Hjelp på Tele2, takster, spørsmål

TEKSTTRANSKRIPT AV LEKSJONEN:

Du kjenner allerede to tilfeller av relative posisjoner av linjer i rommet:

1. kryssende linjer;

2. parallelle linjer.

La oss huske definisjonene deres.

Definisjon. Linjer i rommet kalles kryssende hvis de ligger i samme plan og har ett felles punkt

Definisjon. Linjer i rommet kalles parallelle hvis de ligger i samme plan og ikke har felles punkter.

Felles for disse definisjonene er at linjene ligger i samme plan.

Dette er ikke alltid tilfelle i verdensrommet. Vi kan håndtere flere fly, og ikke hver to rette linjer vil ligge i samme plan.

For eksempel kubekanter ABCDA1B1C1D1

AB og A1D1 ligger i forskjellige plan.

Definisjon. To linjer kalles skjevt hvis det ikke er noe plan som vil passere gjennom disse linjene. Fra definisjonen er det klart at disse linjene ikke krysser hverandre og ikke er parallelle.

La oss bevise et teorem som uttrykker kriteriet for skjeve linjer.

Teorem (test av skjeve linjer).

Hvis en av linjene ligger i et bestemt plan, og den andre linjen skjærer dette planet i et punkt som ikke tilhører denne linjen, så skjærer disse linjene.

Den rette linjen AB ligger i α-planet. Linje CD skjærer plan α i punkt C, som ikke tilhører linje AB.

Bevis at linjene AB og DC er krysset.

Bevis

Vi vil utføre beviset ved selvmotsigelse.

La oss si at AB og CD ligger i samme plan, la oss betegne det β.

Deretter går planet β gjennom linjen AB og punkt C.

Som følge av aksiomene, gjennom linjen AB og et punkt C som ikke ligger på den, kan man tegne et plan, og bare ett.

Men vi har allerede et slikt fly - α-planet.

Derfor faller planene β og α sammen.

Men dette er umulig, fordi... den rette linjen CD skjærer α, men ligger ikke i den.

Vi har kommet frem til en selvmotsigelse, derfor er vår antagelse feil. AB og CD ligger i

forskjellige plan og krysser hverandre.

Teoremet er bevist.

Så det er tre mulige måter for gjensidig arrangement av linjer i rommet:

A) Linjene skjærer hverandre, det vil si at de bare har ett felles punkt.

B) Linjene er parallelle, dvs. ligge i samme plan og har ingen felles punkter.

C) Rette linjer krysser, dvs. ikke ligg i samme plan.

La oss vurdere et annet teorem om skjeve linjer

Teorem. Gjennom hver av to kryssende linjer går det et plan parallelt med den andre linjen, og dessuten bare en.

AB og CD - kryssende linjer

Bevis at det eksisterer et plan α slik at linjen AB ligger i planet α, og linjen CD er parallell med planet α.

Bevis

La oss bevise eksistensen av et slikt fly.

1) Gjennom punkt A trekker vi en rett linje AE parallelt med CD.

2) Siden linjene AE og AB krysser hverandre, kan et plan trekkes gjennom dem. La oss betegne det med α.

3) Siden linjen CD er parallell med AE, og AE ligger i planet α, så er linjen CD ∥ plan α (ved teoremet om perpendikulæriteten til linjen og planet).

Plan α er det ønskede planet.

La oss bevise at planet α er det eneste som tilfredsstiller betingelsen.

Ethvert annet plan som går gjennom linjen AB vil skjære AE, og derfor linjen CD parallelt med den. Det vil si at ethvert annet plan som går gjennom AB skjærer den rette linjen CD, og ​​er derfor ikke parallelt med det.

Derfor er α-planet unikt. Teoremet er bevist.

Hvis to linjer i rommet har et felles punkt, sies disse to linjene å krysse hverandre. I den følgende figuren krysser linjene a og b i punkt A. Linjene a og c krysser ikke hverandre.

Alle to rette linjer har enten bare ett felles punkt eller har ingen felles punkter.

Parallelle linjer

To linjer i rommet kalles parallelle hvis de ligger i samme plan og ikke krysser hverandre. For å angi parallelle linjer, bruk et spesielt ikon - ||.

Notasjonen a||b betyr at linje a er parallell med linje b. I figuren presentert ovenfor er linjene a og c parallelle.

Parallelllinjeteorem

Gjennom ethvert punkt i rommet som ikke ligger på en gitt linje, går det en linje parallelt med den gitte og dessuten bare en.

Kryssende linjer

To linjer som ligger i samme plan kan enten krysse eller være parallelle. Men i rommet hører ikke nødvendigvis to rette linjer til dette planet. De kan plasseres i to forskjellige plan.

Det er åpenbart at linjer som ligger i forskjellige plan ikke krysser hverandre og ikke er parallelle linjer. To linjer som ikke ligger i samme plan kalles krysse rette linjer.

Følgende figur viser to kryssende rette linjer a og b, som ligger i forskjellige plan.

Test og teorem på skjeve linjer

Hvis en av to linjer ligger i et bestemt plan, og den andre linjen skjærer dette planet i et punkt som ikke ligger på den første linjen, så skjærer disse linjene.

Teorem om skjeve linjer: gjennom hver av to kryssende linjer går det et plan parallelt med den andre linjen, og dessuten bare en.

Dermed har vi vurdert alle mulige tilfeller av relative posisjoner av linjer i rommet. Det er bare tre av dem.

1. Linjer krysser hverandre. (Det vil si at de bare har ett felles poeng.)

2. Linjer er parallelle. (Det vil si at de ikke har felles punkter og ligger i samme plan.)

3. Rette linjer krysser hverandre. (Det vil si at de er plassert i forskjellige plan.)

AG.40. Avstand mellom to kryssende linjer

I koordinater

FMP.3. FULL ØKING

funksjoner av flere variabler - inkrementet oppnådd av en funksjon når alle argumenter mottar (vanligvis ikke-null) inkrementer. Mer presist, la funksjonen f være definert i et nabolag til punktet

n-dimensjonalt rom av variabler x 1,. . ., x s.Øke

funksjon f ved punkt x (0), hvor

kalt full økning hvis den anses som en funksjon av n mulige økninger D x 1, . . ., D x n argumenter x 1,. .., x p, bare under forutsetning av at punktet x (0) + Dx tilhører definisjonsdomenet til funksjonen f. Sammen med de delvise økningene av funksjonen, vurderes delvise økninger av D x k f funksjon f ved punkt x (0) i variabel xk, dvs. slike inkrementer Df, for hvilke Dx уj =0, j=1, 2, . . ., k- 1, k+1, . . ., p, k - fast (k=1, 2, ..., n).

FMP.4. A: Den partielle økningen av funksjonen z = (x, y) i forhold til x er forskjellen med den delvise økningen mht.

A: Den partielle deriverte med hensyn til x av funksjonen z = (x, y) er grensen for forholdet mellom den partielle økningen og økningen Ax, da sistnevnte har en tendens til null:

Andre notasjoner: Tilsvarende for variabler -

noah u.

Når vi legger merke til at det er bestemt for en konstant y, og for en konstant x, kan vi formulere en regel: den partielle deriverte med hensyn til x av funksjonen z = (x, y) er den vanlige deriverte med hensyn til x, beregnet under antakelsen om at y = konst. Tilsvarende, for å beregne den partielle deriverte med hensyn til y, må man anta x = const. Dermed er reglene for beregning av partielle derivater de samme som for en funksjon av én variabel.

FMP.5. Kontinuitet av funksjoner. Definisjon av kontinuitet til en funksjon

En funksjon kalles kontinuerlig på et punkt hvis en av de ekvivalente betingelsene er oppfylt:

2) for en vilkårlig sekvens ( x n) verdier som konvergerer ved n→ ∞ til sak x 0, den tilsvarende sekvensen ( f(x n)) verdier for funksjonen konvergerer ved n→ ∞ k f(x 0);

3) eller f(x) - f(x 0) → 0 kl x - x 0 → 0;

4) slik at eller, som er det samme,

f: ]x 0 - δ , x 0 + δ [ → ]f(x 0) - ε , f(x 0) + ε [.

Fra definisjonen av kontinuitet til en funksjon f på punktet x 0 følger det

Hvis funksjonen f kontinuerlig på hvert punkt i intervallet ] en, b[, deretter funksjonen f kalt kontinuerlig i dette intervallet.

FMP.6. I matematisk analyse, delvis avledet- en av generaliseringene av begrepet derivert til tilfellet med en funksjon av flere variabler.

Eksplisitt den partielle deriverte av funksjonen f er definert som følger:

Graf av en funksjon z = x² + xy + y². Partiell derivert ved punkt (1, 1, 3) ved konstant y tilsvarer helningsvinkelen til en tangentlinje parallelt med planet xz.

Deler av grafen vist ovenfor i plan y= 1

Vær oppmerksom på at betegnelsen skal forstås som hel symbol, i motsetning til den vanlige deriverte av en funksjon av en variabel, som kan representeres som forholdet mellom differensialene til funksjonen og argumentet. Imidlertid kan den partielle deriverte også representeres som et forhold mellom differensialer, men i dette tilfellet er det nødvendig å indikere med hvilken variabel funksjonen inkrementeres: , hvor d x f- partiell differensial av funksjonen f med hensyn til variabelen x. Ofte er mangel på forståelse av faktumet til et symbols integritet årsaken til feil og misforståelser, som for eksempel en forkortelse i uttrykket. (for flere detaljer, se Fichtenholtz, "Differensial- og integralregning").

Geometrisk er den partielle deriverte den deriverte med hensyn til retningen til en av koordinataksene. Partiell derivert av en funksjon f på et punkt langs koordinaten x k er lik den deriverte med hensyn til retning, der enheten er på k- plass.

LA 76) Syst. Ligningen kalles Cramer hvis antall ligninger er lik antall ukjente.

LA 77-78) Syst. kalles felles hvis den har minst én løsning, og inkonsekvent ellers.

LA 79-80) Fugesystem. kalt bestemt hvis det bare har én løsning, og ubestemt ellers.

LA 81) ... determinanten til Cramer-systemet var forskjellig fra null

LA 169) For at systemet skal være konsistent, er det nødvendig og tilstrekkelig at rangeringen til matrisen er lik rangeringen til den utvidede matrisen = .

LA 170) Hvis determinanten til Cramer-systemet er forskjellig fra null, er systemet definert, og løsningen kan finnes ved å bruke formlene

LA 171) 1. Finn løsningen til Cramer-ligningssystemet ved å bruke matrisemetoden; 2.. La oss skrive systemet i matriseform; 3. La oss beregne determinanten til systemet ved å bruke dets egenskaper: 4. Deretter skriver vi den inverse matrisen A-1; 5. Derfor

LA 172) Homogent system av lineære ligninger AX = 0. Et homogent system er alltid konsistent fordi det har minst én løsning

LA 173) Hvis minst en av determinantene , , ikke er lik null, vil alle løsninger av system (1) bli bestemt av formlene , , , hvor t er et vilkårlig tall. Hver enkelt løsning oppnås ved en bestemt verdi på t.

LA 174) Settet med løsninger er homogent. systemer kalles et grunnleggende system av løsninger hvis: 1) lineært uavhengige; 2) enhver løsning til systemet er en lineær kombinasjon av løsninger.

AG118. Den generelle ligningen til flyet er...

Ligningen til et plan av formen kalles generell planligning.

AG119.Hvis plan a er beskrevet av ligningen Ax+D=0, så...

PR 10.Hva er en uendelig mengde og hva er dens grunnleggende egenskaper?

PR 11. Hvilken mengde kalles uendelig stor? Hva er forbindelsen hennes

med uendelig?

PR12.K Hvilket begrensende forhold kalles den første bemerkelsesverdige grensen? Den første bemerkelsesverdige grensen forstås som den begrensende relasjonen

PR 13 Hvilket begrensende forhold kalles den andre bemerkelsesverdige grensen?

PR 14 Hvilke par av tilsvarende funksjoner kjenner du?

CR64 Hvilken serie kalles harmonisk? Under hvilke betingelser konvergerer den?

En serie av skjemaet kalles harmonisk.

CR 65.Hva er summen av en uendelig avtagende progresjon?

CR66. Hvilket utsagn menes med det første sammenligningsteoremet?

La det gis to positive serier

Hvis, i det minste fra et sted (si, for ), ulikheten: , så følger fra konvergensen av serien konvergensen av serien, eller - som er det samme - fra divergensen til serien følger divergensen til serien. serie.

CR67. Hvilket utsagn menes med det andre sammenligningsteoremet?

La oss late som. Hvis det er en grense

så når begge seriene konvergerer eller divergerer samtidig.

CR 45 Formuler det nødvendige kriteriet for konvergens av en serie.

Hvis en serie har en endelig sum, kalles den konvergent.

CR 29 En harmonisk serie er en serie av formen... Det konvergerer når

En serie av skjemaet kalles harmonisk. Dermed konvergerer den harmoniske serien ved og divergerer ved .

AG 6. Et ordnet system av lineært uavhengige vektorer som ligger på en gitt linje (i et gitt plan, i rommet) kalles en basis på denne linjen (på dette planet, i rommet) hvis det er en vektor som ligger på en gitt linje (i en gitt plan, i rommet ) kan representeres som en lineær kombinasjon av vektorer av dette lineært uavhengige systemet.

Ethvert par av ikke-kollineære vektorer som ligger i et gitt plan danner et grunnlag på dette planet.

AG 7. Et ordnet system av lineært uavhengige vektorer som ligger på en gitt linje (i et gitt plan, i rommet) kalles en basis på denne linjen (på dette planet, i rommet) hvis det er en vektor som ligger på en gitt linje (i en gitt plan, space ) kan representeres som en lineær kombinasjon av vektorer av dette lineært uavhengige systemet.

Enhver trippel av ikke-koplanare vektorer danner en basis i rommet.

AG 8, Koeffisientene i ekspansjonen av en vektor over en basis kalles koordinatene til denne vektoren i en gitt basis. For å finne koordinatene til en vektor med en gitt begynnelse og slutt, må du trekke fra koordinatene til dens begynnelse fra koordinatene til slutten av vektoren: hvis , , så .

AG 9.a) La oss konstruere en vektor (en vektor med en start på et punkt og en slutt på et punkt kalles radiusvektor for et punkt ).

AG 10. Nei, fordi Radianmålet for vinkelen mellom to vektorer er alltid mellom og

AG 11. En skalar er et hvilket som helst reelt tall. Prikk produkt to vektorer og tallet kalles lik produktet av modulene deres og cosinus til vinkelen mellom dem.

AG 12. vi kan beregne avstand mellom punkter, basisvektorer, vinkel mellom vektorer.

AG 13. Vektorproduktet av en vektor og en vektor er den tredje vektoren som har følgende egenskaper:

Dens lengde er

Vektoren er vinkelrett på planet der vektorene og