Ulike måter å bevise Pythagoras teorem på. Ulike måter å bevise Pythagoras teorem: eksempler, beskrivelser og anmeldelser Den første Pythagoras teorem
De som er interessert i historien til Pythagoras teorem, som studeres i skolens læreplan, vil også være nysgjerrige på et slikt faktum som utgivelsen i 1940 av en bok med tre hundre og sytti bevis på denne tilsynelatende enkle teoremet. Men det fascinerte hodet til mange matematikere og filosofer fra forskjellige tidsepoker. I Guinness rekordbok er det registrert som et teorem med maksimalt antall bevis.
Historien om Pythagoras teorem
Assosiert med navnet Pythagoras, var teoremet kjent lenge før fødselen til den store filosofen. Så, i Egypt, under konstruksjonen av strukturer, ble forholdet mellom sidene i en rettvinklet trekant tatt i betraktning for fem tusen år siden. De babylonske tekstene nevner det samme forholdet mellom sidene i en rettvinklet trekant 1200 år før Pythagoras fødsel.
Spørsmålet oppstår hvorfor så sier historien - fremveksten av Pythagoras teorem tilhører ham? Det kan bare være ett svar - han beviste forholdet mellom sidene i trekanten. Han gjorde det de som bare brukte sideforholdet og hypotenusen, etablert av erfaring, ikke gjorde for århundrer siden.
Fra livet til Pythagoras
Den fremtidige store vitenskapsmannen, matematikeren, filosofen ble født på øya Samos i 570 f.Kr. Historiske dokumenter bevarte informasjon om faren til Pythagoras, som var en edelstensskjærer, men det er ingen informasjon om moren hans. De sa om den fødte gutten at han var et enestående barn som viste en lidenskap for musikk og poesi fra barndommen. Historikere tilskriver Hermodamant og Pherekides fra Syros til lærerne til unge Pythagoras. Den første introduserte gutten inn i musenes verden, og den andre, som var filosof og grunnlegger av den italienske filosofiskolen, rettet den unge mannens blikk mot logoene.
I en alder av 22 år (548 f.Kr.) dro Pythagoras til Naucratis for å studere egypternes språk og religion. Videre lå hans vei i Memphis, hvor han takket være prestene, etter å ha bestått gjennom deres geniale tester, forsto egyptisk geometri, noe som kanskje fikk den nysgjerrige unge mannen til å bevise Pythagoras teorem. Historien vil senere tilskrive dette navnet til teoremet.
Fanget av kongen av Babylon
På vei hjem til Hellas blir Pythagoras tatt til fange av Babylons konge. Men å være i fangenskap var til nytte for nybegynnermatematikerens nysgjerrige sinn, han hadde mye å lære. Faktisk, i disse årene var matematikken i Babylon mer utviklet enn i Egypt. Han brukte tolv år på å studere matematikk, geometri og magi. Og kanskje var det den babylonske geometrien som var involvert i beviset på forholdet mellom sidene i trekanten og historien til oppdagelsen av teoremet. Pythagoras hadde nok kunnskap og tid til dette. Men at dette skjedde i Babylon, er det ingen dokumentarisk bekreftelse eller tilbakevisning av dette.
I 530 f.Kr Pythagoras flykter fra fangenskap til hjemlandet, hvor han bor ved hoffet til tyrannen Polykrates i status som halvslave. Et slikt liv passer ikke Pythagoras, og han trekker seg tilbake til hulene på Samos, og drar deretter til Sør-Italia, hvor den greske kolonien Croton lå på den tiden.
Hemmelig klosterorden
På grunnlag av denne kolonien organiserte Pythagoras en hemmelig klosterorden, som var en religiøs union og et vitenskapelig samfunn på samme tid. Dette samfunnet hadde sitt charter, som snakket om overholdelse av en spesiell livsstil.
Pythagoras hevdet at for å forstå Gud, må en person kunne slike vitenskaper som algebra og geometri, kunne astronomi og forstå musikk. Forskningsarbeidet ble redusert til kunnskapen om den mystiske siden av tall og filosofi. Det bør bemerkes at prinsippene som ble forkynt på den tiden av Pythagoras gir mening i etterligning på nåværende tidspunkt.
Mange av funnene gjort av disiplene til Pythagoras ble tilskrevet ham. Ikke desto mindre, kort fortalt, er historien om opprettelsen av Pythagoras teorem av gamle historikere og biografer fra den tiden direkte assosiert med navnet til denne filosofen, tenkeren og matematikeren.
Læren til Pythagoras
Kanskje ideen om sammenhengen mellom teoremet og navnet Pythagoras ble foranlediget av historikernes uttalelse fra den store grekeren om at i den beryktede trekanten med bena og hypotenusen er alle fenomenene i livet vårt kryptert. Og denne trekanten er "nøkkelen" til å løse alle problemene som oppstår. Den store filosofen sa at man skulle se en trekant, så kan vi anta at problemet er to tredjedeler løst.
Pythagoras fortalte om undervisningen sin kun til studentene sine muntlig, uten å gjøre noen notater, og holdt det hemmelig. Dessverre har ikke læren til den største filosofen overlevd til i dag. Noe av det har lekket ut, men det er umulig å si hvor mye som er sant og hvor mye som er usant i det som er blitt kjent. Selv med historien til Pythagoras teorem er ikke alt sikkert. Historikere av matematikk tviler på forfatterskapet til Pythagoras, etter deres mening ble teoremet brukt mange århundrer før hans fødsel.
Pythagoras teorem
Det kan virke rart, men det er ingen historiske fakta om beviset for teoremet av Pythagoras selv - verken i arkivene eller i noen andre kilder. I den moderne versjonen antas det at den tilhører ingen ringere enn Euklid selv.
Det er bevis på en av de største historikerne innen matematikk, Moritz Cantor, som oppdaget på en papyrus lagret i Berlin-museet, skrevet av egypterne rundt 2300 f.Kr. e. likhet, som lyder: 3² + 4² = 5².
Kort fra historien til Pythagoras teorem
Formuleringen av teoremet fra den euklidiske "Begynnelsen" i oversettelse høres ut som i den moderne tolkningen. Det er ikke noe nytt i lesningen: kvadratet på siden motsatt den rette vinkelen er lik summen av kvadratene på sidene ved siden av den rette vinkelen. Det faktum at de gamle sivilisasjonene i India og Kina brukte teoremet bekreftes av avhandlingen Zhou Bi Suan Jin. Den inneholder informasjon om den egyptiske trekanten, som beskriver sideforholdet som 3:4:5.
Ikke mindre interessant er en annen kinesisk matematisk bok "Chu-pei", som også nevner den pytagoreiske trekanten med en forklaring og tegninger som sammenfaller med tegningene av den hinduistiske geometrien til Baskhara. Om selve trekanten sier boken at hvis en rett vinkel kan dekomponeres i dens komponentdeler, vil linjen som forbinder endene av sidene være lik fem, hvis grunnflaten er tre, og høyden er fire.
Den indiske avhandlingen "Sulva Sutra", som dateres tilbake til ca. 7.-5. århundre f.Kr. e., forteller om konstruksjonen av en rett vinkel ved hjelp av den egyptiske trekanten.
Bevis for teoremet
I middelalderen vurderte elevene å bevise et teorem for vanskelig. Svake elever lærte teoremer utenat, uten å forstå betydningen av beviset. I denne forbindelse fikk de kallenavnet "esler", fordi Pythagoras teorem var en uoverkommelig hindring for dem, som en bro for et esel. I middelalderen kom elevene med et lekent vers om emnet for denne teoremet.
For å bevise Pythagoras teorem på den enkleste måten, bør du ganske enkelt måle sidene, uten å bruke begrepet arealer i beviset. Lengden på siden motsatt den rette vinkelen er c, og a og b ved siden av den, som et resultat får vi ligningen: a 2 + b 2 \u003d c 2. Denne uttalelsen, som nevnt ovenfor, bekreftes ved å måle lengdene på sidene i en rettvinklet trekant.
Hvis vi starter beviset på teoremet ved å vurdere arealet av rektanglene som er bygget på sidene av trekanten, kan vi bestemme arealet til hele figuren. Det vil være lik arealet av et kvadrat med en side (a + b), og på den annen side summen av arealene til fire trekanter og det indre kvadratet.
(a + b) 2 = 4 x ab/2 + c2;
a2 + 2ab + b2;
c 2 = a 2 + b 2, som skulle bevises.
Den praktiske betydningen av Pythagoras teorem er at den kan brukes til å finne lengdene på segmenter uten å måle dem. Under konstruksjonen av strukturer beregnes avstander, plassering av støtter og bjelker, tyngdepunkter bestemmes. Pythagoras teorem brukes også i alle moderne teknologier. De glemte ikke teoremet når de lagde filmer i 3D-6D-dimensjoner, der det i tillegg til de vanlige 3 verdiene: høyde, lengde, bredde, tid, lukt og smak tas i betraktning. Hvordan er smak og lukt relatert til teoremet, spør du? Alt er veldig enkelt - når du viser en film, må du beregne hvor og hva som lukter og smaker å regissere i auditoriet.
Det er bare begynnelsen. Grenseløse muligheter for å oppdage og skape nye teknologier venter på nysgjerrige sinn.
Pythagoras teorem- en av de grunnleggende teoremene i euklidisk geometri, som etablerer sammenhengen
mellom sidene i en rettvinklet trekant.
Det antas at det ble bevist av den greske matematikeren Pythagoras, som det er oppkalt etter.
Geometrisk formulering av Pythagoras teorem.
Teoremet ble opprinnelig formulert som følger:
I en rettvinklet trekant er arealet av kvadratet bygget på hypotenusen lik summen av arealene til kvadratene,
bygget på katetre.
Algebraisk formulering av Pythagoras teorem.
I en rettvinklet trekant er kvadratet av lengden på hypotenusen lik summen av kvadratene av lengdene på bena.
Det vil si, angir lengden på hypotenusen til trekanten gjennom c, og lengdene på beina gjennom en Og b:
Begge formuleringene pythagoras teoremer er likeverdige, men den andre formuleringen er mer elementær, det gjør den ikke
krever områdebegrepet. Det vil si at den andre påstanden kan verifiseres uten å vite noe om området og
ved å måle bare lengdene på sidene i en rettvinklet trekant.
Den inverse Pythagoras teorem.
Hvis kvadratet på en side av en trekant er lik summen av kvadratene på de to andre sidene, da
trekanten er rektangulær.
Eller med andre ord:
For alle trippel positive tall en, b Og c, slik at
det er en rettvinklet trekant med ben en Og b og hypotenusen c.
Pythagoras teorem for en likebenet trekant.
Pythagoras teorem for en likesidet trekant.
Bevis for Pythagoras teorem.
For øyeblikket er 367 bevis på denne teoremet registrert i vitenskapelig litteratur. Sannsynligvis teoremet
Pythagoras er det eneste teoremet med et så imponerende antall bevis. Slikt mangfold
kan bare forklares med den grunnleggende betydningen av teoremet for geometri.
Selvfølgelig, konseptuelt, kan alle deles inn i et lite antall klasser. Den mest kjente av dem:
bevis arealmetode, aksiomatisk Og eksotiske bevis(For eksempel,
ved bruk av differensiallikninger).
1. Bevis for Pythagoras teorem i form av lignende trekanter.
Følgende bevis på den algebraiske formuleringen er det enkleste av bevisene som er konstruert
direkte fra aksiomene. Spesielt bruker den ikke konseptet med området til en figur.
La ABC det er en rettvinklet trekant C. La oss tegne en høyde fra C og betegne
sitt grunnlag gjennom H.
Triangel ACH ligner på en trekant AB C på to hjørner. Likeledes trekanten CBH lignende ABC.
Ved å introdusere notasjonen:
vi får:
,
som passer -
Etter å ha brettet seg en 2 og b 2 får vi:
eller , som skulle bevises.
2. Bevis for Pythagoras teorem ved arealmetoden.
Følgende bevis, til tross for deres tilsynelatende enkelhet, er ikke så enkle i det hele tatt. Alle sammen
bruk egenskapene til området, beviset på det er mer komplisert enn beviset for selve Pythagoras teoremet.
- Bevis gjennom ekvikomplementering.
Ordne fire like rektangulære
trekant som vist på bildet
til høyre.
Firkant med sider c- torget,
siden summen av to spisse vinkler er 90°, og
den utviklede vinkelen er 180°.
Arealet til hele figuren er på den ene siden,
arealet av en firkant med side ( a+b), og på den annen side summen av arealene til fire trekanter og
Q.E.D.
3. Bevis for Pythagoras teorem ved infinitesimal-metoden.
Tatt i betraktning tegningen vist på figuren, og
ser siden endre segen, vi kan
skriv følgende relasjon for uendelig
liten sideøkningerMed Og en(ved å bruke likhet
trekanter):
Ved å bruke metoden for separasjon av variabler finner vi:
Et mer generelt uttrykk for å endre hypotenusen i tilfelle av økninger av begge ben:
Ved å integrere denne ligningen og bruke startbetingelsene får vi:
Dermed kommer vi til ønsket svar:
Som det er lett å se, vises den kvadratiske avhengigheten i den endelige formelen på grunn av det lineære
proporsjonalitet mellom sidene i trekanten og inkrementene, mens summen er relatert til den uavhengige
bidrag fra økningen av forskjellige ben.
Et enklere bevis kan fås hvis vi antar at et av bena ikke opplever en økning
(i dette tilfellet beinet b). Så for integrasjonskonstanten får vi:
Historie
Chu-pei 500-200 f.Kr. Til venstre er inskripsjonen: summen av kvadratene av lengdene på høyden og basen er kvadratet av lengden på hypotenusen.
I den gamle kinesiske boken Chu-pei ( Engelsk) (kinesisk 周髀算經) snakker om en pytagoreisk trekant med sidene 3, 4 og 5. I samme bok er det foreslått en tegning som sammenfaller med en av tegningene av den hinduistiske geometrien til Baskhara.
Rundt 400 f.Kr. e., ifølge Proclus, ga Platon en metode for å finne pythagoras trippel, ved å kombinere algebra og geometri. Rundt 300 f.Kr. e. Euklids elementer inneholder det eldste aksiomatiske beviset for Pythagoras teoremet.
Ordlyd
Geometrisk formulering:
Teoremet ble opprinnelig formulert som følger:
Algebraisk formulering:
Det vil si, angir lengden på hypotenusen til trekanten gjennom, og lengden på bena gjennom og:
Begge formuleringene av teoremet er ekvivalente, men den andre formuleringen er mer elementær, den krever ikke arealbegrepet. Det vil si at det andre utsagnet kan verifiseres uten å vite noe om arealet og ved å måle bare lengdene på sidene i en rettvinklet trekant.
Invers Pythagoras teorem:
|
For enhver trippel av positive tall , og , slik at , finnes det en rettvinklet trekant med ben og og hypotenusa . |
Bevis
For øyeblikket er 367 bevis på denne teoremet registrert i vitenskapelig litteratur. Sannsynligvis er Pythagoras teorem den eneste teoremet med et så imponerende antall bevis. En slik variasjon kan bare forklares med den grunnleggende betydningen av teoremet for geometri.
Selvfølgelig, konseptuelt, kan alle deles inn i et lite antall klasser. De mest kjente av dem: bevis etter områdemetoden, aksiomatiske og eksotiske bevis (for eksempel ved bruk av differensialligninger).
Gjennom lignende trekanter
Følgende bevis på den algebraiske formuleringen er det enkleste av bevisene bygget direkte fra aksiomene. Spesielt bruker den ikke begrepet figurareal.
La ABC det er en rettvinklet trekant C. La oss tegne en høyde fra C og angi basen med H. Triangel ACH ligner på en trekant ABC i to hjørner. Likeledes trekanten CBH lignende ABC. Vi introduserer notasjonen
vi får
Hva er ekvivalent
Legger til, får vi
, som skulle bevisesOmrådebevis
Følgende bevis, til tross for deres tilsynelatende enkelhet, er ikke så enkle i det hele tatt. Alle bruker egenskapene til området, beviset på det er mer komplisert enn beviset for selve Pythagoras teorem.
Bevis via ekvivalens
- Ordne fire like rette trekanter som vist i figur 1.
- Firkant med sider c er et kvadrat fordi summen av to spisse vinkler er 90° og den rette vinkelen er 180°.
- Arealet til hele figuren er på den ene siden lik arealet av en firkant med en side (a + b), og på den annen side summen av arealene til fire trekanter og arealet av den indre firkanten.
Q.E.D.
Euklids bevis
Ideen til Euklids bevis er som følger: la oss prøve å bevise at halve arealet av kvadratet bygget på hypotenusen er lik summen av de halve arealene av kvadratene bygget på bena, og deretter arealene til de store og to små rutene er like.
Tenk på tegningen til venstre. Vi bygget firkanter på sidene av en rettvinklet trekant på den og tegnet en stråle s fra toppunktet til rett vinkel C vinkelrett på hypotenusen AB, den kutter kvadratet ABIK, bygget på hypotenusen, i to rektangler - BHJI og HAKJ , henholdsvis. Det viser seg at arealene til disse rektanglene er nøyaktig lik arealene til firkantene bygget på de tilsvarende bena.
La oss prøve å bevise at arealet av kvadratet DECA er lik arealet av rektangelet AHJK For å gjøre dette bruker vi en hjelpeobservasjon: Arealet av en trekant med samme høyde og base som den gitte rektangel er lik halve arealet av det gitte rektangelet. Dette er en konsekvens av å definere arealet av en trekant som halvparten av produktet av basen og høyden. Fra denne observasjonen følger det at arealet av trekanten ACK er lik arealet av trekanten AHK (ikke vist), som igjen er lik halve arealet av rektangelet AHJK.
La oss nå bevise at arealet av trekanten ACK også er lik halvparten av arealet av kvadratet DECA. Det eneste som må gjøres for dette er å bevise likheten mellom trekantene ACK og BDA (siden arealet av trekanten BDA er lik halvparten av kvadratets areal med egenskapen ovenfor). Denne likheten er åpenbar: trekanter er like i to sider og vinkelen mellom dem. Nemlig - AB=AK, AD=AC - likheten mellom vinklene CAK og BAD er lett å bevise med bevegelsesmetoden: la oss rotere trekanten CAK 90° mot klokken, da er det åpenbart at de tilsvarende sidene til de to betraktede trekantene vil falle sammen (på grunn av det faktum at vinkelen ved toppen av kvadratet er 90°).
Argumentet om likheten mellom arealene til kvadratet BCFG og rektangelet BHJI er fullstendig analogt.
Dermed har vi bevist at arealet av kvadratet bygget på hypotenusen er summen av arealene til kvadratene bygget på bena. Ideen bak dette beviset er ytterligere illustrert med animasjonen ovenfor.
Bevis for Leonardo da Vinci
Hovedelementene i beviset er symmetri og bevegelse.
Tenk på tegningen, som kan sees fra symmetrien, kutter segmentet kvadratet i to identiske deler (siden trekantene og er like i konstruksjon).
Ved å bruke en rotasjon mot klokken på 90 grader rundt punktet ser vi likheten mellom de skraverte figurene og .
Nå er det klart at arealet av figuren vi har skyggelagt er lik summen av halvparten av arealene til små firkanter (bygget på bena) og arealet til den opprinnelige trekanten. På den annen side er det lik halvparten av arealet av den store firkanten (bygget på hypotenusen) pluss arealet av den opprinnelige trekanten. Dermed er halve summen av arealene til de små firkantene lik halve arealet til den store firkanten, og derfor er summen av arealene til rutene bygget på bena lik arealet av kvadratet som er bygget på hypotenusen.
Bevis med den uendelige metoden
Følgende bevis ved bruk av differensialligninger tilskrives ofte den berømte engelske matematikeren Hardy, som levde i første halvdel av 1900-tallet.
Tatt i betraktning tegningen vist på figuren og observerer endringen i siden en, kan vi skrive følgende relasjon for infinitesimale sideinkrementer Med Og en(bruker lignende trekanter):
Ved å bruke metoden for separasjon av variabler finner vi
Et mer generelt uttrykk for å endre hypotenusen ved økninger av begge ben
Ved å integrere denne ligningen og bruke startbetingelsene får vi
Dermed kommer vi frem til ønsket svar
Som det er lett å se, vises den kvadratiske avhengigheten i den endelige formelen på grunn av den lineære proporsjonaliteten mellom sidene i trekanten og inkrementene, mens summen skyldes de uavhengige bidragene fra inkrementet til forskjellige ben.
Et enklere bevis kan fås hvis vi antar at et av bena ikke opplever en økning (i dette tilfellet benet). Så for integreringskonstanten får vi
Variasjoner og generaliseringer
Lignende geometriske former på tre sider
Generalisering for lignende trekanter, arealet av grønne figurer A + B = arealet av blått C
Pythagoras teorem som bruker lignende rette trekanter
En generalisering av Pythagoras teorem ble gjort av Euklid i hans arbeid Begynnelser, utvide arealene av rutene på sidene til områdene med lignende geometriske former:
Hvis vi konstruerer lignende geometriske figurer (se euklidisk geometri) på sidene av en rettvinklet trekant, vil summen av de to mindre figurene være lik arealet til den større figuren.
Hovedideen med denne generaliseringen er at arealet til en slik geometrisk figur er proporsjonal med kvadratet til en hvilken som helst av dens lineære dimensjoner, og spesielt kvadratet på lengden på en side. Derfor, for lignende tall med områder EN, B Og C bygget på sider med lengde en, b Og c, vi har:
Men ifølge Pythagoras teorem, en 2 + b 2 = c 2, da EN + B = C.
Omvendt, hvis vi kan bevise det EN + B = C for tre lignende geometriske figurer uten å bruke Pythagoras setning, så kan vi bevise selve setningen, beveger seg i motsatt retning. For eksempel kan startsentertrekanten gjenbrukes som en trekant C på hypotenusen, og to like rette trekanter ( EN Og B) bygget på de to andre sidene, som er dannet som et resultat av å dele den sentrale trekanten med høyden. Summen av de to mindre områdene av trekantene er da åpenbart lik arealet til den tredje, altså EN + B = C og ved å utføre de foregående bevisene i omvendt rekkefølge, får vi Pythagoras teorem a 2 + b 2 = c 2 .
Cosinus teorem
Pythagoras teorem er et spesialtilfelle av det mer generelle cosinus-teoremet som relaterer lengdene på sidene i en vilkårlig trekant:
hvor θ er vinkelen mellom sidene en Og b.
Hvis θ er 90 grader, vil cos θ = 0 og formelen er forenklet til den vanlige Pythagoras teorem.
Vilkårlig trekant
Til et hvilket som helst valgt hjørne av en vilkårlig trekant med sider a, b, c vi innskriver en likebenet trekant på en slik måte at like vinkler ved basen θ er lik den valgte vinkelen. La oss anta at den valgte vinkelen θ er plassert på motsatt side av den angitte siden c. Som et resultat fikk vi en trekant ABD med vinkel θ, som er plassert motsatt siden en og fester r. Den andre trekanten dannes av vinkelen θ, som er motsatt siden b og fester Med lang s, som vist på bildet. Thabit Ibn Qurra uttalte at sidene i disse tre trekantene er relatert som følger:
Når vinkelen θ nærmer seg π/2, minker basen av den likebente trekanten og de to sidene r og s overlapper mindre og mindre. Når θ = π/2, blir ADB til en rettvinklet trekant, r + s = c og vi får den innledende Pythagoras teorem.
La oss se på ett av argumentene. Trekant ABC har samme vinkler som trekant ABD, men i omvendt rekkefølge. (De to trekantene har en felles vinkel ved toppunktet B, begge har vinkelen θ, og har også den samme tredje vinkelen, ved summen av vinklene til trekanten) Følgelig er ABC lik refleksjon ABD av trekanten DBA, som vist i den nedre figuren. La oss skrive forholdet mellom de motsatte sidene og de ved siden av vinkelen θ,
Det samme er refleksjonen av en annen trekant,
Multipliser brøkene og legg til disse to forholdstallene:
Q.E.D.
Generalisering for vilkårlige trekanter via parallellogrammer
Generalisering for vilkårlige trekanter,
område med grønt tomt = areal blå
Bevis på oppgaven som i figuren over
La oss gjøre en ytterligere generalisering for ikke-rektangulære trekanter, ved å bruke parallellogrammer på tre sider i stedet for kvadrater. (firkanter er et spesialtilfelle.) Den øverste figuren viser at for en spissvinklet trekant er arealet av parallellogrammet på langsiden lik summen av parallellogrammene på de to andre sidene, forutsatt at parallellogrammet på langsiden er konstruert som vist på figuren (dimensjonene markert med piler er de samme og bestemmer sidene til det nedre parallellogrammet). Denne erstatningen av kvadrater med parallellogrammer har en klar likhet med den opprinnelige Pythagoras teorem og antas å ha blitt formulert av Pappus av Alexandria i 4 e.Kr. e.
Den nederste figuren viser fremdriften av beviset. La oss se på venstre side av trekanten. Det venstre grønne parallellogrammet har samme areal som venstre side av det blå parallellogrammet fordi de har samme base b og høyde h. Også den venstre grønne boksen har samme areal som den venstre grønne boksen i det øverste bildet fordi de har en felles base (øvre venstre side av trekanten) og en felles høyde vinkelrett på den siden av trekanten. Ved å argumentere på samme måte for høyre side av trekanten, beviser vi at det nedre parallellogrammet har samme areal som de to grønne parallellogrammene.
Komplekse tall
Pythagoras teorem brukes til å finne avstanden mellom to punkter i et kartesisk koordinatsystem, og denne teoremet gjelder for alle sanne koordinater: avstand s mellom to punkter ( a, b) Og ( c, d) er lik
Det er ingen problemer med formelen hvis komplekse tall behandles som vektorer med reelle komponenter x + jeg y = (x, y). . For eksempel avstanden s mellom 0 + 1 Jeg og 1 + 0 Jeg beregne som vektormodul (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), eller
For operasjoner med vektorer med komplekse koordinater er det imidlertid nødvendig å gjøre en viss forbedring av den pythagoriske formelen. Avstand mellom punkter med komplekse tall ( en, b) Og ( c, d); en, b, c, Og d alle komplekse, formulerer vi ved hjelp av absolutte verdier. Avstand s basert på vektorforskjell (en − c, b − d) i følgende form: la forskjellen en − c = s+i q, Hvor s er den virkelige delen av forskjellen, q er den imaginære delen, og i = √(−1). Likeledes, la b − d = r+i s. Deretter:
hvor er det komplekse konjugatet av . For eksempel avstanden mellom punktene (en, b) = (0, 1) Og (c, d) = (Jeg, 0) , beregne forskjellen (en − c, b − d) = (−Jeg, 1) og resultatet ville være 0 hvis komplekse konjugater ikke ble brukt. Derfor, ved å bruke den forbedrede formelen, får vi
Modulen er definert slik:
Stereometri
En betydelig generalisering av Pythagoras teorem for tredimensjonalt rom er de Guas teorem, oppkalt etter J.-P. de Gua: hvis et tetraeder har en rett vinkel (som i en terning), så er kvadratet av arealet av ansiktet motsatt den rette vinkelen lik summen av kvadratene av arealene til de tre andre flatene. Denne konklusjonen kan oppsummeres som " n-dimensjonal Pythagoras teorem":
Pythagoras teorem i tre dimensjoner knytter diagonalen AD til tre sider.
En annen generalisering: Pythagoras teorem kan brukes på stereometri i følgende form. Tenk på en rektangulær boks, som vist på figuren. Finn lengden på diagonalen BD ved å bruke Pythagoras setning:
hvor tre sider danner en rettvinklet trekant. Bruk den horisontale diagonalen BD og den vertikale kanten AB for å finne lengden på diagonalen AD, igjen ved å bruke Pythagoras teorem:
eller, hvis alt er skrevet i en ligning:
Dette resultatet er et 3D-uttrykk for å bestemme størrelsen på vektoren v(diagonal AD) uttrykt i form av dens vinkelrette komponenter ( v k) (tre gjensidig vinkelrette sider):
Denne ligningen kan sees på som en generalisering av Pythagoras teorem for et flerdimensjonalt rom. Imidlertid er resultatet faktisk ikke noe mer enn den gjentatte anvendelsen av Pythagoras teorem på en sekvens av rette trekanter i suksessivt vinkelrette plan.
vektorrom
Når det gjelder et ortogonalt system av vektorer, skjer det en likhet, som også kalles Pythagoras teorem:
Hvis - dette er projeksjoner av vektoren på koordinataksene, så faller denne formelen sammen med den euklidiske avstanden - og betyr at lengden på vektoren er lik kvadratroten av summen av kvadratene av dens komponenter.
Analogen til denne likheten i tilfellet med et uendelig system av vektorer kalles Parsevals likhet.
Ikke-euklidisk geometri
Pythagoras teoremet er avledet fra aksiomene til euklidisk geometri og er faktisk ikke gyldig for ikke-euklidisk geometri, i den formen den er skrevet ovenfor. (Det vil si at Pythagoras teorem viser seg å være en slags ekvivalent med Euklids postulat om parallellisme) Med andre ord, i ikke-euklidisk geometri vil forholdet mellom sidene i trekanten nødvendigvis være i en annen form enn Pythagoras teoremet . For eksempel, i sfærisk geometri, alle tre sidene av en rettvinklet trekant (si en, b Og c) som binder oktanten (en åttendedel) av enhetssfæren har lengden π/2, noe som motsier Pythagoras teorem fordi en 2 + b 2 ≠ c 2 .
Tenk her to tilfeller av ikke-euklidisk geometri - sfærisk og hyperbolsk geometri; i begge tilfeller, som for det euklidiske rommet for rettvinklede trekanter, følger resultatet som erstatter Pythagoras teorem av cosinussetningen.
Imidlertid forblir Pythagoras teoremet gyldig for hyperbolsk og elliptisk geometri hvis kravet om at trekanten er rettvinklet erstattes av betingelsen om at summen av to vinkler i trekanten må være lik den tredje, for eksempel EN+B = C. Da ser forholdet mellom sidene slik ut: summen av arealene av sirkler med diametre en Og b lik arealet av en sirkel med diameter c.
sfærisk geometri
For enhver rettvinklet trekant på en kule med radius R(for eksempel hvis vinkelen γ i trekanten er rett) med sider en, b, c forholdet mellom partene vil se slik ut:
Denne likheten kan utledes som et spesialtilfelle av det sfæriske cosinus-teoremet, som er gyldig for alle sfæriske trekanter:
der cosh er den hyperbolske cosinus. Denne formelen er et spesialtilfelle av hyperbolsk cosinus-teoremet, som er gyldig for alle trekanter:
hvor γ er vinkelen hvis toppunkt er motsatt siden c.
Hvor g ij kalles den metriske tensoren. Det kan være en posisjonsfunksjon. Slike krumlinjede rom inkluderer Riemannsk geometri som et vanlig eksempel. Denne formuleringen er også egnet for euklidisk rom ved bruk av krumlinjede koordinater. For eksempel, for polare koordinater:
vektor produkt
Pythagoras teorem forbinder to uttrykk for størrelsen på et vektorprodukt. En tilnærming til å definere et kryssprodukt krever at det tilfredsstiller ligningen:
denne formelen bruker punktproduktet. Høyre side av ligningen kalles Grams determinant for en Og b, som er lik arealet av parallellogrammet dannet av disse to vektorene. Basert på dette kravet, samt kravet om at vektorproduktet skal være vinkelrett på dets komponenter en Og b det følger at, bortsett fra de trivielle tilfellene av 0- og 1-dimensjonalt rom, er vektorproduktet bare definert i tre og syv dimensjoner. Vi bruker definisjonen av vinkelen i n-dimensjonalt rom:
denne egenskapen til vektorproduktet gir sin verdi i følgende form:
Gjennom den grunnleggende trigonometriske identiteten til Pythagoras får vi en annen form for å skrive dens verdi:
En alternativ tilnærming til å definere et kryssprodukt bruker et uttrykk for størrelsen. Deretter, i omvendt rekkefølge, får vi en sammenheng med skalarproduktet:
se også
Notater
- Historietema: Pythagoras sin teorem i babylonsk matematikk
- ( , s. 351) s. 351
- ( , bind I, s. 144)
- En diskusjon av historiske fakta er gitt i (s. 351) s. 351
- Kurt Von Fritz (apr., 1945). "Oppdagelsen av incommensurability av Hippasus of Metapontum". The Annals of Mathematics, andre serie(Annals of Mathematics) 46 (2): 242–264.
- Lewis Carroll, "The story with knots", M., Mir, 1985, s. 7
- Asger Aaboe Episoder fra matematikkens tidlige historie. - Mathematical Association of America, 1997. - S. 51. - ISBN 0883856131
- Pythagoras forslag av Elisha Scott Loomis
- Euklids Elementer: Bok VI, påstand VI 31: "I rettvinklede trekanter er figuren på siden som undertrykker den rette vinkelen lik de lignende og lignende beskrevne figurene på sidene som inneholder den rette vinkelen."
- Lawrence S. Leff siterte verk. - Barron's Educational Series. - S. 326. - ISBN 0764128922
- Howard Whitley Eves§4.8:...generalisering av Pythagoras teorem // Store øyeblikk i matematikk (før 1650) . - Mathematical Association of America, 1983. - S. 41. - ISBN 0883853108
- Tâbit ibn Qorra (fullt navn Thābit ibn Qurra ibn Marwan Al-Ṣābiʾ al-Ḥarrānī) (826-901 e.Kr.) var en lege bosatt i Bagdad som skrev mye om Euklids elementer og andre matematiske emner.
- Aydin Sayili (mars 1960). "Thâbit ibn Qurras generalisering av Pythagoras teorem". Isis 51 (1): 35–37. DOI:10.1086/348837.
- Judith D. Sally, Paul Sally Oppgave 2.10(ii) // Sitert arbeid . - S. 62. - ISBN 0821844032
- For detaljer om en slik konstruksjon, se George Jennings Figur 1.32: Den generaliserte Pythagoras teorem // Moderne geometri med anvendelser: med 150 figurer . - 3. - Springer, 1997. - S. 23. - ISBN 038794222X
- Arlen Brown, Carl M. Pearcy punkt C: Norm for en vilkårlig n-tuple ... // En introduksjon til analyse . - Springer, 1995. - S. 124. - ISBN 0387943692 Se også side 47-50.
- Alfred Gray, Elsa Abbena, Simon Salamon Moderne differensialgeometri av kurver og overflater med Mathematica. - 3. - CRC Press, 2006. - S. 194. - ISBN 1584884487
- Rajendra Bhatia matriseanalyse. - Springer, 1997. - S. 21. - ISBN 0387948465
- Stephen W. Hawking siterte verk. - 2005. - S. 4. - ISBN 0762419229
Teorem
I en rettvinklet trekant er kvadratet av lengden på hypotenusen lik summen av kvadratene av lengdene på bena (fig. 1):
$c^(2)=a^(2)+b^(2)$
Bevis for Pythagoras teorem
La trekant $A B C$ være en rettvinklet trekant med rett vinkel $C$ (fig. 2).
La oss tegne en høyde fra toppunktet $C$ til hypotenusen $A B$, angi bunnen av høyden som $H$ .
Rettvinklet $A C H$ ligner trekant $A B C$ i to vinkler ($\vinkel A C B=\vinkel C H A=90^(\circ)$, $\vinkel A$ er vanlig). På samme måte er trekant $C B H$ lik $A B C$ .
Vi introduserer notasjonen
$$B C=a, A C=b, A B=c$$
fra likheten mellom trekanter får vi det
$$\frac(a)(c)=\frac(H B)(a), \frac(b)(c)=\frac(A H)(b)$$
Derfor har vi det
$$a^(2)=c \cdot H B, b^(2)=c \cdot A H$$
Legger vi til de oppnådde likhetene, får vi
$$a^(2)+b^(2)=c \cdot H B+c \cdot A H$$
$$a^(2)+b^(2)=c \cdot(H B+A H)$$
$$a^(2)+b^(2)=c \cdot A B$$
$$a^(2)+b^(2)=c \cdot c$$
$$a^(2)+b^(2)=c^(2)$$
Q.E.D.
Geometrisk formulering av Pythagoras teorem
Teorem
I en rettvinklet trekant er arealet av kvadratet bygget på hypotenusen lik summen av arealene til kvadratene bygget på bena (fig. 2):
Eksempler på problemløsning
Eksempel
Trening. Gitt en rettvinklet trekant $A B C$ hvis ben er 6 cm og 8 cm Finn hypotenusen til denne trekanten.
Løsning. I henhold til tilstanden til benet $a=6$ cm, $b=8$ cm. Deretter, ifølge Pythagoras teorem, kvadratet av hypotenusen
$c^(2)=a^(2)+b^(2)=6^(2)+8^(2)=36+64=100$
Derfor får vi den nødvendige hypotenusen
$c=\sqrt(100)=10$ (cm)
Svar. 10 cm
Eksempel
Trening. Finn arealet av en rettvinklet trekant hvis det er kjent at det ene bena er 5 cm lengre enn det andre, og hypotenusen er 25 cm.
Løsning. La $x$ cm være lengden på det mindre benet, så er $(x+5)$ cm lengden på det større. Så, ifølge Pythagoras teorem, har vi:
$$x^(2)+(x+5)^(2)=25^(2)$$
Vi åpner parentesene, reduserer lignende og løser den resulterende kvadratiske ligningen:
$x^(2)+5 x-300=0$
I følge Vietas teorem får vi det
$x_(1)=15$ (cm) , $x_(2)=-20$ (cm)
Verdien av $x_(2)$ tilfredsstiller ikke tilstanden til problemet, som betyr at det mindre benet er 15 cm, og det større er 20 cm.
Arealet til en rettvinklet trekant er halvparten av produktet av lengdene på bena, det vil si
$$S=\frac(15 \cdot 20)(2)=15 \cdot 10=150\venstre(\mathrm(cm)^(2)\høyre)$$
Svar.$S=150\venstre(\mathrm(cm)^(2)\høyre)$
Historisk referanse
Pythagoras teorem- en av de grunnleggende teoremene i euklidisk geometri, som etablerer forholdet mellom sidene i en rettvinklet trekant.
Den gamle kinesiske boken "Zhou bi suan jing" snakker om en pytagoreisk trekant med sidene 3, 4 og 5. Den største tyske matematikkhistorikeren Moritz Kantor (1829 - 1920) mener at likheten $3^(2)+4^(2) )=5^ (2) $ var allerede kjent for egypterne rundt 2300 f.Kr. Ifølge vitenskapsmannen bygde byggherrene deretter rette vinkler ved å bruke rettvinklede trekanter med sidene 3, 4 og 5. Noe mer er kjent om Pythagoras teorem blant babylonerne. En tekst gir en omtrentlig beregning av hypotenusen til en likebenet rettvinklet trekant.
For øyeblikket er 367 bevis på denne teoremet registrert i vitenskapelig litteratur. Sannsynligvis er Pythagoras teorem den eneste teoremet med et så imponerende antall bevis. En slik variasjon kan bare forklares med den grunnleggende betydningen av teoremet for geometri.
Teksten til verket er plassert uten bilder og formler.
Den fullstendige versjonen av verket er tilgjengelig i fanen "Jobbfiler" i PDF-format
Introduksjon
I skolekurset i geometri, ved hjelp av Pythagoras teorem, løses bare matematiske problemer. Dessverre vurderes ikke spørsmålet om den praktiske anvendelsen av Pythagoras teorem.
I denne forbindelse var hensikten med arbeidet mitt å finne ut omfanget av Pythagoras teoremet.
For tiden er det generelt anerkjent at suksessen til utviklingen av mange områder av vitenskap og teknologi avhenger av utviklingen av ulike områder av matematikk. En viktig forutsetning for å øke effektiviteten i produksjonen er den utbredte introduksjonen av matematiske metoder i teknologi og nasjonal økonomi, som innebærer etablering av nye, effektive metoder for kvalitativ og kvantitativ forskning som gjør det mulig å løse problemer fremsatt av praksis.
Jeg vil vurdere eksempler på den praktiske anvendelsen av Pythagoras teorem. Jeg skal ikke prøve å gi alle eksempler på bruk av teoremet – det ville neppe vært mulig. Omfanget av teoremet er ganske omfattende og kan generelt ikke spesifiseres med tilstrekkelig fullstendighet.
Hypotese:
Ved å bruke Pythagoras teorem kan du løse ikke bare matematiske problemer.
For dette forskningsarbeidet er følgende mål definert:
Finn ut omfanget av Pythagoras teorem.
Basert på målet ovenfor ble følgende oppgaver identifisert:
Samle informasjon om den praktiske anvendelsen av Pythagoras teoremet i ulike kilder og bestemme bruksområdene for teoremet.
Lær litt historisk informasjon om Pythagoras og hans teorem.
Vis anvendelsen av teoremet for å løse historiske problemer.
Behandle de innsamlede dataene om emnet.
Jeg var engasjert i søk og innsamling av informasjon - jeg studerte trykt materiale, jobbet med materiale på Internett og behandlet de innsamlede dataene.
Forskningsmetodikk:
Studiet av teoretisk materiale.
Studiet av forskningsmetoder.
Praktisk gjennomføring av studiet.
Kommunikativ (målemetode, avhør).
Prosjekttype: informasjonsforskning. Arbeidet ble gjort på fritiden.
Om Pythagoras.
Pythagoras er en gammel gresk filosof, matematiker og astronom. Han underbygget mange egenskaper ved geometriske figurer, utviklet den matematiske teorien om tall og deres proporsjoner. Han ga et betydelig bidrag til utviklingen av astronomi og akustikk. Forfatter av "Golden Verses", grunnlegger av Pythagoras-skolen i Croton.
Ifølge legenden ble Pythagoras født rundt 580 f.Kr. e. på øya Samos i en velstående handelsfamilie. Hans mor, Pythasis, fikk navnet sitt til ære for Pythia, prestinnen til Apollo. Pythia spådde til Mnesarchus og hans kone fødselen av en sønn, sønnen ble også oppkalt etter Pythia. I følge mange gamle vitnesbyrd var gutten fabelaktig kjekk og viste snart sine enestående evner. Han fikk sin første kunnskap fra sin far Mnesarchus, en gullsmed og edelstensskjærer, som drømte at sønnen hans skulle fortsette arbeidet sitt. Men livet dømte annerledes. Den fremtidige filosofen viste stor egnethet for vitenskapene. Blant lærerne til Pythagoras var Pherekides fra Syros og den eldste Germodamant. Den første innpodet gutten kjærlighet til vitenskap, og den andre for musikk, maleri og poesi. Deretter møtte Pythagoras den berømte filosofen - matematikeren Thales of Miletus og dro etter hans råd til Egypt - sentrum for den daværende vitenskapelige og forskningsaktiviteten. Etter å ha bodd 22 år i Egypt og 12 år i Babylon, vendte han tilbake til øya Samos, for deretter å forlate den av ukjente årsaker og flyttet til byen Croton, i Sør-Italia. Her opprettet han den pytagoreiske skolen (unionen), som studerte ulike spørsmål om filosofi og matematikk. I en alder av rundt 60 år giftet Pythagoras seg med Theano, en av elevene hans. De har tre barn, og de blir alle tilhengere av faren. Datidens historiske forhold er preget av en bred bevegelse av demoene mot aristokratenes makt. På flukt fra bølgene av folkelig sinne, flyttet Pythagoras og elevene hans til byen Tarentum. I følge en versjon: Kilon, en rik og ond mann, kom til ham, og ønsket å fylle seg med i brorskapet. Etter å ha blitt nektet, begynte Cylon en kamp med Pythagoras. Under brannen reddet elevene på deres bekostning livet til læreren. Pythagoras fikk hjemlengsel og begikk snart selvmord.
Det skal bemerkes at dette er en av variantene av biografien hans. De nøyaktige datoene for hans fødsel og død er ikke fastslått, mange fakta i livet hans er motstridende. Men én ting er klart: denne mannen levde, og etterlot sine etterkommere en stor filosofisk og matematisk arv.
Pythagoras teorem.
Pythagoras teorem er det viktigste utsagnet om geometri. Teoremet er formulert som følger: arealet av et kvadrat bygget på hypotenusen til en rettvinklet trekant er lik summen av arealene til kvadratene bygget på bena.
Oppdagelsen av denne uttalelsen tilskrives Pythagoras fra Samos (XII århundre f.Kr.)
Studiet av babylonske kileskrifttavler og gamle kinesiske manuskripter (kopier av enda eldre manuskripter) viste at det berømte teoremet var kjent lenge før Pythagoras, kanskje flere årtusener før ham.
(Men det er en antagelse om at Pythagoras ga henne et fullstendig bevis)
Men det er en annen mening: i den pytagoreiske skolen var det en fantastisk skikk å tillegge Pythagoras alle fordelene og litt ikke tilegne seg oppdagernes ære, kanskje bortsett fra i noen få tilfeller.
(Iamblichus-syrisk gresktalende forfatter, forfatter av avhandlingen "The Life of Pythagoras." (II århundre e.Kr.)
Så den tyske matematikkhistorikeren Kantor mener at likheten 3 2 + 4 2= 5 2 var
kjent for egypterne rundt 2300 f.Kr. e. under kong Amenechmets tid (ifølge papyrus 6619 fra Berlin-museet). Noen mener at Pythagoras ga teoremet et fullstendig bevis, mens andre nekter ham denne verdien.
Noen tilskriver Pythagoras beviset gitt av Euklid i hans elementer. På den annen side hevder Proclus (matematiker, 500-tallet) at beviset i «Prinsiplene» tilhørte Euklid selv, det vil si at matematikkens historie nesten ikke har pålitelige data om den matematiske aktiviteten til Pythagoras. I matematikk er det kanskje ikke noe annet teorem som fortjener alle slags sammenligninger.
I noen lister over "begynnelsen" av Euklid ble denne teoremet kalt "nymfesetningen" for likheten til tegningen med en bie, sommerfugl ("sommerfuglteorem"), som på gresk ble kalt en nymfe. Grekerne kalte også dette ordet noen andre gudinner, så vel som unge kvinner og bruder. Den arabiske oversetteren tok ikke hensyn til tegningen og oversatte ordet "nymfe" til "brud". Slik dukket det kjærlige navnet «brudens teorem» opp. Det er en legende om at da Pythagoras fra Samos beviste teoremet sitt, takket han gudene ved å ofre 100 okser. Derav et annet navn - "teorem av hundre okser."
I engelsktalende land ble det kalt: "vindmølle", "påfuglhale", "brudestol", "eselbro" (hvis eleven ikke kunne "krysse" den, så var han et ekte "esel")
I det førrevolusjonære Russland ble tegningen av Pythagoras teorem for tilfellet av en likebenet trekant kalt "pytagoreiske bukser".
Disse "buksene" vises når firkanter bygges på hver side av en rettvinklet trekant til utsiden.
Hvor mange forskjellige bevis på Pythagoras setning finnes det?
Siden Pythagoras tid har mer enn 350 av dem dukket opp. Teoremet ble inkludert i Guinness rekordbok. Hvis vi analyserer bevisene for teoremet, bruker de få fundamentalt forskjellige ideer.
Bruksområder for teoremet.
Det er mye brukt i løsning geometriske oppgaver.
Det er med dens hjelp at du geometrisk kan finne verdiene til kvadratrøttene til heltall:
For å gjøre dette bygger vi en rettvinklet trekant AOB (vinkel A er 90 °) med enhetsben. Da er hypotenusen √2. Så bygger vi et enkelt segment BC, BC er vinkelrett på OB, lengden på hypotenusen OS=√3 osv.
(denne metoden finnes hos Euclid og F. Kirensky).
Oppgaver i kurset fysikk videregående skole krever kunnskap om Pythagoras teorem.
Dette er oppgaver knyttet til tillegg av hastigheter.
Vær oppmerksom på lysbildet: en oppgave fra en fysikklærebok i 9. klasse. I praktisk forstand kan det formuleres som følger: i hvilken vinkel til elvestrømmen skal en båt som frakter passasjerer mellom bryggene bevege seg for å overholde tidsplanen? (Baiene er plassert på motsatt side av elven)
Når en skiskytter skyter på en skive, foretar han en "vindkorreksjon". Hvis vinden blåser fra høyre, og atleten skyter i en rett linje, vil kulen gå til venstre. For å treffe målet må du flytte siktet til høyre med kuleforskyvningsavstanden. Spesielle tabeller er satt sammen for dem (basert på konsekvensene av kamerat Pythagoras). Skiskytteren vet i hvilken vinkel han skal flytte siktet ved kjent vindhastighet.
Astronomi - også et bredt område for anvendelse av teoremet banen til lysstrålen. Figuren viser banen til en lysstråle fra EN til B og tilbake. Banen til strålen er vist med en buet pil for klarhet, faktisk er lysstrålen rett.
Hva er banen til strålen? Lys beveger seg frem og tilbake samme vei. Hva er halve veien strålen går? Hvis vi markerer segmentet AB symbol l, halve tiden som t, og angir også lysets hastighet med bokstaven c, så vil ligningen vår ta formen
c*t=l
Dette er produktet av tiden brukt på hastigheten!
La oss nå prøve å se på det samme fenomenet fra en annen referanseramme, for eksempel fra et romfartøy som flyr forbi en reisestråle med en hastighet v. Med en slik observasjon vil hastighetene til alle legemer endres, og de stasjonære legene vil begynne å bevege seg med en hastighet v i motsatt retning. Anta at skipet beveger seg til venstre. Da vil de to punktene som kaninen løper mellom flyttes til høyre med samme hastighet. Dessuten, mens kaninen løper sin vei, er utgangspunktet EN skifter og strålen går tilbake til et nytt punkt C.
Spørsmål: hvor mye tid vil punktet bevege seg (for å bli til punkt C) mens lysstrålen beveger seg? Mer presist: hva er halvparten av denne forskyvningen lik? Hvis vi angir halvparten av bjelkens reisetid med bokstaven t", og halve avstanden AC brev d, så får vi ligningen vår i formen:
v * t" = d
brev v angir farten til romfartøyet.
Et annet spørsmål: hvilken vei vil lysstrålen reise i dette tilfellet?(Mer presist, hva er halvparten av denne banen? Hva er avstanden til det ukjente objektet?)
Hvis vi betegner halve lengden av lysbanen med bokstaven s, får vi ligningen:
c*t" = s
Her c er lysets hastighet, og t" er samme tid som diskutert ovenfor.
Tenk nå på trekanten ABC. Det er en likebenet trekant hvis høyde er l, som vi introduserte da vi vurderte prosessen fra et fast synspunkt. Siden bevegelsen er vinkelrett l, da kunne det ikke påvirke henne.
Triangel ABC sammensatt av to halvdeler - identiske rettvinklede trekanter, hvis hypotenuser AB Og f.Kr må kobles til bena ifølge Pythagoras teorem. Et av bena er d, som vi nettopp regnet ut, og den andre etappen er s, som lyset går gjennom, og som vi også regnet ut. Vi får ligningen:
s 2 =l 2 +d 2
Dette er Pythagoras teorem!
Fenomen stjerneavvik, oppdaget i 1729, ligger i det faktum at alle stjernene i himmelsfæren beskriver ellipser. Halv-hovedaksen til disse ellipsene er observert fra jorden i en vinkel på 20,5 grader. Denne vinkelen er assosiert med jordens bevegelse rundt solen med en hastighet på 29,8 km i timen. For å observere en stjerne fra en jord i bevegelse, er det nødvendig å vippe teleskoprøret fremover langs stjernens bevegelse, siden mens lyset beveger seg langs teleskopet, beveger okularet seg fremover sammen med jorden. Tilsetningen av lysets hastigheter og jorden gjøres vektorielt, ved hjelp av såkalte.
Pythagoras. U 2 \u003d C 2 + V 2
C er lysets hastighet
V-bakkehastighet
teleskoprør
På slutten av det nittende århundre ble det gjort forskjellige antagelser om eksistensen av innbyggere på Mars som ligner på mennesker, dette var resultatet av oppdagelsene til den italienske astronomen Schiaparelli (han åpnet kanaler på Mars som ble ansett som kunstige i lang tid) . Spørsmålet om det er mulig å kommunisere med disse hypotetiske skapningene ved hjelp av lyssignaler forårsaket naturligvis en livlig diskusjon. Vitenskapsakademiet i Paris etablerte til og med en pris på 100 000 franc for den første personen som tok kontakt med en innbygger i et annet himmellegeme; denne prisen venter fortsatt på den heldige. Som en spøk, selv om det ikke var helt urimelig, ble det besluttet å sende et signal til innbyggerne på Mars i form av Pythagoras teorem.
Det er ikke kjent hvordan dette gjøres; men det er åpenbart for alle at det matematiske faktum som er uttrykt av Pythagoras teorem finner sted overalt, og derfor bør innbyggere i en annen verden som oss forstå et slikt signal.
mobilforbindelse
Hvem i dagens verden bruker ikke mobiltelefon? Hver mobilabonnent er interessert i kvaliteten. Og kvaliteten på sin side avhenger av høyden på antennen til mobiloperatøren. For å beregne i hvilken radius en overføring kan mottas bruker vi Pythagoras teorem.
Hva er maksimal høyde på mobiloperatørens antenne for å motta en overføring innenfor en radius på R=200 km? (Jordens radius er 6380 km.)
Løsning:
La AB=x , BC=R=200 km , OC= r = 6380 km.
OB=OA+ABOB=r+x.
Ved å bruke Pythagoras teorem får vi Svar: 2,3 km.
Når man bygger hus og hytter, oppstår ofte spørsmålet om lengden på sperrene til taket, hvis bjelkene allerede er laget. For eksempel: det er planlagt å bygge et sadeltak i et hus (seksjonsform). Hvilken lengde skal sperrene ha dersom bjelkene lages AC=8 m., og AB=BF.
Løsning:
Trekant ADC er likebenet AB=BC=4 m., BF=4 m. Hvis vi antar at FD=1,5 m., så:
A) Fra trekant DBC: DB=2,5 m.
B) Fra trekant ABF:
Vindu
I bygninger Gotisk og romansk stil de øvre delene av vinduene er delt av steinribber, som ikke bare spiller rollen som et ornament, men også bidrar til styrken til vinduene. Figuren viser et enkelt eksempel på et slikt vindu i gotisk stil. Metoden for å konstruere den er veldig enkel: Fra figuren er det lett å finne sentrene til seks buer med sirkler, hvis radier er lik
vindusbredde (b) for utvendige buer
halv bredde, (b/2) for indre buer
Det er fortsatt en hel sirkel som berører de fire buene. Siden den er innelukket mellom to konsentriske sirkler, er dens diameter lik avstanden mellom disse sirklene, dvs. b / 2, og derfor er radius lik b / 4. Og da blir det klart
posisjonen til sentrum.
I Romansk arkitektur motivet vist på figuren finnes ofte. Hvis b fortsatt angir bredden på vinduet, vil radiene til halvsirklene være lik R = b / 2 og r = b / 4. Radien p til den indre sirkelen kan beregnes fra den rette trekanten vist i fig. stiplet linje. Hypotenusen til denne trekanten, som går gjennom tangentpunktet til sirklene, er lik b/4+p, ett ben er lik b/4, og det andre er b/2-p. Ved Pythagoras teorem har vi:
(b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/4-p) 2
b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4 - bp / 2 + p 2,
Ved å dele på b og bringe like termer, får vi:
(3/2)p=b/4, p=b/6.
I skogindustrien: for konstruksjonens behov sages tømmerstokker til tømmer, mens hovedoppgaven er å få så lite avfall som mulig. Minste avfallsmengde vil være når bjelken har størst volum. Hva skal stå i seksjonen? Som det fremgår av løsningen skal tverrsnittet være kvadratisk, og Pythagoras teorem og andre hensyn gjør det mulig å trekke en slik konklusjon.
Bar med størst volum
Oppgave
Fra en sylindrisk tømmerstokk er det nødvendig å kutte en rektangulær bjelke med det største volumet. Hvilken form skal tverrsnittet ha (fig. 23)?
Løsning
Hvis sidene av et rektangulært snitt er x og y, så etter Pythagoras teoremet
x 2 + y 2 \u003d d 2,
hvor d er diameteren på stokken. Tømmerets volum er størst når tverrsnittsarealet er størst, dvs. når xy når sin største verdi. Men hvis xy er størst, så vil også produktet x 2 y 2 være størst. Siden summen x 2 + y 2 er uendret, er produktet x 2 y 2, i henhold til det som ble bevist tidligere, størst når
x 2 \u003d y 2 eller x \u003d y.
Så tverrsnittet av bjelken skal være firkantet.
Transportoppgaver(de såkalte optimaliseringsoppgavene; oppgaver, hvis løsning gjør det mulig å svare på spørsmålet: hvordan disponere midler for å oppnå store fordeler)
Ved første øyekast, ikke noe spesielt: mål høyden fra gulv til tak på flere punkter, trekk fra noen centimeter slik at skapet ikke hviler mot taket. Etter å ha gjort det, i prosessen med å montere møbler, kan det oppstå vanskeligheter. Tross alt setter møbelmakere sammen rammen ved å plassere skapet i en horisontal posisjon, og når rammen er montert, hever de den til en vertikal posisjon. Vurder sideveggen til skapet. Høyden på skapet bør være 10 cm mindre enn avstanden fra gulv til tak, forutsatt at denne avstanden ikke overstiger 2500 mm. Og dybden på skapet er 700 mm. Hvorfor 10 cm, og ikke 5 cm eller 7, og hva har Pythagoras teorem med det å gjøre?
Så: sidevegg 2500-100=2400(mm) - maksimal høyde på strukturen.
Sideveggen i ferd med å løfte rammen må passere fritt både i høyden og diagonalt. Av Pythagoras teorem
AC \u003d √ AB 2 + BC 2
AC= √ 2400 2 + 700 2 = 2500 (mm)
Hva skjer hvis skaphøyden reduseres med 50 mm?
AC= √ 2450 2 + 700 2 = 2548 (mm)
Diagonal 2548 mm. Så du kan ikke sette et skap (du kan ødelegge taket).
Lynavleder.
Det er kjent at en lynstang beskytter alle gjenstander mot lyn, hvis avstand fra basen ikke overstiger den doble høyden. Det er nødvendig å bestemme den optimale posisjonen til lynstangen på et gavltak, og gir den laveste tilgjengelige høyden.
I følge Pythagoras teorem h 2 ≥ a 2 +b 2 betyr h≥(a 2 +b 2) 1/2
Umiddelbart på sommerhuset deres er det nødvendig å lage et drivhus for frøplanter.
Fra styrene slått ned en firkant 1m1m. Det er rester av en film som måler 1,5m1,5m. I hvilken høyde i midten av plassen skal skinnen festes slik at filmen dekker den helt?
1) Diagonal av drivhuset d == 1,4; 0,7
2) Filmdiagonal d 1= 2,12 1,06
3) Skinnehøyde x= 0,7
Konklusjon
Som et resultat av forskningen fant jeg ut noen anvendelsesområder for Pythagoras teoremet. Jeg har samlet inn og bearbeidet mye materiale fra litterære kilder og Internett om dette temaet. Jeg studerte litt historisk informasjon om Pythagoras og teoremet hans. Ja, faktisk, ved å bruke Pythagoras teorem, kan du løse ikke bare matematiske problemer. Pythagoras teorem har funnet sin anvendelse innen konstruksjon og arkitektur, mobilkommunikasjon og litteratur.
Studie og analyse av informasjonskilder om Pythagoras teorem
viste at:
EN) den eksklusive oppmerksomheten til matematikere og matematikere til teoremet er basert på dens enkelhet, skjønnhet og betydning;
b) Pythagoras teorem i mange århundrer fungerer som en drivkraft for interessante og viktige matematiske oppdagelser (Fermats teorem, Einsteins relativitetsteori);
V) Pythagoras teorem - er legemliggjørelsen av det universelle matematikkens språk, gyldig over hele verden;
G) omfanget av teoremet er ganske omfattende og kan generelt ikke angis med tilstrekkelig fullstendighet;
d) hemmelighetene til Pythagoras teoremet fortsetter å begeistre menneskeheten, og derfor gis hver enkelt av oss en sjanse til å være involvert i avsløringen deres.
Bibliografi
Uspekhi matematicheskikh nauk, 1962, bd. 17, nr. 6 (108).
Alexander Danilovich Alexandrov (på sin femtiårsdag),
Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Geometri, 10 - 11 celler. - M.: Opplysning, 1992.
Atanasyan L.S. etc. Geometri, 10 - 11 celler. - M.: Opplysning, 1992.
Vladimirov Yu.S. Rom - tid: eksplisitte og skjulte dimensjoner. - M.: "Nauka", 1989.
Voloshin A.V. Pythagoras. - M.: Opplysning, 1993.
Avis "Matematikk", nr. 21, 2006.
Avis "Matematikk", nr. 28, 1995.
Geometri: Proc. For 7 - 11 celler. ungdomsskole / G.P. Bevz, V.G. Bevz, N.G. Vladimirova. - M.: Opplysning, 1992.
Geometri: Lærebok for 7 - 9 celler. allmennutdanning Institusjoner/ L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev og andre - 6. utg. - M.: Opplysning, 1996.
Glazer G.I. Matematikkens historie på skolen: IX - Xcl. En veiledning for lærere. - M.: Opplysning, 1983.
Tilleggskapitler til skolelæreboka 8. klasse: Lærebok for skoleelever. og klasser med fordypning. studere matematikk /L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev og andre - M .: Education, 1996.
Yelensky Sh. I fotsporene til Pythagoras. M., 1961.
Kiselev A.P., Rybkin N.A. Geometri: Planimetri: 7 - 9 celler: Lærebok og oppgavebok. - M.: Bustard, 1995.
Kline M. Matematikk. Search for Truth: Oversettelse fra engelsk. / Ed. og forord. I OG. Arshinova, Yu.V. Sachkov. - M.: Mir, 1998.
Liturman V. Pythagoras teorem. - M., 1960.
Matematikk: Håndbok for skoleelever og elever / B. Frank og andre; Oversettelse fra ham. - 3. utgave, stereotypi. - M.: Bustard, 2003.
Peltwer A. Hvem er du Pythagoras? - M.: Kunnskap er makt, nr. 12, 1994.
Perelman Ya. I. Underholdende matematikk. - M.: "Vitenskap", 1976.
Ponomareva T.D. Store vitenskapsmenn. - M .: LLC Astrel Publishing House, 2002.
Sveshnikova A. Reise inn i matematikkens historie. - M., 1995.
Semyonov E.E. Vi studerer geometri: Bok. For studenter 6 - 8 celler. ungdomsskolen - M.: Opplysning, 1987.
Smyshlyaev V.K. Om matematikk og matematikere. - Mari bokforlag, 1977.
Tuchnin N.P. Hvordan stille et spørsmål. - M.: Opplysning, 1993.
Cherkasov O.Yu. Planimetri ved opptaksprøven. - M.: Moscow Lyceum, 1996.
Encyclopedic Dictionary of a Young Mathematician. Comp. A.P. Savin. - M.: Pedagogikk, 1985.
Leksikon for barn. T. 11. Matematikk. /Ch. Ed. M.D. Aksenova. - M.: Avanta +, 2001.
