Rasjonaliseringsmetoden lar deg flytte fra ulikheter som inneholder kompleks eksponentiell, logaritmisk, etc. uttrykk, til dets tilsvarende enklere rasjonelle ulikhet.

Derfor, før vi begynner å snakke om rasjonalisering i ulikheter, la oss snakke om ekvivalens.

Ekvivalens

Tilsvarende eller tilsvarende kalles ligninger (ulikheter) hvis sett med røtter faller sammen. Ligninger (ulikheter) som ikke har røtter regnes også som likeverdige.

Eksempel 1. Ligningene og er ekvivalente fordi de har samme røtter.

Eksempel 2. Ligningene og er også ekvivalente, siden løsningen til hver av dem er den tomme mengden.

Eksempel 3. Ulikhetene og er likeverdige, siden løsningen på begge er settet .

Eksempel 4. og – er ulik. Løsningen til den andre ligningen er bare 4, og løsningen til den første er både 4 og 2.

Eksempel 5. Ulikhet er ekvivalent med ulikhet, siden løsningen i begge ulikhetene er 6.

Det vil si at i utseende kan ekvivalente ulikheter (ligninger) være veldig langt fra like.

Faktisk, når vi løser komplekse, lange ligninger (ulikheter), som denne, og får svaret, er det vi har i våre hender ikke noe mer enn en ligning (ulikhet) som tilsvarer den opprinnelige. Utseendet er annerledes, men essensen er den samme!

Eksempel 6. La oss huske hvordan vi løste ulikhet før du blir kjent med intervallmetoden. Vi erstattet den opprinnelige ulikheten med et sett med to systemer:

Det vil si at ulikhet og det siste aggregatet er likeverdige med hverandre.

Det kunne vi også ha i våre hender

erstatte det med ulikhet, som kan løses på kort tid med intervallmetoden.

Vi har kommet nær metoden for rasjonalisering i logaritmiske ulikheter.

Rasjonaliseringsmetode i logaritmiske ulikheter

La oss vurdere ulikhet.

Vi representerer 4 som en logaritme:

Vi har å gjøre med en variabel basis av logaritmen, derfor, avhengig av om basen til logaritmen er større enn 1 eller mindre enn 1 (det vil si at vi har å gjøre med en økende eller avtagende funksjon), vil ulikhetstegnet forbli samme eller endre til "". Derfor oppstår en kombinasjon (union) av to systemer:

Men, OBS, dette systemet må avgjøres under hensyntagen til DL! Jeg har bevisst ikke lastet inn ODZ-systemet slik at hovedideen ikke skulle gå seg vill.

Se, nå vil vi omskrive systemet vårt slik (vi vil flytte alt i hver linje av ulikheten til venstre):

Minner dette deg om noe? I analogi med eksempel 6 Vi vil erstatte dette settet med systemer med følgende ulikhet:

Etter å ha løst denne ulikheten på ODZ, får vi en løsning på ulikheten.

La oss først finne ODZ for den opprinnelige ulikheten:

La oss nå bestemme

Løsning av den siste ulikheten tar hensyn til ODZ:

Så her er det, denne "magiske" tabellen:

Merk at bordet fungerer under betingelsen

hvor er funksjonene til,

– funksjon eller tall,

- et av skiltene

Merk også at den andre og tredje linjen i tabellen er konsekvenser av den første. I den andre linjen er 1 representert først som , og i den tredje linjen er 0 representert som .

Og et par nyttige konsekvenser til (jeg håper det er lett for deg å forstå hvor de kommer fra):

hvor er funksjonene til,

– funksjon eller tall,

- et av skiltene

Metode for rasjonalisering i eksponentielle ulikheter

La oss løse ulikheten.

Å løse den opprinnelige ulikheten tilsvarer å løse ulikheten

Svar: .

Tabell for rasjonalisering i eksponentielle ulikheter:

– funksjoner til , – funksjon eller tall, – ett av tegnene Tabellen fungerer under betingelsen . Også i tredje, fjerde linje – i tillegg –

Igjen, i hovedsak må du huske den første og tredje linjen i tabellen. Den andre linjen er et spesialtilfelle av den første, og den fjerde linjen er et spesialtilfelle av den tredje.

Rasjonaliseringsmetode i ulikheter som inneholder en modul

Når du arbeider med ulikheter av typen , hvor funksjoner av en eller annen variabel er, kan vi bli veiledet av følgende ekvivalente overganger:

La oss løse ulikheten."

EN Her Jeg foreslår også vurdere flere eksempler om emnet "rasjonalisering av ulikheter."

Seksjoner: Matematikk

Ofte, når man løser logaritmiske ulikheter, er det problemer med en variabel logaritmebase. Dermed en ulikhet i formen

er en standard skoleulikhet. Som regel, for å løse det, brukes en overgang til et ekvivalent sett med systemer:

Ulempen med denne metoden er behovet for å løse syv ulikheter, uten å telle to systemer og en populasjon. Allerede med disse kvadratiske funksjonene kan det ta mye tid å løse populasjonen.

Det er mulig å foreslå en alternativ, mindre tidkrevende måte å løse denne standardulikheten på. For å gjøre dette tar vi hensyn til følgende teorem.

Teorem 1. La det være en kontinuerlig økende funksjon på en mengde X. Da vil fortegnet for inkrementet til funksjonen på dette settet falle sammen med fortegnet for inkrementet til argumentet, d.v.s. , Hvor .

Merk: hvis en kontinuerlig synkende funksjon på et sett X, så .

La oss gå tilbake til ulikhet. La oss gå videre til desimallogaritmen (du kan gå videre til hvilken som helst med en konstant base større enn én).

Nå kan du bruke teoremet, og legge merke til økningen av funksjoner i telleren og i nevneren. Så det er sant

Som et resultat er antallet beregninger som fører til svaret omtrent halvert, noe som sparer ikke bare tid, men lar deg også potensielt gjøre færre aritmetiske og uforsiktige feil.

Eksempel 1.

Sammenligning med (1) finner vi , , .

Går vi videre til (2) vil vi ha:

Eksempel 2.

Sammenligner vi med (1) finner vi , , .

Går vi videre til (2) vil vi ha:

Eksempel 3.

Siden venstre side av ulikheten er en økende funksjon som og , da vil svaret være mange.

De mange eksemplene der tema 1 kan brukes, kan enkelt utvides ved å ta hensyn til tema 2.

La på settet X funksjonene , , , er definert, og på dette settet er fortegnene og sammenfallende, dvs. , da blir det rettferdig.

Eksempel 4.

Eksempel 5.

Med standardtilnærmingen løses eksemplet i henhold til følgende skjema: produktet er mindre enn null når faktorene har forskjellige fortegn. De. et sett med to systemer av ulikheter er vurdert, der, som angitt i begynnelsen, hver ulikhet brytes ned i syv flere.

Hvis vi tar hensyn til teorem 2, kan hver av faktorene, tatt i betraktning (2), erstattes av en annen funksjon som har samme fortegn i dette eksemplet O.D.Z.

Metoden for å erstatte økningen av en funksjon med en økning av argumentet, tatt i betraktning teorem 2, viser seg å være veldig praktisk når du løser standard C3 Unified State Examination-problemer.

Eksempel 6.

Eksempel 7.

. La oss betegne . Vi får

. Merk at erstatningen innebærer: . Tilbake til ligningen, får vi .

Eksempel 8.

I teoremene vi bruker er det ingen begrensninger på klasser av funksjoner. I denne artikkelen, som et eksempel, ble teoremene brukt for å løse logaritmiske ulikheter. Følgende flere eksempler vil demonstrere løftet om metoden for å løse andre typer ulikheter.

Kommunal autonom utdanningsinstitusjon "Yarkovskaya Secondary School"

Pedagogisk prosjekt

Løse logaritmiske ulikheter ved hjelp av rasjonaliseringsmetoden

MAOU "Yarkovskaya Secondary School"

Shanskikh Daria

Leder: matematikklærer

MAOU "Yarkovskaya Secondary School"

Yarkovo 2013

1) Introduksjon……………………………………………………………….2

2) Hoveddel………………………………………………………………………………………..3

3) Konklusjon………………………………………………………………..9

4) Liste over referanser………………….10

5) Søknader…………………………………………………………………………11-12

1. Introduksjon

Ofte, når du løser BRUK-oppgaver fra del "C", og spesielt i oppgave C3, møter du ulikheter som inneholder logaritmiske uttrykk med en ukjent i basen av logaritmen. For eksempel, her er en standard ulikhet:

Som regel brukes den klassiske metoden for å løse slike problemer, det vil si at en overgang til et ekvivalent sett med systemer brukes

Med standardtilnærmingen løses eksemplet i henhold til følgende skjema: produktet er mindre enn null når faktorene har forskjellige fortegn. Det vil si at et sett med to ulikheter vurderes, der hver ulikhet er delt inn i syv til. Derfor kan vi foreslå en mindre tidkrevende metode for å løse denne standardulikheten. Dette er en rasjonaliseringsmetode kjent i matematisk litteratur som dekomponering.

Når jeg fullførte prosjektet satte jeg meg følgende mål :

1) Mestre denne beslutningsteknikken

2) Øve på å løse ferdigheter på oppgave C3 fra opplæring og diagnosearbeid i 2013.

Prosjektmåler å studere det teoretiske grunnlaget for rasjonaliseringsmetoden.

RelevansArbeidet ligger i det faktum at denne metoden lar deg løse logaritmiske ulikheter i del C3 av Unified State Exam i matematikk.

2. Hoveddel

Tenk på en logaritmisk ulikhet i formen

font-size:14.0pt; line-height:150%">, (1)

hvor font-size:14.0pt;line-height:150%"> Standardmetoden for å løse en slik ulikhet innebærer å analysere to tilfeller i rekkevidden av akseptable verdier av ulikheten.

I det første tilfellet, når basisene til logaritmene tilfredsstiller betingelsen

font-size:14.0pt; line-height:150%">, tegnes ulikhetstegnet: font-size:14.0pt;line-height:150%">I det andre tilfellet , når basen tilfredsstiller betingelsen, ulikhetstegnet er bevart: .

Ved første øyekast er alt logisk, la oss vurdere to tilfeller og deretter kombinere svarene. Riktignok oppstår et visst ubehag når du vurderer det andre tilfellet - du må gjenta 90 prosent av beregningene fra det første tilfellet (transformere, finne røttene til hjelpeligninger, bestemme intervallene for monotonisitet av tegnet). Et naturlig spørsmål dukker opp: er det mulig å kombinere alt dette på en eller annen måte?

Svaret på dette spørsmålet finnes i følgende teorem.

Teorem 1. Logaritmisk ulikhet

font-size:14.0pt;line-height:150%">tilsvarer følgende system av ulikheter :

font-size:14.0pt; line-height:150%"> (2)

Bevis.

1. La oss starte med det faktum at de fire første ulikhetene i systemet (2) definerer settet med tillatte verdier for den opprinnelige logaritmiske ulikheten. La oss nå rette oppmerksomheten mot den femte ulikheten. Hvis font-size:14.0pt; line-height:150%"> vil den første faktoren for denne ulikheten være negativ. Når du reduserer med det, må du endre ulikhetstegnet til det motsatte, da får du ulikheten .

Hvis , Det den første faktoren til den femte ulikheten er positiv, vi kansellerer den uten å endre tegnet på ulikheten, vi får ulikheten font-size:14.0pt;line-height: 150%"> Dermed inkluderer den femte ulikheten i systemet begge tilfellene av den forrige metoden.

Temaet er bevist.

Grunnleggende bestemmelser i teorien om rasjonaliseringsmetoden.

Rasjonaliseringsmetoden er å erstatte et komplekst uttrykk F(x ) til et enklere uttrykk G(x ), hvor ulikheten G(x )NO-US" style="font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:Calibri">F(x )0 i uttrykksdefinisjonsområdet F(x).

La oss fremheve noen uttrykk F og deres tilsvarende rasjonaliserende uttrykk G, hvor u, v, , p, q - uttrykk med to variabler ( u > 0; u ≠ 1; v > 0, > 0), en - fast nummer (en > 0, en ≠ 1).

Bevis

1. La logav - logaφ > 0, det er logav > logaφ, og a > 0, a ≠ 1, v > 0,

φ > 0.

Hvis 0< en < 1, то по свойству убывающей логарифмической функции имеем v < φ . Det betyr at ulikhetssystemet holder

en -1<0

v – φ < 0

Hvorfra følger ulikheten (en – 1)( v – φ ) > 0 sant i uttrykkets domeneF = logav - logaφ.

Hvis en > 1, At v > φ . Derfor er det en ulikhet ( en – 1)( v – φ )> 0. Omvendt, hvis ulikheten holder ( en – 1)( v – φ )> 0 på området for akseptable verdier ( en > 0, en ≠ 1, v> 0, φ > 0),så i denne regionen tilsvarer det kombinasjonen av to systemer.

en – 1<0 en – 1 > 0

v – φ < 0 v – φ > 0

Ethvert system innebærer ulikhetlogav > logaφ, det er logav - logaφ > 0.

På samme måte vurderer vi ulikhetene F< 0, F ≤ 0, F ≥ 0.

2. La noen tall EN> 0 og EN≠ 1, så har vi

logu v- loguφ = NO-US" style="font-size:14.0pt;line-height:150%">v - 1)( u- 1)(φ –u).

4.Fra ulikhet uv- uφ > 0 bør uv > uφ. La tallet a > 1, daloga uv > logauφ eller

( u – φ) loga u > 0.

Ta derfor hensyn til erstatning 1b og tilstandenen > 1 vi får

( v – φ)( en – 1)( u – 1) > 0, ( v – φ)( u – 1) > 0. På samme måte er ulikhetene bevist F< 0,

F ≤ 0, F ≥ 0.

5. Beviset ligner på Proof 4.

6. Beviset for substitusjon 6 følger av ekvivalensen av ulikhetene | p | > | q | og p 2 > q 2

(|p|< | q | и p 2 < q 2 ).

La oss sammenligne volumet av løsninger med ulikheter som inneholder en variabel i basen av logaritmen ved å bruke den klassiske metoden og rasjonaliseringsmetoden

3. Konklusjon

Jeg tror at de målene jeg satte meg når jeg fullførte arbeidet er nådd. Prosjektet er av praktisk betydning, siden metoden som er foreslått i arbeidet kan forenkle løsningen av logaritmiske ulikheter betydelig. Som et resultat reduseres antallet beregninger som fører til svaret med omtrent halvparten, noe som sparer ikke bare tid, men lar deg også potensielt gjøre færre aritmetiske og uforsiktige feil. Når jeg løser C3-problemer, bruker jeg denne metoden.

4. Liste over brukt litteratur

1. , – Metoder for å løse ulikheter med én variabel. – 2011.

2. – Matematikkmanual. – 1972.

3. - Matematikk for søkere. Moskva: MTsNMO, 2008.

Ezhova Elena Sergeevna
Jobbtittel: matematikklærer
Utdanningsinstitusjon: Kommunal utdanningsinstitusjon "Videregående skole nr. 77"
Lokalitet: Saratov
Navn på materiale: metodisk utvikling
Emne: Rasjonaliseringsmetode for å løse ulikheter som forberedelse til Unified State Exam"
Publiseringsdato: 16.05.2018
Kapittel: fullføre utdanning

Den samme ulikheten kan åpenbart løses på flere måter. Vellykket

på den valgte måten eller, som vi pleide å si, på en rasjonell måte, evt

ulikhet vil bli løst raskt og enkelt, løsningen vil være vakker og interessant.

Jeg vil gjerne vurdere nærmere den såkalte rasjonaliseringsmetoden når

løse logaritmiske og eksponentielle ulikheter, samt ulikheter som inneholder

variabel under modultegnet.

Hovedideen til metoden.

Metoden for å erstatte faktorer løser ulikheter som kan reduseres til formen

Hvor er symbolet "

" betegner ett av fire mulige ulikhetstegn:

Når vi løser ulikhet (1), er vi kun interessert i tegnet til en hvilken som helst faktor i telleren

eller nevner, og ikke dens absolutte verdi. Derfor, hvis vi av en eller annen grunn

det er upraktisk å jobbe med denne multiplikatoren, vi kan erstatte den med en annen

sammenfallende i tegn med det i domenet for definisjon av ulikhet og har i dette domenet

de samme røttene.

Dette bestemmer hovedideen til multiplikatorerstatningsmetoden. Det er viktig å registrere det

det faktum at utskifting av faktorer bare utføres under forutsetning av å bringe ulikheten

å danne (1), det vil si når det er nødvendig å sammenligne produktet med null.

Hoveddelen av utskiftingen skyldes følgende to likeverdige utsagn.

Utsagn 1. Funksjonen f(x) øker strengt tatt hvis og bare hvis for

noen t-verdier

) sammenfaller med

tegn med differansen (f(t

)), det vil si f<=>(t

(↔ betyr tegn tilfeldighet)

Utsagn 2. Funksjonen f(x) er strengt avtagende hvis og bare hvis for

noen t-verdier

fra definisjonsdomenet til funksjonsforskjellen (t

) sammenfaller med

tegn med differansen (f(t

)), det vil si f ↓<=>(t

Begrunnelsen for disse uttalelsene følger direkte av definisjonen av strengt

monoton funksjon. I følge disse uttalelsene kan det fastslås at

Forskjellen i grader for samme base sammenfaller alltid i fortegn med

produktet av forskjellen mellom indeksene til disse maktene og basens avvik fra enhet,

Forskjellen mellom logaritmer til samme grunntall faller alltid sammen i fortegn med

produktet av forskjellen mellom tallene til disse logaritmene og avviket til basen fra enhet, da

Det faktum at forskjellen på ikke-negative mengder sammenfaller i fortegn med forskjellen

kvadrater av disse mengdene tillater følgende erstatninger:

Løs ulikheten

Løsning.

La oss gå videre til et tilsvarende system:

Fra den første ulikheten vi får

Den andre ulikheten gjelder for alle

Fra den tredje ulikheten får vi

Dermed er settet med løsninger på den opprinnelige ulikheten:

Løs ulikheten

Løsning.

La oss løse ulikheten:

SVAR: (−4; −3)

Løs ulikhet

La oss redusere ulikheten til en form der forskjellen i verdiene til logaritmikken

La oss erstatte forskjellen mellom verdiene til den logaritmiske funksjonen og forskjellen mellom verdiene til argumentet. I

telleren er en økende funksjon, og nevneren er avtagende, så ulikhetstegnet

vil endre seg til det motsatte. Det er viktig å ikke glemme å ta hensyn til definisjonsdomenet

logaritmisk funksjon, derfor er denne ulikheten ekvivalent med et system av ulikheter.

Tellerrøtter: 8; 8;

Rotnevner: 1

Løs ulikhet

La oss erstatte i telleren forskjellen mellom modulene til to funksjoner med forskjellen av deres kvadrater, og i

nevneren er forskjellen mellom verdiene til den logaritmiske funksjonen og forskjellen i argumentene.

Nevneren har en avtagende funksjon, som betyr at ulikhetstegnet vil endres til

motsatte.

I dette tilfellet er det nødvendig å ta hensyn til definisjonsdomenet til logaritmikken

La oss løse den første ulikheten ved å bruke intervallmetoden.

Tellerrøtter:

Nevnerrøtter:

Løs ulikhet

La oss erstatte forskjellen i verdiene til monotone funksjoner i telleren og nevneren med forskjellen

verdiene til argumentene, tatt i betraktning domenet for definisjon av funksjonene og arten av monotonisitet.

Tellerrøtter:

Nevnerrøtter:

De mest brukte erstatningene (unntatt O D Z).

a) Utskifting av konstante fortegnsfaktorer.

b) Erstatning av ikke-konstante multiplikatorer med modul.

c) Bytte ut faktorer med ukjent fortegn med eksponentielle og logaritmiske

uttrykkene.

Løsning. ODZ:

Erstatte multiplikatorer:

Vi har et system:

I denne ulikheten er det ikke lenger mulig å faktorisere

betraktes som forskjeller av ikke-negative størrelser, siden uttrykk 1

ODZ kan ta på seg både positive og negative verdier.

Vi har et system:

Erstatte multiplikatorer:

Vi har et system:

Erstatte multiplikatorer:

Vi har et system:

Erstatte multiplikatorer:

Vi har et system:

Som et resultat har vi: x

Rasjonaliseringsmetode(dekomponeringsmetode, multiplikatorerstatningsmetode, erstatningsmetode

funksjoner, tegnregel) består i å erstatte det komplekse uttrykket F(x) med et mer

enkelt uttrykk G(x), under hvilket ulikheten G(x)

0 er ekvivalent med ulikheten F (x

0 i definisjonsdomenet til uttrykket F(x).

Seksjoner: Matematikk

Praksisen med å sjekke eksamensoppgaver viser at den største vanskeligheten for skolebarn er å løse transcendentale ulikheter, spesielt logaritmiske ulikheter med variabel base. Derfor er leksjonsoppsummeringen som tilbys din oppmerksomhet en presentasjon av rasjonaliseringsmetoden (andre navn - dekomponeringsmetoden (Modenov V.P.), metoden for å erstatte faktorer (Golubev V.I.)), som lar deg redusere kompleks logaritmisk, eksponentiell, kombinert ulikheter til et system med enklere rasjonelle ulikheter Som regel er metoden for intervaller brukt på rasjonelle ulikheter godt forstått og praktisert når emnet "Løse logaritmiske ulikheter" studeres. Derfor oppfatter studentene med stor interesse og entusiasme de metodene som lar dem forenkle løsningen, gjøre den kortere og til slutt spare tid på Unified State Exam for å løse andre oppgaver.

Leksjonens mål:

• Pedagogisk: oppdatering av grunnleggende kunnskap ved løsning av logaritmiske ulikheter; innføring av en ny måte å løse ulikheter på; forbedre løsningsevnen
• Utviklingsmessig: utvikling av matematisk syn, matematisk tale, analytisk tenkning
• Pedagogisk: opplæring av nøyaktighet og selvkontroll.

UNDER KLASSENE

1. Organisatorisk øyeblikk. Hilsener. Sette leksjonsmål.

2. Forberedende stadium:

Løs ulikheter:

3. Sjekke lekser(nr. 11.81*a)

Når du løser ulikheten

Du måtte bruke følgende skjema for å løse logaritmiske ulikheter med en variabel base:

De. Vi må vurdere 2 tilfeller: basen er større enn 1 eller basen er mindre enn 1.

4. Forklaring av nytt materiale

Hvis du ser nøye på disse formlene, vil du legge merke til at tegnet på forskjellen g(x) – h(x) sammenfaller med tegnet til differanseloggen f(x) g(x) - Logg f(x) h(x) ved økende funksjon ( f(x) > 1, dvs. f(x) – 1 > 0) og er motsatt av tegnet til differanseloggen f(x) g(x) - Logg f(x) h(x) i tilfelle av en avtagende funksjon (0< f(x) < 1, т.е. f(x) – 1 < 0)

Følgelig kan dette settet reduseres til et system med rasjonelle ulikheter:

Dette er essensen av rasjonaliseringsmetoden - å erstatte det mer komplekse uttrykket A med et enklere uttrykk B, som er rasjonelt. I dette tilfellet vil ulikhet B V 0 være ekvivalent med ulikhet A V 0 på definisjonsdomenet for uttrykk A.

Eksempel 1. La oss omskrive ulikheten i form av et ekvivalent system av rasjonelle ulikheter.

Merk at betingelsene (1)–(4) er betingelser for definisjonsdomenet til ulikheten, som jeg anbefaler å finne i begynnelsen av løsningen.

Eksempel 2. Løs ulikhet ved å bruke rasjonaliseringsmetoden:

Definisjonsdomenet for ulikhet er spesifisert av betingelsene:

Vi får:

Det gjenstår å skrive ulikhet (5)

Tar hensyn til definisjonsdomenet

Svar: (3; 5)

5. Konsolidering av studert materiale

I. Skriv ulikheten som et system av rasjonelle ulikheter:

II. Presenter høyre side av ulikheten som en logaritme til ønsket base og gå til det ekvivalente systemet:

Læreren kaller til styret elevene som skrev ned systemene fra gruppe I og II, og inviterer en av de sterkeste elevene til å løse hjemmeulikhet (nr. 11.81 * a) ved hjelp av rasjonaliseringsmetoden.

6. Testarbeid

valg 1

Alternativ 2

1. Skriv ned et system med rasjonelle ulikheter for å løse ulikhetene:

2. Løs ulikhet ved hjelp av rasjonaliseringsmetoden

Karakterkriterier:

3-4 poeng - "tilfredsstillende";
5-6 poeng - "bra";
7 poeng – "utmerket".

7. Refleksjon

Svar på spørsmålet: hvilken av metodene du kjenner for å løse logaritmiske ulikheter med en variabel base vil tillate deg å bruke tiden mer effektivt under eksamen?

8. Lekser: nr. 11,80* (a,b), 11,81*(a,b), 11,84*(a,b) løse ved rasjonaliseringsmetode.

Bibliografi:

1. Algebra og begynnelsen av analyse: Lærebok. For 11. klasse. allmennutdanning Institusjoner /[S.M. Nikolsky, M.K. Potapov, N.N. Reshetnikov, A.V. Shevkin] – 5. utg. – M.: Education, OJSC “Moscow Textbooks”, 2006.
2. A.G. Koryanov, A.A. Prokofiev. Materialer til kurset "Forberede gode og fremragende studenter til Unified State Exam": forelesninger 1-4. – M.: Pedagogical University “First of September”, 2012.