Функцияның дөңестігі. Дөңес бағыт

Функцияның дөңестігі туралы түсінік

\(\left[ (a,b) \right] кесіндісінде үздіксіз деп есептелетін \(y = f\left(x \right),\) функциясын қарастырайық. \(y = f) функциясы \left(x \right),\) )\) деп аталады дөңес төмен (немесе жай дөңес) егер \((x_1)\) және \((x_2)\) нүктелерінен \(\left[ (a,b) \right]\) теңсіздік болса \ Егер бұл теңсіздік кез келген \(( x_1) үшін қатаң болса ),(x_2) \in \left[ (a,b) \right],\) \((x_1) \ne (x_2),\) болатындай, \(f\left(x \right) \ ) деп аталады қатаң дөңес төмен

Жоғары дөңес функция да осылай анықталады. \(f\left(x \right)\) функциясы шақырылады жоғары дөңес (немесе ойыс) егер кесіндінің \((x_1)\) және \(((x_2)\) кез келген нүктелері үшін \(\left[ (a,b) \right]\) теңсіздік болса \ Егер бұл теңсіздік кез келген \( үшін қатаң болса ( x_1),(x_2) \in \left[ (a,b) \right],\) \((x_1) \ne (x_2),\) болатындай, \(f\left(x \right) функциясы ) \) деп аталады жоғары қарай қатаң дөңес сегментінде \(\left[(a,b) \right].\)

Функцияның дөңестігін геометриялық түсіндіру

Дөңес функцияның енгізілген анықтамалары қарапайым геометриялық интерпретацияға ие.

Функция үшін, дөңес төмен (сурет \(1\)), кез келген аккордтың \(B\) ортасы \((A_1)(A_2)\) жатыр. жоғарырақ

Сол сияқты, функция үшін жоғары дөңес (сурет \(2\)), кез келген аккордтың \(B\) ортасы \((A_1)(A_2)\) жатыр. төмендефункция графигінің сәйкес \((A_0)\) нүктесі немесе осы нүктемен сәйкес келеді.

Дөңес функциялардың басқа көрнекі қасиеті бар, ол орналасумен байланысты жанама функцияның графигіне. \(f\left(x \right)\) функциясы болып табылады дөңес төмен кесіндісінде \(\left[ (a,b) \right]\) егер оның графигі кесіндінің \((x_0)\) кез келген нүктесінде оған тартылған жанамадан төмен болмаса ғана [ (a ,b) \оңға]\) ( \(3\) сурет).

Сәйкесінше, \(f\left(x \right)\) функциясы болып табылады жоғары дөңес \(\left[ (a,b) \right]\) кесіндісінде, егер оның графигі кесіндінің \((x_0)\) кез келген нүктесінде оған тартылған жанамадан жоғары болмаса ғана [ (a ,b) \оңға]\) ( \(4\) сурет). Бұл қасиеттер теорема болып табылады және функцияның дөңестігін анықтау арқылы дәлелдеуге болады.

Дөңес болу үшін жеткілікті шарттар

\(f\left(x \right)\) функциясы үшін бірінші туынды \(f"\left(x \right)\) \(\left[(a,b) \right] сегментінде бар болсын, \) және екінші туынды \(f""\left(x \right)\) − интервалында \(\left((a,b) \right).\) Содан кейін дөңестің келесі жеткілікті критерийлері сақталады:

Егер \(f""\left(x \right) \ge 0\) барлығы үшін \(x \in \left((a,b) \right),\) болса, \(f\left(x \) функциясы дұрыс)\) дөңес төмен сегментінде \(\left[(a,b) \right];\)

Егер \(f""\left(x \right) \le 0\) барлығы үшін \(x \in \left((a,b) \right),\) болса, \(f\left(x \) функциясы дұрыс)\) жоғары дөңес сегментінде \(\left[(a,b) \right].\)

Екінші туынды нөлден үлкен (кіші) болған жағдайларда, тиісінше, біреуі сөйлейді қатаң дөңес төмен (немесе жоғары ).

Төмендегі дөңес функция жағдайы үшін жоғарыдағы теореманы дәлелдеп көрейік. \(f\left(x \right)\) функциясы \(\left((a,b) \right):\) \(f""\left(x) интервалында теріс емес екінші туынды болсын. \right) \ge 0.\) \((x_0)\) кесіндісінің ортаңғы нүктесін \(\left[ ((x_1),(x_2)) \right] деп белгілеңіз.\) Осы кесіндінің ұзындығы болсын делік. тең \(2сағ.\) Сонда \((x_1)\) және \((x_2)\) координаталарын былай жазуға болады: \[(x_1) = (x_0) - h,\;\;(x_2) ) = (x_0) + h.\] \((x_0)\) нүктесіндегі \(f\left(x \right)\) функциясын Лагранж пішініндегі қалдық мүшесі бар Тейлор қатарына кеңейтіңіз. Біз келесі өрнектерді аламыз: \[ (f\left(((x_1)) \right) = f\left(((x_0) - h) \right) ) = (f\left(((x_0)) \right ) - f"\left(((x_0)) \right)h + \frac((f""\left(((\xi _1)) \right)(h^2)((2)},} \] \[ {f\left({{x_2}} \right) = f\left({{x_0} + h} \right) } = {f\left({{x_0}} \right) + f"\left({{x_0}} \right)h + \frac{{f""\left({{\xi _2}} \right){h^2}}}{{2!}},} \] где \({x_0} - h !}
Екі теңдікті қосыңыз: \[ (f\left(((x_1)) \right) + f\left(((x_2)) \right) ) = (2f\left(((x_0)) \right) + \frac (((h^2)(2)\left[ (f""\left(((\xi _1)) \right) + f""\left(((\xi _2)) \оң)) \right].) \] \((\xi _1),(\xi _2) \in \left((a,b) \right),\) болғандықтан, оң жақтағы екінші туынды теріс емес. . Сондықтан \ немесе \ яғни анықтамаға сәйкес \(f\left(x \right)\) функциясы. дөңес төмен .

Функция үшін қажетті дөңестік шарты (мысалы, дөңестік шартынан \(f""\left(x \right) \ge 0\)) тек үшін орындалатыны шығатын тура теорема. қатаң емес теңсіздіктер. Қатаң дөңес болған жағдайда, қажетті шарт, әдетте, қанағаттандырылмайды. Мысалы, \(f\left(x \right) = (x^4)\) функциясы қатаң түрде төмен қарай дөңес. Алайда \(x = 0\) нүктесінде оның екінші туындысы нөлге тең, яғни. қатаң теңсіздік \(f""\left(x \right) \gt 0\) бұл жағдайда орындалмайды.

Дөңес функциялардың қасиеттері

Барлық функциялар \(\left[ (a,b) \right].\) сегментінде анықталған және үздіксіз деп есептей отырып, дөңес функциялардың кейбір қасиеттерін тізімдейміз.

Егер \(f\) және \(g\) функциялары төмен (жоғары) дөңес болса, онда олардың кез келгені сызықтық комбинация \(af + bg,\) мұндағы \(a\), \(b\) оң нақты сандар, сонымен қатар төмен (жоғары қарай) дөңес.

Егер \(u = g\left(x \right)\) функциясы төмен қарай дөңес болса және \(y = f\left(u \right)\) функциясы төмен қарай дөңес және кемімейтін болса, онда күрделі функция \(y = f\left((g\left(x \right)) \right)\) да төмен дөңес болады.

Егер \(u = g\left(x \right)\) функциясы жоғары дөңес болса және \(y = f\left(u \right)\) функциясы төмен қарай дөңес және өспейтін болса, онда күрделі функция \(y = f\left((g\left(x \right)) \right)\) төмен дөңес болады.

Жергілікті максимум \(\left[(a,b) \right],\) кесіндісінде анықталған дөңес жоғары функция бір уақытта оның ең жоғары мән осы сегментте.

Жергілікті минимум \(\left[(a,b) \right],\) сегментінде анықталған төмен қарай дөңес функция бір уақытта оның ең кіші мән осы сегментте.

Функция графигі ж=f(x)шақырды дөңесаралықта (а;б), егер ол осы аралықтағы кез келген жанаманың астында орналасса.

Функция графигі ж=f(x)шақырды ойысаралықта (а;б), егер ол осы аралықтағы кез келген жанамасының үстінде орналасса.

Суретте дөңес қисық көрсетілген (а;б)және ойыс (b;c).

Мысалдар.

Берілген интервалдағы функцияның графигі дөңес немесе ойыс болатынын анықтауға мүмкіндік беретін жеткілікті белгіні қарастырайық.

Теорема. Болсын ж=f(x)бойынша дифференциалданады (а;б). Егер интервалдың барлық нүктелерінде болса (а;б)функцияның екінші туындысы ж = f(x)теріс, яғни. f ""(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f""(x) > 0 ойыс.

Дәлелдеу. Нақтылық үшін солай делік f""(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.

Функция графигін қабылдаңыз y = f(x)ерікті нүкте M0абсциссамен x0 Î ( а; б) және нүкте арқылы сызыңыз M0жанама. Оның теңдеуі. Функцияның графигі қосулы екенін көрсетуіміз керек (а;б)осы тангенстің астында жатыр, яғни. бірдей мәнмен xқисық ордината y = f(x)тангенстің ординатасынан кіші болады.

Сонымен қисық теңдеуі болады y = f(x). Абциссаға сәйкес тангенс ординатасын белгілейік x. Содан кейін. Демек, қисық пен тангенстің ординаталарының бірдей мәндегі айырмашылығы xболады .

Айырмашылық f(x) – f(x0)Лагранж теоремасы бойынша түрлендіру, мұндағы варасында xЖәне x0.

Осылайша,

Шаршы жақшадағы өрнекке тағы да Лагранж теоремасын қолданамыз: , мұндағы c 1арасында c 0Және x0. Теорема бойынша f ""(x) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.

Осылайша, қисық сызықтың кез келген нүктесі барлық мәндер үшін қисыққа жанаманың астында жатыр xЖәне x0 Î ( а; б), бұл қисық дөңес екенін білдіреді. Теореманың екінші бөлігі де дәл осылай дәлелденген.

Мысалдар.

Үзіліссіз функцияның графигіндегі оның дөңес бөлігін ойыс бөлігінен бөлетін нүкте деп аталады иілу нүктесі.

Әлбетте, иілу нүктесінде жанама, егер ол бар болса, қисықпен қиылысады, өйткені осы нүктенің бір жағында қисық жанаманың астында, ал екінші жағында оның үстінде жатыр.

Қисықтың берілген нүктесінің иілу нүктесі болуы үшін жеткілікті шарттарды анықтайық.

Теорема. Қисық сызық теңдеу арқылы анықталсын y = f(x). Егер f ""(x 0) = 0 немесе f ""(x 0) жоқ және мән арқылы өткенде x = x0туынды f ""(x) таңбасын, содан кейін абсциссасы бар функция графигінің нүктесін өзгертеді x = x0бұрылу нүктесі бар.

Дәлелдеу. Болсын f ""(x) < 0 при x < x0Және f ""(x) > 0 кезінде x > x0. Содан кейін сағат x < x0қисығы дөңес, және x > x0- ойыс. Мәселе осыдан А, қисық үстінде жатқан, абсциссасы бар x0бұрылу нүктесі бар. Сол сияқты, біз екінші жағдайды қарастыра аламыз, қашан f ""(x) > 0 кезінде x < x0Және f ""(x) < 0 при x > x0.

Осылайша, иілу нүктелерін тек екінші туынды жойылатын немесе жоқ нүктелерден іздеу керек.

Мысалдар.Иілу нүктелерін табыңыз және қисықтардың дөңес және ойыс аралықтарын анықтаңыз.

ФУНКЦИЯ ГРАФИКІНІҢ АСИМПТОТТАРЫ

Функцияны зерттеген кезде оның графигін басынан граф нүктесін шектеусіз алып тастай отырып, оның графигінің пішінін орнату маңызды.

Функцияның графигі, оның айнымалы нүктесі шексіздікке дейін жойылған кезде, белгілі бір түзуге шексіз жақындаған жағдай ерекше қызығушылық тудырады.

Тікелей қоңырау шалды асимптотфункция графигі ж = f(x)егер айнымалы нүктеден қашықтық болса Мнүкте жойылған кезде осы сызықтың графигі Мшексіздік нөлге ұмтылады, яғни. функция графигінің нүктесі шексіздікке ұмтылатындықтан, асимптотаға шексіз жақындауы керек.

Қисық оның асимптотасына жақындай алады, оның бір жағында немесе әртүрлі жағында қалып, асимптотаны шексіз көп қиып, бір жағынан екінші жаққа жылжи алады.

Егер нүктеден қашықтықты d арқылы белгілесек Масимптотаға қисық болса, нүкте жойылған кезде d нөлге ұмтылатыны анық Мшексіздікке.

Біз әрі қарай тік және қиғаш асимптоталарды ажыратамыз.

ТІК АСИМПТОТТАР

рұқсат етіңіз x→ x0функцияның екі жағы ж = f(x)абсолютті мәнде шексіз өседі, яғни. немесе немесе . Сонда асимптотаның анықтамасынан сызық болатыны шығады x = x0асимптот болып табылады. Керісінше сызық болса да анық x = x0асимптот, сондықтан .

Сонымен, функция графигінің вертикаль асимптотасы y = f(x)егер сызық деп аталады f(x)→ ∞ шарттардың кем дегенде бірінде x→ x0– 0 немесе x → x0 + 0, x = x0

Сондықтан функция графигінің вертикаль асимптоттарын табу ж = f(x)мәндерін табу керек x = x0, бұл кезде функция шексіздікке барады (шексіз үзіліске ұшырайды). Сонда тік асимптотаның теңдеуі болады x = x0.

Мысалдар.

Көлбеу АСИМПТОТТАР

Асимптота түзу болғандықтан, қисық болса ж = f(x)қиғаш асимптотасы бар, онда оның теңдеуі болады ж = kx + б. Біздің міндетіміз коэффициенттерді табу кЖәне б.

Теорема. Түзу ж = kx + бкезінде қиғаш асимптот қызметін атқарады x→ +∞ функциясының графигі үшін ж = f(x)егер және тек егер . Осыған ұқсас мәлімдеме дұрыс x → –∞.

Дәлелдеу. Болсын депутат- нүктеден қашықтыққа тең кесіндінің ұзындығы Масимптотаға. Шарты бойынша. Асимптотаның оське еңкею бұрышын φ арқылы белгілеңіз Өгіз. Содан кейін ΔMNPсодан кейін. φ тұрақты бұрыш болғандықтан (φ ≠ π/2), онда , бірақ

Белгілі бір интервалдағы функцияның дөңестігін (ойыстығын) анықтау үшін келесі теоремаларды қолдануға болады.

Теорема 1.Функция аралықта анықталған және үзіліссіз және соңғы туындысы болсын . Функция дөңес (ойыс) болуы үшін оның туындысының осы аралықта кемуі (өсуі) қажет және жеткілікті.

2-теорема.Функция оның туындысымен бірге анықталған және үзіліссіз және ішінде үздіксіз екінші туынды болсын. Функцияның дөңес болуы (ойыстығы) үшін оның ішіндегісі қажет және жеткілікті

Функцияның дөңес болу жағдайы үшін 2-теореманы дәлелдейік .

Қажеттілік. Ерікті нүктені алайық. Тейлор қатарындағы нүктеге жақын функцияны кеңейтеміз

Абциссасы бар нүктедегі қисыққа жанаманың теңдеуі:

Сонда қисық сызықтың нүктедегі оған жанамадан асып кетуі тең болады

Осылайша, қалдық қисық нүктесінде оған жанаманың үстіндегі артықшылығына тең. Үздіксіздігіне байланысты, егер , содан кейін де үшін, нүктенің жеткілікті кіші төңірегіне жататын, демек, анық, мәнінен кез келген басқаша үшін, көрсетілген маңайға жатады.

Бұл функцияның графигі жанаманың үстінде жатқанын және қисық еркін нүктеде дөңес екенін білдіреді.

Адекваттылық. Интервалда қисық дөңес болсын . Ерікті нүктені алайық.

Алдыңғыға ұқсас, функцияны Тейлор қатарындағы нүктенің жанында кеңейтеміз

өрнекпен анықталған абсциссасы бар нүктедегі қисық сызықтың жанамасынан асып кетуі

Нүктенің жеткілікті кіші төңірегі үшін артық мән оң болғандықтан, екінші туынды да оң болады. Біз ұмтыла отырып, біз оны ерікті нүкте үшін аламыз .

Мысал.Дөңес (ойыс) функциясын зерттеңіз.

Оның туындысы бүкіл нақты ось бойынша артады, сондықтан 1-теорема бойынша функция бойынша ойыс болады.

Оның екінші туындысы , демек, 2-теорема бойынша функция бойынша ойыс болады.

3.4.2.2 Иілу нүктелері

Анықтама. иілу нүктесіҮздіксіз функцияның графигі функция дөңес және ойыс болатын аралықтарды бөлетін нүкте деп аталады.

Бұл анықтамадан шығатыны, иілу нүктелері бірінші туындының экстремум нүктесінің нүктелері болып табылады. Бұл қажетті және жеткілікті иілу шарттары үшін келесі бекітулерді білдіреді.

Теорема (қажетті иілу шарты). Нүкте екі рет дифференциалданатын функцияның иілу нүктесі болуы үшін оның осы нүктедегі екінші туындысы нөлге тең болуы керек ( ) немесе жоқ.

Теорема (иілудің жеткілікті шарты).Екі рет дифференциалданатын функцияның екінші туындысы белгілі бір нүктеден өткенде таңбасын өзгертсе, онда иілу нүктесі болады.

Екінші туынды нүктенің өзінде болмауы мүмкін екенін ескеріңіз.

Иілу нүктелерінің геометриялық интерпретациясы күріште көрсетілген. 3.9

Нүктенің маңайында функция дөңес және оның графигі осы нүктеде сызылған жанаманың астында жатыр. Нүктенің маңайында функция ойыс және оның графигі осы нүктеде сызылған жанаманың үстінде жатыр. Иілу нүктесінде жанама функцияның графигін дөңес және ойыс аймақтарына бөледі.

3.4.2.3 Функцияның дөңестігін және иілу нүктелерінің болуын тексеру

1. Екінші туындыны табыңыз.

2. Екінші туынды немесе жоқ нүктелерді табыңыз.

Күріш. 3.9.

3. Табылған нүктелердің сол және оң жағындағы екінші туындының таңбасын тексеріп, дөңес немесе ойыс аралықтары және иілу нүктелерінің болуы туралы қорытынды жаса.

Мысал. Функцияның дөңестігін және иілу нүктелерінің болуын тексеріңіз.

2. Екінші туынды нөлге тең.

3. Екінші туынды таңбасын өзгертеді, сондықтан нүкте иілу нүктесі болады.

аралықта, онда функция осы интервалда дөңес болады.

аралықта, онда функция осы интервалда ойыс болады.

3.4.2.4 Функцияларды зерттеудің жалпы схемасы және графигі

Функцияны зерттеу және оның графигін салу кезінде келесі схеманы қолдану ұсынылады:

Функцияның ауқымын табыңыз.
Жұп – тақ функциясын зерттеңіз. Еске салайық, жұп функцияның графигі у осіне қатысты симметриялы, ал тақ функцияның графигі бастапқы нүктеге қатысты симметриялы.
Тік асимптоталарды табыңыз.
Функцияның шексіздіктегі әрекетін зерттеңіз, көлденең немесе көлбеу асимптоттарды табыңыз.
Функцияның монотондылығының экстремумдары мен интервалдарын табыңыз.
Функцияның дөңес аралықтарын және иілу нүктелерін табыңыз.
Координаталық осьтермен қиылысу нүктелерін табыңыз.

Функцияны зерттеу оның графигін салумен бір мезгілде жүзеге асырылады.

Мысал. Функцияны зерттеу және оны жоспарлаңыз.

1. Функция көлемі - .

2. Зерттелетін функция жұп , сондықтан оның графигі у осіне қатысты симметриялы.

3. Функцияның бөлгіші кезінде жойылады, сондықтан функцияның графигінде тік асимптоталар және .

Нүктелер екінші түрдегі үзіліс нүктелері болып табылады, өйткені бұл нүктелердегі сол және оң жақтағы шектеулер -ге бейім.

4. Функцияның шексіздіктегі әрекеті.

Демек, функцияның графигінде көлденең асимптот бар.

5. Монотондылықтың экстремалды және интервалдары. Бірінші туындыны табу

үшін, демек, функция осы интервалдарда азаяды.

үшін, демек, функция осы интервалдарда артады.

Өйткені, сондықтан нүкте сыни нүкте болып табылады.

Екінші туындыны табу

Өйткені, онда нүкте функцияның ең кіші нүктесі болады.

6. Дөңес интервалдар және иілу нүктелері.

Функция уақыты , сондықтан функция осы аралықта ойыс болады.

, кезіндегі функция функцияның осы интервалдарда дөңес екенін білдіреді.

Функция ешқашан жоғалмайды, сондықтан иілу нүктелері жоқ.

7. Координаталар осьтерімен қиылысу нүктелері.

, теңдеуінің шешімі бар, ол функция графигінің у осімен (0, 1) қиылысу нүктесін білдіреді.

Теңдеудің шешімі жоқ, яғни абсцисса осімен қиылысу нүктелері жоқ.

Жүргізілген зерттеулерді ескере отырып, функцияның графигін құруға болады

Функцияның схемалық графигі суретте көрсетілген. 3.10.

Күріш. 3.10.

3.4.2.5 Функция графигінің асимптоталары

Анықтама. Асимптотфункцияның графигі түзу деп аталады, оның () нүктесінен осы түзуге дейінгі қашықтық график нүктесін координаттық нүктеден шектеусіз алып тастаумен 0-ге ұмтылатын қасиеті бар.

Функцияны зерттеудің жалпы схемасы және графигін тұрғызу.
1. Дөңес және ойыс функцияны зерттеу.

Функция графигінің асимптоталары.

Кіріспе.

Мектептегі математика курсында сіз функция графиктерін салу қажеттілігіне тап болдыңыз. -де сіз нүкте-нүкте әдісін қолдандыңыз. Айта кету керек, бұл тұжырымдамада қарапайым және салыстырмалы түрде тез мақсатқа әкеледі. Функция үздіксіз және жеткілікті түрде біркелкі өзгеретін жағдайларда, бұл әдіс графикалық бейнелеудің қажетті дәлдік дәрежесін де қамтамасыз ете алады. Мұны істеу үшін оларды орналастырудың белгілі бір тығыздығына жету үшін көбірек ұпайлар алу керек.

Енді кейбір жерлерде функцияның «мінез-құлқында» ерекшеліктер бар деп есептейік: немесе оның мәндері шағын аймақтың бір жерінде күрт өзгереді немесе үзілістер бар. Графиктің ең маңызды бөліктері бұл жолмен анықталмауы мүмкін.

Бұл жағдай графикті «нүктелер бойынша» құру әдісінің мәнін төмендетеді.

Функцияларды аналитикалық зерттеуге негізделген графиктерді салудың екінші жолы бар. Ол мектептегі математика курсында қарастырылған әдіспен жақсы салыстырылады.

1. Дөңес және ойыс үшін функцияны зерттеу .

Функция болсын
(a, c) интервалында дифференциалданады. Сонда кез келген нүктеде функцияның графигіне жанама болады
бұл график (
), ал тангенс OY осіне параллель емес, өйткені оның еңісі тең
, әрине.

ТУРАЛЫ
анықтамасы Функцияның графигін айтамыз
(a, c) бойынша төмен (жоғары) бағытталған босату бар, егер ол (a, c) функциясының графигіне кез келген жанаманың астында (жоғары емес) орналасса.

а) ойыс қисық ә) дөңес қисық

Теорема 1 (қисықтың дөңестігі (ойыстығы) үшін қажетті шарт).

Егер екі есе дифференциалданатын функцияның графигі дөңес (шұңқыр) қисық болса, (а, в) интервалындағы екінші туынды осы аралықта теріс (оң) болады.

2-теорема(қисықтың дөңестігінің (шұңқырлығының) жеткілікті шарты).

Егер функция (a, b) және бойынша екі рет дифференциалданатын болса
(
) осы интервалдың барлық нүктелерінде болса, онда функцияның графигі болатын қисық осы аралықта дөңес (шұңқыр) болады.

Функция графигінің иілу нүктелері.

АнықтамаНүкте
нүктесінде болса, функция графигінің иілу нүктесі деп аталады
графикте жанама бар және нүктенің осындай маңайы бар , оның шегінде нүктенің сол және оң жағындағы функция графигі әртүрлі дөңес бағыттарға ие.

ТУРАЛЫ иілу нүктесінде жанама функцияның графигін кесіп өтетіні анық, өйткені бұл нүктенің бір жағында граф жанаманың үстінде, ал екінші жағында - оның астында, яғни иілу нүктесіне жақын жерде, функцияның графигі жанаманың бір жағынан екінші жағына геометриялық түрде өтеді және ол арқылы «бүгіледі». «Бүгіліс нүктесі» деген атау осы жерден шыққан.

Теорема 3(қажетті иілу нүктесінің шарты). Функция графигі нүктеде иілу және функция нүктеде болсын

үздіксіз екінші туынды. Содан кейін

.
Әрбір нүкте , бұрылыс нүктесі болып табылмайды. Мысалы, функцияның графигі

дегенмен (0, 0) иілу нүктесі жоқ

сағ

. Демек, екінші туындының нөлге теңдігі иілудің қажетті шарты ғана.

Графиктің нүктелері шақырылады сыни нүктелерII-қалалар.Әрбір сыни нүктеде иілудің болуы мәселесін одан әрі зерттеу қажет.

Теорема 4(иілу нүктесі үшін жеткілікті шарт). Функцияның нүктенің кейбір маңайында екінші туындысы болсын. Содан кейін, егер көрсетілген маңайда болса
нүктенің сол және оң жағында әр түрлі белгілері бар, содан кейін график нүктеде иілісі бар.
Түсініктеме.Теорема ақиқат болып қалады, егер
нүктенің өзінен басқа нүктенің кейбір маңайында екінші туындысы бар және нүктедегі функцияның графигіне жанама бар.
. Содан кейін, егер көрсетілген маңайдың ішінде нүктенің сол және оң жағында әртүрлі белгілері болса, онда функция графигі нүктесінде иілісі болады.
Дөңес, ойыс, иілу нүктелері үшін функцияны зерттеу схемасы.

Мысал.Функцияны зерттеу
дөңес, ойыс, иілу нүктелері.
1.

2.
,
=

3. жерде жоқ

)	1	(1, +)
-		+
	1

Функция графигінің асимптоталары.

Функцияның әрекетін зерттеу кезінде
немесе 2-ші түрдегі үзіліс нүктелеріне жақын болса, функцияның графигі сол немесе басқа түзуге жақын келетіні белгілі болады. Мұндай сызықтар деп аталады.

ТУРАЛЫ анықтама 1. Түзу

Егер нүкте қисық бойымен шексіздікке дейін алыстаған кезде қисық нүктесінен осы түзуге дейінгі қашықтық нөлге ұмтылса, L қисығының асимптотасы деп аталады. Асимптоталардың үш түрі бар: тік, көлденең, көлбеу.

Анықтама 2.Түзу
функция графигінің тік асимптотасы деп аталады, егер бір жақты шектердің ең болмағанда біреуі тең болса
, яғни, немесе

Мысалы, функцияның графигі
тік асимптотасы бар
, өйткені
, А
.

Анықтама 3. y \u003d A түзу сызығы функция графигінің көлденең асимптотасы деп аталады.

Егер

Мысалы, функцияның графигінде y=0 көлденең асимптотасы бар, өйткені
.

Анықтама 4.Түзу

(

) функциясының графигінің қиғаш асимптотасы деп аталады

Егер

;

Егер шектеулердің ең болмағанда біреуі болмаса, онда қисық сызықта асимптоталар болмайды. Егер болса, онда бұл шектеулерді және үшін бөлек іздеу керек
.

Мысалы. Функция графигінің асимптоттарын табыңыз

; x=0 – тік асимптота

;
.

қиғаш асимптотасы болып табылады.
4. Функцияны толық зерттеу схемасы және графигі.

Функцияның әрекетін зерттеуге және оның графигін құруға кеңес беретін үлгілі схеманы қарастырыңыз.

Мысал.Функцияны зерттеу

және оны жоспарлаңыз.

1., x=-1 қоспағанда.

2.
жұп та, тақ та емес те қызмет етеді

-

-

+

+

ж

-4

t r.

0

Қорытынды.
Қарастырылып отырған әдістің маңызды ерекшелігі, ол ең алдымен қисық мінез-құлықтағы сипаттамалық белгілерді анықтауға және зерттеуге негізделген. Функцияның біркелкі өзгеретін жерлері егжей-тегжейлі зерттелмейді және мұндай зерттеудің қажеті жоқ. Бірақ функцияның мінез-құлқында қандай да бір ерекшеліктер бар жерлер толық зерттеуге және ең дәл графикалық бейнелеуге жатады. Бұл ерекшеліктер функцияның максимум, минимум нүктелері, үзіліс нүктелері және т.б.

Ойыс және иілу бағытын, сондай-ақ асимптоталарды табудың көрсетілген әдісін анықтау функцияларды толығырақ зерттеуге және олардың графиктері туралы дәлірек түсінік алуға мүмкіндік береді.

Нұсқау

Функцияның иілу нүктелері оның анықталу облысына жатуы керек, оны алдымен табу керек. Функция графигі - үздіксіз немесе үзілістері бар, біркелкі түрде кемуі немесе өсетін, минималды немесе максималды нүктелері (ассимптоталары), дөңес немесе ойыс болуы мүмкін сызық. Соңғы екі күйдің күрт өзгеруі флексия деп аталады.

Функцияның иілу болуының қажетті шарты - екіншісінің нөлге тең болуы. Осылайша, функцияны екі рет дифференциялау және алынған өрнекті нөлге теңестіру арқылы мүмкін болатын иілу нүктелерінің абсциссаларын табуға болады.

Бұл шарт функция графигінің дөңес және ойыс қасиеттерін анықтаудан туындайды, яғни. екінші туындының теріс және оң мәндері. Иілу нүктесінде бұл қасиеттердің күрт өзгеруі байқалады, яғни туынды нөлдік белгіден өтеді. Дегенмен, нөлге теңдік әлі де иілу нүктесін көрсету үшін жеткіліксіз.

Алдыңғы кезеңде табылған абсциссаның иілу нүктесіне жататын екі шарты жеткілікті: Осы нүкте арқылы функцияға жанама салуға болады. Екінші туынды болжамды иілу нүктесінің оң және сол жағында әртүрлі белгілерге ие. Сонымен, оның нүктеде болуының өзі қажет емес, оның таңбасын онда өзгеретінін анықтау жеткілікті.Функцияның екінші туындысы нөлге тең, ал үшіншісі жоқ.

Бірінші жеткілікті шарт әмбебап болып табылады және басқаларға қарағанда жиі қолданылады. Көрнекі мысалды қарастырайық: y = (3 x + 3) ∛ (x - 5).

Шешімі.Анықтау облысын табыңыз. Бұл жағдайда ешқандай шектеулер жоқ, сондықтан бұл нақты сандардың бүкіл кеңістігі. Бірінші туындыны есептеңіз: y' = 3 ∛ (x - 5) + (3 x + 3) / ∛ (x - 5)².

Бөлшектің сыртқы түріне назар аударыңыз. Осыдан туынды сөздің анықталу облысы шектелгені шығады. x = 5 нүктесі тесілген, яғни ол арқылы жанама өтуі мүмкін, бұл иілудің жеткіліктілігінің бірінші критерийіне ішінара сәйкес келеді.

Алынған өрнек үшін x → 5 - 0 және x → 5 + 0 нүктелеріндегі бір жақты шектеулерді анықтаңыз. Олар -∞ және +∞ мәндеріне тең. Сіз тік жанаманың x=5 нүктесі арқылы өтетінін дәлелдедіңіз. Бұл нүкте иілу нүктесі болуы мүмкін, бірақ алдымен екінші туындыны есептеңіз: - 5)^5 = (2 x - 22)/∛(x - 5)^5.

Бөлгішті алып тастаңыз, өйткені сіз x = 5 нүктесін ескердіңіз. 2 x - 22 = 0 теңдеуін шешіңіз. Оның бір түбірі x = 11. Соңғы қадам x = 5 және x = 11 нүктелерінің иілу нүктелері екенін растау. Екінші туындының олардың маңайындағы мінез-құлқын талдаңыз. Әлбетте, х = 5 нүктесінде «+» белгісінен «-» белгісіне, ал х = 11 нүктесінде керісінше өзгереді. Қорытынды: екі нүкте де иілу нүктелері. Бірінші жеткілікті шарт орындалды.