Ajutor la Tele2, tarife, intrebari

solutie inegalitatiiîn mod pe net soluţie aproape orice inegalitate dată pe net. Matematic inegalități online pentru a rezolva matematica. Găsiți repede solutie inegalitatiiîn mod pe net. Site-ul www.site vă permite să găsiți soluţie aproape orice dat algebric, trigonometric sau inegalitatea transcendentală online. Când studiezi aproape orice ramură a matematicii în diferite etape, trebuie să te decizi inegalități online. Pentru a obține un răspuns imediat și, cel mai important, un răspuns precis, aveți nevoie de o resursă care vă permite să faceți acest lucru. Multumesc site-ului www.site rezolva inegalitatea online va dura câteva minute. Principalul avantaj al www.site-ului atunci când rezolvăm matematică inegalități online- aceasta este viteza și acuratețea răspunsului oferit. Site-ul este capabil să rezolve orice inegalități algebrice online, inegalități trigonometrice online, inegalități transcendentale online, și inegalităților cu parametri necunoscuți în modul pe net. Inegalități servesc ca un puternic aparat matematic solutii probleme practice. Cu ajutorul inegalități matematice este posibil să se exprime fapte și relații care pot părea confuze și complexe la prima vedere. Cantitati necunoscute inegalităților poate fi găsit prin formularea problemei în matematic limba în formă inegalitățilorȘi decide sarcină primită în modul pe net pe site-ul www.site. Orice inegalitatea algebrică, inegalitatea trigonometrică sau inegalităților conținând transcendental caracteristici pe care le puteți ușor decide online și obțineți răspunsul exact. Când studiezi științele naturii, întâmpinați inevitabil nevoia soluții la inegalități. În acest caz, răspunsul trebuie să fie corect și trebuie obținut imediat în modul pe net. Prin urmare pentru Rezolvarea inegalităților matematice online vă recomandăm site-ul www.site, care va deveni calculatorul dumneavoastră indispensabil pentru rezolvarea inegalităților algebrice online, inegalități trigonometrice online, și inegalități transcendentale online sau inegalităților cu parametri necunoscuți. Pentru probleme practice de a găsi soluții online la diverse inegalități matematice resursa www.. Rezolvarea inegalități online singur, este util să verificați răspunsul primit folosind soluția online a inegalităților pe site-ul www.site. Trebuie să scrieți corect inegalitatea și să obțineți instantaneu soluție online, după care nu mai rămâne decât să compari răspunsul cu soluția ta la inegalitate. Verificarea răspunsului nu va dura mai mult de un minut, este suficient rezolva inegalitatea onlineși comparați răspunsurile. Acest lucru vă va ajuta să evitați greșelile în decizieși corectează răspunsul la timp când rezolvarea inegalităților online fie algebric, trigonometric, transcendental sau inegalitate cu parametri necunoscuți.

De exemplu, inegalitatea este expresia \(x>5\).

Tipuri de inegalități:

Dacă \(a\) și \(b\) sunt numere sau , atunci inegalitatea este numită numeric. De fapt, este doar compararea a două numere. Astfel de inegalități sunt împărțite în credinciosȘi necredincios.

De exemplu:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) este o inegalitate numerică incorectă, deoarece \(17+3=20\) și \(20\) este mai mic decât \(115\) (și nu mai mare sau egal cu) .

Dacă \(a\) și \(b\) sunt expresii care conțin o variabilă, atunci avem inegalitatea cu variabila. Astfel de inegalități sunt împărțite în tipuri în funcție de conținut:

Care este soluția la o inegalitate?

Dacă înlocuiți un număr în loc de o variabilă într-o inegalitate, aceasta se va transforma într-una numerică.

Dacă o valoare dată pentru x transformă inegalitatea inițială într-una numerică adevărată, atunci se numește soluție la inegalitate. Dacă nu, atunci această valoare nu este o soluție. Și a rezolva inegalitatea– trebuie să-i găsești toate soluțiile (sau să arăți că nu există).

De exemplu, dacă substituim numărul \(7\) în inegalitatea liniară \(x+6>10\), obținem inegalitatea numerică corectă: \(13>10\). Și dacă înlocuim \(2\), va exista o inegalitate numerică incorectă \(8>10\). Adică, \(7\) este o soluție la inegalitatea inițială, dar \(2\) nu este.

Totuși, inegalitatea \(x+6>10\) are alte soluții. Într-adevăr, vom obține inegalitățile numerice corecte când înlocuim \(5\), și \(12\), și \(138\)... Și cum putem găsi toate soluțiile posibile? Pentru aceasta folosesc. Pentru cazul nostru avem:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Adică, orice număr mai mare de patru este potrivit pentru noi. Acum trebuie să scrieți răspunsul. Soluțiile la inegalități sunt de obicei scrise numeric, marcându-le suplimentar pe axa numerelor cu umbrire. Pentru cazul nostru avem:

Răspuns: \(x\in(4;+\infty)\)

Când se schimbă semnul unei inegalități?

Există o mare capcană în inegalități în care elevii „adoră” să cadă:

Când înmulțiți (sau împărțiți) o inegalitate cu un număr negativ, aceasta este inversată („mai mult” cu „mai puțin”, „mai mult sau egal” cu „mai puțin decât sau egal” și așa mai departe)

De ce se întâmplă asta? Pentru a înțelege acest lucru, să ne uităm la transformările inegalității numerice \(3>1\). Este corect, trei este într-adevăr mai mare decât unul. Mai întâi, să încercăm să-l înmulțim cu orice număr pozitiv, de exemplu, doi:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

După cum putem vedea, după înmulțire inegalitatea rămâne adevărată. Și indiferent cu ce număr pozitiv înmulțim, vom obține întotdeauna inegalitatea corectă. Acum să încercăm să înmulțim cu un număr negativ, de exemplu, minus trei:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Rezultatul este o inegalitate incorectă, deoarece minus nouă este mai puțin decât minus trei! Adică, pentru ca inegalitatea să devină adevărată (și, prin urmare, transformarea înmulțirii cu negativ a fost „legală”), trebuie să inversați semnul de comparație, astfel: \(−9<− 3\).
Cu diviziunea va funcționa la fel, puteți verifica singur.

Regula scrisă mai sus se aplică tuturor tipurilor de inegalități, nu doar celor numerice.

Răspuns: \(x\in(-1;\infty)\)

Inegalități și dizabilități

Inegalitățile, la fel ca și ecuațiile, pot avea restricții asupra , adică asupra valorilor lui x. În consecință, acele valori care sunt inacceptabile conform DZ ar trebui excluse din gama de soluții.

Exemplu: Rezolvați inegalitatea \(\sqrt(x+1)<3\)

Soluţie: Este clar că, pentru ca partea stângă să fie mai mică decât \(3\), expresia radicală trebuie să fie mai mică decât \(9\) (la urma urmei, din \(9\) doar \(3\)). Primim:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(X<8\)

Toate? Orice valoare a lui x mai mică decât \(8\) ne va potrivi? Nu! Pentru că dacă luăm, de exemplu, valoarea \(-5\) care pare să se potrivească cerinței, aceasta nu va fi o soluție la inegalitatea inițială, deoarece ne va conduce la calcularea rădăcinii unui număr negativ.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Prin urmare, trebuie să luăm în considerare și restricțiile privind valoarea lui X - nu poate fi astfel încât să existe un număr negativ sub rădăcină. Astfel, avem a doua cerință pentru x:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

Și pentru ca x să fie soluția finală, trebuie să îndeplinească ambele cerințe simultan: trebuie să fie mai mic decât \(8\) (pentru a fi o soluție) și mai mare decât \(-1\) (pentru a fi admisibil în principiu). Trasând-o pe linia numerică, avem răspunsul final:

Răspuns: \(\stanga[-1;8\dreapta)\)

Atenţie!
Există suplimentare
materiale din secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Ce s-a întâmplat „inegalitate pătratică”? Nicio întrebare!) Dacă iei orice ecuația pătratică și înlocuiți semnul din ea "=" (egal) cu orice semn de inegalitate ( > ≥ < ≤ ≠ ), obținem o inegalitate pătratică. De exemplu:

1. x 2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x 2 ≤ 4

Ei bine, ai inteles...)

Nu degeaba am legat aici ecuații și inegalități. Ideea este că primul pas în rezolvare orice inegalitatea pătratică - rezolvați ecuația din care se face această inegalitate. Din acest motiv, incapacitatea de a rezolva ecuații pătratice duce automat la eșecul complet al inegalităților. Sugestia este clară?) Dacă ceva, uită-te la cum să rezolvi orice ecuații pătratice. Totul este descris acolo în detaliu. Și în această lecție ne vom ocupa de inegalități.

Inegalitatea gata de rezolvare are forma: în stânga este un trinom pătratic ax 2 +bx+c, în dreapta - zero. Semnul inegalității poate fi absolut orice. Primele două exemple sunt aici sunt deja gata să ia o decizie. Al treilea exemplu mai trebuie pregătit.

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Astăzi, prieteni, nu va mai exista nici un muci sau sentimentalism. În schimb, te voi trimite, fără întrebări, în luptă cu unul dintre cei mai formidabili adversari de la cursul de algebră de clasa a VIII-a-9.

Da, ați înțeles totul corect: vorbim de inegalități cu modul. Vom analiza patru tehnici de bază cu care vei învăța să rezolvi aproximativ 90% din astfel de probleme. Dar restul de 10%? Ei bine, vom vorbi despre ele într-o lecție separată. :)

Cu toate acestea, înainte de a analiza oricare dintre tehnici, aș dori să vă reamintesc două fapte pe care trebuie să le cunoașteți deja. Altfel, riscați să nu înțelegeți deloc materialul lecției de astăzi.

Ce trebuie să știi deja

Captain Obviousness pare să sugereze că pentru a rezolva inegalitățile cu modul trebuie să știi două lucruri:

1. Cum sunt rezolvate inegalitățile;
2. Ce este un modul?

Să începem cu al doilea punct.

Definiția modulului

Totul este simplu aici. Există două definiții: algebrică și grafică. Pentru început - algebric:

Definiție. Modulul unui număr $x$ este fie numărul în sine, dacă este nenegativ, fie numărul opus acestuia, dacă $x$ original este încă negativ.

Este scris astfel:

\[\stanga| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

În termeni simpli, un modul este un „număr fără minus”. Și în această dualitate (în unele locuri nu trebuie să faci nimic cu numărul inițial, dar în altele trebuie să eliminați un fel de minus) acolo se află întreaga dificultate pentru studenții începători.

Există și o definiție geometrică. De asemenea, este util de știut, dar vom apela la el doar în cazuri complexe și unele speciale, în care abordarea geometrică este mai convenabilă decât cea algebrică (spoiler: nu astăzi).

Definiție. Punctul $a$ să fie marcat pe linia numerică. Apoi modulul $\left| x-a \right|$ este distanța de la punctul $x$ la punctul $a$ pe această linie.

Dacă desenați o imagine, veți obține ceva de genul acesta:

Într-un fel sau altul, din definiția unui modul, proprietatea sa cheie urmează imediat: modulul unui număr este întotdeauna o mărime nenegativă. Acest fapt va fi un fir roșu care traversează întreaga noastră narațiune de astăzi.

Rezolvarea inegalităților. Metoda intervalului

Acum să ne uităm la inegalități. Sunt foarte multe dintre ele, dar sarcina noastră acum este să putem rezolva cel puțin pe cele mai simple dintre ele. Cele care se reduc la inegalități liniare, precum și la metoda intervalului.

Am două lecții mari pe această temă (apropo, foarte, FOARTE utile - recomand să le studiez):

1. Metoda intervalului pentru inegalități (vizionați în special videoclipul);
2. Inegalitățile raționale fracționale sunt o lecție foarte extinsă, dar după aceasta nu veți mai avea deloc întrebări.

Dacă știi toate acestea, dacă expresia „să trecem de la inegalitate la ecuație” nu te face să ai o dorință vagă de a te lovi de perete, atunci ești gata: bine ai venit în iad la subiectul principal al lecției. :)

1. Inegalități de formă „Modulul este mai mic decât funcția”

Aceasta este una dintre cele mai frecvente probleme cu modulele. Este necesar să se rezolve o inegalitate de forma:

\[\stanga| f\dreapta| \ltg\]

Funcțiile $f$ și $g$ pot fi orice, dar de obicei sunt polinoame. Exemple de astfel de inegalități:

\[\begin(align) & \left| 2x+3 \dreapta| \lt x+7; \\ & \left| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \left| ((x)^(2))-2\stânga| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end(align)\]

Toate acestea pot fi rezolvate literalmente într-o singură linie, conform următoarei scheme:

\[\stanga| f\dreapta| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \corect corect)\]

Este ușor de observat că scăpăm de modul, dar în schimb obținem o inegalitate dublă (sau, ceea ce este același lucru, un sistem de două inegalități). Dar această tranziție ia în considerare absolut toate problemele posibile: dacă numărul de sub modul este pozitiv, metoda funcționează; dacă este negativ, încă funcționează; și chiar și cu cea mai inadecvată funcție în locul $f$ sau $g$, metoda va funcționa în continuare.

Desigur, se pune întrebarea: nu ar putea fi mai simplu? Din păcate, nu este posibil. Acesta este scopul modulului.

Cu toate acestea, destul cu filozofarea. Să rezolvăm câteva probleme:

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\stanga| 2x+3 \dreapta| \lt x+7\]

Soluţie. Deci, avem în fața noastră o inegalitate clasică de forma „modulul este mai mic” - chiar nu există nimic de transformat. Lucrăm conform algoritmului:

\[\begin(align) & \left| f\dreapta| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \left| 2x+3 \dreapta| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

Nu vă grăbiți să deschideți parantezele precedate de un „minus”: este foarte posibil ca din pricina grabei dvs. să faceți o greșeală ofensivă.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

Problema s-a redus la două inegalități elementare. Să notăm soluțiile lor pe drepte numerice paralele:

Intersectia multora

Intersecția acestor mulțimi va fi răspunsul.

Răspuns: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\stanga| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

Soluţie. Această sarcină este puțin mai dificilă. Mai întâi, să izolăm modulul mutând al doilea termen la dreapta:

\[\stanga| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\left(x+1 \right)\]

Evident, avem din nou o inegalitate de forma „modulul este mai mic”, așa că scăpăm de modul folosind algoritmul deja cunoscut:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

Acum atenție: cineva va spune că sunt cam pervers cu toate aceste paranteze. Dar permiteți-mi să vă reamintesc încă o dată că scopul nostru cheie este rezolvați corect inegalitatea și obțineți răspunsul. Mai târziu, când ai stăpânit perfect tot ce este descris în această lecție, poți să-l pervertizi tu însuți așa cum îți dorești: deschideți paranteze, adăugați minusuri etc.

Pentru început, pur și simplu vom scăpa de minusul dublu din stânga:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\stânga(x+1\dreapta)\]

Acum să deschidem toate parantezele din inegalitatea dublă:

Să trecem la dubla inegalitate. De data aceasta calculele vor fi mai serioase:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( aliniați)\dreapta.\]

Ambele inegalități sunt pătratice și pot fi rezolvate folosind metoda intervalului (de aceea spun: dacă nu știi ce este, mai bine să nu iei încă module). Să trecem la ecuația din prima inegalitate:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(align)\]

După cum puteți vedea, rezultatul este o ecuație pătratică incompletă, care poate fi rezolvată într-un mod elementar. Acum să ne uităm la a doua inegalitate a sistemului. Acolo va trebui să aplicați teorema lui Vieta:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(align)\]

Marcam numerele rezultate pe două drepte paralele (separate pentru prima inegalitate și separate pentru a doua):

Din nou, deoarece rezolvăm un sistem de inegalități, ne interesează intersecția mulțimilor umbrite: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Acesta este răspunsul.

Răspuns: $x\în \left(-5;-2 \right)$

Cred că după aceste exemple schema de soluție este extrem de clară:

1. Izolați modulul mutând toți ceilalți termeni în partea opusă a inegalității. Astfel obținem o inegalitate de forma $\left| f\dreapta| \ltg$.
2. Rezolvați această inegalitate eliminând modulul conform schemei descrise mai sus. La un moment dat, va fi necesar să trecem de la inegalitatea dublă la un sistem de două expresii independente, fiecare dintre acestea putând fi deja rezolvată separat.
3. În cele din urmă, tot ce rămâne este să intersectăm soluțiile acestor două expresii independente - și asta este, vom obține răspunsul final.

Un algoritm similar există pentru inegalitățile de tipul următor, când modulul este mai mare decât funcția. Cu toate acestea, există câteva „dar” serioase. Vom vorbi despre aceste „dar” acum.

2. Inegalități de formă „Modulul este mai mare decât funcția”

Arata asa:

\[\stanga| f\dreapta| \gtg\]

Similar cu precedentul? Se pare. Și totuși astfel de probleme sunt rezolvate într-un mod complet diferit. Formal, schema este următoarea:

\[\stanga| f\dreapta| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

Cu alte cuvinte, luăm în considerare două cazuri:

1. În primul rând, pur și simplu ignorăm modulul și rezolvăm inegalitatea obișnuită;
2. Apoi, în esență, extindem modulul cu semnul minus și apoi înmulțim ambele părți ale inegalității cu −1, în timp ce am semnul.

În acest caz, opțiunile sunt combinate cu o paranteză pătrată, adică. Avem în fața noastră o combinație de două cerințe.

Vă rugăm să rețineți din nou: acesta nu este un sistem, ci o totalitate, așadar în răspuns, seturile sunt mai degrabă combinate decât să se intersecteze. Aceasta este o diferență fundamentală față de punctul anterior!

În general, mulți studenți sunt complet confundați cu uniunile și intersecțiile, așa că haideți să rezolvăm această problemă odată pentru totdeauna:

• „∪” este un semn de uniune. De fapt, aceasta este o litera stilizată „U”, care ne-a venit din limba engleză și este o abreviere pentru „Union”, adică. "Asociațiile".
• „∩” este semnul de intersecție. Prostia asta nu a venit de nicăieri, ci pur și simplu a apărut ca un contrapunct la „∪”.

Pentru a fi și mai ușor de reținut, trageți picioarele la aceste semne pentru a face ochelari (numai acum nu mă acuza că promovez dependența de droguri și alcoolismul: dacă studiezi serios această lecție, atunci ești deja dependent de droguri):

Tradus în rusă, aceasta înseamnă următoarele: uniunea (totalitatea) include elemente din ambele seturi, prin urmare nu este în niciun caz mai mică decât fiecare dintre ele; dar intersecția (sistemul) include doar acele elemente care se află simultan atât în ​​primul set, cât și în al doilea. Prin urmare, intersecția mulțimilor nu este niciodată mai mare decât mulțimile sursă.

Deci a devenit mai clar? Asta e grozav. Să trecem la practică.

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\stanga| 3x+1 \dreapta| \gt 5-4x\]

Soluţie. Procedăm conform schemei:

\[\stanga| 3x+1 \dreapta| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ dreapta.\]

Rezolvăm fiecare inegalitate din populație:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Marcam fiecare set rezultat pe linia numerică și apoi le combinăm:

Unirea seturi

Este destul de evident că răspunsul va fi $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Răspuns: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\stanga| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\]

Soluţie. Bine? Nimic - totul este la fel. Trecem de la o inegalitate cu un modul la o mulțime de două inegalități:

\[\stanga| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(aliniere) \dreapta.\]

Rezolvăm orice inegalitate. Din păcate, rădăcinile de acolo nu vor fi foarte bune:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(align)\]

A doua inegalitate este, de asemenea, puțin sălbatică:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(align)\]

Acum trebuie să marcați aceste numere pe două axe - o axă pentru fiecare inegalitate. Cu toate acestea, trebuie să marcați punctele în ordinea corectă: cu cât numărul este mai mare, cu atât punctul se deplasează mai departe spre dreapta.

Și aici ne așteaptă o configurație. Dacă totul este clar cu numerele $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (termenii din numărătorul primului fracție sunt mai mici decât termenii din numărătorul secundului, deci suma este și mai mică), cu numerele $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ nu vor fi nici dificultăți (număr pozitiv evident mai negativ), apoi cu ultimul cuplu totul nu este atât de clar. Care este mai mare: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ sau $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Amplasarea punctelor pe liniile numerice și, de fapt, răspunsul va depinde de răspunsul la această întrebare.

Deci haideți să comparăm:

\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrice)\]

Am izolat rădăcina, am obținut numere nenegative de ambele părți ale inegalității, deci avem dreptul de a pătra ambele părți:

\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrice)\]

Cred că nu este o idee că $4\sqrt(13) \gt 3$, deci $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, punctele finale pe axe vor fi plasate astfel:

Un caz de rădăcini urâte

Permiteți-mi să vă reamintesc că rezolvăm o mulțime, deci răspunsul va fi o unire, nu o intersecție de mulțimi umbrite.

Răspuns: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \dreapta)$

După cum puteți vedea, schema noastră funcționează excelent atât pentru probleme simple, cât și pentru probleme foarte dificile. Singurul „punct slab” al acestei abordări este că trebuie să comparați corect numerele iraționale (și credeți-mă: acestea nu sunt doar rădăcini). Dar o lecție separată (și foarte serioasă) va fi dedicată problemelor de comparație. Și mergem mai departe.

3. Inegalități cu „cozi” nenegative

Acum ajungem la partea cea mai interesantă. Acestea sunt inegalități de formă:

\[\stanga| f\dreapta| \gt\left| g\dreapta|\]

În general, algoritmul despre care vom vorbi acum este corect doar pentru modul. Funcționează în toate inegalitățile în care există expresii nenegative garantate în stânga și dreapta:

Ce să faci cu aceste sarcini? Doar aminteste-ti:

În inegalitățile cu „cozi” nenegative, ambele părți pot fi ridicate la orice putere naturală. Nu vor exista restricții suplimentare.

În primul rând, ne va interesa pătrarea - arde module și rădăcini:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\end(align)\]

Doar nu confundați acest lucru cu luarea rădăcinii unui pătrat:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \dreapta|\ne f\]

S-au făcut nenumărate greșeli când un student a uitat să instaleze un modul! Dar aceasta este o poveste complet diferită (acestea sunt, parcă, ecuații iraționale), așa că nu vom intra în asta acum. Să rezolvăm mai bine câteva probleme:

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\stanga| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \dreapta|\]

Soluţie. Să observăm imediat două lucruri:

1. Aceasta nu este o inegalitate strictă. Punctele de pe linia numerică vor fi perforate.
2. Ambele părți ale inegalității sunt în mod evident nenegative (aceasta este o proprietate a modulului: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Prin urmare, putem pătra ambele părți ale inegalității pentru a scăpa de modul și a rezolva problema folosind metoda obișnuită a intervalului:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\end(align)\]

La ultimul pas, am trișat puțin: am schimbat succesiunea termenilor, profitând de uniformitatea modulului (de fapt, am înmulțit expresia $1-2x$ cu −1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ dreapta)\dreapta)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Rezolvăm folosind metoda intervalului. Să trecem de la inegalitate la ecuație:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(align)\]

Marcam rădăcinile găsite pe linia numerică. Încă o dată: toate punctele sunt umbrite pentru că inegalitatea inițială nu este strictă!

Scaparea de semnul modulului

Permiteți-mi să vă reamintesc pentru cei care sunt deosebit de încăpățânați: luăm semnele din ultima inegalitate, care a fost notă înainte de a trece la ecuație. Și pictăm peste zonele necesare în aceeași inegalitate. În cazul nostru, este $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

OK, totul sa terminat acum. Problema este rezolvată.

Răspuns: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\stanga| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \dreapta|\]

Soluţie. Facem totul la fel. Nu voi comenta - doar uitați-vă la succesiunea acțiunilor.

Square it:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left) | ((x)^(2))+3x+4 \right| \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \dreapta))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ dreapta))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Metoda intervalului:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Săgeată dreapta x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]

Există o singură rădăcină pe linia numerică:

Răspunsul este un întreg interval

Răspuns: $x\în \left[ -1.5;+\infty \right)$.

O mică notă despre ultima sarcină. După cum a remarcat cu exactitate unul dintre studenții mei, ambele expresii submodulare din această inegalitate sunt în mod evident pozitive, astfel încât semnul modulului poate fi omis fără a dăuna sănătății.

Dar acesta este un nivel complet diferit de gândire și o abordare diferită - poate fi numit în mod condiționat metoda consecințelor. Despre asta - într-o lecție separată. Acum să trecem la ultima parte a lecției de astăzi și să ne uităm la un algoritm universal care funcționează întotdeauna. Chiar și atunci când toate abordările anterioare au fost neputincioase. :)

4. Metoda de enumerare a opțiunilor

Ce se întâmplă dacă toate aceste tehnici nu ajută? Dacă inegalitatea nu poate fi redusă la cozi nenegative, dacă este imposibil să izolați modulul, dacă în general există durere, tristețe, melancolie?

Apoi, „artileria grea” a tuturor matematicii intră în scenă – metoda forței brute. În raport cu inegalitățile cu modul, arată astfel:

1. Scrieți toate expresiile submodulare și setați-le egale cu zero;
2. Rezolvați ecuațiile rezultate și marcați rădăcinile găsite pe o dreaptă numerică;
3. Linia dreaptă va fi împărțită în mai multe secțiuni, în cadrul cărora fiecare modul are un semn fix și, prin urmare, este dezvăluit în mod unic;
4. Rezolvați inegalitatea pe fiecare astfel de secțiune (puteți lua în considerare separat limitele rădăcinilor obținute la pasul 2 - pentru fiabilitate). Combină rezultatele - acesta va fi răspunsul. :)

Așa cum? Slab? Uşor! Doar pentru mult timp. Să vedem în practică:

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\stanga| x+2 \dreapta| \lt \left| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Soluţie. Prostia asta nu se rezumă la inegalități precum $\left| f\dreapta| \lt g$, $\left| f\dreapta| \gt g$ sau $\left| f\dreapta| \lt \left| g \right|$, așa că acționăm înainte.

Scriem expresii submodulare, le echivalăm cu zero și găsim rădăcinile:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Săgeată la dreapta x=1. \\\end(align)\]

În total, avem două rădăcini care împart linia numerică în trei secțiuni, în cadrul cărora fiecare modul este dezvăluit în mod unic:

Partiționarea dreptei numerice prin zerouri a funcțiilor submodulare

Să ne uităm la fiecare secțiune separat.

1. Fie $x \lt -2$. Atunci ambele expresii submodulare sunt negative, iar inegalitatea originală va fi rescrisă după cum urmează:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1,5 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align)\]

Avem o limitare destul de simplă. Să-l intersectăm cu ipoteza inițială că $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

În mod evident, variabila $x$ nu poate fi simultan mai mică de −2 și mai mare de 1,5. Nu există soluții în acest domeniu.

1.1. Să luăm în considerare separat cazul limită: $x=-2$. Să înlocuim acest număr în inegalitatea originală și să verificăm: este adevărat?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \left| -3\right|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]

Este evident că lanțul de calcule ne-a condus la o inegalitate incorectă. Prin urmare, inegalitatea inițială este, de asemenea, falsă, iar $x=-2$ nu este inclus în răspuns.

2. Fie acum $-2 \lt x \lt 1$. Modulul din stânga se va deschide deja cu un „plus”, dar cel din dreapta se va deschide în continuare cu un „minus”. Avem:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(align)\]

Din nou ne intersectăm cu cerința inițială:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Și din nou, mulțimea de soluții este goală, deoarece nu există numere care să fie atât mai mici decât −2,5, cât și mai mari decât −2.

2.1. Și din nou un caz special: $x=1$. Înlocuim în inegalitatea originală:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \stânga| 3\dreapta| \lt \left| 0\right|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]

Similar cu „cazul special” anterior, numărul $x=1$ nu este în mod clar inclus în răspuns.

3. Ultima bucată a liniei: $x \gt 1$. Aici toate modulele sunt deschise cu semnul plus:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

Și din nou intersectăm mulțimea găsită cu constrângerea inițială:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]

In cele din urma! Am găsit un interval care va fi răspunsul.

Răspuns: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

În sfârșit, o remarcă care te poate scuti de greșeli stupide atunci când rezolvi probleme reale:

Soluțiile inegalităților cu module reprezintă de obicei mulțimi continue pe linia numerică - intervale și segmente. Punctele izolate sunt mult mai puțin frecvente. Și chiar mai rar, se întâmplă ca limita soluției (sfârșitul segmentului) să coincidă cu limita intervalului luat în considerare.

În consecință, dacă granițele (aceleași „cazuri speciale”) nu sunt incluse în răspuns, atunci zonele din stânga și dreapta acestor limite nu vor fi aproape sigur incluse în răspuns. Și invers: granița a intrat în răspuns, ceea ce înseamnă că unele zone din jurul lui vor fi și răspunsuri.

Țineți cont de acest lucru atunci când examinați soluțiile dvs.

Mai întâi, câteva versuri pentru a înțelege problema pe care o rezolvă metoda intervalului. Să presupunem că trebuie să rezolvăm următoarea inegalitate:

(x − 5)(x + 3) > 0

Care sunt optiunile? Primul lucru care vine în minte pentru majoritatea studenților este regulile „plus pe plus dă plus” și „minus pe minus dă plus”. Prin urmare, este suficient să luăm în considerare cazul când ambele paranteze sunt pozitive: x − 5 > 0 și x + 3 > 0. Atunci luăm în considerare și cazul când ambele paranteze sunt negative: x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

Elevii mai avansați își vor aminti (poate) că în stânga este o funcție pătratică al cărei grafic este o parabolă. Mai mult, această parabolă intersectează axa OX în punctele x = 5 și x = −3. Pentru lucrări suplimentare, trebuie să deschideți parantezele. Avem:

x 2 − 2x − 15 > 0

Acum este clar că ramurile parabolei sunt îndreptate în sus, deoarece coeficientul a = 1 > 0. Să încercăm să desenăm o diagramă a acestei parabole:

Funcția este mai mare decât zero acolo unde trece deasupra axei OX. În cazul nostru, acestea sunt intervalele (−∞ −3) și (5; +∞) - acesta este răspunsul.

Vă rugăm să rețineți: imaginea arată exact diagrama functionala, nu programul ei. Pentru că pentru un grafic real trebuie să numărați coordonatele, să calculați deplasări și alte prostii de care nu avem absolut nicio utilitate deocamdată.

De ce sunt aceste metode ineficiente?

Deci, am luat în considerare două soluții la aceeași inegalitate. Ambele s-au dovedit a fi destul de greoaie. Apare prima decizie - doar gândește-te! — un set de sisteme de inegalități. A doua soluție nu este, de asemenea, deosebit de ușoară: trebuie să vă amintiți graficul parabolei și o grămadă de alte fapte mici.

A fost o inegalitate foarte simplă. Are doar 2 multiplicatori. Acum imaginați-vă că nu vor fi 2, ci cel puțin 4 multiplicatori. De exemplu:

(x − 7)(x − 1)(x + 4)(x + 9)< 0

Cum să rezolvi o astfel de inegalitate? Treci prin toate combinațiile posibile de argumente pro și contra? Da, vom adormi mai repede decât găsim o soluție. Desenarea unui grafic nu este, de asemenea, o opțiune, deoarece nu este clar cum se comportă o astfel de funcție pe planul de coordonate.

Pentru astfel de inegalități, este nevoie de un algoritm de soluție special, pe care îl vom lua în considerare astăzi.

Care este metoda intervalului

Metoda intervalului este un algoritm special conceput pentru a rezolva inegalitățile complexe de forma f (x) > 0 și f (x)< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

1. Rezolvați ecuația f (x) = 0. Astfel, în loc de o inegalitate, obținem o ecuație care este mult mai simplu de rezolvat;
2. Marcați toate rădăcinile obținute pe linia de coordonate. Astfel, linia dreaptă va fi împărțită în mai multe intervale;
3. Aflați semnul (plus sau minus) al funcției f (x) în intervalul din dreapta. Pentru a face acest lucru, este suficient să înlocuiți în f (x) orice număr care va fi în dreapta tuturor rădăcinilor marcate;
4. Marcați semnele la intervalele rămase. Pentru a face acest lucru, amintiți-vă că atunci când treceți prin fiecare rădăcină, semnul se schimbă.

Asta e tot! După aceasta, nu mai rămâne decât să notăm intervalele care ne interesează. Ele sunt marcate cu semnul „+” dacă inegalitatea a fost de forma f (x) > 0 sau cu semnul „−” dacă inegalitatea a fost de forma f (x)< 0.

La prima vedere, poate părea că metoda intervalului este un fel de lucru mic. Dar, în practică, totul va fi foarte simplu. Exersează puțin și totul va deveni clar. Aruncă o privire la exemple și vezi singur:

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

(x − 2)(x + 7)< 0

Lucrăm folosind metoda intervalului. Pasul 1: înlocuiți inegalitatea cu o ecuație și rezolvați-o:

(x − 2)(x + 7) = 0

Produsul este zero dacă și numai dacă cel puțin unul dintre factori este zero:

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

Avem două rădăcini. Să trecem la pasul 2: marcați aceste rădăcini pe linia de coordonate. Avem:

Acum pasul 3: găsiți semnul funcției în intervalul din dreapta (în dreapta punctului marcat x = 2). Pentru a face acest lucru, trebuie să luați orice număr care este mai mare decât numărul x = 2. De exemplu, să luăm x = 3 (dar nimeni nu interzice să luați x = 4, x = 10 și chiar x = 10.000). Primim:

f (x) = (x − 2)(x + 7);
x = 3;
f (3) = (3 − 2)(3 + 7) = 1 10 = 10;

Constatăm că f (3) = 10 > 0, așa că punem un semn plus în intervalul din dreapta.

Să trecem la ultimul punct - trebuie să notăm semnele de pe intervalele rămase. Ne amintim că la trecerea prin fiecare rădăcină semnul trebuie să se schimbe. De exemplu, în dreapta rădăcinii x = 2 există un plus (ne-am asigurat de acest lucru în pasul anterior), deci trebuie să fie un minus la stânga.

Acest minus se extinde la întregul interval (−7; 2), deci există un minus la dreapta rădăcinii x = −7. Prin urmare, la stânga rădăcinii x = −7 există un plus. Rămâne să marcați aceste semne pe axa de coordonate. Avem:

Să revenim la inegalitatea inițială, care avea forma:

(x − 2)(x + 7)< 0

Deci funcția trebuie să fie mai mică decât zero. Aceasta înseamnă că ne interesează semnul minus, care apare doar pe un interval: (−7; 2). Acesta va fi răspunsul.

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Pasul 1: setați partea stângă la zero:

(x + 9)(x − 3)(1 − x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

Rețineți: produsul este egal cu zero atunci când cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. De aceea avem dreptul de a echivala fiecare paranteză individuală cu zero.

Pasul 2: marcați toate rădăcinile pe linia de coordonate:

Pasul 3: aflați semnul decalajului cel mai din dreapta. Luăm orice număr care este mai mare decât x = 1. De exemplu, putem lua x = 10. Avem:

f (x) = (x + 9)(x − 3)(1 − x);
x = 10;
f (10) = (10 + 9)(10 − 3)(1 − 10) = 19 · 7 · (−9) = − 1197;
f (10) = −1197< 0.

Pasul 4: plasarea semnelor rămase. Ne amintim că la trecerea prin fiecare rădăcină semnul se schimbă. Drept urmare, imaginea noastră va arăta astfel:

Asta e tot. Rămâne doar să scrieți răspunsul. Aruncă o altă privire la inegalitatea inițială:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Aceasta este o inegalitate de forma f(x)< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

Acesta este răspunsul.

O notă despre semnele de funcție

Practica arată că cele mai mari dificultăți în metoda intervalului apar în ultimii doi pași, i.e. la amplasarea semnelor. Mulți elevi încep să se încurce: ce numere să ia și unde să pună semnele.

Pentru a înțelege în sfârșit metoda intervalului, luați în considerare două observații pe care se bazează:

1. O funcție continuă își schimbă semnul numai în acele puncte unde este egal cu zero. Astfel de puncte împart axa de coordonate în bucăți, în care semnul funcției nu se schimbă niciodată. De aceea rezolvăm ecuația f (x) = 0 și marchem rădăcinile găsite pe linia dreaptă. Numerele găsite sunt puncte „limită” care separă avantajele și dezavantajele.
2. Pentru a afla semnul unei funcții pe orice interval, este suficient să înlocuiți orice număr din acest interval în funcție. De exemplu, pentru intervalul (−5; 6) avem dreptul să luăm x = −4, x = 0, x = 4 și chiar x = 1,29374 dacă vrem. De ce este important? Da, pentru că îndoielile încep să roadă pe mulți studenți. Cum ar fi, ce se întâmplă dacă pentru x = −4 obținem un plus, iar pentru x = 0 obținem un minus? Dar nimic ca asta nu se va întâmpla vreodată. Toate punctele din același interval dau același semn. Tine minte asta.

Asta este tot ce trebuie să știi despre metoda intervalului. Desigur, l-am analizat în cea mai simplă formă. Există inegalități mai complexe - nestricte, fracționale și cu rădăcini repetate. Puteți folosi și metoda intervalului pentru ei, dar acesta este un subiect pentru o lecție mare separată.

Acum aș dori să mă uit la o tehnică avansată care simplifică dramatic metoda intervalului. Mai precis, simplificarea afectează doar al treilea pas - calcularea semnului din partea din dreapta a liniei. Din anumite motive, această tehnică nu este predată în școli (cel puțin nimeni nu mi-a explicat asta). Dar degeaba - pentru că de fapt acest algoritm este foarte simplu.

Deci, semnul funcției este pe piesa dreaptă a dreptei numerice. Această piesă are forma (a ; +∞), unde a este cea mai mare rădăcină a ecuației f (x) = 0. Pentru a nu vă surprinde mintea, să luăm în considerare un exemplu specific:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0;
f (x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x);
(x − 1)(2 + x)(7 − x) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

Avem 3 rădăcini. Să le enumeram în ordine crescătoare: x = −2, x = 1 și x = 7. Evident, cea mai mare rădăcină este x = 7.

Pentru cei cărora le este mai ușor să raționeze grafic, voi marca aceste rădăcini pe linia de coordonate. Să vedem ce se întâmplă:

Este necesar să se găsească semnul funcției f (x) pe intervalul din dreapta, adică. la (7; +∞). Dar, așa cum am observat deja, pentru a determina semnul puteți lua orice număr din acest interval. De exemplu, puteți lua x = 8, x = 150 etc. Și acum - aceeași tehnică care nu se predă în școli: să luăm infinitul ca număr. Mai precis, plus infinit, adică +∞.

"Esti drogat? Cum poți înlocui infinitul într-o funcție?” - s-ar putea să întrebi. Dar gândiți-vă: nu avem nevoie de valoarea funcției în sine, avem nevoie doar de semn. Prin urmare, de exemplu, valorile f (x) = −1 și f (x) = −938 740 576 215 înseamnă același lucru: funcția pe acest interval este negativă. Prin urmare, tot ceea ce ți se cere este să găsești semnul care apare la infinit, și nu valoarea funcției.

De fapt, înlocuirea infinitului este foarte simplă. Să revenim la funcția noastră:

f (x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x)

Imaginează-ți că x este un număr foarte mare. Miliard sau chiar trilioane. Acum să vedem ce se întâmplă în fiecare paranteză.

Prima paranteză: (x − 1). Ce se întâmplă dacă scazi unul dintr-un miliard? Rezultatul va fi un număr nu foarte diferit de un miliard, iar acest număr va fi pozitiv. Similar cu a doua paranteză: (2 + x). Dacă adăugați un miliard la doi, obțineți un miliard și copeici - acesta este un număr pozitiv. În cele din urmă, a treia paranteză: (7 − x). Aici va fi un miliard în minus, din care o bucată jalnică în formă de șapte a fost „roșată”. Acestea. numărul rezultat nu va diferi mult de minus miliard - va fi negativ.

Rămâne doar să găsim semnul întregii lucrări. Deoarece am avut un plus în primele paranteze și un minus în ultima, obținem următoarea construcție:

(+) · (+) · (−) = (−)

Semnul final este minus! Și nu contează care este valoarea funcției în sine. Principalul lucru este că această valoare este negativă, adică. intervalul din dreapta are semnul minus. Mai rămâne doar să parcurgeți al patrulea pas al metodei intervalului: aranjați toate semnele. Avem:

Inegalitatea inițială a fost:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0

Prin urmare, ne interesează intervalele marcate cu semnul minus. Scriem răspunsul:

x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)

Acesta este tot trucul pe care voiam să-ți spun. În concluzie, iată o altă inegalitate care poate fi rezolvată prin metoda intervalului folosind infinitul. Pentru a scurta vizual soluția, nu voi scrie numere de pași și comentarii detaliate. Voi scrie doar ceea ce trebuie cu adevărat să scrieți atunci când rezolvați probleme reale:

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

x (2x + 8)(x − 3) > 0

Înlocuim inegalitatea cu o ecuație și o rezolvăm:

x (2x + 8)(x − 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Marcam toate cele trei rădăcini pe linia de coordonate (cu semne simultan):

Există un plus în partea dreaptă a axei de coordonate, deoarece functia arata asa:

f (x) = x (2x + 8)(x − 3)

Și dacă înlocuim infinitul (de exemplu, un miliard), obținem trei paranteze pozitive. Deoarece expresia originală trebuie să fie mai mare decât zero, ne interesează doar aspectele pozitive. Rămâne doar să scrieți răspunsul:

x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)