Diferite moduri de a demonstra teorema lui Pitagora. Diferite moduri de a demonstra teorema lui Pitagora: exemple, descriere și recenzii Prima teoremă a lui Pitagora

Cei care sunt interesați de istoria teoremei lui Pitagora, care este studiată în programa școlară, vor fi, de asemenea, curioși de un astfel de fapt precum publicarea în 1940 a unei cărți cu trei sute șaptezeci de dovezi ale acestei teoreme aparent simple. Dar a intrigat mințile multor matematicieni și filozofi din diferite epoci. În Cartea Recordurilor Guinness este înregistrată ca teoremă cu numărul maxim de dovezi.

Istoria teoremei lui Pitagora

Asociată cu numele de Pitagora, teorema era cunoscută cu mult înainte de nașterea marelui filozof. Astfel, în Egipt, în timpul construcției structurilor, raportul de aspect al unui triunghi dreptunghic a fost luat în considerare acum cinci mii de ani. Textele babiloniene menționează același raport de aspect al unui triunghi dreptunghic cu 1200 de ani înainte de nașterea lui Pitagora.

Se pune întrebarea, de ce atunci istoria spune că originea teoremei lui Pitagora îi aparține? Nu poate exista decât un singur răspuns - el a demonstrat raportul laturilor dintr-un triunghi. El a făcut ceea ce cei care au folosit pur și simplu raportul de aspect și ipotenuza stabilite de experiență nu au făcut cu secole în urmă.

Din viața lui Pitagora

Viitorul mare om de știință, matematician, filozof s-a născut pe insula Samos în anul 570 î.Hr. Documentele istorice au păstrat informații despre tatăl lui Pitagora, care era un cioplitor de pietre prețioase, dar nu există informații despre mama lui. Au spus despre băiatul care s-a născut că a fost un copil extraordinar care a manifestat încă din copilărie o pasiune pentru muzică și poezie. Istoricii includ pe Hermodamas și Pherecydes din Syros ca profesori ai tânărului Pitagora. Primul l-a introdus pe băiat în lumea muzelor, iar al doilea, fiind filosof și fondator al școlii italiene de filosofie, a îndreptat privirea tânărului către logos.

La vârsta de 22 de ani (548 î.Hr.), Pitagora a mers la Naucratis pentru a studia limba și religia egiptenilor. În continuare, calea sa a fost în Memphis, unde, datorită preoților, după ce au trecut prin testele lor ingenioase, a înțeles geometria egipteană, ceea ce, poate, l-a determinat pe tânărul iscoditor să demonstreze teorema lui Pitagora. Istoria va atribui ulterior acest nume teoremei.

Captivitatea regelui Babilonului

În drum spre casă spre Hellas, Pitagora este capturat de regele Babilonului. Dar a fi în captivitate a beneficiat mintea iscoditoare a aspirantului matematician; avea multe de învățat. Într-adevăr, în acei ani matematica în Babilon era mai dezvoltată decât în Egipt. A petrecut doisprezece ani studiind matematica, geometria și magia. Și, poate, geometria babiloniană a fost implicată în demonstrarea raportului dintre laturile unui triunghi și în istoria descoperirii teoremei. Pitagora avea destule cunoștințe și timp pentru asta. Dar nu există nicio confirmare documentară sau infirmare că acest lucru s-a întâmplat în Babilon.

În 530 î.Hr. Pitagora evadează din captivitate în patria sa, unde locuiește la curtea tiranului Policrate în statutul de semi-sclav. Pitagora nu se mulțumește cu o astfel de viață și se retrage în peșterile din Samos, apoi pleacă în sudul Italiei, unde se afla la acea vreme colonia greacă Croton.

Ordinul monahal secret

Pe baza acestei colonii, Pitagora a organizat un ordin monahal secret, care era o uniune religioasă și o societate științifică în același timp. Această societate avea propria sa cartă, care vorbea despre respectarea unui mod special de viață.

Pitagora a susținut că, pentru a-L înțelege pe Dumnezeu, o persoană trebuie să cunoască științe precum algebra și geometria, să cunoască astronomia și să înțeleagă muzica. Activitatea de cercetare s-a rezumat la cunoașterea laturii mistice a numerelor și a filozofiei. Trebuie remarcat faptul că principiile predicate la acea vreme de Pitagora au sens în imitație în prezent.

Multe dintre descoperirile făcute de studenții lui Pitagora i-au fost atribuite. Cu toate acestea, pe scurt, istoria creării teoremei lui Pitagora de către istoricii și biografii antici ai vremii este direct asociată cu numele acestui filozof, gânditor și matematician.

Învățăturile lui Pitagora

Poate că ideea conexiunii dintre teoremă și numele lui Pitagora a fost determinată de afirmația marelui grec că toate fenomenele vieții noastre sunt criptate în triunghiul notoriu cu picioarele și ipotenuza. Și acest triunghi este „cheia” pentru rezolvarea tuturor problemelor emergente. Marele filozof a spus că ar trebui să vezi triunghiul, apoi poți considera că problema este rezolvată în două treimi.

Pitagora le-a vorbit despre învățătura sa doar elevilor săi oral, fără să facă notițe, păstrând secretul. Din păcate, învățăturile celui mai mare filozof nu au supraviețuit până în zilele noastre. Din el s-a scurs ceva, dar este imposibil de spus cât de mult este adevărat și cât de mult este fals în ceea ce a devenit cunoscut. Chiar și cu istoria teoremei lui Pitagora, nu totul este sigur. Istoricii matematicii se îndoiesc de paternitatea lui Pitagora; în opinia lor, teorema a fost folosită cu multe secole înainte de nașterea lui.

teorema lui Pitagora

Poate părea ciudat, dar nu există fapte istorice care să demonstreze teorema lui Pitagora însuși - nici în arhive și nici în alte surse. În versiunea modernă se crede că nu aparține nimeni altul decât însuși Euclid.

Există dovezi de la unul dintre cei mai mari istorici ai matematicii, Moritz Cantor, care a descoperit pe un papirus depozitat în Muzeul din Berlin, notat de egipteni în jurul anului 2300 î.Hr. e. egalitate, care arată: 3² + 4² = 5².

Scurt istoric al teoremei lui Pitagora

Formularea teoremei din „Principii” euclidiene, în traducere, sună la fel ca în interpretarea modernă. Nu este nimic nou în lectura ei: pătratul laturii opuse unghiului drept este egal cu suma pătratelor laturilor adiacente unghiului drept. Faptul că civilizațiile antice din India și China au folosit teorema este confirmat de tratatul „Zhou - bi suan jin”. Conține informații despre triunghiul egiptean, care descrie raportul de aspect ca 3:4:5.

Nu mai puțin interesantă este o altă carte de matematică chineză, „Chu Pei”, care menționează și triunghiul pitagoreic cu explicații și desene care coincid cu desenele geometriei hinduse ale lui Bashara. Despre triunghiul în sine, cartea spune că, dacă un unghi drept poate fi descompus în părțile sale componente, atunci linia care leagă capetele laturilor va fi egală cu cinci dacă baza este egală cu trei și înălțimea este egală cu patru. .

Tratat indian „Sulva Sutra”, datând aproximativ din secolele VII-V î.Hr. e., vorbește despre construirea unui unghi drept folosind triunghiul egiptean.

Demonstrarea teoremei

În Evul Mediu, studenții considerau prea dificilă demonstrarea unei teoreme. Elevii slabi au învățat teoreme pe de rost, fără să înțeleagă sensul demonstrației. În acest sens, au primit porecla „măgari”, deoarece teorema lui Pitagora era un obstacol de netrecut pentru ei, ca un pod pentru un măgar. În Evul Mediu, studenții au venit cu un vers plin de umor pe tema acestei teoreme.

Pentru a demonstra teorema lui Pitagora în cel mai simplu mod, ar trebui să îi măsurați pur și simplu laturile, fără a utiliza conceptul de arii din demonstrație. Lungimea laturii opuse unghiului drept este c, iar a și b adiacente acesteia, ca rezultat obținem ecuația: a 2 + b 2 = c 2. Această afirmație, așa cum am menționat mai sus, este verificată prin măsurarea lungimii laturilor unui triunghi dreptunghic.

Dacă începem demonstrarea teoremei luând în considerare aria dreptunghiurilor construite pe laturile triunghiului, putem determina aria întregii figuri. Va fi egal cu aria unui pătrat cu latura (a+b), iar pe de altă parte, suma ariilor a patru triunghiuri și pătratul interior.

(a + b) 2 = 4 x ab/2 + c 2 ;

a 2 + 2ab + b 2 ;

c 2 = a 2 + b 2 , care este ceea ce trebuia demonstrat.

Semnificația practică a teoremei lui Pitagora este că poate fi folosită pentru a găsi lungimile segmentelor fără a le măsura. În timpul construcției structurilor se calculează distanțele, amplasarea suporturilor și grinzilor și se determină centrele de greutate. Teorema lui Pitagora este aplicată și în toate tehnologiile moderne. Nu au uitat de teoremă atunci când au creat filme în dimensiuni 3D-6D, unde pe lângă cele trei dimensiuni cu care suntem obișnuiți sunt luate în considerare: înălțimea, lungimea, lățimea, timpul, mirosul și gustul. Cum sunt gusturile și mirosurile legate de teoremă, vă întrebați? Totul este foarte simplu - atunci când difuzați un film, trebuie să calculați unde și ce mirosuri și gusturi să regizați în auditoriu.

Este doar începutul. Un domeniu nelimitat de descoperire și creare de noi tehnologii așteaptă minți curios.

teorema lui Pitagora- una dintre teoremele fundamentale ale geometriei euclidiene, stabilind relaţia

între laturile unui triunghi dreptunghic.

Se crede că a fost dovedit de matematicianul grec Pitagora, după care a primit numele.

Formularea geometrică a teoremei lui Pitagora.

Teorema a fost formulată inițial după cum urmează:

Într-un triunghi dreptunghic, aria pătratului construit pe ipotenuză este egală cu suma ariilor pătratelor,

construit pe picioare.

Formularea algebrică a teoremei lui Pitagora.

Într-un triunghi dreptunghic, pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimilor catetelor.

Adică notând lungimea ipotenuzei triunghiului cu c, iar lungimile picioarelor prin AȘi b:

Ambele formulări teorema lui Pitagora sunt echivalente, dar a doua formulare este mai elementară, nu

necesită conceptul de zonă. Adică a doua afirmație poate fi verificată fără să știe nimic despre zonă și

măsurând numai lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic.

Conversați teorema lui Pitagora.

Dacă pătratul unei laturi a unui triunghi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi, atunci

triunghi dreptunghic.

Sau, cu alte cuvinte:

Pentru fiecare triplu de numere pozitive A, bȘi c, astfel încât

există un triunghi dreptunghic cu catete AȘi b si ipotenuza c.

Teorema lui Pitagora pentru un triunghi isoscel.

Teorema lui Pitagora pentru un triunghi echilateral.

Demonstrații ale teoremei lui Pitagora.

În prezent, 367 de dovezi ale acestei teoreme au fost înregistrate în literatura științifică. Probabil teorema

Pitagora este singura teoremă cu un număr atât de impresionant de dovezi. O asemenea diversitate

poate fi explicată doar prin semnificația fundamentală a teoremei pentru geometrie.

Desigur, conceptual toate pot fi împărțite într-un număr mic de clase. Cele mai faimoase dintre ele:

dovada metoda zonei, axiomaticȘi dovezi exotice(De exemplu,

prin utilizarea ecuatii diferentiale).

1. Demonstrarea teoremei lui Pitagora folosind triunghiuri similare.

Următoarea demonstrație a formulării algebrice este cea mai simplă dintre dovezile construite

direct din axiome. În special, nu folosește conceptul de zonă a unei figuri.

Lăsa ABC există un triunghi dreptunghic cu un unghi drept C. Să tragem înălțimea de la C si denota

întemeierea ei prin H.

Triunghi ACH asemănător cu un triunghi AB C la două colțuri. La fel, triunghiul CBH asemănătoare ABC.

Prin introducerea notației:

primim:

care corespunde cu -

Pliat A 2 și b 2, obținem:

sau , care este ceea ce trebuia dovedit.

2. Demonstrarea teoremei lui Pitagora folosind metoda ariei.

Dovezile de mai jos, în ciuda aparentei lor simplități, nu sunt deloc atât de simple. Toti

folosiți proprietățile ariei, ale căror demonstrații sunt mai complexe decât demonstrația teoremei lui Pitagora în sine.

Dovada prin echicomplementaritate.

Să aranjam patru dreptunghiulare egale

triunghi așa cum se arată în figură

pe dreapta.

Patrulate cu laturi c- pătrat,

întrucât suma a două unghiuri ascuțite este de 90° și

unghi desfășurat - 180°.

Aria întregii figuri este egală, pe de o parte,

aria unui pătrat cu latura ( a+b), iar pe de altă parte, suma ariilor a patru triunghiuri și

Q.E.D.

3. Demonstrarea teoremei lui Pitagora prin metoda infinitezimală.

Privind desenul prezentat în figură și

privind schimbarea lateralăA, Putem

scrie următoarea relație pentru infinit

mic incremente lateraleCuȘi A(folosind asemănarea

triunghiuri):

Folosind metoda separării variabilelor, găsim:

O expresie mai generală pentru modificarea ipotenuzei în cazul creșterilor de ambele părți:

Integrând această ecuație și utilizând condițiile inițiale, obținem:

Astfel ajungem la răspunsul dorit:

După cum este ușor de văzut, dependența pătratică în formula finală apare datorită liniarului

proporționalitatea dintre laturile triunghiului și incremente, în timp ce suma este raportată la independent

contribuții din creșterea diferitelor picioare.

O dovadă mai simplă poate fi obținută dacă presupunem că unul dintre picioare nu experimentează o creștere

(în acest caz piciorul b). Atunci pentru constanta de integrare obținem:

Poveste

Chu-pei 500-200 î.Hr. În stânga este inscripția: suma pătratelor lungimilor înălțimii și bazei este pătratul lungimii ipotenuzei.

În cartea antică chineză Chu-pei ( Engleză) (chineză 周髀算經) vorbește despre un triunghi pitagoreic cu laturile 3, 4 și 5. Aceeași carte oferă un desen care coincide cu unul dintre desenele geometriei hinduse a lui Bashara.

În jurul anului 400 î.Hr. î.Hr., conform lui Proclu, Platon a oferit o metodă pentru găsirea tripleților pitagoreici, combinând algebra și geometria. În jurul anului 300 î.Hr. e. Cea mai veche demonstrație axiomatică a teoremei lui Pitagora a apărut în Elementele lui Euclid.

Formulări

Formulare geometrică:

Teorema a fost formulată inițial după cum urmează:

Formulare algebrică:

Adică, notând lungimea ipotenuzei triunghiului cu , iar lungimile catetelor cu și:

Ambele formulări ale teoremei sunt echivalente, dar a doua formulare este mai elementară; nu necesită conceptul de zonă. Adică, a doua afirmație poate fi verificată fără a ști nimic despre zonă și măsurând doar lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic.

Teorema inversă a lui Pitagora:

Pentru fiecare triplu de numere pozitive , și , astfel încât , există un triunghi dreptunghic cu catete și și ipotenuză .

Dovada

În prezent, 367 de dovezi ale acestei teoreme au fost înregistrate în literatura științifică. Probabil, teorema lui Pitagora este singura teoremă cu un număr atât de impresionant de demonstrații. O astfel de diversitate poate fi explicată doar prin semnificația fundamentală a teoremei pentru geometrie.

Desigur, conceptual toate pot fi împărțite într-un număr mic de clase. Cele mai cunoscute dintre ele: dovezi prin metoda zonei, dovezi axiomatice și exotice (de exemplu, folosind ecuații diferențiale).

Prin triunghiuri asemănătoare

Următoarea demonstrație a formulării algebrice este cea mai simplă dintre dovezi, construită direct din axiome. În special, nu folosește conceptul de zonă a unei figuri.

Lăsa ABC există un triunghi dreptunghic cu un unghi drept C. Să tragem înălțimea de la Cși notează-i baza prin H. Triunghi ACH asemănător cu un triunghi ABC la două colţuri. La fel, triunghiul CBH asemănătoare ABC. Prin introducerea notaţiei

primim

Ce este echivalent

Adunând totul, obținem

, ceea ce trebuia dovedit

Dovezi folosind metoda zonei

Dovezile de mai jos, în ciuda aparentei lor simplități, nu sunt deloc atât de simple. Toate folosesc proprietăți ale ariei, a căror demonstrație este mai complexă decât demonstrarea teoremei lui Pitagora în sine.

Dovada prin echicomplementare

Să aranjam patru triunghiuri dreptunghiulare egale, așa cum se arată în figura 1.
Patrulate cu laturi c este un pătrat, deoarece suma a două unghiuri ascuțite este de 90°, iar unghiul drept este de 180°.
Aria întregii figuri este egală, pe de o parte, cu aria unui pătrat cu latura (a + b), iar pe de altă parte, cu suma ariilor celor patru triunghiuri și zona pătratului interior.

Q.E.D.

Dovada lui Euclid

Ideea demonstrației lui Euclid este următoarea: să încercăm să demonstrăm că jumătate din aria pătratului construit pe ipotenuză este egală cu suma jumătăților ariilor pătratelor construite pe catete și apoi ariile lui pătratele mari și cele două pătrate mici sunt egale.

Să ne uităm la desenul din stânga. Pe el am construit pătrate pe laturile unui triunghi dreptunghic și am desenat o rază s de la vârful unghiului drept C perpendicular pe ipotenuza AB, ea taie pătratul ABIK, construit pe ipotenuză, în două dreptunghiuri - BHJI și HAKJ, respectiv. Se pare că ariile acestor dreptunghiuri sunt exact egale cu ariile pătratelor construite pe picioarele corespunzătoare.

Să încercăm să demonstrăm că aria pătratului DECA este egală cu aria dreptunghiului AHJK. Pentru a face acest lucru, vom folosi o observație auxiliară: aria unui triunghi cu aceeași înălțime și bază ca dreptunghiul dat este egal cu jumătate din aria dreptunghiului dat. Aceasta este o consecință a definirii ariei unui triunghi ca jumătate din produsul bazei și înălțimii. Din această observație rezultă că aria triunghiului ACK este egală cu aria triunghiului AHK (neprezentată în figură), care, la rândul său, este egală cu jumătate din aria dreptunghiului AHJK.

Să demonstrăm acum că aria triunghiului ACK este, de asemenea, egală cu jumătate din aria pătratului DECA. Singurul lucru care trebuie făcut pentru aceasta este să demonstrați egalitatea triunghiurilor ACK și BDA (deoarece aria triunghiului BDA este egală cu jumătate din aria pătratului conform proprietății de mai sus). Această egalitate este evidentă: triunghiurile sunt egale pe ambele părți și unghiul dintre ele. Și anume - AB=AK, AD=AC - egalitatea unghiurilor CAK și BAD este ușor de demonstrat prin metoda mișcării: rotim triunghiul CAK cu 90° în sens invers acelor de ceasornic, atunci este evident că laturile corespunzătoare ale celor două triunghiuri din întrebarea va coincide (datorită faptului că unghiul la vârful pătratului este de 90°).

Raționamentul pentru egalitatea ariilor pătratului BCFG și dreptunghiului BHJI este complet similar.

Astfel, am demonstrat că aria unui pătrat construit pe ipotenuză este compusă din ariile pătratelor construite pe catete. Ideea din spatele acestei dovezi este ilustrată în continuare de animația de mai sus.

Dovada lui Leonardo da Vinci

Elementele principale ale demonstrației sunt simetria și mișcarea.

Să luăm în considerare desenul, după cum se poate vedea din simetrie, segmentul taie pătratul în două părți identice (deoarece triunghiurile sunt egale în construcție).

Folosind o rotație de 90 de grade în sens invers acelor de ceasornic în jurul punctului, vedem egalitatea figurilor umbrite și.

Acum este clar că aria figurii pe care am umbrit-o este egală cu suma a jumătate din ariile pătratelor mici (construite pe picioare) și aria triunghiului original. Pe de altă parte, este egal cu jumătate din aria pătratului mare (construit pe ipotenuză) plus aria triunghiului original. Astfel, jumătate din suma suprafețelor pătratelor mici este egală cu jumătate din aria pătratului mare și, prin urmare, suma ariilor pătratelor construite pe picioare este egală cu aria pătratului construit pe ipotenuză.

Dovada prin metoda infinitezimală

Următoarea demonstrație folosind ecuații diferențiale este adesea atribuită celebrului matematician englez Hardy, care a trăit în prima jumătate a secolului al XX-lea.

Privind desenul prezentat în figură și observând schimbarea laturii A, putem scrie următoarea relație pentru incremente infinitezimale CuȘi A(folosind asemănarea triunghiului):

Folosind metoda separării variabilelor, găsim

O expresie mai generală pentru modificarea ipotenuzei în cazul creșterilor de ambele părți

Integrând această ecuație și folosind condițiile inițiale, obținem

Astfel ajungem la răspunsul dorit

După cum este ușor de observat, dependența pătratică în formula finală apare datorită proporționalității liniare dintre laturile triunghiului și incremente, în timp ce suma este asociată cu contribuții independente din incrementul diferitelor catete.

O dovadă mai simplă poate fi obținută dacă presupunem că unul dintre picioare nu experimentează o creștere (în acest caz picior). Atunci pentru constanta de integrare obținem

Variații și generalizări

Forme geometrice similare pe trei laturi

Generalizare pentru triunghiuri similare, aria formelor verzi A + B = aria albastrului C

Teorema lui Pitagora folosind triunghiuri dreptunghiulare similare

Euclid a generalizat teorema lui Pitagora în lucrarea sa Începuturile, extinzând ariile pătratelor de pe laturi la zonele figurilor geometrice similare:

Dacă construim figuri geometrice similare (vezi geometria euclidiană) pe laturile unui triunghi dreptunghic, atunci suma celor două figuri mai mici va fi egală cu aria figurii mai mari.

Ideea principală a acestei generalizări este că aria unei astfel de figuri geometrice este proporțională cu pătratul oricăreia dintre dimensiunile sale liniare și, în special, cu pătratul lungimii oricărei laturi. Prin urmare, pentru cifre similare cu zone A, BȘi C construit pe laturi cu lungime A, bȘi c, avem:

Dar, conform teoremei lui Pitagora, A 2 + b 2 = c 2 atunci A + B = C.

Dimpotrivă, dacă putem demonstra asta A + B = C pentru trei figuri geometrice similare fără a folosi teorema lui Pitagora, atunci putem demonstra teorema însăși, mișcându-se în direcția opusă. De exemplu, triunghiul central de pornire poate fi reutilizat ca triunghi C pe ipotenuză și două triunghiuri dreptunghice asemănătoare ( AȘi B), construite pe celelalte două laturi, care se formează prin împărțirea triunghiului central la înălțimea acestuia. Suma ariilor celor două triunghiuri mai mici este atunci în mod evident egală cu aria celui de-al treilea, astfel A + B = C iar, efectuând demonstrația anterioară în ordine inversă, obținem teorema lui Pitagora a 2 + b 2 = c 2 .

Teorema cosinusului

Teorema lui Pitagora este un caz special al teoremei cosinusului mai general, care raportează lungimile laturilor dintr-un triunghi arbitrar:

unde θ este unghiul dintre laturi AȘi b.

Dacă θ este de 90 de grade atunci cos θ = 0 și formula se simplifică la teorema obișnuită a lui Pitagora.

Triunghiul liber

La orice colț selectat al unui triunghi arbitrar cu laturi a, b, c Să înscriem un triunghi isoscel în așa fel încât unghiurile egale de la baza lui θ să fie egale cu unghiul ales. Să presupunem că unghiul selectat θ este situat opus laturii desemnate c. Ca rezultat, am obținut triunghiul ABD cu unghiul θ, care este situat opus laturii A si petreceri r. Al doilea triunghi este format din unghiul θ, care este situat opus laturii b si petreceri Cu lungime s, așa cum se arată în imagine. Thabit Ibn Qurra a susținut că laturile acestor trei triunghiuri sunt legate după cum urmează:

Pe măsură ce unghiul θ se apropie de π/2, baza triunghiului isoscel devine mai mică și cele două laturi r și s se suprapun din ce în ce mai puțin. Când θ = π/2, ADB devine un triunghi dreptunghic, r + s = cși obținem teorema inițială a lui Pitagora.

Să luăm în considerare unul dintre argumente. Triunghiul ABC are aceleași unghiuri ca și triunghiul ABD, dar în ordine inversă. (Cele două triunghiuri au un unghi comun la vârful B, ambele au un unghi θ și au, de asemenea, același al treilea unghi, pe baza sumei unghiurilor triunghiului) Prin urmare, ABC este similar cu reflexia ABD a triunghiului DBA, ca prezentată în figura de jos. Să scriem relația dintre laturile opuse și cele adiacente unghiului θ,

De asemenea, o reflectare a unui alt triunghi,

Să înmulțim fracțiile și să adunăm aceste două rapoarte:

Q.E.D.

Generalizare pentru triunghiuri arbitrare prin paralelograme

Generalizare pentru triunghiuri arbitrare,
zonă verde plot = suprafata albastru

Dovada tezei că în figura de mai sus

Să facem o generalizare suplimentară pentru triunghiuri nedrepte, folosind paralelograme pe trei laturi în loc de pătrate. (pătratele sunt un caz special.) Figura de sus arată că, pentru un triunghi ascuțit, aria paralelogramului de pe latura lungă este egală cu suma paralelogramelor de pe celelalte două laturi, cu condiția ca paralelogramul de pe partea lungă. latura este construită așa cum se arată în figură (dimensiunile indicate de săgeți sunt aceleași și determină laturile paralelogramului inferior). Această înlocuire a pătratelor cu paralelograme are o asemănare clară cu teorema inițială a lui Pitagora, despre care se crede că a fost formulată de Pappus din Alexandria în anul 4 d.Hr. e.

Figura de jos arată progresul dovezii. Să ne uităm la partea stângă a triunghiului. Paralelogramul verde din stânga are aceeași zonă ca și partea stângă a paralelogramului albastru deoarece au aceeași bază b si inaltime h. În plus, paralelogramul verde din stânga are aceeași zonă cu paralelogramul verde din stânga din imaginea de sus, deoarece au o bază comună (partea stângă sus a triunghiului) și o înălțime comună perpendiculară pe acea parte a triunghiului. Folosind un raționament similar pentru partea dreaptă a triunghiului, vom demonstra că paralelogramul inferior are aceeași zonă cu cele două paralelograme verzi.

Numere complexe

Teorema lui Pitagora este folosită pentru a afla distanța dintre două puncte dintr-un sistem de coordonate carteziene, iar această teoremă este valabilă pentru toate coordonatele adevărate: distanța s intre doua puncte ( a, b) Și ( c, d) egal

Nu există probleme cu formula dacă numerele complexe sunt tratate ca vectori cu componente reale X + eu y = (X, y). . De exemplu, distanța s intre 0 + 1 iși 1 + 0 i calculat ca modulul vectorului (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), sau

Cu toate acestea, pentru operațiile cu vectori cu coordonate complexe, este necesar să se facă unele îmbunătățiri la formula lui Pitagora. Distanța dintre punctele cu numere complexe ( A, b) Și ( c, d); A, b, c, Și d toate complexe, formulăm folosind valori absolute. Distanţă s bazată pe diferența vectorială (A − c, b − d) în următoarea formă: lasă diferenţa A − c = p+i q, Unde p- o parte reală a diferenței, q este partea imaginară și i = √(−1). La fel, lasă b − d = r+i s. Apoi:

unde este numărul conjugat complex pentru . De exemplu, distanța dintre puncte (A, b) = (0, 1) Și (c, d) = (i, 0) , să calculăm diferența (A − c, b − d) = (−i, 1) iar rezultatul ar fi 0 dacă nu s-ar folosi conjugate complexe. Prin urmare, folosind formula îmbunătățită, obținem

Modulul este definit după cum urmează:

Stereometrie

O generalizare semnificativă a teoremei lui Pitagora pentru spațiul tridimensional este teorema lui de Goy, numită după J.-P. de Gois: dacă un tetraedru are un unghi drept (ca într-un cub), atunci pătratul ariei feței opus unghiului drept este egal cu suma pătratelor ariilor celorlalte trei fețe. Această concluzie poate fi rezumată ca „ n Teorema lui Pitagora dimensională":

Teorema lui Pitagora în spațiul tridimensional raportează diagonala AD de trei laturi.

O altă generalizare: Teorema lui Pitagora poate fi aplicată stereometriei în următoarea formă. Luați în considerare un paralelipiped dreptunghic așa cum se arată în figură. Să aflăm lungimea diagonalei BD folosind teorema lui Pitagora:

unde cele trei laturi formează un triunghi dreptunghic. Folosim diagonala orizontală BD și muchia verticală AB pentru a găsi lungimea diagonalei AD, pentru aceasta folosim din nou teorema lui Pitagora:

sau, dacă scriem totul într-o singură ecuație:

Acest rezultat este o expresie tridimensională pentru determinarea mărimii vectorului v(diagonala AD), exprimată în termenii componentelor sale perpendiculare ( v k ) (trei laturi reciproc perpendiculare):

Această ecuație poate fi considerată ca o generalizare a teoremei lui Pitagora pentru spațiul multidimensional. Cu toate acestea, rezultatul nu este de fapt altceva decât aplicarea repetată a teoremei lui Pitagora la o succesiune de triunghiuri dreptunghiulare în planuri succesiv perpendiculare.

Spațiu vectorial

În cazul unui sistem ortogonal de vectori, există o egalitate, care se mai numește și teorema lui Pitagora:

Dacă - acestea sunt proiecții ale vectorului pe axele de coordonate, atunci această formulă coincide cu distanța euclidiană - și înseamnă că lungimea vectorului este egală cu rădăcina pătrată a sumei pătratelor componentelor sale.

Analogul acestei egalități în cazul unui sistem infinit de vectori se numește egalitatea lui Parseval.

Geometrie non-euclidiană

Teorema lui Pitagora este derivată din axiomele geometriei euclidiene și, de fapt, nu este valabilă pentru geometria non-euclidiană, în forma în care este scrisă mai sus. (Adică teorema lui Pitagora se dovedește a fi un fel de echivalent cu postulatul de paralelism al lui Euclid) Cu alte cuvinte, în geometria non-euclidiană relația dintre laturile unui triunghi va fi în mod necesar într-o formă diferită de teorema lui Pitagora. De exemplu, în geometria sferică, toate cele trei laturi ale unui triunghi dreptunghic (să zicem A, bȘi c), care limitează octantul (partea a opta) a sferei unității, au lungimea de π/2, ceea ce contrazice teorema lui Pitagora, deoarece A 2 + b 2 ≠ c 2 .

Să considerăm aici două cazuri de geometrie non-euclidiană - geometria sferică și hiperbolică; în ambele cazuri, ca și pentru spațiul euclidian pentru triunghiuri dreptunghic, rezultatul, care înlocuiește teorema lui Pitagora, decurge din teorema cosinusului.

Totuși, teorema lui Pitagora rămâne valabilă pentru geometria hiperbolică și eliptică dacă cerința ca triunghiul să fie dreptunghiular este înlocuită cu condiția ca suma a două unghiuri ale triunghiului să fie egală cu al treilea, să spunem A+B = C. Atunci relația dintre laturi arată astfel: suma ariilor cercurilor cu diametre AȘi b egal cu aria unui cerc cu diametru c.

Geometrie sferică

Pentru orice triunghi dreptunghic pe o sferă cu rază R(de exemplu, dacă unghiul γ dintr-un triunghi este drept) cu laturile A, b, c Relația dintre părți va arăta astfel:

Această egalitate poate fi derivată ca un caz special al teoremei cosinusului sferic, care este valabilă pentru toate triunghiurile sferice:

unde cosh este cosinusul hiperbolic. Această formulă este un caz special al teoremei cosinusului hiperbolic, care este valabilă pentru toate triunghiurile:

unde γ este unghiul al cărui vârf este opus laturii c.

Unde g ij numit tensor metric. Poate fi o funcție de poziție. Astfel de spații curbe includ geometria riemanniană ca exemplu general. Această formulare este, de asemenea, potrivită pentru spațiul euclidian atunci când se utilizează coordonate curbilinie. De exemplu, pentru coordonatele polare:

Opera de artă vectorială

Teorema lui Pitagora conectează două expresii pentru mărimea unui produs vectorial. O abordare a definirii unui produs încrucișat necesită ca acesta să satisfacă ecuația:

Această formulă folosește produsul punctual. Partea dreaptă a ecuației se numește determinant Gram pentru AȘi b, care este egală cu aria paralelogramului format din acești doi vectori. Pe baza acestei cerințe, precum și a cerinței ca produsul vectorial să fie perpendicular pe componentele sale AȘi b rezultă că, cu excepția cazurilor banale din spațiul 0 și 1-dimensional, produsul încrucișat este definit doar în trei și șapte dimensiuni. Folosim definiția unghiului în n-spațiu dimensional:

Această proprietate a unui produs încrucișat dă magnitudinea acestuia după cum urmează:

Prin identitatea trigonometrică fundamentală a lui Pitagora obținem o altă formă de scriere a valorii acesteia:

O abordare alternativă pentru definirea unui produs încrucișat este utilizarea unei expresii pentru magnitudinea acestuia. Apoi, raționând în ordine inversă, obținem o legătură cu produsul scalar:

Vezi si

Note

Subiect de istorie: teorema lui Pitagora în matematica babiloniană
( , p. 351) p. 351
( , Vol I, p. 144)
O discuție a faptelor istorice este dată în (, P. 351) P. 351
Kurt Von Fritz (apr. 1945). „Descoperirea incomensurabilității de către Hippasus din Metapontum”. Analele matematicii, seria a doua(Analele matematicii) 46 (2): 242–264.
Lewis Carroll, „Povestea cu noduri”, M., Mir, 1985, p. 7
Asger Aaboe Episoade din istoria timpurie a matematicii. - Mathematical Association of America, 1997. - P. 51. - ISBN 0883856131
Propunerea Python de Elisha Scott Loomis
a lui Euclid Elemente: Cartea VI, Propunerea VI 31: „În triunghiuri dreptunghiulare, figura de pe latura care subtinde unghiul drept este egală cu figurile similare și descrise în mod similar de pe laturile care conțin unghiul drept.”
Lawrence S. Leff lucrare citată. - Seria educațională a lui Barron.- P. 326. - ISBN 0764128922
Howard Whitley Eves§4.8:...generalizarea teoremei lui Pitagora // Momente mari în matematică (înainte de 1650). - Mathematical Association of America, 1983. - P. 41. - ISBN 0883853108
Tâbit ibn Qorra (nume complet Thābit ibn Qurra ibn Marwan Al-Ṣābiʾ al-Ḥarrānī) (826-901 d.Hr.) a fost un medic care trăia la Bagdad care a scris mult despre Elementele lui Euclid și alte subiecte matematice.
Aydin Sayili (mar. 1960). „Generalizarea teoremei lui Pitagora a lui Thâbit ibn Qurra”. Isis 51 (1): 35–37. DOI:10.1086/348837.
Judith D. Sally, Paul Sally Exercițiul 2.10 (ii) // Lucrare citată. - P. 62. - ISBN 0821844032
Pentru detaliile unei astfel de construcții, vezi George Jennings Figura 1.32: Teorema generalizată a lui Pitagora // Geometrie modernă cu aplicații: cu 150 de figuri. - al 3-lea. - Springer, 1997. - P. 23. - ISBN 038794222X
Arlen Brown, Carl M. Pearcy Articol C: Normă pentru un arbitrar n-tuple ... // O introducere în analiză . - Springer, 1995. - P. 124. - ISBN 0387943692 Vezi și paginile 47-50.
Alfred Gray, Elsa Abbena, Simon Salamon Geometrie diferențială modernă a curbelor și suprafețelor cu Mathematica. - al 3-lea. - CRC Press, 2006. - P. 194. - ISBN 1584884487
Rajendra Bhatia Analiza matriceală. - Springer, 1997. - P. 21. - ISBN 0387948465
Stephen W. Hawking lucrare citată. - 2005. - P. 4. - ISBN 0762419229

Teorema

Într-un triunghi dreptunghic, pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimilor catetelor (Fig. 1):

$c^(2)=a^(2)+b^(2)$

Dovada teoremei lui Pitagora

Fie triunghiul $A B C$ un triunghi dreptunghic cu unghi drept $C$ (Fig. 2).

Să tragem înălțimea de la vârful $C$ la ipotenuza $A B$ și notăm baza înălțimii ca $H$.

Triunghiul dreptunghic $A C H$ este similar cu triunghiul $A B C$ la două unghiuri ($\unghi A C B=\unghi C H A=90^(\circ)$, $\unghi A$ este comun). La fel, triunghiul $C B H$ este similar cu $A B C$ .

Prin introducerea notaţiei

$$B C=a, A C=b, A B=c$$

din asemănarea triunghiurilor obținem că

$$\frac(a)(c)=\frac(H B)(a), \frac(b)(c)=\frac(A H)(b)$$

De aici avem asta

$$a^(2)=c \cdot H B, b^(2)=c \cdot A H$$

Adăugând egalitățile rezultate, obținem

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot H B+c \cdot A H$$

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot(H B+A H)$$

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot A B$$

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot c$$

$$a^(2)+b^(2)=c^(2)$$

Q.E.D.

Formularea geometrică a teoremei lui Pitagora

Teorema

Într-un triunghi dreptunghic, aria pătratului construit pe ipotenuză este egală cu suma ariilor pătratelor construite pe catete (Fig. 2):

Exemple de rezolvare a problemelor

Exemplu

Exercițiu. Având în vedere un triunghi dreptunghic $A B C$, ale cărui laturi sunt de 6 cm și 8 cm. Aflați ipotenuza acestui triunghi.

Soluţie. Dupa conditia catetei $a=6$ cm, $b=8$ cm.Atunci, conform teoremei lui Pitagora, patratul ipotenuzei

$c^(2)=a^(2)+b^(2)=6^(2)+8^(2)=36+64=100$

Din aceasta obținem că ipotenuza dorită

$c=\sqrt(100)=10$ (cm)

Răspuns. 10 cm

Exemplu

Exercițiu. Aflați aria unui triunghi dreptunghic dacă se știe că unul dintre catetele lui este cu 5 cm mai mare decât celălalt și ipotenuza este de 25 cm.

Soluţie. Fie $x$ cm lungimea piciorului mai mic, apoi $(x+5)$ cm lungimea celui mai mare. Apoi, conform teoremei lui Pitagora, avem:

$$x^(2)+(x+5)^(2)=25^(2)$$

Deschidem parantezele, le reducem pe cele similare și rezolvăm ecuația pătratică rezultată:

$x^(2)+5 x-300=0$

Conform teoremei lui Vieta, obținem asta

$x_(1)=15$ (cm) , $x_(2)=-20$ (cm)

Valoarea $x_(2)$ nu satisface condițiile problemei, ceea ce înseamnă că piciorul mai mic are 15 cm, iar piciorul mai mare este de 20 cm.

Aria unui triunghi dreptunghic este egală cu jumătate din produsul lungimilor picioarelor sale, adică

$$S=\frac(15 \cdot 20)(2)=15 \cdot 10=150\left(\mathrm(cm)^(2)\right)$$

Răspuns.$S=150\stânga(\mathrm(cm)^(2)\dreapta)$

Referință istorică

teorema lui Pitagora- una dintre teoremele fundamentale ale geometriei euclidiene, stabilind relaţia dintre laturile unui triunghi dreptunghic.

Cartea antică chineză „Zhou Bi Xuan Jing” vorbește despre un triunghi pitagoreic cu laturile 3, 4 și 5. Cel mai important istoric german al matematicii, Moritz Cantor (1829 - 1920), consideră că egalitatea $3^(2)+4^ (2)=5^ (2) $ era deja cunoscut egiptenilor în jurul anului 2300 î.Hr. Potrivit omului de știință, constructorii au construit apoi unghiuri drepte folosind triunghiuri dreptunghiulare cu laturile 3, 4 și 5. Se știe ceva mai multe despre teorema lui Pitagora la babilonieni. Un text oferă un calcul aproximativ al ipotenuzei unui triunghi dreptunghic isoscel.

Textul lucrării este postat fără imagini și formule.
Versiunea completă a lucrării este disponibilă în fila „Fișiere de lucru” în format PDF

Introducere

Într-un curs de geometrie școlară, numai problemele matematice sunt rezolvate folosind teorema lui Pitagora. Din păcate, problema aplicării practice a teoremei lui Pitagora nu este luată în considerare.

În acest sens, scopul lucrării mele a fost acela de a afla domeniile de aplicare ale teoremei lui Pitagora.

În prezent, este general recunoscut că succesul dezvoltării multor domenii ale științei și tehnologiei depinde de dezvoltarea diferitelor domenii ale matematicii. O condiție importantă pentru creșterea eficienței producției este introducerea pe scară largă a metodelor matematice în tehnologie și în economia națională, care presupune crearea unor metode noi, eficiente de cercetare calitativă și cantitativă, care să permită rezolvarea problemelor puse de practică.

Voi lua în considerare exemple de aplicare practică a teoremei lui Pitagora. Nu voi încerca să dau toate exemplele de utilizare a teoremei - acest lucru ar fi cu greu posibil. Domeniul de aplicare al teoremei este destul de extins și, în general, nu poate fi indicat cu suficientă completitate.

Ipoteză:

Folosind teorema lui Pitagora, puteți rezolva nu numai probleme matematice.

Pentru această lucrare de cercetare se definește următorul scop:

Aflați domeniile de aplicare ale teoremei lui Pitagora.

Pe baza obiectivului de mai sus, au fost identificate următoarele sarcini:

Colectați informații despre aplicarea practică a teoremei lui Pitagora în diverse surse și determinați domeniile de aplicare ale teoremei.

Studiați câteva informații istorice despre Pitagora și teorema sa.

Arată aplicarea teoremei în rezolvarea problemelor istorice.

Procesați datele colectate pe subiect.

Am fost implicat în căutarea și colectarea de informații - studierea materialului tipărit, lucrul cu materiale pe Internet, prelucrarea datelor colectate.

Metodologia de cercetare:

Studierea materialului teoretic.

Studiul metodelor de cercetare.

Implementarea practică a studiului.

Comunicativ (metoda de măsurare, chestionar).

Tip proiect: informare și cercetare. Lucrarea s-a făcut în timpul liber.

Despre Pitagora.

Pitagora - filozof, matematician, astronom grec antic. El a fundamentat multe proprietăți ale figurilor geometrice, a dezvoltat o teorie matematică a numerelor și a proporțiilor acestora. El a adus contribuții semnificative la dezvoltarea astronomiei și acusticii. Autor al versurilor de aur, fondator al școlii pitagoreice din Croton.

Potrivit legendei, Pitagora s-a născut în jurul anului 580 î.Hr. e. pe insula Samos într-o familie bogată de negustori. Mama lui, Pyphasis, și-a primit numele în onoarea lui Pythia, o preoteasă a lui Apollo. Pythia le-a prezis lui Mnesarchus și soției sale nașterea unui fiu, fiul fiind numit și după Pythia. Potrivit multor mărturii străvechi, băiatul era fabulos de frumos și în curând și-a arătat abilitățile extraordinare. Primele cunoștințe le-a primit de la tatăl său Mnesarchus, un bijutier și cioplitor de pietre prețioase, care visa că fiul său își va continua afacerea. Dar viața a decis altfel. Viitorul filozof a arătat abilități mari pentru știință. Printre profesorii lui Pitagora s-au numărat Pherecydes din Syros și bătrânul Hermodamant. Primul a insuflat băiatului dragostea pentru știință, iar al doilea - pentru muzică, pictură și poezie. Ulterior, Pitagora l-a cunoscut pe celebrul filozof și matematician Thales din Milet și, la sfatul acestuia, a plecat în Egipt, centrul activității științifice și de cercetare la acea vreme. După ce a trăit 22 de ani în Egipt și 12 ani în Babilon, s-a întors pe insula Samos, apoi a părăsit-o din motive necunoscute și s-a mutat în orașul Croton, din sudul Italiei. Aici a creat școala (uniunea) pitagoreică, în care s-au studiat diverse probleme de filozofie și matematică. La vârsta de aproximativ 60 de ani, Pitagora s-a căsătorit cu Theano, unul dintre elevii săi. Au trei copii, toți devin urmași ai tatălui lor. Condițiile istorice ale vremii sunt caracterizate de o mișcare largă a demosului împotriva puterii aristocraților. Fugând de valurile furiei populare, Pitagora și studenții săi s-au mutat în orașul Tarentum. Potrivit unei versiuni: Kilon, un om bogat și rău, a venit la el, dorind să se alăture frăției în timp ce era beat. După ce a fost refuzat, Cylon a început să lupte cu Pitagora. În timpul incendiului, elevii au salvat viața profesorului pe propriile lor costuri. Pitagora a devenit trist și s-a sinucis curând.

Trebuie remarcat faptul că aceasta este una dintre opțiunile pentru biografia sa. Datele exacte ale nașterii și morții sale nu au fost stabilite; multe fapte despre viața lui sunt contradictorii. Dar un lucru este clar: acest om a trăit și și-a lăsat urmașii o mare moștenire filozofică și matematică.

Teorema lui Pitagora.

Teorema lui Pitagora este cea mai importantă afirmație a geometriei. Teorema se formulează astfel: aria unui pătrat construit pe ipotenuza unui triunghi dreptunghic este egală cu suma ariilor pătratelor construite pe catetele sale.

Descoperirea acestei afirmații este atribuită lui Pitagora din Samos (secolul al XII-lea î.Hr.)

Un studiu al tăblițelor cuneiforme babiloniene și al manuscriselor chinezești antice (copii ale manuscriselor și mai vechi) a arătat că celebra teoremă era cunoscută cu mult înaintea lui Pitagora, poate cu câteva mii de ani înaintea lui.

(Dar există o presupunere că Pitagora a dat o dovadă completă a acesteia)

Dar există o altă părere: în școala pitagoreică exista un obicei minunat de a-i atribui lui Pitagora toate meritele și de a nu-și atribui gloria descoperitorilor, decât poate în câteva cazuri.

(Iamblichus-scriitor sirian vorbitor de greacă, autor al tratatului „Viața lui Pitagora.” (secolul al II-lea d.Hr.)

Astfel, istoricul matematician german Cantor consideră că egalitatea 3 2 + 4 2 = 5 2 a fost

cunoscută egiptenilor în jurul anului 2300 î.Hr. e. pe vremea regelui Amenehmet (conform papirusului 6619 al Muzeului din Berlin). Unii cred că Pitagora a dat teoremei o dovadă completă, în timp ce alții îi neagă acest merit.

Unii îi atribuie lui Pitagora dovada pe care Euclid a dat-o în Elementele sale. Pe de altă parte, Proclus (matematician, secolul al V-lea) susține că demonstrația din Elemente i-a aparținut lui Euclid însuși, adică istoria matematicii nu a păstrat aproape deloc date sigure despre activitatea matematică a lui Pitagora. În matematică, poate, nu există altă teoremă care să merite tot felul de comparații.

În unele liste ale Elementelor lui Euclid, această teoremă a fost numită „teorema nimfei” pentru asemănarea desenului cu o albină, un fluture („teorema fluturelui”), care în greacă era numită nimfă. Grecii au folosit acest cuvânt pentru a numi alte zeițe, precum și tinere și mirese. Traducătorul arabă nu a acordat atenție desenului și a tradus cuvântul „nimfă” ca „mireasă”. Așa a apărut numele afectuos „teorema miresei”. Există o legendă că atunci când Pitagora din Samos și-a dovedit teorema, el a mulțumit zeilor sacrificând 100 de tauri. De aici un alt nume - „teorema unei sute de tauri”.

În țările vorbitoare de limbă engleză se numea: „moară de vânt”, „coada păunului”, „scaunul miresei”, „podul măgarului” (dacă elevul nu putea „trece”, atunci era un adevărat „măgar”).

În Rusia pre-revoluționară, desenul teoremei lui Pitagora pentru cazul unui triunghi isoscel a fost numit „pantaloni pitagoreici”.

Acești „pantaloni” apar atunci când construiți pătrate pe fiecare parte a unui triunghi dreptunghic spre exterior.

Câte dovezi diferite ale teoremei lui Pitagora există?

Din vremea lui Pitagora au apărut peste 350. Teorema a fost inclusă în Cartea Recordurilor Guinness. Dacă analizăm dovezile teoremei, ele folosesc câteva idei fundamental diferite.

Domenii de aplicare a teoremei.

Este utilizat pe scară largă în rezolvare geometric sarcini.

Cu ajutorul acestuia puteți găsi geometric valorile rădăcinilor pătrate ale numerelor întregi:

Pentru a face acest lucru, construim un triunghi dreptunghic AOB (unghiul A este de 90°) cu catete unitare. Atunci ipotenuza sa este √2. Apoi construim un segment unitar BC, BC este perpendicular pe OB, lungimea ipotenuzei OC = √3 etc.

(întâlnim această metodă la Euclid și F. Kirensky).

Sarcini în cunoștință de cauză fizicienilor Liceele necesită cunoașterea teoremei lui Pitagora.

Acestea sunt probleme legate de adăugarea vitezelor.

Atenție la diapozitiv: o problemă dintr-un manual de fizică de clasa a IX-a. În sens practic, poate fi formulat astfel: în ce unghi față de curgerea râului ar trebui să se deplaseze o ambarcațiune care transportă pasageri între debarcadere pentru a respecta programul? (digurile sunt pe malurile opuse ale râului)

Când un biatlet trage într-o țintă, el face o „ajustare pentru vânt”. Dacă vântul bate din dreapta, iar sportivul trage drept, glonțul va merge spre stânga. Pentru a lovi ținta, trebuie să mutați vizorul spre dreapta cu distanța la care glonțul este deplasat. Pentru ei au fost întocmite tabele speciale (pe baza corolarelor din Pitagora). Biatletul știe în ce unghi să miște vizorul când este cunoscută viteza vântului.

Astronomie - de asemenea, o zonă largă de aplicare a teoremei Calea fasciculului de lumină. Figura arată calea unei raze de lumină de la A la B și înapoi. Traseul fasciculului este afișat cu o săgeată curbă pentru claritate; de fapt, fasciculul luminos este drept.

Pe ce cale o parcurge raza?? Lumina parcurge același drum înainte și înapoi. Care este jumătate din distanța pe care o parcurge raza? Dacă desemnăm segmentul AB simbol l, jumătate din timp ca t, și, de asemenea, indicând viteza luminii cu litera c, atunci ecuația noastră va lua forma

c * t = l

Acesta este produsul timpului petrecut și al vitezei!

Acum să încercăm să privim același fenomen dintr-un cadru de referință diferit, de exemplu, de la o navă spațială care zboară pe lângă un fascicul rulant cu o viteză v. Cu o astfel de observație, vitezele tuturor corpurilor se vor schimba, iar corpurile staționare vor începe să se miște cu o viteză vîn sens invers. Să presupunem că nava se mișcă spre stânga. Apoi cele două puncte între care aleargă iepurașul vor începe să se miște spre dreapta cu aceeași viteză. Mai mult, în timp ce iepurașul își aleargă drumul, punctul de plecare A se deplasează și fasciculul revine la un nou punct C.

Întrebare: cât timp are punctul să se miște (pentru a se transforma în punctul C) în timp ce se deplasează fasciculul de lumină? Mai precis: care este jumătate din această deplasare? Dacă notăm jumătate din timpul de călătorie al fasciculului cu literă t", și jumătate din distanță A.C. scrisoare d, atunci obținem ecuația noastră sub forma:

v * t" = d

Scrisoare v indică viteza navei spațiale.

O altă întrebare: cât de departe va călători fasciculul de lumină?(Mai precis, care este jumătate din această cale? Care este distanța până la obiectul necunoscut?)

Dacă notăm jumătate din lungimea căii luminii cu litera s, obținem ecuația:

c * t" = s

Aici c este viteza luminii și t"- aceasta este aceeași oră cu cea discutată mai sus.

Acum luați în considerare triunghiul ABC. Acesta este un triunghi isoscel a cărui înălțime este l, pe care l-am introdus atunci când luăm în considerare procesul dintr-un punct de vedere fix. Deoarece mișcarea este perpendiculară l, atunci nu putea să o afecteze.

Triunghi ABC compus din două jumătăți - triunghiuri dreptunghiulare identice, ale căror ipotenuze ABȘi B.C. trebuie conectat la picioare conform teoremei lui Pitagora. Unul dintre picioare este d, pe care tocmai l-am calculat, iar al doilea picior este s, prin care trece lumina și pe care l-am calculat și noi. Obținem ecuația:

s 2 = l 2 +d 2

Aceasta este teorema lui Pitagora!

Fenomen aberație stelară, descoperit în 1729, este că toate stelele de pe sfera cerească descriu elipse. Semiaxa majoră a acestor elipse este observată de pe Pământ la un unghi de 20,5 grade. Acest unghi este asociat cu mișcarea Pământului în jurul Soarelui cu o viteză de 29,8 km pe oră. Pentru a observa o stea de pe un Pământ în mișcare, este necesar să înclinați tubul telescopului înainte odată cu mișcarea stelei, deoarece în timp ce lumina străbate lungimea telescopului, ocularul se deplasează înainte împreună cu pământul. Adunarea vitezelor luminii și a Pământului se face vectorial, folosind așa-numitele.

Pitagora. U2 =C2 +V2

C-viteza luminii

Viteza la sol în V

Tubul telescopului

La sfârșitul secolului al XIX-lea, s-au făcut diverse presupuneri cu privire la existența unor locuitori asemănătoare oamenilor de pe Marte, aceasta a fost o consecință a descoperirilor astronomului italian Schiaparelli (el a descoperit canale pe Marte care fuseseră mult timp considerate artificiale). Desigur, întrebarea dacă este posibil să comunici cu aceste creaturi ipotetice folosind semnale luminoase a provocat o discuție plină de viață. Academia de Științe din Paris a stabilit chiar și un premiu de 100.000 de franci pentru prima persoană care a stabilit contactul cu orice locuitor al altui corp ceresc; acest premiu încă îl așteaptă pe norocosul câștigător. În glumă, deși nu în totalitate fără motiv, s-a decis să se transmită un semnal locuitorilor de pe Marte sub forma teoremei lui Pitagora.

Nu se știe cum să facă asta; dar este evident pentru toată lumea că faptul matematic exprimat de teorema lui Pitagora este valabil peste tot și, prin urmare, locuitorii unei alte lumi asemănătoare cu noi trebuie să înțeleagă un astfel de semnal.

conexiune mobilă

Cine în lumea modernă nu folosește un telefon mobil? Fiecare abonat de telefonie mobilă este interesat de calitatea acestuia. Și calitatea, la rândul său, depinde de înălțimea antenei operatorului de telefonie mobilă. Pentru a calcula raza în care poate fi recepționată transmisia, folosim teorema lui Pitagora.

Ce înălțime maximă ar trebui să aibă antena unui operator de telefonie mobilă pentru ca transmisiile să fie recepționate pe o rază de R=200 km? (Raza Pământului este de 6380 km.)

Soluţie:

Lăsa AB= x , BC=R=200 km , OC= r =6380 km.

OB=OA+ABOB=r + x.

Folosind teorema lui Pitagora, obținem Raspuns: 2,3 km.

Când construiți case și cabane, apare adesea întrebarea cu privire la lungimea căpriorii pentru acoperiș dacă grinzile au fost deja făcute. De exemplu: se plănuiește construirea unui acoperiș în două frontoane pe o casă (forma în secțiune). Ce lungime ar trebui să aibă căpriorii dacă grinzile sunt făcute AC=8 m și AB=BF.

Soluţie:

Triunghiul ADC este isoscel AB=BC=4 m, BF=4 m. Dacă presupunem că FD=1,5 m, atunci:

A) Din triunghiul DBC: DB=2,5 m.

B) Din triunghiul ABF:

Fereastră

În clădiri Stil gotic și romanic părțile superioare ale ferestrelor sunt împărțite prin nervuri de piatră, care nu numai că joacă rolul de ornament, dar contribuie și la rezistența ferestrelor. Figura prezintă un exemplu simplu de astfel de fereastră în stil gotic. Metoda de construire este foarte simplă: din figură este ușor să găsiți centrele a șase arce de cerc ale căror raze sunt egale

lăţimea ferestrei (b) pentru arcade exterioare

jumătate din lățime, (b/2) pentru arcuri interne

Rămâne un cerc complet care atinge patru arce. Deoarece este închis între două cercuri concentrice, diametrul său este egal cu distanța dintre aceste cercuri, adică b/2 și, prin urmare, raza este b/4. Și atunci devine clar și

poziţia centrului său.

ÎN arhitectura romanica Motivul prezentat în figură este adesea găsit. Dacă b desemnează totuși lățimea ferestrei, atunci razele semicercurilor vor fi R = b / 2 și r = b / 4. Raza p a cercului interior poate fi calculată din triunghiul dreptunghic prezentat în Fig. linie punctata Ipotenuza acestui triunghi, care trece prin punctul de tangență al cercurilor, este egală cu b/4+p, o latură este egală cu b/4, iar cealaltă este b/2-p. Conform teoremei lui Pitagora avem:

(b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/4-p) 2

b 2 /16+ bp/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4 - bp/2 +p 2 ,

Împărțind cu b și aducând termeni similari, obținem:

(3/2)p=b/4, p=b/6.

În industria forestieră: pentru nevoile de construcție, buștenii sunt tăiați în grinzi, iar sarcina principală este obținerea cât mai puține deșeuri. Cea mai mică cantitate de deșeuri va apărea atunci când cheresteaua are cel mai mare volum. Ce ar trebui să fie în secțiune? După cum se poate vedea din soluție, secțiunea transversală trebuie să fie pătrată și teorema lui Pitagora iar alte considerente ne permit să tragem o asemenea concluzie.

Cel mai mare volum cherestea

Sarcină

Dintr-un buștean cilindric trebuie să tăiați un fascicul dreptunghiular de cel mai mare volum. Ce formă ar trebui să aibă secțiunea sa transversală (Fig. 23)?

Soluţie

Dacă laturile unei secțiuni dreptunghiulare sunt x și y, atunci după teorema lui Pitagora

x 2 + y 2 = d 2,

unde d este diametrul buștenului. Volumul unui fascicul este cel mai mare atunci când aria sa transversală este cea mai mare, adică atunci când xy atinge valoarea sa cea mai mare. Dar dacă xy este cel mai mare, atunci produsul x 2 y 2 va fi și cel mai mare. Deoarece suma x 2 + y 2 este neschimbată, atunci, conform celor dovedite mai devreme, produsul x 2 y 2 este cel mai mare atunci când

x 2 = y 2 sau x = y.

Deci, secțiunea transversală a fasciculului ar trebui să fie pătrată.

Sarcini de transport(așa-numitele probleme de optimizare; probleme, a căror soluție ne permite să răspundem la întrebarea: cum să alocăm fonduri pentru a obține beneficii mari)

La prima vedere, nimic deosebit: luați măsurători ale înălțimii de la podea la tavan în mai multe puncte, scădeți câțiva centimetri pentru ca dulapul să nu se sprijine de tavan. Procedând astfel, pot apărea dificultăți în procesul de asamblare a mobilierului. La urma urmei, producătorii de mobilier asamblează cadrul prin plasarea dulapului într-o poziție orizontală, iar când cadrul este asamblat, îl ridică într-o poziție verticală. Să ne uităm la peretele lateral al dulapului. Înălțimea dulapului trebuie să fie cu 10 cm mai mică decât distanța de la podea la tavan, cu condiția ca această distanță să nu depășească 2500 mm. Și adâncimea dulapului este de 700 mm. De ce 10 cm, și nu 5 cm sau 7, și ce legătură are teorema lui Pitagora cu ea?

Deci: perete lateral 2500-100=2400 (mm) - inaltimea maxima a structurii.

În timpul procesului de ridicare a cadrului, peretele lateral trebuie să treacă liber atât pe verticală, cât și pe diagonală. De teorema lui Pitagora

AC = √ AB 2 + BC 2

AC = √ 2400 2 + 700 2 = 2500 (mm)

Ce se întâmplă dacă înălțimea dulapului este redusă cu 50 mm?

AC = √ 2450 2 + 700 2 = 2548 (mm)

Diagonala 2548 mm. Aceasta înseamnă că nu puteți instala un dulap (ați putea strica tavanul).

Paratrăsnet.

Se știe că un paratrăsnet protejează de trăsnet toate obiectele a căror distanță de la baza sa nu depășește de două ori înălțimea sa. Este necesar să se determine poziția optimă a paratrăsnetului pe un acoperiș în două frontoane, asigurându-i cea mai mică înălțime accesibilă.

Conform teoremei lui Pitagora h 2 ≥ a 2 +b 2 înseamnă h≥(a 2 +b 2) 1/2

Trebuie să facem urgent o seră pentru răsaduri la cabana noastră de vară.

Un pătrat de 1 m1m este făcut din scânduri. Există resturi de film care măsoară 1,5 m1,5 m. La ce înălțime în centrul pătratului trebuie atașată banda astfel încât filmul să o acopere complet?

1) Diagonala serei d==1,4;0,7

2) Diagonala filmului d 1= 2,12 1,06

3) Înălțimea șinei x= 0,7

Concluzie

În urma cercetărilor, am aflat câteva domenii de aplicare a teoremei lui Pitagora. Am adunat și prelucrat o mulțime de materiale din surse literare și de pe Internet pe această temă. Am studiat câteva informații istorice despre Pitagora și teorema lui. Da, într-adevăr, folosind teorema lui Pitagora poți rezolva nu numai probleme matematice. Teorema lui Pitagora și-a găsit aplicația în construcții și arhitectură, comunicații mobile și literatură.

Studiul și analiza surselor de informații despre teorema lui Pitagora

a aratat ca:

A) atenția exclusivă a matematicienilor și iubitorilor de matematică asupra teoremei se bazează pe simplitatea, frumusețea și semnificația acesteia;

b) timp de multe secole, teorema lui Pitagora a servit drept imbold pentru descoperiri matematice interesante și importante (teorema lui Fermat, teoria relativității a lui Einstein);

V) Teorema lui Pitagora - este întruchiparea limbajului universal al matematicii, valabil în întreaga lume;

G) domeniul de aplicare al teoremei este destul de extins și, în general, nu poate fi indicat cu suficientă completitudine;

d) secretele teoremei lui Pitagora continuă să excite umanitatea și, prin urmare, fiecăruia dintre noi i se oferă șansa de a fi implicat în descoperirea lor.

Bibliografie

„Uspekhi Matematicheskikh Nauk”, 1962, vol. 17, nr. 6 (108).

Alexander Danilovici Alexandrov (la cea de-a 50-a aniversare),

Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Geometrie, 10 - 11 celule. - M.: Educație, 1992.

Atanasyan L.S. si altele.Geometrie, 10 - 11 celule. - M.: Educație, 1992.

Vladimirov Yu.S. Spațiu - timp: dimensiuni explicite și ascunse. - M.: „Știință”, 1989.

Voloshin A.V. Pitagora. - M.: Educaţie, 1993.

Ziarul „Matematică”, nr. 21, 2006.

Ziarul „Matematică”, nr. 28, 1995.

Geometrie: manual. Pentru clasele 7 - 11. gimnaziu/ G.P. Bevz, V.G. Bevz, N.G. Vladimirova. - M.: Educație, 1992.

Geometrie: manual pentru clasele 7 - 9. educatie generala Institutii/ L.S. Atanasyan, V.F. Butozov, S.B. Kadomtsev și colab. - a 6-a ed. - M.: Educaţie, 1996.

Glazer G.I. Istoria matematicii la scoala: clasele IX - X. Manual pentru profesori. - M.: Educație, 1983.

Capitole suplimentare pentru manualul școlar de clasa a VIII-a: Manual pentru elevi. si clase avansate studiat matematică / L.S. Atanasyan, V.F. Butozov, S.B. Kadomtsev și colab. - M.: Educație, 1996.

Yelensky Shch.Pe urmele lui Pitagora. M., 1961.

Kiselev A.P., Rybkin N.A. Geometrie: Planimetrie: 7 - 9 clase: Manual și carte de probleme. - M.: Dropia, 1995.

Klein M. Matematică. Caută adevăr: traducere din engleză. / Ed. și prefață IN SI. Arshinova, Yu.V. Sachkova. - M.: Mir, 1998.

Liturman V. Teorema lui Pitagora. - M., 1960.

Matematică: Manual pentru școlari și elevi / B. Frank și colab.; Traducere cu el. - Ed. a III-a, stereotip. - M.: Dropia, 2003.

Peltuer A. Cine ești tu Pitagora? - M.: Cunoașterea este putere, nr. 12, 1994.

Perelman Ya. I. Matematică distractivă. - M.: „Știință”, 1976.

Ponomareva T.D. Mari oameni de știință. - M.: Editura Astrel SRL, 2002.

Sveshnikova A. Călătorie în istoria matematicii. - M., 1995.

Semenov E.E. Studierea geometriei: carte. Pentru elevii claselor 6-8. media școlară - M.: Educaţie, 1987.

Smyshlyaev V.K. Despre matematică și matematicieni. - Editura Mari Book, 1977.

Tuchnin N.P. Cum să pui o întrebare. - M.: Educaţie, 1993.

Cherkasov O.Yu. Planimetrie la examenul de admitere. - M.: Liceul din Moscova, 1996.

Dicționar enciclopedic al unui tânăr matematician. Comp. A.P. Savin. - M.: Pedagogie, 1985.

Enciclopedie pentru copii. T. 11. Matematică. /Capitol Ed. M.D. Aksenov. - M.: Avanta +, 2001.