Hjelp på Tele2, takster, spørsmål

Siden du kom hit, har du sannsynligvis allerede klart å se denne formelen i læreboken

og lag et ansikt som dette:

Venn, ikke bekymre deg! Faktisk er alt enkelt å vanære. Du vil definitivt forstå alt. Bare én forespørsel - les artikkelen sakte prøv å forstå hvert trinn. Jeg skrev så enkelt og tydelig som mulig, men du må fortsatt fordype deg i ideen. Og sørg for å løse oppgavene fra artikkelen.

Hva er en kompleks funksjon?

Tenk deg at du skal flytte til en annen leilighet og derfor pakker du ting i store esker. La det være nødvendig å samle noen små gjenstander, for eksempel skolepapir. Hvis du bare kaster dem i en diger boks, vil de blant annet gå seg vill. For å unngå dette legger du dem først for eksempel i en pose, som du så legger i en stor boks, hvorpå du forsegler den. Denne "vanskeligste" prosessen er vist i diagrammet nedenfor:

Det ser ut til, hvor kommer matematikken? Og dessuten dannes en kompleks funksjon på AKKURAT SAMME måte! Bare vi "pakker" ikke notatbøker og penner, men \ (x \), mens forskjellige "pakker" og "bokser" tjener.

La oss for eksempel ta x og "pakke" den inn i en funksjon:

Som et resultat får vi selvfølgelig \(\cos⁡x\). Dette er vår "bag of things". Og nå legger vi det i en "boks" - vi pakker det for eksempel inn i en kubisk funksjon.

Hva vil skje til slutt? Ja, det stemmer, det blir en «pakke med ting i boks», altså «kosinus av x terninger».

Den resulterende konstruksjonen er en kompleks funksjon. Den skiller seg fra den enkle i det FLERE "påvirkninger" (pakker) påføres en X på rad og det viser seg som det var "en funksjon fra en funksjon" - "en pakke i en pakke".

I skolekurset er det svært få typer av de samme "pakkene", bare fire:

La oss nå "pakke" x først inn i en eksponentiell funksjon med base 7, og deretter inn i en trigonometrisk funksjon. Vi får:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

Og la oss nå "pakke" x to ganger i trigonometriske funksjoner, først inn og deretter inn i:

\(x → sin⁡x → ctg⁡ (sin⁡x)\)

Enkelt, ikke sant?

Skriv nå funksjonene selv, hvor x:
- først "pakkes" den inn i en cosinus, og deretter i en eksponentiell funksjon med base \(3\);
- først til femte potens, og deretter til tangenten;
- først til grunnlogaritmen \(4\) , deretter til makten \(-2\).

Se svarene på dette spørsmålet på slutten av artikkelen.

Men kan vi "pakke" x ikke to, men tre ganger? Ikke noe problem! Og fire, og fem og tjuefem ganger. Her er for eksempel en funksjon der x er "pakket" \(4\) ganger:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4))))\)

Men slike formler vil ikke finnes i skolepraksis (elevene er mer heldige - de kan være vanskeligere☺).

"Utpakke" en kompleks funksjon

Se på forrige funksjon igjen. Kan du finne ut sekvensen av "pakking"? Hva X ble stappet inn i først, hva så, og så videre helt til slutten. Det vil si hvilken funksjon er nestet i hvilken? Ta et stykke papir og skriv ned hva du synes. Du kan gjøre dette med en kjede av piler, som vi skrev ovenfor, eller på en annen måte.

Nå er det riktige svaret: først ble x "pakket" inn i \(4\)te potens, deretter ble resultatet pakket inn i sinusen, det ble på sin side plassert i logaritmen \(2\), og i på slutten ble hele konstruksjonen skjøvet inn i kraftfemerne.

Det vil si at det er nødvendig å avvikle sekvensen I OVERSIKTET REKKEFØLGE. Og her er et hint om hvordan du gjør det enklere: bare se på X-en - du må danse fra den. La oss se på noen få eksempler.

For eksempel, her er en funksjon: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Vi ser på X - hva skjer med ham først? Tatt fra ham. Og så? Tangensen til resultatet tas. Og rekkefølgen vil være den samme:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Et annet eksempel: \(y=\cos⁡((x^3))\). Vi analyserer - først ble x kuttet, og deretter ble cosinus tatt fra resultatet. Så sekvensen vil være: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Vær oppmerksom, funksjonen ser ut til å være lik den aller første (hvor med bilder). Men dette er en helt annen funksjon: her i kuben x (det vil si \(\cos⁡((x x x)))\), og der i kuben cosinus \(x\) (det vil si \(\ cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Denne forskjellen oppstår fra forskjellige "pakke"-sekvenser.

Det siste eksemplet (med viktig informasjon): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Det er tydelig at vi her først utførte aritmetiske operasjoner med x, deretter ble sinus tatt fra resultatet: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). Og dette er et viktig poeng: til tross for at aritmetiske operasjoner ikke er funksjoner i seg selv, fungerer de også her som en måte å "pakke". La oss gå litt dypere inn i denne subtiliteten.

Som jeg sa ovenfor, i enkle funksjoner er x "pakket" en gang, og i komplekse funksjoner - to eller flere. Dessuten er enhver kombinasjon av enkle funksjoner (det vil si summen, differansen, multiplikasjonen eller divisjonen deres) også en enkel funksjon. For eksempel er \(x^7\) en enkel funksjon, og det samme er \(ctg x\). Derfor er alle kombinasjonene deres enkle funksjoner:

\(x^7+ ctg x\) - enkel,
\(x^7 ctg x\) er enkelt,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) er enkelt, og så videre.

Men hvis en funksjon til brukes på en slik kombinasjon, vil det allerede være en kompleks funksjon, siden det vil være to "pakker". Se diagram:

Ok, la oss fortsette med det nå. Skriv sekvensen av "innpaknings"-funksjoner:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Svarene er igjen på slutten av artikkelen.

Interne og eksterne funksjoner

Hvorfor trenger vi å forstå funksjonshekking? Hva gir dette oss? Poenget er at uten en slik analyse vil vi ikke være i stand til pålitelig å finne de deriverte av funksjonene diskutert ovenfor.

Og for å komme videre, trenger vi ytterligere to konsepter: interne og eksterne funksjoner. Dette er en veldig enkel ting, dessuten har vi faktisk allerede analysert dem ovenfor: hvis vi husker analogien vår helt i begynnelsen, så er den indre funksjonen "pakken", og den ytre er "boksen". De. det X først er "pakket inn" i er en intern funksjon, og det det indre er "pakket inn" i er allerede eksternt. Vel, det er forståelig hvorfor - det er utenfor, det betyr eksternt.

Her i dette eksemplet: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), funksjonen \(\log_2⁡x\) er intern, og
- ekstern.

Og i denne: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), er \(x^3+2x+1\) intern, og
- ekstern.

Utfør den siste praksisen med å analysere komplekse funksjoner, og til slutt, la oss gå videre til punktet som alt ble startet for - vi vil finne derivater av komplekse funksjoner:

Fyll ut hullene i tabellen:

Derivat av en kompleks funksjon

Bravo til oss, vi kom fortsatt til "sjefen" for dette emnet - faktisk avledet av en kompleks funksjon, og spesifikt til den veldig forferdelige formelen fra begynnelsen av artikkelen.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Denne formelen lyder slik:

Den deriverte av en kompleks funksjon er lik produktet av den deriverte av den eksterne funksjonen med hensyn til den konstante interne funksjonen og den deriverte av den interne funksjonen.

Og se umiddelbart på analyseskjemaet "med ord" for å forstå hva du skal forholde deg til:

Jeg håper begrepene "derivat" og "produkt" ikke skaper vanskeligheter. "Kompleks funksjon" - vi har allerede demontert. Fangsten er i "deriverten av den eksterne funksjonen med hensyn til den konstante indre." Hva det er?

Svar: dette er den vanlige deriverte av den ytre funksjonen, der bare den ytre funksjonen endres, mens den indre forblir den samme. Fortsatt uklart? Ok, la oss ta et eksempel.

La oss si at vi har en funksjon \(y=\sin⁡(x^3)\). Det er tydelig at den indre funksjonen her er \(x^3\), og den ytre
. La oss nå finne den deriverte av det ytre med hensyn til det konstante indre.

Operasjonen med å finne en derivert kalles differensiering.

Som et resultat av å løse problemer med å finne deriverte av de enkleste (og ikke veldig enkle) funksjonene ved å definere den deriverte som grensen for forholdet mellom økningen og økningen av argumentet, dukket det opp en tabell med deriverte og nøyaktig definerte regler for differensiering . Isaac Newton (1643-1727) og Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) var de første som arbeidet med å finne derivater.

Derfor, i vår tid, for å finne den deriverte av en funksjon, er det ikke nødvendig å beregne den ovennevnte grensen for forholdet mellom økningen av funksjonen og økningen av argumentet, men trenger bare å bruke tabellen av derivater og reglene for differensiering. Følgende algoritme er egnet for å finne den deriverte.

For å finne den deriverte, trenger du et uttrykk under strektegnet bryte ned enkle funksjoner og bestemme hvilke handlinger (produkt, sum, kvotient) disse funksjonene er relatert. Videre finner vi deriverte av elementære funksjoner i tabellen over deriverte, og formlene for deriverte av produktet, sum og kvotient - i differensieringsreglene. Tabellen over derivater og differensieringsregler er gitt etter de to første eksemplene.

Eksempel 1 Finn den deriverte av en funksjon

Løsning. Fra differensieringsreglene finner vi ut at den deriverte av summen av funksjoner er summen av deriverte av funksjoner, dvs.

Fra tabellen over deriverte finner vi ut at den deriverte av "X" er lik en, og den deriverte av sinus er cosinus. Vi erstatter disse verdiene i summen av deriverte og finner den deriverte som kreves av tilstanden til problemet:

Eksempel 2 Finn den deriverte av en funksjon

Løsning. Differensiere som en derivert av summen, der det andre leddet med en konstant faktor kan tas ut av tegnet til den deriverte:

Hvis det fortsatt er spørsmål om hvor noe kommer fra, blir de som regel tydelige etter å ha lest tabellen over derivater og de enkleste differensieringsreglene. Vi skal til dem akkurat nå.

Tabell over deriverte av enkle funksjoner

1. Derivert av en konstant (tall). Et hvilket som helst tall (1, 2, 5, 200...) som er i funksjonsuttrykket. Alltid null. Dette er veldig viktig å huske, da det kreves veldig ofte
2. Derivert av den uavhengige variabelen. Oftest "x". Alltid lik en. Dette er også viktig å huske
3. Avledet av grad. Når du løser problemer, må du konvertere ikke-kvadratrøtter til en potens.
4. Derivert av en variabel i potensen -1
5. Avledet av kvadratroten
6. Sinusderivat
7. Cosinusderivat
8. Tangentderivat
9. Derivat av cotangens
10. Derivat av arcsine
11. Derivat av arc cosinus
12. Derivert av buetangens
13. Derivert av den inverse tangenten
14. Derivert av naturlig logaritme
15. Derivert av en logaritmisk funksjon
16. Derivert av eksponenten
17. Derivert av eksponentiell funksjon

Differensieringsregler

1. Derivert av summen eller differansen
2. Derivat av et produkt
2a. Derivert av et uttrykk multiplisert med en konstant faktor
3. Derivat av kvotienten
4. Derivat av en kompleks funksjon

Regel 1Hvis funksjoner

er differensierbare på et tidspunkt, deretter på samme punkt funksjonene

og

de. den deriverte av den algebraiske summen av funksjoner er lik den algebraiske summen av de deriverte av disse funksjonene.

Konsekvens. Hvis to differensierbare funksjoner er forskjellige med en konstant, er deres deriverte det, dvs.

Regel 2Hvis funksjoner

er differensierbare på et tidspunkt, så er produktet deres også differensierbart på samme punkt

og

de. den deriverte av produktet av to funksjoner er lik summen av produktene til hver av disse funksjonene og den deriverte av den andre.

Konsekvens 1. Konstantfaktoren kan tas ut av tegnet til den deriverte:

Konsekvens 2. Den deriverte av produktet av flere differensierbare funksjoner er lik summen av produktene av den deriverte av hver av faktorene og alle de andre.

For eksempel for tre multiplikatorer:

Regel 3Hvis funksjoner

differensierbar på et tidspunkt Og , så på dette punktet er kvotienten deres også differensierbar.u/v , og

de. den deriverte av en kvotient av to funksjoner er lik en brøk hvis teller er differansen mellom produktene av nevneren og den deriverte av telleren og telleren og den deriverte av nevneren, og nevneren er kvadratet av den tidligere telleren .

Hvor du kan se på andre sider

Når du finner produktets derivat og kvotient i reelle problemer, er det alltid nødvendig å bruke flere differensieringsregler samtidig, så flere eksempler på disse derivatene er i artikkelen."Deriverten av et produkt og en kvotient".

Kommentar. Du bør ikke forveksle en konstant (det vil si et tall) som et ledd i summen og som en konstant faktor! Når det gjelder et ledd, er dets deriverte lik null, og når det gjelder en konstant faktor, er det tatt ut av tegnet til de deriverte. Dette er en typisk feil som oppstår i det innledende stadiet av å studere derivater, men ettersom gjennomsnittsstudenten løser flere en-to-komponent-eksempler, gjør ikke lenger gjennomsnittsstudenten denne feilen.

Og hvis du, når du skiller et produkt eller en kvotient, har et begrep u"v, hvori u- et tall, for eksempel 2 eller 5, det vil si en konstant, så vil den deriverte av dette tallet være lik null, og derfor vil hele leddet være lik null (et slikt tilfelle analyseres i eksempel 10) .

En annen vanlig feil er den mekaniske løsningen av den deriverte av en kompleks funksjon som den deriverte av en enkel funksjon. Derfor avledet av en kompleks funksjon viet til en egen artikkel. Men først skal vi lære å finne deriverte av enkle funksjoner.

Underveis kan du ikke klare deg uten transformasjoner av uttrykk. For å gjøre dette, må du kanskje åpne i nye Windows-håndbøker Handlinger med krefter og røtter Og Handlinger med brøker .

Hvis du leter etter løsninger på derivater med potenser og røtter, det vil si når funksjonen ser ut som , følg deretter leksjonen "Derivert av summen av brøker med potenser og røtter".

Hvis du har en oppgave som , da er du i leksjonen "Diveriver av enkle trigonometriske funksjoner".

Steg for steg eksempler - hvordan finne den deriverte

Eksempel 3 Finn den deriverte av en funksjon

Løsning. Vi bestemmer delene av funksjonsuttrykket: hele uttrykket representerer produktet, og dets faktorer er summer, i det andre inneholder et av leddene en konstant faktor. Vi bruker produktdifferensieringsregelen: den deriverte av produktet av to funksjoner er lik summen av produktene til hver av disse funksjonene og den deriverte av den andre:

Deretter bruker vi regelen for differensiering av summen: den deriverte av den algebraiske summen av funksjoner er lik den algebraiske summen av de deriverte av disse funksjonene. I vårt tilfelle, i hver sum, det andre leddet med et minustegn. I hver sum ser vi både en uavhengig variabel, hvis deriverte er lik én, og en konstant (tall), hvis deriverte er lik null. Så, "x" blir til en, og minus 5 - til null. I det andre uttrykket multipliseres "x" med 2, så vi multipliserer to med samme enhet som den deriverte av "x". Vi får følgende verdier av derivater:

Vi erstatter de funnet deriverte i summen av produkter og får den deriverte av hele funksjonen som kreves av tilstanden til problemet:

Og du kan sjekke løsningen av problemet på den deriverte på .

Eksempel 4 Finn den deriverte av en funksjon

Løsning. Vi er pålagt å finne den deriverte av kvotienten. Vi bruker formelen for å differensiere en kvotient: den deriverte av en kvotient av to funksjoner er lik en brøk hvis teller er forskjellen mellom produktene av nevneren og den deriverte av telleren og telleren og den deriverte av nevneren, og nevneren er kvadratet til den tidligere telleren. Vi får:

Vi har allerede funnet den deriverte av faktorene i telleren i eksempel 2. La oss heller ikke glemme at produktet, som er den andre faktoren i telleren i gjeldende eksempel, er tatt med et minustegn:

Hvis du leter etter løsninger på slike problemer der du trenger å finne den deriverte av en funksjon, hvor det er en kontinuerlig haug med røtter og grader, som f.eks. så velkommen til timen "Den deriverte av summen av brøker med potenser og røtter" .

Hvis du trenger å lære mer om deriverte av sinus, cosinus, tangenter og andre trigonometriske funksjoner, det vil si når funksjonen ser ut som , så har du en leksjon "Derivater av enkle trigonometriske funksjoner" .

Eksempel 5 Finn den deriverte av en funksjon

Løsning. I denne funksjonen ser vi et produkt, hvor en av faktorene er kvadratroten av den uavhengige variabelen, med den deriverte vi gjorde oss kjent med i tabellen over deriverte. I henhold til produktdifferensieringsregelen og tabellverdien til den deriverte av kvadratroten får vi:

Du kan sjekke løsningen av derivatproblemet på derivatkalkulator online .

Eksempel 6 Finn den deriverte av en funksjon

Løsning. I denne funksjonen ser vi kvotienten, hvis utbytte er kvadratroten av den uavhengige variabelen. I henhold til regelen for differensiering av kvotienten, som vi gjentok og brukte i eksempel 4, og tabellverdien til den deriverte av kvadratroten, får vi:

For å bli kvitt brøken i telleren, multipliser telleren og nevneren med .

I denne leksjonen lærer vi hvordan du finner avledet av en kompleks funksjon. Leksjonen er en logisk fortsettelse av leksjonen Hvordan finne den deriverte?, hvor vi analyserte de enkleste derivatene, og ble også kjent med reglene for differensiering og noen tekniske metoder for å finne derivater. Derfor, hvis du ikke er veldig god med funksjonsderivater eller noen punkter i denne artikkelen ikke er helt klare, så les først leksjonen ovenfor. Vennligst still inn på en seriøs stemning - materialet er ikke lett, men jeg vil likevel prøve å presentere det enkelt og tydelig.

I praksis må du forholde deg til den deriverte av en kompleks funksjon veldig ofte, jeg vil til og med si nesten alltid, når du får oppgaver med å finne deriverte.

Vi ser i tabellen på regelen (nr. 5) for å differensiere en kompleks funksjon:

Vi forstår. Først av alt, la oss ta en titt på notasjonen. Her har vi to funksjoner - og , og funksjonen er billedlig talt nestet i funksjonen . En funksjon av denne typen (når en funksjon er nestet i en annen) kalles en kompleks funksjon.

Jeg vil kalle funksjonen ekstern funksjon, og funksjonen – indre (eller nestet) funksjon.

! Disse definisjonene er ikke teoretiske og skal ikke fremkomme i den endelige utformingen av oppgavene. Jeg bruker de uformelle uttrykkene "ekstern funksjon", "intern" funksjon kun for å gjøre det lettere for deg å forstå stoffet.

For å avklare situasjonen, vurder:

Eksempel 1

Finn den deriverte av en funksjon

Under sinusen har vi ikke bare bokstaven "x", men hele uttrykket, så å finne den deriverte umiddelbart fra tabellen vil ikke fungere. Vi legger også merke til at det er umulig å bruke de fire første reglene her, det ser ut til å være en forskjell, men faktum er at det er umulig å "rive fra hverandre" sinusen:

I dette eksempelet, allerede fra mine forklaringer, er det intuitivt klart at funksjonen er en kompleks funksjon, og polynomet er en intern funksjon (embedding), og en ekstern funksjon.

Første skritt, som må utføres når man skal finne den deriverte av en kompleks funksjon forstå hvilken funksjon som er intern og hvilken som er ekstern.

Når det gjelder enkle eksempler, virker det klart at et polynom er nestet under sinusen. Men hva om det ikke er åpenbart? Hvordan bestemme nøyaktig hvilken funksjon som er ekstern og hvilken som er intern? For å gjøre dette foreslår jeg å bruke følgende teknikk, som kan utføres mentalt eller på et utkast.

La oss forestille oss at vi må beregne verdien av uttrykket med en kalkulator (i stedet for en, kan det være et hvilket som helst tall).

Hva beregner vi først? Først av alt du må utføre følgende handling: , så polynomet vil være en intern funksjon:

for det andre du må finne, så sinus - vil være en ekstern funksjon:

Etter vi FORSTÅ Med indre og ytre funksjoner er det på tide å bruke den sammensatte.

Vi begynner å bestemme oss. Fra leksjonen Hvordan finne den deriverte? vi husker at utformingen av løsningen til en hvilken som helst derivat alltid begynner slik - vi omslutter uttrykket i parentes og setter et strøk øverst til høyre:

Først vi finner den deriverte av den ytre funksjonen (sinus), ser på tabellen over avledede av elementære funksjoner og legger merke til at . Alle tabellformler kan brukes selv om "x" er erstattet med et komplekst uttrykk, i dette tilfellet:

Merk at den indre funksjonen har ikke endret seg, vi rører den ikke.

Vel, det er ganske åpenbart det

Det endelige resultatet av å bruke formelen ser slik ut:

Konstantfaktoren plasseres vanligvis i begynnelsen av uttrykket:

Hvis det er noen misforståelser, skriv ned avgjørelsen på papir og les forklaringene på nytt.

Eksempel 2

Finn den deriverte av en funksjon

Eksempel 3

Finn den deriverte av en funksjon

Som alltid skriver vi:

Vi finner ut hvor vi har en ekstern funksjon, og hvor er en intern. For å gjøre dette prøver vi (mentalt eller på et utkast) å beregne verdien av uttrykket for . Hva må gjøres først? Først av alt, må du beregne hva basen er lik:, noe som betyr at polynomet er den interne funksjonen:

Og først da utføres eksponentiering, derfor er potensfunksjonen en ekstern funksjon:

I henhold til formelen må du først finne derivatet av den eksterne funksjonen, i dette tilfellet graden. Vi ser etter ønsket formel i tabellen:. Vi gjentar igjen: enhver tabellformel er gyldig ikke bare for "x", men også for et komplekst uttrykk. Dermed er resultatet av å bruke regelen om differensiering av en kompleks funksjon følgende:

Jeg understreker igjen at når vi tar den deriverte av den ytre funksjonen, endres ikke den indre funksjonen:

Nå gjenstår det å finne et veldig enkelt derivat av den indre funksjonen og "gre" resultatet litt:

Eksempel 4

Finn den deriverte av en funksjon

Dette er et eksempel for selvløsning (svar på slutten av leksjonen).

For å konsolidere forståelsen av den deriverte av en kompleks funksjon, vil jeg gi et eksempel uten kommentarer, prøve å finne det ut på egen hånd, begrunnelse, hvor er den eksterne og hvor er den interne funksjonen, hvorfor løses oppgavene på den måten?

Eksempel 5

a) Finn den deriverte av en funksjon

b) Finn den deriverte av funksjonen

Eksempel 6

Finn den deriverte av en funksjon

Her har vi en rot, og for å differensiere roten må den representeres som en grad. Derfor bringer vi først funksjonen inn i riktig form for differensiering:

Ved å analysere funksjonen kommer vi til at summen av tre ledd er en intern funksjon, og eksponentiering er en ekstern funksjon. Vi bruker regelen for differensiering av en kompleks funksjon:

Graden er igjen representert som en radikal (rot), og for den deriverte av den interne funksjonen bruker vi en enkel regel for å differensiere summen:

Klar. Du kan også bringe uttrykket til en fellesnevner i parentes og skrive alt som én brøk. Det er selvfølgelig vakkert, men når det oppnås tungvinte lange derivater, er det bedre å ikke gjøre dette (det er lett å bli forvirret, gjøre en unødvendig feil, og det vil være upraktisk for læreren å sjekke).

Eksempel 7

Finn den deriverte av en funksjon

Dette er et eksempel for selvløsning (svar på slutten av leksjonen).

Det er interessant å merke seg at noen ganger, i stedet for regelen for å differensiere en kompleks funksjon, kan man bruke regelen for å differensiere en kvotient , men en slik løsning vil se ut som en perversjon morsom. Her er et typisk eksempel:

Eksempel 8

Finn den deriverte av en funksjon

Her kan du bruke regelen om differensiering av kvotienten , men det er mye mer lønnsomt å finne den deriverte gjennom regelen for differensiering av en kompleks funksjon:

Vi forbereder funksjonen for differensiering - vi tar ut minustegnet til den deriverte, og hever cosinus til telleren:

Cosinus er en intern funksjon, eksponentiering er en ekstern funksjon.
La oss bruke vår regel:

Vi finner den deriverte av den indre funksjonen, tilbakestiller cosinus:

Klar. I det betraktede eksemplet er det viktig å ikke bli forvirret i skiltene. Prøv forresten å løse det med regelen , må svarene samsvare.

Eksempel 9

Finn den deriverte av en funksjon

Dette er et eksempel for selvløsning (svar på slutten av leksjonen).

Så langt har vi vurdert tilfeller der vi kun hadde én hekking i en kompleks funksjon. I praktiske oppgaver kan du ofte finne derivater, der, som hekkende dukker, den ene inne i den andre, 3 eller til og med 4-5 funksjoner er nestet på en gang.

Eksempel 10

Finn den deriverte av en funksjon

Vi forstår vedleggene til denne funksjonen. Vi prøver å evaluere uttrykket ved å bruke den eksperimentelle verdien. Hvordan vil vi regne med en kalkulator?

Først må du finne, noe som betyr at arcsine er den dypeste hekkingen:

Denne arcsinen av enhet bør deretter kvadratisk:

Og til slutt hever vi de syv til makten:

Det vil si at vi i dette eksemplet har tre forskjellige funksjoner og to hekkinger, mens den innerste funksjonen er arcsinus, og den ytterste funksjonen er eksponentialfunksjonen.

Vi begynner å bestemme oss

I henhold til regelen må du først ta den deriverte av den eksterne funksjonen. Vi ser på tabellen med deriverte og finner den deriverte av eksponentialfunksjonen: Den eneste forskjellen er at i stedet for "x" har vi et komplekst uttrykk, som ikke negerer gyldigheten til denne formelen. Så resultatet av å bruke regelen om differensiering av en kompleks funksjon er følgende:

Under streken har vi igjen en kinkig funksjon! Men det er allerede enklere. Det er lett å se at den indre funksjonen er arcsine og den ytre funksjonen er graden. I henhold til regelen for differensiering av en kompleks funksjon, må du først ta den deriverte av graden.

Hvis g(x) Og f(u) er differensierbare funksjoner av argumentene deres, henholdsvis på punktene x Og u= g(x), da er den komplekse funksjonen også differensierbar på punktet x og finnes av formelen

En typisk feil ved å løse problemer på derivater er den automatiske overføringen av reglene for å differensiere enkle funksjoner til komplekse funksjoner. Vi vil lære å unngå denne feilen.

Eksempel 2 Finn den deriverte av en funksjon

Feil løsning: regn ut den naturlige logaritmen til hvert ledd i parentes og finn summen av deriverte:

Riktig løsning: igjen bestemmer vi hvor er "eplet" og hvor er "kjøttdeigen". Her er den naturlige logaritmen til uttrykket i parentes "eplet", det vil si funksjonen på mellomargumentet u, og uttrykket i parentes er «kjøttdeig», altså et mellomargument u etter uavhengig variabel x.

Deretter (ved å bruke formel 14 fra tabellen over derivater)

I mange reelle problemer er uttrykket med logaritmen noe mer komplisert, og det er derfor det er en leksjon

Eksempel 3 Finn den deriverte av en funksjon

Feil løsning:

Riktig løsning. Nok en gang bestemmer vi hvor "eplet" og hvor "kjøttdeigen". Her er cosinus til uttrykket i parentes (formel 7 i tabellen over derivater) "eple", det er utarbeidet i modus 1, som bare påvirker det, og uttrykket i parentes (deriverten av graden - nummer 3 i tabellen over derivater) er "hakket kjøtt", det tilberedes i modus 2, og påvirker bare det. Og som alltid kobler vi to derivater med et produkttegn. Resultat:

Den deriverte av en kompleks logaritmisk funksjon er en hyppig oppgave i tester, så vi anbefaler på det sterkeste at du besøker leksjonen "Deriverte av en logaritmisk funksjon".

De første eksemplene var for komplekse funksjoner, der det mellomliggende argumentet over den uavhengige variabelen var en enkel funksjon. Men i praktiske oppgaver kreves det ofte å finne den deriverte av en kompleks funksjon, der mellomargumentet enten selv er en kompleks funksjon eller inneholder en slik funksjon. Hva skal man gjøre i slike tilfeller? Finn deriverte av slike funksjoner ved å bruke tabeller og differensieringsregler. Når den deriverte av mellomargumentet er funnet, erstattes den ganske enkelt på rett plass i formelen. Nedenfor er to eksempler på hvordan dette gjøres.

I tillegg er det nyttig å vite følgende. Hvis en kompleks funksjon kan representeres som en kjede av tre funksjoner

da bør dens derivater finnes som produktet av derivatene til hver av disse funksjonene:

Mange av leksene dine kan kreve at du åpner opplæringsprogrammer i nye vinduer. Handlinger med krefter og røtter Og Handlinger med brøker .

Eksempel 4 Finn den deriverte av en funksjon

Vi bruker regelen for differensiering av en kompleks funksjon, og ikke glemme at i det resulterende produktet av derivater, det mellomliggende argumentet med hensyn til den uavhengige variabelen x endres ikke:

Vi forbereder den andre faktoren til produktet og bruker regelen for å skille summen:

Det andre leddet er roten, altså

Dermed ble det oppnådd at det mellomliggende argumentet, som er summen, inneholder en kompleks funksjon som ett av begrepene: eksponentiering er en kompleks funksjon, og det som heves til en potens er et mellomargument av en uavhengig variabel x.

Derfor bruker vi igjen regelen om differensiering av en kompleks funksjon:

Vi transformerer graden av den første faktoren til en rot, og differensierer den andre faktoren, vi glemmer ikke at den deriverte av konstanten er lik null:

Nå kan vi finne den deriverte av det mellomliggende argumentet som trengs for å beregne den deriverte av den komplekse funksjonen som kreves i tilstanden til problemet y:

Eksempel 5 Finn den deriverte av en funksjon

Først bruker vi regelen for å differensiere summen:

Få summen av deriverte av to komplekse funksjoner. Finn den første:

Her er det å heve sinus til en potens en kompleks funksjon, og sinus i seg selv er et mellomargument i den uavhengige variabelen x. Derfor bruker vi regelen om differensiering av en kompleks funksjon, underveis tar multiplikatoren ut av parentes :

Nå finner vi det andre leddet fra de som danner den deriverte av funksjonen y:

Her er det en kompleks funksjon å heve cosinus til en potens f, og cosinus i seg selv er et mellomargument med hensyn til den uavhengige variabelen x. Igjen bruker vi regelen for differensiering av en kompleks funksjon:

Resultatet er den nødvendige derivatet:

Tabell over derivater av noen komplekse funksjoner

For komplekse funksjoner, basert på regelen for differensiering av en kompleks funksjon, har formelen for den deriverte av en enkel funksjon en annen form.

1. Derivert av en kompleks potensfunksjon, hvor u x
2. Avledet av roten til uttrykket
3. Derivert av eksponentialfunksjonen
4. Spesialtilfelle av eksponentialfunksjonen
5. Derivert av en logaritmisk funksjon med en vilkårlig positiv base EN
6. Derivert av en kompleks logaritmisk funksjon, hvor u er en differensierbar funksjon av argumentet x
7. Sinusderivat
8. Cosinusderivat
9. Tangentderivat
10. Derivat av cotangens
11. Derivat av arcsine
12. Derivat av arc cosinus
13. Derivert av buetangens
14. Derivert av den inverse tangenten

Hvis vi følger definisjonen, så er den deriverte av en funksjon i et punkt grensen for inkrementforholdet til funksjonen Δ y til økningen av argumentet Δ x:

Alt ser ut til å være klart. Men prøv å beregne med denne formelen, for eksempel den deriverte av funksjonen f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x synd x. Hvis du gjør alt per definisjon, vil du bare sovne etter et par sider med beregninger. Derfor finnes det enklere og mer effektive måter.

Til å begynne med merker vi at de såkalte elementære funksjonene kan skilles fra hele spekteret av funksjoner. Dette er relativt enkle uttrykk, hvis deriverte lenge har blitt beregnet og lagt inn i tabellen. Slike funksjoner er enkle å huske, sammen med deres derivater.

Derivater av elementære funksjoner

Elementære funksjoner er alt oppført nedenfor. Derivatene av disse funksjonene må være kjent utenat. Dessuten er det ikke vanskelig å huske dem - det er derfor de er elementære.

Så, derivatene av elementære funksjoner:

Navn	Funksjon	Derivat
Konstant	f(x) = C, C ∈ R	0 (ja, ja, null!)
Grad med rasjonell eksponent	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = synd x	cos x
Cosinus	f(x) = cos x	- synd x(minus sinus)
Tangent	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Cotangens	f(x) = ctg x	− 1/sin2 x
naturlig logaritme	f(x) = logg x	1/x
Vilkårlig logaritme	f(x) = logg en x	1/(x ln en)
Eksponentiell funksjon	f(x) = e x	e x(ingenting endret seg)

Hvis en elementær funksjon multipliseres med en vilkårlig konstant, beregnes også den deriverte av den nye funksjonen:

(C · f)’ = C · f ’.

Generelt kan konstanter tas ut av tegnet til den deriverte. For eksempel:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Det er klart at elementære funksjoner kan legges til hverandre, multipliseres, deles og mye mer. Slik vil nye funksjoner dukke opp, ikke lenger veldig elementære, men også differensierbare etter visse regler. Disse reglene er omtalt nedenfor.

Derivert av sum og differanse

La funksjonene f(x) Og g(x), hvis derivater er kjent for oss. For eksempel kan du ta de elementære funksjonene som er diskutert ovenfor. Deretter kan du finne den deriverte av summen og differansen av disse funksjonene:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Så den deriverte av summen (forskjellen) av to funksjoner er lik summen (forskjellen) av de deriverte. Det kan være flere vilkår. For eksempel, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Strengt tatt er det ikke noe begrep om "subtraksjon" i algebra. Det er et begrep om "negativt element". Derfor forskjellen f − g kan skrives om som en sum f+ (−1) g, og da gjenstår bare én formel - den deriverte av summen.

f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funksjon f(x) er summen av to elementære funksjoner, så:

f ’(x) = (x 2+ synd x)’ = (x 2)' + (synd x)’ = 2x+ cosx;

Vi argumenterer på samme måte for funksjonen g(x). Bare det er allerede tre begreper (fra algebras synspunkt):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Svar:
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Derivat av et produkt

Matematikk er en logisk vitenskap, så mange tror at hvis den deriverte av summen er lik summen av de deriverte, så er den deriverte av produktet streik"\u003e lik produktet av derivater. Men fiken til deg! Deriverten av produktet beregnes ved hjelp av en helt annen formel. Nemlig:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formelen er enkel, men ofte glemt. Og ikke bare skoleelever, men også studenter. Resultatet er feil løste problemer.

Oppgave. Finn deriverte av funksjoner: f(x) = x 3 cosx; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funksjon f(x) er et produkt av to elementære funksjoner, så alt er enkelt:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (-synd x) = x 2 (3cos x − x synd x)

Funksjon g(x) den første multiplikatoren er litt mer komplisert, men den generelle ordningen endres ikke fra dette. Tydeligvis den første multiplikatoren av funksjonen g(x) er et polynom, og dens deriverte er den deriverte av summen. Vi har:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Svar:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x synd x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Merk at i det siste trinnet blir den deriverte faktorisert. Formelt sett er dette ikke nødvendig, men de fleste derivater beregnes ikke på egen hånd, men for å utforske funksjonen. Dette betyr at videre vil den deriverte bli likestilt med null, dens fortegn vil bli funnet ut, og så videre. For et slikt tilfelle er det bedre å ha et uttrykk dekomponert i faktorer.

Hvis det er to funksjoner f(x) Og g(x), og g(x) ≠ 0 på settet av interesse for oss, kan vi definere en ny funksjon h(x) = f(x)/g(x). For en slik funksjon kan du også finne den deriverte:

Ikke svak, ikke sant? Hvor kom minuset fra? Hvorfor g 2? Og sånn! Dette er en av de mest komplekse formlene - du kan ikke finne ut av det uten en flaske. Derfor er det bedre å studere det med spesifikke eksempler.

Oppgave. Finn deriverte av funksjoner:

Det er elementære funksjoner i telleren og nevneren for hver brøk, så alt vi trenger er formelen for den deriverte av kvotienten:

Tradisjonelt sett tar vi telleren inn i faktorer - dette vil i stor grad forenkle svaret:

En kompleks funksjon er ikke nødvendigvis en formel som er en halv kilometer lang. For eksempel er det nok å ta funksjonen f(x) = synd x og erstatte variabelen x, si, på x 2+ln x. Det viser seg f(x) = synd ( x 2+ln x) er en kompleks funksjon. Hun har også et derivat, men det vil ikke fungere å finne det i henhold til reglene omtalt ovenfor.

Hvordan være? I slike tilfeller hjelper erstatningen av en variabel og formelen for den deriverte av en kompleks funksjon:

f ’(x) = f ’(t) · t', hvis x er erstattet av t(x).

Som regel er situasjonen med forståelsen av denne formelen enda mer trist enn med den deriverte av kvotienten. Derfor er det også bedre å forklare det med spesifikke eksempler, med en detaljert beskrivelse av hvert trinn.

Oppgave. Finn deriverte av funksjoner: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = synd ( x 2+ln x)

Merk at hvis i funksjonen f(x) i stedet for uttrykk 2 x+ 3 vil være enkelt x, så får vi en elementær funksjon f(x) = e x. Derfor gjør vi en erstatning: la 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Vi ser etter den deriverte av en kompleks funksjon med formelen:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Og nå - oppmerksomhet! Utføre en omvendt erstatning: t = 2x+ 3. Vi får:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

La oss nå se på funksjonen g(x). Må åpenbart skiftes ut. x 2+ln x = t. Vi har:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (synd t)’ · t' = cos t · t ’

Omvendt erstatning: t = x 2+ln x. Deretter:

g ’(x) = cos( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

Det er alt! Som det fremgår av det siste uttrykket, er hele oppgaven redusert til å beregne den deriverte av summen.

Svar:
f ’(x) = 2 e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) fordi ( x 2+ln x).

Svært ofte i timene mine, i stedet for begrepet "derivat", bruker jeg ordet "slag". For eksempel er streken til summen lik summen av strekene. Er det klarere? Vel, det er bra.

Dermed kommer beregningen av den deriverte ned på å bli kvitt nettopp disse slagene i henhold til reglene diskutert ovenfor. Som et siste eksempel, la oss gå tilbake til den deriverte potensen med en rasjonell eksponent:

(x n)’ = n · x n − 1

Få vet det i rollen n kan godt være et brøktall. For eksempel er roten x 0,5. Men hva om det er noe vanskelig under roten? Igjen vil en kompleks funksjon vise seg - de gir gjerne slike konstruksjoner i prøver og eksamener.

Oppgave. Finn den deriverte av en funksjon:

La oss først omskrive roten som en potens med en rasjonell eksponent:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Nå gjør vi en erstatning: la x 2 + 8x − 7 = t. Vi finner den deriverte ved formelen:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' t' = 0,5 t−0,5 t ’.

Vi gjør en omvendt erstatning: t = x 2 + 8x− 7. Vi har:

f ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x− 7) −0,5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Til slutt, tilbake til røttene: