Metoda de raționalizare vă permite să treceți de la inegalitățile care conțin exponențial complex, logaritmic etc. expresie, la inegalitatea sa rațională mai simplă echivalentă.

Prin urmare, înainte de a începe să vorbim despre raționalizarea în inegalități, să vorbim despre echivalență.

Echivalenţă

Echivalent sau echivalent se numesc ecuaţii (inegalităţi) ale căror seturi de rădăcini coincid. Ecuațiile (inegalitățile) care nu au rădăcini sunt de asemenea considerate echivalente.

Exemplul 1. Ecuațiile și sunt echivalente deoarece au aceleași rădăcini.

Exemplul 2. Ecuațiile și sunt, de asemenea, echivalente, deoarece soluția fiecăreia dintre ele este mulțimea goală.

Exemplul 3. Inegalitățile și sunt echivalente, deoarece soluția la ambele este mulțimea .

Exemplul 4.și – sunt inegale. Soluția celei de-a doua ecuații este doar 4, iar soluția primei este atât 4, cât și 2.

Exemplul 5. Inegalitatea este echivalentă cu inegalitatea, deoarece în ambele inegalități soluția este 6.

Adică, în aparență, inegalitățile (ecuațiile) echivalente pot fi foarte departe de a fi similare.

De fapt, când rezolvăm ecuații (inegalități) complexe, lungi, ca aceasta și obținem răspunsul, ceea ce avem în mâinile noastre nu este altceva decât o ecuație (inegalitate) echivalentă cu cea inițială. Aspectul este diferit, dar esența este aceeași!

Exemplul 6. Să ne amintim cum am rezolvat inegalitatea înainte de a se familiariza cu metoda intervalului. Am înlocuit inegalitatea inițială cu un set de două sisteme:

Adică, inegalitatea și ultimul agregat sunt echivalente unul cu celălalt.

De asemenea, am putea, având în mâinile noastre totalitatea

înlocuiți-l cu inegalitatea, care poate fi rezolvată în cel mai scurt timp prin metoda intervalului.

Ne-am apropiat de metoda de raționalizare a inegalităților logaritmice.

Metoda raționalizării în inegalități logaritmice

Să luăm în considerare inegalitatea.

Reprezentăm 4 ca logaritm:

Avem de-a face cu o bază variabilă a logaritmului, prin urmare, în funcție de faptul că baza logaritmului este mai mare decât 1 sau mai mică decât 1 (adică avem de-a face cu o funcție crescătoare sau descrescătoare), semnul inegalității va rămâne același sau schimbați în „”. Prin urmare, apare o combinație (unire) a două sisteme:

Dar, ATENTIE, acest sistem trebuie decis tinand cont de DL! Nu am încărcat în mod deliberat sistemul ODZ pentru ca ideea principală să nu se piardă.

Uite, acum ne vom rescrie sistemul astfel (vom muta totul în fiecare linie a inegalității la stânga):

Îți amintește asta de ceva? Prin analogie cu exemplu 6 Vom înlocui acest set de sisteme cu următoarea inegalitate:

După rezolvarea acestei inegalități pe ODZ, obținem o soluție a inegalității.

Să găsim mai întâi ODZ a inegalității originale:

Acum să decidem

Rezolvarea ultimei inegalități ținând cont de ODZ:

Deci, iată-l, acest tabel „magic”:

Rețineți că tabelul funcționează în condițiile respective

unde sunt funcțiile ,

– funcție sau număr,

- unul dintre semne

Rețineți, de asemenea, că al doilea și al treilea rând ale tabelului sunt consecințele primei. În a doua linie, 1 este reprezentat mai întâi ca , iar pe a treia linie, 0 este reprezentat ca .

Și alte câteva consecințe utile (sper că vă este ușor să înțelegeți de unde vin):

unde sunt funcțiile ,

– funcție sau număr,

- unul dintre semne

Metoda raționalizării în inegalități exponențiale

Să rezolvăm inegalitatea.

Rezolvarea inegalității inițiale este echivalentă cu rezolvarea inegalității

Răspuns: .

Tabel de raționalizare în inegalități exponențiale:

– funcții ale , – funcție sau număr, – unul dintre semne Tabelul funcționează sub condiția . De asemenea, în rândurile a treia, a patra – în plus –

Din nou, în esență, trebuie să vă amintiți primul și al treilea rând din tabel. A doua linie este un caz special al primei, iar a patra linie este un caz special al celei de-a treia.

Metoda raționalizării în inegalități care conțin un modul

Când lucrăm cu inegalități de tip , unde sunt funcții ale unei variabile, ne putem ghida după următoarele tranziții echivalente:

Să rezolvăm inegalitatea.”

A Aici sugerez si eu luați în considerare câteva exemple pe tema „Raționalizarea inegalităților”.

Secțiuni: Matematică

Adesea, atunci când se rezolvă inegalitățile logaritmice, există probleme cu o bază logaritmică variabilă. Astfel, o inegalitate a formei

este o inegalitate școlară standard. De regulă, pentru a o rezolva, se utilizează o tranziție la un set echivalent de sisteme:

Dezavantajul acestei metode este necesitatea de a rezolva șapte inegalități, fără a număra două sisteme și o populație. Deja cu aceste funcții pătratice, rezolvarea populației poate dura mult timp.

Este posibil să se propună o modalitate alternativă, mai puțin consumatoare de timp pentru a rezolva această inegalitate standard. Pentru a face acest lucru, luăm în considerare următoarea teoremă.

Teorema 1. Să existe o funcție crescătoare continuă pe o mulțime X. Atunci pe această mulțime semnul incrementului funcției va coincide cu semnul incrementului argumentului, adică. , Unde .

Notă: dacă o funcție descrescătoare continuă pe un set X, atunci .

Să revenim la inegalitate. Să trecem la logaritmul zecimal (puteți trece la oricare cu o bază constantă mai mare de unu).

Acum puteți folosi teorema, observând creșterea funcțiilor în numărător iar în numitor. Deci este adevărat

Ca rezultat, numărul de calcule care duc la răspuns este aproximativ la jumătate, ceea ce economisește nu numai timp, dar vă permite și să faceți mai puține erori aritmetice și neglijente.

Exemplul 1.

Comparând cu (1) găsim , , .

Trecând la (2) vom avea:

Exemplul 2.

Comparând cu (1) găsim , , .

Trecând la (2) vom avea:

Exemplul 3.

Deoarece partea stângă a inegalității este o funcție crescătoare ca și , atunci răspunsul va fi multe.

Numeroasele exemple în care Tema 1 poate fi aplicată pot fi extinse cu ușurință ținând cont de Tema 2.

Lasă pe platou X se definesc functiile , , , iar pe acest set semnele si coincid, i.e. , atunci va fi corect.

Exemplul 4.

Exemplul 5.

Cu abordarea standard, exemplul este rezolvat după următoarea schemă: produsul este mai mic decât zero atunci când factorii sunt de semne diferite. Acestea. se consideră un set de două sisteme de inegalități, în care, așa cum sa indicat la început, fiecare inegalitate se descompune în încă șapte.

Dacă luăm în considerare teorema 2, atunci fiecare dintre factori, ținând cont de (2), poate fi înlocuit cu o altă funcție care are același semn în acest exemplu O.D.Z.

Metoda de înlocuire a incrementului unei funcții cu un increment de argument, ținând cont de Teorema 2, se dovedește a fi foarte convenabilă atunci când rezolvăm probleme standard C3 Unified State Examination.

Exemplul 6.

Exemplul 7.

. Să notăm. Primim

. Rețineți că înlocuirea implică: . Revenind la ecuație, obținem .

Exemplul 8.

În teoremele pe care le folosim nu există restricții privind clasele de funcții. În acest articol, ca exemplu, teoremele au fost aplicate pentru rezolvarea inegalităților logaritmice. Următoarele câteva exemple vor demonstra promisiunea metodei de rezolvare a altor tipuri de inegalități.

Instituția de învățământ autonomă municipală „Școala secundară Iarkovskaya”

Proiect educațional

Rezolvarea inegalităților logaritmice folosind metoda raționalizării

MAOU „Școala secundară Iarkovskaya”

Shanskikh Daria

Șef: profesor de matematică

MAOU „Școala secundară Iarkovskaya”

Yarkovo 2013

1) Introducere………………………………………………………………….2

2) Partea principală……………………………………………………………………..3

3) Concluzie……………………………………………………..9

4) Lista referințelor…………….10

5) Aplicații…………………………………………………………………11-12

1. Introducere

Adesea, atunci când rezolvați sarcinile USE din partea „C”, și mai ales în sarcinile C3, întâlniți inegalități care conțin expresii logaritmice cu o necunoscută la baza logaritmului. De exemplu, iată o inegalitate standard:

De regulă, pentru a rezolva astfel de probleme se utilizează metoda clasică, adică se utilizează o tranziție la un set echivalent de sisteme

Cu abordarea standard, exemplul este rezolvat după următoarea schemă: produsul este mai mic decât zero atunci când factorii sunt de semne diferite. Adică, se consideră un set de două sisteme de inegalități, în care fiecare inegalitate este împărțită în încă șapte. Prin urmare, putem propune o metodă mai puțin consumatoare de timp pentru rezolvarea acestei inegalități standard. Aceasta este o metodă de raționalizare cunoscută în literatura de specialitate sub numele de descompunere.

La finalizarea proiectului, mi-am stabilit următoarele obiective :

1) Stăpânește această tehnică de decizie

2) Exersați abilitățile de rezolvare a sarcinilor C3 din munca de formare și diagnosticare în 2013.

Proiect obiectiveste de a studia baza teoretică a metodei raționalizării.

RelevanţăMunca constă în faptul că această metodă vă permite să rezolvați cu succes inegalitățile logaritmice ale părții C3 a examenului unificat de stat la matematică.

2. Parte principală

Luați în considerare o inegalitate logaritmică a formei

dimensiunea fontului: 14.0pt; înălțimea liniei: 150%">, (1)

unde font-size:14.0pt;line-height:150%"> Metoda standard pentru rezolvarea unei astfel de inegalități implică analiza a două cazuri în intervalul de valori acceptabile ale inegalității.

In primul caz, când bazele logaritmilor satisfac condiția

dimensiunea fontului: 14.0pt; line-height:150%">, semnul de inegalitate este desenat: font-size:14.0pt;line-height:150%">În al doilea caz , când baza îndeplinește condiția, se păstrează semnul de inegalitate: .

La prima vedere, totul este logic, să luăm în considerare două cazuri și apoi să combinăm răspunsurile. Adevărat, atunci când luăm în considerare al doilea caz, apare un anumit disconfort - trebuie să repetați 90 la sută din calculele din primul caz (transformați, găsiți rădăcinile ecuațiilor auxiliare, determinați intervalele de monotonitate ale semnului). Apare o întrebare firească: este posibil să combinați cumva toate acestea?

Răspunsul la această întrebare este conținut în următoarea teoremă.

Teorema 1. Inegalitatea logaritmică

font-size:14.0pt;line-height:150%">echivalent cu următorul sistem de inegalități :

dimensiunea fontului: 14.0pt; înălțimea liniei: 150%"> (2)

Dovada.

1. Să începem cu faptul că primele patru inegalități ale sistemului (2) definesc setul de valori admisibile ale inegalității logaritmice originale. Să ne îndreptăm acum atenția asupra celei de-a cincea inegalități. Dacă dimensiunea fontului: 14.0pt; line-height:150%">, atunci primul factor al acestei inegalități va fi negativ. Când reduceți cu ea, va trebui să schimbați semnul inegalității în cel opus, apoi obțineți inegalitatea .

Dacă , Acea primul factor al inegalității a cincea este pozitiv, îl anulăm fără a schimba semnul inegalității, obținem inegalitatea font-size:14.0pt;line-height: 150%"> Astfel, a cincea inegalitate a sistemului include ambele cazuri ale metodei anterioare.

Subiectul a fost dovedit.

Prevederi de bază ale teoriei metodei raționalizării.

Metoda de raționalizare este de a înlocui o expresie complexă F(x ) la o expresie mai simplă G(x ), la care inegalitatea G(x )EN-US" style="font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:Calibri">F(X )0 în zona de definire a expresiei F(x).

Să evidențiem câteva expresii F și expresiile lor raționalizante corespunzătoare G, unde u, v, , p, q - expresii cu două variabile ( u > 0; u ≠ 1; v > 0, > 0), A - număr fix (A > 0, A ≠ 1).

Dovada

1. Lasă logav - logaφ > 0, acesta este logav > logaφ,și a > 0, a ≠ 1, v > 0,

φ > 0.

Daca 0< A < 1, то по свойству убывающей логарифмической функции имеем v < φ . Aceasta înseamnă că sistemul de inegalități este valabil

A -1<0

v – φ < 0

De unde urmează inegalitatea (A – 1)( v – φ ) > 0 adevărat în domeniul expresieiF = logav - logaφ.

Dacă A > 1, Acea v > φ . Prin urmare, există o inegalitate ( A – 1)( v – φ )> 0. În schimb, dacă inegalitatea este valabilă ( A – 1)( v – φ )> 0 pe intervalul de valori acceptabile ( A > 0, A ≠ 1, v> 0, φ > 0),atunci în această regiune echivalează cu combinarea a două sisteme.

A – 1<0 A – 1 > 0

v – φ < 0 v – φ > 0

Fiecare sistem implică inegalitatealogav > logaφ, acesta este logav - logaφ > 0.

În mod similar, luăm în considerare inegalitățile F< 0, F ≤ 0, F ≥ 0.

2. Lasă un număr A> 0 și A≠ 1, atunci avem

logu v- loguφ = EN-US" style="font-size:14.0pt;line-height:150%">v - 1)( u- 1)(φ –u).

4.Din inegalitate uv- uφ > 0 ar trebui să uv > uφ. Fie numărul a > 1, atunciloga uv > logauφ sau

( u – φ) loga u > 0.

Prin urmare, luând în considerare înlocuirea 1b și stareaA > 1 primim

( v – φ)( A – 1)( u – 1) > 0, ( v – φ)( u – 1) > 0. În mod similar, inegalitățile sunt dovedite F< 0,

F ≤ 0, F ≥ 0.

5. Dovada este similară cu Proof 4.

6. Dovada substituției 6 rezultă din echivalența inegalităților | p | > | q | și p 2 > q 2

(|p|< | q | и p 2 < q 2 ).

Să comparăm volumul soluțiilor cu inegalitățile care conțin o variabilă în baza logaritmului folosind metoda clasică și metoda raționalizării

3. Concluzie

Cred că obiectivele pe care mi le-am propus la finalizarea lucrării au fost atinse. Proiectul are o importanță practică, deoarece metoda propusă în lucrare poate simplifica semnificativ soluția inegalităților logaritmice. Ca urmare, numărul de calcule care duc la răspuns este redus cu aproximativ jumătate, ceea ce economisește nu numai timp, ci și vă permite să faceți mai puține erori aritmetice și neglijente. Acum, când rezolv problemele C3, folosesc această metodă.

4. Lista literaturii folosite

1. , – Metode de rezolvare a inegalităților cu o variabilă. – 2011.

2. – Manual de matematică. – 1972.

3. - Matematică pentru solicitanți. Moscova: MTsNMO, 2008.

Ezhova Elena Sergheevna
Denumirea funcției: profesor de matematică
Instituție educațională: Instituția de învățământ municipal „Școala Gimnazială Nr. 77”
Localitate: Saratov
Denumirea materialului: dezvoltare metodologică
Subiect: Metoda de raționalizare pentru rezolvarea inegalităților în pregătirea examenului de stat unificat”
Data publicării: 16.05.2018
Capitol: educație completă

Evident, aceeași inegalitate poate fi rezolvată în mai multe moduri. Cu succes

în modul ales sau, cum spuneam noi, într-un mod rațional, oricare

inegalitatea va fi rezolvată rapid și ușor, soluția ei va fi frumoasă și interesantă.

Aș dori să consider mai detaliat așa-numita metodă de raționalizare când

rezolvarea inegalităților logaritmice și exponențiale, precum și a inegalităților care conțin

variabilă sub semnul modulului.

Ideea principală a metodei.

Metoda de înlocuire a factorilor rezolvă inegalitățile care pot fi reduse la formă

Unde este simbolul "

" denotă unul dintre cele patru semne de inegalitate posibile:

Când rezolvăm inegalitatea (1), ne interesează doar semnul oricărui factor din numărător

sau numitorul, și nu valoarea sa absolută. Prin urmare, dacă din anumite motive noi

este incomod să lucrezi cu acest multiplicator, îl putem înlocui cu altul

coincid în semn cu ea în domeniul definirii inegalităţii şi având în acest domeniu

aceleași rădăcini.

Aceasta determină ideea principală a metodei de înlocuire a multiplicatorului. Este important să înregistrăm asta

faptul că înlocuirea factorilor se realizează numai cu condiţia aducerii inegalităţii

pentru a forma (1), adică atunci când este necesar să se compare produsul cu zero.

Partea principală a înlocuirii se datorează următoarelor două declarații echivalente.

Afirmația 1. Funcția f(x) este strict crescătoare dacă și numai dacă pentru

orice valori ale lui t

) coincide cu

semn cu diferența (f(t

)), adică f<=>(t

(↔ înseamnă coincidență semn)

Propoziţia 2. Funcţia f(x) este strict descrescătoare dacă şi numai dacă pentru

orice valori ale lui t

din domeniul de definire a diferenței de funcție (t

) coincide cu

semn cu diferența (f(t

)), adică f ↓<=>(t

Justificarea acestor afirmații rezultă direct din definiția strict

funcţie monotonă. Conform acestor afirmații, se poate stabili că

Diferența de grade pentru aceeași bază coincide întotdeauna în semn cu

produsul diferenței dintre indicii acestor puteri și abaterea bazei de la unitate,

Diferența de logaritmi la aceeași bază coincide întotdeauna în semn cu

produsul diferenței dintre numerele acestor logaritmi și abaterea bazei de la unitate, atunci

Faptul că diferența de cantități nenegative coincide în semn cu diferența

pătratele acestor mărimi permit următoarele înlocuiri:

Rezolvați inegalitatea

Soluţie.

Să trecem la un sistem echivalent:

Din prima inegalitate pe care o obținem

A doua inegalitate este valabilă pentru toți

Din a treia inegalitate obținem

Astfel, setul de soluții la inegalitatea originală este:

Rezolvați inegalitatea

Soluţie.

Să rezolvăm inegalitatea:

RĂSPUNS: (−4; −3)

Rezolvați inegalitatea

Să reducem inegalitatea la o formă în care diferența dintre valorile logaritmului

Să înlocuim diferența dintre valorile funcției logaritmice și diferența dintre valorile argumentului. ÎN

numărătorul este o funcție crescătoare, iar numitorul este descrescător, deci semnul inegalității

se va schimba la invers. Este important să nu uităm să ținem cont de domeniul definiției

funcţie logaritmică, prin urmare această inegalitate este echivalentă cu un sistem de inegalităţi.

Rădăcinile numeratorului: 8; 8;

Numitorul rădăcină: 1

Rezolvați inegalitatea

Să înlocuim la numărător diferența dintre modulele a două funcții cu diferența pătratelor lor, iar în

numitorul este diferența dintre valorile funcției logaritmice și diferența dintre argumente.

Numitorul are o funcție descrescătoare, ceea ce înseamnă că semnul inegalității se va schimba în

opus.

În acest caz, este necesar să se țină cont de domeniul de definire al logaritmului

Să rezolvăm prima inegalitate folosind metoda intervalului.

Rădăcinile numeratorului:

Rădăcinile numitorului:

Rezolvați inegalitatea

Să înlocuim diferența dintre valorile funcțiilor monotone din numărător și numitor cu diferența

valorile argumentelor, ținând cont de domeniul de definire a funcțiilor și de natura monotonității.

Rădăcinile numeratorului:

Rădăcinile numitorului:

Cele mai frecvent utilizate înlocuitori (excluzând O D Z).

a) Înlocuirea factorilor de semn constant.

b) Înlocuirea multiplicatorilor neconstanți cu modul.

c) Înlocuirea factorilor de semn necunoscut cu cei exponenţiali şi logaritmici

expresii.

Soluţie. ODZ:

Înlocuirea multiplicatorilor:

Avem un sistem:

În această inegalitate nu mai este posibil să se factorizeze

să fie considerate diferențe de cantități nenegative, deoarece expresiile 1

ODZ poate prelua atât valori pozitive, cât și negative.

Avem un sistem:

Înlocuirea multiplicatorilor:

Avem un sistem:

Înlocuirea multiplicatorilor:

Avem un sistem:

Înlocuirea multiplicatorilor:

Avem un sistem:

Ca rezultat avem: x

Metoda raționalizării(metoda de descompunere, metoda de înlocuire a multiplicatorului, metoda de înlocuire

funcții, regula semnului) constă în înlocuirea expresiei complexe F(x) cu un mai

expresie simplă G(x), sub care inegalitatea G(x)

0 este echivalent cu inegalitatea F (x

0 în domeniul definirii expresiei F(x).

Secțiuni: Matematică

Practica verificării lucrărilor de examen arată că cea mai mare dificultate pentru școlari este rezolvarea inegalităților transcendentale, în special a inegalităților logaritmice cu bază variabilă. Prin urmare, rezumatul lecției oferit atenției dumneavoastră este o prezentare a metodei de raționalizare (alte denumiri - metoda de descompunere (Modenov V.P.), metoda de înlocuire a factorilor (Golubev V.I.)), care vă permite să reduceți complexul logaritmic, exponențial, combinat. inegalități la un sistem de inegalități raționale mai simple De regulă, metoda intervalelor aplicată inegalităților raționale este bine înțeleasă și practicată până în momentul în care este studiat subiectul „Rezolvarea inegalităților logaritmice”. Prin urmare, studenții percep cu mare interes și entuziasm acele metode care le permit să simplifice soluția, să o scurteze și, în cele din urmă, să economisească timp la Examenul Unificat de Stat pentru rezolvarea altor sarcini.

Obiectivele lecției:

• Educational: actualizarea cunoștințelor de bază la rezolvarea inegalităților logaritmice; introducerea unei noi modalități de rezolvare a inegalităților; îmbunătățirea abilităților de soluționare
• De dezvoltare: dezvoltarea perspectivei matematice, a vorbirii matematice, a gândirii analitice
• Educational: educaţia acurateţei şi a autocontrolului.

ÎN CURILE CURĂRILOR

1. Moment organizatoric. Salutari. Stabilirea obiectivelor lecției.

2. Etapa pregătitoare:

Rezolvarea inegalităților:

3. Verificarea temelor(Nr. 11.81*a)

La rezolvarea inegalității

A trebuit să utilizați următoarea schemă pentru rezolvarea inegalităților logaritmice cu o bază variabilă:

Acestea. Trebuie să luăm în considerare 2 cazuri: baza este mai mare decât 1 sau baza este mai mică de 1.

4. Explicarea materialului nou

Dacă te uiți la aceste formule cu atenție, vei observa că semnul diferenței g(X) – h(X) coincide cu semnul jurnalului de diferență f(X) g(X) - Buturuga f(X) h(X) în cazul unei funcții crescătoare ( f(X) > 1, adică f(X) – 1 > 0) și este opus semnului diferenței log f(X) g(X) - Buturuga f(X) h(X) în cazul unei funcții descrescătoare (0< f(X) < 1, т.е. f(X) – 1 < 0)

În consecință, această mulțime poate fi redusă la un sistem de inegalități raționale:

Aceasta este esența metodei raționalizării - înlocuirea expresiei mai complexe A cu o expresie B mai simplă, care este rațională. În acest caz, inegalitatea B V 0 va fi echivalentă cu inegalitatea A V 0 pe domeniul de definire a expresiei A.

Exemplul 1. Să rescriem inegalitatea sub forma unui sistem echivalent de inegalități raționale.

Rețineți că condițiile (1)–(4) sunt condiții pentru domeniul de definire a inegalității, pe care recomand să le găsiți la începutul soluției.

Exemplul 2. Rezolvați inegalitatea folosind metoda raționalizării:

Domeniul de definire a inegalității este specificat de condițiile:

Primim:

Rămâne de scris inegalitatea (5)

Ținând cont de domeniul definiției

Răspuns: (3; 5)

5. Consolidarea materialului studiat

I. Scrieți inegalitatea ca un sistem de inegalități raționale:

II. Prezentați partea dreaptă a inegalității ca logaritm la baza dorită și mergeți la sistemul echivalent:

Profesorul cheamă la tablă elevii care au notat sistemele din grupele I și II și îl invită pe unul dintre cei mai puternici elevi să rezolve inegalitatea acasă (nr. 11.81 * a) folosind metoda raționalizării.

6. Lucru de testare

Opțiunea 1

Opțiunea 2

1. Scrieți un sistem de inegalități raționale pentru a rezolva inegalitățile:

2. Rezolvați inegalitatea folosind metoda raționalizării

Criterii de notare:

3-4 puncte – „satisfăcător”;
5-6 puncte – „bine”;
7 puncte – „excelent”.

7. Reflecție

Răspundeți la întrebarea: care dintre metodele pe care le cunoașteți pentru rezolvarea inegalităților logaritmice cu o bază variabilă vă va permite să vă folosiți timpul mai eficient în timpul examenului?

8. Tema pentru acasă: Nr. 11,80* (a,b), 11,81*(a,b), 11,84*(a,b) se rezolvă prin metoda raționalizării.

Bibliografie:

1. Algebra și începuturile analizei: manual. Pentru clasa a XI-a. educatie generala Instituții /[S.M. Nikolsky, M.K. Potapov, N.N. Reshetnikov, A.V. Shevkin] – ed. a 5-a. – M.: Educație, OJSC „Manuale de la Moscova”, 2006.
2. A.G. Koryanov, A.A. Prokofiev. Materiale ale cursului „Pregătirea studenților buni și excelenți pentru examenul de stat unificat”: prelegeri 1-4. – M.: Universitatea Pedagogică „Primul Septembrie”, 2012.