Hjelp på Tele2, takster, spørsmål

ulikhetsløsning i modus på nett løsning nesten enhver gitt ulikhet på nett. Matematisk ulikheter på nettetå løse matematikk. Finn raskt ulikhetsløsning i modus på nett. Nettstedet www.site lar deg finne løsning nesten hvilken som helst gitt algebraisk, trigonometrisk eller transcendental ulikhet på nett. Når du studerer nesten hvilken som helst gren av matematikk på forskjellige stadier, må du bestemme deg ulikheter på nettet. For å få svar umiddelbart, og viktigst av alt et nøyaktig svar, trenger du en ressurs som lar deg gjøre dette. Takket være nettstedet www.site løse ulikhet på nett vil ta noen minutter. Den største fordelen med www.site når du løser matematiske ulikheter på nettet- dette er hastigheten og nøyaktigheten til svaret som gis. Siden er i stand til å løse eventuelle algebraiske ulikheter på nettet, trigonometriske ulikheter på nettet, transcendentale ulikheter på nettet, og ulikheter med ukjente parametere i modus på nett. Ulikheter tjene som et kraftig matematisk apparat løsninger praktiske problemer. Med hjelp matematiske ulikheter det er mulig å uttrykke fakta og sammenhenger som kan virke forvirrende og komplekse ved første øyekast. Ukjente mengder ulikheter kan finnes ved å formulere problemet i matematisk språk i formen ulikheter Og Bestemme seg for mottatt oppgave i modus på nett på nettsiden www.site. Noen algebraisk ulikhet, trigonometrisk ulikhet eller ulikheter inneholder transcendental funksjoner du enkelt kan Bestemme seg for online og få det nøyaktige svaret. Når du studerer naturvitenskap, møter du uunngåelig behovet løsninger på ulikheter. I dette tilfellet må svaret være nøyaktig og må innhentes umiddelbart i modusen på nett. Derfor for løse matematiske ulikheter på nett vi anbefaler nettstedet www.site, som vil bli din uunnværlige kalkulator for løse algebraiske ulikheter på nettet, trigonometriske ulikheter på nettet, og transcendentale ulikheter på nettet eller ulikheter med ukjente parametere. For praktiske problemer med å finne nettbaserte løsninger på ulike matematiske ulikheter ressurs www.. Løsning ulikheter på nettet selv, er det nyttig å sjekke det mottatte svaret ved hjelp av online løsning av ulikheter på nettsiden www.site. Du må skrive ulikheten riktig og umiddelbart få nettløsning, hvoretter det bare gjenstår å sammenligne svaret med din løsning på ulikheten. Å sjekke svaret tar ikke mer enn et minutt, det er nok løse ulikhet på nett og sammenligne svarene. Dette vil hjelpe deg å unngå feil i beslutning og korriger svaret i tide når løse ulikheter på nett enten algebraisk, trigonometrisk, transcendental eller ulikhet med ukjente parametere.

For eksempel er ulikheten uttrykket \(x>5\).

Typer ulikheter:

Hvis \(a\) og \(b\) er tall eller , kalles ulikheten numerisk. Det er faktisk bare å sammenligne to tall. Slike ulikheter er delt inn i trofast Og utro.

For eksempel:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) er en feil numerisk ulikhet, siden \(17+3=20\), og \(20\) er mindre enn \(115\) (og ikke større enn eller lik) .

Hvis \(a\) og \(b\) er uttrykk som inneholder en variabel, så har vi ulikhet med variabel. Slike ulikheter er delt inn i typer avhengig av innholdet:

Hva er løsningen på en ulikhet?

Hvis du erstatter et tall i stedet for en variabel med en ulikhet, vil det bli en numerisk.

Hvis en gitt verdi for x gjør den opprinnelige ulikheten til en sann numerisk, kalles den løsning på ulikhet. Hvis ikke, er ikke denne verdien en løsning. Og til løse ulikhet– du må finne alle løsningene (eller vise at det ikke finnes noen).

For eksempel, hvis vi erstatter tallet \(7\) i den lineære ulikheten \(x+6>10\), får vi riktig numerisk ulikhet: \(13>10\). Og hvis vi erstatter \(2\), vil det være en feil numerisk ulikhet \(8>10\). Det vil si at \(7\) er en løsning på den opprinnelige ulikheten, men \(2\) er det ikke.

Ulikheten \(x+6>10\) har imidlertid andre løsninger. Faktisk vil vi få de riktige numeriske ulikhetene når vi erstatter \(5\), og \(12\), og \(138\)... Og hvordan kan vi finne alle mulige løsninger? For dette bruker de For vårt tilfelle har vi:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Det vil si at ethvert tall større enn fire vil passe oss. Nå må du skrive ned svaret. Løsninger på ulikheter skrives vanligvis numerisk, og markerer dem i tillegg på tallaksen med skyggelegging. For vårt tilfelle har vi:

Svar: \(x\in(4;+\infty)\)

Når endres tegnet på en ulikhet?

Det er én stor felle i ulikheter som studenter virkelig "elsker" å falle i:

Når du multipliserer (eller deler) en ulikhet med et negativt tall, blir den reversert ("mer" med "mindre", "mer eller lik" med "mindre enn eller lik", og så videre)

Hvorfor skjer dette? For å forstå dette, la oss se på transformasjonene av den numeriske ulikheten \(3>1\). Det er riktig, tre er faktisk større enn én. Først, la oss prøve å multiplisere det med et hvilket som helst positivt tall, for eksempel to:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Som vi kan se, forblir ulikheten sann etter multiplikasjon. Og uansett hvilket positivt tall vi multipliserer med, vil vi alltid få riktig ulikhet. La oss nå prøve å multiplisere med et negativt tall, for eksempel minus tre:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Resultatet er en feil ulikhet, fordi minus ni er mindre enn minus tre! Det vil si at for at ulikheten skal bli sann (og derfor var transformasjonen av multiplikasjon med negativ "lovlig"), må du reversere sammenligningstegnet, slik: \(−9)<− 3\).
Med deling vil det gå på samme måte, du kan sjekke det selv.

Regelen skrevet ovenfor gjelder alle typer ulikheter, ikke bare numeriske.

Svar: \(x\in(-1;\infty)\)

Ulikheter og funksjonshemming

Ulikheter, akkurat som ligninger, kan ha begrensninger på , det vil si på verdiene til x. Følgelig bør de verdiene som er uakseptable i henhold til DZ utelukkes fra utvalget av løsninger.

Eksempel: Løs ulikheten \(\sqrt(x+1)<3\)

Løsning: Det er klart at for at venstresiden skal være mindre enn \(3\), må det radikale uttrykket være mindre enn \(9\) (tross alt fra \(9\) bare \(3\)). Vi får:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)

Alle? Enhver verdi på x mindre enn \(8\) vil passe oss? Nei! For hvis vi for eksempel tar verdien \(-5\) som ser ut til å passe til kravet, vil det ikke være en løsning på den opprinnelige ulikheten, siden det vil lede oss til å beregne roten av et negativt tall.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Derfor må vi også ta hensyn til restriksjonene på verdien av X - det kan ikke være slik at det er et negativt tall under roten. Dermed har vi det andre kravet for x:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

Og for at x skal være den endelige løsningen, må den tilfredsstille begge kravene samtidig: den må være mindre enn \(8\) (for å være en løsning) og større enn \(-1\) (for å være tillatt i prinsippet). Når vi plotter det på talllinjen, har vi det endelige svaret:

Svar: \(\venstre[-1;8\høyre)\)

Merk følgende!
Det er flere
materialer i spesialseksjon 555.
For de som er veldig "ikke veldig..."
Og for de som "veldig mye...")

Hva har skjedd "kvadratisk ulikhet"? Ingen spørsmål!) Hvis du tar noen andregradsligning og erstatte tegnet i den "=" (lik) med ethvert ulikhetstegn ( > ≥ < ≤ ≠ ), får vi en kvadratisk ulikhet. For eksempel:

1. x 2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x 2 ≤ 4

Vel, du forstår...)

Det er ikke for ingenting jeg koblet sammen ligninger og ulikheter her. Poenget er at det første trinnet i løsningen noen kvadratisk ulikhet - løse ligningen som denne ulikheten er laget av. Av denne grunn fører manglende evne til å løse kvadratiske ligninger automatisk til fullstendig svikt i ulikheter. Er hintet klart?) Hvis noe, se på hvordan du løser eventuelle andregradsligninger. Alt er beskrevet der i detalj. Og i denne leksjonen skal vi ta for oss ulikheter.

Ulikheten klar for løsning har formen: til venstre er et kvadratisk trinomium øks 2 +bx+c, til høyre - null. Ulikhetstegnet kan være absolutt hva som helst. De to første eksemplene er her er allerede klare til å ta en avgjørelse. Det tredje eksemplet må fortsatt forberedes.

Hvis du liker denne siden...

Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)

Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. La oss lære - med interesse!)

Du kan bli kjent med funksjoner og derivater.

I dag, venner, vil det ikke være snørr eller sentimentalitet. I stedet vil jeg sende deg, uten spørsmål, i kamp med en av de mest formidable motstanderne i algebrakurset i 8.-9.

Ja, du forsto alt riktig: vi snakker om ulikheter med modul. Vi skal se på fire grunnleggende teknikker som du vil lære å løse omtrent 90 % av slike problemer. Hva med de resterende 10%? Vel, vi skal snakke om dem i en egen leksjon. :)

Før jeg analyserer noen av teknikkene, vil jeg imidlertid minne deg på to fakta du allerede trenger å vite. Ellers risikerer du ikke å forstå materialet i dagens leksjon i det hele tatt.

Det du allerede trenger å vite

Captain Obviousness ser ut til å antyde at for å løse ulikheter med modul må du vite to ting:

1. Hvordan ulikheter løses;
2. Hva er en modul?

La oss starte med det andre punktet.

Moduldefinisjon

Alt er enkelt her. Det er to definisjoner: algebraisk og grafisk. Til å begynne med - algebraisk:

Definisjon. Modulen til et tall $x$ er enten selve tallet, hvis det er ikke-negativt, eller tallet motsatt av det, hvis den opprinnelige $x$ fortsatt er negativ.

Det er skrevet slik:

\[\venstre| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Enkelt sagt er en modul et "tall uten minus." Og det er nettopp i denne dualiteten (noen steder trenger du ikke å gjøre noe med det opprinnelige nummeret, men andre steder må du fjerne en slags minus) som er der hele vanskeligheten ligger for begynnende elever.

Det er også en geometrisk definisjon. Det er også nyttig å vite, men vi vil vende oss til det bare i komplekse og noen spesielle tilfeller, der den geometriske tilnærmingen er mer praktisk enn den algebraiske (spoiler: ikke i dag).

Definisjon. La punktet $a$ markeres på talllinjen. Deretter modulen $\left| x-a \right|$ er avstanden fra punkt $x$ til punkt $a$ på denne linjen.

Hvis du tegner et bilde, får du noe slikt:

På en eller annen måte, fra definisjonen av en modul følger dens nøkkelegenskap umiddelbart: modulen til et tall er alltid en ikke-negativ størrelse. Dette faktum vil være en rød tråd som går gjennom hele vår fortelling i dag.

Løse ulikheter. Intervall metode

La oss nå se på ulikhetene. Det er veldig mange av dem, men vår oppgave nå er å kunne løse i det minste de enkleste av dem. De som reduserer til lineære ulikheter, samt til intervallmetoden.

Jeg har to store leksjoner om dette emnet (forresten, veldig, VELDIG nyttig - jeg anbefaler å studere dem):

1. Intervallmetode for ulikheter (spesielt se videoen);
2. Fraksjonelle rasjonelle ulikheter er en veldig omfattende leksjon, men etter den vil du ikke ha noen spørsmål i det hele tatt.

Hvis du vet alt dette, hvis uttrykket "la oss gå fra ulikhet til likning" ikke får deg til å ha et vagt ønske om å slå deg selv i veggen, så er du klar: velkommen til helvete til leksjonens hovedtema. :)

1. Ulikheter i formen "Modul er mindre enn funksjon"

Dette er et av de vanligste problemene med moduler. Det kreves for å løse en ulikhet av formen:

\[\venstre| f\høyre| \ltg\]

Funksjonene $f$ og $g$ kan være hva som helst, men vanligvis er de polynomer. Eksempler på slike ulikheter:

\[\begin(align) & \left| 2x+3 \høyre| \lt x+7; \\ & \venstre| ((x)^(2))+2x-3 \høyre|+3\venstre(x+1 \høyre) \lt 0; \\ & \venstre| ((x)^(2))-2\venstre| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end(align)\]

Alle kan løses bokstavelig talt på en linje i henhold til følgende skjema:

\[\venstre| f\høyre| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \right.\right)\]

Det er lett å se at vi kvitter oss med modulen, men til gjengjeld får vi en dobbel ulikhet (eller, som er det samme, et system med to ulikheter). Men denne overgangen tar hensyn til absolutt alle mulige problemer: hvis tallet under modulen er positivt, fungerer metoden; hvis negativ, fungerer det fortsatt; og selv med den mest utilstrekkelige funksjonen i stedet for $f$ eller $g$, vil metoden fortsatt fungere.

Naturligvis oppstår spørsmålet: kunne det ikke vært enklere? Dessverre er det ikke mulig. Dette er hele poenget med modulen.

Men nok med filosoferingen. La oss løse et par problemer:

Oppgave. Løs ulikheten:

\[\venstre| 2x+3 \høyre| \lt x+7\]

Løsning. Så vi har foran oss en klassisk ulikhet av formen "modulen er mindre" - det er til og med ingenting å transformere. Vi jobber etter algoritmen:

\[\begin(align) & \left| f\høyre| \lt g\Høyrepil -g \lt f \lt g; \\ & \venstre| 2x+3 \høyre| \lt x+7\Høyrepil -\venstre(x+7 \høyre) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

Ikke skynd deg å åpne parentesene foran med et "minus": det er ganske mulig at du på grunn av hastverket ditt vil gjøre en støtende feil.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\venstre\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\venstre\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\venstre\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

Problemet ble redusert til to elementære ulikheter. La oss legge merke til løsningene deres på parallelle talllinjer:

Kryss av mange

Skjæringspunktet mellom disse settene vil være svaret.

Svar: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Oppgave. Løs ulikheten:

\[\venstre| ((x)^(2))+2x-3 \høyre|+3\venstre(x+1 \høyre) \lt 0\]

Løsning. Denne oppgaven er litt vanskeligere. Først, la oss isolere modulen ved å flytte det andre leddet til høyre:

\[\venstre| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\venstre(x+1 \høyre)\]

Åpenbart har vi igjen en ulikhet av formen "modulen er mindre", så vi blir kvitt modulen ved å bruke den allerede kjente algoritmen:

\[-\venstre(-3\venstre(x+1 \høyre) \høyre) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\venstre(x+1 \høyre)\]

Nå oppmerksomhet: noen vil si at jeg er litt pervers med alle disse parentesene. Men la meg minne deg nok en gang om at vårt hovedmål er løse ulikheten riktig og få svaret. Senere, når du har mestret alt som er beskrevet i denne leksjonen perfekt, kan du pervertere det selv som du vil: åpne parenteser, legg til minuser, etc.

Til å begynne med vil vi ganske enkelt bli kvitt det doble minuset til venstre:

\[-\venstre(-3\venstre(x+1 \høyre) \høyre)=\venstre(-1 \høyre)\cdot \venstre(-3 \høyre)\cdot \venstre(x+1 \høyre) =3\venstre(x+1 \høyre)\]

La oss nå åpne alle parentesene i den doble ulikheten:

La oss gå videre til den doble ulikheten. Denne gangen blir beregningene mer seriøse:

\[\venstre\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \right.\]

\[\venstre\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( juster)\høyre.\]

Begge ulikhetene er kvadratiske og kan løses ved hjelp av intervallmetoden (det er derfor jeg sier: hvis du ikke vet hva dette er, er det bedre å ikke ta på seg moduler ennå). La oss gå videre til ligningen i den første ulikheten:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\venstre(x+5 \høyre)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(align)\]

Som du kan se, er utgangen en ufullstendig kvadratisk ligning, som kan løses på en elementær måte. La oss nå se på den andre ulikheten i systemet. Der må du bruke Vietas teorem:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \venstre(x-3 \høyre)\venstre(x+2 \høyre)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(align)\]

Vi markerer de resulterende tallene på to parallelle linjer (separer for den første ulikheten og separer for den andre):

Igjen, siden vi løser et system med ulikheter, er vi interessert i skjæringspunktet mellom de skraverte settene: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Dette er svaret.

Svar: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Jeg tror at etter disse eksemplene er løsningsskjemaet ekstremt klart:

1. Isoler modulen ved å flytte alle andre ledd til motsatt side av ulikheten. Dermed får vi en ulikhet på formen $\left| f\høyre| \ltg$.
2. Løs denne ulikheten ved å bli kvitt modulen i henhold til skjemaet beskrevet ovenfor. På et tidspunkt vil det være nødvendig å gå fra dobbel ulikhet til et system med to uavhengige uttrykk, som hver allerede kan løses separat.
3. Til slutt, alt som gjenstår er å krysse løsningene til disse to uavhengige uttrykkene - og det er det, vi vil få det endelige svaret.

En lignende algoritme eksisterer for ulikheter av følgende type, når modulen er større enn funksjonen. Imidlertid er det et par alvorlige "men". Vi skal snakke om disse "mene" nå.

2. Ulikheter i formen "Modul er større enn funksjon"

De ser slik ut:

\[\venstre| f\høyre| \gtg\]

Ligner den forrige? Det virker. Og likevel løses slike problemer på en helt annen måte. Formelt er ordningen som følger:

\[\venstre| f\høyre| \gt g\Høyrepil \venstre[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

Vi vurderer med andre ord to tilfeller:

1. Først ignorerer vi modulen og løser den vanlige ulikheten;
2. Så utvider vi i hovedsak modulen med minustegnet, og multipliserer deretter begge sider av ulikheten med −1, mens jeg har tegnet.

I dette tilfellet er alternativene kombinert med en firkantet brakett, dvs. Vi har foran oss en kombinasjon av to krav.

Vennligst merk igjen: dette er ikke et system, men en helhet, derfor i svaret er settene kombinert i stedet for å krysse hverandre. Dette er en grunnleggende forskjell fra forrige punkt!

Generelt er mange studenter fullstendig forvirret med fagforeninger og veikryss, så la oss løse dette problemet en gang for alle:

• "∪" er et fagforeningstegn. Faktisk er dette en stilisert bokstav "U", som kom til oss fra det engelske språket og er en forkortelse for "Union", dvs. "Foreninger".
• "∩" er krysstegnet. Denne dritten kom ikke fra noe sted, men dukket rett og slett opp som et motstykke til "∪".

For å gjøre det enda enklere å huske, bare trekk bena til disse skiltene for å lage briller (bare ikke nå anklage meg for å fremme narkotikaavhengighet og alkoholisme: hvis du seriøst studerer denne leksjonen, er du allerede en narkoman):

Oversatt til russisk betyr dette følgende: foreningen (totaliteten) inkluderer elementer fra begge settene, derfor er den på ingen måte mindre enn hver av dem; men skjæringspunktet (systemet) inkluderer bare de elementene som er samtidig i både det første settet og det andre. Derfor er skjæringspunktet mellom sett aldri større enn kildesettene.

Så det ble klarere? Det er flott. La oss gå videre til praksis.

Oppgave. Løs ulikheten:

\[\venstre| 3x+1 \right| \gt 5-4x\]

Løsning. Vi fortsetter i henhold til ordningen:

\[\venstre| 3x+1 \right| \gt 5-4x\Høyrepil \venstre[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ Ikke sant.\]

Vi løser hver ulikhet i befolkningen:

\[\venstre[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\venstre[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\venstre[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Vi markerer hvert resulterende sett på talllinjen, og kombinerer dem deretter:

Forening av sett

Det er ganske åpenbart at svaret vil være $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Svar: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Oppgave. Løs ulikheten:

\[\venstre| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\]

Løsning. Vi vil? Ingenting - alt er likt. Vi går fra en ulikhet med en modul til et sett med to ulikheter:

\[\venstre| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\Høyrepil \venstre[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(align) \right.\]

Vi løser enhver ulikhet. Dessverre vil røttene der ikke være veldig gode:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(align)\]

Den andre ulikheten er også litt vill:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(align)\]

Nå må du merke disse tallene på to akser - en akse for hver ulikhet. Du må imidlertid merke punktene i riktig rekkefølge: jo større tall, desto lenger beveger punktet seg til høyre.

Og her venter et oppsett på oss. Hvis alt er klart med tallene $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (leddene i telleren til den første brøk er mindre enn leddene i telleren til den andre , så summen er også mindre), med tallene $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ vil det heller ikke være noen vanskeligheter (positivt tall åpenbart mer negativt), så med det siste paret er ikke alt så klart. Hva er størst: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ eller $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Plasseringen av punkter på talllinjene og faktisk svaret vil avhenge av svaret på dette spørsmålet.

Så la oss sammenligne:

\[\begin(matrise) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrise)\]

Vi isolerte roten, fikk ikke-negative tall på begge sider av ulikheten, så vi har rett til å kvadre begge sider:

\[\begin(matrise) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrise)\]

Jeg tror det ikke er greit at $4\sqrt(13) \gt 3$, så $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, vil de siste punktene på aksene plasseres slik:

Et tilfelle av stygge røtter

La meg minne deg på at vi løser et sett, så svaret vil være en forening, ikke et skjæringspunkt av skyggelagte sett.

Svar: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

Som du kan se, fungerer opplegget vårt utmerket for både enkle og svært tøffe problemer. Det eneste "svake punktet" i denne tilnærmingen er at du må sammenligne irrasjonelle tall på riktig måte (og tro meg: dette er ikke bare røtter). Men en egen (og veldig alvorlig) leksjon vil bli viet til sammenligningsspørsmål. Og vi går videre.

3. Ulikheter med ikke-negative "haler"

Nå kommer vi til den mest interessante delen. Dette er ulikheter i formen:

\[\venstre| f\høyre| \gt\venstre| g\right|\]

Generelt sett er algoritmen som vi skal snakke om nå, bare riktig for modulen. Det fungerer i alle ulikheter der det er garantert ikke-negative uttrykk på venstre og høyre side:

Hva skal man gjøre med disse oppgavene? Bare husk:

I ulikheter med ikke-negative "haler", kan begge sider heves til hvilken som helst naturlig makt. Det vil ikke være ytterligere begrensninger.

Først av alt vil vi være interessert i å kvadrere - det brenner moduler og røtter:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\end(align)\]

Bare ikke forveksle dette med å ta roten av et kvadrat:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\venstre| f \right|\ne f\]

Utallige feil ble gjort når en student glemte å installere en modul! Men dette er en helt annen historie (dette er liksom irrasjonelle ligninger), så vi skal ikke gå inn på dette nå. La oss løse et par problemer bedre:

Oppgave. Løs ulikheten:

\[\venstre| x+2 \right|\ge \venstre| 1-2x \right|\]

Løsning. La oss umiddelbart legge merke til to ting:

1. Dette er ikke en streng ulikhet. Punkter på talllinjen vil bli punktert.
2. Begge sider av ulikheten er åpenbart ikke-negative (dette er en egenskap for modulen: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Derfor kan vi kvadre begge sider av ulikheten for å bli kvitt modulen og løse problemet ved å bruke den vanlige intervallmetoden:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\venstre(x+2 \høyre))^(2))\ge ((\venstre(2x-1 \høyre))^(2)). \\\end(align)\]

På det siste trinnet jukset jeg litt: Jeg endret rekkefølgen av termer, og utnyttet modulens jevnhet (faktisk multipliserte jeg uttrykket $1-2x$ med -1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ høyre)\høyre)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Vi løser ved hjelp av intervallmetoden. La oss gå fra ulikhet til ligning:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(align)\]

Vi markerer de funne røttene på tallinjen. Nok en gang: alle punkter er skyggelagt fordi den opprinnelige ulikheten ikke er streng!

Bli kvitt modultegnet

La meg minne deg på for de som er spesielt sta: vi tar tegnene fra den siste ulikheten, som ble skrevet ned før vi gikk videre til ligningen. Og vi maler over arealene som kreves i samme ulikhet. I vårt tilfelle er det $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

OK, det er over nå. Problemet er løst.

Svar: $x\in \venstre[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Oppgave. Løs ulikheten:

\[\venstre| ((x)^(2))+x+1 \høyre|\le \venstre| ((x)^(2))+3x+4 \right|\]

Løsning. Vi gjør alt likt. Jeg vil ikke kommentere - bare se på rekkefølgen av handlinger.

Kvaddra det:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left) | ((x)^(2))+3x+4 \right| \right))^(2)); \\ & ((\venstre(((x)^(2))+x+1 \høyre))^(2))\le ((\venstre(((x)^(2))+3x+4 \høyre))^(2)); \\ & ((\venstre(((x)^(2))+x+1 \høyre))^(2))-((\venstre(((x)^(2))+3x+4 \ høyre))^(2))\le 0; \\ & \venstre(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \høyre)\ ganger \\ & \ ganger \venstre(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \høyre)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Intervallmetode:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Høyrepil x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Høyrepil D=16-40 \lt 0\Høyrepil \varnothing . \\\end(align)\]

Det er bare én rot på tallinjen:

Svaret er et helt intervall

Svar: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Et lite notat om siste oppgave. Som en av elevene mine nøyaktig bemerket, er begge submodulære uttrykk i denne ulikheten åpenbart positive, så modultegnet kan utelates uten helseskade.

Men dette er et helt annet nivå av tenkning og en annen tilnærming - det kan betinget kalles konsekvensmetoden. Om det - i en egen leksjon. La oss nå gå videre til den siste delen av dagens leksjon og se på en universell algoritme som alltid fungerer. Selv når alle tidligere tilnærminger var maktesløse. :)

4. Metode for oppregning av alternativer

Hva om alle disse teknikkene ikke hjelper? Hvis ulikheten ikke kan reduseres til ikke-negative haler, hvis det er umulig å isolere modulen, hvis det generelt er smerte, tristhet, melankoli?

Så kommer det "tunge artilleriet" av all matematikk på banen - brute force-metoden. I forhold til ulikheter med modul ser det slik ut:

1. Skriv ut alle submodulære uttrykk og sett dem lik null;
2. Løs de resulterende ligningene og merk røttene funnet på én talllinje;
3. Den rette linjen vil bli delt inn i flere seksjoner, der hver modul har et fast skilt og derfor er unikt avslørt;
4. Løs ulikheten på hver slik seksjon (du kan separat vurdere røtter-grensene oppnådd i trinn 2 - for pålitelighet). Kombiner resultatene - dette vil være svaret. :)

Så hvordan? Svak? Enkelt! Bare i lang tid. La oss se i praksis:

Oppgave. Løs ulikheten:

\[\venstre| x+2 \right| \lt \venstre| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Løsning. Denne dritten koker ikke ned til ulikheter som $\left| f\høyre| \lt g$, $\venstre| f\høyre| \gt g$ eller $\left| f\høyre| \lt \venstre| g \right|$, så vi handler i forkant.

Vi skriver ut submodulære uttrykk, likestiller dem til null og finner røttene:

\[\begin(align) & x+2=0\Høyrepil x=-2; \\ & x-1=0\Høyrepil x=1. \\\end(align)\]

Totalt har vi to røtter som deler talllinjen i tre seksjoner, der hver modul avsløres unikt:

Partisjonering av talllinjen med null av submodulære funksjoner

La oss se på hver del separat.

1. La $x \lt -2$. Da er begge submodulære uttrykk negative, og den opprinnelige ulikheten vil bli omskrevet som følger:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1,5 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align)\]

Vi har en ganske enkel begrensning. La oss krysse det med den første antakelsen om at $x \lt -2$:

\[\venstre\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Det er klart at variabelen $x$ ikke samtidig kan være mindre enn −2 og større enn 1,5. Det finnes ingen løsninger på dette området.

1.1. La oss vurdere grensetilfellet separat: $x=-2$. La oss bare erstatte dette tallet med den opprinnelige ulikheten og sjekke: er det sant?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \venstre| -3\høyre|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0.5\Høyrepil \varnothing . \\\end(align)\]

Det er åpenbart at kjeden av beregninger har ført oss til en feil ulikhet. Derfor er den opprinnelige ulikheten også falsk, og $x=-2$ er ikke inkludert i svaret.

2. La nå $-2 \lt x \lt 1$. Den venstre modulen vil allerede åpne med et "pluss", men den høyre vil fortsatt åpne med et "minus". Vi har:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\venstre(x-1 \right)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(align)\]

Igjen krysser vi det opprinnelige kravet:

\[\venstre\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Og igjen, settet med løsninger er tomt, siden det ikke er tall som både er mindre enn -2,5 og større enn -2.

2.1. Og igjen et spesielt tilfelle: $x=1$. Vi bytter inn i den opprinnelige ulikheten:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ & \venstre| 3\høyre| \lt \venstre| 0\right|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0.5\Høyrepil \varnothing . \\\end(align)\]

I likhet med det forrige "spesielle tilfellet", er tallet $x=1$ tydeligvis ikke inkludert i svaret.

3. Den siste delen av linjen: $x \gt 1$. Her åpnes alle moduler med et plusstegn:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

Og igjen krysser vi det funnet settet med den opprinnelige begrensningen:

\[\venstre\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]

Endelig! Vi har funnet et intervall som vil være svaret.

Svar: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Til slutt, en bemerkning som kan redde deg fra dumme feil når du løser reelle problemer:

Løsninger på ulikheter med moduli representerer vanligvis kontinuerlige sett på tallinjen - intervaller og segmenter. Isolerte punkter er mye mindre vanlige. Og enda sjeldnere hender det at grensen til løsningen (enden av segmentet) faller sammen med grensen til området som vurderes.

Følgelig, hvis grenser (de samme "spesielle tilfellene") ikke er inkludert i svaret, vil områdene til venstre og høyre for disse grensene nesten helt sikkert ikke inkluderes i svaret. Og omvendt: grensen kom inn i svaret, noe som betyr at noen områder rundt den også vil være svar.

Ha dette i bakhodet når du vurderer løsningene dine.

Først litt tekster for å få en følelse av problemet som intervallmetoden løser. La oss si at vi må løse følgende ulikhet:

(x − 5)(x + 3) > 0

Hva er mulighetene? Det første som kommer til tankene for de fleste studenter er reglene "pluss på pluss gir pluss" og "minus på minus gir pluss." Derfor er det nok å vurdere tilfellet når begge parentesene er positive: x − 5 > 0 og x + 3 > 0. Da vurderer vi også tilfellet når begge parentesene er negative: x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

Mer avanserte studenter vil (kanskje) huske at til venstre er en kvadratisk funksjon hvis graf er en parabel. Dessuten skjærer denne parabelen OX-aksen i punktene x = 5 og x = −3. For videre arbeid må du åpne brakettene. Vi har:

x 2 − 2x − 15 > 0

Nå er det klart at grenene til parabelen er rettet oppover, fordi koeffisient a = 1 > 0. La oss prøve å tegne et diagram av denne parabelen:

Funksjonen er større enn null der den passerer over OX-aksen. I vårt tilfelle er dette intervallene (−∞ −3) og (5; +∞) - dette er svaret.

Vennligst merk: bildet viser nøyaktig funksjonsdiagram, ikke hennes timeplan. For for en ekte graf må du telle koordinater, beregne forskyvninger og annet dritt som vi absolutt ikke har bruk for nå.

Hvorfor er disse metodene ineffektive?

Så vi har vurdert to løsninger på samme ulikhet. Begge viste seg å være ganske tungvinte. Den første avgjørelsen kommer - bare tenk på det! — et sett med ulikhetssystemer. Den andre løsningen er heller ikke spesielt lett: du må huske grafen til parabelen og en haug med andre små fakta.

Det var en veldig enkel ulikhet. Den har bare 2 multiplikatorer. Tenk deg nå at det ikke vil være 2, men minst 4 multiplikatorer. For eksempel:

(x − 7)(x − 1)(x + 4)(x + 9)< 0

Hvordan løse en slik ulikhet? Gå gjennom alle mulige kombinasjoner av fordeler og ulemper? Ja, vi vil sovne raskere enn vi finner en løsning. Å tegne en graf er heller ikke et alternativ, siden det ikke er klart hvordan en slik funksjon oppfører seg på koordinatplanet.

For slike ulikheter trengs en spesiell løsningsalgoritme, som vi vil vurdere i dag.

Hva er intervallmetoden

Intervallmetoden er en spesiell algoritme designet for å løse komplekse ulikheter av formen f (x) > 0 og f (x)< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

1. Løs likningen f (x) = 0. I stedet for en ulikhet får vi altså en likning som er mye enklere å løse;
2. Merk alle oppnådde røtter på koordinatlinjen. Dermed vil den rette linjen deles inn i flere intervaller;
3. Finn ut tegnet (pluss eller minus) til funksjonen f (x) på intervallet lengst til høyre. For å gjøre dette er det nok å erstatte med f (x) et hvilket som helst tall som vil være til høyre for alle markerte røtter;
4. Merk skiltene med de resterende intervallene. For å gjøre dette, bare husk at når du passerer gjennom hver rot, endres tegnet.

Det er alt! Etter dette gjenstår det bare å skrive ned intervallene som interesserer oss. De er merket med et "+"-tegn hvis ulikheten var av formen f (x) > 0, eller med et "−"-tegn hvis ulikheten var av formen f (x)< 0.

Ved første øyekast kan det virke som om intervallmetoden er en slags blikksak. Men i praksis vil alt være veldig enkelt. Bare øv litt og alt blir klart. Ta en titt på eksemplene og se selv:

Oppgave. Løs ulikheten:

(x − 2)(x + 7)< 0

Vi jobber etter intervallmetoden. Trinn 1: Erstatt ulikheten med en ligning og løs den:

(x − 2)(x + 7) = 0

Produktet er null hvis og bare hvis minst én av faktorene er null:

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

Vi har to røtter. La oss gå videre til trinn 2: marker disse røttene på koordinatlinjen. Vi har:

Nå trinn 3: finn tegnet til funksjonen på intervallet lengst til høyre (til høyre for det markerte punktet x = 2). For å gjøre dette må du ta et hvilket som helst tall som er større enn tallet x = 2. La oss for eksempel ta x = 3 (men ingen forbyr å ta x = 4, x = 10 og til og med x = 10 000). Vi får:

f (x) = (x - 2)(x + 7);
x = 3;
f (3) = (3 − 2)(3 + 7) = 1 10 = 10;

Vi finner at f (3) = 10 > 0, så vi setter et plusstegn i intervallet lengst til høyre.

La oss gå videre til det siste punktet - vi må merke skiltene på de gjenværende intervallene. Vi husker at når vi passerer gjennom hver rot, må tegnet endres. For eksempel, til høyre for roten x = 2 er det et pluss (vi sørget for dette i forrige trinn), så det må være et minus til venstre.

Denne minus strekker seg til hele intervallet (−7; 2), så det er en minus til høyre for roten x = −7. Derfor er det et pluss til venstre for roten x = −7. Det gjenstår å markere disse skiltene på koordinataksen. Vi har:

La oss gå tilbake til den opprinnelige ulikheten, som hadde formen:

(x − 2)(x + 7)< 0

Så funksjonen må være mindre enn null. Dette betyr at vi er interessert i minustegnet, som kun vises på ett intervall: (−7; 2). Dette vil være svaret.

Oppgave. Løs ulikheten:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Trinn 1: sett venstre side til null:

(x + 9)(x − 3)(1 − x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

Husk: produktet er lik null når minst én av faktorene er lik null. Derfor har vi rett til å likestille hver enkelt parentes til null.

Trinn 2: merk alle røttene på koordinatlinjen:

Trinn 3: Finn ut tegnet på gapet lengst til høyre. Vi tar et hvilket som helst tall som er større enn x = 1. For eksempel kan vi ta x = 10. Vi har:

f (x) = (x + 9)(x − 3)(1 − x);
x = 10;
f (10) = (10 + 9)(10 − 3)(1 − 10) = 19 · 7 · (−9) = − 1197;
f (10) = -1197< 0.

Trinn 4: Plassering av de resterende skiltene. Vi husker at når vi passerer gjennom hver rot, endres tegnet. Som et resultat vil bildet vårt se slik ut:

Det er alt. Det gjenstår bare å skrive ned svaret. Ta en ny titt på den opprinnelige ulikheten:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Dette er en ulikhet på formen f(x)< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

Dette er svaret.

En merknad om funksjonstegn

Praksis viser at de største vanskelighetene i intervallmetoden oppstår i de to siste trinnene, dvs. ved plassering av skilt. Mange elever begynner å bli forvirret: hvilke tall de skal ta og hvor de skal sette skiltene.

For å endelig forstå intervallmetoden, vurder to observasjoner som den er basert på:

1. En kontinuerlig funksjon endrer fortegn bare på disse punktene hvor den er lik null. Slike punkter deler koordinataksen i biter, innenfor hvilke fortegnet til funksjonen aldri endres. Det er derfor vi løser ligningen f (x) = 0 og merker de funne røttene på den rette linjen. Tallene som er funnet er "borderline"-punkter som skiller fordeler og ulemper.
2. For å finne ut tegnet til en funksjon på et hvilket som helst intervall, er det nok å erstatte et hvilket som helst tall fra dette intervallet i funksjonen. For eksempel, for intervallet (−5; 6) har vi rett til å ta x = −4, x = 0, x = 4 og til og med x = 1,29374 hvis vi vil. Hvorfor er det viktig? Ja, for tvilen begynner å gnage i mange elever. Hva om for x = −4 får vi et pluss, og for x = 0 får vi et minus? Men noe slikt vil aldri skje. Alle punkter på samme intervall gir samme fortegn. Husk dette.

Det er alt du trenger å vite om intervallmetoden. Selvfølgelig har vi analysert det i sin enkleste form. Det er mer komplekse ulikheter - ikke-strenge, brøkdeler og med gjentatte røtter. Du kan også bruke intervallmetoden for dem, men dette er et tema for en egen stor leksjon.

Nå vil jeg gjerne se på en avansert teknikk som dramatisk forenkler intervallmetoden. Mer presist påvirker forenklingen bare det tredje trinnet - beregning av tegnet på linjen lengst til høyre. Av en eller annen grunn blir ikke denne teknikken undervist på skolene (ingen har i hvert fall forklart meg dette). Men forgjeves - for faktisk er denne algoritmen veldig enkel.

Så tegnet til funksjonen er på høyre del av talllinjen. Dette stykket har formen (a ; +∞), der a er den største roten av ligningen f (x) = 0. La oss se på et spesifikt eksempel for ikke å forvirre deg:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0;
f (x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x);
(x − 1)(2 + x)(7 − x) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

Vi har 3 røtter. La oss liste dem opp i stigende rekkefølge: x = −2, x = 1 og x = 7. Den største roten er åpenbart x = 7.

For de som synes det er lettere å resonnere grafisk vil jeg markere disse røttene på koordinatlinjen. La oss se hva som skjer:

Det kreves å finne tegnet til funksjonen f (x) på intervallet lengst til høyre, dvs. til (7; +∞). Men som vi allerede har bemerket, for å bestemme tegnet kan du ta et hvilket som helst tall fra dette intervallet. For eksempel kan du ta x = 8, x = 150 osv. Og nå - den samme teknikken som ikke læres på skolene: la oss ta uendelighet som et tall. Mer presist, pluss uendelig, dvs. +∞.

«Er du steinet? Hvordan kan du erstatte uendelighet med en funksjon?" - spør du kanskje. Men tenk på det: vi trenger ikke verdien av selve funksjonen, vi trenger bare tegnet. Derfor betyr for eksempel verdiene f (x) = −1 og f (x) = −938 740 576 215 det samme: funksjonen på dette intervallet er negativ. Derfor er alt som kreves av deg å finne tegnet som vises på uendelig, og ikke verdien av funksjonen.

Faktisk er det veldig enkelt å erstatte uendelig. La oss gå tilbake til funksjonen vår:

f (x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x)

Tenk deg at x er et veldig stort tall. Milliarder eller til og med billioner. La oss nå se hva som skjer i hver parentes.

Første parentes: (x − 1). Hva skjer hvis du trekker en fra en milliard? Resultatet vil være et tall som ikke er mye forskjellig fra en milliard, og dette tallet vil være positivt. Tilsvarende med den andre parentesen: (2 + x). Legger du til en milliard til to, får du en milliard og kopek - dette er et positivt tall. Til slutt, den tredje parentesen: (7 − x). Her vil det være en minusmilliard, hvorfra et patetisk stykke i form av en sjuer ble "gnaget av". De. det resulterende tallet vil ikke avvike mye fra minus milliarder - det vil være negativt.

Det gjenstår bare å finne tegnet til hele verket. Siden vi hadde pluss i første parentes og minus i siste, får vi følgende konstruksjon:

(+) · (+) · (−) = (−)

Det siste tegnet er minus! Og det spiller ingen rolle hva verdien av selve funksjonen er. Hovedsaken er at denne verdien er negativ, dvs. intervallet lengst til høyre har et minustegn. Alt som gjenstår er å fullføre det fjerde trinnet i intervallmetoden: ordne alle skiltene. Vi har:

Den opprinnelige ulikheten var:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0

Derfor er vi interessert i intervallene merket med et minustegn. Vi skriver ut svaret:

x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)

Det er hele trikset jeg ville fortelle deg. Avslutningsvis, her er en annen ulikhet som kan løses ved intervallmetoden ved å bruke uendelig. For å forkorte løsningen visuelt, vil jeg ikke skrive trinntall og detaljerte kommentarer. Jeg vil bare skrive det du egentlig trenger å skrive når du løser reelle problemer:

Oppgave. Løs ulikheten:

x (2x + 8)(x − 3) > 0

Vi erstatter ulikheten med en ligning og løser den:

x (2x + 8)(x − 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Vi markerer alle tre røttene på koordinatlinjen (med tegn samtidig):

Det er et pluss på høyre side av koordinataksen, fordi funksjonen ser slik ut:

f (x) = x (2x + 8)(x − 3)

Og hvis vi erstatter uendelig (for eksempel en milliard), får vi tre positive parenteser. Siden det opprinnelige uttrykket må være større enn null, er vi kun interessert i de positive. Alt som gjenstår er å skrive ut svaret:

x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)