este clar de ce - ea este afară, asta înseamnă exterior.

În acest exemplu: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), funcția \(\log_2⁡x\) este internă și
- extern.

Și în aceasta: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) este intern și
- extern.

Finalizați ultima practică de analiză a funcțiilor complexe și, în sfârșit, să trecem la ceea ce am început cu toții - vom găsi derivate ale funcțiilor complexe:

Completați spațiile libere din tabel:

Derivată a unei funcții complexe

Bravo nouă, am ajuns în sfârșit la „șeful” acestui subiect - de fapt, derivatul unei funcții complexe, și mai precis, la acea formulă foarte groaznică de la începutul articolului.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Această formulă se citește astfel:

Derivata unei functii complexe este egala cu produsul derivatei functiei externe fata de o functie interna constanta si derivata functiei interne.

Și uită-te imediat la diagrama de analiză „cuvânt cu cuvânt” pentru a înțelege ce este:

Sper că termenii „derivat” și „produs” nu provoacă dificultăți. „Funcție complexă” - am rezolvat-o deja. Captura este în „derivatul unei funcții externe în raport cu o funcție internă constantă”. Ce este?

Răspuns: Aceasta este derivata obișnuită a unei funcții externe, în care doar funcția externă se modifică, iar cea internă rămâne aceeași. Încă nu este clar? Bine, hai să folosim un exemplu.

Să avem o funcție \(y=\sin⁡(x^3)\). Este clar că funcția internă aici este \(x^3\), iar cea externă
. Să găsim acum derivata exteriorului în raport cu interiorul constant.

Operația de găsire a derivatei se numește diferențiere.

Ca urmare a rezolvării problemelor de găsire a derivatelor celor mai simple (și nu foarte simple) funcții prin definirea derivatei ca limită a raportului incrementului la incrementul argumentului, a apărut un tabel de derivate și reguli de diferențiere precis definite. . Primii care au lucrat în domeniul găsirii derivatelor au fost Isaac Newton (1643-1727) și Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Prin urmare, în timpul nostru, pentru a găsi derivata oricărei funcții, nu trebuie să calculați limita menționată mai sus a raportului dintre creșterea funcției și creșterea argumentului, ci trebuie doar să utilizați tabelul de derivate și regulile de diferențiere. Următorul algoritm este potrivit pentru găsirea derivatei.

Pentru a găsi derivata, aveți nevoie de o expresie sub semnul prim descompune funcțiile simple în componenteși stabiliți ce acțiuni (produs, sumă, coeficient) aceste funcții sunt legate. În continuare, găsim derivatele funcțiilor elementare în tabelul de derivate, iar formulele pentru derivatele produsului, sumă și coeficient - în regulile de diferențiere. Tabelul derivatelor și regulile de diferențiere sunt date după primele două exemple.

Exemplul 1. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. Din regulile de diferențiere aflăm că derivata unei sume de funcții este suma derivatelor de funcții, adică.

Din tabelul derivatelor aflăm că derivata lui „x” este egală cu unu, iar derivata sinusului este egală cu cosinus. Inlocuim aceste valori in suma derivatelor si gasim derivata ceruta de conditia problemei:

Exemplul 2. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. Diferențiem ca derivată a unei sume în care al doilea termen are un factor constant; acesta poate fi scos din semnul derivatei:

Dacă încă apar întrebări despre unde provine ceva, acestea sunt de obicei clarificate după ce te-ai familiarizat cu tabelul derivatelor și cu cele mai simple reguli de diferențiere. Trecem la ele chiar acum.

Tabel de derivate ale funcțiilor simple

1. Derivată a unei constante (număr). Orice număr (1, 2, 5, 200...) care se află în expresia funcției. Întotdeauna egal cu zero. Acest lucru este foarte important de reținut, deoarece este necesar foarte des
2. Derivată a variabilei independente. Cel mai adesea „X”. Întotdeauna egal cu unu. Acest lucru este, de asemenea, important de reținut pentru o lungă perioadă de timp
3. Derivat de grad. Când rezolvați probleme, trebuie să convertiți rădăcinile nepătrate în puteri.
4. Derivată a unei variabile la puterea -1
5. Derivată de rădăcină pătrată
6. Derivată de sinus
7. Derivată a cosinusului
8. Derivata tangentei
9. Derivat de cotangente
10. Derivată de arcsinus
11. Derivată a arccosinusului
12. Derivată a arctangentei
13. Derivată a cotangentei arcului
14. Derivată a logaritmului natural
15. Derivata unei functii logaritmice
16. Derivată a exponentului
17. Derivata unei functii exponentiale

Reguli de diferențiere

1. Derivată a unei sume sau diferențe
2. Derivat al produsului
2a. Derivată a unei expresii înmulțită cu un factor constant
3. Derivată a coeficientului
4. Derivata unei functii complexe

Regula 1.Dacă funcţiile

sunt diferențiabile la un moment dat, atunci funcțiile sunt diferențiabile în același punct

și

acestea. derivata unei sume algebrice de funcții este egală cu suma algebrică a derivatelor acestor funcții.

Consecinţă. Dacă două funcții diferențiabile diferă printr-un termen constant, atunci derivatele lor sunt egale, adică

Regula 2.Dacă funcţiile

sunt diferențiabile la un moment dat, atunci produsul lor este diferențiabil în același punct

și

acestea. Derivata produsului a doua functii este egala cu suma produselor fiecareia dintre aceste functii si derivata celeilalte.

Corolarul 1. Factorul constant poate fi scos din semnul derivatei:

Corolarul 2. Derivata produsului mai multor functii diferentiabile este egala cu suma produselor derivatei fiecarui factor si a tuturor celorlalti.

De exemplu, pentru trei multiplicatori:

Regula 3.Dacă funcţiile

diferentiabil la un moment dat Și , atunci în acest moment câtul lor este de asemenea diferențiabilu/v și

acestea. derivata câtului a două funcții este egală cu o fracție, al cărei numărător este diferența dintre produsele numitorului și derivata numărătorului și numărătorului și derivata numitorului, iar numitorul este pătratul fostul numărător.

Unde să cauți lucruri pe alte pagini

La găsirea derivatei unui produs și a unui coeficient în probleme reale, este întotdeauna necesar să se aplice mai multe reguli de diferențiere simultan, așa că există mai multe exemple despre aceste derivate în articol„Derivată a produsului și coeficientul de funcții”.

Cometariu. Nu trebuie să confundați o constantă (adică un număr) ca termen dintr-o sumă și ca factor constant! În cazul unui termen, derivata acestuia este egală cu zero, iar în cazul unui factor constant, se scoate din semnul derivatelor. Aceasta este o greșeală tipică care apare în etapa inițială a studiului derivatelor, dar pe măsură ce studentul obișnuit rezolvă mai multe exemple cu una sau două părți, el nu mai face această greșeală.

Și dacă, la diferențierea unui produs sau a unui coeficient, ai un termen u"v, in care u- un număr, de exemplu, 2 sau 5, adică o constantă, atunci derivata acestui număr va fi egală cu zero și, prin urmare, întregul termen va fi egal cu zero (acest caz este discutat în exemplul 10).

O altă greșeală comună este rezolvarea mecanică a derivatei unei funcții complexe ca derivată a unei funcții simple. De aceea derivata unei functii complexe este dedicat un articol separat. Dar mai întâi vom învăța să găsim derivate ale funcțiilor simple.

Pe parcurs, nu te poți descurca fără transformarea expresiilor. Pentru a face acest lucru, poate fi necesar să deschideți manualul în ferestre noi. Acțiuni cu puteri și rădăciniȘi Operații cu fracții .

Dacă căutați soluții la derivatele fracțiilor cu puteri și rădăcini, adică atunci când funcția arată ca , apoi urmați lecția „Derivată de sume de fracții cu puteri și rădăcini”.

Dacă aveți o sarcină ca , apoi veți lua lecția „Derivate ale funcțiilor trigonometrice simple”.

Exemple pas cu pas - cum să găsiți derivatul

Exemplul 3. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. Definim părțile expresiei funcției: întreaga expresie reprezintă un produs, iar factorii săi sunt sume, în al doilea dintre care unul dintre termeni conține un factor constant. Aplicam regula de diferentiere a produsului: derivata produsului a doua functii este egala cu suma produselor fiecareia dintre aceste functii prin derivata celeilalte:

În continuare, aplicăm regula de diferențiere a sumei: derivata sumei algebrice a funcțiilor este egală cu suma algebrică a derivatelor acestor funcții. În cazul nostru, în fiecare sumă al doilea termen are semnul minus. În fiecare sumă vedem atât o variabilă independentă, a cărei derivată este egală cu unu, cât și o constantă (număr), a cărei derivată este egală cu zero. Deci, „X” se transformă în unu, iar minus 5 se transformă în zero. În a doua expresie, „x” este înmulțit cu 2, așa că înmulțim doi cu aceeași unitate ca și derivata lui „x”. Obținem următoarele valori derivate:

Inlocuim derivatele gasite in suma produselor si obtinem derivata intregii functii ceruta de conditia problemei:

Și puteți verifica soluția problemei derivate pe.

Exemplul 4. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. Ni se cere să găsim derivata coeficientului. Aplicăm formula de diferențiere a câtului: derivata câtului a două funcții este egală cu o fracție, al cărei numărător este diferența dintre produsele numitorului și derivata numărătorului și numărătorului și derivata numitorul, iar numitorul este pătratul fostului numărător. Primim:

Am găsit deja derivata factorilor din numărător în exemplul 2. De asemenea, să nu uităm că produsul, care este al doilea factor la numărător în exemplul curent, este luat cu semnul minus:

Dacă căutați soluții la probleme în care trebuie să găsiți derivata unei funcții, unde există o grămadă continuă de rădăcini și puteri, cum ar fi, de exemplu, , atunci bun venit la curs „Derivată a sumelor fracțiilor cu puteri și rădăcini” .

Dacă trebuie să aflați mai multe despre derivatele sinusurilor, cosinusurilor, tangentelor și altor funcții trigonometrice, adică atunci când funcția arată ca , atunci o lecție pentru tine „Derivate ale funcțiilor trigonometrice simple” .

Exemplul 5. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. În această funcție vedem un produs, unul dintre factorii căruia este rădăcina pătrată a variabilei independente, a cărei derivată ne-am familiarizat în tabelul de derivate. Folosind regula de diferențiere a produsului și a valorii tabelare a derivatei rădăcinii pătrate, obținem:

Puteți verifica soluția problemei derivate la calculator de derivate online .

Exemplul 6. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. În această funcție vedem un coeficient al cărui dividend este rădăcina pătrată a variabilei independente. Folosind regula de diferențiere a coeficientilor, pe care am repetat-o și aplicată în exemplul 4, și valoarea tabelată a derivatei rădăcinii pătrate, obținem:

Pentru a scăpa de o fracție din numărător, înmulțiți numărătorul și numitorul cu .

În această lecție vom învăța cum să găsim derivata unei functii complexe. Lecția este o continuare logică a lecției Cum să găsesc derivatul?, în care am examinat cele mai simple derivate și, de asemenea, ne-am familiarizat cu regulile de diferențiere și unele tehnici tehnice de găsire a derivatelor. Astfel, dacă nu ești foarte bun cu derivatele de funcții sau unele puncte din acest articol nu sunt complet clare, atunci citește mai întâi lecția de mai sus. Vă rugăm să aveți o dispoziție serioasă - materialul nu este simplu, dar voi încerca totuși să îl prezint simplu și clar.

În practică, trebuie să te ocupi foarte des de derivata unei funcții complexe, chiar aș spune, aproape întotdeauna, atunci când ți se dau sarcini să găsești derivate.

Ne uităm la tabelul la regula (nr. 5) pentru diferențierea unei funcții complexe:

Să ne dăm seama. În primul rând, să fim atenți la intrare. Aici avem două funcții - și , iar funcția, la figurat vorbind, este imbricată în funcția . O funcție de acest tip (când o funcție este imbricată în alta) se numește funcție complexă.

Voi apela funcția functie externa, și funcția – funcție internă (sau imbricată)..

! Aceste definiții nu sunt teoretice și nu ar trebui să apară în proiectarea finală a sarcinilor. Folosesc expresii informale „funcție externă”, funcție „internă” doar pentru a vă facilita înțelegerea materialului.

Pentru a clarifica situația, luați în considerare:

Exemplul 1

Aflați derivata unei funcții

Sub sinus avem nu doar litera „X”, ci o expresie întreagă, așa că găsirea derivatei imediat din tabel nu va funcționa. De asemenea, observăm că este imposibil să se aplice primele patru reguli aici, pare să existe o diferență, dar adevărul este că sinusul nu poate fi „sfâșiat în bucăți”:

În acest exemplu, este deja intuitiv clar din explicațiile mele că o funcție este o funcție complexă, iar polinomul este o funcție internă (încorporare) și o funcție externă.

Primul pas ceea ce trebuie să faceți când găsiți derivata unei funcții complexe este să înțelegeți ce funcție este internă și care este externă.

În cazul exemplelor simple, pare clar că un polinom este încorporat sub sinus. Dar dacă totul nu este evident? Cum să determinați cu exactitate ce funcție este externă și care este internă? Pentru a face acest lucru, vă sugerez să folosiți următoarea tehnică, care poate fi făcută mental sau în schiță.

Să ne imaginăm că trebuie să calculăm valoarea expresiei la pe un calculator (în loc de unul poate fi orice număr).

Ce vom calcula mai întâi? În primul rând va trebui să efectuați următoarea acțiune: , prin urmare polinomul va fi o funcție internă:

În al doilea rând va trebui găsit, deci sine – va fi o funcție externă:

După ce noi VÂNDUT Cu funcții interne și externe, este timpul să aplici regula de diferențiere a funcțiilor complexe.

Să începem să decidem. Din clasa Cum să găsesc derivatul? ne amintim că proiectarea unei soluții la orice derivat începe întotdeauna astfel - încadrăm expresia între paranteze și punem o contur în dreapta sus:

La început găsim derivata funcției externe (sinus), ne uităm la tabelul derivatelor funcțiilor elementare și observăm că . Toate formulele de tabel sunt de asemenea aplicabile dacă „x” este înlocuit cu o expresie complexă, în acest caz:

Vă rugăm să rețineți că funcția interioară nu s-a schimbat, nu o atingem.

Ei bine, este destul de evident că

Rezultatul final al aplicării formulei arată astfel:

Factorul constant este de obicei plasat la începutul expresiei:

Dacă există vreo neînțelegere, notează soluția pe hârtie și citește din nou explicațiile.

Exemplul 2

Aflați derivata unei funcții

Exemplul 3

Aflați derivata unei funcții

Ca întotdeauna, notăm:

Să ne dăm seama unde avem o funcție externă și unde avem una internă. Pentru a face acest lucru, încercăm (mental sau într-o schiță) să calculăm valoarea expresiei la . Ce ar trebui să faci mai întâi? În primul rând, trebuie să calculați cu ce este egală baza: prin urmare, polinomul este funcția internă:

Și numai atunci se realizează exponențiarea, prin urmare, funcția de putere este o funcție externă:

Conform formulei, mai întâi trebuie să găsiți derivata funcției externe, în acest caz, gradul. Căutăm formula necesară în tabel: . Repetăm din nou: orice formulă tabelară este valabilă nu numai pentru „X”, ci și pentru o expresie complexă. Astfel, rezultatul aplicării regulii de diferențiere a unei funcții complexe este următorul:

Subliniez din nou că atunci când luăm derivata funcției externe, funcția noastră internă nu se schimbă:

Acum tot ce rămâne este să găsiți o derivată foarte simplă a funcției interne și să modificați puțin rezultatul:

Exemplul 4

Aflați derivata unei funcții

Acesta este un exemplu pe care îl puteți rezolva singur (răspunsul la sfârșitul lecției).

Pentru a vă consolida înțelegerea derivatului unei funcții complexe, voi da un exemplu fără comentarii, încercați să vă dați seama singur, motivul unde este funcția externă și unde este funcția internă, de ce sarcinile sunt rezolvate astfel?

Exemplul 5

a) Aflați derivata funcției

b) Aflați derivata funcției

Exemplul 6

Aflați derivata unei funcții

Aici avem o rădăcină, iar pentru a diferenția rădăcina, aceasta trebuie reprezentată ca putere. Astfel, mai întâi aducem funcția în forma adecvată pentru diferențiere:

Analizând funcția, ajungem la concluzia că suma celor trei termeni este o funcție internă, iar ridicarea la putere este o funcție externă. Aplicam regula de diferentiere a functiilor complexe:

Reprezentăm din nou gradul ca un radical (rădăcină), iar pentru derivata funcției interne aplicăm o regulă simplă de diferențiere a sumei:

Gata. De asemenea, puteți reduce expresia la un numitor comun între paranteze și scrieți totul ca o fracție. Este frumos, desigur, dar atunci când obțineți derivate lungi greoaie, este mai bine să nu faceți acest lucru (este ușor să vă confundați, să faceți o greșeală inutilă și profesorul va fi incomod să verifice).

Exemplul 7

Aflați derivata unei funcții

Acesta este un exemplu pe care îl puteți rezolva singur (răspunsul la sfârșitul lecției).

Este interesant de observat că uneori, în loc de regula de diferențiere a unei funcții complexe, puteți folosi regula de diferențiere a unui coeficient. , dar o astfel de soluție va arăta ca o perversiune amuzantă. Iată un exemplu tipic:

Exemplul 8

Aflați derivata unei funcții

Aici puteți folosi regula de diferențiere a coeficientului , dar este mult mai profitabil să găsim derivata prin regula de diferențiere a unei funcții complexe:

Pregătim funcția pentru diferențiere - mutăm minusul din semnul derivat și ridicăm cosinusul la numărător:

Cosinusul este o funcție internă, exponențiația este o funcție externă.
Să folosim regula noastră:

Găsim derivata funcției interne și resetăm cosinusul înapoi:

Gata. În exemplul luat în considerare, este important să nu vă confundați în semne. Apropo, încercați să o rezolvați folosind regula , răspunsurile trebuie să se potrivească.

Exemplul 9

Aflați derivata unei funcții

Acesta este un exemplu pe care îl puteți rezolva singur (răspunsul la sfârșitul lecției).

Până acum am analizat cazurile în care am avut un singur cuib într-o funcție complexă. În sarcinile practice, puteți găsi adesea derivate, în care, cum ar fi păpușile de cuibărit, una în cealaltă, 3 sau chiar 4-5 funcții sunt imbricate deodată.

Exemplul 10

Aflați derivata unei funcții

Să înțelegem atașamentele acestei funcții. Să încercăm să calculăm expresia folosind valoarea experimentală. Cum am conta pe un calculator?

Mai întâi trebuie să găsiți , ceea ce înseamnă că arcsinusul este cea mai adâncă încorporare:

Acest arcsinus al lui unu ar trebui apoi să fie pătrat:

Și, în sfârșit, ridicăm șapte la o putere:

Adică, în acest exemplu avem trei funcții diferite și două înglobări, în timp ce funcția cea mai interioară este arcsinus, iar funcția cea mai exterioară este funcția exponențială.

Să începem să decidem

Conform regulii, mai întâi trebuie să luați derivata funcției externe. Ne uităm la tabelul derivatelor și găsim derivata funcției exponențiale: Singura diferență este că în loc de „x” avem o expresie complexă, care nu anulează validitatea acestei formule. Deci, rezultatul aplicării regulii de diferențiere a unei funcții complexe este următorul:

Sub accident vascular cerebral avem din nou o funcție complexă! Dar deja este mai simplu. Este ușor de verificat că funcția interioară este arcsinus, funcția exterioară este gradul. Conform regulii de diferențiere a unei funcții complexe, mai întâi trebuie să luați derivata puterii.

Dacă g(X) Și f(u) – funcții diferențiabile ale argumentelor lor, respectiv, la puncte XȘi u= g(X), atunci funcția complexă este și ea diferențiabilă la punct X si se gaseste prin formula

O greșeală tipică la rezolvarea problemelor derivate este transferul mecanic al regulilor de diferențiere a funcțiilor simple la funcții complexe. Să învățăm să evităm această greșeală.

Exemplul 2. Aflați derivata unei funcții

Solutie gresita: calculați logaritmul natural al fiecărui termen din paranteze și căutați suma derivatelor:

Solutia corecta: din nou determinăm unde este „mărul” și unde este „carnea tocată”. Aici logaritmul natural al expresiei din paranteză este un „măr”, adică o funcție peste argumentul intermediar u, iar expresia dintre paranteze este „carne tocată”, adică un argument intermediar u prin variabila independenta X.

Apoi (folosind formula 14 din tabelul derivatelor)

În multe probleme din viața reală, expresia cu un logaritm poate fi ceva mai complicată, motiv pentru care există o lecție

Exemplul 3. Aflați derivata unei funcții

Solutie gresita:

Soluție corectă.Încă o dată stabilim unde este „mărul” și unde este „carnea tocată”. Aici, cosinusul expresiei dintre paranteze (formula 7 din tabelul derivatelor) este un „măr”, este pregătit în modul 1, care îl afectează numai pe acesta, iar expresia dintre paranteze (derivata gradului este numărul 3 în tabelul derivatelor) este „carne tocată”, se prepară în modul 2, care o afectează numai pe aceasta. Și, ca întotdeauna, conectăm două derivate cu semnul produsului. Rezultat:

Derivata unei funcții logaritmice complexe este o sarcină frecventă în teste, așa că vă recomandăm insistent să urmați lecția „Derivată a unei funcții logaritmice”.

Primele exemple au fost pe funcții complexe, în care argumentul intermediar asupra variabilei independente era o funcție simplă. Dar în sarcinile practice este adesea necesar să se găsească derivata unei funcții complexe, unde argumentul intermediar este fie el însuși o funcție complexă, fie conține o astfel de funcție. Ce să faci în astfel de cazuri? Găsiți derivate ale unor astfel de funcții folosind tabele și reguli de diferențiere. Când se găsește derivata argumentului intermediar, aceasta este pur și simplu substituită în locul potrivit în formulă. Mai jos sunt două exemple despre cum se face acest lucru.

În plus, este util să știți următoarele. Dacă o funcţie complexă poate fi reprezentată ca un lanţ de trei funcţii

atunci derivata sa ar trebui găsită ca produsul derivatelor fiecăreia dintre aceste funcții:

Multe dintre temele dvs. ar putea necesita să vă deschideți ghidurile în ferestre noi. Acțiuni cu puteri și rădăciniȘi Operații cu fracții .

Exemplul 4. Aflați derivata unei funcții

Aplicam regula de diferentiere a unei functii complexe, fara a uita ca in produsul rezultat al derivatelor exista un argument intermediar fata de variabila independenta X nu se schimba:

Pregătim al doilea factor al produsului și aplicăm regula de diferențiere a sumei:

Al doilea termen este rădăcina, deci

Astfel, am constatat că argumentul intermediar, care este o sumă, conține o funcție complexă ca unul dintre termeni: ridicarea la o putere este o funcție complexă, iar ceea ce este ridicat la o putere este un argument intermediar față de independenta. variabil X.

Prin urmare, aplicăm din nou regula de diferențiere a unei funcții complexe:

Transformăm gradul primului factor într-o rădăcină, iar la diferențierea celui de-al doilea factor, nu uităm că derivata constantei este egală cu zero:

Acum putem găsi derivata argumentului intermediar necesar pentru a calcula derivata unei funcții complexe cerute în enunțul problemei y:

Exemplul 5. Aflați derivata unei funcții

În primul rând, folosim regula pentru diferențierea sumei:

Am obținut suma derivatelor a două funcții complexe. Să-l găsim pe primul:

Aici, ridicarea sinusului la o putere este o funcție complexă, iar sinusul însuși este un argument intermediar pentru variabila independentă X. Prin urmare, vom folosi regula de diferențiere a unei funcții complexe, pe parcurs scotând factorul din paranteze :

Acum găsim al doilea termen al derivatelor funcției y:

Aici ridicarea cosinusului la o putere este o funcție complexă f, iar cosinusul însuși este un argument intermediar în variabila independentă X. Să folosim din nou regula pentru diferențierea unei funcții complexe:

Rezultatul este derivata necesară:

Tabel de derivate ale unor funcții complexe

Pentru funcțiile complexe, bazate pe regula de diferențiere a unei funcții complexe, formula pentru derivata unei funcții simple ia o formă diferită.

1. Derivată a unei funcții de putere complexe, unde u X
2. Derivat al rădăcinii expresiei
3. Derivata unei functii exponentiale
4. Caz special al funcției exponențiale
5. Derivată a unei funcții logaritmice cu o bază pozitivă arbitrară A
6. Derivata unei functii logaritmice complexe, unde u– funcția diferențiabilă a argumentului X
7. Derivată de sinus
8. Derivată a cosinusului
9. Derivata tangentei
10. Derivat de cotangente
11. Derivată de arcsinus
12. Derivată a arccosinusului
13. Derivată a arctangentei
14. Derivată a cotangentei arcului

Dacă urmați definiția, atunci derivata unei funcții într-un punct este limita raportului de creștere a funcției Δ y la argumentul increment Δ X:

Totul pare a fi clar. Dar încercați să utilizați această formulă pentru a calcula, să zicem, derivata funcției f(X) = X 2 + (2X+ 3) · e X păcat X. Dacă faci totul prin definiție, atunci după câteva pagini de calcule vei adormi pur și simplu. Prin urmare, există modalități mai simple și mai eficiente.

Pentru început, observăm că din întreaga varietate de funcții putem distinge așa-numitele funcții elementare. Acestea sunt expresii relativ simple, ale căror derivate au fost mult timp calculate și tabulate. Astfel de funcții sunt destul de ușor de reținut - împreună cu derivatele lor.

Derivate ale funcţiilor elementare

Funcțiile elementare sunt toate cele enumerate mai jos. Derivatele acestor funcții trebuie cunoscute pe de rost. În plus, nu este deloc dificil să le memorezi - de aceea sunt elementare.

Deci, derivate ale funcțiilor elementare:

Nume	Funcţie	Derivat
Constant	f(X) = C, C ∈ R	0 (da, zero!)
Putere cu exponent rațional	f(X) = X n	n · X n − 1
Sinusul	f(X) = păcat X	cos X
Cosinus	f(X) = cos X	−păcat X(minus sinus)
Tangentă	f(X) = tg X	1/cos 2 X
Cotangentă	f(X) = ctg X	− 1/sin 2 X
Logaritmul natural	f(X) = jurnal X	1/X
Logaritmul arbitrar	f(X) = jurnal A X	1/(X ln A)
Functie exponentiala	f(X) = e X	e X(Nimic nu s-a schimbat)

Dacă o funcție elementară este înmulțită cu o constantă arbitrară, atunci derivata noii funcție este de asemenea ușor de calculată:

(C · f)’ = C · f ’.

În general, constantele pot fi scoase din semnul derivatei. De exemplu:

(2X 3)’ = 2 · ( X 3)’ = 2 3 X 2 = 6X 2 .

Evident, funcțiile elementare pot fi adăugate între ele, multiplicate, împărțite - și multe altele. Așa vor apărea funcții noi, nu mai ales elementare, dar și diferențiate după anumite reguli. Aceste reguli sunt discutate mai jos.

Derivată a sumei și diferenței

Să fie date funcțiile f(X) Și g(X), ale căror derivate ne sunt cunoscute. De exemplu, puteți lua funcțiile elementare discutate mai sus. Apoi puteți găsi derivata sumei și diferenței acestor funcții:

(f + g)’ = f ’ + g ’
(f − g)’ = f ’ − g ’

Deci, derivata sumei (diferența) a două funcții este egală cu suma (diferența) derivatelor. Pot exista mai mulți termeni. De exemplu, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Strict vorbind, nu există un concept de „scădere” în algebră. Există un concept de „element negativ”. Prin urmare diferența f − g poate fi rescris ca o sumă f+ (−1) g, iar apoi rămâne o singură formulă - derivata sumei.

f(X) = X 2 + sin x; g(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

Funcţie f(X) este suma a două funcții elementare, prin urmare:

f ’(X) = (X 2 + păcat X)’ = (X 2)’ + (păcat X)’ = 2X+ cos x;

Raționăm în mod similar pentru funcție g(X). Numai că există deja trei termeni (din punct de vedere al algebrei):

g ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

Răspuns:
f ’(X) = 2X+ cos x;
g ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Derivat al produsului

Matematica este o știință logică, așa că mulți oameni cred că, dacă derivata unei sume este egală cu suma derivatelor, atunci derivata produsului grevă„>egal cu produsul derivatelor. Dar stricați-vă! Derivata unui produs se calculează folosind o formulă complet diferită. Și anume:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formula este simplă, dar este adesea uitată. Și nu numai școlari, ci și elevi. Rezultatul este probleme rezolvate incorect.

Sarcină. Găsiți derivate ale funcțiilor: f(X) = X 3 cos x; g(X) = (X 2 + 7X− 7) · e X .

Funcţie f(X) este produsul a două funcții elementare, deci totul este simplu:

f ’(X) = (X 3 cos X)’ = (X 3)’ cos X + X 3 (cos X)’ = 3X 2 cos X + X 3 (− păcat X) = X 2 (3cos X − X păcat X)

Funcţie g(X) primul multiplicator este puțin mai complicat, dar schema generală nu se schimbă. Evident, primul factor al funcției g(X) este un polinom și derivata sa este derivata sumei. Avem:

g ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · e X)’ = (X 2 + 7X− 7)’ · e X + (X 2 + 7X− 7) · ( e X)’ = (2X+ 7) · e X + (X 2 + 7X− 7) · e X = e X· (2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · e X = X(X+ 9) · e X .

Răspuns:
f ’(X) = X 2 (3cos X − X păcat X);
g ’(X) = X(X+ 9) · e X .

Vă rugăm să rețineți că în ultimul pas derivata este factorizată. În mod formal, acest lucru nu trebuie făcut, dar majoritatea derivatelor nu sunt calculate singure, ci pentru a examina funcția. Aceasta înseamnă că în continuare derivata va fi egalată cu zero, semnele sale vor fi determinate și așa mai departe. Pentru un astfel de caz, este mai bine să aveți o expresie factorizată.

Dacă există două funcții f(X) Și g(X), și g(X) ≠ 0 pe mulțimea care ne interesează, putem defini o nouă funcție h(X) = f(X)/g(X). Pentru o astfel de funcție puteți găsi și derivata:

Nu slab, nu? De unde a venit minusul? De ce g 2? Și așa! Aceasta este una dintre cele mai complexe formule - nu vă puteți da seama fără o sticlă. Prin urmare, este mai bine să-l studiați cu exemple specifice.

Sarcină. Găsiți derivate ale funcțiilor:

Numătorul și numitorul fiecărei fracții conțin funcții elementare, deci tot ce ne trebuie este formula pentru derivata coeficientului:

Conform tradiției, să factorizăm numărătorul - acest lucru va simplifica foarte mult răspunsul:

O funcție complexă nu este neapărat o formulă lungă de jumătate de kilometru. De exemplu, este suficient să luați funcția f(X) = păcat Xși înlocuiți variabila X, să zicem, pe X 2 + ln X. Se va rezolva f(X) = păcat ( X 2 + ln X) - aceasta este o funcție complexă. Are și un derivat, dar nu va fi posibil să îl găsiți folosind regulile discutate mai sus.

Ce ar trebuii să fac? În astfel de cazuri, înlocuirea unei variabile și a unei formule pentru derivata unei funcții complexe ajută:

f ’(X) = f ’(t) · t', Dacă X este înlocuit cu t(X).

De regulă, situația cu înțelegerea acestei formule este și mai tristă decât cu derivata coeficientului. Prin urmare, este mai bine să-l explicați folosind exemple specifice, cu o descriere detaliată a fiecărui pas.

Sarcină. Găsiți derivate ale funcțiilor: f(X) = e 2X + 3 ; g(X) = păcat ( X 2 + ln X)

Rețineți că dacă în funcție f(X) în loc de expresia 2 X+ 3 va fi ușor X, atunci obținem o funcție elementară f(X) = e X. Prin urmare, facem o înlocuire: fie 2 X + 3 = t, f(X) = f(t) = e t. Căutăm derivata unei funcții complexe folosind formula:

f ’(X) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Și acum - atenție! Efectuăm înlocuirea inversă: t = 2X+ 3. Obținem:

f ’(X) = e t · t ’ = e 2X+ 3 (2 X + 3)’ = e 2X+ 3 2 = 2 e 2X + 3

Acum să ne uităm la funcție g(X). Evident că trebuie înlocuit X 2 + ln X = t. Avem:

g ’(X) = g ’(t) · t’ = (păcat t)’ · t’ = cos t · t ’

Înlocuire inversă: t = X 2 + ln X. Apoi:

g ’(X) = cos ( X 2 + ln X) · ( X 2 + ln X)’ = cos ( X 2 + ln X) · (2 X + 1/X).

Asta e tot! După cum se poate vedea din ultima expresie, întreaga problemă a fost redusă la calcularea sumei derivate.

Răspuns:
f ’(X) = 2 · e 2X + 3 ;
g ’(X) = (2X + 1/X) cos ( X 2 + ln X).

Foarte des în lecțiile mele, în loc de termenul „derivat”, folosesc cuvântul „prim”. De exemplu, cursa sumei este egală cu suma curselor. Este mai clar? Asta e bine.

Astfel, calcularea derivatei se reduce la a scăpa de aceleași lovituri conform regulilor discutate mai sus. Ca exemplu final, să revenim la puterea derivată cu un exponent rațional:

(X n)’ = n · X n − 1

Puțini oameni știu asta în rol n poate fi un număr fracționar. De exemplu, rădăcina este X 0,5. Ce se întâmplă dacă există ceva fantezist sub rădăcină? Din nou, rezultatul va fi o funcție complexă - le place să dea astfel de construcții în teste și examene.