Rezolvarea inegalităților. Disponibil despre cum se rezolvă inegalitățile

Astăzi, prieteni, nu va mai exista nici un muci sau sentimentalism. În schimb, te voi trimite, fără întrebări, în luptă cu unul dintre cei mai formidabili adversari de la cursul de algebră de clasa a VIII-a-9.

Da, ați înțeles totul corect: vorbim de inegalități cu modul. Vom analiza patru tehnici de bază cu care vei învăța să rezolvi aproximativ 90% din astfel de probleme. Dar restul de 10%? Ei bine, vom vorbi despre ele într-o lecție separată. :)

Cu toate acestea, înainte de a analiza oricare dintre tehnici, aș dori să vă reamintesc două fapte pe care trebuie să le cunoașteți deja. Altfel, riscați să nu înțelegeți deloc materialul lecției de astăzi.

Ce trebuie să știi deja

Captain Obviousness pare să sugereze că pentru a rezolva inegalitățile cu modul trebuie să știi două lucruri:

Cum sunt rezolvate inegalitățile;
Ce este un modul?

Să începem cu al doilea punct.

Definiția modulului

Totul este simplu aici. Există două definiții: algebrică și grafică. Pentru început - algebric:

Definiție. Modulul unui număr $x$ este fie numărul în sine, dacă este nenegativ, fie numărul opus acestuia, dacă $x$ original este încă negativ.

Este scris astfel:

\[\stanga| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

În termeni simpli, un modul este un „număr fără minus”. Și tocmai în această dualitate (în unele locuri nu trebuie să faci nimic cu numărul inițial, dar în altele va trebui să eliminați un fel de minus) acolo se află întreaga dificultate pentru studenții începători.

Există și o definiție geometrică. De asemenea, este util de știut, dar vom apela la el doar în cazuri complexe și unele speciale, în care abordarea geometrică este mai convenabilă decât cea algebrică (spoiler: nu astăzi).

Definiție. Punctul $a$ să fie marcat pe linia numerică. Apoi modulul $\left| x-a \right|$ este distanța de la punctul $x$ la punctul $a$ pe această linie.

Dacă desenați o imagine, veți obține ceva de genul acesta:

Definirea modulului grafic

Într-un fel sau altul, din definiția unui modul, proprietatea sa cheie urmează imediat: modulul unui număr este întotdeauna o mărime nenegativă. Acest fapt va fi un fir roșu care traversează întreaga noastră narațiune de astăzi.

Rezolvarea inegalităților. Metoda intervalului

Acum să ne uităm la inegalități. Sunt foarte multe dintre ele, dar sarcina noastră acum este să putem rezolva cel puțin pe cele mai simple dintre ele. Cele care se reduc la inegalități liniare, precum și la metoda intervalului.

Am două lecții mari pe această temă (apropo, foarte, FOARTE utile - recomand să le studiez):

Metoda intervalului pentru inegalități (vizionați în special videoclipul);
Inegalitățile raționale fracționale sunt o lecție foarte extinsă, dar după aceasta nu veți mai avea deloc întrebări.

Dacă știi toate acestea, dacă expresia „să trecem de la inegalitate la ecuație” nu te face să ai o vagă dorință de a te lovi de perete, atunci ești gata: bine ai venit în iad la subiectul principal al lecției. :)

1. Inegalități de formă „Modulul este mai mic decât funcția”

Aceasta este una dintre cele mai frecvente probleme cu modulele. Este necesar să se rezolve o inegalitate de forma:

\[\stanga| f\dreapta| \ltg\]

Funcțiile $f$ și $g$ pot fi orice, dar de obicei sunt polinoame. Exemple de astfel de inegalități:

Toate acestea pot fi rezolvate literalmente într-o singură linie, conform următoarei scheme:

\[\stanga| f\dreapta| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \corect corect)\]

Este ușor de observat că scăpăm de modul, dar în schimb obținem o inegalitate dublă (sau, ceea ce este același lucru, un sistem de două inegalități). Dar această tranziție ia în considerare absolut toate problemele posibile: dacă numărul de sub modul este pozitiv, metoda funcționează; dacă este negativ, încă funcționează; și chiar și cu cea mai inadecvată funcție în locul $f$ sau $g$, metoda va funcționa în continuare.

Desigur, se pune întrebarea: nu ar putea fi mai simplu? Din păcate, nu este posibil. Acesta este scopul modulului.

Cu toate acestea, destul cu filozofarea. Să rezolvăm câteva probleme:

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\stanga| 2x+3 \dreapta| \lt x+7\]

Soluţie. Deci, avem în fața noastră o inegalitate clasică de forma „modulul este mai mic” - chiar nu există nimic de transformat. Lucrăm conform algoritmului:

\[\begin(align) & \left| f\dreapta| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \left| 2x+3 \dreapta| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

Nu vă grăbiți să deschideți parantezele precedate de un „minus”: este foarte posibil ca din pricina grabei dvs. să faceți o greșeală ofensivă.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

Problema s-a redus la două inegalități elementare. Să notăm soluțiile lor pe drepte numerice paralele:
Intersectia multora
Intersecția acestor mulțimi va fi răspunsul.

Răspuns: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\stanga| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

Soluţie. Această sarcină este puțin mai dificilă. Mai întâi, să izolăm modulul mutând al doilea termen la dreapta:

\[\stanga| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\left(x+1 \right)\]

Evident, avem din nou o inegalitate de forma „modulul este mai mic”, așa că scăpăm de modul folosind algoritmul deja cunoscut:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

Acum atenție: cineva va spune că sunt cam pervers cu toate aceste paranteze. Dar permiteți-mi să vă reamintesc încă o dată că scopul nostru cheie este rezolvați corect inegalitatea și obțineți răspunsul. Mai târziu, când ai stăpânit perfect tot ce este descris în această lecție, poți să-l pervertizi tu însuți așa cum îți dorești: deschideți paranteze, adăugați minusuri etc.

Pentru început, pur și simplu vom scăpa de minusul dublu din stânga:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\stânga(x+1\dreapta)\]

Acum să deschidem toate parantezele din inegalitatea dublă:

Să trecem la dubla inegalitate. De data aceasta calculele vor fi mai serioase:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( aliniați)\dreapta.\]

Ambele inegalități sunt pătratice și pot fi rezolvate prin metoda intervalului (de aceea spun: dacă nu știi ce este, mai bine să nu iei module încă). Să trecem la ecuația din prima inegalitate:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(align)\]

După cum puteți vedea, rezultatul este o ecuație pătratică incompletă, care poate fi rezolvată într-un mod elementar. Acum să ne uităm la a doua inegalitate a sistemului. Acolo va trebui să aplicați teorema lui Vieta:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(align)\]

Marcam numerele rezultate pe două drepte paralele (separate pentru prima inegalitate și separate pentru a doua):
Din nou, deoarece rezolvăm un sistem de inegalități, ne interesează intersecția mulțimilor umbrite: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Acesta este răspunsul.
Răspuns: $x\în \left(-5;-2 \right)$

Cred că după aceste exemple schema de soluție este extrem de clară:

Izolați modulul mutând toți ceilalți termeni în partea opusă a inegalității. Astfel obținem o inegalitate de forma $\left| f\dreapta| \ltg$.
Rezolvați această inegalitate eliminând modulul conform schemei descrise mai sus. La un moment dat, va fi necesar să trecem de la inegalitatea dublă la un sistem de două expresii independente, fiecare dintre acestea putând fi deja rezolvată separat.
În cele din urmă, tot ce rămâne este să intersectăm soluțiile acestor două expresii independente - și asta este, vom obține răspunsul final.

Un algoritm similar există pentru inegalitățile de tipul următor, când modulul este mai mare decât funcția. Cu toate acestea, există câteva „dar” serioase. Vom vorbi despre aceste „dar” acum.

2. Inegalități de formă „Modulul este mai mare decât funcția”

Arata asa:

\[\stanga| f\dreapta| \gtg\]

Similar cu precedentul? Se pare. Și totuși astfel de probleme sunt rezolvate într-un mod complet diferit. Formal, schema este următoarea:

\[\stanga| f\dreapta| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

Cu alte cuvinte, luăm în considerare două cazuri:

În primul rând, pur și simplu ignorăm modulul și rezolvăm inegalitatea obișnuită;
Apoi, în esență, extindem modulul cu semnul minus și apoi înmulțim ambele părți ale inegalității cu −1, în timp ce am semnul.

În acest caz, opțiunile sunt combinate cu o paranteză pătrată, adică. Avem în fața noastră o combinație de două cerințe.

Vă rugăm să rețineți din nou: acesta nu este un sistem, ci o totalitate, așadar în răspuns, seturile sunt mai degrabă combinate decât să se intersecteze. Aceasta este o diferență fundamentală față de punctul anterior!

În general, mulți studenți sunt complet confundați cu uniunile și intersecțiile, așa că haideți să rezolvăm această problemă odată pentru totdeauna:

„∪” este un semn de uniune. De fapt, aceasta este o litera stilizată „U”, care ne-a venit din limba engleză și este o abreviere pentru „Union”, adică. "Asociațiile".
„∩” este semnul de intersecție. Prostia asta nu a venit de nicăieri, ci pur și simplu a apărut ca un contrapunct la „∪”.

Pentru a fi și mai ușor de reținut, trageți picioarele la aceste semne pentru a face ochelari (numai să nu mă acuzați acum că promovez dependența de droguri și alcoolismul: dacă studiați serios această lecție, atunci ești deja dependent de droguri):

Diferența dintre intersecția și unirea mulțimilor

Tradus în rusă, aceasta înseamnă următoarele: uniunea (totalitatea) include elemente din ambele seturi, prin urmare nu este în niciun caz mai mică decât fiecare dintre ele; dar intersecția (sistemul) include doar acele elemente care se află simultan atât în primul set, cât și în al doilea. Prin urmare, intersecția mulțimilor nu este niciodată mai mare decât mulțimile sursă.

Deci a devenit mai clar? Asta e grozav. Să trecem la practică.

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\stanga| 3x+1 \dreapta| \gt 5-4x\]

Soluţie. Procedăm conform schemei:

\[\stanga| 3x+1 \dreapta| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ dreapta.\]

Rezolvăm fiecare inegalitate din populație:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Marcam fiecare set rezultat pe linia numerică și apoi le combinăm:
Unirea seturi
Este destul de evident că răspunsul va fi $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Răspuns: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\stanga| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\]

Soluţie. Bine? Nimic - totul este la fel. Trecem de la o inegalitate cu un modul la o mulțime de două inegalități:

\[\stanga| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(aliniere) \dreapta.\]

Rezolvăm orice inegalitate. Din păcate, rădăcinile de acolo nu vor fi foarte bune:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(align)\]

A doua inegalitate este, de asemenea, puțin sălbatică:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(align)\]

Acum trebuie să marcați aceste numere pe două axe - o axă pentru fiecare inegalitate. Cu toate acestea, trebuie să marcați punctele în ordinea corectă: cu cât numărul este mai mare, cu atât punctul se deplasează mai departe spre dreapta.

Și aici ne așteaptă o configurație. Dacă totul este clar cu numerele $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (termenii din numărătorul primului fracție sunt mai mici decât termenii din numărătorul celui de-al doilea, deci și suma este mai mică), cu numerele $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ nu vor fi nici dificultăți (număr pozitiv evident mai negativ), apoi cu ultimul cuplu totul nu este atât de clar. Care este mai mare: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ sau $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Amplasarea punctelor pe liniile numerice și, de fapt, răspunsul va depinde de răspunsul la această întrebare.

Deci haideți să comparăm:

\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrice)\]

Am izolat rădăcina, am obținut numere nenegative de ambele părți ale inegalității, deci avem dreptul de a pătra ambele părți:

\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrice)\]

Cred că nu este o idee că $4\sqrt(13) \gt 3$, deci $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, punctele finale pe axe vor fi plasate astfel:
Un caz de rădăcini urâte
Permiteți-mi să vă reamintesc că rezolvăm o mulțime, deci răspunsul va fi o unire, nu o intersecție de mulțimi umbrite.

Răspuns: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \dreapta)$

După cum puteți vedea, schema noastră funcționează excelent atât pentru probleme simple, cât și pentru probleme foarte dificile. Singurul „punct slab” al acestei abordări este că trebuie să comparați corect numerele iraționale (și credeți-mă: acestea nu sunt doar rădăcini). Dar o lecție separată (și foarte serioasă) va fi dedicată problemelor de comparație. Și mergem mai departe.

3. Inegalități cu „cozi” nenegative

Acum ajungem la partea cea mai interesantă. Acestea sunt inegalități de formă:

\[\stanga| f\dreapta| \gt\left| g\dreapta|\]

În general, algoritmul despre care vom vorbi acum este corect doar pentru modul. Funcționează în toate inegalitățile în care există expresii nenegative garantate în stânga și dreapta:

Ce să faci cu aceste sarcini? Doar aminteste-ti:

În inegalitățile cu „cozi” nenegative, ambele părți pot fi ridicate la orice putere naturală. Nu vor exista restricții suplimentare.

În primul rând, ne va interesa pătrarea - arde module și rădăcini:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\end(align)\]

Doar nu confundați acest lucru cu luarea rădăcinii unui pătrat:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \dreapta|\ne f\]

S-au făcut nenumărate greșeli când un student a uitat să instaleze un modul! Dar aceasta este o poveste complet diferită (acestea sunt, parcă, ecuații iraționale), așa că nu vom intra în asta acum. Să rezolvăm mai bine câteva probleme:

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\stanga| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \dreapta|\]

Soluţie. Să observăm imediat două lucruri:

Aceasta nu este o inegalitate strictă. Punctele de pe linia numerică vor fi perforate.

Ambele părți ale inegalității sunt în mod evident nenegative (aceasta este o proprietate a modulului: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Prin urmare, putem pătra ambele părți ale inegalității pentru a scăpa de modul și a rezolva problema folosind metoda obișnuită a intervalului:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\end(align)\]

La ultimul pas, am trișat puțin: am schimbat succesiunea termenilor, profitând de uniformitatea modulului (de fapt, am înmulțit expresia $1-2x$ cu −1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ dreapta)\dreapta)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Rezolvăm folosind metoda intervalului. Să trecem de la inegalitate la ecuație:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(align)\]

Marcam rădăcinile găsite pe linia numerică. Încă o dată: toate punctele sunt umbrite pentru că inegalitatea inițială nu este strictă!
Scaparea de semnul modulului
Permiteți-mi să vă reamintesc pentru cei care sunt deosebit de încăpățânați: luăm semnele din ultima inegalitate, care a fost notă înainte de a trece la ecuație. Și pictăm peste zonele necesare în aceeași inegalitate. În cazul nostru este $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

OK, totul sa terminat acum. Problema este rezolvată.

Răspuns: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\stanga| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \dreapta|\]

Soluţie. Facem totul la fel. Nu voi comenta - doar uitați-vă la succesiunea acțiunilor.

Square it:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left) | ((x)^(2))+3x+4 \right| \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \dreapta))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ dreapta))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Metoda intervalului:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Săgeată dreapta x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]

Există o singură rădăcină pe linia numerică:
Răspunsul este un întreg interval
Răspuns: $x\în \left[ -1.5;+\infty \right)$.

O mică notă despre ultima sarcină. După cum a remarcat cu exactitate unul dintre studenții mei, ambele expresii submodulare din această inegalitate sunt în mod evident pozitive, astfel încât semnul modulului poate fi omis fără a dăuna sănătății.

Dar acesta este un nivel complet diferit de gândire și o abordare diferită - poate fi numit în mod condiționat metoda consecințelor. Despre asta - într-o lecție separată. Acum să trecem la ultima parte a lecției de astăzi și să ne uităm la un algoritm universal care funcționează întotdeauna. Chiar și atunci când toate abordările anterioare au fost neputincioase. :)

4. Metoda de enumerare a opțiunilor

Ce se întâmplă dacă toate aceste tehnici nu ajută? Dacă inegalitatea nu poate fi redusă la cozi nenegative, dacă este imposibil să izolați modulul, dacă în general există durere, tristețe, melancolie?

Apoi, „artileria grea” a tuturor matematicii intră în scenă – metoda forței brute. În raport cu inegalitățile cu modul, arată astfel:

Scrieți toate expresiile submodulare și setați-le egale cu zero;
Rezolvați ecuațiile rezultate și marcați rădăcinile găsite pe o dreaptă numerică;
Linia dreaptă va fi împărțită în mai multe secțiuni, în cadrul cărora fiecare modul are un semn fix și, prin urmare, este dezvăluit în mod unic;
Rezolvați inegalitatea pe fiecare astfel de secțiune (puteți lua în considerare separat limitele rădăcinilor obținute la pasul 2 - pentru fiabilitate). Combină rezultatele - acesta va fi răspunsul. :)

Așa cum? Slab? Uşor! Doar pentru mult timp. Să vedem în practică:

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\stanga| x+2 \dreapta| \lt \left| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Soluţie. Prostia asta nu se rezumă la inegalități precum $\left| f\dreapta| \lt g$, $\left| f\dreapta| \gt g$ sau $\left| f\dreapta| \lt \left| g \right|$, așa că acționăm înainte.

Scriem expresii submodulare, le echivalăm cu zero și găsim rădăcinile:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Săgeată la dreapta x=1. \\\end(align)\]

În total, avem două rădăcini care împart linia numerică în trei secțiuni, în cadrul cărora fiecare modul este dezvăluit în mod unic:
Partiționarea dreptei numerice prin zerouri a funcțiilor submodulare
Să ne uităm la fiecare secțiune separat.

1. Fie $x \lt -2$. Atunci ambele expresii submodulare sunt negative, iar inegalitatea originală va fi rescrisă după cum urmează:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1,5 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align)\]

Avem o limitare destul de simplă. Să-l intersectăm cu ipoteza inițială că $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

În mod evident, variabila $x$ nu poate fi simultan mai mică de −2 și mai mare de 1,5. Nu există soluții în acest domeniu.

1.1. Să luăm în considerare separat cazul limită: $x=-2$. Să înlocuim acest număr în inegalitatea originală și să verificăm: este adevărat?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \left| -3\right|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]

Este evident că lanțul de calcule ne-a condus la o inegalitate incorectă. Prin urmare, inegalitatea inițială este, de asemenea, falsă, iar $x=-2$ nu este inclus în răspuns.

2. Fie acum $-2 \lt x \lt 1$. Modulul din stânga se va deschide deja cu un „plus”, dar cel din dreapta se va deschide în continuare cu un „minus”. Avem:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(align)\]

Din nou ne intersectăm cu cerința inițială:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Și din nou, mulțimea de soluții este goală, deoarece nu există numere care să fie atât mai mici decât −2,5, cât și mai mari decât −2.

2.1. Și din nou un caz special: $x=1$. Înlocuim în inegalitatea originală:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \stânga| 3\dreapta| \lt \left| 0\right|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]

Similar cu „cazul special” anterior, numărul $x=1$ nu este în mod clar inclus în răspuns.

3. Ultima bucată a liniei: $x \gt 1$. Aici toate modulele sunt deschise cu semnul plus:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

Și din nou intersectăm mulțimea găsită cu constrângerea inițială:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]

In cele din urma! Am găsit un interval care va fi răspunsul.

Răspuns: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

În sfârșit, o remarcă care te poate scuti de greșeli stupide atunci când rezolvi probleme reale:

Soluțiile inegalităților cu module reprezintă de obicei mulțimi continue pe linia numerică - intervale și segmente. Punctele izolate sunt mult mai puțin frecvente. Și chiar mai rar, se întâmplă ca limita soluției (sfârșitul segmentului) să coincidă cu limita intervalului luat în considerare.

În consecință, dacă granițele (aceleași „cazuri speciale”) nu sunt incluse în răspuns, atunci zonele din stânga și dreapta acestor limite nu vor fi aproape sigur incluse în răspuns. Și invers: granița a intrat în răspuns, ceea ce înseamnă că unele zone din jurul lui vor fi și răspunsuri.

Țineți cont de acest lucru atunci când examinați soluțiile dvs.

Dar astăzi inegalitățile raționale nu pot rezolva totul. Mai precis, nu numai toată lumea poate decide. Puțini oameni pot face asta.
Klitschko

Această lecție va fi grea. Atât de dur încât doar Aleșii vor ajunge la capăt. Prin urmare, înainte de a începe să citești, recomand să scoți femeile, pisicile, copiii însărcinate și... de pe ecrane.

Haide, de fapt e simplu. Să presupunem că ați stăpânit metoda intervalului (dacă nu ați stăpânit-o, vă recomand să vă întoarceți și să o citiți) și ați învățat cum să rezolvați inegalitățile de forma $P\left(x \right) \gt 0$, unde $ P\left(x \right)$ este un polinom sau un produs al polinoamelor.

Cred că nu vă va fi greu să rezolvați, de exemplu, ceva de genul acesta (apropo, încercați ca o încălzire):

\[\begin(align) & \left(2((x)^(2))+3x+4 \right)\left(4x+25 \right) \gt 0; \\ & x\left(2((x)^(2))-3x-20 \right)\left(x-1 \right)\ge 0; \\ & \left(8x-((x)^(4)) \right)((\left(x-5 \right))^(6))\le 0. \\ \end(align)\]

Acum să complicăm puțin problema și să luăm în considerare nu doar polinoamele, ci și așa-numitele fracții raționale de forma:

unde $P\left(x \right)$ și $Q\left(x \right)$ sunt aceleași polinoame de forma $((a)_(n))((x)^(n))+( ( a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$ sau produsul unor astfel de polinoame.

Aceasta va fi o inegalitate rațională. Punctul fundamental este prezența variabilei $x$ în numitor. De exemplu, acestea sunt inegalități raționale:

\[\begin(align) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\left(3-x \right))^(2))\left(4-((x)^( 2)) \right))\ge 0. \\ \end(align)\]

Și aceasta nu este o inegalitate rațională, ci cea mai comună inegalitate, care poate fi rezolvată prin metoda intervalului:

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

Privind în viitor, voi spune imediat: există cel puțin două moduri de a rezolva inegalitățile raționale, dar toate, într-un fel sau altul, se reduc la metoda intervalelor deja cunoscută nouă. Prin urmare, înainte de a analiza aceste metode, să ne amintim faptele vechi, altfel nu va mai avea sens din noul material.

Ce trebuie să știi deja

Nu există niciodată prea multe fapte importante. Avem nevoie de doar patru.

Formule de înmulțire prescurtate

Da, da: ne vor bântui pe tot parcursul curriculum-ului școlar de matematică. Și la universitate. Există destul de multe dintre aceste formule, dar avem nevoie doar de următoarele:

\[\begin(align) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b) ^(2)) \dreapta); \\ & ((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^( 2))\ dreapta). \\ \end(align)\]

Atenție la ultimele două formule - acestea sunt suma și diferența de cuburi (și nu cubul sumei sau diferenței!). Sunt ușor de reținut dacă observați că semnul din prima paranteză coincide cu semnul din expresia originală, iar în a doua este opus semnului din expresia originală.

Ecuatii lineare

Acestea sunt cele mai simple ecuații de forma $ax+b=0$, unde $a$ și $b$ sunt numere obișnuite, iar $a\ne 0$. Această ecuație poate fi rezolvată simplu:

\[\begin(align) & ax+b=0; \\&ax=-b; \\ & x=-\frac(b)(a). \\ \end(align)\]

Permiteți-mi să observ că avem dreptul de a împărți la coeficientul $a$, deoarece $a\ne 0$. Această cerință este destul de logică, deoarece pentru $a=0$ obținem asta:

În primul rând, nu există nicio variabilă $x$ în această ecuație. Acest lucru, în general, nu ar trebui să ne încurce (așa se întâmplă, să zicem, în geometrie și destul de des), dar totuși, aceasta nu mai este o ecuație liniară.

În al doilea rând, soluția acestei ecuații depinde numai de coeficientul $b$. Dacă $b$ este și zero, atunci ecuația noastră are forma $0=0$. Această egalitate este întotdeauna adevărată; aceasta înseamnă că $x$ este orice număr (de obicei scris astfel: $x\in \mathbb(R)$). Dacă coeficientul $b$ nu este egal cu zero, atunci egalitatea $b=0$ nu este niciodată satisfăcută, adică. nu există răspunsuri (scrieți $x\în \varnothing $ și citiți „setul de soluții este gol”).

Pentru a evita toate aceste dificultăți, presupunem pur și simplu $a\ne 0$, ceea ce nu ne limitează deloc în gândirea ulterioară.

Ecuații cuadratice

Permiteți-mi să vă reamintesc că așa se numește o ecuație pătratică:

Aici în stânga este un polinom de gradul doi, iar din nou $a\ne 0$ (altfel, în loc de o ecuație pătratică, vom obține una liniară). Următoarele ecuații sunt rezolvate prin discriminant:

Dacă $D \gt 0$, obținem două rădăcini diferite;
Dacă $D=0$, atunci rădăcina va fi aceeași, dar a celei de-a doua multiplicități (ce fel de multiplicitate este aceasta și cum să o luăm în considerare - mai multe despre asta mai târziu). Sau putem spune că ecuația are două rădăcini identice;
Pentru $D \lt 0$ nu există deloc rădăcini, iar semnul polinomului $a((x)^(2))+bx+c$ pentru orice $x$ coincide cu semnul coeficientului $a $. Acesta, apropo, este un fapt foarte util, despre care din anumite motive ei uită să vorbească în lecțiile de algebră.

Rădăcinile în sine sunt calculate folosind formula binecunoscută:

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

De aici, de altfel, restricțiile asupra discriminantului. La urma urmei, rădăcina pătrată a unui număr negativ nu există. Mulți studenți au o mizerie groaznică în cap cu privire la rădăcini, așa că am scris în mod special o întreagă lecție: ce este o rădăcină în algebră și cum să o calculez - recomand cu căldură să o citești. :)

Operații cu fracții raționale

Știi deja tot ce a fost scris mai sus dacă ai studiat metoda intervalului. Dar ceea ce vom analiza acum nu are analogi în trecut - acesta este un fapt complet nou.

Definiție. O fracție rațională este o expresie a formei

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\]

unde $P\left(x \right)$ și $Q\left(x \right)$ sunt polinoame.

Evident, este ușor să obțineți o inegalitate dintr-o astfel de fracție - trebuie doar să adăugați semnul „mai mare decât” sau „mai puțin decât” în dreapta. Și puțin mai departe vom descoperi că rezolvarea unor astfel de probleme este o plăcere, totul este foarte simplu.

Problemele încep atunci când există mai multe astfel de fracții într-o expresie. Ele trebuie aduse la un numitor comun - și în acest moment se comit un număr mare de greșeli ofensive.

Prin urmare, pentru a rezolva cu succes ecuații raționale, trebuie să înțelegeți ferm două abilități:

Factorizarea polinomului $P\left(x \right)$;
De fapt, aducerea fracțiilor la un numitor comun.

Cum se factorizează un polinom? Foarte simplu. Să avem un polinom de forma

Îl echivalăm cu zero. Obținem o ecuație de gradul $n$:

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

Să presupunem că am rezolvat această ecuație și am obținut rădăcinile $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (nu vă alarmați: în cele mai multe cazuri vor exista nu mai mult de două dintre aceste rădăcini) . În acest caz, polinomul nostru original poate fi rescris după cum urmează:

\[\begin(align) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x) )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\left(x -((x)_(1)) \right)\cdot \left(x-((x)_(2)) \right)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \right) \end(align)\]

Asta e tot! Vă rugăm să rețineți: coeficientul principal $((a)_(n))$ nu a dispărut nicăieri - va fi un multiplicator separat în fața parantezelor și, dacă este necesar, poate fi introdus în oricare dintre aceste paranteze (practica arată că cu $((a)_ (n))\ne \pm 1$ există aproape întotdeauna fracţii printre rădăcini).

Sarcină. Simplificați expresia:

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

Soluţie. În primul rând, să ne uităm la numitori: toate sunt binoame liniare și nu este nimic de factor aici. Deci, să factorăm numărătorii:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \right)\left(x-4 \right); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\left(x-\frac(3)(2) \right)\left(x-1 \right)=\left(2x- 3 \right)\left(x-1 \right); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\left(x+2 \right)\left(x-\frac(2)(5) \right)=\left(x +2 \ dreapta) \ stânga (2-5x \ dreapta). \\\end(align)\]

Vă rugăm să rețineți: în al doilea polinom, coeficientul de conducere „2”, în deplină conformitate cu schema noastră, a apărut mai întâi în fața parantezei, apoi a fost inclus în prima paranteză, deoarece fracția a apărut acolo.

Același lucru s-a întâmplat și în al treilea polinom, doar că acolo se inversează și ordinea termenilor. Totuși, coeficientul „−5” a ajuns să fie inclus în a doua paranteză (rețineți: puteți introduce factorul într-o singură paranteză!), ceea ce ne-a scutit de neplăcerile asociate rădăcinilor fracționale.

În ceea ce privește primul polinom, totul este simplu: rădăcinile sale sunt căutate fie standard prin discriminant, fie folosind teorema lui Vieta.

Să revenim la expresia originală și să o rescriem cu numărătorii factori:

\[\begin(matrix) \frac(\left(x+5 \right)\left(x-4 \right))(x-4)-\frac(\left(2x-3 \right)\left( x-1 \right))(2x-3)-\frac(\left(x+2 \right)\left(2-5x \right))(x+2)= \\ =\left(x+5 \right)-\left(x-1 \right)-\left(2-5x \right)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \end(matrice)\]

Răspuns: $5x+4$.

După cum puteți vedea, nimic complicat. Puțină matematică în clasa a 7-a-8 și gata. Scopul tuturor transformărilor este de a obține ceva simplu și ușor de lucrat dintr-o expresie complexă și înfricoșătoare.

Cu toate acestea, acest lucru nu va fi întotdeauna cazul. Deci acum ne vom uita la o problemă mai serioasă.

Dar mai întâi, să ne dăm seama cum să aducem două fracții la un numitor comun. Algoritmul este extrem de simplu:

Factorizați ambii numitori;
Luați în considerare primul numitor și adăugați la el factorii care sunt prezenți în al doilea numitor, dar nu în primul. Produsul rezultat va fi numitorul comun;
Aflați ce factori lipsesc fiecărei fracții originale, astfel încât numitorii să devină egali cu comunul.

Acest algoritm vi se poate părea doar un text cu „multe litere”. Prin urmare, să privim totul folosind un exemplu specific.

Sarcină. Simplificați expresia:

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \dreapta)\]

Soluţie. Este mai bine să rezolvați astfel de probleme la scară largă în părți. Să scriem ce este în prima paranteză:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

Spre deosebire de problema anterioară, aici numitorii nu sunt atât de simpli. Să luăm în considerare fiecare dintre ele.

Trinomul pătrat $((x)^(2))+2x+4$ nu poate fi factorizat, deoarece ecuația $((x)^(2))+2x+4=0$ nu are rădăcini (discriminantul este negativ ). O lasam neschimbata.

Al doilea numitor - polinomul cubic $((x)^(3))-8$ - la o examinare atentă este diferența de cuburi și este ușor de extins folosind formulele de înmulțire abreviate:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+4 \dreapta)\]

Nimic altceva nu poate fi factorizat, deoarece în prima paranteză există un binom liniar, iar în a doua există o construcție care ne este deja familiară, care nu are rădăcini reale.

În cele din urmă, al treilea numitor este un binom liniar care nu poate fi extins. Astfel, ecuația noastră va lua forma:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \dreapta))-\frac(1)(x-2)\]

Este destul de evident că numitorul comun va fi exact $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ și pentru a reduce toate fracțiile la el este necesar să înmulțim prima fracție pe $\left(x-2 \right)$, iar ultima - pe $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$. Apoi tot ce rămâne este să dai altele asemănătoare:

\[\begin(matrice) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ dreapta))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x +4 \right))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \right)+\left(((x)^(2))+8 \right)-\left(((x) )^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\ stânga(((x)^(2))+2x+4 \dreapta)). \\ \end(matrice)\]

Atenție la a doua linie: atunci când numitorul este deja comun, i.e. În loc de trei fracții separate, am scris una mare; nu ar trebui să scapi imediat de paranteze. Este mai bine să scrieți o linie suplimentară și să rețineți că, să zicem, a existat un minus înainte de a treia fracție - și nu va merge nicăieri, dar se va „atârna” în numărătorul din fața parantezei. Acest lucru vă va scuti de o mulțime de greșeli.

Ei bine, în ultima linie este util să factorizezi numărătorul. Mai mult, acesta este un pătrat exact, iar formulele de înmulțire prescurtate ne vin din nou în ajutor. Avem:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Acum să ne ocupăm de a doua paranteză exact în același mod. Aici voi scrie doar un lanț de egalități:

\[\begin(matrix) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^( 2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right) )\cdot \left(x+2 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2) \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right) ). \\ \end(matrice)\]

Să revenim la problema inițială și să ne uităm la produs:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]

Răspuns: \[\frac(1)(x+2)\].

Semnificația acestei sarcini este aceeași cu cea anterioară: să arate cum expresiile raționale pot fi simplificate dacă abordezi transformarea lor cu înțelepciune.

Și acum că știți toate acestea, să trecem la subiectul principal al lecției de astăzi - rezolvarea inegalităților raționale fracționale. Mai mult, după o astfel de pregătire veți sparge inegalitățile în sine ca nucile. :)

Principala modalitate de a rezolva inegalitățile raționale

Există cel puțin două abordări pentru rezolvarea inegalităților raționale. Acum ne vom uita la unul dintre ele - cel care este general acceptat la cursul de matematică din școală.

Dar mai întâi, să notăm un detaliu important. Toate inegalitățile sunt împărțite în două tipuri:

Strict: $f\left(x \right) \gt 0$ sau $f\left(x \right) \lt 0$;
Lax: $f\left(x \right)\ge 0$ sau $f\left(x \right)\le 0$.

Inegalitățile de al doilea tip pot fi ușor reduse la primul, precum și ecuația:

Această mică „adăugare” $f\left(x \right)=0$ duce la un lucru atât de neplăcut precum punctele umplute - ne-am familiarizat cu ele în metoda intervalului. În caz contrar, nu există diferențe între inegalitățile stricte și non-strictive, așa că să ne uităm la algoritmul universal:

Colectați toate elementele diferite de zero de pe o parte a semnului de inegalitate. De exemplu, în stânga;

Reduceți toate fracțiile la un numitor comun (dacă există mai multe astfel de fracții), aduceți unele similare. Apoi, dacă este posibil, factorizați numărătorul și numitorul. Într-un fel sau altul, vom obține o inegalitate de forma $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$, unde „bifa” este semnul inegalității .

Echivalăm numărătorul cu zero: $P\left(x \right)=0$. Rezolvăm această ecuație și obținem rădăcinile $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... Apoi avem nevoie de că numitorul nu era egal cu zero: $Q\left(x \right)\ne 0$. Desigur, în esență trebuie să rezolvăm ecuația $Q\left(x \right)=0$ și obținem rădăcinile $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*)$ , $x_(3 )^(*)$, ... (în problemele reale cu greu vor fi mai mult de trei astfel de rădăcini).

Marcam toate aceste rădăcini (atât cu cât și fără asteriscuri) pe o singură linie numerică, iar rădăcinile fără stele sunt pictate peste, iar cele cu stele sunt perforate.

Punem semnele „plus” și „minus”, selectăm intervalele de care avem nevoie. Dacă inegalitatea are forma $f\left(x \right) \gt 0$, atunci răspunsul vor fi intervalele marcate cu „plus”. Dacă $f\left(x \right) \lt 0$, atunci ne uităm la intervalele cu „minusuri”.

Practica arată că cele mai mari dificultăți sunt cauzate de punctele 2 și 4 - transformări competente și aranjarea corectă a numerelor în ordine crescătoare. Ei bine, la ultimul pas, fiți extrem de atenți: întotdeauna plasăm semne pe baza ultima inegalitate scrisă înainte de a trece la ecuații. Aceasta este o regulă universală, moștenită din metoda intervalului.

Deci, există o schemă. Sa exersam.

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

Soluţie. Avem o inegalitate strictă de forma $f\left(x \right) \lt 0$. Evident, punctele 1 și 2 din schema noastră au fost deja îndeplinite: toate elementele inegalității sunt adunate în stânga, nu este nevoie să aducem nimic la un numitor comun. Prin urmare, să trecem direct la al treilea punct.

Echivalăm numărătorul cu zero:

\[\begin(align) & x-3=0; \\ & x=3. \end(align)\]

Și numitorul:

\[\begin(align) & x+7=0; \\ & ((x)^(*))=-7. \\ \end(align)\]

Aici mulți oameni se blochează, deoarece, teoretic, trebuie să scrieți $x+7\ne 0$, așa cum este cerut de ODZ (nu puteți împărți la zero, asta-i tot). Dar în viitor vom scoate punctele care au venit de la numitor, așa că nu este nevoie să vă complicați din nou calculele - scrieți un semn egal peste tot și nu vă faceți griji. Nimeni nu va deduce puncte pentru asta. :)

Al patrulea punct. Marcăm rădăcinile rezultate pe linia numerică:
Toate punctele sunt stabilite, deoarece inegalitatea este strictă
Notă: toate punctele sunt fixate, deoarece inegalitatea originală este strictă. Și aici nu contează dacă aceste puncte provin de la numărător sau de la numitor.

Ei bine, să ne uităm la semne. Să luăm orice număr $((x)_(0)) \gt 3$. De exemplu, $((x)_(0))=100$ (dar cu același succes se poate lua $((x)_(0))=3.1$ sau $((x)_(0)) = 1\ 000\ 000$). Primim:

Deci, în dreapta tuturor rădăcinilor avem o regiune pozitivă. Și atunci când treceți prin fiecare rădăcină, semnul se schimbă (nu va fi întotdeauna cazul, dar mai multe despre asta mai târziu). Prin urmare, să trecem la al cincilea punct: aranjați semnele și selectați-l pe cel de care aveți nevoie:

Să revenim la ultima inegalitate care a fost înainte de a rezolva ecuațiile. De fapt, coincide cu cea originală, deoarece nu am efectuat nicio transformare în această sarcină.

Deoarece trebuie să rezolvăm o inegalitate de forma $f\left(x \right) \lt 0$, am umbrit intervalul $x\in \left(-7;3 \right)$ - este singurul marcat cu semnul minus. Acesta este răspunsul.

Răspuns: $x\în \left(-7;3 \right)$

Asta e tot! Este dificil? Nu, nu este greu. Adevărat, sarcina a fost ușoară. Acum să complicăm puțin misiunea și să luăm în considerare o inegalitate mai „sofisticată”. Când o rezolv, nu voi mai da astfel de calcule detaliate - voi sublinia pur și simplu punctele cheie. În general, îl vom formata în același mod în care l-am format în timpul muncii independente sau unui examen. :)

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0\]

Soluţie. Aceasta este o inegalitate nestrictă de forma $f\left(x\right)\ge 0$. Toate elementele diferite de zero sunt colectate în stânga, nu există numitori diferiți. Să trecem la ecuații.

Numărător:

\[\begin(align) & \left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\Rightarrow ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\Rightarrow ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \end(align)\]

Numitor:

\[\begin(align) & 13x-4=0; \\ & 13x=4; \\ & ((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \end(align)\]

Nu știu ce fel de pervers a creat această problemă, dar rădăcinile nu au ieșit foarte bine: ar fi dificil să le plasezi pe linia numerică. Și dacă cu rădăcina $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ totul este mai mult sau mai puțin clar (acesta este singurul număr pozitiv - va fi în dreapta), atunci $ ((x)_(1 ))=-(1)/(7)\;$ și $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$ necesită cercetări suplimentare: care dintre ele este mai mare?

Puteți afla acest lucru, de exemplu, astfel:

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2 ))\]

Sper că nu este nevoie să explic de ce fracția numerică $-(2)/(14)\; \gt -(2)/(11)\;$? Dacă este necesar, vă recomand să vă amintiți cum să efectuați operații cu fracții.

Și marchem toate cele trei rădăcini pe linia numerică:
Se completează punctele de la numărător, se pun punctele de la numitor
Punem semne. De exemplu, puteți lua $((x)_(0))=1$ și puteți afla semnul în acest moment:

\[\begin(align) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4); \\ & f\left(1 \right)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\\end(align)\]

Ultima inegalitate dinaintea ecuațiilor a fost $f\left(x\right)\ge 0$, deci ne interesează semnul plus.

Avem două seturi: unul este un segment obișnuit, iar celălalt este o rază deschisă pe linia numerică.

Răspuns: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$

O notă importantă despre numerele pe care le înlocuim pentru a afla semnul din cel mai din dreapta interval. Nu este absolut necesar să înlocuiți numărul cel mai apropiat de rădăcina cea mai din dreapta. Puteți lua miliarde sau chiar „plus-infinit” - în acest caz, semnul polinomului din paranteză, numărător sau numitor, este determinat numai de semnul coeficientului principal.

Să ne uităm din nou la funcția $f\left(x\right)$ din ultima inegalitate:

Notația sa conține trei polinoame:

\[\begin(align) & ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1; \\ & ((P)_(2))\left(x \right)=11x+2; \\ & Q\left(x \right)=13x-4. \end(align)\]

Toate sunt binoame liniare, iar toți coeficienții lor conducători (numerele 7, 11 și 13) sunt pozitivi. Prin urmare, atunci când înlocuiți numere foarte mari, polinoamele în sine vor fi și ele pozitive. :)

Această regulă poate părea excesiv de complicată, dar numai la început, când analizăm probleme foarte ușoare. În inegalitățile grave, înlocuirea „plus-infinit” ne va permite să descoperim semnele mult mai rapid decât standardul $((x)_(0))=100$.

Ne vom confrunta foarte curând cu astfel de provocări. Dar mai întâi, să ne uităm la o modalitate alternativă de a rezolva inegalitățile raționale fracționale.

Mod alternativ

Această tehnică mi-a fost sugerată de unul dintre elevii mei. Eu însumi nu l-am folosit niciodată, dar practica a arătat că mulți studenți consideră că este mai convenabil să rezolve astfel inegalitățile.

Deci, datele inițiale sunt aceleași. Trebuie să rezolvăm inegalitatea rațională fracțională:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\]

Să ne gândim: de ce polinomul $Q\left(x \right)$ este „mai rău” decât polinomul $P\left(x \right)$? De ce trebuie să luăm în considerare grupuri separate de rădăcini (cu și fără asterisc), să ne gândim la punctele perforate etc.? Este simplu: o fracție are un domeniu de definiție, conform căruia fracția are sens doar atunci când numitorul ei este diferit de zero.

În rest, nu există diferențe între numărător și numitor: îl echivalăm și cu zero, căutăm rădăcinile, apoi le notăm pe linia numerică. Deci, de ce să nu înlocuiți linia fracțională (de fapt, semnul diviziunii) cu o înmulțire obișnuită și să scrieți toate cerințele ODZ sub forma unei inegalități separate? De exemplu, așa:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & P\left(x \right)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Vă rugăm să rețineți: această abordare va reduce problema la metoda intervalului, dar nu va complica deloc soluția. La urma urmei, vom echivala în continuare polinomul $Q\left(x\right)$ cu zero.

Să vedem cum funcționează acest lucru în probleme reale.

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

Soluţie. Deci, să trecem la metoda intervalului:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & \left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Prima inegalitate poate fi rezolvată într-un mod elementar. Pur și simplu echivalăm fiecare paranteză cu zero:

\[\begin(align) & x+8=0\Rightarrow ((x)_(1))=-8; \\ & x-11=0\Rightarrow ((x)_(2))=11. \\ \end(align)\]

A doua inegalitate este, de asemenea, simplă:

Marcați punctele $((x)_(1))$ și $((x)_(2))$ pe linia numerică. Toate sunt eliminate, deoarece inegalitatea este strictă:
Punctul potrivit a fost scos de două ori. Este în regulă.
Atenție la punctul $x=11$. Se dovedește că este „dublu perforat”: pe de o parte, îl înțepăm din cauza severității inegalității, pe de altă parte, din cauza cerinței suplimentare de DL.

În orice caz, va fi doar un punct perforat. Prin urmare, aranjam semnele pentru inegalitatea $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ - ultimul pe care l-am văzut înainte de a începe rezolvarea ecuațiilor:

Suntem interesați de regiunile pozitive, deoarece rezolvăm o inegalitate de forma $f\left(x \right) \gt 0$ - le vom umbri. Rămâne doar să scrieți răspunsul.

Răspuns. $x\în \left(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \right)$

Folosind această soluție ca exemplu, aș dori să vă avertizez împotriva unei greșeli comune în rândul studenților începători. Și anume: nu deschideți niciodată paranteze în inegalități! Dimpotrivă, încercați să factorizați totul - acest lucru va simplifica soluția și vă va salva de multe probleme.

Acum hai să încercăm ceva mai complicat.

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\frac(\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right))(15x+33)\le 0\]

Soluţie. Aceasta este o inegalitate nestrictă de forma $f\left(x\right)\le 0$, deci aici trebuie să acordați o atenție deosebită punctelor umbrite.

Să trecem la metoda intervalului:

\[\left\( \begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)\le 0, \\ & 15x+33\ nou 0. \\ \end(align) \right.\]

Să trecem la ecuație:

\[\begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0 \\ & 2x-13=0\Rightarrow ((x )_(1))=6,5; \\ & 12x-9=0\Rightarrow ((x)_(2))=0,75; \\ & 15x+33=0\Rightarrow ((x)_(3))=-2.2. \\ \end(align)\]

Luăm în considerare cerința suplimentară:

Marcam toate rădăcinile rezultate pe linia numerică:
Dacă un punct este atât perforat, cât și completat, acesta este considerat a fi perforat
Din nou, două puncte „se suprapun” unul pe celălalt - acest lucru este normal, va fi întotdeauna așa. Este important doar să înțelegeți că un punct marcat atât ca fiind perforat, cât și ca pictat este de fapt un punct perforat. Acestea. „înțepătura” este o acțiune mai puternică decât „pictura”.

Acest lucru este absolut logic, deoarece prin ciupire marchem puncte care afectează semnul funcției, dar nu participă ei înșiși la răspuns. Și dacă la un moment dat numărul nu ne mai convine (de exemplu, nu intră în ODZ), îl eliminăm din considerare până la sfârșitul sarcinii.

În general, încetează să filosofezi. Punem semne și pictăm peste acele intervale care sunt marcate cu semnul minus:

Răspuns. $x\în \left(-\infty ;-2,2 \right)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \right]$.

Și din nou am vrut să vă atrag atenția asupra acestei ecuații:

\[\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0\]

Încă o dată: nu deschideți niciodată parantezele în astfel de ecuații! Nu vei face decât să faci lucrurile mai dificile pentru tine. Rețineți: produsul este egal cu zero atunci când cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. În consecință, această ecuație pur și simplu „se destramă” în câteva mai mici, pe care le-am rezolvat în problema anterioară.

Ținând cont de multiplicitatea rădăcinilor

Din problemele anterioare este ușor de observat că inegalitățile nestricte sunt cele mai dificile, pentru că în ele trebuie să ții evidența punctelor umbrite.

Dar există un rău și mai mare în lume - acestea sunt rădăcini multiple în inegalități. Aici nu mai trebuie să țineți evidența unor puncte umbrite - aici este posibil ca semnul inegalității să nu se schimbe brusc atunci când treceți prin aceleași puncte.

Nu am considerat încă așa ceva în această lecție (deși o problemă similară a fost adesea întâlnită în metoda intervalului). Prin urmare, introducem o nouă definiție:

Definiție. Rădăcina ecuației $((\left(x-a \right))^(n))=0$ este egală cu $x=a$ și se numește rădăcina multiplicității $n$.

De fapt, nu ne interesează în mod deosebit valoarea exactă a multiplicității. Singurul lucru care contează este dacă același număr $n$ este par sau impar. Deoarece:

Dacă $x=a$ este o rădăcină a multiplicității pare, atunci semnul funcției nu se schimbă la trecerea prin ea;
Și invers, dacă $x=a$ este o rădăcină a multiplicității impare, atunci semnul funcției se va schimba.

Toate problemele anterioare discutate în această lecție sunt un caz special al unei rădăcini de multiplicitate impară: peste tot, multiplicitatea este egală cu unu.

Și mai departe. Înainte de a începe să rezolvăm probleme, aș dori să vă atrag atenția asupra unei subtilități care pare evidentă pentru un student cu experiență, dar care îi duce pe mulți începători într-o stupoare. Și anume:

Rădăcina multiplicității $n$ apare numai în cazul în care întreaga expresie este ridicată la această putere: $((\left(x-a \right))^(n))$, și nu $\left(((x) ^( n))-a \dreapta)$.

Încă o dată: paranteza $((\left(x-a \right))^(n))$ ne oferă rădăcina $x=a$ a multiplicității $n$, dar paranteza $\left(((x)^( n)) -a \right)$ sau, așa cum se întâmplă adesea, $(a-((x)^(n)))$ ne oferă o rădăcină (sau două rădăcini, dacă $n$ este par) a primei multiplicități , indiferent de ceea ce este egal cu $n$.

Comparaţie:

\[((\left(x-3 \right))^(5))=0\Rightarrow x=3\left(5k \right)\]

Totul este clar aici: întregul suport a fost ridicat la a cincea putere, așa că rezultatul pe care l-am obținut a fost rădăcina celei de-a cincea puteri. Si acum:

\[\left(((x)^(2))-4 \right)=0\Rightarrow ((x)^(2))=4\Rightarrow x=\pm 2\]

Avem două rădăcini, dar ambele au prima multiplicitate. Sau iată altul:

\[\left(((x)^(10))-1024 \right)=0\Rightarrow ((x)^(10))=1024\Rightarrow x=\pm 2\]

Și nu lăsa gradul al zecelea să te deranjeze. Principalul lucru este că 10 este un număr par, așa că la ieșire avem două rădăcini și ambele au din nou primul multiplu.

În general, fiți atenți: multiplicitatea apare numai atunci când gradul se referă la întreaga paranteză, nu doar la variabilă.

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\frac(((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right))(((\left(x+7) \dreapta))^(5)))\ge 0\]

Soluţie. Să încercăm să o rezolvăm într-un mod alternativ - prin trecerea de la coeficient la produs:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0. \\ \end(align )\dreapta.\]

Să ne ocupăm de prima inegalitate folosind metoda intervalului:

\[\begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left( x+7 \dreapta))^(5))=0; \\ & ((x)^(2))=0\Rightarrow x=0\left(2k \right); \\ & ((\left(6-x \right))^(3))=0\Rightarrow x=6\left(3k \right); \\ & x+4=0\Rightarrow x=-4; \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))=0\Rightarrow x=-7\left(5k \right). \\ \end(align)\]

În plus, rezolvăm a doua inegalitate. De fapt, am rezolvat-o deja, dar pentru ca recenzenții să nu găsească defectul soluției, este mai bine să o rezolvăm:

\[((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0\Rightarrow x\ne -7\]

Vă rugăm să rețineți: nu există multiplicități în ultima inegalitate. De fapt: ce diferență are de câte ori tăiați punctul $x=-7$ pe dreapta numerică? De cel puțin o dată, de cel puțin cinci ori, rezultatul va fi același: un punct perforat.

Să notăm tot ce avem pe linia numerică:

După cum am spus, punctul $x=-7$ va fi în cele din urmă perforat. Multiplicitățile sunt aranjate pe baza rezolvării inegalității folosind metoda intervalului.

Tot ce rămâne este să plasați semnele:

Deoarece punctul $x=0$ este o rădăcină a multiplicității pare, semnul nu se schimbă la trecerea prin el. Punctele rămase au o multiplicitate ciudată și totul este simplu cu ele.

Răspuns. $x\în \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$

Încă o dată, acordați atenție $x=0$. Datorită multiplicității uniforme, apare un efect interesant: totul din stânga este pictat peste, totul din dreapta este, de asemenea, pictat peste, iar punctul în sine este complet pictat.

Ca urmare, nu trebuie să fie izolat atunci când înregistrați răspunsul. Acestea. nu este nevoie să scrieți ceva de genul $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ (deși formal un astfel de răspuns ar fi, de asemenea, corect). În schimb, scriem imediat $x\în \left[ -4;6 \right]$.

Astfel de efecte sunt posibile numai cu rădăcini de multiplicitate uniformă. Și în următoarea problemă vom întâlni „manifestarea” inversă a acestui efect. Gata?

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\frac(((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right))(((\left(x-1 \right))^(2)) \left(7x-10-((x)^(2)) \right))\ge 0\]

Soluţie. De data aceasta vom urma schema standard. Echivalăm numărătorul cu zero:

\[\begin(align) & ((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right)=0; \\ & ((\left(x-3 \right))^(4))=0\Rightarrow ((x)_(1))=3\left(4k \right); \\ & x-4=0\Rightarrow ((x)_(2))=4. \\ \end(align)\]

Și numitorul:

\[\begin(align) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \right)=0; \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=1\left(2k \right); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\Rightarrow x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \end(align)\]

Deoarece rezolvăm o inegalitate nestrictă de forma $f\left(x \right)\ge 0$, rădăcinile de la numitor (care au asteriscuri) vor fi scoase, iar cele de la numărător vor fi umbrite.

Punem semne și umbrim zonele marcate cu „plus”:
Punctul $x=3$ este izolat. Aceasta este o parte a răspunsului
Înainte de a scrie răspunsul final, să aruncăm o privire atentă asupra imaginii:

Punctul $x=1$ are o multiplicitate pară, dar este el însuși perforat. În consecință, va trebui să fie izolat în răspuns: trebuie să scrieți $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$ și nu $x\in \left(-\ infty ;2 \right)$.

Punctul $x=3$ are și el o multiplicitate pară și este umbrit. Dispunerea semnelor indică faptul că punctul în sine ni se potrivește, dar un pas la stânga sau la dreapta - și ne aflăm într-o zonă care cu siguranță nu ni se potrivește. Astfel de puncte se numesc izolate și sunt scrise sub forma $x\în \left$ 3 \right$$.

Combinăm toate piesele primite într-un set comun și notăm răspunsul.

Răspuns: $x\în \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left$ 3 \right$\bigcup \left[ 4;5 \right) $

Definiție. Rezolvarea inegalității înseamnă găsiți setul tuturor soluțiilor sale, sau dovediți că acest set este gol.

S-ar părea: ce ar putea fi de neînțeles aici? Da, adevărul este că seturile pot fi definite în moduri diferite. Să scriem din nou răspunsul la ultima problemă:

Citim literalmente ceea ce este scris. Variabila „x” aparține unei anumite mulțimi, care se obține prin combinarea (semnul „U”) a patru mulțimi separate:

Interval $\left(-\infty ;1 \right)$, care înseamnă literal „toate numerele mai mici decât unu, dar nu unitatea în sine”;
Interval $\left(1;2 \right)$, adică „toate numerele din intervalul de la 1 la 2, dar nu numerele 1 și 2 în sine”;
Setul $\left$ 3 \right$$, format dintr-un singur număr - trei;
Intervalul $\left[ 4;5 \right)$ care conține toate numerele din intervalul de la 4 la 5, precum și cele patru în sine, dar nu cele cinci.

Al treilea punct este de interes aici. Spre deosebire de intervale, care definesc seturi infinite de numere și indică doar limitele acestor mulțimi, mulțimea $\left$ 3 \right$$ specifică strict un număr prin enumerare.

Pentru a înțelege că enumeram anumite numere incluse în set (și nu stabilim limite sau orice altceva), sunt folosite bretele. De exemplu, notația $\left$ 1;2 \right$$ înseamnă exact „o mulțime formată din două numere: 1 și 2”, dar nu un segment de la 1 la 2. Nu confundați aceste concepte sub nicio circumstanță. .

Regula de adunare a multiplilor

Ei bine, la sfârșitul lecției de astăzi, o mică conserve de la Pavel Berdov. :)

Probabil că elevii atenți s-au întrebat deja: ce se va întâmpla dacă numărătorul și numitorul au aceleași rădăcini? Deci, următoarea regulă funcționează:

Se adaugă multiplicitățile rădăcinilor identice. Mereu. Chiar dacă această rădăcină apare atât la numărător, cât și la numitor.

Uneori este mai bine să decizi decât să vorbești. Prin urmare, rezolvăm următoarea problemă:

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+ 9x+14 \dreapta))\ge 0\]

\[\begin(align) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \end(align)\]

Nimic special încă. Echivalăm numitorul cu zero:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+9x+14 \right)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Rightarrow x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Rightarrow x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \end(align)\]

Au fost descoperite două rădăcini identice: $((x)_(1))=-2$ și $x_(4)^(*)=-2$. Ambele au prima multiplicitate. Prin urmare, le înlocuim cu o rădăcină $x_(4)^(*)=-2$, dar cu o multiplicitate de 1+1=2.

În plus, există și rădăcini identice: $((x)_(2))=-4$ și $x_(2)^(*)=-4$. Ele sunt de asemenea din prima multiplicitate, deci vor rămâne doar $x_(2)^(*)=-4$ din multiplicitatea 1+1=2.

Vă rugăm să rețineți: în ambele cazuri, am lăsat exact rădăcina „perforată” și am exclus-o din considerare pe cea „vopsită”. Pentru că la începutul lecției ne-am pus de acord: dacă un punct este înțepat și vopsit peste, atunci considerăm totuși că este înțepat.

Ca rezultat, avem patru rădăcini și toate au fost tăiate:

\[\begin(align) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\left(2k \right); \\ & x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\left(2k \right). \\ \end(align)\]

Le marchem pe linia numerică, ținând cont de multiplicitatea:

Amplasăm semne și pictăm peste zonele care ne interesează:

Toate. Fără puncte izolate sau alte perversii. Puteți nota răspunsul.

Răspuns. $x\în \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.

Regula pentru înmulțirea multiplilor

Uneori apare o situație și mai neplăcută: o ecuație care are rădăcini multiple este ea însăși ridicată la o anumită putere. În acest caz, multiplicitățile tuturor rădăcinilor originale se schimbă.

Acest lucru este rar, așa că majoritatea studenților nu au experiență în rezolvarea unor astfel de probleme. Și aici regula este:

Când o ecuație este ridicată la puterea $n$, multiplicitățile tuturor rădăcinilor sale cresc și ele de $n$ ori.

Cu alte cuvinte, ridicarea la o putere duce la înmulțirea multiplilor cu aceeași putere. Să ne uităm la această regulă folosind un exemplu:

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\frac(x((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))((\left(x-4 \right))^(5)) )(((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2)))\le 0\]

Soluţie. Echivalăm numărătorul cu zero:

Produsul este zero atunci când cel puțin unul dintre factori este zero. Totul este clar cu primul factor: $x=0$. Dar apoi încep problemele:

\[\begin(align) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))=0; \\ & ((x)^(2))-6x+9=0\left(2k \right); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\left(2k \right)\left(2k \right) \ \& ((x)_(2))=3\left(4k \right) \\ \end(align)\]

După cum vedem, ecuația $((x)^(2))-6x+9=0$ are o singură rădăcină a celei de-a doua multiplicități: $x=3$. Întreaga ecuație este apoi pătrat. Prin urmare, multiplicitatea rădăcinii va fi $2\cdot 2=4$, ceea ce am notat în cele din urmă.

\[((\left(x-4 \right))^(5))=0\Rightarrow x=4\left(5k \right)\]

Nu există nicio problemă cu numitorul:

\[\begin(align) & ((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2))=0; \\ & ((\left(2-x \right))^(3))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=2\left(3k \right); \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(2)^(*)=1\left(2k \right). \\ \end(align)\]

În total, avem cinci puncte: două perforate și trei pictate. Nu există rădăcini care coincid în numărător și numitor, așa că pur și simplu le marchem pe linia numerică:

Aranjam semnele ținând cont de multiplicități și pictăm pe intervalele care ne interesează:
Din nou un punct izolat și unul perforat
Datorită rădăcinilor chiar și multiplicității, am primit din nou câteva elemente „non-standard”. Acesta este $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$ și nu $x\in \left[ 0;2 \right)$ și, de asemenea, un punct izolat $ x\în \left$ 3 \right$$.

Răspuns. $x\în \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left$ 3 \right$\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$

După cum puteți vedea, totul nu este atât de complicat. Principalul lucru este atenția. Ultima secțiune a acestei lecții este dedicată transformărilor - aceleași pe care le-am discutat la început.

Pre-conversii

Inegalitățile pe care le vom examina în această secțiune nu pot fi numite complexe. Cu toate acestea, spre deosebire de sarcinile anterioare, aici va trebui să aplicați abilități din teoria fracțiilor raționale - factorizarea și reducerea la un numitor comun.

Am discutat această problemă în detaliu chiar la începutul lecției de astăzi. Dacă nu sunteți sigur că înțelegeți despre ce vorbesc, vă recomand cu căldură să vă întoarceți și să o repetați. Pentru că nu are rost să înghesuiți metode pentru rezolvarea inegalităților dacă „plutiți” în conversia fracțiilor.

La teme, apropo, vor exista și multe sarcini similare. Ele sunt plasate într-o subsecțiune separată. Și acolo vei găsi exemple foarte non-triviale. Dar acest lucru va fi în teme, iar acum să ne uităm la câteva astfel de inegalități.

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

Soluţie. Mutați totul spre stânga:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

Reducem la un numitor comun, deschidem parantezele și aducem termeni similari la numărător:

\[\begin(align) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \right)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \right)\left(x-1 \ dreapta))(x\cdot \left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \right))(x\left(x-1 \right)) \le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0. \\\end(align)\]

Acum avem în fața noastră o inegalitate fracțională-rațională clasică, a cărei soluție nu mai este dificilă. Îmi propun să o rezolv folosind o metodă alternativă - prin metoda intervalelor:

\[\begin(align) & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \end(align)\]

Nu uita de constrângerea care vine de la numitor:

Marcam toate numerele și restricțiile pe linia numerică:

Toate rădăcinile au prima multiplicitate. Nici o problemă. Pur și simplu punem semne și pictăm peste zonele de care avem nevoie:

Asta este tot. Puteți nota răspunsul.

Răspuns. $x\în \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \right)$.

Desigur, acesta a fost un exemplu foarte simplu. Deci acum să ne uităm la problemă mai serios. Și, apropo, nivelul acestei sarcini este destul de consistent cu munca independentă și de testare pe această temă în clasa a VIII-a.

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

Soluţie. Mutați totul spre stânga:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

Înainte de a aduce ambele fracții la un numitor comun, să factorizăm acești numitori. Ce se întâmplă dacă ies aceleași paranteze? Cu primul numitor este ușor:

\[((x)^(2))+8x-9=\stanga(x-1 \dreapta)\stanga(x+9 \dreapta)\]

Al doilea este un pic mai dificil. Simțiți-vă liber să adăugați un factor constant în paranteza în care apare fracția. Amintiți-vă: polinomul original avea coeficienți întregi, deci există șanse mari ca factorizarea să aibă coeficienți întregi (de fapt, va avea întotdeauna, cu excepția cazului în care discriminantul este irațional).

\[\begin(align) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac(2)(3) \right)= \\ & =\left(x-1 \right)\left(3x-2 \right) \end(align)\]

După cum puteți vedea, există o paranteză comună: $\left(x-1 \right)$. Revenim la inegalitate și aducem ambele fracții la un numitor comun:

\[\begin(align) & \frac(1)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right))-\frac(1)(\left(x-1 \right)\ stânga(3x-2 \dreapta))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right) )\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ \end(align)\]

Echivalăm numitorul cu zero:

\[\begin(align) & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( alinia)\]

Fără multipli sau rădăcini coincidente. Marcam patru numere pe linie:

Punem semne:

Scriem răspunsul.

Răspuns: $x\în \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5.5;+\infty \ right) $.

Toate! Așa am citit pe această linie. :)

Inegalitățile se numesc liniare ale căror laturi stânga și dreapta sunt funcții liniare în raport cu mărimea necunoscută. Acestea includ, de exemplu, inegalitățile:

2x-1-x+3; 7x0;

5 >4 - 6x 9- X< x + 5 .

1) Inegalități stricte: ax +b>0 sau topor+b<0

2) Inegalități nestrictive: ax +b≤0 sau topor+b≫ 0

Să analizăm această sarcină. Una dintre laturile paralelogramului are 7 cm. Care trebuie să fie lungimea celeilalte laturi pentru ca perimetrul paralelogramului să fie mai mare de 44 cm?

Lasă partea necesară X cm.În acest caz, perimetrul paralelogramului va fi reprezentat prin (14 + 2x) cm.Inegalitatea 14 + 2x > 44 este un model matematic al problemei perimetrului unui paralelogram. Dacă înlocuim variabila din această inegalitate X pe, de exemplu, numărul 16, atunci obținem inegalitatea numerică corectă 14 + 32 > 44. În acest caz, se spune că numărul 16 este o soluție a inegalității 14 + 2x > 44.

Rezolvarea inegalității numiți valoarea unei variabile care o transformă într-o adevărată inegalitate numerică.

Prin urmare, fiecare dintre numere este 15,1; 20;73 acționează ca o soluție a inegalității 14 + 2x > 44, dar numărul 10, de exemplu, nu este soluția sa.

Rezolvați inegalitateaînseamnă a stabili toate soluțiile sale sau a dovedi că nu există soluții.

Formularea soluției inegalității este similară cu formularea rădăcinii ecuației. Și totuși nu este obișnuit să se desemneze „rădăcina inegalității”.

Proprietățile egalităților numerice ne-au ajutat să rezolvăm ecuații. În mod similar, proprietățile inegalităților numerice vor ajuta la rezolvarea inegalităților.

Când rezolvăm o ecuație, o înlocuim cu o altă ecuație, mai simplă, dar echivalentă cu cea dată. Răspunsul la inegalități se găsește într-un mod similar. Când schimbă o ecuație într-o ecuație echivalentă, ei folosesc teorema despre transferul termenilor dintr-o parte a ecuației în cealaltă și despre înmulțirea ambelor părți ale ecuației cu același număr diferit de zero. Când se rezolvă o inegalitate, există o diferență semnificativă între aceasta și o ecuație, care constă în faptul că orice soluție a unei ecuații poate fi verificată pur și simplu prin substituție în ecuația originală. În inegalități, această metodă este absentă, deoarece nu este posibil să se substituie nenumărate soluții în inegalitatea inițială. Prin urmare, există un concept important, aceste săgeți<=>este un semn al transformărilor echivalente sau echivalente. Transformarea se numește echivalent, sau echivalent, dacă nu modifică setul de soluții.

Reguli similare pentru rezolvarea inegalităților.

Dacă mutăm orice termen dintr-o parte a inegalității în alta, înlocuindu-i semnul cu cel opus, obținem o inegalitate echivalentă cu aceasta.

Dacă ambele părți ale inegalității sunt înmulțite (împărțite) cu același număr pozitiv, obținem o inegalitate echivalentă cu aceasta.

Dacă ambele părți ale inegalității sunt înmulțite (împărțite) cu același număr negativ, înlocuind semnul inegalității cu cel opus, obținem o inegalitate echivalentă cu cea dată.

Folosind acestea reguli Să calculăm următoarele inegalități.

1) Să analizăm inegalitatea 2x - 5 > 9.

Acest inegalitatea liniară, îi vom găsi soluția și vom discuta conceptele de bază.

2x - 5 > 9<=>2x>14(5 a fost mutat în partea stângă cu semnul opus), apoi am împărțit totul la 2 și avem x > 7. Să reprezentăm setul de soluții pe axă X

Am obținut un fascicul direcționat pozitiv. Notăm setul de soluții fie sub formă de inegalitate x > 7, sau sub forma intervalului x(7; ∞). Care este o soluție specială la această inegalitate? De exemplu, x = 10 este o soluție specială la această inegalitate, x = 12- aceasta este, de asemenea, o soluție specială la această inegalitate.

Există multe soluții parțiale, dar sarcina noastră este să găsim toate soluțiile. Și de obicei există nenumărate soluții.

Să rezolvăm exemplu 2:

2) Rezolvați inegalitatea 4a - 11 > a + 13.

Hai sa o rezolvam: A mutați-l într-o parte 11 mutați-l pe cealaltă parte, obținem 3a< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 inegalitatea are forma A<8 .

4a - 11 > a + 13<=>3a< 24 <=>A< 8 .

Vom afișa și setul A< 8 , dar deja pe axă A.

Fie scriem răspunsul sub forma inegalității a< 8, либо A(-∞;8), 8 nu se aprinde.

Metoda intervalului– o modalitate simplă de rezolvare a inegalităților raționale fracționale. Acesta este numele pentru inegalitățile care conțin expresii raționale (sau fracționale-rationale) care depind de o variabilă.

1. Luați în considerare, de exemplu, următoarea inegalitate

Metoda intervalului vă permite să o rezolvați în câteva minute.

În partea stângă a acestei inegalități se află o funcție rațională fracțională. Rațional pentru că nu conține rădăcini, sinusuri sau logaritmi - doar expresii raționale. În dreapta este zero.

Metoda intervalului se bazează pe următoarea proprietate a unei funcții raționale fracționale.

O funcție rațională fracțională poate schimba semnul numai în acele puncte în care este egală cu zero sau nu există.

Să ne amintim cum este factorizat un trinom pătratic, adică o expresie de forma .

Unde și sunt rădăcinile ecuației pătratice.

Desenăm o axă și plasăm punctele în care numărătorul și numitorul merg la zero.

Zerourile numitorului și sunt puncte perforate, deoarece în aceste puncte funcția din partea stângă a inegalității nu este definită (nu puteți împărți la zero). Zerourile numărătorului și - sunt umbrite, deoarece inegalitatea nu este strictă. Când și inegalitatea noastră este satisfăcută, deoarece ambele laturi sunt egale cu zero.

Aceste puncte despart axa în intervale.

Să determinăm semnul funcției raționale fracționale din partea stângă a inegalității noastre pe fiecare dintre aceste intervale. Ne amintim că o funcție rațională fracțională poate schimba semnul numai în acele puncte în care este egală cu zero sau nu există. Aceasta înseamnă că la fiecare dintre intervalele dintre punctele în care numărătorul sau numitorul ajunge la zero, semnul expresiei din partea stângă a inegalității va fi constant - fie „plus”, fie „minus”.

Prin urmare, pentru a determina semnul funcției pe fiecare astfel de interval, luăm orice punct aparținând acestui interval. Cel care ne este convenabil.
. Luați, de exemplu, și verificați semnul expresiei din partea stângă a inegalității. Fiecare dintre „paranteze” este negativ. Partea stângă are un semn.

Următorul interval: . Să verificăm semnul de la . Constatăm că partea stângă și-a schimbat semnul în .

Să o luăm. Când expresia este pozitivă - prin urmare, este pozitivă pe întreg intervalul de la până la.

Când partea stângă a inegalității este negativă.

Și, în sfârșit, class="tex" alt="x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

Am aflat la ce intervale expresia este pozitivă. Rămâne doar să scrieți răspunsul:

Răspuns: .

Vă rugăm să rețineți: semnele alternează între intervale. Acest lucru s-a întâmplat pentru că la trecerea prin fiecare punct, exact unul dintre factorii liniari și-a schimbat semnul, în timp ce restul l-a păstrat neschimbat.

Vedem că metoda intervalului este foarte simplă. Pentru a rezolva inegalitatea fracționară-rațională folosind metoda intervalului, o reducem la forma:

Sau class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle P\left(x\right))(\displaystyle Q\left(x\right)) > 0"> !}, sau sau .

(în partea stângă este o funcție rațională fracțională, în partea dreaptă este zero).

Apoi marchem pe linia numerica punctele in care numaratorul sau numitorul merge la zero.
Aceste puncte împart întreaga dreaptă numerică în intervale, pe fiecare dintre ele funcția fracționară-rațională își păstrează semnul.
Rămâne doar să-i aflăm semnul la fiecare interval.
Facem acest lucru verificând semnul expresiei în orice punct aparținând unui interval dat. După aceea, scriem răspunsul. Asta e tot.

Dar se pune întrebarea: semnele alternează întotdeauna? Nu, nu întotdeauna! Trebuie să fii atent și să nu așezi semne mecanic și fără gânduri.

2. Să luăm în considerare o altă inegalitate.

Class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \ stânga(x-3 \dreapta))>0"> !}

Așezați din nou punctele pe axă. Punctele și sunt perforate pentru că sunt zerouri ale numitorului. Punctul este, de asemenea, tăiat, deoarece inegalitatea este strictă.

Când numărătorul este pozitiv, ambii factori din numitor sunt negativi. Acest lucru poate fi verificat cu ușurință luând orice număr dintr-un interval dat, de exemplu, . Partea stângă are semnul:

Când numărătorul este pozitiv; Primul factor din numitor este pozitiv, al doilea factor este negativ. Partea stângă are semnul:

Situația este aceeași! Numătorul este pozitiv, primul factor din numitor este pozitiv, al doilea este negativ. Partea stângă are semnul:

În cele din urmă, cu class="tex" alt="x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Răspuns: .

De ce a fost întreruptă alternanța semnelor? Pentru că atunci când trece printr-un punct, multiplicatorul este „responsabil” pentru acesta nu a schimbat semnul. În consecință, toată partea stângă a inegalității noastre nu și-a schimbat semnul.

Concluzie: dacă multiplicatorul liniar este o putere pară (de exemplu, pătrat), atunci când trece printr-un punct semnul expresiei din partea stângă nu se schimbă. În cazul unui grad impar, semnul, desigur, se schimbă.

3. Să luăm în considerare un caz mai complex. Diferă de precedentul prin faptul că inegalitatea nu este strictă:

Partea stângă este aceeași ca în problema anterioară. Imaginea semnelor va fi aceeași:

Poate răspunsul va fi același? Nu! Se adaugă o soluție. Acest lucru se întâmplă deoarece ambele părți din stânga și din dreapta inegalității sunt egale cu zero - prin urmare, acest punct este o soluție.

Răspuns: .

Această situație apare adesea în problemele de la examenul unificat de stat la matematică. Aici candidații cad într-o capcană și pierd puncte. Atenție!

4. Ce trebuie să faceți dacă numărătorul sau numitorul nu poate fi factorizat în factori liniari? Luați în considerare această inegalitate:

Un trinom pătrat nu poate fi factorizat: discriminantul este negativ, nu există rădăcini. Dar asta e bine! Aceasta înseamnă că semnul expresiei pentru toți este același și, în mod specific, pozitiv. Puteți citi mai multe despre acest lucru în articolul despre proprietățile funcțiilor pătratice.

Și acum putem împărți ambele părți ale inegalității noastre la o valoare care este pozitivă pentru toți. Să ajungem la o inegalitate echivalentă:

Ceea ce se rezolvă ușor folosind metoda intervalului.

Vă rugăm să rețineți că am împărțit ambele părți ale inegalității la o valoare despre care știam cu siguranță că este pozitivă. Desigur, în general, nu ar trebui să înmulțiți sau să împărțiți o inegalitate cu o variabilă al cărei semn este necunoscut.

5 . Să luăm în considerare o altă inegalitate, aparent destul de simplă:

Vreau doar să o înmulțesc cu . Dar suntem deja inteligenți și nu vom face asta. La urma urmei, poate fi atât pozitiv, cât și negativ. Și știm că dacă ambele părți ale inegalității sunt înmulțite cu o valoare negativă, semnul inegalității se schimbă.

O vom face diferit - vom colecta totul într-o singură parte și o vom aduce la un numitor comun. Partea dreaptă va rămâne zero:

Class="tex" alt="\genfrac())()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

Și după aceea - aplicați metoda intervalului.

Rezolvarea inegalităților online

Înainte de a rezolva inegalitățile, trebuie să înțelegeți bine cum sunt rezolvate ecuațiile.

Indiferent dacă inegalitatea este strictă () sau nestrictă (≤, ≥), primul pas este rezolvarea ecuației prin înlocuirea semnului de inegalitate cu egalitate (=).

Să explicăm ce înseamnă să rezolvi o inegalitate?

După ce a studiat ecuațiile, studentul primește următoarea imagine în cap: trebuie să găsească valori ale variabilei astfel încât ambele părți ale ecuației să ia aceleași valori. Cu alte cuvinte, găsiți toate punctele în care este valabilă egalitatea. Totul este corect!

Când vorbim despre inegalități, ne referim la găsirea de intervale (segmente) pe care inegalitatea este valabilă. Dacă există două variabile în inegalitate, atunci soluția nu va mai fi intervale, ci niște zone din plan. Ghiciți singuri care va fi soluția la o inegalitate în trei variabile?

Cum se rezolvă inegalitățile?

O modalitate universală de rezolvare a inegalităților este considerată a fi metoda intervalelor (cunoscută și ca metoda intervalelor), care constă în determinarea tuturor intervalelor în limitele cărora va fi satisfăcută o anumită inegalitate.

Fără a intra în tipul de inegalitate, în acest caz nu acesta este ideea, trebuie să rezolvați ecuația corespunzătoare și să determinați rădăcinile acesteia, urmate de desemnarea acestor soluții pe axa numerelor.

Cum se scrie corect soluția unei inegalități?

Odată ce ați determinat intervalele de soluție pentru inegalitate, trebuie să scrieți corect soluția în sine. Există o nuanță importantă - limitele intervalelor sunt incluse în soluție?

Totul este simplu aici. Dacă soluția ecuației satisface ODZ și inegalitatea nu este strictă, atunci granița intervalului este inclusă în soluția inegalității. Altfel, nu.

Luând în considerare fiecare interval, soluția inegalității poate fi intervalul în sine, sau un semi-interval (când una dintre limitele sale satisface inegalitatea), sau un segment - intervalul împreună cu limitele sale.

Punct important

Să nu credeți că numai intervalele, semiintervalele și segmentele pot rezolva inegalitatea. Nu, soluția poate include și puncte individuale.

De exemplu, inegalitatea |x|≤0 are o singură soluție - acesta este punctul 0.

Și inegalitatea |x|

De ce ai nevoie de un calculator de inegalități?

Calculatorul de inegalități oferă răspunsul final corect. În cele mai multe cazuri, este furnizată o ilustrare a unei axe sau a unui plan numeric. Este vizibil dacă limitele intervalelor sunt incluse în soluție sau nu - punctele sunt afișate ca umbrite sau perforate.

Datorită calculatorului de inegalități online, poți verifica dacă ai găsit corect rădăcinile ecuației, le-ai marcat pe axa numerelor și ai verificat îndeplinirea condiției de inegalități pe intervale (și limite)?

Dacă răspunsul dvs. diferă de răspunsul calculatorului, atunci trebuie neapărat să vă verificați soluția și să identificați greșeala.

Dificultăți de lucru într-o grădiniță și caracteristicile copiilor moderni Dificultăți de organizare a jocului într-o grădiniță

Învățând să citești 2023-06-24 02:13:19

Aplicatii pentru invatarea cititului

Acasă 2023-06-24 02:13:19

Ajutor la Tele2, tarife, intrebari