Uttrykk, uttrykkskonvertering

Hvordan bli kvitt irrasjonalitet i nevneren? Måter, eksempler, løsninger

I 8. klasse, i algebratimer, innenfor rammen av temaet transformasjon av irrasjonelle uttrykk, kommer en samtale om frigjøring fra irrasjonalitet i nevneren til en brøk. I denne artikkelen vil vi analysere hva slags transformasjon dette er, vurdere hvilke handlinger som lar oss kvitte oss med irrasjonalitet i nevneren til en brøk, og gi løsninger på typiske eksempler med detaljerte forklaringer.

Sidenavigering.

Hva vil det si å kvitte seg med irrasjonalitet i nevneren til en brøk?

Først må du finne ut hva irrasjonalitet er i nevneren og hva det betyr å kvitte seg med irrasjonalitet i nevneren til en brøk. Informasjon fra skolebøkene vil hjelpe oss med dette. Følgende punkter fortjener oppmerksomhet.

Når brøkposten inneholder rottegnet (radikal) i nevneren, så sier de at nevneren inneholder irrasjonalitet. Dette skyldes trolig at tall skrevet med rottegn ofte er . Som et eksempel, la oss ta brøker, , , , åpenbart inneholder nevnerne til hver av dem rotens tegn, og derav irrasjonaliteten. På videregående er et møte med brøker uunngåelig, irrasjonaliteten til nevnerne som introduseres ikke bare av tegnene på kvadratrøtter, men også av tegnene på kuberøtter, røtter av fjerde grad, etc. Her er eksempler på slike brøker: .

Med tanke på informasjonen ovenfor og betydningen av ordet "frigjør", oppfattes følgende definisjon veldig naturlig:

Definisjon.

Fritak fra irrasjonalitet i nevneren til en brøk- dette er en transformasjon der en brøk med irrasjonalitet i nevneren erstattes med en identisk lik brøk som ikke inneholder rottegn i nevneren.

Du kan ofte høre at de sier ikke å frigjøre seg, men å kvitte seg med irrasjonaliteten i nevneren til en brøk. Betydningen endres ikke.

For eksempel, hvis vi går fra en brøk til en brøk hvis verdi er lik verdien av den opprinnelige brøken og hvis nevner ikke inneholder rottegnet, så kan vi slå fast at vi har frigjort oss fra irrasjonalitet i brøkens nevner . Et annet eksempel: å erstatte en brøk med en identisk lik brøk det er en frigjøring fra irrasjonalitet i nevneren til en brøk.

Så den første informasjonen er mottatt. Det gjenstår å finne ut hva som må gjøres for å bli kvitt irrasjonaliteten i nevneren til brøken.

Måter å frigjøre deg fra irrasjonalitet, eksempler

Vanligvis, for å bli kvitt irrasjonalitet i nevneren av en brøk, to brøkkonverteringer: Multipliser telleren og nevneren med et tall eller uttrykk som ikke er null, og konverter uttrykket i nevneren. Nedenfor skal vi se på hvordan disse brøktransformasjonene brukes som en del av hovedmåtene for å bli kvitt irrasjonalitet i nevneren til en brøk. La oss vurdere følgende tilfeller.

I de enkleste tilfellene er det nok å transformere uttrykket i nevneren. Et eksempel er en brøk hvis nevner er roten av ni. I dette tilfellet frigjør nevneren fra å være irrasjonell hvis du erstatter den med en verdi på 3.

I mer komplekse tilfeller er det nødvendig å forhåndsmultiplisere telleren og nevneren til brøken med et tall eller uttrykk som ikke er null, som deretter lar deg konvertere nevneren til brøken til en form som ikke inneholder rottegn. For eksempel, etter å ha multiplisert telleren og nevneren til en brøk med , blir brøken , og da kan uttrykket i nevneren erstattes med uttrykket uten fortegn på røttene x+1 . Etter frigjøring fra irrasjonalitet i nevneren får brøken altså formen .

Hvis vi snakker om det generelle tilfellet, så for å bli kvitt irrasjonalitet i nevneren til en brøk, må man ty til forskjellige akseptable transformasjoner, noen ganger ganske spesifikke.

Og nå i detalj.

Konvertere et uttrykk til nevneren av en brøk

Som allerede nevnt, er en måte å bli kvitt irrasjonalitet i nevneren til en brøk å transformere nevneren. La oss vurdere eksempler.

Eksempel.

Bli kvitt irrasjonalitet i nevneren til en brøk .

Løsning.

Ved å utvide parentesene i nevneren kommer vi til uttrykket . La oss gå videre til brøker . Å beregne verdiene under tegnene til røttene, har vi . Åpenbart, i det resulterende uttrykket, er det mulig, noe som gir en brøk, som er lik 1/16. Så vi ble kvitt irrasjonaliteten i nevneren.

Vanligvis er løsningen skrevet kort uten forklaring, siden handlingene som utføres er ganske enkle:

Svar:

.

Eksempel.

Løsning.

Da vi snakket om transformasjon av irrasjonelle uttrykk ved å bruke egenskapene til røttene, la vi merke til at for ethvert uttrykk A for selv n (i vårt tilfelle n=2 ) kan uttrykket erstattes med uttrykket |A| på hele ODZ av variabler for det opprinnelige uttrykket. Derfor kan du utføre følgende transformasjon av en gitt brøk: , som frigjør fra irrasjonalitet i nevneren.

Svar:

.

Multiplisere telleren og nevneren med roten

Når uttrykket i nevneren til en brøk har formen , hvor uttrykket A ikke inneholder rottegn, kan du multiplisere telleren og nevneren med å bli kvitt irrasjonaliteten i nevneren. Denne handlingen er mulig fordi den ikke forsvinner på ODZ-en til variablene for det opprinnelige uttrykket. I dette tilfellet, i nevneren, oppnås et uttrykk som er lett å konvertere til formen uten rottegn: . Vi viser anvendelsen av denne tilnærmingen med eksempler.

Eksempel.

Bli kvitt irrasjonalitet i nevneren til brøken: a), b).

Løsning.

a) Ved å multiplisere telleren og nevneren av brøken med kvadratroten av tre får vi .

b) For å bli kvitt kvadratrottegnet i nevneren multipliserer vi telleren og nevneren til brøken med , hvoretter vi utfører transformasjoner i nevneren:

Svar:

a), b) .

I tilfelle når nevneren inneholder faktorer eller , hvor m og n er noen naturlige tall, må telleren og nevneren multipliseres med en slik faktor slik at uttrykket i nevneren deretter kan konverteres til formen eller , hvor k er noe naturlig tall, henholdsvis. Da er det lett å gå over til en brøk uten irrasjonalitet i nevneren. Vi vil vise anvendelsen av den beskrevne metoden for å bli kvitt irrasjonalitet i nevneren ved å bruke eksempler.

Eksempel.

Bli kvitt irrasjonalitet i nevneren til en brøk: a), b).

Løsning.

a) Det nærmeste naturlige tallet større enn 3 og delelig med 5 er 5. For at indikatoren på de seks skal bli lik fem, må uttrykket i nevneren multipliseres med. Følgelig vil frigjøringen fra irrasjonalitet i nevneren til brøken lettes av uttrykket som telleren og nevneren må multipliseres med:

b) Det er åpenbart at det nærmeste naturlige tallet som overstiger 15 og er delelig med 4 uten rest er 16. For å få eksponenten i nevneren ble lik 16, må du multiplisere uttrykket som ligger der med. Å multiplisere telleren og nevneren til den opprinnelige brøken med (merk at verdien av dette uttrykket ikke er lik null for hvilken reell x) vil dermed bli kvitt irrasjonaliteten i nevneren:

Svar:

EN) , b) .

Multiplikasjon med adjunkt uttrykk

Den neste måten å bli kvitt irrasjonalitet i nevneren til en brøk dekker tilfeller der nevneren inneholder uttrykk for formen , , , , eller . I disse tilfellene, for å bli kvitt irrasjonalitet i nevneren til en brøk, er det nødvendig å multiplisere telleren og nevneren til brøken med den såkalte brøken. konjugert uttrykk.

Det gjenstår å finne ut hvilke uttrykk som er konjugerte for ovennevnte. For et uttrykk er adjunktuttrykket , og for et uttrykk er adjointuttrykket . Tilsvarende, for et uttrykk er konjugatet , og for et uttrykk er konjugatet . Og for uttrykket er konjugatet , og for uttrykket er konjugatet . Så uttrykket konjugert til dette uttrykket skiller seg fra det i fortegn før det andre leddet.

La oss se hva resultatet av å multiplisere et uttrykk med dets konjugerte uttrykk. Vurder for eksempel produktet . Det kan erstattes med kvadratforskjellen, det vil si hvorfra man kan gå videre til uttrykket a−b, som ikke inneholder rottegn.

Nå blir det klart hvordan å multiplisere telleren og nevneren til en brøk med uttrykket konjugert til nevneren lar deg bli kvitt irrasjonalitet i brøkens nevner. La oss vurdere løsningene til typiske eksempler.

Eksempel.

Uttrykk uttrykket som en brøk, hvis nevner ikke inneholder en radikal: a), b).

Løsning.

a) Uttrykket konjugert til nevneren er . Vi multipliserer telleren og nevneren med det, noe som vil tillate oss å bli kvitt irrasjonalitet i nevneren til brøken:

b) For uttrykket er konjugatet . Multipliserer telleren og nevneren med det, får vi

Det var mulig å først fjerne minustegnet fra nevneren, og først etter det multiplisere telleren og nevneren med uttrykket konjugert til nevneren:

Svar:

EN) , b) .

Vennligst merk: når du multipliserer telleren og nevneren til en brøk med et uttrykk med variabler konjugert til nevneren, må du passe på at den ikke forsvinner for noen sett med variabelverdier fra DPV for det opprinnelige uttrykket.

Eksempel.

Bli kvitt irrasjonalitet i nevneren til en brøk.

Løsning.

Til å begynne med, la oss finne arealet av tillatte verdier (ODZ) til variabelen x. Det bestemmes av betingelsene x≥0 og , hvorfra vi konkluderer med at ODZ er settet x≥0 .

Uttrykket konjugert til nevneren er . Vi kan multiplisere telleren og nevneren av brøken med den, forutsatt at , som på ODZ er ekvivalent med betingelsen x≠16 . Samtidig har vi

Og for x=16 har vi .

For alle verdier av variabelen x fra ODZ, bortsett fra x=16, , og for x=16 har vi .

Svar:

Bruke summen av terninger og forskjellen av kuberformler

Fra forrige avsnitt lærte vi at multiplikasjonen av telleren og nevneren av en brøk med uttrykket konjugert til nevneren utføres for å anvende kvadratforskjellsformelen ytterligere og dermed bli kvitt irrasjonalitet i nevneren. I noen tilfeller er andre forkortede multiplikasjonsformler også nyttige for å bli kvitt irrasjonalitet i nevneren. For eksempel formelen for forskjellen av kuber a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+b 2) lar deg bli kvitt irrasjonalitet når nevneren til en brøk inneholder uttrykk med terningerøtter av formen eller , hvor A og B er noen tall eller uttrykk. For å gjøre dette, multipliseres telleren og nevneren til brøken med det ufullstendige kvadratet av summen eller forskjell, henholdsvis. Formelen for summen av kuber er på samme måte prøvd a 3 +b 3 =(a+b) (a 2 −a b+b 2).

Eksempel.

Bli kvitt irrasjonalitet i nevneren til en brøk: a), b) .

Løsning.

a) Det er lett å gjette at det å bli kvitt irrasjonalitet i nevneren i dette tilfellet gjør det mulig å multiplisere telleren og nevneren med et ufullstendig kvadrat av summen av tall og , siden dette i fremtiden vil tillate oss å transformere uttrykket i nevner i henhold til formelforskjellen til kuber:

b) Uttrykk i nevneren av en brøk kan representeres som , hvorfra det tydelig sees at dette er et ufullstendig kvadrat av forskjellen mellom tallene 2 og . Således, hvis telleren og nevneren til brøken multipliseres med summen, kan nevneren konverteres i henhold til formelsummen av terninger, noe som vil tillate deg å bli kvitt irrasjonalitet i brøkens nevner. Dette kan gjøres under betingelsen , som tilsvarer betingelsen og videre x≠−8:

Og når vi erstatter x=−8 i den opprinnelige brøken, har vi .

For alle x fra ODZ for den opprinnelige brøken (i dette tilfellet er dette mengden R ), bortsett fra x=−8 , har vi altså , og for x=8 har vi .

Svar:

Ved hjelp av ulike metoder

I mer kompliserte eksempler lykkes det vanligvis ikke i én handling å bli kvitt irrasjonaliteten i nevneren, men man må konsekvent bruke metode etter metode, inkludert de som er diskutert ovenfor. Noen ganger kan det være nødvendig med noen ikke-standardløsninger. Ganske interessante oppgaver om emnet under diskusjon finnes i læreboken skrevet av Yu. N. Kolyagin. Bibliografi.

1. Algebra: lærebok for 8 celler. allmennutdanning institusjoner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; utg. S. A. Telyakovsky. - 16. utg. - M. : Utdanning, 2008. - 271 s. : jeg vil. - ISBN 978-5-09-019243-9.
2. Mordkovich A.G. Algebra. 8. klasse. Kl. 14.00 Del 1. En lærebok for studenter ved utdanningsinstitusjoner / A. G. Mordkovich. - 11. utg., slettet. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
3. Algebra og begynnelsen på matematisk analyse. 10. klasse: lærebok. for allmennutdanning institusjoner: grunnleggende og profil. nivåer / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; utg. A. B. Zhizhchenko. - 3. utg. - M.: Opplysning, 2010.- 368 s. : ill. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Danny Peric Campana

En annen interessant bok for skolebarn som er interessert, dessverre ikke oversatt til russisk, er boken "Daniels matematiske eventyr" (Las Aventuras Matemáticas de Daniel) av den chilenske matematikklæreren Danny Perich Campana, en veldig ekstraordinær og interessant person. Han underviser ikke bare barn, men skriver også sanger, legger ulike undervisningsmateriell om matematikk på Internett. De kan finnes på youtube og på nettstedet http://www.sectormatematica.cl/ (selvfølgelig er alt materiell på spansk).

Her legger jeg ut ett kapittel fra boken til Danny Peric. Det virket for meg ganske interessant og nyttig for skolebarn. For å gjøre det klart hva vi snakker om, vil jeg si at Daniel og Camila jobber på en skole, de er lærere.

Hemmeligheten med å bli kvitt irrasjonalitet

"Camila, jeg har nå mange problemer når jeg prøver å forklare hva som brukes til det vi går gjennom i timen," sa Daniel.

«Jeg forstår egentlig ikke hva du snakker om.

– Jeg snakker om det som står i alle skolebøker og til og med bøker på universitetsnivå. Jeg er fortsatt ikke i tvil: hvorfor må vi kvitte oss med irrasjonalitet i nevneren? Og jeg hater å fortelle det jeg ikke forstår så lenge, klaget Daniel.

«Jeg vet heller ikke hvor det kommer fra og hvorfor det trengs, men det må være en logisk forklaring på dette.

– En gang leste jeg i ett vitenskapelig tidsskrift at å kvitte seg med irrasjonaliteten i nevneren gjør at man kan få et resultat med større nøyaktighet, men jeg har aldri sett dette igjen og jeg er ikke sikker på at det er tilfelle.

Hvorfor sjekker vi det ikke ut? spurte Camila.

«Du har rett,» sa Daniel enig. «I stedet for å klage, bør du prøve å trekke dine egne konklusjoner. Så hjelp meg...

"Selvfølgelig, nå er jeg interessert i det selv.

«Vi bør ta noen uttrykk og kvitte oss med irrasjonaliteten i nevneren, så erstatte roten med dens verdi og finne resultatet av uttrykket før og etter å bli kvitt irrasjonaliteten i nevneren og se om noe endres.

"Selvfølgelig," sa Camila enig. - La oss gjøre det.

"Ta for eksempel uttrykket," sa Daniel og tok et ark for å skrive ned hva som skjedde. - Multipliser telleren og nevneren med og få .

"Det vil være riktig og kan hjelpe oss å trekke konklusjoner hvis vi vurderer andre irrasjonelle uttrykk som er like med dette," foreslo Camila.

- Jeg er enig, - sa Daniel, - Jeg skal dele telleren og nevneren med , og du ganger dem med .

- Jeg klarte . Og du?

"Det har jeg," svarte Daniel. - Nå beregner vi det opprinnelige uttrykket og de resulterende, og erstatter det med verdien med alle desimalene som kalkulatoren gir. Vi får:

"Jeg ser ikke noe utenom det vanlige," sa Camila. "Jeg forventet en slags forskjell som ville rettferdiggjøre å bli kvitt irrasjonalitet.

«Som jeg fortalte deg, leste jeg en gang om det i forbindelse med tilnærmingen. Hva ville du sagt hvis vi endret til et mindre presist tall, som ?

La oss prøve og se hva som skjer.

Løse ligninger med brøker la oss se på eksempler. Eksemplene er enkle og illustrerende. Med deres hjelp kan du forstå på den mest forståelige måten.
For eksempel må du løse en enkel likning x/b + c = d.

En ligning av denne typen kalles lineær, fordi nevneren inneholder kun tall.

Løsningen utføres ved å multiplisere begge sider av likningen med b, så tar likningen formen x = b*(d – c), dvs. nevneren til brøken på venstre side reduseres.

For eksempel, hvordan løse en brøkligning:
x/5+4=9
Vi multipliserer begge deler med 5. Vi får:
x+20=45
x=45-20=25

Et annet eksempel der det ukjente er i nevneren:

Ligninger av denne typen kalles brøkrasjonelle eller ganske enkelt brøkdeler.

Vi løser en brøklikning ved å kvitte oss med brøker, hvoretter denne likningen som oftest blir til en lineær eller kvadratisk, som løses på vanlig måte. Du bør kun ta hensyn til følgende punkter:

• verdien av en variabel som snur nevneren til 0 kan ikke være en rot;
• du kan ikke dividere eller multiplisere ligningen med uttrykket =0.

Her trer i kraft et slikt konsept som området for tillatte verdier (ODZ) - dette er verdiene av røttene til ligningen som ligningen gir mening for.

Dermed, ved å løse ligningen, er det nødvendig å finne røttene, og deretter sjekke dem for samsvar med ODZ. De røttene som ikke samsvarer med vår DHS er ekskludert fra svaret.

For eksempel må du løse en brøkligning:

Basert på regelen ovenfor kan ikke x være = 0, dvs. ODZ i dette tilfellet: x - enhver annen verdi enn null.

Vi kvitter oss med nevneren ved å multiplisere alle ledd i ligningen med x

Og løs den vanlige ligningen

5x - 2x = 1
3x=1
x = 1/3

Svar: x = 1/3

La oss løse ligningen mer komplisert:

ODZ er også tilstede her: x -2.

Ved å løse denne ligningen vil vi ikke overføre alt i én retning og bringe brøker til en fellesnevner. Vi multipliserer umiddelbart begge sider av ligningen med et uttrykk som vil redusere alle nevnerne samtidig.

For å redusere nevnerne må du multiplisere venstre side med x + 2, og høyre side med 2. Så begge sider av ligningen må multipliseres med 2 (x + 2):

Dette er den vanligste multiplikasjonen av brøker, som vi allerede har diskutert ovenfor.

Vi skriver den samme ligningen, men på en litt annen måte.

Venstre side reduseres med (x + 2), og høyre side med 2. Etter reduksjonen får vi den vanlige lineære ligningen:

x \u003d 4 - 2 \u003d 2, som tilsvarer vår ODZ

Svar: x = 2.

Løse ligninger med brøker ikke så vanskelig som det kan virke. I denne artikkelen har vi vist dette med eksempler. Hvis du har problemer med hvordan løse likninger med brøker, så avslutt abonnementet i kommentarfeltet.

I dette emnet vil vi vurdere alle tre av de ovennevnte gruppene av grenser med irrasjonalitet. La oss starte med grenser som inneholder en usikkerhet på formen $\frac(0)(0)$.

Usikkerhetsavsløring $\frac(0)(0)$.

Ordningen for å løse standardeksempler av denne typen består vanligvis av to trinn:

• Vi blir kvitt irrasjonaliteten som forårsaket usikkerheten ved å multiplisere med det såkalte «adjoint»-uttrykket;
• Om nødvendig dekomponerer vi uttrykket i telleren eller nevneren (eller begge deler) i faktorer;
• Vi reduserer faktorene som fører til usikkerhet og beregner ønsket verdi av grensen.

Begrepet "adjoint uttrykk" brukt ovenfor vil bli forklart i detalj i eksemplene. Så langt er det ingen grunn til å dvele ved det i detalj. Generelt kan du gå den andre veien, uten å bruke det konjugerte uttrykket. Noen ganger kan en velvalgt erstatning bli kvitt irrasjonalitet. Slike eksempler er sjeldne i standardtester, så vi vil kun vurdere ett eksempel nr. 6 for å bruke erstatningen (se andre del av dette emnet).

Vi trenger noen formler, som jeg vil skrive ned nedenfor:

\begin(equation) a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b) \end(equation) \begin(equation) a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2 +ab+b^2) \end(equation) \begin(equation) a^3+b^3=(a+b)\cdot(a^2-ab+b^2) \end(equation) \begin (ligning) a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end(ligning)

I tillegg antar vi at leseren kan formlene for å løse andregradsligninger. Hvis $x_1$ og $x_2$ er røttene til kvadrattrinomialet $ax^2+bx+c$, kan det faktoriseres ved hjelp av følgende formel:

\begin(ligning) ax^2+bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2) \end(ligning)

Formler (1)-(5) er ganske nok til å løse standardproblemer, som vi nå vender oss til.

Eksempel #1

Finn $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$.

Siden $\lim_(x\to 3)(\sqrt(7-x)-2)=\sqrt(7-3)-2=\sqrt(4)-2=0$ og $\lim_(x\ til 3) (x-3)=3-3=0$, så har vi i den gitte grensen en usikkerhet på formen $\frac(0)(0)$. Forskjellen $\sqrt(7-x)-2$ hindrer oss i å avsløre denne usikkerheten. For å bli kvitt slike irrasjonaliteter brukes multiplikasjon med det såkalte «adjoint-uttrykket». Vi skal nå vurdere hvordan en slik multiplikasjon fungerer. Multipliser $\sqrt(7-x)-2$ med $\sqrt(7-x)+2$:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)$$

For å utvide parentesene bruker vi , og erstatter $a=\sqrt(7-x)$, $b=2$ på høyre side av den nevnte formelen:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=(\sqrt(7-x))^2-2^2=7-x-4=3-x .$$

Som du kan se, hvis du multipliserer telleren med $\sqrt(7-x)+2$, forsvinner roten (dvs. irrasjonalitet) i telleren. Dette uttrykket $\sqrt(7-x)+2$ vil være konjugerer til uttrykket $\sqrt(7-x)-2$. Vi kan imidlertid ikke bare ta og multiplisere telleren med $\sqrt(7-x)+2$, fordi dette vil endre brøken $\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$, som er under grensen. Du må gange både telleren og nevneren samtidig:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)= \venstre|\frac(0)(0)\right|=\lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2)) $$

Husk nå at $(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=3-x$ og utvide parentesene. Og etter å ha åpnet parentesene og en liten transformasjon $3-x=-(x-3)$, reduserer vi brøken med $x-3$:

$$ \lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt( 7-x)+2))= \lim_(x\til 3)\frac(3-x)((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))=\\ =\lim_ (x\to 3)\frac(-(x-3))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))= \lim_(x\to 3)\frac(-1) )(\sqrt(7-x)+2) $$

Usikkerheten $\frac(0)(0)$ er borte. Nå kan du enkelt få svaret på dette eksemplet:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(-1)(\sqrt(7-x)+2)=\frac(-1)(\sqrt(7-3)+2)=-\frac( 1)(\sqrt(4)+2)=-\frac(1)(4).$$

Jeg legger merke til at det konjugerte uttrykket kan endre sin struktur - avhengig av hva slags irrasjonalitet det skal fjerne. I eksemplene #4 og #5 (se den andre delen av dette emnet), vil en annen type konjugert uttrykk bli brukt.

Svar: $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)=-\frac(1)(4)$.

Eksempel #2

Finn $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$.

Siden $\lim_(x\to 2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\sqrt(2^2+5)-\sqrt(7\cdot 2 ^ 2-19)=3-3=0$ og $\lim_(x\to 2)(3x^2-5x-2)=3\cdot2^2-5\cdot 2-2=0$, så vi har å gjøre med en usikkerhet av formen $\frac(0)(0)$. La oss bli kvitt irrasjonalitet i nevneren til denne brøken. For å gjøre dette, la oss legge til både telleren og nevneren for brøken $\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$ til uttrykk $\sqrt(x^ 2+5)+\sqrt(7x^2-19)$ konjuger til nevneren:

$$ \lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\venstre|\frac(0 )(0)\right|= \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) ((\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) $$

Igjen, som i eksempel nr. 1, må du bruke parenteser for å utvide. Ved å erstatte $a=\sqrt(x^2+5)$, $b=\sqrt(7x^2-19)$ på høyre side av den nevnte formelen, får vi følgende uttrykk for nevneren:

$$ \left(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19)\right)\left(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)\ høyre)=\\ =\venstre(\sqrt(x^2+5)\høyre)^2-\venstre(\sqrt(7x^2-19)\høyre)^2=x^2+5-(7x ^2-19)=-6x^2+24=-6\cdot(x^2-4) $$

La oss gå tilbake til grensen vår:

$$ \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((\sqrt(x) ^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))= \lim_(x\to 2)\frac( (3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(-6\cdot(x^2-4))=\\ =-\ frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x^2-4) $$

I eksempel nr. 1, nesten umiddelbart etter multiplisering med konjugatuttrykket, ble fraksjonen redusert. Her, før reduksjonen, er det nødvendig å faktorisere uttrykkene $3x^2-5x-2$ og $x^2-4$, og først deretter fortsette til reduksjonen. For å faktorisere uttrykket $3x^2-5x-2$ må du bruke . La oss først løse den kvadratiske ligningen $3x^2-5x-2=0$:

$$ 3x^2-5x-2=0\\ \begin(justert) & D=(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49;\\ & x_1=\ frac(-(-5)-\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5-7)(6)=-\frac(2)(6)=-\frac(1)(3) ;\\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2. \end(justert) $$

Ved å erstatte $x_1=-\frac(1)(3)$, $x_2=2$ med , har vi:

$$ 3x^2-5x-2=3\cdot\venstre(x-\venstre(-\frac(1)(3)\høyre)\høyre)(x-2)=3\cdot\venstre(x+\ frac(1)(3)\høyre)(x-2)=\venstre(3\cdot x+3\cdot\frac(1)(3)\høyre)(x-2) =(3x+1)( x-2). $$

Nå er det på tide å faktorisere uttrykket $x^2-4$. La oss bruke , og erstatte $a=x$, $b=2$ i det:

$$ x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2) $$

La oss bruke de oppnådde resultatene. Siden $x^2-4=(x-2)(x+2)$ og $3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$, så:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2) -19)))(x^2-4) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x) ^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((x-2)(x+2)) $$

Ved å redusere med parentes $x-2$ får vi:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^ 2-19)))((x-2)(x+2)) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt( x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(x+2). $$

Alle! Usikkerheten er borte. Et steg til og vi kommer til svaret:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x+2)=\\ =-\frac(1)(6)\cdot\frac((3\cdot 2+1)(\sqrt(2^2+5)+\sqrt(7\cdot 2) ^2-19)))(2+2)= -\frac(1)(6)\cdot\frac(7(3+3))(4)=-\frac(7)(4). $$

Svar: $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=-\frac(7)( 4)$.

I følgende eksempel, vurder tilfellet når irrasjonalitet vil være tilstede både i telleren og i nevneren til en brøk.

Eksempel #3

Finn $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9) ))$.

Siden $\lim_(x\to 5)(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))=\sqrt(9)-\sqrt(9)=0$ og $\lim_( x \to 5)(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9))=\sqrt(16)-\sqrt(16)=0$, så har vi en usikkerhet på formen $ \frac (0)(0)$. Siden røttene i dette tilfellet er tilstede både i nevneren og i telleren, for å bli kvitt usikkerheten, må du multiplisere med to parenteser samtidig. Først, til uttrykket $\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)$ konjuger til telleren. Og for det andre, til uttrykket $\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9)$ konjuger til nevneren.

$$ \lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9) ))=\venstre|\frac(0)(0)\høyre|=\\ =\lim_(x\til 5)\frac((\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16) )(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((\sqrt(x^2) -3x+6)-\sqrt(5x-9))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9))(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2) -16))) $$ $$ -x^2+x+20=0;\\ \begin(aligned) & D=1^2-4\cdot(-1)\cdot 20=81;\\ & x_1=\frac(-1-\sqrt(81))(-2)=\frac(-10)(-2)=5;\\ & x_2=\frac(-1+\sqrt(81))( -2)=\frac(8)(-2)=-4. \end(justert) \\ -x^2+x+20=-1\cdot(x-5)(x-(-4))=-(x-5)(x+4). $$

For uttrykket $x^2-8x+15$ får vi:

$$ x^2-8x+15=0;\\ \begin(justert) & D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=4;\\ & x_1=\frac(-(- 8)-\sqrt(4))(2)=\frac(6)(2)=3;\\ & x_2=\frac(-(-8)+\sqrt(4))(2)=\frac (10)(2)=5. \end(justert)\\ x^2+8x+15=1\cdot(x-3)(x-5)=(x-3)(x-5). $$

Bytte ut de oppnådde utvidelsene $-x^2+x+20=-(x-5)(x+4)$ og $x^2+8x+15=(x-3)(x-5)$ i de vurderte grense, vil ha:

$$ \lim_(x\to 5)\frac((-x^2+x+20)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x^2) -8x+15)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \lim_(x\to 5)\frac(-(x-5)(x+4)(\ sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3)(x-5)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)) )=\\ =\lim_(x\til 5)\frac(-(x+4)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3) (\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \frac(-(5+4)(\sqrt(5^2-3\cdot 5+6)+\sqrt(5) \cdot 5-9)))((5-3)(\sqrt(5+4)+\sqrt(5^2-16)))=-6. $$

Svar: $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9) ))=-6$.

I neste (andre) del skal vi ta for oss et par flere eksempler der det konjugerte uttrykket vil ha en annen form enn i de tidligere oppgavene. Det viktigste å huske er at hensikten med å bruke et konjugert uttrykk er å kvitte seg med irrasjonaliteten som forårsaker usikkerhet.

Når man studerer transformasjonene til et irrasjonelt uttrykk, er spørsmålet om hvordan man kan bli kvitt irrasjonalitet i nevneren til en brøk veldig viktig. Hensikten med denne artikkelen er å forklare denne handlingen med spesifikke oppgaveeksempler. I det første avsnittet vil vi vurdere de grunnleggende reglene for denne transformasjonen, og i det andre - karakteristiske eksempler med detaljerte forklaringer.

Begrepet frigjøring fra irrasjonalitet i nevneren

La oss starte med en forklaring på hva meningen med en slik transformasjon generelt er. For dette minner vi om følgende bestemmelser.

Vi kan snakke om irrasjonalitet i nevneren til en brøk hvis det er en radikal tilstede der, som også er rotens tegn. Tall skrevet med dette tegnet er ofte irrasjonelle. Eksempler vil være 1 2 , - 2 x + 3 , x + y x - 2 · x · y + 1 , 11 7 - 5 . Brøker med irrasjonelle nevnere inkluderer også de som har røtter av forskjellige grader der (kvadrat, kubikk, etc.), for eksempel 3 4 3, 1 x + x y 4 + y. Å bli kvitt irrasjonalitet bør være å forenkle uttrykket og lette videre beregninger. La oss formulere hoveddefinisjonen:

Definisjon 1

Bli kvitt irrasjonalitet i nevneren til en brøk- betyr å transformere den, erstatte den med en identisk lik brøk, hvis nevner ikke inneholder røtter og grader.

En slik handling kan kalles frigjøring eller å kvitte seg med irrasjonalitet, mens meningen forblir den samme. Dermed vil overgangen fra 1 2 til 2 2, dvs. til en brøk med lik verdi uten rottegn i nevneren og vil være handlingen vi trenger. La oss gi et annet eksempel: vi har en brøk x x - y . La oss utføre de nødvendige transformasjonene og få brøken x · x + y x - y som er identisk lik den, og frigjøre oss fra irrasjonalitet i nevneren.

Etter å ha formulert definisjonen, kan vi fortsette direkte til studiet av sekvensen av handlinger som må utføres for en slik transformasjon.

Grunnleggende trinn for å bli kvitt irrasjonalitet i nevneren til en brøk

For å bli kvitt røttene, må du utføre to påfølgende brøktransformasjoner: multipliser begge deler av brøken med et annet tall enn null, og transformer deretter uttrykket oppnådd i nevneren. La oss vurdere hovedsakene.

I det enkleste tilfellet kan du klare deg med transformasjonen av nevneren. For eksempel kan vi ta en brøk med en nevner lik roten av 9. Etter å ha regnet ut 9, skriver vi 3 i nevneren og blir dermed kvitt irrasjonalitet.

Men mye oftere må du forhåndsmultiplisere telleren og nevneren med et tall som da lar deg bringe nevneren til ønsket form (uten røtter). Så hvis vi multipliserer 1 x + 1 med x + 1 , får vi brøken x + 1 x + 1 x + 1 og vi kan erstatte uttrykket i nevneren med x + 1 . Så vi konverterte 1 x + 1 til x + 1 x + 1, og ble kvitt irrasjonaliteten.

Noen ganger er transformasjonene som skal utføres ganske spesifikke. La oss se på noen få illustrative eksempler.

Hvordan konvertere et uttrykk til nevneren av en brøk

Som vi sa, den enkleste tingen å gjøre er å konvertere nevneren.

Eksempel 1

Betingelse: frigjør brøken 1 2 18 + 50 fra irrasjonalitet i nevneren.

Løsning

Til å begynne med, la oss åpne parentesene og få uttrykket 1 2 18 + 2 50 . Ved å bruke de grunnleggende egenskapene til røttene, la oss gå videre til uttrykket 1 2 · 18 + 2 · 50 . Vi beregner verdiene til begge uttrykkene under røttene og får 1 36 + 100 . Her kan du allerede trekke ut røttene. Som et resultat fikk vi en brøk 1 6 + 10, lik 1 16. Dette fullfører transformasjonen.

Vi skriver ned forløpet av hele løsningen uten kommentarer:

1 2 18 + 50 = 1 2 18 + 2 50 = = 1 2 18 + 2 50 = 1 36 + 100 = 1 6 + 10 = 1 16

Svar: 1 2 18 + 50 = 1 16 .

Eksempel 2

Betingelse: gitt en brøk 7 - x (x + 1) 2 . Bli kvitt irrasjonaliteten i nevneren.

Løsning

Tidligere i artikkelen om transformasjoner av irrasjonelle uttrykk ved bruk av egenskapene til røtter, nevnte vi at for enhver A og til og med n kan vi erstatte uttrykket A n n med | A | på hele spekteret av tillatte verdier av variabler. Derfor, i vårt tilfelle, kan vi skrive det slik: 7 - x x + 1 2 = 7 - x x + 1. På denne måten frigjorde vi oss fra irrasjonaliteten i nevneren.

Svar: 7 - x x + 1 2 = 7 - x x + 1.

Bli kvitt irrasjonalitet ved å multiplisere med roten

Hvis nevneren til brøken inneholder et uttrykk av formen A og uttrykket A i seg selv ikke har rottegn, kan vi kvitte oss med irrasjonalitet ved ganske enkelt å multiplisere begge deler av den opprinnelige brøken med A. Muligheten for denne handlingen bestemmes av det faktum at A i området med gyldige verdier ikke blir til 0 . Etter multiplikasjon vil nevneren inneholde et uttrykk på formen A · A, som er lett å kvitte seg med røttene: A · A \u003d A 2 \u003d A. La oss se hvordan du bruker denne metoden i praksis.

Eksempel 3

Betingelse: brøker x 3 og - 1 x 2 + y - 4 er gitt. Bli kvitt irrasjonaliteten i nevnerne deres.

Løsning

La oss multiplisere den første brøken med den andre roten av 3. Vi får følgende:

x 3 = x 3 3 3 = x 3 3 2 = x 3 3

I det andre tilfellet må vi multiplisere med x 2 + y - 4 og transformere det resulterende uttrykket i nevneren:

1 x 2 + y - 4 = - 1 x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 = = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 2 = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4

Svar: x 3 = x 3 3 og - 1 x 2 + y - 4 = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 .

Hvis nevneren til den opprinnelige brøken inneholder uttrykk av formen A n m eller A m n (forutsatt at m og n er naturlige), må vi velge en faktor slik at det resulterende uttrykket kan konverteres til A n n k eller A n k n (hvis k er naturlig). Etter det vil det ikke være vanskelig å bli kvitt irrasjonalitet. La oss ta et eksempel.

Eksempel 4

Betingelse: gitte brøker 7 6 3 5 og x x 2 + 1 4 15 . Bli kvitt irrasjonaliteten i nevnerne.

Løsning

Vi må ta et naturlig tall som kan deles på fem, mens det må være større enn tre. For å gjøre eksponenten 6 lik 5, må vi gange med 6 2 5. Derfor må vi multiplisere begge deler av den opprinnelige brøken med 6 2 5:

7 6 3 5 = 7 6 2 5 6 3 5 6 2 5 = 7 6 2 5 6 3 5 6 2 = 7 6 2 5 6 5 5 = = 7 6 2 5 6 = 7 36 5 6

I det andre tilfellet trenger vi et tall større enn 15, som kan deles på 4 uten en rest. Vi tar 16. For å få en slik eksponent i nevneren må vi ta x 2 + 1 4 som en faktor. La oss presisere at verdien av dette uttrykket ikke vil være 0 i alle fall. Vi beregner:

x x 2 + 1 4 15 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 15 x 2 + 1 4 = = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 16 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 4 4 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4

Svar: 7 6 3 5 = 7 36 5 6 og x x 2 + 1 4 15 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 .

Bli kvitt irrasjonalitet ved å multiplisere med et adjunkt uttrykk

Følgende metode er egnet for de tilfellene når nevneren til den opprinnelige brøken inneholder uttrykkene a + b, a - b, a + b, a - b, a + b, a - b. I slike tilfeller må vi ta det tilstøtende uttrykket som en faktor. La oss forklare betydningen av dette konseptet.

For det første uttrykket a + b vil konjugatet være a - b, for det andre a - b - a + b. For a + b - a - b, for a - b - a + b, for a + b - a - b, og for a - b - a + b. Med andre ord, et konjugert uttrykk er et uttrykk der det motsatte tegnet står foran det andre leddet.

La oss ta en titt på nøyaktig hva denne metoden er. La oss si at vi har et produkt av formen a - b · a + b . Den kan erstattes av kvadratforskjellen a - b · a + b = a 2 - b 2 , hvoretter vi går over til uttrykket a − b uten radikaler. Dermed ble vi kvitt irrasjonaliteten i nevneren til brøken ved å multiplisere med det konjugerte uttrykket. La oss ta et par illustrerende eksempler.

Eksempel 5

Betingelse: bli kvitt irrasjonaliteten i uttrykkene 3 7 - 3 og x - 5 - 2 .

Løsning

I det første tilfellet tar vi det konjugerte uttrykket lik 7 + 3. Nå multipliserer vi begge deler av den opprinnelige brøken med den:

3 7 - 3 = 3 7 + 3 7 - 3 7 + 3 = 3 7 + 3 7 2 - 3 2 = = 3 7 + 3 7 - 9 = 3 7 + 3 - 2 = - 3 7 + 3 2

I det andre tilfellet trenger vi uttrykket - 5 + 2 , som er konjugatet til uttrykket - 5 - 2 . Multipliser telleren og nevneren med det og få:

x - 5 - 2 = x - 5 + 2 - 5 - 2 - 5 + 2 = = x - 5 + 2 - 5 2 - 2 2 = x - 5 + 2 5 - 2 = x 2 - 5 3

Det er også mulig å utføre en transformasjon før multiplikasjon: hvis vi fjerner minus fra nevneren først, vil det være mer praktisk å telle:

x - 5 - 2 = - x 5 + 2 = - x 5 - 2 5 + 2 5 - 2 = = - x 5 - 2 5 2 - 2 2 = - x 5 - 2 5 - 2 = - x 5 - 2 3 = = x 2 - 5 3

Svar: 3 7 - 3 = - 3 7 + 3 2 og x - 5 - 2 = x 2 - 5 3 .

Det er viktig å ta hensyn til det faktum at uttrykket oppnådd som et resultat av multiplikasjon ikke blir til 0 for noen variabler fra rekkevidden av gyldige verdier for dette uttrykket.

Eksempel 6

Betingelse: gitt en brøk x x + 4. Transformer det slik at det ikke er noen irrasjonelle uttrykk i nevneren.

Løsning

La oss starte med å finne rekkevidden av gyldige verdier for x . Den er definert av betingelsene x ≥ 0 og x + 4 ≠ 0 . Fra dem kan vi konkludere med at det ønskede området er et sett x ≥ 0 .

Konjugatet av nevneren er x-4. Når kan vi utføre multiplikasjon på det? Bare hvis x-4 ≠ 0. På området for akseptable verdier vil dette tilsvare betingelsen x≠16. Som et resultat vil vi få følgende:

x x + 4 = x x - 4 x + 4 x - 4 = = x x - 4 x 2 - 4 2 = x x - 4 x - 16

Hvis x er lik 16, får vi:

x x + 4 = 16 16 + 4 = 16 4 + 4 = 2

Derfor er x x + 4 = x · x - 4 x - 16 for alle verdier av x som tilhører utvalget av gyldige verdier, bortsett fra 16 . For x = 16 får vi x x + 4 = 2 .

Svar: x x + 4 = x x - 4 x - 16 , x ∈ [ 0 , 16) ∪ (16 , + ∞) 2 , x = 16 .

Konvertere brøker med irrasjonalitet i nevneren ved å bruke formlene for summen og differansen av terninger

I forrige avsnitt utførte vi multiplikasjon med konjugerte uttrykk for deretter å bruke formelen for forskjellen på kvadrater. Noen ganger, for å bli kvitt irrasjonalitet i nevneren, er det nyttig å bruke andre forkortede multiplikasjonsformler, for eksempel forskjellen på terninger a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + a b + b 2). Denne formelen er praktisk å bruke hvis nevneren til den opprinnelige brøken inneholder uttrykk med tredjegradsrøtter av formen A 3 - B 3 , A 3 2 + A 3 · B 3 + B 3 2 . etc. For å bruke det, må vi multiplisere nevneren til brøken med det ufullstendige kvadratet av summen A 3 2 + A 3 · B 3 + B 3 2 eller forskjellen A 3 - B 3 . På samme måte kan du bruke sumformelen a 3 + b 3 \u003d (a) (a 2 - a b + b 2).

Eksempel 7

Betingelse: transformer brøkene 1 7 3 - 2 3 og 3 4 - 2 · x 3 + x 2 3 for å bli kvitt irrasjonaliteten i nevneren.

Løsning

For den første brøken må vi bruke metoden for å multiplisere begge deler med det ufullstendige kvadratet av summen av 7 3 og 2 3, for da kan vi utføre transformasjonen ved å bruke kubeforskjellsformelen:

1 7 3 - 2 3 = 1 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 7 3 - 2 3 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 = = 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 7 3 3 - 2 3 3 = 7 2 3 + 7 2 3 + 2 2 3 7 - 2 = = 49 3 + 14 3 + 4 3 5

I den andre brøken representerer vi nevneren som 2 2 - 2 · x 3 + x 3 2. I dette uttrykket er det ufullstendige kvadratet av forskjellen 2 og x 3 synlig, noe som betyr at vi kan gange begge deler av brøken med summen 2 + x 3 og bruke formelen for summen av terninger. For dette må betingelsen 2 + x 3 ≠ 0 være oppfylt, som tilsvarer x 3 ≠ - 2 og x ≠ - 8:

3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 3 2 2 - 2 x 3 + x 3 2 = = 3 2 + x 3 2 2 - 2 x 3 + x 3 2 2 + x 3 = 6 + 3 x 3 2 3 + x 3 3 = = 6 + 3 x 3 8 + x

Bytt inn i en brøk - 8 og finn verdien:

3 4 - 2 8 3 + 8 2 3 = 3 4 - 2 2 + 4 = 3 4

La oss oppsummere. For alle x inkludert i området til den opprinnelige brøken (sett R), med unntak av - 8 , får vi 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 6 + 3 x 3 8 + x . Hvis x = 8, så er 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 3 4.

Svar: 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 \u003d 6 + 3 x 3 8 + x, x ≠ 8 3 4, x \u003d - 8.

Konsekvent bruk av ulike transformasjonsmetoder

Ofte er det i praksis mer komplekse eksempler når vi ikke kan kvitte oss med irrasjonaliteten i nevneren med kun én metode. For dem må du sekvensielt utføre flere transformasjoner eller velge ikke-standardløsninger. La oss ta et slikt problem.

Eksempel N

Betingelse: konverter 5 7 4 - 2 4 for å bli kvitt rottegnene i nevneren.

Løsning

La oss multiplisere begge deler av den opprinnelige brøken med det konjugerte uttrykket 7 4 + 2 4 med en verdi som ikke er null. Vi får følgende:

5 7 4 - 2 4 = 5 7 4 + 2 4 7 4 - 2 4 7 4 + 2 4 = = 5 7 4 + 2 4 7 4 2 - 2 4 2 = 5 7 4 + 2 4 7 - 2

Og nå bruker vi samme metode igjen:

5 7 4 + 2 4 7 - 2 = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 7 - 2 7 + 2 = = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 7 2 - 2 2 = 5 7 4 + 7 4 7 + 2 7 - 2 = = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 5 = 7 4 + 2 4 7 + 2

Svar: 5 7 4 - 2 4 = 7 4 + 2 4 7 + 2.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter