Tele2 бойынша анықтама, тарифтер, сұрақтар

Сіз мұнда келгеннен бері бұл формуланы оқулықтан көрген шығарсыз

және келесідей бет жасаңыз:

Досым, уайымдама! Шын мәнінде, бәрі жай ғана шектен шыққан. Сіз міндетті түрде бәрін түсінесіз. Бір ғана өтініш - мақаланы оқыңыз баяу, әр қадамды түсінуге тырысыңыз. Мен мүмкіндігінше қарапайым және анық жаздым, бірақ сіз әлі де идеяны түсінуіңіз керек. Мақаланың тапсырмаларын міндетті түрде шешіңіз.

Күрделі функция дегеніміз не?

Сіз басқа пәтерге көшіп жатырсыз деп елестетіп көріңіз, сондықтан заттарды үлкен қораптарға салып жатырсыз. Сізге шағын заттарды жинау керек делік, мысалы, мектептегі жазу материалдары. Егер сіз оларды үлкен қорапқа тастасаңыз, олар басқа заттардың арасында жоғалады. Бұған жол бермеу үшін алдымен оларды, мысалы, сөмкеге салыңыз, содан кейін оны үлкен қорапқа саласыз, содан кейін оны мөрлейсіз. Бұл «күрделі» процесс төмендегі диаграммада берілген:

Математиканың бұған қандай қатысы бар сияқты? Иә, күрделі функция ДӘЛ СОЛ әдіспен жасалғанына қарамастан! Тек біз дәптерлер мен қаламдарды емес, \(x\) «ораймыз», ал «бумалар» мен «қораптар» әртүрлі.

Мысалы, x алайық және оны функцияға «буып» алайық:

Нәтижесінде біз, әрине, \(\cos⁡x\) аламыз. Бұл біздің «заттар қоржынымыз». Енді оны «қорапқа» салайық - мысалы, текше функцияға салыңыз.

Соңында не болады? Иә, дұрыс, «қораптағы заттар қапшығы», яғни «X кубының косинусы» болады.

Алынған дизайн күрделі функция болып табылады. Оның қарапайымнан айырмашылығы сол БІРІНШЕ «әсер ету» (пакеттер) қатарынан бір X үшін қолданыладыжәне «функциядан функция» - «қаптамадағы орау» сияқты болып шығады.

Мектеп курсында бұл «пакеттердің» түрі өте аз, тек төртеуі бар:

Енді Х-ны алдымен 7 негізі бар экспоненциалды функцияға, содан кейін тригонометриялық функцияға «ораймыз». Біз алып жатырмыз:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

Енді x-ті тригонометриялық функцияларға екі рет «буып» алайық, алдымен ішіне, содан кейін:

\(x → sin⁡x → cotg⁡ (sin⁡x)\)

Қарапайым, солай ма?

Енді функцияларды өзіңіз жазыңыз, мұнда x:
- алдымен ол косинусқа, содан кейін \(3\) негізі бар экспоненциалды функцияға “оралады”;
- алдымен бесінші дәрежеге, содан кейін жанамаға;
- алдымен логарифмге дейін \(4\) негізі , содан кейін \(-2\) қуатына.

Бұл тапсырманың жауаптарын мақаланың соңында табыңыз.

Біз X екі емес, үш рет «орауға» бола аламыз ба? Проблема жоқ! Және төрт, бес және жиырма бес рет. Мұнда, мысалы, х мәні \(4\) рет "бумаланған" функция:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Бірақ мұндай формулалар мектеп тәжірибесінде кездеспейді (оқушылар бақыттырақ – олардыкі күрделірек болуы мүмкін☺).

Күрделі функцияны «ораудан шығару».

Алдыңғы функцияны қайта қараңыз. Сіз «орау» ретін анықтай аласыз ба? Алдымен не X толтырылды, содан кейін не және т.б. соңына дейін. Яғни, қай функцияның ішінде кірістірілген? Бір парақ алып, өз ойларыңызды жазыңыз. Мұны жоғарыда жазғанымыздай көрсеткілері бар тізбекпен немесе кез келген басқа жолмен жасауға болады.

Енді дұрыс жауап: алдымен x \(4\)-ші дәрежеге "оралған", содан кейін нәтиже синусқа оралған, ол өз кезегінде логарифмге \(2\) негізіне орналастырылған. , және соңында бұл бүкіл құрылыс қуатты бестікке толтырылды.

Яғни, ретті КЕРІ ТӘРТІПпен босату керек. Мұны қалай оңай орындау керектігі туралы кеңес: бірден X-ге қараңыз - сіз одан билеуіңіз керек. Бірнеше мысалды қарастырайық.

Мысалы, мына функция: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Біз X-ке қараймыз - алдымен оған не болады? Одан алынған. Ал содан кейін? Нәтиженің тангенсі алынады. Бұл реттілік бірдей болады:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Басқа мысал: \(y=\cos⁡((x^3))\). Талдап көрейік - алдымен X-ті текшелеп, содан кейін нәтиженің косинусын алдық. Бұл реттілік келесідей болатынын білдіреді: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Назар аударыңыз, функция біріншіге ұқсас сияқты (суреттері бар). Бірақ бұл мүлде басқа функция: мұнда текшеде x (яғни, \(\cos⁡((x·x·x)))\), ал текшеде косинус \(x\) ( яғни \(\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Бұл айырмашылық әртүрлі «орау» реттіліктерінен туындайды.

Соңғы мысал (онда маңызды ақпарат бар): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Мұнда олар алдымен х-пен арифметикалық амалдар жасағаны, содан кейін нәтиженің синусын қабылдағаны анық: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). Және бұл маңызды сәт: арифметикалық амалдар өздігінен функция емес екеніне қарамастан, мұнда олар «орау» әдісі ретінде де әрекет етеді. Осы нәзіктікке сәл тереңірек үңілейік.

Жоғарыда айтқанымдай, қарапайым функцияларда x бір рет, ал күрделі функцияларда екі немесе одан да көп болады. Оның үстіне қарапайым функциялардың кез келген комбинациясы (яғни, олардың қосындысы, айырмасы, көбейту немесе бөлу) да қарапайым функция болып табылады. Мысалы, \(x^7\) қарапайым функция және \(ctg x\) сияқты. Бұл олардың барлық комбинациялары қарапайым функциялар екенін білдіреді:

\(x^7+ ctg x\) - қарапайым,
\(x^7· кереует x\) – қарапайым,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – қарапайым, т.б.

Алайда, егер мұндай комбинацияға тағы бір функция қолданылса, ол күрделі функцияға айналады, өйткені екі «бума» болады. Диаграмманы қараңыз:

Жарайды, қазір жүр. «Орау» функцияларының тізбегін жазыңыз:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Жауаптар тағы да мақаланың соңында.

Ішкі және сыртқы функциялары

Неліктен біз функцияларды ұялауды түсінуіміз керек? Бұл бізге не береді? Өйткені, мұндай талдаусыз біз жоғарыда қарастырылған функциялардың туындыларын сенімді түрде таба алмаймыз.

Ал әрі қарай жүру үшін бізге тағы екі ұғым қажет: ішкі және сыртқы функциялар. Бұл өте қарапайым нәрсе, оның үстіне, біз оларды жоғарыда талдадық: егер біз ең басында ұқсастығымызды еске түсірсек, онда ішкі функция «бума», ал сыртқы функция «қорап». Анау. Біріншіден X «оралған» ішкі функция, ал ішкі функция «оралған» сыртқы болып табылады. Неге екені түсінікті - ол сыртта, бұл сыртқы дегенді білдіреді.

Бұл мысалда: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), \(\log_2⁡x\) функциясы ішкі және
- сыртқы.

Және бұл жерде: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) ішкі, және
- сыртқы.

Күрделі функцияларды талдаудың соңғы тәжірибесін аяқтаңыз және соңында бәріміз бастаған нәрсеге көшейік - біз күрделі функциялардың туындыларын табамыз:

Кестедегі бос орындарды толтырыңыз:

Күрделі функцияның туындысы

Браво, біз ақыры осы тақырыптың «бастығына» жеттік - шын мәнінде, күрделі функцияның туындысы, атап айтқанда, мақаланың басынан бері өте қорқынышты формулаға.☺

\((f(g(x))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Бұл формула келесідей оқылады:

Күрделі функцияның туындысы тұрақты ішкі функцияға қатысты сыртқы функцияның туындысы мен ішкі функцияның туындысына тең.

Не екенін түсіну үшін бірден «сөзбен сөз» талдау диаграммасына қараңыз:

«Туынды» және «өнім» терминдері ешқандай қиындық тудырмайды деп үміттенемін. «Күрделі функция» - біз оны сұрыптадық. Ұстау «тұрақты ішкі функцияға қатысты сыртқы функцияның туындысында». Бұл не?

Жауап: Бұл сыртқы функцияның әдеттегі туындысы, онда тек сыртқы функция өзгереді, ал ішкі функциясы өзгеріссіз қалады. Әлі анық емес пе? Жарайды, мысал келтірейік.

\(y=\sin⁡(x^3)\) функциясын алайық. Мұндағы ішкі функция \(x^3\), ал сыртқы болатыны анық
. Енді тұрақты интерьерге қатысты экстерьердің туындысын табайық.

Туындыны табу операциясы дифференциалдау деп аталады.

Аргумент өсімшесінің өсімшеге қатынасының шегі ретінде туындыны анықтау арқылы ең қарапайым (және өте қарапайым емес) функциялардың туындыларын табу есептерін шешу нәтижесінде туындылар кестесі және дифференциалдаудың нақты анықталған ережелері пайда болды. . Туындыларды табу саласында алғаш жұмыс істегендер Исаак Ньютон (1643-1727) және Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716) болды.

Сондықтан біздің заманымызда кез келген функцияның туындысын табу үшін функцияның өсімшесінің аргумент өсіміне қатынасының жоғарыда айтылған шегін есептеудің қажеті жоқ, тек мына кестені пайдалану керек: туындылар және дифференциалдау ережелері. Туындыны табу үшін келесі алгоритм қолайлы.

Туындыны табу, сізге жай таңбаның астындағы өрнек керек қарапайым функцияларды құрамдас бөліктерге бөлужәне қандай әрекеттерді анықтау (өнім, қосынды, үлес)бұл функциялар байланысты. Әрі қарай, элементар функциялардың туындыларын туындылар кестесінен, ал туындының, қосындының және үлестің туындыларының формулаларын дифференциалдау ережелерінен табамыз. Туынды кесте және дифференциалдау ережелері алғашқы екі мысалдан кейін берілген.

1-мысал.Функцияның туындысын табыңыз

Шешім. Дифференциалдау ережелерінен біз функциялар қосындысының туындысы функциялардың туындыларының қосындысы екенін анықтаймыз, яғни.

Туындылар кестесінен «х» туындысы бірге, ал синустың туындысы косинусқа тең екенін білеміз. Бұл мәндерді туындылар қосындысына ауыстырамыз және есеп шарты бойынша талап етілетін туындыны табамыз:

2-мысал.Функцияның туындысын табыңыз

Шешім. Екінші мүшесі тұрақты көбейткіші бар қосындының туындысы ретінде ажыратамыз, оны туындының белгісінен шығаруға болады:

Егер бірдеңенің қайдан шыққаны туралы әлі де сұрақтар туындаса, олар әдетте туындылар кестесімен және дифференциацияның қарапайым ережелерімен танысқаннан кейін жойылады. Біз қазір оларға көшеміз.

Қарапайым функциялардың туындыларының кестесі

1. Тұрақтының (санның) туындысы. Функция өрнегіндегі кез келген сан (1, 2, 5, 200...). Әрқашан нөлге тең. Мұны есте сақтау өте маңызды, өйткені бұл өте жиі қажет
2. Тәуелсіз айнымалының туындысы. Көбінесе «X». Әрқашан бірге тең. Мұны да ұзақ уақыт есте сақтау маңызды
3. Дәреженің туындысы. Есептерді шығарғанда квадрат емес түбірлерді дәрежелерге түрлендіру керек.
4. Айнымалының -1 дәрежесіне туындысы
5. Квадрат түбірдің туындысы
6. Синустың туындысы
7. Косинустың туындысы
8. Тангенстің туындысы
9. Котангенс туындысы
10. Арксинустың туындысы
11. Арккосиннің туындысы
12. Арктангенс туындысы
13. Доға котангенсінің туындысы
14. Натурал логарифмнің туындысы
15. Логарифмдік функцияның туындысы
16. Көрсеткіштің туындысы
17. Көрсеткіштік функцияның туындысы

Дифференциация ережелері

1. Қосындының немесе айырманың туындысы
2. Өнімнің туындысы
2а. Тұрақты көбейткішке көбейтілген өрнектің туындысы
3. Бөлімшенің туындысы
4. Күрделі функцияның туындысы

1-ереже.Функциялар болса

бір нүктеде дифференциалданатын болса, онда функциялар бір нүктеде дифференциалданатын болады

және

анау. функциялардың алгебралық қосындысының туындысы осы функциялардың туындыларының алгебралық қосындысына тең.

Салдары. Егер екі дифференциалданатын функция тұрақты мүшемен ерекшеленсе, олардың туындылары тең болады, яғни.

2-ереже.Функциялар болса

бір нүктеде дифференциалданатын болса, олардың көбейтіндісі сол нүктеде дифференциалданатын болады

және

анау. Екі функцияның туындысының туындысы осы функциялардың әрқайсысының туындысы мен екіншісінің туындысының қосындысына тең.

Қорытынды 1. Тұрақты көбейткішті туындының таңбасынан шығаруға болады:

Қорытынды 2. Бірнеше дифференциалданатын функциялардың туындысының туындысы әрбір фактордың және барлық басқаларының туындыларының көбейтінділерінің қосындысына тең.

Мысалы, үш көбейткіш үшін:

3-ереже.Функциялар болса

белгілі бір уақытта дифференциалданады Және , онда бұл кезде олардың бөлшегі де дифференциалданадыu/v , және

анау. екі функцияның бөліндісінің туындысы бөлшекке тең, оның алымы азайғыш пен алымның туындысы мен алым мен азалғыштың туындысының айырмасы, ал бөлгіш - -ның квадраты. бұрынғы алым.

Басқа беттердегі заттарды қайдан іздеу керек

Нақты есептердегі көбейтіндінің туындысын және көбейтіндіні табу кезінде әрқашан бірден бірнеше дифференциалдау ережелерін қолдану қажет, сондықтан мақалада бұл туындыларға көбірек мысалдар бар«Функциялардың туындысы мен бөлімі».

Түсініктеме.Тұрақтыны (яғни санды) қосындыдағы мүше ретінде және тұрақты көбейткіш ретінде шатастырмау керек! Термин жағдайында оның туындысы нөлге тең, ал тұрақты көбейткіште туындылардың таңбасынан алынады. Бұл туынды сөздерді зерттеудің бастапқы кезеңінде болатын әдеттегі қате, бірақ орташа оқушы бірнеше бір және екі бөлікті мысалдарды шешкендіктен, ол енді бұл қатені жібермейді.

Ал егер өнімді немесе үлесті саралау кезінде сізде термин болса u"v, онда u- сан, мысалы, 2 немесе 5, яғни тұрақты, онда бұл санның туындысы нөлге тең болады, демек, бүкіл мүше нөлге тең болады (бұл жағдай 10-мысалда талқыланады).

Тағы бір жиі кездесетін қателік күрделі функцияның туындысын қарапайым функцияның туындысы ретінде механикалық жолмен шешу болып табылады. Сондықтан күрделі функцияның туындысыжеке мақала арналған. Бірақ алдымен қарапайым функциялардың туындыларын табуды үйренеміз.

Жолда сіз өрнектерді түрлендірусіз жасай алмайсыз. Мұны істеу үшін нұсқаулықты жаңа терезелерде ашу қажет болуы мүмкін. Күштері мен тамыры бар әрекеттерЖәне Бөлшектермен амалдар .

Егер сіз дәрежелері мен түбірлері бар бөлшектердің туындыларының шешімдерін іздесеңіз, яғни функция қай кезде көрінеді , содан кейін «Дәрежелері мен түбірі бар бөлшектердің қосындыларының туындысы» сабағын орындаңыз.

сияқты тапсырма болса , содан кейін «Қарапайым тригонометриялық функциялардың туындылары» сабағын өтесіз.

Қадамдық мысалдар – туындыны қалай табуға болады

3-мысал.Функцияның туындысын табыңыз

Шешім. Функция өрнегінің бөліктерін анықтаймыз: бүкіл өрнек туындыны білдіреді, ал оның көбейткіштері қосындылар болып табылады, екіншісінде терминдердің бірінде тұрақты фактор бар. Біз туынды дифференциалдау ережесін қолданамыз: екі функцияның туындысының туындысы осы функциялардың әрқайсысының екіншісінің туындысына көбейтіндісінің қосындысына тең:

Әрі қарай, қосындыны дифференциалдау ережесін қолданамыз: функциялардың алгебралық қосындысының туындысы осы функциялардың туындыларының алгебралық қосындысына тең. Біздің жағдайда әрбір қосындыда екінші мүшенің минус таңбасы болады. Әрбір қосындыда туындысы бірге тең тәуелсіз айнымалыны да, туындысы нөлге тең тұрақтыны да (сан) көреміз. Сонымен, «X» бірге айналады, ал минус 5 нөлге айналады. Екінші өрнекте «x» 2-ге көбейтіледі, сондықтан біз «x» туындысы сияқты екі бірлікке көбейтеміз. Біз келесі туынды мәндерді аламыз:

Табылған туындыларды көбейтінділердің қосындысына ауыстырамыз және есеп шарты талап ететін барлық функцияның туындысын аламыз:

Сіз туынды есептің шешімін мына жерден тексере аласыз.

4-мысал.Функцияның туындысын табыңыз

Шешім. Бөлімнің туындысын табу керек. Бөлімді дифференциалдау формуласын қолданамыз: екі функцияның бөлімінен алынған туынды бөлшекке тең, оның алымы азайғыш пен алым мен алым мен туындының туындысы арасындағы айырма болып табылады. бөлгіш, ал бөлгіш бұрынғы алымның квадраты болып табылады. Біз алып жатырмыз:

Біз 2-мысалдағы алымдағы көбейткіштердің туындысын таптық. Сонымен қатар ағымдағы мысалдағы алымдағы екінші көбейткіш болып табылатын көбейтіндінің минус таңбасымен алынғанын ұмытпайық:

Егер сіз түбірлер мен дәрежелердің үздіксіз үйіндісі болатын функцияның туындысын табу қажет есептердің шешімін іздесеңіз, мысалы, , онда сабаққа қош келдіңіз «Дәрежелері мен түбірлері бар бөлшектердің қосындыларының туындысы» .

Егер сізге синустардың, косинустардың, тангенстердің және басқа тригонометриялық функциялардың туындылары туралы көбірек білу қажет болса, яғни функция келесідей көрінеді: , онда сізге сабақ «Қарапайым тригонометриялық функциялардың туындылары» .

5-мысал.Функцияның туындысын табыңыз

Шешім. Бұл функцияда біз көбейтіндіні көреміз, оның факторларының бірі тәуелсіз айнымалының квадрат түбірі болып табылады, оның туындысымен біз туындылар кестесінде таныстық. Квадрат түбір туындысының туындысын және кестелік мәнін дифференциалдау ережесін пайдаланып, мынаны аламыз:

Туынды есептің шешімін мына жерден тексеруге болады туынды құралдардың онлайн калькуляторы .

6-мысал.Функцияның туындысын табыңыз

Шешім. Бұл функцияда дивиденді тәуелсіз айнымалының квадрат түбірі болатын бөлінді көреміз. Біз 4-мысалда қайталап және қолданатын үлесті дифференциалдау ережесін және квадрат түбір туындысының кестелік мәнін пайдалана отырып, біз мынаны аламыз:

Алымдағы бөлшектен құтылу үшін алым мен бөлгішті көбейту керек.

Бұл сабақта біз қалай табуға болатынын білеміз күрделі функцияның туындысы. Сабақ – сабақтың логикалық жалғасы Туындыны қалай табуға болады?, онда біз ең қарапайым туындыларды қарастырдық, сонымен қатар дифференциалдау ережелерімен және туындыларды табудың кейбір техникалық әдістерімен таныстық. Осылайша, егер сіз функциялардың туындыларын жақсы білмесеңіз немесе осы мақаланың кейбір тармақтары толығымен түсініксіз болса, алдымен жоғарыдағы сабақты оқып шығыңыз. Маңызды көңіл-күйге ие болыңыз - материал қарапайым емес, бірақ мен оны қарапайым және түсінікті етіп көрсетуге тырысамын.

Практикада күрделі функцияның туындысымен өте жиі айналысуға тура келеді, тіпті туындыларды табу тапсырмалары берілгенде дерлік дерлік дер едім.

Күрделі функцияны дифференциалдау үшін ережедегі кестені (No5) қарастырамыз:

Оны анықтап көрейік. Ең алдымен, жазбаға назар аударайық. Мұнда бізде екі функция бар - және , және функция бейнелі түрде функцияның ішінде кірістірілген. Бұл түрдегі функция (бір функция басқа функцияның ішіне кірістірілгенде) күрделі функция деп аталады.

Мен функцияны шақырамын сыртқы функция, және функциясы – ішкі (немесе кірістірілген) функция.

! Бұл анықтамалар теориялық емес және тапсырмаларды түпкілікті ресімдеуде көрсетілмеуі керек. Мен «сыртқы функция», «ішкі» функция сияқты бейресми өрнектерді материалды түсінуді жеңілдету үшін ғана қолданамын.

Жағдайды түсіндіру үшін мыналарды қарастырыңыз:

1-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Синус астында бізде «Х» әрпі ғана емес, тұтас өрнек бар, сондықтан туындыны кестеден бірден табу жұмыс істемейді. Мұнда алғашқы төрт ережені қолдану мүмкін емес екенін байқаймыз, айырмашылық бар сияқты, бірақ синусын «бөлшектерге бөлуге» болмайды:

Бұл мысалда функцияның күрделі функция, ал көпмүшеліктің ішкі функция (енгізу) және сыртқы функция екендігі менің түсініктемелерімнен интуитивті түрде анық болды.

Алғашқы қадамкүрделі функцияның туындысын табу үшін не істеу керек Қандай функция ішкі, қайсысы сыртқы екенін түсіну.

Қарапайым мысалдарда көпмүше синусының астына енгізілгені анық көрінеді. Бірақ бәрі анық болмаса ше? Қандай функция сыртқы, қайсысы ішкі екенін қалай дәл анықтауға болады? Ол үшін мен ойша немесе жобада жасауға болатын келесі әдістемені қолдануды ұсынамын.

Калькулятордағы өрнектің мәнін есептеу керек деп елестетіп көрейік (бір санның орнына кез келген сан болуы мүмкін).

Алдымен нені есептейміз? Бірінші кезектекелесі әрекетті орындау керек: , сондықтан көпмүше ішкі функция болады:

Екіншідентабу керек, сондықтан синус – сыртқы функция болады:

Бізден кейін САТЫЛҒАНІшкі және сыртқы функциялармен күрделі функцияларды дифференциалдау ережесін қолдану уақыты келді.

Шешім қабылдауды бастайық. Сыныптан Туындыны қалай табуға болады?Кез келген туынды шешімнің дизайны әрқашан осылай басталатынын есте ұстаймыз - біз өрнекті жақшаға алып, жоғарғы оң жаққа штрих қоямыз:

Алғашқыдасыртқы функцияның (синус) туындысын табамыз, элементар функциялардың туындылары кестесін қарап, . Барлық кесте формулалары «x» күрделі өрнекпен ауыстырылса да қолданылады, бұл жағдайда:

Ішкі функцияны ескеріңіз өзгерген жоқ, біз оған тиіспейміз.

Ал, бұл анық

Формуланы қолданудың соңғы нәтижесі келесідей болады:

Тұрақты көбейткіш әдетте өрнектің басында орналасады:

Түсінбеушілік болса, шешімді қағазға жазып, түсініктемелерді қайта оқыңыз.

2-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

3-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Әдеттегідей, біз жазамыз:

Бізде қай жерде сыртқы функция бар, ал қай жерде ішкі функция бар екенін анықтайық. Ол үшін өрнектің мәнін (ойша немесе жобада) есептеуге тырысамыз. Алдымен не істеу керек? Ең алдымен, негіз неге тең екенін есептеу керек: сондықтан көпмүше ішкі функция болып табылады:

Сонда ғана дәреже көрсеткіші орындалады, демек, дәреже функциясы сыртқы функция болып табылады:

Формула бойынша алдымен сыртқы функцияның туындысын, бұл жағдайда дәрежесін табу керек. Қажетті формуланы кестеден іздейміз: . Тағы да қайталаймыз: кез келген кестелік формула тек «X» үшін ғана емес, күрделі өрнек үшін де жарамды. Осылайша, күрделі функцияны дифференциалдау ережесін қолданудың нәтижесі келесідей болады:

Мен сыртқы функцияның туындысын алған кезде біздің ішкі функциямыз өзгермейтінін тағы да атап өтемін:

Енді ішкі функцияның өте қарапайым туындысын табу және нәтижені сәл бұрмалау ғана қалады:

4-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Бұл сізге өзіңіз шешуге арналған мысал (сабақ соңында жауап беру).

Күрделі функцияның туындысы туралы түсінігіңді бекіту үшін мен түсініктемесіз мысал келтіремін, оны өз бетінше анықтауға тырысамын, себебі сыртқы және ішкі функция қайда, неге тапсырмалар осылай шешіледі?

5-мысал

а) Функцияның туындысын табыңыз

б) Функцияның туындысын табыңыз

6-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Мұнда бізде түбір бар, ал түбірді ажырату үшін оны қуат ретінде көрсету керек. Осылайша, алдымен функцияны дифференциалдау үшін қолайлы пішінге келтіреміз:

Функцияны талдай отырып, үш мүшенің қосындысы ішкі функция, ал дәрежеге көтеру сыртқы функция деген қорытындыға келеміз. Күрделі функцияларды дифференциалдау ережесін қолданамыз:

Біз қайтадан дәрежені радикал (түбір) ретінде көрсетеміз және ішкі функцияның туындысы үшін қосындыны дифференциалдаудың қарапайым ережесін қолданамыз:

Дайын. Сондай-ақ, өрнекті жақшадағы ортақ бөлгішке дейін азайтып, барлығын бір бөлшек түрінде жазуға болады. Бұл, әрине, әдемі, бірақ сіз ұзақ мерзімді туындыларды алған кезде мұны жасамағаныңыз жөн (шатастыру оңай, қажетсіз қателік жіберіңіз және мұғалімге тексеру ыңғайсыз болады).

7-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Бұл сізге өзіңіз шешуге арналған мысал (сабақ соңында жауап беру).

Бір қызығы, кейде күрделі функцияны дифференциалдау ережесінің орнына бөлімді дифференциалдау ережесін қолдануға болады. , бірақ мұндай шешім күлкілі бұрмалау сияқты болады. Міне, әдеттегі мысал:

8-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Мұнда бөлімді дифференциалдау ережесін қолдануға болады , бірақ күрделі функцияны дифференциалдау ережесі арқылы туындыны табу әлдеқайда тиімді:

Функцияны дифференциалдау үшін дайындаймыз - минусты туынды таңбадан шығарып, косинусты алымға көтереміз:

Косинус ішкі функция, дәрежеге шығару сыртқы функция.
Ережемізді қолданайық:

Ішкі функцияның туындысын табамыз және косинусты қайтадан төмендетеміз:

Дайын. Қарастырылған мысалда белгілерде шатастырмау маңызды. Айтпақшы, оны ережені пайдаланып шешуге тырысыңыз , жауаптары сәйкес болуы керек.

9-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Бұл сізге өзіңіз шешуге арналған мысал (сабақ соңында жауап беру).

Осы уақытқа дейін бізде күрделі функцияда бір ғана ұя болған жағдайларды қарастырдық. Практикалық тапсырмаларда сіз көбінесе туындыларды таба аласыз, оларда ұя салатын қуыршақтар сияқты бірінің ішінде бірінің ішінде 3 немесе тіпті 4-5 функция бірден кірістірілген.

10-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Осы функцияның қосымшаларын түсінейік. Эксперименттік мәнді пайдаланып өрнекті есептеп көрейік. Калькуляторға қалай сенер едік?

Алдымен сіз оны табуыңыз керек, бұл доғаның ең терең кірістіру екенін білдіреді:

Бірдің бұл доғасының квадраты болуы керек:

Соңында біз жеті күшке көтереміз:

Яғни, бұл мысалда бізде үш түрлі функция және екі кірістіру бар, ал ішкі функция - доға синусы, ал ең сыртқы функция - көрсеткіштік функция.

Шешім қабылдауды бастайық

Ережеге сәйкес, алдымен сыртқы функцияның туындысын алу керек. Туындылар кестесін қарап, көрсеткіштік функцияның туындысын табамыз: Жалғыз айырмашылығы – «x» орнына күрделі өрнек бар, бұл формуланың дұрыстығын жоққа шығармайды. Сонымен, күрделі функцияны дифференциалдау ережесін қолданудың нәтижесі келесідей болады:

Инсульт астында бізде қайтадан күрделі функция бар! Бірақ бұл қазірдің өзінде қарапайым. Ішкі функция - доға синусы, сыртқы функция - дәреже екенін тексеру оңай. Күрделі функцияны дифференциалдау ережесіне сәйкес, алдымен дәреженің туындысын алу керек.

Егер g(x) Және f(u) – нүктелердегі сәйкесінше олардың аргументтерінің дифференциалданатын функциялары xЖәне u= g(x), онда күрделі функция нүктеде де дифференциалданады xжәне формула бойынша табылады

Туынды есептерді шешудегі әдеттегі қате қарапайым функцияларды күрделі функцияларға дифференциалдау ережелерін механикалық түрде беру болып табылады. Бұл қателіктен аулақ болуды үйренейік.

2-мысал.Функцияның туындысын табыңыз

Қате шешім:жақшадағы әрбір мүшенің натурал логарифмін есептеп, туындыларының қосындысын табыңыз:

Дұрыс шешім:тағы да біз «алманың» және «фарштың» қайда екенін анықтаймыз. Мұнда жақшадағы өрнектің натурал логарифмі «алма», яғни аралық аргумент үстіндегі функция. u, ал жақшадағы өрнек «фарш», яғни аралық аргумент uтәуелсіз айнымалы арқылы x.

Содан кейін (туындылар кестесіндегі 14 формуланы пайдалану)

Көптеген нақты өмірлік есептерде логарифмі бар өрнек біршама күрделірек болуы мүмкін, сондықтан сабақ бар.

3-мысал.Функцияның туындысын табыңыз

Қате шешім:

Дұрыс шешім.Тағы да біз «алма» қайда және «тарш» қайда екенін анықтаймыз. Мұнда жақшадағы өрнектің косинусы (туындылар кестесіндегі 7 формула) «алма» болып табылады, ол тек оған әсер ететін 1 режимде дайындалады, ал жақшадағы өрнек (дәреженің туындысы 3 саны) туындылар кестесінде) «тарш» болып табылады, ол тек оған әсер ететін 2 режимде дайындалады. Және әдеттегідей екі туындыны туынды белгісімен қосамыз. Нәтиже:

Күрделі логарифмдік функцияның туындысы тесттерде жиі кездесетін тапсырма болып табылады, сондықтан біз сізге «Логарифмдік функцияның туындысы» сабағына қатысуды ұсынамыз.

Алғашқы мысалдар күрделі функцияларға қатысты болды, оларда тәуелсіз айнымалыға аралық аргумент қарапайым функция болды. Бірақ практикалық тапсырмаларда көбінесе күрделі функцияның туындысын табу қажет, мұнда аралық аргумент не өзі күрделі функция болып табылады немесе осындай функцияны қамтиды. Мұндай жағдайларда не істеу керек? Кестелер мен дифференциалдау ережелерін пайдаланып, осындай функциялардың туындыларын табыңыз. Аралық аргументтің туындысы табылғанда, ол жай ғана формуладағы дұрыс орынға ауыстырылады. Төменде мұны істеудің екі мысалы келтірілген.

Сонымен қатар, мыналарды білу пайдалы. Егер күрделі функцияны үш функцияның тізбегі ретінде көрсетуге болады

онда оның туындысын осы функциялардың әрқайсысының туындыларының көбейтіндісі ретінде табу керек:

Көптеген үй тапсырмалары нұсқаулықтарды жаңа терезелерде ашуды талап етуі мүмкін. Күштері мен тамыры бар әрекеттерЖәне Бөлшектермен амалдар .

4-мысал.Функцияның туындысын табыңыз

Туындылардың нәтижелік туындысында тәуелсіз айнымалыға қатысты аралық аргумент болатынын ұмытпай, күрделі функцияны дифференциалдау ережесін қолданамыз. xөзгерген емес:

Өнімнің екінші факторын дайындаймыз және қосындыны дифференциалдау ережесін қолданамыз:

Екінші мүше – түбір, сондықтан

Осылайша, қосынды болып табылатын аралық аргумент терминдердің бірі ретінде күрделі функцияны қамтитынын анықтадық: күшке көтеру - күрделі функция, ал күшке көтерілу - тәуелсізге қатысты аралық аргумент. айнымалы x.

Сондықтан күрделі функцияны дифференциалдау ережесін тағы да қолданамыз:

Бірінші көбейткіштің дәрежесін түбірге айналдырамыз, ал екінші көбейткішті дифференциалдау кезінде тұрақтының туындысы нөлге тең екенін ұмытпа:

Енді мәселенің қойылымында талап етілетін күрделі функцияның туындысын есептеу үшін қажет аралық аргументтің туындысын таба аламыз. ж:

5-мысал.Функцияның туындысын табыңыз

Біріншіден, біз қосындыны дифференциалдау ережесін қолданамыз:

Екі күрделі функцияның туындыларының қосындысын алдық. Біріншісін табайық:

Мұнда синусты дәрежеге көтеру күрделі функция, ал синустың өзі тәуелсіз айнымалы үшін аралық аргумент болып табылады. x. Сондықтан біз күрделі функцияны дифференциалдау ережесін қолданамыз факторды жақшадан шығару :

Енді функцияның туындыларының екінші мүшесін табамыз ж:

Мұнда косинусты дәрежеге көтеру күрделі функция болып табылады f, ал косинустың өзі тәуелсіз айнымалыдағы аралық аргумент болып табылады x. Күрделі функцияны дифференциалдау үшін тағы бір ережені қолданайық:

Нәтиже - қажетті туынды:

Кейбір күрделі функциялардың туындыларының кестесі

Күрделі функцияны дифференциалдау ережесіне негізделген күрделі функциялар үшін жай функцияның туындысының формуласы басқа формада болады.

1. Күрделі дәрежелік функцияның туындысы, мұндағы u x
2. Өрнектің түбірінің туындысы
3. Көрсеткіштік функцияның туындысы
4. Көрсеткіштік функцияның ерекше жағдайы
5. Ерікті оң негізі бар логарифмдік функцияның туындысы А
6. Күрделі логарифмдік функцияның туындысы, мұндағы u– аргументтің дифференциалданатын қызметі x
7. Синустың туындысы
8. Косинустың туындысы
9. Тангенстің туындысы
10. Котангенс туындысы
11. Арксинустың туындысы
12. Доғалық косинустың туындысы
13. Арктангенс туындысы
14. Доға котангенсінің туындысы

Егер сіз анықтаманы ұстанатын болсаңыз, онда функцияның нүктедегі туындысы Δ функциясының өсімшесінің қатынасының шегі болады. жаргумент өсіміне Δ x:

Бәрі түсінікті сияқты. Бірақ, айталық, функцияның туындысын есептеу үшін осы формуланы пайдаланып көріңіз f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e xкүнә x. Егер сіз бәрін анықтама бойынша жасасаңыз, онда бірнеше беттік есептеулерден кейін сіз жай ұйықтайсыз. Сондықтан қарапайым және тиімдірек жолдар бар.

Алдымен біз функциялардың барлық алуан түрінен қарапайым функциялар деп аталатындарды ажыратуға болатынын атап өтеміз. Бұл салыстырмалы түрде қарапайым өрнектер, олардың туындылары бұрыннан есептеліп, кесте түрінде берілген. Мұндай функцияларды есте сақтау өте оңай - олардың туындыларымен бірге.

Элементар функциялардың туындылары

Қарапайым функциялар төменде көрсетілгендердің барлығы. Бұл функциялардың туындыларын жатқа білу керек. Сонымен қатар, оларды есте сақтау қиын емес - сондықтан олар қарапайым.

Сонымен, элементар функциялардың туындылары:

Аты	Функция	Туынды
Тұрақты	f(x) = C, C ∈ Р	0 (иә, нөл!)
Рационал көрсеткішті қуат	f(x) = x n	n · x n − 1
Синус	f(x) = күнә x	cos x
Косинус	f(x) = cos x	−күнә x(минус синус)
Тангенс	f(x) = тг x	1/cos 2 x
Котангенс	f(x) = ctg x	− 1/sin 2 x
Натурал логарифм	f(x) = журнал x	1/x
Ерікті логарифм	f(x) = журнал а x	1/(xлн а)
Көрсеткіштік функция	f(x) = e x	e x(ештеңе өзгерген жоқ)

Егер элементар функция ерікті тұрақтыға көбейтілсе, онда жаңа функцияның туындысы да оңай есептеледі:

(C · f)’ = C · f ’.

Жалпы, тұрақтыларды туындының таңбасынан шығаруға болады. Мысалы:

(2x 3)’ = 2 · ( x 3)’ = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Әлбетте, элементар функцияларды бір-біріне қосуға, көбейтуге, бөлуге - және т.б. Осылайша жаңа функциялар пайда болады, олар енді ерекше қарапайым емес, сонымен қатар белгілі бір ережелерге сәйкес сараланады. Бұл ережелер төменде талқыланады.

Қосынды мен айырманың туындысы

Функциялар берілсін f(x) Және g(x), туындылары бізге белгілі. Мысалы, жоғарыда қарастырылған қарапайым функцияларды алуға болады. Сонда осы функциялардың қосындысы мен айырмасының туындысын табуға болады:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Сонымен, екі функцияның қосындысының (айырымы) туындысы туындылардың қосындысына (айырымы) тең. Қосымша шарттар болуы мүмкін. Мысалы, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Қатаң айтқанда, алгебрада «алу» ұғымы жоқ. «Жағымсыз элемент» деген ұғым бар. Сондықтан айырмашылық f − gқосынды түрінде қайта жазуға болады f+ (−1) g, содан кейін бір ғана формула қалады - қосындының туындысы.

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Функция f(x) екі элементар функцияның қосындысы, сондықтан:

f ’(x) = (x 2 + күнә x)’ = (x 2)’ + (күнә x)’ = 2x+ cos x;

Функция үшін біз де солай түсінеміз g(x). Тек үш термин бар (алгебра тұрғысынан):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Жауап:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Өнімнің туындысы

Математика - логикалық ғылым, сондықтан көп адамдар қосындының туындысы туындылардың қосындысына тең болса, туындының туындысы деп санайды. ереуіл">туындылардың көбейтіндісіне тең. Бірақ сізді бұрыңыз! Өнімнің туындысы мүлдем басқа формула арқылы есептеледі. Атап айтқанда:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Формула қарапайым, бірақ ол жиі ұмытылады. Ал мектеп оқушылары ғана емес, студенттер де. Нәтиже – қате шешілген мәселелер.

Тапсырма. Функциялардың туындыларын табыңыз: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Функция f(x) екі элементар функцияның туындысы, сондықтан бәрі қарапайым:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)’ cos x + x 3 (кос x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (− күнә x) = x 2 (3cos x − xкүнә x)

Функция g(x) бірінші көбейткіш сәл күрделірек, бірақ жалпы схема өзгермейді. Әлбетте, функцияның бірінші факторы g(x) көпмүше және оның туындысы қосындының туындысы болады. Бізде бар:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)’ · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Жауап:
f ’(x) = x 2 (3cos x − xкүнә x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Соңғы қадамда туынды факторға бөлінетінін ескеріңіз. Ресми түрде мұны істеу қажет емес, бірақ туынды құралдардың көпшілігі өздігінен есептелмейді, бірақ функцияны тексеру үшін. Бұл дегеніміз, әрі қарай туынды нөлге теңестіріледі, оның белгілері анықталады және т.б. Мұндай жағдайда өрнекті көбейткіштерге жіктеген дұрыс.

Екі функция болса f(x) Және g(x), және g(x) Бізді қызықтыратын жиында ≠ 0 болса, біз жаңа функцияны анықтай аламыз h(x) = f(x)/g(x). Мұндай функция үшін туындыны да табуға болады:

Әлсіз емес, иә? Минус қайдан шықты? Неліктен g 2? Және осылай! Бұл ең күрделі формулалардың бірі - оны бөтелкесіз анықтай алмайсыз. Сондықтан оны нақты мысалдармен зерттеген дұрыс.

Тапсырма. Функциялардың туындыларын табыңыз:

Әрбір бөлшектің алымы мен бөлгішінде қарапайым функциялар бар, сондықтан бізге тек бөлімнің туындысының формуласы қажет:

Дәстүр бойынша, алымды көбейткіштерге бөлейік - бұл жауапты айтарлықтай жеңілдетеді:

Күрделі функция міндетті түрде жарты километрлік формула емес. Мысалы, функцияны алу жеткілікті f(x) = күнә xжәне айнымалыны ауыстырыңыз x, айталық, қосулы x 2 + лн x. Бұл нәтиже береді f(x) = күнә ( x 2 + лн x) - бұл күрделі функция. Оның туындысы да бар, бірақ оны жоғарыда талқыланған ережелер арқылы табу мүмкін болмайды.

Не істейін? Мұндай жағдайларда күрделі функцияның туындысы үшін айнымалы мен формуланы ауыстыру көмектеседі:

f ’(x) = f ’(т) · т', Егер x-мен ауыстырылады т(x).

Әдетте, бұл формуланы түсінудегі жағдай бөліндінің туындысына қарағанда әлдеқайда қайғылы. Сондықтан оны нақты мысалдар арқылы, әр қадамды егжей-тегжейлі сипаттай отырып түсіндіріп берген дұрыс.

Тапсырма. Функциялардың туындыларын табыңыз: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = күнә ( x 2 + лн x)

Функцияда болса ескеріңіз f(x) өрнектің орнына 2 x+ 3 оңай болады x, онда элементар функцияны аламыз f(x) = e x. Сондықтан біз ауыстыру жасаймыз: 2 болсын x + 3 = т, f(x) = f(т) = e т. Күрделі функцияның туындысын мына формула арқылы іздейміз:

f ’(x) = f ’(т) · т ’ = (e т)’ · т ’ = e т · т ’

Ал енді - назар аударыңыз! Біз кері ауыстыруды орындаймыз: т = 2x+ 3. Біз аламыз:

f ’(x) = e т · т ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Енді функцияны қарастырайық g(x). Оны ауыстыру керек екені анық x 2 + лн x = т. Бізде бар:

g ’(x) = g ’(т) · т' = (күнә т)’ · т' = cos т · т ’

Кері ауыстыру: т = x 2 + лн x. Содан кейін:

g ’(x) = cos ( x 2 + лн x) · ( x 2 + лн x)’ = cos ( x 2 + лн x) · (2 x + 1/x).

Осымен болды! Соңғы өрнектен көрініп тұрғандай, барлық мәселе туынды қосындыны есептеуге дейін қысқартылды.

Жауап:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) өйткені ( x 2 + лн x).

Мен сабақтарымда «туынды» терминінің орнына «бастапқы» сөзін жиі қолданамын. Мысалы, қосындының штрихы штрихтардың қосындысына тең. Бұл анық па? Міне жақсы.

Осылайша, туындыны есептеу жоғарыда талқыланған ережелерге сәйкес дәл сол соққылардан құтылуға келеді. Соңғы мысал ретінде рационал көрсеткіші бар туынды дәрежеге оралайық:

(x n)’ = n · x n − 1

Оны рөлде білетіндер аз nбөлшек сан болуы мүмкін. Мысалы, түбір x 0,5. Түбірдің астында сәнді нәрсе болса ше? Тағы да, нәтиже күрделі функция болады - олар сынақтар мен емтихандарда мұндай конструкцияларды беруді ұнатады.

Тапсырма. Функцияның туындысын табыңыз:

Алдымен түбірді рационал көрсеткіші бар дәреже ретінде қайта жазайық:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Енді біз ауыстыру жасаймыз: рұқсат етіңіз x 2 + 8x − 7 = т. Туындыны формула бойынша табамыз:

f ’(x) = f ’(т) · т ’ = (т 0,5)’ · т’ = 0,5 · т−0,5 · т ’.

Кері ауыстыруды жасайық: т = x 2 + 8x− 7. Бізде:

f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0,5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Соңында, тамырларға оралу: