Hjelp på Tele2, takster, spørsmål

I dag, venner, vil det ikke være snørr eller sentimentalitet. I stedet vil jeg sende deg, uten spørsmål, i kamp med en av de mest formidable motstanderne i algebrakurset i 8.-9.

Ja, du forsto alt riktig: vi snakker om ulikheter med modul. Vi skal se på fire grunnleggende teknikker som du vil lære å løse omtrent 90 % av slike problemer. Hva med de resterende 10%? Vel, vi skal snakke om dem i en egen leksjon. :)

Før jeg analyserer noen av teknikkene, vil jeg imidlertid minne deg på to fakta du allerede trenger å vite. Ellers risikerer du ikke å forstå materialet i dagens leksjon i det hele tatt.

Det du allerede trenger å vite

Captain Obviousness ser ut til å antyde at for å løse ulikheter med modul må du vite to ting:

1. Hvordan ulikheter løses;
2. Hva er en modul?

La oss starte med det andre punktet.

Moduldefinisjon

Alt er enkelt her. Det er to definisjoner: algebraisk og grafisk. Til å begynne med - algebraisk:

Definisjon. Modulen til et tall $x$ er enten selve tallet, hvis det er ikke-negativt, eller tallet motsatt av det, hvis den opprinnelige $x$ fortsatt er negativ.

Det er skrevet slik:

\[\venstre| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Enkelt sagt er en modul et "tall uten minus." Og det er nettopp i denne dualiteten (noen steder trenger du ikke å gjøre noe med det opprinnelige nummeret, men andre steder må du fjerne en slags minus) som er der hele vanskeligheten ligger for begynnende elever.

Det er også en geometrisk definisjon. Det er også nyttig å vite, men vi vil vende oss til det bare i komplekse og noen spesielle tilfeller, der den geometriske tilnærmingen er mer praktisk enn den algebraiske (spoiler: ikke i dag).

Definisjon. La punktet $a$ markeres på tallinjen. Deretter modulen $\left| x-a \right|$ er avstanden fra punkt $x$ til punkt $a$ på denne linjen.

Hvis du tegner et bilde, får du noe slikt:

Grafisk moduldefinisjon

På en eller annen måte, fra definisjonen av en modul følger dens nøkkelegenskap umiddelbart: modulen til et tall er alltid en ikke-negativ størrelse. Dette faktum vil være en rød tråd som går gjennom hele vår fortelling i dag.

Løse ulikheter. Intervallmetode

La oss nå se på ulikhetene. Det er veldig mange av dem, men vår oppgave nå er å kunne løse i det minste de enkleste av dem. De som reduserer til lineære ulikheter, samt til intervallmetoden.

Jeg har to store leksjoner om dette emnet (forresten, veldig, VELDIG nyttig - jeg anbefaler å studere dem):

1. Intervallmetode for ulikheter (spesielt se videoen);
2. Fraksjonelle rasjonelle ulikheter er en veldig omfattende leksjon, men etter den vil du ikke ha noen spørsmål i det hele tatt.

Hvis du vet alt dette, hvis uttrykket "la oss gå fra ulikhet til likning" ikke får deg til å ha et vagt ønske om å slå deg selv i veggen, så er du klar: velkommen til helvete til leksjonens hovedtema. :)

1. Ulikheter i formen "Modul er mindre enn funksjon"

Dette er et av de vanligste problemene med moduler. Det kreves for å løse en ulikhet av formen:

\[\venstre| f\høyre| \ltg\]

Funksjonene $f$ og $g$ kan være hva som helst, men vanligvis er de polynomer. Eksempler på slike ulikheter:

\[\begin(align) & \left| 2x+3 \høyre| \lt x+7; \\ & \venstre| ((x)^(2))+2x-3 \høyre|+3\venstre(x+1 \høyre) \lt 0; \\ & \venstre| ((x)^(2))-2\venstre| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end(align)\]

Alle kan løses bokstavelig talt på en linje i henhold til følgende skjema:

\[\venstre| f\høyre| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \right.\right)\]

Det er lett å se at vi kvitter oss med modulen, men til gjengjeld får vi en dobbel ulikhet (eller, som er det samme, et system med to ulikheter). Men denne overgangen tar hensyn til absolutt alle mulige problemer: hvis tallet under modulen er positivt, fungerer metoden; hvis negativ, fungerer det fortsatt; og selv med den mest utilstrekkelige funksjonen i stedet for $f$ eller $g$, vil metoden fortsatt fungere.

Naturligvis oppstår spørsmålet: kunne det ikke vært enklere? Dessverre er det ikke mulig. Dette er hele poenget med modulen.

Men nok med filosoferingen. La oss løse et par problemer:

Oppgave. Løs ulikheten:

\[\venstre| 2x+3 \høyre| \lt x+7\]

Løsning. Så vi har foran oss en klassisk ulikhet av formen "modulen er mindre" - det er til og med ingenting å transformere. Vi jobber etter algoritmen:

\[\begin(align) & \left| f\høyre| \lt g\Høyrepil -g \lt f \lt g; \\ & \venstre| 2x+3 \høyre| \lt x+7\Høyrepil -\venstre(x+7 \høyre) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

Ikke skynd deg å åpne parentesene foran med et "minus": det er ganske mulig at du på grunn av hastverket ditt vil gjøre en støtende feil.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\venstre\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\venstre\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\venstre\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

Problemet ble redusert til to elementære ulikheter. La oss legge merke til løsningene deres på parallelle talllinjer:

Kryss av mange

Skjæringspunktet mellom disse settene vil være svaret.

Svar: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Oppgave. Løs ulikheten:

\[\venstre| ((x)^(2))+2x-3 \høyre|+3\venstre(x+1 \høyre) \lt 0\]

Løsning. Denne oppgaven er litt vanskeligere. Først, la oss isolere modulen ved å flytte det andre leddet til høyre:

\[\venstre| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\venstre(x+1 \høyre)\]

Åpenbart har vi igjen en ulikhet av formen "modulen er mindre", så vi blir kvitt modulen ved å bruke den allerede kjente algoritmen:

\[-\venstre(-3\venstre(x+1 \høyre) \høyre) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\venstre(x+1 \høyre)\]

Nå oppmerksomhet: noen vil si at jeg er litt pervers med alle disse parentesene. Men la meg minne deg nok en gang om at vårt hovedmål er løse ulikheten riktig og få svaret. Senere, når du har mestret alt som er beskrevet i denne leksjonen perfekt, kan du pervertere det selv som du vil: åpne parenteser, legg til minuser, etc.

Til å begynne med vil vi ganske enkelt bli kvitt det doble minuset til venstre:

\[-\venstre(-3\venstre(x+1 \høyre) \høyre)=\venstre(-1 \høyre)\cdot \venstre(-3 \høyre)\cdot \venstre(x+1 \høyre) =3\venstre(x+1 \høyre)\]

La oss nå åpne alle parentesene i den doble ulikheten:

La oss gå videre til den doble ulikheten. Denne gangen blir beregningene mer seriøse:

\[\venstre\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \right.\]

\[\venstre\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( juster)\høyre.\]

Begge ulikhetene er kvadratiske og kan løses ved hjelp av intervallmetoden (det er derfor jeg sier: hvis du ikke vet hva dette er, er det bedre å ikke ta på seg moduler ennå). La oss gå videre til ligningen i den første ulikheten:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\venstre(x+5 \høyre)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(align)\]

Som du kan se, er utgangen en ufullstendig kvadratisk ligning, som kan løses på en elementær måte. La oss nå se på den andre ulikheten i systemet. Der må du bruke Vietas teorem:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \venstre(x-3 \høyre)\venstre(x+2 \høyre)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(align)\]

Vi markerer de resulterende tallene på to parallelle linjer (separer for den første ulikheten og separer for den andre):

Igjen, siden vi løser et system med ulikheter, er vi interessert i skjæringspunktet mellom de skraverte settene: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Dette er svaret.

Svar: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Jeg tror at etter disse eksemplene er løsningsskjemaet ekstremt klart:

1. Isoler modulen ved å flytte alle andre ledd til motsatt side av ulikheten. Dermed får vi en ulikhet på formen $\left| f\høyre| \ltg$.
2. Løs denne ulikheten ved å bli kvitt modulen i henhold til skjemaet beskrevet ovenfor. På et tidspunkt vil det være nødvendig å gå fra dobbel ulikhet til et system med to uavhengige uttrykk, som hver allerede kan løses separat.
3. Til slutt, alt som gjenstår er å krysse løsningene til disse to uavhengige uttrykkene - og det er det, vi vil få det endelige svaret.

En lignende algoritme eksisterer for ulikheter av følgende type, når modulen er større enn funksjonen. Imidlertid er det et par alvorlige "men". Vi skal snakke om disse "mene" nå.

2. Ulikheter i formen "Modul er større enn funksjon"

De ser slik ut:

\[\venstre| f\høyre| \gtg\]

Ligner den forrige? Det virker. Og likevel løses slike problemer på en helt annen måte. Formelt er ordningen som følger:

\[\venstre| f\høyre| \gt g\Høyrepil \venstre[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

Vi vurderer med andre ord to tilfeller:

1. Først ignorerer vi modulen og løser den vanlige ulikheten;
2. Så utvider vi i hovedsak modulen med minustegnet, og multipliserer deretter begge sider av ulikheten med −1, mens jeg har tegnet.

I dette tilfellet er alternativene kombinert med en firkantet brakett, dvs. Vi har foran oss en kombinasjon av to krav.

Vennligst merk igjen: dette er ikke et system, men en helhet, derfor i svaret er settene kombinert i stedet for å krysse hverandre. Dette er en grunnleggende forskjell fra forrige punkt!

Generelt er mange studenter fullstendig forvirret med fagforeninger og veikryss, så la oss løse dette problemet en gang for alle:

• "∪" er et fagforeningstegn. Faktisk er dette en stilisert bokstav "U", som kom til oss fra det engelske språket og er en forkortelse for "Union", dvs. "Foreninger".
• "∩" er krysstegnet. Denne dritten kom ikke fra noe sted, men dukket rett og slett opp som et motstykke til "∪".

For å gjøre det enda enklere å huske, trekk bena til disse skiltene for å lage briller (bare ikke nå anklage meg for å fremme narkotikaavhengighet og alkoholisme: hvis du seriøst studerer denne leksjonen, er du allerede en narkoman):

Forskjellen mellom skjæring og forening av sett

Oversatt til russisk betyr dette følgende: foreningen (totaliteten) inkluderer elementer fra begge settene, derfor er den på ingen måte mindre enn hver av dem; men skjæringspunktet (systemet) inkluderer bare de elementene som er samtidig i både det første settet og det andre. Derfor er skjæringspunktet mellom sett aldri større enn kildesettene.

Så det ble klarere? Det er flott. La oss gå videre til praksis.

Oppgave. Løs ulikheten:

\[\venstre| 3x+1 \right| \gt 5-4x\]

Løsning. Vi fortsetter i henhold til ordningen:

\[\venstre| 3x+1 \right| \gt 5-4x\Høyrepil \venstre[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ Ikke sant.\]

Vi løser hver ulikhet i befolkningen:

\[\venstre[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\venstre[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\venstre[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Vi markerer hvert resulterende sett på talllinjen, og kombinerer dem deretter:

Forening av sett

Det er ganske åpenbart at svaret vil være $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Svar: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Oppgave. Løs ulikheten:

\[\venstre| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\]

Løsning. Vi vil? Ingenting - alt er likt. Vi går fra en ulikhet med en modul til et sett med to ulikheter:

\[\venstre| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\Høyrepil \venstre[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(align) \right.\]

Vi løser enhver ulikhet. Dessverre vil røttene der ikke være veldig gode:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(align)\]

Den andre ulikheten er også litt vill:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(align)\]

Nå må du merke disse tallene på to akser - en akse for hver ulikhet. Du må imidlertid merke punktene i riktig rekkefølge: jo større tall, desto lenger beveger punktet seg til høyre.

Og her venter et oppsett på oss. Hvis alt er klart med tallene $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (leddene i telleren til den første brøk er mindre enn leddene i telleren til den andre , så summen er også mindre), med tallene $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ vil det heller ikke være noen vanskeligheter (positivt tall åpenbart mer negativt), så med det siste paret er ikke alt så klart. Hva er størst: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ eller $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Plasseringen av punkter på talllinjene og faktisk svaret vil avhenge av svaret på dette spørsmålet.

Så la oss sammenligne:

\[\begin(matrise) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrise)\]

Vi isolerte roten, fikk ikke-negative tall på begge sider av ulikheten, så vi har rett til å kvadre begge sider:

\[\begin(matrise) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrise)\]

Jeg tror det ikke er greit at $4\sqrt(13) \gt 3$, så $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, vil de siste punktene på aksene plasseres slik:

Et tilfelle av stygge røtter

La meg minne deg på at vi løser et sett, så svaret vil være en forening, ikke et skjæringspunkt av skyggelagte sett.

Svar: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

Som du kan se, fungerer opplegget vårt utmerket for både enkle og svært tøffe problemer. Det eneste "svake punktet" i denne tilnærmingen er at du må sammenligne irrasjonelle tall på riktig måte (og tro meg: dette er ikke bare røtter). Men en egen (og veldig alvorlig) leksjon vil bli viet til sammenligningsspørsmål. Og vi går videre.

3. Ulikheter med ikke-negative "haler"

Nå kommer vi til den mest interessante delen. Dette er ulikheter i formen:

\[\venstre| f\høyre| \gt\venstre| g\right|\]

Generelt sett er algoritmen som vi skal snakke om nå, bare riktig for modulen. Det fungerer i alle ulikheter der det er garantert ikke-negative uttrykk på venstre og høyre side:

Hva skal man gjøre med disse oppgavene? Bare husk:

I ulikheter med ikke-negative "haler", kan begge sider heves til hvilken som helst naturlig makt. Det vil ikke være ytterligere begrensninger.

Først av alt vil vi være interessert i å kvadrere - det brenner moduler og røtter:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\end(align)\]

Bare ikke forveksle dette med å ta roten av et kvadrat:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\venstre| f \right|\ne f\]

Utallige feil ble gjort når en student glemte å installere en modul! Men dette er en helt annen historie (dette er liksom irrasjonelle ligninger), så vi skal ikke gå inn på dette nå. La oss løse et par problemer bedre:

Oppgave. Løs ulikheten:

\[\venstre| x+2 \høyre|\ge \venstre| 1-2x \right|\]

Løsning. La oss umiddelbart legge merke til to ting:

1. Dette er ikke en streng ulikhet. Punkter på talllinjen vil bli punktert.
2. Begge sider av ulikheten er åpenbart ikke-negative (dette er en egenskap for modulen: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Derfor kan vi kvadre begge sider av ulikheten for å bli kvitt modulen og løse problemet ved å bruke den vanlige intervallmetoden:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\venstre(x+2 \høyre))^(2))\ge ((\venstre(2x-1 \høyre))^(2)). \\\end(align)\]

På det siste trinnet jukset jeg litt: Jeg endret rekkefølgen av termer, og utnyttet modulens jevnhet (faktisk multipliserte jeg uttrykket $1-2x$ med -1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ høyre)\høyre)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Vi løser ved hjelp av intervallmetoden. La oss gå fra ulikhet til ligning:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(align)\]

Vi markerer de funne røttene på tallinjen. Nok en gang: alle punkter er skyggelagt fordi den opprinnelige ulikheten ikke er streng!

Bli kvitt modultegnet

La meg minne deg på for de som er spesielt sta: vi tar tegnene fra den siste ulikheten, som ble skrevet ned før vi gikk videre til ligningen. Og vi maler over arealene som kreves i samme ulikhet. I vårt tilfelle er det $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

OK, det er over nå. Problemet er løst.

Svar: $x\in \venstre[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Oppgave. Løs ulikheten:

\[\venstre| ((x)^(2))+x+1 \høyre|\le \venstre| ((x)^(2))+3x+4 \right|\]

Løsning. Vi gjør alt likt. Jeg vil ikke kommentere - bare se på rekkefølgen av handlinger.

Kvaddra det:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left) | ((x)^(2))+3x+4 \right| \right))^(2)); \\ & ((\venstre(((x)^(2))+x+1 \høyre))^(2))\le ((\venstre(((x)^(2))+3x+4 \høyre))^(2)); \\ & ((\venstre(((x)^(2))+x+1 \høyre))^(2))-((\venstre(((x)^(2))+3x+4 \ høyre))^(2))\le 0; \\ & \venstre(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \høyre)\ ganger \\ & \ ganger \venstre(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \høyre)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Intervallmetode:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Høyrepil x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Høyrepil D=16-40 \lt 0\Høyrepil \varnothing . \\\end(align)\]

Det er bare én rot på tallinjen:

Svaret er et helt intervall

Svar: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Et lite notat om siste oppgave. Som en av elevene mine nøyaktig bemerket, er begge submodulære uttrykk i denne ulikheten åpenbart positive, så modultegnet kan utelates uten helseskade.

Men dette er et helt annet nivå av tenkning og en annen tilnærming - det kan betinget kalles konsekvensmetoden. Om det - i en egen leksjon. La oss nå gå videre til den siste delen av dagens leksjon og se på en universell algoritme som alltid fungerer. Selv når alle tidligere tilnærminger var maktesløse. :)

4. Metode for oppregning av alternativer

Hva om alle disse teknikkene ikke hjelper? Hvis ulikheten ikke kan reduseres til ikke-negative haler, hvis det er umulig å isolere modulen, hvis det generelt er smerte, tristhet, melankoli?

Så kommer det "tunge artilleriet" av all matematikk på banen - brute force-metoden. I forhold til ulikheter med modul ser det slik ut:

1. Skriv ut alle submodulære uttrykk og sett dem lik null;
2. Løs de resulterende ligningene og merk røttene funnet på én talllinje;
3. Den rette linjen vil bli delt inn i flere seksjoner, der hver modul har et fast skilt og derfor er unikt avslørt;
4. Løs ulikheten på hver slik seksjon (du kan separat vurdere røtter-grensene oppnådd i trinn 2 - for pålitelighet). Kombiner resultatene - dette vil være svaret. :)

Så hvordan? Svak? Enkelt! Bare i lang tid. La oss se i praksis:

Oppgave. Løs ulikheten:

\[\venstre| x+2 \right| \lt \venstre| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Løsning. Denne dritten koker ikke ned til ulikheter som $\left| f\høyre| \lt g$, $\venstre| f\høyre| \gt g$ eller $\left| f\høyre| \lt \venstre| g \right|$, så vi handler i forkant.

Vi skriver ut submodulære uttrykk, likestiller dem til null og finner røttene:

\[\begin(align) & x+2=0\Høyrepil x=-2; \\ & x-1=0\Høyrepil x=1. \\\end(align)\]

Totalt har vi to røtter som deler talllinjen i tre seksjoner, der hver modul avsløres unikt:

Partisjonering av talllinjen med null av submodulære funksjoner

La oss se på hver del separat.

1. La $x \lt -2$. Da er begge submodulære uttrykk negative, og den opprinnelige ulikheten vil bli omskrevet som følger:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1,5 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align)\]

Vi har en ganske enkel begrensning. La oss krysse det med den første antakelsen om at $x \lt -2$:

\[\venstre\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Det er klart at variabelen $x$ ikke samtidig kan være mindre enn −2 og større enn 1,5. Det finnes ingen løsninger på dette området.

1.1. La oss vurdere grensetilfellet separat: $x=-2$. La oss bare erstatte dette tallet med den opprinnelige ulikheten og sjekke: er det sant?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \venstre| -3\høyre|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0.5\Høyrepil \varnothing . \\\end(align)\]

Det er åpenbart at kjeden av beregninger har ført oss til en feil ulikhet. Derfor er den opprinnelige ulikheten også falsk, og $x=-2$ er ikke inkludert i svaret.

2. La nå $-2 \lt x \lt 1$. Den venstre modulen vil allerede åpne med et "pluss", men den høyre vil fortsatt åpne med et "minus". Vi har:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\venstre(x-1 \right)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(align)\]

Igjen krysser vi det opprinnelige kravet:

\[\venstre\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Og igjen, settet med løsninger er tomt, siden det ikke er tall som både er mindre enn -2,5 og større enn -2.

2.1. Og igjen et spesielt tilfelle: $x=1$. Vi bytter inn i den opprinnelige ulikheten:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ & \venstre| 3\høyre| \lt \venstre| 0\right|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0.5\Høyrepil \varnothing . \\\end(align)\]

I likhet med det forrige "spesielle tilfellet", er tallet $x=1$ tydeligvis ikke inkludert i svaret.

3. Den siste delen av linjen: $x \gt 1$. Her åpnes alle moduler med et plusstegn:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

Og igjen krysser vi det funnet settet med den opprinnelige begrensningen:

\[\venstre\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]

Endelig! Vi har funnet et intervall som vil være svaret.

Svar: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Til slutt, en bemerkning som kan redde deg fra dumme feil når du løser reelle problemer:

Løsninger på ulikheter med moduli representerer vanligvis kontinuerlige sett på tallinjen - intervaller og segmenter. Isolerte punkter er mye mindre vanlige. Og enda sjeldnere hender det at grensen til løsningen (enden av segmentet) faller sammen med grensen til området som vurderes.

Følgelig, hvis grenser (de samme "spesielle tilfellene") ikke er inkludert i svaret, vil områdene til venstre og høyre for disse grensene nesten helt sikkert ikke inkluderes i svaret. Og omvendt: grensen kom inn i svaret, noe som betyr at noen områder rundt den også vil være svar.

Ha dette i bakhodet når du vurderer løsningene dine.

Men i dag kan ikke rasjonelle ulikheter løse alt. Mer presist, ikke bare alle kan bestemme. Få mennesker kan gjøre dette.
Klitsjko

Denne leksjonen blir tøff. Så tøft at bare de utvalgte vil nå slutten. Derfor, før du begynner å lese, anbefaler jeg å fjerne kvinner, katter, gravide barn og... fra skjermer.

Kom igjen, det er faktisk enkelt. La oss si at du har mestret intervallmetoden (hvis du ikke har mestret den, anbefaler jeg å gå tilbake og lese den) og lært hvordan du løser ulikheter på formen $P\left(x \right) \gt 0$, hvor $ P\left(x \right)$ er et eller annet polynom eller produkt av polynomer.

Jeg tror at det ikke vil være vanskelig for deg å løse for eksempel noe slikt (forresten, prøv det som en oppvarming):

\[\begin(align) & \left(2((x)^(2))+3x+4 \right)\left(4x+25 \right) \gt 0; \\ & x\left(2((x)^(2))-3x-20 \right)\left(x-1 \right)\ge 0; \\ & \left(8x-((x)^(4)) \right)((\left(x-5 \right))^(6))\le 0. \\ \end(align)\]

La oss nå komplisere problemet litt og vurdere ikke bare polynomer, men såkalte rasjonelle brøker av formen:

der $P\left(x \right)$ og $Q\left(x \right)$ er de samme polynomene av formen $((a)_(n))((x)^(n))+( (a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$, eller produktet av slike polynomer.

Dette vil være en rasjonell ulikhet. Det grunnleggende punktet er tilstedeværelsen av variabelen $x$ i nevneren. For eksempel er dette rasjonelle ulikheter:

\[\begin(align) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\venstre(3-x \høyre))^(2))\venstre(4-((x)^( 2)) \right))\ge 0. \\ \end(align)\]

Og dette er ikke en rasjonell ulikhet, men den vanligste ulikheten, som kan løses med intervallmetoden:

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

Når jeg ser fremover, vil jeg si med en gang: det er minst to måter å løse rasjonelle ulikheter på, men alle av dem, på en eller annen måte, kommer ned til metoden med intervaller som allerede er kjent for oss. Derfor, før vi analyserer disse metodene, la oss huske de gamle fakta, ellers vil det ikke være noen mening fra det nye materialet.

Det du allerede trenger å vite

Det er aldri for mange viktige fakta. Vi trenger egentlig bare fire.

Forkortede multiplikasjonsformler

Ja, ja: de vil forfølge oss gjennom hele læreplanen i skolens matematikk. Og på universitetet også. Det er ganske mange av disse formlene, men vi trenger bare følgende:

\[\begin(align) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\venstre(a\pm b \right))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\venstre(a-b \høyre)\venstre(a+b \høyre); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\venstre(a+b \høyre)\venstre(((a)^(2))-ab+((b) ^(2)) \right); \\ & ((a)^(3))-((b)^(3))=\venstre(a-b \høyre)\venstre(((a)^(2))+ab+((b)^( 2))\høyre). \\ \end(align)\]

Vær oppmerksom på de to siste formlene - disse er summen og differansen av terninger (og ikke terningen av summen eller differansen!). De er enkle å huske hvis du legger merke til at tegnet i den første parentesen sammenfaller med tegnet i det opprinnelige uttrykket, og i det andre er det motsatt av tegnet i det opprinnelige uttrykket.

Lineære ligninger

Dette er de enkleste ligningene på formen $ax+b=0$, der $a$ og $b$ er vanlige tall, og $a\ne 0$. Denne ligningen kan løses enkelt:

\[\begin(align) & ax+b=0; \\&ax=-b; \\ & x=-\frac(b)(a). \\ \end(align)\]

La meg merke oss at vi har rett til å dele med koeffisienten $a$, fordi $a\ne 0$. Dette kravet er ganske logisk, siden for $a=0$ får vi dette:

For det første er det ingen variabel $x$ i denne ligningen. Dette bør generelt sett ikke forvirre oss (dette skjer for eksempel i geometri, og ganske ofte), men likevel er dette ikke lenger en lineær ligning.

For det andre avhenger løsningen av denne ligningen utelukkende på koeffisienten $b$. Hvis $b$ også er null, har ligningen vår formen $0=0$. Denne likheten er alltid sann; dette betyr at $x$ er et hvilket som helst tall (vanligvis skrevet slik: $x\in \mathbb(R)$). Hvis koeffisienten $b$ ikke er lik null, er likheten $b=0$ aldri tilfredsstilt, dvs. det er ingen svar (skriv $x\i \varnothing $ og les "løsningssettet er tomt").

For å unngå alle disse vanskelighetene, antar vi ganske enkelt $a\ne 0$, noe som slett ikke begrenser oss i videre tenkning.

Kvadratiske ligninger

La meg minne deg på at dette er hva en kvadratisk ligning kalles:

Her til venstre er et polynom av andre grad, og igjen $a\ne 0$ (ellers vil vi i stedet for en kvadratisk ligning få en lineær). Følgende ligninger løses gjennom diskriminanten:

1. Hvis $D \gt 0$, får vi to forskjellige røtter;
2. Hvis $D=0$, vil roten være den samme, men av den andre multiplisiteten (hva slags multiplisitet er dette og hvordan ta hensyn til det - mer om det senere). Eller vi kan si at ligningen har to like røtter;
3. For $D \lt 0$ er det ingen røtter i det hele tatt, og tegnet til polynomet $a((x)^(2))+bx+c$ for enhver $x$ faller sammen med tegnet til koeffisienten $a $. Dette er forresten et veldig nyttig faktum, som de av en eller annen grunn glemmer å snakke om i algebratimer.

Selve røttene beregnes ved å bruke den velkjente formelen:

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

Derav forresten restriksjonene på diskriminanten. Tross alt eksisterer ikke kvadratroten av et negativt tall. Mange elever har et forferdelig rot i hodet om røtter, så jeg skrev spesielt ned en hel leksjon: hva er en rot i algebra og hvordan man beregner den - jeg anbefaler på det sterkeste å lese den. :)

Operasjoner med rasjonelle brøker

Du vet allerede alt som ble skrevet ovenfor hvis du har studert intervallmetoden. Men det vi skal analysere nå har ingen analoger i fortiden - dette er et helt nytt faktum.

Definisjon. En rasjonell brøk er et uttrykk for formen

\[\frac(P\venstre(x \høyre))(Q\venstre(x \høyre))\]

der $P\left(x \right)$ og $Q\left(x \right)$ er polynomer.

Det er klart at det er lett å få ulikhet fra en slik brøk – du trenger bare å legge til tegnet "større enn" eller "mindre enn" til høyre. Og litt lenger vil vi oppdage at det er en glede å løse slike problemer, alt er veldig enkelt.

Problemer begynner når det er flere slike brøker i ett uttrykk. De må bringes til en fellesnevner – og det er i dette øyeblikket det gjøres et stort antall offensive feil.

Derfor, for å lykkes med å løse rasjonelle ligninger, må du godt forstå to ferdigheter:

1. Faktorisering av polynomet $P\left(x \right)$;
2. Faktisk, å bringe brøker til en fellesnevner.

Hvordan faktorisere et polynom? Veldig enkelt. La oss ha et polynom av formen

Vi likestiller det til null. Vi får en ligning på $n$th grad:

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

La oss si at vi løste denne ligningen og fikk røttene $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (ikke bli skremt: i de fleste tilfeller vil det være ikke mer enn to av disse røttene). I dette tilfellet kan vårt originale polynom omskrives som følger:

\[\begin(align) & P\venstre(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x) )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\venstre(x) -((x)_(1)) \right)\cdot \left(x-((x)_(2)) \right)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \right) \end(align)\]

Det er alt! Vennligst merk: den ledende koeffisienten $((a)_(n))$ har ikke forsvunnet noe sted - den vil være en egen multiplikator foran parentesene, og om nødvendig kan den settes inn i hvilken som helst av disse parentesene (praksis viser at med $((a)_ (n))\ne \pm 1$ er det nesten alltid brøker blant røttene).

Oppgave. Forenkle uttrykket:

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

Løsning. La oss først se på nevnerne: de er alle lineære binomialer, og det er ingenting å ta hensyn til her. Så la oss faktorisere tellerne:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+x-20=\venstre(x+5 \høyre)\venstre(x-4 \høyre); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\venstre(x-\frac(3)(2) \høyre)\venstre(x-1 \høyre)=\venstre(2x- 3 \høyre)\venstre(x-1 \høyre); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\venstre(x+2 \høyre)\venstre(x-\frac(2)(5) \høyre)=\venstre(x +2 \høyre)\venstre(2-5x \høyre). \\\end(align)\]

Vær oppmerksom på: i det andre polynomet dukket den ledende koeffisienten "2", i full samsvar med skjemaet vårt, først opp foran parentesen, og ble deretter inkludert i den første parentesen, siden brøkdelen dukket opp der.

Det samme skjedde i det tredje polynomet, bare der er også rekkefølgen på leddene omvendt. Koeffisienten "−5" endte imidlertid opp med å bli inkludert i den andre parentesen (husk: du kan angi faktoren i én og bare én parentes!), noe som reddet oss fra ulempen forbundet med brøkrøtter.

Når det gjelder det første polynomet, er alt enkelt: røttene søkes enten standard gjennom diskriminanten eller ved å bruke Vietas teorem.

La oss gå tilbake til det opprinnelige uttrykket og omskrive det med tellerne faktorisert:

\[\begin(matrise) \frac(\left(x+5 \right)\left(x-4 \right))(x-4)-\frac(\left(2x-3 \right)\left( x-1 \høyre))(2x-3)-\frac(\venstre(x+2 \høyre)\venstre(2-5x \høyre))(x+2)= \\ =\venstre(x+5 \høyre)-\venstre(x-1 \høyre)-\venstre(2-5x \høyre)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \end(matrise)\]

Svar: $5x+4$.

Som du kan se, ingenting komplisert. Litt 7.-8. klasse matte og det er det. Poenget med alle transformasjoner er å få noe enkelt og lett å jobbe med fra et komplekst og skummelt uttrykk.

Dette vil imidlertid ikke alltid være tilfelle. Så nå skal vi se på et mer alvorlig problem.

Men først, la oss finne ut hvordan du kan bringe to brøker til en fellesnevner. Algoritmen er ekstremt enkel:

1. Faktor begge nevnerne;
2. Vurder den første nevneren og legg til faktorer som er tilstede i den andre nevneren, men ikke i den første. Det resulterende produktet vil være fellesnevneren;
3. Finn ut hvilke faktorer hver av de opprinnelige brøkene mangler slik at nevnerne blir lik felles.

Denne algoritmen kan for deg virke som bare tekst med "mange bokstaver." La oss derfor se på alt ved å bruke et spesifikt eksempel.

Oppgave. Forenkle uttrykket:

\[\venstre(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \right)\]

Løsning. Det er bedre å løse slike store problemer i deler. La oss skrive ned hva som står i den første parentesen:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

I motsetning til forrige oppgave, her er ikke nevnerne så enkle. La oss faktorisere hver av dem.

Det kvadratiske trinomium $((x)^(2))+2x+4$ kan ikke faktoriseres, siden ligningen $((x)^(2))+2x+4=0$ ikke har noen røtter (diskriminanten er negativ ). Vi lar det stå uendret.

Den andre nevneren - det kubiske polynomet $((x)^(3))-8$ - ved nøye undersøkelse er forskjellen mellom terninger og kan enkelt utvides ved å bruke de forkortede multiplikasjonsformlene:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\venstre(x-2 \høyre)\venstre(((x) ^(2))+2x+4 \høyre)\]

Ingenting annet kan faktoriseres, siden i den første parentesen er det en lineær binomial, og i den andre er det en konstruksjon som allerede er kjent for oss, som ikke har noen reelle røtter.

Til slutt er den tredje nevneren en lineær binomial som ikke kan utvides. Derfor vil ligningen vår ha formen:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2)))+8)(\venstre(x-2 \høyre)\venstre (((x)^(2))+2x+4 \høyre))-\frac(1)(x-2)\]

Det er ganske åpenbart at fellesnevneren vil være nøyaktig $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$, og for å redusere alle brøker til det er nødvendig for å multiplisere den første brøken på $\left(x-2 \right)$, og den siste - på $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$. Da gjenstår det bare å gi lignende:

\[\begin(matrise) \frac(x\cdot \venstre(x-2 \høyre))(\venstre(x-2 \høyre)\venstre(((x)^(2))+2x+4 \ høyre))+\frac(((x)^(2))+8)(\venstre(x-2 \høyre)\venstre(((x)^(2))+2x+4 \høyre))- \frac(1\cdot \venstre(((x)^(2))+2x+4 \høyre))(\venstre(x-2 \høyre)\venstre(((x)^(2))+2x +4 \høyre))= \\ =\frac(x\cdot \venstre(x-2 \høyre)+\venstre(((x)^(2))+8 \høyre)-\venstre(((x) )^(2))+2x+4 \høyre))(\venstre(x-2 \høyre)\venstre(((x)^(2))+2x+4 \høyre))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\venstre(x-2 \høyre)\venstre (((x)^(2))+2x+4 \høyre))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\venstre(x-2 \høyre)\ venstre(((x)^(2))+2x+4 \høyre)). \\ \end(matrise)\]

Vær oppmerksom på den andre linjen: når nevneren allerede er vanlig, dvs. I stedet for tre separate brøker skrev vi en stor; du bør ikke kvitte deg med parentesene med en gang. Det er bedre å skrive en ekstra linje og merke seg at det for eksempel var et minus før den tredje brøken - og den vil ikke gå noe sted, men vil "henge" i telleren foran parentesen. Dette vil spare deg for mange feil.

Vel, på den siste linjen er det nyttig å faktorisere telleren. Dessuten er dette et eksakt kvadrat, og forkortede multiplikasjonsformler kommer igjen til hjelp. Vi har:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\venstre(x-2 \høyre)\venstre(((x)^(2))+2x+4 \høyre))= \frac(((\venstre(x-2 \høyre))^(2)))(\venstre(x-2 \høyre)\venstre(((x)^(2))+2x+4 \høyre) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

La oss nå behandle den andre braketten på nøyaktig samme måte. Her vil jeg bare skrive en kjede av likheter:

\[\begin(matrise) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( x)^(2)))(\venstre(x-2 \høyre)\venstre(x+2 \høyre))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ^(2)))(\venstre(x-2 \høyre)\venstre(x+2 \høyre))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^( 2)))(\venstre(x-2 \høyre)\venstre(x+2 \høyre))+\frac(2\cdot \venstre(x+2 \høyre))(\venstre(x-2 \høyre) )\cdot \left(x+2 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2) \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right) ). \\ \end(matrise)\]

La oss gå tilbake til det opprinnelige problemet og se på produktet:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\venstre(x-2) \høyre)\venstre(x+2 \høyre))=\frac(1)(x+2)\]

Svar: \[\frac(1)(x+2)\].

Betydningen av denne oppgaven er den samme som den forrige: å vise hvordan rasjonelle uttrykk kan forenkles hvis du nærmer deg deres transformasjon med omhu.

Og nå som du vet alt dette, la oss gå videre til hovedtemaet i dagens leksjon - å løse rasjonelle brøkdeler ulikheter. Dessuten, etter en slik forberedelse vil du knekke ulikhetene i seg selv som nøtter. :)

Den viktigste måten å løse rasjonelle ulikheter på

Det er minst to tilnærminger til å løse rasjonelle ulikheter. Nå skal vi se på en av dem - den som er allment akseptert i skolematematikkkurset.

Men først, la oss merke oss en viktig detalj. Alle ulikheter er delt inn i to typer:

1. Strenge: $f\left(x \right) \gt 0$ eller $f\left(x \right) \lt 0$;
2. Lax: $f\left(x \right)\ge 0$ eller $f\left(x \right)\le 0$.

Ulikheter av den andre typen kan lett reduseres til den første, så vel som ligningen:

Dette lille "tillegget" $f\left(x \right)=0$ fører til en så ubehagelig ting som fylte poeng - vi ble kjent med dem i intervallmetoden. Ellers er det ingen forskjeller mellom strenge og ikke-strenge ulikheter, så la oss se på den universelle algoritmen:

1. Samle alle elementer som ikke er null på den ene siden av ulikhetstegnet. For eksempel til venstre;
2. Reduser alle brøker til en fellesnevner (hvis det er flere slike brøker), ta med lignende. Faktor så, hvis mulig, telleren og nevneren. På en eller annen måte vil vi få en ulikhet på formen $\frac(P\venstre(x \høyre))(Q\venstre(x \høyre))\vee 0$, der "haken" er ulikhetstegnet .
3. Vi likestiller telleren til null: $P\left(x \right)=0$. Vi løser denne ligningen og får røttene $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... Deretter krever vi at nevneren ikke var lik null: $Q\left(x \right)\ne 0$. Selvfølgelig må vi i hovedsak løse ligningen $Q\left(x \right)=0$, og vi får røttene $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*)$ , $x_(3 )^(*)$, ... (i reelle problemer vil det neppe være mer enn tre slike røtter).
4. Vi markerer alle disse røttene (både med og uten stjerner) på en enkelt talllinje, og røttene uten stjerner males over, og de med stjerner punkteres.
5. Vi plasserer "pluss" og "minus" tegn, velg intervallene vi trenger. Hvis ulikheten har formen $f\left(x \right) \gt 0$, vil svaret være intervallene merket med et "pluss". Hvis $f\left(x \right) \lt 0$, så ser vi på intervallene med "minus".

Praksis viser at de største vanskelighetene er forårsaket av punkt 2 og 4 - kompetente transformasjoner og riktig arrangement av tall i stigende rekkefølge. Vel, på siste trinn, vær ekstremt forsiktig: vi plasserer alltid skilt basert på den aller siste ulikheten skrevet før man går videre til ligningene. Dette er en universell regel, arvet fra intervallmetoden.

Så det er en ordning. La oss øve.

Oppgave. Løs ulikheten:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

Løsning. Vi har en streng ulikhet på formen $f\left(x \right) \lt 0$. Åpenbart er punkt 1 og 2 fra ordningen vår allerede oppfylt: alle elementene av ulikhet er samlet til venstre, det er ikke nødvendig å bringe noe til en fellesnevner. La oss derfor gå rett til det tredje punktet.

Vi likestiller telleren til null:

\[\begin(align) & x-3=0; \\ & x=3. \end(align)\]

Og nevneren:

\[\begin(align) & x+7=0; \\ & ((x)^(*))=-7. \\ \end(align)\]

Det er her mange mennesker blir sittende fast, fordi du i teorien må skrive $x+7\ne 0$, som kreves av ODZ (du kan ikke dele på null, det er alt). Men i fremtiden vil vi prikke ut punktene som kom fra nevneren, så det er ikke nødvendig å komplisere beregningene dine igjen - skriv et likhetstegn overalt og ikke bekymre deg. Ingen vil trekke poeng for dette. :)

Fjerde punkt. Vi markerer de resulterende røttene på talllinjen:

Alle punkter er festet ut, siden ulikheten er streng

Merk: alle punkter er festet ut, siden den opprinnelige ulikheten er streng. Og her spiller det ingen rolle om disse punktene kom fra telleren eller nevneren.

Vel, la oss se på skiltene. La oss ta et hvilket som helst tall $((x)_(0)) \gt 3$. For eksempel, $((x)_(0))=100$ (men med samme suksess kan man ta $((x)_(0))=3.1$ eller $((x)_(0)) = 1\ 000\ 000 $). Vi får:

Så, til høyre for alle røttene har vi en positiv region. Og når du passerer gjennom hver rot, endres tegnet (dette vil ikke alltid være tilfelle, men mer om det senere). Derfor, la oss gå videre til det femte punktet: ordne skiltene og velg det du trenger:

La oss gå tilbake til den siste ulikheten som var før vi løste ligningene. Faktisk faller det sammen med den opprinnelige, fordi vi ikke utførte noen transformasjoner i denne oppgaven.

Siden vi må løse en ulikhet på formen $f\left(x \right) \lt 0$, skygget jeg intervallet $x\in \left(-7;3 \right)$ - det er det eneste som er merket med et minustegn. Dette er svaret.

Svar: $x\in \left(-7;3 \right)$

Det er alt! Det er vanskelig? Nei, det er ikke vanskelig. Riktignok var oppgaven lett. La oss nå komplisere oppdraget litt og vurdere en mer "sofistikert" ulikhet. Når jeg løser det, vil jeg ikke lenger gi slike detaljerte beregninger - jeg vil bare skissere hovedpunktene. Generelt sett vil vi formatere det på samme måte som vi ville formatert det under selvstendig arbeid eller en eksamen. :)

Oppgave. Løs ulikheten:

\[\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0\]

Løsning. Dette er en ikke-streng ulikhet av formen $f\left(x \right)\ge 0$. Alle elementer som ikke er null er samlet til venstre, det er ingen forskjellige nevnere. La oss gå videre til ligningene.

Teller:

\[\begin(align) & \left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\Rightarrow ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\Høyrepil ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \end(align)\]

Nevner:

\[\begin(align) & 13x-4=0; \\ & 13x=4; \\ & ((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \end(align)\]

Jeg vet ikke hva slags pervers som skapte dette problemet, men røttene viste seg ikke veldig bra: det ville være vanskelig å plassere dem på talllinjen. Og hvis alt med roten $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ er mer eller mindre klart (dette er det eneste positive tallet - det vil være til høyre), så er $ ((x)_(1 ))=-(1)/(7)\;$ og $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$ krever ytterligere undersøkelser: hvilken er større?

Du kan finne ut dette for eksempel slik:

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2) ))\]

Jeg håper det ikke er behov for å forklare hvorfor den numeriske brøken $-(2)/(14)\; \gt -(2)/(11)\;$? Om nødvendig anbefaler jeg å huske hvordan du utfører operasjoner med brøker.

Og vi markerer alle tre røttene på tallinjen:

Prikkene fra telleren fylles ut, prikkene fra nevneren er punktert

Vi setter opp skilt. For eksempel kan du ta $((x)_(0))=1$ og finne ut tegnet på dette punktet:

\[\begin(align) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4); \\ & f\left(1 \right)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\\end(align)\]

Den siste ulikheten før ligningene var $f\left(x \right)\ge 0$, så vi er interessert i plusstegnet.

Vi har to sett: det ene er et vanlig segment, og det andre er en åpen stråle på talllinjen.

Svar: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$

En viktig merknad om tallene som vi erstatter for å finne ut tegnet på intervallet lengst til høyre. Det er absolutt ikke nødvendig å erstatte tallet nærmest roten lengst til høyre. Du kan ta milliarder eller til og med "pluss-uendelig" - i dette tilfellet bestemmes tegnet til polynomet i parentesen, telleren eller nevneren utelukkende av tegnet til den ledende koeffisienten.

La oss se igjen på funksjonen $f\left(x \right)$ fra den siste ulikheten:

Notasjonen inneholder tre polynomer:

\[\begin(align) & ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1; \\ & ((P)_(2))\venstre(x \høyre)=11x+2; \\ & Q\venstre(x \høyre)=13x-4. \end(align)\]

Alle av dem er lineære binomialer, og alle deres ledende koeffisienter (tall 7, 11 og 13) er positive. Derfor, når du erstatter veldig store tall, vil polynomene i seg selv også være positive. :)

Denne regelen kan virke altfor komplisert, men først når vi analyserer veldig enkle problemer. Ved alvorlige ulikheter vil erstatning av "pluss-uendelighet" tillate oss å finne ut tegnene mye raskere enn standarden $((x)_(0))=100$.

Vi vil bli møtt med slike utfordringer veldig snart. Men la oss først se på en alternativ måte å løse rasjonelle brøkulikheter på.

Alternativ måte

Denne teknikken ble foreslått for meg av en av elevene mine. Selv har jeg aldri brukt det, men praksis har vist at mange elever virkelig synes det er mer praktisk å løse ulikheter på denne måten.

Så de første dataene er de samme. Vi må løse den rasjonelle brøkulikheten:

\[\frac(P\venstre(x \høyre))(Q\venstre(x \høyre)) \gt 0\]

La oss tenke: hvorfor er polynomet $Q\left(x \right)$ "verre" enn polynomet $P\left(x \right)$? Hvorfor må vi vurdere separate grupper av røtter (med og uten stjerne), tenke på punkterte punkter osv.? Det er enkelt: en brøk har et definisjonsdomene, ifølge hvilket brøken gir mening bare når dens nevner er forskjellig fra null.

Ellers er det ingen forskjeller mellom telleren og nevneren: vi likestiller det også med null, ser etter røttene, og merker dem så på tallinjen. Så hvorfor ikke erstatte brøklinjen (faktisk divisjonstegnet) med vanlig multiplikasjon, og skrive ned alle kravene til ODZ i form av en separat ulikhet? For eksempel slik:

\[\frac(P\venstre(x \høyre))(Q\venstre(x \høyre)) \gt 0\Høyrepil \venstre\( \begin(align) & P\venstre(x \høyre)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Vær oppmerksom på: denne tilnærmingen vil redusere problemet til intervallmetoden, men vil ikke komplisere løsningen i det hele tatt. Tross alt vil vi fortsatt likestille polynomet $Q\left(x \right)$ til null.

La oss se hvordan dette fungerer på reelle problemer.

Oppgave. Løs ulikheten:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

Løsning. Så la oss gå videre til intervallmetoden:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\Høyrepil \venstre\( \begin(align) & \venstre(x+8 \høyre)\venstre(x-11 \høyre) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Den første ulikheten kan løses på en elementær måte. Vi likestiller ganske enkelt hver parentes til null:

\[\begin(align) & x+8=0\Høyrepil ((x)_(1))=-8; \\ & x-11=0\Høyrepil ((x)_(2))=11. \\ \end(align)\]

Den andre ulikheten er også enkel:

Merk punktene $((x)_(1))$ og $((x)_(2))$ på talllinjen. Alle er slått ut, siden ulikheten er streng:

Det rette punktet ble revet ut to ganger. Dette er greit.

Vær oppmerksom på punktet $x=11$. Det viser seg at det er "dobbelt punktert": på den ene siden stikker vi det ut på grunn av alvorlighetsgraden av ulikhet, på den andre siden på grunn av tilleggskravet til DL.

Uansett blir det bare et punktert punkt. Derfor ordner vi tegnene for ulikheten $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ - det siste vi så før vi begynte å løse likningene:

Vi er interessert i positive regioner, siden vi løser en ulikhet på formen $f\left(x \right) \gt 0$ - vi skygger dem. Det gjenstår bare å skrive ned svaret.

Svar. $x\in \left(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \right)$

Ved å bruke denne løsningen som eksempel, vil jeg advare deg mot en vanlig feil blant nybegynnere. Nemlig: aldri åpne parenteser i ulikheter! Tvert imot, prøv å faktorisere alt - dette vil forenkle løsningen og spare deg for mange problemer.

La oss nå prøve noe mer komplisert.

Oppgave. Løs ulikheten:

\[\frac(\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right))(15x+33)\le 0\]

Løsning. Dette er en ikke-streng ulikhet av formen $f\left(x \right)\le 0$, så her må du være nøye med de skyggelagte punktene.

La oss gå videre til intervallmetoden:

\[\left\( \begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)\le 0, \\ & 15x+33\ ne 0. \\ \end(align) \right.\]

La oss gå til ligningen:

\[\begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0 \\ & 2x-13=0\Rightarrow ((x) )_(1))=6,5; \\ & 12x-9=0\Høyrepil ((x)_(2))=0,75; \\ & 15x+33=0\Høyrepil ((x)_(3))=-2.2. \\ \end(align)\]

Vi tar hensyn til tilleggskravet:

Vi markerer alle de resulterende røttene på talllinjen:

Hvis et punkt både er punktert og fylt ut, anses det for å være punktert

Igjen, to punkter "overlapper" hverandre - dette er normalt, det vil alltid være slik. Det er bare viktig å forstå at et punkt merket som både punktert og malt over faktisk er et punktert punkt. De. «stikking» er en sterkere handling enn «maling».

Dette er helt logisk, for ved å knipe markerer vi punkter som påvirker fortegnet til funksjonen, men som ikke selv deltar i svaret. Og hvis nummeret på et tidspunkt ikke lenger passer oss (for eksempel faller det ikke inn i ODZ), krysser vi det ut fra vurdering til slutten av oppgaven.

Generelt, slutt å filosofere. Vi setter skilt og maler over de intervallene som er merket med et minustegn:

Svar. $x\in \left(-\infty ;-2.2 \right)\bigcup \left[ 0.75;6.5 \right]$.

Og igjen ville jeg trekke oppmerksomheten din til denne ligningen:

\[\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0\]

Nok en gang: åpne aldri parentesene i slike ligninger! Du vil bare gjøre ting vanskeligere for deg selv. Husk: produktet er lik null når minst én av faktorene er lik null. Følgelig "faller denne ligningen fra hverandre" i flere mindre, som vi løste i forrige oppgave.

Tar hensyn til mangfoldet av røtter

Fra de tidligere problemene er det lett å se at det er de ikke-strenge ulikhetene som er de vanskeligste, for i dem må du holde styr på de skraverte punktene.

Men det er en enda større ondskap i verden - disse er flere røtter i ulikheter. Her trenger du ikke lenger å holde styr på noen skraverte prikker - her kan det hende at ulikhetstegnet ikke plutselig endres når du passerer gjennom de samme prikkene.

Vi har ennå ikke vurdert noe lignende i denne leksjonen (selv om et lignende problem ofte ble møtt i intervallmetoden). Derfor introduserer vi en ny definisjon:

Definisjon. Roten av ligningen $((\venstre(x-a \høyre))^(n))=0$ er lik $x=a$ og kalles roten til $n$th multiplisitet.

Egentlig er vi ikke spesielt interessert i den nøyaktige verdien av multiplisiteten. Det eneste som betyr noe er om det samme tallet $n$ er partall eller oddetall. Fordi:

1. Hvis $x=a$ er en rot av jevn multiplisitet, endres ikke tegnet til funksjonen når den går gjennom den;
2. Og omvendt, hvis $x=a$ er en rot av oddetall, vil tegnet til funksjonen endres.

Alle tidligere problemer diskutert i denne leksjonen er et spesialtilfelle av en rot av oddetall: overalt er multiplisiteten lik én.

Og videre. Før vi begynner å løse problemer, vil jeg trekke oppmerksomheten din til en subtilitet som virker innlysende for en erfaren student, men som driver mange nybegynnere til en dvale. Nemlig:

Roten til multiplisitet $n$ oppstår bare i tilfellet når hele uttrykket heves til denne potensen: $((\venstre(x-a \høyre))^(n))$, og ikke $\left(((x) ^(n))-a \right)$.

Nok en gang: parentesen $((\left(x-a \right))^(n))$ gir oss roten $x=a$ av multiplisitet $n$, men parentesen $\left(((x)^( n)) -a \right)$ eller, som ofte skjer, $(a-((x)^(n)))$ gir oss en rot (eller to røtter, hvis $n$ er partall) av den første multiplisiteten , uavhengig av hva som er lik $n$.

Sammenligne:

\[((\venstre(x-3 \høyre))^(5))=0\Høyrepil x=3\venstre(5k \høyre)\]

Alt er klart her: hele braketten ble hevet til femte potens, så utgangen vi fikk var roten til femte potens. Og nå:

\[\venstre(((x)^(2))-4 \right)=0\Høyrepil ((x)^(2))=4\Høyrepil x=\pm 2\]

Vi har to røtter, men begge har første multiplisitet. Eller her er en annen:

\[\venstre(((x)^(10))-1024 \right)=0\Høyrepil ((x)^(10))=1024\Høyrepil x=\pm 2\]

Og ikke la den tiende graden plage deg. Hovedsaken er at 10 er et partall, så ved utgangen har vi to røtter, og begge har igjen det første multiplumet.

Generelt, vær forsiktig: multiplisitet oppstår bare når graden refererer til hele parentesen, ikke bare variabelen.

Oppgave. Løs ulikheten:

\[\frac(((x)^(2))((\venstre(6-x \høyre))^(3))\venstre(x+4 \høyre))((\venstre(x+7) \right))^(5)))\ge 0\]

Løsning. La oss prøve å løse det på en alternativ måte - gjennom overgangen fra kvotienten til produktet:

\[\venstre\( \begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0. \\ \end(align )\Ikke sant.\]

La oss behandle den første ulikheten ved å bruke intervallmetoden:

\[\begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left( x+7 \høyre))^(5))=0; \\ & ((x)^(2))=0\Høyrepil x=0\venstre(2k \høyre); \\ & ((\venstre(6-x \høyre))^(3))=0\Høyrepil x=6\venstre(3k \høyre); \\ & x+4=0\Høyrepil x=-4; \\ & ((\venstre(x+7 \høyre))^(5))=0\Høyrepil x=-7\venstre(5k \høyre). \\ \end(align)\]

I tillegg løser vi den andre ulikheten. Faktisk har vi allerede løst det, men for at anmelderne ikke skal finne feil på løsningen, er det bedre å løse det igjen:

\[((\venstre(x+7 \høyre))^(5))\ne 0\Høyrepil x\ne -7\]

Vennligst merk: det er ingen multiplisiteter i den siste ulikheten. Faktisk: hvilken forskjell gjør det hvor mange ganger du krysser ut punktet $x=-7$ på tallinjen? Minst en gang, minst fem ganger, vil resultatet være det samme: et punktert punkt.

La oss markere alt vi har på talllinjen:

Som sagt vil punktet $x=-7$ til slutt bli punktert. Multiplisitetene er ordnet basert på å løse ulikheten ved hjelp av intervallmetoden.

Det gjenstår bare å plassere skiltene:

Siden punktet $x=0$ er en rot av jevn multiplisitet, endres ikke tegnet når det passerer gjennom det. De resterende poengene har en oddetall, og alt er enkelt med dem.

Svar. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$

Igjen, vær oppmerksom på $x=0$. På grunn av den jevne mangfoldet oppstår en interessant effekt: alt til venstre for det er malt over, alt til høyre er også malt over, og selve punktet er fullstendig malt over.

Som et resultat trenger den ikke å være isolert når du registrerer svaret. De. det er ikke nødvendig å skrive noe som $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ (selv om et slikt svar formelt sett også ville være riktig). I stedet skriver vi umiddelbart $x\in \left[ -4;6 \right]$.

Slike effekter er bare mulige med røtter av jevn mangfold. Og i neste oppgave vil vi møte den omvendte "manifesjonen" av denne effekten. Klar?

Oppgave. Løs ulikheten:

\[\frac(((\venstre(x-3 \høyre))^(4))\venstre(x-4 \høyre))(((\venstre(x-1 \høyre))^(2)) \left(7x-10-((x)^(2)) \right))\ge 0\]

Løsning. Denne gangen skal vi følge standardordningen. Vi likestiller telleren til null:

\[\begin(align) & ((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right)=0; \\ & ((\venstre(x-3 \høyre))^(4))=0\Høyrepil ((x)_(1))=3\venstre(4k \høyre); \\ & x-4=0\Høyrepil ((x)_(2))=4. \\ \end(align)\]

Og nevneren:

\[\begin(align) & ((\venstre(x-1 \høyre))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \right)=0; \\ & ((\venstre(x-1 \høyre))^(2))=0\Høyrepil x_(1)^(*)=1\venstre(2k \høyre); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\Høyrepil x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \end(align)\]

Siden vi løser en ikke-streng ulikhet på formen $f\left(x \right)\ge 0$, vil røttene fra nevneren (som har stjerner) bli tatt ut, og de fra telleren vil bli skyggelagt.

Vi plasserer skilt og skygger områdene merket med et "pluss":

Punkt $x=3$ er isolert. Dette er en del av svaret

Før du skriver ned det endelige svaret, la oss se nærmere på bildet:

1. Punktet $x=1$ har en jevn multiplisitet, men er selv punktert. Følgelig må det isoleres i svaret: du må skrive $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, og ikke $x\in \left(-\ infty ;2 \right)$.
2. Punktet $x=3$ har også en jevn multiplisitet og er skyggelagt. Ordningen av tegn indikerer at selve punktet passer oss, men et skritt til venstre eller høyre – og vi befinner oss i et område som definitivt ikke passer oss. Slike punkter kalles isolerte og skrives på formen $x\in \left\( 3 \right\)$.

Vi kombinerer alle de mottatte delene til et felles sett og skriver ned svaret.

Svar: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;5 \right) $

Definisjon. Å løse ulikhet betyr finn settet med alle løsningene, eller bevis at dette settet er tomt.

Det ser ut til: hva kan være uforståelig her? Ja, faktum er at sett kan defineres på forskjellige måter. La oss skrive ned svaret på det siste problemet igjen:

Vi leser bokstavelig talt det som står. Variabelen "x" tilhører et visst sett, som oppnås ved å kombinere ("U"-tegnet) fire separate sett:

• Intervall $\left(-\infty ;1 \right)$, som bokstavelig talt betyr "alle tall mindre enn ett, men ikke selve enheten";
• Intervall $\left(1;2 \right)$, dvs. "alle tall i området fra 1 til 2, men ikke tallene 1 og 2 i seg selv";
• Settet $\left\( 3 \right\)$, bestående av ett enkelt tall - tre;
• Intervallet $\left[ 4;5 \right)$ som inneholder alle tallene i området fra 4 til 5, samt de fire selv, men ikke de fem.

Det tredje punktet er av interesse her. I motsetning til intervaller, som definerer uendelige sett med tall og bare indikerer grensene til disse settene, spesifiserer settet $\left\( 3 \right\)$ strengt tatt ett tall ved oppregning.

For å forstå at vi lister opp spesifikke tall som er inkludert i settet (og ikke setter grenser eller noe annet), brukes krøllete bukseseler. For eksempel betyr notasjonen $\left\( 1;2 \right\)$ nøyaktig "et sett bestående av to tall: 1 og 2," men ikke et segment fra 1 til 2. Ikke forveksle disse begrepene under noen omstendigheter .

Regel for å legge til multipler

Vel, på slutten av dagens leksjon, en liten boks fra Pavel Berdov. :)

Oppmerksomme studenter har sikkert allerede lurt på: hva vil skje hvis teller og nevner har samme røtter? Så, følgende regel fungerer:

Mangfoldet av identiske røtter legges til. Alltid. Selv om denne roten forekommer i både telleren og nevneren.

Noen ganger er det bedre å bestemme seg enn å snakke. Derfor løser vi følgende problem:

Oppgave. Løs ulikheten:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\venstre(((x)^(2))-16 \høyre)\venstre(((x)^(2))+ 9x+14 \right))\ge 0\]

\[\begin(align) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \end(align)\]

Ikke noe spesielt ennå. Vi likestiller nevneren til null:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+9x+14 \right)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Høyrepil x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Høyrepil x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \end(align)\]

To identiske røtter ble oppdaget: $((x)_(1))=-2$ og $x_(4)^(*)=-2$. Begge har den første multiplisiteten. Derfor erstatter vi dem med én rot $x_(4)^(*)=-2$, men med en multiplisitet på 1+1=2.

I tillegg er det også identiske røtter: $((x)_(2))=-4$ og $x_(2)^(*)=-4$. De er også av den første multiplisiteten, så bare $x_(2)^(*)=-4$ av multiplisiteten 1+1=2 vil gjenstå.

Vær oppmerksom på: i begge tilfeller forlot vi nøyaktig den "punkterte" roten, og ekskluderte den "malte" fra vurdering. For i begynnelsen av timen ble vi enige: Hvis et punkt både er punktert og malt over, så anser vi det fortsatt for å være punktert.

Som et resultat har vi fire røtter, og alle ble kuttet ut:

\[\begin(align) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\venstre(2k \høyre); \\ & x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\venstre(2k \høyre). \\ \end(align)\]

Vi merker dem på talllinjen, og tar hensyn til multiplisiteten:

Vi setter skilt og maler over områdene av interesse for oss:

Alle. Ingen isolerte punkter eller andre perversjoner. Du kan skrive ned svaret.

Svar. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.

Regel for å multiplisere multipler

Noen ganger oppstår en enda mer ubehagelig situasjon: en ligning som har flere røtter er i seg selv hevet til en viss makt. I dette tilfellet endres mangfoldet av alle opprinnelige røtter.

Dette er sjeldent, så de fleste studenter har ingen erfaring med å løse slike problemer. Og regelen her er:

Når en ligning heves til potensen $n$, øker også multiplisiteten til alle dens røtter med $n$ ganger.

Med andre ord, å heve til en potens fører til å multiplisere multiplene med samme potens. La oss se på denne regelen ved å bruke et eksempel:

Oppgave. Løs ulikheten:

\[\frac(x((\venstre(((x)^(2))-6x+9 \høyre))^(2))((\venstre(x-4 \høyre))^(5)) )(((\venstre(2-x \høyre))^(3))((\venstre(x-1 \høyre))^(2)))\le 0\]

Løsning. Vi likestiller telleren til null:

Produktet er null når minst én av faktorene er null. Alt er klart med den første faktoren: $x=0$. Men så begynner problemene:

\[\begin(align) & ((\venstre(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))=0; \\ & ((x)^(2))-6x+9=0\venstre(2k \høyre); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\venstre(2k \høyre)\venstre(2k \høyre) \ \& ((x)_(2))=3\venstre(4k \høyre) \\ \end(align)\]

Som vi ser, har ligningen $((x)^(2))-6x+9=0$ en enkelt rot av den andre multiplisiteten: $x=3$. Hele denne ligningen blir deretter kvadratisk. Derfor vil multiplisiteten til roten være $2\cdot 2=4$, som er det vi til slutt skrev ned.

\[((\venstre(x-4 \høyre))^(5))=0\Høyrepil x=4\venstre(5k \høyre)\]

Det er heller ingen problemer med nevneren:

\[\begin(align) & ((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2))=0; \\ & ((\venstre(2-x \høyre))^(3))=0\Høyrepil x_(1)^(*)=2\venstre(3k \høyre); \\ & ((\venstre(x-1 \høyre))^(2))=0\Høyrepil x_(2)^(*)=1\venstre(2k \høyre). \\ \end(align)\]

Totalt fikk vi fem prikker: to punktert og tre malt. Det er ingen sammenfallende røtter i telleren og nevneren, så vi merker dem ganske enkelt på talllinjen:

Vi ordner skiltene med hensyn til mangfold og maler over intervallene som interesserer oss:

Igjen ett isolert punkt og ett punktert

På grunn av røttene til jevn mangfold, fikk vi igjen et par "ikke-standard" elementer. Dette er $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, og ikke $x\in \left[ 0;2 \right)$, og også et isolert punkt $ x\i \venstre\( 3 \høyre\)$.

Svar. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$

Som du kan se, er ikke alt så komplisert. Det viktigste er oppmerksomhet. Den siste delen av denne leksjonen er viet transformasjoner - de samme som vi diskuterte helt i begynnelsen.

Forhåndskonverteringer

Ulikhetene som vi skal undersøke i denne delen kan ikke kalles komplekse. Men i motsetning til tidligere oppgaver, vil du her måtte anvende ferdigheter fra teorien om rasjonelle brøker - faktorisering og reduksjon til en fellesnevner.

Vi diskuterte dette problemet i detalj helt i begynnelsen av dagens leksjon. Hvis du ikke er sikker på at du forstår hva jeg snakker om, anbefaler jeg på det sterkeste å gå tilbake og gjenta det. For det er ingen vits i å stappe metoder for å løse ulikheter hvis du "flyter" i å konvertere brøker.

I lekser vil det forresten også være mange lignende oppgaver. De er plassert i en egen underseksjon. Og der finner du svært ikke-trivielle eksempler. Men dette vil være i lekser, og la oss nå se på et par slike ulikheter.

Oppgave. Løs ulikheten:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

Løsning. Flytt alt til venstre:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

Vi reduserer til en fellesnevner, åpner parentesene og tar med lignende termer i telleren:

\[\begin(align) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \right)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \right)\left(x-1 \ høyre))(x\cdot \venstre(x-1 \høyre))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\venstre(((x)^(2))-2x-x+2 \høyre))(x\venstre(x-1 \høyre)) \le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\venstre(x-1 \høyre))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\venstre(x-1 \høyre))\le 0. \\\end(align)\]

Nå har vi foran oss en klassisk brøk-rasjonell ulikhet, hvis løsning ikke lenger er vanskelig. Jeg foreslår å løse det ved å bruke en alternativ metode - gjennom metoden med intervaller:

\[\begin(align) & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \end(align)\]

Ikke glem begrensningen som kommer fra nevneren:

Vi merker alle tallene og restriksjonene på nummerlinjen:

Alle røtter har første multiplisitet. Ikke noe problem. Vi setter ganske enkelt skilt og maler over områdene vi trenger:

Dette er alt. Du kan skrive ned svaret.

Svar. $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \right)$.

Selvfølgelig var dette et veldig enkelt eksempel. Så la oss nå se på problemet mer alvorlig. Og forresten, nivået på denne oppgaven er ganske konsistent med selvstendig og testarbeid om dette emnet i 8. klasse.

Oppgave. Løs ulikheten:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

Løsning. Flytt alt til venstre:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

Før vi bringer begge brøkene til en fellesnevner, la oss faktorisere disse nevnerne. Hva om de samme parentesene kommer ut? Med den første nevneren er det enkelt:

\[((x)^(2))+8x-9=\venstre(x-1 \høyre)\venstre(x+9 \høyre)\]

Den andre er litt vanskeligere. Legg gjerne til en konstant faktor i parentesen der brøken vises. Husk: det opprinnelige polynomet hadde heltallskoeffisienter, så det er en god sjanse for at faktoriseringen vil ha heltallskoeffisienter (faktisk vil den alltid ha det, med mindre diskriminanten er irrasjonell).

\[\begin(align) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac(2)(3) \right)= \\ & =\venstre(x-1 \høyre)\venstre(3x-2 \høyre) \end(align)\]

Som du kan se, er det en vanlig parentes: $\left(x-1 \right)$. Vi går tilbake til ulikheten og bringer begge brøkene til en fellesnevner:

\[\begin(align) & \frac(1)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right))-\frac(1)(\left(x-1 \right)\ venstre(3x-2 \høyre))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right )\venstre(3x-2 \høyre))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\venstre(x-1 \høyre)\venstre(x+9 \høyre)\venstre(3x-2 \høyre))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\venstre(x-1 \høyre)\venstre(x+9 \høyre)\venstre(3x-2 \høyre))\ge 0; \\ \end(align)\]

Vi likestiller nevneren til null:

\[\begin(align) & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( tilpasse)\]

Ingen multipler eller sammenfallende røtter. Vi markerer fire tall på linjen:

Vi setter ut skilt:

Vi skriver ned svaret.

Svar: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5.5;+\infty \ right) $.

Alle! Slik leser jeg til denne linjen. :)

Ulikheter kalles lineære hvis venstre og høyre side er lineære funksjoner med hensyn til den ukjente størrelsen. Disse inkluderer for eksempel ulikheter:

2x-1-x+3; 7x0;

5 >4 - 6x 9- x< x + 5 .

1) Strenge ulikheter: ax +b>0 eller øks+b<0

2) Ikke-strenge ulikheter: ax +b≤0 eller øks+b≫ 0

La oss analysere denne oppgaven. En av sidene på parallellogrammet er 7 cm. Hva må være lengden på den andre siden slik at omkretsen av parallellogrammet er større enn 44 cm?

La den nødvendige siden være X cm I dette tilfellet vil omkretsen til parallellogrammet representeres av (14 + 2x) cm Ulikheten 14 + 2x > 44 er en matematisk modell av problemet med omkretsen til et parallellogram. Hvis vi erstatter variabelen i denne ulikheten X på for eksempel tallet 16, så får vi den riktige numeriske ulikheten 14 + 32 > 44. I dette tilfellet sier de at tallet 16 er en løsning på ulikheten 14 + 2x > 44.

Løse ulikheten navngi verdien av en variabel som gjør den til en sann numerisk ulikhet.

Derfor er hvert av tallene 15,1; 20;73 fungerer som en løsning på ulikheten 14 + 2x > 44, men tallet 10, for eksempel, er ikke dens løsning.

Løs ulikhet betyr å etablere alle sine løsninger eller å bevise at det ikke finnes noen løsninger.

Formuleringen av løsningen på ulikheten er lik formuleringen av roten til ligningen. Og likevel er det ikke vanlig å betegne "roten til ulikhet."

Egenskapene til numeriske likheter hjalp oss med å løse ligninger. På samme måte vil egenskapene til numeriske ulikheter bidra til å løse ulikheter.

Når vi løser en likning, erstatter vi den med en annen, enklere likning, men tilsvarende den gitte. Svaret på ulikheter finnes på en lignende måte. Når de endrer en likning til en ekvivalent likning, bruker de teoremet om å overføre ledd fra den ene siden av likningen til den motsatte og om å multiplisere begge sider av likningen med samme tall som ikke er null. Når du løser en ulikhet, er det en betydelig forskjell mellom den og en ligning, som ligger i det faktum at enhver løsning til en ligning kan verifiseres ganske enkelt ved å substituere inn i den opprinnelige ligningen. I ulikheter er denne metoden fraværende, siden det ikke er mulig å erstatte utallige løsninger i den opprinnelige ulikheten. Derfor er det et viktig konsept, disse pilene<=>er et tegn på ekvivalente eller ekvivalente transformasjoner. Transformasjonen kalles tilsvarende, eller tilsvarende, hvis de ikke endrer settet med løsninger.

Lignende regler for å løse ulikheter.

Hvis vi flytter et ledd fra en del av ulikheten til en annen, og erstatter fortegnet med det motsatte, får vi en ulikhet tilsvarende denne.

Hvis begge sider av ulikheten multipliseres (deltes) med det samme positive tallet, får vi en ulikhet tilsvarende denne.

Hvis begge sider av ulikheten multipliseres (deltes) med det samme negative tallet, og erstatter ulikhetstegnet med det motsatte, får vi en ulikhet tilsvarende det gitte.

Bruker disse regler La oss beregne følgende ulikheter.

1) La oss analysere ulikheten 2x - 5 > 9.

Dette lineær ulikhet, vil vi finne løsningen og diskutere de grunnleggende konseptene.

2x - 5 > 9<=>2x>14(5 ble flyttet til venstre side med motsatt fortegn), så delte vi alt på 2 og vi har x > 7. La oss plotte settet med løsninger på aksen x

Vi har fått en positivt rettet stråle. Vi noterer oss løsningssettet enten i form av ulikhet x > 7, eller i form av intervallet x(7; ∞). Hva er en spesiell løsning på denne ulikheten? For eksempel, x = 10 er en spesiell løsning på denne ulikheten, x = 12– Dette er også en spesiell løsning på denne ulikheten.

Det er mange delløsninger, men vår oppgave er å finne alle løsningene. Og det finnes vanligvis utallige løsninger.

La oss ordne opp i det eksempel 2:

2) Løs ulikhet 4a - 11 > a + 13.

La oss løse det: EN flytte den til den ene siden 11 flytte den til den andre siden, får vi 3a< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 ulikheten har formen en<8 .

4a - 11 > a + 13<=>3a< 24 <=>en< 8 .

Vi vil også vise settet en< 8 , men allerede på aksen EN.

Vi skriver enten svaret i form av ulikhet a< 8, либо EN(-∞;8), 8 slår seg ikke på.

Intervallmetode– en enkel måte å løse rasjonelle brøkulikheter på. Dette er navnet på ulikheter som inneholder rasjonelle (eller brøk-rasjonelle) uttrykk som er avhengige av en variabel.

1. Tenk for eksempel på følgende ulikhet

Intervallmetoden lar deg løse det på et par minutter.

På venstre side av denne ulikheten er en rasjonell brøkfunksjon. Rasjonell fordi den ikke inneholder røtter, sinus eller logaritmer - bare rasjonelle uttrykk. Til høyre er null.

Intervallmetoden er basert på følgende egenskap til en rasjonell brøkfunksjon.

En rasjonell brøkfunksjon kan endre fortegn bare på de punktene der den er lik null eller ikke eksisterer.

La oss huske hvordan et kvadratisk trinomial er faktorisert, det vil si et uttrykk for formen .

Hvor og er røttene til kvadratisk ligning.

Vi tegner en akse og plasserer punktene der telleren og nevneren går til null.

Nullene til nevneren og er punkterte punkter, siden funksjonen på venstre side av ulikheten ikke er definert på disse punktene (du kan ikke dele med null). Nullpunktene til telleren og - er skyggelagt, siden ulikheten ikke er streng. Når og vår ulikhet er tilfredsstilt, siden begge sidene er lik null.

Disse punktene deler aksen i intervaller.

La oss bestemme tegnet til den rasjonelle brøkfunksjonen på venstre side av ulikheten vår på hvert av disse intervallene. Vi husker at en rasjonell brøkfunksjon kan endre fortegn bare på de punktene der den er lik null eller ikke eksisterer. Dette betyr at ved hvert av intervallene mellom punktene der telleren eller nevneren går til null, vil tegnet til uttrykket på venstre side av ulikheten være konstant - enten "pluss" eller "minus".

Og derfor, for å bestemme tegnet til funksjonen på hvert slikt intervall, tar vi ethvert punkt som tilhører dette intervallet. Den som er praktisk for oss.
. Ta for eksempel og sjekk fortegnet til uttrykket på venstre side av ulikheten. Hver av "parentesene" er negative. Venstre side har et skilt.

Neste intervall: . La oss sjekke skiltet på . Vi finner at venstre side har endret fortegn til .

La oss ta det. Når uttrykket er positivt - derfor er det positivt over hele intervallet fra til.

Når venstre side av ulikheten er negativ.

Og til slutt, class="tex" alt="x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

Vi har funnet med hvilke intervaller uttrykket er positivt. Alt som gjenstår er å skrive ned svaret:

Svar: .

Merk: skiltene veksler mellom intervaller. Dette skjedde pga ved passering gjennom hvert punkt, endret nøyaktig en av de lineære faktorene fortegn, mens resten holdt den uendret.

Vi ser at intervallmetoden er veldig enkel. For å løse den brøk-rasjonelle ulikheten ved å bruke intervallmetoden, reduserer vi den til formen:

Eller class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0"> !}, eller eller .

(på venstre side er en rasjonell brøkfunksjon, på høyre side er null).

Så markerer vi på talllinjen punktene der telleren eller nevneren går til null.
Disse punktene deler hele tallinjen i intervaller, på hver av disse beholder den brøkrasjonelle funksjonen sitt fortegn.
Alt som gjenstår er å finne ut tegnet ved hvert intervall.
Vi gjør dette ved å sjekke fortegnet til uttrykket på et hvilket som helst punkt som tilhører et gitt intervall. Etter det skriver vi ned svaret. Det er alt.

Men spørsmålet oppstår: veksler tegnene alltid? Nei ikke alltid! Du må være forsiktig og ikke plassere skilt mekanisk og tankeløst.

2. La oss vurdere en annen ulikhet.

Class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \ venstre(x-3 \høyre))>0"> !}

Plasser punktene på aksen igjen. Prikkene og er punktert fordi de er null i nevneren. Poenget er også kuttet ut, siden ulikheten er streng.

Når telleren er positiv, er begge faktorene i nevneren negative. Dette kan enkelt sjekkes ved å ta et hvilket som helst tall fra et gitt intervall, for eksempel . Venstre side har tegnet:

Når telleren er positiv; Den første faktoren i nevneren er positiv, den andre faktoren er negativ. Venstre side har tegnet:

Situasjonen er den samme! Telleren er positiv, den første faktoren i nevneren er positiv, den andre er negativ. Venstre side har tegnet:

Til slutt, med class="tex" alt="x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Svar: .

Hvorfor ble vekslingen av tegn forstyrret? Fordi når du går gjennom et punkt, er multiplikatoren "ansvarlig" for det byttet ikke tegn. Følgelig endret ikke hele venstre side av vår ulikhet fortegn.

Konklusjon: hvis den lineære multiplikatoren er en jevn potens (for eksempel i kvadrat), så endres ikke tegnet til uttrykket på venstre side når du går gjennom et punkt. Ved en odde grad endres selvfølgelig tegnet.

3. La oss vurdere en mer kompleks sak. Den skiller seg fra den forrige ved at ulikheten ikke er streng:

Venstre side er den samme som i forrige oppgave. Bildet av skiltene vil være det samme:

Kanskje svaret blir det samme? Nei! En løsning legges til Dette skjer fordi både venstre og høyre side av ulikheten er lik null - derfor er dette punktet en løsning.

Svar: .

Denne situasjonen oppstår ofte i problemer på Unified State Examination i matematikk. Det er her søkere går i en felle og mister poeng. Vær forsiktig!

4. Hva gjør jeg hvis telleren eller nevneren ikke kan faktoriseres i lineære faktorer? Tenk på denne ulikheten:

Et kvadratisk trinomium kan ikke faktoriseres: diskriminanten er negativ, det er ingen røtter. Men dette er bra! Dette betyr at tegnet på uttrykket for alle er det samme, og spesifikt positivt. Du kan lese mer om dette i artikkelen om egenskaper ved kvadratiske funksjoner.

Og nå kan vi dele begge sider av vår ulikhet med en verdi som er positiv for alle. La oss komme frem til en tilsvarende ulikhet:

Som enkelt løses ved hjelp av intervallmetoden.

Vær oppmerksom på at vi delte begge sider av ulikheten med en verdi som vi med sikkerhet visste var positiv. Selvfølgelig, generelt, bør du ikke multiplisere eller dividere en ulikhet med en variabel hvis fortegn er ukjent.

5 . La oss vurdere en annen ulikhet, tilsynelatende ganske enkel:

Jeg vil bare multiplisere det med . Men vi er allerede smarte, og vi vil ikke gjøre dette. Det kan tross alt være både positivt og negativt. Og vi vet at hvis begge sider av ulikheten multipliseres med en negativ verdi, endres tegnet på ulikheten.

Vi skal gjøre det annerledes - vi skal samle alt i en del og bringe det til en fellesnevner. Høyresiden forblir null:

Class="tex" alt="\genfrac())()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

Og etter det - søk intervallmetode.

Løse ulikheter på nett

Før du løser ulikheter, må du ha en god forståelse av hvordan ligninger løses.

Det spiller ingen rolle om ulikheten er streng () eller ikke-streng (≤, ≥), det første trinnet er å løse ligningen ved å erstatte ulikhetstegnet med likhet (=).

La oss forklare hva det vil si å løse en ulikhet?

Etter å ha studert ligningene, får studenten følgende bilde i hodet: han må finne verdier av variabelen slik at begge sider av ligningen får de samme verdiene. Med andre ord, finn alle punkter der likhet gjelder. Alt er riktig!

Når vi snakker om ulikheter, mener vi å finne intervaller (segmenter) som ulikheten holder på. Hvis det er to variabler i ulikheten, vil løsningen ikke lenger være intervaller, men noen områder på planet. Gjett selv hva som vil være løsningen på en ulikhet i tre variabler?

Hvordan løse ulikheter?

En universell måte å løse ulikheter på anses å være metoden for intervaller (også kjent som metoden for intervaller), som består i å bestemme alle intervaller innenfor grensene som en gitt ulikhet vil bli tilfredsstilt.

Uten å gå inn på typen ulikhet, i dette tilfellet er ikke dette poenget, du må løse den tilsvarende ligningen og bestemme dens røtter, etterfulgt av betegnelsen av disse løsningene på tallaksen.

Hvordan skrive riktig løsning på en ulikhet?

Når du har bestemt løsningsintervallene for ulikheten, må du skrive ut selve løsningen riktig. Det er en viktig nyanse - er grensene for intervallene inkludert i løsningen?

Alt er enkelt her. Hvis løsningen til ligningen tilfredsstiller ODZ og ulikheten ikke er streng, er grensen til intervallet inkludert i løsningen til ulikheten. Ellers nei.

Med tanke på hvert intervall, kan løsningen på ulikheten være selve intervallet, eller et halvt intervall (når en av grensene tilfredsstiller ulikheten), eller et segment - intervallet sammen med dets grenser.

Viktig poeng

Ikke tenk at bare intervaller, halvintervaller og segmenter kan løse ulikheten. Nei, løsningen kan også inneholde enkeltpunkter.

For eksempel har ulikheten |x|≤0 bare én løsning - dette er punkt 0.

Og ulikheten |x|

Hvorfor trenger du en ulikhetskalkulator?

Ulikhetskalkulatoren gir det riktige endelige svaret. I de fleste tilfeller er det gitt en illustrasjon av en tallakse eller et plan. Det er synlig om grensene for intervallene er inkludert i løsningen eller ikke - punktene vises som skraverte eller punktert.

Takket være den elektroniske ulikhetskalkulatoren kan du sjekke om du fant røttene til ligningen riktig, merket dem på tallaksen og sjekket oppfyllelsen av ulikhetsbetingelsen på intervallene (og grensene)?

Hvis svaret ditt avviker fra kalkulatorens svar, må du definitivt dobbeltsjekke løsningen og identifisere feilen.