Expresii, conversie de expresii

Cum să te eliberezi de iraționalitate în numitor? Metode, exemple, soluții

În clasa a VIII-a, în timpul orelor de algebră, în cadrul transformării temei a expresiilor iraționale, o conversație se îndreaptă spre eliberarea de iraţionalitate în numitorul unei fracţii. În acest articol vom analiza ce fel de transformare este aceasta, vom lua în considerare ce acțiuni vă permit să vă eliberați de iraționalitate în numitorul unei fracții și vom oferi soluții la exemple tipice cu explicații detaliate.

Navigare în pagină.

Ce înseamnă să te eliberezi de iraționalitate în numitorul unei fracții?

Mai întâi trebuie să înțelegeți ce este iraționalitatea în numitor și ce înseamnă să vă eliberați de iraționalitate în numitorul unei fracții. Informațiile din manualele școlare ne vor ajuta în acest sens. Următoarele puncte merită atenție.

Când notația unei fracții conține un semn rădăcină (radical) la numitor, atunci se spune că numitorul conține iraţionalitate. Acest lucru se datorează probabil faptului că numerele scrise folosind semne rădăcină sunt adesea . Ca exemplu, dăm fracțiile , , , evident, numitorii fiecăruia dintre ele conțin semnul rădăcinii, și deci iraționalitate. În liceu este inevitabil întâlnirea de fracții a căror iraționalitate în numitorii cărora este introdusă nu numai de semnele rădăcinilor pătrate, ci și de semnele rădăcinilor cubice, rădăcinii a patra etc. Iată exemple de astfel de fracții: , .

Având în vedere informațiile furnizate și sensul cuvântului „gratuit”, următoarea definiție este foarte firească:

Definiție.

Eliberarea de iraționalitate în numitorul unei fracții este o transformare în care o fracție cu o iraționalitate în numitor este înlocuită cu o fracție identic egală care nu conține semne rădăcină în numitor.

Poți auzi adesea oamenii spunând să nu se elibereze, ci să scape de iraționalitatea din numitorul fracției. Sensul nu se schimbă.

De exemplu, dacă trecem de la o fracție la o fracție a cărei valoare este egală cu valoarea fracției inițiale și al cărei numitor nu conține semnul rădăcinii, atunci putem afirma că ne-am eliberat de iraționalitate în numitorul lui. fracția. Un alt exemplu: înlocuirea unei fracții cu o fracție identică există o eliberare de iraționalitate în numitorul fracției.

Deci, informațiile inițiale au fost primite. Rămâne să aflăm ce trebuie făcut pentru a ne elibera de iraționalitate în numitorul fracției.

Modalități de a te elibera de iraționalitate, exemple

De obicei, pentru a scăpa de iraționalitate, două sunt folosite la numitorul unei fracții. conversii de fracții: Înmulțirea numărătorului și numitorului cu un număr sau expresie diferit de zero și transformarea expresiei în numitor. Mai jos ne vom uita la modul în care aceste conversii de fracții sunt utilizate în moduri de bază pentru a elimina iraționalitatea de la numitorul unei fracții. Să atingem următoarele cazuri.

În cele mai simple cazuri, este suficient să transformăm expresia în numitor. Un exemplu este o fracție al cărei numitor este rădăcina lui nouă. În acest caz, înlocuirea lui cu valoarea 3 eliberează numitorul de iraționalitate.

În cazuri mai complexe, trebuie mai întâi să înmulțiți numărătorul și numitorul fracției cu un număr sau expresie diferită de zero, care ulterior vă permite să convertiți numitorul fracției într-o formă care nu conține semne radicale. De exemplu, după înmulțirea numărătorului și numitorului unei fracții cu , fracția ia forma , iar apoi expresia din numitor poate fi înlocuită cu o expresie fără semne a rădăcinilor x+1. Astfel, după ce s-a eliberat de iraționalitate în numitor, fracția ia forma .

Dacă vorbim despre cazul general, atunci pentru a scăpa de iraționalitatea în numitorul unei fracții, trebuie să apelăm la diverse transformări permise, uneori destul de specifice.

Și acum în detaliu.

Transformarea unei expresii la numitorul unei fracții

După cum sa menționat deja, o modalitate de a scăpa de iraționalitatea în numitorul unei fracții este transformarea numitorului. Să ne uităm la soluțiile exemplelor.

Exemplu.

Scapă de iraționalitatea la numitorul unei fracții .

Soluţie.

Deschizând parantezele din numitor, ajungem la expresie . Apoi vă permit să treceți la fracții . După ce am calculat valorile sub semnele rădăcinilor, avem . Evident, în expresia rezultată este posibil, ceea ce dă o fracție egală cu 1/16. Așa am scăpat de iraționalitatea la numitor.

De obicei, soluția este scrisă pe scurt, fără explicații, deoarece acțiunile efectuate sunt destul de simple:

Răspuns:

.

Exemplu.

Soluţie.

Când am vorbit despre transformarea expresiilor iraționale folosind proprietățile rădăcinilor, am observat că pentru orice expresie A cu n par (în cazul nostru n=2) expresia poate fi înlocuită cu expresia |A| pe întregul ODZ al variabilelor pentru expresia originală. Prin urmare, puteți efectua următoarea transformare a unei fracții date: , care ne eliberează de iraționalitate în numitor.

Răspuns:

.

Înmulțirea numărătorului și numitorului cu rădăcina

Când expresia din numitorul unei fracții are forma , unde expresia A nu conține semne ale rădăcinilor, atunci înmulțirea numărătorului și a numitorului cu vă permite să scăpați de iraționalitatea în numitor. Această acțiune este posibilă deoarece nu dispare pe variabilele pentru expresia originală. În acest caz, numitorul produce o expresie care poate fi ușor convertită într-o formă fără semne radicale: . Să demonstrăm aplicarea acestei abordări cu exemple.

Exemplu.

Eliberați-vă de iraționalitate în numitorul fracției: a) , b) .

Soluţie.

a) Înmulțind numărătorul și numitorul fracției cu rădăcina pătrată a lui trei, obținem .

b) Pentru a scăpa de semnul rădăcinii pătrate la numitor, înmulțiți numărătorul și numitorul fracției cu , apoi efectuați transformări la numitor:

Răspuns:

a), b) .

În cazul în care numitorul conține factori sau , unde m și n sunt numere naturale, numărătorul și numitorul trebuie înmulțiți cu un astfel de factor, astfel încât după aceasta expresia din numitor să poată fi convertită în forma sau , unde k este respectiv un număr natural. Atunci este ușor să treceți la o fracție fără iraționalitate în numitor. Să demonstrăm aplicarea metodei descrise de a scăpa de iraționalitate în numitor folosind exemple.

Exemplu.

Eliberați-vă de iraționalitate în numitorul fracției: a) , b) .

Soluţie.

a) Cel mai apropiat număr natural mai mare de 3 și divizibil cu 5 este 5. Pentru ca exponentul lui șase să devină egal cu cinci, expresia din numitor trebuie înmulțită cu. În consecință, eliberarea de iraționalitate în numitorul unei fracții va fi facilitată de expresia prin care trebuie înmulțit numărătorul și numitorul:

b) Evident, cel mai apropiat număr natural care depășește 15 și este divizibil cu 4 fără rest este 16. Pentru ca exponentul din numitor să devină egal cu 16, trebuie să înmulțiți expresia de acolo cu. Astfel, înmulțirea numărătorului și numitorului fracției originale cu (rețineți, valoarea acestei expresii nu este egală cu zero pentru orice x real) va scăpa de iraționalitatea din numitor:

Răspuns:

A) , b) .

Înmulțirea cu conjugatul său

Următoarea metodă de a scăpa de iraționalitatea în numitorul unei fracții acoperă cazurile în care numitorul conține expresii de forma , , , sau . În aceste cazuri, pentru a te elibera de iraționalitate în numitorul fracției, trebuie să înmulțiți numărătorul și numitorul fracției cu așa-numitul expresie conjugată.

Rămâne să aflăm ce expresii sunt conjugate cu cele de mai sus. Pentru o expresie, expresia conjugată este , iar pentru o expresie, expresia conjugată este . În mod similar, pentru o expresie conjugatul este , iar pentru o expresie conjugatul este . Iar pentru o expresie conjugatul este , iar pentru o expresie conjugatul este . Deci, expresia conjugată la această expresie diferă de aceasta prin semnul din fața celui de-al doilea termen.

Să vedem ce rezultă înmulțirea unei expresii cu conjugatul ei. De exemplu, luați în considerare munca . Poate fi înlocuită cu diferența de pătrate, adică , de unde putem trece apoi la expresia a−b, care nu conține semne ale rădăcinilor.

Acum devine clar cum înmulțirea numărătorului și numitorului unei fracții cu expresia conjugată la numitor vă permite să vă eliberați de iraționalitate în numitorul fracției. Să ne uităm la soluții la exemple tipice.

Exemplu.

Imaginează-ți expresia ca o fracție al cărei numitor nu conține un radical: a) , b) .

Soluţie.

a) Expresia conjugată la numitor este . Să înmulțim numărătorul și numitorul cu el, ceea ce ne va permite să ne eliberăm de iraționalitate în numitorul fracției:

b) Conjugatul expresiei este . Înmulțind numărătorul și numitorul cu el, obținem

A fost posibil să eliminați mai întâi semnul minus de la numitor și numai după aceea să înmulțiți numărătorul și numitorul cu expresia conjugată la numitor:

Răspuns:

A) , b) .

Vă rugăm să rețineți: atunci când înmulțiți numărătorul și numitorul unei fracții cu o expresie cu variabile conjugate la numitor, trebuie avut grijă ca acesta să nu dispară pentru niciun set de valori ale variabilelor din ODZ pentru expresia originală.

Exemplu.

Eliberați-vă de iraționalitate în numitorul unei fracții.

Soluţie.

Mai întâi, să găsim intervalul de valori admisibile (APV) ale variabilei x. Este determinată de condițiile x≥0 și , din care concluzionăm că ODZ este mulțimea x≥0.

Expresia conjugată la numitor este . Putem înmulți numărătorul și numitorul fracției cu acesta, cu condiția ca , care pe ODZ este echivalent cu condiția x≠16. În acest caz avem

Și la x=16 avem .

Astfel, pentru toate valorile variabilei x din ODZ, cu excepția x=16, , iar pentru x=16 avem .

Răspuns:

Folosind formulele sumei cuburilor și diferenței de cuburi

Din paragraful anterior, am aflat că înmulțirea numărătorului și numitorului unei fracții cu expresia conjugată la numitor se efectuează pentru a aplica ulterior formula diferenței de pătrate și astfel ne eliberăm de iraționalitatea la numitor. În unele cazuri, alte formule de înmulțire prescurtate sunt utile pentru a scăpa de iraționalitatea la numitor. De exemplu, formula pentru diferența de cuburi a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+b 2) vă permite să scăpați de iraționalitate atunci când numitorul unei fracții conține expresii cu rădăcini cubice de forma sau , unde A și B sunt niște numere sau expresii. Pentru a face acest lucru, numărătorul și numitorul fracției sunt înmulțite cu pătratul parțial al sumei sau, respectiv, prin diferență. Formula pentru suma cuburilor este folosită în același mod. a 3 +b 3 =(a+b)·(a 2 −a·b+b 2).

Exemplu.

Eliberați-vă de iraționalitate în numitorul fracției: a) , b) .

Soluţie.

a) Este ușor de ghicit că în acest caz, înmulțirea numărătorului și numitorului cu pătratul incomplet al sumei numerelor și vă permite să vă eliberați de iraționalitatea la numitor, deoarece în viitor acest lucru vă va permite să transformați expresia în numitor folosind formula diferenței de cuburi:

b) Exprimarea în numitorul fracției poate fi reprezentat sub formă , din care se vede clar că acesta este un pătrat incomplet al diferenței dintre numerele 2 și . Astfel, dacă numărătorul și numitorul unei fracții sunt înmulțite cu suma, atunci numitorul poate fi convertit folosind formula sumei cuburilor, care ne va elibera de iraționalitate în numitorul fracției. Acest lucru se poate face cu condiția care este echivalentă cu condiția suplimentară x≠−8:

Și când înlocuim x=−8 în fracția originală avem .

Astfel, pentru tot x din ODZ pentru fracția originală (în acest caz aceasta este mulțimea R), cu excepția x=−8, avem , iar pentru x=8 avem .

Răspuns:

Folosind diferite metode

În exemplele mai complexe, de obicei, nu este posibil să te eliberezi de iraționalitatea la numitor într-o singură acțiune, dar trebuie să aplici constant metodă după metodă, inclusiv pe cele discutate mai sus. Uneori pot fi necesare unele soluții non-standard. Sarcini destul de interesante pe tema în discuție pot fi găsite în manualul scris de Yu. N. Kolyagin. Bibliografie.

1. Algebră: manual pentru clasa a VIII-a. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editat de S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M.: Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
2. Mordkovich A.G. Algebră. clasa a 8-a. În 2 ore.Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ general / A. G. Mordkovich. - Ed. a XI-a, șters. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
3. Algebrăși începutul analizei matematice. Clasa a X-a: manual. pentru învăţământul general instituţii: de bază şi de profil. niveluri / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; editat de A. B. Jiţcenko. - Ed. a 3-a. - M.: Educație, 2010.- 368 p. : ill. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Danny Peric Campana

O altă carte interesantă pentru școlari interesați de, din păcate, netradusă în limba rusă, este cartea „Aventurile matematice ale lui Daniel” (Las Aventuras Matemáticas de Daniel) a profesorului chilian de matematică Danny Perich Campana, o persoană foarte extraordinară și interesantă. Nu numai că predă copii, dar scrie și cântece și postează pe internet diverse materiale educaționale despre matematică. Acestea pot fi găsite pe YouTube și pe site-ul http://www.sectormatematica.cl/ (desigur, toate materialele sunt în spaniolă).

Aici postez un capitol din cartea lui Danni Peric. Mi s-a părut destul de interesant și util pentru școlari. Ca să fie clar despre ce vorbim, voi spune că Daniel și Camila lucrează la școală, sunt profesori.

Secretul de a scăpa de iraționalitate

„Camila, am multe probleme acum când încerc să explic de ce se folosește ceea ce trecem în clasă”, a spus Daniel.

- Nu prea înțeleg despre ce vorbești.

— Vorbesc despre ceea ce este în toate manualele școlare și chiar în cărțile de nivel universitar. Încă mai am îndoieli: de ce trebuie să scapi de iraționalitatea din numitor? Și urăsc să le spun oamenilor ceea ce nu am înțeles de atâta timp”, s-a plâns Daniel.

„De asemenea, nu știu de unde vine acest lucru și de ce este necesar, dar trebuie să existe o explicație logică pentru asta.

— Am citit odată într-un jurnal științific că a scăpa de iraționalitatea din numitor vă permite să obțineți rezultatul cu o mai mare acuratețe, dar nu am mai văzut asta și nu sunt sigur că este adevărat.

- De ce nu o verificăm? - a întrebat Camila.

— Ai dreptate, aprobă Daniel. — În loc să vă plângeți, ar trebui să încercați să trageți propriile concluzii. Atunci ajuta-ma...

- Desigur, acum sunt interesat de asta.

„Trebuie să luăm câteva expresii și să scăpăm de iraționalitatea din numitor, apoi să înlocuim rădăcina cu valoarea ei și să găsim rezultatul expresiei înainte și după ce scăpăm de iraționalitatea din numitor și să vedem dacă se schimbă ceva.”

— Desigur, a fost de acord Camila. - Hai să facem asta.

„Luați, de exemplu, expresia”, a spus Daniel și a luat o bucată de hârtie pentru a nota ce se întâmpla. - Înmulțiți numărătorul și numitorul cu și obțineți .

„Va fi corect și ne poate ajuta să tragem concluzii dacă luăm în considerare alte expresii iraționale egale cu aceasta”, a sugerat Camila.

„Sunt de acord”, a spus Daniel, „voi împărți numărătorul și numitorul cu , iar tu le înmulți cu ”.

- Am reușit . Și tu?

„Am”, a răspuns Daniel. - Acum să calculăm expresia originală și pe cele rezultate, înlocuind-o cu valoarea ei cu toate zecimale pe care le oferă calculatorul. Primim:

„Nu văd nimic special”, a spus Camila. „Mă așteptam la un fel de diferență care să justifice scăparea de iraționalitate.”

„După cum v-am spus deja, am citit odată despre asta în legătură cu abordarea. Ce ziceți dacă îl înlocuim cu un număr mai puțin precis, cum ar fi?

- Să încercăm să vedem ce se întâmplă.

Rezolvarea ecuațiilor cu fracții Să ne uităm la exemple. Exemplele sunt simple și ilustrative. Cu ajutorul lor, vei putea înțelege în cel mai înțeles mod.
De exemplu, trebuie să rezolvați ecuația simplă x/b + c = d.

O ecuație de acest tip se numește liniară, deoarece Numitorul conține doar numere.

Rezolvarea se realizează prin înmulțirea ambelor părți ale ecuației cu b, apoi ecuația ia forma x = b*(d – c), adică. numitorul fracției din partea stângă se anulează.

De exemplu, cum se rezolvă o ecuație fracțională:
x/5+4=9
Înmulțim ambele părți cu 5. Obținem:
x+20=45
x=45-20=25

Un alt exemplu când necunoscutul este la numitor:

Ecuațiile de acest tip se numesc fracțional-rațional sau pur și simplu fracțional.

Am rezolva o ecuație fracțională scăpând de fracții, după care această ecuație, cel mai adesea, se transformă într-o ecuație liniară sau pătratică, care se rezolvă în mod obișnuit. Trebuie doar să luați în considerare următoarele puncte:

• valoarea unei variabile care transformă numitorul la 0 nu poate fi o rădăcină;
• Nu puteți împărți sau înmulți o ecuație cu expresia =0.

Aici intră în vigoare conceptul de regiune a valorilor permise (ADV) - acestea sunt valorile rădăcinilor ecuației pentru care ecuația are sens.

Astfel, atunci când rezolvați ecuația, este necesar să găsiți rădăcinile și apoi să le verificați pentru conformitatea cu ODZ. Sunt excluse din răspuns acele rădăcini care nu corespund ODZ-ului nostru.

De exemplu, trebuie să rezolvați o ecuație fracțională:

Pe baza regulii de mai sus, x nu poate fi = 0, i.e. ODZ în acest caz: x – orice valoare, alta decât zero.

Scăpăm de numitor înmulțind toți termenii ecuației cu x

Și rezolvăm ecuația obișnuită

5x – 2x = 1
3x = 1
x = 1/3

Răspuns: x = 1/3

Să rezolvăm o ecuație mai complicată:

ODZ este prezent și aici: x -2.

Când rezolvăm această ecuație, nu vom muta totul într-o parte și vom aduce fracțiile la un numitor comun. Vom înmulți imediat ambele părți ale ecuației cu o expresie care va anula toți numitorii simultan.

Pentru a reduce numitorii, trebuie să înmulțiți partea stângă cu x+2 și partea dreaptă cu 2. Aceasta înseamnă că ambele părți ale ecuației trebuie înmulțite cu 2(x+2):

Aceasta este cea mai comună înmulțire a fracțiilor, despre care am discutat deja mai sus.

Să scriem aceeași ecuație, dar ușor diferit

Partea stângă se reduce cu (x+2), iar cea dreaptă cu 2. După reducere, obținem ecuația liniară obișnuită:

x = 4 – 2 = 2, care corespunde ODZ-ului nostru

Răspuns: x = 2.

Rezolvarea ecuațiilor cu fracții nu atât de dificil pe cât ar părea. În acest articol am arătat acest lucru cu exemple. Dacă aveți dificultăți cu cum se rezolvă ecuații cu fracții, apoi dezabonează-te în comentarii.

În acest subiect vom lua în considerare toate cele trei grupuri de limite cu iraționalitate enumerate mai sus. Să începem cu limitele care conțin incertitudinea de forma $\frac(0)(0)$.

Dezvăluirea incertitudinii $\frac(0)(0)$.

Soluția la exemplele standard de acest tip constă de obicei din doi pași:

• Scăpăm de iraționalitatea care a cauzat incertitudinea prin înmulțirea prin așa-numita expresie „conjugată”;
• Dacă este necesar, factorizați expresia în numărător sau numitor (sau ambele);
• Reducem factorii care duc la incertitudine și calculăm valoarea dorită a limitei.

Termenul "expresie conjugată" folosit mai sus va fi explicat în detaliu în exemple. Deocamdată nu există niciun motiv să ne oprim în detaliu. În general, poți merge pe altă cale, fără a folosi expresia conjugată. Uneori, un înlocuitor bine ales poate elimina iraționalitatea. Astfel de exemple sunt rare în testele standard, așa că vom lua în considerare doar un exemplu nr. 6 pentru utilizarea înlocuirii (a se vedea a doua parte a acestui subiect).

Vom avea nevoie de mai multe formule, pe care le voi scrie mai jos:

\begin(equation) a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b) \end(equation) \begin(equation) a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2 +ab+b^2) \end(equation) \begin(equation) a^3+b^3=(a+b)\cdot(a^2-ab+b^2) \end(equation) \begin (ecuație) a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end(equation)

În plus, presupunem că cititorul cunoaște formulele de rezolvare a ecuațiilor pătratice. Dacă $x_1$ și $x_2$ sunt rădăcinile trinomului pătratic $ax^2+bx+c$, atunci acesta poate fi factorizat folosind următoarea formulă:

\begin(equation) ax^2+bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2) \end(equation)

Formulele (1)-(5) sunt destul de suficiente pentru rezolvarea problemelor standard, la care vom trece acum.

Exemplul nr. 1

Găsiți $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$.

Deoarece $\lim_(x\to 3)(\sqrt(7-x)-2)=\sqrt(7-3)-2=\sqrt(4)-2=0$ și $\lim_(x\ to 3) (x-3)=3-3=0$, atunci în limita dată avem o incertitudine de forma $\frac(0)(0)$. Diferența $\sqrt(7-x)-2$ ne împiedică să dezvăluim această incertitudine. Pentru a scăpa de astfel de iraționalități, se folosește înmulțirea prin așa-numita „expresie conjugată”. Acum ne vom uita la modul în care funcționează o astfel de înmulțire. Înmulțiți $\sqrt(7-x)-2$ cu $\sqrt(7-x)+2$:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)$$

Pentru a deschide parantezele, aplicați , înlocuind $a=\sqrt(7-x)$, $b=2$ în partea dreaptă a formulei menționate:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=(\sqrt(7-x))^2-2^2=7-x-4=3-x .$$

După cum puteți vedea, dacă înmulțiți numărătorul cu $\sqrt(7-x)+2$, atunci rădăcina (adică iraționalitatea) din numărător va dispărea. Această expresie $\sqrt(7-x)+2$ va fi conjuga la expresia $\sqrt(7-x)-2$. Totuși, nu putem înmulți pur și simplu numărătorul cu $\sqrt(7-x)+2$, deoarece acest lucru va schimba fracția $\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$, care este sub limita . Trebuie să înmulțiți atât numărătorul, cât și numitorul în același timp:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)= \left|\frac(0)(0)\right|=\lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2)) $$

Acum amintiți-vă că $(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=3-x$ și deschideți parantezele. Și după deschiderea parantezelor și o mică transformare $3-x=-(x-3)$, reducem fracția cu $x-3$:

$$ \lim_(x\la 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt( 7-x)+2))= \lim_(x\la 3)\frac(3-x)((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))=\\ =\lim_ (x\la 3)\frac(-(x-3))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))= \lim_(x\la 3)\frac(-1 )(\sqrt(7-x)+2) $$

Incertitudinea $\frac(0)(0)$ a dispărut. Acum puteți obține cu ușurință răspunsul la acest exemplu:

$$ \lim_(x\la 3)\frac(-1)(\sqrt(7-x)+2)=\frac(-1)(\sqrt(7-3)+2)=-\frac( 1)(\sqrt(4)+2)=-\frac(1)(4).$$

Observ că expresia conjugată își poate schimba structura, în funcție de ce fel de iraționalitate ar trebui să înlăture. În exemplele nr. 4 și nr. 5 (vezi a doua parte a acestui subiect) va fi folosit un tip diferit de expresie conjugată.

Răspuns: $\lim_(x\la 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)=-\frac(1)(4)$.

Exemplul nr. 2

Găsiți $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$.

Deoarece $\lim_(x\to 2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\sqrt(2^2+5)-\sqrt(7\cdot 2 ^ 2-19)=3-3=0$ și $\lim_(x\to 2)(3x^2-5x-2)=3\cdot2^2-5\cdot 2-2=0$, atunci vom au de-a face cu incertitudinea de forma $\frac(0)(0)$. Să scăpăm de iraționalitatea din numitorul acestei fracții. Pentru a face acest lucru, adăugăm atât numărătorul, cât și numitorul fracției $\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$ la expresia $\sqrt(x^ 2+5)+\sqrt(7x^2-19)$ conjugată la numitor:

$$ \lim_(x\la 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\left|\frac(0 )(0)\right|= \lim_(x\la 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) ((\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) $$

Din nou, ca în exemplul nr. 1, trebuie să folosiți paranteze pentru a extinde. Înlocuind $a=\sqrt(x^2+5)$, $b=\sqrt(7x^2-19)$ în partea dreaptă a formulei menționate, obținem următoarea expresie pentru numitor:

$$ \left(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19)\right)\left(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)\ dreapta)=\\ =\stânga(\sqrt(x^2+5)\dreapta)^2-\stânga(\sqrt(7x^2-19)\dreapta)^2=x^2+5-(7x ^2-19)=-6x^2+24=-6\cdot(x^2-4) $$

Să revenim la limita noastră:

$$ \lim_(x\la 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((\sqrt(x) ^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))= \lim_(x\to 2)\frac( (3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(-6\cdot(x^2-4))=\\ =-\ frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x^2-4) $$

În exemplul nr. 1, aproape imediat după înmulțire cu expresia conjugată, fracția a fost redusă. Aici, înainte de reducere, va trebui să factorizați expresiile $3x^2-5x-2$ și $x^2-4$ și abia apoi să treceți la reducere. Pentru a factoriza expresia $3x^2-5x-2$ trebuie să utilizați . Mai întâi, să rezolvăm ecuația pătratică $3x^2-5x-2=0$:

$$ 3x^2-5x-2=0\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49;\\ & x_1=\ frac(-(-5)-\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5-7)(6)=-\frac(2)(6)=-\frac(1)(3) ;\\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2. \end(aliniat) $$

Înlocuind $x_1=-\frac(1)(3)$, $x_2=2$ în , vom avea:

$$ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)(x-2)=3\cdot\left(x+\ frac(1)(3)\right)(x-2)=\left(3\cdot x+3\cdot\frac(1)(3)\right)(x-2) =(3x+1)( x-2). $$

Acum este timpul să factorizezi expresia $x^2-4$. Să folosim , înlocuind $a=x$, $b=2$ în el:

$$ x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2) $$

Să folosim rezultatele obținute. Deoarece $x^2-4=(x-2)(x+2)$ și $3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$, atunci:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2) -19)))(x^2-4) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x ^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((x-2)(x+2)) $$

Reducand cu paranteza $x-2$ obtinem:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^ 2-19)))((x-2)(x+2)) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt( x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(x+2). $$

Toate! Incertitudinea a dispărut. Încă un pas și ajungem la răspuns:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x+2)=\\ =-\frac(1)(6)\cdot\frac((3\cdot 2+1)(\sqrt(2^2+5)+\sqrt(7\cdot 2) ^2-19)))(2+2)= -\frac(1)(6)\cdot\frac(7(3+3))(4)=-\frac(7)(4). $$

Răspuns: $\lim_(x\la 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=-\frac(7)( 4) $.

În exemplul următor, luați în considerare cazul în care iraționalitățile vor fi prezente atât în ​​numărător, cât și în numitorul fracției.

Exemplul nr. 3

Găsiți $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9) ))$.

Deoarece $\lim_(x\la 5)(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))=\sqrt(9)-\sqrt(9)=0$ și $\lim_( x \to 5)(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9))=\sqrt(16)-\sqrt(16)=0$, atunci avem o incertitudine de forma $ \frac (0)(0)$. Deoarece în acest caz rădăcinile sunt prezente atât la numitor, cât și la numărător, pentru a scăpa de incertitudine va trebui să înmulțiți cu două paranteze deodată. Mai întâi, la expresia $\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)$ se conjugă la numărător. Și în al doilea rând, la expresia $\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9)$ conjugată la numitor.

$$ \lim_(x\la 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9) ))=\left|\frac(0)(0)\right|=\\ =\lim_(x\to 5)\frac((\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16) )(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((\sqrt(x^2) -3x+6)-\sqrt(5x-9))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9))(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2 -16))) $$ $$ -x^2+x+20=0;\\ \begin(aligned) & D=1^2-4\cdot(-1)\cdot 20=81;\\ & x_1=\frac(-1-\sqrt(81))(-2)=\frac(-10)(-2)=5;\\ & x_2=\frac(-1+\sqrt(81))( -2)=\frac(8)(-2)=-4. \end(aliniat) \\ -x^2+x+20=-1\cdot(x-5)(x-(-4))=-(x-5)(x+4). $$

Pentru expresia $x^2-8x+15$ obținem:

$$ x^2-8x+15=0;\\ \begin(aligned) & D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=4;\\ & x_1=\frac(-(- 8)-\sqrt(4))(2)=\frac(6)(2)=3;\\ & x_2=\frac(-(-8)+\sqrt(4))(2)=\frac (10)(2)=5. \end(aliniat)\\ x^2+8x+15=1\cdot(x-3)(x-5)=(x-3)(x-5). $$

Înlocuind expansiunile rezultate $-x^2+x+20=-(x-5)(x+4)$ și $x^2+8x+15=(x-3)(x-5)$ în limită luat în considerare, va avea:

$$ \lim_(x\la 5)\frac((-x^2+x+20)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x^2) -8x+15)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \lim_(x\to 5)\frac(-(x-5)(x+4)(\ sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3)(x-5)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)) )=\\ =\lim_(x\la 5)\frac(-(x+4)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3) (\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \frac(-(5+4)(\sqrt(5^2-3\cdot 5+6)+\sqrt(5 \cdot 5-9)))((5-3)(\sqrt(5+4)+\sqrt(5^2-16)))=-6. $$

Răspuns: $\lim_(x\la 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9) ))=-6$.

În următoarea (a doua) parte, vom lua în considerare câteva exemple în care expresia conjugată va avea o formă diferită decât în ​​problemele anterioare. Principalul lucru de reținut este că scopul utilizării unei expresii conjugate este de a scăpa de iraționalitatea care provoacă incertitudine.

Când studiem transformările unei expresii iraționale, o întrebare foarte importantă este cum să scapi de iraționalitate în numitorul unei fracții. Scopul acestui articol este de a explica această acțiune folosind exemple de probleme specifice. În primul paragraf ne vom uita la regulile de bază ale acestei transformări, iar în al doilea - exemple tipice cu explicații detaliate.

Conceptul de eliberare de iraționalitate în numitor

Să începem prin a explica care este sensul unei astfel de transformări. Pentru a face acest lucru, rețineți următoarele prevederi.

Putem vorbi despre iraționalitate în numitorul unei fracții dacă există un radical acolo, cunoscut și sub numele de semnul rădăcinii. Numerele scrise folosind acest semn sunt adesea iraționale. Exemplele ar fi 1 2, - 2 x + 3, x + y x - 2 · x · y + 1, 11 7 - 5. Fracțiile cu numitori iraționali le includ și pe cele care au semne de rădăcini de diferite grade (pătrat, cubic etc.), de exemplu, 3 4 3, 1 x + x · y 4 + y. Ar trebui să scăpați de iraționalitate pentru a simplifica expresia și pentru a facilita calculele ulterioare. Să formulăm definiția de bază:

Definiția 1

Eliberați-vă de iraționalitate în numitorul unei fracții- înseamnă transformarea lui prin înlocuirea lui cu o fracție identică egală, al cărei numitor nu conține rădăcini sau puteri.

O astfel de acțiune poate fi numită eliberare sau scăpare de iraționalitate, dar sensul rămâne același. Deci, trecerea de la 1 2 la 2 2, i.e. la o fracție cu valoare egală fără semn de rădăcină la numitor și va fi acțiunea de care avem nevoie. Să dăm un alt exemplu: avem o fracție x x - y. Să efectuăm transformările necesare și să obținem o fracție identic egală x · x + y x - y , eliberându-ne de iraționalitatea la numitor.

După formularea definiției, putem trece direct la studierea succesiunii de acțiuni care trebuie efectuate pentru o astfel de transformare.

Pași de bază pentru a scăpa de iraționalitatea în numitorul unei fracții

Pentru a scăpa de rădăcini, trebuie să efectuați două transformări succesive ale fracției: înmulțiți ambele părți ale fracției cu un număr diferit de zero și apoi transformați expresia obținută la numitor. Să luăm în considerare cazurile principale.

În cel mai simplu caz, te poți descurca transformând numitorul. De exemplu, putem lua o fracție cu un numitor egal cu rădăcina lui 9. După ce am calculat 9, scriem 3 la numitor și astfel scăpăm de iraționalitate.

Cu toate acestea, mult mai des este necesar să se înmulțească mai întâi numărătorul și numitorul cu un număr care va permite apoi aducerea numitorului la forma dorită (fără rădăcini). Deci, dacă înmulțim 1 x + 1 cu x + 1, obținem fracția x + 1 x + 1 x + 1 și putem înlocui expresia din numitorul său cu x + 1. Așa că am transformat 1 x + 1 în x + 1 x + 1, scăpând de iraționalitate.

Uneori, transformările pe care trebuie să le efectuați sunt destul de specifice. Să ne uităm la câteva exemple ilustrative.

Cum se transformă o expresie la numitorul unei fracții

După cum am spus, cel mai simplu mod de a face acest lucru este să convertiți numitorul.

Exemplul 1

Condiție: eliberați fracția 1 2 · 18 + 50 de iraționalitatea la numitor.

Soluţie

Mai întâi, să deschidem parantezele și să obținem expresia 1 2 18 + 2 50. Folosind proprietățile de bază ale rădăcinilor, trecem la expresia 1 2 18 + 2 50. Calculăm valorile ambelor expresii sub rădăcini și obținem 1 36 + 100. Aici puteți extrage deja rădăcinile. Ca rezultat, am obținut fracția 1 6 + 10, egală cu 1 16. Transformarea poate fi finalizată aici.

Să notăm progresul întregii soluții fără comentarii:

1 2 18 + 50 = 1 2 18 + 2 50 = 1 2 18 + 2 50 = 1 36 + 100 = 1 6 + 10 = 1 16

Răspuns: 1 2 18 + 50 = 1 16.

Exemplul 2

Condiție: dată fiind fracția 7 - x (x + 1) 2. Scapă de iraționalitatea la numitor.

Soluţie

Mai devreme în articolul dedicat transformărilor expresiilor iraționale folosind proprietățile rădăcinilor, am menționat că pentru orice A și chiar n putem înlocui expresia A n n cu | A | pe întregul interval de valori admisibile ale variabilelor. Prin urmare, în cazul nostru îl putem scrie astfel: 7 - x x + 1 2 = 7 - x x + 1. În acest fel ne-am eliberat de iraționalitatea în numitor.

Răspuns: 7 - x x + 1 2 = 7 - x x + 1.

A scăpa de iraționalitate prin înmulțirea cu rădăcină

Dacă numitorul unei fracții conține o expresie de forma A și expresia A în sine nu are semne de rădăcini, atunci ne putem elibera de iraționalitate prin simpla înmulțire a ambelor părți ale fracției originale cu A. Posibilitatea acestei acțiuni este determinată de faptul că A nu se va întoarce la 0 în intervalul de valori acceptabile. După înmulțire, numitorul va conține o expresie de forma A · A, care este ușor de scăpat de rădăcini: A · A = A 2 = A. Să vedem cum să aplicăm corect această metodă în practică.

Exemplul 3

Condiție: fracțiile date x 3 și - 1 x 2 + y - 4. Scapă de iraționalitatea din numitorii lor.

Soluţie

Să înmulțim prima fracție cu a doua rădăcină a lui 3. Obținem următoarele:

x 3 = x 3 3 3 = x 3 3 2 = x 3 3

În al doilea caz, trebuie să înmulțim cu x 2 + y - 4 și să transformăm expresia rezultată în numitor:

1 x 2 + y - 4 = - 1 x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 = = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 2 = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4

Răspuns: x 3 = x · 3 3 și - 1 x 2 + y - 4 = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 .

Dacă numitorul fracției inițiale conține expresii de forma A n m sau A m n (sub rezerva m și n natural), trebuie să alegem un factor astfel încât expresia rezultată să poată fi convertită în A n n k sau A n k n (sub rezerva naturalului). k) . După aceasta, va fi ușor să scapi de iraționalitate. Să ne uităm la acest exemplu.

Exemplul 4

Condiție: fracțiile date 7 6 3 5 și x x 2 + 1 4 15. Scapă de iraționalitatea în numitori.

Soluţie

Trebuie să luăm un număr natural care poate fi împărțit la cinci și trebuie să fie mai mare decât trei. Pentru ca exponentul 6 să devină egal cu 5, trebuie să înmulțim cu 6 2 5. Prin urmare, va trebui să înmulțim ambele părți ale fracției originale cu 6 2 5:

7 6 3 5 = 7 6 2 5 6 3 5 6 2 5 = 7 6 2 5 6 3 5 6 2 = 7 6 2 5 6 5 5 = 7 6 2 5 6 = 7 36 5 6

În al doilea caz, avem nevoie de un număr mai mare de 15, care poate fi împărțit la 4 fără rest. Luăm 16. Pentru a obține un astfel de exponent în numitor, trebuie să luăm x 2 + 1 4 ca factor. Să lămurim că valoarea acestei expresii nu va fi 0 în niciun caz. Calculam:

x x 2 + 1 4 15 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 15 x 2 + 1 4 = = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 16 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 4 4 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4

Răspuns: 7 6 3 5 = 7 · 36 5 6 și x x 2 + 1 4 15 = x · x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 .

A scăpa de iraționalitate prin înmulțirea prin expresia conjugată

Următoarea metodă este potrivită pentru acele cazuri în care numitorul fracției originale conține expresiile a + b, a - b, a + b, a - b, a + b, a - b. În astfel de cazuri, trebuie să luăm expresia conjugată ca factor. Să explicăm sensul acestui concept.

Pentru prima expresie a + b conjugatul va fi a - b, pentru a doua a - b – a + b. Pentru a + b – a - b, pentru a - b – a + b, pentru a + b – a - b și pentru a - b – a + b. Cu alte cuvinte, o expresie conjugată este o expresie în care semnul opus apare înaintea celui de-al doilea termen.

Să ne uităm la ce anume este această metodă. Să presupunem că avem un produs de forma a - b · a + b. Poate fi înlocuită cu diferența de pătrate a - b · a + b = a 2 - b 2, după care se trece la expresia a - b, lipsită de radicali. Astfel, ne-am eliberat de iraționalitate în numitorul fracției prin înmulțirea cu expresia conjugată. Să luăm câteva exemple ilustrative.

Exemplul 5

Condiție: scăpați de iraționalitatea din expresiile 3 7 - 3 și x - 5 - 2.

Soluţie

În primul caz, luăm expresia conjugată egală cu 7 + 3. Acum înmulțim ambele părți ale fracției inițiale cu ea:

3 7 - 3 = 3 7 + 3 7 - 3 7 + 3 = 3 7 + 3 7 2 - 3 2 = = 3 7 + 3 7 - 9 = 3 7 + 3 - 2 = - 3 7 + 3 2

În al doilea caz, avem nevoie de expresia - 5 + 2, care este conjugatul expresiei - 5 - 2. Înmulțiți numărătorul și numitorul cu el și obțineți:

x - 5 - 2 = x · - 5 + 2 - 5 - 2 · - 5 + 2 = = x · - 5 + 2 - 5 2 - 2 2 = x · - 5 + 2 5 - 2 = x · 2 - 5 3

De asemenea, este posibil să se efectueze o transformare înainte de a înmulți: dacă mai întâi eliminăm minusul de la numitor, va fi mai convenabil să calculăm:

x - 5 - 2 = - x 5 + 2 = - x 5 - 2 5 + 2 5 - 2 = = - x 5 - 2 5 2 - 2 2 = - x 5 - 2 5 - 2 = - x · 5 - 2 3 = = x · 2 - 5 3

Răspuns: 3 7 - 3 = - 3 7 + 3 2 și x - 5 - 2 = x 2 - 5 3.

Este important să acordați atenție faptului că expresia obținută ca urmare a înmulțirii nu se transformă în 0 pentru nicio variabilă din intervalul de valori acceptabile pentru această expresie.

Exemplul 6

Condiție: dată fiind fracția x x + 4. Transformați-l astfel încât să nu existe expresii iraționale în numitor.

Soluţie

Să începem prin a găsi intervalul de valori acceptabile pentru variabila x. Este definit de condițiile x ≥ 0 și x + 4 ≠ 0. Din ele putem concluziona că aria dorită este o mulțime x ≥ 0.

Conjugatul numitorului este x - 4 . Când ne putem înmulți cu ea? Numai dacă x - 4 ≠ 0. În intervalul de valori acceptabile, aceasta va fi echivalentă cu condiția x≠16. Ca rezultat, obținem următoarele:

x x + 4 = x x - 4 x + 4 x - 4 = = x x - 4 x 2 - 4 2 = x x - 4 x - 16

Dacă x este egal cu 16, atunci obținem:

x x + 4 = 16 16 + 4 = 16 4 + 4 = 2

Prin urmare, x x + 4 = x · x - 4 x - 16 pentru toate valorile lui x aparținând intervalului de valori acceptabile, cu excepția lui 16. La x = 16 obținem x x + 4 = 2.

Răspuns: x x + 4 = x · x - 4 x - 16 , x ∈ [ 0 , 16) ∪ (16 , + ∞) 2 , x = 16 .

Conversia fracțiilor cu iraționalitate în numitor folosind formulele sumei și diferenței de cuburi

În paragraful anterior, am înmulțit cu expresii conjugate pentru a folosi apoi formula pentru diferența de pătrate. Uneori, pentru a scăpa de iraționalitatea în numitor, este util să folosiți alte formule de înmulțire abreviate, de exemplu, diferența de cuburi a 3 − b 3 = (a − b) (a 2 + a b + b 2). Această formulă este convenabilă de utilizat dacă numitorul fracției originale conține expresii cu rădăcini de gradul trei de forma A 3 - B 3, A 3 2 + A 3 · B 3 + B 3 2. etc. Pentru ao aplica, trebuie să înmulțim numitorul fracției cu pătratul parțial al sumei A 3 2 + A 3 · B 3 + B 3 2 sau diferența A 3 - B 3. Formula sumei poate fi aplicată în același mod a 3 + b 3 = (a) (a 2 − a b + b 2).

Exemplul 7

Condiție: transformați fracțiile 1 7 3 - 2 3 și 3 4 - 2 · x 3 + x 2 3 astfel încât să scăpați de iraționalitatea din numitor.

Soluţie

Pentru prima fracție, trebuie să folosim metoda de înmulțire a ambelor părți cu pătratul parțial al sumei 7 3 și 2 3, deoarece apoi putem converti folosind formula diferenței de cuburi:

1 7 3 - 2 3 = 1 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 7 3 - 2 3 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 = = 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 7 3 3 - 2 3 3 = 7 2 3 + 7 2 3 + 2 2 3 7 - 2 = = 49 3 + 14 3 + 4 3 5

În a doua fracție reprezentăm numitorul ca 2 2 - 2 x 3 + x 3 2. Această expresie arată pătratul incomplet al diferenței 2 și x 3, ceea ce înseamnă că putem înmulți ambele părți ale fracției cu suma 2 + x 3 și putem folosi formula pentru suma cuburilor. Pentru a face acest lucru, trebuie îndeplinită condiția 2 + x 3 ≠ 0, echivalent cu x 3 ≠ - 2 și x ≠ − 8:

3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 3 2 2 - 2 x 3 + x 3 2 = = 3 2 + x 3 2 2 - 2 x 3 + x 3 2 2 + x 3 = 6 + 3 x 3 2 3 + x 3 3 = = 6 + 3 x 3 8 + x

Să înlocuim 8 în fracție și să găsim valoarea:

3 4 - 2 8 3 + 8 2 3 = 3 4 - 2 2 + 4 = 3 4

Să rezumam. Pentru toate x incluse în intervalul de valori ale fracției inițiale (setul R), cu excepția lui - 8, obținem 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 6 + 3 x 3 8 + x. Dacă x = 8, atunci 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 3 4.

Răspuns: 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 6 + 3 x 3 8 + x, x ≠ 8 3 4, x = - 8.

Aplicarea consecventă a diferitelor metode de conversie

Adesea, în practică, există exemple mai complexe când nu ne putem elibera de iraționalitatea la numitor folosind o singură metodă. Pentru ei, trebuie să efectuați în mod constant mai multe transformări sau să selectați soluții non-standard. Să luăm o astfel de problemă.

Exemplul N

Condiție: convertiți 5 7 4 - 2 4 pentru a scăpa de semnele rădăcinilor din numitor.

Soluţie

Să înmulțim ambele părți ale fracției originale cu expresia conjugată 7 4 + 2 4 cu o valoare diferită de zero. Obținem următoarele:

5 7 4 - 2 4 = 5 7 4 + 2 4 7 4 - 2 4 7 4 + 2 4 = = 5 7 4 + 2 4 7 4 2 - 2 4 2 = 5 7 4 + 2 4 7 - 2

Acum să folosim din nou aceeași metodă:

5 7 4 + 2 4 7 - 2 = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 7 - 2 7 + 2 = = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 7 2 - 2 2 = 5 7 4 + 7 4 7 + 2 7 - 2 = = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 5 = 7 4 + 2 4 7 + 2

Răspuns: 5 7 4 - 2 4 = 7 4 + 2 4 · 7 + 2.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter