Analytisk problem for bevegelse. Oppgaver for sirkulær bevegelse av punkt a på sirkelruten, hvis lengde

Fra punkt A på sirkelbanen, hvis lengde er 75 km, startet to biler samtidig i samme retning. Hastigheten til den første bilen er 89 km/t, hastigheten til den andre bilen er 59 km/t. Om hvor mange minutter etter start vil den første bilen være foran den andre med nøyaktig en runde?

Løsningen på problemet

Denne leksjonen viser hvordan, ved å bruke den fysiske formelen for å bestemme tiden i jevn bevegelse: lager en proporsjon for å bestemme tiden når en bil kjører forbi en annen i en sirkel. Når du løser problemet, er en klar sekvens av handlinger indikert for å løse slike problemer: vi introduserer en spesifikk betegnelse for det vi ønsker å finne, vi skriver ned tiden det tar for den ene og den andre bilen å overvinne et visst antall runder, gitt at denne tiden har samme verdi - setter vi likhetstegn mellom de resulterende likhetene. Løsningen er å finne en ukjent størrelse i en lineær ligning. For å få resultatene, husk å erstatte antall runder oppnådd i formelen for å bestemme tiden.

Løsningen av dette problemet anbefales for elever i 7. klasse når de studerer emnet "Matematisk språk. Matematisk modell "(Lineær ligning med en variabel"). Når du forbereder deg til OGE, anbefales leksjonen når du gjentar emnet "Matematisk språk. Matematisk modell".

Lagt ut 23.03.2018

En syklist forlot punkt A på sirkelbanen.

Etter 30 minutter var han ennå ikke kommet tilbake til punkt A, og en motorsyklist fulgte etter ham fra punkt A. 10 minutter etter avgang tok han igjen syklisten for første gang,

og 30 minutter senere innhentet ham for andre gang.

Finn hastigheten til motorsyklisten hvis lengden på banen er 30 km.

Gi svaret i km/t

matematisk problem

utdanning

svar

kommentar

Til favoritter

Svetl-ana02-02

23 timer siden

Hvis jeg forsto tilstanden rett, dro motorsyklisten en halvtime etter starten av syklistens start. I dette tilfellet ser løsningen slik ut.

En syklist kjører samme distanse på 40 minutter, og en motorsyklist på 10 minutter, så hastigheten til motorsyklisten er fire ganger så stor som syklisten.

Anta at en syklist beveger seg med en hastighet på x km/t, så er hastigheten til en motorsyklist 4x km/t. Før det andre møtet, (1/2 + 1/2 + 1/6) = 7/6 timer fra start av syklisten og (1/2 + 1/6) = 4/6 timer fra start av motorsyklisten vil passere. Ved tidspunktet for det andre møtet vil syklisten ha tilbakelagt (7x/6) km, og motorsyklisten - (16x/6) km, forbikjørt syklisten en runde, dvs. kjører 30 km mer. Vi får en ligning.

16x/6 - 7x/6 = 30, hvorfra

Så syklisten kjørte med en hastighet på 20 km/t, noe som betyr at motorsyklisten kjørte med en hastighet på (4*20) = 80 km/t.

Svar. Hastigheten til motorsyklisten er 80 km/t.

kommentar

Til favoritter

å takke

Vdtes-t

22 timer siden

Hvis løsningen er i km/t, må tiden uttrykkes i timer.

Betegn

v hastigheten til syklisten

m motorsyklist fart

Etter ½ time fra punkt A fulgte en motorsyklist etter syklisten. ⅙ timer etter avgang tok han igjen syklisten for første gang

vi skriver i form av en ligning veien gikk før det første møtet:

og ytterligere ½ time etter det tok motorsyklisten ham igjen for andre gang.

vi skriver i form av en ligning veien gikk til det andre møtet:

Vi løser et system med to ligninger:

v/2+v/6=m/6

m/2=30+v/2

Forenkle den første ligningen (ved å multiplisere begge sider med 6):

Bytt inn m i den andre ligningen:

hastigheten til syklisten er 20 km/t

Bestem hastigheten til motorsyklisten

Svar: Hastigheten til motorsyklisten er 80 km/t

Seksjoner: Matematikk

Type leksjon: iterativ-generaliserende leksjon.

Leksjonens mål:

pedagogisk

utvikle seg

pedagogisk

Leksjonsutstyr:

interaktivt bord;
konvolutter med oppgaver, tematiske kontrollkort, konsulentkort.

Leksjonsstruktur.

	De viktigste stadiene i leksjonen	Oppgaver som skal løses på dette stadiet
	Organisasjonsmoment, innledende del	skape en hyggelig atmosfære i klasserommet sette elevene i stand til produktivt arbeid identifisere savnet sjekke elevenes beredskap for timen
	Forberede studenter til aktivt arbeid (gjennomgang)	sjekk elevenes kunnskap om emnet: «Løse tekstproblemer av ulike typer for bevegelse» implementering av utvikling av tale og tenkning av responderende elever utvikling av analytisk og kritisk tenkning av elever gjennom å kommentere svarene til klassekameratene organisere læringsaktivitetene til hele klassen under responsen fra elevene som er kalt til styret
	Stadiet med generalisering og systematisering av det studerte materialet (arbeid i grupper)	å teste elevenes evne til å løse problemer med ulike typer bevegelser, å danne elevenes kunnskap reflektert i form av ideer og teorier, overgangen fra private ideer til bredere generaliseringer å utføre dannelsen av moralske relasjoner mellom studenter og deltakere i utdanningsprosessen (under gruppearbeid)
	Kontrollere ytelsen til arbeidet, justere (om nødvendig)	kontrollere utførelsen av data for grupper av oppgaver (deres korrekthet) fortsette å danne elevenes evne til å analysere, fremheve hovedsaken, bygge analogier, generalisere og systematisere utvikle evnen til å forhandle
	Oppsummering av leksjonen. Parsing av lekser	informere elevene om lekser, forklare metodikken for implementeringen motivere behovet og forpliktelsen til å gjøre lekser oppsummere leksjonen

Former for organisering av kognitiv aktivitet til studenter:

frontal form for kognitiv aktivitet - i stadier II, IY, Y.
gruppeform for kognitiv aktivitet - på stadium III.

Undervisningsmetoder: verbalt, visuelt, praktisk, forklarende - illustrerende, reproduktivt, delvis - søkende, analytisk, komparativt, generaliserende, traduktivt.

I løpet av timene

I. Organisasjonsmoment, innledende del.

Læreren kunngjør emnet for leksjonen, målene for leksjonen og hovedpunktene i leksjonen. Sjekker klassens beredskap til å jobbe.

II. Forberede studenter til aktivt arbeid (gjennomgang)

Svar på spørsmålene.

Hva slags bevegelse kalles uniform (bevegelse med konstant hastighet).
Hva er baneformelen for jevn bevegelse ( S=Vt).
Fra denne formelen, uttrykk hastigheten og tiden.
Angi måleenheter.

Konvertering av hastighetsenheter

III. Stadiet med generalisering og systematisering av det studerte materialet (arbeid i grupper)

Hele klassen er delt inn i grupper (5-6 personer i en gruppe). Det er ønskelig at det i samme gruppe er elever med ulike opplæringsnivåer. Blant dem utnevnes en gruppeleder (den sterkeste eleven), som skal lede arbeidet i gruppen.

Alle grupper får konvolutter med oppgaver (de er like for alle grupper), konsulentkort (for svake elever) og tematiske kontrollark. I arkene med tematisk kontroll tildeler gruppelederen karakterer til hver elev i gruppen for hver oppgave og noterer vanskene elevene har med å fullføre spesifikke oppgaver.

Kort med oppgaver for hver gruppe.

№ 5.

nr. 7. Motorbåten passerte 112 km mot strømmen av elven og returnerte til utgangspunktet, etter å ha brukt 6 timer mindre på tilbakeveien. Finn hastigheten på strømmen hvis hastigheten på båten i stille vann er 11 km/t. Gi svaret i km/t.

nr. 8. Motorskipet passerer langs elva til målet 513 km og går etter parkering tilbake til avgangspunktet. Finn farten til skipet i stille vann, hvis strømmens hastighet er 4 km/t varer oppholdet 8 timer, og skipet går tilbake til avgangspunktet 54 timer etter at det har forlatt det. Gi svaret i km/t.

Eksempel på tematisk kontrollkort.

Klasse ________ Fullt navn på eleven ___________________________________

Jobbnummer		Kommentar

Konsulentkort.

Kort nummer 1 (konsulent)

1. Kjøring på rett vei

Når du løser problemer med jevn bevegelse, oppstår ofte to situasjoner.

Hvis startavstanden mellom objektene er lik S, og hastighetene til objektene er V1 og V2, så:

a) når gjenstander beveger seg mot hverandre, er tiden de møter etter lik .

b) når objekter beveger seg i én retning, er tiden som det første objektet vil ta igjen det andre lik, ( V 2 > V 1)

Eksempel 1. Toget, etter å ha kjørt 450 km, ble stoppet på grunn av snødrev. En halvtime senere var banen ryddet, og sjåføren, etter å ha økt hastigheten på toget med 15 km/t, brakte det til stasjonen uten forsinkelser. Finn starthastigheten til toget hvis avstanden tilbakelagt av det til holdeplassen var 75 % av den totale avstanden.

Finn hele banen: 450: 0,75 = 600 (km)
La oss finne lengden på den andre delen: 600 - 450 = 150 (km)
La oss lage og løse ligningen:

X= -75 er ikke egnet for tilstanden til problemet, der x > 0.

Svar: Starthastigheten til toget er 60 km/t.

Kort nummer 2 (konsulent)

2. Kjøring på stengt vei

Hvis lengden på den stengte veien er S, og hastighetene til objekter V 1 og V 2, så:

a) når objekter beveger seg i forskjellige retninger, beregnes tiden mellom møtene ved hjelp av formelen ;
b) når objekter beveger seg i én retning, beregnes tiden mellom møtene ved hjelp av formelen

Eksempel 2 Ved konkurranser på ringbanen fullfører den ene skiløperen sirkelen 2 minutter raskere enn den andre og har etter en time forbigått ham nøyaktig på sirkelen. Hvor lang tid tar det hver skiløper å fullføre runden?

La S m er lengden på ringveien og x m/min og y m/min er hastighetene til henholdsvis første og andre skiløper ( x > y) .

Deretter S/x min og S/y min - tiden som henholdsvis første og andre skiløper passerer sirkelen. Fra den første betingelsen får vi ligningen. Siden hastigheten på fjerning av den første skiløperen fra den andre skiløperen er ( x- y) m/min, så har vi fra den andre betingelsen ligningen .

La oss løse ligningssystemet.

La oss gjøre en erstatning S/x=a Og S/y=b, så vil ligningssystemet ha formen:

. Multipliser begge sider av ligningen med 60 en(et + 2) > 0.

60(et + 2) – 60a = en(et + 2)en 2 + 2en- 120 = 0. Andregradsligningen har én positiv rot a = 10 da b= 12. Så den første skiløperen fullfører runden på 10 minutter, og den andre på 12 minutter.

Svar: 10 min; 12 min.

Kort nummer 3 (konsulent)

3. Bevegelse på elva

Hvis et objekt beveger seg langs elven, er hastigheten lik Vstream. =Voct. + Vtech.

Hvis et objekt beveger seg mot strømmen i elven, er hastigheten Vagainst strømmen =V okt. – Vtech. Objektets egen hastighet (hastighet i stille vann) er lik

Hastigheten på elven er

Flåtens hastighet er lik elvens hastighet.

Eksempel 3 Båten gikk nedstrøms i 50 km og kjørte deretter 36 km i motsatt retning, noe som tok ham 30 minutter lenger enn nedstrøms. Hva er hastigheten på båten hvis hastigheten på elva er 4 km/t?

La båtens egen fart være X km/t, da er hastigheten langs elven ( x + 4) km / t, og mot strømmen av elven ( x- 4) km/t. Tiden for båtens bevegelse langs elven er lik timer, og mot strømmen av elven, timer Siden 30 minutter = 1/2 time, vil vi, i henhold til problemets tilstand, komponere ligningen =. Multipliser begge sider av ligningen med 2( x + 4)(x- 4) >0 .

Vi får 72( x + 4) -100(x- 4) = (x + 4)(x- 4) x 2 + 28x- 704 \u003d 0 x 1 \u003d 16, x 2 \u003d - 44 (vi ekskluderer, siden x> 0).

Så båtens egen hastighet er 16 km/t.

Svar: 16 km/t.

IV. Problemløsningsstadiet.

Problemer som forårsaket vanskeligheter for elevene blir analysert.

nr. 1. Fra to byer, hvor avstanden mellom disse er lik 480 km, forlot to biler samtidig mot hverandre. Hvor mange timer vil bilene møtes hvis hastigheten er 75 km/t og 85 km/t?

75 + 85 = 160 (km/t) – lukkehastighet.
480: 160 = 3 (t).

Svar: bilene møtes om 3 timer.

nr. 2. Fra by A og B er avstanden mellom dem 330 km, to biler forlatt mot hverandre samtidig og møttes etter 3 timer i en avstand på 180 km fra by B. Finn hastigheten på bilen som venstre by A. Gi svaret i km/t.

(330 - 180): 3 = 50 (km/t)

Svar: Hastigheten til en bil som kjører fra by A er 50 km/t.

nr. 3. Fra punkt A til punkt B, hvor avstanden mellom disse er 50 km, forlot en bilist og en syklist samtidig. Det er kjent at en bilist kjører 65 km mer i timen enn en syklist. Bestem hastigheten til syklisten hvis det er kjent at han kom til punkt B 4 timer 20 minutter senere enn bilisten. Gi svaret i km/t.

La oss lage et bord.

La oss lage en ligning, gitt at 4 timer 20 minutter =

Det er åpenbart at x = -75 ikke passer til tilstanden til problemet.

Svar: Hastigheten til syklisten er 10 km/t.

nr. 4. To motorsyklister starter samtidig i én retning fra to diametralt motsatte punkter på en sirkelbane, hvis lengde er 14 km. Om hvor mange minutter vil motorsyklistene ta igjen for første gang hvis hastigheten til en av dem er 21 km/t høyere enn hastigheten til den andre?

La oss lage et bord.

La oss lage en ligning.

hvor 1/3 time = 20 minutter.

Svar: Etter 20 minutter stiller motorsyklistene for første gang.

nr. 5. Fra ett punkt på sirkelbanen, som har en lengde på 12 km, startet to biler samtidig i samme retning. Hastigheten på den første bilen er 101 km/t, og 20 minutter etter start var den en runde foran den andre bilen. Finn hastigheten til den andre bilen. Gi svaret i km/t.

La oss lage et bord.

La oss lage en ligning.

Svar: Hastigheten til den andre bilen er 65 km/t.

nr. 6. En syklist forlot punkt A på sirkelbanen, og etter 40 minutter satte en motorsyklist av gårde etter ham. 8 minutter etter avgang tok han igjen syklisten for første gang, og 36 minutter etter det tok han igjen for andre gang. Finn hastigheten til motorsyklisten hvis lengden på banen er 30 km. Gi svaret i km/t.

La oss lage et bord.

Bevegelse til første møte

syklist

nr. 9. Fra brygge A til brygge B, hvor avstanden mellom disse er 168 km, startet det første skipet med konstant hastighet, og 2 timer etter det, la det andre av gårde etter det, med en hastighet på 2 km / h mer. Finn hastigheten til det første skipet hvis begge skipene ankommer punkt B samtidig. Gi svaret i km/t.

La oss lage en tabell, basert på deres forhold, at hastigheten til det første skipet er x km/t.

La oss lage en ligning:

Multipliser begge sider av ligningen med x

Svar: hastigheten til det første skipet er lik elven 12 km/t

V. Oppsummering av leksjonen.

I løpet av oppsummeringen av leksjonen, igjen, bør elevene ta hensyn til prinsippene for å løse problemer med bevegelse. Når du gir lekser, gi en forklaring på de vanskeligste oppgavene.

Litteratur.

1) Artikkel : Mathematics of the Unified State Examination 2014 (et system med oppgaver fra en åpen oppgavebank) Koryanov A.G., Nadezhkina N.V. - publisert på nettsiden

Seksjoner: Matematikk

Artikkelen diskuterer oppgaver for å hjelpe elever: å utvikle ferdighetene til å løse tekstproblemer som forberedelse til Unified State Examination, når de lærer å løse problemer for å kompilere en matematisk modell av virkelige situasjoner i alle paralleller til grunnskolen og videregående skole. Den presenterer oppgaver: for bevegelse i en sirkel; å finne lengden på et objekt i bevegelse; for å finne gjennomsnittshastigheten.

I. Problemer for bevegelse i en sirkel.

Omkretsoppgaver viste seg å være vanskelig for mange elever. De løses nesten på samme måte som vanlige problemer for bevegelse. De bruker også formelen. Men det er et poeng vi legger merke til.

Oppgave 1. En syklist forlot punkt A på sirkelbanen, og etter 30 minutter fulgte en motorsyklist etter ham. 10 minutter etter avgang tok han igjen syklisten for første gang, og 30 minutter etter det tok han igjen for andre gang. Finn hastigheten til motorsyklisten hvis lengden på banen er 30 km. Gi svaret i km/t.

Løsning. Hastighetene til deltakerne vil bli tatt som X km/t og y km/t. For første gang kjørte motorsyklisten forbi syklisten 10 minutter senere, det vil si én time etter start. Frem til dette punktet har syklisten vært på veien i 40 minutter, det vil si timer Deltakerne i bevegelsen har tilbakelagt samme strekning, det vil si y = x. La oss legge dataene i tabellen.

Tabell 1

Motorsyklisten tok deretter forbi syklisten en gang til. Dette skjedde 30 minutter senere, altså én time etter første forbikjøring. Hvilke avstander reiste de? Motorsyklisten kjørte forbi syklisten. Og det betyr at han kjørte en runde til. Det er øyeblikket

som du må være oppmerksom på. En sirkel er lengden på banen, den er lik 30 km. La oss lage en annen tabell.

tabell 2

Vi får den andre ligningen: y - x = 30. Vi har et ligningssystem: I svaret angir vi hastigheten til motorsyklisten.

Svar: 80 km/t.

Oppgaver (selvstendig).

I.1.1. En syklist forlot punkt "A" på sirkelbanen, og etter 40 minutter fulgte en motorsyklist etter ham. 10 minutter etter avgang tok han igjen syklisten for første gang, og 36 minutter etter det tok han igjen for andre gang. Finn hastigheten til motorsyklisten hvis lengden på banen er 36 km. Gi svaret i km/t.

I.1. 2. En syklist forlot punkt "A" på sirkelbanen, og etter 30 minutter fulgte en motorsyklist etter ham. 8 minutter etter avgang tok han igjen syklisten for første gang, og 12 minutter etter det tok han igjen for andre gang. Finn hastigheten til motorsyklisten hvis lengden på banen er 15 km. Gi svaret i km/t.

I.1. 3. En syklist forlot punkt "A" på sirkelbanen, og etter 50 minutter fulgte en motorsyklist etter ham. 10 minutter etter avgang tok han igjen syklisten for første gang, og 18 minutter etter det tok han igjen for andre gang. Finn hastigheten til motorsyklisten hvis lengden på banen er 15 km. Gi svaret i km/t.

To motorsyklister starter samtidig i samme retning fra to diametralt motsatte punkter på en rundbane, hvis lengde er 20 km. Om hvor mange minutter vil motorsyklistene ta igjen for første gang hvis hastigheten til en av dem er 15 km/t høyere enn hastigheten til den andre?

Løsning.

Bilde 1

Med en samtidig start kjørte rytteren som startet fra "A" en halv runde mer, som startet fra "B". Altså 10 km. Når to motorsyklister beveger seg i samme retning, er fjerningshastigheten v = -. I henhold til problemets tilstand er v= 15 km/t = km/min = km/min fjerningshastigheten. Vi finner tiden etter som motorsyklistene tar igjen for første gang.

10:= 40(min).

Svar: 40 min.

Oppgaver (selvstendig).

I.2.1. To motorsyklister starter samtidig i samme retning fra to diametralt motsatte punkter på en rundbane, hvis lengde er 27 km. Om hvor mange minutter vil motorsyklistene ta igjen for første gang hvis hastigheten til en av dem er 27 km/t høyere enn hastigheten til den andre?

I.2.2. To motorsyklister starter samtidig i samme retning fra to diametralt motsatte punkter på en sirkulær bane, hvis lengde er 6 km. Om hvor mange minutter vil motorsyklistene ta igjen for første gang hvis hastigheten til en av dem er 9 km/t høyere enn hastigheten til den andre?

Fra ett punkt på sirkelbanen, hvis lengde er 8 km, startet to biler samtidig i samme retning. Hastigheten på den første bilen er 89 km/t, og 16 minutter etter start var den en runde foran den andre bilen. Finn hastigheten til den andre bilen. Gi svaret i km/t.

Løsning.

x km/t er hastigheten til den andre bilen.

(89 - x) km/t - fjerningshastighet.

8 km - lengden på sirkelbanen.

Ligningen.

(89 - x) = 8,

89 - x \u003d 2 15,

Svar: 59 km/t

Oppgaver (selvstendig).

I.3.1. Fra ett punkt på sirkelbanen, som har en lengde på 12 km, startet to biler samtidig i samme retning. Hastigheten på den første bilen er 103 km/t, og 48 minutter etter start var den en runde foran den andre bilen. Finn hastigheten til den andre bilen. Gi svaret i km/t.

I.3.2. Fra ett punkt på sirkelbanen, hvis lengde er 6 km, startet to biler samtidig i samme retning. Hastigheten på den første bilen er 114 km/t, og 9 minutter etter start var den en runde foran den andre bilen. Finn hastigheten til den andre bilen. Gi svaret i km/t.

I.3.3. Fra ett punkt på sirkelbanen, hvis lengde er 20 km, startet to biler samtidig i samme retning. Hastigheten på den første bilen er 105 km/t, og 48 minutter etter start var den en runde foran den andre bilen. Finn hastigheten til den andre bilen. Gi svaret i km/t.

I.3.4. Fra ett punkt på sirkelbanen, hvis lengde er 9 km, startet to biler samtidig i samme retning. Hastigheten på den første bilen er 93 km/t, og 15 minutter etter start var den en runde foran den andre bilen. Finn hastigheten til den andre bilen. Gi svaret i km/t.

Klokken med visere viser 8:00. Etter hvor mange minutter vil minuttviseren være på linje med timeviseren for fjerde gang?

Løsning. Vi antar at vi ikke løser problemet eksperimentelt.

På én time går minuttviseren én sirkel, og timedelen av sirkelen. La hastighetene deres være 1 (runde i timen) og Start - kl 8.00. Finn tiden det tar for minuttviseren å overta timeviseren for første gang.

Minuttviseren vil gå lenger, så vi får ligningen

Så for første gang vil pilene stå på linje

La pilene stå på linje for andre gang etter gang z. Minuttviseren vil reise en avstand på 1 z, og timeviseren vil reise en sirkel til. La oss skrive ligningen:

Løser vi det, det skjønner vi.

Så gjennom pilene vil de stille opp for andre gang, en annen gjennom - for tredje, og til og med gjennom - for fjerde gang.

Derfor, hvis starten var klokken 8.00, vil pilene for fjerde gang strekke seg gjennom

4 t = 60 * 4 min = 240 min.

Svar: 240 minutter.

Oppgaver (selvstendig).

I.4.1 Klokke med visere viser 4 timer 45 minutter. Etter hvor mange minutter vil minuttviseren være på linje med timeviseren for syvende gang?

I.4.2 Klokken med visere viser nøyaktig klokken 2. Om hvor mange minutter vil minuttviseren være på linje med timeviseren for tiende gang?

I.4.3. Klokken med visere viser 8 timer 20 minutter. Etter hvor mange minutter vil minuttviseren være på linje med timeviseren for fjerde gang? fjerde

II. Problemer med å finne lengden på et objekt i bevegelse.

Et tog som beveger seg med en jevn hastighet på 80 km/t passerer en veipost på 36 sekunder. Finn lengden på toget i meter.

Løsning. Siden hastigheten på toget er angitt i timer, vil vi konvertere sekunder til timer.

1) 36 sek =

2) finn lengden på toget i kilometer.

Svar: 800m.

Oppgaver (selvstendig).

II.2 Toget, som beveger seg jevnt med en hastighet på 60 km/t, passerer en veipost på 69 s. Finn lengden på toget i meter. Svar: 1150m.

II.3. Et tog som beveger seg jevnt med en hastighet på 60 km/t passerer et 200 m langt skogsbelte på 1 min 21 s. Finn lengden på toget i meter. Svar: 1150m.

III. Oppgaver for middels hastighet.

I en matteeksamen kan du støte på problemet med å finne gjennomsnittshastigheten. Det må huskes at gjennomsnittshastigheten ikke er lik det aritmetiske gjennomsnittet av hastigheter. Gjennomsnittshastigheten er funnet av en spesiell formel:

Hvis det var to deler av stien, da .

Avstanden mellom de to landsbyene er 18 km. Syklisten reiste fra en landsby til en annen i 2 timer og kom tilbake langs samme vei i 3 timer. Hva er gjennomsnittshastigheten til syklisten for hele reisen?

Løsning:

2 timer + 3 timer = 5 timer - brukt på hele bevegelsen,

En turist gikk i en hastighet på 4 km/t, deretter nøyaktig samme tid i en hastighet på 5 km/t. Hva er gjennomsnittlig reisehastighet for hele reisen?

La turisten gå t h med en hastighet på 4 km/t og t h med en hastighet på 5 km/t. Så i 2. t reiste han 4t + 5t = 9t (km). Gjennomsnittshastigheten til en turist er = 4,5 (km/t).

Svar: 4,5 km/t.

Vi legger merke til at gjennomsnittshastigheten til turisten viste seg å være lik det aritmetiske gjennomsnittet av disse to hastighetene. Det kan sees at hvis bevegelsestiden på to deler av banen er den samme, så er den gjennomsnittlige bevegelseshastigheten lik det aritmetiske gjennomsnittet av de to gitte hastighetene. For å gjøre dette løser vi det samme problemet i en generell form.

Turisten gikk med en hastighet på km/t, deretter nøyaktig samme tid med en hastighet på km/t. Hva er gjennomsnittlig reisehastighet for hele reisen?

La turisten gå t h med en hastighet på km/t og t h i en hastighet på km/t. Så på 2t timer reiste han t + t = t (km). Den gjennomsnittlige reisehastigheten til en turist er

= (km/t).

Bilen kjørte et stykke oppover med en hastighet på 42 km/t, og nedover med en hastighet på 56 km/t.

Gjennomsnittlig bevegelseshastighet er 2 s: (km/t).

Svar: 48 km/t.

Bilen tilbakela en viss avstand oppover med en hastighet på km/t, og nedoverbakke med en hastighet på km/t.

Hva er gjennomsnittshastigheten til bilen for hele reisen?

La lengden på banestykket være lik s km. Deretter kjørte bilen 2 s km i begge retninger, og brukte hele veien .

Gjennomsnittlig bevegelseshastighet er 2 s: (km/t).

Svar: km/t.

Tenk på et problem der gjennomsnittshastigheten er gitt, og en av hastighetene må bestemmes. Ligning kreves.

En syklist kjørte oppover med en hastighet på 10 km/t, og nedoverbakke med en annen konstant hastighet. Som han beregnet, var den gjennomsnittlige bevegelseshastigheten lik 12 km / t.

III.2. Halvparten av tiden på veien kjørte bilen med en hastighet på 60 km/t, og andre halvdel av tiden - med en hastighet på 46 km/t. Finn gjennomsnittshastigheten til bilen for hele reisen.

III.3 På vei fra en landsby til en annen gikk bilen en stund med en hastighet på 60 km/t, deretter nøyaktig samme tid med en hastighet på 40 km/t, deretter nøyaktig samme tid kl. en hastighet lik gjennomsnittshastigheten på de to første delene av reisen. Hva er gjennomsnittshastigheten for hele reisen fra en landsby til en annen?

III.4. En syklist kjører hjemmefra til jobb med en gjennomsnittshastighet på 10 km/t og tilbake med en gjennomsnittshastighet på 15 km/t fordi veien er litt nedoverbakke. Finn gjennomsnittshastigheten til syklisten hele veien fra hjem til jobb og tilbake.

III.5. Bilen kjørte fra punkt A til punkt B tom i konstant hastighet, og returnerte langs samme vei med en last i en hastighet på 60 km/t. Med hvilken hastighet kjørte han tom hvis gjennomsnittshastigheten var 70 km/t?.

III.6. Bilen kjørte de første 100 km med en hastighet på 50 km/t, de neste 120 km med en hastighet på 90 km/t, og deretter 120 km i en hastighet på 100 km/t. Finn gjennomsnittshastigheten til bilen for hele reisen.

III.7. Bilen kjørte de første 100 km med en hastighet på 50 km/t, de neste 140 km med en hastighet på 80 km/t, og deretter 150 km i en hastighet på 120 km/t. Finn gjennomsnittshastigheten til bilen for hele reisen.

III.8. Bilen kjørte de første 150 km med en hastighet på 50 km/t, de neste 130 km med en hastighet på 60 km/t, og deretter 120 km i en hastighet på 80 km/t. Finn gjennomsnittshastigheten til bilen for hele reisen.

III. 9. Bilen kjørte de første 140 km med en hastighet på 70 km/t, de neste 120 km med en hastighet på 80 km/t, og deretter 180 km i en hastighet på 120 km/t. Finn gjennomsnittshastigheten til bilen for hele reisen.

Oppgave 1. To biler forlot punkt A for punkt B samtidig.
Den første reiste hele veien med konstant hastighet.
Den andre reiste første halvdel av veien i en fart
lavere hastighet på den første med 14 km/t,
og andre halvdel av veien med en hastighet på 105 km/t,
og ankom derfor B samtidig med første bil.
Finn hastigheten til den første bilen,
hvis det er kjent at det er mer enn 50 km/t.
Løsning: La oss ta hele distansen som 1.
La oss ta hastigheten til den første bilen som x.
Så, tiden som den første bilen kjørte hele distansen,
er lik 1/x.
På den andre bilens hastighet første halvdel av veien, dvs. 1/2,
var 14 km/t lavere enn hastigheten til den første bilen, x-14.
Tiden som den andre bilen brukte er 1/2: (x-14) = 1/2(x-14).
Andre halvdel av veien, dvs. 1/2, bilen passerte
med en hastighet på 105 km/t.
Tiden han brukte er 1/2: 105 = 1/2 * 105 = 1/210.
Tiden for første og andre er lik hverandre.
Vi lager en ligning:
1/x = 1/2(x-14) + 1/210
Vi finner en fellesnevner - 210x (x-14)
210(x-14) = 105x + x(x-14)
210x - 2940 \u003d 105x + x² - 14x
x² - 119x + 2940 = 0
Ved å løse denne kvadratiske ligningen gjennom diskriminanten finner vi røttene:
x1 = 84
x2 \u003d 35. Den andre roten passer ikke til tilstanden til problemet.
Svar: Hastigheten til den første bilen er 84 km/t.

Oppgave 2. Fra punkt A på sirkelsporet, hvis lengde er 30 km,
To bilister startet samtidig i samme retning.
Hastigheten på den første er 92 km/t, og hastigheten på den andre er 77 km/t.
Etter hvor mange minutter den første bilisten
vil være foran den andre 1 sirkel?
Løsning: Denne oppgaven, til tross for at den er gitt i 11. klasse,
kan løses på grunnskolenivå.
La oss bare stille fire spørsmål og få fire svar.
1. Hvor mange kilometer vil den første bilisten tilbakelegge på 1 time?
92 km.
2. Hvor mange kilometer vil den andre bilisten tilbakelegge på 1 time?
77 km.
3. Hvor mange kilometer vil den første bilisten være foran den andre etter 1 time?
92 - 77 = 15 km.
4. Hvor mange timer vil det ta før den første bilisten er 30 km foran den andre?
30:15 = 2 timer = 120 minutter.
Svar: på 120 minutter.

Oppgave 3. Fra punkt A til punkt B er avstanden mellom dem 60 km,
En bilist og en syklist dro samtidig.
Det er kjent at på én time passerer en bilist
90 km mer enn en syklist.
Bestem hastigheten til syklisten hvis det er kjent at han kom til punkt B 5 timer 24 minutter senere enn bilisten.
Løsning: For å kunne løse alle oppgaver som er satt foran oss,
du må følge en bestemt plan.
Og viktigst av alt, vi må forstå hva vi vil ha ut av det.
Det vil si hvilken ligning vi ønsker å komme til under de forutsetningene som er gitt.
Vi vil sammenligne tiden for hver.
En bil kjører 90 km i timen mer enn en syklist.
Dette betyr at hastigheten på bilen er større enn hastigheten
syklist i 90 km/t.
Forutsatt at hastigheten til syklisten er x km/t,
vi får bilens hastighet x + 90 km/t.
Reisetid for en syklist 60/s.
Reisetiden til bilen er 60 / (x + 90).
5 timer 24 minutter er 5 24/60 timer = 5 2/5 = 27/5 timer
Vi lager en ligning:
60/x \u003d 60 / (x + 90) + 27/5 Vi reduserer telleren for hver brøk med 3
20/x = 20/(x+90) + 9/5 Fellesnevner 5x(x+90)
20*5(x+90) = 20*5x + 9x(x+90)
100x + 9000 = 100x + 9x² + 810x
9x² + 810x - 9000 = 0
x² + 90x - 1000 = 0
Ved å løse denne ligningen gjennom diskriminanten eller Vietas teorem får vi:
x1 = - 100 Passer ikke til meningen med oppgaven.
x2 = 10
Svar: Hastigheten til syklisten er 10 km/t.

Oppgave 4. En syklist kjørte 40 km fra byen til landsbyen.
På vei tilbake kjørte han i samme hastighet
men etter 2 timers kjøring stoppet i 20 minutter.
Etter å ha stoppet økte han farten med 4 km/t
og brukte derfor like mye tid på vei tilbake fra landsbyen til byen som på veien fra byen til landsbyen.
Finn starthastigheten til syklisten.
Løsning: vi løser dette problemet i forhold til tidsbruken
først til landsbyen og så tilbake.
En syklist kjørte fra byen til bygda i samme hastighet x km/t.
På å gjøre det brukte han 40/x timer.
Han reiste 2 km tilbake på 2 timer.
Det gjenstår for ham å kjøre 40 - 2 km, som han passerte
med en hastighet på x + 4 km/t.
Tiden det tok ham å komme tilbake
består av tre ledd.
2 timer; 20 minutter = 1/3 time; (40 - 2x) / (x + 4) timer.
Vi lager en ligning:
40/x \u003d 2 + 1/3 + (40 - 2x) / (x + 4)
40/x \u003d 7/3 + (40 - 2x) / (x + 4) Fellesnevner 3x(x + 4)
40*3(x + 4) = 7x(x + 4) + 3x(40 - 2x)
120x + 480 \u003d 7x² + 28x + 120x - 6x²
x² + 28x - 480 = 0 Ved å løse denne ligningen gjennom diskriminanten eller Vietas teorem får vi:
x1 = 12
x2 = - 40 Ikke egnet for tilstanden til problemet.
Svar: Syklistens starthastighet er 12 km/t.

Oppgave 5. To biler forlot samme punkt samtidig i samme retning.
Hastigheten til den første er 50 km/t, den andre er 40 km/t.
En halvtime senere forlot en tredje bil samme punkt i samme retning.
som kjørte forbi den første bilen 1,5 time senere,
enn den andre bilen.
Finn hastigheten til den tredje bil.
Løsning: Om en halvtime vil den første bilen kjøre 25 km, og den andre 20 km.
De. startavstanden mellom første og tredje bil er 25 km,
og mellom andre og tredje - 20 km.
Når en bil kjører forbi en annen, vil de hastigheter trekkes fra.
Hvis vi tar hastigheten til den tredje bilen som x km/t,
så viser det seg at han tok igjen den andre bilen på 20/(x-40) timer.
Da vil han overta den første bilen om 25/(x - 50) timer.
Vi lager en ligning:
25/(x - 50) = 20/(x - 40) + 3/2 Fellesnevner 2 (x - 50) (x - 40)
25*2(x - 40) = 20*2(x - 50) + 3(x - 50)(x - 40)
50x - 2000 = 40x - 2000 + 3x² - 270x + 6000
3x² - 280x + 6000 = 0 Løser vi denne ligningen gjennom diskriminanten, får vi
x1 = 60
x2 = 100/3
Svar: Hastigheten til den tredje bilen er 60 km/t.