Konveksiteten til en funksjon. Bule retning

Konseptet med konveksitet til en funksjon

Betrakt funksjonen \(y = f\venstre(x \høyre),\) som antas å være kontinuerlig på segmentet \(\venstre[ (a,b) \høyre].\) Funksjonen \(y = f \venstre(x \høyre),\) )\) kalles konveks ned (eller ganske enkelt konveks) hvis for noen punkter \((x_1)\) og \((x_2)\) fra \(\venstre[ (a,b) \høyre]\) x_1),(x_2) \i \venstre[ (a, b) \right],\) slik at \((x_1) \ne (x_2),\) så kalles funksjonen \(f\left(x \right) \) strengt konveks ned

En oppadgående konveks funksjon er definert på samme måte. Funksjonen \(f\venstre(x \høyre)\) kalles konveks opp (eller konkav) hvis for noen punkter \((x_1)\) og \((x_2)\) i segmentet \(\venstre[ (a,b) \right]\) ulikheten \ Hvis denne ulikheten er streng for enhver \( ( x_1),(x_2) \i \venstre[ (a,b) \høyre],\) slik at \((x_1) \ne (x_2),\) deretter funksjonen \(f\venstre(x \høyre) ) \) kalles strengt konveks oppover på segmentet \(\venstre[ (a,b) \høyre].\)

Geometrisk tolkning av konveksiteten til en funksjon

De introduserte definisjonene av en konveks funksjon har en enkel geometrisk tolkning.

For funksjonen, konveks ned (tegning \(1\)), ligger midtpunktet \(B\) til enhver akkord \((A_1)(A_2)\) høyere

Tilsvarende for funksjonen konveks opp (tegning \(2\)), ligger midtpunktet \(B\) til enhver akkord \((A_1)(A_2)\) under tilsvarende punkt \((A_0)\) i grafen til funksjonen eller faller sammen med dette punktet.

Konvekse funksjoner har en annen visuell egenskap, som er relatert til plasseringen tangent til grafen til funksjonen. Funksjonen \(f\venstre(x \høyre)\) er konveks ned på segmentet \(\venstre[ (a,b) \høyre]\) hvis og bare hvis grafen ikke er lavere enn tangenten som er tegnet til det på et hvilket som helst punkt \((x_0)\) i segmentet \(\venstre) [ (a ,b) \høyre]\) (figur \(3\)).

Følgelig er funksjonen \(f\venstre(x \høyre)\). konveks opp på segmentet \(\venstre[ (a,b) \høyre]\) hvis og bare hvis grafen ikke er høyere enn tangenten som er tegnet til det på et hvilket som helst punkt \((x_0)\) i segmentet \(\venstre) [ (a ,b) \høyre]\) (figur \(4\)). Disse egenskapene er et teorem og kan bevises ved å bruke definisjonen av konveksitet til en funksjon.

Tilstrekkelige forhold for konveksitet

La for funksjonen \(f\left(x \right)\) den første deriverte \(f"\left(x \right)\) eksistere på segmentet \(\left[ (a,b) \right], \) og den andre deriverte \(f""\left(x \right)\) − på intervallet \(\left((a,b) \right).\) Da gjelder følgende tilstrekkelige kriterier for konveksitet:

Hvis \(f""\venstre(x \høyre) \ge 0\) for alle \(x \i \venstre((a,b) \høyre),\) så funksjonen \(f\venstre(x \ høyre )\) konveks ned på segmentet \(\venstre[ (a,b) \høyre];\)

Hvis \(f""\venstre(x \høyre) \le 0\) for alle \(x \i \venstre((a,b) \høyre),\) så funksjonen \(f\venstre(x \ høyre )\) konveks opp på segmentet \(\venstre[ (a,b) \høyre].\)

I tilfeller hvor den andre deriverte strengt tatt er større enn (mindre enn) null, snakker man hhv. streng konveksitet ned (eller opp ).

La oss bevise teoremet ovenfor for tilfellet med en nedadgående konveks funksjon. La funksjonen \(f\left(x \right)\) ha en ikke-negativ andrederiverte på intervallet \(\left((a,b) \right):\) \(f""\left(x) \right) \ge 0.\) Angi med \((x_0)\) midtpunktet til segmentet \(\venstre[ ((x_1),(x_2)) \right].\) Anta at lengden på dette segmentet er lik \(2h.\) Da kan koordinatene \((x_1)\) og \((x_2)\) skrives som: \[(x_1) = (x_0) - h,\;\;(x_2) ) = (x_0) + h.\] Utvid funksjonen \(f\venstre(x \høyre)\) i punktet \((x_0)\) til en Taylor-serie med et restledd i Lagrange-formen. Vi får følgende uttrykk: \[ (f\venstre(((x_1)) \right) = f\left(((x_0) - h) \right) ) = (f\left(((x_0)) \right ) - f"\left(((x_0)) \right)h + \frac((f""\left(((\xi _1)) \right)(h^2)))((2)},} \] \[ {f\left({{x_2}} \right) = f\left({{x_0} + h} \right) } = {f\left({{x_0}} \right) + f"\left({{x_0}} \right)h + \frac{{f""\left({{\xi _2}} \right){h^2}}}{{2!}},} \] где \({x_0} - h !}
Legg til begge likhetene: \[ (f\left(((x_1)) \right) + f\left(((x_2)) \right) ) = (2f\left(((x_0)) \right) + \frac (((h^2)))(2)\venstre[ (f""\venstre(((\xi _1)) \høyre) + f""\venstre(((\xi _2)) \høyre)) \right].) \] Siden \((\xi _1),(\xi _2) \i \venstre((a,b) \right),\) er andrederivertene på høyre side ikke-negative . Derfor, \ eller \ som er, i henhold til definisjonen, funksjonen \(f\venstre(x \høyre)\) konveks ned .

Legg merke til at den nødvendige konveksitetsbetingelsen for en funksjon (dvs. et direkte teorem der det for eksempel av konveksitetsbetingelsen følger at \(f""\venstre(x \right) \ge 0\)) kun er oppfylt for ikke-strenge ulikheter. Ved streng konveksitet er den nødvendige betingelsen generelt ikke oppfylt. For eksempel er funksjonen \(f\venstre(x \høyre) = (x^4)\) strengt nedad konveks. Imidlertid, ved punktet \(x = 0\) er dens andrederiverte lik null, dvs. den strenge ulikheten \(f""\venstre(x \høyre) \gt 0\) er ikke oppfylt i dette tilfellet.

Egenskaper til konvekse funksjoner

Vi lister noen egenskaper til konvekse funksjoner, forutsatt at alle funksjoner er definerte og kontinuerlige på segmentet \(\venstre[ (a,b) \høyre].\)

Hvis funksjonene \(f\) og \(g\) er nedover (oppover) konvekse, vil en av dem lineær kombinasjon \(af + bg,\) hvor \(a\), \(b\) er positive reelle tall, også konvekse nedover (oppover).

Hvis funksjonen \(u = g\venstre(x \høyre)\) er nedadkonveks og funksjonen \(y = f\venstre(u \høyre)\) er nedadkonveks og ikke-avtagende, så kompleks funksjon \(y = f\venstre((g\venstre(x \høyre)) \høyre)\) vil også konveks ned.

Hvis funksjonen \(u = g\venstre(x \høyre)\) er konveks oppover og funksjonen \(y = f\venstre(u \høyre)\) er nedadkonveks og ikke økende, så kompleks funksjon \(y = f\venstre((g\venstre(x \høyre)) \høyre)\) vil konveks ned.

Lokalt maksimum konveks oppadgående funksjon definert på segmentet \(\venstre[ (a,b) \høyre],\) er samtidig dets høyeste verdi på dette segmentet.

Lokalt minimum nedadkonveks funksjon definert på segmentet \(\venstre[ (a,b) \høyre],\) er samtidig dets den minste verdien på dette segmentet.

Funksjonsgraf y=f(x) kalt konveks på intervallet (a;b), hvis den er plassert under noen av tangentene i dette intervallet.

Funksjonsgraf y=f(x) kalt konkav på intervallet (a;b), hvis den er plassert over noen av tangentene i dette intervallet.

Figuren viser en kurve konveks på (a;b) og konkav til (b;c).

Eksempler.

Tenk på et tilstrekkelig tegn som lar deg bestemme om grafen til en funksjon i et gitt intervall vil være konveks eller konkav.

Teorem. La y=f(x) differensierbar med (a;b). Hvis på alle punkter av intervallet (a;b) andrederiverte av funksjonen y = f(x) negativ, dvs. f ""(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f""(x) > 0 er konkav.

Bevis. Anta for bestemtheten at f""(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.

Ta på funksjonsgrafen y = f(x) vilkårlig poeng M0 med abscisse x0 Î ( en; b) og trekk gjennom punktet M0 tangent. Hennes ligning. Vi må vise at grafen til funksjonen på (a;b) ligger under denne tangenten, dvs. med samme verdi x kurveordinat y = f(x) vil være mindre enn ordinaten til tangenten.

Så ligningen til kurven er y = f(x). La oss betegne tangentordinaten som tilsvarer abscissen x. Deretter . Derfor er forskjellen mellom ordinatene til kurven og tangenten på samme verdi x vil .

Forskjell f(x) – f(x0) transformere i henhold til Lagrange-setningen, hvor c mellom x Og x0.

Dermed,

Vi bruker igjen Lagrange-setningen på uttrykket i hakeparenteser: , hvor c 1 mellom c 0 Og x0. I følge teoremet f ""(x) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.

Dermed ligger ethvert punkt på kurven under tangenten til kurven for alle verdier x Og x0 Î ( en; b), som betyr at kurven er konveks. Den andre delen av teoremet er bevist på samme måte.

Eksempler.

Punktet på grafen til en kontinuerlig funksjon som skiller dens konvekse del fra den konkave delen kalles bøyningspunkt.

Tydeligvis, ved bøyningspunktet, skjærer tangenten, hvis den eksisterer, kurven, fordi på den ene siden av dette punktet ligger kurven under tangenten, og på den andre siden over den.

La oss definere tilstrekkelige betingelser for at et gitt punkt på kurven skal være et bøyningspunkt.

Teorem. La kurven defineres av ligningen y = f(x). Hvis f ""(x 0) = 0 eller f ""(x 0) ikke eksisterer og når den går gjennom verdien x = x0 derivat f ""(x) skifter fortegn, deretter punktet på grafen til funksjonen med abscissen x = x0 det er et bøyningspunkt.

Bevis. La f ""(x) < 0 при x < x0 Og f ""(x) > 0 kl x > x0. Så kl x < x0 kurven er konveks, og x > x0- konkav. Derav poenget EN, liggende på kurven, med abscisse x0 det er et bøyningspunkt. På samme måte kan vi vurdere det andre tilfellet, når f ""(x) > 0 kl x < x0 Og f ""(x) < 0 при x > x0.

Derfor bør bøyningspunkter bare søkes blant de punktene der den andrederiverte forsvinner eller ikke eksisterer.

Eksempler. Finn bøyningspunktene og bestem intervallene for konveksitet og konkavitet for kurvene.

ASYMPTOTER PÅ GRAFEN TIL EN FUNKSJON

Når du undersøker en funksjon, er det viktig å etablere formen på grafen med en ubegrenset fjerning av grafpunktet fra origo.

Av spesiell interesse er tilfellet når grafen til en funksjon, når dens variable punkt fjernes til uendelig, nærmer seg en bestemt rett linje på ubestemt tid.

Ringte direkte asymptote funksjonsgraf y = f(x) hvis avstanden fra det variable punktet M graf til denne linjen når punktet er fjernet M til det uendelige har en tendens til null, dvs. punktet i grafen til funksjonen, ettersom den har en tendens til uendelig, må nærme seg asymptoten på ubestemt tid.

Kurven kan nærme seg sin asymptote, forbli på den ene siden av den eller på forskjellige sider, krysse asymptoten et uendelig antall ganger og bevege seg fra den ene siden til den andre.

Hvis vi betegner med d avstanden fra punktet M kurve til asymptoten, er det tydelig at d har en tendens til null når punktet fjernes M til det uendelige.

Vi vil videre skille mellom vertikale og skrå asymptoter.

VERTIKALE ASYMPTOTER

La kl x→ x0 hver side av funksjonen y = f(x) uendelig øker i absolutt verdi, dvs. eller eller . Da følger det av definisjonen av asymptoten at linjen x = x0 er en asymptote. Det motsatte er også åpenbart hvis linjen x = x0 er en asymptote, altså .

Dermed den vertikale asymptoten til grafen til funksjonen y = f(x) kalles en linje if f(x)→ ∞ under minst én av betingelsene x→ x0– 0 eller x → x0 + 0, x = x0

Derfor, for å finne de vertikale asymptotene til grafen til funksjonen y = f(x) må finne disse verdiene x = x0, hvor funksjonen går til uendelig (lider en uendelig diskontinuitet). Da har den vertikale asymptoten ligningen x = x0.

Eksempler.

SKÅASYMPTOTER

Siden asymptoten er en rett linje, så hvis kurven y = f(x) har en skrå asymptote, vil ligningen dens være y = kx + b. Vår oppgave er å finne koeffisientene k Og b.

Teorem. Rett y = kx + b fungerer som en skrå asymptote ved x→ +∞ for grafen til funksjonen y = f(x) hvis og bare hvis . Et lignende utsagn gjelder for x → –∞.

Bevis. La MP- lengden på segmentet lik avstanden fra punktet M til asymptoten. Etter betingelse. Angi med φ helningsvinkelen til asymptoten til aksen Okse. Så fra ΔMNP følger det. Siden φ er en konstant vinkel (φ ≠ π/2), så , men

For å bestemme konveksiteten (konkavitet) til en funksjon på et visst intervall, kan følgende teoremer brukes.

Teorem 1. La funksjonen være definert og kontinuerlig på intervallet og ha en endelig derivert . For at en funksjon skal være konveks (konkav) i , er det nødvendig og tilstrekkelig at dens deriverte avtar (øker) på dette intervallet.

Teorem 2. La funksjonen være definert og kontinuerlig sammen med dens deriverte på og ha en kontinuerlig andrederiverte inni . For konveksiteten (konkavitet) av funksjonen i det er nødvendig og tilstrekkelig at innsiden

La oss bevise teorem 2 for tilfellet av konveksitet av funksjonen.

Nødvendighet. La oss ta et vilkårlig poeng. Vi utvider funksjonen nær punktet i en Taylor-serie

Ligningen for en tangent til en kurve i et punkt med abscisse:

Da er overskuddet av kurven over tangenten til den ved punktet lik

Dermed er resten lik overskuddet av kurven over tangenten til den ved punktet . På grunn av kontinuitet, if , da også for , som tilhører et tilstrekkelig lite nabolag av punktet , og derfor åpenbart for noe annet enn verdien av , som tilhører det angitte nabolaget.

Dette betyr at grafen til funksjonen ligger over tangenten og kurven er konveks i et vilkårlig punkt.

Tilstrekkelighet. La kurven være konveks på intervallet. La oss ta et vilkårlig poeng.

På samme måte som den forrige utvider vi funksjonen nær punktet i en Taylor-serie

Overskuddet av kurven over tangenten til den i punktet som har abscissen, definert av uttrykket, er lik

Siden overskuddet er positivt for et tilstrekkelig lite område av punktet , er den andre deriverte også positiv. Mens vi streber, får vi det for et vilkårlig punkt .

Eksempel. Undersøk for konveksitet (konkavitets) funksjon.

Dens derivat øker på hele den reelle aksen, så ved setning 1 er funksjonen konkav på .

Dens andre derivat , derfor, ved teorem 2, er funksjonen konkav på .

3.4.2.2 Infleksjonspunkter

Definisjon. bøyningspunkt grafen til en kontinuerlig funksjon kalles punktet som skiller intervallene der funksjonen er konveks og konkav.

Det følger av denne definisjonen at bøyningspunktene er punktene til ekstremumpunktet til den første deriverte. Dette innebærer følgende påstander for nødvendige og tilstrekkelige bøyningsbetingelser.

Teorem (nødvendig bøyningsbetingelse). For at et punkt skal være et bøyningspunkt for en to ganger differensierbar funksjon, er det nødvendig at dens andrederiverte på dette punktet er lik null ( ) eller eksisterte ikke.

Teorem (tilstrekkelig betingelse for bøyning). Hvis den andre deriverte av en to ganger differensierbar funksjon endrer fortegn når den passerer gjennom et bestemt punkt, så er det et bøyningspunkt.

Merk at den andre deriverte kanskje ikke eksisterer på selve punktet.

Den geometriske tolkningen av bøyningspunktene er illustrert i fig. 3.9

I et nabolag til et punkt er funksjonen konveks og grafen ligger under tangenten som er tegnet på dette punktet. I nærheten av et punkt er funksjonen konkav og grafen ligger over tangenten som er tegnet på dette punktet. Ved bøyningspunktet deler tangenten grafen til funksjonen inn i områder med konveksitet og konkavitet.

3.4.2.3 Undersøke en funksjon for konveksitet og tilstedeværelsen av bøyningspunkter

1. Finn den andrederiverte.

2. Finn punkter der den andre deriverte eller ikke eksisterer.

Ris. 3.9.

3. Undersøk tegnet til den andre deriverte til venstre og høyre for de funnet punktene og trekk en konklusjon om intervallene for konveksitet eller konkavitet og tilstedeværelsen av bøyningspunkter.

Eksempel. Undersøk funksjonen for konveksitet og tilstedeværelsen av bøyningspunkter.

2. Den andre deriverte er lik null ved .

3. Den andre deriverte endrer fortegn ved , så punktet er bøyningspunktet.

På intervallet er funksjonen konveks på dette intervallet.

På intervallet er funksjonen konkav på dette intervallet.

3.4.2.4 Generelt opplegg for studiet av funksjoner og plotting

Når du studerer en funksjon og plotter grafen, anbefales det å bruke følgende skjema:

Finn omfanget av funksjonen.
Undersøk funksjonen for partall – oddetall. Husk at grafen til en partallsfunksjon er symmetrisk om y-aksen, og grafen til en oddetallsfunksjon er symmetrisk om origo.
Finn vertikale asymptoter.
Utforsk oppførselen til en funksjon i det uendelige, finn horisontale eller skrå asymptoter.
Finn ekstrema og intervaller for monotonitet for funksjonen.
Finn konveksitetsintervallene til funksjonen og bøyningspunktene.
Finn skjæringspunkter med koordinatakser.

Studiet av funksjonen utføres samtidig med konstruksjonen av grafen.

Eksempel. Utforsk funksjon og plotte det.

1. Funksjonsomfang - .

2. Funksjonen som studeres er jevn , så grafen er symmetrisk om y-aksen.

3. Nevneren til funksjonen forsvinner ved , så grafen til funksjonen har vertikale asymptoter og .

Punktene er diskontinuitetspunkter av den andre typen, siden grensene til venstre og høyre på disse punktene har en tendens til å .

4. Oppførsel av funksjonen ved uendelig.

Derfor har grafen til funksjonen en horisontal asymptote.

5. Ekstremer og intervaller av monotonitet. Å finne den første deriverte

For derfor avtar funksjonen i disse intervallene.

For derfor øker funksjonen i disse intervallene.

For derfor er poenget et kritisk punkt.

Finne den andre deriverte

Siden er punktet minimumspunktet for funksjonen.

6. Konveksitetsintervaller og bøyningspunkter.

Funksjon kl , så funksjonen er konkav på dette intervallet.

Funksjonen ved , betyr at funksjonen er konveks på disse intervallene.

Funksjonen forsvinner aldri, så det er ingen bøyningspunkter.

7. Skjæringspunkter med koordinataksene.

Ligningen , har en løsning , som betyr skjæringspunktet for grafen til funksjonen med y-aksen (0, 1).

Ligningen har ingen løsning, noe som betyr at det ikke er noen skjæringspunkter med abscisseaksen.

Med tanke på utført forskning, er det mulig å bygge en graf over funksjonen

Skjematisk graf av en funksjon vist i fig. 3.10.

Ris. 3.10.

3.4.2.5 Asymptoter av grafen til en funksjon

Definisjon. Asymptote grafen til funksjonen kalles en rett linje, som har den egenskapen at avstanden fra punktet () til denne rette linjen har en tendens til 0 med en ubegrenset fjerning av grafpunktet fra origo.

Det generelle opplegget for studiet av funksjonen og konstruksjonen av en graf.
1. Utredning av funksjonen for konveksitet og konkavitet.

Asymptoter av grafen til en funksjon.

Introduksjon.

I skolematematikkkurset har du allerede møtt behovet for å plotte funksjonsgrafer. I brukte du punkt-for-punkt-metoden. Det skal bemerkes at det er enkelt i konseptet og relativt raskt fører til målet. I tilfeller hvor funksjonen er kontinuerlig og endres ganske jevnt, kan denne metoden også gi nødvendig grad av nøyaktighet av den grafiske representasjonen. For å gjøre dette, må du ta flere poeng for å oppnå en viss tetthet av plasseringen.

La oss nå anta at funksjonen noen steder har funksjoner i sin "atferd": enten endres verdiene kraftig et sted i et lite område, eller det er brudd. De viktigste delene av grafen blir kanskje ikke oppdaget på denne måten.

Denne omstendigheten reduserer verdien av metoden for å konstruere en graf "etter poeng".

Det er en annen måte å plotte grafer på, basert på analytisk studie av funksjoner. Den sammenligner seg gunstig med metoden som vurderes i skolematematikkkurset.

1. Utredning av en funksjon for konveksitet og konkavitet .

La funksjonen
er differensierbar på intervallet (a, c). Da er det en tangent til grafen til funksjonen når som helst
denne grafen (
), og tangenten er ikke parallell med OY-aksen, siden dens helning er lik
, selvfølgelig.

OM
definisjon Vi vil si at grafen til funksjonen
på (a, c) har en utløsning som peker ned (opp) hvis den ikke er plassert under (ikke over) noen tangent til grafen til funksjonen på (a, c).

a) konkav kurve b) konveks kurve

Teorem 1 (en nødvendig betingelse for konveksiteten (konkavitet) til kurven).

Hvis grafen til en to ganger differensierbar funksjon er en konveks (konkav) kurve, er den andre deriverte på intervallet (a, c) negativ (positiv) på dette intervallet.

Teorem 2(en tilstrekkelig betingelse for konveksiteten (konkavitet) til kurven).

Hvis funksjonen er to ganger differensierbar på (a, b) og
(
) på alle punkter i dette intervallet, så er kurven som er grafen til funksjonen konveks (konkav) på dette intervallet.

Bøyningspunktene til grafen til funksjonen.

Definisjon Punktum
kalles bøyningspunktet til funksjonsgrafen, hvis det er i punktet
grafen har en tangent, og det er et slikt nabolag til punktet , der grafen til funksjonen til venstre og høyre for punktet har forskjellige retninger av konveksitet.

OM det er åpenbart at tangenten ved bøyningspunktet krysser grafen til funksjonen, siden på den ene siden av dette punktet ligger grafen over tangenten, og på den andre - under den, dvs. i nærheten av bøyningspunktet, grafen for funksjonen går geometrisk fra den ene siden av tangenten til den andre og "bøyer" seg gjennom den. Det er her navnet "bøyepunkt" kommer fra.

Teorem 3(nødvendig bøyningspunktbetingelse). La grafen til funksjonen ha en bøyning i et punkt og la funksjonen ha i et punkt

kontinuerlig andrederiverte. Deretter

.
Ikke hvert punkt som , er et bøyningspunkt. For eksempel grafen til funksjonen

har ikke noe bøyningspunkt ved (0, 0), men

på

. Derfor er likheten av den andrederiverte til null bare en nødvendig betingelse for bøyningen.

Punkter i grafen som kalles for kritiske punkterII-byer. Det er nødvendig å undersøke spørsmålet om tilstedeværelsen av kinking på hvert kritisk punkt.

Teorem 4(tilstrekkelig betingelse for et bøyningspunkt). La funksjonen ha en andrederivert i et eller annet område av punktet. Deretter, hvis innenfor det angitte nabolaget
har forskjellige fortegn til venstre og høyre for punktet, så har grafen en bøyning i punktet.
Kommentar. Teoremet forblir sant hvis
har en andrederiverte i et eller annet område av punktet , bortsett fra selve punktet, og det er en tangent til grafen til funksjonen i punktet
. Så, hvis innenfor det angitte nabolaget det har forskjellige tegn til venstre og til høyre for punktet , så har grafen til funksjonen en bøyning i punktet .
Opplegg for å studere funksjonen for konveksitet, konkavitet, bøyningspunkter.

Eksempel. Utforsk funksjon
konveksitet, konkavitet, bøyningspunkter.
1.

2.
,
=

3. finnes ikke kl

)	1	(1, +)
-		+
	1

Asymptoter av grafen til en funksjon.

Når man studerer oppførselen til en funksjon kl
eller nær diskontinuitetspunkter av 2. slag, viser det seg ofte at grafen til en funksjon nærmer seg en eller annen rett linje så nært man vil. Slike linjer kalles.

OM definisjon 1. Rett

kalles en asymptote av kurven L hvis avstanden fra punktet på kurven til denne linjen har en tendens til null når punktet beveger seg bort langs kurven til det uendelige. Det er tre typer asymptoter: vertikal, horisontal, skrå.

Definisjon 2. Rett
kalles den vertikale asymptoten til funksjonsgrafen hvis minst en av de ensidige grensene er lik
, dvs. eller

For eksempel grafen til funksjonen
har en vertikal asymptote
, fordi
, A
.

Definisjon 3. Den rette linjen y \u003d A kalles den horisontale asymptoten til grafen til funksjonen når

Hvis

For eksempel har grafen til en funksjon en horisontal asymptote y=0, fordi
.

Definisjon 4. Rett

(

) kalles den skrå asymptoten til grafen til funksjonen for

Hvis

;

Hvis minst en av grensene ikke eksisterer, har kurven ingen asymptoter. Hvis, så bør disse grensene søkes separat, for og
.

For eksempel. Finn asymptoter til grafen til en funksjon

; x=0 – vertikal asymptote

;
.

er den skrå asymptoten.
4. Opplegg for en fullstendig studie av funksjonen og plotting.

Tenk på et eksemplarisk opplegg der det er tilrådelig å undersøke oppførselen til en funksjon og bygge dens graf.

Eksempel. Utforsk funksjon

og plotte det.

1., bortsett fra x=-1.

2.
fungerer verken partall eller oddetall

-

-

+

+

y

-4

t r.

0

Konklusjon.
Et viktig trekk ved den vurderte metoden er at den først og fremst er basert på deteksjon og studie av karakteristiske trekk i kurvens oppførsel. Steder hvor funksjonen endres jevnt blir ikke studert i særlig detalj, og det er ikke behov for en slik undersøkelse. Men de stedene der funksjonen har noen særegenheter i oppførsel, er gjenstand for full forskning og den mest nøyaktige grafiske representasjonen. Disse funksjonene er punktene for maksimum, minimum, diskontinuitetspunkter for funksjonen, etc.

Å bestemme retningen for konkavitet og bøyninger, samt den angitte metoden for å finne asymptoter, gjør det mulig å studere funksjoner enda mer detaljert og få en mer nøyaktig ide om grafene deres.

Instruksjon

Bøyningspunktene til funksjonen må tilhøre domenet til dens definisjon, som må finnes først. En funksjonsgraf er en linje som kan være kontinuerlig eller ha diskontinuiteter, redusere eller øke monotont, ha minimums- eller maksimumspunkter (asymptoter), være konveks eller konkav. En skarp endring i de to siste tilstandene kalles en bøyning.

En nødvendig betingelse for eksistensen av en bøyning av funksjonen er at den andre er lik null. Etter å ha differensiert funksjonen to ganger og likestilt det resulterende uttrykket til null, kan man finne abscissen til mulige bøyningspunkter.

Denne tilstanden følger av definisjonen av egenskapene til konveksitet og konkavitet til funksjonsgrafen, dvs. negative og positive verdier av den andre deriverte. Ved bøyningspunktet er det en skarp endring i disse egenskapene, som gjør at den deriverte passerer nullmerket. Likestilling til null er imidlertid fortsatt ikke nok til å indikere et bøyningspunkt.

Det er to tilstrekkelige betingelser for at abscissen som ble funnet på forrige trinn tilhører bøyningspunktet: Gjennom dette punktet kan du tegne en tangent til funksjonen. Den andre deriverte har forskjellige fortegn til høyre og venstre for det antatte bøyningspunktet. Dermed er dens eksistens på selve punktet ikke nødvendig, det er nok å bestemme at den endrer fortegn ved det. Den andre deriverte av funksjonen er null, men den tredje er det ikke.

Den første tilstrekkelige tilstanden er universell og brukes oftere enn andre. Tenk på et illustrerende eksempel: y = (3 x + 3) ∛ (x - 5).

Løsning. Finn definisjonsdomenet. I dette tilfellet er det ingen begrensninger, derfor er det hele rommet av reelle tall. Regn ut den første deriverte: y' = 3 ∛ (x - 5) + (3 x + 3) / ∛ (x - 5)².

Vær oppmerksom på brøkens utseende. Det følger av dette at definisjonsdomenet til derivatet er begrenset. Punktet x = 5 er punktert, noe som betyr at en tangent kan passere gjennom det, noe som delvis tilsvarer det første kriteriet for bøyningens tilstrekkelighet.

Bestem ensidige grenser for det resulterende uttrykket ved x → 5 - 0 og x → 5 + 0. De er lik -∞ og +∞. Du beviste at en vertikal tangent går gjennom punktet x=5. Dette punktet kan være et bøyningspunkt, men beregn først den andre deriverte: - 5)^5 = (2 x - 22)/∛(x - 5)^5.

Utelat nevneren, fordi du allerede har tatt hensyn til punktet x = 5. Løs ligningen 2 x - 22 = 0. Den har en enkelt rot x = 11. Det siste trinnet er å bekrefte at punktene x = 5 og x = 11 er bøyningspunkter. Analyser oppførselen til den andre deriverte i deres nærhet. Åpenbart, ved punktet x = 5, endrer det fortegn fra "+" til "-", og ved punktet x = 11, omvendt. Konklusjon: begge punktene er bøyningspunkter. Den første tilstrekkelige betingelsen er oppfylt.